Cap_12_dinamica de Mivimiento de Rotacion -II-ejercicios Resueltos-resnick Halliday
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-319-
DINAMICA DEL MOVIMIENTO
DE RO T ACION-II •
y LA CONSERVAaON DE LA CANTIDAD
DE MOVIMIENTO ANGULAR.
CAPITULO 13
PROBLEMAS
1.- Un tro~po esti girendo e 30 rev/.eg el rededor de un eje que
for~4 un ingulo de 30 0 con la
kg y su mo.ento de inercia ee
vertic.l . Su •••• e. de 0.50
-" de 5.0 x 10 kg-a. El cen
tro de ma •• se encuentra a 4.0 cm de la punta del pivote.
Si la r otaci6n e. en el sen tid o de la ••• necil la . del relo j
vista desde arriba, ¿cual se r ! la •• gnitud y di recci6n de
l. velocid.d .ngula r de precesi6n?
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-320-
~: w : 30 re v /seg • 60 radianel/seg.
m z O.5kg. -o
5 1< 10
r 4C!J\~4
Soluci6n;
.. •
Sabemos que la magnitud de l a veloc i d ad a ngular d e p r ~ci
ai6n (w ) es: p
(ver Ha lliday , ca? ltulo 13 ejemplo 5).
W ; (lI\gr)/L p
---- --- (1) pero para un cu e rpo rJgido sabe
mo, q", L • , .. = 0.5 • ,. , • o • 1 0- 2 ,. , red/seg . • • • • p ,. 10- 4
5 • • 60
su dirección lerA perpend i cular al plano en el cual gira el
trompo.
Rp td: [Wp
'" 2. 1 rad /seg.
4._ (a) Su poniendo que el electr6n se mueve en una 6rbita c ircu
l~r alrededor del prot6n en un Atomo de hidr6geno, si la
fuer z a centripeta sobre e l elect r 6n es producida por una
fuerta alictrica e2 / 4nC Or2 , sie nd o e la magnitud de la c a r
ga de un elect r ón y de un protón , r el radi o de la órbita.
y [o una constante . demostrar que el radio de la órhita es
" ~lI[ Omv
, si e ndo m la ma, a del electrón y v s u velo c idad.
(b) Supónga se a hora que l a c antidad de movimiento angular
del electrón alrededor del núc leo puede tener solamente va ·
lores que sean múltipl os ent e ro s n d e h/ 2= . siendo huna
constante que se ll am a co n stante de Planc k . Demostrar qu e
la s Gnicas órbi ta s elect r ó n icas pos ibles son aquella s de
rlldi o
" • """,,"~h"c-_ 211 mv
(e) Combinar estos resultados para e liminar a v y demostrar
que las Gni eas 6rbitas para la s cuales se cump len ambos re ·
quisjtos son l a s que t i enen radi os
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- 32 1-
, . 0 2C: Oh 2
~ ' .. Po r con sig ui e nte l os radio s peraiti d os s on pro p o~c ion.le s a
lo s cuad r ad os de l o s oúaeros en te r o s n ~ 1 , 2, 3 , et c.
Cu a odo o : 1, r t ien e el ~al~r m5 ~ ?e~U I~ n po ~ibl e qU I es
d e 0.528 x 1 0- 1 0 m.
So l uci6n : ( a) La f ue r za c e o t rIpeta qu e ha cI e l e l e c t r 6n de s
c ribir uoa 6r b i ta de r adi o r , alred e do r dl l pr o t6 n . s :
•• , pero re
•• --- (l )
I g ua lando las .cuacion •• (1) y
(2) : , , r ... /("'II[ omv )
(b) Sa beao. que L z 01'1/2'11
(dato) --- - - (3)
y que L .. r :x p
L .. rpeen 90 0 z r p R ray
r .. (oh )/( 21 aY)
( . )
(c) Eliai nando y de l • • e xp rl. ione a de r ob tenid as e n (. )
y (b) tendrell os:
" , r .. n t. Oh 1<" ae )
6.- En 1913, Miel, Bohr p l .ote6 el po.t~la d o d e q~' un ,is t ea a
aecAnico c ualquiera an rotaci6o con un aoaent o de inercia
1, .olaaante puede tener valores de cantidad de aovialen t o
.ngular que .ean .últi plo s entero s d, u n cierto oúaero -,. 1'1 z 1 .05" x 1 0 joule -aeg. (tste nú.ero es 1 /2W de l.
conatante de Pl.nck h.) [o ot ra s pa labra s ,
L " Iw " nh,
s i e nd o n un número entero positivo cualq ui era o bien cero.
