capi1

CAPÍTULO 1

AISLADORES DE BASE CASO PLANO

1.1 PROPIEDADES DINÁMICAS

El primer ejemplo que se va a analizar, corresponde a una estructura de 4 pisos sin aislamiento sísmico; el segundo ejemplo se analizará la misma estructura pero con aisladores sísmicos elastoméricos, colocados sobre la cimentación; estos dos ejercicios concluirán con la determinación de los períodos y modos de vibración.

Para ilustrar la ubicación de los aisladores se presenta el Edificio de VULCO en

Santiago de Chile, que es la empresa que produce aisladores de acuerdo al requerimiento del Proyectista Estructural. Como era de esperarse esta estructura tiene aisladores sísmicos, se indican algunas precauciones que deben tenerse en cuenta en la construcción para que la estructura pueda desplazarse libremente.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

2

• EJEMPLO 1

Encontrar la matriz de rigidez y de masas; con base empotrada; de la estructura de cuatro pisos, presentada en la figura 1.1 si todas las columnas son iguales y tienen una sección transversal de 45/60 cm.; las vigas de los tres primeros pisos son de 35/60 cm., y las del cuarto piso de 35/50 cm. El módulo de elasticidad del hormigón 2168870 / .

Figura 1.1 Estructura de 4 pisos sin aislamiento sísmico.

• SOLUCIÓN

En la figura 1.2 se presenta a la izquierda, la numeración de nudos y elementos.

Nótese que para utilizar los programas de CEINCI-LAB se debe numerar primero los nudos restringidos; a la derecha se presentan los grados de libertad, primero se han numerado las coordenadas principales (1 al 4) y después las restantes coordenadas de la estructura.

Figura 1.2 Numeración de nudos y elementos. Grados de Libertad

El programa que determina la matriz de rigidez, masa y halla las propiedades

dinámicas se denomina: ejemplo_1_ULEAM El programa que determina el sistema de coordenadas generalizadas indica a la

derecha de la figura 1.2, se denomina cg_sismo. El programa que determina la matriz de rigidez de la estructura con todos los grados de

libertad se denomina krigidez. La condensación estática se lo realiza sin utilizar ningún programa. El programa que determina las Propiedades dinámicas es: orden_eig.

3,6

3,6

1

2

3

4

m1

m2

m3

m44.00 T/m

4.97 T/m

4.97 T/m

4.97 T/m

7,1 5 7,1

3,6

3,6

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

3

% Cálculo de Propiedades Dinámicas de un Pórtico de 4 Pisos con Base % Empotrada. % Curso de Universidad Laica Eloy Alfaro de Manta, ULEAM % realizado el 31 de mayo y 1 de junio % Dr. Roberto Aguiar % CEINCI-ESPE %..................................................................... % ejemplo_1_ULEAM %..................................................................... %1. Cálculo de Matriz de Rigidez nod=20;np=4;nr=4; %numero de nudos, pisos y nudos restringidos [CG,ngl]=cg_sismo(nod,np,nr); % Matriz de Coordenadas Generalizadas GEN=[1 1 5 3 1 1 1; %Elem, NI, NF, Num de Ele, incr elem, incr NI, incr NF. 5 5 9 3 1 1 1; 9 9 13 3 1 1 1; 13 13 17 3 1 1 1; 17 5 6 3 3 4 4; 18 6 7 3 3 4 4; 19 7 8 3 3 4 4]; [NI,NJ]=gn_portico(GEN); % Vectores de Nudos Inicial y Final NUDOS=[1 0.0 0.0 4 4 0 3.6; %Nudo, X, Y, Num nud Incr nud, DX, Dy 2 7.1 0.0 4 4 0 3.6; 3 12.1 0 4 4 0 3.6; 4 19.2 0.0 4 4 0 3.6]; [X,Y]=glinea_portico(NUDOS); % Coordenadas de los nudos X, Y dibujo(X,Y,NI,NJ); SECCION=[1 0.45 0.60 15 1;%Elem, b,h, Elem a gener, Increm en nume. 17 0.35 0.60 8 1; 26 0.35 0.50 2 1]; [ELEM]=gelem_portico(SECCION); %Generación de los elementos [L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ); %Longitud, seno y coseno de elementos E=2168870; %Módulo de elasticidad del hormigón [VC]=vc(NI,NJ,CG);% Matriz que contiene los vectores de colocación [SS]=krigidez(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E); % Matriz de rigidez de Est. na=4; % Numero de coordenadas principales Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl); K=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba %2. Cálculo de Matriz de Masas m1=4.97*19.2/9.8;m2=m1;m3=m1; % Masas de los pisos 1,2 y 3 m4=4*19.2/9.8; %Masa de 4 piso M= [m1 0 0 0; 0 m2 0 0; 0 0 m3 0; 0 0 0 m4] % Matriz de Masas %3. Cálculo de Propiedades Dinámicas [T,fi,OM]=orden_eig(K,M) % Períodos, Modos y Frecuencias de vibración

• RESULTADOS

Las matrices de rigidez y de masas, son:

28927 1660216602 24835

4112 49915341 3006

4112 15341499 3066

21142 92499249 6655

9.74

9.749.74

7.84


4

Tabla 1.1 Propiedades Dinámicas de estructura analizada con base empotrada. Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4

Período (s.) 0.7269 0.2319 0.1266 0.0865 Frecuencia (1/s.) 8.6437 27.0889 49.6265 75.5976

Modo de vibración

0.0528 0.1440 0.2132 -0.1836 0.1308 0.2048 0.0091 0.2088 0.1947 0.0374 -0.2024 -0.1498 0.2362 -0.2191 0.1418 0.0607

Figura 1.3 Modos de vibración de la Estructura con Base Empotrada.

