1

Gravitación La ley de gravitación de Newton data del siglo XVII

• Es una ley Universal: la gravedad actúa de la misma manera entre la Tierra y su cuerpo que entre el Sol y los planetas

Aunque es un paso enorme en nuestra comprensión tiene problemas importantes:

1. No sabemos si se aplica a la escala de Galaxia (100 000 años luz) o entre las galaxias en el Universo – no se puede aplicar a la cosmología

2. Las nociones de espacio y tiempo en está teoría no son física (metafísica): el espacio es un volumen abstracto sin límite mientras que el tiempo es absoluto e infinito

3. La fuerza entre dos cuerpos actúa a distancia (acción instantánea)

En la teoría de la relatividad restringida de Einstein (1905) el tiempo es incluido como variable dinámica (espacio-tiempo): ( ), , ,x y z ct donde ct toma en cuenta el tiempo de interacción entre las masas (acción no instantánea)

• El interval ( )22 2 2 2 invariables ct x y z∆ = − + + + = ⇒ determina estructura causal del espacio-tiempo

• ( )22 2 2 2 0 space-like s ct x y z∆ = − + + + > ⇒ - región desconectada por efectos causal (agujero negro)

2

En la teoría de la relatividad General (1915) Einstein relaciona la fuerza de gravitación a la curvatura del espacio - la materia dicta al espacio-tiempo como curvar se y el espacio-tiempo dicta a la materia como mover se ⇒ es una teoría geométrica

TODAS LAS PREDICIONES de la relatividad general son verificadas

• La curvatura del espacio-tiempo - verificado en 1919 por Eddington

• La expansión del espacio-tiempo – verificado por Hubble ⇒ descripción cosmológica del espacio

• Los agujeros negros – observaciones y mediciones con el telescopio de Hubble

• Las ondas de gravedad – estrellas a neutrones en pares

Pero también tiene problemas:

1. La fuerza de gravedad no es similar a otras fuerzas – dicotomía entre visión relativista y teoría de partículas - la materia entra como tensor de energía (cantidad geométrica con 512 términos y solo uno es non cero) - no explica inercia, no incluye termodinámica

2. Existencia de singularidades – no se sabe como se aplica las fuerzas a la escala del átomo – ¿gravedad cuántica? – ¿teoría de las cuerdas?

3. No es claro que es la naturaleza del espacio-tiempo – Einstein “el espacio es la distancia entre materia” – no se sabe si el universo sigue la segunda ley de termodinámica

3

Ley de gravitación de Newton

Publicada en 1687, la ley de la gravitación de Newton estipula que: Toda partícula de materia en el universo atrae a todos las demás partículas con una fuerza que es directamente proporcional a las masas de las partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separas

(1) 1 22g

m mF G

r=

Donde • gF es la magnitud de la fuerza

• 1m y 2m son las masas de las partículas • r la magnitud de la distancia entre las partículas y • G la constante gravitatoria

Las fuerzas gravitatorias siempre actúan sobre una línea que une las 2 partículas y forman un par acción-reacción (tercera ley de Newton)

Por ejemplo, la fuerza de atracción que su cuerpo ejerce sobre la Tierra es igual a la fuerza de atracción que la Tierra ejerce sobre su cuerpo

Pero como la masa de la Tierra es 2310 mas grande que su masa, su aceleración es 2310− más pequeña (casi no se mueve)

Si la distribución de masa es uniforme, dentro un cuerpo sólido la fuerza gravitatoria sobre un cuerpo deberé disminuir hasta cero en su centro è sólo cuenta la contribución de la masa interior

4

La interacción gravitatoria de dos cuerpos con una distribución de masa de simetría esférica es la misma que si la masa de los dos cuerpos estaba concentrada en un punto en su centro (a demostrar más tarde)

Esta calidad de la fuerza gravitatoria legitima el modelo de partícula

Así que si modelamos la Tierra con un cuerpo simétrico de masa Em :

(2) 2E

gm m

F Gr

=

La gravitación explica porque los cuerpos celestes tiene una forma esférica: dado que todas las partículas de un cuerpo se atraen entre si tienden a moverse de forma que se minimice la distancia que las separas, y por lo tanto a asumir una forma simétrica esférica – tendencia a energía potencial mínima y área (superficie) mínima

Este efecto se reduce para cuerpo de pequeña masa – porque la fuerza electromagnética que forma las moléculas es mucho más potente que la fuerza gravitacional

