1

DERIVADAS

Sea U un conjunto abierto,0z U y :f U . La primera derivada

0'( )f z de f en 0z

es, por definición

0

00

0

( ) ( )'( ) lim ,

z z

f z f zf z z U

z z

siempre que el límite exista como un número complejo finito y donde el límite es tomado

en el sentido bidimensional. La función se dice diferenciable en 0z cuando 0'( )f z existe.

Este límite también es notado como 0( )

dfz

dz.

Nótese que se requiere z U para que ( )f z tenga sentido y el valor del límite es el mismo

complejo 0'( )f z sin considerar la forma como la variable 0z z . Como 0z es punto

interior de U , z se acerca a 0z por cualquier camino (espirales hacia adentro, ramas de

parábolas, de hipérbolas, rectas, etc.)

Otra expresión de la derivada se obtiene tomando 0 0,z z z z z y donde 0z z z :

0 00

0

( ) ( )'( ) lim

z

f z z f zf z

z

Como 0z es punto interior de U , 0 0( ) /rD z z z z r U . El punto 0 0( )rz z D z

para z suficientemente pequeño y como consecuencia el complejo 0( )f z z siempre está

definido (ver figura 1).

Figura 1. Ilustración geométrica de la derivada en 0z .

0z

0z z

z

0( )f z

0( )f z z

x

y

v

u

0 0( ) ( )f z z f z r

0( )rD z

2

En general para cualquier z , 0

( ) ( )'( ) lim

z

f z z f zf z

z

Ejemplo1. Calcular mediante definición '( )f z sí 2( )f z z .

Solución: como 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( )f z z z z z z z z entonces reemplazando

2 2 2

0 0

2 ( ) ( )'( ) lim lim[2 ( )] 2

z z

z z z z zf z z z z

z

. Así '( ) 2f z z

Ejercicios. Usando la definición de derivada mostrar que:

1. 3 2( ) '( ) 3Sí f z z f z z .

2. 1 2

3 31

( ) '( )3

Sí f z z f z z

3. 1 1

2 21

( ) '( )2

Sí f z z f z z

4. 2

1 1( ) '( )Sí f z f z

z z

5. 1( ) 0 '( )n nSí f z z n f z n z

FÓRMULAS DE DERIVACIÓN

Como la derivada se define como un límite y este tiene buen comportamiento con las

operaciones algebraicas, la extensión de las propiedades de la derivada del cálculo real al

cálculo complejo conserva la siguiente forma:

1. ( ( ) ( )) ' '( ) '( )f z g z f z g z

2. ( ( ) ( )) ' '( ) ( ) ( ) '( )f z g z f z g z f z g z

3. 2

'( ) ( ) '( ) ( ) '( )

( ) ( )

f z g z f z f z g z

g z g z

4. (Regla de cadena) Sí :f U V y :g V son tales que :g f U donde

( )( ) ( ( ))g f z g f z y supóngase que las derivadas '( ) '( )f z y g w existen para sus

correspondiente dominios. Entonces ( ) '( ) '( ( )) '( )g f z g f z f z .

3

Ejemplo 2. Si 3 2( ) 5 3 6w f z z z z y 4( )g w w entonces

4 3 2 4( )( ) ( ( )) ( ) (5 3 6)g f z g f z g w w z z z .

Por tanto la derivada es

3 2 3 2 3 2( ) '( ) '( ( )) '( ) 4 (15 6 1) 4(5 3 6) (15 6 1)g f z g f z f z w z z z z z z z

Otros ejemplos sobre la existencia o no de derivadas son:

Ejemplo 3. Mostrar que sí ( )f z z entonces '( )f z NO existe en ninguna parte.

Solución: ( )f z z z z z z entonces 0 0

'( ) lim limz z

z z z zf z

z z

Figura 2. Para 0z z arbitrario y dos caminos (horizontal y vertical) se muestra que 0( )f z NO existe.

Para la recta horizontal 0y y : 0 0

00

00

'( ) lim lim lim1 1z x x x x

x xzf z

z x x

Para la recta vertical 0x x : 0 0

00

00

( )'( ) lim lim lim( 1) 1

( )z y y y y

i y yzf z

z i y y

Como 0'( )f z debe es el mismo por cualquier camino (unicidad del límite) entonces '( )f z

No existe en ninguna parte. Por tanto, la función ( )f z z no es diferenciable.

Ejemplo 4. Mostrar que 2

( )f z z z z solo tiene derivada en el origen y su valor es

cero.