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-]22-
Oee imn~ que L est! eua n ti~ado. puesto que ya no puede tener
v~lo r es c ua l e squi era. (a) Demo s trar que este postulado r e!
tringe la energía cinéti c a qu e pueda t ener e l sisteaa en ro
ta c i6n a una se rie de val ore s di scr e t~s . esto es , que la e
ncogIa est! c', an t f7. "d", (b) Co nsidére se el ll~ .. ad o rod ad o l·
rígido , c onsi st ente en una .. a s a m o blig ada 11 girar en un
c i r c ulo de radio r. ,Co n qué ve l oci dad es a ngu l ar es podría
g i rar la _asa s i e l po s tu l a d o fu era cor r e c t o ? ¿Qu é valor e s
de energI a cinética po drI II adqui r irlo
Solud6n:
(a) tn efecto
La energ I a es :
siL=lvE , 1: '" I v 12
oh
:s 011 .. /2
lo que de.uest r a q ue la e ne ri l a de rot a ci6n es un múl ti pl o
entero ( positivo o cero) de (h./ 2) o sea que la e ne r gt a es
t! c\lan ti~a d a .
(b) Sabe.os que L '" I v --- - --- - -- -- (1 )
el .. o~e nto de inerci a serl 1 : .R 2
L • 2
a R w, per o L z ab. de do nd e: ,
v " nh / .. R
l a s v~!locidades angulares que puede tomar 50'1:
2 h /Id ;
La e n ergIa c inéti c a es
La energla es
2 1 w 12 '" h( w)
-- - ---- (2)
, '" "2 oh(
los valor e s que puede to~ar la energla cinlt i ca s erln los
que se obtengan de reea plazar lo s valore s de n '" 1, 2 , 3, -
en la ecuaci6n (2).
1 3 . En un parque de j uego s hay un pequeno carrousel de I¡ pie s
de radio y .. asa 1 2 sluI. tI radio de g iro .s de 3 pi e s.
Un mu c hacho de a a s a t r e a s lugs corre co n velo c i4ad de 10 , pies/seg. tan, ent e a l borde del c arrou sel cua ndo . st e se
e ncue nt r a en r ep08 o , y salta a él. No tomando en cuenta la
fricci6n , cal cul e l a velocidad angular del carrousel y del
rauch e cho.
R = ~ p ies (radi o del c a r r ous el).
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k r J pie s (r~dio de giro)
" " 12 s1ug (~~sa del carrousel l
B " J slug (masa del aucha cho)
y z 10 pies/seg (ve l ocid a d del lII uc hachol •
Soluci6 n :
!.~ c~nt idad de movi.iento .::ngul~r d'!'l si.t .... se co"nserv~ra
porque no .xiste torque externo sobre .1 . ist •• ~ .
c~n t . de BOV anaular ini c ial : e. de .. ay an¡ula r fí n. l.
pero 1 : "k2
y vI : RW. luelo reeMpl~~ ~ ndo en ( 1) :
2 2 .VR " IIIR w t " k w,
Ro. • • -",r'''--,-- '' O.?? r.d /ae a · aR t Mk
2
Rpta : Iw" O.?? r adIa., .
1~. L. integr~l di tiempo de un ao •• nto de ' rotaei6 n s e ll~ a. ¡a
pulso angular. ' A p~ rtir de f z d!./dt . de aos tr~ r q ue el i a
pul so angular reS\llt~nte IS ¡¡u.l al ca.abi o da 1i1 c a nt idad
Esta ecuaci6p es la ~n'l o¡ a rotaci~
nal del taore .. ~ d . l a cantid~ d d. ao via iento -i"pulso li -
n.al.
