Capítulo 2. Determinantes. Álgebra Lineal para Estadísticos y Actuarios. William Noguera

Capítulo 2

DETERMINANTES 2.1. INTRODUCCIÓN. En este capítulo se presenta el concepto del determinante de una matriz. El término “matriz” se debe a que es considerada “la madre del determinante”. Los determinantes son una herramienta fundamental en el Algebra Lineal ya que permite el cálculo de la inversa de una matriz, así como también la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Se exponen todas sus propiedades y el concepto de matriz adjunta para el cálculo de la matriz inversa. 2.2. DEFINICIONES Y EJEMPLOS. Definición 2.1. Sean A∈Mnxn(K) y p∈{1, 2,… , n}. Se define como menor de orden p de A y se denota por

pn21pn21 j...jj ,i...ii)A(M−−

con i1, i2,…, in-p, j1, j2,… , jn-p∈{1, 2,… , n}

a la sub-matriz pn21pn21 j...jj ,i...ii)A(M

−−∈Mpxp(K) de A que se obtiene al eliminar

de dicha matriz las filas i1, i2,…, in-p y las columnas j1, j2,… , jn-p. Si además i1 = j1, i2 = j2,… , in-p = jn-p entonces la sub-matriz

pn21pn21 j...jj ,i...ii)A(M−−

es una

sub-matriz principal y se dice que es un menor principal de orden p y en ese caso se denota por

pn21 i...ii)A(M−

.

Observación: Sea A∈Mnxn(K). De las n filas de A se pueden seleccionar Cn,(n-p) = Cn,p grupos de n – p filas distintas. Igualmente de las n columnas de A se pueden seleccionar Cn,(n-p) = Cn,p grupos de n – p columnas distintas. Por tanto, la matriz A tiene (Cn,p)2 menores de orden p y Cn,p menores principales de orden p. Ejemplo 2.1. Sea A∈M3x3(ℜ) definida por:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

751240321

A

El menor de orden 2, M(A)1,2 se obtiene al eliminar la fila 1 y la columna 2 de A:

ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS

68

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

7120

)A(M 2,1

El menor principal de orden 2, M(A)2 se obtiene al eliminar la fila 2 y la columna 2 de A:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

7131

)A(M 2

Es importante conocer todos los menores principales de A: Orden 1: C3,1 = 3 menores.

[ ] [ ] [ ]1M(A) ;4M(A) ;7)A(M 231312 === Orden 2: C3,2 = 3 menores.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4021

M(A) ;7131

M(A) ;7524

)A(M 321

Orden 3: C3,3 = 1 menor.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

751240321

)A(M

Ejemplo 2.2. Sea A∈M4x4(ℜ) definida por:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

6320421354223201

A

El menor de orden 2, M(A)13,24 se obtiene al eliminar las filas 1 y 3 y las columnas 2 y 4 de A:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3042

)A(M 24,13

El menor principal de orden 2, M(A)23 se obtiene al eliminar las filas 2 y 3 y las columnas 2 y 3 de A:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

6031

)A(M 23

CAPÍTULO 2: DETERMINANTES

69

Es importante conocer todos los menores principales de A: Orden 1: C4,1 = 4 menores.

[ ] [ ] [ ] [ ]1M(A) ;2M(A) ;2M(A) ;6)A(M 234134124123 ==== Orden 2: C4,2 = 6 menores.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2142

M(A) ;6252

M(A) ;6342

)A(M 141312

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2201

M(A) ;2321

M(A) ;6031

M(A) 342423

Orden 3: C4,3 = 4 menores.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

213422201

)A(M ;620522301

)A(M ;630423321

)A(M ;632421542

)A(M 4321

Orden 4: C4,4 = 1 menor.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

6320421354223201

)A(M

Definición 2.2. Sean A∈Mnxn(K) y j1, j2, …, jn∈{1, 2, …, n}. Se define como Determinante de A y se denota por Det(A) al siguiente escalar:

∑=

μ−=!n

1jnjj2j1

)j(n21

A...AA)1()A(Det

Donde:

1. j1, j2, …, jn son los valores de la j-ésima permutación de n

2. ∑=

=μn

1pp )j(q)j( ; siendo q(jp) la cantidad de valores menores que jp

que se encuentran a la derecha de jp en la j-ésima permutación de n. Observación: El determinante de una matriz A de orden nxn es la suma de todos los productos que pueden formarse de tal forma que en cada producto haya uno y sólo un elemento de cada fila y uno y sólo un elemento de cada columna. Es una suma de n! términos.


70

Ejemplo 2.3. Sea A∈M1x1(K) definida por:

[ ]11AA = Como n = 1 entonces existe 1! = 1 permutación posible la cual es (1). Por lo tanto, para j = 1, es decir, (1) se tiene que j1 = 1. Luego, q(j1) = 0. Por lo tanto, μ(1) = 0. En consecuencia,

1j1)1( A)1()A(Det μ−=

⇒ 110 A)1()A(Det −=

⇒ 11A)A(Det = Como se observa, cuando A∈M1x1(K), es decir, A es un escalar, su determinante es el mismo escalar. Ejemplo 2.4. Sea A∈M2x2(K) definida por:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

AAAA

A

Deduzcamos una fórmula para Det(A): Como n = 2 entonces existen 2! = 2.1 = 2 permutaciones posibles las cuales son (1,2) y (2,1). Desarrollemos la fórmula de determinante de A: Para j = 1, es decir, (1,2) se tiene que j1 = 1 y j2 = 2. Luego, q(j1) = 0 y q(j2) = 0. Por lo tanto, μ(1) = 0 + 0 = 0. Para j = 2, es decir, (2,1) se tiene que j1 = 2 y j2 = 1. Luego, q(j1) = 1 y q(j2) = 0. Por lo tanto, μ(1) = 1 + 0 = 1. En consecuencia,

2121 j2j1)2(

j2j1)1( AA)1(AA)1()A(Det μμ −+−=

⇒ 21121

22110 AA)1(AA)1()A(Det −+−=

⇒ 21122211 AAAA)A(Det −=

Como se observa, Det(A) es el producto de los elementos de la diagonal “\” (diagonal principal) menos el producto de los elementos de la diagonal “/”.