0 0 0z x i y 0z x i y

0z x x

0z x i y

0( )z i y y

x

y

4

Solución: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f z z z z z z z z z z zz z z z z z z

entonces 0 0

( )( )'( ) lim lim

z z

zz z z z z z z z z zf z z z z

z z

Figura 3. Para 0z z arbitrario, e infinitos caminos y mx b comparados con la recta horizontal se

muestra que 0'( )f z existe solo si 0 0 0 0z i .

Para las rectas y mx b , 0 0

0 0

( ) ( )

( ) ( )

x x i mx b yz

z x x i mx b y

entonces para 0z z arbitrario

0 0 0

0'( ) lim

z

zf z z z z

z

0

0 00 0 0 0

0 0

( ) ( )lim [( ) ( )]

( ) ( )x x

x x i mx b yz z x x i mx b y

x x i mx b y

0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 0

( )[ ( )] ( )

( )

i mx b yz z i mx b y z z i mx b y

i mx b y

0 0 0 0 0 0 0( ) 2x i y x i y i y y i y

Para la recta horizontal 0y y , 00,m b y

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00

'( ) lim lim (1) 2z x x

zf z z z z z z x x z z x iy x iy x

z

Sí ( )f z tiene derivada entonces 0 0 0 0 0 02 2 0 0 0 0 0i y x x iy i x y y

y en este caso, 0 0'( ) 2 2 0f z iy x .

0 0 0z x i y 0z x i y

0z x x

0z x i y

0( )z i y y

x

y

( )z x i mx b

0 0( ) ( )z x x i mx b y

5

Nótese que hemos comparado todas las infinitas rectas y mx b (con 0m ) que pasan

por el punto 0 0 0z x iy con la recta horizontal que pasa por

0 0 0z x iy y se concluyó

que el límite es único solo cuando 0 0z , esto es, '(0)f existe y su valor es cero.

Este ejemplo nos muestra que ( ) ( , ) ( , )f z u x y i v x y puede ser diferenciable en un punto

0 0 0z x iy sin serlo en ningún otro punto de su entorno.

Continuidad y Diferenciabilidad:

La continuidad de f en un punto 0z no implica que f sea diferenciable en 0z .

Contraejemplo: la función ( )f z z x iy con ( , ) , ( , )u x y x v x y y es continua en

todo z sin embargo no existe un z para el cual '( )f z exista.

Otro contraejemplo: la función ( )f z zz es continua en el plano complejo, pues sus

funciones componentes 2 2( , )u x y x y , ( , ) 0v x y lo son, sin embargo '( )f z no existe

para 0z .

Teorema 1. Sí '( )f z existe en 0z z entonces f es continua en 0z

Demostración: como se quiere llegar a que 0

0lim ( ) ( )z z

f z f z

entonces considerando

0 0 0 0

0 00 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim[ ( ) ( )] lim[ ( )] lim[ ] lim[ ]z z z z z z z z

f z f z f z f zf z f z z z z z

z z z z

0'( ) 0 0f z ( '( )f z existe por hipótesis).

Así, 0 0 0 0

0 0 0lim[ ( ) ( )] 0 lim[ ( )] lim[ ( )] lim[ ( )] ( )] 0z z z z z z z z

f z f z f z f z f z f z

y por tanto

00lim ( ) ( )

z zf z f z

, definición de f continua en 0z .

Nota: Respecto a la definición de la derivada el cociente 0

0

( ) ( )f z f z

z z

es un ejemplo

importante de división de un complejo por otro y bien definido debido a las propiedades de

campo de . Este tipo de cociente no es posible para funciones de 3 a

3 ya que no es

posible la división entre vectores.

Ejercicios:

1. Usando el método del ejemplo 3 y 4, mostrar que '( )f z no existe en ningún punto z

6

cuando (a) ( ) Re( )f z z (b) ( ) Im( )f z z

2. Sea

2

0( )

0 0

zsí z

f z z

si z

pruebe que '(0)f no existe.

3. Sea 3

2( )f z z . Mostrar que f solo tiene derivada en 0.

4. Calcular la derivada de

373

3

1( )

1

zf z

z

FUNCIONES ANALÍTICAS

En el plano complejo, las funciones que especialmente tienen propiedades interesantes son

aquellas que tienen derivadas en todos los puntos de un conjunto abierto no vacio y

conectado denominado dominio.

Una función que tiene derivada en todo punto de un dominio U se dice analítica en U .

Las funciones que tienen derivadas solo en puntos aislados no son interesantes; por

convención, decir que f es analítica en un punto 0z significa que f es analítica en una

vecindad del punto, es decir, es analítica en 0 0( ) /rD z z z z r . En el caso en que

S sea un conjunto cualquiera, afirmar que f es analítica en S significa que f es analítica

en un conjunto abierto que contiene a S (el conjunto abierto podría ser S sí este es abierto).

