CAPITULO 2. Corriente Continua

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Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

CAPTULO 2. CORRIENTE CONTINUA CORRIENTE ELECTRICA. Hasta ahora hemos considerado solamente cargas en reposo; ahora consideraremos cargas en movimiento. Esto implica que trabajaremos con conductores, porque en un conductor como ya dijimos los portadores de carga tienen movimiento libre. Aunque esta definicin no solo es para conductores convencionales como los metales, sino tambin a los semiconductores, electrolitos, gases ionizados, dielctricos imperfectos y an en el vaco en vecindad de un ctodo los electrones emitidos termoinicamente. Los portadores de carga pueden ser positivos o negativos. Las cargas en movimiento constituyen el flujo de corriente o simplemente corriente, definimos como corriente media (I m ) a travs de una superficie limitada (S) como la cantidad de carga que atraviesa por unidad de tiempo. En una descarga de gas, los portadores de carga son tanto electrones como iones positivos, pero como los electrones tienen mayor movilidad la corriente prcticamente es llevada en su totalidad por los electrones Para la direccin de la corriente vamos a utilizar la convencin que toman le direccin de los portadores de cargas positivas, en direccin del campo elctrico externo como se muestra en la figura siguiente.

DENSIDAD DE CORRIENTE Consideremos un conductor con un solo tipo de conductores con carga q, el nmero de estos conductores por unidad de volumen es N, suponiendo que la velocidad de desplazamiento de estos conductores es v d cuando est sujeto a un campo externo, en un tiempo t todos los elementos contenidos en el volumen AL = Av d t son NAv d t y su carga

Donde

Im =

q t

La corriente instantnea es la corriente media calculada en el lmite cuando t 0

Q = qNAv d t y pasa a travs de la seccin Aen P como se muestra en la figura.

I = lm

q dq = t o t dt C s

La unidad de corriente en el sistema MKS es el Ampere o Amperio (A).

A=

La corriente en el punto P es

Como habamos visto anteriormente el coulombio se define a partir de la corriente, hasta este punto todava no podemos hacer una definicin de el Ampere, lo cual haremos cuando estudiemos campos magnticos. En un metal los portadores de carga son los electrones, mientras que los iones positivos estn fijos a posiciones regula res en la estructura, solamente los electrones de valencia son los que participan en el proceso de la conduccin. En un electrolito los portadores de carga son iones positivos y negativos, como algunos iones se mueven con mayor rapidez que otros, la conduccin de uno de los tipos de iones es la que predomina.1

I=

Q qNAv d t = = qNAv d t t

La corriente por unidad de rea es la Densidad de Corriente.

J=

I = qNv d A

Esta cantidad representa la rapidez del transporte de carga a travs de una unidad de rea normal a la direccin del flujo, es una cantidad vectora1 orientada con v d

J = qN v d

La unidad de densidad de corriente en el sistema MKS es A/m2.

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Siendo J constante en toda la superficie A. La corriente que atraviesa A es

I = J nA s Siendo n el vector unitario perpendicular alplano A. Si la densidad de corrientes no es uniforme.

Solucin. Cada protn tiene una carga de 1,60 x 10-19 C. Si la corriente que fluye es 4,8 A, el nmero de los protones que chocan el blanco en 1 s debe ser n, donde

I = J ndSA

n 1,6 10 19 C = 4,8 10 6 A 1s n = 3.00 x 1013 protones.En un segundo la energa cintica total perdida por los protones es n

(

)

Ejemplo 1. Un conductor da cobre conduce una corriente de densidad 1000 A/m2. Asumiendo que cada tomo de cobre contribuye con un electrn como portador de carga. Calcular la velocidad de desplazamiento correspondiente a esta densidad de corriente Solucin. La densidad de corriente es J = qNv d La velocidad de desplazamiento es

1 m p v 2 , y un tercio de 2

esta energa se convierte en calor en el blanco. Si en un segundo la elevacin de la temperatura del blanco es t, el calor ganado por la blanco es mct. Por lo tanto mct =

1 1 nm p v 2 o 3 2

J vd = qNEl valor de N (portadores por unidad de volumen) lo encontramos como sigue:

t=

nm p v 2 6mc

N=

N 0 portadores/tomo M

27 13 7 = (3,00 10 )1,67 10 (2 10 ) 6(1)(4,18 0,334 ) = 2,39C

[

]

2

N 0 (nmero de Avogadro) = 6,02x1023 tomo N mol gramo M (peso atmico) = 63,5 mol g g (densidad) = 8,92 = 8,92 x 106 3 cm m3 portadores =1 tomoFinalmenteA m2 vd = g 23 tomo 6,02 10 8,92 3 mol m 19 1,6 10 C g 63,5 mol 1000

Ejemplo 3. El cobre tiene 8,5 x 1028 electrones libres por metro cbico. Un tramo de 71,0cm de largo de alambre de cobre de calibre l 2 de 2,05 mm de dimetro, transporta 4,85 A de corriente, a) Cunto tiempo le toma a un electrn recorrer este alambre a lo largo? b) Repita el inciso (a) con un alambre de cobre de calibre 6 (4,12 mm de dimetro) de la misma longitud que transporta la misma corriente. c) En trminos generales, cmo influye un cambio de dimetro en la velocidad de deriva de los electrones de un alambre que transporta una cantidad determinada de corriente? Solucin. a) Velocidad de los electrones libres

(

)

vd ==

I nqA4,85 (8,5 10 )(1,6 10 19 )28

= 0,739 x 10-7 m/s

4

(205 10 3 ) 2

Ejemplo 2. Protones de masa 1,67 x 1027 kg y que se mueven con una velocidad 2 x l07 m/s chocan con un blanco de masa 1 g y de capacidad calorfica especfica 0,334 cal/g-C. La corriente de protones corresponde a una corriente de 4,8 A. Con que razn la temperatura del blanco se eleva inicialmente, si una mitad de la energa de los protones se convierte en calor?2

= 1,08 x 10-4 m/s. Tiempo de viaje

t=

0,71 m d = vd 1,08 10 4 m/s

= 6574 s = 110 min. b) Si el dimetro ahora es 4,12 mm, el tiempo se puede calcular como en el caso anterior o comparando el cociente de las reas, se obtiene un tiempo de 26542 s = 442 min.

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c) La velocidad de barrido depende inversamente del cuadrado del dimetro del alambre. Ejemplo 4. La corriente en cierto alambre vara con el tiempo segn la relacin I = 55 A - (0,65 A/s2)t2. a) Cuntos coulombs de carga pasan por una seccin transversal del alambre en el intervalo de tiempo entre t = 0 y t = 8,0 s? b) Qu corriente constante transportara la misma carga en el mismo intervalo de tiempo? Solucin. a) Q =

Escogemos un segmento corto de longitud L, la diferencia de potencial entre la seccin 1 y 2 es (V1 V2 ) = V . (El potencial en 1 es mayor) Como V = E d l , es el igual en todos los puntos del alambre

I dt = (55 0,65 t ) dt 0,65 = 55t | + t | = 329 C. 32 0 0

8

8

8

3 8

V = EL E =

0

0

V L

b) La misma carga fluira en 10 segundos si hubiera una corriente constante de:

Pero J = g E y la corriente I = J ndS = JAA

Q 329 C I= = = 41,1 A. t 8sLA LEY DE OHM, RESISTIVIDAD Y RESISTENCIA Cuando un conductor conduce una corriente, existe un campo elctrico E en su interior. Se ha encontrado experimentalmente para muchos conductores a temperatura constante que la densidad de corriente J es directamente proporcional a este campo. Siendo esta expresin LA LEY DE OHM.

gA L V V = I L gA Esto nos da una relacin lineal entre I y V ,De aqu I = gEA = equia1ente a la ley de Ohm. A la cantidad

V L V = , se la denomina I I gA

resistencia R del segmento de alambre

R=

V L L = = I gA A

J = gE

La unidad de resistencia es Voltio/Ampare, denominada Ohm o con el smbolo y su representacin esquemtica se muestra en la siguiente figura.

Donde la constante g es la conductividad del material, si esta conductividad no depende del campo elctrico, se dice que el material obedece la ley de Ohm. La ley de Ohm no es una ley fundamental de la naturaleza, como las leves de Newton, sino es una descripcin emprica que compara gran cantidad de sustancias, El recproco de la conductividad es la resistividad .

=

1 g

En el caso de un conductor definido, digamos un alambre, podemos escribir la ley de Ohm en funcin de la cada de potencial

Como podemos ver la resistencia de un conductor depende de la longitud, de su seccin transversal y de la resistividad que es una propiedad intrnseca de cada material. La unidad de la resistividad es el Ohm-m ( m ) y para cualquier metal depende de la temperatura. A temperaturas normales la resistividad vara casi linealmente con la temperatura, suele referirse los valores a temperatura de 20C. La relacin entre resistividad y temperatura es la siguiente

= 20 [1 + (t 20 C )]

La tabla que se muestra e continuacin nos da valores de y a para algunos materiales a 20C. RESISTIVIDAD Y COEFICIENTE DE TEMPERATURA Material a 20C a 20C 1/C ( m)3

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Plata Cobre Oro Hierro Nquel Aluminio Mercurio Tungsteno Constantan Nicrn Carbn Germanio Silicio Vidrio Mica Cuarzo Azufre Jebe duro Ambar Madera

1,6 x 10-8 1,69 x 10-8 2,44 x 10-8 10 x 10-8 7,24 x 10-8 2,83 x 10-8 95,8 x 10-8 5,51 x 10-8 44 x 10-8 100 x 10-8 3,5 x 10-5 0,46 640,0 1010 - 1014 1011 - 1015 7,5 x 1017 1015 1013 - 1016 5 x 1014 108 - 1011

0,0038 0,00393 0,0084 0,0050 0,006 0,0039 0,00089 0,0045 0,00002 0,0004 - 0,0005 - 0,048 - 0,075

E = J =

IA

=

(5,25 10 )(0,820)8

= 5,16 x 10-3 V/m. b) Aluminio:

4

(3,26 10 3 ) 2

E = J =

IA

=

(2,75 10 )(0,820)8

= 2,70 x 10-3 V/m. Ejemplo 7. Se aplica una diferencia de potencial de 4,50 V entre los extremos de un alambre de 2,50 m de largo y 0,654 mm de dimetro. La corriente resultante a travs del alambre es de 17,6 A. Cul es la resistividad del alambre? Solucin.

4

(3,26 10 3 ) 2

=

RA VA (4,50) (6,54 10 4 ) 2 = = (17,6)(2,50) L ILm.

Ejemplo 5. Un trozo de carbn tiene una longitud L y una seccin cuadrada de lado a se mantiene una diferencia de potencial V entre los extremos de la dimensin L. a) Cul es la resistencia del bloque? b) Cul es la corriente? o) Cul es la densidad de corriente? Solucin. a) Tenemos que R =

= 1,37 x 10-7

L A

L a2 b) Por la ley de Ohm V = RI V V a 2 V = = I= L R L 2 aComo A = a 2 R = c) La densidad de corriente es

Ejemplo 8. Para encontrar cunto alambre aislado se ha colocado en una bobina un tcnico mide la resistencia total del alambre, encontrando 5,18 . Despus corta una longitud de 200 cm y encuentra que la resistencia de este es 0,35 . Cul era inicialmente la longitud del alambre en la bobina? Solucin. La resistencia del alambre en la bobina es relacionada con su longitud por la frmula

R=

lA

. La longitud cortada tiene la misma

resistencia y seccin transversal. Luego su resistencia es R0 =

l 0A

a V I V L J= = = 2 A L a2

l 0 R0 5,18 = l 0 = 200 = 2960 cm. l R 0,35

Ejemplo 6. En un experimento realizado a temperatura ambiente, fluye una corriente de 0,820 A a travs de un alambre de 3,26 mm de dimetro. Halle la magnitud del campo elctrico en el alambre si ste es de a) tungsteno; b) aluminio. Solucin. a) Tungsteno:

Ejemplo 9. Se tiene un conductor de resistividad q en forma de anillo plano con radios a y b y espesor e como se muestra en la figura.

a) Cul es su resistencia para una corriente perpendicular al plano? b) Cul es su resistencia para una corriente radial hacia afuera, de la circunferencia de radio a hacia la circunferencia de radio b?4

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Solucin.

