CAP VIII VA_Prueba de Ajuste

7/23/2019 CAP VIII VA_Prueba de Ajuste

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Ing. Alcides Ramos Calcina

E.P. DE INGENIERA METALURGICAPROGRAMACIN Y SIMULACIN DE PROCESOS METALRGICOS

GENERACIN DE VARIABLES ALEATORIASPRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

INTRODUCCIN

Las pruebas de bondad de ajuste consisten en comprobar grficamente y

estadsticamente si la frecuencia emprica de la serie analizada se ajusta a una

determinada funcin de probabilidad terica seleccionada a priori, con los parmetros

estimados en base a los valores muestrales.

Las pruebas estadsticas, tienen por objeto medir la certidumbre que se obtiene al hacer

una hiptesis estadstica sobre una poblacin, es decir, califica el hecho de suponer que

una variable aleatoria se distribuya segn una cierta funcin de probabilidades.

Las pruebas que se consideran son:

Ajuste grfico

Ajuste estadstico: Ji-cuadrado de K. Pearson

Kolmogorov Smirnov.

La prueba Ji cuadrado conviene tanto para distribuciones continuas como para discretas,

mientras que la prueba Kolmogorov-Smirnov slo sirve para distribuciones continuas.

1.1. Ajuste Grfico

El ajuste grfico se puede realizar comparando grficamente el histograma ofuncin de densidad emprica de la serie de datos, con funcin densidad terica y

decidir visualmente, si hay o no ajuste de acuerdo a la similitud o diferencia de

ambos; as mismo, podemos comparar la funcin acumulada con la funcin

acumulada terica seleccionada.

Ejemplo 1:

Da la serie histrica de caudales medios anuales en m3/s, que corresponde a un

registro de 38 aos.


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121,3 26,7 110,1 63,4 162,1 144,7 137,1

144,9 92,8 95,6 76,3 97,2 109,2 32,9

142,4 58,8 48,8 52,3 52,5 48,5

205,8 57,4 148,3 36,3 165,6 59,6

114,5 79,0 67,5 88,0 64,2 40,372,5 76,9 70,0 122,4 110,2 112,2

Realice la prueba de bondad de ajuste grafico para ver si los datos se ajustan a una

distribucin normal.

Matlab

Primeramente, ingresamos la serie de datos en Excel (en una columna, solamente

datos sin rotulo) y almacnela con formato tipo texto delimitado con tabulaciones.

Elija algn nombre. Por ejemplo datos.txt

En la ventana de comandos de Matlab cargue el archivo datos.txty sela como un

vector:

>> load datos.txt

Realizamos el histograma (grfico 1) para la serie histrica de caudales:

>> hist(datos)

>> title('HISTOGRAMA DE LA SERIE HISTRICA')

Grfico 1:Histograma.

0 50 100 150 200 2500

1

2

3

4

5

6

7

8HISTOGRAMA DE LA SERIE HISTRICA


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Por lo cual establecemos la siguiente hiptesis:

Ho: La serie se ajusta a una distribucin Normal

H1: Otra distribucin

Ahora ejecutamos el m-ficheroque grafica la funcin de densidad y acumulada.

>> ajus_g(datos)

ajus_g.m

%AJUSTE GRAFICO A UNA NORMALfunction ajus_g(y)mu=mean(y);sig=sqrt(var(y));

xord=sort(y);%Funcion de probabilidad PDFx=[-4:0.211:4];y2=normpdf(x); %PDF tericoz=(xord-mu)/sig; %Estadarizacin de la seriey1=(1/sqrt(2*pi))*exp(-(z.^2)/2); %PDF empiricosubplot(2,1,1); plot(x,y2,'-.',z,y1,'-+');legend({'Distr. Terica' 'Distr. Emprica'},1)title('DISTRIBUCIN DENSIDAD NORMAL TEORICA VS EMPIRICA')

xlabel('X')ylabel('f(x)')%Funcion de distribucin CDFy3=normcdf(x); % CDF tericoy4=normcdf(z); % CDF empiricosubplot(2,1,2); plot(x,y3,'-.',z,y4,'-+');legend({'Distr. Terica' 'Distr. Emprica'},2)title('DISTRIBUCIN ACUMULADA NORMAL TEORICA VSEMPIRICA')

xlabel('X')ylabel('F(x)')

Nos muestra los siguientes grficos:


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Grfico 2:Ajuste grfico de la funcion densidad y distribucin.

