CAPÍTULO 2 ANÁLISIS MULTIESCALA -...

CARACTERIZACIÓN DE MODELO MESOESCALA EN HORMIGÓN DE ALTAS PRESTACIONES

JORGE MARÍN MONTÍN Página 13 CAPÍTULO 2: ANÁLISIS MULTIESCALA

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS MULTIESCALA

El segundo capítulo describe las posibles escalas de observación en hormigón, presenta

cuáles son los principales modelos numéricos disponibles y compara los modelos

discretos con los continuos. Finalmente, aparecen los principales esquemas de

implantación multiescala que permiten el trasvase de información entre las diferentes

escalas.

2.1 ESCALAS DE OBSERVACION EN HORMIGÓN

Tradicionalmente, el hormigón ha sido tratado para su estudio y análisis como un

material homogéneo. Para el diseño y cálculo de estructuras de hormigón el nivel de

análisis ha sido el macroscópico, considerándose el material continuo y homogéneo.

En el caso del hormigón armado se consideran dos fases: el hormigón y la armadura.

Sin embargo, para el desarrollo de hormigones más resistentes y con mejores

propiedades, ha sido fundamental el estudio de la microestructura del material:

análisis de la estructura interna de la pasta de cemento, análisis de los procesos

químicos que tienen lugar durante la hidratación de los compuestos, durante el

fraguado, o durante la acción de algún agente agresivo como los sulfatos. Existe una

importante relación entre la microestructura y las propiedades del hormigón. Por

ejemplo, los principales parámetros que afectan al módulo de elasticidad del hormigón

son: grado de saturación y condiciones de carga; módulo de elasticidad del mortero;

porosidad y composición de la zona interfacial de transición; módulos elásticos de los

agregados; fracción de volumen de los agregados, entre otros.

El hormigón es por tanto un material multiescala, pudiéndose analizar a distintos

niveles de observación: Nanoscópico, Microscópico, Mesoscópico y Macroscópico. Se

cubre el rango desde nanómetros hasta metros, implicando para su estudio a diversas

disciplinas que incluyen la Química, Ciencia de Materiales y la Ingeniería Estructural.



Nivel Macroscópico (metro): Se considera

el hormigón como un material continuo y

homogéneo. Como se ha apuntado

anteriormente, en el caso del hormigón

armado se tiene en cuenta la distribución

de las armaduras.

- Nivel Mesoscópico (milímetro): El nivel

Mesoscópico es varios órdenes de magnitud

mayor que el usado en el análisis de la pasta

de cemento, pero varios órdenes de

magnitud menor que el usado en el diseño

de estructuras. En esta escala, el hormigón

se considera como un material

heterogéneo, compuesto por una matriz

(mortero) y unas inclusiones (áridos) de

hasta 30 mm.

- Nivel Microscópico (micrómetros): El

mortero es, a su vez, un material

heterogéneo compuesto por pasta de

cemento, arena y agua. En este nivel de

observación, se analizan características

como la ligazón entre árido y mortero, la

relación volumétrica entre árido y mortero,

los macroporos o la distribución de la

humedad. En esta escala, en la pasta de

cemento se pueden encontrar partículas sin

hidratar, hidratadas o en proceso de

hidratación, poros, agua capilar, etc. El

proceso de hidratación tiene un fuerte

efecto en las propiedades mecánicas del

material.

- Nivel Nanoscópico (nanómetros): la

aparición de la nanotecnología aplicada al

hormigón aporta resultados importantes,

que contribuyen a mejorar las propiedades

del material. La nanoestructura del

cemento (gel C-S-H) es compleja, y es

actualmente objeto de estudio.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 2.1: Estructura del hormigón tras sucesivos aumentos:

(a) 7x7 cm2, (b) 15x15 mm2, (c) 1x0.8 mm2, (d) 0.05x0.04 mm2,

(Imágenes tomadas de Tijssens et al. [61])



Los niveles anteriormente expuestos están interrelacionados: los resultados obtenidos

del análisis a una determinada escala sirven para explicar las propiedades del material

en un nivel de observación superior. Esto es lo que se denomina análisis multiescala,

en el cual los resultados de un modelo a nivel microescala sirven de entrada a un

modelo mesoescala, y éste a su vez a uno macro-estructural.