Tenemos que

L a) R = A Donde L = e y A = b 2 a 2 e De aqu R = 2 b a2

(

)

(

)

V = IR V 200 I= = = 42,37 x 105 A 5 R 4,72 10 A 42,37 105 = 8,5 x108 m 2 Luego J = 0,005Ejemplo 11. Se forma un tramo de alambre de 2,0 m de largo soldando el extremo de un alambre de plata de 120 cm de longitud a un alambre de cobre de 80 cm de longitud. Ambos alambres tienen un dimetro de 0,60 mm. El alambre est a temperatura ambiente, por lo que sus resistividades son Cu = 1,72 x 10-8 m. y

b) Consideremos un elemento de radio r y ancho dr como se muestra en la figura.

Ag = 1,47 x 10-8 m. Se mantiene unaen la expresin R =

L A

En este caso la resistencia solo es un diferencial de resistencia (dR), la longitud dr, la seccin transversal A(2 r )e , de aqu: dR =

dr 2er

dr b = ln r a 2e r 2e b Finalmente R = ln 2e aR = dR = b a

La resistencia al flujo radial es

diferencia de potencial de 5,0V entre los extremos del alambre combinado de 2,0 m. a) Cul es la corriente en la seccin de cobre? b) Cul es la corriente en la seccin de plata? c) Cul es la magnitud de E en el cobre? d) Cul es la magnitud de E en la plata? e) Cul es la diferencia de potencial entre los extremos de la seccin de plata del alambre? Solucin. a) I =

V V = R RCu + R Ag

RCu =

Ejemplo 10. Un alambre de cobre se encuentra e la temperatura de 20C y tiene una longitud de 10 metros y una seccin de 0,005m2 si le aplica una diferencie de potencial de 200 voltios, calcular: a) La resistencia del alambre a 120C b) El campo elctrico en el alambre. c) La densidad de corriente en el alambre. Solucin.

Cu LCu (1,72 108 ) (0,8) = ACu (/4) (6,0 10 4 ) 2

= 0,049

RAg =

Ag LAg AAg

=

(1,47 108 ) (1,2) (/4) (6,0 10 4 ) 2

= 0,062

I=

5,0 = 45 A 0,049 + 0,062

Donde L = 10 m, A = 0,005 m2,

L a) R = A

= 20 [1 + (t 20 C )] = 1,7 10 8 [1 + 0,0039(120 20 )] = 2,36 x10 = 4,72 x 10- 5 0,005

La corriente en el alambre de cobre es 45 A. b) La corriente en el alambre de plata es 45 A, igual a aquella en el alambre de cobre o la carga se acumulara en su interfaz. c) E Cu = JCu =

10- 8 m De all R = 2,36 10 8 b) Tenemos que d) E Ag

V 200 V = = 20 L 10 m I c) Como J = A V =EL y E =5

IRCu LCu (45) (0,049) = 2,76 V/m = 0,8 IR = J Ag = Ag LAg=

e) V Ag

(45) (0,062) = 2,33 V/m 1,2 = IR Ag = (45 A) (0,062 )

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= 2,79 V Ejemplo 12. La regin entre dos esferas conductoras concntricas de radios a y b est llena de un material conductor con resistividad . a) Demuestre que la resistencia entre las esferas est dada por

R=

1 1 4 a b

b) Deduzca una expresin de la densidad de corriente en funcin del radio, en trminos de la diferencia de potencial Vab entre las esferas. c) Demuestre que el resultado del inciso (a) se reduce a la ecuacin

R=

LA

Solucin. a) Resistencia del extremo de acero.

cuando la

Racero =

LA

=

separacin L = b - a entre las esferas es pequea. Solucin.

(2,0 107 )(2,0) ( 4)(0,018) 2

dr b dr 1 R= a) dR = 4 a r 2 4 r a 4r 2 1 1 = . 4 a b V V 4ab b) I = ab = ab R (b a) I Vab 4ab Vab ab J= = = . 2 A (b a)4r (b a)r 2c) Si el espesor de las cscaras es pequeo, la resistencia est dada por:

b

= 1,57 x 10-3 Resistencia del cable de cobre.

RCu =

L (1,72 108 ) (35) = A ( 4) (0,008) 2 = 0,012 x 10-3

Diferencia de potencial entre la parte superior del pararrayos de acero y el extremo inferior del cable de cobre.

V = IR = I ( Racero + RCu )= (15000 A)(1,57 10 3 + 0,012 ) = 204 V. b) Energa total depositada en el pararrayos y en el alambre por la oleada de corriente.

1 1 4 a b (b a ) L L = = 2 4ab 4a A donde L = b a . R=Ejemplo 13. Un rayo cae en un extremo de un pararrayos de acero, y produce una oleada de corriente de 15000 A que dura 65 s. El pararrayos tiene 2,0 m de largo y 1,8 cm de dimetro, y su otro extremo est conectado a tierra por medio de 35 m de un cable de cobre de 8,0 mm. a) Halle la diferencia de potencial entre la parte superior del pararrayos de acero y el extremo inferior del cable de cobre durante la oleada de corriente. b) Halle la energa total depositada en el pararrayos y en el cable por la oleada de corriente.

E = Pt = I 2 Rt = (15000) 2 (0,0136)(65 106 )= 199 J. FUERZA ELECTROMOTRIZ Para producir una corriente es necesario una diferencia de potencial, as mismo para poder cargar un condensador necesitamos una diferencia de potencial, en ambos casos estamos poniendo cargas en movimiento, O sea que se realiza trabajo, para esto se necesitan fuentes de energa, dispositivos que convierten le energa qumica o mecnica en energa elctrica, estas son las pilas y bateras y los generadores. Vamos a utilizarla abreviacin fem por fuerza electromotriz que es un trmino que se refiere a energa y no a fuerzas) como smbolo tomamos y su representacin esquemtica es como se muestra en la figura siguiente.

6

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Consideremos una fem, por ejemplo una pila seca. En ella hay un terminal de bajo potencial ( ) y un terminal de alto potencial (+ ) . La diferencia de potencial entre los terminales (V ) , cuando se emplea la pila para establecer una corriente I en un circuito como el de la figura siguiente, las cargas positivas son movidas por accin de fuerzas no electrostticas contra las fuerzas electrostticas (las fuerzas de coulomb ejercidas por las cargas en reposo) desde el terminal de bajo potencial hacia el terminal de alto potencial.

Los electrones se mueven con facilidad de un tomo a otro. Para crear una corriente elctrica en un alambre de cobre, se necesita una carga positiva en un extremo y una carga negativa en el otro. Para crear y mantener la corriente elctrica (movimiento de electrones), deben darse dos condiciones indispensables: 1. Que haya una fuente de electrones o dispositivo para su generacin (generador), pila, batera, fotoclula, etc. 2. Que exista un camino, sin interrupcin, en el exterior del generador, por el cual, circulen los electrones. A este Camino se le conoce como conductor. ENERGIA Y POTENCIA EN LOS CIRCUITOS ELECTRICOS Al pasar una corriente elctrica por un conductor, la energa en realidad no se pierde sino se transforma convirtindose en energa trmica. Cuando ponemos un campo elctrico en el conductor los electrones libres se aceleran

ma = qEDe donde a = Si analizamos los portadores de carga del circuito de la figura vemos que al pasar de un potencial menor a uno mayor adquieren una energa que es equivalente al trabajo que hace la fuente para llevarlos del terminal negativo al terminal positivo, esto es

q E m

y su velocidad en el tiempo t es

v = at =

q Et m

dW = dq

Suponiendo que los conductores son ideales (resistencia cero), la energa perdida por los portadores de carga al pasar por la resistencia es igual a le energa adquirida en la fem Podemos notar que la unidad de fem es tambin el Voltio. Como se produce el flujo de electrones?

Por consiguiente adquirimos una energa cintica adicional que se transfiere continuamente al conductor mediante choques entre los electrones y los iones de este. Es decir la energa se va transfiriendo inmediatamente mantenindose la velocidad de desplazamiento en un valor medio.

En le figura anterior consideremos la carga dq que va de (1) a (2) con la corriente I en un tiempo de tal manera que dq = Idt sufre un cambio de energa Potencial dada por Para entender el flujo de electrones, que es la corriente elctrica, hay que recordar las reglas de las cargas positiva y negativa. Las cargas desiguales (+ y -) se atraen. Cargas iguales (+ y +), o (- y -) se repelen. Los electrones de un tomo tienen cargas negativas y son atrados por las cargas positivas.7

dW = dq (V1 V2 ) = dqV Donde V = dq (V1 V2 ) es le cada de dW = IdtV

potencial, luego

dW = IV dt

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Expresin que nos da la razn en que se pierde la energa, que viene a ser la Potencia perdida en el conductor.

P = IV

Si V esta en voltios e I en amperes, que son unidades MKS, obtendremos la potencia en Joule/s = Vatios o Watts. Como en un circuito ohmico V = IR, podemos escribir la expresin disipada como P = I 2R . A este resultado se le conoce como Ley de Joule, mientras que el caso de calentadores en que se desea transformar energa elctrica en energa trmica este efecto es deseable, en otros casos esta disipacin trmica es indeseable, por ejemplo en los alambres de conduccin. A esta prdida (I2R) se le denomina prdida por calentamiento de Joule, a fin de reducir esta prdida se utilizan conductores de baja resistencia (R) y mejor an se trata de transmitir la potencia con la corriente ms baja posible para lo cual hay que poner un voltaje muy elevado, por otra parte para usar la energa elctrica con seguridad son recomendables los voltajes relativamente bajos. Para esto es necesario elevar y bajar los voltajes. Ejemplo 14. Se disea una unidad de calefaccin que disipe 1000 watts, alimentado con una fuente de 220 voltios. En qu porcentaje se reducir la produccin de calor si el voltaje se reduce a 200 voltios? Solucin. Conectado a 220 Voltios P = 1000 Watts

a) la energa consumida (asumir que las prdidas de calor son insignificantes), b) el costo de usar la tetera bajo estas condiciones seis veces, c) la resistencia del elemento de calefaccin, y d) la corriente en el elemento. Solucin. El calor ganado por el agua al ser llevado al punto de ebullicin est dado por la expresin Q = mc( 2 1 ) . a) Con m = 2 103 cm3 1g / cm3 = 2 103 g

x 105 J, y puesto que no se toman en cuenta las prdidas de calor, sta es la energa elctrica consumida por la tetera. La energa es la energa consumida por segundo, la que es

J g C Tenemos: Q = (2 10 3 )(4,18)(100 20 ) = 6,69

c = 4,18

P=

Q 6,69 10 5 J J = = 2,23 = 2,23 kW. t 5 60 s s

b) La tetera utiliza 2,23 kW por 5 minutos cada vez que se hierve el agua. Cuando se utiliza seis veces, 2,23 kW se usa por 30 min = hora. Luego el costo es. 2,23kW hr 2 centavos.kW/hr = 2,23 centavos. c) La potencia consumida es 223 kW y el voltaje de la fuente es 200 V. Pero P = V2/R o

(200V ) = 17,9 V2 R= = P 2,23 10 3 V2

V2 Como P = IV = I 2 R = Rla resistencia de la unidad es

d) Pero tambin podemos escribir la potencia como P = IV.

