Capitulo 7 Telecomunicaciones Internet y La Tecnologia Inalambrica
Capitulo 02 Telecomunicaciones i
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CAPTULO 02:
DENSIDAD ESPECTRAL, CORRELACIN Y RUIDO
POTENCIA DE UNA FUNCIN PERIDICA
Sea f(t) una funcin peridica ya sea una seal de corriente o tensin. Luego, la potencia de
esta seal sobre una resistencia de 1 ser:
2
2
2
2
2 0)(1
)(1
T
T
n
tjn
n
T
T dteCtfT
dttfT
P
n
nn CCP (2.1)
pero nn CC*
por lo tanto:
n
nnCCP*
n
nCP2
Teorema de Parseval (2.2)
Si se desea conocer la potencia de la armnica n, se debe tomar en cuenta tanto n como n,
pues se est considerando el mdulo de nC , por lo tanto, la potencia de la armnica n est dado por:
2
2 nn CP (2.3)
DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGA (para seales de energa)
Sea f(t) una seal no peridica, entonces la energa de esta seal, ser:
dtdetfdttfE tj
)(F2
1)()(2
dddtetfE tj )(F)(F2
1)()(F
2
1
pero:
-
dE )(F)(F
2
1 )(F)(F ** (2.4)
ddttfE
22)(F
2
1 Teorema de Parseval (2.43)
La integral que se encuentra a la izquierda de la ecuacin es la energa de f(t) a travs de una
resistencia de un ohm. Por lo que, la cantidad 2
)(F que aparece en la ecuacin 2.1, es la energa
por unidad de frecuencia o densidad espectral de energa normalizada a una resistencia de un ohm.
Debido a que 22
)(F)(F la densidad espectral de energa es una funcin real y par
en , por lo tanto:
0
2)(F
1
dE (2.5)
Se tena que:
dttfE )(2
Luego, el concepto de energa de la seal es significativo slo si esa integral es finita. Sin
embargo, con ondas peridicas, por ejemplo la integral, es infinita. En tales casos se considera la
potencia media de la seal.
Se define, entonces, densidad espectral de energa como:
Hz
Joule2)(F)(S (2.6)
entonces:
dE
0
)(S1
(2.7)
De la ecuacin 2.5, se deduce que el espectro de densidad de energa de una seal contiene
solamente la informacin de magnitud del espectro de frecuencia )(F , y pierde la informacin de
fase. Se infiere que todas las seales con espectro de magnitud iguales y diferentes funciones de
fase tendrn idnticos espectros de densidad de energa. De esta manera, una seal dada tendr slo
un espectro de densidad de energa, sin embargo, lo recproco no es verdad, ya que puede existir un
nmero infinito de seales que tienen el mismo espectro de densidad de energa.
Si se deseara obtener la energa de una banda limitada, entonces:
-
2
1
)(S1
dE (2.8)
DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
A las seales, como las seales peridicas, que tienen energa infinita aun cuando su
promedio en el tiempo es finito se les conoce como seales de potencia.
Se define la potencia promedio de una seal f(t) como el promedio de la potencia disipada
por una resistencia de 1 ohm al aplicarse un voltaje f(t) (o al circular la corriente f(t) por dicha
resistencia).
Entonces, la potencia promedio P de la seal f(t) est dada por:
)()(1 22
2
2tfdttf
TlmP
T
TT
(2.9)
Para una seal peridica, cada perodo contiene una rplica de la funcin, y la operacin de
llevar al lmite la ecuacin 2.9, se puede omitir siempre que T se tome como el perodo.
La potencia promedio definida en la ecuacin 2.9, es el valor cuadrtico medio de f(t),
definida como )(2 tf .
Si se forma una nueva funcin )(tfT , tal que:
t
Tttf
tfT de valor otrocualquier para 0
2 )(
)(
Siempre y cuando que T sea finito, )(tfT tiene energa finita.