5

Determinación del valor de G

Balanza de tensión (Sir Henry Cavendish 1798)

• Una varilla ligera rígida en forma de T invertida es sostenida por una fibra vertical de cuarzo muy ligera

• Dos esferas pequeñas de masa 1m se montan en los extremos

• Si colocamos dos esferas grandes de masa 2m cerca de las masas 1m , las fuerzas de atracción hacen girar T de un ángulo pequeño

• Este ángulo se mide usando la luz coherente de un láser reflejado por un espejo

La luz reflejada se mueve a lo largo de una escala

El valor de G medido de esta manera es: 2

112

N m6.67259(85) 10

kgG − ⋅

= ×

Como 2

m1N 1kg

s= ⋅ [ ]

3

2

mkg s

G =⋅

6

Ejemplo de Cálculo de la fuerza gravitatoria: En la balanza de Cavendish, ponemos 1 0.0100kgm = y 2 0.500kgm =

Si la distancia r entre 1m y 2m es de 0.0500mr =

( )

211 10

22

N m 0.0100kg 0.500kg6.67 10 1.33 10 N

kg 0.0500mgF − −⋅ ⋅

= × = ×

De todas las fuerzas, la fuerza gravitatoria es la más débil

Aceleración debida a la atracción:

Consideramos las masas 1m y 2m aisladas en el espacio.

La aceleración 1a de la masa 1m :

108

1 21

1.33 10 N m1.33 10

0.0100kg sgF

am

−−×

= = = ×

La aceleración 2a de la masa 2m :

1010

2 22

1.33 10 N m2.66 10

0.500kg sgF

am

−−×

= = = ×

Notamos que la aceleración no es constante porque la fuerza aumenta a medida que la distancia entre las masas disminuye

7

Superposición de fuerzas (adición vectorial)

La fuerza sobre la masa en O es igual a la suma vectorial de dos fuerzas: 1 2F F F= +r r r

( ) ( )12

1 2 2

0.500 0.01004.17 10 N

0.200 0.200

kg kgF G

m m−⋅

= = ×+

( )12

2 2

0.500 0.01008.34 10 N

0.200

kg kgF G

m−⋅

= = ×

Las componentes x e y :

121 1 cos45 2.95 10 NxF F −= = ×o e 12

1 1sen45 2.95 10 NyF F −= = ×o

122 8.34 10 NxF −= × e 2 0yF =

121 2 11.3 10 Nx x xF F F −= + = × e 12

1 2 2.95 10 Ny y yF F F −= + = ×

La magnitud de la resultante: 2 2 111.17 10 Nx yF F F −= + = ×

La dirección de la resultante: arctan 14.6y

x

F

Fθ = = o

8

Problema interesante: en la teoría de gravitación de Newton, la fuerza entre dos cuerpos actúa a distancia (acción instantánea)

A dos maneras de tratar este problema en física moderna

1. Una es la teoría de campo (electrodinámico): un cuerpo establece una perturbación en el campo en todos los puntos del espacio y la fuerza que actúa sobre un segundo cuerpo es la respuesta del campo sobre este cuerpo

2. La otra manera es la relatividad especial: la rapidez máxima de interacción es la velocidad de la luz

Nota importante: la teoría del campo es consistente con la relatividad especial, porque las perturbaciones del campo viajen en el espacio a la velocidad de la luz - la relatividad general es una teoría de campo

9

Noción de Peso El peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria total ejercida sobre el por todas los demás cuerpos del universo

Pero como la fuerza gravitatoria es muy débil, y que su influencia disminuye con el inverso cuadrático de la distancia, solamente los cuerpos cercanos contribuyen al peso

A la superficie de la Tierra:

(3) 2E

gE

m mw F G

R= =

Donde ER es el radio de la Tierra

La aceleración gravitacional a la superficie de la Tierra es:

(4) 2E

E

mg G

R= gF mg⇒ =

Como podemos medir G , ER e g , podemos deducir la masa de la Tierra:

(5) ( )26

2 224

211

2

m9.8 6.38 10 ms 5.98 10 kg

N m6.67 10

kg

EE

gRm

G −

⋅ ×= = = ×

⋅×

La masa de la Tierra fue calculada por la primera vez por Cavendish usando el valor de G determinado por su balanza

En un punto por encima de la superficie de la Tierra, a una distancia r del centro ( Er R− arriba de la superficie):