• EJEMPLO 2

En la estructura del Ejemplo 1, se han colocado aisladores elastoméricos de tal manera

que el período característico de la estructura es de 2.0 seg., para ello se debe construir en la planta baja una losa de aislación como se muestra en la figura 1.4.

Figura 1.4 Estructura con aisladores sísmicos.

m3

m4

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4

m1

m2

m3

m4

m1

m2

m3

m4

m1

m2

m3

m4

m1

m2

1.815 T/m

m mm

1mb

3,6

mm

mm

7,1 5 7,1

3,6

3,6

3,6

2

3

4

5

m1

m2

m3

m44.00 T/m

4.97 T/m

4.97 T/m

4.97 T/m


5

Se pide encontrar la rigidez del sistema de aislación; la matriz de masa, la matriz de rigidez y las propiedades dinámicas.

• SOLUCIÓN

1. Rigidez del Sistema de Aislación.

En la figura 1.4 se presenta el modelo para el análisis sísmico de la estructura con

aisladores de base. En la planta baja se ha construido una losa maciza de 10 cm., de espesor, sobre vigas, que se denomina losa de aislación. Este peso más el peso de las columnas de la planta baja y el peso de los aisladores es de 1.815 T/m. Al multiplicar este peso por 19.20 y al dividir para la aceleración de la gravedad se encuentra 3.56 / .

3.56 9.74 9.74 9.74 7.84 40.62 /

2

2 2 40.62 400.80

2. Matriz de Masas

A la derecha de la figura 1.4 se indican las coordenadas principales; la coordenada 1,

es el desplazamiento del sistema de aislación con respecto al suelo; en cambio las coordenadas 2 a 5 son coordenadas relativas de piso con respecto al movimiento del sistema de aislación.

40.62 9.74 9.749.74 9.74

9.74 7.84

9.74 9.749.747.84

9.747.84

3. Matriz de Rigidez

Al trabajar con coordenadas relativas, la matriz de rigidez es diagonal y tiene la

siguiente forma:

Donde es la rigidez del sistema de aislación y es la matriz de rigidez con base

empotrada, para el ejemplo se tiene:


6

401 0 0 0 00000

28927 1660216602 24835

4112 49915341 3006

4112 15341499 3066

21142 92499249 6655

En la tabla 2.2 se presentan las propiedades dinámicas de la estructura con aisladores

sísmicos. Estrictamente el período fundamental debió salir 2.0 seg., que es el período característico impuesto por el proyectista estructural, no salió este valor debido a que existen algunas aproximaciones que se hacen en el análisis.

Tabla 2.2 Propiedades Dinámicas de estructura con aisladores de base

Modo 1 2 3 4 5 Período (seg.) 2.10 0.38 0.18 0.10 0.08

0.1419 0.2168 0.2262 -0.2431 -0.3217 0.0063 -0.0388 -0.1483 0.2956 0.5222 0.0147 -0.1613 -0.4039 0.4002 0.1846 0.0208 -0.3156 -0.3559 0.0327 0.3947 0.0245 -0.4423 -0.0347 0.3510 0.2962

En la figura 1.5 se presentan los modos de vibración. Para entender fijémonos

únicamente en los valores del primer modo; el sistema de aislación se desplaza 0.1419 y con respecto a ese valor los pisos superiores se desplaza lo que está indicado en la tabla 2.2. Se recuerda que los modos de vibración son adimensionales.

Figura 1.5 Modos de vibración de la estructura con aisladores de base.

Normalmente las estructuras trabajan en el primer modo y se aprecia en la tabla 2.2,

que es el sistema de aislación el que se desplaza 0.14; los otros pisos se desplazan menos de la décima parte de este valor; es así como trabajan las estructuras con aisladores sísmicos. Prácticamente no se desplazan.

