Capítulo 1 Series de Fourier

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Captulo 1 Series de Fourier En esta seccin vamos a trabajar con funciones de variable e imagen real, o sea f (t) ; con f : R ! R. MÆs adelante extenderemos los resultados para funciones de imagen compleja, es decir, para funciones f : R ! C. Si tenemos una funcin f : R ! R que sea lo sucientemente derivable, se sabe de AnÆlisis I que podemos aproximar f localmente usando polinomios de Taylor, pero dicha aproximacin tiene muchas limitaciones: necesita que la funcin tenga derivadas (mientras mÆs derivadas tenga, mÆs posibilidad de que la aproximacin sea buena), y da una aproximacin local, o sea buena cerca de un punto prejado. Vamos a ver acÆ otra forma de hacer esto. 1.1. Introduccin: Series de Potencias Estas son una clase particularmente importante de series de funciones: Denicin 1.1 Una serie de la forma 1 X n=0 a n (t a) n = a 0 + a 1 (t a)+ a 2 (t a) 2 + se la llama serie de potencias centrada en a: Ejemplo 1.2 1. 1 X n=0 t n n! es una serie de potencias centrada en cero, con a n = 1 n! 8 n 2 N [f0g. 2. 1 X n=1 (1) n (t 1) n es una serie de potencias centrada en 1; con a n =(1) n 8 n 2 N (a 0 =0). 9

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Capítulo 1

Series de Fourier

En esta sección vamos a trabajar con funciones de variable e imagen real, o sea f (t) , conf : R → R. Más adelante extenderemos los resultados para funciones de imagen compleja, esdecir, para funciones f : R→ C.

Si tenemos una función f : R → R que sea lo suficientemente derivable, se sabe de AnálisisI que podemos aproximar f localmente usando polinomios de Taylor, pero dicha aproximacióntiene muchas limitaciones: necesita que la función tenga derivadas (mientras más derivadastenga, más posibilidad de que la aproximación sea buena), y da una aproximación local, o seabuena cerca de un punto prefijado. Vamos a ver acá otra forma de hacer esto.

1.1. Introducción: Series de Potencias

Estas son una clase particularmente importante de series de funciones:

Definición 1.1 Una serie de la forma∞∑n=0

an (t− a)n = a0 + a1 (t− a) + a2 (t− a)2 + · · ·

se la llama serie de potencias centrada en a.

Ejemplo 1.2 1.∞∑n=0

tn

n!es una serie de potencias centrada en cero, con an =

1

n!∀ n ∈

N ∪ {0}.

2.∞∑n=1

(−1)n (t− 1)n es una serie de potencias centrada en 1, con an = (−1)n ∀ n ∈ N

(a0 = 0).

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10 Series de Fourier

Un grupo especialmente importante de series de potencias son las de la forma

∞∑n=0

f (n) (a)

n!(t− a)n

donde f es alguna función que tiene derivadas de todos los órdenes en a; esta serie recibe elnombre de series de taylor para f en a. Esta definición deriva de la de polinomio de Taylor:

si f (a) , f ′ (a) , f′′

(a) , ..., f (N) (a) existen todas, luego PN,a (t) =

N∑n=0

f (n) (a)

n!(t− a)n es el

polinomio de Taylor de grado N para f en a. Se pone RN,a (t) = f (t) − PN,a (t) (el resto), deforma tal que

f (t) = PN,a (t) +RN,a (t) =N∑n=0

f (n) (a)

n!(t− a)n +RN,a (t) .

De esta expresión se deduce inmediatamente que la serie∞∑n=0

f (n) (a)

n!(t− a)n converge a f (t)

si y solo sí RN,a (t) −→N→∞

0. Notar que PN,a (t) = SN (t), la N -ésima suma parcial de la serie de

Taylor.

Ejemplo 1.3 Vamos a encontrar la serie de Taylor para f (t) =1

talrededor de t = 1. Tenemos:

f(1) = 1

f ′ (t) = − 1

t2−→ f ′ (1) = −1

f′′

(t) =2

t3−→ f

′′(1) = 2

f′′′

(t) = − 6

t4−→ f

′′′(1) = −6

f iv (t) =24

t5−→ f iv (1) = 24

en general

f (n) (t) = (−1)nn!

tn+1−→ f (n) (1) = (−1)n n! para n ∈ N.

luego la serie buscada es:

∞∑n=0

(−1)n n!

n!(t− 1)n =

∞∑n=0

(−1)n (t− 1)n .

Esta cuenta no demuestra que dicha serie sea convergente, y menos que converja a f(t), peropodemos ver esto usando la serie geométrica:

1

t=

1

1− (1− t) =∞∑n=0

(1− t)n =

∞∑n=0

(−1)n (t− 1)n ,

donde la segunda iguandad vale si |t− 1| < 1 (y la serie diverge para |t− 1| > 1).

Series de Fourier 11

La siguiente proposición, de demostración inmediata si se dispone de la Regla de L’Hopital,nos dice cuan bien aproxima el polinomio de Taylor de una función en un entorno del centro a:

Proposición 1.4 Si f : (a− ε, a+ ε)→ R tiene n derivadas en a, entonces

lımt→a

f (t)− Pn,a (t)

(t− a)n= a

Demostración. Ejercicio, aplicar la regla de L’Hopital n veces.

A esta altura conocemos dos fórmulas explícitas para el resto:

Proposición 1.5 Si f : (a− ε, a+ ε)→ R y I es el intervalo de extremos a y t, entonces:

1. Si f (n+1) existe en I, entonces

Rn,a (t) =f (n+1) (ξ)

(n+ 1)!(t− a)n+1 para algún ξ ∈ I.

2. Si f (n+1) es integrable en I, entonces

Rn,a (t) =

∫ t

a

f (n+1) (u)

n!(t− u)n du.

Ejemplo 1.6 Dada f (t) = cos (t) y a = 0, f tiene derivadas de todos los órdenes en a. Calcu-lando obtenemos

f(0) = 1

f ′ (t) = − sin (t) −→ f ′ (0) = 0

f′′

(t) = − cos (t) −→ f′′

(0) = −1

f′′′

(t) = sin (t) −→ f′′′

(1) = 0

A partir de la cuarta derivada, los resultados se repiten de manera cíclica, por lo que resultaque la serie de Taylor para cos (t) en cero es

1− t2

2+t4

4!− t6

6!+ · · ·+ (−1)n

t2n

(2n)!+R2n,o(t)

(notar que todas las potencias de t que aparecen son pares). Como∣∣f (n+1) (ξ)

∣∣ ≤ 1 ∀ n, ξ, setiene que

|Rn,0 (t)| ≤ tn+1

(n+ 1)!−→n−→∞

0 (ejercicio).

Entonces, hemos probado que

cos (t) =∞∑n=0

(−1)nt2n

(2n)!para todo t ∈ R.

12 Series de Fourier

De manera absolutamente análoga se puede ver que

sin (t) =

∞∑n=0

(−1)nt2n+1

(2n+ 1)!para todo t ∈ R,

y

exp (t) =∞∑n=0

tn

n!para todo t ∈ R.

Al comenzar el estudio de series, nos concentramos en la convergencia o no de las mismas.Cuando se trabaja con serie de potencias, o en general con series de términos variables, el focodebe ponerse en cuales son los valores que puede tomar la variable t para que la serie resultantesea convergente. Para cada valor de t en el que la serie de potencias converge, la serie representael número que es la suma de la serie. Por tanto, una serie de potencias en t define una funciónque tiene como dominio todos los valores de t para los cuales la serie de potencia converge.

Teorema 1.7 Si la serie de potencias∞∑n=0

an (t− a)n converge en t = t0, entonces converge

absolutamente ∀ t tal que |t− a| < |t0 − a|. Es decir, si r = |t0 − a| entonces la serie convergeabsolutamente ∀ t ∈ (a− r, a+ r).

Demostración. Puesto que la serie∞∑n=0

an (t0 − a)n converge, la condición del resto nos dice

quelımn→∞

an (t0 − a)n = 0,

y entonces ∃ M tal que|an (t0 − a)n| ≤M ∀ n. Si tomamos t tal que |t− a| < r, tendremos

|an (t− a)n| = |anrn|(|t− a|r

)n≤M

∣∣∣∣ t− ar∣∣∣∣n .

Puesto que la serie∞∑n=0

∣∣∣∣ t− ar∣∣∣∣n

converge (por ser geométrica de razón menor que 1), por comparación concluimos que∞∑n=0

an (t0 − a)n

converge absolutamente.El resultado anterior nos permite definir el concepto de radio de convergencia de una

serie de potencias: consideremos la serie∞∑n=0

an (t− a)n, que siempre converge (a cero) cuando

t = a. Llamemos R0 = 0, y exploremos dos posibilidades:

1. Si existe t0 tal que |t0 − a| > R0 y tal que la serie∑∞

n=0 an (t0 − a)n sea convergente,llamemos R1 = |t0 − a| (notar R1 > R0). En tal caso la Proposición anterior nos dice quela serie converge absolutamente ∀ t ∈ (a−R1, a+R1).

Series de Fourier 13

2. Si no existe t0 tal que |t0 − a| > R0 y la serie∑∞

n=0 an (t0 − a)n sea convergente, llamamosR = R0 = 0, y la serie converge solo en t = a.

En el caso 1., seguimos iterativamente de la siguiente manera:

1. Si existe t1 tal que |t1 − a| > R1 y tal que la serie∑∞

n=0 an (t1 − a)n sea convergente,llamemos R2 = |t1 − a| (notar R2 > R1). En tal caso la Proposición anterior nos dice quela serie converge absolutamente ∀ t ∈ (a−R2, a+R2).

2. Si no existe t1 tal que |t1 − a| > R1 y la serie∑∞

n=0 an (t1 − a)n sea convergente, lla-mamos R = R1, y la serie converge absolutamente ∀ t ∈ (a−R, a+R) y diverge ∀ t ∈{t : |t− a| > R}.

Este proceso iterativo nos permite construir una sucesión creciente {Rn}∞n=0 cuyo límite(≤ ∞) se llama el radio de convergencia de la serie de potencias, y por su construcción tienela propiedad de que la serie converge absolutamente ∀ t ∈ (a−R, a+R) = {t : |t− a| < R} ydiverge ∀ t ∈ {t : |t− a| > R}. No sabemos que pasa en {t : |t− a| = R}, es decir, en t = a±R.

Ejemplo 1.8 Determine los valores de t para los cuales la serie de potencias es convergente:

∞∑n=0

(−1)n+1 2n

n3ntn

Si expresamos la serie dada de la forma∑∞

n=0 tn, entonces

tn = (−1)n+1 2ntn

n3ny tn+1 = (−1)n+2 2n+1tn+1

(n+ 1) 3n+1

de modo que

lımn→+∞

∣∣∣∣ tn+1

tn

∣∣∣∣ = lımn→+∞

∣∣∣∣ 2n+1tn+1

(n+ 1) 3n+1

n3n

2ntn

∣∣∣∣= lım

n→+∞2

3|t| n

n+ 1

=2

3|t|

Por tanto la serie de potencias es absolutamente convergente cuando 23 |t| < 1 o, equivalente-

mente, cuando |t| < 32 . La serie es divergente cuando

23 |t| > 1 o, equivalentemente, cuando

|t| > 32 . Es decir, el radio de convergencia de esta serie es R = 3

2 . Cuando23 |t| = 1 (es decir

cuando t = ±23), el criterio del cociente no da información. Cuando t = 3

2 , la serie de potenciasdada se convierte en la serie armónica alternante

1

1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·+ (−1)n+1 1

n+ · · ·

la cuál es convergente. Cuando t = −32 se tiene

−1

1− 1

2− 1

3− 1

4− · · · − 1

n− · · ·

14 Series de Fourier

la cual es (un multiplo de) la serie armónica, que es divergente. Por tanto, se concluye que laserie de potencia dada es absolutamente convergente cuando

−3

2< t <

3

2

y es condicionalmete convergente cuando

t =3

2.

Sit ≤ −3

2ó t >

3

2,

la serie es divergente.

1.2. Series de funciones reales

De la misma forma que pensamos en sucesiones de números reales {xn}n∈N , donde teníamosun número real para cada natural n, podemos pensar en una sucesión de funciones {fn}n∈N,donde cada fn (t) es una función real definida en cierto dominio (o sea, tenemos una función devariable para cada número natural n). Por ejemplo si llamamos

fn (t) =1

n2cos(nt),

entonces {fn}n∈N es una sucesión de funciones reales, cada una de las funciones de la sucesiónesta definida en todo R, y la n-ésima función de la sucesión es nt.

Supongamos que tenemos una sucesión de funciones {fn}n∈N , y tomemos un número t fijoque esté en el dominio de todas las funciones fn, entonces {fn (t)}n∈N es una sucesión de númerosreales, así que tiene sentido plantear la serie

f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) + · · · =∞∑n=1

fn (t) .