No obstante, es muy complejo el enlace teórico entre estas escalas para obtener las

propiedades del hormigón. Los avances en la capacidad de los ordenadores en los

últimos años han permitido el desarrollo de nuevas técnicas y de modelos numéricos,

que están dando buenos resultados en el enlace entre las diferentes escalas.



2.2 MODELOS NUMÉRICOS DISPONIBLES EN CADA ESCALA

Para interrelacionar la información obtenida a diferentes escalas de observación del

hormigón se utilizan modelos numéricos, que se corresponden con los disponibles en

las diferentes disciplinas: Química, Ciencia de los Materiales e Ingeniería Estructural.

Los modelos de la Química abarcan fundamentalmente la escala nanoscópica. Las

principales técnicas empleadas en este nivel son la dinámica molecular y los métodos

Ab initio. La Dinámica Molecular es una técnica de simulación en la que se permite

que átomos y moléculas interactúen por un período, permitiendo una visualización del

movimiento de las partículas. Los métodos Ab initio son propios de la Química

Computacional: utiliza los resultados de la química teórica, incorporados en algún

programa para calcular las estructuras y las propiedades de moléculas y cuerpos

sólidos. Estos programas están basados en diferentes métodos de la química cuántica.

A través de la Ciencia de los Materiales se estudian modelos que comprenden desde el

nivel microscópico al mesoscópico. Entre la gran cantidad de modelos disponible en la

Ciencia de los Materiales, los principales son los modelos de redes y partículas, el

método de elementos discretos y el método de elementos finitos. Los modelos de

redes y partículas son modelos computacionales que estudian las interacciones de las

partículas dentro de una malla tridimensional uniforme sobreimpuesta a ellas. El

método de elementos discretos simula el comportamiento mecánico de un medio

formado por un conjunto de partículas, las cuales interactúan entre sí a través de sus

puntos de contacto. Por su parte, el método de elementos finitos es un método de

aproximación de problemas continuos de forma que el dominio se divide en un

número finito de partes (elementos) cuyo comportamiento se especifica mediante un

número finito de parámetros asociados a ciertos puntos característicos (nodos). El

comportamiento en el interior de cada elemento queda definido a partir del

comportamiento de los nodos mediante las adecuadas funciones de interpolación o

funciones de forma.

En Ingeniería Estructural, considerando las estructuras a nivel macroscópico, se

emplean multitud de técnicas, ampliamente extendidas, a través de las cuales se han

obtenido resultados satisfactorios, como el método de elementos finitos. Además,

existen otros métodos como el método de elementos finitos extendidos, que

complementa las deficiencias del éste para modelizar la propagación de

discontinuidades: grietas e interfases. Una de las primeras aplicaciones fue el

modelado de la fractura. En esta formulación, se añaden funciones discontinuas para

los nodos pertenecientes a elementos que son atravesados por una grieta. Otro

procedimiento empleado es el método de elementos de contorno. En este caso, se

utilizan las condiciones de contorno dadas para resolver una ecuación integral en el



contorno, en lugar de tomarse valores medios en todo el espacio definido por una

ecuación diferencial parcial. La principal ventaja frente al método de elementos finitos

es la sencillez a la hora de efectuar la discretización, ya que únicamente el contorno

tiene que ser discretizado.

2.2.1 MODELOS EN NANOESCALA

Las simulaciones en el nivel nanoscópico emplean modelos atómicos para analizar la

estructura del cemento. Las capacidades de los ordenadores actuales limitan este tipo

de modelos a pequeños tamaños (típicamente < 10 nm).

