Integrantes: Christian Carranza

Javier Pichucho

Arturo Jiménez

Carrera: Ing.Mecatronica

TEMA

Ejercicios de ecuaciones de función de transferencia de un sistema eléctrico, mecánico

rotacional y para sistemas con engranes a partir del modelado del dominio de la

frecuencia mediante las ecuaciones de la transformada de Laplace.

OBJETIVOS

GENERAL

Resolver ecuaciones de función de transferencia de un sistema eléctrico, mecánico

rotacional y para sistemas con engranes a partir del modelado del dominio de la

frecuencia mediante las ecuaciones de la transformada de Laplace.

ESPECÍFICOS

Investigar la función de transferencia.

Conocer acerca de los sistemas de redes eléctricas y funciones de transferencia.

Indagar las funciones de transferencia en un sistema mecánico rotacional.

Buscar las funciones de transferencia de un sistema con engranes.

Resolver ejercicios de funciones de transferencia tanto en un sistema mecánico

rotacional y para sistemas con engranes.

RESUMEN

Un modelo matemático de un sistema mecánico se define como un conjunto de

ecuaciones que representan la dinámica de un sistema con precisión o al menos

aproximada, conocidas como funciones de transferencia.

Para analizar la respuesta transitoria o la respuesta de sistemas lineales con una entrada y

una salida invariantes con el tiempo, la representación mediante la función de

transferencia puede ser más conveniente que cualquier otra. La dinámica de muchos

sistemas ya sea mecánica, eléctrica, térmica, etc se describen en términos de ecuaciones

diferenciales.

ABSTRACT

A mathematical model of a mechanical system is defined as a set of equations that

represent the dynamics of a system or at least approximate accuracy, known as transfer

functions.

To analyze the transient response or the response of linear systems with input and output

time-invariant representation by the transfer function may be more appropriate than

another. The dynamics of many systems whether mechanical, electrical, thermal, etc. are

described in terms of differential equations.

MARCO TEÓRICO

LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

La función de transferencia está definida como , o la razón entre la

transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada. Obtener

una función de transferencia de un sistema (ya sea mecánico, eléctrico, neumático, etc.),

es un proceso relativamente sencillo.

Ecuación diferencial de orden n, lineal e invariante con el tiempo

Ecuación diferencial de orden n, lineal e invariante con la transformada de Laplace

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA MECÁNICO ROTACIONAL

Los sistemas mecánicos rotacionales se manejan en la misma forma que los sistemas

mecánicos trasnacionales, excepto que un par sustituye a la fuerza y un desplazamiento

angular sustituye al desplazamiento lineal.

La tabla 1 muestra los componentes mecánicos para los sistemas rotacionales son los

mismos que para los sistemas trasnacionales, salvo que los componentes experimentan

rotación en lugar de traslación.

Tabla 1 Relaciones de par velocidad angular, par desplazamiento angular e impedancias para resortes, amortiguadores viscosos e inercia rotacional

Las Unidades del sistema mecánico rotacional

= Desplazamiento angular rad

= Velocidad angular

= Constante del resorte

Coeficiente del amortiguador rotacional

Inercia (momento de)

La inercia, J, se considera a la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del

movimiento de rotación.

La inercia de un elemento dado depende de la composición geométrica alrededor del eje

de rotación y de su densidad.

La constante del resorte torsional K, en par por unidad de desplazamiento angular, puede

representar la compliancia de una varilla o un eje cuando está sujeto a un par aplicado.

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA SISTEMAS CON ENGRANES

Un tren de engranes, una palanca o una banda sobre una polea son dispositivos

mecánicos que transmiten energía desde una parte del sistema a otro en una forma tal

que se alteran la fuerza, el par, la velocidad y desplazamiento. Estos dispositivos también

se pueden ver como dispositivos de acoplamiento empleados para lograr la máxima

transferencia de potencia. En la Fig. se presentan dos engranes acoplados. La inercia y la

fricción de los engranes son despreciadas en el caso ideal considerado.

Las relaciones entre los pares T1, y T2 los desplazamientos angulares los números

de dientes N1 y N2 del tren de engranes se obtienen de los siguientes hechos:

1. El número de dientes sobre la superficie de los engranes es proporcional a los radios r1

y r2 de los engranes; esto es:

2. La distancia sobre la superficie que viaja cada engrane es la misma. Por tanto:

3. El trabajo realizado por un engrane es igual al que realiza el otro engrane, ya que se

supone que no hay pérdidas. Por tanto:

En la práctica, los engranes tienen inercia y fricción entre los dientes de los engranes

acoplados que a menudo no se pueden despreciar. Una representación equivalente de un

tren de engranes con fricción viscosa, fricción de Coulomb e inercia, considerados como

de parámetros concentrados se presenta en la Figura 2, en donde se denota el par

aplicado, T1 y T2 son los pares de torsión transmitidos, Fc1 y Fc2, son los coeficientes de la

fricción de Coulomb, y B1 y B2, son los coeficientes de fricción viscosa.