I=

V 2 220 2 R= = = 48,4 P 1000Cuando la unidad se conecta a 200 Voltios la disipacin ser

P 2,23 103W = 11,2A = V 200 A

P=

V 2 200 2 = = 830 Watts R 48,4

El porcentaje en que se reduce el calor es

%=

1000 830 100 = 17 por ciento. 1000

Ejemplo 16. Un dnamo conducido por un motor de vapor que utiliza 103 kg de carbn por da produce una corriente de 200 A con una fuerza electromotriz de 240 V. Cul es la eficiencia del sistema si el valor del carbn es 6,6 x 103 cal/g? Solucin. La potencia provista por el carbn por segundo es

6,6 10 3

cal J 3 J 4,18 = 27,6 10 g g cal

Ejemplo 15. Una tetera elctrica contiene 2 litros de agua que caliente desde 20C al punto de ebullicin en 5 minutos. El voltaje de la fuente es 200 V y la kW cuesta 2 centavos. Calcular

PC =

27,6 103 106 = 3,2 105W 24 60 60

La potencia elctrica provista por el dnamo es P = IV = 200A x 240V=4,8 x104 W. Luego la eficiencia del sistema es8

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4,8 104 P 100% = % = 15% 3,2 105 PCEjemplo 17. Un alambre de dimetro 1 milmetro que lleva una corriente elevada tiene una temperatura de 1200 K cuando ha alcanzado el equilibrio. Asumimos que el calor perdido del alambre es puramente por radiacin. La temperatura de los alrededores es 300 K, la resistencia del alambre a esta temperatura es 5 x 10-8 m, y el coeficiente de temperatura de la resistencia del alambre es 4 x 10-3 por C. Cul es la magnitud de la corriente en el alambre? Solucin. Puesto que el calor est siendo perdido por radiacin solamente, la energa perdida por segundo por una 1 m de longitud de alambre es superficial de la longitud del alambre y es la constante de Stefan, se asume que el alambre irradia como cuerpo negro. Pero esta energa es provista por el flujo de corriente. As, si R es la resistencia de 1 m del alambre, entonces I 2 R = W = A T 4 T04 . Pero

Si se asume que todo se irradiada, entonces 20 W = T 4 W , Adems,

125 = 50 + T 4 o 75 = T 4 .

(

)

75 = 202

2

Cuando el radiador emite 980 W, tenemos:

20 2 4 980 W = T W = T1 W 75 2 75 2 980 T12 = = 525 . 204 1

W = A T 4 T0 , donde A es el rea

(

4

)

As la resistencia del radiador ahora es 50 + T12 = 575 . Pero la potencia, la resistencia, y la corriente se relacionan por P = I 2R .

(

)

Luego I =

980 W = 1,3 A . 575

(

)

R=

lA'

=

0 [1 + (T T0 )]lA'

Donde A es la seccin transversal, l es la longitud, el 0 es la resistencia a 300 K, y es el coeficiente de temperatura de la resistencia. Por lo tanto AA' (T 4 _ T04 ) I2 = 0 [1 + (T _ T0 )]l = [1 2 (0,5 10 3 )][ (0,5 10 3 )2 ](5,67 10 8 )(1200 4 300 4 ) (5 10 8 )[1 + (1200 300)](1) = 1258 A2. I = 35,5 A. Ejemplo 18. Un radiador elctrico tiene una resistencia de 50 + aT 2 en la temperatura T

Ejemplo 19. Un aparato fabricado para funcionar con 115 V y para disipar 500W es utilizado donde el voltaje es 230 V qu resistencia debe colocarse en serie con el proyector antes de utilizarlo? Qu energa se disipa en la resistencia agregada? Solucin. El aparato tiene una resistencia R dada por

V2 P= . RLuego R =

(115V )2500W

= 26,45

La corriente se obtiene de la ecuacin

I=

P 500W = = 4,35 A V 115V

Cuando el voltaje de fuente es 230 V, una resistencia adicional X se inserta en serie para dar la misma corriente. As

(

)

R+ X =

K y emite T 4 W , y son constantes. Su resistencia es 125 cuando una diferencia potencial de 50 V es conecta a travs de ella. Qu corriente debe pasar a travs del radiador para que emita 980 W? Solucin. Si el radiador tiene una resistencia de 125 cuando hay una cada de 50 V a travs de ella, la potencia consumida es

230 V = 52,9 X = 26,45 4,35A2

La energa disipada en la resistencia agregada es

I 2 X = (4,35) (26,45) = 500W .

V 2 (50 V ) = = 20 W . 125 R2

Esto se ve ms fcilmente de la manera siguiente. Si la misma corriente se va a sacar de una fuente con un voltaje dos veces el usado previamente, P = IV ser ahora el doble que antes. Los 500 W extra sern disipados en la resistencia agregada, que debe tener la misma resistencia que el aparato, puesto que cada uno disipa la misma potencia.9

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

Ejemplo 20. Una corriente de 2 A se pasa a travs de un calentador de la resistencia 8,4 sumergido en 400 g de un lquido contenido en un calormetro y la temperatura se eleva 10C en 3 minutos. Cuando se utilizan 560 g de lquido en el mismo calormetro y se pasa la misma corriente, la temperatura se eleva 10C en 4 minutos. Despreciando cualquier prdida de calor o cualquier cambio en la resistencia del calentador, calcule la capacidad calorfica del calormetro y la capacidad calorfica especfica del lquido. Solucin. El calor ganado por el calormetro y el contenido debe ser igual al calor provisto por la energa elctrica. As si c es la capacidad calorfica especfica del lquido y S la capacidad calorfica del calormetro, entonces S (10 C ) + (400 g )c(10 C ) =

cuenta que, cuanto ms grande es el dimetro del alambre, tanto ms pequeo es su calibre. Calibre Dimetro I mx de (cm) (A) alambre 14 0,163 18 12 0,205 25 10 0,259 30 8 0,326 40 6 0,412 60 5 0,462 65 4 0,519 85 a) Qu consideraciones determinan la capacidad mxima de transporte de corriente del cableado domstico? b) Se va a suministrar un total de 4200 W de potencia por conduccin de los alambres de una casa a los aparatos electrodomsticos. Si la diferencia de potencial entre el grupo de aparatos es de 120 V determine el calibre del alambre ms fino permisible que se puede utilizar, c) Suponga que el alambre utilizado en esta casa es del calibre hallado en el inciso (b) y tiene una longitud total de 42,0 m. En qu proporcin se disipa energa en los alambres? d) La casa est construida en una comunidad donde el costo de la energa elctrica para el consumidor es 0,50 nuevos soles por kilowatthora. Si la casa se construyese con alambre del calibre ms grande siguiente con respecto al hallado en el inciso (b), cul seria el ahorro en el costo de la electricidad durante un ao? Suponga que los aparatos permanecen encendidos 12 horas al da en promedio. Solucin. a) El voltaje, la corriente, y el dimetro del alambre deben ser considerados en el cableado de la casa. b) P = VI

1 (2A )2 (8,4 )(3 60s ) 4,18J/calS (10 C ) + (560 g )c(10 C ) 1 (2A )2 (8,4 )(4 60s ) = 4,18J/cal (560 400 )g c(10 C ) 1 (2A )2 (8,4 )60(4 3)s . = 4,18J/cal2 2 (8,4 )(60 ) cal cal c= = 0,3 4,2(160 )(10 ) g C g Csi convertimos la energa elctrica de julios a las caloras. Similarmente,

Por lo tanto, volviendo a la primera ecuacin, tenemos

cal S (10 C ) + 400g 0,3 g C (10 C )

(1440 1200) = 24 cal S=10 C C

= 8 x 3 x 60 cal.

I=

P 4200 W = = 35 A 120 V V

Ejemplo 21. De acuerdo con el Cdigo Elctrico Nacional de EE.UU, no se permite que el alambre de cobre que se emplea para el cableado interior de casas, hoteles, edificios de oficinas e instalaciones industriales, transporte ms que cierta cantidad mxima especfica de corriente. La tabla siguiente muestra la corriente mxima I mx correspondiente a varios tamaos comunes de alambre con aislador de cambray barnizado. El calibre de alambre es un mtodo estndar para describir el dimetro de los alambres. Dse10

El alambre de calibre 8 es el necesario, puesto que puede llevar hasta 40 A.

I 2 L c) P = I R = A 2 (35) (1,72 10 8 ) (42,0) = ( 4) (0,00326) 22

= 106,02 W Se disipan 105 Joules por segundo. d) Si se usa el alambre calibre 6 se disipan,

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

P=

I 2 L (35)2 (1,72 108 ) (42) = A ( 4) ) (0,00412)2

= 66,37 W Son 106,2 66,37 = 39,83 W de ahorro En un ao de 12 horas diaria de uso hay 365 x 12 = 4380 horas. Esto corresponde a

LEYES DE KIRCHHOFF Para resolver un circuito se necesitan dos reglas denominadas Leyes o reglas de Kirchhoff. Primera ley de Kirchhoff La suma de corrientes que entran e un nodo es igual a la suma de corrientes que salen del mismo, esto se deduce del principio de conservacin de la carga. La primera ley de Kirchhoff podemos expresarla como I =0

E = Pt = (39,83W) (4380 h )

= 174,455 x 103 Wh = 175 KwH Siendo el costo de 0,50 nuevos soles por kilowatt-hora. El ahorro = (175 kWh ) (0,50 kWh ) = 87,5 nuevos soles. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA. INTRODUCCION Los sistemas de corriente elctrica estacionarios, o sea no cambiante que encontramos son combinaciones de generadores y resistencias interconectados por alambres a los cuales se les considera conductores perfectos.

(1) En el nodo 2 de la figura anterior

I1 + I 2 I 3 = 0Si tenemos N nodos en un circuito podemos obtener N - 1 ecuaciones independientes, la ecuacin del nodo N no es independiente ya que si la ecuacin (1) cumple en (N-1) nodos, esta cumple automticamente en el nodo N. Segunda ley de Kirchhoff La suma de las cadas de potencial a lo largo de cualquier malla o lazo debe ser igual a la suma de los aumentos de potencial RI = 0 (2)

Esta ley se deduce del principio de conservaci6n de la energa. En el caso de la figura anterior, tenemos V1 + 1 I 1 R1 = V2 (Rama 1-2)

La figura muestra un circuito elctrico esquemtico, los puntos 1, 2, 3 son conocidos como nodos y el recorrido de un nodo a otro consecutivo se conocen como ramas, por ejemplo entre 1-2 (hay dos ramas), entre 1-3, entre 2-3 (hay una rama). La malla es el recorrido completo de un hondo hasta volver al mismo siguiendo las ramas, por ejemplo 1-2-3, otro ejemplo, 3-1, otro ejemplo 1-2-3-1 (hay tres mallas posibles). A continuacin estudiaremos circuitos sencillos compuestos de pilas o bateras, resistencias y condensadores en diversas combinaciones, pero solo con corriente continua que es la que no cambia de sentido como iones con las corrientes alternas, que es motivo de un estudio especial posterior. Resolver un sistema significa que dados los valores de la fuerza electromotriz y las resistencias debemos determinar las intensidades de corriente en todas las ramas o en general dados dos de ellos encontrar el tercero.11

V2 I 5 R5 = V3 (Rama 2-3) V3 + 4 I 4 R4 = V1 (Rama 1-2)Sumando estas expresiones obtenemos la suma de las cadas de potencial y aumento de potencial de la malla 1-2-3-1 (un lazo cerrado)

1 + 4 I 1 R1 I 5 R5 I 4 R4 = 0 1 + 4 (I 1 R1 + I 5 R5 + I 4 R4 ) = 0

Expresin que en general viene a ser

RI = 0

Ejemplo 22. Cual es la diferencia de potencial en una resistencia R conectada entre los bornes de una pila de fuerza electromotriz y con resistencia interna r? Solucin. Le figura muestra esquemticamente el circuito con la pila y su resistencia

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

Aplicando la segunda ley de Krchhoff. Siendo I la corriente que circula por el circuito

Sus fuerzas electromotrices actan en igual sentido. Por lo tanto

Ir IR = 0I=

De aqu

I2 =

R

2 R + 2r

r+R r+R

La diferencia de potencial en la resistencia es:

Vab = IR = P = I 2R =

Cuando las pilas se conectan en paralelo, puesto que son idnticas, por la simetra del montaje, corrientes idnticas I 0 deben atravesar cada una de las pilas.

La potencia que se disipa a travs de R es

(r + R )2

2R

Si queremos encontrar el valor de R para el cual la potencia disipada sea la mnima

P 2 2 2 R = =0 R (r + R ) (r + R )Resolviendo

(R + r ) 2 R = 0

R=r

Ejemplo 23. Un estudiante de fsica conecta una pila a un circuito y encuentra que la corriente de la pila es I1. Cuando conecta una segunda pila idntica en serie con la primera, la corriente se convierte en I2. Cuando conecta las pilas en paralelo, la corriente a travs del circuito es I3. Demuestre que la relacin que l encuentra entre las corrientes es 3I2I3 = 2 1(I2 + I3). Solucin. Sea la fuerza electromotriz de cualesquiera de las pilas ser y r su resistencia interna. y el circuito externo tiene una resistencia R. a) Cuando se usa una sola pila,

Adems por la primera ley de Kichhoff I 3 = I 0 + I 0 = 2 I 0 (1) Considerando el paso de la corriente a travs de cualquiera de las pilas, tenemos: I 0 r I 3 R = 0 (2) De (1) I 0 =

I3 2

Reemplazando en (2):

I3 r r I3R = 0 = I3 R + 2 2

De aqu I 3 =

r R + 2

De estas ecuaciones de I1, I2 e I3 encontramos que

R+r =

I1

, R + 2r =

2 r y R+ = I2 2 I3

Eliminando r entre las dos primeras ecuaciones da.