El empleo de simulaciones a nivel atómico para describir el hormigón y el cemento es

campo muy reciente. Los principales métodos que se emplean para la descripción del

material son las simulaciones Ab initio, Monte Carlo o Dinámica Molecular.

Se han llevado a cabo investigaciones que estudian la estructura cristalina de fases del

hormigón, como son: C3S, C3A, Porlandita, etc. Las simulaciones han sido capaces de

reproducir los parámetros de celdas unitarias de la estructura cristalina, con

desviaciones menores al 5% con respecto a los valores experimentales.

Figura 2.3: Modelo molecular en el cual se representa la estructura de Alumminato

Tricálcico. [Manzano]

Figura 2.2: Estructura molecular detallada de C-S-H. Se

muestran las posiciones y los enlaces de las partículas de

Calcio, grupos Silicatos y agua. [R.J.M. Pellenq]



Sin embargo, la descripción del gel de cemento C-S-H es mucho más complejo desde el

punto de vista de un modelo numérico.

Estudios a nivel atómico han analizado también la respuesta elástica de las fases

cristalinas de los materiales de base cemento. Los valores obtenidos de las

propiedades elásticas de las fases del clinker se aproximan a los obtenidos

experimentalmente (por medio de técnicas de nanoindentación y medidas de

frecuencias de resonancia).

2.2.2 MODELOS A NIVEL SUB-MICROSCÓPICO

Los modelos multiescala actuales emplean este nivel

intermedio para disminuir la distancia existente entre el

nivel microscópico y el nanoscópico. A este respecto, el

mayor interés se ha centrado en obtener las propiedades

del gel de cemento C-S-H.

2.2.3 MODELOS A NIVEL MICROSCÓPICO

En el nivel microscópico los modelos más avanzados son aquellos que combinan los

procesos de hidratación en el hormigón, junto con el desarrollo de la microestructura.

Estos modelos consiguen crear la microestructura y la estructura de poros capilares, en

función de la composición inicial de la mezcla, la relación agua/cemento, la

temperatura y las propiedades químicas del cemento y otros aditivos.

Conocer, a través de un modelo numérico, la microestructura virtual del material es la

base para poder describir las propiedades mecánicas o de transporte en el material.

Las propiedades del material durante el proceso de fraguado están relacionadas con

procesos físicos y químicos, que ocurren simultáneamente durante el proceso. A

continuación se citan los modelos más importantes que simulan este proceso a nivel

microscópico: CEMHYD3D [5], DUCOM [29], HYMOSTRUC [63], modelo de Navi [52], el

modelo propuesto por Nothnagel [54], Wang [64], entre otros. Las principales

diferencias entre los modelos citados están en el tipo de microestructura que generan.

Pero todos ellos tienen en común que permiten simular la evolución en el grado de

Figura 2.4: Estructura de C-S-H. [V. Morales-Florez]



hidratación durante el proceso de curado del material. Las principales variables que

intervienen en estos modelos son: la forma de las partículas, la distribución en tamaño

de éstas; la distribución de los microporos, etc.

En este nivel, se observa una fuerte correlación entre las propiedades mecánicas

(resistencia a compresión) y el grado de hidratación, junto con la relación

agua/cemento en el material. Pichler [55] en su modelo micromecánico trataba de

predecir la resistencia de la pasta de cemento. Qian [56] estudió el proceso de fractura

para un microestructura virtual sujeta a cargas de tracción. Con este objetivo,

representó la microestructura mediante un modelo de redes, en el cual se

representaban las fases presentes en la microestructura. Los modelos de redes han

sido utilizados con éxito en investigaciones sobre la fractura del hormigón (a nivel

mesoescala). En la figura [2.6] se muestra un ejemplo de microestructura a tracción, y

el patrón de fisuración resultante. Cada uno de los elementos del modelo de red

representa una fase específica de la microestructura. Es fundamental conocer las

propiedades que se le asignan a cada una de las fases individuales. Con este fin, se

emplean técnicas de nano-indentación.

