Capitulo 11 Sistemas de Ecuaciones Lineales Inconsistentes
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Capítulo 11 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INCONSISTENTES 11.1. INTRODUCCIÓN. En este capítulo se presentan los Sistemas de Ecuaciones Lineales Inconsistentes. Se exponen sus tópicos básicos como lo son la Solución Mínimo Cuadrática y la Mejor Solución Aproximada. De esta forma, aunque un Sistema de Ecuaciones Lineales sea inconsistente siempre será posible obtener un vector que es lo más parecido a la solución del sistema. 11.2. SOLUCIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA. PROPIEDADES. Observación: Sean A∈M mxn (ℜ), X∈ℜ n e Y∈ℜ m . Si ∀ X∈ℜ n se verifica que AX ≠ Y entonces el SEL AX = Y es inconsistente (SELI) y se expresa de la forma Y – AX = ε(X), siendo ε(X) un vector de desviaciones ∀ X∈ℜ n . Definición 11.1 Sean A∈M mxn (ℜ), X∈ℜ n e Y∈ℜ m tales que el SEL AX = Y es inconsistente. Se dice que un vector X smc ∈ℜ n es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X) si y sólo si ) X ( Mínimo ) X ( n X smc ε = ε ℜ ∈ . Teorema 11.1. Sean A∈M mxn (ℜ), X∈ℜ n e Y∈ℜ m tales que el SEL AX = Y es inconsistente. El vector X smc = A mc Y es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X), siendo A mc una inversa mínimo cuadrática de A. Demostración Minimizar ) X ( ε equivale a minimizar 2 ) X ( ε . 2 mc mc 2 2 AX Y AA Y AA Y AX Y ) X ( − + − = − = ε = 2 mc mc ) AX Y AA ( ) Y AA Y ( − + − = 2 mc mc ) Y AA AX ( ) Y AA Y ( − − − Por el teorema 5.2., se tiene que: ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS 378 2 ) X ( ε = 2 mc ) Y AA Y ( − + 2 mc ) Y AA AX ( − –2 ) Y AA AX ( ) Y AA Y ( mc t mc − − = 2 smc ) AX Y ( − + 2 smc ) AX AX ( − –2 ) Y AA AX ( ) Y AA Y ( mc t mc − − = 2 smc ) X ( ε + 2 smc ) AX AX ( − – 2 ) Y AA AX ( ) Y AA Y ( mc t mc − − Ahora bien, ) Y AA AX ( ) Y AA Y ( mc t mc − − = )) Y A X ( A ( ) Y ) AA I (( mc t mc n − − = )) Y A X ( A ( ) AA I ( Y mc t mc n t − − = )) Y A X ( A )( ) AA ( ) I (( Y mc t mc t n t − − = )) Y A X ( A )( AA I ( Y mc mc n t − − = ) Y A X )( A AA A ( Y mc mc t − − = ) Y A X )( A A ( Y mc t − − = ) Y A X )( ( Y mc mxn t − θ = 0 Por lo tanto, 2 ) X ( ε = 2 smc ) X ( ε + 2 smc ) AX AX ( − En consecuencia, 2 ) X ( ε ≥ 2 smc ) X ( ε , es decir, 2 smc ) X ( ε ≤ 2 ) X ( ε . Luego, ) X ( smc ε ≤ ) X ( ε y ) X ( Mínimo ) X ( n X smc ε = ε ℜ ∈ . Por consiguiente, X smc = A mc Y es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X). Observaciones: 1. Como la inversa mínimo cuadrática de A no es única entonces no existe una única solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X). 2. Por el teorema 10.6., si Rango(A) = n entonces existe una única inversa mínimo cuadrática de A igual a la inversa generalizada y por lo tanto el SELI Y – AX = ε(X) tiene una única solución mínimo cuadrática. 3. ) X ( Mínimo n X ε ℜ ∈ = Y AA Y mc − . 4. Como la inversa generalizada de A (A g ) es una inversa mínimo cuadrática de A entonces una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X) es X smc = A g Y.
