Capítulo 01 - Análisis Matricial de Estructuras de Barras

Análisis Estructural Avanzado Tomás Guendelman Capítulo 1: Análisis Matricial Estructuras de Barras

1

Capítulo 1: Análisis Matricial de Estructuras de Barras

AUTORES: TOMÁS GUENDELMAN Y EDUARDO SANTOS

I.- PRINCIPIOS BASICOS DE ANALISIS ESTRUCTURAL

El estado de deformaciones y tensiones en sólidos deformables está regido por tres principios básicos, cuya aplicación sistemática conduce a un sistema matemático con solución única. Estos principios son:

− Compatibilidad geométrica − Equilibrio − Constitutividad

COMPATIBILIDAD GEOMETRICA

Debemos distinguir entre dos tipos de variables cinemáticas:

− Desplazamientos − Deformaciones

Los desplazamientos permiten determinar las nuevas coordenadas de cada punto del cuerpo. Sin embargo ello no es suficiente para calcular o establecer si este cuerpo se ve sometido a tensiones internas. Para determinar la existencia de esfuerzos internos es necesario detectar deformaciones relativas, es decir, variaciones en la longitud de elementos lineales (deformaciones extensionales) o variaciones en el ángulo que forman los elementos lineales (deformaciones angulares o de corte). Para que el cuerpo siga siendo un sistema estructural, es requisito que éste preserve su integridad. Ello significa que no se fractura (en el caso de fractura, un punto se transforma en dos puntos), que no se distorsiona (el orden molecular del cuerpo sin deformación es igual al del cuerpo deformado) y que las curvas de deformación sean continuas y simplemente evaluadas.

{ }

{ }

{ } [ ]{ }Desplazamientos

Deformaciones Matriz de compatibilidadgeométrica

ra r

ε

ε

⇒ =↑

Esta relación, que señala la vinculación entre las variables cinemática {r} y {ε}, se conoce como Compatibilidad Geométrica.


2

EQUILIBRIO

Las estructuras se diseñan con el fin de transferir cargas de una posición a otra. En este proceso de transferencia de cargas se producen esfuerzos internos. El diseño debe ser tal que la estructura sea capaz de transferir las cargas y al mismo tiempo, resistir sus esfuerzos. El análisis estructural es el proceso de evaluación o cálculo de dichos esfuerzos. Las cargas o solicitaciones y los esfuerzos internos deben estar en equilibrio. Este debe manifestarse en el cuerpo como un todo, a través de las reacciones de apoyo y también en cada fragmento infinitesimal del sólido.

100

4060

100

4 6

R2R1

MODELO ESTRUCTURAL

240

40 60

DIAGRAMA DEMOMENTO:

DIAGRAMA DECORTE:

40R60R01006R10

100RR

2

1

1

21

===×−×=+


3

Hay dos tipos de variables estáticas:

{ }

{ }{ } [ ] { }

- :

-

Cargas (o solicitaciones)

Esfuerzos internos (o tensiones):matriz deequilibrio

R

b R

σ

σ

⇒ =↑

El vector {R} tiene todos sus términos conocidos sólo si se trata de estructuras isostáticas (estructuras estáticamente determinadas). En estructuras hiperestáticas (estructuras estáticamente indeterminadas), hay que construir primero una Estructura Isostática Principal y agregar Fuerzas Redundantes (componentes desconocidas de {R}), asociadas biunívocamente a los grados de libertad liberados.

CONSTITUTIVIDAD

Estas relaciones no incorporan nuevas variables. Solamente agregan relaciones propias de las características del material. { } [ ] { } { } [ ] { }σ ε ε σ= = −C C; :o bién 1

Aplicando estos tres principios básicos logramos plantear un conjunto de ecuaciones cuyo número iguala al de incógnitas.

EJEMPLO:

Aplicación de los principios básicos de análisis estructural.