Figura 2.5: ejemplo de microestructura (izquierada) y estructura de poros

(centro) generada mediante modelo microscópico [63].

Figura 2.6: ejemplo de microestructura tridimensional, cargada a tracción, para la

investigación de propagación de las grietas en una muestra de 100x100x100 µm3 de

pasta de cemento. Microestructura creada mediante modelo de redes. [56].



La aparición de grietas en el cemento se debe bien a las cargas externas, o bien a los

cambios de volumen en la matriz del material. Con el objetivo de estudiar los cambios

de volumen que se producen en el material, han sido varios los modelos propuestos.

2.2.4 MODELOS MESOESCALA

En esta escala de observación, los modelos analizan factores como: el efecto de la

presencia de los áridos en las propiedades del material, la manejabilidad de la mezcla

fresca del hormigón o las propiedades mecánicas del hormigón endurecido.

Las propiedades del mortero y del hormigón varían de un punto a otro del material.

Cerca de las superficies de los áridos, en la denominada zona de transición interfase

(en inglés, ITZ), la microestructura del material es diferente que en el interior de la

matriz del mortero.

Por otra parte, los modelos numéricos que analizan la mezcla fresca del hormigón se

dividen en tres grupos: los que analizan únicamente el fluido, los que modelan de

manera discreta el flujo de partículas, y los que estudian las partículas suspendidas en

el fluido.

En cuanto a las propiedades mecánicas del hormigón endurecido, éstas vienen

determinadas por la estructura de los áridos, las propiedades del mortero y las de la

ITZ. Además de la influencia en las propiedades mecánicas, la ITZ también afecta a las

propiedades de transporte del hormigón. Por este motivo, es razonable modelar el

hormigón, a nivel mesoescala, como un material compuesto por tres fases. Li[41]

utilizó un modelo de tres fases para predecir el modulo elástico del hormigón,

centrándose particularmente en estudiar el efecto del modulo elástico de los áridos y

de la relación agua/cemento en el cemento. Barbosa [1] determinó el módulo de

elasticidad de la ITZ mediante el modelado micromecánico. Ke [34] estudió la

evolución del modulo de Young tanto experimental como numéricamente.

Figura 2.7: modelo mesoescala en el que se representa el comportamiento tracción.

Se aprecian los patrones de fisuración. [35].



Figura 2.8: modelo mesoescala en el que se representa el comportamiento a

compresión, con diferentes condiciones de contorno. [15].



2.2.5 MODELOS MACROSCÓPICOS

A nivel macroscópico, fundamentalmente se emplean modelos relacionados con el

proceso de hidratación del hormigón, y con la predicción de las condiciones en servicio

de la estructura.

Al aumentar la capacidad de los ordenadores, ha aumentado el interés en los modelos

numéricos del hormigón. Éstos demuestran la complejidad del hormigón la cual

aumenta a medida que disminuye la escala de observación hacia la escala nanoscópica,

molecular o atómica. Esto supone la necesidad de interrelacionar varias disciplinas

para llevar a cabo estos modelos.

El modelado multiescala se considera como el método más efectivo para transferir el

conocimiento de una escala a otra, abarcando diferentes disciplinas.

Nivel de elemento:

Resistencia del elemento

Degradación y durabilidad

Coste de posibles reparaciones

Nivel del material:

Plasticidad

Tensiones

Deformaciones

Grietas

Figura 2.9: Esquema de modelo estructural macroscópico



Figura 2.10: Modelo de pila en forma de T, a la derecha, y modelo

deformado en el que se muestra el patrón de fisuración. [7].



