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Capıtulo IIIEl campo gravitatorio

1. El Campo Gravitatorio

Desde nuestra mas tierna infancia, sabemos que en las cercanıas de la

Tierra el espacio tiene una interesante propiedad: si soltamos un objeto desde

cierta altura (grande o pequena) el objeto cae aceleradamente. Ahora que esta-

mos mas viejos tambien sabemos que, en el espacio en torno al Sol, todos los

planetas son acelerados hacia nuestra estrella materna.

Esta es la idea basica tras el significado de la palabra campo cuando

la usamos en Fısica: es una region tal que en todos sus puntos detectamos —o

esta definida— alguna magnitud fısica especıfica. En el caso del campo que lla-

mamos gravitatorio, la propiedad de que estamos hablando es la aceleracion que

adquieren las partıculas colocadas en ellos y como la aceleracion es una mag-

nitud vectorial, el campo gravitacional es un ejemplo de campo vectorial. Pero

podrıa tratarse de una propiedad mas sencilla, una magnitud escalar. Pensemos,

por ejemplo, en la temperatura en los diversos puntos de una sala. Si en ellos

colocamos termometros, cada termometro indicara una cierta temperatura, de

modo que, en un instante dado, a cada punto del espacio (x, y, z) corresponde

un numero: la temperatura que indica el termometro colocado allı, o la tem-

peratura que indicarıa un termometro si se lo colocase allı. En este ejemplo, la

correspondencia es mas sencilla porque las temperaturas son magnitudes escala-

res. A los campos como este campo de temperaturas de que estamos hablando,

se los llama campos escalares, pues la funcion definida en cada punto es una

34 Capıtulo III

funcion escalar.

(x, y, z) 7→ un escalar

El campo gravitacional es mas complicado. Es mas complicado porque es un

campo vectorial. Ahora, la relacion es del tipo

(x, y, z) 7→ un vector

Puesto que somos creyentes en ~F = m~a, las aceleraciones que expe-

rimentan las partıculas inmersas en un mar gravitatorio se las atribuımos a

fuerzas, las que actuarıan sobre las partıculas.

Demos un paso mas: si en la cercanıa de una partıcula de masa M

colocamos otra partıcula, de masa m, postulamos que sobre esta actua una

fuerza de tamano GMm/r2. Entonces, si elegimos a una partıcula de masa

m = 1 y, con ella, nos movemos en torno a la otra, de masa M, en cada punto

del espacio la partıcula m = 1 experimentara una fuerza. Ademas, a cada punto

del espacio podemos hacer corresponder un vector ~g(x, y, z), que nos indique

esta fuerza sobre la masa unitaria.

Segun la ley de gravitacion, si suponemos que M esta en el origen de

un sistema de coordenadas, podemos escribir de inmediato:

~g(x, y, z) =−GM~r

r3= −GM (xx+ yy + zz)

(x2 + y2 + z2)3/2.

Ademas de representar a la fuerza sobre la unidad de masa colocada

en ese punto —y, por lo tanto, medirse en Newton/kg—, la intensidad ~g del

campo gravitatorio es igual a la aceleracion gravitacional en ese mismo punto.

Resulta entonces que todo el mundo conoce al menos el campo gravitatorio en

una familiar region del espacio: cerca de la Tierra, g = 9.8 Newton/kilogramo.-

Notese que, como el vector campo gravitacional ~g es igual a la aceleracionEn nuestros laboratorios,g = π2 = 10.

gravitacional en el punto en cuestion, si multiplicamos el vector intensidad de

campo por la masa de la partıcula que allı se encuentre, obtenemos la fuerza

sobre la partıcula.

Dario Moreno Osorio, 4 de octubre de 2011.

1. El Campo Gravitatorio 35

Insistimos: tanto la famosa ley de gravitacion F = GMm/r2, como

la expresion que hemos escrito para el campo gravitatorio, son validas sola-

mente para partıculas. El campo gravitatorio en torno a una partıcula tiene

simetrıa esferica en torno a ella y varıa inversamente con el cuadrado de la

distancia a la partıcula. El campo gravitatorio en torno a un ladrillo (u otro

objeto irregular cualquiera) no tiene simetrıa esferica ni varıa inversamente con

el cuadrado de la distancia al ladrillo. (De inmediato nos toparıamos aquı con

problemas, ya que ni siquiera hemos definido el significado de “distancia al la-

drillo”).

Entonces, ¿como es el campo gravitatorio producido por el planeta en

que vivimos? La Tierra es demasiado complicada, ası es que comenzaremos con

un problema mucho mas sencillo.

Para los matematicos, no es lo mismo una bola que una esfera. Para

ellos, esfera es algo ası como la cascara de una naranja, mientras que una bola

es la cascara con todo y naranja, de modo que un conjunto de esferas puede

definir una bola. Lo mas facil de calcular es el campo producido por una esfera,

que es algo ası como la cascara de una naranja o una pelota de ping-pong. Para

simplificar nuestra vida, supondremos que la masa por unidad de area de esta

pelota es la misma en toda su superficie. Una vez que hayamos obtenido este

campo, por superposicion obtendremos el campo de una esfera maciza.