El programa con el cual se ha resuelto se denomina ejemplo_2_ULEAM y se lista a

continuación. Como se aprecia se ha vuelto a copiar el ejemplo 1, al comienzo.

m1

m2

m3

m4

mb

m1

m2

m3

m4

mb

m1

m2

m3

m4

mb

m1

m2

m3

m4

mb

m1

m2

m3

m4

mb

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5

Modos de vibración con aislamiento sísmico


7

% Cálculo de Propiedades Dinámicas de un Pórtico de 4 Pisos con Aisladores % Elastoméricos % Curso de Universidad Laica Eloy Alfaro de Manta, ULEAM % realizado el 31 de mayo y 1 de junio % Dr. Roberto Aguiar % CEINCI-ESPE %..................................................................... % ejemplo_2_ULEAM %..................................................................... %1. Cálculo de Matriz de Rigidez con base empotrada nod=20;np=4;nr=4; %numero de nudos, pisos y nudos restringidos [CG,ngl]=cg_sismo(nod,np,nr); % Matriz de Coordenadas Generalizadas GEN=[1 1 5 3 1 1 1; %Elem, NI, NF, Num de Ele, incr elem, incr NI, incr NF. 5 5 9 3 1 1 1; 9 9 13 3 1 1 1; 13 13 17 3 1 1 1; 17 5 6 3 3 4 4; 18 6 7 3 3 4 4; 19 7 8 3 3 4 4]; [NI,NJ]=gn_portico(GEN); % Vectores de Nudos Inicial y Final NUDOS=[1 0.0 0.0 4 4 0 3.6; %Nudo, X, Y, Num nud Incr nud, DX, Dy 2 7.1 0.0 4 4 0 3.6; 3 12.1 0 4 4 0 3.6; 4 19.2 0.0 4 4 0 3.6]; [X,Y]=glinea_portico(NUDOS); % Coordenadas de los nudos X, Y dibujo(X,Y,NI,NJ); SECCION=[1 0.45 0.60 15 1;%Elem, b,h, Elem a gener, Increm en nume. 17 0.35 0.60 8 1; 26 0.35 0.50 2 1]; [ELEM]=gelem_portico(SECCION); %Generación de los elementos [L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ); %Longitud, seno y coseno de elementos E=2168870; %Módulo de elasticidad del hormigón [VC]=vc(NI,NJ,CG);% Matriz que contiene los vectores de colocación [SS]=krigidez(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E); % Matriz de rigidez de Est. na=4; % Numero de coordenadas principales Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl); K=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba; %2. Cálculo de Matriz de Masas con base empotrada m1=4.97*19.2/9.8;m2=m1;m3=m1; % Masas de los pisos 1,2 y 3 m4=4*19.2/9.8; %Masa de 4 piso M= [m1 0 0 0; 0 m2 0 0; 0 0 m3 0; 0 0 0 m4]; % Matriz de Masas %3. Rigidez de sistema de aislación mb=3.56; %Masa de losa de aislación, más aisladores sísmicos To=2.0; %Período característico de la estructura con aisladores mt=mb+m1+m2+m3+m4; %Masa total del sistema de aislación kb=(2*pi/To)^2*mt % Rigidez del sistema de aislación %4. Matriz de rigididez de Estructura con Aisladores Sísmicos KA=zeros(5,5) KA(1,1)=kb;KA(2:5,2:5)=K; %5. Matriz de Masas masas=[mb;m1;m2;m3;m4] [MA]=masas_aislador(masas) %6. Cálculo de Propiedades Dinámicas [T,fi,OM]=orden_eig(KA,MA) % Períodos, Modos y Frecuencias de vibración

• EDIFICIO VULCO CON AISLADORES SÍSMICOS

Uno de los bloques estructurales, que tiene 2 pisos, de la Empresa VULCO en

Santiago de Chile tiene aisladores elastoméricos colocados sobre los plintos, como se aprecia en la figura 1.6. Nótese que las columnas que se encuentran sobre los aisladores se ha agrandado su sección transversal para poder colocar en forma eficiente los aisladores, de igual manera nótese las vigas de la losa de aislación.


8

Figura 1.6 Estructura con aisladores sísmicos sobre los Plintos

Figura 1.7 Detalle constructivo en el Primer Piso.

En las figuras 1.7 y 1.8 se presentan dos detalles constructivos de las gradas de

acceso a la estructura. En la figura 1.8 se aprecia un “fusible” que en un sismo severo va a romperse con lo que se desacopla la estructura de la grada para que pueda moverse libremente.


9

Figura 1.8 Detalle constructivo de la grada de acceso en el Segundo Piso.

• EJEMPLO 3

Determinar la matriz de rigidez de la estructura con aisladores sísmicos del ejemplo 2

pero sin encontrar en primer lugar la matriz de rigidez con base empotrada, sino que utilizando el modelo numérico de grados de libertad indicado a la derecha de la figura 1.9; a la izquierda se tiene la numeración de los nudos y elementos.

Figura 1.9 Numeración de nudos, elementos y Grados de Libertad.

• SOLUCIÓN

El programa que determina directamente la matriz de rigidez de la estructura con

aisladores sísmicos se denomina ejemplo_3_ULEAM, que se lista a continuación.