L

(Ton/m)

R4 R3 R2 R1

p

δ2 δ4δ3δ1

4321

solido indeformable

guías


4

1. COMPATIBILIDAD GEOMÉTRICA (VARIABLES CINEMÁTICAS)

cuerpoentodesplazami=δ δ δ δ δ δ1 2 3 4= = = =

2. EQUILIBRIO (VARIABLES ESTÁTICAS)

4321

4

321

FFFFQresortedelFuerzaF

resortedelFuerzaFresortedelFuerzaFresortedelFuerzaF

aplicadacargaQLp

4

3

2

1

+++==

===

==×

3. CONSTITUTIVIDAD

F K K

F K K

F K K

F K K

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

= × = ×

= × = ×

= × = ×

= × = ×

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

( )Q K K K K K K K K= + + + = + + + ×1 2 3 4 1 2 3 4δ δ δ δ δ

∴

∴

=+ + +

= ×+ + +

= ×+ + +

= ×+ + +

= ×+ + +

δQ

K K K K

F KQ

K K K K

F KQ

K K K K

F KQ

K K K K

F KQ

K K K K

1 2 3 4

1 11 2 3 4

2 21 2 3 4

3 31 2 3 4

4 41 2 3 4


5

MODELOS LINEALES

Son aquellos en los que las relaciones causa-efecto son proporcionales. En ellos es válido el principio de superposición

Para que una estructura origine un modelo matemático de características lineales se requiere lo siguiente: - Material homogéneo : su constitución es uniforme.

- Material isotrópico : características iguales en cualquier dirección.

- Material elástico : deformación completa e instantánea al

aplicar la carga y recuperación completa e instantánea al retirar la carga.

- Material linealmente elástico : la curva carga deformación en una recta.

- Pequeñas deformaciones : el equilibrio se puede plantear en la posición original de la estructura.

Para apreciar el efecto del planteamiento de las ecuaciones de elasticidad en la posición deformada de la estructura, se considera el siguiente ejemplo de un cable:

L2

L2

X XP

α α

αΡ

=

α=Ρ

sen2X

senX2

Esta solución se obtiene al establecer el equilibrio en la posición original de la estructura y en teoría es válida para todo ángulo α. Sin embargo, observamos que si α = 0 implica que X tiende a infinito, lo que es absurdo. Por ello es necesario establecer el equilibrio en la posición deformada, lo que originará un modelo no lineal.


6

II.- MARCOS PLANOS

METODO DE DESCOMPOSICION FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO

sistema original

+=Fx

FyM

caso a

Fy

Fx

M

caso b

Mc

Qc

Md

QdDetalle fuerzas deempotramiento ennudo A.

M = -Ma - Mc

Fx = Qc

Fy = -QaFx

FyM

MbMa

QbQa


7

MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES PARA UNA BARRA ARBITRARIA "p".

relación constitutiva :

{ } [ { }σ εp p= ]k p

(paralelo al eje X)

p

b

a

p

δθθ

=ε }{Deformaciones :

Esfuerzos :{ }

p

b

a

p

FMM

=σ

Sistema local de coordenadas:

Y

X 0

ab

a′

F

F

θa

θb

b′

γ

Para elementos prismáticos, [k p] está dada por :

[ ]

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

β+β+

β+β−

β+β−

β+β+

=

LAE00

021L

2EI221L

1EI2

021L

1EI221L

2EI2

pk a b : barra en posición inicial

′ ′a b : barra en posición deformada

δ = − ′ ′a b a b

k;2GAL

k6EI=β : factor de forma de la sección para deformaciones de corte.

(acortamiento)


8

MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES PARA UNA BARRA ARBITRARIA "P"

a

′a

′b

bθaθaφ

γp

bφ

bxF

axF

bMbyF

ayF

M a

vavb

ub

ua

b

(paralela a ab)

a’ b’ : Barra en posición deformada. a b : Barra en posición inicial.

FF

MFF

M

kk kk k kk k k kk k k k kk k k k k k

uv

uv

x a

ya

a

x b

yb

b

a

a

a

b

b

b

=

11

2 1 22

3 1 32 33

4 1 42 43 44

51 52 5 3 5 4 55

6 1 62 63 64 6 5 6 6

φ

φ

simbólicamente:

{ } [ {S K rp p p= ] }

[ ]K p : matriz de rigidez de la barra

"p" en coordenadas globales.

simétrica


9

RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS LOCAL Y GLOBAL

1. DESPLAZAMIENTOS

b,b'

a,a'

vb

va

b,b' b,b' b b' b,b'

a,a'

a' a' γ

a

ub

ua

a a,a' a,a'

φa

φb

b

b'

