Rotacin de un Cuerpo Rgido

Captulo 10

Contenido

Velocidad angular y aceleracin angular Cinemtica rotacional Relaciones angulares y lineales Energa rotacional Clculo de los momentos de inercia Teorema de los ejes paralelos Ejemplos de momento de inercia Torque Torque y aceleracin angular Trabajo, potencia y energa

Velocidad Angular y Aceleracin Angular

Rotacin de un cuerpo rgido alrededor de un eje fijo que pasa por O.

El punto P se mueve a lo largo de una circunfrerencia de radio r. El arco s que describe est dado por:

s rsr

==

Donde est medido en radianes.

longitud de arcolongitud de arco

radioradio

3601rad 57,32

=

=

y

xo

Pr

) s

La velocidad angular promedio se define como:

2 1

2 1

= =t t t

La unidad de medida de la velocidad angular es el:

radin/segundo = rad/s

La velocidad angular ser:

positiva si aumenta (antihorario)

negativa si disminuye (horario)

La velocidad angular instantnea se define como: 0

t

d =lim

t dt=

La aceleracin angular promedio se define como:

2 1

2 1

= =t t t

La aceleracin angular instantnea se define como:

Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partcula del cuerpo rgido tiene la misma velocidad angular y la misma aceleracin angular.

2

2 0

t

d d = = =lim

t dt dt

Ejemplo:

1. Una rueda de bicicleta gira a 240 rev/min. Cul es la velocidad angular en rad/s?

rev 1 min 2 rad rad rad240 8 25,1 min 60 s 1 rev s s

= = = 9

2. Si la rueda frena uniformemente hasta el reposo en 5 s, cul es la aceleracin angular?

2

0 25 rad s rad 5 5 s s

f i

f i

= = =

t t

1

9

ti tfi f

Cinemtica Rotacional

0 t= +

Las ecuaciones de la cinemtica lineal, con aceleracin constante, se cumplen para el movimiento rotacional, sustituyendo x por , v por y a por .

( )2 20 0 2 = +

De esta forma se tiene, si = cte.:

20 0

1 t t

2= + +

Ejemplo: La rueda de la bicicleta gira

inicalmente con una velocidad angular de 25 rad/s. Cuntas revoluciones efectuar hasta frenar completamente 5 segundos despus?

20

1 t t

2= +

9

Recuerde que para un movimiento lineal tenamos: 201

2

x = v t + at

Aqu podemos usar la relacin anloga:

1 rev 62,5 rad 10 rev

2 rad= =

( ) ( )22rad 1 rad 25 5 s 5 5 s 62,5 rads 2 s i i= + =

ti tfi f

Relaciones angulares y lineales

La velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular de la siguiente manera:

( )

d rds dv = = rdt dt dt

=

Similarmente para la aceleracin:

( )

d rdv da = = rdt dt dt

=

v = r

a = r

La aceleracin lineal en un punto es: t ra a a= +G G G

La velocidad es siempre tangente a la trayectoria

vG

Pr

x

y

O

vGP

r x

y

O

aGta

G

raG

Energa Cintica Rotacional

Un objeto rgido gira alrededor del eje z con velocidad angular .

212i i i

K m v=

Pero queremos determinar la energa cintica total de rotacin del cuerpo.

x

y

O

viimr i

) La energa cintica para la i-sima partcula de masa mi est dada por:

Para lo cual hacemos lo siguiente:

Energa Cintica Rotacional

( )2 21 2= R i iK m r

x

y

O

im)r i

vi

= R iK K21

2 = R i iK m v

( )2 21 2= R i iK m r

La cantidad entre parntesis de la ecuacin anterior recibe el nombre de: Momento de Inercia, I:

2i iI m r=

I depende de la eleccin del eje.

I depende de la distribucin de masa del C.R.

I es una MF Escalar.

Momento de Inercia

Las dimensiones de I son: L2M1T0, por lo que en el SI sus unidades de medidas son kgm2

Con la definicin dada de momento de inercia, la energa cintica de rotacin se define como:

21 2

=RK I

( )2 21 2= R i iK m r

Energa Cintica Rotacional

La expresin de la energa cintica de rotacin que habamos obtenido era:

Clculo de los Momentos de Inercia

En estricto rigor, la definicin dada anteriormente para calcular el momento de inercia I, corresponde al clculo para una distribucin discreta de partculas.

ir im

x

y

o

Ahora, veremos que para una distribucin continua de partculas, como lo es un slido rgido, debemos considerar el caso lmite.

Clculo de los Momentos de Inercia

ir im

x

y

o

De la definicin dada se tiene: 2i iI = r mEn el lmite cuando: 0m

2

0 i i

mI = r mlim

Como: dm dV= 2I = r dVI r dm= 2

Ejemplo: Momento de Inercia de un Anillo Uniforme, respecto de su eje de simetra.

