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6. TRABAJO Y ENERGIA.6.1. TRABAJO (W)Consideremos una partcula que se mueve a lo largo de una curva y esta bajo la

accin de una fuerza

F . En un tiempo muy corto dt la partcula se mueve de A a A,

siendo el desplazamiento

rd . El trabajo dW efectuado por la fuerza

F durante tal

desplazamiento se define por el producto escalar:

= rdFdW

Designando la magnitud del desplazamiento

rd por ds; luego:

cosdsFdW =

Pero TFcosF = , es la componente de la fuerza en la direccin del desplazamiento

dsFdW T=

Integrando encontramos el trabajo realizado por la fuerza

F en el tramo AB:

= BA

dsFW TAB (Definicin de trabajo) (6.1)

La unidad de trabajo en el SI es el Joule (J):

1 joule = 1 newton-metro (1J = 1 N . m)

El trabajo es una cantidad escalar; tiene un signo algebraico pero no tiene direccin en

el espacio.

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APLICACIN. Para mantener un resorte estirado una distancia x ms all de sulongitud sin estiramiento debemos aplicar una fuerza:

xkFx = (Ley de Hooke)donde k es una constante llamada constante de fuerza del resorte

El trabajo realizado por Fx cuando el resorte se estira de cero a un valor mximo X es

2X

0

X

0x Xk2

1dxxkdxFW ===

Problema 6.1.Una mujer que pesa 600N se sube a una balanza que contiene un resorte rgido. En el

equilibrio, el resorte se comprime 1cm bajo su peso. Calcule la constante de fuerza del

resorte y el trabajo total efectuado sobre l durante la compresin.

Solucin:De la ley de Hooke:

N/m6x100.01m600N

xFkxkF 4====

El trabajo realizado por el peso sobre el resorte de la balanza es:

J3)N/m)(0.01m(6x1021 242

=== Xk21W

6.2 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE.

Cuando una fuerza constante

F acta sobre una partcula que sufre un

desplazamiento rectilneo

s , el trabajo realizado por la fuerza sobre la partcula se

define como el producto escalar de syF .

cossFsFW ==

= ngulo entre syF

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Casos particulares:Si =0, entonces sFW += (trabajo positivo)Si =90, entonces 0=W (trabajo cero)Si =180, entonces sFW = (trabajo negativo)

Problema 6.2.A partir del grafico determine la el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento sobre

el bloque de 30N de peso; para un tramo de 10 m.

Solucin:Haciendo un DCL del bloque

150JWnto)despazamiealoponesefriccion( lad.fW

Finalmente15N0.5) ( 30)(nf:Luego

30Nn0wnvertical)movimientohay( no0F

k

kk

y

=

=

===

==

=

PROBLEMA (6.2)Un bloque de 6.75kg cuelga en un pozo del extremo de una cuerda que pasa sobre

una polea sin friccin en la parte superior del pozo, y usted tira de la cuerda

horizontalmente para levantar el cubo lentamente 4m. a) Cunto trabajo efecta

usted sobre el bloque? b) Qu trabajo total se realiza sobre el bloque?

Solucion:

a) J.6.264)m00.4)(s/m80.9()kg75.6(mgsFsW 2 ====

b) El trabajo neto sobre el bloque es cero

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Problema (6.3)Un pescador enrolla 12m de sedal al tirar de un pez que ejerce una resistencia

constante de 25 N. Si se tira con velocidad constante, cunto trabajo realiza sobre

el pez la tensin del sedal?

Solucin:J300)m0.12)(N0.25(W ==

Problema (6.7)Dos remolcadores tiran de un buque averiado. Cada uno ejerce una fuerza constante

de 1.8x106 N, uno 14 al oeste del norte y el otro 14 al este del norte, tirando del

buque tanque 0.75 km al norte. Qu trabajo total efectan sobre el buque tanque?

Solucin:

,J1062.214cos)m1075.0)(N1080.1(2cosFs2W 936total ===

Problema (6.8)

Se aplica una fuerza constante

= J)N40(i)N30(F sobre un carrito mientras ste

sufre un desplazamiento

= J)m3(i)m9(S . Cunto trabajo efecta la fuerza que se

aplica al carrito?