1 1 R = , I I 2 1Aplicamos la ecuacin del circuito, y entre la primera y la tercera da

I1 =

R+r12

Si dos pilas idnticas se conectan en serie.

2 2 R = , I I 2 1

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

Dividiendo estas dos ltimas ecuaciones una por la otra da

1 1 2 I I 2 1= 1 , 1 1 I 3 I1 2 I1I 2 I 2 I 3 = 2 I 2 I 3 2 I1I 3 3I 2 I 3 = 2 I1 (I 2 + I 3 )Ejemplo 24. La tensin de bornes de una batera en circuito abierto es de 12,6V. Cuando se conecta un resistor R = 4,00 entre los bornes de la batera, el voltaje de bornes de la batera es de 10,4V Cul es la resistencia interna de la batera? Solucin. Con la carga 4,0 , donde r = resistencia interna

Ejemplo 26. Considere el circuito que se muestra en la figura. La tensin de bornes de la batera de 24,0V es de 21,2 V Cul es a) la resistencia interna r de la batera; b) la resistencia R del circuito?

12,6 V = (r + 4,0) I

Cambio en el voltaje entre terminales:

VT = rI = 12,6 V 10,4 V = 22 V 2,2 V I= rSustituyendo I: 12,6 V = (r + 4,0 )

r = 0,846

22 V r

Vr = Vab = 24,0 21,2 = 2,8 V Vr = Ir V 2,8 = 0,700 . r= r = I 4,00 b) VR = 21,2 V VR = IR V 21,2 = 5,30 . R= R = I 4,00r

Solucin. a) Vab =

V

Ejemplo 25. Una batera de 50 pilas se est cargando de una fuente de C.C. de 230 V y de resistencia interna insignificante. La fuerza electromotriz de cada pila en carga es 2,3 V, su resistencia interna es 0,1 2 y la corriente de carga necesaria es 6 A. qu resistencia adicional debe ser insertada en el circuito? Solucin. Sea R la resistencia adicional necesitada en el circuito.

Ejemplo 27. El circuito que se muestra en la figura contiene dos bateras, cada una con una fem y una resistencia interna, y dos resistencias. Halle a) La corriente en el circuito (magnitud y direccin); b) La tensin de bornes Vab de la batera de 16,0V; c) La diferencia de potencial Vac, del punto a con respecto al punto c. d) Grafique las subidas y cadas de potencial de este circuito.

Las 50 pilas tienen una fuerza electromotriz total de 115 V y una resistencia interna total de 5 . Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff para obtener

230 = I (R + r ) 230 115 = 6(R + 5) 115 De aqu R = 5 = 14,2 6

Solucin. a) la corriente es en sentido antihorario, porque la batera de 16 V determina la direccin del flujo de la corriente. Su magnitud est dada por:

I=

16,0 8,0 = R 16 + 5,0 + 1,4 + 9,0

= 0,47 A.13

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

b) Vab = 16,0 (1,6)(0,47) = 15,2 V c) Vac = (5,0)(047) + (1,4)(0,47) + 8,0 V = 11,9 V d)

d) Razn de transferencia de energa elctrica a energa qumica en 2 P = 2 I = (8,0)(0,40) = 3,2 W. e) Observe (c) = (b) + (d) , y la razn de creacin de energa elctrica es igual a la razn de disipacin. 4,8 W = 1,6 W + 3,2

Ejemplo 29. Resolver el circuito mostrado en la figura.

Ejemplo 28. En el circuito de la figura, halle a) la corriente a travs de la resistencia de 8,0 ; b) la rapidez total de disipacin de energa elctrica en la resistencia y en la resistencia interna de las bateras. c) En una de las bateras se convierte energa qumica en energa elctrica. En cul de ellas est ocurriendo esto, y con qu rapidez? d) En una de las bateras se convierte energa elctrica en energa qumica. En cul de ellas est ocurriendo esto, y con qu rapidez? e) Demuestre que la rapidez global de produccin de energa elctrica es igual a la rapidez global de consumo de energa elctrica en el circuito.

Solucin. Como primer paso fijemos el sentido de la corriente en cada rama, las que finalmente pueden resultar con signo negativo, lo que significara que el sentido es contrario al considerado.

Solucin. a) La corriente a travs de la resistencia de 8,0

I=

12,0 8,0 = 10,0 R

= 0,40 A. b) La rapidez total de disipacin de energa elctrica. Ptotal = I 2 Rtotal = (0,40) 2 (10) = 1,6 W c) Potencia generada en 1,

P = 1 I = (12,0) (0,40)= 4,8 W.

Aqu tenemos seis incgnitas por lo tanto necesitamos seis ecuaciones Por la primera ley de Kirchhoff. Nudo a: I 3 + I 5 I1 = 0 (1) Nudo b: I 4 + I 2 I3 = 0 (2) Nudo c: I1 I 4 I 6 = 0 (3) Por la segunda ley de Kirchhoff Siendo cuatro nudos solo podemos obtener tres ecuaciones. Camino a-c-d-a I1R1 + 1 I 6 R6 I 5 R5 = 0 (4) Camino a-e-d-a14

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

I1R1 + 1 I 4 R4 I 3 R3 = 0Camino a-d-b-a

(5)

+ I 5 R5 + 2 I 2 R2 I 3 R3 = 0 (6)

ya tenemos las 6 ecuaciones que nos resolvern el circuito. Reordenando las ecuaciones: 0 = I 1 ( 1) + I 2 (0) + I 3 (1) + I 4 (0) + I 5 (0) + I 6 (0)

2 = I 1 (0 ) + I 2 (R 2 ) + I 3 (R3 ) + I 4 (0 ) + I 5 ( R5 ) + I 6 (0 )

1 = I 1 (R1 ) + I 2 (0) + I 3 (R3 ) + I 4 (R4 ) + I 5 (0) + I 6 (0)

0 = I 1 (R1 ) + I 2 (0) + I 3 (0 ) + I 4 (0) + I 5 (R5 ) + I 6 (R6 )

0 = I 1 (0) + I 2 (1) + I 3 ( 1) + I 4 (1) + I 5 (0) + I 6 (0) 0 = I 1 (1) + I 2 (0 ) + I 3 (0) + I 4 ( 1) + I 5 (0 ) + I 6 ( 1)

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff.

1 Ir1 + 2 Ir2 IR = 0 1 + 2I=

Que podernos resolver por determinantes0 0 0 0 1 0 I1 = 1 0 0 0 0 0 1 -1 1 0

r1 + r2 + R 6 + 12 18 I= = = 1 ampere 2 + 4 + 12 18La diferencia de potencial en los puntos a y b es Vab = IR =1 ampere x 12 ohms Vab = 12 voltios b)

0 -1 0 -1 0 0 R5 R6

1 0 R 3 R 4 0 0 2 R2 R5 0 - R5 01 0 0 1 1 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 R5 R6 0 R3 R4 0

R1 0 R1 0 0

R2 R5 0 -R5 0

De igual modo para I2, I3, I4, I5, I6.Ejemplo 30. Se tienen dos bateras una de 6 voltios y resistencia interna 2 ohms y otra de 12 voltios y resistencia interna 4 ohms. Se conecta una resistencia de 12 ohms. Cul es la diferencia de potencial en la resistencia cuando se conecta tal como en a) la figura (a)? b) la figura (b)?

Aplicando la primera, ley de Kirchhoff en el nudo a I1 + I2 - I = 0 (1) Aplicando la segunda ley de Kirchhoff de b, a, b por los dos caminos. 1 I 1 r1 IR = 0 (2) (3) Reescribiendo las ecuaciones

2 I 2 r2 IR = 0

0 = I1 (1) + I 2 (1) + I ( 1) 1 = I 1 (r2 ) + I 2 (0) + I (0) 2 = I 1 (0) + I 2 (r2 ) + I (0)

Resolviendo por determinantes para I : 1 1 0Solucin. a)

r1 I=

0

0 r2 1 1 r1 0

1 2-1 R

0 r2 R Reemplazando valores

15

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

I=

0 4 12 = 24 24 = 0,6 A 8 72 1 1 -1 2 0 12

1 2

1 0

0 6

PDB = PBF

1728 2 8 2 , PGH = , (139)2 (139)2 1156 2 = (139)2

0 4 12 La diferencia de potencial entre los puntos a y b es Vab = IR = 0,6 A x 12 = 7,2 VEjemplo 31. Un circuito se conecta como en el diagrama. La disipacin de la potencia no debe exceder a 1 W en ningn rama. Cul es el valor mximo de la fuerza electromotriz de la batera? Solucin.

Est claro que la mayor potencia disipada es en la resistencia entre los puntos B y D. Para satisfacer las condiciones del problema, PDB es 1 W para el valor mximo de la fuerza electromotriz . As:

(139) V 2 1728 2 = 1W 2 = 2 1728 (139) 139 = V = 3,34V 24 32

Todos los puntos en el diagrama se han etiquetado, y las corrientes se han insertado en cada rama. Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los puntos A, F, y D, tenemos I1 = I 2 + I 3 , I 3 + I 5 = I 6 , I 2 = I 4 + I 5 Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a los circuitos ACDB, BAEF, y DGHF. Tenemos

CONEXIONES DE RESISTENCIAS, EN SERIE Y EN PARALELO. Cuando se tienen varias resistencias en un circuito es conveniente reducirlas a una resistencia equivalente con el objeto de facilitar la resolucin del circuito. En serie. Se dice que n resistencias estn conectadas en serie cuando estn unidas extremo a extremo una a continuacin de otra, como se muestra en la figura siguiente.

= I1 (1 ) + I 2 (1 ) + I 4 (3 ) = I1 (1 ) + I 3 (2 ) + I 6 (4 ) 0 = I 5 (2 ) + I 6 (4 ) I 4 (3 )

Con una diferencia de potencial V fluye una corriente I, aplicando la segunda ley de Kirchhoff

Resolviendo estas seis ecuaciones simultneamente encontramos las soluciones siguientes:

V IR1 IR2 IR3 ..... IRn = 0Expresin de la cual se obtiene la resistencia equivalente

41 26 15 , I2 = , I3 = , 139 139 139 24 2 17 I4 = , I5 = y I6 = 139 139 139I1 =

Re =

V = R1 + R2 + R3 + ..... + Rn In i =1

Re = RiEn paralelo. Cuando n resistencias se conectan en la forma como muestra la figura siguiente, se dice que las resistencias estn conectadas en paralelo.

La potencia disipada en una resistencia Rr a travs de la cual pasa la corriente I r es

Pr = I r2 Rr .Aplicando esto a los elementos en el diagrama, tenemos

PAB = PAE

1681 2 676 2 , PAC = , (139)2 (139)2 450 2 = , (139)2 16

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

la diferencia potencial a travs de cada uno es igual. Por lo tanto

Q'1 V 2 / R1 R2 A1 = = = Q'2 V 2 / R2 R1 A2En este caso el calentamiento es mayor en el conductor con seccin transversal de mayor rea.Ejemplo 32. En el circuito de la figura cada resistencia representa un foco. Sean R1 = R2 = R3 = R4 = 4,50 y = 9,00V. a) Encuentre la corriente en cada foco. b) Proporcione la potencia que se disipa en cada foco. Cul o cules focos iluminan con mayor brillantez? c) Ahora se quita del circuito el foco R4 y el alambre queda interrumpido en la posicin que ocupaba. Cul es ahora la corriente en cada uno de los focos restantes R1, R2 y R3? d) Sin el foco R4, cunta potencia se disipa en cada uno de los focos restantes? e) En cul o cules de los focos es ms brillante la incandescencia como consecuencia de la eliminacin de R4? En cul o cules es menos brillante? Comente por qu son diferentes los efectos en los distintos focos.