71

Sabiendo que el determinante de una matriz de orden 1x1, es decir, de un escalar es el mismo escalar se puede concluir entonces que el determinante de una matriz 2x2 es función de los determinantes de algunas sub-matrices de orden 1x1. Específicamente se cumple que:

Det(A) = A11A22 – A12A21 = A11A22 + (-1)A12A21

= (-1)2A11Det([A22]) + (-1)3A12Det([A21]) = (-1)1+1A11Det(M(A)1,1) + (-1)1+2A12Det(M(A)1,2)

= ∑=

+−2

1jj,1j1

j1 ))A(M(DetA)1(

Particularmente, si:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4132

A

Entonces Det(A) = 2.4 – 1.3 = 8 – 3 = 5.


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

A

Deduzcamos una fórmula para Det(A):

Como n = 3 entonces existen 3! = 3.2.1 = 6 permutaciones posibles las cuales son (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2) y (3,2,1). Desarrollemos la fórmula de determinante de A: Para j = 1, es decir, (1,2,3) se tiene que j1 = 1, j2 = 2 y j3 = 3. Luego, q(j1) = 0, q(j2) = 0 y q(j3) = 0. Por lo tanto, μ(1) = 0 + 0 + 0 = 0. Para j = 2, es decir, (1,3,2) se tiene que j1 = 1, j2 = 3 y j3 = 2. Luego, q(j1) = 0, q(j2) = 1 y q(j3) = 0. Por lo tanto, μ(2) = 0 + 1 + 0 = 1. Para j = 3, es decir, (2,1,3) se tiene que j1 = 2, j2 = 1 y j3 = 3. Luego, q(j1) = 1, q(j2) = 0 y q(j3) = 0. Por lo tanto, μ(3) = 1 + 0 + 0 = 1. Para j = 4, es decir, (2,3,1) se tiene que j1 = 2, j2 = 3 y j3 = 1. Luego, q(j1) = 1, q(j2) = 1 y q(j3) = 0. Por lo tanto, μ(4) = 1 + 1 + 0 = 2. Para j = 5, es decir, (3,1,2) se tiene que j1 = 3, j2 = 1 y j3 = 2. Luego, q(j1) = 2, q(j2) = 0 y q(j3) = 0. Por lo tanto, μ(5) = 2 + 0 + 0 = 2.


72

Para j = 6, es decir, (3,2,1) se tiene que j1 = 3, j2 = 2 y j3 = 1. Luego, q(j1) = 2, q(j2) = 1 y q(j3) = 0. Por lo tanto, μ(6) = 2 + 1 + 0 = 3. En consecuencia,

321321 j3j2j1)3(

j3j2j1)1( AAA)1(AAA)1()A(Det μμ −+−=

321321 j3j2j1)4(

j3j2j1)3( AAA)1(AAA)1( μμ −+−+

321321 j3j2j1)6(

j3j2j1)5( AAA)1(AAA)1( μμ −+−+

⇒ 322311

1332211

0 AAA)1(AAA)1()A(Det −+−=

3123122

3321121 AAA)1(AAA)1( −+−+

3122133

3221132 AAA)1(AAA)1( −+−+

⇒ 322311332211 AAAAAA)A(Det −=

312312332112 AAAAAA +−

312213322113 AAAAAA −+ = (A11A22A33 + A21A32A13 + A12A23A31) – (A31A22A13 + A32A23A11 + A21A12A33) Como se observa, Det(A) es la suma de los productos de los elementos de las líneas continuas menos la suma de los productos de los elementos de las líneas intermitentes:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

Ahora bien, consideremos la matriz B∈M3x5(K) cuyas 3 primeras columnas son las columnas de A y las últimas 2 columnas son las primeras 2 columnas de A, es decir:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3231333231

2221232221

1211131211

AAAAAAAAAAAAAAA

B

Como se observa, Det(A) es la suma de los productos de los elementos de las diagonales de 3 elementos “\” de B menos la suma de los productos de los elementos de las diagonales de 3 elementos “/” de B. Lo propio ocurre al definir la matriz C∈M5x3(K) cuyas 3 primeras filas son las filas de A y las últimas 2 filas son las primeras 2 filas de A, es decir, Det(A)


73

es la suma de los productos de los elementos de las diagonales de 3 elementos “\” de C menos la suma de los productos de los elementos de las diagonales de 3 elementos “/” de C. En este caso también se puede observar que el determinante de una matriz 3x3 es función de los determinantes de algunas sub-matrices de orden 2x2. Específicamente se cumple que:

Det(A) = A11A22A33 + A21A32A13 + A12A23A31 – A31A22A13 – A32A23A11 – A21A12A33

= –A12A21A33 + A12A31A23 + A22A11A33 – A22A31A13 – A32A11A23 + A32A21A13 = –A12(A21A33 – A31A23) + A22(A11A33 – A31A13) – A32(A11A23 – A21A13)

= (-1)3A12Det( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

3331

2321

AAAA

) + (-1)4A22Det( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

3331

1311

AAAA

)

+ (-1)5A32Det( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2321

1311

AAAA

)

= (-1)1+2A12Det(M(A)1,2) + (-1)2+2A22Det(M(A)2,2) + (-1)3+2A32Det(M(A)3,2)

= Det(A) =∑=

+−3

1i2,i2i

2i ))A(M(DetA)1(

Particularmente, si:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

632143321

A

Entonces Det(A) = (1.4.6 + 3.3.3 + 2.1.2) – (2.4.3 + 3.1.1 + 3.2.6) = (24 + 27 + 4) – (24 + 3 + 36) = 55 – 63 = –8.

En general, el determinante de una matriz A∈Mnxn(K) es una función Det: Mnxn(K)→K definida inductivamente de la siguiente forma:

1. Para n = 1, Det: M1x1(K)→K se define de la siguiente manera:

Det(A) = Det(A11) = A11, ∀ A∈M1x1(K)

2. Para n > 1, suponemos que está definida Det: M(n-1)x(n-1)(K)→K. Luego,

Det(A) =∑=

+−n

1jj,iij

ji ))A(M(DetA)1(

=∑=

+−n

1ij,iij

ji ))A(M(DetA)1( , ∀ A∈Mnxn(K)


74

Observaciones:

1. Sean A∈Mnxn(K) y p, q∈ℵ, con 1 ≤ p ≤ n y 1 ≤ q ≤ n. Entonces se cumple que:

Det(A) = ∑=

+−n

1jj,pij

jp ))A(M(DetA)1( = ∑=

+−n

1iq,iij

qi ))A(M(DetA)1(

2. Sea A∈Mnxn(K). El Rango de A, a través de determinantes se define

por:

Rango(A) = máximo{r: ∃ B∈Mrxr(K), sub-matriz de A tal que Det(B) ≠ 0}.