(6) 2E

gm m

w F Gr

= =

Nota: el hecho que la Tierra gira sobre su eje implica que el peso real no es exactamente como el cálculo è la Tierra no es un referencial inercial

10

Tampoco la Tierra muestra una distribución homogénea de materia:

Asumiendo una distribución uniforma, el volumen medio:

(7) ( )33 6 21 34 46.38 10 m 1.09 10 m

3 3E EV Rπ π= = × = ×

La densidad promedio seré por lo tanto:

(8) 24

21 3 3 3

5.98 10 kg kg g5500 5.50

1.09 10 m m cmE

EE

mV

ρ×

= = = =×

Por comparación la densidad del agua es: 3 3

kg g1000 1.00

m cmaguaρ = =

La densidad de las rocas en la superficie es del orden de solamente

3

g3

cm (granito, Gneiss)

⇒ el interior de la Tierra por lo tanto debe ser mucho más denso

Los modelos geológicos sugieren una

densidad en el centro hasta 3

g13

cm

11

El campo gravitacional de la Tierra, por lo tanto, no debe ser uniforme:

La figura muestra el campo gravitacional como medido por un satélite de la NASA

Peso en Marte: El radio y masa de Marte son: 63.40 10 mMR = × y 236.42 10 kgMM = ×

Su masa es igual a:

2

39200N4000kg

m9.8

s

sondam = =

Su peso en Marte será:

( )2 23

1122 2 6

N m 6.42 10 kg 4000kg6.67 10 15000

kg 3.4 10 mM sonda

MarteM

M mW G N

R− ⋅ × ⋅

= = × =×

Esto es 40% de su peso en la Tierra La aceleración gravitacional de objetos que cae en Marte también es más pequeña

Usando la masa de la sonda encontramos: 2

m3.7

sg

sonda

Fg

m= =

Objetos caen más lentamente en la superficie de Marte

12

Peso aparente y rotación terrestre

Como la Tierra gira sobre su eje, no es un referencial inercial Por esta razón, el peso aparente de un cuerpo en la Tierra no es exactamente igual al peso verdadero 0w

r

Si suponemos que la Tierra es esféricamente simétrica, el peso verdadero tendrá una magnitud: 2

E EGm m R El cuerpo en el Polo Norte está en equilibrio en un sistema inercial, y la lectura de un balanza de resorte es igual a 0w El cuerpo en el ecuador se mueve en un círculo de radio ER con rapidez v y debe haber

una fuerza neta hacia adentro igual a la masa por la aceleración centrípeta: 2

0E

mvw F

R− =

13

En el ecuador, el peso aparente es:

(9) 2

0E

mvw w

R= −

Al ecuador, la aceleración gravitacional es:

(10) 2

0E

vg g

R= −

En un día, ~ 86164 s, un punto en el ecuador se mueve una distancia igual a la circunferencia de la Tierra: ( )62 2 6.38 10 mERπ π= ×

Por tanto: ( )62 6.38 10 m m

46586164s s

vπ ×

= = y

2

2

6 2

m465

ms 0.03396.38 10 m sE

vR

= =

×

La gravedad 2

0E

vg g

R= − es cerca de 20.03m s menor

Para puntos intermedios, necesitamos escribir una ecuación vectorial: (11) 0 0rad radw w ma mg ma= − = −

r r r r r

La dirección del peso aparente difiere de la dirección hacia el centro de la Tierra en un ángulo pequeño ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo., que es ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. o menos

Nota que para una nave en órbita, la aceleración ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo., de modo que ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. Un astronauta o cualquier otro cuerpo en una nave en órbita no tiene peso (ingravidez aparente).

14

Energía potencial gravitatoria A la superficie de la Tierra, consideramos la fuerza gravitatoria con una constante, de modo que el potencial gravitacional esta dado por: U mgy=

Pero en general 2E

gm m

F Gr

=

Para deducir la expresión general para la energía potencial gravitacional consideramos un cuerpo de masa m fuera de la Tierra y calculamos el trabajo gravW efectuado por la fuerza

gravitatoria cuando el cuerpo se aleja o acerca al centro de la Tierra desde 1r a 2r

Por definición:

(12) 2

1

r

grav rrW F dr= ∫

Donde rF es la componente radial (hacia fuera) de la

fuerza gravitatoria gFr

Como gFr

está dirigida hacia a dentro:

(13) 2E

rm m

F Gr

= −

Usando está expresión, podemos escribir la expresión por la energía gravitatoria como:

(14) 2

12

2 1

1 1r

grav E Er

drW Gm m Gm m

r r r

= − = −

∫

Como la fuerza gravitatoria es conservativa, el trabajo no depende de la forma de la trayectoria

15

La energía potencial U , tal que: 1 2gravW U U U= − ∆ = −

(15) Em mU G

r= −

Vemos que cuando r aumenta, U se torna más positivo y cuando r disminuye, U se torna más negativo.