Imagine que el anillo est dividido en un sinnmero de pequeos segmentos: m1, m2,

2 2CM i i CMI m r I MR= =

Estos segmentos estn equidistantes del eje

ri = R = cte.

Teorema de los ejes paralelos

El teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner establece que el momento de inercia alrededor de cualquier eje que es paralelo y que se encuentra a una distancia D del eje que pasa por el centro de masa es:

2CMI = I MD+

CM

D

Ejemplos de momento de inercia

Aro o cascarncilndrico 2CMI = MR

Cilindro slido o disco Cilindro hueco

Barra delgada larga con eje de rotacin que pasa por el centro.

Cascarn esfricoEsfera slida

Barra delgada larga con eje de rotacin que pasa por un extremo.

Placa rectangular

2CM

12

I MR= ( )2 2C M 1 212I M R + R=

( )2 2CM 112I M a + b=

2C M

112

I M L=

213

I M L= 2C M

25

I M R= 2CM

23

I MR=

Torque Considere la fuerza requerida

para abrir una puerta. Es ms fcil de abrir la

puerta empujando/tirando lejos de la bisagra o cerca de la bisagra?

cerca de la bisagra

lejos de la bisagra

Mientras Mientras mms lejoss lejos de de la bisagra, la bisagra, mayormayor es es el el efecto rotacionalefecto rotacional !!!!

Concepto FConcepto Fsico: sico: TorqueTorque

TorqueCuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rgido que puede girar alrededor de un eje, el cuerpo tiende a rotar en torno a ese eje.

= rFsin = Fd

dFG

Bisagra

F

F paralelo

F perp

d

r

El mdulo del torque de una fuerza se define como:G

F

Torque (o momento de torsin) mide el efecto rotacin de una fuerza sobre un cuerpo.

G

Brazo de una Fuerza:

Es la distancia perpendicular, d, entre el eje de rotacin y la lnea de accin de la fuerza

Una Mirada Alternativa al Torque

La fuerza, tambin, puede ser descompuesta en sus componentes x -e- y

La componente x, F cos , produce un torque 0 Nm

La componente y, F sen , produce un torque no-cero

Una Mirada Alternativa al Torque

El mdulo de ste torque es:

sen = F r

F es el mdulo de la fuerza que produce el torque.

r es el mdulo del vector de posicin del punto de aplicacin de la fuerza con respecto al eje de rotacin.

es el ngulo formado por el vector fuerza y el vector posicin, definidos arriba.

Concepto Vectorial de Torque.

rGFG

r F = GGG

z

G

P.

Concepto Vectorial de Torque.

r F = GGG

rGFG

z

G

P

Mdulo: = r F senDireccin: Plano (r , F) GGG

Y se puede obtener por la Regla de la Mano Derecha.

.

Y depende en forma directamente proporcional: del mdulo de la fuerza, del mdulo del vector posicin del punto de aplicacin de la fuerza y del seno del ngulo formado por ambos vectores.

Observaciones respecto del vector Torque:

La fuerza es aplicada en el punto P, punto del cuerpo que posee vector posicin , respecto del origen del eje de rotacin.

rGFG

De la definicin dada se deduce que el torque : GEs una magnitud fsica vectorial.

Tiene dimensiones de: L2M1T-2, por lo que en el SI sus unidades de medidas son kgm2/s2 = Nm

La direccin del vector torque es perpendicular al plano formado por el vector posicin del punto de aplicacin de la fuerza y la fuerza misma.

La direccin del vector torque, en la figura, es hacia la parte positiva del eje z; la rotacin es en el sentido antihorario.

Observaciones respecto del vector Torque:

Si la fuerza tuviese la direccin opuesta, el vector torque apuntara hacia la parte negativa del eje z, rotacin en sentido horario.

Y una de las formas de obtener esta direccin es mediante la Regla de la Mano derecha

1FG

2FG

d1

d2o

, = G Gneto ext ii

El torque neto, por definicin, es:

La fuerza tiende a hacer girar el cuerpo en sentido anti-horario y en sentido horario, luego:

1FG

2FG

Torque neto o resultante.

1 2 G G Gneto = +

Para el caso de la figura:

1 1 2 2 + neto = F d F d

Ejemplo 1: Balancn

Dados:

pesos: P1 = 500 NP2 = 800 N

brazos: d1 = 4 md2 = 2 m

Encuentre:

= ?

1. Dibuje las fuerzas aplicadas sobre el balancn.

1 2 = + G G G 2. Considere la rotacin horaria como positiva (???)

Por definicin:

9Rotacin ser anti-horaria

d1 d2

NG

B1FG

B2FG

400 = N m

500 4 800 2 = ( N)( m) + (+)( N)( m) 2000 1600 = N m + N m

Si el torque neto sobre un cuerpo es igual a cero, entoncesel cuerpo est en reposo de rotacin o rota con velocidad angular constante.

Segunda Condicin de Equlibrio.

Esta ley es la que se conoce como la Segunda Condicin de Equilibrio. Es la ley que asegura el equilibrio de rotacin de un cuerpo rgido.