3. La definición inductiva del determinante de una matriz definitivamente es más expedita que su definición formal. Por tal razón, en lo sucesivo se utilizará la definición inductiva.


⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434241

34333231

24232221

14131211

AAAAAAAAAAAAAAAA

A

Deduzcamos una fórmula para Det(A):

Det(A) =∑=

+−4

1jj,iij

ji ))A(M(DetA)1(

Fijemos arbitrariamente i = 3. Luego,

Det(A) =∑=

+−4

1jj,3j3

j3 ))A(M(DetA)1(

= (-1)3+1A31Det(M(A)3,1) + (-1)3+2A32Det(M(A)3,2) + (-1)3+3A33Det(M(A)3,3) + (-1)3+4A34(3,4)Det(M(A)3,4)

= (-1)4A31Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

444342

242322

141312

AAAAAAAAA

)+(-1)5A32Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

444341

242321

141311

AAAAAAAAA

)

+(-1)6A33Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

444241

242221

141211

AAAAAAAAA

) +(-1)7A34Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

434241

232221

131211

AAAAAAAAA

)


75

= A31Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

444342

242322

141312

AAAAAAAAA

) – A32Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

444341

242321

141311

AAAAAAAAA

)

+ A33Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

444241

242221

141211

AAAAAAAAA

) – A34Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

434241

232221

131211

AAAAAAAAA

)

Luego se sigue de forma análoga a los ejemplos 2.3., 2.4. y 2.5. Particularmente, si:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3121520213405321

A

Entonces, fijando i = 1 se tiene que:

Det(A) = (-1)1+1.1.Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

312520134

) + (-1)1+2.2. Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

311522130

)

+ (-1)1+3.3.Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

321502140

) + (-1)1+4.5. Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

121202340

)

= (-1)2.1.30 + (-1)3.2.(-3) + (-1)4.3.0 + (-1)5.5.12 = 30 + 6 + 0 – 60 = –24. 2.3. PROPIEDADES. Teorema 2.1. Sean A, B, C, E, R∈Mnxn(K). Entonces:

1. Det(In) = 1. 2. Det(At) = Det(A). 3. Si e1:rp↔rs y f1:cp

↔cs entonces Det(e1(A)) = Det(f1(A))= -Det(A) 4. Si A tiene 2 filas o 2 columnas iguales entonces Det(A) = 0. 5. Si e2:rp→crp (c ≠ 0) y f2:cp→dcp (d ≠ 0) entonces

Det(e2(A)) = cDet(A) y Det(f2(A)) = dDet(A). 6. Si ∀ j = 1, 2,… , n se cumple que Apj = cAsj (c ≠ 0) entonces

Det(A) = 0. 7. Si ∀ i = 1, 2,… , n se cumple que Aip = cAis (c ≠ 0) entonces

Det(A) = 0. 8. Si ∀ j = 1, 2,… , n se cumple que:


76

Cij = Aij = Bij cuando i ≠ p Cpj = Apj + Bpj Entonces Det(C) = Det(A) + Det(B)

9. Si ∀ i = 1, 2,… , n se cumple que: Cij = Aij = Bij cuando j ≠ p Cip = Aip + Bip Entonces Det(C) = Det(A) + Det(B)

10. Si e3:rp→rp+crs (c ≠ 0) y f3:cp→cp+dcs (d ≠ 0) entonces: Det(e3(A)) = Det(f3(A)) = Det(A).

11. Si E es una matriz elemental obtenida con alguna operación elemental de filas y F es una matriz elemental obtenida con alguna operación elemental de columnas entonces Det(EA) = Det(E)Det(A) y Det(AF) = Det(A)Det(F).

12. Si A tiene una fila o una columna nula entonces Det(A) = 0. 13. Si R es escalonada reducida por filas entonces Det(R) = 0 ó

Det(R) = 1. 14. A es no singular si y sólo si Det(A) ≠ 0. 15. Rango(A) = n si y sólo si Det(A) ≠ 0. 16. Det(AB) = Det(A)Det(B).

17. Si A es no singular entonces Det(A-1) = )A(Det

1 .

18. Si Rango(A) = r ; 1 ≤ r ≤ n entonces al menos 1 de los determinantes de los menores principales de orden 1, 2, …, r son no nulos y todos los determinantes de los menores principales de orden r+1, r+2,… ,n son nulos.

19. Si A es diagonal entonces ∏=

=n

1iiiA)A(Det .

20. Si A es triangular superior o inferior entonces ∏=

=n

1iiiA)A(Det .

Demostración

1. Utilicemos el método de inducción matemática.

Si n = 1 entonces Det(I1) = Det( 111)I( ) = 1.

Si n = 2 entonces Det(I2) = ∑=

+−2

1iq,i2iq2

qi ))I(M(Det)I()1(

Sea q = 2, es decir, tomamos la segunda columna de I2. Luego,

Det(I2) = ∑=

+−2

1i2,i22i2

2i ))I(M(Det)I()1(

= -(I2)12Det(M(I2)1,2) + (I2)22Det(M(I2)2,2) = -0.Det(M(I2)1,2) + 1.Det(M(I2)2,2) = Det(M(I2)2,2) = Det(M(I2)2,2) = Det((I1)11) = 1.


77

Supongamos que la igualdad se cumple para n = h-1, es decir:

Det(Ih-1) = 1 Demostremos que la igualdad se cumple para n = h. En efecto,

Det(Ih) = ∑=

+−h

1iq,ihiqh

qi ))I(M(Det)I()1(

Sea q = h, es decir, tomamos la h-ésima columna de Ih. Luego,

Det(Ih) = ∑=

+−h

1ih,ihihh

hi ))I(M(Det)I()1(

= (-1)1+h(Ih)1hDet(M(Ih)1,h) +…+ (-1)h+h(Ih)hhDet(M(Ih)h,h) = (-1)1+h.0.Det(M(Ih)1,h) +…+ 1.1.Det(M(Ih)h,h) = Det(M(Ih)h,h) = Det(Ih-1) = 1.

