ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

520142Primer Semestre

FUNCIONES (2)

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Universidad de Concepción

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Funciones Reales

FUNCION EXPONENCIAL

Una Función Exponencial de Base b es la función real positiva:

expb : R −→ ]0, +∞[

x 7−→ y = expb(x) = bx

donde b ∈ R, b > 0, b 6= 1.

OBSERVACIONES

La gráfica de expb es asintótica respecto al eje X.

Todas las gráficas de expb pasan por el punto (1, b):

(∀ b > 0, b 6= 1) : expb(1) = b

2

Funciones Reales

La única intersección de f con el eje Y , es el punto (0, 1):

(∀ b > 0, b 6= 1) : expb(0) = 1

(∀ b > 0, b 6= 1)(∀ x ∈ R) : expb(x) > 0 ∧ expb(−x) = 1exp

b(x)

Producto de exponenciales (∀ b > 0, b 6= 1)(∀ x1, x2 ∈ R) :

1. expb(x1 + x2) = expb(x1) · expb(x2)

2. expb(x1 − x2) = expb(x1) : expb(x2)

= expb(x1) · expb(−x2)

3

Funciones Reales

Propiedades de expb, b > 1

expb es una función estrictamente creciente:(∀ x1, x2 ∈ R) : x1 < x2 =⇒ bx1 < bx2

el valor de expb(x) > 0, ∀x ∈ R se aproxima a 0, cuando x esnegativamente grande.

Observación

∀x ∈ R : expb(x) = exp 1

b

(−x)

Luego las gráficas de expb y exp 1

b

son simétricas respecto al eje Y .

Por lo tanto, si 0 < b < 1, entonces expb es una función positiva ,

estrictamente decreciente y asintótica al eje X, ella tiende a 0 cuando x

es positivamente grande.4

Funciones Reales

Biyectividad de expb

Para todo b > 0 con b 6= 1

La función exponencial es inyectiva :

(∀ x1, x2 ∈ R) : bx1 = bx2 =⇒ x1 = x2

La función exponencial es sobreyectiva :

Rec(expb) = expb(R) =]0, +∞[

ex

Si b = e ≈ 2, 7182 · · · la función se llama La Función ExponencialNatural y se escribe:

exp(x) = ex

5

Funciones Reales

Funciones EXPONENCIALES

y=bx, b>1

b=2

b=3

b=4

2

4

2

6

8

10

12

14

0−2 2−1.5 1.51−1 0.5−0.56

Funciones Reales

Funciones EXPONENCIALES

y=bx, 0<b<1

b=2/5

b=3/5

b=4/5

1

1−1

3

−2 20

2

4

5

6

3 47

Funciones Reales

FUNCION LOGARITMICA

Una Función Logarítmica de base b , es la función real:

logb : ]0, +∞[ −→ R

x 7−→ y = logb(x) ⇐⇒ by = x

⇐⇒ expb(y) = x

para cualquier b > 0, b 6= 1.

Observación

(∀b > 0, b 6= 1)

(∀ x ∈ R) : logb(bx) = x

(∀ x > 0) : blogb(x) = x

(∀x > 0) : y = log(x) := log10(x) ⇐⇒ 10y = x

(∀x > 0) : y = ln(x) := loge(x) ⇐⇒ ey = x

8

Funciones Reales

Propiedades de logb

Sean b > 0, b 6= 1, x, x1, x2 ∈ R+ y α ∈ R. Entonces:

1. logb(x1 · x2) = logb(x1) + logb(x2)

2. logb(x1

x2

) = logb(x1) − logb(x2)

3. logb(1x) = − logb(x)

4. logb(xα) = α logb(x)

9

Funciones Reales

Gráfica de logb

Sea b > 0, b 6= 1, entonces:

La gráfica de logb es asintótica respecto al eje Y

La única intersección de logb con el eje X es el punto (1, 0), esdecir:

(∀b > 0, b 6= 1) : logb(1) = 0

Todas las gráficas de logb pasan por el punto (b, 1), es decir:

(∀b > 0, b 6= 1) : logb(b) = 1

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Funciones Reales

Propiedades de logb para b > 1

0 < x < 1 ⇐⇒ logb(x) < 0

La función logb es estrictamente creciente :

(0 < x1 < x2 =⇒ logb(x1) < logb(x2)

por lo tanto ella es inyectiva :

(∀x1, x2 ∈ R+) : logb(x1) = logb(x2) =⇒ x1 = x2

Además, es sobreyectiva :

Rec(logb) = logb(]0, +∞[) = R

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Funciones Reales

Fórmula de Cambio de base de logb

(∀a, b > 0, a, b 6= 1)(∀x > 0) : loga(x) =logb(x)

logb(a)

Observación

logb(x) = − log 1

b

(x)

Luego las gráficas de las funciones logb y log 1

b

son simétricas conrespecto al eje X. Por lo tanto, si 0 < b < 1, entonces logb es unafunción biyectiva , estrictamente decreciente , que verifica la propiedad:

x > 1 ⇐⇒ logb(x) < 0 , si 0 < b < 1

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Funciones Reales

Funciones LOGARITMICAS

y=logb(x), b>1

b=2

b=3

b=4

−4

4

−3

3

3

2

−2

2

−1

1

1

0

13

Funciones Reales

Funciones LOGARITMICAS

y=logb(x), 0<b<1

b=2/5

b=3/5

b=4/5

3

3

−3

−4

4

−2

−1

2

2

1

1

0

14

Funciones Reales

Funciones EXPONENCIALES y LOGARITMICAS

y=bx, b>1

b=2

b=3

b=4

2

4

2

6

8

10

12

14

0−2 2−1.5 1.51−1 0.5−0.5

y=bx, 0<b<1

b=2/5

b=3/5

b=4/5

1

1−1

3

−2 20

2

4

5

6

3 4

y=logb(x), b>1

b=2

b=3

b=4

−4

4

−3

3

3

2

−2

2

−1

1

1

0

y=logb(x), 0<b<1

b=2/5

b=3/5

b=4/5

3

3

−3

−4

4

−2

−1

2

2

1

1

0

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Funciones Reales

EJEMPLO

Considere la función f : Dom(f) ⊆ R −→ R definida, para cadax ∈ Dom(f), por: f(x) = ln(x − 1).Defina la función g = f ◦ f .

SOLUCION

Primero es necesario calcular el dominio de f :

Dom(f) = {x ∈ R : f(x) ∈ R}

= {x ∈ R : ln(x − 1) ∈ R}

= {x ∈ R : x − 1 > 0}

= ]1, +∞[

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Funciones Reales

Ahora estamos en condiciones de calcular el dominio de g = f ◦ f :

Dom(g) = {x ∈]1, +∞[: f(x) ∈]1, +∞[}

= {x ∈]1, +∞[: ln(x − 1) ∈]1, +∞[}

= {x ∈]1, +∞[: ln(x − 1) > 1}

= {x ∈]1, +∞[: x − 1 > e} pues ln es creciente

= {x > 1 : x > e + 1} =]e + 1, +∞[6= ø

Finalmente, la función g es definida por:

g :]e + 1, +∞[−→ R

g(x) = ln(ln(x − 1) − 1) ∀x ∈]e + 1, +∞[

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