2.3 MODELOS NUMÉRICOS DEL HORMIGÓN EN EL NIVEL MESOSCÓPICO: MODELOS

DISCRETOS VS. CONTINUOS

Los modelos mesostructurales han cobrado especial importancia en los últimos años,

sin embargo, existen modelos anteriores, continuos o de redes, que representan las

heterogeneidades del hormigón. El primer modelo, denominado “betón numérique”,

fue desarrollado por Wittman et al. [57] y se trataba de un modelo continuo. En los

siguientes años siguieron apareciendo nuevos modelos, entre los que pueden

destacarse los siguientes: Stankowsky, 1990; Bažant et. al., 1990 [2]; Schlangen y van

Mier, 1992 [59]; Vonk, 1992; de Schutter y Taerwe, 1993; Wang y Huet, 1993.

La mayoría de los modelos propuestos se centraban en el estudio de los patrones de

fisuración y la obtención de curvas tensión-deformación a partir de probetas bajo

cargas mecánicas. Sólo alguno modelos eran aplicables para el análisis de procesos

acoplados de degradación, como los gradientes hídricos (Sadouki y Wittmann, 2001;

Schlangen et al., 2007), problemas termomecánicos (Willam et al., 2005) o ataques de

agentes químicos. Guidoum (1993) estudió la respuesta viscoelástica del hormigón con

un modelo tridimensional, con áridos elipsoidales sujetos a tensiones uniformes

debido a la contracción de la matriz; los resultados que obtuvo fueron poco exactos.

Tsubaki et al. (1992), en su modelo mesoescala introducían un patrón de fisuración

distribuida. Obtuvieron patrones de fisuración realistas alrededor de los áridos, de

acuerdo con los resultados experimentales.

Como ya se ha apuntado anteriormente, actualmente existe un gran número de

modelos mesomecánicos que se ocupan de la generación de la geometría y de

distintos algoritmos de mallado. Todos ellos se pueden englobar en dos tipos de

modelos: los discretos y los continuos.

2.3.1 MODELOS DISCRETOS

Los modelos discretos se pueden clasificar en dos grupos principales: los modelos de

redes y los modelos de partículas.

2.3.1.1 MODELO DE REDES

Los modelos de redes (lattice models) se caracterizan por una red de elementos tipo

barra, habitualmente con forma triangular (Schlangen y van Mier, 1992 [59]; Bolander

et al., 1998; Lilliu y van Mier, 2003; van Mier y van Vliet, 2003; Grassl et al., 2006),



aunque también se encuentran esquemas rectangulares (Arslan et al., 2002; Ince et al,

2003; Leite et al., 2004), que representan el medio continuo de manera simplificada.

Los elementos barra son capaces de transmitir momentos, axiles y cortante. Para

obtener la malla de elementos finitos, la geometría del problema a resolver se

superpone sobre la red, de forma que a cada elemento barra se le asignan

propiedades según corresponda a mortero o árido. En estos modelos es posible

introducir cualquier forma de árido. Sin embargo, los elementos más utilizado han sido

los circulares, en modelos 2D, o esféricos, en 3D, por lo que no se tiene en cuenta el

efecto de posibles bordes con ángulos en los áridos (Schlangen, 1993; Bolander, 1998;

van Mier et al., 2002; Leite et al., 2004).

Las curvas tensión-deformación obtenidas muestran escalones, debido a la eliminación

de las barras cuando se supera su resistencia. En este sentido, en los últimos años se

han producido avances al respecto (Ince et al. 2003). Otro factor importante es que en

el proceso de eliminación de barras no se suele tener en cuenta la posibilidad del

cierre de la grieta, y no garantiza la energía de fractura consumida. La longitud de las

Figura 2.11: Discretización del medio continuo para un modelo de

red. [51]

Figura 2.12: Distintos tipos de redes. Esfuerzos y deformaciones para elemento

individual, y relación tensión-deformación para un elemento de la red. [58]



barras debe ser pequeña, del orden de tres veces el tamaño del árido más pequeño

representado en la malla.