Desde luego, en el centro mismo de la esfera el campo debe ser cero, por

simetrıa. Si en el centro colocamos una partıcula, esta sera igualmente jalada

para todos lados, de modo que la fuerza resultante sobre ella es cero, lo que

implica que allı el campo tambien es cero.

¿Y si no estamos justamente en el centro de la esfera? Aunque es algo

inesperado, el campo es nulo en cualquiera de los puntos interiores. Sigue produ-

ciendose una milagrosa cancelacion de fuerzas, aunque el punto este ciertamente

mas cercano a una region de la esfera que a otras. El argumento que muestra que

en el caso de una fuerza del tipo 1/r2, el campo en el interior de una esfera hueca

es cero, se debe a Clerk Maxwell. Maxwell razono como sigue: si por el punto P

(en que interesa encontrar el campo) dibujamos un doble–cono, correspondiente


36 Capıtulo III

P

r1

r2A2

A1

Figura 1 – Dentro de una cascara esferica, el campo es cero.

a un angulo solido muy pequeno, este va a delimitar sobre la esfera a dos pe-

quenas regiones, cuyas areas llamaremos A1 y A2. Estas regiones corresponden

a dos angulos solidos iguales, de modo que A1/A2 = r21/r

22. Estas areas tienen

—respectivamente— masas m1 y m2, que son directamente proporcionales a los

cuadrados de las distancias que van, desde el punto P, a las regiones A1 y A2.

La proporcionalidad directa del area con el cuadrado de la distancia, compensa

exactamente a la disminucion de la fuerza con el cuadrado de la misma distan-

cia, de modo que los campos producidos por m1 y m2 se anulan mutuamente.

Ahora generalizamos pensando que, con vertice en P, dibujamos una infinidad

de dobles–conos que no se superponen, pero tales, que las areas que determinan

sobre la esfera la cubren completamente. Se concluye entonces que el campo, en

el interior de una delgada cascara esferica, es cero.

Es mucho mas facil experimentar con campos electricos que con campos

gravitacionales. El campo electrostatico tambien es del tipo 1/r2 y tambien

cumple con el principio de superposicion, de modo que el campo electrico, en el

interior de una esfera cargada, tambien sera cero . . . ¡a menos que el exponente de

r, en la ley de Coulomb, no sea exactamente 2! Esta es la base de un experimento

muy famoso destinado a medir la masa del foton, aunque hay fısicos serios que

creen no necesitar para nada a los fotones.



En cuanto al campo producido en el espacio exterior a la esfera hueca,

obtenerlo es un mero ejercicio de calculo integral que, por aburrido, lo relegamos

a uno de los capıtulos finales. De todas maneras, el resultado final es curioso:

En el exterior de una cascara esferica, el campo gravitatorio producidopor ella es igual al producido por una partıcula cuya masa sea iguala la masa total de la cascara y que este en el centro de ella.

Despues de encontrar este resultado, uno puede rascarse la cabeza, pre-

guntandose de que otro modo podrıa haber sido.

La cascara atrae, como si toda su masa estuviese concentrada en su

centro. Una consecuencia directa de esto es que las bolas, a las que podamos

imaginar hechas de capas homogeneas sucesivas, tambien atraen como si toda

su masa estuviese concentrada en su centro (pero los ladrillos ¡no!).

Todas las preguntas que podamos hacernos respecto campos resultan

mucho mas simples si algo sabemos del teorema de Gauss. Realmente Gauss

invento muchos teoremas, pero el que nos interesa aquı es uno que se refiere al

flujo de un campo atraves de una superficie. Lo enunciamos y explicamos en

una nota al final. Ahora solamente me interesa mencionar el resultado principal

cuando se trata del campo gravitatorio producido por una distribucion esferica-

mente simetrica de materia: la intensidad a la distancia r es igual al que produce

una partcula colocada en el centro de la esfera y cuya masa sea igual al total

de la masa en el interior de la esfera de radio r. Notese la exigencia de simetrıa

esferica.

Conclusion: puesto que la Tierra es aproximadamente esferica y su den-

sidad quizas sea solamente una funcion de la distancia al centro, podemos usar

el teorema de Gauss, si llamamos M a la masa total de la Tierra, una primera

aproximacion, para el campo gravitatorio fuera de la Tierra, es

~g = −GMr2

r (1)

Esto es una suerte: no tenemos que memorizar una nueva formula, pues-

to que esta es igual a la que nos da el campo producido por una partıcula.

Despues de toda esta argumentacion, alguien puede preguntar como es


38 Capıtulo III

realmente el campo gravitacional dentro de la Tierra. Si ese alguien pretende

contestar usando a sangre frıa la ecuacion (1), por cierto estarıa cometiendo el

undecimo pecado capital: usar una formula en una region para la cual no fue

deducida. Como castigo, conviene darse cuenta que en el centro de la Tierra no

hay una singularidad matematica, sino mucha Tierra.

R

g

r 2

1

Figura 2 – Ficcion cientıfica: Si se trata de una esfera homogenea, el campogravitacional dentro de ella crece linealmente con la distancia al centro. La Tierrano es homogenea y a la derecha mostramos aproximadamente la variacion de g conla distancia al centro.