En términos formales: Sea :f U . Sí '( )f z existe para todos los puntos z U ,

entonces la función ' :f U tal que '( )z f z queda definida. Esta función podría ser o

no continua, tener derivada, etc. Se define f analítica en 0z si solo si

i. '( )f z existe para todos los puntos z en algún 0( )rD z que contiene a 0z (en

particular, 0'( )f z existe).

ii. ' '( )f f z es una función continua de z en algún 0( )rD z que contiene a 0z .

En palabras, f es analítica en 0z , si ella es continuamente (compleja) diferenciable en

0( )rD z .

Las siguientes expresiones son sinónimos: “analítica” = “holomorfica” = “regular”.

7

Es importante resaltar que la analiticidad de funciones es una propiedad “local” ya que f es

analítica en un punto 0z si solo si f es analítica en todos los puntos de alguna vecindad de

0z . Algunas diferencias aparentes pueden encontrarse en cuanto a las definiciones ya que

algunas exigen continuidad mientras que otras no, pero estas resultan equivalentes por el

teorema de Goursat el cual establece que la condición de continuidad de 'f puede ser

omitida.

Una función que es analítica en todo el plano finito se denomina entera

Algunos ejemplos de funciones analíticas:

1. Las funciones constantes: ( )f z a ib , '( ) 0f z es continua para todo z .

2. Cualquier polinomio en z : 0 1( ) ... , 0, , 0,1,2,3,...n

n n kp z a a z a z a a k n

es diferenciable para todo z y su derivada es de nuevo otro polinomio que a su vez es

continuo. Así, los polinomios satisfacen los requerimientos de analiticidad. Todo polinomio

es una función entera.

3. Las funciones racionales: ( )

( ) ,( )

f zh z

g z con dominio / ( ) 0D z g z y donde

( ) ( )f z y g z son polinomios. La derivada 2

( ) '( ) ( ) '( )'( )

( )

g z f z f z g zh z

g z

existe, y es

continua es D .

4. Las siguientes funciones no son analíticas:

( )f z z . No existe '( )f z en ninguna parte.

( )f z zz . Sólo posee '(0) 0f . No es analítica en 0z , ya que para cualquier

vecindad (0)rD , '( )f z no existe sí 0z .

Un punto singular (o singularidad) de una función f es un punto en el cual f no es

analítica. En otras palabras, si una función NO es analítica en un punto 0z pero lo es en

algún punto de toda vecindad 0( )rD z de 0z , se dice que 0z es punto singular de f .

Ejemplos:

1. 0z es un punto singular para 1

( )f zz

y para 1

( ) zf z e . Nótese que f no es

analítica en 0 pero lo es para algún punto arbitrario (0)rz D . (Ver figura 4)

8

Figura 4. 2

1'( )f z

z

existe y es continua en el disco perforado (0) 0rD y por tanto es analítica allí.

Nótese también que para algún (0)rz D , f es analítica en este z, pues existe la derivada en ( )D z .

2. Las funciones ( )z

f zz

y ( )senz

g zz

también tienen punto singular en 0z . La

diferencia con las dos funciones del ejemplo anterior radica en que estas funciones tienden

a un valor límite cuando 0z y pueden convertirse en analíticas si las redefinimos en

0z igual al valor del límite así:

0

( )

1 0

zz

f z z

z

y 0

( )

1 0

senzz

g z z

z

y en este caso se puede afirmar que 1z

z

y que ( )g z es igual a la suma de serie 3 5 2 41

[ ...] 1 ...3! 5! 3! 5!

senz z z z zz

z z

En otro sentido, 1

z no tiene un límite finito cuando 0z , e igualmente

1

ze tampoco tiene

límite cuando 0z .

Ejercicio: Mostrar que 1

ze no tiende a un límite (ya sea finito o infinito) como 0z .

Sugerencia: tome distintos caminos de acercamiento hacia el origen.

Los ejemplos anteriores 1 y 2 exhiben funciones que resultan analíticas en una vecindad o

disco perforado del punto singular, es decir, en un disco donde el centro (punto singular)

es removido. En estos casos, el punto se llama punto singular aislado de f . En los

0

z

r

(0)rD

( )D z

9

ejemplos 1 y 2 el punto singular en referencia es 0z . Es fácil encontrar funciones

analíticas que tienen puntos singulares no aislados.

Ejercicio: Mostar que el punto singular de 1

( ) tanf zz

en 0z no es aislado.

Clasificación de los puntos singulares aislados:

Es importante distinguir tres clases de puntos singulares aislados mediante las siguientes

propiedades mutuamente exclusivas:

1. (Singularidad removible) El módulo ( )f z es acotado en algún disco perforado de 0z .