Cuando r → ∞ , 0U →

Es importante recordar que solamente la diferencia de potencial U∆ es físicamente significativa, no su valor absoluta

También debemos recordar que como la fuerza gravitatoria es conservativa, la energía mecánica es conservada: constanteE = o 1 1 2 2K U K U+ = +

16

De la Tierra a la Luna En la historia de Julio Verne (1865) los astronautas viajaron de la Tierra a la Luna en un casco disparado por un cañón

¿Cuál es la rapidez inicial necesaria para alcanzar una altitud 2 Er R= ?

Como la única fuerza es la fuerza gravitacional:

constanteE = o 1 1 2 2K U K U+ = +

Donde 1 es el punto de partida ( Er R= ) y 2 es la altura máxima ( 2 Er R= y 0v = )

Si la masa del casco (con los astronautas) es m , la conservación de energía:

21

12 2

E E

E E

m m m mmv G G

R R⇒ − = −

2 24

111 2 6

N m 5.97 10 kg m km6.67 10 7900 28400

kg 6.38 10 m s hE

E

mv G

R− ⋅ ×

⇒ = = × = = ×

La rapidez de escape es la rapidez necesaria para escapar de la Tierra

Para encontrar este valor basta poner 2r → ∞ , así que 2 0K = y 2 0U =

210

2E

escE

m mmv G

R⇒ − =

( )2

11 342

46

N m2 6.67 10 5.97 10 kgkg2 m km

1.12 10 402006.38 10 m s h

Eesc

E

Gmv

R

− ⋅× × = = = × =

×

Notamos que si el lanzamiento se hace a partir de Cape Kennedy hacia el este, la rapidez es menor de 410 m/s que es la rapidez de rotación a esta latitud

En general la rapidez de escape es: 2

esc

GMv

R=

17

Relación entre fuerza y energía gravitacional

Como la fuerza gravitacional tiene una componente solamente en la dirección radial:

(16) 2

E Er

m m m mdU dF G G

dr dr r r = − = − − = −

• La fuerza radial apunta en la dirección opuesta a la de r creciente

En el caso de la superficie terrestre podemos escribir:

1 2 1 22

2 1 1 2

1 1grav E E E

E

r r r rW Gm m Gm m Gm m

r r r r R − −

= − = ≈

Como 2E

E

mg G

R= ( )1 2 0gravW mg r r⇒ = − < , se hace un trabajo contra la fuerza

Esto es similar a la expresión gravW U mgh=−∆ = donde 2 1r r h− = , el potencial gravitatoria aumenta con la altura

18

Movimiento de satélites Los satélites se mantienen en órbita siguiendo las leyes de Newton

Si lanzamos un proyectil desde el punto A en la dirección AB tangente a la superficie de la Tierra, a medida que cae, la Tierra se curva hacia abajo alejándose de el

⇒ Si lanzamos el proyectil como una rapidez suficiente, podría seguir dando una vuelta a la Tierra

• Las trayectorias cerradas que describen los satélites son elipses (o segmentos de elipse cuando la trayectoria choca con la Tierra) – la energía total del sistema es negativa

• Una órbita circular es un caso especial de elipse – el orbite circular es el orbite que tiene el momento angular más alto para un energía potencial gravitacional dada

• En una órbita abierta (hiperbólica o parabólica), el proyectil nunca vuelve a su punto de partida – la energía total del sistema es positiva

19

La única fuerza que actúa sobre un satélite en orbita es la atracción gravitatoria, dirigida hacia el centro de la Tierra

El satélite cae constantemente alrededor de la Tierra ⇒ su rapidez es exactamente la necesaria para mantener su distancia constante

Una órbita circular es el caso más simple e importante, pues muchos satélites artificiales tienen este tipo de órbita

Los planetas de nuestro sistema planetario también tienen orbitas casi circular

Un satélite en órbita circular describe una trayectoria uniforme y su rapidez es constante