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Capítulo 11 del libro que se utiliza en la cátedra Álgebra Lineal I de la Escuela de Estadística y Ciencias Actuariales de la Universidad Central de Venezuela
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Capítulo 11
SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES INCONSISTENTES
11.1. INTRODUCCIÓN. En este capítulo se presentan los Sistemas de Ecuaciones Lineales Inconsistentes. Se exponen sus tópicos básicos como lo son la Solución Mínimo Cuadrática y la Mejor Solución Aproximada. De esta forma, aunque un Sistema de Ecuaciones Lineales sea inconsistente siempre será posible obtener un vector que es lo más parecido a la solución del sistema. 11.2. SOLUCIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA. PROPIEDADES. Observación: Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm. Si ∀ X∈ℜn se verifica que AX ≠ Y entonces el SEL AX = Y es inconsistente (SELI) y se expresa de la forma Y – AX = ε(X), siendo ε(X) un vector de desviaciones ∀ X∈ℜn. Definición 11.1 Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm tales que el SEL AX = Y es inconsistente. Se dice que un vector Xsmc∈ℜn es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X) si y sólo si )X(Mínimo)X(
nX
smc ε=εℜ∈
.
Teorema 11.1. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm tales que el SEL AX = Y es inconsistente. El vector Xsmc = AmcY es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X), siendo Amc una inversa mínimo cuadrática de A. Demostración Minimizar )X(ε equivale a minimizar 2)X(ε .
2mcmc22 AXYAAYAAYAXY)X( −+−=−=ε
= 2mcmc )AXYAA()YAAY( −+−
= 2mcmc )YAAAX()YAAY( −−−
Por el teorema 5.2., se tiene que:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
378
2)X(ε = 2mc )YAAY( − +2mc )YAAAX( − –2 )YAAAX()YAAY( mctmc −−
=2smc )AXY( − +
2smc )AXAX( − –2 )YAAAX()YAAY( mctmc −−
= 2smc )X(ε +
2smc )AXAX( − – 2 )YAAAX()YAAY( mctmc −−
Ahora bien,
)YAAAX()YAAY( mctmc −− = ))YAX(A()Y)AAI(( mctmcn −−
= ))YAX(A()AAI(Y mctmcn
t −−
= ))YAX(A)()AA()I((Y mctmctn
t −−
= ))YAX(A)(AAI(Y mcmcn
t −−
= )YAX)(AAAA(Y mcmct −−
= )YAX)(AA(Y mct −−
= )YAX)((Y mcmxn
t −θ = 0 Por lo tanto,
2)X(ε = 2smc )X(ε +
2smc )AXAX( −
En consecuencia,
2)X(ε ≥ 2smc )X(ε , es decir,
2smc )X(ε ≤ 2)X(ε .
Luego, )X( smcε ≤ )X(ε y )X(Mínimo)X(
nX
smc ε=εℜ∈
.
Por consiguiente, Xsmc = AmcY es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X). Observaciones: 1. Como la inversa mínimo cuadrática de A no es única entonces no existe
una única solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X). 2. Por el teorema 10.6., si Rango(A) = n entonces existe una única inversa
mínimo cuadrática de A igual a la inversa generalizada y por lo tanto el SELI Y – AX = ε(X) tiene una única solución mínimo cuadrática.
3. )X(MínimonX
εℜ∈
= YAAY mc− .
4. Como la inversa generalizada de A (Ag) es una inversa mínimo cuadrática de A entonces una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X) es Xsmc = AgY.
CAPÍTULO 11: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INCONSISTENTES
379
Teorema 11.2. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm tales que el SEL AX = Y es inconsistente. El vector Xsmc∈ℜn es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X)
si y sólo si Y)AAI(Y)X( gm
tsmc −=ε .
Demostración CN(⇒): Si el vector Xsmc∈ℜn es una solución mínimo cuadrática del SELI Y –
AX = ε(X) entonces Y)AAI(Y)X( gm
tsmc −=ε .