Su expresin matemtica es:

Si: n 0 =GG

rad 0 s

c te.

= = GG

Torque y Aceleracin Angular

El torque neto que acta sobre la partcula es directamente proporcional a su aceleracin angular.

rF

tFm

r

a) Una partcula de masa m gira alrededor de una circunferencia de radio r, el torque neto alrededor del centro de la circunferencia, por definicin, es:

( ) ( ) ( )2 = neto t ma r = m r r = mrn e t o I= GG

=neto t F rY aplicando la Seguna Ley de Newton:

El torque total es la integral de esta diferencial:

( )2 2

= ==

G

neto

neto

r dm r dm

I k

Ox

y

dmr itdF

( ) =t tdF dm a

b) Para un cuerpo rgido, el elemento dm tendr una aceleracin tangencial at . Entonces, por Segunda Ley de Newton:

Como: at = r , la expresin para el torque d , por definicin, queda:

( ) 2 = = = t td rdF r a dm r dm

n e t o I= GG

Ejemplo:

Considere una ruedavolante (polea cilndrica) de masa M = 5,0 kg y un radio R = 0,20 m, con un bloque de peso P = 9,8 N colgando de una cuerda arrollada alrededor de la ruedavolante.

Encuentre la magnitud de la aceleracin del bloque.

m

M

Ejemplo:

Dados:

M = 5,0 kgR = 0,20 mP = 9,8 N

Encuentre:

a = ?

1. Dibuje todas las fuerzas aplicadas

z T R I I T R

= =

=

Fuerzas: Torques:

F mg T my = a

se necesita T !

=

NG

MgG

mgG

TGT 'G

aG 2

PP mg mg

9,8 Nm m 1,0 kg9,8 ms

= =

= =

Por definicin de peso se tiene:

Aplicando la S.L.N. para la traslacin y la ley de la rotacin, se tiene:

y

0

Ejemplo:

La aceleracin tangencial al borde de la ruedavolante es:

2 tt

1 1 1T MR T M2 R R 2

a a = =

tt R R

aa = =

Reemplazando, las expresiones de I y en la ecuacin de T, se tiene:

2 21I M R 0 ,102

= I = kg m

Momento de inercia de un cilindro respecto de su CM:

Ejemplo:

9

1mg T m mg M m2

a a a = =

Reemplazando la ltima expresin de T en la ecuacin de fuerzas, con at = a, se tiene:

2m g M 2m

a = +

2

m 2, 8 s

a =

2 mg M 2 m (M 2m) 2 mga a a = + =

2

2 1, 0 kg m 9, 8 5, 0 kg 2 1, 0 kg s

a = +

Trabajo y Potencia.

( ) cos(90 )= = G Gi dW F ds F rd

La rapidez a la cual se hace trabajo o potencia es:

= = dW dPdt dt

( ) sin = dW F r d

El trabajo hecho por una fuerza al girar un cuerpo rgido es:FG

O

dsG

FG

d r P

=dW d

= GGiP

Trabajo y Energa Cintica.

Es fcil mostrar que el trabajo del torque neto es:

( ) n nW d I d = = G

2 2f i

1 1( ) 2 2n

W I I = G

Es decir, el trabajo del torque neto, sobre un cuerpo rgido, es igual al cambio de energa cintica de rotacin, del mismo.

f

i( ) n

dW I dt I dd t = = G

( )W K n R = G

Comparacin de las ecuaciones del movimiento de rotacin y de traslacinMovimiento Rotacional alrededor de un eje fijo Movimiento lineal

Velocidad angular : dd t = Velocidad lineal: d xv

d t=

Aceleracin angular: dd t = Aceleracin lineal: d va

d t=

Torque resultante: I = Fuerza resultante: F M a = Leyes cinemtica: co n sta n te = 0 + t =

20 012

t + t = ( )2 20 02+ =

Leyes cinemtica: co n sta n tea = 0v v + a t=

20 012

x x v t + a t =

( )2 20 02v v + a x x= Trabajo: W d = Trabajo: xW F d x= Energa rotacional: 21

2K I = Energa traslacional: 21

2K m v=

Potencia: P = Potencia: P F v= Momento angular: L I = Momentum lineal: p m v=

Torque resultante: d Ld t

= Fuerza resultante: d pFd t

=

vG

rG

G

m

Velocidad Angular y Velocidad Lineal son vectores:

v r= G G G

vGG

G

Las aceleraciones son vectores.

TaG

RaG

T ra = G G G R va = G G G

rG

Rotacin de un Cuerpo RgidoContenidoVelocidad Angular y Aceleracin AngularCinemtica RotacionalRelaciones angulares y linealesTeorema de los ejes paralelosEjemplos de momento de inerciaTorqueTorque y Aceleracin AngularTrabajo y Potencia.Trabajo y Energa Cintica.Comparacin de las ecuaciones del movimiento de rotacin y de traslacin