Para decidir si una serie de este tipo converge, se puede aplicar cualquiera de los criterios vistos,pues se trata de una serie normal de números reales. Pero estamos interesados en ver el problemadesde otro punto de vista: dada una sucesión de funciones {fn}n∈N , queremos encontrar losnúmeros reales t para los cuales la serie numérica

∑∞n=1 fn (t) es convergente (si es que hay

alguno). Suponiendo que la serie∑∞

n=1 fn (t) converge para todo t de cierto conjunto I ⊆ R,llamamos

S (t) = lımN→∞

N∑n=1

fn (t) =

∞∑n=1

fn (t) ,

y esto define una nueva función S (t) en I (la función que asigna a cada t de I el valor de laserie numérica

∑∞n=1 fn (t)). Este hecho se suele denotar omitiendo la variable:

S = lımN→∞

N∑n=1

fn =∞∑n=1

fn,

Series de Fourier 15

y se dice que la serie de funciones∑∞

n=1 fn converge a la función S. La definición de convergenciaqueda así:

Definición 1.9 Dada una sucesión de funciones {fn}n∈N , diremos que∑∞

n=1 fn converge en unconjunto I si

∑∞n=1 fn (t) converge para todo t ∈ I (notar que, necesariamente I ⊆ Dom (fn) ∀ n,

es decir, los puntos donde la serie converge son, necesariamente, puntos del dominio de las fun-ciones fn). Análogamente, diremos que la serie

∑∞n=1 fn converge absolutamente en I si la serie∑∞

n=1 |fn (t)| converge para todo t ∈ I (o sea si la serie∑∞

n=1 fn (t) converge absolutamente paratodo t ∈ I).

La región de convergencia de la serie∑∞

n=1 fn es el conjunto{t ∈ R :

∞∑n=1

fn (t) converge

},

es decir, el mayor conjunto donde la serie converge.

Ejemplo 1.10 Tomar fn (t) = tn, con n ∈ N (es decir, f1 (t) = t, f2 (t) = t2, f3 (t) = t3, etc.),y queremos ver para qué valores de t podemos calcular

f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) + · · ·

(notar que cada función fn está definida en todo R). Llamando Sn (t) = f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) +· · ·+ fn (t) y haciendo la misma cuenta que para la serie geométrica, concluimos que para t 6= 1vale

Sn (t) =t− tn+1

1− t .

Entonces, para t con |t| < 1 tenemos que

∞∑n=1

fn (t) = lımn→∞

Sn (t) =t

1− t ,

y para t con |t| ≥ 1 la serie no converge pues los términos no tienden a cero. Es decir, la serie∑∞n=1 fn converge en el conjunto I = {t : |t| < 1} .

Los criterios usuales para series numéricas quedan ahora así:

Si∑∞

n=1 fn y∑∞

n=1 gn son series de funciones,∑∞

n=1 fn converge a f en If ⊆ R, y∑∞n=1 gn converge a g en Ig ⊆ R, y α es un número real, entonces la serie de funciones∑∞n=1 (αfn + gn) converge a la función αf + g en If ∩ Ig.

Si∑∞

n=1 fn converge en I ⊆ R entonces

lımn→∞

fn (t) = 0 ∀ t ∈ I.

La serie∑∞

n=1 fn converge en I si y solo si la serie RN =∑∞

n=N+1 fn converge en I paratodo N, y en tal caso

lımN→∞

RN (t) = 0 ∀ t ∈ I.

16 Series de Fourier

Si∑∞

n=1 fn converge absolutamente en I ⊆ R, entonces converge en I (es decir, si∑∞

n=1 |fn (t)|converge para todo t en I entonces

∑∞n=1 fn (t) converge para todo t en I).

Si |hn (t)| ≤ |fn (t)| ∀ t ∈ I y∑∞

n=1 |fn| converge en I, entonces∑∞

n=1 |hn| converge en I(y entonces

∑∞n=1 hn converge en I).

Si {fn}n∈N es una sucesión con fn (t) 6= 0 ∀ t ∈ I y ∀n ≥ N (donde N es algún natural) y

lımn→∞

∣∣∣∣fn+1 (t)

fn (t)

∣∣∣∣ = lt,

entonces la serie∑∞

n=1 fn converge absolutamente en I si lt < 1 ∀ t ∈ I, (y diverge paralos valores de t tales que lt > 1).

Si {fn}n∈N es una sucesión ylımn→∞

n√|fn (t)| = lt,

entonces la serie∑∞

n=1 fn converge absolutamente en I si lt < 1 ∀ t ∈ I, (y diverge paralos valores de t tales que lt > 1).

Ejemplo 1.11 Tomemos

fn (t) =

(t

t+ 1

)n(o sea que cada fn está definida en R−{−1}), buscamos la región de convergencia de

∑∞n=1 fn.

Por el ejemplo anterior, sabemos que necesitamos∣∣∣∣( t

t+ 1

)∣∣∣∣ < 1,

y entonces ∣∣∣∣( t

t+ 1

)∣∣∣∣ < 1⇐⇒ |t| < |t+ 1| ⇐⇒ t2 < (t+ 1)2 ⇐⇒

⇐⇒ t2 < t2 + 2t+ 1⇐⇒ −1

2< t,

es decir, la serie converge en el intervalo(−1

2 ,∞).

En general, uno pretende que la función definida por una serie de funciones convergentestenga las mismas propiedades de suavidad que las funciones sumadas. Esto en general no es así,pero tenemos los siguientes resultados:

Teorema 1.12 Si {fn}n∈N es una sucesión de funciones continuas en [a, b] y {Mn}n∈N esuna sucesión de números reales positivos tales que

1. para cada n ∈ N, vale que |fn (t)| ≤Mn ∀ t ∈ [a, b], y

2. la serie∑∞

n=1Mn converge.

Series de Fourier 17

Entonces la serie∑∞

n=1 fn converge absolutamente a una función continua S(t), y∫ d

cS (t) dt =

∞∑n=1

∫ d

cfn (t) dt ∀ [c, d] ⊆ [a, b] .

Demostración. Primero notar que por comparación la serie∑∞

n=1 fn(t) converge (absoluta-mente) para todo t ∈ [a, b]. Llamemos S(t) =

∑∞n=1 fn(t). Además,

|RN (t)| =∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

fn(t)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=N+1

|fn(t)| ≤∞∑

n=N+1

Mn −→N→∞

0,

y entonces dado ε > 0 puedo encontrar n0 ∈ N tal que

|Rn0 (t)| < ε

3∀ t ∈ [a, b]

Doy un t0 fijo en [a, b], quiero ver que puedo hacer |S (t)− S (t0)| chico tomando t suficien-temente próximo a t0, es decir, doy ε > 0 y quiero ver que hay un δ > 0 tal que

|S (t)− S (t0)| < ε si |t− t0| < δ.

Llamemos Sn (t) =∑n

j=1 fj (t) , entonces

|S (t)− S (t0)| = |S (t)− Sn0 (t) + Sn0 (t)− Sn0 (t0) + Sn0 (t0)− S (t0)| ≤≤ |S (t)− Sn0 (t)|+ |Sn0 (t)− Sn0 (t0)|+ |Sn0 (t0)− S (t0)| == |Rn0 (t)|+ |Sn0 (t)− Sn0 (t0)|+ |Rn0 (t0)| << 2

ε

3+ |Sn0 (t)− Sn0 (t0)| . (1.1)

Ahora tomo δ tal que|Sn0 (t)− Sn0 (t0)| < ε

3si |t− t0| < δ (1.2)

(que existe pues la función Sn0 (t) es continua en t0 pues es la suma de n0 funciones continuas).Combinando (1.2) con (1.1), vemos que tal δ es el que estábamos buscando.

En cuanto a la integral, queremos ver que la serie numérica∑∞

n=1

∫ dc fn (t) dt converge al

número∫ dc S (t) dt. Razonando como arriba, dado ε > 0 existe N ∈ N tal que |Rn (t)| ≤ ε

b−apara todo t ∈ [a, b] si n ≥ N . Entonces∣∣∣∣∣∣∫ d

cS (t) dt−

n∑j=1

∫ d

cfj (t) dt

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∫ d

c

S (t)−n∑j=1

fj (t)

dt

∣∣∣∣∣∣ ≤∫ d

c

∣∣∣∣∣∣S (t)−

n∑j=1

fj (t)

∣∣∣∣∣∣ dt =

=

∫ d

c|Rn (t)| dt ≤ ε

b− a (d− c) < ε ∀ n ≥ N ,

que es lo que queríamos probar.

Ejemplo 1.13 Considerar la serie∞∑n=1

cos (nt)

n2.

18 Series de Fourier

Puesto que∣∣∣ cos(nt)

n2

∣∣∣ ≤ 1n2 para todo t ∈ R, y

∑∞n=1

1n2 convege, concluimos que dicha serie

converge a una función continua S(t) en R. Además,∫ π

0

∞∑n=1

cos (nt)

n2dt =

∞∑n=1

∫ π

0

cos (nt)

n2dt = 0.

­8 ­6 ­4 ­2 2 4 6 8

1

t

S

Notar que, a partir de la gráfica de S, no es obvio que la integral valga cero. Más adelanteencontraremos una fórmula para S en términos de funciones elementales.

Teorema 1.14 Si {fn}n∈N es una sucesión de funciones con derivada continua en [a, b] talesque

∑∞n=1 fn(t) converge en [a, b] a S(t), y {Mn}n∈N es una sucesión de números reales positivos

tales que

1. para cada n ∈ N, vale que |f ′n (t)| ≤Mn ∀ t ∈ [a, b], y

2. la serie∑∞

n=1Mn converge.

Entonces S(t) tiene derivada continua

S′ (t) =

∞∑n=1

f ′n (t) dt.

Demostración. Llamemos g (t) =∑∞

n=1 f′n (t) , quiero ver que S es derivable y que S′ (t) =

g (t) ∀ t ∈ (a, b) . Por el Teorema Fundamental del Cálculo,

fn (t)− fn (a) =

∫ t

af ′n (x) dx,

Aplicando el Teorema anterior, vemos que∫ t

ag (x) dx =

∫ t

a

∞∑n=1

f ′n (x) dx =∞∑n=1

[∫ t

af ′n (x) dx

]=∞∑n=1

[fn (t)− fn (a)] =

=

∞∑n=1

fn (t)−∞∑n=1

fn (a) = S (t)− S (a) .

Pero sabemos del Teorema anterior que g es continua, por lo que el Teorema Fundamental delCálculo nos dice que

d

dt

[∫ t

ag (x) dx

]= g (t) ,

que comparando con la igualdad anterior nos permite deducir que S es derivable y S′ (t) = g (t).Que S′ es continua se deduce del Teorema anterior.

Series de Fourier 19

Ejemplo 1.15 (Aplicación a Series de Potencias) Vamos a extender los resultados del Teo-rema 1.7. Si

S(t) =∞∑n=0

an (t− a)n ,

es una serie de potencias que converge en t0, tomemos cualquier 0 < r < |t0 − a|, y M talque |an (t0 − a)n| ≤M (que existe por la convertencia en t0). Entonces para todo t ∈ (a−r, a+r)se tiene

|an (t− a)n| ≤ |an (t0 − a)n| rn

|t0 − a|n≤M rn

|t0 − a|n= Mn,

y ∣∣∣nan (t− a)n−1∣∣∣ ≤ |nan (t0 − a)n| rn−1

|t0 − a|n≤M nrn−1

|t0 − a|n= Mn.

Estas dos cotas (que valen para todo t ∈ (a− r, a+ r)) implican (aplicando los Teoremas 1.12 y1.14) que S(t) se puede integrar término a término, y una primitiva de S(t) es∫ t

aS(x)dx =

∞∑n=0

an

∫ t

a(x− a)n dx =

∞∑n=0

ann+ 1

(t− a)n , (1.3)

y además es derivable en (a− r, a+ r) y

S′(t) =∞∑n=0

d

dtan (t− a)n =

∞∑n=1

nan (t− a)n−1 . (1.4)

Eligiendo convenientemente t0 y r, se puede ver que las tres series de potencias tienen elmismo radio de convergencia, y que las fórmulas (1.3) y (1.4) valen en toda la región de con-vergencia.

Dicho corto: las series de potencias se pueden integrar y derivar término a término. Se dejacomo ejercicio aplicar esto a las series de Taylor encontradas, y utilizar el mismo para encontrarla serie de Taylor de otras funciones (por ejemplo, la de ln integrando la serie de 1/t).

1.3. Funciones periódicas

Haremos acá un reconto de las propiedades que necesitamos de las funciones de variable realperiódicas.

Definición 1.16 Una función f : R → R (ó f : R → C) se dice periódica de período T sif (t) = f (t+ T ) para todo t ∈ R. Cuando existe un menor T positivo con esta propiedad se lollama período fundamental de f.

Por ejemplo, la función cos (t) es periódica de período 2kπ, k ∈ N, y su período fundamentales 2π; por lo tanto si n ∈ N y p > 0, la función

f (t) = cos

(nπt

p

)

20 Series de Fourier

es periódica de período 2pkn , y su período fundamental es

2pn . En particular, cualquiera sea el

número n, f tiene período 2p. Las funciones constantes son periódicas con cualquier período, yno tienen período fundamental.

Si f tiene período T entonces f tiene período kT para cualquier k ∈ N (ejercicio), y lasfunciones periódicas de período T quedan absolutamente determinadas por su valor en cualquierintervalo de la forma [a, a+T ), pues si conozco a f en un intervalo así y quiero saber cuanto valef (t) para cierto t, basta con buscar k ∈ Z tal que t+ kT ∈ [a, a+ T ). De esta forma se puedeconstruir funciones periódicas a partir de funciones definidas en algún intervalo: si conozco fen [a, b) y digo que f tiene período T = b − a, entonces tengo definida en todo R una funciónperiódica de período T. En particular, se usa mucho tener una función definida en un intervalosimétrico [−p, p) y periódica de período 2p.