Un objeto colocado en el mero centro de la Tierra serıa igualmente

jalado desde todos lados, de modo que la fuerza neta sobre el es cero. ¿Y si no

estuviese justo en el centro?

Para contestar esto, debemos reinterpretar los resultados anteriores. Si

estamos dentro de la Tierra, digamos, en un punto a la distancia r de su centro,

estamos en la superficie de una esfera de radio r y tambien estamos dentro de

una cascara esferica.

La cascara esferica no produce ningun campo en el punto en que esta-

mos, ası que solamente sentiremos el campo producido por toda la masa dentro

de la esfera de radio r. Llamemos Mr a esta masa.

Si la densidad fuese uniforme, la masa de esta esfera interior serıa pro-



porcional con r3, mientras que la fuerza es proporcional con 1/r2, de donde

finalmente resulta que la fuerza es proporcional con la distancia al centro de la

Tierra. La constante de proporcionalidad se puede encontrar facilmente, ya que

se conoce la fuerza en el centro y en la superficie de la Tierra. Se tiene

~g(r) = −GMr

r2r = −GM(r3/R3)

r2r

= −GMR3

~r

≈ −1.5× 10−6~r

En otras palabras, si la Tierra tuviese la misma densidad en todas

partes, en su interior el campo gravitacional serıa directamente proporcional con

la distancia al centro de la Tierra. Serıa cero justo en el centro e irıa creciendo

linealmente con la distancia, alcanzando el valor 9.8 N/kg en la superficie.

Pero la densidad de la Tierra no es uniforme. Los datos geologicos in-

dican que un mejor modelo consiste en imaginar a la Tierra dividida en 5 capas

concentricas, tal como se indica en la tabla 1.

Tabla 1 – Datos del interior de la Tierra.

Capa Fronteras Densidad gkm gr/cm3 m/seg2

Nucleo central 0 < r < 1221 12.9 4.40Nucleo exterior 1221 < r < 3489 10.9 10.68Manto inferior 3480 < r < 5701 4.9 10.01Manto superior 5701 < r < 6347 3.6 9.83Costra 6347 < r < 6371 2.4 9.81

En la ultima columna, se indican los valores de la aceleracion de grave-

dad en la frontera exterior de cada capa. Un buen ejercicio es usar los numeros

que aparecen en las primeras columnas, para obtener los de la ultima. Notese

que, en este modelo mas realista, la aceleracion de gravedad no toma su valor

maximo en la superficie de la Tierra, sino un poco mas abajo. Este modelo

tambien hace sospechar que la discontinuidad, en la pendiente de la curva en

la figura 2, debe ser producto de nuestra supersimplificacion, consistente en


40 Capıtulo III

suponer que la Tierra es una esfera homogenea.

Fuera de la Tierra, en primera aproximacion, el campo varıa como 1/r2,

pero realmente el campo es mas complicado, ya que la Tierra no es una esfera

perfecta ni su densidad es uniforme. Un modelo mas realista para la Tierra

consiste en reconocer que su densidad no es uniforme, pero se la puede suponer

constituıda por capas, como una cebolla. Entonces resulta que, en el grafico de

la figura 2, desaparece el punto en que hay dos tangentes, la curva se suaviza y

la aceleracion de gravedad maxima no ocurre en la superficie.

Una vez demostrado que el campo exterior a una esfera homogenea

corresponde exactamente al campo de una partıcula, es juego de ninos demostrar

que dos esferas se atraen como si toda su masa estuviese concentrada en sus

respectivos centros. Esta idea suele quedar tan fija en las mentes juveniles, que

algunos la repiten como si fuese una gran ley de la naturaleza, cuando en verdad

se trata solamente de una gran excepcion.

Dos ladrillos no se atraen como si sus masas estuviesen concentradas en

sus centros, ni tampoco dos pianos se atraen como si fuesen dos partıculas. En

el caso de los pianos es facil ver que, aun si mantenemos constante la distancia

entre sus centros, la fuerza de atraccion dependera de la orientacion de los

pianos...respecto a las estrellas. Para convencer a los escepticos, mostraremos

que una barra no atrae como si toda su masa estuviese concentrada en su centro.

x

L a

dx

Figura 3 – Atraccion entre una barra y una partıcula.

Escrita en su forma habitual, la ley de gravitacion solamente es valida

entre partıculas. Tenemos entonces que recurrir al metodo de la salchichonerıa

alemana: in mente, trozamos la barra en una gran cantidad de pedacitos, de

largo dx. Somos flojos, ası es que supondremos que la partıcula esta colocada

en un lugar desde donde es facil calcular, en la prolongacion del eje de la barra.



Ademas, supondremos que se trata de una barra muy delgada y homogenea. Si

L es el largo de la barra y su masa M, entonces la masa, por unidad de largo,

es λ = M/L. Llamemos m a la masa de la partıcula —colocada como se indica

en la figura 3—, siendo a la distancia que va desde la partıcula, al extremo mas

proximo de la barra.