Tambin podemos realizar directamente un grfico de normalidad a la serie de

datos con la siguiente funcin en MatLab:

>> normplot(datos);

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

X

f(x)

DISTRIBUCIN DENSIDAD NORMAL TEORICA VS EMPIRICA

Distr. Terica

Distr. Emprica

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X

F(x)

DISTRIBUCIN ACUMULADA NORMAL TEORICA VS EMPIRICA

Distr. Terica

Distr. Emprica


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Grfico 3:Ajuste de probabilidad normal.

Finalmente realizaremos un grfico de un histograma con campana de Gauss para

la serie de datos.

>> histfit(datos);

>> title('HISTOGRAMA CON CURVA NORMAL');

Grfico 4.

50 100 150 200

0.010.02

0.05

0.10

0.25

0.50

0.75

0.90

0.95

0.980.99

Data

Probability

Normal Probability Plot

-50 0 50 100 150 200 2500

2

4

6

8

10

12HISTOGRAMA CON CURVA NORMAL


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Evidentemente se puede observar que los grficos de distribucin densidad y

acumulada empricos se ajustan a los grficos de las distribuciones tericas; al

igual que en el grfico de normalidad los datos se ajustan a la diagonal y por ltimo

en la grfica del histograma con la curva normal, tambin se observa un ajuste a

la normal, por lo tanto, podemos concluir que la serie de datos se ajusta a una

distribucin normal.

1.2. Ajuste Estadstico

a) Prueba Chi-cuadrado ( 2 )

La prueba de ji-cuadrado es la ms comnmente utilizada para verificar la bondad

de ajuste de la distribucin emprica a una distribucin terica conocida y se basa

en el clculo de las frecuencias, tanto de valores observados, como valoresesperados, para un nmero determinado de intervalos. Esta prueba fue propuesta

por Kart Pearson en 1900.

La expresin general de la prueba Ji-cuadrado se escribe como:

2k2 i ic

i 1 i

( e )x

e

(1)

Donde:

k k

i i

i 1 i 1

e n

, i = 1, 2, 3, , k

2

cx : valor calculado de ji-cuadrado de los datos

i : nmero de valores observados en el intervalo de clase iei : nmero de valores esperados del intervalo i

n : nmero total de observaciones de la muestra

k : nmero de intervalos de clase en que ha sido agrupada la muestra

Asignando probabilidades a la ecuacin (1); vale decir, asignando igual

probabilidad de ocurrencia a cada intervalo de clase, se tiene que:


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2k2 i ic

i 1 i

(n np )x

np

(2)

Donde:

ni: nmero de observaciones que caen dentro de los lmites de clases ajustados

de intervalo i.n : tamao de muestra

pi : probabilidad igual para todos los intervalos de clase

i i i

1p , e n.p

k

Procedimiento de clculo

El procedimiento seguido para comprobar la bondad de ajuste mediante la prueba

Ji-cuadrado es:

a) Planteamiento de Hiptesis

H0: i= ei(frecuencia observada es igual a las esperadas)Ha: iei(frecuencia observada es diferente a las esperadas)

b)

Seleccionar el nivel de significancia:= 0.05.

c) Calcular el valor de Ji-cuadrado calculado (2

cx ) utilizando las ecuaciones (1)

(2), las cuales estn implementadas en una funcin de Matlab del siguiente

modo:

La funcin CHI2GOFrealiza la prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste paradistribuciones discretas o continuas.

Si en el resultado H = 0, nos indica que la hiptesis nula (que X es una muestra

aleatoria de una distribucin normal) no puede ser rechazada al nivel de

significacin del 5%, y si H = 1, nos indica que la hiptesis nula puede ser

rechazada al nivel del 5%.

Tambin devuelve el valor de P. Que es el valor de probabilidad (p-value)

asociado al estadstico.

Y la estructura STATS devuelve los siguientes campos:


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chi2stat: Estadstico Chi-cuadrado

df: Grados de libertad

edges: Vector de intervalos

O: Valores observados en cada intervalo

E: Valores esperados en cada intervalo

d)

Determinar el valor de Ji-cuadrado de la tabla (2

tx ) con:

: 0.05g.l. : k-1-h

donde:

g.l. : grados de libertad

k : nmero de intervalos de claseh : nmero de parmetros a estimar

as h = 2, para distribucin normal

h = 3, para la distribucin log-normal de 3 parmetros

e) Criterio de decisin

El criterio de decisin se fundamenta en la compasin del valor calculado de

ji-cuadrado con el valor tabular encontrado, esto es:

-

Si2

cx 2

tx , se acepta la hiptesis de que los datos se ajustan a la

distribucin elegida.

- Si2

cx >2

tx , se rechaza la hiptesis de que los datos se ajustan a la

distribucin elegida, por lo tanto, es necesario probar con otra distribucin

terica.