φ

φ

γ−γ−γγ

γ−γγγ−

γ−γγγ−

=

δθθ

b

b

b

a

a

a

b

a

v

u

v

u

0sencos0sencos

1L

cosL

sen0L

cosL

sen

0L

cosL

sen1L

cosL

sen

En forma matricial : { } [ ]{ }ε P p pa r=

2. ESFUERZOS

Fxb

Fyb

Fxa

Fya

Mb

Ma

F

F

M b

Ma

γγγ

γγγ

γγγ

γγγ

=

−−−

−

−−

FM

M

M

FF

M

FF

b

b

yb

xb

y

x

010

senL

cos

L

cos

cosL

sen

L

sen001

senL

cos

L

cos

cosL

sen

L

sen

aa

a

a

En forma matricial : { } [ ] { }S ap pT

p= σ

3. RIGIDEZ

{ } [ ] { } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ]{ }S a a a a rp pT

p pT

p p pT

p p p= = =σ εk k

=Κ pp

Tpp aa k MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA

EN COORDENADAS GLOBALES


10

BARRA CON NUDOS ARTICULADOS

En extremo articulado : M = 0

Esta condición estática permite expresar el giro en dicho nudo en función de los restantes grados de libertad.

Dicho procedimiento de eliminación se denomina CONDENSACION ESTATICA. Las reacciones de empotramiento perfecto deberán ser consistentes con el sistema de grados de libertad independientes.

CONDENSACION ESTATICA

CASO

{σp}

{εp}

[k p]

{rp}

{ap} c = cos γ s = sen γ

L = Largo

MODELO PARA CALCULO DE

{ }R

MMN

a

b

θθδ

a

b

k kk k

k

11 12

21 22

33

00

0 0

uv

uv

a

a

a

b

b

b

φ

φ

− −− −

− −

S L C L S L C LS L C L S L C LC S C S

1 00 10 0

MN

b

θδ

b

33

22

00*

kk

uvuv

a

a

b

b

φ b

− −− −

S L C L S L C LC S C S

10

MN

a

θδ

a

k

k11

33

0

0

*

uv

uv

a

a

b

b

φa

− −− −

S L C L S L C LC S C S

10

{ }N

{ }δ

[ ]k33

uvuv

a

a

b

b

C S C S− −

22

2

121111

*kk

kk −=

11

2

212222

*kk

kk −=

a b p

a b p

a b p

p b a


11

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

Aplicando los tres principios básicos de análisis estructural:

1.) COMPATIBALIDAD

{ }ε p [ ] { }= a rpp

(1)

2.) CONSTITUVIDAD { }σp [ ] { }= k p ε p

(2)

3.) EQUILIBRIO Vía desplazamientos virtuales. { }ε p [ ] { }= a p rp

(3)

{ } { }r RT { } [ ]==

∑ ε σpT

pp

NB

1

; NB = Nº de barras

(4)

Ec. (3) en (4) :

{ } { }r RT

{ } [ ] { }==

∑ r apT

pT

pp

NB

σ1

(5)

(2) en (5) :

{ } { }r RT { } [ ] [ ] { }==

∑ r apT

pT

p pp

NB

k ε1

(6)

(1) en (6) :

{ } { }r RT { } [ ] [ ][ ][ ]

{ }==

∑ r a a

K

rpT

pT

p

p

p

NB

pk p1 244 3441

(7)

Pero: { }rp [ ] { }= T rp [ ]; Tp es Booleana (8)

Para toda la estructura y considerando que { }r es arbitrario:

{ }R [ ] [ ][ ][ ]

{ }=

=

∑ T K T

K

rpT

p pp

NB

11 2444 3444

(9)

: Matriz de Rigidez de la Barra

: Matriz de Rigidez de la Estructura


12

DETERMINACION DE [Κ] SEGUN EL METODO INDICIAL

4

b.10

b.11b.8

b.5b.4

b.9b.6 b.12

b.13b.7

b.3b.2

b.11 2

53

6 7 8

REPRESENTACION

- Se presentan bloques de submatrices de [3×3]

- Se incluyen las condiciones de borde.