Si consideramos un pedacito de largo dx que esta a la distancia x de la

partıcula m, entonces la fuerza que este trocito ejerce sobre la partıcula es

dF =Gm(λdx)

x2

Si queremos la fuerza total, tenemos que sumar. Resulta

F =

∫ a+L

a

Gmλdx

x2= − Gmλ

1

x

∣∣∣∣a+L

a

F = Gmλ(1

a− 1

a+ L)

=GMm

a2 + aL

Para que se vea claramente que la barra no atrae como si toda su

masa estuviese concentrada en su centro, llamemos F0 a la fuerza con que una

partıcula, de masa igual a la de la barra y colocada en el centro de esta, atraerıa

a m. Naturalmente se tiene,

F0 = GMm/(a+ L/2)2

y comoF

F0=

a2 + aL+ L2/4

a2 + aL

se ve de inmediato que F 6= F0, puesto que su cociente no es igual a 1. Solamente

para a→∞ las fuerzas tienden a igualarse. Esto podıa anticiparse, pues, vistas

desde muy lejos, todas las barras (finitas) se confunden con simples partıculas.

Hay especialistas en calcular campos producidos por todo tipo de distri-

buciones de materia. Se puede anticipar que los problemas de este tipo pueden


42 Capıtulo III

ser tan complicados como uno quiera y no nos vamos a entretener mucho en

ellos. Lo que sı haremos sera revisar una nocion muy importante, porque puede

ayudarnos a resolver problemas de este tipo y muchos otros: nos referimos a la

nocion de energıa potencial.

2. Energıa potencial en el campo gravitatorio

Volvemos a encontrarnos con la nocion de energıa. No es por mala suer-

te, sino porque es una nocion muy importante. A los que esperan una definicion

de energıa que sea corta, precisa y abarcadora, el unico consuelo que les puedo

ofrecer es mi definicion predilecta, debida al poeta William Tate: energıa es la

capacidad para hacer maldades, una excelente parodia de una pseudo–definicion

que aun se oye cuchichear en algunos barrios altos: energıa es la capacidad para

efectuar trabajo.

Ciertamente la energıa no es una cosa, sino un concepto, un artefacto,

un producto del arte e ingenio del hombre.

Ya conocemos la definicion de energıa potencial. La encontramos cuando

estudiamos los resortes, el oscilador armonico simple y otros osciladores no tan

simples.

Se llama energıa potencial, a una funcion U(x, y, z) tal que su gra-diente, calculado en un punto cualquiera x, y, z —y con el signocambiado—, es igual a la fuerza que el campo ejerce sobre unapartıcula de masa m colocada allı.

Si no recuerdas bien lo de gradiente, consulta el Capıtulo XI, donde hay

unas paginas dedicadas a el.

El gradiente es un operador que al actuar sobre un campo escalar

U(x, y, z), nos produce un campo vectorial. Una de sus definiciones posibles

es

gradU =∂U

∂xx+

∂U

∂yy +

∂U

∂zz

Esta definicion es util si trabajamos en coordenadas cartesianas orto-

gonales, pero hay que cambiarla para otros tipos de coordenadas, asi que los


2. Energıa potencial en el campo gravitatorio 43

matematicos tambien han propuesto definiciones mas generales (ver por ejem-

plo el libro de Joos). Otra definicion buena bonita y barata es decir que el

gradiente de U es aquel artefacto que cumple con dU = gradU · d~r.

En el caso especial en que la funcion U represente la distancia al origen,

se puede mostrar que el gradiente de U es igual al vector unitario en la direccion

de ~r. En efecto, como ahora U =√x2 + y2 + z2, se tiene

∂U

∂x=

2x

2√x2 + y2 + z2

=x

r

y expresiones analogas para ∂U/∂y y para ∂U/∂z, de donde resulta que

grad r =x

rx+

y

ry +

z

rz

= r.

Es facil verificar que si f(r) es una funcion que depende solamente de r, la

distancia al origen, entonces grad f(r) = r(df/dr). Esto lo aprovecharemos para

calcular el gradiente de la funcion U que aparecen en 1). Encontramos que

− gradU =GMm

r2r

y si le cambiamos signo, vemos que efectivamente grad U nos da la fuerza de

gravitacion. Ası es que U = −GMm/r es justamente la funcion energıa potencial

gravitatoria.

Uno puede inventar las definiciones que quiera, pero la pregunta clave

es: ¿es util esta definicion de energıa potencial? ¿Existe realmente una funcion

con la propiedad de que su gradiente es igual a menos la fuerza?

Ya sabemos que, en el caso del campo gravitatorio, la funcion gradiente

sı existe, pues hemos reencontrado la expresion de la fuerza tomando el gradiente

de la funcion energıa potencial, pero es bueno tener una condicion fısica esencial.

Si la fuerza de gravitacion fuera dependiente de la velocidad de las partıculas,

no habrıa una funcion energıa potencial, aunque uno nunca puede estar seguro,


44 Capıtulo III

porque lo que es imposible hoy, manana sı puede ser posible porque en altas

horas de la madrugada un matematico ha generalizado la definicion de energıa

potencial u hecho alguna otra maldad.