T

a b0a T¡

T

a ba¡a T¡2

Si sumamos funciones de período T obtenemos una nueva función que también tiene períodoT (ojo, no estamos hablando del período fundamental, solo de algún período), y también sitenemos una sucesión de funciones {fn}n∈N todas de período T y la serie

∑∞n=1 fn converge,

entonces converge a una función de período T. Así, la función

SN (t) =a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)

es periódica de período 2p pues es suma de funciones de período 2p (se puede verificarfácilmente, además, que SN (t) = SN (t+ 2p)), y si la serie

a0

2+

∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)

converge, entonces converge a una función de período 2p.Si f es periódica de período T, e integrable (en el sentido de Riemann), entonces para todo

a ∈ R se tiene que ∫ T

0f (t) dt =

∫ a+T

af (t) dt,

es decir que cada vez que integro sobre un intervalo de longitud T obtengo el mismo resultado.Esto puede verse fácilmente de manera gráfica, “recortando” el área bajo f en [a, a + T ) y

Series de Fourier 21

reacomodándola para que quede como el área bajo f en [0.T )

a a T+0 T

1.4. Aproximación por medio de polinomios trigonométricos

Sabemos que podemos aproximar ciertas funciones f (t) con polinomios p (t) usando Taylor(Análisis I). Lo que se le pide a la función es que tenga suficientes derivadas en un entorno de unpunto t0, y el criterio de aproximación que se toma es hacer la desviación máxima |f (t)− p (t)| lomás chica posible en cierto intervalo [a, b] que contiene t0 (es decir, p (t) aproxima “bien”a f (t)en [a, b] si la diferencia máxima entre sus gráficas es “pequeña”). Al usar Taylor, construimosun polinomio de grado n,

pn (t) =

n∑j=0

f (j) (t0)

j!(t− t0)j ,

y para mejorar la aproximación debíamos aumentar n, y para que la aproximación sea tan buenacomo queramos necesitamos que f tenga derivadas de todos los órdenes en t0 y además que elresto f (t)−

n∑j=0

f (j) (t0)

j!(t− t0)j

tienda a cero cuando n tiende a infinito para todo t de [a, b] , lo cual no ocurre siempre.

t0

f( )t

p( )t

Ahora vamos a tratar de aproximar funciones f (t) periódicas de período 2p, y para esousaremos polinomios trigonométricos de grado N y período 2p, que son funciones de laforma

SN (t) =a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

),

22 Series de Fourier

donde p es un número real fijo y a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN son números (reales o complejos, dependi-endo de que f ser real o compleja) que elegiremos para satisfacer cierto criterio de aproximación.Notar que cada término de SN (t) es una función periódica de período 2p, por lo tanto SN (t) esuna función periódica de período 2p. Entonces SN va a ser bueno para aproximar funciones deperíodo 2p, o lo que es lo mismo, funciones definidas en algún intervalo de longitud 2p (pues sitengo una función definida en un intervalo de longitud 2p puedo construir una función periódicade período 2p definiendo f (t) = f (t+ 2p) para todo t real, y viceversa). De acá en adelanteasumimos eso: vamos a trabajar con funciones definidas en un intervalo de longitud 2p yextendidas periódicamente a todo R.

En cuanto al criterio para aproximar, vamos a usar el que se llama de la media cuadráticamínima, y para motivar este criterio vamos a suponer que f : R→R. Si, con la notación quetraemos, llamamos

δN (t) = f (t)− SN (t) ,

entonces el criterio usado con polinomios de Taylor era hacer chico |δN (t)| , y si miramos lasgráficas abajo, con ese criterio, 1 es mejor aproximación de f que 2

1

p0 p0

2f( )t

f( )t

­p­p

Pero el área que queda entre f y 1 en el intervalo [−p, p] es más grande que la que quedaentre 2 y f, y ese es otro criterio que podríamos usar para decir que una función aproxima a f.Como dicha área es ∫ p

−p|δN (t)| dt,

deberíamos elegir los coeficientes (reales, pues f lo es) a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN de SN para hacer∫ p−p |δN (t)| dt lo más chico posible. Pero esto presenta complicaciones teóricas y tiene algunosresultados indeseables, así que vamos a tomar como criterio de elección de los coeficientes deSN , minimizar ∫ p

−p|δN (t)|2 dt

con la esperanza de que sea más o menos lo mismo (notar que en este caso δN (t)2 = |δN (t)|2pues todas las cantidades involucradas son reales).

Nota importante 1.17 Puesto que estas operaciones involucran la integración de funciones,de acá en adelante asumiremos que las funciones involucradas son acotadas e integrables en elsentido de Riemann. Se puede extender la teoría a funciones no acotadas (cuya integral impropiaen el intervalo [−p, p] converge), pero dicha generalidad escapa al alcance de estas notas.

Series de Fourier 23

Definición 1.18 Si f (t) , g1 (t) y g2 (t) son funciones (de imagen real o compleja) acotadas eintegrables en [a, b] , diremos que g1 aproxima mejor a f que g2 en [a, b] en el sentido de la mediacuadrática si ∫ b

a|f (t)− g1 (t)|2 dt ≤

∫ b

a|f (t)− g2 (t)|2 dt.

Seguimos ahora con el problema de encontrar los coeficientes a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN de SN , esdecir, tomemos una f : [−p, p]→ R y busquemos los números reales a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN de SNde forma tal que SN aproxime lo mejor posible a f en el sentido de la media cuadrática en [−p, p].Como todas las cantidades involucradas son reales, tenemos que elegir a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN demodo que

IN =

∫ p

−pδN (t)2 dt =

∫ p

−p

(f (t)−

[a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)])2

dt (1.5)

sea lo más chico posible, es decir, podemos pensar IN (a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN ) como una funciónde 2N + 1 variables, y tenemos que minimizarla. Para hacer esto, calcularemos IN (por másdoloroso que sea), y luego derivaremos, con la esperanza de encontrar un punto crítico que seamínimo. Para ello vamos a utilizar las siguientes relaciones: se tiene que∫ p

−pcos

(nπt

p

)cos

(kπt

p

)dt =

{p si n = k0 si n 6= k

,∫ p

−psin

(nπt

p

)sin

(kπt

p

)dt =

{p si n = k0 si n 6= k

, (1.6)∫ p

−pcos

(nπt

p

)sin

(kπt

p

)dt = 0 ∀ k, n,

y ∫ p

−pcos

(nπt

p

)dt =

∫ p

−psin

(nπt

p

)dt = 0. (1.7)

Desarrollando el integrando en (1.5) queda

(f (t)−

[a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)])2

= f (t)2 − a0f (t)− 2

N∑n=1

[an cos

(nπt

p

)f (t) + bn sin

(nπt

p

)f (t)

]+ (1.8)

+

(a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

))2

Integrando el último término de (1.8) y usando (1.7) obtenemos

24 Series de Fourier

∫ p

−p

(a0

2+

[N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)])2

dt =

=

∫ p

−p

a20

4dt+ a0

N∑n=1

an

∫ p

−pcos

(nπt

p

)dt︸ ︷︷ ︸

0

+ bn

∫ p

−psin

(nπt

p

)dt︸ ︷︷ ︸

0

+

+

∫ p

−p

[N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)]2

dt

= pa2

0

2+ p

N∑n=1

[a2n + b2n

],

donde esta última igualdad vale pues cuando hacemos[N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)]2

obtenemos la suma de todas las combinaciones del tipo

an cos

(nπt

p

)am cos

(mπt

p

), an cos

(nπt

p

)bm sin

(mπt

p

), y bn sin

(nπt

p

)bm sin

(mπt

p

),

con 1 ≤ n, m ≤ N , así que cuando integramos (usando las relaciones (1.6)) resultan distinto decero únicamente los términos con solo cosenos o solo senos y con m = n, y en tal caso la integralvale p multiplicado por el cuadrado del respectivo coeficiente.

Finalmente, integrando los otros dos términos de (1.8) obtenemos

IN =

∫ p

−pf (t)2 dt− a0

∫ p

−pf (t) dt− 2

N∑n=1

[an

∫ p

−pcos

(nπt

p

)f (t) dt+ bn

∫ p

−psin

(nπt

p

)f (t) dt

]+

+pa2

0

2+ p

N∑n=1

[a2n + b2n

]. (1.9)

(notar que es una forma cuadrática en a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN ).Derivando, obtenemos que

∂IN∂a0

= −∫ p

−pf (t) dt+ pa0,

∂IN∂ak

= −2

∫ p

−pcos

(kπt

p

)f (t) dt+ 2pak, (1.10)

∂IN∂bk

= −2

∫ p

−psin

(kπt

p

)f (t) dt+ 2pbk,

Series de Fourier 25

que al igualarlas a cero nos dice que deberíamos tomar

a0 =1

p

∫ p

−pf (t) dt

ak =1

p

∫ p

−pf (t) cos

(kπt

p

)dt para k ≥ 1

bk =1

p

∫ p

−pf (t) sin

(kπt

p

)dt para k ≥ 1.

Pero derivando de nuevo en (1.10) obtenemos

∂2IN∂a2

0

= p,∂2IN∂a2

k

=∂2IN∂b2k

= 2p para k ≥ 1,

y como todas las derivadas cruzadas dan cero, resulta que la matriz Hessiana de IN es la matrizdiagonal

p 0 · · · · · · 00 2p 0 0...

. . ....

.... . .

...0 · · · · · · 0 2p

,

de donde concluimos que efectivamente obtenemos un mínimo eligiendo los coeficientes de esaforma.

El trabajo hecho hasta ahora nos permite decir como debemos elegir los coeficientes de SNpara obtener la mejor aproximación de f en el sentido de la media cuadrática, pero todavía nosabemos cómo de buena es esa aproximación (aunque sea la mejor puede ser malísima), así quepor ahora no tenemos teoremas pero sí una definición:

Definición 1.19 Si f es una función periódica de período 2p, acotada e integrable en el intervalo[−p, p] (en el sentido de Riemann), definimos sus coeficientes de Fourier por

an,f =1

p

∫ p

−pf (t) cos

(nπt

p

)dt y bn,f =

1

p

∫ p

−pf (t) sin

(nπt

p

)dt,

y el polinomio trigonométrico

SNf (t) =a0,f

2+

N∑n=1

an,f cos

(nπt

p

)+ bn,f sin

(nπt

p

)formado usando los coeficientes de Fourier de f se llama la aproximación N -ésima de Fourierde f (los subíndices que indican la función entorpecen extremadamente la notación, por lo cualno los utilizaremos salvo que sea estrictamente necesario).

Seguimos la cuenta: evaluando IN en a0,f , a1,f , ..., aN,f , b1,f , ..., bN,f (ver 1.9) y teniendoen cuenta la definición anterior, obtenemos

IN,f = IN (a0,f , a1,f , ..., aN,f , b1,f , ..., bN,f ) =

∫ p

−pf (t)2 dt− p

(a2

0,f

2+

N∑n=1

[a2n,f + b2n,f

]),

de donde podemos sacar las siguientes conclusiones:

26 Series de Fourier

1. Puesto que(a2

0,f

2 +∑N

n=1

[a2n,f + b2n,f

])crece cuando N crece (pues sumo más términos

positivos), la aproximación mejora cuando N crece, pues

0 ≤ IN,f =

∫ p

−pf (t)2 dt− p

(a2

0,f

2+

N∑n=1

[a2n,f + b2n,f

]).

2. La seriea2

0,f

2+

∞∑n=1

[a2n,f + b2n,f

]converge pues es creciente (es decir, mientras más grande N más grande es la suma) ypara todo N vale que

a20,f

2+

N∑n=1

[a2n,f + b2n,f

]≤ 1

p

∫ p

−pf (t)2 dt

es decir, es acotada. Esto dice que[a2n,f + b2n,f

]−→n→∞

0, y entonces a2n,f −→n→∞ 0 y

b2n,f −→n→∞ 0, y entonces an,f −→n→∞

0 y bn,f −→n→∞

0.

Después de todo este trabajo hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema 1.20 Sea f : R → R una función periódica de período 2p, acotada e integrable enel sentido de Riemann en [−p, p], y llamemos

SN (t) =a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

).

Entonces la mejor aproximación de f por SN en el sentido de la media cuadrática se obtiene alelegir

an =1

p

∫ p

−pf (t) cos

(nπt

p

)dt, n ∈ N∪{0} , y bn =

1

p

∫ p

−pf (t) sin

(nπt

p

)dt, n ∈ N

(es decir, los coeficientes de Fourier de f). Con esta elección, la aproximación mejora a medida

que N crece, y la serie∑∞

n=1

[|an|2 + |bn|2

]converge, resultando

a20

2+

N∑n=1

[a2n + b2n

]≤ 1

p

∫ p

−pf (t)2 dt.

Además,

lımn→∞

∫ p

−pf (t) cos

(nπt

p

)dt = lım

n→∞

∫ p

−pf (t) sin

(nπt

p

)dt = 0.

Series de Fourier 27

Se puede ver que más que lo que dice el teorema es cierto: en 1896 el matemático Liapunoffdemostró que lımN→∞ IN = 0, de donde se deduce que vale la igualdad

a20

2+

∞∑n=1

[a2n + b2n

]=

1

p

∫ p

−pf (t)2 dt

para cualquier función acotada (e incluso para funciones no acotadas pero tales que la inte-gral impropia

∫ p−p |f (t)|2 dt sea convergente). Esta igualdad se llama igualdad de Parceval y la

desigualdad del teorema se llama desigualdad de Bessel.