Si el radio de la órbita es r , la aceleración del satélite será: 2

radv

ar

= (dirigida hacia el centro)

Por la ley de gravitación, la fuerza gravitacional es responsable para esta aceleración, de modo que para un satélite de masa m :

2

2Em m v

G mr r

=

La velocidad par una órbita circular es:

(17) EGmv

r=

• Podemos ver que v y r no son independientes

• El movimiento del satélite no depende de su masa - comportamiento típico de cuerpos en caída libre

o ingravidez aparente: el astronauta tiene la misma velocidad y aceleración que su nave (los dos están cayendo)

20

Como la rapidez v es igual a la distancia 2 rπ recorrida en una revolución dividida por el periodo:

(18) 2 r

vTπ

=

Deducimos el periodo de una órbita circular:

(19) 3 / 22 2

2E E

r r rT r

v Gm Gmπ π

π= = =

• Una órbita más grande tiene un periodo más grande y por tanto una velocidad más pequeña

• Comparando con la velocidad de escape, vemos que para escapar de un cuerpo esférico con un radio R necesitamos 2 veces la velocidad de un satélite en órbita circular con este radio ⇒ para salir de una órbita circular, necesitamos aumentar la velocidad por un factor 2

Para una órbita de radio r , la energía mecánica total E K U= + es:

(20) 21 12 2 2

E E E Em m m m m mE mv G mG mG G

r r r r= − = − = −

• Esto es la mitad de la energía gravitacional

• A aumentar r , aumenta la energía mecánica

Cuando el satélite toca a la atmósfera las fuerzas de fricción hacen un trabajo negativo disminuyendo la energía mecánica del satélite – no hay conservación de energía

⇒ Eventualmente, el satélite caerá sobre la Tierra

21

Ejemplo de Satélite meteorológico Masa: 1000kgm =

La altitud encima de la superficie de la Tierra: 300kmaltr =

Distancia del satélite del centro de la Tierra: 300km 6380km 6680kmalt Er r R= + = + =

La velocidad del satélite en órbita circular:

( )2

11 242

6

N m6.67 10 5.97 10 kgkg m

77306.68 10 m s

EGmv

r

− ⋅× × = = =

×

Su periodo: 62 6.68 10 m

2 5430s 90.5minm

7730s

rT

vπ

π×

= = = =

La aceleración radial:

2

2

6 2

m7730

ms 8.946.68 10 m s

va

r

= = =

×

El trabajo requerido para poner el satélite en orbita es igual a 2 1orbW E E= − , donde 1E es la energía mecánica de satélite en su rampa de lanzamiento y 2E es la energía mecánica del satélite en órbita

( ) ( )

( )

211 24

210

2 6

N m6.67 10 5.97 10 kg 1000kgkg

2.99 10 J2 2 6.68 10 m

EGm mE

r

− ⋅× × = − = − = − ×

×

101 6.25 10 JE

E

Gm mE

R= − = − ×

10 10 102 1 2.99 10 J 6.25 10 J 3.26 10 JorbW E E= − = − × + × = ×

Para que el satélite escape al campo de gravitación de la Tierra, la energía necesaria sería igual a la energía del orbite 10

2 2.99 10 JescW E= − = ×

22

Movimiento de los planetas El nombre planeta es de origen griega y significa vagabundo, porque se mueve en comparación de las estrellas

Durante los siglos XVI y XVII se descubrí nuevas ley sobre el movimiento de Planeta

Nicolas Copernic en 1543, propuso que:

• La Tierra es un planeta con los otros

• Todos los planetas giran alrededor del Sol

Entre 1601 y 1609, Johanes Kepler estudio el movimiento de los planetas usando datos precisos compilados por el astrónomo Tycho Brahe, deduciendo 3 leyes sobre los movimientos de los planetas en torno del Sol

1. Cada planeta se mueve en una órbita elíptica con el Sol en uno de los focos

2. Una línea desde el Sol a un planeta dado barre áreas iguales en tiempos iguales

3. El periodo de un planeta es proporcional a la longitud del eje mayor de su

órbita, elevado a la potencia 32

Usando la ley de gravitación, Newton conseguí a deducir las tres leyes de Kepler

Primera ley:

• Newton pudo demostrar que una fuerza que varia como 21/ r permite únicamente órbitas cerradas que son elípticas

o Las órbitas abiertas son parábolas o hipérbolas

Nota que en realidad el Sol y los planetas tornan junta alrededor de su centro de masa

