Cap.2 CóDigos De Computadoras Csir 1210
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Prof. James BoyerCapítulo 2 Libro: Essenthial Computer MathematicsCurso: CSIR-1210
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En este capítulo podrán aprender sobre los siguientes temas: Sistema numérico Conversión de Base b a decimal y viceversa Sistema octagonal Base (b=8) Sistema Hexadecimal Base (b=16) Interconversión Hexadecimal-Decimal Interconversión Hexadecimal-Binario Códigos de 4, 6 y 8 bits
Universidad Interamericana Recinto de Bayamón 2Curso: CSIR-1210
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Cualquier íntegro positivo b>1, b≠0, puede usado cómo base para un sistema posicional de números. Ej; b=10 ó b=2
Sistemas de este tipo usan símbolos de “b” para representar a sus íntegros.
Los números íntegros son: 0, 1, 2, 3, 4, ….., b-1. estos se conocen cómo
dígitos Cualquier íntegro N es siempre representado
por una secuencia de dígitos de base-b
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Bayamón 3
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Cualquier íntegro N es siempre representado por una secuencia de dígitos de base-b N = anan-1….a1a0
Entonces: bk es el valor del lugar de ak, y
N = an x bn + an-1 x bn-1 + …..a2 x b2 + a1 x b1 + a0 x b0
Lo antes expuesto se conoce cómo la forma expandida o notación expandida de N.
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Ej1; de la forma expandida o notación expandida de N.
N = 413235 entonces, N = 4 x 54 + 1 x 53 + 3 x 52 + 2 x 51 + 3 x 50
N = 4 x 625 + 1 x 125 + 3 x 25 + 2 x 5 + 3 x 1
N = 2500 + 125 + 75 + 10 + 3 = 2713 Ej2; M = 32.3045 , entonces M = 3 x 51 + 2 x 50 + 3 x 5 -1 + 4 x 5-3
M = 15 + 2 + 3 x .20 + 4 x .008 M= 15 + 2 + .6 + .032 = 17.632 es la
representación decimal de MCurso: CSIR-1210
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Resuelve los siguientes ejercicios, b=5
1.28492.537993.243.9784.4356.98655.234.56767Curso: CSIR-1210
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Se puede convertir un número de base b, en su representación decimal escribiendo Nb en su notación expandida y calculando por su decimal aritmético.
¿Cómo se hace? Parte Integrar:
1) Multiplique el último número de la izquierda por la base b
2) Súmele el próximo número de la derecha3) Repita el proceso que haya sumado hasta el
último número de la derecha.Curso: CSIR-1210
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¿Cómo se hace? Parte fraccional:
1) Multiplique el último número de la derecha por la base 1/b, más sume el número de la izquierda.
2) Repita el proceso hasta que haya multiplicado por la base de 1/b y le haya sumado el número contiguo a la izquierda de este.
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Ej1: N = 2401.23145 , N1 = 2401 , Nf = .2314 N1 = 2 x 5 = 10 + 4 = 14, 14 x 5 = 70 + 0
= 70 x 5 = 350 + 1 = 351 N1 = 351, suma final Nf = 4 x .20* = 1.80 x .20 = 3.36 x .20 =
2.672 x .2 = .5344 Nf = .5344 suma final N = 351.5344*(1/b = 1/5 = .20)
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Resuelve los siguientes ejercicios: b=5
1. 4342. 23553. 243354. 234.7545. 865.4357
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Podemos convertir “N” a su representación de Base “b” mediante el uso de un algorítmo.
Este puede distinguir entre una parte íntegra y una fraccional de cualquier número. Veamos la regla:
Parte Integra: N1 Aquí se divide N1 o cada cociente entre “b” hasta
que éste sea cero. La representación de los residuos obtenidos es de abajo hacia arriba. OJO: Cuándo alcance el cociente de cero su residuo será siempre “1”.