Ventajas y Limitaciones

a) Es aplicable slo para ajustes a la distribucin normal, puesto que ha sido

desarrollado en base a datos normales e independientes.

b) Es realizada en la funcin densidad de datos agrupados en intervalos de

clases.

c) Requiere un conocimiento a priori de la funcin de distribucin terica

utilizada en el ajuste.

d) En la prctica se usa para cualquier modelo de ajuste, pero estrictamente

es vlido solo para la normal.e) Es de fcil aplicacin


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Ejemplo 2:

Vamos a generar un vector X de 100 variables uniformes independientemente

distribuidas al azar en el intervalo [0, 1].

>> X=rand(100,1);

El parmetro (100, 1) significa que generamos una matriz 1001 de variables

aleatorias uniformes.

Vamos a probar si el vector X proviene de la distribucin U[0,1] usando la prueba

de bondad de ajuste implementada en Matlab:

>> [H,P,STATS]=chi2gof(X,'cdf',@(z)unifcdf(z,0,1),'edges',0:0.2:1)

H =

0

P =

0.8614

STATS =

chi2stat: 1.3000

df: 4

edges: [0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1]

O: [20 18 17 22 23]

E: [20 20 20.0000 20.0000 20.0000]

De acuerdo a los resultados, aceptamos la hiptesis nula H0:X= U[0,1] teniendo

por defecto el nivel de significancia = 0.05 ya que el valor de p = 0.8614 esmayor que . El Parmetro 'cdf' hace uso de @ especificando completamente ac.d.f.

Por ejemplo, para comprobar si los datos provienen deN(3, 5) usaramos:

@(z)normcdf(z,3,5)

o para probar la distribucin de Poisson Poi(=4) se usara:

@(z)poisscdf(z,4)


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Ejemplo 3:

Un estudio del comportamiento del tiempo entre roturas de cierto filamento,

medido en minutos/rotura, se muestra a continuacin:

4.33 1.61 2.16 2.88 0.70 0.44 1.59 2.15 8.59 7.369.97 7.86 5.49 0.98 4.52 2.12 4.44 0.82 6.69 3.04

2.81 14.39 3.44 9.92 4.38 8.04 2.18 6.19 4.48 9.66

4.34 1.76 2.30 5.24 11.65 10.92 12.16 6.60 0.85 4.82

1.36 3.53 6.58 1.45 8.42 3.69 2.44 0.28 1.90 2.89

Haciendo uso de la funcin chi2gof, realice la prueba de chi-cuadradocon un nivel

de significancia del 5% ( = 0.05) para saber si los datos se ajustan a unadistribucin normal.

Planteamos la siguiente hiptesis para la variable X: tiempo entre roturas.

Ho: XN(, 2)Ha: X no es normal

Antes de realizar la prueba, se procede los siguientes clculos:

>> load tiempo.txt>> R=max(tiempo)-min(tiempo)

R =

14.1100

>> K=1+3.3*log10(length(tiempo))

K =

6.6066

>> C=R/7

C =

2.0157

Ahora realizamos la prueba, sabiendo que el valor mximo y mnimos son 14.39

y 0.28 respectivamente con un ancho de clase C = 2.016.


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>> [H,P,STATS]=chi2gof(tiempo,'cdf',@(z)normcdf(z,mu,sig),

'edges', 0.28:2.016:14.4)

H =

0

P =

0.6125

STATS =

chi2stat: 2.6810

df: 4

edges: [0.2800 2.2960 4.3120 6.3280 8.3440 14.3920]

O: [16 9 10 6 9]E: [12.1447 10.4817 11.2082 8.6628 7.5025]

De los resultados observamos que el valor de probabilidad asociado al estadstico

Chi-cuadrado P = 0.6125 > = 0.05, por tanto, se acepta la hiptesis nula Ho. Esdecir, los datos se ajustan a la distribucin normal, con un nivel de significancia

de 5% de probabilidad.

b) Prueba De Kolmogorov-Smirnov (Ks)

La prueba de ajuste de Kolmogorov-Smirnov consiste en comparar las diferencias

existentes entre la probabilidad de los datos agrupados y la probabilidad ajustada,

tomando la distancia ms grande entre el valor observado y la recta del modelo,

vale decir:

mx F(x) P(x) (3)

Donde:

: es el estadstico de Kolmogorov-Smirnov, cuyo valor es igual a ladiferencia mxima existente entre la probabilidad ajustada y la

probabilidad emprica.

F(x) : probabilidad de la distribucin de ajuste.