Por hipótesis, Xsmc = AmcY, siendo Amc una inversa mínimo cuadrática de A. Luego,
YAAYAXY)X( mcsmcsmc −=−=ε
Ahora bien, AAmcA = A ⇒ AAmcAAg = AAg
⇒ AAmcAAg = AAg ⇒ (AAmc)t(AAg)t = AAg ⇒ (AAgAAmc)t = AAg ⇒ (AAmc)t = AAg ⇒ AAmc = AAg
Luego,
YAAY)X( gsmc −=ε = )YAAY()YAAY( gtg −−
= Y)AAI()Y)AAI(( gm
tgm −−
= Y)AAI()AAI(Y( gm
tgm
t −− Por el teorema 10.2., apartado 8 se tiene que Im – AAg es simétrica e idempotente. Por consiguiente:
Y)AAI(Y)X( gm
tsmc −=ε
CS(⇐): Si Y)AAI(Y)X( gm
tsmc −=ε entonces el vector Xsmc∈ℜn es una
solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X).
Por hipótesis Y)AAI(Y)X( gm
tsmc −=ε . Además, si Amc es una inversa
mínimo cuadrática de A entonces AAmc = AAg. Luego,
Y)AAI(Y)X( gm
tsmc −=ε = Y)AAI()AAI(Y( gm
tgm
t −−
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
380
= Y)AAI()Y)AAI(( gm
tgm −−
= )YAAY()YAAY( gtg −−
= )YAAY()YAAY( mctmc −−
= YAAY mc−
= )X(MínimonX
εℜ∈
Por consiguiente, Xsmc es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X). Teorema 11.3. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm tales que el SEL AX = Y es inconsistente. El vector Xsmc∈ℜn es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X) si y sólo si Xsmc es solución del SEL AX = AAgY. Demostración CN(⇒): Si Xsmc∈ℜn es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X) entonces Xsmc es solución del SEL AX = AAgY. Por el teorema 11.2., se tiene que:
Y)AAI(Y)X( gm
tsmc −=ε , es decir, Y)AAI(Y)X( gm
t2smc −=ε .
Sea Z = Xsmc – AgY. Luego, Xsmc = Z + AgY. En consecuencia,
Y)AAI(Y)YAZ( gm
t2g −=+ε .
⇒ (Y – A(Z+AgY))t(Y – A(Z+AgY)) = Yt(Im – AAg)Y ⇒ (Y – AZ –AAgY))t(Y – AZ –AAgY) = Yt(Im – AAg)Y ⇒ (Y – AAgY – AZ))t(Y –AAgY – AZ) = Yt(Im – AAg)Y ⇒ ((Im – AAg)Y – AZ))t((Im –AAg)Y – AZ) = Yt(Im – AAg)Y ⇒ (((Im – AAg)Y)t – (AZ)t)((Im –AAg)Y – AZ) = Yt(Im – AAg)Y ⇒ (Yt(Im – AAg)t – ZtAt)((Im –AAg)Y – AZ) = Yt(Im – AAg)Y ⇒ Yt(Im – AAg)t(Im –AAg)Y – Yt(Im –AAg)tAZ – ZtAt(Im –AAg)Y + ZtAtAZ = Yt(Im – AAg)Y Por el teorema 10.2., apartado 8 se tiene que Im – AAg es simétrica e idempotente. Por consiguiente: Yt(Im – AAg)Y – Yt(Im –AAg)AZ – ZtAt(Im –AAg)tY + ZtAtAZ = Yt(Im – AAg)Y ⇒ Yt(Im – AAg)Y – Yt(A –AAgA)Z – Zt((Im –AAg)A)tY + ZtAtAZ = Yt(Im – AAg)Y ⇒ Yt(Im – AAg)Y – Yt(A –AAgA)Z – Zt((A –AAgA)tY + ZtAtAZ = Yt(Im – AAg)Y ⇒ Yt(Im – AAg)Y – Yt(A –A)Z – Zt((A –A)tY + ZtAtAZ = Yt(Im – AAg)Y
CAPÍTULO 11: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INCONSISTENTES
381
⇒ Yt(Im – AAg)Y – Yt(θmxn)Z – Zt((θmxn)tY + ZtAtAZ = Yt(Im – AAg)Y ⇒ Yt(Im – AAg)Y + ZtAtAZ = Yt(Im – AAg)Y ⇒ ZtAtAZ = Yt(Im – AAg)Y – Yt(Im – AAg)Y ⇒ (AZ)tAZ = 0 ⇒ AZ = θmx1 En consecuencia: AXsmc = A(Z + AgY) = AZ + AAgY = θmx1 + AAgY = AAgY. Es decir, Xsmc es solución del SEL AX = AAgY. CS(⇐): Si Xsmc∈ℜn es solución del SEL AX = AAgY entonces Xsmc es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X). Por hipótesis: AXsmc = AAgY. Luego,
YAAYAXY)X( gsmcsmc −=−=ε = )YAAY()YAAY( gtg −−
= Y)AAI()Y)AAI(( gm
