CAPITULO XIV.SERIES NUMERICASARBITRARIAS

SECCIONES

A. Series de terminos de signo variable.

B. Series dependientes de parametros.

C. Ejercicios propuestos.

193

A. SERIES DE TERMINOS DE SIGNO VARIABLE.

En el captulo 9 se estudiaba la convergencia de las series de terminos consigno constante. Trataremos aqu las series arbitrarias, es decir aquellas cu-yos terminos no son todos del mismo signo, mas precisamente aquellas quetienen infinitos terminos positivos e infinitos terminos negativos. Para estasseries sera importante estudiar no solo su convergencia sino la convergenciade la serie formada por los valores absolutos de sus terminos. Debido a lapropiedad:

(1) Si la serien1

|an| converge, entoncesn1

an tambien converge y ademas

n1

an

n1

|an|

podemos distinguir los siguientes casos:

(a) Una serien1

an se dice que converge absolutamente si converge

la serien1

|an|.

(b) Una serien1

an converge condicionalmente si es convergente pero

diverge la serien1

|an|.

(c) Una serie es divergente si divergenn1

an yn1

|an|.

Otras propiedades destacables son:

(2) Una serien1

an converge absolutamente si y solo si son convergentes la

serie formada con sus terminos positivos y la formada con sus terminosnegativos.

(3) Si las seriesn1

an yn1

bn son absolutamente convergentes, entonces

la serien1

(an + bn) es absolutamente convergente, , R.

(4) Sin1

an converge absolutamente, todo reordenamiento de {an} produce

una serie cuya suma coincide conn1

an.

194

(5) Sin1

an yn1

bn son absolutamente convergentes, tambien lo es la

serie producton1

pn definida de la siguiente manera:

pn = a1bn + a2bn1 + + anb1 =n

k=1

akbnk.

Un caso particular de las series arbitrarias lo constituyen las se-ries alternadas, que son aquellas cuyos terminos son alternativamentepositivos y negativos. Las series alternadas se suelen expresar comon1

(1)nan donde an 0, n, o de cualquier forma equivalente (por

ejemplon1

sen(npi/2)an on1

cos(npi)an). Las series alternadas tienen

la siguiente propiedad:

(6) Sin1

(1)nan es una serie alternada convergente y llamamos S a la

suma de la serie, entoncesS n

k=1

(1)kak ak+1

(esto quiere decir que el error cometido al sumar los n primeros termi-nos es menor que el primer termino desechado).

Para estudiar la convergencia de las series arbitrarias, aparte de los criteriosya enunciados en el captulo 9 para series de terminos positivos, aplicaremoslos siguientes criterios especficos:

- Criterio de Leibnitz. Si la sucesion de terminos positivos {an} es de-creciente y tiene lmite cero, entonces la serie alternada

n1

(1)nan esconvergente.

- Criterio del cociente. Dada la serie arbitrarian1

an, llamamos

L = lm supan+1an

y l = lm inf an+1an.

(a) Si L < 1, la serie converge absolutamente.

(b) Si l > 1, la serie diverge.

- Criterio de la raz.Dada la serie arbitrarian1

an, llamamos L = lm sup n|an|.

195

(a) Si L < 1, la serie converge absolutamente.

(b) Si L > 1, la serie diverge.

Veremos en los siguientes problemas ejemplos diversos de aplicacion de estaspropiedades.

PROBLEMA 14.1

Estudiar el caracter de la serie

an de termino general an =(1)n[n2 1 n] y hallar una cota del error cometido al tomarcomo suma la de los cuatro primeros terminos.

Solucion

Si escribimos an = (1)n 1n2 1 + n =

(1)n+1n2 1 + n , vemos que se trata

de una serie alternada. Aplicaremos el criterio de Leibnitz:

1n2 1 + n 1.

b) Probar que Sn =an(n+ ) a1

+ , n.

c) Probar que, en caso de convergencia, la suma de la serie esa1

+ .

205

Solucion

a) Aplicaremos el criterio de Raabe (observamos que, desde un cierto n enadelante,

an+1an

> 0, pues , , son constantes fijas):

lmn(1 an+1

an

)= lmn n+ n

n+ =

,

lo que indica que la serie converge si

> 1.

b) Probaremos por induccion que Sn =an(n+ ) a1

+ , siendo Sn =a1 + a2 + + an.

- Para n = 1,a1(+ ) a1

+ = a1 = S1.