2.3.1.2 MODELOS DE PARTICULAS

Este tipo de modelos fue aplicado por primera vez al hormigón por Bazant y sus

colaboradores (Zubelewicdz y Bazant, 1987; Bazant et al., 1990 [2]), basándose en el

método de los elementos discretos (DEM), propuesto anteriormente para el estudio de

geomateriales granulares (Cundall y Strack, 1979). Al igual que en los modelos tipo red,

en los modelos de partículas resulta una estructura en red de barras. Cada nodo de la

red corresponde con el centro de un árido, y cada barra representa el comportamiento

del contacto entre las partículas. Se trata de una distribución aleatoria de partículas

rígidas, que se corresponden con los áridos, conectadas con elementos deformables,

según leyes constitutivas formuladas en términos de fuerza-desplazamiento, con

comportamiento frágil o con reblandecimiento (Bazant et al., 1990 [2]; Jirárek y

Bazant, 1995; Cusatis, 2001; Cusatis et al., 2006).

Otros autores emplean métodos similares en los que las partículas no necesariamente

se corresponden con áridos, sino con subdominios generados aleatoriamente en la

estructura, usando por ejemplo la teoría de Voronoï/Delaunay. Este es el caso de los

modelos rigid-body spring models (RBSM), (Kawai, 1978; Bolander y Berton, 2004;

Berton y Bolander, 2006; Nagai et al., 2004), donde elementos tipo resorte sin

dimensiones, se colocan en los segmentos rígidos que conectan los elementos.

Figura 2.13: Modelo de partículas de Cusatis, Bazant y Cedolin [13]. Idealización de la

mesoestructura (izquierda), distribución de áridos (centro) y su correspondiente

mallado (derecha).



La principal ventaja de este tipo de modelos es que reducen el coste computacional

con respecto a los modelos continuos.

Por el contrario, los modelos de partículas presentan algunas desventajas. Una de ellas

es que se pierde parcialmente la ventaja de los modelos mesoescala con respecto al

Figura 2.14: Esquema de

definición del modelo Rigid-body-

spring network (RBSN). [7].

Figura 2.15: Distintas imágenes de generación del modelo de partículas de

Cusatis et al. [14].



análisis macroscópico continuo: que es, considerando una geometría compleja, tener

un modelo con leyes constitutivas simples. Otra desventaja de los modelos de

partículas son los patrones de fisuración obtenidos, a veces poco realistas (Berton y

Bolander, 2006). En los problemas de tracción este hecho no parece influir sobre las

curvas carga-desplazamiento obtenidas. Sin embargo, en los problemas de

compresión, tiene efecto sobre la respuesta global, dando lugar a curvas crecientes de

carga-desplazamiento. Esta deficiencia ha sido reconocida por los autores de los

modelos originales del DEM, quienes han propuesto nuevas actualizaciones en las

cuales se incluyen los mecanismos de fallo por cortante.

2.3.2 MODELOS CONTINUOS

La mayoría de los modelos mesoescala iniciales pertenecían a este grupo (Roelfstra et

al., 1985 [57]; Stankowsky, 1990; Vonk, 1992; de Schutter y Taerwe, 1993; Wang y

Huet, 1993, 1997; López, 1999; Caballero, 2005). En los últimos años, un número

considerable de grupos de investigación han desarrollado modelos mesoescala para el

estudio del hormigón (Wang et al., 1999; Tijssens et al., 2001; Wriggers y Moftah,

2006; Häfner et al., 2006; Comby, 2006; Pautatsanananon et al., 2008), del mortero y

la pasta de cemento (Bernard et al., 2008), y otros compuestos con inclusiones

elipsoidales (Zohdi y Wriggers, 2001; Romanova et al., 2005).