Nota importante 1.21 Cuando uno examina con cuidado lo hecho, se da cuenta de que loscoeficientes de Fourier no dependen del grado de la aproximación N . Esto es muy importanteporque significa que si uno no está conforme con la aproximación lograda con cierta cantidad detérminos, entonces puedo agregar términos sin tener que recalcular los primeros coeficientes. Esdecir, si para cierto problema usamos la 3ra aproximación de Fourier y no estamos conformescon los resultados, para usar la 4ta sólo necesitamos calcular dos nuevos coeficientes: a4 y b4.

Ejemplo 1.22

1. Tomemos f (t) = |t| en el intervalo [−π, π] (es decir, estamos pensando en la funciónperiódica de período 2π que coincide con |t| en el intervalo [−π, π]). Los coeficientes deFourier son

an =1

π

∫ π

−π|t| cos (nt) dt y bn =

1

π

∫ π

−π|t| sin (nt) dt,

y como la función |t| sin (nt) es impar, resulta que todas las integrales que definen bn soncero, es decir, bn = 0 ∀n, y si n 6= 0 queda

an =1

π

∫ π

−π|t| cos (nt) dt =

2

π

∫ π

0t cos (nt) dt =

2

π

[t sin (nt)

n

]t=πt=0

− 2

π

∫ π

0

sin (nt)

ndt =

= − 2

π

[−cos (nt)

n2

]t=πt=0

=2

πn2[cos (nπ)− 1] =

{0 si n es par−4πn2 si n es impar

.

Por otro lado,

a0 =2

π

∫ π

0tdt =

2

π

[t2

2

]t=πt=0

= π,

y entonces la aproximación N -ésima para N impar de f queda

SNf (t) =π

2− 4

πcos (t)− 4

π9cos (3t)− · · · − 4

πN2cos (Nt) ,

y si N es par queda SNf (t) = SN−1f (t) . Además,∫ π−π |t| dt = π2 = π

(π2

2 +∑∞

n=116

π2(2n−1)4

),

donde el último igual vale por Parseval.

S0

1

2

3

1 2 3­3 ­2 ­1 0

1

2

3 S3

1 2 3­3 ­2 ­1 0

1

2

3 S1

1 2 3­3 ­2 ­1 0

28 Series de Fourier

En el segundo gráfico se puede ver cuál será el aporte del tercer término en S3.

2. Tomemos la función de período 2 tal que

f (t) =

{0 si − 1 ≤ t < 0t2 si 0 ≤ t < 1

,

entonces los coeficientes de Fourier de f son: para n ≥ 1

an =

∫ 1

−1f (t) cos (nπt) dt =

∫ 0

−1f (t) cos (nπt) dt+

∫ 1

0f (t) cos (nπt) dt

=

∫ 1

0t2 cos (nπt) dt =

[t2 sin (nπt)

nπ− 2 sin (nπt)

n3π3+

2t cos (nπt)

n2π2

]t=1

t=0

=2 cos (nπ)

n2π2= (−1)n

2

n2π2,

y

a0 =

∫ 1

−1f (t) dt =

∫ 1

0t2dt =

1

3

y por último

bn =

∫ 1

−1f (t) sin (nπt) dt =

∫ 0

−1f (t) sin (nπt) dt+

∫ 1

0f (t) sin (nπt) dt =

=

∫ 1

0t2 sin (nπt) dt =

[− t

2 cos (nπt)

nπ+

2 cos (nπt)

n3π3+

2t sin (nπt)

n2π2

]t=1

t=0

=

= −cos (nπ)

nπ+

2 cos (nπ)

n3π3− 2

n3π3=

(−1)n+1

nπ+

2 (−1)n

n3π3− 2

n3π3=

=

{ −1nπ si n es par

1nπ −

4n3π3 si n es impar

.

Así la sexta aproximación de Fourier de f es

S6f (t) =1

6− 2

π2cos (πt) +

(1

π− 4

π3

)sin (πt) +

1

2π2cos (2πt)− 1

2πsin (2πt)−

− 2

9π2cos (3πt) +

(1

3π− 4

27π3

)sin (3πt) .

0.5 10

0.5

1

­1 ­0.5 0.5 10

0.5

1

­1 ­0.5 0.5 10

0.5

1

­1 ­0.5

S1S2 S3

Puede verse claramente, además, que la función anterior era más fácil de aproximar, ya quesumando menos términos conseguíamos algo más parecido a f .

Series de Fourier 29

1.5. Convergencia puntual de series de Fourier

Hasta ahora no hemos dicho nada cuanto se parece puntualmente f a su N -ésima aproxi-mación de Fourier, es decir no sabemos que relación hay, para cada t, entre f (t) y SN (t) , ytampoco sabemos que pasa con SN (t) cuando N tiende a infinito. Para estudiar eso, introduci-mos la siguiente definición:

Definición 1.23 Si f (t) es una función periódica de período 2p e integrable en el intervalo[−p, p], la serie de Fourier de f es

a0

2+

∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)donde los coeficientes {an}n∈N∪{0} y {bn}n∈N son los coeficientes de Fourier de f (ver definición1.19). A veces denotaremos

f ∼ a0

2+

∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)para indicar cuál es la serie de Fourier de f . Notar que no sabemos si dicha serie converge paraalgún valor de t, pero si tenemos f en las condiciones de la definición podemos construirla.

Por supuesto que nos gustaría mucho que la serie de Fourier de f converja a f, lo cuallamentablemente no ocurre. Pero tenemos el siguiente teorema, que demostró Dirichlet en 1829(este es el primer resultado de convergencia puntual de series de Fourier).

Teorema 1.24 (Dirichlet) Si f (t) es una función real de período 2p (definida en todo R),acotada en [−p, p] , con un número finito de discontinuidades en [−p, p] y con un número finitode máximos y mínimos (extremos locales) en [−p, p] , entonces la serie de Fourier de f convergepara todo t al valor 1

2 [f (t+) + f (t−)] , es decir,

a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)=

1

2

[f(t+)

+ f(t−)].

Entendamos qué pide el teorema y qué da: las condiciones pedidas a f (además de serperiódica de período 2p) se llaman las condiciones de Dirichlet en [−p, p] . Analicemos quepiden estas condiciones: primero, con extremos locales nos referimos a puntos t0 tales que f(t0) ≤f(t) para todo t próximo a t0 (o ≥ en lugar de ≤). Que tenga un número finito de máximos ymínimos en [−p, p] nos asegura que f no oscila demasiado, por ejemplos la función periódica deperíodo 2 tal que

f (t) =

{t sin (1/t) si 0 < |t| < 1

0 si t = 0

30 Series de Fourier

no cumple con esa condición (graficar f y ver!). Que tenga un número finito de discontinuidadesen [−p, p] está claro que significa, y por ejemplo la función de período 2

f (t) =

{0 si t ∈ Q1 si t ∈ R−Q

no cumple con esa condición. Las tres condiciones juntas (que pide Dirichlet) dicen algo muyimportante: que el intervalo [−p, p] se puede dividir de forma tal que la gráfica de f en cadasubintervalo es la de una función creciente o decreciente, y además, por ser acotada, los límites

f(t+0)

= lımt→t+0

f (t) y f(t−0)

= lımt→t−0

f (t)

existen para todo t0 en [−p, p] . Para convencerse de eso, marcar en [−p, p] primero todas lasdiscontinuidades, y después estudiar en cada subintervalo una función continua con finitos ex-tremos locales (y a la hora de graficar recordar que f es acotada). Notar que si f es continua ent entonces f (t) = f (t+) = f (t−) , y si f es discontinua en t entonces debe tener un salto en t(o una discontinuidad evitable, ya que por las características de f , sabemos que existen límiteslaterales en las discontinuidades), y entonces 1

2 [f (t+) + f (t−)] es el promedio del valor de f enel salto; es decir

1

2

[f(t+)

+ f(t−)]

=

{f (t) si f es continua en t

promedio del salto si f no es continua en t.

Notar, por último, que en estas condiciones sabemos que f es integrable en [−p, p] .En cuanto a lo que el teorema da, nos asegura que la serie de Fourier de f converge para

todo t, pero no necesariamente a f, pues tenemos que

a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)=

1

2

[f(t+)

+ f(t−)],

es decir que la serie de Fourier de f converge a f (t) en los t’s donde f es continua, y al promediodel salto en los t’s donde f es discontinua. O sea, para insistir y que quede bien claro, la igualdad

f (t) =a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)vale solo para los valores de t donde f es continua. El hecho de que la serie de Fourier de f noconverge a f en las discontinuidades de f es absolutamente razonable: notar que si tomamosto ∈ [−p, p] y fabricamos una nueva función

g (t) =

{f (t) si t 6= t0

f (t0)− 7 si t = t0,

entonces f y g tienen la misma serie de Fourier (y dicha serie no puede converger en t0 a f (t0)y a g (t0)).

Series de Fourier 31

Demostración. Veremos una idea de la demostración, para una función ligeramente mejor queDirichlet en [−p, p]: le pediremos además que tenga derivadas laterales en todos los puntos.Tomamos t fijo

SNf(t) =a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)=

=1

2

1

p

∫ p

−pf (x) dx+

N∑n=1

1

p

∫ p

−pf (x) cos

(nπx

p

)dx cos

(nπt

p

)+

1

p

∫ p

−pf (x) sin

(nπx

p

)dx sin

(nπt

p

)

=1

p

∫ p

−pf (x)

[1

2+

N∑n=1

cos

(nπx

p

)cos

(nπt

p

)+ sin

(nπx

p

)sin

(nπt

p

)]dx

=1

p

∫ p

−pf (x)

[1

2+

N∑n=1

cos

(nπ

p(t− x)

)]dx

Llamemos

DN (t) =1

2+

N∑n=1

cos

(nπ

pt

)Usando

sin((n+ 1

2

)u)− sin

((n− 1

2

)u)

= sin (nu) cos(

12u)

+ cos (nu) sin(

12u)−

− sin (nu) cos(−1

2 u)− cos (nu) sin

(−12 u)

= 2 cos (nu) sin(

12u)

se ve que

DN (t) =1

2+

N∑n=1

cos

(nπ

pt

)=

sin((N + 1

2

)πtp

)2 sin

(12πtp

) .

La función DN (t) satisface:

i)1

p

∫ p

−pDN (t)dt = 1, ii) DN es par, iii) tiene período 2p

Usando estas últimas dos propiedades se ve que

SNf(t) =1

p

∫ p

−pf (x+ t)DN (x)dx

y entonces

SNf(t)− 1

2f(t+)− 1

2f(t−) =

1

p

∫ 0

−p[f (x+ t)−f(t−)]DN (x)dx+

1

p

∫ p

0[f (x+ t)−f(t+)]DN (x)dx,

veamos que cada uno de ellos tiende a cero, veamos una (la otra es igual):

1

p

∫ p

0[f (x+ t)− f(t+)]DN (x)dx =

1

p

∫ p

0[f (x+ t)− f(t+)]

sin((N + 1

2

)πxp

)2 sin

(πx2p

) dx =

=1

p

∫ p

0g1(x) sin

(Nπx

p

)dx+

1

p

∫ p

0g2(x) cos

(Nπx

p

)dx = bg1

N + ag2

N

32 Series de Fourier

donde g1 y g2 son las funciones de período 2p tales que

g1(x) =

[f (x+ t)− f(t+)]

cos(πx2p

)2 sin

(πx2p

) −p < x < 0

πp f′(0+) x = 0

0 0 < x < p

g2(x) =

{12 [f (x+ t)− f(t+)] −p < x < 0

0 0 ≤ x < p

Puesto que g1 y g2 son integrables (acotadas) en [−p, p], sus coeficientes de Fourier tienden acero, con lo cual concluye la demostración.

Ejemplo 1.25 Si consideramos la función de período 2 tal que

f (t) =

{0 si − 1 ≤ t < 0t2 si 0 ≤ t < 1

(del ejemplo anterior), entonces el teorema nos dice que su serie de Fourier converge a la funcióng (t) de período 2 tal que

g (t) =

1/2 t = −10 si − 1 < t < 0t2 si 0 ≤ t < 1

,

Nota 1.26 (comparativa) Con Fourier, si tenemos una función Dirichlet en [−p, p] y contin-ua (y periódica de período 2p), entonces usando aproximaciones N -ésimas de Fourier podemos,valga la redundancia, aproximar f tanto como queramos, a diferencia de lo que ocurría conpolinomios de Taylor que pedía que f tenga derivadas de todos los ordenes. De todos modos,volvemos a recalcar que las series y polinomios de Fourier solo sirven para funciones periódicas,por ejemplo no sirven para la función f (x) = ex, y Taylor con esta hace un trabajo maravilloso.

Nota 1.27 (y ejercicio)

1. Si f y g son periódicas de período 2p e integrables en [−p, p], y sus series de Fourier son

f ∼ a0,f

2+

∞∑n=1

an,f cos

(nπt

p

)+ bn,f sin

(nπt

p

)y

g ∼ a0,g

2+∞∑n=1

an,g cos

(nπt

p

)+ bn,g sin

(nπt

p

),

Series de Fourier 33

entonces para cualquier número real α, la serie de Fourier de la función αf + g es

αf + g ∼ αa0,f + a0,g

2+∞∑n=1

[αan,f + an,g] cos

(nπt

p

)+ [αbn,f + bn,g] sin

(nπt

p

).