De la primera ley de Kirchhoff

I = I 1 + I 2 + I 3 + ..... + I nDe la segunda ley de Kirchhoff

V = I 1 R1 + I 2 R2 + I 3 R3 + ..... + I n Rn I1 = V V V , I2 = , I3 = , ., R1 R2 R3 V In = Rn I 1 1 1 1 1 = = + + + ..... + V Re R1 R2 R3 Rnn 1 1 = Re i =1 Ri

De este ltima encontramos que

Reemplazando en la primera expresin y

De aqu

Ejemplo 32. Dos conductores de la misma longitud y material pero con diferentes reas de seccin transversal son: a) conectados en serie, y b) en paralelo. Cundo una diferencia potencial se aplica a travs de las combinaciones, en cual de los conductores el calentamiento ser mayor? Solucin. La resistencia de cada conductor tiene la forma

Solucin. Clculo de la resistencia equivalente del circuito:

1 1 1 Req = R1 + R234 = R1 + + + R R R 3 4 2 3 = 4,50 + 4,50 9,00 V a) I 1 = = = Req 6,00 1

1

= 6,00 1,50 A,

l R = . Como la resistividad y las longitudes A R A son iguales en cada caso, 1 = 2 . R2 A1a) Cuando los conductores estn en serie, la misma corriente pasa con cada uno. Por lo tanto el cociente del calentamiento producido en los alambres es:

Q1 I 2 R1 R1 A2 = = = Q2 I 2 R2 R2 A1El calentamiento es mayor en el conductor con seccin transversal de menor rea. b) Cuando los conductores estn en paralelo, diferentes corrientes pasan a travs de ellos pero17

1 I 2 = I 3 = I 4 = I1 = 0,500 A. 3 2 b) P1 = I 1 R1 = (1,50 A ) 2 (4,50 ) 1 = 10,13 W, P2 = P3 = P4 = P1 9= 1,125 W. c) Si se elimina R4 , la resistencia equivalente aumenta:

Corriente continua1

Hugo Medina Guzmn

1 1 Req = R1 + R23 = R1 + R + R 3 21

2 = 4,50 + 4,50 = 6,75 . Luego:

800 0,30 A; (0,449A) = 400 + 800 400 I 800 = (0,449A) = 0,150 A. 400 + 800 d) P400 = I 2 R = (0,30 A) 2 (400 ) = 36W;

I 400 =

I1 =

9,00 V 1 = 1,33 A , I 2 = I 3 = I1 = = 2 Req 6,75 2

P800 = I 2 R = (0.15 A) 2 (800 ) = 18 W Ptotal = 36 W + 18 W = 54 W.e) La resistencia de 800 es ms brillante cuando las resistencias estn en serie, y la de 400 es ms brillante cuando estn en paralelo. La salida de luz total es mayor es cuando estn en paralelo.Ejemplo 34. Cinco resistencias, cada uno de 10 , se conectan para formar una letra H, una pila de 2 V y con resistencia interna 1,86 se conecta a travs de los extremos superiores y un ampermetro con resistencia 5 a travs de los extremos inferiores. Qu corriente pasa a travs del ampermetro? Solucin. El circuito mostrado en el diagrama (a) es equivalente al circuito mostrado en el diagrama (a).

0,667 A. d) P1 = I 1 R1 = (1,33 A) 2 (4,50 ) = 7,96 W, P2 = P3 =

1 P = 1,99 W. 1 4

e) Luego R2 y R3 son ms brillantes que antes, mientras que R1 es ms dbil. La cantidad de corriente es todo lo que determina la salida de potencia de estos focos puesto que sus resistencias son iguales.Ejemplo 33. Focos en serie y en paralelo. Las resistencias respectivas de dos focos son de 400 y 800 . Si los dos focos estn conectados en serie entre los extremos de una lnea de 120V, encuentre a) la corriente a travs de cada foco; b) la energa que se disipa en cada foco y la energa total que se disipa en ambos. Ahora se conectan los dos focos en paralelo entre los extremos de la lnea de 120V. Halle c) la corriente a travs de cada foco; d) la potencia que se disipa en cada foco y la energa total que se disipa en ambos. e) En cada situacin, cul de los dos focos ilumina con ms brillantez? En cul situacin produce ms luz la combinacin de ambos focos? Solucin.

a) I =

120 V = 0,100 A. = R (400 + 800 )

Las resistencias de10 y 25 estn en paralelo. Por lo tanto la resistencia equivalente es R, donde

b) P400 = I 2 R = (0,100 A) 2 (400 ) = 4,0 W;

P800 = I 2 R = (0,100 A) 2 (800 ) = 8,0 W Ptotal = 4 W + 8 W = 12 W.c) Cuando estn en paralelo la resistencia es:1

1 1 1 5+2 7 = + = = R 10 25 50 0 50 R= = 7,14 7

El circuito es por lo tanto equivalente al mostrado en el diagrama (c).

1 1 Req = 400 + 800 267 120 V I total = . = 0,449 A. = Req 267

18

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

Ejemplo 36. Encuentre la resistencia equivalente entre los terminales a y b del circuito de la figura.

Es posible ahora encontrar la corriente en el circuito.

I0 =

R

=

2 2 = A 10 + 10 + 7,14 + 1,86 29

Esta corriente se divide en las corrientes I1 e I2 a travs de las partes inferiores de los circuitos, segn como se muestra en los diagramas (a) y (b), donde

Solucin. Este circuito formado por partes en serie y partes en paralelo

I1 I 1 R2 10 10 = = = I 1 + I 2 35 I 2 R1 25 10 I 1 = (I 1 + I 2 ) 35Por la primera ley de Kirchhoff,

Le resistencia entre 2 y 3 es

I1 + I 2 = I o 10 10 2 I0 = = 0,0197 A Luego I 1 = 35 35 29Es la corriente que atraviesa el ampermetroEjemplo 35. En la figura mostrada, calcular cada corriente en la direccin indicada para las resistencias y calcular .

1 1 1 1 3 1 = + + = = R23 3R 3R 3R 3R R R23 = RLa resistencia entre 4 y 3 es

1 1 1 2 1 = + = = R43 4 R 4 R 4 R 2 R R43 = 2 REl circuito queda reducido a

La resistencia entre 1, 2, 3 es

R123 = 3R + R = 4 RLa resistencia entre 1, 4, 3 esSolucin. a) Clculo de las corrientes: En la malla aefda. I 1 = I 2

R143 = 2 R + 2 R = 4 REl circuito queda reducido a

4,0 I 1 + 12 5,0 I 1 = 0 9,0 I 1 = 12 12 I1 = I 2 = = 1,33A 9En el nudo e.

4 7 I 3 = 0 I 3 = I 4 = 1A 3 3 Clculo de :En la malla ebcfb.

La resistencia entre 1 y 3 es

3(1) 3(1) = 0 = 6V19

1 1 1 2 1 = + = = R13 4 R 4 R 4 R 2 R R13 = 2 R

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

El circuito queda reducido a

(8) (7) I1 5 I 4 = 0 I 4 =

1 I1 (9) 5

Finalmente la resistencia entre a b es

Rab = 3R + 2 R + R = 6 R

Adems, la cada de potencial de A a F por el camino ADEF, empleando las ecuaciones. (3), (7), y (9), es: VAF = I 3 2 R + I 6 R = R(2 I 3 + I 3 + I 4 ) = R(I1 + 2I 4 ) = I1 R1 +

2 5

Ejemplo 37. Con un pedazo de alambre uniforme se forman dos cuadrados con un lado comn de longitud 10cm. Una corriente ingresa al sistema rectangular por una de las esquinas y va diagonalmente para salir por la esquina opuesta. Demuestre que la corriente en el lado comn es un quinto de la corriente que entra. Qu longitud del alambre conectado entre la entrada y la salida (A y F), tendra un efecto resistente equivalente tendra un efecto resistivo equivalente? Solucin. Sea la R resistencia de cada lado del cuadrado, y el flujo de corrientes tal como el mostrado en el diagrama.

=

7 RI1 5

Empleando las ecuaciones. (3), (7), y (9). Por lo tanto el efecto equivalente se obtiene si un alambre 7 5 veces la longitud de cualquier lado del cuadrado se conecta entre A y F, porque produce la misma cada de potencial que el cuadrado doble entre estos puntos.Ejemplo 38. Dos pilas, una de fuerza electromotriz 1,2V y resistencia interna 0,5 , la otra de fuerza electromotriz 2V y resistencia interna 0,1 , estn conectadas en paralelo y la combinacin se conectada en serie con una resistencia externa de 5 . Qu corriente pasa con esta resistencia externa? Solucin. El circuito es como el mostrado en la figura siguiente:

Aplicando la primera ley de Kirchhoff, I = 0 , a los puntos A, B, y E da:

(3) La aplicacin de la segunda ley de Kirchhoff a los circuitos ABED y BCFE da I 2 R + I 4 R I 3 2 R = 0 (4)

I1 I 2 I 3 = 0 I 2 I 4 I5 = 0 I3 + I 4 I6 = 0

(1) (2) Aplicando la primera ley de Kirchhoff

I1 + I 2 = I 3Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito cerrado que contiene ambas pilas y luego al circuito cerrado con la pila inferior y la resistencia externa, tenemos 1 2 = (2 1,2) = 0,1I 2 0,5I 1 y De aqu I 2 5 I 1 = 8 y I 2 + 50(I 1 + I 2 ) = 20 o 10 I 2 50 I 1 = 80 y 51I 2 + 50 I 1 = 20 . Luego I 2 =

I5 2R I6 R I 4 R = 0 (5) Eliminando I 5 e I 6 de las ecuaciones, (2), (3), y(4) obtenemos:

2I 2 I 3 4I 4 = 0 (6) Eliminando I 2 las ecuaciones (1), (4), y (6):Obtenemos: (1) + (4) I1 3I 3 + I 4 = 0 2(1) + (6) 2 I1 3I 3 4 I 4 = 0 Eliminando I 3 de (7) y (8): (7) (8)

2 = 2 = 0,1I 2 + 5I 3

100 = 1,64 A, 61

388 = -1,27 A, 355 I 3 = I 1 + I 2 = 0,37 A

I1 =

20

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

Ejemplo 39. Un galvanmetro de resistencia 20 da una desviacin de toda la escala cuando una corriente de 1 mA pasa a travs de ella. Qu modificacin se debe hacer al instrumento de modo que d la desviacin de toda la escala para (a) una corriente de 0,5 A, y (b) una diferencia potencial de 500V? Solucin. Si un galvanmetro tiene una resistencia de 20 y da la desviacin completa para una corriente de 1 mA, despus la cada de voltaje a travs de ella bajo estas circunstancias es V = IR = 10 3 (20) = 0,02 V (a) Para permitir que el galvanmetro lea hasta 0,5 A, una resistencia de desviacin debe ser agregada. Esta resistencia debe tomar 499 mA, permitiendo solamente 1 mA a travs del galvanmetro. Pero la diferencia potencial a travs de cada una es igual. As si r es la resistencia de la desviacin, entonces 1 mA x 20 = 499 mA x r,

(

)

Ejemplo 41. Una resistencia variable en serie con una pila 2 V y un galvanmetro se ajusta para dar una desviacin a escala completa, para una corriente de 1 mA. Qu resistencia puesta en serie en el circuito reducir la lectura del galvanmetro por l/f? El galvanmetro est calibrado para medir resistencia sobre esta base, pero la fuerza electromotriz de la pila cae el 5% y se reajusta la resistencia variable de modo que la desviacin a escala completa corresponda otra vez al cero de la resistencia variable. Qu error del porcentaje ahora se da en una resistencia que tenga un valor verdadero de 3800 ? Solucin. La resistencia total en el circuito cuando el galvanmetro est dando la desviacin a escala completa es

R=

I

=

2V = 2000 10 3 A

r=

20 = 0,0401 . 499

Si una resistencia desconocida X se agrega al circuito y produce una lectura de (l/f) mA en el galvanmetro, entonces

(b) Para cambiar la lectura del voltmetro hasta 500 V, uno debe agregar una resistencia en serie. Solamente 0,02 V caen a travs del galvanmetro para la corriente mxima de 1 mA. As 499,98 V deben caer a travs de la resistencia R. La misma corriente atraviesa la resistencia y el galvanmetro. Por lo tanto

R+ X =

2 = 2000 f (1 f ) 10 3 X = (2000 f 2000 ) = 2000( f 1) 95 de 2 100

La fuerza electromotriz de la pila cae a V = 1,9 V. Para la desviacin a escala completa la resistencia en el circuito ser:

499,98 V R= = 499,980 . 10 3 AEjemplo 40. Una bobina del alambre est conectada a travs de un puente de Wheatstone y de una resistencia estndar de temperatura controlada de 1 a travs del otro. Si la temperatura de la bobina es 0C, los otros brazos del puente tienen cociente de 0,923 entre las resistencias en el. Si la temperatura de la bobina es 100C el cociente es 1,338. Cul es el coeficiente de temperatura de la resistencia del alambre? Solucin. De la ecuacin del puente de Wheatstone, las resistencias de la bobina, R0 a 0C y R a 100C, son R0 = 0,923 y Rt = 1,338 . Pero Rt = R0 (1 + t ) , donde es el coeficiente de temperatura del alambre de la resistencia. As

1,9 = 1900 , y si otra resistencia de 10 3 3800 se inserta en el circuito, la corriente es 1,9V 1 = mA . Pero de la (1900 + 3000) 3

R' =

calibracin del galvanmetro, cuando la corriente cae a un tercio de su valor, la resistencia insertada debe tener un valor X = [2000(3 1)] = 4000 . El error en la lectura es as 200 , y el error del porcentaje es

200 100% = 5,3% 3800Ejemplo 42. Una longitud de 300 cm de alambre de potencimetro se requiere para balancear la fuerza electromotriz de una pila. Cuando una resistencia de 10 se conecta a travs de la pila, la longitud requerida para el

=

(Rt

R0 ) 1 (1,338 0,923) 1 = t 100 C

= 0,0045 /C21

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

balance es 250 cm. Calcule la resistencia interna de la pila. Solucin. El alambre del potencimetro es uniforme y la cada de potencial a lo largo de el es regular. Por lo tanto la longitud a lo largo del alambre es directamente proporcional a la cada potencial a travs de el. As = k x 300 cm, donde k es la constante de proporcionalidad entre el potencial y la longitud, teniendo unidades de V/cm. Cuando una resistencia de 10 se pone a travs de los terminales de la pila, el potencial a travs del resistor es V = k x 250 cm. Luego

V

=

300 6 = . 250 5

Pero cuando una resistencia se coloca a travs de los terminales de la pila, una corriente fluir en ese circuito, donde V = IR y = I(R + r). De aqu

r = 2

V

=

6 R + r 10 + r = = 5 10 R

Ejemplo 43. Se tiene el circuito mostrado en la figura. Los valores de los diferentes elementos son: R = 15,0 , R = 5,0 , R = 10,0 , R = 20

, R = 5,0 , y = 80 V5

1

2

3

4

La resistencia equivalente es 40

.

80 I1 = = 2 A. 40Las corrientes I e I .

I1 = I 2 + I 3 = 2 , I 2 = I 3 I 2 = I 3 = 1 A.b) La potencia entregada por la fuente: P = I12 40 = 22 (40) = 160 W. La potencia disipada por cada resistencia con el interruptor S abierto. P = I12 R1 = 22 (15) = 60 W. 1

2

3

( )2

a) Si el interruptor S permanece abierto, calcule la resistencia equivalente del circuito y la corriente total I . Luego calcular las corrientes I eI.3 1 2

2 P2 = I 2 R2

b) Utilizando el resultado de la parte a), calcule la potencia entregada por la fuente y la potencia disipada por cada resistencia (si el interruptor S permanece abierto). Compare sus dos resultados y comente. c) Suponga que el potencial elctrico del punto e es cero (V ). Determine el potencial elctrico de los puntos a y c. d) Se adiciona 60 voltios al voltaje de la fuente, y a continuacin se cierra el interruptor S. Calcule la corriente total en el circuito. Solucin. a) La corriente total I .1 e

P3 = I 32 R32 P4 = I 4 R4 P5 = I 52 R5

( ) = (1 )(5) = 5 W. = (1 )(10 ) = 10 W. = (2 )(20) = 80 W. = (1 )(5) = 5 W.22

2

La suma de la potencia disipada por las resistencias es igual a la potencia entregada por la fuente porque la fuente es ideal sin resistencia interna. c) Ve 20 I1 + 80 = Va Con I1 = 2 A y Ve= 0:

0 20(2) + 80 = Va Va = 40 V Ve + 10 I 2 = Vc

Con I2 = 1 A y Ve= 0:22

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

0 10(1) = Vc Vc = 10 Vd) Se adiciona 60 voltios al voltaje de la fuente, y se cierra el interruptor S.

Este circuito es equivalente a

La parte bcde equivale a un corto circuito. Que es un circuito en serie cuya resistencia total

RRe , que a su vez es igual a Re , de R + Re RRe aqu Re = R + y Re2 RRe R 2 = 0 R + Re Resolviendo para Re obtenemos el valor positivoes R +

Re =

(

5 +1 R 2

)

La corriente del circuito es:

I=

V 140 = 4 A. = Req 35

Ejemplo 45. Encontrar la resistencia equivalente entre los terminales a y b del circuito de la figura.

Ejemplo 44. Encontrar la resistencia equivalente entre los terminales a y b del circuito mostrado en la figura.

Solucin.

Solucin. Como se trata de un circuito simtrico, la distribucin de corrientes ser simtricamente como mostramos a continuacin.

Consideremos que la resistencia entre a y b es Re observemos ahora el corte AA en la figura, considerado el lado izquierdo la resistencia entre a y b es tambin igual a Re . Luego podemos dibujar el circuito como en la figura siguiente. Siguiendo las corrientes este circuito es equivalente a:

23

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

Circuito que asta formado por partes en paralelo y en serie. El circuito se reduce a:

Por ser equivalentes los intensidades de corriente en los nodos a, b, c en los dos circuitos deben ser iguales respectivamente, las que de acuerdo a la primera ley de Kirchhoff se repartan en el circuito triangulo. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al lazo a, b, c, a en el tringulo

IR2 + (I 2 + I )R3 (I 1 I )R1 = 0I= I 1 R1 I 2 R3 R1 + R2 + R3(1)

de donde

Reducidos los circuitos en paralelo se tiene:

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff entre a y b de los dos circuitos, el potencial Vab de ambos deben de ser iguales. Vab = IR2 = I 1 R12 I 2 R23 (2) Reemplazando el valor de I de (1) en (2)

Este a su vez se reduce a

I 1 R1 I 2 R3 R2 = I 1 R12 I 2 R23 R1 + R2 + R3 R2 R3 R1 R2 I1 I2 R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 = I1 R12 I 2 R23 (3)Por observacin de la expresin (3)

R12Finalmente

R1 R3 R2 R3 , R23 = R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 R1 R3 R1 + R2 + R3

De igual manera se puede deducir

R13 =

CAMBIO DE UN CIRCUITO TRIANGULO A ESTRELLA Se presentan algunos casos que no son en serie ni en paralelo, cuya resolucin es larga, pero que es posible simplificar realizando ciertas transformaciones, cambiar un circuito tringulo, a otro equivalente estrella, mostrados en la figura siguiente.

Ejemplo 46. Encontrar la resistencia equivalente entre los terminales a y b de la figura.

Solucin. Busquemos el circuito estrella equivalerte al circuito tringulo cdb

24

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

Inicialmente el circuito est abierto, no hay carga en el condensador. (Posicin 0).Carga. En el instante t = 0 ponemos la llave S en la posicin 1; empieza e fluir una corriente I.

3 1 3 1 = = 1+ 3 + 2 6 2 3 2 6 Rb = = = 1 1+ 3 + 2 6 1 2 2 1 Rd = = = 1+ 3 + 2 6 3

Rc =

E]. circuito se convierte en Aplicando la segunda ley da Kirchhoff en el circuito de le figura anterior

VR VC = 0

Reduciendo los partes en serie

V R , diferencia de potencial en le resistencia = IR VC , diferencia de potencial en el condensador = q , llamando q a la carga del condensador e I a C la corriente en cierto instante t .De aqu

Reduciendo las partes en paralelo y finalmente La resistencia equivalente es 2CIRCUITO RC En esta parte estudiaremos un circuito en el que la corriente no es estacionaria, se trata del circuito con resistencia y condensador en serie.

q =0 C dq Como I = , podemos escribir dt dq q R =0 dt C dq 1 q =0 o + dt RC R

IR

Resolviendo la ecuacin para las condiciones iniciales, para t = 0, q = 0

1 dq (q C ) = dt RC 1 dq = dt (q C ) RCintegrando

q

0

1 t dq = dt (q C ) RC 0q t

La figura muestra un condensador C, una resistencia R que se conecta a une fuerza electromotriz por medio de una llave S con tres posiciones.25

1 ln (q C ) 0 = t RC 0 (q C ) = 1 t ln C RC t (q C ) = e RC C

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

Finalmente

q = C 1 e Para t = , tenemos q = C = Q0t RC

2

0

1 t dq = dt q RC 0Q t

ln q 0 0 =

La variacin de la corriente es

dq RC I= = e dt Rt

Para t = 0 , I =

R

y para t = , I = 0

1 t RC 0 1 q ln = t Q0 RC q = e t RC Q0

La figura siguiente muestra los diagramas q versus t e I versus t durante le carga

Finalmente

q = Q0 e t RC = Ce t RCpara t = 0, tenemos q = Q0 La variacin de la corriente es

I=

dq = e t RC dt R R

Para t = 0 , I = Descarga. Una vez que ha pasado un tiempo igual a varias veces el valor del producto RC conocido como constante de tiempo del circuito se ruede considerar que el condensador est con su carga total Q0 = C . Pasamos la llave a la posicin 2 y obtenemos el circuito mostrado a continuacin.

y para t = , I = 0

La corriente es en sentido contrario a la corriente durante la carga. La figura a continuacin muestra los diagramas q versus t e I versus t durante la descarga.

En este caso en el instante t = 0 , la carga en el condensador es q = Q0 . Aplicando la segunda ley de Kirchhoff

Ejemplo 47. Halle la ecuacin para la carga de un condensador conectado en serie con una resistencia R y una fuente continua 0 . Solucin. En el instante t = 0 ponemos la llave S en la posicin 1; empieza e fluir una corriente I.

q =0 C dq 1 dq , escribimos + q=0 Como I = dt dt RC V R + VC = 0 IR +Resolviendo la ecuacin para las condiciones iniciales t = 0, q = Q0

1 1 dq dq = q=0 = dt dt RC q RCIntegrando

Aplicando la segunda ley da Kirchhoff en el circuito de le figura anterior

0 VR VC = 0

V R , diferencia de potencial en le resistencia = IR26

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

VC , diferencia de potencial en el condensador = q , llamando q a la carga del condensador e I a C la corriente en cierto instante t .De aqu

q =0 C dq Como I = , podemos escribir dt dq q 0 R = 0 dt C dq 1 + q 0 =0 o dt RC R

0 IR

Solucin. a) La carga total del condensador sera Q0 , la

mitad de la carga Q0 2 . La expresin para la carga del condensador es

Resolviendo la ecuacin para las condiciones iniciales, para t = 0, q = 0

q = Q0 1 e t RC

(

)

1 dq (q 0 C ) = dt RC dq 1 = dt (q 0 C ) RCIntegrando

Si para el tiempo t1 2 , q =

q

0

1 t dq = dt (q 0 C ) RC 0q

Q0 t RC RC = Q0 1 e 1 2 2 t 1 t RC e 12 = 1 2 = ln 2 2 RC t1 2 = 0,692 RC = 0,692 x 20 x 5 x 106 =0,692x10-4 s. b) La diferencia de potencial en el condensador es

(

)

Q0 2 1 t =1 e 12 2

ln (q 0 C ) 0ln

(q 0 C )

1 = t RC 01 = t RC

t

VC =

C t (q 0 C ) RC =e 0CFinalmentet q = 0 C 1 e RC

q C t RC t = 1 e 12 = 1 e 12 C C 1 (1 e RC ln 2 RC ) = 61 = 3 V. 2

(

) (

RC

)=

La diferencia de potencial en la resistencia es

V R = IR =Para t1 2

R = 0,692 10 -4 = RC ln 2

e

t1 2 RC

R = e

t1 2 RC

Ejemplo 48. En el circuito de la figura, estando el condensador descargado, se cierra la llave, calcular: a) El tiempo para el cual el condensador almacene la mitad de la carga. b) La diferencia de potencial en el Condensador y en la resistencia para ese tiempo.