tgm −−
= Y)AAI()AAI(Y( gm
tgm
t −− Por el teorema 10.2., apartado 8 se tiene que Im – AAg es simétrica e idempotente. Por consiguiente:
Y)AAI(Y)X( gm
tsmc −=ε
Por el teorema 11.2., Xsmc es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X). Definición 11.2. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm tales que el SEL AX = Y es inconsistente. Se define como sistema de ecuaciones lineales normales (SELN) del SELI Y – AX = ε(X) al SEL AtAX = AtY. Teorema 11.4. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm tales que el SEL AX = Y es inconsistente. Entonces el SELN del SELI Y – AX = ε(X) es consistente y además su solución general es:
ngn
gsg Z;Z)AAI(YAX ℜ∈−+=
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
382
Demostración Por definición, el SELN del SELI Y – AX = ε(X) es AtAX = AtY. Utilicemos el teorema 10.9., para demostrar que el SELN es siempre consistente: (AtA)(AtA)gAtY = AtAAg(At)gAtY = AtAAg(Ag)tAtY = AtAAg(AAg)tY = AtAAgAAgY = AtAAgY = At(AAg)tY = (AAgA)tY = AtY En consecuencia, el SELN es consistente y su solución general es:
ntgtn
tgtsg Z;Z))AA()AA(I(YA)AA(X ℜ∈−+=
= ntgtgn
tgtg Z;Z)AA)A(AI(YA)A(A ℜ∈−+
= nttggn
ttgg Z;Z)AA)A(AI(YA)A(A ℜ∈−+
= ntggn
tgg Z;Z)A)AA(AI(Y)AA(A ℜ∈−+
= nggn
gg Z;Z)AAAAI(YAAA ℜ∈−+
= ngn
g Z;Z)AAI(YA ℜ∈−+ Teorema 11.5. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm tales que el SEL AX = Y es inconsistente. El vector Xsmc∈ℜn es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X) si y sólo si Xsmc es solución del SELN de dicho SELI. Demostración CN(⇒): Si Xsmc∈ℜn es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X) entonces Xsmc es solución del SELN de dicho SELI. Por hipótesis, Xsmc∈ℜn es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X). Luego, por el teorema 11.3., Xsmc es solución del SEL AX = AAgY. Por lo tanto, AXsmc = AAgY ⇒ AtAXsmc = AtAAgY ⇒ AtAXsmc = At(AAg)tY ⇒ AtAXsmc = (AAgA)tY ⇒ AtAXsmc = AtY Es decir, Xsmc es solución del SELN del SELI Y – AX = ε(X). CS(⇐): Si Xsmc∈ℜn es solución del SELN de dicho SELI entonces Xsmc es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X). Por hipótesis, Xsmc∈ℜn es solución del SELN del SELI Y – AX = ε(X). Luego,
CAPÍTULO 11: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INCONSISTENTES
383
AtAXsmc = AtY ⇒ (Ag)tAtAXsmc = (Ag)tAtY ⇒ (AAg)tAXsmc = (AAg)tY ⇒ AAgAXsmc = AAgY ⇒ AXsmc = AAgY Es decir, Xsmc es solución del SEL AX = AAgY. Por consiguiente, por el teorema 11.3., Xsmc es solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X). 11.3. MEJOR SOLUCIÓN APROXIMADA. PROPIEDADES Y EJEMPLOS. Definición 11.3 Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm tales que el SEL AX = Y es inconsistente. Se dice que el vector Xmsa∈ℜn es la mejor solución aproximada del SELI Y – AX = ε(X) si y sólo si: 1. Xmsa es una solución mínimo cuadrática. 2. ∀ Xsmc∈ℜn solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X) con
Xsmc ≠ Xmsa se cumple que smcmsa XX < .