Sea TT Ftf )(
Entonces, la energa TE de )(tfT est dada por:
dfFdttfE TTT
22 )(
pero,
-
2
2
22 )()(T
TT dttfdttf
se aprecia que: )()( tflmtf TT
entonces, la potencia promedio P es:
df
T
Flmdttf
TlmP
T
T
T
TT
2
2
2
2 )(1
A medida que se incrementa T, la energa de )(tfT tambin se incrementa. Al suponer que
el lmite existe, entonces, se define, el espectro de densidad de potencia de f(t), como:
Hz
Watts
T
FlmS
T
Tf
2
(2.10)
fS se le conoce como la funcin densidad espectral de potencia, o simplemente
espectro de densidad de potencia de f(t).
Por lo tanto, la Potencia media:
dS
dfS
dttfT
lmtfP
f
f
T
TT
2
1
)(
)(1
)( 2
2
22
(2.11)
Ntese que
TTT FFF2
De la ecuacin 2.10, se deduce que la densidad de potencia es funcin par de . Luego, se puede expresar como:
dS
dfStf
f
f
0
0
2
1
)(2)(promedio Potencia
-
CORRELACIN
Anteriormente, se ha estudiado la funcin densidad espectral de potencia. Ahora, se
estudiar la correlacin como alternativa equivalente en el dominio del tiempo para encontrar la
densidad espectral de potencia
La correlacin es una medida cuantitativa de la similitud entre dos ondas.
Supngase que se satisface la definicin de densidad espectral de potencia,
T
FlmS
T
T
2
)(
. (2.23)
La Transformada inversa de Fourier correspondiente a la ecuacin 2.23, es:
de
T
FlmSF j
T
T
2
1
2
1 (2.24)
Obsrvese, que se ha agregado una nueva variable, , en la ecuacin 2.24, ya que la
variable t, ya se us en la definicin de TF por la misma razn se usar tambin .1t . Si se intercambia el orden de las operaciones, tenemos que:
2
2
2
2
11
*
*1
1)()(2
1
)()(2
1)(
T
T
T
T
jtjtj
T
j
TTT
f
dedtetfdtetfT
lm
deFFT
lmSF
(2.25)
2
2
2
2
1
)(
1
*1 1
2
1)()(
1)]([
T
T
T
T
ttj
Tf dtdtdetftf
TlmSF
(2.26)
La integracin sobre entre barras de la ecuacin 2.23, se reconoce ahora como
)( 1 tt , as que:
-
2
2
*
2
2
2
2
111
*1
)()(1
)()()(1
)]([
T
TT
T
T
T
TT
f
dttftfT
lm
dtdttttftfT
lmSF
(2.27)
En esta ecuacin se describen las operaciones en el dominio del tiempo correspondientes a
la determinacin de )(fS . La transformada inversa de Fourier de la densidad espectral de potencia
)(fS se llama funcin de autocorrelacin de f(t), designada como )(fR . Entonces, el resultado
buscado puede escribirse como:
2
2
* )()(1
)(
T
TT
f dttftfT
lmR . (2.28)
Ahora, si se toma la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuacin 2.27, y utilizando
la ecuacin 2.28, se tiene:
)]([)( ff RFS . (2.29)
El clculo de la funcin de autocorrelacin )(tR f resulta ser similar a la convolucin de f(-t)
con f(t), para seales de valor real.
La funcin de autocorrelacin es muy til en el anlisis de seales, ya que permite la
deteccin o reconocimiento de seales enmascaradas por ruido agregado. Tambin se encuentra la
correlacin cruzada.
Supngase que se tienen dos seales f(t) y g(t), se define la correlacin media cruzada de
)(fgR como:
2
2
* )()(1
)(
T
TT
fg dttgtfT
lmR . (2.30)
Las funciones de correlacin proporcionan medidas de la semejanza de una seal f(t) con ella
misma(en el caso de autocorrelacin) o con otra seal(para el caso de correlacin cruzada)
comparadas con un desplazamiento relativo . Para seales no semejantes el mximo de la funcin
de correlacin es un indicador de cun bueno es el ajuste entre ambas seales.