VR = IR =

R

e

t1 2 RC

R = e

t1 2 RC

= e RC ln 2 RC =

2

= 3 V.

Ejemplo 49. Un condensador de 3,40 F que est inicialmente cargado se conecta en serie con un resistencia de 7,25 k y una fuente de fem con = 180 V y resistencia interna insignificante, a) Poco tiempo despus la carga del condensador es de 815 C. En este instante, cul es la corriente y cul es su sentido: hacia la placa positiva del condensador o hacia la placa negativa?

27

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

b) Cuando haya transcurrido mucho tiempo, cul ser la carga del condensador? Solucin. a) Si el condensador dado fuese cargado completamente para la fem dada, Qmx = CV = (3,4 106 )(180)

= 6,12 10 4Puesto que tiene ms carga que despus de que fuera conectado, esto nos dice que el condensador se est descargando y que la corriente debe fluir hacia la placa negativa. El condensador comenz con ms carga que la permitida por la fem dada. Sea Q(t = 0 ) = Q0 y Q (t = )= Q f . Para todo t,Solucin. a) La capacidad equivalente y la constante de tiempo son:

1 1 Ceq = 3 F + 6 F = 2,00F = Rtotal Ceq = (6,00 )(2,00 F)= 1,2 x 10-5 s. b) Despus t = 1,2 x 10-5 s,

1

Q (t )= (Q0 Q f )e t

RC

+ Qf

Tenemos dado Q para un tiempo t = T; Q (t =T )= 8,15 10 4 C y de arriba

q = Q f (1 e V3 F =

t RCeq

) = C eq (1 e

t RCeq

)

Q f = 6,12 10 4 C . La corriente I (t ) = dQ(t ) (Q0 Q f ) t RC e = dt RC

En t = T;

C q t RC eq = eq (1 e ) C3 F C3 F (2,0 F)(12 V) (1 e 1 ). = 3,0 F

Q(T ) = (Q0 Q f )e T RC + Q f . Luego lacorriente en t = T es

= 5,06 V.Ejemplo 51. En un condensador en proceso de carga la corriente est dada por la ecuacin

I (T ) =

(Q0 Q f )

=As

RC (Q(T ) Q f )

( e )T RC

i=

RC 8,15 104 + 6,12 104 7,25 103 3,40 10 6

dq t RC = e = I 0e t RC . dt R

I (T ) =

(

= - 8,24 x 10 A hacia la placa negativa. b) Cuando haya transcurrido mucho tiempo el condensador descargar a 6,12 10 4 C como calculado antes.Ejemplo 50. Una batera de 12,0V con una resistencia interna de 1,00 carga dos condensadores en serie. Hay una resistencia de 5,00 en serie entre los condensadores. a) Cul es la constante de tiempo del circuito de carga? b) Despus que el interruptor ha permanecido cerrado durante el tiempo determinado en el inciso (a), cul es el voltaje entre los bornes del condensador de 3,00 F?

-4

)(

)

a) La potencia instantnea que la batera suministra es i. Integre esto para hallar la energa total suministrada por la batera. b) La potencia instantnea que se disipa en la resistencia es i 2 R . Integre esto para hallar la energa total disipada en el resistor. c) Halle la energa final almacenada en el condensador y demuestre que es igual a la energa total suministrada por la batera menos la energa disipada en la resistencia, segn se obtuvo en los incisos (a) y (b). d) Qu fraccin de la energa suministrada por la batera queda almacenada en el condensador? De qu forma depende de R esta fraccin? Solucin. a) Etotal = =

0

P dt = idt0

0

2 e t RC dt = e t RC dtR R0 0

= 2C e t RCb) ER =28

= 2C

0

PR dt = i 2 R dt0

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

1 e 2t RC dt = 2C 2 2 2 Q V C 1 2 c) U = 0 = = C 2C 2 2 = Etotal E R .=

2

R

0

d) La mitad de la energa es almacenada en el condensador, sin importar el tamao de la resistencia.Ejemplo 52. a) A partir de la ecuacin

i=

Q dq = 0 e t RC = I 0 e t RC , que describe la dt RC

Por le primera ley de Kirchhoff I = I1 + I 2 (1) Por le segunda ley de Kirchhoff I 1 R1 = 0 (2) y I 2 R2

corriente en un condensador que se descarga, deduzca una expresin de la potencia instantnea P = i2R que se disipa en la resistencia. b) Integre la expresin con respecto a P para hallar la energa total disipada en la resistencia, y demuestre que es igual a la energa total almacenada inicialmente en el condensador. Solucin.

q =0 C

(3)

De (2) obtenemos

I1 =

R1

Trabajando con (3)

Q P = i R = 0 2 e 2t / RC RC 2 Q b) E = Pdt = i 2 Rdt = 0 2 e 2t / RC dt 0 0 RC 0Q a) i = 0 e t RCRC 2

2

q dq = 0 , I2 = C dt dq 1 q Luego + =0 dt R2 C R2 I 2 R2 +Cuya solucin es

q = C 1 e t R2Cy la corriente es

(

)

E=

Q0 e 2t 2 RC 02

2

RC

dt =2

Q0 RC RC 2 2

2

I2 =

Q RC Q0 = 02 = = U0 . 2C RC 2Ejemplo 53. En el circuito de la figura, estando el condensador descargado, se cierra la llave. a) Cul es la corriente suministrada por le fem en el momento que se cierra la llave y cul despus de largo tiempo? b) Despus de un tiempo largo t se abre la llave. Cunto tiempo tarda en disminuir la carga del condensador en un 90% con relacin a la que tena en t?

dq t R2C = e dt R2

Reemplazando las expresiones de I1 e I2 en (1)

I=

R1

+

1 1 t RC e t RC I = + R R e R2 2 1

Esta expresin corresponde a la corriente. En el instante en que se cierra la llave, t = 0 .

1 (R1 + R2 ) 1 I = + R R = R R 2 1 2 1

Con los valores

+ 10 10 3 = 12 x 10-4 A 3 3 10 10 10 10 Mucho tiempo despus, t = . 1 I = = R R 1 1

I =6

(10 10

3

)

Con los valoresSolucin. Cuando se cierra la llave circula la corriente tal como se muestra a continuacin.

I=

6 = 6 x 10-4 A 10 103

b) Despus de un tiempo largo se abre la llave. En ese instante la carga del condensador es Q0 ,29

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

y el circuito queda como se muestra a continuacin.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff

q q = 0 I (R1 + R2 ) + = 0 C C 1 I+ q=0 (R1 + R2 ) dq : Con I = dt 1 dq + q=0 dt (R1 + R2 ) IR1 + IR2 +Cuya solucin es

Los parmetros mas importantes que se deben conocer son la resistencia del galvanmetro (Rg) y la corriente que produce le mxima desviacin en la aguja del galvanmetro (Ig), un ejemplo tpico de valores es una resistencia R g = 20 y una desviacin mxima para una corriente de 1 miliampere (Ig = 1 mA). Este instrumento conectado en la forma conveniente con una resistencia de determinado valor y montado en una caja con solo los terminales y la escala visibles viene a ser un ampermetro o un voltmetro.Ejemplo 54. Con el galvanmetro, proyectar un ampermetro de 0 a 1 Ampere. Solucin. Para tener un ampermetro de 0 a lA es necesario que el galvanmetro marque una desviacin mxima de 1 A. Como esto sucede para una corriente Ig = 1 mA, es preciso hacer un desvo a la corriente como se muestra en la siguiente figura.

q = Q0 e t ( R1 + R2 )CQ0 . 10

Cuando la carga disminuye en un 90% queda el 10% de la Carga o sea, q =

Q0 = Q0 e t ( R1 + R2 )C t = (R1 + R2 )C ln 10 10Poniendo valores = 4,6 x 10-2 s.

t = (10 10 3 + 10 10 3 )10 6 (2,3)

INSTRUMENTOS Y DISPOSITIVOS DE MEDICION Ampermetros y Voltmetros. Los dispositivos que miden, la corriente, la diferencia de potencial en un circuito son el ampermetro y el voltmetro, respectivamente. La parte principal de estos instrumentos es un Galvanmetro, que es un aparato que sirve para detectar el paso de pequeas corrientes. El tipo mas comn es el Galvanmetro de DAnsorval, funciona basado en el principio de que una bobine por la cual circula corriente y que est en el interior de un campo magntico experimenta la accin de un torque proporcional al paso de la corriente de tal modo que la lectura en la escala es proporcional a la corriente que pasa por l.

Esto se logra conectando una resistencia en paralelo llamado shunt (Rsh ) , cuyo valor se determina como sigue: La diferencia de potencial entre a y b, es

Vab = I g R g = (I I g )Rsh Rsh = Rg

(I I )g

Ig

Con los datos

10 3 Rsh = 20 (1 10 3 ) = 0,020002

30

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

Se debe de conectar en paralelo al galvanmetro una resistencia de 0,020002 y se tendr un ampermetro 0 - l A entre los terminales a y b. Un ampermetro ideal debe tener una resistencia cero, ya que se conecta en serie al circuito que se quiere medir.Ejemplo 55. Con el mismo galvanmetro proyectar un voltmetro de 0 a 6 Voltios. Solucin. Para tener un voltmetro de 0 a 6V es necesario que el galvanmetro marque a desviacin mxima 6 Voltios, como esto sucede cuando pasa una corriente 1 mA, es preciso aumentar la resistencia de ste, esto se logra mediante una resistencia en serie, como se muestra en la figura a continuacin.

5000 R1 1 1 1 = + R= R R1 5000 5000 + R1Puesto que 4 V es la cada a travs de la resistencia R y 8 V a travs de la resistencia R2, tenemos: 4V = IR y 8V = IR2 . Luego R =

5000 R1 R = 2 5000 + R1 2

Similarmente, de los diagramas (c) y (d), muestran la segunda conexin del voltmetro y del circuito equivalente, tenemos

5000 R2 y 6V = IR1 = I ' R ' 5000 + R2 5000 R2 Luego R ' = = R1 , 5000 + R2R' =La diferencia de potencial entre a y b, es

Vab = (Rsh + R g )I g Rsh =con los datos

Vab Rg Ig

Por lo tanto, de las dos ecuaciones obtenidas, tenemos 10000 R1 = 5000 R2 + R1 R2 y

5000 R2 = 5000 R1 + R1 R2Restando estas ecuaciones, obtenemos

Rsh =

6 20 = 5980 10 3

Se debe conectar en serie al galvanmetro una resistencia d e 5980 y se tendra un voltmetro 0 6 V entre los terminales a y b. Un voltmetro ideal debe tener una resistencia infinita ya que se conecta en paralelo al circuito que se quiere medir.Ejemplo 56. Un banco de las pilas que tienen una fuerza electromotriz total de 12 V y una resistencia interna insignificante est conectado en serie con dos resistencias. Un voltmetro de resistencia 5000 se conecta alternadamente a travs de las resistencias, y da las medidas 4 V y 6 V, respectivamente. Cules son los valores de las resistencias? Solucin.

15000 R1 = 10000 R2 R1 =

2 R2 3

Substituyendo nuevamente dentro de las ecuaciones, obtenemos

R1 =

5000 5000 = 1667 y R2 = = 2500 3 2

Ejemplo 56. El valor de una resistencia se mide usando un voltmetro y un ampermetro. Cuando el voltmetro se conecta directamente a travs de la resistencia, las lecturas obtenidas son 50 V y 0,55 A. Cuando el voltmetro se conectado a travs del ampermetro y de la resistencia, las lecturas son 54,3 V y 0,54 A. La resistencia del voltmetro es 1000 . Encuentre el valor de la resistencia y la resistencia del ampermetro. Solucin. Sea el valor de la resistencia R y la resistencia del ampermetro r. La primera conexin se muestra en el diagrama siguiente.