P(x) : probabilidad de los datos no agrupados, denominado tambin

frecuencia acumulada.

El estadstico tiene una distribucin muestral. Si 0es un valor crtico para unvalor seleccionado, se tiene que:


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0 0P mx F(x) P(x) P( ) (4)

Tambin:

0P( ) 1 (5)

Ventajas y limitaciones

a)

No requiere un conocimiento a priori de la funcin de distribucin terica.

b)

Es aplicable a distribuciones de datos no agrupados, vale decir no se requiere

hacer intervalos de clase.

c)

Es aplicable a cualquier distribucin terica.

d)

Se aplica en la funcin de distribucin acumulada y no en la funcin de

densidad.

e)

Comparndola con la prueba Ji-cuadrado, no requiere que la frecuenciaabsoluta de cada clase, sea igual o mayor que 5.

f)

No es una prueba exacta, sino una prueba aproximada.

Ajuste con Matlab

H = kstest (x)lleva a cabo la prueba de Kolmogorov-Smirnov para comparar

si los valores en el vector de datos X tienen distribucin normal estndar u otra

distribucin.

Ejemplo 5:

Se tiene el comportamiento del tiempo entre roturas de cierto filamento del Ejemplo

3. Realice la prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov, para ver si la

serie se ajusta a una distribucin normal.

Planteamos la siguiente hiptesis:

Ho: XN(, 2)Ha: X no es normal

Haciendo uso de la funcin kstest, realice la prueba de bondad de ajuste de losdatos del ejercicio 3.28.

Previamente debe cargarse el archivo tiempo.txt.

>> load tiempo.txt

>> mu=mean(tiempo);>> sig=std(tiempo);


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>> CDFt=normcdf(tiempo,mu,sig);

A continuacin, realizamos la prueba KS, para lo cual en la ventana de comandos

escribimos:

>> [H,P,KSSTAT,CV]=kstest(tiempo,[tiempo,CDFt],0.05)

H =

0

P =

0.2294

KSSTAT =

0.1438

CV =

0.1884

Aceptamos H0ya que el valor de probabilidad asociado al estadstico KS (p-value)

P = 0.2294 > = 0.05. CV es el valor crtico, de tal manera que se rechaza H0siKSSTAT > CV; en nuestro caso KSSTAT < CV, es decir, los datos distribuyen

normalmente.

Ejemplo 6:

Dada la serie histrica de caudales medios anuales en m3/s, que corresponden a un

registro de 50 aos para el ro Santa (Per).

95,05 108,75 132,49 158,48 193,78

98,13 110,77 134,1 162,29 193,88

100,18 114,31 136,22 164,35 197,58101,66 116,69 144,22 169,18 207,78

101,76 119,52 145,79 169,64 208,18

105,21 123 146,08 177 212,48

105,81 123,22 153,64 182,53 217,52

106,4 124,31 153,97 183,11 239,07

107,43 127,82 154,8 183,49 256,62

107,62 128,15 156,8 184,98 266,54


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Averiguar si los datos se ajustan a una distribucin log-normal de 2 parmetros,

haciendo uso del comando kstest

Creamos el archivo archivo caudal.txt,como se hizo anteriormente y lo cargamos

a travs de:

>> load caudal.txt

>> y=caudal;

Ahora realizamos la prueba KS, para lo cual, en la ventana de comandos

previamente calculamos:

>> ly=log(y);

>> mu=mean(ly);

>> sig=std(ly);>> CDFly=logncdf(y,mu,sig);

Luego,

>> [H,P,KSSTAT,CV]=kstest(y,[y,CDFly],0.05)

H =

0

P =

0.8248

KSSTAT =

0.0858

CV =

0.1884

Para graficar, la distribucin terica F(x) frente a la emperica P(x), realizamos lo

siguiente:

>> m=[1:n]';

>> Px=(m./(n+1)); %Distribucin emprica

>> h=plot(m,Px,m,CDFly,'-+');

>> legend({'P(x)' 'CDFly'},2)

>> title('AJUSTE K-S: LOG-NORMAL 2P')

>> grid on


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Grfico 5.

El valor del estadstico Dt = 0.1884 (Valor critico o Delta tabulado, para un valor

de N = 50 y nivel de significancia 0.05.

Como Dc= 0.0858 < Dt= 0.1884, se acepta la hiptesis nula Ho. Por lo tanto, los

datos se ajustan a la distribucin log normal de 2 parmetros, con un nivel de

significancia del 5%, lo que se puede corroborar con el grafico 4.9.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1AJUSTE K-S: LOG-NORMAL 2P

P(x)

CDFly

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