10

% Determinación de Matriz de Rigidez de Pórtico de 4 Pisos con Aisladores % Elastoméricos sin calcular previamente la matriz de rigidez con base % empotrada. % Curso de Universidad Laica Eloy Alfaro de Manta, ULEAM % realizado el 31 de mayo y 1 de junio % Dr. Roberto Aguiar % CEINCI-ESPE %..................................................................... % ejemplo_3_ULEAM %..................................................................... %1. Cálculo de Matriz de Rigidez directamente con aisladores sísmicos nod=20;np=4;nr=4; [CG,ngl]=cg_aislador(nod,np,nr); GEN=[1 1 5 3 1 1 1;5 5 9 3 1 1 1;9 9 13 3 1 1 1; 13 13 17 3 1 1 1; 17 1 2 2 1 1 1; 20 5 6 2 1 1 1; 23 9 10 2 1 1 1; 26 13 14 2 1 1 1; 29 17 18 2 1 1 1]; [NI,NJ]=gn_portico(GEN); [VC]=vc_aislador(NI,NJ,CG); NUDOS=[1 0.0 0.0 4 4 0.0 3.6; 2 7.1 0.0 4 4 0.0 3.6; 3 12.1 0.0 4 4 0.0 3.6; 4 19.2 0.0 4 4 0.0 3.6]; [X,Y]=glinea_portico(NUDOS); dibujo(X,Y,NI,NJ); [L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ); SECCION=[1 0.45 0.60 15 1; 17 0.35 0.60 11 1; 29 0.35 0.50 2 1]; [ELEM]=gelem_portico(SECCION); E=2168870; kb=[100.3; 100.3; 100.3; 100.3]; % Rigidez de cada uno de los aisladores [SS]=krigidez_aislador(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,kb); Kaa=SS(1:5,1:5);Kab=SS(1:5,6:ngl);Kbb=SS(6:ngl,6:ngl);Kba=Kab'; K=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba % Matriz de rigidez de aislación estructura

• SOLUCIÓN

Únicamente por didáctica se vuelve a copiar la matriz de rigidez que se obtiene.

401 0 0 0 0

0000

28927 1660216602 24835

4112 49915341 3006

4112 15341499 3066

21142 92499249 6655

A continuación se listan algunos de los programas que se han utilizado, su estudio

ayudará a entender la teoría y el desarrollo de los ejemplos realizados.

1.2 DESCRIPCIÓN DE ALGUNOS PROGRAMAS UTILIZADOS

• Programa cg_aislador [CG,ngl]=cg_aislador (nod,np,nr)

Este programa calcula, la matriz que contiene a las Coordenadas Generalizadas de

cada uno de los nudos y el número de grados de libertad de la estructura. Para los nudos del sistema de aislación 1, 2, 3 y 4; este arreglo es [ 1 0 0 ], solo puede desplazarse en sentido horizontal. Es decir este programa reproduce los grados de libertad que están indicados en la figura 6.12. Los datos de entrada, son:

nod Número de nudos del pórtico. np Número de pisos. nr Número de nudos restinguidos.


11

function [CG,ngl]=cg_aislador(nod,np,nr) % % Programa para encontrar las coordenadas generalizadas % en un Portico Plano con Aisladores de Base sobre la cimentación % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2011 %------------------------------------------------------------- % [CG,ngl]=cg_aislador(nod,np,nr) %------------------------------------------------------------- % CG Matriz de coordenadas generalizadas % nod Numero de nudos % np Numero de pisos % nr Numero de nudos con aisladores de base sobre cimentacion % ngl=0;CG=zeros(nod,3); for i=1:nr CG(i,1)=1; end ngl=ngl+1;icon=nr; %------------Coordenadas Principales---------------------------- for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr nn=icon+j; CG(nn,1)=ngl; end icon=nn; end %-----------Coordenadas Secundarias---------------------------- icon=nr; for i=1:np for j=1:nr nn=icon+j;ngl=ngl+1; CG(nn,2)=ngl; ngl=ngl+1; CG(nn,3)=ngl; end icon=nn; end return

• Programa gn_portico

[NI,NJ]=gn_portico (GEN) Este programa obtiene dos vectores denominados NI, NJ que contienen los nudos

iniciales y finales del pórtico. Los datos de ingreso vienen en la matriz GEN, el usuario podrá ver el significado de cada variable de ingreso en el programa que se indica a continuación. function [NI,NJ]=gn_portico(GEN) % % Programa para generar el Nudo inicial y final de los elementos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Septiembre de 2009


12

% Revisado Septiembre 2011 %------------------------------------------------------------- % [NI,NJ]=gn_portico(GEN) %------------------------------------------------------------- % GEN=[i,ia,ib,nig,ii,ina,inb] % i Número del elemento % ia Nudo inicial del elemento % ib Nudo final del elemento % nig Número de elementos a generar % ii Incremento en la numeración de los elementos % ina Incremento en la numeración del nudo inicial % inb Incremento en la numeración del nudo final % NI,NJ Vectores con los nudos iniciales y finales generados nf=length(GEN(:,1)); for ij=1:nf i=GEN(ij,1);ia=GEN(ij,2);ib=GEN(ij,3);nig=GEN(ij,4); ii=GEN(ij,5);ina=GEN(ij,6);inb=GEN(ij,7); NI(i)=ia;NJ(i)=ib; for k=1:nig i=i+ii;NI(i)=ia+ina;NJ(i)=ib+inb; ia=NI(i);ib=NJ(i); end end return % ---end---