-
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE CORRELACIN
Simetra:
Examinando la funcin de correlacin para argumentos negativos, se tiene:
dttftfT
lmR
T
TT
f
2
2
* )()(1
)( ,
2
2
* )()(1
)(
T
TT
f dftfT
lmR ,
)()(* ff RR . (2.31)
Por lo tanto, la parte real de )(fR es una funcin par; y si f(t) tiene valor real,
entonces ).()(* ff SS
Valor cuadrtico medio:
La funcin de autocorrelacin )(fR evaluada en 0 es igual al valor
cuadrtico medio de la seal f(t) (potencia media).
2
2
* )()(1
)0(
T
TT
f dttftfT
lmR ,
)()0( 2 tfR f . (2.32)
Periodicidad:
Si f(t+T)=f(t) para todo t, entonces:
)()( ff RTR para todo . (2.33)
La demostracin se efecta fcilmente realizando las integrales y aplicando la definicin de
periodicidad.
Valor promedio:
Si f(t) y g(t) estn correlacionadas
-
21mmRR xgfg
Si f(t) se representa por medio de una funcin x(t) con un valor promedio cero ms un valor
promedio representado por 1m , y de manera semejante se representa g(t) como una funcin de y(t)
con valor promedio cero, ms un valor promedio 2m , las ecuaciones pueden escribirse como:
1)()( mtxtf ,
2)()( mtytg .
La correlacin cruzada de f(t) y g(t) es:
2
2
21
* ])(][)([1
)(
T
TT
fg dtmtymtxT
lmR .
Observando que los valores promedios de x(t) y y(t) son cero por definicin, se tiene:
2
2
21
* )()(1
)(
T
TT
fg mmdttytxT
lmR .
El valor promedio de la funcin de correlacin cruzada es:
2
2
2
2
21
* )()(11
)(
T
T
T
TTT
fg mmdtdtytxT
lmT
lmR .
Intercambiando el orden de integracin, se tiene:
2
2
2
2
21
* )(1
)(1
)(
T
T
T
TTT
fg mmdtdtyT
lmtxT
lmR .
Debido a que )( ty es cero, se obtiene el resultado:
21)( mmR fg . (2.34)
por lo tanto, x(t) e y(t) no estn correlacionadas.
Luego, el valor promedio de la correlacin cruzada de las funciones f(t) y g(t) es igual al
producto de sus valores promedio. Si el valor promedio de cualquier funcin es cero, entonces el valor
-
promedio de su correlacin cruzada es cero. El caso para autocorrelacin se obtiene de inmediato de
este resultado.
Valor mximo:
Se puede demostrar que )()0( xx RR para todo , tomando la magnitud al cuadrado de
la funcin de autocorrelacin y usando la desigualdad de Schwarz. As que:
)0()0(
)(1
)(1
)()(1 2
2
2
2
22
2
2
2
*
ff
T
T
T
TTT
T
TT
RR
dttfT
lmdttfT
lmdttftfT
lm
Tomando la raz cuadrada de ambos miembros de este resultado, se tiene:
)0()( ff RR . (2.35)
Por consiguiente, la funcin de autocorrelacin )(fR est acotada por el valor cuadrtico
medio de la seal f(t). Para una seal peridica, la igualdad de la ecuacin 2.35 es vlida para
mltiplos del periodo a partir del origen. Para f(t) no peridica, )(fR es estrictamente menor que
)0(fR para todo 0 .