2. Utilicemos el método de inducción matemática. Demostremos que la proposición se cumple para n = 2. En efecto, (At)ij = Aji. Luego,

Det(At) = ∑=

+−2

1jj,p

tpj

tjp ))A(M(Det)A()1(

Ahora bien, K)A(M j,pt ∈ . En consecuencia,

j,pt

j,pt )A(M))A(M(Det =

Luego,

Det(At) = ∑=

+−2

1jj,p

tpj

tjp )A(M)A()1(

= ∑=

+−2

1jp,jjp

jp )A(MA)1(

= ∑=

+−2

1jp,jjp

pj ))A(M(DetA)1(

= ∑=

+−2

1ip,iip

pi ))A(M(DetA)1(

= Det(A) Supongamos que la proposición se cumple para n = m, es decir, Det(At) = Det(A), ∀ A∈Mmxm(K). Demostremos que la proposición se cumple para n = m+1.


78

En efecto,

Det(At) = ∑+

=

+−1m

1jj,p

tpj

tjp ))A(M(Det)A()1(

Ahora bien, t

p,jj,pt ))A(M()A(M = y además

)K(M)A(M mxmp,j ∈ . Luego, por hipótesis de inducción se

cumple que:

))A(M(Det)))A(M((Det))A(M(Det p,jt

p,jj,pt ==

En consecuencia,

Det(At) = ∑+

=

+−1m

1jj,p

tpj

tjp ))A(M(Det)A()1(

= ∑+

=

+−1m

1jp,jjp

pj ))A(M(DetA)1(

= ∑+

=

+−1m

1ip,iip

pi ))A(M(DetA)1( = Det(A).

3. Sea A la matriz definida por:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nn2n1n

pn2p1p

sn2s1s

n11211

AAA

AAA

AAA

AAA

A

MMM

L

MMM

L

MMM

L

Supongamos sin pérdida de generalidad que la p-ésima fila es la fila siguiente a la s-ésima fila, es decir, p = s+1. Luego,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

+++

nn2n1n

n)1p(2)1p(1)1p(

pn2p1p

sn2s1s

n11211

AAA

AAAAAAAAA

AAA

A

L

MMM

L

L

L

MMM

L

Por tanto, e1(A) está definida por:


79

fila ésima1s fila ésimas

AAA

AAAAAAAAA

AAA

)A(e

nn2n1n

n)1p(2)1p(1)1p(

sn2s1s

pn2p1p

n11211

1 −+←−←

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

+++

MMM

L

L

L

MMM

L

Ahora bien,

Det(A) = ∑=

+−n

1jj,ttj

jt ))A(M(DetA)1(

Det(e1(A)) = ∑=

+−n

1jj,t1tj1

jt )))A(e(M(Det))A(e()1(

Sea t = s para A y sea t = p = s+1 para e1(A). Luego, Det(A) = (-1)s+1As1Det(M(A)s,1) +… + (-1)s+nAsnDet(M(A)s,n) Det(e1(A)) = (-1)s+1+1(e1(A))(s+1)1Det(M(e1(A))s+1,1) + +… + (-1)s+1+n(e1(A))(s+1)nDet(M(e1(A))s+1,n) Pero Det(M(A)s,j) = Det(M(e1(A))s+1,j) y Asj = (e1(A))(s+1)j ∀ j = 1, 2,… , n. Luego, Det(e1(A)) = (-1)s+1+1As1Det(M(A)s,1) +… + (-1)s+1+nAsnDet(M(A)s,n) = -(-1)s+1As1Det(M(A)s,1) -… -(-1)s+nAsnDet(M(A)s,n) = -[(-1)s+1As1Det(M(A)s,1) +… + (-1)s+nAsnDet(M(A)s,n)] = -Det(A) La demostración para f1(A) es análoga.

4. Supongamos que las filas s-ésima y p-ésima de A son iguales. Si sobre A se aplica la operación elemental de filas e1:rp↔rs se obtiene una matriz e1(A) que cumple la siguiente propiedad: Det(e1(A)) = -Det(A). Pero como las filas s-ésima y p-ésima de A son iguales entonces e1(A) = A. Luego,

Det(A) = -Det(A)

⇒ Det(A) + Det(A) = 0 ⇒ 2Det(A) = 0 ⇒ Det(A) = 0



80

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nn2n1n

pn2p1p

sn2s1s

n11211

AAA

AAA

AAA

AAA

A

MMM

L

MMM

L

MMM

L

Luego e2(A) está definida por:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nn2n1n

pn2p1p

sn2s1s

n11211

2

AAA

cAcAcA

AAA

AAA

)A(e

MMM

L

MMM

L

MMM

L

Ahora bien,

Det(A) = ∑=

+−n

1jj,ttj

jt ))A(M(DetA)1(

Det(e2(A)) = ∑=

+−n

1jj,t2tj2

jt )))A(e(M(Det))A(e()1(

Sea t = p tanto para A como para e2(A). Luego, Det(A) = (-1)p+1Ap1Det(M(A)p,1) +… + (-1)p+nApnDet(M(A)p,n) Det(e2(A)) = (-1)p+1(e2(A))p1Det(M(e2(A))p,1) + +… + (-1)p+n(e2(A))pnDet(M(e2(A))p,n) Pero Det(M(A)p,j) = Det(M(e2(A))p,j) y (e2(A))pj = cAsj ∀ j = 1, 2,… , n. Luego, Det(e2(A)) = (-1)p+1cAp1Det(M(A)p,1) +… + (-1)p+ncApnDet(M(A)p,n) = c[(-1)p+1Ap1Det(M(A)p,1) +… + (-1)p+nApnDet(M(A)p,n)] = cDet(A) La demostración para f2(A) es análoga.



81

fila ésimap

fila ésimas

AAA

cAcAcA

AAA

AAA

A

nn2n1n

sn2s1s

sn2s1s

n11211

−←

−←

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

MMM

L

MMM

L

MMM

L

Sea B la matriz definida por:

fila ésimap

fila ésimas

AAA

AAA

AAA

AAA

B

nn2n1n

sn2s1s

sn2s1s

n11211

−←

−←

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

MMM

L

MMM

L

MMM

L

Luego, por el apartado 5 Det(A) = cDet(B). Por el apartado 4 Det(B) = 0. Por consiguiente, Det(A) = c.0 = 0.