• Programa vc_aislador

[VC]=vc_aislador (NI,NJ,CG) Este programa halla la matriz que contiene a los vectores de colocación de cada uno

de los elementos de la estructura. Este programa es diferente al vc_portico debido a que ahora se trabaja con coordenadas relativas. Si se trabajará con el programa vc_portico, el vector de colocación del elemento 1, sería: [1 0 0 2 6 7]. Pero como los desplazamientos de la superestructura son relativos al sistema de aislación, el vector de colocación es [0 0 0 2 6 7] y esto se obtiene con el programa vc_aislador

Los datos de entrada son: NI, NJ , vectores que contienen al nudo inicial y final de la

estructura y CG que es la matriz que contiene a las coordenadas generalizadas.

function [VC]=vc_aislador(NI,NJ,CG) % % Programa para calcular la matriz con los vectores de colocación % en Porticos Planos con Aisladores de Base. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2011 %------------------------------------------------------------- % [VC]=vc(NI,NJ,CG) %------------------------------------------------------------- % NI Vector con los nudos iniciales de los elementos % NJ Vector con los nudos finales de los elementos % CG Matriz que contiene las coord. generalizadas de nudos mbr=length(NI);icod=length(CG(1,:));VC=zeros(mbr,icod); for i=1:mbr for j=1:icod VC(i,j)=CG(NI(i),j);VC(i,j+icod)=CG(NJ(i),j);


13

end if VC(i,1)==1 if VC(i,4)==1 continue else VC(i,1)=0; end end end return % ---end----

• Programa glinea_portico

[X,Y]=glinea_portico (NUDOS)

Este programa obtiene dos vectores denominados X, Y, con las coordenadas en sentido X, Y, de cada uno de los nudos de la estructura. El ingreso de datos se realiza en la matriz NUDOS, el contenido de esta matriz se ve en el listado del programa que se indica a continuación.

function [X,Y]=glinea_portico(NUDOS) % % Programa para generar las coordenadas de los nudos en forma lineal % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Septiembre de 2009 %------------------------------------------------------------- % [X,Y]=glinea_portico(NUDOS) %------------------------------------------------------------- % NUDOS=[i,xi,yi,ij,inci,dx,dy] % i Nudo inicial % xi,yi Coordenadas del nudo inicial % ij Numero de nudos a generar % inci Incremento en la numeración del nudo inicial % dx Incremento de longitud en X. % dy Incremento de longitud en Y. % X,Y Vector que contiene las coordenadas de los nudos nf=length(NUDOS(:,7)); for k=1:nf i=NUDOS(k,1);X(i)=NUDOS(k,2);Y(i)=NUDOS(k,3); ij=NUDOS(k,4);inci=NUDOS(k,5); dx=NUDOS(k,6);dy=NUDOS(k,7); for ii=1:ij X(i+ii*inci)=X(i)+ii*dx; Y(i+ii*inci)=Y(i)+ii*dy; end end return

• Programa longitud

[L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ) Este programa halla tres vectores que se han denominado L, seno, coseno, que contiene

la longitud de cada uno de los elementos, el primer vector; el seno del ángulo que forma el eje del miembro con el eje de las X, y el coseno del ángulo anterior. Esta información sirve para obtener la matriz de rigidez en coordenadas globales. En la figura 6.13 se indica, a la izquierda


14

un elemento inclinado que forma un ángulo , con la horizontal; la longitud del elementos se halla con las coordenadas X, Y, del nudo inicial y final, por eso son datos los vectores X, Y, que contienen las coordenadas de todos los nudos; NI, NJ, los vectores con la información del nudo inicial y final de cada elemento.

Con los valores del seno y coseno se halla la matriz de paso de coordenadas locales a

globales. Aguiar (2004).

Figura 1.9 Coordenadas Locales y Globales de un elemento.

function [L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ) % % Programa que calcula longitud, seno, coseno de los elementos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Septiembre de 2009 %------------------------------------------------------------- % [L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ) %------------------------------------------------------------- % X,Y Vector de coordenadas de los nudos % NI,NJ Vector de nudos inicial y final de elementos mbr=length(NI); for i=1:mbr dx=X(NJ(i))-X(NI(i));dy=Y(NJ(i))-Y(NI(i)); L(i)=sqrt(dx*dx+dy*dy); seno(i)=dy/L(i);coseno(i)=dx/L(i); end; return

• Programa krigidez_aislador

[SS]=krigidez_aislador (ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,kb) El programa krigidez_aislador determina la matriz de rigidez de la estructura, es similar al

programa krigidez, que obtiene la matriz de rigidez de un pórtico plano con base empotrada. Ahora se debe dar un dato más que es:

Kb Vector que contiene la rigidez de cada uno de los aisladores.

function [SS]=krigidez_aislador(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,kb) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez de un portico plano