Una de las principales ventajas de los modelos continuos es que representan los

materiales compuestos de un modo más realista, considerando campos continuos en

las variables fuera de la zona de fractura. Muchas de las críticas hacia este tipo de

modelos argumentan que el coste computacional es demasiado alto como para ser

utilizado en simulaciones de elementos de gran escala (Cusatis et al., 2006). Estas

comparaciones con los modelos discretos se realizan en base a considerar el mismo

número y distribución de las partículas discretizadas. Sin embargo, en el caso de los

modelos basados en los diagramas de Voronoï/Delaunay, sólo los áridos de mayor

tamaño son considerados. Se ha demostrado que resulta suficiente para caracterizar el

comportamiento mecánico en diversas condiciones de carga, tanto en modelos 2D

como 3D.

Las principales diferencias entre los distintos tipos de modelos continuos se

encuentran en el método empleado para crear la geometría, el modo de representar el

agrietamiento, y las técnicas de mallado para la geometría. Con respecto a las técnicas

de mallado, algunos autores emplean técnicas en las que las fronteras de los

elementos finitos coinciden con las interfases de los materiales, y no hay por tanto

discontinuidades de material en el interior de los elementos (Caballero et al., 2006;

Wang et al., 1999; Wriggers y Moftah, 2006). En otros casos, se permite que las



interfases entre dos materiales se posicione en el interior del elemento finito (Zohdi y

Wriggers, 2001).

Figura 2.16: modelo continuo F. Bernard et al. [6]: Corte 2D de la

mesoestructura con sus componentes (izquierda); patrones de

fisuración bajo cargas de compresión (centro) y tracción (derecha).

Figura 2.17: modelo continuo Yong Lu y Z. Tu [69]. Componentes de la

mesoestructura (izquierda). Detalle de la malla de elementos finitos

(centro). Patrón de fisuración bajo tracción (derecha).

Figura 2.18: modelo continuo V.P. Nguyen et al. [53]. Componentes de

la mesoestructura (izquierda). Detalle de la malla de elementos finitos

(centro). Detalle de la malla en la cual se aprecia los poros en la

mesoestructura (derecha).



Figura 2.19: modelo continuo S. Eckardt et al. [19]. Componentes de la

mesoestructura (izquierda). Detalle de la fisuración bajo compresión

uniaxial (centro) y tracción uniaxial (derecha).

Figura 2.20: modelo continuo Caballero et al. [10]. Malla de

elementos finitos de la mesoestructura (izquierda). Malla de

elementos finitos para los áridos y para la matriz de mortero (centro).

Patrón de fisuración bajo tracción uniaxial (derecha).

Figura 2.21: modelo continuo Wriggers y Moftah [68]. Componentes

de la mesoestructura (izquierda). Malla de elementos finitos

(derecha).



2.4 ESQUEMAS DE ANÁLISIS MULTIESCALA

Los métodos multiescala han contribuido considerablemente al proceso de enlace

entre el campo de la mecánica de los materiales y el campo de la ciencia de materiales.

Esto se debe fundamentalmente a los buenos resultados obtenidos al combinar

aproximaciones micromecánicas y matemáticas. Varias teorías micromecánicas y

modelos numéricos asociados han sido propuestos e implementados, para lo cual ha

sido necesario la interacción con la ciencia de los materiales. El conocimiento avanzado

de fases aisladas y de complejas interfases en los materiales es usado en las técnicas

multiescala, donde se busca predecir el comportamiento global multifase del material.

De este modo pueden considerarse grandes deformaciones, transformaciones de fase,

etc.

Los métodos multiescala son esquemas que permiten enlazar modelos de diferentes

escalas. El punto de partida es un modelo macroscópico incompleto, para el cual se

usa como complemento un modelo microscópico. Se identifican dos componentes

principales: el proceso de resolución en la macroescala y el procedimiento para

estimar datos numéricos que faltan, a través del modelo en la microescala. La clave del

procedimiento consiste en tomar las restricciones necesarias para el problema

microescala, de manera que se resuelva en condiciones similares en la que se

encuentra dentro del sistema macroescala.

