Captulo 14

GRAVITACIN

2Contenidos:Ley de Gravitacin Universal de Newton.

Aceleracin en cada libre y fuerza de gravedad.

Leyes de Kepler.

La ley de Gravedad y el movimiento de los planetas.

El campo gravitacional.

Energa Potencial Gravitacional.

rm2

m1

p a

Dos cuerpos aislados

12r

12FG

Desde la antigedad se ha intentado explicar el comportamiento dinmico de los planetas y satlites: sus trayectorias, las causas de su movimiento..

En un comienzo la carencia de datos experimentales, la falencia de mtodos de trabajo cientfico, as como la ignorancia en torno a los mecanismos que explican los mas sencillos fenmenos, condujo a teoras sustentadas en la creencia, ms que en los hechos reales.

Surgi as, cosa natural si pensamos como lgico, un sistema de referencia asociado a la tierra, la teora geocntrica, en donde la tierra es el centro en torno al cual se mueven tanto los planetas como las estrellas, sol incluido.

En los siglos XVI y XVII se recopilaron ms datos y surgieron metodologas de trabajo que se aproximaron a la cientfica.

Newton recogi toda esa experiencia y la sintetizen la llamada ley de gravitacin universal, expresin que explica el origen la fuerza de atraccin entre cuerpos.

Uno de los precursores en el uso de instrumentos para, en funcin de esos resultados, postular una teora que explicase un fenmeno fue Galileo. Posteriormente Brahe, Coprnico y Kepler dieron la base para instaurar, definitivamente, la teora heliocntrica para el movimiento de los planetas en nuestro sistema solar.

En el universo, toda partcula atrae a otra partcula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

1 21 2 1 22

1 2

m m F G rr

= G

G = 6,672x10 - 11 Nm2/kg2

Formulacin de la ley de gravitacin:

rm2

m1

p a

Dos cuerpos aislados

12r

12FG

1.- La fuerza gravitacional es un vector, es una fuerza atractiva y cumple con la tercera ley de Newton.

El signo menos seala la direccin de la fuerza: opuesta a la del vector unitario de posicin.

Tambin, indica que es atractiva: la fuerza se dirige hacia el cuerpo 2, hacia el cuerpo con el cual est interactuando.

1 212 122

12

m m F G rr

= G

2 121 21 122

21

m m F G r Fr

= = G G

Observaciones:

2.- La fuerza gravitacional ejercida entre cuerpos con distribucin de masa esfrica es como si la masa de los cuerpos estuviese concentrada en el CM de ellos. O sea, r12 es la distancia entre los CM.

r12

r12

3.-Peso de un cuerpo:

El peso de un cuerpo (de masa m), respecto de un planeta (masa M), ubicado a una distancia r del planeta, es la fuerza con que ese planeta atrae a dicho objeto:

G 2

M mp e so F Gr

= =

G 2

MF m G r

= GF m g=

4.- Campo Gravitacional.

G 2MF G m r

=

2Mg G rr

= G

5.- Si existen varios cuerpos, la fuerza resultante sobre uno de ellos es la suma vectorial de toda las fuerzas que actan sobre el cuerpo de inters.

GFg m

=G

G

EjemploEjemplo::

Pregunta: Calcule la atraccin gravitacional entre dos estudiantes, de 70 kg y 90 kg, alejados 1.0 m el uno del otro.

Extremadamente dbil !!!

Compare: con la fuerza con que la tierra atrae al estudiante de 70 kg.

11 71 22 2

70 90 6 67 10 4 2 101 0

= = = immF G F . F . Nr ( . )

70 9 8 686 NF mg F . F= = =

Aplicaciones de la Gravitacin Universal1: Aceleracin de gravedad

g vara con la altura

2 TMg G

r= 2T

T

Mg G( R h )

= +

2 2T TM m GMF G m mgr r

= = =

Primera ley de Kepler:Todos los planetas se mueven en rbitas elpticas, con el sol en uno de sus focos.

F1F2c

b

aa2 = b2 + c2

e = c / a

Leyes de Kepler.

La rbita de todos los planetas, excepto Mercurio y Plutn, son casi circunferenciales.

Segunda ley de Kepler:

El radio vector trazado desde el sol hasta un planeta barre reas iguales en tiempos iguales.

dA

Demostracin de que un planeta se mueve en una trayectoria plana:

L c te =G G

El vector posicin y el vector velocidad deben estar siempre en un mismo plano, luego la trayectoria es plana.

extdLPor se tiene: ley dt

=GG

rad 0 Nm = =

Por : r F definicin = GGG

r F sen y como: F Fr = = G

dArdr

dA

m

Por definicin de L, se tiene:

P PL r p L r M v L M r v cte.= = = =G G G GG G G GG G

De la figura anterior, se tiene:

1 1 1dA r dr r vdt r v dt2 2 2

= = = G G G GG G

Y de la definicin de L, se tiene:

P

dA L= = cte.dt 2 M

Area descrita por m.