- Si suponemos que Sn1 =an1[(n 1)+ ) a1

+ , debemos com-

probar que Sn =an(n+ ) a1

+ .

Por ser una serie hipergeometrica, se verifica la relacion an[(n 1)+] = an1[(n 1) + ]. Utilizando esta igualdad, tenemos:

Sn = Sn1 + an =an1[(n 1)+ ) a1

+ + an

= Sn = an[(n 1) + ] a1+ + an

=an[(n 1) + + + ] a1

+ =an(n+ ) a1

+ ,

como queramos demostrar.

c) Si la serie es convergente, entoncesn1

an = lmSn = lm nan + an a1

+ .

Ahora bien, recordando que, en una serie convergente, lm an = 0 y

lmnan = 0, dicho lmite quedaa1

+ .

PROBLEMA 14.22

Probar que, si a+ b = c, entoncesn0

an

n!

n0

bn

n!

=n0

cn

n!.

206

Solucion

Por definicion de producto de series, si an =an

n!y bn =

bn

n!, el termino general

de la serie producto es

pn = a0 bn + a1 bn1 + a2 bn2 + + an b0=

bn

n!+ a b

n1

(n 1)! +a2

2! b

n2

(n 2)! + +an

n!

=1n!

[bn + nabn1 +

n(n 1)2!

a2 bn2 + + an]=

1n!(a+ b)n =

cn

n!,

como queramos probar.

Observacion. Si llamamos f(x) =n0

xn

n!, hemos probado que f(a) f(b) =

f(a+b) lo que sugiere llamar a f funcion exponencial (ver captulo siguiente).

PROBLEMA 14.23

Probar que

n0

12n n!

2 =n0

1n!.

Solucion El termino n-esimo del producto es

pn =n

i=0

12i i!

12ni (n i)! =

ni=0

n!2n n!(n i)! i! =

12n n!

ni=0

(n

i

)=

1n!,

debido a que 2n =n

i=0

(n

i

).

B. SERIES DEPENDIENTES DE PARAMETROS.

En este apartado se resolveran distintos problemas relacionados con la con-vergencia de series definidas en funcion de uno o varios parametros. Se tra-tara de determinar los valores que deben tomar dichos parametros para quela serie correspondiente sea convergente (tanto absoluta como condicional)o divergente. El esquema que seguiremos en general es el siguiente:

207

- Aplicar el criterio del cociente o de la raz para obtener los valores de losparametros que den convergencia absoluta.

- Estudiar la convergencia de la serie que resulta al sustituir los valores delos parametros que hacen que el criterio anterior no sea concluyente. Paraello podemos hacer uso de alguno de los criterios ya indicados, tanto en estecaptulo como en el captulo 9.

PROBLEMA 14.24

Estudiar el caracter de la serie 1 5 10 . . . (n2 + 1)

(2n 1)! 1a2n

segun

los diferentes valores de a.

Solucion Si aplicamos el criterio del cociente, tenemos:

lman+1an

= lm1510...(n2+1)[(n+1)2+1]

(2n+1)! 1a2n+21510...(n2+1)

(2n1)! 1a2n

= lm (n+ 1)2 + 1

(2n+ 1) 2n 1a2

=1

4|a|2 .

La serie es absolutamente convergente cuando1

4|a|2 < 1, es decir cuando

|a| > 12y divergente cuando |a| < 1

2.

Cuando a =12, aplicamos el criterio de Raabe y resulta:

lmn(1 an+1

an

)= lmn

(1 (n+ 1)

2 + 1(2n+ 1) 2n 4

)= lmn 6n 8

4n2 + 2n= 6

4< 1,

de modo que la serie es divergente.

Cuando a = 12, la serie coincide con la anterior de modo que tambien es

divergente.

PROBLEMA 14.25

Estudiar el caracter de la serien1

an3n 2 sen

npi

2segun los dife-

rentes valores de a.

208

Solucion

Como sennpi

2=

{0 si n = 2k es par(1)k+1 si n = 2k 1 es impar, si aplicamos el criterio

de la raz, resulta:

lm sup n|an| = lm |a|

n

3n 2= |a|,

de modo que la serie converge absolutamente si |a| < 1 y diverge si |a| >1.

Cuando a = 1, sustituyendo los valores de sennpi/2 antes indicados, tenemosla serie

n1

13n 2 sen

npi

2=k1

13(2k 1) 2 (1)

k+1 =k1

(1)k+16k 5 ,

que es una serie alternada condicionalmente convergente (ver problema 14.7).