Aditividad:
Si se suman dos seales, la funcin de autocorrelacin de la suma puede o no ser la suma de
sus respectivas funciones de autocorrelacin. Para investigarlo, escribimos z(t)=x(t)+y(t). La funcin de
autocorrelacin para la suma de las seales x(t) y y(t) es:
2
2
** )]()()][()([1
)(
T
TT
z dttytxtytxT
lmR ,
)()()()()( yxxyyxz RRRRR . (2.36)
Se concluye que slo si las funciones de correlacin cruzada son nulas, es decir, si
0)()( yxxy RR , se puede escribir:
)()()( yxz RRR . (2.37)
Para la condicin 0)( xyR para toda , decimos que x(t) y y(t) no estn correlacionadas.
Ms an, se puede demostrar que )()(*
xyyx RR de modo que si 0)( xyR , entonces
-
0)( yxR . Obsrvese que si x(t) y y(t) son ortogonales, entonces no estn correlacionadas.
Adems, si x(t) y y(t) son estadsticamente independientes tampoco estn correlacionadas.
Como la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la funcin de
autocorrelacin, nuestra conclusin es que si dos seales x(t) y y(t) no estn correlacionadas,
entonces sus densidades espectrales de potencia son aditivas. En otras palabras, la potencia
promedio de la suma de dos seales es la suma de la potencia promedio de las dos seales slo si
stas no estn correlacionadas. Cuando la funcin de correlacin cruzada no es nula, las seales se
deben sumar primero y despus se podr determinar la potencia o, de manera equivalente, se
debern tomar en cuenta las correlaciones cruzadas de la ecuacin 2.36.
FUNCIONES DE CORRELACIN PARA SEALES DE ENERGA FINITA
El concepto de correlacin se puede extender para seales de energa finita. Se define la
funcin de autocorrelacin )(fr para una seal f(t) de energa finita como:
dttftfr f )()(* . (2.38)
De la misma manera, para seales f(t) y g(t), ambas de energa finita, la funcin de
correlacin cruzada )(fgr se define como:
dttgtfr fg )()(* . (2.39)
Se puede observar que, para funciones de valor real, estas operaciones son las mismas que
para la convolucin, excepto que la segunda funcin no se invierte.
La transformada de Fourier de la ecuacin 2.38 es:
ddtetftfrF jf )()(* . (2.40)
Intercambiando el orden de la ecuacin 2.40, se tiene:
dtdetftfrF jf )()(* . (2.41)
El uso de la propiedad de retardo de la transformada de Fourier en el miembro derecho de la
ecuacin 2.41 da:
2* )()()( FdteFtf tj . (2.42)
Combinando las ecuaciones 2.41 y 2.42, se obtiene:
-
2)()( FrF f . (2.43)
Al reconocer el segundo miembro de la ecuacin 2.43, como la densidad espectral de energa de f(t),
se concluye que la densidad espectral de energa es la transformada de Fourier de la funcin de
autocorrelacin para seales de energa finita.
RUIDO
El concepto de densidad espectral de potencia permite manipular algunos de los efectos
promedio de las fluctuaciones al azar que se presentan en los procesos fsicos. Estas fluctuaciones,
de corriente o tensin, enmascaran las seales transmitidas y comnmente se les denomina ruido. En
trminos generales, el ruido consiste en cualquier seal, aleatoria o determinstica, que interfiera con
la reproduccin fiel de una seal deseada en un sistema. Estas seales indeseables provienen de
diversas fuentes y pueden clasificarse en artificiales o naturales.
Interferencia artificial(ruido), incluyen la captacin electromagntica de otras seales, filtrado
inadecuado, trminos alias provenientes de mala seleccin del muestreo, vibraciones mecnicas que
provocan disturbios elctricos, etc. Las fuentes de ruido artificiales tienen la propiedad de que
pueden ser eliminadas o al menos minimizarse.
Interferencias de origen natural, no son controlables de manera tan directa y sus caractersticas
pueden describirse en forma estadstica. Existen casos en que las fluctuaciones son muy errticas y
no pueden ser descritas en forma analtica(tal es el caso de las tormentas elctricas). En otros casos,
la potencia promedio en el tiempo puede permanecer relativamente constante y ,sobre esto, puede
realizarse un tratamiento significativo. En este ltimo caso, el concepto de densidad espectral de
potencia es til y permite tratar los efectos del ruido sobre la base de una potencia promedio.