Soluci6n:
Sabe mo s que T • dL/dt.
Intagrando tandra.o. :
o d I. K Td t
19 . Una rueda a.tl airando con una v.loeid~d an,u l ar de 500
rey/min e n un Irbol cuyo IIIOlllento da ine r cia •• i n.ilnifi e~~
ta. Una segunda rueda idint ica a l~ pr iaera, y que in i cia!
•• nt . esta a n rapoao , repen tina.en te se .eopla a l aisao Ar
bol. iC ul1 aa l a velocidad an¡ular de l~ eoabi n.eión que
result a al acopla r el ¡rbol y la. do. rued • • ?
Soluci6n:
Por el principio d e eon •• rvaeió n de la ea nt idad da .ovi.i.~
to angular tena.oa :
c . de B . a n¡u la r iniei~l r c. de aovo anau l. r f in.l .
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1 w r (r t 1 )w, .1 o a o pero la r lb (porque las ruedas son
guales.)
Lu e ao : 1 w ; 2 J w. w : w /2 ~ SOO/2 : 'SO rey/seg. a o a o
• Rpta : Iw r 2S0 rev/seg. 1
22. Un bo.~re esti de ~ie e n una pla tafur~a gir8t ória sin ro~a
miento, que es t ! gi ra ndo con uua ~ el oc i d a d d e 1 .0 ~ev/seg ¡
sus b r. ~os eltA ft el t i r ado l y .ostiene una pesa en cada mano·
Con sus &anos I~ ea ta posi c i6n, _1 Momento d. ine r c ia total , del nOMbre y d e la pla t a f o'r_a e s d e 6.0 ka - M S i al a cer-
cal' la. pe sa.
i nercia a 2.0
e l hoabr. disaiRuy e _1 _OMento d_
Lc u' l .s la velocidad a ngul.r re -
s ultante de la pla t a f or.a ?
c inética1
SoludOn:
(a ) c de DOY ang ula D inicial ~ c. de
d e donde w E 1 w /1 • o
(O) " i n" r ._.nto d. _
nera
1•
c inltics
.1
'0'
1 1 , 1
1 , 1 , 0' • , • - , • • , • o o
• 23' jou l as no t o que:
• • 3 • , increMe nt o
reali~. • 1
Rpta :
rad /·_a· • • 1 • o
d. enerila c 1nllti ca
hO/llbre '0 encijer
(a) W E 3 rey/ses .
(h) X • 23 1 joule s
" •
" .. lo.
al . a ni. f inal .
: 6 • 1 /2 • 3 r ev lseg
. er6 ;
2 If) 2 1 (21) 2 - , • 6 •
rad/ees·
i ¡ual q" .1 trabajo
bra~o • 000 , .. pesas.
2~. Una cu"ara ch. , de •••• • , cor re e n sentid o contrar i o a l a s
lIIanecill as del re l oj poi: el borde de \Xl platillo gir atorio ncntado
sobre u n eje vertical de r'd io R y ~o~ento de iQerci a 1 s~
br e apoyos .in roz •• iento. La velocidad d e la cucaracha
(con re laci6n a la Tier r a) e. v , ~ientras que el platillo
gira en el sentido de l as ~ane"ill.e del reloj con una vel~
cidad an¡ular wo ' La cuca racha encue ntra una _igaja de pan
en el borde y , por supu~sto, se d6tiene. ¿C uál es l a vel o-
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cid~d ~ngu la r del platillo despui s de q ue se detiene la cu
caracha? ¿Se conserva la energía?
Solyc i6n :
c. de ~. angular inicial ~ c. de ~ . angular fina!
Ivo
- mil"" Iv t mll 2v __ _______ (1)
.11.211 .... om.nto de ine r cia d e la cucara ch. en reposo . "
Iv III Rv de donde : w • o
~a enerata no se co ns erva porque la c ucara cha ti ene q ue ha
c. r trabajo para ca min a r.
Rpta' v '" ( Iv o no se cons erva.