15

% o armadura plana con aisladores de base % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2011 %------------------------------------------------------------- % [SS]=krigidez_aislador(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,kb) %------------------------------------------------------------- % ELEM Matriz que contiene la base y la altura de los elementos % para el caso de pórticos planos. % ELEM Vector que contiene el área de los elementos de armadura % L Vector que contiene la longitud de los elementos % seno Vectorque contiene los senos de los elementos % coseno Vector que contiene los cosenos de los elementos % VC Matriz que contiene los vectores de colocación de elementos % E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % ngl Número de grados de libertad % kb Vector que contiene la rigidez de cada uno de los aisladores % mbr=length(L); SS=zeros(ngl);icod=length(VC(1,:)); for i=1:mbr if icod==4 A=ELEM(i,1); %Area de elemento Lon=L(i);sen=seno(i);cose=coseno(i); [k]=kdiagonal(A,Lon,E,sen,cose); else b=ELEM(i,1);h=ELEM(i,2);Lon=L(i);sen=seno(i);cose=coseno(i); [k]=kmiembro(b,h,Lon,E,sen,cose); end for j=1:icod jj=VC(i,j); if jj==0 continue end for m=1:icod mm=VC(i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end % Contribucion de aisladores icont=length(kb); % Numero de aisladores for i=1:icont SS(1,1)=SS(1,1)+kb(i); end; return

• Programa masas_aislador [M]=masas_aislador(masas) Programa para encontrar la matriz de masas de un pórtico plano con aisladores de

base, cuyo modelo numérico de cálculo, es similar al que está a la derecha de la figura 6.12. Los datos se ingresan en el vector:


16

masas Contiene la masa del sistema de aislación , pero la total; del primer piso , total; del segundo piso , etc. Con esta información el programa encuentra la masa total de la estructura con sistema de aislación que se había denominado , que es el primer elemento de la matriz de masas.

function [M]=masas_aislador(masas) % % Programa para encontrar la matriz de masas de una estructura % Plana con aisladores de base elastomericos sobre la cimentacion % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2011 %------------------------------------------------------------- % [M]=masas_aislador(masas) %------------------------------------------------------------- % masas Vector que contiene las masas de cada piso empezando % por la masa de la losa de aislación; luego del primer % piso hasta la del último piso. ngl=length(masas); M=zeros(ngl); for i=1:ngl if i==1 M(i,i)=sum(masas); else M(i,i)=masas(i);M(1,i)=masas(i);M(i,1)=masas(i); end end return

• Programa orden_eig

[T,fi,OM]=orden_eig (KE,MASA) Programa que encuentra los valores y vectores propios de una estructura, a partir de los

siguientes datos: KE Matriz de rigidez de la estructura. MASA Matriz de masas de la estructura. El programa reporta: T Períodos de vibración de la estructura de mayor a menor. fi Modos de vibración de la estructura. OM Frecuencias de vibración.

function [T,fi,OM]=orden_eig(KE,MASA) % % Programa que calcular y ordenar los valores y vectores propios % de menor a mayor % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Octubre de 2009 %------------------------------------------------------------- % [T,phi,OM]=orden_eig(K,M) %------------------------------------------------------------- % KE,MASA Matrices de rigidez y de masas


17

% V,OM Vectores propios y frecuencias de vibración % T Períodos de vibración n=length(KE); [V,lamda]=eig(full(KE),full(MASA)); OM=sqrt(diag(lamda));[OM,ind]=sort(OM);fi=V(:,ind); for i=1:n; T(i)=2*pi/OM(i); end; T=T'; Md=diag(fi'*MASA*fi);S=sqrt(1./Md);% Normalización de modos fi=fi*diag(S);% Normalizado de tal manera que fi'*M*fi=1 return

4.1 AISLADORES ELASTOMÉRICOS

Una forma de realizar el análisis sísmico de estructuras en general, es efectuarlo en coordenadas principales, para el efecto se obtiene la matriz de rigidez con todos los grados de libertad (coordenadas principales y secundarias) y se condensa a las coordenadas principales. Las matrices de masa y amortiguamiento también se hallan en coordenadas principales y finalmente se aplica cualquier método numérico para encontrar la respuesta en el tiempo. Aguiar (2007, 2008).

En este apartado se ilustra la forma como se realiza el análisis sísmico trabajando con

todos los grados de libertad, sin necesidad de numerar en primer lugar las coordenadas principales y luego las coordenadas secundarias. Para el efecto se halla la respuesta en el tiempo de la estructura indicada en la figura 4.1, que está sobre aisladores de base elastoméricos, las vigas son de 40/60 y las columnas de 60/60. La carga vertical que gravita en la viga inferior es de 3 T/m., y en la viga superior de 2 T/m.


18

Figura 4.1 Descripción de estructura a analizar.

El período objetivo de la estructura con aisladores de base es 2.0 s., el factor de amortiguamiento de la superestructura es 05.0=sξ y del sistema de aislación 10.0=bξ . Se

considera 2/1800000 mTE = . La altura del aislador es de 0.40 m. Se va a encontrar la respuesta ante la componente horizontal en sentido X, del sismo de El Centro de 1940.

4.1.1 Reacciones de la estructura con base fija En la figura 4.2 se presentan los grados de libertad. Nótese que los grados de libertad

de las coordenadas principales se han notado como 1, para el desplazamiento horizontal del sistema de aislación y 6 para el desplazamiento horizontal del primer piso. La matriz de rigidez de la estructura se halla por ensamblaje directo, teniendo solo en cuenta la contribución de las vigas y columnas. Aguiar (2004). La matriz que se halla es de 10 por 10. Algunos elementos son: K(1,1) = 0.1543; K(1,2)=0; K(1,3)= - 0.1157 todos ellos están multiplicados por 105.