Supngase que n(t) es un ruido de tensin o corriente, se definen los siguientes promedios de
n(t).
1.- Valor medio, )(tn :
2
2
)(1
)(T
TT
dttnT
lmtn . (2.12)
el parmetro )(tn se suele llamar valor de cc, o promedio, de n(t). El intervalo de tiempo T de la
ecuacin 2.12, puede ser finito para una buena estimacin de )(tn si es lo bastante grande como
para suavizar en forma adecuada las fluctuaciones de n(t).
2.- Valor cuadrtico medio, )(2 tn :
-
2
2
22 )(1
)(T
TT
dttnT
lmtn . (2.13)
la raz cuadrada de )(2 tn , llamada valor de raz cuadrtica media de n(t), tiene la ventaja de que las
unidades de )(2 tn son iguales a las de n(t). Aparte del factor de escala de la resistencia, la
ecuacin 2.13, entrega la potencia promedio en el tiempo de n(t). Esto tambin se relaciona con la
integral de la densidad espectral de potencia, )(nS .
3.- Componente de ca, )(t :
)()()( tntnt
. (2.14)
El componente de ca, o fluctuacin, de n(t) es el que queda despus de suprimir el valor medio )(tn .
Sustituyendo la ecuacin 2.14 en la 2.13, se obtiene:
2
2
22 )()(1
)(T
TT
dtttnT
lmtn
2
2
22
2
22 )(1
)(1
)(T
TT
T
TT
dttT
lmdttnT
lmtn . (2.15)
En la ecuacin 2.15, se hace uso del hecho de que )(tn es constante y que la media de )(t
es cero por definicin. El trmino de la izquierda es la potencia promediada en el tiempo de n(t) a
travs de una resistencia de un ohm. El primer trmino de la derecha de la ecuacin 2.15, es la
potencia de cc y el segundo, la potencia de ca de n(t). Se debe notar que el valor de la raz cuadrtica
media de n(t) es igual a la de )(t slo si el valor medio )(tn es cero.
Razn seal a ruido
-
La relacin seal a ruido(S/N), es una relacin matemtica sencilla del nivel de la seal con
respecto al nivel del ruido en un punto dado del circuito, amplificador o sistema. Como el ruido vara
en forma impredecible de un instante a otro, es preferible analizar sobre la base de una potencia
promedio de ruido. La relacin de seal a ruido puede expresarse como una relacin de voltaje y una
relacin de potencia. Luego, la razn S/N, es:
)(
)(2
2
tn
ts
N
S . (2.16)
22
ruido del voltaje
seal la de voltaje
n
s
V
V
N
S, como una relacin de voltaje.
n
s
P
P
N
S
ruido del potencia
seal la de potencia, como una relacin de potencia.
Frecuentemente, la relacin de seal a ruido se expresa como una funcin logartmica con la
unidad de decibel.
Para las relaciones de voltaje, n
s
V
VdB
N
Slog20)( .
Para las relaciones de potencia, n
s
P
PdB
N
Slog10)( .
Se supone que tanto la seal como el ruido promediado se miden en el mismo punto.
La relacin seal a ruido probablemente sea el parmetro mas importante y frecuentemente
usado para evaluar el funcionamiento de un sistema completo de comunicaciones de radio o para
comparar el funcionamiento de un amplificador o sistema con otro. El funcionamiento del sistema
depender directamente de la relacin seal a ruido, de esta forma entre ms alta sea esta relacin,
mejor ser el funcionamiento del sistema. Entonces, de la relacin seal a ruido, se puede determinar
la calidad general del sistema.