2. (Polo) El módulo ( )f z tiende a cuando 0z z .

3. (Singularidad esencial) Todo lo demás. Esto es, ( )f z es no acotado pero ( )f z .

En el primer caso ( )f z se aproxima a un límite (finito) como 0z z , y la singularidad

desaparece sí 0( )f z se define como el valor de este límite.

Si ( )f z como 0z z , entonces existe un disco 0( )rD z centrado en 0z en el que

( )f z M donde la constante 0M . Considerando 1

( )( )

g zf z

en este disco, esta

función resulta acotada y analítica en el disco perforado 0 0( )rD z z , por lo tanto ( )g z

tiene un punto singular removible en 0z z . La singularidad es removida definiendo

0( ) 0g z . Entonces ( )g z puede escribirse como 0( ) ( ) ( )ng z z z h z , donde ( )h z es

analítica en 0z y 0( ) 0h z . En esta situación, se dice que f tiene un polo de orden n en

0z donde n . Cuando 1n se dice que el polo es simple. El orden del polo de f es el

orden del cero de g , o si se quiere, el entero positivo más pequeño tal que 0( ) ( )nz z f z es

acotada en un disco perforado de 0z . El término “polo” obedece a que la grafica del

módulo ( )f z sobre el plano tiene una punta aguda (estructura puntiaguda o polo) en 0z .

Ver figura 5.

Los puntos singulares esenciales son aquellos puntos singulares aislados que no son ni

removibles ni polos. En un punto singular esencial 0z , ( )f z no se aproxima a un límite

10

(ya sea finito o infinito) cuando 0z z . De ahí que ( )f z puede aproximarse a limites

diferentes como 0z z a lo largo de diferentes caminos que pasen por

0z .

A continuación se enuncia el teorema de Casorati- Weierstrass que se demostrará en

otro capítulo:

En toda vecindad de un punto singular esencial de f , la función f toma valores

arbitrariamente cerca a cualquier número complejo.

Ejercicios:

1. Analice el tipo de singularidad de las siguientes funciones en los puntos indicados:

a)26

( ) , 22

z zf z z

z

c)

3

6

( 1)( ) , 0

zef z z

z

e)

2

3

1( ) , 0

zef z z

z

b) 2 4 4

( ) , 22

z zf z z

z

d)

2( ) , 3

6

zef z z

z z

f)

2

cos 1( ) , 0

zf z z

z

-2

-1

0

1

2

x 10-3

-2

-1

0

1

2

x 10-3

0

2000

4000

6000

8000

10000

Figura 5. Ilustración del comportamiento de 1

( )f zz

alrededor del polo 0z .

11

Nota: Un resultado de gran importancia y que será visto en el capítulo de series consiste en

demostrar que “ ( )f z es analítica en D si solo si ( )f z tiene representación en serie de

Laurent en D.” Esta equivalencia mediante series de las funciones analíticas permitirá la

introducción de la teoría de residuos para el cálculo de integrales complejas, transformada z

y otras aplicaciones de gran interés a la ingeniería.

El propósito en este capítulo es encontrar más funciones analíticas, para tal efecto debemos

usar el criterio de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

ECUACIONES DE CAUCHY- RIEMANN

Es natural preguntarse si es posible estudiar la derivada compleja '( )f z en términos de

algo conocido, es decir, las derivadas parciales de las funciones componentes de ( )f z :

( , ) ( , )u x y y v x y donde ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , )f z u z iv z u x y iv x y . Nótese que ( , )u x y y

( , )v x y son campos escalares 2:u tal que ( , )u x y es una expresión real en términos

de las coordenadas cartesianas x e y . De igual forma sucede con ( , )v x y .

El teorema que sigue es un criterio que permite estudiar la analiticidad de f en términos de

la diferenciabilidad de las funciones componentes ( , )u x y y ( , )v x y . El criterio permite

elaborar o construir nuevas funciones analíticas ensamblando conjuntamente las funciones

componentes.

CRITERIO (Ecuaciones de Cauchy-Riemann)

1. (Condición necesaria) Sí f es analítica en z U , entonces

'( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y yf z u z i v z v z iu z

por tanto,u y v satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden:

( ) ( )

( ) ( )

x y

y x

u z v zEcuaciones de Cauchy Riemann

u z v z

2. (Condición de suficiencia) Inversamente, sí u y v son de clase 1( )C U y satisfacen las

ecuaciones de Cauchy-Riemann para todo z U , entonces f u iv es analítica en U .

Nota: Funciones u y v de clase 1( )C U significa que las derivadas parciales de primer

orden ( , )xu x y , ( , )yu x y , ( , )xv x y y ( , )xv x y son funciones continuas en U .