Teorema 11.6. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm tales que el SEL AX = Y es inconsistente. El vector Xmsa = AgY es la mejor solución aproximada del SELI Y – AX = ε(X). Demostración 1. Es claro que Xmsa = AgY es una solución mínimo cuadrática del SELI
Y – AX = ε(X). 2. Sea Xsmc una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X) con
Xsmc ≠ Xmsa. Luego, )X()X( msasmc ε=ε y además por el teorema 11.3.,
Xsmc es solución del SEL AX = AAgY, es decir, AXsmc = AAgY. Por lo tanto,
AXsmc = AAgY ⇒ AgAXsmc = AgAAgY ⇒ AgAXsmc = AgY
⇒ AgAXsmc + Xsmc = AgY + Xsmc ⇒ Xsmc = AgY + Xsmc – AgAXsmc ⇒ Xsmc = AgY + (In – AgA)Xsmc
En consecuencia,
(Xsmc)tXsmc = (AgY + (In – AgA)Xsmc)t(AgY + (In – AgA)Xsmc)
= (Yt(Ag)t + (Xsmc)t(In – AgA)t)(AgY + (In – AgA)Xsmc) = Yt(Ag)tAgY + Yt(Ag)t(In – AgA)Xsmc + (Xsmc)t(In – AgA)tAgY + + (Xsmc)t(In – AgA)t(In – AgA)Xsmc
Por el teorema 10.2., apartado 8 se tiene que In – AgA es simétrica. Por consiguiente:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
384
(Xsmc)tXsmc = (AgY)t(AgY) + Yt((Ag)t – (Ag)t(AgA)t)Xsmc + + (Xsmc)t(In – AgA)AgY + ((In – AgA)Xsmc)t((In – AgA)Xsmc)
= (Xmsa)t(Xmsa) + Yt((Ag)t – (AgAAg)t)Xsmc + + (Xsmc)t(Ag – AgAAg)Y + (Xsmc – AgAXsmc)t(Xsmc – AgAXsmc)
= (Xmsa)t(Xmsa) + Yt((Ag)t – (Ag)t)Xsmc + (Xsmc)t(Ag – Ag)Y + + (Xsmc – AgAAgY)t(Xsmc – AgAAgY)
= (Xmsa)t(Xmsa) + Yt(θmxn)Xsmc + (Xsmc)t(θnxm)Y + + (Xsmc – AgY)t(Xsmc – AgY)
= (Xmsa)t(Xmsa) + (Xsmc – Xmsa)t(Xsmc – Xmsa)
Luego,
2msasmc2msa2smc XXXX −+=
Como Xsmc ≠ Xmsa entonces:
⇒ 2msa2smc XX >
⇒ 2smc2msa XX <
⇒ smcmsa XX <
Por lo tanto, el vector Xmsa es la mejor solución aproximada del SELI Y – AX = ε(X). Observaciones: 1. Como Ag es única entonces existe una única mejor solución aproximada
Xmsa = AgY del SELI Y – AX = ε(X). 2. Si Rango(A) = n entonces por el teorema 10.6., existe una única inversa
mínimo cuadrática igual a la inversa generalizada. En ese caso, existe una única solución mínimo cuadrática igual a la mejor solución aproximada del SELI Y – AX = ε(X).