7. La demostración es análoga a la demostración del apartado

anterior. 8. Las matrices A, B y C están definidas de la siguiente forma:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nn2n1n

pn2p1p

sn2s1s

n11211

AAA

AAA

AAA

AAA

A

MMM

L

MMM

L

MMM

L

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nn2n1n

pn2p1p

sn2s1s

n11211

AAA

BBB

AAA

AAA

B

MMM

L

MMM

L

MMM

L

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++=

nn2n1n

pnpn2p2p1p1p

sn2s1s

n11211

AAA

BABABA

AAA

AAA

C

MMM

L

MMM

L

MMM

L

Ahora bien,


82

Det(C) = ∑=

+−n

1jj,ttj

jt ))C(M(DetC)1(

Sea t = p. Luego,

Det(C) = (-1)p+1Cp1Det(M(C)p,1) +… + (-1)p+nCpnDet(M(C)p,n) = (-1)p+1(Ap1+Bp1)Det(M(C)p,1) + +… + (-1)p+n(Apn+ Bpn)Det(M(C)p,n) = (-1)p+1Ap1Det(M(C)p,1) +… + (-1)p+nApnDet(M(C)p,n) + (-1)p+1Bp1Det(M(C)p,1) +… + (-1)p+nBpnDet(M(C)p,n) Pero Det(M(C)p,j) = Det(M(A)p,j) = Det(M(B)p,j); ∀ j = 1, 2,… , n. Luego, Det(C) = (-1)p+1Ap1Det(M(A)p,1) +… + (-1)p+nApnDet(M(A)p,n) +

(-1)p+1Bp1Det(M(B)p,1) +… + (-1)p+nBpnDet(M(B)p,n) = Det(A) + Det(B).

9. La demostración es análoga a la demostración del apartado 7. 10. Sea A la matriz definida por:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nn2n1n

pn2p1p

sn2s1s

n11211

AAA

AAA

AAA

AAA

A

MMM

L

MMM

L

MMM

L

Luego e3(A) está definida por:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++=

nn2n1n

snpn2s2p1s1p

sn2s1s

n11211

3

AAA

cAAcAAcAA

AAA

AAA

)A(e

MMM

L

MMM

L

MMM

L

Si definimos la matriz B de la siguiente manera:


83

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nn2n1n

sn2s1s

sn2s1s

n11211

AAA

cAcAcA

AAA

AAA

B

MMM

L

MMM

L

MMM

L

Entonces por el apartado 7 se cumple que Det(e3(A)) = Det(A)+Det(B). Por el apartado 6 Det(B) = 0. Por consiguiente:

Det(e3(A)) = Det(A)+0 = Det(A).

La demostración para f3(A) es análoga.

11. Supongamos que E está definida por la operación elemental de filas e1:rp↔rs. Luego, E = e1(In). En consecuencia por el apartado 3:

Det(E) = Det(e1(In)) = -Det(In) = -1.

Por otra parte EA = e1(A). Luego, también por el apartado 3:

Det(EA) = Det(e1(A)) = -Det(A) = -1.Det(A) = Det(E)Det(A)

Supongamos que E está definida por la operación elemental de filas e2:rp→crp (c ≠ 0). Luego, E = e2(In). En consecuencia por el apartado 5:

Det(E) = Det(e2(In)) = cDet(In) = c.1 = c.


Det(EA) = Det(e2(A)) = cDet(A) = Det(E)Det(A)

Supongamos que E está definida por la operación elemental de filas e3:rp→rp+crs (c ≠ 0). Luego, E = e3(In). En consecuencia por el apartado 8:

Det(E) = Det(e3(In)) = Det(In) = 1.


Det(EA) = Det(e3(A)) = Det(A) = 1.Det(A) = Det(E)Det(A)

De forma análoga se demuestra para las operaciones elementales de columnas.


84

12. Supongamos sin pérdida de generalidad que la primera fila de A es nula. Ahora bien,

Det(A) = ∑=

+−n

1jj,ttj

jt ))A(M(DetA)1(

Sea t = 1. Luego, Det(A) = (-1)1+1A11Det(M(A)1,1)+…+(-1)1+nA1nDet(M(A)1,n) = (-1)1+1.0.Det(M(A)1,1)+…+(-1)1+n.0.Det(M(A)1,n) = 0. De forma análoga se demuestra si A tiene una columna nula.

13. Supongamos que Rango(A) = n. En ese caso R = In y por

consiguiente Det(R) = Det(In) = 1. Supongamos ahora que Rango(A) = r < n. En ese caso R tiene las últimas n-r nulas. Por el apartado 10, Det(R) = 0.

14. CN(⇒): Si A es invertible entonces Det(A) ≠ 0.

Utilicemos en este caso el método de reducción al absurdo, es decir, supongamos que A es invertible y que Det(A) = 0. Como A es invertible entonces existen matrices elementales E1, E2,… , Et tales que:

In = Et-1Et…E1A ⇒ Det(In) = Det(Et-1Et…E1A)

⇒ Det(In) = Det(Et-1)Det(Et)…Det(E1)Det(A) ⇒ Det(In) = Det(Et-1)Det(Et)…Det(E1).0

⇒ Det(In) = 0

Lo cual es una contradicción porque Det(In) = 1. CS(⇐): Si Det(A) ≠ 0 entonces A es invertible. Sea R∈Mnxn(K) la matriz escalonada reducida por filas de A. Luego, existen matrices elementales E1, E2,… , Et tales que:

R = Et-1Et…E1A

⇒ Det(R) = Det(Et-1Et…E1A)

Aplicando el apartado 9, t veces se obtiene que

Det(R) = Det(Et-1)Det(Et)…Det(E1)Det(A) Por el apartado anterior el determinante de una matriz elemental puede valer 1, -1 ó c (c ≠ 0), es decir, el determinante de una matriz elemental es no nulo. Por consiguiente, como Det(Et-1) ≠ 0, Det(Et) ≠ 0,… , Det(E1) ≠ 0 y Det(A) ≠ 0 entonces Det(R) ≠ 0. Como Det(R) = 0 o Det(R) = 1 entonces Det(R) = 1, es decir,


85

R = In. Luego, A es equivalente por filas a R y por lo tanto A es invertible.

15. CN(⇒): Si Rango(A) = n entonces Det(A) ≠ 0.

Si Rango(A) = n entonces A es invertible. Por lo tanto, Det(A) ≠ 0. CS((⇐): Si Det(A) ≠ 0 entonces Rango(A) = n.

Si Det(A) ≠ 0 entonces A es invertible. Por lo tanto, Rango(A) = n.