Demostración de 1: Dado que 0'( )f z existe, entonces el límite de la derivada es el mismo

12

a través de los caminos de aproximación al punto 0z por la recta vertical

0x x y por la

recta horizontal 0y y (ver figura 2).

Por el camino horizontal 0y y los puntos son de la forma 0( , )z x y . Así que

0 0

0 0 0 0 0 0 00

0 0 0

( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )'( ) lim lim

( ) ( )z z x x

f z f z u x y u x y v x y v x yf z i

z z x x x x

Como 0x x x

0 0

0 0 0 0 0 0 0 00

( , ) ( , ) ( , ) ( , )'( ) lim lim

x x x x

u x x y u x y v x x y v x yf z i

x x

0 0 0 0( , ) ( , )x xu x y i v x y .

Por el camino vertical 0x x los puntos son de la forma 0( , )z x y . Entonces

0 0

0 0 0 0 0 0 00

0 0 0

( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )'( ) lim lim

( ) ( )z z y y

f z f z u x y u x y v x y v x yf z i

z z i y y i y y

Como 0y y y

0 0

0 0 0 0 0 0 0 00

( , ) ( , ) ( , ) ( , )'( ) lim lim

y y y y

u x y y u x y v x y y v x yf z

i y y

0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )y y y yiu x y v x y v x y iu x y

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann resultan de la unicidad de 0'( )f z ; de ahí que

igualando las partes reales y las partes imaginarias de 0'( )f z por los dos caminos se tiene

0 0 0 0( , ) ( , )x yu x y v x y y 0 0 0 0( , ) ( , )y xu x y v x y

Demostración de 2: Dado que por hipótesis u y v son funciones 1( )C U y x yu v ,

y xu v entonces 0 0 0( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]f z f z u z u z i v z v z

Usando un teorema del cálculo diferencial en dos variables:

Sea 1( )u C U con 0 0 0( , )z x y U . Para todo punto ( , )z x y U

0 0 0 0 0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x yu z u z u z x x u z y y x x y y

13

donde 1 20, 0 cuando

0z z en U .

Se tiene lo siguiente:

0 0 0( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]f z f z u z u z i v z v z

0 0 0 0 1 0 2 0

0 0 0 0 3 0 4 0

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

x y

x y

u z x x u z y y x x y y

i v z x x v z y y x x y y

Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann se llega a:

0 0 0 0 0 1 0 2 0

0 0 0 0 3 0 4 0

( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

x x

x x

f z f z u z x x v z y y x x y y

i v z x x u z y y x x y y

Reagrupando

0 0 0 0 0 0 0

1 2 0 3 4 0

( ) ( ) [ ( ) ( )]( ) [ ( ) ( )]( )

( )( ) ( )( )

x x x xf z f z u z i v z x x v z iu z y y

i x x i y y

Que se reduce a

0 0 0 0 0 0 0

1 2 0 3 4 0

( ) ( ) [ ( ) ( )]( ) [ ( ) ( ) ]( )

( )( ) ( )( )

x x x xf z f z u z i v z x x i u z iv z y y

i x x i y y

Y así,

0

0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 0( ) ( ) [ ( ) ( )][( ) ( )] ( )( ) ( )( )x x

z z

f z f z u z i v z x x i y y i x x i y y

0 0 0 0 1 2 0 3 4 0( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )( ) ( )( )x xf z f z u z i v z z z i x x i y y

0 0 00 0 1 2 3 4

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( )x x

f z f z x x y yu z i v z i i

z z z z z z

Ahora bien, como 0 0 0 0,x x z z y y z z y además 1 2 3 4, , , 0 cuando

0z z entonces tomando 0

limz z

se obtiene que

0

00 0 0

0

( ) ( )'( ) lim ( ) ( )x x

z z

f z f zf z u z i v z

z z

lo que indica que 0'( )f z existe y su valor es

0 0( ) ( )x xu z i v z . Como las derivadas parciales son continuas en U , la función 'f también

lo es y así se concluye que f u i v es analítica en U .

14

Nótese que la demostración se realizó para un punto arbitrario 0z de U , por lo tanto el

resultado se hace extensivo a todo U .

Ejemplo: Pruebe que ( ) zf z e es analítica en todo el plano y calcule su derivada

Solución:

(cos )z x i y x i y xe e e e e y i seny entonces ( , ) cos ,xu x y e y ( , ) xv x y e sen y , las

derivadas parciales ( , ) cos ,x

xu x y e y ( , ) ,x

yu x y e sen y ( , ) ,x

xv x y e sen y y

( , ) cosx

yv x y e y son continuas en todo el plano complejo y satisfacen las ecuaciones de

Cauchy-Riemann entonces f es analítica en todo U (por la condición de suficiencia)

y su derivada puede calcularse (por condición necesaria) mediante

'( ) ( , ) ( , ) cos [cos ]x x x x i y x i y z

x xf z u x y i v x y e y i e sen y e y i sen y e e e e

Igual que en el cálculo real , ( )x xde e

dx , aquí ( )z zd

e edx

.