Parte Fraccional: Nf Aquí se multiplica la parte fraccional Nf por “b” hasta
que el resultado llegue a cero o hasta que comience una repetición de resultados.
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Convierte el siguiente íntegro a Base 5. Ej1: N1 = 684
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Divisor Cociente
Residuo
684 ÷ 5 =
136 4
136 ÷ 5 =
27 1
27 ÷ 5 =
5 2
5 ÷ 5 = 1 0
1 ÷ 5 = 0 1
Resultado de la conversión del decimal 684 a base 5 es: 1002145
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Convierte la siguiente fracción a Base 5. Ej2: Nf = .4704
Si sumamos N1 + Nf = 100214.21345
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Divisor Cociente
Parte integra
l
.4704 x 5=
2.3520 2
.3520 x 5=
1.760 1
.760 x 5=
3.80 3
.80 x 5 =
4.0 4
Resultado de la conversión de la fracción 0.4704 a base 5 es: .21345
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Convierte a base 5 978 7424 23547 3476.234 56783.4567 345.45668 8694.76396
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El sistema octagonal comprende la base de 8 Los dígitos octagonales son: 0,1,2,3,4,5,6 y 7 Ya que 23 = 8, por lo tanto cada dígito octal posee
una representación binaria única de 3 bits.
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Representación Binaria de 3 bits
Dígitos Octagonal
es
Equivalente en Binario
01234567
000001010011100101110111
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El sistema octagonal comprende la base de 8 Los dígitos octagonales son: 0,1,2,3,4,5,6 y 7 Ya que 23 = 8, por lo tanto cada dígito octal posee
una representación binaria única de 3 bits.
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Las potencias de 8 del sistema octagonal
Valor del lugar octagonal
Valor Decimal
8-3
8-2
8-1
80
81
82
83
84
85
1/512 = 0.001953125
1/64 = 0.0156251/8 = 0.125
1864512409632768
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Convierte el siguiente integro a base 8 Ej1 = N1: 684
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Divisor Cociente
Residuo
684 ÷ 8 =
85 4
85 ÷ 8 =
10 5
10 ÷ 8 =
1 2
1 ÷ 8 = 0 1
Resultado de la conversión del decimal 684 a base es: 12548
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Convierte la siguiente fracción a base 8 Ej2 = Nf: 0.4704
Si sumamos N1 + Nf = 1254.3608
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Resultado de la conversión del fraccional 0.4704 a base 8 es: .3608
Divisor Cociente
Parte integra
l
.4704 x 8=
3.7632 3
.7632 x 8=
6.1056 6
.1056 x 8=
0.8448 0
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Convierte a base 8 978 7424 23547 3476.234 56783.4567 345.45668 8694.76396
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Para convertir un número octal a uno binario lo único que debemos hacer es reemplazar cada dígito por su equivalente en binario. Si hay un bloque que no completa el grupo de tres dígitos, entonces rellenamos los espacios con ceros.
Para convertir un número binario a octal, debemos de partir el número en bloques de 3 bits y reemplazando cada bloque por su equivalente de dígito octal.Curso: CSIR-1210
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Ej1: convertir el número 42068 a su equivalente en binario
4206
100 010 000 110 El equivalente en binario del número octal
4206 es:1000100001102
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Estos números equivalente se toman de la tabla de equivalencia entre octal y binarios
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Ej2: convertir el número binario 010101011111 a su equivalente en octal.
010 101 011 1112
25378
Separamos el número binario en bloques de 3 bits o dígitos, comenzando e la derecha y reemplazamos cada bloque por su equivalente en dígito octal
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El número equivalente en octal
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Convierte de octal a binario:1. 32752. 73163. 53614. 42465. 16736. 43327. 47718. 3663
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Convierte de binario a octal1. 0011112. 0101101113. 0001101011104. 0011101011110015. 0011100000001100106. 0100000000001100101117. 000000000111010011010110
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La suma de dos números octales puede reducirse a la suma del algoritmo que se repita cada vez que se suman estos, con la posibilidad de cargar 1.