Para explicar el sistema solar, Newton no necesito suponer que la fuerza

con que el Sol actua sobre el planeta Marte dependiese de la velocidad de Marte,

ni de la aceleracion de Marte, ni menos aun de d~a/dt de Marte. La interaccion

no es ası de simple en el caso de la interaccion entre cargas electricas, pues, para

empezar, ademas de la distancia entre ellas, la fuerza tambien depende de la

velocidad de las cargas.

3. Insensibilidad de las Energıas Potenciales

Las energıas potenciales son insensibles a las constantes aditivas. Con

esto queremos decir que, si a la funcion energıa potencial anterior le agregamos

una constante cualquiera, digamos U◦,

U(x, y, z) = −GMm

r+ U◦

al derivar encontraremos la misma fuerza de antes, (−GMm/r2)r.

En vez de decir que las energıas potenciales son insensibles a las cons-

tantes aditivas, podrıamos decir que las energıas no tienen significado fısico y que

solamente las diferencias de energıa lo tienen, ya que, al formar las diferencias

. . . las constantes aditivas desaparecen.

De todos modos, conviene observar el significado que tendrıa U◦ si insis-

timos en poner U(r) = −GMm/r+U◦. En este caso, para un sistema constituıdo

por dos partıculas infinitamente alejadas entre sı, se tendrıa que U(∞) = U◦.

En otras palabras, U◦ serıa la energıa potencial que nosotros decidimos atri-

buirle a las dos partıculas infinitamente alejadas. Este U◦ podrıa ser cualquier

numero y no interferirıa con nuestros resultados, pero tendrıamos que andarlo

arrastrando en todas nuestras ecuaciones. Es mucho mas comodo entonces su-

poner que, cuando dos partıculas estan separadas por una distancia infinita, su


4. Potencial dentro de un pozo 45

energıa potencial es cero. Es lo que haremos de aquı en adelante: escribiremos

simplemente U(r) = −GMm/r. Al hacerlo, implıcitamente estaremos diciendo

que hemos decidido instalar el cero de energıa potencial en el infinito.

4. Potencial dentro de un pozo

Sabemos que si la Tierra fuese homogenea, la fuerza que actuarıa so-

bre una partıcula ubicada en un pozo, no es inversamente proporcional con el

cuadrado de la distancia al centro de la Tierra, sino que es directamente propor-

cional con esa distancia. Si llamamos mr a la masa en el interior de una esfera

de radio r y m a la masa de la partıcula, mientras que M es la masa total de la

Tierra, se tiene

F =Gmrm

r2=GM(r3/R3)m

r2

=GMm

R3r

A esta fuerza, en el interior de un pozo, corresponde la energıa poten-

cial Ui

Ui =GMm

2R3r2 + C

en que la constante C puede tener el valor que queramos. Esta libertad podemos

usarla para ajustar el valor de las energıas potenciales dentro de la Tierra y fuera

de ella. Cuando el cero del potencial externo lo colocamos en el infinito, entonces

el valor del potencial externo justo en la boca de un pozo es Ue = −GMm/R.

Para ajustar ambos potenciales en r = R, bastarıa poner

Ui = −GMm

2R

(3− r2

R2

)En todo caso, como en las energıas potenciales las constantes aditivas

no tienen mayor importancia, a esta ecuacion ni siquiera le ponemos un numero.


46 Capıtulo III

5. Mgh versus −GMm/r

Para mucha gente del Tercer Mundo, el primer contacto con la idea

de energıa potencial ocurre a traves de la formula–receta U = mgh. Como los

primeros contactos suelen producir impresiones muy profundas, suele persistir

una confusion respecto a cuando usar la antigua receta U = mgh y cuando usar

la nueva, U = −GMm/r. Para terminar con esta confusion lo mejor es tener

los conceptos tan claros, que U = mgh y U = −GMm/r dejen de ser simples

recetas, que se usan sin entender.

Hemos definido a la funcion energıa potencial a traves de la operacion

gradiente, pensando que es mas facil derivar que integrar, pero ciertamente hay

otras maneras de apearse del caballo.

Imaginemos a una partıcula que se mueve en un campo gravitacional

y que va desde un cierto punto A, hasta otro punto B. Durante todo este tra-

yecto la fuerza gravitacional estuvo actuando sobre ella, por lo que podemos

preguntarnos por el trabajo realizado por esta fuerza. Este es

W =

∫ B

A

~Fgrav · d~s =

∫ B

A

−∂U∂~s· d~s = −

∫ B

A

dU = UA − UB

Al aparecer la diferencia de energıas potenciales en esos puntos, des-

aparecen las constantes aditivas.

Vamos a aplicar las nociones anteriores al caso de la Tierra. Sabemos que

aunque la Tierra dista mucho de ser una partıcula, en primera aproximacion su

campo gravitatorio exterior es del mismo tipo que si proviniese de una partıcula

que esta en su centro. Para los que vivimos en este planeta, el suelo es el punto

final de todas nuestras caıdas, ası que el lugar mas natural para instalar el cero

de energıa potencial no es el infinito, sino el suelo. Entonces, como la energıa

potencial gravitatoria siempre se puede escribir

U(r) =−GMm

r+ Uo


5. Mgh versus −GMm/r 47

para que resulte igual a cero cuando r = Rtierra, tendrıa que ponerse U◦ =

+GMm/Rtierra.

