· Capitulo 2. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 57 . para x,ca, f(x)=(x...

Capitulo 2 SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 57

para xca f(x)=(x -ath(x) con lim h(x) c O X--+ Cl

Si m - 1 la raiz se dice simple V

~_JEqI~l1i3J~L~90na la m_ultiplicidad de una ra iz de una ecuacion f(x) = 0 can las

derivadas de la funci6nl

_tiene su dos rimeras deriYa~ntinuas enLin

cUOaIaiz simple de la ecuaci6n

Demostraci6n~ Supongamos que a es una raiz simple de la ecuacion f(x) = O Entonces de

acuerdo can la definicion 23 f(a) = 0 y

para x ca f(x) =(x -a)h(x) can limh(x) c O x--+a

Derivando a ambos lados de la expresion anterior can respecto a x obtenemos

f ( x) = h( x) + ( x - a )h ( x)

Como lim f (x) = lim h(x) c 0 X4 a X4cr

Y f es continua en a (par hipotesis) entonces lim f(x) = f(a ) c 0 X- gtCl I I l ) ~ I I Ln -

Reclprocamente supongamos que f( a) = 0 y f(a) c O Hacienda un desarrollo en serie de

Taylor para f alrededor de a obtenemos

f(x) = f(a) + f(a )(x _ a) + f (~ ) (x - a )2 ___ 2 o

= (x-a)lf(a)+f(~)(xa ) l para algun ~ entre x y a

Llamando a

h(x) = f (a ) + f (~ ) (xI )

tenemosque para xca f(x)=(x- a )h(x) con limh(x)=f(a ) c O V X--+Cl

En general se tiene el siguiente teorema cuya demostraci6n es completamente analoga a la del teorema 22 anterior

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE58 METODOS NUMERICOS

Teorema 23~2ongamos que la funci6n f tiene sus primeras m + 1 derivadas continuas~~ yuJltQtervalo ab que conJ~ne a un numercY~1 ~ntonces s una rafz de multiplicidad m_de

laecuacj6n f(x)=O siys610si O=f(a)=f(a)=f(a)= =f(m-11(a) y f (m1(a)otO V - Jo

Volviendo aJ metodo de Newton-Raphsonla- hip_6tQ$~e1 para aplicar este metodo es

que ~9a sus primeras dosJIerl ladas ~QntiIlua en un intervalo lab] con f( x)ot-0 para--

todo x E[ab] y exista ~ ~ [a b tal que f(a) = O

De acuerdo con la hip6tesis general y el teorema 22 ~a)ot 0 entonces la raiz _~

simple es decir de multiplicidad 1 shy

L_a_sect siguientes graficas muestran diversas posibilidades de multiplicidad para una raiz a de

una ecuaci6n f( x) =0

Presentacion usando polinomiOi d

y = f(x) general y sea a una aproximaci6n de II y = f(x)

1 Consideremos el polinomio dez~~ xx

FIGURA 213a FIGURA213b FIGURA 213c (Raiz simple) (Raiz multiple par) (Raiz multiple irnpar)

Hay varias formas de presentar el metodo de Newton-Raphson dos de elias son

Presentacion grcifica Supongamos que f satisface la hip6tesis general y escojamos

Xo E[ab] cercano ala raiz a

L~ primera aproximaci6n x en el metodo de Newton-Raphson es el punto en el cual la obtenemos

recta L tangente a la grafica de f en el punto (xo f( xo)) corta al eje x (ver la FIGURA 214)

y despejando a De acuerdo con esto se liene que

( ) f(xo) - 0f Xo = -------Xo - x

yentonces

En general para cad a n ~ 1 x = X 1 - f( Xn-Oscisa del punto de intersecci6n de la n n- f(xn_) r - -_

recta tangent~ltJa grafica de fen el punta xn-1 f(Xn_)) ~on el eje x


y

Xo

FIGURA 214

Presentaci6n usando polinomios de Taylor Supongamos que f satisface la hip6tesis

general y sea a una aproximaci6n de a tal que Ia - a I es pequeno

Consideremos el polinomio de Taylor de primer grado para f alrededor de a ~ bull

f(X)=f(O)+f(O)(X _O)+f()(X-2~)2 x y 0con entre

En particular para x = a tenemos

O=f(a)= f(a)+ f (a)(a-a)+ f (~)(a-2~ r ~ a y aentre

(a-amiddotrSuponiendo que el termino f( ~) 2 es despreciable (recuerde que f es acotada)