Cuando a = 1, resulta la serien1

(1)n3n 2 sen

npi

2=k1

(1)2k16k 5 (1)

k+1 =k1

(1)k6k 5 ,

que es tambien condicionalmente convergente.

PROBLEMA 14.26

Estudiar la convergencia de la serien1

(1)n en

nenasegun los dife-

rentes valores de a.

Solucion

Por el criterio de la raz,

lm n|an| = lm enn ea = e

1a.

La serie es absolutamente convergente cuando e1a < 1, es decir a > 1 ydivergente cuando a < 1.

Cuando a = 1, queda la serie (1)n

nque es condicionalmente convergen-

te.

209

PROBLEMA 14.27

Estudiar el caracter de la serie 1

1 + a2nsegun los diferentes

valores de a.

Solucion

La serie es de terminos positivos, por lo que podemos aplicar el criterio de

comparacion. Como lm1

1+a2n

1(a2)n

= 1, las series 1

(a2)ny 1

1 + a2ntienen

el mismo caracter. Ahora bien, la serie 1

(a2)nes convergente cuando

a2 > 1, es decir |a| > 1, y divergente cuando |a| < 1. De aqu se deduce quela serie dada es tambien convergente cuando |a| > 1 y divergente cuando|a| < 1.Cuando |a| = 1, queda la serie 1/2 que es claramente divergente.

PROBLEMA 14.28

Estudiar el caracter de la serie nan

ensegun los diferentes valores

de a.

Solucion

Por el criterio del cociente:

lman+1an

= lm(n+1)an+1

en+1

nan

en

= lm |a|(n+ 1)en = |a|e .Resulta que la serie es absolutamente convergente cuando |a| < e y diver-gente cuando |a| > e.Cuando a = e, la serie queda

n que es divergente y cuando a = e, la

serie es

(1)nn que tambien es divergente.

PROBLEMA 14.29

Estudiar el caracter de la serie

anna segun los diferentes valores

de a.

210

Solucion

Por el criterio del cociente,

lman+1an

= lm an+1(n+ 1)aan na = |a|.

La serie es absolutamente convergente cuando |a| < 1 y divergente cuando|a| > 1.Cuando a = 1 obtenemos la serie

n que es divergente; cuando a = 1,

la serie es (1)n

nque, como sabemos, es condicionalmente convergente.

PROBLEMA 14.30

Estudiar el caracter de la serie(

a+1n

)nsegun los diferentes

valores de a.

Solucion

Debido al criterio de la raz tenemos:

lm n|an| = lm

a+ 1n = |a|.

La serie es absolutamente convergente cuando |a| < 1 y divergente cuando|a| > 1.

Cuando a = 1, tenemos la serie(

1 +1n

)n. Como lm

(1 +

1n

)n= e 6= 0,

dicha serie es divergente.

Cuando a = 1, la serie es(

1 + 1n

)nque tambien es divergente debido

a que lm(1 + 1

n

)nno existe.

PROBLEMA 14.31

Estudiar el caracter de la serie ann+ 1

2n(n+ 2)segun los diferentes

valores de a.

211

Solucion

Aplicamos tambien en este caso el criterio del cociente. Tenemos as:

lman+1an

= lman+1

n+2

2n+1(n+3)

ann+1

2n(n+2)

= lm |a|(n+ 2)n+ 2

2(n+ 3)n+ 1

=|a|2.

La serie es pues absolutamente convergente cuando |a| < 2 y divergentecuando |a| > 2.

Si a = 2, la serie es n+ 1

n+ 2que es divergente, como se comprueba al

aplicar el criterio de comparacion con 1

n.

Si a = 2, la serie es ahora

(1)nn+ 1n+ 2

: dicha serie es condicionalmente

convergente pues, segun el criterio de Leibnitz, la sucesion de termino ge-

neral an =n+ 1n+ 2

es decreciente y converge a cero pero la serie de valores

absolutos, como ya hemos indicado, es divergente.

PROBLEMA 14.32

Estudiar el caracter de la serie (n2 + 1)an

(n+ 1)!segun los diferentes

valores de a.

Solucion

Por el criterio del cociente,

lman+1an

= lm[(n+1)2+1]an+1

(n+2)!

(n2+1)an

(n+1)!

= lm (n2 + 2n+ 2)|a|

(n+ 2)(n2 + 1)= 0.