Ademas de fijar el nuevo cero de energıa potencial en la superficie de

la Tierra y no en el infinito, podrıamos preguntarnos cuanto cambia U(r) si

nos alejamos solamente un poquitito de Tierra. Si vamos, por ejemplo, desde

la distancia r = R hasta la distancia r = R + dr, en que dr es muy pequeno

comparado con el radio terrestre.

Usando nuestros profundos conocimientos de calculo, podemos escribir

la respuesta de inmediato:

dU =dU

dr

∣∣∣r=R

dr =GMm

R2dr

A la constante GM/R2 generalmente se la llama “g” y como estamos

suponiendo que en la superficie de la Tierra U es cero, resulta que la energıa

potencial a la altura dr serıa

dU = mgdr

Si instalamos ejes de coordenadas de modo que el plano XY este hori-

zontal y el eje OZ apunte hacia arriba, entonces dr = z

U = mgz

Esto es el origen de lo que nos ensenaron en el kindergarten. Se ve que

U = mgh es un caso especial de

U(r) = −GMm

r+ Uo

cuando se supone que

i) U = 0 en la superficie de la Tierra y no en el infinito;

ii) el eje OZ apunta verticalmente hacia arriba, y

iii) el desplazamiento z es pequeno, comparado con R.


48 Capıtulo III

Se ve que todo esta en U = −GMm/r + Uo. A U = mgh lo usan

los ingenieros civiles que disenan estructuras bajitas, pero cuando se proyectan

viajes espaciales, usamos U = −GMm/r.

En resumen, podemos pensar que la energıa potencial gravitacional es

U = mgz solamente si, para nuestros fines, basta suponer que el campo gra-

vitatorio es constante, que el nivel cero de energıa potencial esta a nivel del

cero del sistema de coordenadas y que . . . el eje OZ apunta verticalmente hacia

arriba. Si los ejes apuntasen en otras direcciones, entonces habrıa que repensar

la expresion de U.

Aunque la energıa cinetica nunca puede ser negativa, la energıa poten-

cial sı puede serlo. Usando U = mgz como nuestra expresion para la energıa

potencial, se ve que la energıa potencial de un sapo, en el fondo de un pozo,

serıa negativa. Fısicamente, esto no es mas misterioso que pensar que el aire

lıquido pueda tener una temperatura negativa.

6. Conservacion de la energıa

Ya vimos que, si una partıcula se mueve entre dos puntos cualesquiera

A y B de un campo gravitacional, el trabajo realizado por el campo se puede

escribir

W =

∫ B

A

~F · d~s = UA − UB

Por otra parte, este mismo trabajo es una medida del cambio de energıa cinetica,

ası que

W =1

2mv2

B −1

2mv2

A = TB − TA

de modo que, automaticamente, se cumple que

TA + UA = TB + UB (2)

Para cualquier par de puntos A y B, la energıa total en el punto A


6. Conservacion de la energıa 49

es igual a la energıa total en el punto B. Dicho de otro modo, en un campo

gravitatorio la energıa mecanica total se conserva.

No tenemos derecho a pensar que se ha hecho un gran descubrimien-

to, ya que con toda malicia hemos definido a la energıa cinetica y a la energıa

potencial de modo que su suma sea constante. Lo notable es que haya casos en

que realmente existe una funcion U(x, y, z) tal, que la diferencia U(A)− U(B)

nos de el trabajo realizado por el campo cuando la partıcula va desde A→ B.

Un ejemplo

Para darle mas sentido fısico a nuestra discusion, analicemos un caso

especial. Supongamos estar en la Luna (para que no nos moleste la friccion con

el aire) y que tenemos un ladrillo, que vamos a dejar caer desde una altura h.

En el estado inicial, suponemos que tanto el ladrillo como la Luna estan en

reposo, de modo que la energıa total del sistema (Luna + ladrillo) coincide con

su energıa potencial U = GMm/(R + h). Naturalmente, en este caso M y m

deben ser —respectivamente—, la masa de la Luna y la del ladrillo.

En el estado final de su caıda, el ladrillo estara chocando con la Luna

con una velocidad ~V , mientras que la Luna (por conservacion del momentum)

estara subiendo al encuentro del ladrillo, con una velocidad ~u. La masa de la

Luna es tan grande, comparada con la masa del ladrillo, que casi toda la energıa

cinetica corresponde a este. Podemos escribir

1

2mV 2 =

GMm

R− GMm

R+ h

Tambien podemos considerar el proceso inverso. Tenemos un ladrillo

que inicialmente esta en reposo, al que le aplicamos una fuerza vertical y lo

levantamos una distancia D.

La verdad es que no podemos empujar al ladrillo hacia “arriba”sin al

mismo tiempo empujar hacia abajo a la Luna, de modo que transferimos una

cierta cantidad de energıa al sistema (Luna + ladrillo) y no solamente al ladrillo.