Aquí estaremos utilizando la siguiente matriz.
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Suma de los Dígitos Octales+ 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 10
2 2 3 4 5 6 7 10 11
3 3 4 5 6 7 10 11 12
4 4 5 6 7 10 11 12 13
5 5 6 7 10 11 12 13 14
6 6 7 10 11 12 13 14 15
7 7 10 11 12 13 14 15 16
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Por otra parte tenemos. Que la suma de dos dígitos con base “b” o dos dígitos base “b” + 1, es menos que 2b.
Esto significa que si dividimos dicha suma por “b” esto puede redundar en cociente de 0 ó 1. por lo que se desprende lo siguiente: Suma de octales: la suma de dos dígitos octales
o la suma de dos dígitos octales más 1, puede conseguirse mediante Si encontramos su sumatoria decimal ó Mediante la modificación de la sumatoria del
decimal, siempre y cuándo éste se exceda de 7, mediante la resta de 8 y la carga de 1 a la próxima columna.
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Ej1; Evalúa la suma de 73468 + 52638 Ojo: alínea ambos números de la manera usual y
aplica de forma separada la regla de sumatoria de octales por columna
1 1 1 7 3 4 6 + 5 2 6 3
12 6 11 9 Suma de decimales
-8 -0 -8 -8 Modificaciones
1 4 6 3 18 Suma octal
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Ej2 y método 2; Evalúa Y=B-A B= 73468 A= 52638
Paso 1 : Saca el complemento de 7 y su radix sumándole uno al mismo.
7777 -5263
2514 Complemento de A de 7 2515 Complemento de A de 7 + 1 (radix)
• Pas0 2: Suma el complemento de A + 1 a B 1 1 1 = Suma
con valor sobre 8: añade 1 7 3 4 6 + 2 5 1 5 10 8 6 11 -8 -8 -0 -8 Paso 3: Modificación 1 2 0 6 3 Suma Octal
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(Si es resultado del paso 2 es mayor de 8, réstale 8 si no réstale cero)
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Suma de octales;1. 32458 + 76438
2. 43678 + 43798
3. 1236538 + 537858
4. 3326118 + 5374258
5. 3724718 + 2742658
6. 42174358 + 5264258
7. 325672148 + 325174258
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En este sistema b=16, por lo que depende de 16 dígitos.
Este sistema consta de 10 dígitos decimales y las primeras 6 letras del abecedario.
Ya que 24 = 16 cada dígito hexadecimal posee una representación de 4 dígitos única. Ver tabla en próxima vía positiva.
Los valores decimales de las potencias de 16 se encuentran en l
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Dígitos Hexadecim
ales
Valores Decimale
s
Equialente en
Binario
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
A 10 1010
B 11 1011
C 12 1100
D 13 1101
E 14 1110
F 15 1111
Valor de hexadecim
alValor decimal
16-3
16-2
16-1
160
161
162
163
164
165
1/4096 = 0.0002441406251/256 = 0.003906251/16 = 0.06251162564096655361048576
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Convierte de Hexadecimal a decimalMétodo 1; Ej1: 73D516
Paso 1: 73D516 = 7 x 163 + 3 x 162 + 13 x 161 + 5 x 160
Paso 2: 7 x 4096 + 3 x 256 + 13 x 16 + 5 x 1Paso 3: 28672 + 768 + 208 + 5 = 29653Método 2 (El Algorítmo); 7 x 16=112+ 3=115 x16=1840 +13=1853 x16=29648
+5=29653 (equivalente a 73D516
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Convierte de Hexadecimal a Decimal (Utiliza ambos métodos)
46A3 57B1 75C5 35D6 73E8 64F9 674C6A
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Ej1: convertir el número 420616 a su equivalente en binario
4206
0100 0010 0000 0110 El equivalente en binario del número hex
4206 es:0100 0010 0000 01102
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Estos números equivalente se toman de la tabla de equivalencia entre hexadecimal al y binarios
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La suma de dos dígitos hexadecimales o la suma de dos dígitos hexadecimales más 1 puede ser obtenida de dos maneras:1. Encontrando su sumatoria decimal ó2. Modificando la suma decimal, si
excede de 15, se le resta 16, cargando 1 a la próxima columna.