Solucin:

)j)m0.3(i)m0.9(()j)N40(i)N30((sF =

)m0.3)(N40()m0.9)(N30( +=J150mN120mN270 =+=

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Problema 6.71. Un bloque de hielo de 6 kg esta en reposo en una superficie horizontalsin friccion. Un obrero le aplica una fuerza horizontal F

6.3. ENERGIA CINETICA.Sea F la fuerza neta aplicada sobre una partcula en la direccin de su desplazamiento

ds, el trabajo dW es:

dvvmdvdtdsmds

tddVmdsFdW ====

Integrando en el tramo AB:

2A

2B

v

vAB mv2

1mv21dvvmW B

A

== (6.2)Llamamos a la cantidad 2mv2

1 energa cintica K de la partcula2mv2

1K = (Definicin de energa cintica) (6.3)La energa cintica es una cantidad escalar. Su unidad en el SI tambin es el Joule (J).

La energa cintica nunca puede ser negativa y es cero solo si la partcula est en

reposo.

Reemplazando la ecuacin (6.3) en la ecuacin (6.2) tenemos:

KKK AB ==ABW (Teorema del trabajo y la energa) (6.4)

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El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partcula es igual al cambio en la

energa cintica de la partcula.

Problema 6.3.Sobre un bloque de masa 3 kg acta una fuerza horizontal de 6 N como se muestra

en la figura. Si parte del reposo, encuentre la energa cintica del bloque despus de

2 segundos. (Desprecie el rozamiento)

Solucin:Como la nica fuerza horizontal que acta sobre el cuerpo es F = 6 N

Por la segunda ley de newton:

22m/s36

mFaamF ====

Por cinemtica con v1 = 0 y t = 2s:

4m/satvv 12 =+=

La energa cintica final al cabo de 2 segundos es:

24Jmv21Ec 22 ==

Problema 6.4.Un martillo de acero de 200 kg se levanta3m sobre el suelo, sobre una viga que se

est clavando en el suelo. El martillo se suelta, metiendo la viga otros 7.4 cm en el

suelo. Los rieles verticales que guan el martillo ejercen una fuerza de friccin

constante de 60N sobre l, Use el teorema del trabajo y la energa para determinar a)

la rapidez del martillo justo antes de golpear la viga y b) la fuerza media que el martillo

ejerce sobre la viga.

Solucin:

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a) El trabajo neto sobre el martillo en el tramo 1-2 es:

Wneto = Wpeso + Wrozamiento = (200kg)(9.8m/s2)(3m) (60N)(3m) = 5700J

Por el teorema del trabajo y la energa:

7.5m/s57v0(200kg)v215700J 2

22 ===

=21

2212 mv2

1mv21W

b) Haciendo un DCL del martillo en el tramo 1-2:

Por la tercera ley de Newton la fuerza de reaccin normal es igual en modulo a la

fuerza media que ejerce el martillo sobre la viga.

Por el teorema del trabajo y la energa:

5700Jm/s)57(200kg)(210 2 === 22

2323 mv2

1mv21W

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Luego:

Wneto = Wpeso + Wroz + Wn-5700J = (200kg)(9.8m/s2)(0.074m) (60N)(0.074m) n (0.074m)

n = 5840.6N

Problema 6.5.Un bloque con masa de 0.1 kg se encuentra en una superficie horizontal y est

conectado por un extremo a un resorte fijo al riel cuya constante de fuerza es 20 N/m.

Inicialmente el resorte no est estirado y el bloque se mueve con rapidez de 1.5 m/s a

la derecha. Calcule la distancia mxima que el bloque se mueve hacia la derecha. a)

Si no hay friccin en la superficie. b) Hay friccin cintica en la superficie con

0.47k =

Solucin:Por el teorema del trabajo y la energa:

J8095m/s)(0.1kg)(1.

210mv

21mv

21 22

O2AOA ===W

a) Si no hay friccin la nica fuerza que acta sobre el bloque es la fuerza elstica. Si

el punto de mximo estiramiento cuando la velocidad del bloque se hace cero es A:

10.61m0.1061mdd(20N/m)21J

809

dk21W

2

2OA

===

=

b) Si hay friccin entonces sobre el bloque actan dos fuerzas la elstica y la friccin.

8.55cm0.0855md

d(20N/m)21J

809

dk21W

2

2OA

==

=

=

dsmkg

dnk

)/8.9)(1.0)(47.0(

)(

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Problema 6.62

Un paquete de 5 kg baja deslizndose por una rampa inclinada 12 bajo la horizontal.

El coeficiente de friccin entre el paquete y la rampa es k =0.31. Calcule el trabajo

realizado sobre el paquete por a) la friccin, b) el peso del paquete, c) la fuerza

normal d) el trabajo total sobre el paquete, e) si el paquete tiene una rapidez de 2.2m/s

en la parte superior de la rampa, Qu rapidez tiene despus de bajar deslizndose

1.5m?