2. Si f es periódica de período 2p e integrable en [−p, p] , y f ∼ a0,f

2 +∑∞

n=1 an,f cos(nπtp

)+

bn,f sin(nπtp

)(o sea el miembro de la derecha es la serie de Fourier de f), y α ∈ R,

entonces la función g (t) = f (αt) es periódica de período 2p/α e integrable en [−p/α, p/α] ,y

g ∼ a0,f

2+∞∑n=1

an,f cos

(nπαt

p

)+ bn,f sin

(nπαt

p

)(es decir tiene los mismos coeficientes que f).

3. Si f es periódica de período 2p e integrable en [−p, p] , y f ∼ a0,f

2 +∑∞

n=1 an,f cos(nπtp

)+

bn,f sin(nπtp

), y α ∈ R, entonces la función g (t) = f (t− α) es periódica de período 2p e

integrable en [−p, p] , y sus coeficientes de Fourier son

an,g = an,f cos

(nπα

p

)− bn,f sin

(nπα

p

), y

bn,g = an,f sin

(nπα

p

)+ bn,f cos

(nπα

p

).

4. Si p (t) es un polinomio trigonométrico, entonces él es su serie de Fourier.

Unicidad y espectro: una pregunta un poco adelantada es: si f y g son periódicas deperíodo 2p y tienen los mismos coeficientes de Fourier, ¿tiene que valer f (t) = g (t) ∀ t?Esta pregunta no es tan fácil de contestar, pero si es fácil cuando nos restringimos a funcionescomo las del teorema de Dirichlet: en ese caso, f y g deben ser iguales, salvo posiblemente enlas discontinuidades de ambas pues si {x1, ..., xn} son las discontinuidades de f en [−p, p] y{y1, ..., ym} son las de g, como f y g tienen la misma serie de Fourier y tal serie converge a f yg donde son continuas, tendremos que para todo t ∈ [−p, p]− {x1, ..., xn, y1, ..., ym} vale

f (t) =a0

2+

∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn

(nπt

p

)︸ ︷︷ ︸

serie de Fourier de f y g

= g (t) .

Esto es muy importante porque nos dice que una función (periódica de período 2p y Dirichleten [−p, p]) está unívocamente determinada por sus coeficientes de Fourier (salvo en las discon-tinuidades), es decir, si quiero transportar información puedo calcular los coeficientes de Fourierde f, tirar f y quedarme con los coeficientes, tranquilo de que f es la única función con dichoscoeficientes y de que puedo recuperarla cuando quiera (de nuevo, salvo por las discontinuidades).Por razones físicas al conjunto de todos los coeficientes de Fourier se llaman el espectro de f , ya la cantidad p

(|a0|2

2 +∑∞

n=1

[|an|2 + |bn|2

])(que es igual a

∫ p−p |f (t)|2 dt) la energía (espectral)

total.

34 Series de Fourier

1.6. Orden de los coeficientes de Fourier

Sabemos que los coeficientes de Fourier {an, bn} de una función (razonable) satisfacen

an −→n→∞

0 y bn −→n→∞

0,

pero no sabemos cuan rápido lo hacen. Para poder medir “velocidad”de convergencia tenemosque fijar parámetros, y lo hacemos de la siguiente manera: vamos a usar para comparar lassucesiones {1/n}n∈N ,

{1/n2

}n∈N ,

{1/n3

}n∈N , etc., teniendo en cuenta que, por ejemplo, la

segunda converge más rápido a cero que la primera, en el sentido de que

1/n2

1/n−→n→∞

0.

En general, si tenemos {1/nm}n∈N y{

1/nk}n∈N entonces la primera decrece más rápido que la

segunda si m > k.

Nota(ción) 1.28 Si f (t) es periódica de período 2p y continua, puede pasar que f ′(t) exista entodo (−p, p) salvo en finitos puntos {t1, ..., tn}. En este caso, denotaremos por f ′ a tal función(periódica de período 2p), dejándola sin definir en los puntos que no exista (que serán infinitosen R). Esto no tendrá importancia pues estamos interesados en los coeficientes de Fourier def ′, y las integrales no se dan cuenta si f ′ no está definida en una cantidad finita de puntos.En algunos casos, cuando queramos remarcar esta situación, diremos que f ′ existe en casi todopunto. Así, por ejemplo, la función de período 2 tal que f (t) = |t| si t ∈ [−1, 1) tiene derivadaperiódica de período 2 y

f ′ (t) =

{−1 si − 1 < t < 01 si 0 < t < 1

,

y f ′ no está definida en los t ∈ Z.

1 2 3­3 ­2 ­1 0

1f t( ) f t

0( )

1 2 3­3 ­2 ­1 0

1

En las condiciones anteriores, o sea si f es continua 2p-periódica y f ′ existe en casi todopunto, si además f ′ es integrable en [−p, p] , vale que∫ p

−pf ′(t)dt = f (p)− f (−p) .

Se suele poner f (p−)− f (−p+) en lugar de f (p)− f (−p) cuando no se sabe que f sea continuaen p y/o −p.

Vamos a ver un lema técnico para calcular integrales:

Series de Fourier 35

Lema 1.29 (teorema del valor medio para integrales) Si f : [a, b] → R es monótona en[a, b] (es decir, creciente o decreciente) y g es integrable en el sentido de Riemann en [a, b] ,entonces existe ξ ∈ (a, b) tal que∫ b

af (t) g (t) dt = f (a)

∫ ξ

ag (t) dt+ f (b)

∫ b

ξg (t) dt.

Demostración. La omitimos, es un resultado clásico aunque no inmediato.

Tomemos ahora una función 2p-periódica y Dirichlet en [−p, p] . Como f tiene una cantidadfinita de máximos y mínimos en [−p, p] podemos dividir dicho intervalo en una cantidad finitade subintervalos de forma tal que f sea monótona en cada uno de ellos. Consecuentemente,

an =1

p

∫ p

−pf (t) cos

(nπt

p

)dt

puede expresarse como una suma finita de integrales del tipo

1

p

∫ b

af (t) cos

(nπt

p

)dt

con f monótona en [a, b]. Aplicándole el lema anterior a esta integral tenemos que∫ b

af (t) cos

(nπt

p

)dt = f (a)

∫ ξ

acos

(nπt

p

)dt+ f (b)

∫ b

ξcos

(nπt

p

)dt =

=pf (a)

[sin

(nπξ

p

)− sin

(nπa

p

)]+pf (b)

[sin

(nπb

p

)− sin

(nπξ

p

)].

Ahora, como f es acotada existe M tal que |f (t)| ≤ M para todo t, y entonces acotando lasuma anterior queda ∣∣∣∣∫ b

af (t) cos

(nπt

p

)dt

∣∣∣∣ ≤ 4pM

nπ.

Por último, como el coeficiente era una suma finita de integrales de este tipo, concluimos queexiste una constante c (que no depende de n) tal que

|an| ≤c

n∀ n ∈ N.

Análogamente, se prueba que en estas condiciones existe una constante c tal que

|bn| ≤c

n∀ n ∈ N.

Supongamos ahora que f es 2p-periódica, continua y Dirichlet en [−p, p] , y que existe f ′ encasi todo punto y es Dirichlet en [−p, p] , entonces calculamos los coeficientes de Fourier de fintegrando por partes (notar que f ′ resulta acotada e integrable por ser Dirichlet):

an =1

p

∫ p

−pf (t) cos

(nπt

p

)dt =

[p

nπf (t) sin

(nπt

p

)]p−p− p

nπp

∫ p

−pf ′ (t) sin

(nπt

p

)dt =

= 0−( p

) 1

p

∫ p

−pf ′ (t) sin

(nπt

p

)dt (1.11)

36 Series de Fourier

pues sin (−nπ) = sin (nπ) = 0.Pero

1

p

∫ p

−pf ′ (t) sin

(nπt

p

)dt = b′n = coeficiente de f ′,

y como f ′ está dentro del razonamiento anterior, sabemos que existe c tal que∣∣a′n∣∣ ≤ c

ny

∣∣b′n∣∣ ≤ c

n∀ n ∈ N

(estamos denotando con ′ los coeficientes de f ′), así que tomando módulo arriba queda

|an| =∣∣∣( p

nπb′n

)∣∣∣ ≤ pc

π

1

n2.

Análogamente, usando que f es continua y que f (p) = f (−p), se ve que existe una constante ctal que

|bn| ≤c

n2∀ n ∈ N.

Motivados por todo este cuenterio, ponemos la siguiente definición:

Definición 1.30 Si {cn}n∈N es una sucesión que converge a cero, diremos que es de orden 1/nk

si existe una constante M tal que

|cn| ≤M1

nk

para todo n. Otra forma de decir esto es que {cn}n∈N decrece al menos como (la sucesión){1/nk

}n∈N .

Esta no es la definición de orden más precisa ni la forma de determinar velocidad de conver-gencia más ajustada (por ejemplo, ¿por qué quedarnos con k natural en lugar de usar cualquierotro exponente?) pero alcanza para lo que nosotros queremos establecer.

Ejemplo 1.31 Si

cn =

{4πn2 si n es par0 si n es impar

,

entonces {cn}n∈N es de orden 1/n2 pero no de orden 1/n3.

Para seguir con el razonamiento que traíamos, vamos a poner todo en un teorema:

Teorema 1.32 Sea f (t) una función de período 2p, entonces:

1. Si f es Dirichlet en [−p, p] , entonces sus coeficientes de Fourier son ambos de orden(al menos) 1/n (es decir, existe M tal que |an| ≤ M/n y |bn| ≤ M/n ∀n). Si f tienediscontinuidades no evitables (es decir, saltos por ser f Dirichlet), entonces sus coeficientesde Fourier no pueden decrecer ambos más rápido que 1/n (decrecer más rápido en el sentidode la demostración, ver).

Series de Fourier 37

2. Si f es Dirichlet en [−p, p] y continua, y existe f ′ en casi todo punto y es Dirichlet en[−p, p] , entonces los coeficientes de Fourier de f son ambos de orden (al menos) 1/n2 (esdecir, existe M tal que |an| ≤ M/n2 y |bn| ≤ M/n2 ∀n). Si f ′ tiene discontinuidades,entonces los coeficientes de Fourier de f no pueden decrecer ambos más rápido que 1/n2.

3. En general, si f es Dirichlet en [−p, p] y continua, y f ′, f ′′, ..., f (k) existen todas, sonDirichlet en [−p, p] y continuas, y f (k+1) existe en casi todo punto y es Dirichlet en [−p, p] ,entonces sus coeficientes de Fourier son ambos de orden (al menos) 1/nk+2 (es decir, existeM tal que |an| ≤M/nk+2 y |bn| ≤M/nk+2 ∀n). Si f (k+1) tiene discontinuidades, entonceslos coeficientes de Fourier de f no pueden decrecer ambos más rápido que 1/nk+2.

Demostración.

1. Que los coeficientes de Fourier de f decrecen al menos como 1/n ya lo probamos, veamosque no pueden decrecer más rápido ambos: para eso, supongamos que si, o sea que existeM y α > 0 tal que

|an| ≤M

n1+αy |bn| ≤

M

n1+α∀ n ∈ N.

Llamo

g (t) =a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)(el miembro de la derecha es la serie de Fourier de f, que converge para todo t pero nonecesariamente a f), entonces∣∣∣∣an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)∣∣∣∣ ≤ 2M

n1+α∀ t ∈ R,

y como la serie∞∑n=1

2M

n1+α= 2M

∞∑n=1

1

n1+α

converge (pues∫∞

1

(1/t1+α

)dt = 1/α, es decir, la integral converge), el Teorema 1.12 me

dice que g es continua en R. Pero f (t) = g (t) en todos los t′s donde f es continua, yesto quiere decir que f es continua o tiene discontinuidades evitables (pensar), lo cualcontradice nuestras hipótesis.

2. Que los coeficientes de Fourier de f decrecen al menos como 1/n2 ya lo probamos, veamosque no pueden decrecer más rápido ambos: para eso, supongamos que si, o sea que existeM y α > 0 tal que

|an| ≤M

n2+αy |bn| ≤

M

n2+α∀ n ∈ N.

Como f es continua, tenemos que

f (t) =a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

),

38 Series de Fourier

y si miro la serie derivada término a término, tenemos que

∞∑n=1

(an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

))′=∞∑n=1

−nπanp

sin

(nπt

p

)+nπanp

cos

(nπt

p

),

(1.12)y ∣∣∣∣−nπanp

sin

(nπt

p

)+nπanp

cos

(nπt

p

)∣∣∣∣ ≤ 2nπ

p

M

n2+α=

2πM

p

1

n1+α∀ t ∈ R,

y como la serie∞∑n=1

2πM

p

1

n1+α=

2πM

p

∞∑n=1

1

n1+α

converge, el Teorema 1.14 nos dice que f tiene derivada continua, lo cual contradice nues-tras hipótesis.

3. Se prueba usando inducción en n y los dos puntos anteriores.

Nota 1.33 (sutil) Fijarse que en el enunciado de (1) dice “Si f tiene discontinuidades noevitables”, en cambio en (2) dice “Si f ′ tiene discontinuidades”, esto es porque hay un teoremaque dice que las funciones derivadas no pueden tener discontinuidades evitables, ver Spivak pag.262.

Ejemplo 1.34

1. Si f (t) es la función de período 2π tal que f (t) = |t| si t ∈ [−π, π), ya calculamos suscoeficientes de Fourier y nos dio bn = 0 ∀n, a0 = π, y

an =

{ −4πn2 si n es impar0 si n es par

,

es decir que son de orden 1/n2 pero no más, y eso es porque f es continua pero f ′ esdiscontinua.