R

=

r

b.13 b.12 b.11 b.10b.9b.8b.7b.6b.5b.4b.3b.2b.11

R

=

r


13

CONDICIONES DE APOYO

1. DESPLAZAMIENTOS NODALES ESPECIFICADOS.

1.1 Apoyos fijos : valores nulos 1.2 Corrimientos de apoyo : valores especificados

Ecuación original: { } [ ] { }R K r= Grados de Libertad con desplazamientos especificados : s s sq1 2, , ,L

Ecuación modificada: { } [ ] { }R K r* * *=

en que:

[ ]i i i s s i s s i s sR R K r K r K rq q

*, , ,= − + + +

1 1 2 2L

i n i s s sq= ≠1 2 1 2, , , ; , , ,L Lpero

{ } { }r r r r rs s sq

* : , , ,vector suprimidas las componentes1 2

K

[ ] [ ]K : K * matriz suprimidas las filas y columnas s s sq1 2, , ,L

2. APOYOS ELASTICOS

El equilibrio en un grado de libertad “s”, en el cual existe un resorte de constante elástica Cs está dado por:

R K r K r K r C rs s s s n s sn

= + + + +1 21 2 L

generalizando para todos los grados de libertad:

[ ]R K C r

= +

\\


14

EJEMPLO

3

x

y

1

4

2

2T

5M

4TM

3TM

0

5

1

Todas las barras:

EI

AE

L

L

L

L

TM

T

M

M

M

M

=

=

=

= ° =

= ° =

= ° =

= ° =

2

1 1

2 2

3 3

4 4

1000

100 000

0

1 0 5

2 90 3

3 90 4

4 90 4

.

.

.χ

γ

γ

γ

γ

barra : ;

: ;

: ;

: ;

MATRICES DE RIGIDEZ GLOBALES DE CADA BARRA

[ ]( )

[ ]( )

[ ]( )

[ ]( )

k ki i

T

i ia a6 6 6 3 3 3 3 6× × × ×

=

[ ]K 1 : Índices

9

87

6

54

80024004002400

24096024096000200000020000

40024008002400

24096024096000200000020000

←←←←←←

−−−−

−−

−−

[ ] =1a [ ] =k 1

−−

−

00100112000200

02001200

..

..

2000000

0800400

0400800

[ ]K 2:

654

121110

13330667667066703333300333330

66704446670444667066713330667

0333330033333066704446670444

←←←←←←

−−

−−

−−−−

[ ] =2a [ ] =k 2

−−−

0100101033330003333000333301033330

..

..

333333300033133367666067666331333

.....

[ ] [ ]K K3 4= : barra 3 barra 4 [ ] [ ]a a3 4= =

938271

156145134

10000375500037502500000250000

37501883750188

50003751000037502500000250000

37501883750188

←←←←←←

←←←←←←

−−

−

−−

−−−

−−−

01001010250002500025010250

..

..

[ ] [ ]k k3 4= = 1 0 0 0 5 0 0 0

5 0 0 1 0 0 0 00 0 2 5 0 0 0


15

MATRIZ DE RIGIDEZ TOTAL

- Generación directa indicial. - Eliminación de filas y columnas 10 a 15, por condición de apoyo.

{ } [ ] [ ] [ ] { }σ p p p pa T r= k

188 0 375 -188 0 375 0 0 0

. . . . . . . . . 25000 0 0 -25000 0 0 0 0 . . . . . . . . . 1000 -375 0 500 0 0 0 . . . . . . . . 20632 0 292 -20000 0 0 . . . . . . .

S 58429 240 0 -96 240 I . . . . . . M 3133 0 -240 400 E . . . . . T 20188 0 375 R . . . . I 25096 -240 C . . . A 1800

[ ]=K

{ } { } [ ] { }

==

=

−

−

−−

−

001814.0

000071.0

011707.0

009214.0

000053.0

011851.0

037214.0

000053.0

115372.0

4

0

0

0

0

0

3

0

2

1; RKrR Barra Ma Mb N

1 2 3 4

-6.62 1.76 11.00 5.30

-2.20 -4.38 -3.00 6.20

2.88 -1.76

0 1.76


16

CONDENSACIONES GEOMETRICAS

Reducción del número de grados de libertad independientes debido a condiciones geométricas. Vector de desplazamientos original : { }r Vector de desplazamientos independientes :{ }q Condiciones geométricas :{ } [ ]{ }r G q= Vector de fuerzas original :{ }R Vector de fuerzas asociadas a {q} :{ }Q Igualdad de Trabajos :

{ } { } { } { }{ } { } { } [ ] { }q Q r R

q Q q G R

T T

T T T

=

=

{ }para cualquier resulta:q ,

{ } [ ] { }Q G RT= por lo tanto :{ } [ ] [ ] [ ] { }Q G G qT= Κ Se define :[ ] [ ] [ ] [ ]Κ Κ= G GT

Matriz de rigidez condensada geométricamente.