La serie es pues absolutamente convergente para cualquier valor del parame-tro a.

PROBLEMA 14.33

Estudiar el caracter de la serie

(a/n)n segun los diferentes va-lores de a.

212

Solucion

Aplicando el criterio de la raz, resulta:

lm n|an| = lm |a/n| = 0.

Esto indica que la serie es siempre absolutamente convergente.

PROBLEMA 14.34

Estudiar el caracter de la serie n2 + 1

nansegun los diferentes va-

lores de a.

Solucion

Si aplicamos el criterio del cociente, tenemos:

lman+1an

= lm

(n+1)2+1(n+1)an+1

n2+1nan

= lm (n2 + 2n+ 2) n

(n+ 1)(n2 + 1) |a| =1|a| .

De aqu se deduce que la serie es absolutamente convergente cuando |a| > 1y divergente cuando |a| < 1. En los casos extremos tenemos:

- Si a = 1, queda la serie n2 + 1

nque es divergente porque el termino

general no tiende a cero.

- Si a = 1, la serie es

(1)nn2 + 1n

que tambien es divergente por lamisma razon que en el caso anterior.

PROBLEMA 14.35

Estudiar el caracter de la serie an

n!segun los diferentes valores

de a.

Solucion

Por el criterio del cociente,

lman+1an

= lm

an+1

(n+1)!an

n!

= lm |a|n+ 1 = 0,por lo que la serie es absolutamente convergente para cualquier a R.

213

PROBLEMA 14.36

Estudiar el caracter de la serie n!

(2 + a)(2 + 2a) . . . (2 + na)segun

los diferentes valores de a.

Solucion

De la definicion se observa que la serie no tiene sentido cuando a = 2/n, n N. Para el resto de valores de a utilizamos el criterio del cociente y obtene-mos:

lman+1an

= lm

(n+1)!(2+a)(2+2a)...[2+(n+1)a]

n!(2+a)(2+2a)...(2+na)

= lm n+ 12 + (n+ 1)a

= 1|a| .Resulta entonces que la serie es absolutamente convergente cuando |a| > 1y divergente cuando |a| < 1.Con respecto a los valores extremos, para a = 1, como hemos indicado, laserie no tiene sentido, y para a = 1 queda la serie n!

3 4 . . . (n+ 2) = 2 n!

(n+ 2)!= 2

(n+ 2)(n+ 1).

Esta serie es convergente como se comprueba al aplicar el criterio de com-

paracion con 1

n2.

PROBLEMA 14.37

Estudiar el caracter de la serie 2n

n2sen2n a segun los diferentes

valores de a.

Solucion

Observamos que se trata de una serie de terminos no negativos por lo queno hay distincion entre convergencia y convergencia absoluta. Si aplicamosel criterio de la raz, resulta:

lm nan = lm

2nn2 sen2 a = 2 sen2 a.

La serie es pues absolutamente convergente cuando sen2 a < 1/2, es de-

cir | sen a| < 2/2. Esto ocurre cuando (4n 1)pi4

< a 0.

Solucion

Tenemos en este caso una serie de terminos no negativos.

Si aplicamos el criterio del cociente, resulta:

lman+1an

= lm(n+1)!

(a+b)(a+2b)...(a+nb)[a+(n+1)b]

n!(a+b)(a+2b)...(a+nb)

= lmn+ 1

a+ (n+ 1)b=

1b.

La serie es pues convergente cuando b > 1 y divergente cuando b < 1.

Cuando b = 1 tenemos la serie n!

(a+ 1)(a+ 2) . . . (a+ n). Para estudiar

su convergencia aplicamos el criterio de Raabe:

lmn(1 an+1

an

)= lmn

(1 n+ 1

a+ n+ 1

)= lm

an

a+ n+ 1= a.

As pues, si a < 1, la serie es divergente y si a > 1, convergente.

Por ultimo, si a = b = 1, tenemos la serie n!

(n+ 1)!= 1

n+ 1que

sabemos es divergente.

PROBLEMA 14.39

Estudiar el caracter de la serie a(a+ 1) . . . (a+ n 1)

n! nbsegun los

diferentes valores de a y b, con a 6= b.

Solucion

Podemos suponer que se trata de una serie de terminos no negativos porque,desde un cierto N en adelante, a + n 1 > 0, n N y el numerador nocambia de signo.