25, Una part1cula s e dispara hori:tontalment. a lo largo del in
terior de u n cazo simies firi co de r ad io 1" que est! en re po-
so (fig, 13-17 ). Quer.lllos enc~
trar la veloc ida d inicial Vo
que
se requie~e par. que la part1cu
la llegue apenas al bo rde del ca
zo. ~ncontrar a v co.o fun ci6n o
d. g l a posi ci6n angular inicial o
de la partlcula. (Suge rencia: U
tilizar pri ncip ios d. co nservaci6n).
Soluc i 6n: ~a partIcu la se dispara
inicialmente del punto que se .ue~
t r a en la fig . ~a partl c ula al 119
gar al borde te ndr! energta pote n
cial y ciné t ica de r o t aci6n 1 es d.
clr:
1 2 2' IIV
O "
1 2 2 IIIgh t '2 (!!IV R ). pe r o
h: I! s e n (90" gO):RcosgO
mv' ~ r o 1 22
mgR co~ ~ t 2 IIV R --.--- (1)
CO IIO la ca n tidad de movim i e nt o angul a r se conserva' ten d re -
IIOS:
------ (2)
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¡;n ('1):
- ] 26-
d-Rs e n 9°
mv Rsen9° o
, ; mR "', de d onde
w ; (v se n 9")/R o
R~empl ll zanüo este va l or " lo eeu ación
1 , • .,R '0 1 , ., •• '"' • ., • • o o
1 v '1 ( 1 , 1 , , ., sen 1iI ") • ., • cos liI • ¡Rcos
o o
• • V (2gR) Icos 'o o
Rpta: • • [ ( '1gR) Icos ,,31/2
o
•
(1) t en e",os;
sen '1 9"
'0. ., donde:
26. Un disco p l a no uniforme de _as a " y radio R gira alr ed edor
de un eje horizontal que pa.a por su centro e on una veloci -
dad angular " o (. ) ¿Cull es su en e rgIa ciniti ca? , Cuil ee
su c antidad de movimiento an gular? (b) Una astilla de ma sa
• se desprende del borde del disco en un instante tal que
l a as tilla se eleva verticalmente so bre el punto en do nde
se rompió (rig. 13- 1 8 ) .
¿A qué al t u ra so bre el pu!!.
to su be a ntes de comenzar
a c aer?
(e) ¿Cu i l es la velocidad
angular final de l di sco ro
t o ? ,Cu i l es la energla
la ca ntidad de mov imi e nt o
angula r finalas?
SoluciÓn:
y
(a) La energla ci né tica ser':
1 K ; '2 1 ,.. 2 =
o o ! ( ,
_reo w
o
H
La cantidad de movimient o angular es:
L ; 1.. '::: 1 MR '1 w o o o 2 °
m; ---
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(b) loa astilla al d e sprend e r s e de l !>arde s a le c o n 13 I:liS llla
velocidad qu e t i ene e l disco en ese in s t ant e, o se a :
V 2 " R • o o
La 31tur3 máxima que dlc a nza ra l a astil la serJ : , •• o
2gh , pe r o vf
'" O, lu e go:
2 2 : ("ol! )/2g
(c) Por consid e ra ciones energé t ic a s t e nd r elllos:
Ko '" K1
t Ua
-------- (1)
donde , o
, 2 2 :.. - ( I'I I! " ) , o • es l a e n e rg la ci nética in i cial d e l
disco. , , U ~ mgh '" (m"ol! )/2, es la e n e r gta pot e ncial de la as t illa , "1 s (J
1"1)/2, es la ene r gta cin~ t ic .. del disco despuis qu e
------ (2)
La astílla se puede considera r conoo una particula q u e gira
aLreded o r de O en el moment o en que se desprende , su moaen
to de ine r cia sera :
J '" mR 2 •
Reelllplazando valores en ( 2) obtenelllos:
, , 2 - .R
K1
'" (R2,,~/2)( M /2 - 111 )
y
Reemplazando valores en (1) tenelllos:
, '2 - MR w , 2 •
, • 2 de donde w ~
La c antidad de lIIovilliento angular final s erá:
'" 1 " , , _ III)R 2" o
'" IR2,,: /2 (1'1/2 - .)