17

Ejemplos de Condensación Geométrica 1. Simetría

φb

vb

C

φa

va vc

φc

ucubua

0

0u

vv

uu

b

b

ca

ca

ca

=φ

=φ−=φ

=

−=

2. Antimetría Considerando la misma figura anterior, se tiene:

0v

vvuu

b

ca

ca

ca

=

φ=φ−=

=

3. Deformaciones axiales nulas 3a:

vevcva vdvb

uc ueudub

cφ dφa φb

ua

ae

ad

ac

ab

uu

uuuuuu

=

===

3b: γ

va φa b

ua

bb

Tbbbaaa vuvuoscosc0 φφ−−==δ

( )bagab vvtuu −γ+=∴

4. Elementos de rigidez infinita

2l1

φacua ub

c

φbva

vb

∞

u uu uv vv v

b a

c a

b a a

c a a

b a

c a

=== += + +==

ll l1

1 2

φφ

φ φφ φ

( )

5. Apoyos inclinados

φ a

ua

qa

va

∈

u qv q

a a

a a

= ∈= − ∈

cossen


18

SINTESIS METODO DE RIGIDEZ

1. Determinación de las reacciones de empotramiento perfecto y formación de { }R

2. Para cada barra: a) Formar [ ]a p

b) Formar [ ]k p

c) Formar [ ] [ ] [ ]E ap p = k p

d) Formar [ ] [ ] [ ]K a EpT

= p p

e) Formar [ ]Tp dado por :

{ } [ ]{ }r T rp p=

(ensamble indexado)

f) Integrar [ ] [ ]K Kp en

[ ] [ ] [ ][ ]pp

NB

1p

Tp TKTK ∑

=

=

3. Inclusión de las condiciones de borde fijas.

4. Inclusión de los apoyos elásticos.

5. Formación de la matriz de condensación geométrica [ ] { } [ ]{ }qGr =:G

6. [ ] [ ] [ ][ ]GKGK T=

7. { } [ ] { }RGQ T=

8. { } [ ] { }QKq 1−=

9. { } [ ]{ }qGr =

10. Para cada barra : a) Formar { } [ ]{ }rr pP Τ=

b) Formar { } [ ]{ }ppp rS Ε=

c) Superposición de {Sp} con esfuerzos de la solución de empotramiento perfecto.


19

III.- ESTRUCTURAS ESPACIALES

1. MARCOS ESPACIALES

Marco espacial es un conjunto espacial formado por una estructura de barras con conexión rígida en algunos o todos sus nudos y solicitaciones que provocan en la estructura esfuerzos axiales, esfuerzos de flexión según dos planos, esfuerzos de corte según dos planos y esfuerzo de torsión. Con el objeto de obtener la relación de rigidez para este tipo de estructuras haremos uso del método de generación directa geométrica. Obtendremos en primer lugar la matriz de rigidez de una barra en coordenadas locales, la que pre y post multiplicaremos por [T]T y [T] respectivamente, que corresponde a la matriz de transformación de coordenadas locales en globales. OBTENCION DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES (κ=0 ) En cada nudo de una estructura espacial existen seis grados de libertad (tres traslaciones y tres giros), según se muestra en la figura siguiente: Sistema Local de Coordenadas: ( )X Y Z, ,

X u x, , φ

Y v y, ,φ

Z w z, ,φ

b0 a

Consideremosuna barra p,ubicada entrelos nudos a y b:

X Zy son los ejes principales de inercia de la sección. Y es el eje longitudinal de la barra. Los doce grados de libertad los organizaremos de la siguiente manera:

{ }( )r u v w u v wp

Ta a a xa ya za b b b xb yb zb p

12 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

×

= ⟩φ φ φ φ φ φ


20

GENERACION DIRECTA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ (TRES COLUMNAS TÍPICAS)

Primera columna: ua = 1, resto cero

1

a b,b’