El voltmetro est conectado a travs de R1 como en el diagrama (a), y es equivalente al circuito mostrado en el diagrama (b), donde31

Corriente continua

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Por la primera ley de Kirchhoff, I 1 + I 2 = 0,55A . Por la segunda ley de Kirchhoff,

= 8,4 + (1,50) (0,20)= 8,7 VEjemplo 58. Ampermetro no ideal. A diferencia del ampermetro idealizado, todo ampermetro real tiene una resistencia diferente de cero. a) Se conecta un ampermetro con resistencia RA en serie con una resistencia R y una batera de fem y resistencia interna r. La corriente medida por el ampermetro es IA. Halle la corriente a travs del circuito si se quita el ampermetro a fin de que la batera y la resistencia formen un circuito completo. Exprese su respuesta en trminos de IA, r, RA y R. Cuanto ms ideal es el ampermetro, tanto ms pequea es la diferencia entre esta corriente y la corriente IA. b) Si R = 3,80 , = 7,50 V y r = 0,45 , halle el valor mximo de la resistencia del ampermetro RA con el que IA no difiere en ms de 1% de la corriente del circuito en ausencia del ampermetro. c) Explique por qu su respuesta al inciso (b) representa un valor mximo. Solucin. a) Con un ampermetro en el circuito:

Vab = I 1 R = 1000 I 2 = 50V 50 1 I2 = = A 1000 20 e I 1 = (0,55 0,05)A = 0,5A 50V R= = 100 20AEl segundo mtodo de conexin se demuestra en diagrama siguiente.

Aqu 54,3 V = 0,54 A x (R + r). Luego r =

51,3V R = 100,56 100 = 0,56 o,54A

Ejemplo 57. La diferencia de potencial entre los bornes de una batera es de 8,4 V cuando hay una corriente de 1,50 A en la batera, del borne negativo al borne positivo. Cuando la corriente es de 3,50 A en el sentido inverso, la diferencia de potencial cambia a 9,4 V a) Cul es la resistencia interna de la batera? b) Cul es la fem de la batera? Solucin. a) Tenemos Vab = Ir Para el primer caso

I (r + R + R ) = 0 = I (r + R + R ) .A A A A

Sin ampermetro:

8,4 = 1,50 r Para el segundo caso

= 8,4 + 1,50 r

(1)

I ( + R ) = 0 I=r+RReemplazando, previamente. con el valor obtenido

I=9,4 = + 3,50rReemplazando (1) en (2): (2)

I A (r + R + RA ) r+R R

9,4 = (8,4 + 1,50r ) + 3,50r 9,4 8,4 r= = 0,2 . 5 ,00

A . = I A 1 + r + R

b) La fuerza electromotriz en la batera es32

b) El valor mximo de RA con el que IA no difiere en ms de 1% de la corriente del circuito en ausencia del ampermetro.

Corriente continua

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I RA 1,01 = 1 + IA r + R RA 0,01 r+R RA 0,01(r + R ) Con R = 3,80 , = 7,50 V y r = 0,45 RA 0,01 (0,45 + 3,8) 0,0425c) Esto es un valor mximo, puesto que cualquier resistencia mayor hace a la corriente an menor que sin ella. Es decir, puesto que el ampermetro est en serie, CUALQUIER resistencia aumenta la resistencia del circuito y hace la lectura menos exacta.Ejemplo 59. Voltmetro no ideal. A diferencia del voltmetro idealizado, todo voltmetro real tiene una resistencia que no es infinitamente grande. a) Un voltmetro con resistencia RV est conectado entre los bornes de una batera de fem y resistencia interna r. Halle la diferencia de potencial medida por el voltmetro. b) Si = 7,50 V r = 0,45 , halle el valor mnimo de la resistencia del voltmetro R de tal manera que la lectura del voltmetro no difieran en ms del 1% de la fem de la batera. c) Explique por qu su respuesta al inciso (b) representa un valor mnimo. Solucin. a) Con un voltmetro en el circuito:

RV

r 0,01r = 99r = 99,045 0,01,

Con = 7,50 V r = 0,45

RV 99(0,45) = 44,55

c) 44,55 es la resistencia mnima necesaria, cualquier resistencia mayor conduce a menor flujo de corriente y por lo tanto a menos prdida de potencial sobre la resistencia interna de la batera.Ejemplo 60. Un galvanmetro cuya resistencia es 9,9 se le coloca una resistencia shunt de 0,1, cuando se utiliza como ampermetro con la desviacin a escala completa de 5 A. Cul es la corriente del galvanmetro que lleva en la desviacin mxima? Qu resistencia se debe utilizar y cmo debe ser conectada si el galvanmetro va a ser utilizado como voltmetro con la desviacin a escala completa de 50 V? Solucin. Cuando el galvanmetro se utiliza como ampermetro debe conectarse tal como se muestra en el siguiente diagrama.

Por la primera ley de Kirchhoff, I1 + I2 = 5A Por la segunda ley de Kirchhoff,

9,9 I 1 + 0,1I 2 = 0

I1 1 = I 2 99

I (r + R ) = 0 I=V

I1 1 = I 1 + I 2 100 5A = 50 mA . Luego I 1 = 100Cuando el galvanmetro se utiliza como voltmetro debe tener una resistencia en serie con l, como se muestra en el diagrama siguiente.

r + RV

Tambin

Vab = Ir = r+R V r = 1 r + RV b) Para que Vab 0,99

Vab

r = 1 r + RV

r 0,99 0,01 r + RV 33

En la desviacin a escala completa 50 mA afluyen a travs del galvanmetro, segn lo calculado en la primera parte del problema. La cada de potencial a travs del galvanmetro debe por lo tanto ser V = IR = 50 10 3 A (9,9 ) = 0,495V . Pero 50 V caen a travs de R y del galvanmetro. As 49,505 V es la cada en la resistencia en serie. Por lo tanto tiene un valor.

(

)

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

R=

49,505V = 990,1 50 10 -3 A

MEDICION DE RESISTENCIAS Ohmmetro. Es un instrumento que sirve para medir resistencias rpidamente, consta de una pila y una resistencia en serie Rsh como se muestra en la figura a continuacin.

Ejemplo 61, Dos voltmetros de 150 V, uno con una resistencia de 10,0 y el otro con una resistencia de 90,0 k estn conectados en serie entre los extremos de una lnea de cc de 120V Encuentre la lectura de cada voltmetro. (Un voltmetro de 150V sufre una desviacin de escala completa cuando la diferencia de potencial entre sus dos bornes es de 150 V). Solucin. Dos voltmetros con resistencias diferentes estn conectados en serie a travs de una lnea de 120 V. La corriente que circula es

I=

120 V V = = 1,20 x 10-3 A. 3 Rtotal 100 10

Pero la corriente requerida para la desviacin completa para cada voltmetro es:

150 V = 0,0150 A 10000 150 V I dc (90 k ) = = 1,67 x 10-3 A. 90000

El valor de Rsh est dado de tal manera que el galvanmetro marque desviacin mxima al unirse a y b, lo que correspondera a una resistencia cero. Sea R x la resistencia a medir, se conecta a los terminales a y b y la ecuacin del circuito es

I dc (10 k ) =

y

IRsh IRx IRg = 0 I= Rx + Rsh + Rg

Luego las lecturas son:

1,20 10 3 A V10 k = 150 V 0,0150 A = 12 V y 3 1,20 10 A V90 k = 150 V 1,67 10 3 A = 108 V. MEDICION DE POTENCIAS

Como el valor de I depende de R x y no tienen una relacin lineal y adems depende de la constancia de , este instrumento no es de alta precisin pero es de gran utilidad dada la rapidez de las lecturas.Ejemplo 62. Con el galvanmetro de ejemplos anteriores proyectar un ohmmetro. Solucin. Usemos el galvanmetro con una pila comn de 1,5V. La deflexin mxima debe de producirse con R x = 0 o sea

Como P = Vab I y R =

Vab , es necesario hacer I

la medicin de Vab e I , para esto hay dos formas posibles de conectar el voltmetro y el ampermetro como se muestra en le figura siguiente.

I=

Rx + Rg

Con los datos

10 3 =

1,5 Rsh + 20

De donde

Rsh = 1480Forma a), en esta forma el voltmetro incluye la diferencia de potencial en el ampermetro, la que si es pequea (Resistencia de ampermetro muy baja) no necesitara correccin. Forma b) en esta forma el ampermetro incluye la corriente que pasa por el voltmetro, si la resistencia del voltmetro es muy alta la corriente debe ser muy pequea y no necesitara correccin.34

El galvanmetro hay que conectarlo en serie a una pila de 1,5 Voltios y a una resistencia de 1480 , luego proceder a su calibracin.Puente de Wheatstone. Usando el circuito conocido como Puente de Wheatstone se pueda medir resistencias con exactitud. La figura (a) muestra un esquema de este dispositivo.

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

Consiste de un alambre AB de alta resistencia y longitud 1 metro, un galvanmetro G con un terminal de posicin variable C, una resistencia conocida R, una pila y una resistencia RL limitadora de corriente. La figura (b) muestra la distribuci6n de las corrientes cuando se ha logrado que no haya paso de corriente a travs de l mediante la variacin de la posicin C. Bajo estas condiciones tenemos: I 1 R1 = I 2 R x y I 1 R2 = I 2 R4 Dividiendo miembro a miembro

Consiste de un alambre de alta resistencia AB, un galvanmetro con resistencia interna R g , una fuerza electromotriz , una resistencia limitadora R2 , una fuerza electromotriz patrn

p y por supuesto la fuerza electromotriz por conocer x con resistencia interna ri .

Se mueve el terminal variable hasta que el galvanmetro marque cero (I 2 = 0 ) . La diferencia de potencial entre C y B es

R1 R x R R x = R4 1 = R2 R4 R2Es aconsejable que el valor de sea del orden del valor de la resistencia por conocer. Por otro lado, siendo uniforme el alambre que se usa (mismo material e igual seccin).

VCB = IR1Tambin

VCB = I 2 (Rg + r ) ( x ) = x

De tal manera que

x = IR1

L L R1 = 1 y R2 = 2 A ATenemos que

Se repite la experiencia pero esta vez en lugar de la fem desconocida x se pone la fem patrn

p , como I 2 es cero y el valor de (R1 + R2) esconstante el valor de I permanece igual, pero tenemos un nuevo R1 que es R1.

R1 L1 = R2 L2De aqu

p = IR'1

Rx = R4

L1 L2

De estos resultados se ve que

x = p

Potencimetro. Este dispositivo se usa para medir la fuerza electromotriz de un generador sin que pase corriente por l, La figura siguiente muestra un esquema de este dispositivo.

R1 R'1 L1 L2

Siendo R1 y R1 el mismo alambre se puede decir que

x = p

PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1. Un alambre de cobre de seccin transversal 3x10-6 m2 conduce una corriente de 10 A. Hallar la velocidad media de los electrones en el alambre. Datos: carga del electrn 1,6x10-19 C. Peso atmico del cobre 63,5 g/mol, nmero de Avogadro 6,02 1023 tomos/mol, se supone que cada tomo de cobre contribuye con un electrn libre a la conduccin.35

2. La cantidad de carga (en C) que pasa a travs de una superficie de rea 2cm 2 vara con el tiempo como q = 4t 3 + 5t + 6 , donde t est en s. a) Cul es la corriente instantnea a travs de la superficie en t = 1s ?

Corriente continua

Hugo Medina Guzmn

b) Cul es el valor de la densidad de corriente?3. La corriente I (en Amperes) en un conductor depende del tiempo como I = 2t 2 3t + 7 , donde t est en s Qu cantidad de carga pasa a travs de una seccin del conductor durante el intervalo comprendido entre t = 2 s y t = 4 s ? 4. Corriente en la atmsfera: En la atmsfera inferior de la Tierra existen iones negativos y positivos, creados por elementos radioactivos en el suelo y en los rayos csmicos del espacio. En cierta regin, la intensidad del campo elctrico atmosfrico es de 120 V/m dirigido verticalmente hacia abajo. Debido a este campo, los iones con una sola carga e positiva, que son 620 por cm3, se dirigen hacia abajo con velocidad 1,7 cm/s, y los iones con una sola carga negativa, -e, 550 por cm3, se dirigen hacia arriba con velocidad 1,7 cm/s. a) Cul es la densidad de carga de los iones positivos en el aire? Cul es la densidad de carga de los iones positivos en el aire? b) Cul es la densidad de corriente en el aire? c) Cul es la resistividad del aire segn los datos dados? 5. Un cable cilndrico de Plata de 1 mm2 de seccin y 5m de largo, conduce una corriente de 0,5A. Determinar: a) La resistencia del conductor. b) La diferencia de potencial V entre los extremos del conductor. c) El campo elctrico E (uniforme) que determina V en el co