2. Si f es tal que sus coeficientes de Fourier son

an =−7

πn3y bn =

n√n10 + 1

,

entonces |an| = 7πn3 , y n

2√n10≤ |bn| ≤ n√

n10, de donde se deduce que ambos son de orden

1/n3 y no más, es decir que f tiene derivada continua y derivada segunda discontinua.

Series de Fourier 39

1.7. Derivación e integración de series de Fourier

Toda la sección anterior, además de ser útil para “saber”cuantos términos debemos usar paraobtener una “buena”aproximación, nos permite sospechar que va a pasar cuando integremos y/oderivemos una serie de Fourier. De Análisis I, uno sabe que en general al integrar una funciónobtenemos una función “mejor”, y que al derivarla obtenemos una función “peor”(por ejemplo,en cuanto a cuantas derivadas tiene). Esta situación también se observa en las series de Fourier:supongamos que tenemos una función 2p-periódica y Dirichlet en [−p, p] , y construimos su seriede Fourier

f ∼ a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

).

Si derivamos término a término, obtenemos la serie trigonométrica

∞∑n=1

(−nπanp

)sin

(nπt

p

)+nπbnp

cos

(nπt

p

),

cuyos coeficientes decrecen más lentamente, y por lo tanto la serie converge “peor” (si es queconverge). Por otro lado, si integramos término a término obtenemos∫ t

0

a0

2dx+

∞∑n=1

an

∫ t

0cos

(nπx

p

)dx+ bn

∫ t

0sin

(nπx

p

)dx =

=a0

2t+

∞∑n=1

anp

nπsin

(nπt

p

)− bnp

(cos

(nπ

t

p

)− 1

)

=a0

2t+

p

π

∞∑n=1

bnn

+

∞∑n=1

anp

nπsin

(nπt

p

)− bnp

nπcos

(nπt

p

),

que es una serie (no trigonométrica, salvo que a0 = 0) que converge “mejor”(y efectivamente,converge). Más aún, con f como tomamos nosotros, se puede ver que esta serie converge auna función continua en R, pues los coeficientes {an, bn}n∈N , son de orden 1/n2. Para estudiarformalmente esto, comenzamos con un resultado ya probado :

Lema 1.35 Sea f : R→ R una función de período 2p,continua, Dirichlet en [−p, p], y existe f ′en casi todo punto y es Dirichlet en [−p, p] . Entonces los coeficientes de Fourier de f y los def ′ se relacionan de la siguiente manera:

an,f ′ =nπ

pbn,f y bn,f ′ = −nπ

pan,f

Demostración. La segunda igualdad fue probada en el desarrollo de (1.11), cuando estudiábamosel orden de los coeficientes. La otra se demuestra de manera absolutamente análoga (ejercicio).

Esta sencilla observación nos permite probar el siguiente teorema:

40 Series de Fourier

Teorema 1.36 Sea f : R → R una función periódica de período 2p, continua, Dirichlet en[−p, p], y tal que existe f ′ en casi todo punto y es Dirichlet en [−p, p]. Entonces la serie deFourier de f ′ se puede encontrar derivando término a término la serie de Fourier de f ; másprecisamente,

f ′ ∼∞∑n=1

d

dt

[an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)].

donde {a0, an, bn}n∈N son los coeficientes de Fourier de f .

Demostración. Primero, notar que

a0,f ′ =1

p

∫ p

−pf ′(t)dt =

1

p(f(p)− f(−p)) = 0

(pues f es continua). Derivando término a término la serie de Fourier de f obtenemos

∞∑n=1

(−nπanp

)sin

(nπt

p

)+nπbnp

cos

(nπt

p

),

y teniendo en cuenta el calculo anterior y el Lema 1.35, esta es la serie de Fourier de f ′.Notar que en la demostración anterior, no hemos apelado a ningún resultado de convergencia

que nos permita derivar término a término. Directamente lo hemos hecho, y luego constatamosque el resultado obtenido es un objeto conocido (la serie de Fourier de f ′). En particular, esosignifica que en nuestras hipótesis dicha serie converge para todo t.

La situación con respecto a integrar presenta la siguiente singularidad: si f es una funciónperiódica, no es cierto que una primitiva de f también lo sea, de hecho, ni siquiera es cierto quef tenga primitivas periódicas.

Observación 1.37 1. Si f : R→R es una función integrable de período 2p, a ∈ R, y defin-imos F (t) =

∫ ta f , entonces g es periódica de período 2p si y sólo si

∫ p−p f = 0, pues para

todo t ∈ R vale

F (t+ 2p)− F (t) =

∫ t+2p

0f −

∫ t

0f =

∫ t+2p

tf =

∫ p

−pf .

Es decir, F es periódica si y sólo si a0,f = 0 (el coeficiente de Fourier constate de f).

2. En las condiciones del punto anterior, si h = f − 12a0,f entonces f y h tienen los mismos

coeficientes de Fourier, salvo posiblemente por a0,h, que vale cero. Es decir,

a0,h = 0, an,h = an,f , bn,h = bn,f ∀ n ∈ N.

Esto se deduce inmediatamente de (1.7).

Teorema 1.38 Sea f (t) una función periódica de período 2p, y Dirichlet en [−p, p], y de-notemos {a0, an, bn}n∈N sus coeficientes de Fourier. Entonces la integral de f se puede calcularintegrando término a término su serie de Fourier; más precisamente,∫ t

af (x) dx =

∫ t

a

a0

2dx+

∞∑n=1

∫ t

a

[an cos

(nπx

p

)+ bn sin

(nπx

p

)]dx.

Series de Fourier 41

En particular, el miembro de la derecha es la serie de Fourier de la función F (t) =∫ ta f (x) dx,

cuando esta es periódica (sii a0 = 0 según la observación anterior).

Demostración. Primero supongamos que a0 = 0 y definamos F (t) =∫ t

0 f (es decir, suponemosa = 0). Entonces F es periódica de período 2p, continua, y F ′ = f en todos los puntos dondef es continua (es decir, salvo finitos puntos en ). Eso me dice además que F es Dirichlet en[−p, p]: acotada pues es continua y periódica, y con una cantidad finita de extremos locales en[−p, p] ya que dichos extremos pueden estar en puntos donde F ′ no existe (finitos en [−p, p]) odonde f = 0, y estos últimos también son finitos en [−p, p] ya que f es Dirichlet en [−p, p] (noes intención poner tanto énfasis en este hecho tampoco). Con todo esto, el teorema anterior nosdice que

an,F = − p

nπbn y bn,F =

p

nπan, n ∈ N,

de donde podemos concluir (por el teorema de Dirichlet, 1.24) que

F (t) =a0,F

2+

∞∑n=1

(− p

nπbn

)cos

(nπ

t

p

)+

p

nπan sin

(nπt

p

), (1.13)

en particular la serie converge para todo t, y 0 = F (0) =a0,F

2 −pπ

∑∞n=1

bnn (notar que esta serie

converge pues los coeficientes bn son de orden 1/n). Es decir,

a0,F

2=p

π

∞∑n=1

bnn

(1.14)

Por otro lado, si integramos término a término la serie de Fourier de f y usando (1.14) y(1.13) en ese orden, obtenemos

∞∑n=1

∫ t

0

[an cos

(nπx

p

)+ bn sin

(nπx

p

)]dx =

∞∑n=1

anp

nπsin

(nπt

p

)− bnp

(cos

(nπ

t

p

)− 1

)=

=∞∑n=1

anp

nπsin

(nπt

p

)− bnp

nπcos

(nπ

t

p

)+a0,F

2=

= F (t) .

Si a0 6= 0, aplicamos lo hecho a la función h (t) = f (t) − a02 , y utilizando la observación 1

concluimos que∫ t

0

(f (x)− a0

2

)dx =

∞∑n=1

∫ t

0

[an cos

(nπx

p

)+ bn sin

(nπx

p

)]dx,

es decir ∫ t

0f (x) dx =

a0

2t+

∞∑n=1

∫ t

0

[an cos

(nπx

p

)+ bn sin

(nπx

p

)]dx.

Por último, si a 6= 0, usar que ∫ t

af =

∫ t

0f −

∫ a

0f ,

y que lo hecho nos dice que esas dos integrales se pueden calcular término a término.

42 Series de Fourier

Ejemplo 1.39 Tomemos la función de período 2π tal que f (t) = t si t ∈ [−π, π),

¼ 2¼ 3¼­3¼ ­2¼ ­¼ 0

¼

f t( )

­¼

entonces los coeficientes de Fourier de f son

an =1

π

∫ π

−πt cos (nt) dt = 0 ∀ n

pues es la integral de una función impar en el intervalo [−π, π] , y

bn =1

π

∫ π

−πt sin (nt) dt = − 2

ncos (nπ) = (−1)n+1 2

n.

Los coeficientes son de orden 1/n por ser f discontinua, la serie de Fourier de f es

f ∼ 2∞∑n=1

(−1)n+1 1

nsin (nt) = 2

[sin (t)− 1

2sin (2t) +

1

3sin (3t)− · · ·

],

y converge a la función

g (t) =

{f (t) si (2n− 1)π < t < (2n+ 1)π para algún entero n

0 si t = (2n− 1)π para algún entero n.

La función

h (t) =

∫ t

0f (x) dx

es periódica de período 2p pues∫ p−p f = 0, y para t ∈ [−π, π] vale

h (t) =

∫ t

0f (x) dx =

∫ t

0xdx =

t2

2.

Series de Fourier 43

Además el teorema anterior nos dice que

h (t) = 2∞∑n=1

(−1)n+1 1

n

∫ t

0sin (nx) dx = 2

∞∑n=1

(−1)n1

n2cos (nt) + 2

∞∑n=1

(−1)n+1 1

n2=

= 2

∞∑n=1

(−1)n+1 1

n2+

∞∑n=1

(−1)n2

n2cos (nt) ,

de donde concluimos que esta última es la serie de Fourier de h, y por lo tanto

2

∞∑n=1

(−1)n+1

n2=

1

∫ π

−πh (t) dt =

1

∫ π

−π

t2

2dt =

π2

6,

es decir, la serie de Fourier de h es

π2

6+∞∑n=1

(−1)n2

n2cos (nt) ,

lo cual es coherente con nuestros conocimientos, pues esa es la serie de Fourier de una funciónpar, continua y con derivada discontinua.

Finalmente, si derivamos término a término la serie de f, obtenemos

2 [cos (t)− cos (2t) + cos (3t)− · · · ] ,

que diverge para todo t (notar, sin embargo, que f ′ es periódica (de período 2π, pues es ciertoque f ′(t) = f ′(t + 2π)), es decir este es un caso donde la serie de Fourier de la derivada nopuede calcularse derivando la serie de f, y esto no contradice el teorema, porque el problemaestá en que f no es continua.

1.8. Expansiones de medio rango, efectos de la simetría

Hemos visto en algunos ejemplos, que cuando una función es par su serie de Fourier no tienesenos, y cuando es impar no tiene cosenos; en está sección vamos a ver que efectos tienen algunassimetrías en los coeficientes de Fourier.

Lema 1.40 Si f es una función integrable de período 2p entonces sus coeficientes de Fourierquedan determinados de la siguiente manera:

1. Si f es par, entonces para todo n vale

an =2

p

∫ p

0f (t) cos

(nπt

p

)dt y bn = 0.

2. Si f es impar, entonces para todo n vale

an = 0 y bn =2

p

∫ p

0f (t) sin

(nπt

p

)dt.

44 Series de Fourier

Demostración. Ejercicio muy simple.

La principal utilidad del lema anterior no es solo ahorrarse calcular algunos coeficientes queobviamente eran cero (y cuyo cálculo innecesario es una frecuente fuente de errores), sino quenos permite, en algunas circunstancias, encontrar desarrollos de Fourier que contengas solo senoso solo cosenos. El caso típico es el siguiente: supongamos que tenemos una función f definidasolo en el intervalo [0, p), y queremos lograr la igualdad

f (t) =

∞∑n=1

bn sin

(nπt

p

)para todo t ∈ [0, p), o para la mayor cantidad de t′s posibles (por ejemplo difícilmente logremosigualdad en los t′s donde f es discontinua). Entonces hacemos lo siguiente: definimos f (t) =−f (−t) para t ∈ (−p, 0) (recordar que comenzamos con f solamente definida en [0, p)), y asíextendida, f es impar en [−p, p), y ahora definimos f en todo R para que sea periódica deperíodo 2p, es decir ponemos f (t) = f (t+ 2p) ∀ t ∈ R.

p0p0 2p¡p¡2p¡3p 3p

Así, hemos construido una función periódica de período 2p e impar, que coincide con mi funciónoriginal en el intervalo [0, p), por lo tanto su serie de Fourier tendrá solo senos, y si por ejemplo,tenemos f continua en (0, p) , habremos conseguido

f (t) =

∞∑n=1

bn sin

(nπt

p

)∀ t ∈ (0, p) .

Además, notar que en realidad la extensión de f la hacemos virtualmente, es decir, no necesi-tamos calcular explícitamente cuanto vale f en todo t, porque para calcular los coeficientes bnnecesitamos conocer f solo en el intervalo (0, p) , según el lema anterior.

Ejemplo 1.41 Queremos encontrar una serie de Fourier que converge a la función f (t) = t2

en el intervalo (0, 1) y que contenga solo senos, entonces el razonamiento anterior nos dice quedebemos tomar

bn = 2

∫ 1

0t2 sin (nπt) dt = −2

(−1)n

nπ+ 4

(−1)n

n3π3− 4

n3π3,

y con eso nomás estamos seguros de que

t2 =∞∑n=1

[−2

(−1)n

nπ+ 4

(−1)n

n3π3− 4

n3π3

]sin (nπt) ∀ t ∈ (0, 1) .

