Cap

Cap. 5Cap. 5

Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas de números realesde números reales

PrecálculoQuinta edición

Prof. Juan Serrano, MA

1© copywriter

Bosquejo

• Círculo unitario• Funciones trigonométricas de números reales• Gráficas trigonométricas• Más gráficas trigonométricas

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5.1 Círculo unitario

• En esta sección se estudian algunas propiedades del círculo unitario con radio 1 con centro en el origen.

• Círculo unitario

El conjunto de puntos a una distancia de 1 a partir del origen es un círculo de radio 1.

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CIRCULO UNITARIO

El círculo unitario es el que tiene un radio igual a 1 y su centro está en el origen de un plano xy. Su ecuació es:

122 =+ yx

1

1

-1

-1

0 x

y

• Ejemplo: Un punto en el círculo unitarioDemuestre que el punto está en el círculo unitario.

Solución:

P está en el círculo unitario.

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3

6,

3

3P

19

6

9

3

3

6

3

322

=+=

+

• Ejemplo: Localización de un punto en el círculo unitario

El punto P está en el círculo unitario en IV. Encuentre su coordenada en y.

Solución: Puesto que el punto está en el círculo unitario, entonces;

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y,

2

3

2

12

14

1

4

31

12

3

2

2

2

- y

y

y

y

=

±=

=−=

=+

CIRCULO UNITARIO

• Puntos sobre la circunferencia del círculo unitarioSuponga que t es un número real. Recorramos una distancia t a lo largo del círculo unitario, empezando en el punto (1, 0) y desplazándonos en sentido contrario al de las manecillas del reloj si t es positiva. Por otro lado si t es negativa, es a favor de las manecillas del reloj.

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1

1

-1

-1

0 x

y

t > 0P(x, y)

1

1

-1

-1

0 x

y

t < 0

P(x, y)

Punto P(x, y) sobre la circunferencia determinado por t > 0. Punto P(x, y) sobre la circunferencia determinado por t < 0.

• Puntos sobre la circunferencia:

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t = π/2 P(0, 1)

t = π

P(-1, 0)

t = 3π/2

P(0, -1)

t = 2π

P(1, 0)

• Determinación de los puntos sobre la circunferenciaCalcule el punto sobre la circunferencia del círculo unitario determinado por cada número real.

a) t = 3π b) t = - π c) t =

Solución:

a) El punto determinado por 3π: b) El punto determinado

por t = - π:

P(-1, 0)

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2

π−

P(-1, 0)

© copywriter 10

t = - π/2

P(0, -1)

Determinación de los puntos sobre la circunferencia

c) t = 2

π−

Puntos Determinados por t

• Determinación de puntos sobre la circunferenciaCalcule el punto sobre la circunferencia determinada por cada número real dado t.

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4 )

π−=ta

P(-1, 0)

Puntos sobre la circunferencia

4

3 )

π=tb

P(-1, 0)


6

5 )

π−=tc

P(-1, 0)


Uso de los números de referencia para los puntos sobre la circunferencia

Para determinar el punto P definido por cualquier valor de t, seguimos los pasos siguientes.

a) Encontrar el número de referencia.

b) Encontrar el punto sobre la circunferencia Q(a, b) definido por t.

c) El punto determinado por t es P(+ - a, + - b), donde los signos se eligen de acuerdo con el cuadrante en el cual está este puno sobre la circunferencia.

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• Determinación de los números de referenciasEncuentre el número de referencia para cada valor de t:

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48.080.52)

33

2)

44

72)

66

5

6

5)

≈−=

=−=

=−=

=−==

π

πππ

πππ

ππππ

td

tc

tb

ta

• Ejercicios 5.1:Página 406 y 407

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5.2 Funciones trigonométricas de números reales• Ya estudiamos que una función es una regla que asigna a cada

número real otro número real.

Como las funciones trigométricas se pueden definir en términos del círculo unitario, en ocaciones se les llama funciones circulares.

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DEFINICION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Sea t un número real y sea P(x, y) el punto del círculo unitario determinado por t. Definimos

sen t = y cos t = x tan t = y / x (x ≠ 0)

csc t = 1 / y (y ≠ 0) sec t = 1 / x (x ≠ 0) cot t = x / y (y ≠ 0)

Ejemplo:

Evaluación de las funciones trigonométricas

Calcule las seis funciones trigonométricas de cada número real.

a) t = a) t = ππ/3/3

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=

=

=

3tan

3cos

3

π

π

πsen

2

3=y

2

1=x

3

21

23

==x

y =

=

=

3cot

3sec

3csc

π

π

π3

321 =y

21 =x

3

3

232

1==

y

x

Calcule las seis funciones trigonométricas de cada número real.

b) t = b) t = ππ/2/2

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=

=

=

=

2cot

2csc

2cos

2

π

π

π

πsen 1=y

0=x

11

11 ==y

01

0 ==y

x

Las funciones; tantan π π/2/2 y sec sec π π/2/2 no están definidas porque x = 0, aparece en el denominador.