Pero como el Sol tiene una masa 270 veces mayor que los planetas combinadas, el centro de masa del sistema planetario se encontró muy cerca del centro del Sol

En sistemas binarios de estrellas este fenómeno es más obvio

23

Propiedades de una elipse

En una elipse, la dimensión más larga es el eje mayor = semi-eje mayor, a

Los puntos S y S′ son los focos

El Sol esta en S y el planeta esta en P (el otro foco esta vació)

La suma de las distancias de S a P y de S′ a P es la misma para cualquier punto sobre la elipse

La distancia de los focos al centro es ea , donde e es un número sin dimensión, que varia entre 0 y 1, llamado excentricidad

⇒ Un círculo es una elipse con excentricidad 0e =

• Las excentricidades de las órbitas de los planetas varia entre 0.007 (Venus) hasta 0.240 (Plutón)

• La Tierra tiene una excentricidad 0.017e =

El punto más lejos del Sol es el afelio y el punto más cerca es el perihelio

24

Segunda ley de Kepler

Consideramos el movimiento de un planeta durante un tiempo pequeño dt

En este tiempo, la línea desde el Sol al planeta describe un ángulo dθ

El área barrida es el triángulo de altura r y

base rdθ y área 212

dA r dθ=

La rapidez con que se barre el área dAdt

es

la velocidad de sector

(21) 212

dA dr

dt dtθ

=

La esencia de la segunda ley de Kepler es que la velocidad de sector tiene el mismo valor en todos los puntos de la órbita

Cuando el planeta esta más cerca del Sol la rapidez debe aumentar y cuando se aleja debe disminuir

La componente de vr

perpendicular a la línea radial es senv v φ⊥ =

El desplazamiento rd v dtθ ⊥=

dv r

dtθ

⊥⇒ =

(22) 1

sen2

dArv

dtφ=

Pero senrv r vφ = ×r r que es igual a 1m

veces el momento angular L r mv= ×r r r

(23) 1

2dA

r mvdt m

= ×r r

La segunda ley de Kepler implica que el momento angular es una constante

25

En términos de la ley de gravitación es sencillo entender el porque

gdL

r Fdt

τ= = ×r rr r

, pero como gFr

es paralelo a rr , 0gr F× =rr

, el momento angular es una

constante

Esto es verdad por cualquier fuerza central

La conservación del momento angular explica también porque las orbitas de las planetas son dentro de un plano: el momento angular constante es siempre perpendicular a rr y gF

r

Dado L r mv= ×r r r

constante, rr y gFr

deben siempre ser en el mismo plano

Deducir la tercera ley de Kepler es más complicado, pero Newton pudo mostrar que la relación entre el periodo y el semi-eje mayor es:

(24) 3/22

S

aT

Gmπ

=

Para una órbita circular a se transforma en r

El periodo no depende de la excentricidad

Ejemplo de Tercera ley de Kepler La relación entre el semi-eje mayor de la órbita de Urano y Saturno es:

12

12

2.88 10 m2.01

1.43 10 mU

S

aa

×= =

×

Según la tercera ley de Kepler: ( )3 / 22.01 2.85U

S

TT

= =

Esto es consistente con los periodos observados: 83.75 anos

2.8529.42 anos

U

S

TT

= =

Nota que Urano fue descubierta mucho más tiempo después (1781) que la ley de Kepler fue conocida

26

El cometa de Halley

En su perihelio, el cometa esta a una distancia de 78.75 10 km× del Sol y durante el afelio esta a una distancia de 95.26 10 km× del Sol

Como constanteE = , K es máxima cuando U es mínima en el perihelio

La magnitud del eje mayor es igual: 92.67 10 km2

per afer ra

+= = ×

En el perihelio la distancia entre el cometa y el Sol es ( )1a ea a e− = −

De esta relación deducimos la excentricidad:78.75 10 km

1 0.967ea

×= − =

El periodo es: ( )

( )

3/293/29

30

2 2.67 10 km22.38 10 s 75.5 anos

1.99 10 kgS

aT

Gm G

ππ ×= = = × =

×%

El último perihelio estaba en 1986, que quiera decir que el próximo acontecerá en 2061

27

Distribuciones de masa esféricas Newton busco varios años una demostración de que las interacciones gravitatoria entre dos distribuciones de masa esféricas es la misma que si la masa de cada una estuviera centrada en su centro