16. Supongamos que A y B son singulares. En ese caso: Det(A) = Det(B) = 0

Por otro lado, si A y B son singulares entonces Rango(A) < n y Rango(B) < n. Por consiguiente, Rango(AB) ≤ Rango(A) < n, es decir, AB es singular. Luego, Det(AB) = 0. Por consiguiente, Det(AB) = 0 = 0.0 = Det(A)Det(B). Supongamos ahora que A es singular y B es no singular. En ese caso:

Det(A) = 0 y Det(B) ≠ 0

Por otro lado, como A es singular y B es no singular entonces Rango(AB) = Rango(A) < n, es decir, AB es singular. Luego, Det(AB) = 0. Por consiguiente, Det(AB) = 0 = 0.Det(B) = Det(A)Det(B). Finalmente supongamos que A y B son no singulares. Por consiguiente existen matrices elementales E1, E2,… , Et tales que:

In = Et-1Et…E1A

Es decir,

A = E1-1E2

-1…Et-1

AB = E1-1E2

-1…Et-1B

Luego,

Det(AB) = Det(E1

-1E2-1…Et

-1B) ⇒ Det(AB) = Det(E1

-1)Det( E2-1…Et

-1B) ⇒ Det(AB) = Det(E1

-1)Det( E2-1)Det(E3

-1 …Et-1B)

⇒ Det(AB) = Det(E1-1)Det(E2

-1)…Det(Et-1B)

⇒ Det(AB) = Det(E1-1)Det(E2

-1)…Det(Et-1)Det(B)

⇒ Det(AB) = Det(E1-1E2

-1)…Det(Et-1)Det(B)


86

⇒ Det(AB) = Det(E1-1E2

-1…Et-1)Det(B)

⇒ Det(AB) = Det(A)Det(B)

17. Por el apartado 1 se sabe que:

Det(In) = 1

Como A es no singular entonces A-1A = In. Luego,

Det(A-1A) = 1 ⇒ Det(A-1)Det(A) = 1

⇒ Det(A-1) = )A(Det

1

18. Por definición de Rango a través de determinantes se tiene que:

Rango(A) = máximo{r: ∃ B∈Mrxr(K), sub-matriz de A tal que Det(B) ≠ 0} Como los menores principales de orden 1, 2,.. , r son matrices de orden rxr entonces al menos uno de los determinantes de los menores principales de orden 1, 2,… , r son no nulos y todos los determinantes de los menores principales de orden r+1, r+2,… ,n son nulos.

19. Por definición:

Det(A) = ∑=

+−n

1ij,iij

ji ))A(M(DetA)1(

Fijando j = 1 se obtiene que:

Det(A) = ∑=

+−n

1i1,i1i

1i ))A(M(DetA)1(

Como A es diagonal Anxn(2,1) = … Anxn(n,1) = 0. Luego,

Det(A) = ))A(M(DetA 1,111

Pero, M(A)1,1 es también una matriz diagonal de orden (n-1)x(n-1). Por ello, al aplicar el procedimiento anterior n-1 veces se obtiene que:

∏=

=n

1iiiA)A(Det


87

20. Supongamos que A es triangular superior. Por definición:

Det(A) = ∑=

+−n

1ij,iij

ji ))A(M(DetA)1(

Fijando j = 1 se obtiene que:

Det(A) = ∑=

+−n

1i1,i1i

1i ))A(M(DetA)1(

Como A es triangular superior A21 = … An1 = 0. Luego,

Det(A) = ))A(M(DetA 1,111

Pero, M(A)1,1 es también una matriz triangular superior de orden (n-1)x(n-1). Por ello, al aplicar el procedimiento anterior n – 1 veces se obtiene que:

∏=

=n

1iiiA)A(Det

Análogamente se demuestra que si A es triangular inferior

entonces ∏=

=n

1iiiA)A(Det .

Ejemplo 2.7. Sean A1, A2, A3∈M3x3(ℜ) definidas por:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

4 103 22101

A1 , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=4 10 111101

A2 y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

4 12 3 21103

A3

Hallemos Det(A1), Det(A2) y Det(A3). Para A1 y A2 aplicaremos la fórmula del determinante para una matriz de orden 3x3 generada en el ejemplo 2.4.: Det(A1) = 1.2.4 + 2.1.(-1) + 0.3.0 – (0.2.(-1) + 1.3.1 + 2.0.4) = 8 – 2 + 0 – (0 + 3 + 0) = 6 – 3 = 3 Det(A2) = 1.1.4 + (-1).1.(-1) + 0.(-1).0 – (0.1.(-1) + 1.(-1).1 + (-1).0.4) = 4 + 1 + 0 – (0 – 1 + 0) = 5 + 1 = 6 El determinante de A3 se puede calcular perfectamente por el procedimiento anterior. Sin embargo, con fines académicos, para A3 utilizaremos las propiedades de determinantes (teorema 2.1.), específicamente las propiedades 10 y 20. Si se determina una matriz T triangular superior equivalente por filas


88

a A3 solamente aplicando operaciones elementales de fila del tipo rp→rp + crs entonces por la propiedad 10, Det(A3) = Det(T) y como T es triangular superior entonces Det(A3) es el producto de los elementos de la diagonal principal de T. Este es un nuevo procedimiento para hallar el determinante de una matriz de cualquier orden. Veamos:

T

31000

3820

103

31410

3820

103

4 12 3 21103

A 233133

22

r21rrr

32rr

r31rr

3 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

−→−→

+→

Luego,

Det(A3) = Det(T) = 3.2.(10/3) = 20 Ahora, utilizando las propiedades (teorema 2.1.) y los determinantes de A1, A2 y A3 hallaremos el determinante de cada una de las siguientes matrices:

1. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

4 101013 22

B1 . Se aprecia que B1 se obtiene al intercambiar las

filas 1 y 2 de A1. Por la propiedad 3 se obtiene que Det(B1) = -Det(A1) = -3

2. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

3 221014 10

B2 . Se aprecia que B2 se obtiene al intercambiar

primero las filas 1 y 3 de A1 y luego intercambiar las filas 2 y 3 de la matriz resultante. Aplicando la propiedad 3 2 veces de obtiene que Det(B2) = -(-(Det(A1)) = Det(A1) = 3.

3. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

014 223 101

B3 . Se aprecia que B3 se obtiene al intercambiar las

columnas 1 y 3 de A1. Luego, por la propiedad 3 se tiene que Det(B3) = -Det(A1) = -3.

4. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

4 106 44101

B4 . Se aprecia que B4 se obtiene al multiplicar la

fila 2 de A1 por 2. Luego, por la propiedad 5 se tiene que Det(B4) = 2Det(A1) = 2.3 = 6.

5. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=12109223 01

B5 . Se observa que B5 se obtiene al multiplicar la

columna 3 por (-3). Luego, por la propiedad 5 se tiene que Det(B5) = (-3)Det(A1) = (-3).3 = -9.