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DOMINIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

FUNCION DOMINIO

sen, cos Todos los números reales

tan, sec Todos los números reales diferentes de π/2 + nπ para cualquier entero n.

cot, csc Todos los números reales que no sean nπ para cualquier entero n.

Se puede observar que algunas de las funciones trigonométricas no estándefinidas para ciertos números reales. Así que necesitamos determinar sus dominios.

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Valores de funciones trigonométricas

Para calcular otros valores de las funciones trigonométricas tenemos que determinar los signos. Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante que se encuentre. VEAMOS. VEAMOS:

SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICASCUADRANTE FUNCIONES POSITIVAS FUNCIONES NEGATIVAS

I TODAS NINGUNA

II SEN, CSC COS, SEC, TAN, COT

III TAN, COT SEN, CSC, COS, SEC IV COS, SEC SEN, CSC, TAN, COT

TodasSeno

Tangente Coseno

Ejemplo:

Evaluación de las funciones trigonométricas

Determine cada uno de los valores.

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⇒

=

−

=

4

19)

3tan)

3

2cos)

π

π

π

senc

b

a2

1

3cos −=−⇒⇒ π

referenciax

33

tan −=−⇒⇒ πreferencia

x

y

Como (19π/4) - 4π = 3π/4 los puntos determinados por 19π/4 y 3π/4 son iguales. El número de referencia para 3π/4 es π/4. Entonces:

2

2

44

3 =+=== ππsenseny

Puntos Determinados por t

• Para realizar en el salón:Pág. 416Pág. 416Calcule el valor exacto de la función trigonométrica en el número real dado.

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=

=

=

π

π

π

15 tan c)

14 cos b)

13 ) )21 sena

0sen

1213

==−

ππππ

10 cos

01414

==− ππ

0n ta

1415

==−

ππππ

Referencia es π

Referencia es 0

Referencia es π

Ejemplo:

Uso de la calculadora para evaluar funciones trigonométricas

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=

=

≈

≈

98.0csc)

28 cot)

1.1 cos)

2.2 )

d

c

b

sena 808496.0

453596.0

553286.328tan

1 −≈

204098.198.0

1 ≈sen

Si notas los valores son de manera aproximada.

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PROPIEDADES DE LOS IMPARES

El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares; el coseno y la secante son funciones pares.

sen (- t) = - sen t sec (- t) = sec t = - y = - sen t = 1/x = sec t

cos (- t) = cos t cot (- t) = - cot t = x = cos t = 1/-y/x = - cot t

tan (- t) = - tan t csc (- t) = - csc t = - y/x = - tan t = 1/-y = - csc t

Ejemplo

Funciones trigonométricas pares e impares

Solución: De acuerdo con las funciones pares e impares:

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=

−

=

−

4cos)

6)

π

π

b

sena parsen ⇒−=−2

1

6

π

par⇒=2

2

4cos

π

© copywriter 25

EjemploFunciones trigonométricas pares e impares

Solución: De acuerdo con las funciones pares e impares: Ejercicio 71, Pág. 417

xsenxxf )( )71 2=)(- )()( 2 xsenxxf −=

)(- )( 2 xsenxxf =xsenxxf )( 2−=

impar )()( xfxf −=csc (- t) = - csc t = 1/-y = - csc t

© copywriter 26

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

IDENTIDADES RECIPROCAS IDENTIDADES PITAGORICAS

tt

tt

sen tt

tan

1cot

cos

1sec

1csc

=

=

=

sen t

tt

t

sen tt

coscot

costan

=

=

tt

tt

ttsen

22

22

22

csccot1

sec1tan

1cos

=+

=+

=+

Por definición, cos t = x y sen t = y, donde x y y son las coordenadas de unP(x, y) en el círculo unitario. Puesto P(x, y) están sobre el círculo unitario, tenemos x2 + y2 = 1. Entonces:

tt

ción:Por defini

tt

tsen

tt

t

t

tsen

22

2

2

22

2

2

2

sec1tan

cos

11

cos

cos

1

cos

cos

cos

=+

=+

=+Por consiguiente si dividimos por sen2 t, (siempre que sen t ≠ 0) obtenemos:

tt

ción:Por defini

tsentsen

t

tsentsen

t

tsen

tsen

22

2

2

22

2

2

2

csccot1

1cos1

1cos

=+

=

+

=+

Ejemplo

Cálculo de todas las funciones trigonométricas a partir del valor de una.

Si cos t = 3/5 y t está en el cuadrante IV, calcule los valores de todas las funciones trigonométricas en t.

Solución: De acuerdo con las identidades pitágoricas tenemos.

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1cos ) 22 =+ ttsena

Este punto está en el cuadrante IV y sen t es negativo, entonces es -4/5.