Mediante el acoplamiento de los modelos macroscópicos y microscópicos se pretende

mantener la simplicidad y eficiencia de los modelos macroscópicos, a la vez que la

precisión de los modelos microscópicos. El objetivo fundamental del modelado

multiescala es diseñar métodos computacionales que combinan los métodos macro y

microscópicos, y que sea mucho más eficiente que resolver por completo el modelo

microscópico y, al mismo tiempo, proporcionen la información con la precisión

deseada.

Siguiendo la clasificación propuesta por Weinan et. all [66], los problemas multiescala

se pueden dividir en varias categorías:

Tipo a: son problemas que contienen defectos aislados, o singularidades como

grietas, dislocaciones, impactos, etc. Para este tipo de problemas, el modelo

microscópico sólo es necesario cerca de los defectos o singularidades. Alejados

de éstos, es adecuado emplear un modelo macroscópico. Este tipo de

problemas son adecuado siempre que el modelo microscópico se limite a una

pequeña parte del dominio completo.



Tipo b: aquellos para los cuales el modelo macroscópico está cerrado para un

conjunto de variables macroscópicas, pero el modelo no es suficientemente

explícito como para poder ser resuelto de manera eficiente directamente. A

través del modelado multiescala se pretende llevar a cabo simulaciones sin

hacer uso de relaciones constitutivas. En su lugar, se obtiene dicha información

de los modelos microescala.

Tipo c: combinan las características de los tipos a y b anteriores.

Tipo d: son aquellos problemas que presentan autosemejanza en las escalas.

Los principales esquemas multiescala son el anidado, la homogenización y el

embebido.

En la técnica de anidado se lleva a cabo una resolución acoplada entre las escalas

inferior y superior hasta alcanzar la convergencia.

En el caso de un modelo de elementos finitos, por ejemplo, en cada punto de

integración del problema macroscópico es asignado un elemento de volumen

representativo (RVE). Dicho RVE contiene las propiedades características y

heterogeneidades de la microestructura. Partiendo del problema macroscópico se

obtiene el gradiente de deformaciones; a cada RVE le es aplicado el gradiente de

deformaciones correspondiente y se resuelve el problema. Se obtiene el operador

tangencial en escala microscópica y se devuelve al problema macroscópico para su

posterior comprobación.

Este esquema presenta como principal inconveniente que requiere una gran capacidad

computacional. El problema micro, por su parte, puede ser paralelizado.



Las técnicas de homogenización son una buena herramienta para predecir las

propiedades elásticas lineales efectivas de materiales heterogéneos llevando a cabo

una resolución secuencial del problema en la escala superior a partir de resultados

homogeneizados de la escala inferior.

Figura 2.23: Esquema de homogenización (Fuente: V.G. Kouznetsova)

Figura 2.22: Esquema anidado (Adaptación Fuente: Geers)



El esquema de homogenización resuelve secuencialmente los problemas desde la

escala inferior hasta la superior. De esta manera, se resuelve el problema heterogéneo

de la escala microscópica, obteniéndose las propiedades del material. A continuación,

los resultados homogeneizados obtenidos en este problema son utilizados en el

siguiente problema para las fases correspondientes. Resolviendo este nuevo problema

homogéneo se obtienen las propiedades del material.

El proceso se repite hasta llegar al nivel de la estructura, en el cual se considera que es

un medio homogéneo.

Al ser un método secuencial, es requerido un menor coste computacional, siendo ésta

una de las principales ventajas de este método.

El esquema embebido aplica una resolución simultánea del problema mediante la

separación del dominio en las escalas de estudio. Una zona del problema puede ser

modelizada mediante un modelo microscópico, mientras que en el modelo

macroscópico se pueden emplear otras técnicas para su formulación. Es importante la

formulación de la interfaz entre ambos modelos.

La elección de una de las técnicas de resolución no trata de una elección libre, sino que

viene impuesta por la naturaleza física del problema que sea objeto de estudio.

Figura 2.24: Distribución de daño macroscópico y el modelo multiescala

correspondiente de ensayo a flexión en tres puntos (Fuente: Unger y Eckardt)

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