89

6. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

1023 244 10

B6 . Se aprecia que B6 se obtiene al intercambiar

primero las filas 1 y 3 de A1 y luego a la matriz resultante multiplicarle la columna 1 por 2. Luego, por las propiedades 3 y 5 se tiene que Det(B6) = -(2Det(A1) = (-2).3 = -6.

7. B7 = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

4 102 31101

. Se observa que las filas 1 y 3 de B7 son

idénticas a las filas 1 y 3 de A1 y A2, en tanto que la fila 2 de B7 se obtiene al sumar la fila de 2 de A1 más la fila 2 de A2. Luego, por la propiedad 8 se tiene que Det(B7) = Det(A1) + Det(A2) = 3 + 6 = 9.

8. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

4 123 21104

B8 . Se aprecia que las columnas 2 y 3 de B8 son

idénticas a las columnas 2 y 3 de A1 y A3, en tanto que la columna 1 de B8 se obtiene al sumar la columna 1 de A1 más la columna 1 de A3. Luego, por la propiedad 9 se tiene que Det(B8) = Det(A1) + Det(A3) = 3 + 20 = 23.

9. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

4 105 20101

B9 . Se observa que B9 se obtiene al sustituir la fila

2 de A1 por dicha fila menos 2 veces la fila 1 de A1. Luego, por la propiedad 10 se tiene que Det(B9) = Det(A1) = 3.

10. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−=

4 10 2110 01

B10 . Se observa que B10 se obtiene al sustituir la

columna 3 de A2 por dicha columna más la columna 1 de A2. Luego, por la propiedad 10 se tiene que Det(B10) = Det(A2) = 6.

Ejemplo 2.8. Hallemos el determinante de la siguiente matriz:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−++=

332cba

9mc9mb6maA

B332

cba332

332cba996

332cba

9mc9mb6maA

11211

r31rmrrr =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−++=

→−→

Luego, por propiedades:


90

Det(B) = )332

cba996

(Det31

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

− =

)A(Det31)

332cba

9mc9mb6ma(Det

31

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−++

Es decir, Det(A) = 3Det(B) y como B tiene 2 filas iguales Det(B) = 0. En consecuencia, Det(A) = 3.0 = 0. Este cálculo se puede hacer sin especificar necesariamente las operaciones elementales de filas de la siguiente manera:

Det(A) = Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−++

332cba

9mc9mb6ma) = Det(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

332cba996

)

= 3Det(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

332cba332

) = 3.0 = 0

2.4. MATRIZ ADJUNTA. Definición 2.3.

Sean A∈Mnxn(K) e i, j∈ℵ, 1≤ i ≤ n; 1≤ j ≤ n. Se define como Cofactor del elemento Aij y se denota por A(i|j) al número A(i|j)∈K:

A(i|j) = (-1)i+jDet(M(A)i,j) Ejemplo 2.9. Sea A∈M3x3(ℜ) definida por:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

3 1 1 1 2 12 0 1

A

Luego,

A(2|3) = (-1)2+3Det(M(A)2,3) = (-1)5Det( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1101

) = (-1).(1) = -1


91

Definición 2.4. Sea A∈Mnxn(K). Se define como Matriz Adjunta o Matriz Adjugada de A y se denota por Adj(A) a la matriz Adj(A)∈Mnxn(K) con elemento genérico:

(Adj(A))ij = A(j|i) Observación: Si definimos a B∈Mnxn(K) la matriz Bij = A(i|j) entonces Adj(A) = Bt. Ejemplo 2.10. Con respecto a la matriz A del ejemplo 2.9.:

A(1|1) = (-1)1+1Det(M(A)1,1) = (-1)2Det( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3112

) = 5

A(1|2) = (-1)1+2Det(M(A)1,2) = (-1)3Det( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−31 11

) = 4

A(1|3) = (-1)1+3Det(M(A)1,3) = (-1)4Det( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−11 21

) = -3

A(2|1) = (-1)2+1Det(M(A)2,1) = (-1)3Det( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3120

) = 2

A(2|2) = (-1)2+2Det(M(A)2,2) = (-1)4Det( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3121

) = 1

A(2|3) = (-1)2+3Det(M(A)2,3) = (-1)5Det( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1101

) = -1

A(3|1) = (-1)3+1Det(M(A)3,1) = (-1)4Det( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1220

) = -4

A(3|2) = (-1)3+2Det(M(A)3,2) = (-1)5Det( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 11

21 ) = -3

A(3|3) = (-1)3+3Det(M(A)3,3) = (-1)6Det( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 21

01 ) = 2

Luego,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

)3|3(A)3|2(A)3|1(A)2|3(A)2|2(A)2|1(A)1|3(A)1|2(A)1|1(A

)A(Adj = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

2 1331 4 42 5

Teorema 2.2.

Sea A∈Mnxn(K). Si A es no singular entonces A-1 = )A(Adj)A(Det

1 .


92

Demostración La matriz adjunta de A tiene la siguiente estructura:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)nn(A)n2(A)n1(A

)2n(A)22(A)21(A)1n(A)12(A)11(A

)A(Adj

L

MMM

L

L

Luego,

(A(Adj(A)))ij = ∑=

n

1rrjir ))A(Adj(A

⇒ (A(Adj(A)))ij = )rj(AAn

1rir∑

=

⇒ (A(Adj(A)))ij = ))A(M(Det)1(A r,jrj

n

1rir

+

=

−∑

⇒ (A(Adj(A)))ij = ))A(M(DetA)1( r,j

n

1rir

rj∑=

+−

Si i = j entonces (A(Adj(A)))ij = ))A(M(DetA)1( r,i

n

1rir

ri∑=

+− = Det(A).