Las coordenadas 1 a la 5 están asociadas a los apoyos, a éstas se denominan

coordenadas aq y las restantes son las coordenadas bq . Al tener la estructura base fija

0=aq . Con esta acotación la ecuación básica de análisis estático se escribe de la siguiente manera.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +

=

bBBBA

ABAA

b

a

qKKKK

QQR

qKQ0

Donde R es el vector que contiene a las reacciones de la estructura; aQ es el vector

de cargas asociado a las coordenadas a (apoyos); bQ es el vector de cargas de la estructura como que si estuviera empotrada en la base. Al desarrollar los productos matriciales se halla:

( 4.1 )


19

bBBb

bABa

qKQqKQR

==+

Figura 4.2 Sistema de coordenadas de estructura con aisladores de base. Sistema qQ −

Entonces con la segunda ecuación de ( 4.2 ) se halla bq y al reemplazar en la primera ecuación se determina R . Para el ejemplo se tiene:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

= −

688.450.12

688.450.12

0.0

25.650.725.650.7

0.0

10*

1436.00231.01436.00231.0

0.0

16.40.516.40.5

0

3 RQqQ abb

El objetivo de calcular las reacciones fue para conocer la carga vertical que gravita en

cada aislador, que en este caso es de 12.5 T., Al dividir esta carga para la gravedad se tiene la masa que actúa sobre el aislador, con la cual se obtendrá la rigidez horizontal del aislador bk .

mkb

2ω=

Donde ω es la frecuencia de vibración del sistema que es igual a T/2πω = . Siendo T el período objetivo, que es un dato que el proyectista estructural desea obtener en la estructura con aisladores; m es la masa que gravita sobre el aislador.

A la derecha de la figura 4.2 se ha reemplazado el aislador por un elemento vertical. Se

destaca que por ahora no se consideró la rigidez del aislador en la obtención de la matriz de rigidez de la estructura.

4.1.2 Matriz de masas Para encontrar la matriz de masas M se concentró la masa en los nudos, como se

observa en la figura 4.3. Los giros son muy bajos en comparación a los desplazamientos laterales, por esto los giros son coordenadas secundarias pero como se está trabajando con todos los grados de libertad se considera la energía cinética de rotación que vale θ&J siendo

( 4.2 )

( 4.3 )


20

J el momento de inercia de la masa que es igual a 2rmJ = , donde r es el radio de giro que se considera igual a 20/Lr = .

Figura 4.3 Modelo de masas puntuales.

La subrutina que calcula la matriz de masas para un modelo de masas concentradas, con todos los grados de libertad se llama masas . La matriz M es de 10 por 10 y sus elementos de la diagonal valen: 1.5291; 0.7645; 0.0478; 0.7645; 0.0478; 1.0194; 0.5097; 0.0319; 0.5097; 0.0319.

4.1.3 Matriz de amortiguamiento

Cuando se trabaja con todos los grados de libertad, la matriz de rigidez no tiene inversa. Por lo tanto, no se puede obtener directamente los valores y vectores propios a partir de las matrices K y M se debe hacerlo considerando la base empotrada, con las submatrices BBK y BBM . Al trabajar con estas submatrices se halla que el período fundamental de la estructura con base fija es sT 0691.0= .

Con estas dos submatrices BBK y BBM se halla la matriz BBC , aplicando el algoritmo

de Wilson y Penzien, que ya ha sido indicado en capítulos anteriores. (Ver apartado 3.1.1) Se destaca que la matriz de amortiguamiento asociada a todos los grados de libertad

tiene la siguiente forma.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

BBBA

ABAA

CCCC

C

El objetivo es calcular ahora AAC y ABC ; 'ABBA CC = .Para ello se trabaja con la

matriz de influencia estática iX estudiada en capítulos anteriores. Se recuerda la forma como se obtuvo esta matriz.

BAiBB

aib

KXKqXq−=

= ( 4.4 )


21

Al observar la primera ecuación de ( 4.4 ) se puede ver que iX es una matriz de

transformación de coordenadas. Aguiar (2004). Luego:

iBBtiAA XCXC =

La submatriz BAC se encuentra con la ecuación ( 4.4 ) pero trabajando con las matrices de amortiguamiento.

iBBBA XCC −= Algunos elementos de la matriz de amortiguamiento, son: C(1,1)=9.8620;

C(1,2)=1.6487; C(2,2)=33.4959.

4.1.4 Contribución de los aisladores a la matriz de rigidez

En la figura 4.4 se muestra la nomenclatura utilizada para definir la geometría de un aislador. Los datos del ejemplo son: .10.0;10.0.;40.0 mlimljmh ===

Figura 4.4 Nomenclatura utilizada para definir la geometría de aislador.