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6.4. POTENCIA.La potencia (P) se define como la rapidez con que se efecta trabajo. La potencia es

una cantidad escalar.

La potencia media es

tWPmed = (6.5)

La potencia instantnea es:

tddWP =

Cuando una fuerza

F acta sobre una partcula que se mueve con velocidad

v la

potencia instantnea es el producto escalar de vyF

= vFPProblema 6.6.El motor de una lancha le hace desarrollar a esta una velocidad constante de 36km/h,

venciendo la fuerza de resistencia del agua de 3000N. Determinar la potencia

desarrollada por el motor.

Solucin:

La velocidad de la lancha es: 10m/s1km

1000m3600s

1hh

km36v =

=

La fuerza que hace el motor de la lancha es: F = 3000N

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La potencia desarrollada por el motor de la lancha es:

P = F. v = (3000 N)(10 m/s)

P=30 KW

Problema 6.7.Cada uno de los dos motores a reaccin de un avin Boeing 767 desarrolla un empuje

(fuerza hacia adelante sobre el avin) de 197000N. Cuando el avin est volando a

250m/s (900km/h) cuntos caballos de potencia desarrolla cada motor?

Solucin:La potencia desarrollada por el motor de la lancha es:

P = F. v = (197000 N)(200 m/s)

P=39400 KW

Sabemos:

1caballo de fuerza (hp) = 746W = 0.746KW

Entonces:

hp81552)0.746KW

1hp39400KW(P ==

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6.5. ENERGIA POTENCIAL.

En un sistema fsico, la energa potencial es la energa que mide la capacidad quetiene dicho sistema para realizar un trabajo en funcin exclusivamente de su posicin

o configuracin. Puede pensarse como la energa almacenada en el sistema, o como

una medida del trabajo que un sistema puede entregar. Suele abreviarse con la letra

o .

La energa potencial puede presentarse como energa potencial gravitatoria, energa

potencial electrosttica, y energa potencial elstica.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA.El trabajo efectuado sobre una partcula por una fuerza gravitacional constante puede

representarse en trminos de un cambio en la energa potencial U =m g y, Esta

energa es una propiedad compartida de la partcula y la tierra.

UUUmgymgyW

21

21grav==

=

Problema 7.14.Una piedrita de 0.12kg est atada a un hilo sin masa de 0.8 m de longitud, formando

un pndulo que oscila con un ngulo mximo de 45 con la vertical. La resistencia del

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aire es despreciable. a)Qu rapidez tiene la piedra cuando el hilo pasa por la posicin

vertical? b) Qu tensin hay en el hilo cuando forma un ngulo de 45 con la vertical?

c) y cuando pasa por la vertical?

Solucin:

ENERGIA POTENCIAL ELASTICA

Un resorte ideal estirado o comprimido ejerce una fuerza elstica xkFx = sobreuna partcula, donde x es la distancia de estiramiento o compresin. El trabajo

efectuado por esta fuerza puede representarse como un cambio en la energa

potencial elstica del resorte, 2kx21U =

UUUkx2

1kx21W

21

22

21elas

==

=

La energa potencial total es la suma de las energas potenciales gravitacional y

elstica.

6.6. CONSERVACION DE LA ENERGIA.Si solo fuerzas gravitacional y elstica realizan trabajo sobre una partcula, la suma de

las energas cintica y potencial se conserva. Esta suma E = K + U, se denomina

energa mecnica total.

K1 + U1 = K2 + U2

Si otras fuerzas adems de la gravitacional y de las fuerzas elsticas realizan trabajo

sobre una partcula, el trabajo Wotras efectuado por esas otras fuerzas es igual al

cambio en la energa mecnica total.

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K1 + U1 + Wotras = K2 + U2

6.7. FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS.Todas las fuerzas son conservativas o bien no conservativas. Una fuerza conservativa

es aquella para la cual la relacin trabajo-energa cintica es totalmente reversible. El

trabajo de una fuerza conservativa siempre puede representarse mediante una funcin

de energa potencial, no as el de una fuerza no conservativa.

El trabajo realizado por fuerzas no conservativas se manifiesta como cambios en la

energa interna de los cuerpos. La suma de las energas cintica, potencial e interna

siempre se conserva.

0=++ intUUkProblema 6.8.Lanzamos una pelota con masa de 0.145 kg hacia arriba, dndole una rapidez inicial

de 20 m/s. Use la conservacin de la energa para determinar que altura mxima

alcanza, despreciando la resistencia del aire.