215

Si aplicamos el criterio del cociente, obtenemos:

lman+1an

= lma(a+1)...(a+n1)(a+n)

(n+1)!(n+1)b

a(a+1)...(a+n1)n!nb

= lmn+ an+ 1

(n

n+ 1

)b = 1.Como no podemos decidir la convergencia de la serie con este criterio, apli-camos el criterio de Raabe:

lmn (1 an+1

an

)= lmn (n+ 1)

b+1 (n+ a) nb(n+ 1)b+1

= lmn nb+1 + (b+ 1)nb + nb+1 anb

(n+ 1)b+1= b+ 1 a.

Cuando b + 1 a > 1, o bien b > a, la serie sera convergente, y divergentecuando b < a.

PROBLEMA 14.40

Estudiar el caracter de la serie a(a+ 1) . . . (a+ n 1)

b(b+ 1) . . . (b+ n 1) segun losdiferentes valores de a y b.

Solucion

En primer lugar observamos que debe ser b 6= 0,1,2, . . . para que eldenominador no se anule.

Si aplicamos el criterio del cociente, tenemos:

lman+1an

= lma(a+1)...(a+n1)(a+n)b(b+1)...(b+n1)(b+n)

a(a+1)...(a+n1)b(b+1)...(b+n1)

= lma+ nb+ n

= 1,por lo que este criterio no es concluyente.

Aplicamos pues el criterio de Raabe:

lmn(1

an+1an) = lmn b+ n (a+ n)b+ n = b a.

Se deduce que la serie es absolutamente convergente cuando b > a + 1 ydivergente cuando b < a+ 1.

Cuando b = a+ 1, queda la serie a

a+ nque es divergente.

216

PROBLEMA 14.41

Estudiar el caracter de la serie an

nbsegun los diferentes valores

de a y b.

Solucion

Aplicando el criterio del cociente, tenemos:

lman+1an

= lm

an+1

(n+1)b

an

nb

= lma

(n

n+ 1

)b = |a|.La serie sera pues absolutamente convergente cuando |a| < 1 y divergentecuando |a| > 1.

Si a = 1, queda la serie 1

nb(serie de Riemann), que sabemos es conver-

gente cuando b > 1 y divergente cuando b 1.

En el caso a = 1, la serie es de la forma (1)n

nb; dicha serie es absoluta-

mente convergente cuando b > 1 (por ser convergente la serie de sus valoresabsolutos), es condicionalmente convergente cuando 0 < b 1 (pues, segunel criterio de Leibnitz, el termino general en valor absoluto forma una suce-sion decreciente y convergente a cero), y es divergente cuando b 0 porqueel termino general no tiende a cero.

PROBLEMA 14.42

Probar que la sucesion {an} de termino general

an = (1 1/4)(1 1/9) . . . (1 1/n2)

es convergente y que su lmite es estrictamente positivo.

Solucion

Si llamamos bn al logaritmo del termino general, obtenemos:

bn = ln an = ln(1 1

4

)+ ln

(1 1

9

)+ + ln

(1 1

n2

).

Esto quiere decir que bn es el termino general de la sucesion de sumas par-

ciales de ln(1 1

n2

), con lo que lm bn =

n=2

ln(1 1

n2

).

217

Debido a la igualdad

ln(1 1

n2

)= ln(n2 1) lnn2 = ln(n 1) 2 lnn+ ln(n+ 1),

tenemos:

bn = ln 1 2 ln 2 + ln 3+ ln 2 2 ln 3 + ln 4

+ ln 3 2 ln 4 + ln 5. . .

+ ln(n 1) 2 lnn+ ln(n+ 1)= ln 2 lnn+ ln(n+ 1) = ln 2 + ln n+ 1

n.

Esto implica que lm bn = ln 2 = ln 1/2 y, como bn = ln an, resulta endefinitiva que lm an = 1/2.

218

C. EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Contestar razonadamente si cada uno de los siguientes enuncia-dos es verdadero o falso:

a) Si A es la suma de la serien1

an, entonces la sucesion

(an)nN converge a A.

Resp.: Falso si A 6= 0 pues an 0.

b) Si A es la suma de la serien1

an, entonces la serien1

|an|converge a |A|.

Resp.: Falso (ejemplo an =(1)nn

).

c) Si lmn

an+1an

= 2, entonces n1

an converge.

Resp.: Falso (ejemplo an = (2)n).

d) Si lmn

an+1an

< 1, entoncesn1

an converge.