50 Capıtulo III

Es como si estirasemos un resorte invisible entre Tierra y ladrillo. Parte de

la energıa que conseguimos al tomar desayuno esta ahora almacenada en ese

resorte.

La experiencia ha mostrado que una buena medida de la transferencia

de energıa entre nosotros y el sistema (Luna + ladrillo), es el trabajo que no-

sotros hayamos realizado. En este caso, nosotros realizamos trabajo tanto con

nuestras manos (al empujar el ladrillo) como con nuestros piernas, al empujar

a la Luna. De nuevo, como la masa de la Luna es tan grande comparada con

la del ladrillo, el punto de aplicacion de la fuerza que aplicamos con nuestros

zapatos practicamente no se mueve, de modo que podemos considerar nulo el

trabajo que hacemos con los pies.

Si llamamos Fm a la fuerza que aplicamos al ladrillo con la mano, el

trabajo realizado por nosotros es W =∫~Fm · d~r .

La fuerza que aplicamos nosotros no es la unica fuerza que actua sobre

el ladrillo, ya que la Luna lo jala hacia abajo. Si queremos obtener informacion

respecto a la energıa cinetica del ladrillo, debemos tomar en cuenta todas las

fuerzas que actuan sobre el, en un trayecto determinado. Luego podemos usar

la conservacion de la energıa y pensar que el ladrillo es el unico que se mueve.

Esta aproximacion es buena en este caso, porque el ladrillo es muchisısimo mas

liviano que la Luna.

7. La energıa total es constante

La gran utilidad del concepto de energıa es que la suma de la energıa

cinetica y la potencial es constante. Vamos a verificar esto, en el caso especial del

movimiento en un campo gravitatorio. En este caso, la ecuacion de movimiento

es

md~v

dt= −GMm~r

r3(3)


8. Magnitudes insensibles al camino 51

y la energıa total es

E =1

2mv2 − GMm

r

Vamos a calcular dE/dt y veremos que es cero, lo que implıca que la

energıa total es constante. Es un vulgar ejercicio de calculo, pero vale la pena

comprobarlo, al menos una vez.

dE/dt = m~v · d~vdt− d

dt

GMm

r(4)

La ultima derivada es un poco odiosa, ası que la vamos a calcular por

separado. Recordemos que r =√x2 + y2 + z2, de modo que

d

dt

GMm

r= −GMm

r3(x x+ y y + z z)

= −GMm

r3(~r · ~v)

Llevando esto a la ecuacion (4),

dE/dt = (md~v

dt+GMm~r

r3) · ~v (5)

Pero lo que esta dentro del parentesis es igual a cero, segun la ecuacion

de movimiento (3). Concluımos entonces que la energıa total es constante.

Notese que esto significa que la energıa total tiene el mismo valor en

todo instante, mientras algunos textos dejan la impresion que la constancia de

la energıa significa solamente que “la energıa antes”de un evento (por ejemplo

una caıda) es igual a “la energıa despues”de ese evento.

8. Magnitudes insensibles al camino

Ası como se clasifica a las magnitudes en dos grandes familias, las vec-

toriales y las escalares, tambien hay otra distincion posible: magnitudes que

dependen del camino que sigamos y magnitudes independientes del camino.


52 Capıtulo III

Si viajamos a pie entre Veracruz y Alvarado, ciertamente la cantidad de

suela de zapato que gastemos dependera del camino que sigamos entre estas dos

ciudades. Si elegimos un camino que vaya desde Veracruz a Alvarado pasando

por Acapulco, es casi seguro que gastaremos mas zapato del que gastarıamos al

elegir un camino menos exotico. El “gasto de zapatos.es un ejemplo muy claro

de una magnitud que sı depende del camino que sigamos.

B

A

C2

C2

Figura 4 – Ya sea que sigamos el camino C1 o el C2, el desplazamiento total es elmismo, AB, pero obviamente los caminos tienen distinto largo.

Si nuestro viaje transcurre entre dos puntos bien determinados de las

ciudades de Veracruz y Alvarado, entonces, sea cual sea el camino que sigamos,

la diferencia de altura entre el punto de salida y el punto de llegada sera la

misma, cualquiera que sea el camino que hayamos seguido. Este es un ejemplo

de magnitud que no depende del camino recorrido.

Y aun otro ejemplo, casi trivial: si vamos desde un punto A hasta otro

B, entonces el desplazamiento total ~D =∫d~s no depende del camino seguido.

Ya sea que viajemos por el camino C1 o el camino C2, los desplazamientos son

iguales, AB.

No ocurre lo mismo para∫ds, la distancia recorrida, pues hay caminos

mas largos que otros.

Aunque los novatos tranquilamente quitan y ponen flechitas encima de

los sımbolos matematicos, el ejemplo anterior muestra que hay una gran dife-


8. Magnitudes insensibles al camino 53

rencia entre∫d~s y

∫ds. Esta diferencia aparece con mas fuerza si consideramos

un circuito cerrado, es decir, un camino que parte desde un cierto lugar y vuelve

al mismo sitio.

Figura 5 – Ejemplos de magnitudes independientes y dependientes del camino.