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Ej1: sume los hexadecimales C868 + 72D9 1 1 1 12 8 6 8
+ 7 2 13 9 19 11 20 17 Suma Decimal
-16 -0 -16-16 Modificación 1 3 11 4 1 Suma
hexadecimalResultado sería = 13B41
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Nota: en la resta de hexadecimales el dígito que es restado con cero y si su cantidad es > 8 su resultado es cambiado por su equivalente en letra.
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Ej2: Evalúe la diferencia hex C868 + 72D9 Y = L – M (L = C868 M = 72D9) Paso 1: 15 15 15 15 - 7 2 D 9 8 D 2 6 Complemento de M 8 D 2 7 Radix o Comp.M+1 1 1 1
Paso 2: C 8 6 8 = L
+ 8 D 2 7 = Radix 21 21 8 15 -16-16-0- 0 1 5 5 8 15 Resultado sería = 1558F,
Borrando el 1 ,Y = 558FCurso: CSIR-1210
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Nota: En la resta de hexadecimales el dígito que es restado con cero y si su cantidad es > 8 su resultado es cambiado por su equivalente en letra.
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Suma de Hexadecimales, usa ambos métodos, asume que el número mayor es L;
1. 32A5 + 76B32. 4C67 + 4D793. 1F3A53 + 5BF85
4. 3CF611 + 5A7425
5. 37DC71 + 27BA65
6. 4D174B5 + 5F64C5
7. 32ACC214 + 32DBA425Curso: CSIR-1210
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El sistema de binarios BCD o (binary-coded-decimal) es la manera de codificar dígitos o decimales uno a uno.
Existen tres tipos 4, 6 y 8 Bits
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Dígitos Decimales
Códigos BCD
8-4-2-1 XS-3
0123456789
0000000100100011010001010110011110001001
0011010001010110011110001001101010111100
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Representación N = 469 en BCD 8-4-2-1 Representación N = 469 en BCD 8-4-2-1 Representación N= 469 en Binario Representación N= 469 en Binario directa o comúndirecta o común
4 6 9
N = 0100 0110 10012
469 / 2 = 234 1 234 / 2 = 117 0 117 / 2 = 58 1 58 / 2 = 29 0 29 / 2 = 14 1 14 / 2 = 7 0 7 / 2 = 6 1 6 / 2 = 3 0 3 / 2 = 1
1 1 / 2 = 0
1
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N= 11010101012
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Ej2: N = 469 en Representación 8-4-2-1 BCD Convierte N en XS-3 Code Este es obtenido mediante la suma 3 = 00112
al códido de 8-4-2-1 BCD para d.4 6 9 Núm Decimal
0100 0110 1001 Código 8-4-2-1 BCD
+ 0011 0011 0011 Suma de tres
0111 1001 1100 Código XS-3 BCDCurso: CSIR-1210
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Convierte de decimal a código de 4 bits (BCD 8-4-2-1)
647 427 953 2456 2449 97436 24556 963667
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Convierte de decimal a código de 4 bits (BCD XS-3) no uses la tabla.
647 427 953 2456 2449 97436 24556 963667
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La computadora procesa datos númericos y no-numéricos.
Los no-numéricos son expresados en caracteres de 10 dígitos, 26 letras y más de una docena de caracteres especiales.