Figura 2 Tren de engranajes con fricción e inercia

DESARROLLO

PREGUNTAS DE REPASO:

1. ¿Qué modelo matemático permite una fácil interconexión de los sistemas físicos?

El modelado en el dominio de la frecuencia

2. ¿A qué clasificación de sistemas se puede aplicar mejor la función de

transferencia?

Lineal invariante en el tiempo

3. ¿Qué transformación convierte la solución de ecuaciones diferenciales en

manipulaciones algebraicas?

Laplace

Figura 1 Tren de engranes

4. Defina la función de transferencia.

G (s) = C (s) / R (s), donde c (t) es la salida y r (t) es la entrada.

5. ¿Qué suposición se hace respecto a condiciones iniciales cuando se trabaja con

funciones de transferencia?

Las condiciones iniciales son cero

6. ¿Qué nombre se da a las ecuaciones mecánicas escritas para evaluar la función de

transferencia?

Ecuaciones del movimiento

7. Si entendemos la forma que toman las ecuaciones mecánicas, ¿qué paso evitamos

al evaluar la función de transferencia?

Diagrama de cuerpo libre

8. ¿Por qué razón las funciones de transferencia para redes mecánicos parecen

idénticas a las funciones de transferencia para las redes eléctricas?

Hay analogías directas entre las variables eléctricas y los componentes y las variables

mecánicas y los componentes.

9. ¿Qué función realizan los engranes?

La ventaja mecánica de los sistemas rotativos

10. ¿Cuáles son las partes componentes de las constantes mecánicas de la función

de transferencia de un motor?

Inercia del inducido, la amortiguación del inducido, inercia de la carga, la

amortiguación de carga

11. La función de transferencia de un motor relaciona el desplazamiento de

armadora con el voltaje de armadura. ¿Cómo puede determinarse la función de

transferencia que relaciona el desplazamiento de carga y el voltaje de armadura?

Multiplicar la función de transferencia por la relación de transmisión en relación a

la posición del inducido cargar posición.

12. Resuma los pasos para hacer lineal un sistema no lineal. Reconocer el componente no lineal Escriba la ecuación diferencial no lineal Seleccione el solución de equilibrio Alinear la ecuación diferencial no lineal Tomar la transformada de Laplace de la ecuación diferencial lineal

Hallar la función de transferencia.

17. Encuentre la función de transferencia , para cada red que se

muestra en la figura 2 y 3.

Figura 1 Circuito de Red Eléctrica 17

Figura 2 Red Eléctrica ejercicio 17

21. Encuentre la función de transferencia , para cada uno de los

circuitos amplificadores operacionales que se ilustran.

a)

b)

22 Encuentre la función de transferencia , para cada uno de los

circuitos amplificadores operacionales que se ilustran.

a)

b)

EJERCICIO 30

30) Para cada uno de los sistemas mecánicos rotacionales que se muestran en la figura

3 y la figura 4 escriba pero no resuelva, las ecuaciones de movimiento.

Figura 3 Figura a) del ejercicio 30

Figura 4 Figura b) del ejercicio 30

EJERCICIO 31

31) Para el sistema mecánico rotacional que se muestra en la figura 5, encontrar la

función de transferencia

Figura 5 Figura del ejercicio 31

CONCLUSIONES:

Las funciones de transferencia son muy importantes en el estudio de un

sistema de control, tiene dos características importantes que son: que están en

función de su entrada y salida, y que se la puede obtener en función del tiempo

o en función de la frecuencia.

Con las tablas 1 y 2, que son para redes eléctricas y para sistemas mecánicos

traslacionales, ayudan y facilitan para poder poner al ejercicio propuesto en

función de la frecuencia y de esta manera hacer que la resolución del mismo se

facilite, sea más rápido, aunque se pierde un poco de información.

Los sistemas mecánicos son redes eléctricas en paralelo, ya que hay analogías

entre componentes eléctricos y mecánicos y variables.

RECOMENDACIONES:

Pasar al dominio de la frecuencia para la resolución de los ejercicios.

En los ejercicios de sistemas mecánicos, se recomienda hacer un diagrama de

cuerpo libre para mayor facilidad de formulación de las ecuaciones.

BIBLIOGRAFIA:

[1] Norman S. Nise. (2006). Introducción. En Javier Enrique Callejas (3ra. Ed.). Sistemas

de control para ingeniería. México: Compañía Editorial Continental.,