•• o
26. En una gran vi a c ircu la r hor'¡'¡¿ontal sin· rozamiento, ce ra-
dio R, estin do= pequena! ~~s~s m y "'. ·o~ libert ad -a
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-328-
resbalar sobre la v1a. Entre las dos masas se encuentra a-
pret~d o un resorte, el c ual, sin e~bargo, no .st! fij o a m
ni a H Las dos ma s as se sostienen un idas por medi o de un
hi l o . ( a) 5 1 se rompe el hjlo , el resorte comprimido (que
se supo ne que no tiene masa) dispa r a l a s dos mas as en sen t i
do s opu e stoa; el resorte mismo se qu ed a a trAs o
c ho can c uand o s e vuelven a
en contrar en la via (fig. 13-19).
¿En d6nde ocurre el choq ue? (Us
ted podr! enc o ntrar c onvenient e
e~presar la respuesta en funci6n
d.l Angula que describe m ó " J. (b) Si la energla potencial que
.staba inicialmente almacenada
e n el reeorte era U , ¿c ulnt o o
tiemp o transcurre desde que se
r ompe el hilo hasta que ocurr e
Llls bollls
e l choque? ( e ) Suponiendo que el c hoqu e sea perfectamente
ellstico, ¿en d6 nde vo lverán 11 chocar las bolas después del
choque?
Solución:
(a) Apli c and o el principio de conse r vación de la can t idad
de moy o angular:
c anto de m. angul a r inicial = cant de mov. angular final.
-- ----- - (1 )
de la ecuación ( 1 ) te ndremos:
", ",
, • ..1. "
, K - - - --- (2) •
son las v elocidades t an genci a l e s de las part lc ula s
de que el r esorte s e rompe . S i el ¡ngulo que r ec~
rre m es i, el que recorre la masa H será 2~ _ i, esto es
l o qu e recorre cada uno antes de choc ar. El tiempo que
tardan en recorrer dichas lIIa sa s sus res pectivO; ¡n gulas s e
rA el mislllO , según esto:
, .,
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-)29-
• , ", • • -'-::0
211 g de dond e ;
de las ecu a ciones ( 2 ) y (3) o Ltene ~~s : • '¡' M
g ~ ~ radiane s o
(b) El tiu.po que tarda en ocu rri r , 1 ch oque despué s d e qu e
el resorte se r omp e es:
• , ",
. .. ~ 0"'" u
1
e e uaei6n en la c ual c onoc em os g y ~o
( . )
Ca lculemos el valor d e u1
, apliea r .~os e l pr in c ipi o de con
se rva c i 6n de la en e rgla.
, , '" 2 111 U 1 (5)
ne las eeuacion e. (2 ) y (5) obtene mos:
", 20 ,
o .. (M t 111) " . 2
r--j 20 _
H U I ~ m)
aeemplazand o val ores en (4) obtenemo.:
, j2U oK(M
m+ 111) J 2U( Mt ml
o
(e) Si 111 recorre un I ng u10 B . desd •• u pos i ei6n de l primer
ch oq ue , K re eo rrer a un angula 2 - 8 la lII a s a
una nu e va velocidad angular ~ 1 y se pue de ob t en e r
v1
• v1 /R '" BIt
" d.
tendrl
de donde el áng ul o pedid o ser! _.-_ . (1 )
en di cha ecu a ci6n se de seo no een t y v 1
t 1 tje .po t que demora las lIla sas de sde su primer ehoq ue al
segund o s erA :
, " R • _ ______ (8)
do nde v1
y v ] so n lo~ m6dulos de la s vel~cidade s después
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- 330--
d~: ~ ri me r c h oq u~ y se pu eden ¡ ¡ ~l lar de :
( • M
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" , • • , " • " , • " • • M , • • " • " • 1. u1 (9' --- - -
" • • '" lo e c u ,¡ c i611 " , " r ee mpl a t ol r ,s n , .. v a l o r es d. " , " d, lo e c uol c i 6n ( ó) .
Re e mph t <ln do ,., v a lores o bt en i d o s , m , .. e c ua c i on e s ( 8) , ( 9) e n (1) s e pu. d e en contr ar e ~ va l o r del Ang ulo pedi do.
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