∫d~s = 0

∫ds = {Largo del circuito} .

Se ve muy claramente, que cuando sumamos a lo largo de todo un

circuito (cerrado), una de las sumas es cero, pero la otra no. Una cosa parecida

ocurre al calcular los trabajos realizados por algunas fuerzas. Si tomamos el caso

mas sencillo de campo, digamos el campo en la cercanıa de la Tierra, la fuerza

que actua sobre una partıcula es constante; digamos, ~F0. El trabajo realizado

por esta fuerza en un circuito cerrado es

W =

∫~F0 · d~s = ~F0 ·

∫d~s = 0

Ya sabıamos que el campo gravitacional cercano a la Tierra es un campo

conservador, puesto que conserva la energıa, de modo que el resultado anterior

es solo una manera mas crıptica de decirlo.

Pero no solamente si nos restringimos a las vecindades de la tierra el

campo gravitatorio es conservador. Tambien es conservador si nos alejamos bas-

tante de ella.

En efecto, al calcular el trabajo en un circuito cerrado cualquiera, que


54 Capıtulo III

parte y llega a un mismo punto P, tenemos

W =

∫~F · d~s =

∫−∂U∂~s· d~s = −

∫dU = U

∣∣∣PP

= 0 (6)

Hay una correspondencia total entre las afirmaciones “este campo es

conservador” y “existe una funcion energıa potencial de la cual podemos deri-

var la fuerza”. Tambien se puede demostrar que si el trabajo realizado en un

circuito cerrado cualquiera es nulo, entonces la fuerza es derivable de un

potencial.

Para que no se crea que lo anterior ocurre para todas las fuerzas, veamos

un contra–ejemplo. El mas aristocratico de todos es el de la fuerza de friccion.

Aun la mas simple de las fuerzas de friccion es complicada. Es complicada,

porque depende de la velocidad. Sabemos que siempre apunta en la direccion

contraria al vector velocidad relativa entre los objetos que rozan, de modo que

aun en el caso mas simple, tenemos que escribir

~Ffriccion = −C v (7)

en que C es una constante y v es un vector unitario, en la direccion de la

velocidad.

Si calculamos el trabajo hecho por una fuerza de este tipo, en un circuito

cerrado, obtenemos

W =

∫C(−v) · d~s = −C

∫v · ~vdt

= −C∫ds = −C × largo del circuito,

de modo que el trabajo realizado por la friccion, en un circuito cerrado, no es

cero. Esto corresponde al hecho de que la fuerza de friccion no es conservadora,

sino que disipa energıa mecanica, generando calor.


9. Conservacion de la Energıa y Ley de Movimiento 55

9. Conservacion de la Energıa y Ley de Movimiento

Si hacemos un alto en la parte mas alta del camino, podremos repasar

lo ya recorrido y ver, desde otra perspectiva, algunos de los lugares por los que

pasamos.

Empujamos un auto con una fuerza ~F durante un cierto tiempo, diga-

mos, desde t1 hasta t2. ¿Que efecto conseguimos? Al menos, en cierto sentido,

nos preguntamos por el efecto “acumulado en el tiempo”que produce una fuer-

za, ya que tenemos que calcular∫~Fdt. Si la fuerza ~F es la fuerza neta sobre el

auto, entonces

∫ t2

t1

~Fdt =

∫ t2

t1

d~p

dtdt

=

∫ t2

t1

d~p = ~p(t2)− ~p(t1) (8)

lo que no es sino la forma integral de la segunda ley de Newton.

En forma totalmente analoga, podemos preguntarnos por el efecto “acu-

mulado en el espacio”de una fuerza, es decir, podemos preguntarnos por la in-

tegral∫~F · d~s. Ya conocemos la respuesta: si se trata de una partıcula de masa

constante y si ~F es la fuerza neta que actua sobre ella, entonces, si a la energıa

cinetica la simbolizamos mediante la letra T,

∫ B

A

~F · d~s =1

2mv2

∣∣∣BA

= dT∣∣∣BA

= TB − TA (9)

y cuando ~F es derivable de un potencial U, tambien se tiene que

∫ B

A

~F · d~s = −dU∣∣∣BA

(10)

Todas las piezas del rompecabezas ajustan perfectamente. A partir de

leyes de movimiento fuimos a dar a un principio de conservacion, ası es que

podemos esperar recorrer el camino inverso, esto es, ir desde las leyes de conser-

vacion a las leyes de movimiento, al menos en el caso de las fuerzas derivables


56 Capıtulo III

de un potencial. Al menos en una dimension, tiene que ser posible ir desde la

ley de conservacion

d (T + U) = 0

a las leyes de movimiento. Tiene que ser ası, al menos cuando se trata de fuerzas

derivables de un potencial. En un apendice al final discutimos mas en detalle

este asunto.

Naturalmente en los casos en que hay friccion, la energıa mecanica no

se conserva, pues parte de ella se gasta en calentar los objetos que interactuan.

Luego vamos a considerar una de las aplicaciones mas interesantes de

todo esto en un problema gravitacional: la puesta en orbita de satelites terres-

tres. Pero antes, veamos un caso especial de sistemas gravitantes.


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