Ruido trmico
El ruido trmico est asociado al movimiento aleatorio de los electrones dentro de un
conductor. De acuerdo con la teora cintica de la materia, los electrones dentro de un conductor
estn en equilibrio trmico con las molculas y en constante movimiento aleatorio. Por lo tanto, el
ruido trmico es el movimiento aleatorio de los electrones libres dentro de un conductor, causado por
la agitacin trmica.
-
La ley de equiparticin de Boltzmann y Maxwell combinado con el trabajo de Johnson, y
Nyquist establece que la potencia del ruido trmico disponible dentro de una fuente para un ancho de
banda de 1 Hz( watts por hertz) es la densidad espectral de potencia para ruido blanco generada en
una resistencia, la cual se representa matemticamente como:
Hz
WattsSN
20
y KT4 (2.17)
donde
K) 290 C17ambiente ra(temperatu (kelvin) absoluta atemperatur
)/10*1.38Boltzmann( de constante
hertz)por tsblanco(wat ruido el para potencia de espectral densidadFuncin
23-
0
T
KJK
SN
La potencia media de ruido generada en una resistencia es:
KTBWBPn 4
donde
B=ancho de banda en Hz.
De esta potencia de ruido generada, la mxima transferencia ocurre cuando el sistema est
aceptado a esa resistencia que genera al ruido, o sea cuando la tensin transferida es la mitad de la
tensin en circuito abierto, y esta potencia transferida mxima o potencia disponible (available) es un
cuarto de la generada.
KTBPa
Por lo tanto, a la temperatura ambiente con un ancho de banda de 1 Hz, la densidad de
potencia de ruido disponible es:
Hz
W
KK
JSN
21
23
10*4
290*10*38.10
y la potencia media expresada en dBm:
-
dBm
KTBBPn
174
001.0
1*10*4log10
001.0log10
001.0log10
21
KTBNPa (2.18)
Donde:
rtz)sistema(he o odispositiv del banda de ancho
hertz)por sruido(watt de potencia de densidad la
(watts) banda de ancho elen ruido del totalpotencia la
0
B
KTS
BN
N
y expresada en dBm:
001.0log10)(
KTBdBmN
Ancho de banda equivalente de ruido
Es conveniente definir el ancho de banda equivalente de ruido, NB , de un circuito elctrico.
Este ancho de banda, NB , es el de un filtro ideal que da la misma potencia de ruido a la salida que el
sistema real. El ancho de banda equivalente para ruido blanco puede determinarse de la siguiente
manera:
Un sistema con funcin de transferencia )(H y espectro de densidad de potencia de ruido
de entrada 2/ . La potencia media de ruido a la salida es:
dHSN i
2
0 )()(2
1.
Luego, la tensin cuadrtica media de salida )(20 tv , a travs de una resistencia de un ohm
es:
0
2
22
00
)(2
)(22
1)(
dH
dHtvN
(2.19)
-
La integral definida en esta ecuacin es constante para una funcin respuesta de frecuencia
de un sistema dado, )(H . Al definir un ancho de banda equivalente de ruido NB tal que la
densidad espectral de potencia en la salida del filtro sea constante en NB y cero en otro lugar se
forma una densidad espectral rectangular equivalente; adems, el rea bajo esta densidad espectral
rectangular es igual al rea de la densidad espectral en la salida del filtro.
Designando la frecuencia central del sistema como 0 ( 00 para un sistema pasa bajo),
la ganancia de tensin en el centro de banda del sistema es 2
0H y se puede escribir como:
pasabajofiltroparaBHtvN
dHtvN
N
B
B
N
N
22
00
2
2
22
00
)0( )(
)(22
1)(
(2.20)
de igual manera, para un filtro pasa banda, se tiene:
-
N
B
B
BHtvN
dHtvNN
N
2
0
2
00
22
22
22
00
)( )(
)(22
1*2)(
0
0
finalmente, se tiene que:
2
0
0
2
)(
)(
2
1
H
dHBN
(2.21)
Esta definicin del ancho de banda equivalente de ruido NB permite analizar sistemas
lineales prcticos por medio de sus equivalentes idealizados.