El código de 6 bits añade dos bits llamados “bits de zona” y se etiquetan B y A ante el código 8421
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Dígitos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Caracteres Alfabéticos A B C D E F G H I J
K L M N O P Q R S T
U V W X Y Z
Caracteres Especiales + - * / , . ‘ = $ ()
Bits de Zona Bits numéricos
B A 8 4 2 1
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Actualmente en una computadora el código de 6 bits aparece en forma de 7 bits, este séptimo bit se conoce cómo el bit de verificación o de paridad.
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Bit de verificac
ión
Bit de zona
Bits numéricos
C B A 8 4 2 1
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Caracter Zona Numérica
Octal
Caracter
Zona Numérica
Octal
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
11 0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
11 1001
10 0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
10 1001
01 0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
01 1001
6162636465666770714142434445464750512223242526273031
1234567890
00 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 100100 1010
01020304050607101112
Caracter Zona Numérica
Octal
+-*/=().;$
blank
11 000010
000010
110001
000100
1011 01
1100 11
1100 11
1011 10
1110 10
1011 00
0000
6040542113347473565300
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Tabla de Código de 6 Bits BCD
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Convierte de octal a número 6 bits BCD 65 = 110101 = Caracter E47 = 100111 = Caracter P25 = 010101 = Caracter V01 = 000001 = Caracter 112 = 0001010 = Caracter 054 = 101100 = Caracter *00 = 000000 = Caracter blank 0 espacio
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Ej2: Si la computadora almacena sus datos de manera impar (odd parity) lo haría de la siguiente manera: Número 79PW
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Number Check Zone Numeric Suma de bits
7 0 00 0111 3 = impar
9 1 00 1001 2 = par
P 1 10 0111 4 = par
W 0 01 1100 3 = imparNota: El núm. De Check es “0” cuándo la suma de los bits es = a un número impar
y es “1” cuándo la suma de los dígitos es = a un número par.
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Convierte los siguientes números a BCD de 6 dígitos almacenados. Usar tabla
1. 56EU2. EI733. RT824. 37DT5. VSAR
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Aquí cada (byte = 8 bits) está dividido en 4 zonas de bits y 4 bits numéricos de códigos de 8-4-2-1 BCD.
Existen 2 códigos de 8 bits BCD actualmente EBCDIC (eddseedick) Extended Binary Coded
Decimal Interchange Code ASCII-8 (asskey) American Standard Code
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Zona de bits Bits Numéricos
Z Z Z Z 8 4 2 1
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Caracter Zona Numérica
HEX Caracter
Zona Numérica
HEX
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
1100 0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000 1100 1001 1101 0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000 1101
1001 1110
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000 1110
1001
C1C2C3C4C5C6C7C8C9D1D2D3D4D5D6D7D8D9E2E3E4E5E6E7E8E9
0123456789
1111 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1111 1001
F0F1F2F3F4F5F6F7F8F9
Caracter Zona Numérica
HEX
+-*/=().;$
blank
0100 1110
0110 0000
0101 1100
0110 0001
0111 1110
0100 1101
0101 1101
0100 1011
0101 1110
0101 1011
0100 0000
4E605C617E4D5D4B5E5B40
VER TABLA COMPLETA EN PÁGINA 41 DEL LIBRO
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Convierte los siguientes números a códigos EBCDIC de 8 dígitos almacenados. Usar tabla
1. 56EU2. EI733. RT824. 37DT5. VSAR
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Caracter Zona Numérica
HEX Caracter
Zona Numérica
HEX
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
1010 0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110 1010 1111 1011
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001 1011
1010
A1A2A3A4A5A6A7A8A9AAABACADAEAFB0B1B2B3B4B5B6B7B8B9BA
0123456789
0101 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 0101 1001
50515253545556575859
VER TABLA COMPLETA EN PÁGINA 41 DEL LIBRO
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Convierte los siguientes números a códigos ASCII8 de 8 dígitos almacenados. Usar tabla
1. 56EU2. EI733. RT824. 37DT5. VSAR
Curso: CSIR-1210Universidad Interamericana Recinto de
Bayamón 54