Series de Fourier 45

­1 ­0.5 0.5 1

­1

1

0.5 1

0.5

1

Lo que estamos haciendo, en el fondo, es calcular la serie de Fourier de la función de período2 tal que

f (t) =

{−t2 si − 1 ≤ t < 0t2 si 0 ≤ t < 1

.

Exactamente de la misma manera procedemos si tenemos una función sólo definida en [0, p)y queremos encontrar una serie de Fourier que contenga solo cosenos y que converge a f (parala mayor cantidad posible de t′s): en este caso deberíamos definir f (t) = f (−t) para t ∈ [−p, 0)(de forma que quede par en el intervalo [−p, p] , y después extender f de período 2p a todo R.

p0 p0 2p¡p¡2p¡3p 3p

De nuevo, esta función será periódica de período 2p y par, por lo que su serie de Fourier tendrásolo cosenos, en particular si f es continua en (0, p) entonces tendremos

f (t) =a0

2+

∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)∀ t ∈ (0, p)

con

an =2

p

∫ p

0f (t) cos

(nπt

p

)dt,

es decir que no necesitamos calcular explícitamente la extensión de f, pues para calcular loscoeficientes solo necesito saber como es f en el intervalo [0, p)

Ejemplo 1.42 Si, como en el ejemplo anterior, queremos encontrar una serie de Fourier queconverge a f (t) = t2 para todo t ∈ (0, 1) pero que contenga solo cosenos, tenemos que tomar

an = 2

∫ 1

0t2 cos (nπt) dt = 4

(−1)n

n2π2para n ≥ 1, y a0 = 2

∫ 1

0t2dt =

2

3,

46 Series de Fourier

y con eso estamos seguros de que

t2 =1

3+∞∑n=1

4(−1)n

n2π2cos (nπt) ∀ t ∈ (0, 1) .

­1 1

0.5

1

0.5 1

0.5

1

Notar, que a diferencia del ejemplo anterior, acá nos quedaron coeficientes de orden 1/n2, y estose debe a que la función extendida de forma par resulta continua con derivada discontinua enR.

Una simetría muy usada es la “impar de media onda”o simetría T, que se define así:

Definición 1.43 Si f es una función de período 2p, diremos que f tiene simetría impar demedia onda (o simetría T) si

f (t) = −f (t+ p) ∀ t ∈ R.

Notar que esta simetría depende del período de la función.

Una forma de ver que significa gráficamente esto es la siguiente: si en la definición no estuvierael signo −, estaríamos pidiendo que f tenga período p, por lo tanto una forma de detectar estetipo de simetría es graficar la función en el intervalo [−p, p), y luego reflejar con respecto al ejet en el intervalo (0, p) . Si el resultado obtenido es la misma gráfica que en el intervalo (−p, 0)tendremos simetría T

p

0 2p

¡p

¡2p¡3p

3p

0¡p

Lema 1.44 Si f es una función de período 2p e integrable en [−p, p] y con simetría T, y{an}∞n=0 , {bn}

∞n=1 son los coeficientes de Fourier de f, entonces a0 = a2n = b2n = 0 para todo

n ≥ 1 (es decir, los coeficientes con subíndice par son todos nulos).

Series de Fourier 47

Demostración. usando la simetría y haciendo el cambio de variables u = t+ p tenemos que

a2n =1

p

∫ p

−pf (t) cos

(2nπt

p

)dt =

1

p

∫ 0

−pf (t) cos

(2nπt

p

)dt+

1

p

∫ p

0f (t) cos

(2nπt

p

)dt =

=1

p

∫ 0

−p[−f (t+ p)] cos

(2nπt

p

)dt+

1

p

∫ p

0f (t) cos

(2nπt

p

)dt =

=−1

p

∫ p

0f (u) cos

(2nπ (u− p)

p

)du+

1

p

∫ p

0f (t) cos

(2nπt

p

)dt =

=−1

p

∫ p

0f (u) cos

(2nπu

p

)du+

1

p

∫ p

0f (t) cos

(2nπt

p

)dt = 0.

De manera análoga se ve que los otros coeficientes son cero.

Se puede ver que (en cierta medida) la recíproca del lema anterior es verdad: si los coeficientesde subíndice par son nulos, entonces f tiene simetría T pues (si por ejemplo, f es continua)

f (t+ p) =

∞∑n=1

a2n−1 cos

((2n− 1)π (t+ p)

p

)+ b2n−1 sin

((2n− 1)π (t+ p)

p

)=

=∞∑n=1

a2n−1 cos

((2n− 1)πt

p+ 2nπ − π

)+ b2n−1 sin

((2n− 1)πt

p+ 2nπ − π

)=

=∞∑n=1

a2n−1 (−1) cos

((2n− 1)πt

p

)+ b2n−1 (−1) sin

((2n− 1)πt

p

)= −f (t) .

Para convertir esto en una demostración rigurosa habría que ver si toleramos en la definición desimetría T que la igualdad valga en “casi todo punto”(expresión cuyo significado se explica en6,5).

Combinando esta simetría con paridad e imparidad, podemos en algunas ocasiones, ahor-rarnos el cálculo de muchos coeficientes de Fourier. Considerar por ejemplo la función de período2π tal que f (t) = |t| − π

2 en el intervalo [−π, π] (ver Ejemplo 1.22): esta función es par y tienesimetría T, por lo cual sabemos que sus coeficientes de Fourier serán

a2n = 0 ∀n ∈ N ∪ {0} , y bn = 0 ∀n.

1.9. Series armónicas de Fourier

Cuando tenemos una función real f , se suele escribir su serie de Fourier de otra manera, queclarifica la forma en que se usan las funciones trigonométricas para reconstruir f a partir decoeficientes. Esto no es más que aplicar un poco de álgebra: si f es periódica de período 2p yDirichlet en [−p, p] , construimos su serie de Fourier

f ∼ a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

).

48 Series de Fourier

Llamemos An =√a2n + b2n, entonces como para cada n, An = 0 si y solo si an y bn son ambos

cero, podemos sacar de la serie los términos para los cuales An = 0, y queda

f ∼ a0

2+

∑n tq An 6=0

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)=

=a0

2+

∑n tq An 6=0

An

[anAn

cos

(nπt

p

)+bnAn

sin

(nπt

p

)].

Puesto que el número complejo anAn

+ i bnAn tiene módulo 1, existe un único θn ∈ [−π, π) tal que

anAn

+ ibnAn

= cos (θn) + i sin (θn)

(es, casualmente, el argumento principal del número), y entonces la serie de Fourier de f queda

f ∼ a0

2+

∑n tq An 6=0

An

[cos (θn) cos

(nπt

p

)+ sin (θn) sin

(nπt

p

)]=

=a0

2+

∑n tq An 6=0

An cos

(nπt

p− θn

)

=a0

2+∑n=1

An cos

(nπt

p− θn

),

este último igual vale pues si agregamos los términos donde An = 0 en realidad no agregamosnada (los ponemos para que la serie quede expresada más linda). Esa última serie se llama la

serie armónica de cosenos de f, el n-ésimo armónico de f es cos(nπtp − θn

), la amplitud

de tal armónico es An, y θn es el ángulo de fase.Esta forma de escribir la serie de Fourier de una función es muy usada porque permite “leer”

datos de la función directamente: nos dice que f “se puede expresar” superponiendo onditas:la de menor frecuencia se llama el armónico fundamental, y todas las siguientes tienen porfrecuencia un múltiplo entero de la frecuencia fundamental, An nos dice “cuánto” hay del n-ésimo armónico, y el ángulo θn nos indica cuándo el n-ésimo armónico alcanza su máximo: si espositivo el armónico está en retraso, y si es negativo está en adelanto.

Nota 1.45 Por supuesto que la forma en que escribamos la serie de Fourier no va a cam-biar los hechos: los teoremas de convergencia siguen siendo los mismos (hay que leerlos concuidado), pero todo tiene traducción obvia. Además notar que la energía espectral pasa a ser

p(a2

02 +

∑∞n=1A

2n

), y {An}n∈N es de orden 1/nk si y solo si ambos coeficientes {an}n∈N y

{bn}n∈N son de orden 1/nk. Por último, notar que si conocemos la serie armónica de cosenos deuna función, entonces procediendo al revés de como hicimos recién podemos construir la seriede Fourier de f .

Nota 1.46 (otra) Podemos usar senos en lugar de cosenos y construir la serie armónica desenos. Nosotros que ya tenemos construida la de cosenos seguimos desde esa: con la mismanotación, llamemos γn = θn − π/2, entonces (puesto que cos (t) = sin

(t+ π

2

))

cos

(nπt

p− θn

)= sin

(nπt

p− θn +

π

2

)= sin

(nπt

p− γn

),

Series de Fourier 49

por lo que la serie de f queda

f ∼ a0

2+

∞∑n=1

An sin

(nπt

p− γn

),

que es la serie armónica de senos de f .

1.10. Separación de variables, ecuación del calor

Queremos resolver el siguiente problema de condiciones iniciales: dados a un número real yh (x) una función definida en el intervalo [0, p] con h (0) = h (p) = 0, queremos encontrar unafunción u (x, t) definida en [0, p]× [0,∞) tal que cumpla

i) a2 ∂2

∂x2u (x, t) =

∂tu (x, t)

ii) u (0, t) = u (p, t) = 0 (1.15)

iii) u (x, 0) = h (x) ∀x ∈ [0, p]

La ecuación (1.15i) se llama ecuación del calor, y el sistema (1.15) es un modelo matemáticode la siguiente situación: imaginemos que tenemos un alambre delgado de longitud p con losextremos a cero grado, y además que el único traspaso de calor es a lo largo del alambre, deforma tal que los extremos están siempre a cero grado. Podemos imaginar el alambre como elsegmento de recta [0, p] . Supongamos además que la temperatura en el instante t = 0 en elpunto x es h (x) , entonces la función u (x, t) que da la temperatura en cada punto x del alambreen cada instante t ≥ 0 debe satisfacer (1.15), donde a2 es una constante que depende de laconductividad del alambre.

El método estándar para resolver el sistema (1.15) es el de separación de variables: despuésde mucho buscar soluciones de la ecuación (1.15i) y de no encontrarlas (el lector desconfiadodebería tratar de encontrar una solución sin seguir leyendo), y ya sin nada que perder, se nosocurre buscar soluciones que sean de la forma

u (x, t) = H (x)G (t) ,

es decir, nos preguntamos cómo será una función que sea un producto como arriba y queademás cumpla (1.15i). Derivando obtenemos

∂xu (x, t) =

∂xH (x)G (t) = H ′ (x)G (t) ,

∂2

∂x2H (x)G (t) = H ′′ (x)G (t) ,

y∂

∂tH (x)G (t) = H (x)G′ (t) ,

por lo que la ecuación (1.15i) queda

a2H ′′ (x)G (t) = H (x)G′ (t) ,

50 Series de Fourier

o lo que es lo mismo,

a2H′′ (x)

H (x)=G′ (t)

G (t)∀ (x, t) ∈ (0, p)× (0,∞) (1.16)

Como el miembro de la izquierda de (1.16) depende solo de x, y el de la derecha depende solode t, concluimos que deben ser constantes (si, por ejemplo, G′ (t0) /G (t0) 6= G′ (t1) /G (t1) parat0 6= t1, no podría valer (1.16) pues en la izquierda tengo un valor fijo, salvo que mueva x).Entonces, existe algún valor λ (del cual no conocemos nada) tal que

a2H′′ (x)

H (x)=G′ (t)

G (t)= λ ∀ (x, t) ∈ (0, p)× (0,∞) ,

es decir,a2H ′′ (x) = λH (x) ∀ x ∈ (0, p) , (1.17)

yG′ (t) = λG (t) ∀ t ∈ (0,∞) , (1.18)

que son ecuaciones que sabemos resolver. Las condiciones (1.15ii) y (1.15iii) se transforman en

i) H (0) = H (p) = 0, y (1.19)

ii) H (x)G (0) = h (x)

respectivamente (nota: en este punto es un error muy grosero pensar que se podría tomarH (x) = 1

G(0)h (x)). Comencemos con (1.17): puesto que el polinomio P (x) = x2 − λa2 tiene

raíces ±√λ/a (pensamos a > 0, esto no saca generalidad pues hemos puesto a2 porque la

constate de conductividad es positiva), (1.17) tiene solución

H (x) =

αex√λ/a + βe−x

√λ/a si λ > 0

α+ xβ si λ = 0

α cos(x√−λ/a

)+ β sin

(x√−λ/a

)si λ < 0

donde α y β son constantes reales. Veamos si alguna de estas soluciones nos sirve, comenzandocon (38i): si λ > 0 entonces H (x) = αex

√λ/a + βe−x

√λ/a, y H (0) = α + β = 0 ⇐⇒ α = −β,

entonces H (x) = αex√λ/a − αe−x

√λ/a, y H (p) = αep

√λ/a − αe−p

√λ/a = 2α sinh

(p√λ/a

)=

0⇐⇒ α = 0 (pues p√λ > 0), con lo que nos quedaría H (x) = 0 ∀x, y por lo tanto esta solución

no nos sirve (nos diría que u (x, t) = 0 ∀ (x, t) así que no podríamos lograr (1.15iii) para ningunatemperatura inicial distinta de cero).