Ejemplo. Pruebe que 3( )f z z es analítica en todo el plano y calcule su derivada

Solución:

3 3 2 2 3( ) ( 3 ) (3 )f z z x xy i x y y donde 3 2( , ) 3u x y x xy , 2 3( , ) 3v x y x y y

Las funciones 2 2( , ) 3 3xu x y x y , ( , ) 6yu x y y , ( , ) 6xv x y xy , 2 2( , ) 3 3yv x y x y son

continuas en todo el plano y satisfacen las ecuaciones de Cauchy – Riemann entonces 3( )f z z es analítica y su derivada es por tanto

2 2 2 2 2'( ) ( , ) ( , ) (3 3 ) (6 ) 3[( ) (2 )] 3x xf z u x y i v x y x y i xy x y i xy z

Ejemplo. Sí ( )f z z entonces ( , )u x y x , ( , )v x y y donde ( , ) 1xu x y , ( , ) 0yu x y

( , ) 0xv x y , ( , ) 1yv x y . Como ( , ) ( , )x yu x y v x y para todo ( , )z x y entonces f No es

analítica. (por negación de condición necesaria).

Ejemplo. Sea ( )f z zz entonces 2 2( , ) , ( , ) 0u x y x y v x y con derivadas parciales

( , ) 2 , ( , ) 2x yu x y x u x y y , ( , ) 0 , ( , ) 0x yv x y v x y continuas. Las ecuaciones de

Cauchy Riemann se cumplen solo en (0,0)z lo que significa que ( )f z zz únicamente

tiene derivada en 0z , por tanto, f no es analítica en ningún z del plano complejo.

15

Ejercicio. Verifique que la función

2

0( )

0 0

zsí z

f z z

si z

cumple las condiciones de

Cauchy –Riemann en 0z y sin embargo la derivada no existe en este punto.

El ejercicio anterior deja ver que la sola satisfacción de las ecuaciones de Cauchy-Riemann

en un punto 0 0 0z x i y no es suficiente para asegurar la existencia de la derivada en ese

punto. De ahí, que la condición de suficiencia exige la continuidad de las derivadas

parciales de u y v .

Coordenadas Polares (Ecuaciones de Cauchy –Riemann)

Demostrar que al pasar de coordenadas cartesianas ( , )x y a las coordenadas polares ( , )r

0r , las ecuaciones Cauchy-Riemann toman la siguiente forma:

1u v

r r

,

1v u

r r

evaluadas en ( , )r . En notación simplificada: ,r rr u v u r v

Demostración: las ecuaciones de la transformación de coordenadas son: cosx r

y rsen

Por tanto, ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( cos , ) ( cos , )f z u z i v z u x y i v x y u r rsen i v r rsen .

Suponiendo que las derivadas parciales de u y v en términos de x e y existen y son

continuas en alguna vecindad 0( )rD z de 0z . Entonces las derivadas parciales de u y v

respecto a r y son también continuas (por composición de continuas).

Aplicando la regla de cadena a las funciones componentes se tiene que:

(cos ) ( )x y

u u x u yu u sen

r x r y r

(1)

( ) ( cos )x y

u u x u yu rsen u r

x y

(2)

(cos ) ( )x y

v v x v yv v sen

r x r y r

(3)

16

( ) ( cos )x y

v v x v yv rsen v r

x y

(4)

Si u y v satisfacen Cauchy-Riemann ,x y x yu v v u entonces las ecuaciones (3) y (4)

se convierten en

(cos ) ( ) . : ( cos ) ( ) (3')y x y x

v vu u sen multiplic por r r u r u rsen

r r

1 1( ) ( cos ) . : ( ) (cos ) (4 ')y x y x

v vu rsen u r multiplic por r r u sen u

Como (1) (4') entonces 1u v

r r

y por otro lado, (2) (3') entonces

1v u

r r

ecuaciones evaluadas en 0 0 0( , )z r arbitrario que se hace extensivo a todo punto del

plano con 0r .