Newton invento el cálculo diferencial e integral para demostrar esto

Empezamos con una masa puntual m que interactúa con un casco esférico delgado con masa total M

Consideramos un anillo en la superficie del casco centrado en la línea que va del centro del casco a m

Todas las partículas del anillo están a la misma distancia s de m

La energía potencial de interacción entre m y una partícula de masa im del anillo está dada

por: ii

mmU G

s= −

Sumamos esta expresión para todas las partículas del anillo:

(25) ii i

i i i

mm m mdU U G G m G dM

s s s= = − = − = −∑ ∑ ∑

28

El radio del casco es R así que el radio del anillo es senR φ y su circunferencia es 2 senRπ φ

La anchura del anillo es Rdφ y su área dA es: 22 sen 2 sendA R Rd R dπ φ φ π φ φ= ⋅ =

La relación entre dM y M es la misma que entre el área del anillo dA y el área total 24A Rπ=

(26) 2

2

2 sen 1sen

4 R 2dM dA R d

dM A

π φ φφ φ

π= = =

(27) sen2

GMmdU d

sφ φ=

Como ( ) ( )2 22 cos sens r R Rφ φ= − +

(28) 2 2 22 coss r rR Rφ= − +

Diferenciamos 2 2 sensds rR dφ φ=

(29) 2 2

Mm sds MmdU G G ds

s rR rR= − = −

Para encontrar la energía potencial total necesitamos integrar desde s r R= − hasta s r R= +

(30) ( ) ( )2 2

r R

r R

Mm MmU G ds G r R r R

rR rR

+

− = − = − + − − ∫

(31) Mm

U Gr

= −

Esto es igual a la energía potencial de dos masas puntuales m y M a una distancia r

Como la fuerza está dada por rdU

Fdr

= − , la equivalencia también se aplica a la fuerza

Por lo tanto, la interacción gravitatoria entre una distribución de masa esférica simétrica y una masa puntual es igual que si toda la masa de la esfera estuviera concentrada en le centro

Como las fuerzas vienen en par acción-reacción y cumplen con la tercera ley de Newton, la demostración también se aplica si la masa puntual m estuviera la masa de una masa esférica simétrica

29

Masa puntual dentro de un casco esférico

Para una masa puntual adentro de un casco esférico, el mismo análisis se aplica

Basta solamente integrar de R r− hasta R r+

(32) ( ) ( )2 2

R r

R r

Mm MmU G ds G R r R r

rR rR

+

− = − = − + − − ∫

(33) Mm

U GR

= −

La energía potencial U no depende de r y es igual en todo el interior del casco

Si la masa m se mueve dentro del casco no se efectúa un trabajo así que la fuerza sobre m debe ser cero en cualquier punto dentro del casco

En general, cualquier punto del interior de una distribución de masa geométricamente simétrica a una distancia r desde su centro, la fuerza gravitatoria sobre una masa puntual es la de la masa interna a r concentrada en el centro

Esto es una otra expresión de la ley de Gauss o del teorema de Birkhoff (relatividad general)

30

Viaje al centro de la Tierra

Suponga que hace un agujero que atraviesa la Tierra y deja caer una bolsa de correo de masa m

Supongamos que la densidad de la Tierra es uniforme

Como vimos, la fuerza gravitatoria a una distancia r del centro sólo depende de la masa M dentro de una esfera de radio r

Con densidad uniforme, la masa es proporcional al volumen de la esfera:

33

33

4343

E EE

rM rm RR

π

π= =

La magnitud de la fuerza gravitatoria sobre m está dada por:

3

2 2 3 3E E

gE E

Gm m Gm mGMm rF r

r r R R= = =

La fuerza es directamente proporcional a r

Está cero en el centro e igual a 2E

gE

Gm mF

R= en la superficie ( Er R= ).