Resp.: Falso (mismo ejemplo anterior).

e) Sin1

an converge, entonces la sucesion (an+1/an)nN tiene

lmite.

Resp.: Falso (ejemplo a2n =12n

, a2n+1 =12n

).

f) Sin1

an converge, entonces lmn a

2n = 0.

Resp.: Verdadero por el criterio del resto.

g) Sin1

an converge, entoncesn1

a2n converge.

Resp.: Falso (ejemplo an =(1)n

n).

219

h) Sin1

an converge, entonces(

n1an

)2converge.

Resp.: Falso (mismo ejemplo anterior).

i) Sin1

an converge absolutamente, tambien lo hacen1

a2n1 + a2n

.

Resp.: Verdadero puesa2n

1 + a2n< a2n < |an|, desde un cierto n (re-

cordemos que an 0).

j) Si {xn} es una sucesion positiva, la serie xn

1 + n2xnes con-

vergente.

Resp.: Verdadero (aplicar el criterio de comparacion con

1/n2).

k) Sin1

an yn1

bn son divergentes, entoncesn1

anbn es diver-

gente.

Resp.: Falso (ejemplo an = 1/n y bn = 1/n).

l) Si lmn an = 0 y el signo de an es alternativamente positivo y

negativo, entoncesn1

an converge.

Resp.: Falso (ejemplo an = (1)n 2 + (1)n

n).

m) Si an < 1/n para todo n, entoncesn1

an diverge.

Resp.: Falso (ejemplo an = 1/n2).

n) Si an < 1/n2 para todo n, entoncesn1

an converge.

Resp.: Falso (ejemplo an = 1/n).

2. Probar que, si la serie

an es absolutamente convergente, tam-

bien lo es la serie n+ 1

nan.

Sugerencia: Aplicar el criterio de comparacion.

220

3. Estudiar el caracter de la serien=1

(1)n+1 1n+ 1

(1 +

12+ + 1

2n

).

Resp.: Convergente (aplicar el criterio de Leibnitz).

4. Estudiar la convergencia de la serien=1

(1)n (n14 + 5) ln(n2 + 2)en(n4 + 2)

.

Resp.: Absolutamente convergente (aplicar el criterio del cociente).

5. Estudiar el caracter de la serie

(1)n lnn2n

.

Resp.: Absolutamente convergente (criterio del cociente).

6. Estudiar el caracter de la serie

(1)nn

n 1 .

Resp.: Condicionalmente convergente (criterios de Leibnitz y compa-racion con

1/n).

7. Estudiar el caracter de la serie

(1)n 1n+ (1)n .

Resp.: Condicionalmente convergente (criterios de Leibnitz y de com-paracion con

1/n).

8. Estudiar el caracter de la serie

(1)n(n 3

n3 n

).

Resp.: Converge condicionalmente (usar el criterio de Leibnitz y el decomparacion con

1/n).

9. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serien1

sen(pin2

2

). Resp.: Divergente (se trata de la serie 1+0+1+0+. . . ).

10. Estudiar el caracter de la serien1

n an

(n+ 1) 2nsegun los distintos

valores de a R.Resp.: Absolutamente convergente si |a| < 2; condicionalmente con-vergente si a = 2; divergente si a = 2 o |a| > 2.

221

11. Estudiar el caracter de la serie (a 1)n

n(n+ 1)segun los valores de

a R.Resp.: Absolutamente convergente cuando a [0, 2]; diverge en elresto.

12. Estudiar el caracter de la serie an

nn+ 1 + (n+ 1)

n.

Resp.: Absolutamente convergente cuando a [1, 1]; diverge en elresto.

13. Estudiar el caracter de la serie (a 5)n

(2n+ 1) 5n segun los valoresde a R.Resp.: Converge absolutamente cuando a (0, 10); converge condicio-nalmente cuando a = 0; diverge en el resto.

14. Estudiar el caracter de la serie(a(a+ n)

n

)n, con a R.

Resp.: Converge absolutamente cuando a (1, 1); diverge en el resto.

15. Estudiar el caracter de la serie

n3an segun los diferentes va-

lores de a. Resp.: Absolutamente convergente cuando |a| < 1; diver-gente en el resto.

16. Calcular la suma de la serien=1

(1)n n5n

.

Resp.: S = 5/36.

17. Calcular la suma de la serien1

(1)n+1n2

5n.

Resp.: S = 5/54.

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