2. Unidades y análisis dimensional

En física, las mediciones se expresan en unidades. Una unidad aceptada oficialmente se denomina unidad estándar. Un grupo de unidades estándar y su combinación se llama sistema de unidades. El sistema métrico es de uso predominante en el mundo, cuya versión moderna, el sistema internacional, SI, incluye magnitudes fundamentales y derivadas.

Magnitudes fundamentales.

Aquellas propiedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenómenos naturales y que son susceptibles de ser medidas reciben el nombre de magnitudes físicas (ejemplo, la longitud, la masa, la velocidad son magnitudes físicas). Las unidades fundamentales del SI son siete, que se considera el número menor de magnitudes fundamentales necesarias para la medición.

- Longitud: es la magnitud fundamental para medir distancias o dimensiones en el espacio. La unidad SI es el metro, m. Originalmente se definió como 1/10000000 (0 10-7) de la distancia del polo norte al ecuador, a lo largo de un meridiano que corría a través de París. Esta longitud se conservó inicialmente en la forma de un estándar material: la distancia entre dos marcas sobre una barra de metal hecha de una aleación de platino e iridio); sin embargo, este estándar cambia con ciertas condiciones externas, como la temperatura. Es por ello que en 1983 el metro se redefinió en términos de una propiedad invariable de la luz: la longitud de la trayectoria de la luz en el vacío durante un intervalo 1/299792458 de un segundo.

- Masa: es la magnitud fundamental que se utiliza para describir cantidades de materia. La unidad SI es el kilogramo, kg, y se refiere a un estándar materia específico: la masa de un cilindro de platino e iridio prototipo guardado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, Francia.

- Tiempo: La unidad SI es el segundo, s. Se define como la duración de 9´192631770 ciclos de la radiación asociada con una transición especificada del átomo cesio 133.

- Corriente eléctrica: ampere, A. Se define como la corriente que, si se mantiene en dos cables largos paralelos, separados por un metro en el espacio libre, producirá una fuerza entre los dos cables de 2*10-7 newton por cada metro de longitud.

- Temperatura: kelvin, K. Es la fracción 1/273.15 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. La temperatura de 0°K es el “cero absoluto”.

- Cantidad de sustancia: mole (mol). Cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como hay átomos en 0.012 kg de carbono-12 (6.02x1023).

- Intensidad luminosa: candela (cd). Se define como la intensidad luminosa de 1/ 600000de un metro cuadrado de un cuerpo negro a una temperatura de 2045°K.

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MAGNITUDES Y UNIDADES DEL SI

Magnitud Unidad Símbolo

Longitud Metro M

Masa Kilogramo Kg

Tiempo Segundo S

Intensidad de corriente

Amperio A

Temperatura Kelvin K

Cantidad de sustancia

Mole Mol

Intensidad luminosa

Candela cd

Nota. El sistema métrico MKS (metro-kg-segundo) está incorporado al SI. Otro sistema métrico es el cgs (centímetro-gramo-segundo).

Análisis dimensional.

Las magnitudes básicas o fundamentales utilizadas en las descripciones físicas se denominan dimensiones. Por ejemplo, la longitud, la masa y el tiempo son dimensiones. Por convención, las magnitudes dimensionales se escriben entre corchetes, . Ej. L, M, T (longitud, masa, tiempo). Las magnitudes derivadas son combinaciones de estas. Ej. la velocidad = L/T (ej. kilómetros/hora). El volumen tiene las dimensiones LLL o L3 (ej. cm*cm*cm o centímetros cúbicos, cm3).

Sólo pueden sumarse y restarse magnitudes de igual dimensión (metros con metros, litros con litros, etc).

Ej. 3kg + 5kg = 8kg.

Las ecuaciones deben ser dimensionalmente consistentes. El análisis dimensional es un procedimiento mediante el cual se puede comprobar la consistencia dimensional de una ecuación: los dos lados de una ecuación deben ser iguales en magnitud numérica y en sus dimensiones.

Tomemos como ejemplo la distancia, que puede expresarse como el producto de la velocidad por el tiempo, d = v*t. Piense en una velocidad de 300m/seg durante 10 segundos. La distancia d en esos 10 seg es d = 300m/seg * 10 seg = 3000m.

Observemos un análisis dimensional (en éste, se ignoran las constantes). La magnitud correspondiente al metro es la longitud L, y la magnitud correspondiente al segundo es el tiempo T:

distancia = velocidad * tiempo14

d = m/seg * seg. Con sus magnitudes:

L = L / T * T

L = L. Ecuación correcta dimensionalmente.

Ejemplo. Sabemos que un m equivale a 100 cm:

1m = 100 cm.

Tanto el metro como el cm son unidades cuya magnitud es la longitud L; por lo tanto:

L = L.

Ejemplo. Se sabe que las unidades de la velocidad V son m/s; de la aceleración a, m/s2; y de la distancia x, metros m. Mírese la consistencia dimensional de la siguiente ecuación:

V2 = Vo2 + 2ax.

Expresemos cada unidad por su respectiva magnitud:

Ejemplo. Determine las unidades de la ecuación densidad , en los sistemas MKS y cgs.

= masa/volumen

= Kg/m3 (MKS)

= gr/cm3 (cgs)

Ejercicios propuestos.

1. Demuestre que la ecuación x = xo + vt, donde v es la velocidad, x y xo son longitudes, es dimensionalmente correcta.

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2. Utilice el análisis de unidades SI para demostrar que la ecuación A = 4r2, en donde A es el área y r es el radio de una esfera, es dimensionalmente correcta.

3. Demuestre que la ecuación x = xo +vot + ½ at2 es correcta dimensionalmente (a es la aceleración, vo es la velocidad inicial, x y y son longitudes).

4. La ecuación para la distancia recorrida por un objeto está dada por x = vot + bt2, donde vo es velocidad inicial, t es el tiempo y b es una constante. Determinar las unidades SI de b.

5. Son correctas dimensionalmente las siguientes ecuaciones?

a. t = 2x/v

b. V = d2 / 4 (V es el volumen, y d es el diámetro de una esfera).

6. Demuestre que la ecuación A = 2(r2) + 2L, donde r es un radio y L es una longitud, es correcta dimensionalmente.

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