L

Z

X 123

EI

LZ 12

3

EI

LZ

62

EI

LZ

2

6LEIZ

Términos no nulos

KEIL

KEI

LZ Z

1 1 3 7 1 3

12 12, ,= =

−

KEIL

KEIL

Z Z6 1 2 12 1 2

6 6, ,=

−=

−

Quinta columna: φ ya

= 1, resto cero

φ ya = 1

a a, ′ b b, ′

Z

YX

GJL

GJL

Sólo son distintos de cero los siguientes términos:

KGJL

KGJL5 5 11 5, ,= =

−

G J representa la rigidez torsional de la sección (equivalente al EI en flexión). En secciones con simetría puntual (círculos o anillos) J coincide con el momento principal de inercia polar. En secciones sin simetría puntual se produce alabeo, lo que se traduce en fórmulas que no corresponden al momento de inercia polar:


21

FORMA SECCION J

b

t

t b≤

Jbt t

b& ,= −

3

31 0 63

bi

t bi i⟨⟨

ti

(seccion abierta)

Pared delgada no cerrada

∑=TROZOSºN

i

3ii

3tb

J &

b

t f

twh

Z

YX

J b ht t

bt htf w

w f&=

+2 2 2

tw

Z

X Y

t f

h

b

( )J ht btw f&= +13

23 3

Z

YX

(circular)

Jr

=π 4

2

Y

(anillo)

Z

X

trJ 32π=&


22

En estructuras de hormigón armado, LEONHARDT propone que J sea reducido a un 10% del valor teórico, debido a que por su baja resistencia a la tracción, el hormigón puede entrar en fase II en torsión, sin comprometer (por estar desacoplado) la resistencia a la flexión. Décima segunda Columna: φ Zb

= 1, resto cero

1

a,a’ b,b’

4EIL

Z2 EIL

Z

X

62

EIL

Z2

EIL

Z

Z

Sólo los cuatro términos no nulos:

KEIL

KEIL

Z Z1 12 2 7 12 2

6 6, ,=

−=

KEI

LK

EI

LZ Z

6 12 12 122 4

, ,= =

RELACION ENTRE EL SISTEMA GLOBAL Y EL SISTEMA LOCAL DE COORDENADAS Posición Inicial: Coincide el sistema local ( )x y z, , ; con el global ( )x y z, , .

Y Y, 0

X X, 0

Z Z, 0

0

Para efectuar la transformación de coordenadas, efectuaremos las siguientes rotaciones elementales: 1) Ubicamos la barra de modo que su eje longitudinal Y coincida con X (global),

su nudo “a” esté en el origen, su nudo “b” en el eje +X, su eje principal de inercia Z coincida con Z (global) y consecuentemente su eje principal de inercia X coincida con−Y (global):


23

X

Y1

aX1

Z1

b

Yb

b

Z

α

Con esta primera ubicación, podremos medir el ángulo α a partir del eje X, en sentido positivo.

2) Rotamos en torno al eje Z1 en el plano X-Y en un ángulo α, de modo que la

barra coincida con la proyección de la barra espacial en el plano X-Y .

α

Y2

X 2

Z2

b

Z

a

X

Y

3) Rotamos en un ángulo β en torno a X2 con el objeto que el eje longitudinal

coincida con el eje longitudinal de la barra en el espacio.

b Y3

X X2 3=

Z3

a

Z

X

β α

Y


24

4) Rotamos en torno a Y3 en un ángulo γ hasta que la barra coincida totalmente con la barra en el espacio.

Observemos según el plano X Z3 3− :

Y Y3 4=

γ

X 4

X 3

Z3Z4

Con la definición efectuada del vector de desplazamientos, se observa que los doce grados de libertad son subvectores de idénticas características en grupos de tres. Esto significa que si { r }(12x1) es el vector de doce grados de libertad en coordenadas globales con idéntica organización de { }r local, se cumple una relación de transformación geométrica del tipo:

{ }( )

[ ]( )

{ }( )

r T rp p p12 1 12 12 12 1× × ×

=

[ ]( )

[ ]( )

[ ]( )

[ ]( )

[ ]( )