Tercera ley de Kepler:

El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta alrededor del sol es proporcional al cubo del semieje mayor de la rbita elptica.

a

T

ra

Como la fuerza gravitacional del Sol sobre la Tierra es una fuerza radial o centrpeta, aplicando la Segunda Ley de Newton, se tiene:

G P cF m a y por Ley de Gravitacin Universal de Newton:=2

S PP2

M m v 2 rG m y como: v se tiene:r r T

= =

2 2S

2

M 4 rG o sea:r T

=

2 2 19

S3 3T s 2,97 10 K r m

= =

2 2

3S

T 4 cte.r GM

= =

Observaciones:

1.- La ley de los periodos es vlida para planetas y satlites.

2.- Planetas:

Planeta a T T2/a3

10 10 m aos 10 -19 s2/m3

Mercurio 5,79 0,241 2,97

Venus 10,8 0,615 2,99

Tierra 15,0 1 2,97

Marte 22,8 1,88 2,98

Jpiter 77,8 11,9 2,97

Diferencia de Energa Potencial Gravitacional

r

m

M

Bm

m

A

M

rA

rB

Diferencia de Energa Potencial Gravitacional

El trabajo realizado por la fuerza FG, que es una fuerza conservativa, para llevar a m desde el punto A al punto B es:

AB G B AW (F ) (U U )= G

Y se puede demostrar que este trabajo es:

B AB A

1 1U U G M m r r =

B A AB Go sea: U U W (F ) = G

Diferencia de Energa Potencial Gravitacional

Para hablar de la U en un punto, se debe escoger un punto de referencia arbitrario y a ese punto darle, en forma arbitraria, un valor de U cualquiera.

El valor ms usual es: U = 0 J

Para cuerpos esfricos es usual ubicar el punto inicial A en el infinito y sacando el subndice B se tiene:

M mU G r

= Que se puede generalizar como:

1 2m mU G r

=

Energa Potencial Gravitacional

Observaciones:

1.- Rapidez de escape2.- Sistema de N partculas.

1.- Rapidez de escape: es la rapidez mnima que debe tener un cuerpo, ubicado en la superficie de un planeta, para escapar de la influencia del campo gravitacional del planeta.Como la energa mecnica de un cuerpo es: E = K + U

Entonces, para el campo gravitacional se tiene:

21 MmE mv G cte. o sea:2 r

= =

2 2e f

m x

1 M m 1 M m m v G m v G 2 R 2 r

=

Y como: Uf = 0 J si rmx tiende a infinito y adems, para la altura mxima se tiene vf = 0 m/s, entonces:

2e

1 Mm mv G es decir:2 R

=

Y para la Tierra, se tiene:

3e

mv 11,2 10 s

=

eG Mv 2

R=

29

Consideraciones de Energa en el movimiento de planetas y satlites.

De la definicin de energa mecnica tenemos:

21 MmE mv G ... (1)2 r

=

Y aplicando la S.L.N. y la L.G.U. al cuerpo de masa m, se tiene:

G cF m a = 2

2

M m vG m r r

=

Multiplicando ambos miembros de la ecuacin por r / 2 se tiene:

30

21 1 M m m v G 2 2 r

=

Y reemplazando esta expresin de la E.C. en la ec. (1) se tiene:

MmE G 2 r

=

a) Para rbitas circunferenciales:

MmE G 2 a

=

b) Para rbitas elpticas:

m1

m2

m3

r12

r31

r23

2.- Sistema de N partculas.

Cuando dos partculas estn en reposo y separadas una distancia r, un agente externo debe suministrar una energa , al menos igual, a: U = + Gm1m2/r, para separar las partculas una distancia infinita.

El valor absoluto de la energa potencial se considerarcomo la energa de enlace del sistema de partculas.

O sea, la energa necesaria para formar el sistema, trayendo las partculas desde el infinito hasta su posicin final.

2.- Sistema de N partculas.

Este concepto se puede extender a tres o ms partculas. En este caso la energa potencial total del sistema es la suma de las energas potenciales de todos los pares de partculas presentes.

O sea, para tres partculas se tiene:

2 3 3 11 2T

12 23 31

m m m mm mU G + + r r r

=

2.- Sistema de N partculas.

Se puede demostrar que para N partculas, la energa total es:

N Nj

T ii=1 j=1 ij

m1U G m 2 r

= j i

Esta es la energa potencial total del sistema de N partculas.

El valor absoluto de esta expresin es la energa de enlacedel sistema.

2.- Sistema de N partculas.