Factor de ruido F
El factor de ruido es un ndice que indica la degradacin en la relacin seal a ruido conforme
la seal se propaga por un sistema. El factor de ruido es la razn de la relacin seal a ruido de
entrada y la relacin seal a ruido de salida, considerando como ruido de entrada la producida a una
temperatura de 290K, es decir 290*Ni KBN . Matemticamente, este factor se escribe como:
salida de ruido a sealrelacin
entrada de ruido a sealrelacin F ,
o bien,
1
0
N
S
N
S
F i (2.22)
En un sistema ideal no ruidoso, la figura de ruido, F=1.
Donde:
-
.290 a por producido trmicoruido de potencia
entrada de seal la de media potencia
sistema del ganancia
sistema elpor producido ruido de media potencia
TRN
S
G
N
i
i
S
En un canal de comunicacin ocurre una gran atenuacin, denotado por:
GL
1
para revertir este problema, en el receptor existen varias etapas amplificadoras de alta ganancia que:
- amplifican la seal y el ruido que acompaa la seal,
- adiciona el propio ruido generado por l.
Cuando dos o ms amplificadores o dispositivos estn en cascada, el total del factor de ruido
es la acumulacin de los factores de ruido individuales. Luego, matemticamente se tiene:
12121
3
1
21
..
1....
11
n
nT
GGG
F
GG
F
G
FFF (2.23)
donde,
1or amplificad del ganancia
2or amplificad del potenciaen ganancia
1or amplificad del potenciaen ganancia
or amplificad para ruido defactor
2or amplificad ruido defactor
1or amplificad ruido defactor
oresamplificad para totalruido defactor
1
2
1
2
1
nG
G
G
nF
F
F
nF
n
n
T
La temperatura equivalente de ruido, es la temperatura de una resistencia a la entrada que
producida el mismo ruido a la salida que agregado por el sistema.
-
La relacin que existe entre la temperatura equivalente y la figura de ruido se calcula de la
siguiente manera:
Tomando la figura de ruido en veces y la temperatura equivalente en k se tiene,
GNeqNN i 0 donde
G
NKBTeNeq
KBTN
S
ii
ii
S
i
Si
i
ii
N
Neq
GN
N
N
NGN
GN
N
S
S
N
S
N
S
F
1110
0
0
ii
iT
Te
N
NeqFNFNeq 11
kFTeT
TeF
i
29011 (2.24)
Tambin, se puede obtener la temperatura equivalente de ruido, Te de n etapas, en funcin
de las temperaturas equivalentes de cada una.
12121
3
1
21
......
n
n
GGG
Te
GG
Te
G
TeTeTe (2.25)
considerando 1iG se aprecia que es la primera etapa la que ms contribuye al ruido a la salida,
por lo tanto, sta deber elegirse con bajo factor de ruido.
Representacin temporal del ruido pasa banda
En el proceso de transmisin, las seales resultan afectadas por ruido de banda
ancha(generalmente ruido blanco). El primer paso, en el receptor, es filtrar la seal de entrada de
cualquier ruido contenido fuera de la banda de seal til. La seal que nos interesa se encuentra a la
salida de este filtro pasa banda ms el ruido dentro de esta banda.
Si se considera un ruido pasa banda n(t) con espectro de densidad de potencia ),(nS como
se muestra en la figura 2.5. Una seal aleatoria de ruido pasa banda n(t) se puede expresar como:
-
)(cos)(
)(cos)()(
tttN
tsentnttntn
c
cscc
con
)(
)()(
)()()(
2
2
22
tn
tnarctgt
tntntN
c
s
sc
donde )(y )( tntn sc son seales de baja frecuencia de banda limitada a m radianes por segundos,
siendo las potencias(valores cuadrticos medios) de )(y )(),( tntntn sc iguales; es decir:
)()()( 222 tntntn sc