15

32

2 =

+tsen

25

912 −=tsen

25

16

25

9

25

252 =−=tsen

5

4

5

4

25

16 −=±=±=tsen

© copywriter 28

Ahora podemos hallar las otras identidades recíprocas

1cos

tcos )22 =+ ttsen

b

1cos5

4 22

=+

− tt

25

161cos2 −=t

25

9

25

16

25

25cos2 =−=t

5

3

5

3

25

9cos =±=±=t

3

4

53

54

costan

tan t)

2

2

−=−

==t

tsent

c

4

5

5411

csc

tcsc )

2−=

−==

tsent

d

3

5

531

cos

1sec

tsec )

2===

tt

e

4

3

341

tan

1cot

cot t )

2−=

−==

tt

f

Ejemplo

Expresar una función trigonométrica en función de otra.

Escriba tan t en forma de cos t, donde t está en el cuadrante III.

© copywriter 29

1cos

costérminostan )22 =+ ttsen

t de t en a

ttsen 22 cos1−=ttsen 2cos1 −±=

Como sen t es negativo en el cuadrante III, el signo negativo se aplica. Entonces:

t

t

t

tsent

cos

cos1

cos

tan

2−−==


© copywriter 30


Pág. 417

tcos sen t, )531tcostsen 22 =+

t22 cos-1tsen =t2cos-1sen t ±=

t2cos-1sen t =

ttsent cos,sec )62 22 ⋅

( )tt

en 22

22 cos1cos

1tstsec −⋅=⋅

1cos

12

−=t

5.3 Gráficas de funciones trigonométricas

Las gráficas de una función nos proporciona un mejor idea de su comportamiento. En esta sección estaremos graficando varias de estas funciones.

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PROPIEDADES PERIODICAS DEL SENO Y EL COSENO

Las funciones seno y coseno tienen periodo 2π;

sen (t + 2π) = sen t cos (t + 2π) = cos t

Significa que las funciones seno y coseno repiten sus valores en cualquier intervalo de longitud 2π. Tenga presente que sen t es la coordenada y del

P(x, y) en el círculo unitario determinado por el número real t.

© copywriter 33

Gráficas

tseny =

π•

π2

•to

0

Para trazar la gráfica con mayor exactitud, determinamos otros pocos de valores de sen t y cos t. (Tabla). Se podrían determinar más valores con la ayuda de una calculadora.

© copywriter 34

Gráficas

tseny =

π•

π2

•0

π3

•π4

•π5

•

Periodo 2π

π•

π2

•0

π3

•π4

•π5

•

Periodo 2π

ty cos=

Calculadora

EjemploCurvas del coseno

© copywriter 35

Trace la gráfica de cada función

xxfa cos2)() +=

ty cos=π•

π2

•0

π3

•π4

•π5

•

xy cos2 +=

La gráfica es la misma que la de coseno, pero se desplaza dos lugares hacíaarriba 2 unidades.

© copywriter 36

EjemploCurvas del coseno

Trace la gráfica de cada función

xxfb cos)() −=

π•

π2

•0

π3

•π4

•π5

•

Periodo 2π

ty cos=

ty cos−=

Graficas

© copywriter 37

EjemploOtras gráficas

La gráfica de y = 2 sen x, multiplicamos la ordenada por cada pun to por 2.

π•

π2

•0

xseny 2=

xseny =

xseny 2

1=

En general, para las funciones y = a sen x y y = a cos x el número Ι a I se llama amplitud y es el valor más grande que alcanzan estas funciones.

Ejemplos: se trazarán las gráficas con calculadora gráfica.

Determine la amplitud de y = -3 cos x.

Amplitud y periódo

a) y = 4 cos 3x b) y = - 2 sen ½ x

Una curva seno desplazada

y = 3 sen 2(x – π/4)

Una curva seno desplazada

y = ¾ cos(2x + 2π/3)

ver texto

© copywriter 38

Gráficas

• Ejercicios 5.3– Pág. 429 y 430

• 1 al 74

• 75, 76, 77, 78 (Para entregar. Valor 10pts. )

Con proceso, cada uno de ellos

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5.4 Más gráficas trigonométricas

• En esta sección se estudian las funciones tangentes, cotangente, secante y cosecante y transformaciones de estas funciones.

© copywriter 40

PROPIEDADES PERIODICAS

Las funciones tangente y cotangente tienen periodo en π: tan (x + π) = tan x cot (x + π) = cot x

Las funciones cosecante y secante tienen periodo en 2π: csc (x + 2π) = csc x sec (x + 2π) = sec x

Gráficas: tangente y cotangente

© copywriter 41

Asíntota Vertical

Asíntota Vertical

6

π4

π3

π

4.1

2

π2

π−

xy tan=

Gráficas

6

π4

π3

π

14.0

2

π

3

2π4

3π6

5π3

0

1

Asíntota Vertical

xy cot=

π

© copywriter 42

Gráfica: periodo de y = csc xy = csc x

π22

π π2

3π

Asíntota Asíntota Vertical Vertical


Gráficas

sen xy =

xy csc=

xy csc=sen x

x1

csc =

© copywriter 43

Gráfica: periodo de y = sec xy = sec x

π2

2

π π2

3π



xy cos=

xy sec= x

xcos

1sec = xy sec=

xy sec=

Gráficas

Cap

Spiritual

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