obtenemos

o f( a bull ) + f bull (a )( a - a bull )

y despejando a lIegamos a

f(a) y a - -(- ) es por 10 general una mejor aproximaci6n de a que a

f a

EI metodo de Newton-Raphson para encontrar una raiz a de una ecuaci6n f(x) = 0

consiste en generar una sucesi6n xn n definida mediante la f6rmula de iteraci6n

60 METODOS NUMERIC OS

y escogiendo Xo cercano a a

De acuerdo con la f6rmula anterior se ve claramente que el metodo de Newton-Raphson es un caso especial del metodo de iteraci6n de Punto Fijo cuando se toma como funci6n de iteraci6n la funci6n

g(x) = x _ f(x) f( x)

La escogencia del punto inicial Xo es muy importante para la convergencia del metodo de

4x - 7Newton-Raphson Como ejemplo consideremos la funci6n f x () = -- que tiene un cero

x - 2 7

en a = - = 175 Como 4

4(x-2)-(4X-7) - 1 2 f(x) = (X_2)2 = (X_2)2 fll(x) = (X_2)3

entonces es continuamente diferenciable dos veces en todo intervalo que no contenga a X = 2

La sucesi6n generada por el metodo de Newton-Raphson para la funci6n dada es

4x _ 7 n 1 shy

xn- 1rn = xn_ - - 2 xn- 1 2-1

La grafica de f(x) = 4x - 7 es como se muestra en la FIGURA 215 x - 2

Se puede ver que si en la f6rmula para xn (en el metodo de Newton-Raphson) usamos

Xo =15 obtenemos x = 20 Y el metodo no puede continuarse

Si Xo E(152) el metodo converge Que pasa si Xo middotE(015)

En las TABLAS 28 Y 29 se muestran los resultados obtenidos al aplicar el metodo de 4x - 7

Newton-Raphson a la funci6n f(x) = -- tomando como puntos iniciales Xo =165 Y x-2

Xo = 185 respectivamente y usando como criterio de aproximaci6n If(xn) 1lt 5 x 10-5 0

I xn - Ilt 5 x 10 - 5 xn-1

)

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE

y

n

Capitulo 2 SOLUCICN NUMERICA DE UNA ECUACICN NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 61

y

4 -------------shy

x

FIGURA 215

n Xn f( Xn) I Xn - Xn- 1 I

0 165 114 1 179 -761 I 14 2 17564 -105 j 336x10-1

3 1750163 -260 x1 0-3 6237 x 10-3

4 175 0 163 x 10-4

TABLA 28 Instrucci6n en DERIVE

NEWTON( f( x) x Xo N) aproXima las primeras N iteracion~s en Ie metodo de Newtonshy

Raphson aplicado a la funci6n f(x) tomando como aproximacion inicial xo Para el ejemplo

aproXime la expresi6n NEWTON( 4x shy 7 x 165 4) 0 x-2

n

0 185 -266 1 179 -761 60 x 10-2

2 17564 -105 336 x 10-1

3 1750163 -260 x10-r 6237 x 10--3

4 175 0 163 x 10-4

TABLA 29

Para la misma funci6n f si usamos el metodo de Newton-Raphson con Xo = to se obtienen

hasta la quinta iteraci6n los resultados que se muestran en la TABLA 210 siguiente +

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA62 METODOS NUMERICOS

I n

0 I

xn

10 I

f( xn )

30 I I xn - xn-1I I

1 2

40 220

45 405

30 180

3 16420 4000609 16200 4

5 1076168 x 107

4632550 x 1014 4000000

4000000 10760038 x 107

46325498 x1014

TABLA 210

EI siguiente teorema da condiciones suficientes no necesarias para la convergencia del metodo de Newton-Raphson aunque no da de manera explicita un intervalo donde se pueda escoger el punto inicial xo

Teorema 24 Sea f una funci6n continuamente diferenciable dos veces en un intervalo [ab]

que contiene un numero a Si f( a) = 0 y f ( a ) Q (a es rafz simple de la ecuaci6n

f( x) = 0 ) entonces existe 0gt 0 tal que la sucesi6n xnn c~

converge a a para cualquier Xo E [a - 0 a + 0]

Demostraci6n Haciendo

g(x) = x- f(x) f(x)

se demostrara que existe un 0 gt 0 tal que la funci6n 9 satisface las hip6tesis del teorema 21