31

Agujeros negros Consideramos el Sol Como una masa 301.99 10 kgM = × y un radio 86.96 10 mR = × la densidad media:

(34) ( )

30

333 8

1.99 10 kg kg1410

4 4 m6.96 10 m3 3

M MV R

ρπ π

×= = = =

×

La atracción gravitatoria junta los átomos de gas hasta hacer al Sol, en promedio, 41% más denso que el agua y unas 1200 veces más denso que el aire que respiramos La rapidez de escape de la superficie de una masa esférica con masa M y radio R es

2v GM R= Podemos relacionar esto con la densidad media

Sustituyendo: 343

M V Rρ ρ π = =

(35) 2 8

3GM G

v RR

π ρ= =

La velocidad de escape de la superficie del Sol es: 5 66.18 10 m s 2.2 10 km hv = × = ×

Esta velocidad es enorme, 1500 la velocidad de la luz

Consideramos estrellas con la misma densidad pero diferentes radios

• Par un valor dado de ρ , la velocidad de escape aumenta con el radio En 1783, John Mitchell, un astrónomo aficionado, señalo que si un cuerpo con la misma densidad del Sol tuviera un radio 500 veces mayor, la magnitud de su rapidez de escape sería mayor que la rapidez de la luz ⇒ semejante objeto no emitiría luz – formaría un agujero negro

32

De la ecuación 2GM

vR

= , hay un radio R crítico para que un cuerpo de masa M

pueda emitir luz

Nota que no podemos usar v c= en la ecuación (esto daría 2

2 2GM GMc R

R c= ⇒ = )

para deducir este límite, porque 1. la energía cinemática de la luz no es dada por 2 2mc

2. ni tampoco el potencial gravitacional tiene la forma de la ecuación Em mU G

r= −

En 1916, Karl Schwarzschild usó la teoría de la relatividad general de Einstein para deducir una expresión para el radio crítico SR , llamado ahora radio de Schwarzschild

(36) 2

2S

GMR

c=

Si un cuerpo esférico sin rotación con masa M tiene un radio menor que SR , entonces nada, ni siquiera la luz, podrá escapara de su superficie Este fenómeno describe un agujero negro La superficie de la esfera con radio SR , se denomina horizonte de eventos, porque no podemos ver (o conocer) los eventos que ocurren en su interior – espacio es space-like Lo único que un observador afuera del horizonte de eventos puede saber acerca de un agujero negro es:

1. Su masa, por su efecto gravitatorios sobre otros cuerpos 2. Su carga eléctrica, por la fuerza eléctrica que ejerce sobre otros cuerpos 3. Su momento angular, porque un agujero negro en rotación tiende a arrastrar el

espacio junto con él Todas la demás información acerca del cuerpo se pierde irremediablemente cuando colapsa dentro de su horizonte de eventos = entropía del agujero negro

33

Formación de un agujero negro de masa estelar Segundo la teoría astrofísica moderna, un estrella al final de su vida colapsará bajo su peso formando un agujero negro si su masa final (después de una explosión en supernova) es del orden 2Me (limite de las estrellas a neutrones)

En la ecuación 2

2S

GMR

c= , ponemos: ( )302 1.99 10 kgM = ×

(37) ( )

211 30

23

228

N m2 6.67 10 4.0 10 kg

kg25.9 10 m 5.9km

m3.00 10

s

SGM

Rc

− ⋅× ×

= = = × = ×

Si el radio es igual a SR , la densidad media tiene el valor:

(38) ( )

3018

333 3

4.0 10 kg kg4.6 10

4 4 m5.9 10 m3 3S

M

Rρ

π π

×= = = ×

×

Esto es del orden de 1510 veces la densidad de la materia ordinaria en la Tierra y es comparable con la densidad de los núcleos atómicos De hecho una vez que el cuerpo se colapsa a un radio de SR , nada puede evitar que se colapse más

• toda la masa se comprime en un solo punto llamado singularidad que tiene cero volumen y por tanto una densidad infinita

34

Se observa en el centro de galaxias objetos que solamente pueden ser producido por materia cayendo en un agurejo masivo del orden de 6 910 hasta 10M Me e

Como se forma tal objeto no se sabe, posiblemente por la numerosa fusión de galaxias de baja masas y ricas en gas en cúmulos de galaxias o grupos

35

De hecho se sabe ahora que un agujero con masa del orden de 3 o 64 10 M× e se encuentra en el centro de nuestra galaxia Confirmación por radio telescopio VLA que Sgr A* esta ubicado muy cercano del centro dinámico de nuestra galaxia (1980 – 1981) + la fuente es variable en radio (1982)

36

Vista más detallada de Sgr A* en el centro de nuestra galaxia – radio fuente compacta (Balick and Brown 1974)

37

(Genzel & Towns 1987) diagrama de masa vs. distancia al centro de Sgr A* deducida a partir de la dinámica de estrellas - el mejor modelo sugiere masa puntual del orden

63 10 M× e (modelos: 1) core radius; 2) sum of core radius + point mass; 3) core radius + dark cluster)