T

t

t

t

t

p

p

p

p

p

p

12 12

3 3

3 3

3 3

3 3

×

×

×

×

×

=

La etapa 1 conduce a una relación de transformación geométrica del tipo: { } [ ]{ }r T r1 1= Similarmente : De la etapa 2 : { } [ ]{ }r T r2 2 1= De la etapa 3 : { } [ ]{ }r T r3 3 2= De la etapa 4 : { } [ ]{ }r T r4 4 3= De aquí se desprende:


25

{ } [ ][ ][ ][ ]{ }r T T T T r4 4 3 2 1=

Pero : { } { }r r4 =

Entonces : [ ] [ ][ ][ ][ ]T T T T T= 4 3 2 1

Cada uno de los [Ti]p es, a su vez, una matriz de (12×12) formada por cuatro submatrices de (3×3) ] [ti]p de (3×3), tal que: [ ]

( )[ ] [ ] [ ] [ ]t t t t t

p p p p p3 3

4 3 2 1

×

=

MATRICES DE TRANSFORMACION [ ] [ ] [ ] [ ]t t t t1 2 3 4, , ,

ETAPA 1

X Y, 1

YX1

Z Z, 1

[ ]( )

−

=× 100

001

010

t33

p1 { } [ ]{ }′=′ rtr 11

ZYX

ZYX

1

1

1

ETAPA 2

α

α

Y2Y1

X

Y

X2

X1

Z Z1 2,

[ ]( )

tp2

3 3

00

0 0 1×

= −

cos sensen cos

α αα α { } [ ]{ }′=′

122 rtr

1

1

1

2

2

2

ZYX

ZYX


26

ETAPA 3

ββ

Y3

Y2X X2 3,

Z3

Z2

[ ]( )

tp3

3 3

1 0 000×

=−

cos sensen cos

β ββ β

{ } [ ]{ }′=′233 rtr

2

2

2

3

3

3

ZYX

ZYX

ETAPA 4

4X

γ

γ Y Y3 4,X3

Z3Z4

[ ]( )

tp4

3 3

00 1 0

0×

=−

cos sen

sen cos

γ γ

γ γ { } [ ]{ }′=′

344 rtr

3

3

3

4

4

4

ZYX

ZYX

Obtenida la matriz de rigidez de una barra p en coordenadas globales, se utilizan los métodos de agregación matricial y condensaciones ya estudiados en estructuras planas para obtener la relación de rigidez de la estructura. Las técnicas de solución y la determinación de esfuerzos internos es la misma (idéntica) al caso plano, sólo cambiando las matrices y vectores respectivos.


27

CASOS PARTICULARES DE ESTRUCTURAS ESPACIALES

2. EMPARRILLADOS PLANOS

Estas son estructuras planas que reciben solicitaciones perpendiculares a ellas. Decimos que son planas no sólo porque los ejes longitudinales de las barras se encuentren situados en un mismo plano, sino porque además uno de los planos principales de inercia de todas las barras es precisamente el plano en que se encuentra la estructura. Ejemplo:

A

ACORTE A-A:

EMPARRILLADO

NO ES EMPARRILLADO

PLANTA

En la práctica profesional también se admite aproximar orientaciones similares como un emparrillado, pero trabajando con los momentos de inercia en relación al plano de la estructura. Definido así el modelo, apreciamos que sólo se pueden producir movimientos perpendiculares al plano. Consecuentemente se produce esfuerzo de flexión con deformaciones perpendiculares al plano, esfuerzo de corte perpendicular al plano y torsión. No existen los movimientos en el plano y los esfuerzos de flexión lateral, corte lateral y esfuerzos normales. Notar que estos últimos se obtendrían en forma exclusiva si este tipo de estructura estuviese solicitada únicamente por cargas contenidas en su plano (marco plano). Lo anterior demuestra que el emparrillado se complementa con el marco plano para restituir la estructura espacial. Si el plano de la estructura es el plano X-Y y las cargas actúan según Z, o según planos X-Z e Y-Z si fueran momentos, se tendrá: u = v = φz = 0 en todos los puntos, β = γ = 0 en todas las barras y la matriz de rigidez de (12×12) de una barra arbitraria se reduce a (6×6) vía condensación estática de los tres esfuerzos nulos en cada extremo de la barra. Estas estructuras se presentan en losas nervadas de piso, fundaciones, puentes y en modelos discretos simplificados de placas continuas.