(de Punto Fijo) en el intervalo [a - oa + 0]

En efecto

Como f (a)O y f es continua en [ab] existe 01gt 0 tal que f (x)O para todo

x E[a - o a + o d~[a b] Entonces 9 es continua en [a - 01 a +01] shy

Ahora

g(x) = 1- f (x)f (x- f(x)f (x) = [f (xW - [f ( x)t + f(x)f(x)

[f (x)t [f(x)t f(x)f ( x)

para xE[a - 01a + o1]

[f ( x)t

y como f es continuamente diferenciable dos veces en

[a -01a +01] porotrolado f(a)=O y f(a)tOas

f(a)f(a)

g(a) = [f(a)]2

Ahora como g es continua en [a - o1a + Sd y

tal que ~ g (x)IK lt 1 paratoda xe[a- tia+o]

Fijados K Y 8 falta demostrar que ~[a -oa +

Si x E [a - 8 a + 8] el teorema del valor meltfjO

ta ll que

f(a) (recuerde que g(a) = a - f(a) = a

Asf que Ig(x) - ex I~ 0 10 que signib

Luego g[a - 8 a + 0] -+ [a - Ba

consecuencia la sucesi6n Xnn

Nota Los crfterlol Newton-Rlphlon

de la sucesi6n n

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 63

y como f es continuamente diferenciable dos veces en [ab] entonces g es continua en

[a-8 1a+8 1 ] porotrolado f(a)= O y f (a) O asfque

g(a ) = f(a )f(~ ) = deg [f (a)]

Ahora como g es continua en [a - 81a + 8] Y g(a) = 0 entonces existe 8 con 0 lt8 lt 81

talgue Igl(x)J ~ K lt 1 paratoda x E[a-8a+8] (este 8 depende del Kescogido)

Fijados K Y 8 falta demostrar que 9([a - 8 a + 8]) ~ (a - 8 a + 8]

Si x E[a - 8a + 8] el teorema del valor medio aplicado a 9 implica que existe un ~ entre x y a

tal que

I g( x) - a I = I g(x) - g(a ) I = I g(~ ) II x - a I ~ KI x - a I lt I x - a I~ 8

(recuerde que g(a ) = a - ~~) = a )

Aslque I g(x)-a l~8 loquesignificaque g(x)E [a - 8a+8] paratodo x E[a - 8a + 8]

Luego g(a -oa+8]~(a-o a+o] satisface todas las hip6tesis del teorema 21 y en

consecuencia la sucesi6n xn n definida por

converge aacualquiera sea Xo E[a-oa+o] V

Nota Los criterios de aproximaclon que generalmente se utilizan ~n el metodo de Newton-Raphson son dado E gt 0 se toma como aproximaci6n de la ra iz a al termino xN

de la sucesi6n generada mediante la f6rmula de iteracion de Newton donde N es el menor

entero no-negativ~ tal que I f( xn) I lt E 0 Ixn - xn-1 Ilt E

Observe que si el metodo de Newton-Raphson converge como

entonces entre mas grande sea I f ( x) J en la vecindad de la raiz a mas rapida sera la

convergencia

Capitulo 2 SOlUCI6N NUMERICA DE UNA EClJ64 M~TODOSNUM~R~OS

Algoritmo 23 (Newton-Raphson) Para encontrar una aproximaci6n a de una raiz a de

una ecuaci6n f( x) = 0 conocida una aproximacion inicial Xo

Entrada f( x) f ( x) una aproximaci6n inicial Xo una tolerancia Tal y un numero maximo

de iteraciones N

Salida Una raiz aproximada a a un mensaje

Paso 1 Tomar n = 1

Paso 2 Mientras que n 0 N seguir los pasos 3-8

Paso 4 Si d = 0 entonces salida No se puede continuar el metodo Terminar

ePaso 5 Tomar c = Xo - - (calcula xn )

d

Paso 6 Si If( c) 1lt Tol 0 Ic - Xo I= I ~ 1lt Tol entonces salida Una raiz

aproximada es a =C n Terminar

Paso 7 Tomar n =n + 1

Paso 8 Tomar Xo = c (redefine Xo )

Paso 9 Salida Se alcanz6 el numero maximo de iteraciones N pero no la tolerancia Terminar