Ahora bien, Sea B∈Mnxn(K) la matriz definida de la siguiente manera:

fila ésimaj

AAA

AAA

AAA

AAA

B

nn2n1n

in2i1i

in2i1i

n11211

−←

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

MMM

L

MMM

L

MMM

L

Como B tiene 2 filas iguales se cumple que Det(B) = 0. Además:

Det(B) = ∑=

+−n

1jj,ttj

jt ))B(M(DetB)1(

⇒ Det(B) = ∑=

+−n

1rr,ttr

rt ))B(M(DetB)1(

Sea t = j. Luego,

Det(B) = ∑=

+−n

1rr,jjr

rj ))B(M(DetB)1(


93

Pero Bjr = Air y Det(M(B)j,r) = Det(M(A)j,r). Por consiguiente:

Det(B) = ∑=

+−n

1rr,jir

rj ))A(M(DetA)1( = 0

Luego si i ≠ j entonces (A(Adj(A)))ij = ))A(M(DetA)1( r,j

n

1rir

rj∑=

+− = 0

Es decir,

⎩⎨⎧

≠=

=j i si 0 j i si )A(Det

)))A(Adj(A( ij

Lo cual indica que (A(Adj(A))) es una matriz diagonal. Por lo tanto:

nI)A(Det

100

010001

)A(Det

)A(Det00

0)A(Det000)A(Det

)))A(Adj(A( =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

L

MM

L

L

L

MMM

L

L

Como A es no singular entonces Det(A) ≠ 0. En consecuencia:

nn I))A(Adj)A(Det

1(AI)))A(Adj(A()A(Det

1=⇒=

De forma análoga se demuestra que (Adj(A)A) = Det(A)In lo cual trae como consecuencia que:

nn I)A)A(Adj)A(Det

1(I)A)A(Adj()A(Det

1=⇒=

Por lo tanto,

)A(Adj)A(Det

1A 1 =−

Ejemplo 2.11. Con respecto a la matriz A del ejemplo 2.9., se tiene que:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

3 1 1 1 2 12 0 1

A

Det(A) = (1.2.3 + (-1).1.2 + 0.1.1) – (1.2.2 + 1.1.1 + (-1).0.3) = (6 – 2 + 0) – (4 + 1 + 0) = 4 – 5 = –1. Luego,

)A(Adj)A(Det

1A 1 =− = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−21 3 3 144 25

2 1331 4 42 5

)1(1


94

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Calcule el determinante de las siguientes matrices:

1.1. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

3 5 12 4 3 1 22

A

1.2.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=

5 0 6 04 2 1 34 1 213 20 5

B

1.3.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

30 40010204 3000 21

C

2. Para la matriz A del ejercicio anterior halle el determinante de cada uno

los menores principales de orden 2 y para las matrices B y C halle el determinante de cada uno de los menores principales de orden 2 y 3, respectivamente.

3. Determine los valores de k para los cuales las siguientes matrices son no

singulares:

3.1. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=k15

4kA

3.2. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

+−=

5k3kk2412

k1kk1B

4. Sea A∈Mnxn(K). Demuestre que si:

4.1. A es ortogonal entonces Det(A) = -1 ó Det(A) = 1. 4.2. A es idempotente entonces Det(A) = 0 ó Det(A) = 1. 4.3. c∈K y c ≠ 0 entonces Det(cA) = cnDet(A); c ≠ 0. 4.4. A es antisimétrica Det(At) = (-1)nDet(A). 4.5. A es antisimétrica y n es impar entonces Det(A) = 0. 4.6. A = LU entonces Det(A) = Det(U).

4.7. PA = LU entonces Det(A) = )U(Det)P(Det)U(Det

±= .

5. Sea A∈Mnxn(K). Demuestre que la suma de los determinantes de los

menores principales de orden 1 es igual a la Traza de A. 6. Para cada una de las siguientes matrices resuelva la ecuación

Det(A–λIn) = 0:


95

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

102110003

A ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1 011 10103

A ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

6 11 0 7 12 1 7

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

3 2 22 3 2 22 3

A

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

6 11215 2 112 5 12 1 0 1

A

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

11 0 21 1 0 00 2 2 1 1 0 0 1

A

7. Sea A∈Mnxn(K) definida de la siguiente forma:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−− 1nn

1n2

1n1

2n

22

21

n21

)X()X()X(

)X()X()X(XXX111

A

L

MMM

L

L

L

Demuestre que Det(A) = ∏

>

−ji

ji )XX( .

Este determinante se llama Determinante de Van Der Monde.

8. Determine en qué casos el Determinante de Van Der Monde es nulo. Obtenga además una fórmula para este determinante cuando n = 3 y cuando n = 4.

9. Utilizando el ejercicio anterior calcule el determinante de las siguientes

matrices:

9.1. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

941321111

A

9.2.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

6427811694143211111

B

10. Sea A∈Mnxn(K) la matriz definida de la siguiente forma:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

+

=

n321

n321

n321

n321

X1XXX

XX1XXXXX1XXXXX1

A

L

MMMM

L

L

L


96

Demuestre que Det(A) = 1 + ∑=

n

1iiX .

11. Sean A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) los vértices de un triángulo ∆ABC.

Demuestre que el área de este triángulo es:

Area(∆ABC) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=±

33

22

11

yx1yx1yx1

A siendo ; Det(A)21

¿En qué caso Det(A) = 0? 12. Sin desarrollar y tomando como insumo el dato que se da calcule el

determinante de las siguientes matrices:

12.1.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ ++

=

230 1011 1113 14

3w22z 2y2x2

A ; Det(B) = 2 y

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

30 201 1 1 10 2 0 3w z y x

B

12.2. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−=

fedihg

f3c2e3b2d3a2A ; Det(B) = 8 y

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ihgfedcba

B

12.3.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

x20yz40345321a20bc

A ; Det(B) = -7 y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zyx432cba

B

12.4. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

wvuz2y2x2c3b3a3

A ; Det(B) = -4 y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

wvucbazyx

B

13. Resuelva las siguientes ecuaciones:

13.1. Det(A) = 0 con

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−=

3x0x3003xx3000x33x33x3

A

13.2. Det(A) = 12 con ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

521)1x2log(

A

13.3. Det(A) = –4x con

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

104x1752010035x2x

A


97

13.4. Det(A) = –7 con

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

21126524x31033x12

A

13.5. Det(A) = 0 con ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

senxxcossenx0senx1132

A2

; x∈[0,2π]

13.6. Det(A) = 0 con ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

tgx1103ctgx111

A ; x∈[0,2π]

14. Utilizando la matriz adjunta determinar en caso de que existan las

matrices inversas de las siguientes matrices:

14.1. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

4 1112 13 4 2

A

14.2.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

12 3 4 0 1 2 13 1 2 0 4 21 1

B

14.3.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

=

2 1 3 31 2 1 414 3 01211

C

15. Sea A∈M2x2(K) tal que A es no singular. Determine los valores de a y b

para que A2 – aA + bI2 = θ2x2 y halle la matriz inversa de A.

Capítulo 2. Determinantes. Álgebra Lineal para Estadísticos y Actuarios. William Noguera

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Transcript of Capítulo 2. Determinantes. Álgebra Lineal para Estadísticos y Actuarios. William Noguera