Ahora se debe encontrar la matriz de rigidez de un aislador en coordenadas globales, a partir de las rigideces horizontal bk y vertical vk . Sea las coordenadas locales del elemento,

las indicadas a la izquierda de la figura 4.5, por didáctica se denomina a este sistema pP − . Donde P es el vector que contiene a la fuerza horizontal y vertical y p el vector de deformaciones. Las coordenadas globales del elemento aislador son las señaladas a la derecha de la figura 4.5, a este sistema se denomina ∗− pP* , donde ∗P es el vector de

cargas y ∗p el vector de deformaciones.

( 4.5 )

( 4.6 )


22

Figura 4.5 Sistema de coordenadas de un aislador.

Se define una relación geométrica entre estos dos sistemas de la forma. Aguiar (2004)

∗= pTp

=T ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

010010

011 ljl0 i

Sean 0K y ∗

0K las matrices de rigidez asociadas a las coordenadas locales y globales

del aislador. Se conoce la matriz de rigidez 0K y para encontrar ∗0K se utiliza la siguiente

ecuación.

TKTK t00 =∗

=0K ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

v

b

kk0

0

Ya se indicó la forma como se obtiene la rigidez del aislador en sentido horizontal bk .

Ahora para complementar la explicación se manifiesta que.

∗=h

AGk a

b

Donde aG es el módulo de corte de la goma; A es el área de la sección transversal

del aislador; ∗h es la altura total de la goma, para el efecto se debe multiplicar el número de gomas por el espesor de las mismas. La rigidez vertical vk se obtiene en base al módulo de elasticidad del acero, el área de las placas de acero y el espesor de estas placas, se debe considerar las placas superior e inferior que se colocan.

Para encontrar la contribución de los aisladores a la matriz de rigidez de la estructura

se obtiene nuevamente la matriz de paso, que se va a denominar nodT entre las coordenadas

globales de los aisladores ∗p y las coordenadas generalizadas de la estructura .q

qTp nod=∗

Para el ejemplo se tienen 10 coordenadas q y 12 coordenadas ∗p , 6 del un aislador y

6 del otro aislador. Luego la matriz nodT tiene 12 filas y 10 columnas. Aguiar (2004). Esta matriz resulta.

( 4.7 )

( 4.8 )

( 4.10 )

( 4.9 )


23

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

000001000000000010000000000001000000000000000000000000000000000000010000000000100000000001000000000000000000000000000000

nodT

La contribución de los aisladores a la matriz de rigidez de la estructura se encuentra

con la siguiente ecuación.

nodt

nod TkelasTKELAS =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

∗

∗

0

0

0

0

K

Kkelas

De tal manera que la matriz de rigidez de la estructura es igual a la matriz de rigidez sin

aisladores de base K más la contribución de los aisladores KELAS . Otra forma de encontrar la contribución de la matriz de rigidez de los aisladores a la

matriz de rigidez total es mediante el ensamblaje directo. Para ello, se debe tener en cuenta el Vector de Colocación, del aislador izquierdo es ]321000[=VC , ver figura derecha de 4.2. Para el aislador derecho el ]541000[=VC , con estos vectores y la matriz de rigidez de cada aislador en coordenadas globales se encuentra la contribución de los aisladores a la matriz de rigidez de la estructura. Aguiar (2004).

4.1.5 Contribución de los aisladores a la matriz de amortiguamiento

Asociado al modelo de cálculo indicado a la izquierda de la figura 4.5, la matriz de amortiguamiento de un aislador elastomérico es la siguiente:

0C = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡000bC

mC bb ωξ2= Donde bξ es el factor de amortiguamiento del aislador; ω es la frecuencia de

vibración y m es la masa que gravita sobre el aislador.

0C es la matriz de amortiguamiento asociado al sistema de coordenadas indicado a l a

izquierda de la figura 4.5 y ∗0C la matriz de amortiguamiento referido a las coordenadas

( 4.11 )

(4.12)


24

mostradas a la derecha de la figura 4.5, la misma que se halla con la siguiente ecuación.

TCTC t00 =∗

Siendo T la matriz de paso indicada en la ecuación (4.7). Una vez hallado la matriz de

amortiguamiento en coordenadas globales, de cada aislador se encuentra la contribución de los mismos por ensamblaje directo.

4.1.6 Ecuación diferencial del movimiento

La ecuación diferencial del movimiento, para el análisis sísmico de estructuras con aisladores de base elastoméricos, es la siguiente. Aguiar et al. (2008).

zvxh uJMuJMqKqCqM &&&&&&& −−=++ Donde KCM ,, son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, para el ejemplo

realizado son de 10 por 10. vh JJ , son los vectores de incidencia de los grados de libertad en

los movimientos del suelo. Para el ejemplo [ ]0000100001=thJ , (se ha

escrito la transpuesta); ]0101001010[=tvJ ; zx uu &&&& , son las

componentes de aceleración en sentido X y en sentido Z, vertical; qqq &&&,, son los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración.

Se utiliza el método denominado Procedimiento de Espacio de Estado para hallar qq &, .

Una vez encontrado estos vectores se puede despejar de la ecuación ( 4.12 ), q&& si se desea hallar la aceleración.

4.1.7 Aisladores de base sobre cimentación

(4.13 )


25

Figura 4.6 Aisladores de base y losa de sistema de aislación.

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