De manera análoga se descarta la posibilidad λ = 0, porque si H (x) = α + xβ, la únicaforma de poder cumplir (1.19i) es con α = β = 0. Analicemos entonces λ < 0: en tal casosería H (x) = α cos

(x√−λ/a

)+ β sin

(x√−λ/a

), y H (0) = α = 0 ⇐⇒ α = 0, entonces

H (x) = β sin(x√−λ/a

), y H (p) = β sin

(p√−λ/a

)= 0 ⇐⇒ p

√−λ/a = nπ, con n ∈ N (pues

p√−λ/a > 0) con lo que nos quedaría

−λ =

(anπ

p

)2

Series de Fourier 51

(es decir, esos son los únicos valores de λ que pueden llegar a ser útiles), y

H (x) = β sin

(nπx

p

).

Recapitulemos lo hecho hasta ahora: proponemos un producto H (x)G (t) como solución de(1.15i) y vemos que entonces que se deben cumplir las ecuaciones (1.17) y (1.18), donde λ esun valor real desconocido. Al resolver (1.17) y teniendo en cuenta que H debe cumplir (1.19i),

concluimos que los únicos valores que puede tomar λ son −λn =(anπp

)2, n ∈ N, y para cada

uno de esos valores tenemos una solución de (1.17), que es

Hn (x) = βn sin

(nπx

p

),

con βn una constante real.Seguimos: para cada uno de los λn aceptables, (1.18) tiene solución

Gn (t) = γneλnt = γne

−(anπ

p

)2t,

donde γn es una constante real, así que terminando, concluimos que si tenemos una solución de(1.15i) y (1.15ii) de la forma H (x)G (t) , entonces u (x, t) debe ser alguna de

un (x, t) = Hn (x)Gn (t) = βn sin

(nπx

p

)γne

−(anπ

p

)2t

= cn sin

(nπx

p

)e−(anπ

p

)2t,

donde n ∈ N y cn es una constante real. Pero derivando y chequeando directamente se ve quecada un es efectivamente solución de (1.15i) y (1.15ii), con lo que tenemos el siguiente lemita:

Lemita: u (x, t) = H (x)G (t) es solución de (1.15i) y (1.15ii) si y solo si existe n ∈ N ycn ∈ R tales que u (x, t) es

cn sin

(nπx

p

)e−(anπ

p

)2t.

Volvamos a (1.15): nos falta agregar la condición (1.15iii), y para eso vamos a notar losiguiente: si fuera

h (x) = 34 sin

(9πx

p

),

entonces la función

34 sin

(9πx

p

)e−(

9aπp

)2t

es solución de (1.15) (pues sabemos que es solución de (1.15i) y (1.15ii), y justo al poner t = 0

nos queda h (x)). En general (para cada n ∈ N fijo), un (x, 0) = cn sin(nπxp

), y por lo tanto

un (x, t) es solución de i) a2 ∂2

∂x2u (x, t) = ∂∂tu (x, t)

ii) u (0, t) = u (p, t) = 0

iii) u (x, 0) = cn sin(nπxp

)∀x ∈ [0, p]

52 Series de Fourier

Pero además nos damos cuenta del siguiente hecho: si u (x, t) y v (x, t) son ambas solucionesde (1.15i) y (1.15ii) entonces

u (x, t) + v (x, t)

también es solución de (1.15i) y (1.15ii) (ejercicio, verificarlo, esto es gracias a que en (1.15ii)se pide que sea igual a cero y no otra constante), por lo tanto podemos construir soluciones de(1.15i) y (1.15ii) sumado las soluciones un que construimos hace un rato. Y así, si nos dan

h (x) = 34 sin

(9πx

p

)+ 9 sin

(34πx

p

)+ 349 sin

(934πx

p

),

entonces la función

34 sin

(9πx

p

)e−(a9πp

)2t+ 9 sin

(34πx

p

)e−(a34πp

)2t+ 349 sin

(934πx

p

)e−(a934πp

)2t

es solución de (1.15) (pues sabemos que es solución de (1.15i) y (1.15ii), y justo al poner t = 0

nos queda h (x)). En general,∑N

n=0 un (x, 0) =∑N

n=0 cn sin(nπxp

), y por lo tanto la función∑N

n=0 un (x, t) es solución dei) a2 ∂2

∂x2u (x, t) = ∂∂tu (x, t)

ii) u (0, t) = u (p, t) = 0

iii) u (x, 0) =∑N

n=0 cn sin(nπxp

)∀x ∈ [0, p]

es decir, hemos resuelto (1.15) para el caso particular donde h (x) es de la forma

h (x) =N∑n=1

cn sin

(nπx

p

), (1.20)

y la solución esN∑n=1

cn sin

(nπx

p

)e−(anπp

)2t. (1.21)

Pero al ver esto nos damos cuenta del siguiente hecho: h (0) = h (p) = 0, así que si extiendoh al intervalo [−p, p] de forma que sea impar y luego periódica de período 2p, entonces la seriede Fourier de h converge a h, es decir, podemos poner

h (x) =∞∑n=1

Bn,h sin

(nπx

p

)∀ x ∈ [0, p]

donde {Bn,h}n∈N son los coeficientes del desarrollo de senos de Fourier de h (comparar con(1.21)). Así, si en lugar de considerar una suma finita como en (1.21) consideramos la serie delas un y elegimos cn = Bn,h , entonces la función

∞∑n=1

Bn,h sin

(nπx

p

)e−(anπp

)2t

Series de Fourier 53

satisface (1.15iii), y es obvio que satisface (1.15ii), pero el problema es que no sabemos quecumpla (1.15i) porque no es una suma finita. Pero para terminar, si supiéramos que podemosderivar dentro de la serie (respecto de x dos veces y respecto de t una ves) listo, porque quedaría

a2∂2u

∂x2= a2 ∂

2

∂x2

∞∑n=1

un = a2∞∑n=1

∂2un∂x2

=

∞∑n=1

a2∂2un∂x2

c/un cumple (1.15)↓=

∞∑n=1

∂un∂t

=∂u

∂t.

Se ve en el práctico que si existe M tal que |an| ≤ M ∀n, entonces se puede, por lo tantohemos probado el siguiente teorema:

Teorema 1.47 Si h (x) es una función Dirichlet en [0, p] con h (0) = h (p) = 0 y {Bn,h}n∈Nson los coeficientes de Fourier de la serie de senos de h (i.e. extender h impar al [−p, p]),entonces la función

∞∑n=1

Bn,h sin

(nπx

p

)e−(anπp

)2t

está definida en [0, p]× [0,∞) y es solución de (1.15).

Nota importante 1.48 Ninguna de las funciones un (x, t) consideradas en el desarrollo ante-

rior es solución de (1.15), salvo que h (x) sea de la forma cn sin(nπxp

).

Ejemplo 1.49 Queremos encontrar una función u (x, t) definida en [0, 2]× [0,∞) y que cumpla

i) 4∂2

∂x2u (x, t) =

∂tu (x, t)

ii) u (0, t) = u (2, t) = 0

iii) u (x, 0) = h (x) ∀x ∈ [0, 2]

donde h (x) =

{x si 0 ≤ x < 1

2− x si 1 ≤ x ≤ 2. Para eso, lo primero que tenemos que hacer, según el

teorema anterior, es encontrar la serie de Fourier de senos de h. Tenemos

Bn,h =

∫ 2

0h (x) sin

(nπx2

)dx =

∫ 1

0x sin

(nπx2

)dx+

∫ 2

1(2− x) sin

(nπx2

)dx =

=−2

n2π2

[−2 sin

(nπ2

)+ nπ cos

(nπ2

)]+

2

n2π2

[nπ cos

(nπ2

)+ 2 sin

(nπ2

)]=

=8

n2π2sin(nπ

2

).

Entonces, inmediatamente y sin más trámites, el teorema anterior nos dice que

u (x, t) =

∞∑n=1

8

n2π2sin(nπ

2

)sin(nπx

2

)e−(nπ)2t

=8

π2

∞∑n=1

(−1)n+1

(2n− 1)2 sin

((2n− 1)πx

2

)e−(2n−1)2π2t.

54 Series de Fourier

31

x

2

y

1

1

z

0.5

2

1.11. Ecuación de Ondas

Una vez entendido por completo el razonamiento hecho para resolver la ecuación del calor,nos metemos con la de ondas, pero más rápido.

El problema es más o menos así: si fijamos los extremos de una cuerda de longitud p, y ledamos posición inicial y velocidad inicial a cada punto de la cuerda, entonces la función y (x, t)que da la posición de cada punto x de la cuerda en el instante t > 0 debe cumplir la ecuación

a2 ∂2y

∂x2=∂2y

∂t2,

donde estamos pensando a la cuerda como el segmento [0, p]. Entonces, el problema de condi-ciones iniciales queda así: encontrar una función y (x, t) que satisfaga

i) a2 ∂2

∂x2y (x, t) =

∂2

∂t2y (x, t) (1.22)

ii) y (0, t) = y (p, t) = 0 (cuerda fija en los extremos)

iii) y (x, 0) = f (x) ∀x ∈ [0, p] (posición inicial de cada punto)

iv)∂y

∂t(x, 0) = g (x) ∀x ∈ [0, p] (velocidad inicial de cada punto)

Proponemos y (x, t) = H (x)G (t) , y derivando comprobamos que (1.22i) se transforman en

H ′′ (x)

H (x)=

G′′ (t)

a2G (t)∀ (x, t) ∈ (0, p)× (0,∞)

Entonces, existe algún valor λ (del cual no conocemos nada) tal que

H ′′ (x)

H (x)=

G′′ (t)

a2G (t)= λ ∀ (x, t) ∈ (0, p)× (0,∞) ,

es decir,H ′′ (x) = λH (x) ∀ x ∈ (0, p) , (1.23)

Series de Fourier 55

yG′′

(t) = a2λG (t) ∀ t ∈ (0,∞) , (1.24)

que son ecuaciones que sabemos resolver. Además la condición (1.22ii) se transforma en

H (0) = H (p) = 0. (1.25)

La ecuación (1.23) tiene solución

H (x) =

αex√λ + βe−x

√λ si λ > 0

α+ xβ si λ = 0

α cos(x√−λ)

+ β sin(x√−λ)

si λ < 0

donde α y β son constantes reales, y cuando le imponemos (1.25) resulta que debe ser

λ = −(nπ

p

)2

, n ∈ N,

(es decir, λ < 0) y α = 0, y entonces para cada natural n tengo una solución

Hn (x) = βn sin

(nπx

p

).

La correspondiente Gn (t) se obtiene resolviendo (1.24) para cada λn = −(nπp

)2, y queda

Gn (t) = γn cos

(anπt

p

)+ δn sin

(anπt

p

),

donde γny δn son constantes reales. Multiplicando y unificando las constantes nos queda, en fin,que para cada natural n tenemos una solución de (1.22i y ii)

yn (x, t) = sin

(nπx

p

)[cn cos

(anπt

p

)+ dn sin

(anπt

p

)],

donde cn y dn son constantes reales.De nuevo, observamos que si u y v son solución de (1.22i y ii) entonces u+ v también lo es,

lo cual nos lleva a suponer que, bajo condiciones adecuadas de convergencia, la función

y (x, t) =∞∑n=1

sin

(nπx

p

)[cn cos

(anπt

p

)+ dn sin

(anπt

p

)]será solución de (1.22i y ii) ((1.22ii) es inmediato, y para (1.22i) lo que necesitamos es poderderivar término a término dos veces respecto de x y dos veces respecto de t).

La condición (1.22iii) en esta función queda

y (x, 0) =

∞∑n=1

cn sin

(nπx

p

)= f (x) ∀x ∈ [0, p] ,

y esta igualdad se consigue eligiendo

cn =2

p

∫ p

0f (t) sin

(nπt

p

)dt,

56 Series de Fourier

o sea escribiendo f como un desarrollo de senos (y suponiendo que la extensión impar de f seacontinua). Por último, (suponiendo que pueda derivar término a término)

∂y

∂ty (x, t) =

∂y

∂t

∞∑n=1

sin

(nπx

p

)[cn cos

(anπt

p

)+ dn sin

(anπt

p

)]=

∞∑n=1

sin

(nπx

p

)[cn−anπp

sin

(anπt

p

)+ dn

anπ

pcos

(anπt

p

)],

por lo que la condición (1.22iv) queda

∞∑n=1

[dnanπ

p

]sin

(nπx

p

)= g (x) ∀x ∈ [0, p]

y esta igualdad se consigue eligiendo

dnanπ

p=

2

p

∫ p

0g (t) sin

(nπt

p

)dt,

o sea escribiendo g como un desarrollo de senos (y suponiendo que la extensión impar de f seacontinua), es decir, debemos poner

dn =2

anπ

∫ p

0g (t) sin

(nπt

p

)dt.

Completando los detalles técnicos (que está en el práctico), queda probado el siguiente:

Teorema 1.50 Si f (x) y g (x) son dos funciones definidas en [0, p] tales que: f (0) = f (p) =g (0) = g (p) = 0, la extensión impar de f tiene derivada segunda continua, y la extensión imparde g tiene derivada continua. Entonces definiendo

cn =2

p

∫ p

0f (t) sin

(nπt

p

)dt y dn =

2

anπ

∫ p

0g (t) sin

(nπt

p

)dt,

resulta que la función

y (x, t) =∞∑n=1

sin

(nπx

p

)[cn cos

(anπt

p

)+ dn sin

(anπt

p

)]es solución del problema de condiciones iniciales (1.22).