Ejemplo 11.1. Consideremos el SEL del Ejemplo 3.4.:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−=++
4X2X4X22X3XX21XX2X
321
321
321
En este caso:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
2 4 23 121 2 1
A , Y = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
421
CAPÍTULO 11: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INCONSISTENTES
385
Se puede verificar que Rango(A) = 2. Igualmente, se puede verificar que una inversa condicional de A es:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=0 0 00 5
15
20 5
2 51
Ac
También se puede verificar que:
AAcY = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
221
≠ Y. Por lo tanto el SEL es inconsistente.
Determinemos una solución mínimo cuadrática y la mejor solución aproximada. Se puede verificar que una inversa mínimo cuadrática de A es:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=0 0 025
4 51
252
252 5
2 251
Amc
En consecuencia, una solución mínimo cuadrática del SEL es:
Xsmc = AmcY =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−0 0 025
4 51
252
252 5
2 251
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
421
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
025
825
29
Se puede verificar que la inversa generalizada de A es:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
37510 375
75 3755
37562 375
60375
31375
16 37545 375
8
Ag
Por lo tanto, la mejor solución aproximada del SEL es:
Xmsa = AgY =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
37510 375
75 3755
37562 375
60375
31375
16 37545 375
8
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
421
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
375195
375159
375162
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
386
Ejemplo 11.2. Consideremos el SEL del ejemplo 3.7.:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=+−=++=+−
6X3X21XX2X4XXX22X3X2X
32
321
321
321
En este caso:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
3 2 01 211 1 23 21
A , Y =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6142
Se puede verificar que Rango(A) = 3. Por lo tanto, la inversa mínimo cuadrática es única y coincide con la inversa generalizada Ag = (AtA)-1At:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
== −
1030210 1030
10 103084
1030158
1030150 1030
1401030
146 1030152
1030160
1030115 1030
476 103037
A)AA(A t1tg
También se puede verificar que:
AAgY =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2061166
20631
206852
206531
≠ Y. Por lo tanto el SEL es inconsistente.
En este caso existe una única solución mínimo cuadrática que además es la mejor solución aproximada. Dicha solución es:
Xmsa = AgY =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
1030210 1030
10 103084
1030158
1030150 1030
1401030
146 1030152
1030160
1030115 1030
476 103037
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6142
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
205250
205208
205197
CAPÍTULO 11: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INCONSISTENTES
387
EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Demuestre que los siguientes SEL son inconsistentes y determine
para cada uno de ellos una solución mínimo cuadrática, su mejor solución aproximada y su sistema de ecuaciones lineales normales con su respectiva solución general:
1.1. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=−=+
5XX21XX12X2X3
21
21
21
1.2. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−
=++
7XX30XX2
6XXX
31
21
321
1.3. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−=−
=++
21X7X45XX2
1X3X2X
32
31
321
1.4.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−=−−=−+=−+
2XX11X75XXX27XX3X9XXX3
321
321
321
321
2. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn, Y∈ℜm tales que el SEL Y = AX es
inconsistente. Demuestre que el SEL AX = AAgY es consistente y que si smcX es una solución mínimo cuadrática del SELI Y – AX = ε(X) entonces smcX = AgY + (In – AgA)Z; Z∈ℜn es la solución general del SEL AX = AAgY.
3. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn, Y∈ℜm tales que el SEL Y = AX es
inconsistente. Demuestre que smcAX es invariante para cualquier vector smcX solución del SELN del SELI Y – AX = ε(X).
4. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn, Y∈ℜm tales que el SEL Y = AX es
inconsistente. Demuestre que la forma cuadrática )AXY()AXY()Y(f smctsmc −−= es invariante y semidefinida
positiva para cualquier solución mínimo cuadrática smcX del SELI Y – AX = ε(X), con 0 < Rango(A) < n.
5. Sean A∈Mmxn(ℜ), X, W∈ℜn, Y, C∈ℜm tales que el SEL Y = AX es
inconsistente, con 0 < Rango(A) < n. Sea msaX la mejor solución aproximada del SELI Y – AX = ε(X). Demuestre que si CtAX = WtX; ∀ X∈ℜn entonces ∃ V0∈ℜn tal que V0 es solución del SEL AtAV = W y además YA)V(XW tt0msat = .