Solucin:Si las fuerzas que actan sobre la pelota son conservativas, entonces:

K1 + U1 = K2 + U2

2221

21 ygmmv2

1ygmmv21

+=+

Donde v1=20m/s; y1=0; v2=0; y2=? altura mxima

20.41my

y)9.8m/s(0.145kg)(o)(0.145kg)(21)(0)9.8m/s(0.145kg)(20m/s)(0.145kg)(

21

2

22222

=

+=+

Problema 7.19Un queso de 1.2kg se coloca en un resorte vertical con masa despreciable y constante de

rigidez k=1800N/m que esta comprimido 15 cm. Cuando se suelta el resorte, Qu altura

alcanza el queso sobre su posicin original? (el queso y el resorte no estn unidos

Problema 6.9.Un bloque de masa m=0.2kg descansa sobre una superficie horizontal sin friccin,

conectado a un resorte con k=5N/m. Se tira del bloque, estirando el resorte 0.1m y

luego se suelta con velocidad inicial cero. El bloque regresa a su posicin de equilibrio

(x=0). Qu velocidad tiene cuando x=0.08m?

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Solucin:Como no hay friccin, entonces todas las fuerzas sobre el bloque son conservativas.

Por el principio de conservacin de la energa con x1=0.1m; v1=0; x2=0.08m; v2=?

K1 + U1 = K2 + U2

22

22

21

21 kxmv2

1kxmv21

21

21

+=+

0.3m/sv

8m)(5N/m)(0.021)(0.2kg)(v

21)(5N/m)(0.1

21(0.2kg)(0)

21

2

222

22

=

+=+

Problema 6.10.Un elevador de 2000kg con cables rotos cae a 25m/s cuando hace contacto con un

resorte amortiguador en el fondo. Se supone que resorte debe detener al elevador,

comprimindose 3m al hacerlo. Durante el movimiento un freno de seguridad aplica

una fuerza de friccin constante de 17000N al elevador. Qu constante de fuerza

debe tener el resorte?

Solucin:Por el principio de conservacin de la energa, con y1=0; v1=25m/s; y2=-3m; v2=0

K1 + U1 + Wotras = K2 + U2

N/m1.41x10k

3m)k(213m))(.8m/s(2000kg)(9(0)m)(17000N)(3(0)(0)5m/s)(2000kg)(2

21

ky21mgymv

21)y(yfky

21mgymv

21

5

222

222

2221roz

211

21

=

++=++

++=++

6.8. FUERZA Y ENERGIA POTENCIALEl trabajo realizado por una fuerza conservativa en la direccin del eje x, Fx(x), est

dado por la siguiente ecuacin:

W = - U

Para un desplazamiento pequeo dx en la direccin del eje X,

dW = - dU

Fx(x)dx = -dU

dxdU)x(Fx =

Si la partcula se desplaza en tres dimensiones, bajo la accin de una fuerza

conservativaF con componentes rectangulares Fx, Fy, Fz. Entonces:

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xUFx

= ; y

UFy

= ; zUFZ

=

PROBLEMAS PROPUESTOS.TRABAJOProblema (6.4)Un obrero empuja horizontalmente una caja de 30 kg una distancia de 4.5m en un

piso plano, con velocidad constante. El coeficiente de friccin cintica entre el piso y la

caja es de 0.25. a) Qu magnitud de fuerza debe aplicar el obrero? b) Qu trabajo

total se efecta sobre la caja?

Problema (6.5)Suponga que el obrero del problema anterior empuja con un ngulo de 30 bajo la

horizontal a) Qu magnitud de fuerza debe aplicar para mover la caja con velocidad

constante? b) Qu trabajo realiza esta fuerza sobre la caja si se empuja 4.5 m? c)

Qu trabajo realiza la friccin sobre la caja en este desplazamiento? d) Qu trabajo

total se efecta sobre la caja?

Problema (6.6)Una lancha tira de una esquiadora con una cuerda horizontal. Ella esqua hacia un

lado, hasta que la cuerda forma un ngulo de 15 con su direccion de movimiento, y

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luego sigue en linea recta. La tensin en la cuerda es de 18 N. Cunto trabajo

realiza la cuerda sobre el esquiador durante un desplazamiento de 300 m?

Problema.

Un bloque de 2kg se empuja contra un resorte con masa despreciable y constante de

rigidez k=400 N/m, comprimindolo 0.22 m. Al soltarse el bloque, se mueve por una

superficie sin friccin que primero es horizontal y luego sube a 37 a) Qu rapidez

tiene el bloque justo despus de separarse del resorte? b) Qu altura mxima

alcanza el bloque?