Ejercicio. (#8, página 72)

Sea ( ) ( ) ( )f z u z iv z diferenciable en un punto no nulo 0 0 0exp( )z r i . Usar la

expresiones cos

cos ,x r y r

senu u u u u sen u

r r

(del ejercicio #7) junto con

las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares (deducidas arriba) para mostrar:

0

0 0 0 0 0'( ) [ ( , ) ( , )]i

x x r rf z u iv e u r i v r

Los dos resultados anteriores se resumen en el siguiente teorema (criterio en coordenadas

polares) así:

Teorema 2. Sea la función ( ) ( , ) ( , )f z u r i v r definida en alguna vecindad 0( )rD z de

un punto no nulo 0

0 0

iz r e

y supóngase que

a) ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),r ru r u r v r v r existen en todo punto de la vecindad 0( )rD z

b) Las derivadas parciales son continuas en 0 0( , )r y satisfacen la forma polar de las

ecuaciones de Cauchy-Riemann en 0 0( , )r : ,r rr u v u r v

entonces 0'( )f z existe y su valor es 0

0 0 0 0 0'( ) [ ( , ) ( , )]i

r rf z e u r i v r

17

Ejemplo. Si 1 1 1 1

( ) [cos ]i

if z e i sen

z re r r

entonces

1( , ) cosu r

r ,

1( , )v r sen

r .

Las funciones ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),r ru r u r v r v r existen y son continuas en 0 :

2

1( , ) cosru r

r ,

1( , )u r sen

r ,

2

1( , )rv r sen

r ,

1( , ) cosv r

r

y satisfacen Cauchy - Riemann 1 1

cos ,r rr u v u sen r vr r

en 0

entonces por el teorema anterior 0'( )f z existe y

2 2 2

2

2 2 2 2 2

1 1'( ) [ ( , ) ( , )] [ cos ] [cos ]

1 1 10

( )

ii i

r r

i

i i

ef z e u r i v r e i sen isen

r r r

een

r r e re z

Ejemplo. Sea 3( )f z z mostrar que f es analítica en su correspondiente rama y calcule

su derivada utilizando el criterio de las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas

polares.

Solución: 1

3

1 1

3 3 3( ) ( ) 0, 2i

if z z re r e donde r

, fijo.

1 2 1

3 3 3

1 1

3 3

1 1( , ) cos cos cos

3 3 3 3 3

1( , )

3 3 3

r

r

u r r ru r r r v

v r r sen u r sen r v

Las derivadas parciales son continuas y se cumplen las ecuaciones de C-R para todo

0, 2r entonces por el teorema 2 '( )f z existe en todo punto donde ( )f z

está definida y viene dada por:

2 2 2 2 2

3 3 3 3 31

23 3

1 1 1 1 1'( ) cos cos

3 3 3 3 3 3 3 33( )

ii i

if z e r i r sen r e i sen r e

r e

33

2

1'( ) ( )

3( ( ))

if z donde f z z ref z

.

18

Nótese que para cada iz re tomado en 0, 2r el valor de la función es

un único valor de 3 z pues 2

0,3 3 3

r

para un fijo. En otras palabras,

hay que precisar el dominio de definición para que se tenga una función univaluada y

poder calcular su derivada allí. En todas aquellas funciones multivaluadas se debe precisar

el dominio de definición para obtener una función univaluada donde se calculará su

derivada.

Ilustración caso particular:

3 3( ) ( 0, )i

si f z re R Raíz cúbica principal

y la potencia

cúbica es 3 3 3( ) ( 0, )3 3

if z z r e r

.

3

3w z

1

3z w

3

Figura 6. Dominio de definición de 3z es 0,

3 3r

cuyo rango de imágenes es todo el plano

menos el eje real negativo, esto es, 0,R y que corresponde al dominio de definición de

1

3w que resulta ser la función inversa por la correspondencia 1-1.

Nota: se han elegido coordenadas ( , )r y ( , )R para un mejor análisis.

Ejercicio: Hacer el mismo análisis anterior si 0 ,y, 2

.

Ejercicio. Resolver de la página 77 sección de función analítica los ejercicios propuestos

del 1 al 6. (Importantes).

19

FUNCIONES ARMÓNICAS

Sea el campo escalar 2: , tal que ( , ) ( , )H x y H x y . H se dice armónica si sus

derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas y satisfacen la ecuación de

Laplace ( , ) ( , ) 0x x y yH x y H x y .

Ejemplo. Verificar que la función temperatura ( , ) yT x y e senx es armónica en el plano y

en particular en la banda semi-infinita ( , ) / 0 , 0R x y x y .

Solución:

( , ) cos , ( , )y y

x x xT x y e x T x y e senx ( , ) cos , ( , )y y

y y yT x y e x T x y e senx

y ( , ) cosy

x yT x y e x son funciones continuas. Entonces ( , ) ( , )x x y yT x y T x y

0y ye senx e senx luego H es armónica en todo el plano.