28

3. ENREJADOS ESPACIALES

Corresponde a marcos espaciales en los que todas las barras están articuladas en sus extremos. La condición de condensación es estática y consiste en hacer nulos los tres momentos en cada extremo de la barra, con lo cual se pueden eliminar como grados de libertad independientes los tres giros de cada nudo, reduciéndose los grados de libertad sólo a las traslaciones u,v, w. Resulta conveniente generar la matriz de rigidez de (6×6) de la barra enrejada mediante el procedimiento siguiente:

GENERACION MATRIZ DE RIGIDEZ DE (6×6)

Sea una barra genérica “p” que conecta los nudos a y b :

X

Y

Z

0

Esta barra es biarticulada y para acciones nodales exclusivamente, experimenta sólo deformaciones axiales. Para esta barra :

{ }( )

{ }σp pN

1 1×

=

compresión positiva

{ }( )

{ }ε δp p

1 1×

=

acortamiento positivo

{ }( )

[ ]( )

{ }( )

σ εp p

1 1 1 1 1 1× × ×

= kp

[ ]( )k

p1 1×

=

A ELp p

p


29

obteniendo la relación: { }

( )[ ]

( ){ }

( )ε p pa r

1 1 1 6 6 1× × ×= p

en que: { }r u v w u v wp

Ta a a b b b p

=

Se determina:

{ } [ ] [ ] [ ][ ]( )

{ }R a a rP pT

p p

p

p=

×

k

Κ6 6

1 244 344EN COORDENADAS GLOBALES

Obtencion de [ ]a p :

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]δ p p p p b b a a b b a a b b a aL L L X u X u Y v Y v Z w Z w= − = − + − + + + − + + + − +' 2 2 2

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]δ p p p p b a b a b a b a b a b aL L L X X u u Y Y v v Z Z w w= − = − − + − + − + − + − + −' 2 2 2

para pequeños desplazamientos: ( )( ) ( )( ) ( )( )δ p p p b a b a b a b a b a b aL L X X u u Y Y v v Z Z w w&= − + − − + − − + − −2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )δ p p pX u

L b aY Y

L b aZ Z

L b aL L u u v v w wb a

p

b a

p

b a

p&= − + − + − + −

− − −1 2 2 2 2

1 24444444444 34444444444

esto es pequeño, y 1 1 2+ = +ε ε& luego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )δ p p pX X

L b aY Y

L b aZ Z

L b aL L u u v v w wb b

p

b b

p

b b

p&= − + − + − + −

+ − −1 2 2 2

Se definen los cosenos directores:

CX X

LC

Y YL

CZ Z

Lb a

p

b a

p

b a

p1 2 3≡

−≡

−≡

−; ;

( ) ( ) ( )∴ = − + + − + + − +δ p b a b a b aC u u C v v C w w1 2 3


30

escrito en forma matricial:

{ }{ } [ ]

{ }

δε

p

p a p

p

a

a

a

b

b

b p

p

C C C C C C

uvwuv

wr

= + + + − − −

1 2 3 1 2 31 244444 344444

Con lo cual:

[ ] [ ] [ ] [ ]a aAE

LpT

p p pp

p

k = =Κ

−−−−−−

−−−

33

3222

312111

33231333

3222123222

312111312111

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

CCCCCCCCCCCC

CONSIDERACIONES ESPECIALES

La solución de enrejados espaciales presenta con frecuencia problemas locales de inestabilidad matemática por la concurrencia, a nudos, de barras coplanares. Este problema podría requerir la incorporación de la teoría de grandes desplazamientos para su adecuada solución, pero habitualmente se trata sólo de un problema de inestabilidad aparente, que puede ser tratado con teoría de pequeños desplazamientos, utilizando cualquiera de los siguientes procedimientos:

a) Rotación de los grados de libertad de los puntos con singularidad, de modo que dos de ellos estén en el plano y el tercero sea perpendicular a dicho plano. Se puede posteriormente modificar el término de la diagonal correspondiente a este último grado de libertad o condensarlo por la vía de la eliminación de la fila y la columna respectiva de [K].

b) Agregar nudos adicionales desde los cuales se trazan barras de

rigideces arbitrarias conectándose con los puntos inestables. Estos nuevos puntos deberán ser tales de asegurar que estas barras sean perpendiculares al plano que contiene el punto singular.

SIMETRICA

Capítulo 01 - Análisis Matricial de Estructuras de Barras

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