En la banda semi-infinita (0, ) 0, ( , ) 0, ( ,0)T y T y T x senx y ( , ) ( , ) 0xx y yT x y T x y

además lim ( , ) 0y

T x y

. La función temperatura está definida sobre la frontera y en su

interior se cumple la ecuación de Laplace.

Teorema 3. Sí una función ( ) ( , ) ( , )f z u x y i v x y es analítica en un dominio D entonces

sus funciones componentes u y v son armónicas en D.

Demostración. La prueba está sustentada sobre el siguiente resultado que asumiremos como

válido:

“Si una función de variable compleja es analítica en un punto, entonces sus componentes

real e imaginaria tiene derivada parcial continua de todos los órdenes en ese punto”.

Asumiendo que f es analítica en D, entonces sus funciones componentes real e imaginario

tiene derivada parcial continua de todos los órdenes en cada punto de D (en particular de

primer y segundo orden). Y por hipótesis se tiene que las ecuaciones de Cauchy –Riemann

también se satisfacen en D. Ahora bien derivándolas respecto a x:

;x x y x y x x xu v u v

Y Derivándolas respecto a y: x y y y y y x yu v u v

Como las derivadas parciales mixtas son continuas entonces son iguales por lo tanto

20

0x x y y y x x yu u v v , y, 0x x y y y x x yv v u u lo que indica que u y v son

armónicas en D.

Ejemplo. La función ( ) zf z e es analítica en el dominio D entonces las funciones

componentes ( , ) cosxu x y e y , ( , ) xv x y e seny son armónicas en por el teorema

anterior.

Definición: Sí dos funciones u y v son armónicas en un dominio D y sus derivadas

parciales de primer orden satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo D,

entonces v se dice armónica conjugada de u .

Nota: El término conjugado aquí tiene un significado muy distinto al usado en la aritmética

de los complejos.

El siguiente teorema nos permite un resultado equivalente de función analítica mediante

armónico conjugado.

Teorema 4: Una función ( ) ( , ) ( , )f z u x y i v x y es analítica en un dominio D si y solo

si v es armónica conjugada deu .

Demostración: ) Sí v es armónica conjugada de u en D, entonces por definición de

armónica u y v tienen derivadas parciales de primer y segundo orden continuas y además

se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en D entonces (por la condición de

suficiencia del criterio) f es analítica en D.

) Sí f es analítica en D entonces se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann y por

el teorema 3, las funciones componentes u y v son armónicas cumpliéndose así por

definición que v es armónica conjugada de u .

Ejemplo. Sí v es armónica conjugada de u , no es cierto que u sea armónica conjugada de

v . Es decir, la conmutatividad no aplica para el concepto de armónica conjugada.

Sean 2 2u x y ,y, 2v xy funciones componentes de 2( )f z z analítica entonces por

el teorema 4 v es armónico conjugado de u . A continuación su comprobación:

2 , 2x yu x u y 2 , 2x yv y v x satisfacen las ecuaciones de C-R y además u y v

son armónicas: 0 0x x y y x x y yu u y v v

u NO es armónico conjugado de v pues 2 2( ) 2 ( )f z xy i x y donde 2 , 2x yu y u x

2 , 2x yv x v y . Como solo hay derivada en cero f no es analítica.

21

Ejemplo. (Criterio) de cómo obtener un armónica conjugada a partir de una armónica dada.

Dada la función 3 2( , ) 3u x y y x y armónica en todo el plano (pues 6x xu y , 6y yu y )

Y como se sabe una armónica conjugada ( , )v x y se relaciona con ( , )u x y a través de las

ecuaciones de Cauchy-Riemann: ,x y y xu v u v . Entonces 6yv xy que integrando

con respecto a y se obtiene 2( , ) 3 ( )v x y xy x

Ahora bien, usando la otra ecuación de C-R: y xu v entonces 2 2 23 3 3 '( )y x y x

Por tanto, integrando 2 3'( ) 3 ( )x x x x k

Así, 2 2 3( , ) 3 ( ) 3v x y xy x xy x k es armónica conjugada de la función ( , )u x y

dada inicialmente.

La correspondiente función analítica es 3 2 2 3( ) ( 3 ) ( 3 )f z y x y i xy x k

Nótese la familia infinita de funciones ( , )v x y armónicas conjugadas de ( , )u x y que se

producen al variar la constante k y como consecuencia las infinitas funciones analíticas

( )f z que se pueden construir bajo este procedimiento o algoritmo.

Ejercicios. Resolver los ejercicios de la página 81 sección de funciones armónicas: 1, 3, 5,

7, 8, 9, 10 y 11.

CAPÍTULO 3.

FUNCIONES ELEMENTALES