Ejemplo 26 Can respecto a las raices al a2 Y a 3 de la ecuaci6n 3x2 - eX = 0 vemos

que la funci6n f( x) = 3x2 - eX satisface la hip6tesis general del metoda de Newton-Raphson

en los intervalos [-5--] [910] Y [3738] Si aplicamos el metoda de Newton-Raphson

can aproximaciones iniciales apropiadas y criterio de aproximaci6n

r

se obtienen los resultados que se muestran en las T ABLAS 211 212 Y 213 siguientes

2 Para este ejemplo aproXime la expresi6n NEWTON( 3x

De acuerdo con la TABLA 211 se tiene que U 1

n

De acuerdo con la TABLA 212 se tiene que Q2

n

Ejercicio 25 Use el metodo de ecuaci6n x - tanx = 0 usando como anterior +

223 EI metodo de encontrar raices reale d ecuaci6n polin6mica con cOlriCI~

Si a

n xn f(xn) Ixn - xn_1 I 0 - 5 143 1 -4602195 426 x10-3 397805 x 10-2

2 - 4589635 418 x10-6 1256 x 10-3

TABLA 211


Para este ejemplo aproXime la expresion NEWTON( 3x2 - exp( x) x - 052 )

De acuerdo con la TABLA 211 se tiene que a 1 -4589635 = x2

n xn f( xn) Ixn - xn_1 I 0 10 281 x10-1

1 9141552 426 x 10-3 858448 x 10-2

2 9100176 418 x10-6 41376 x 10-3

TABLA212

De acuerdo con la TABLA 212 se tiene que a2 9100176 = x2

n xn f( xn) Ixn - xn-1 I 0 37 622 x10- 1

1 3734125 - 203 x 1 0-2 34125 x 10-2

2 3733080 -200 x10-5 1045 x 10-3

TABLA 213

Los resultados de la TABLA 213 indican que a3 Z 3733080 = bullx2

Ejercicio 25 Use el metodo de Newton-Raphson para encontrar la menor raiz positiva de la ecuacion x - tanx = 0 usando como criterio de aproximaci6n el mismo dado en ejemplo 26 anterior bull

223 EI metodo de Newton-Raphson combinado con el algoritmo de Horner para encontrar raices reales de ecuaciones polinomicas con coeficientes reales Dada una ecuaci6n polin6mica con coeficientes reales

Si a es una raiz real de la ecuaci6n p( x) = 0 el metodo de Newton-Raphson para aproximar

la rafz a consiste en generar la sucesion xn n mediante la formula de iteracion

p( xn- 1)

xn =xn_1 - ( ) n=12 p xn _1

con Xo escogido cercano a a

Como se ve en la f6rmula anterior el calculo de cada iteracion requiere la evaluaci6n del polinomio p y su derivada p en un numero Existe un algoritmo amado algoritmo de Horner muy facil de implementar en el computador el cual permite calcular de manera eficiente el valor del polinomio y el de su derivada en un nUmero

EI algoritmo de Horner se basa en escribir el polinomio p(x) en la forma encajada 0 anidada siguiente

Capitulo 2 SOLUCI6N NUMERICA Of66 ME-TODOS NUMERICOS

Si queremos evaluar p(z) y p(z) para algun numero real z basta tener en cuenta que

Si hacemos

bn =an Y

= ak + zbk+1 para k = n -1n - 2 10 bk

entonces bo = p(z)

Los numeros auxiliares bn bn_ b son los coeficientes del polinomio cociente q(x) que

resulta de la division de p(x) par x - z Y bo es el residuo es decir

p( x) = ( x - z )q( x) + b0

En efecto

Como p(x) =(x - z)q(x) + bo entonces para x =z se obtiene

p(z) = (z - z)q(z) + bo = bo

Ahora bien como

p( x) = (x - z )q( x) + bo

entonces derivando a ambos lad os de esta ultima ecuaci6n con respecto a x obtenemos

p(x) = q( x) + (x - z)q( x)

yentonces

p(z) = q(z) + (z - z)q(z) = q(z)

y como q(x) es un polinomio del cual

b b _ b ) podemos aplicar el algoritmo de n n de esta manera obtener p(z)

Algoritmo 24 (Horner) Para evaluar un

Y su derivada en un numero real z

Entrada EI grado n del polinomio los

real z

Salida bo = p(z) Y c = p(z

Paso 1 Tomar bn = an (cacula el~-

Paso 3 Tomar bo =ao +zb

Paso 4 Salida p(z) =bo Y

Observe en el algoritmo

reducido q(x) si Jlnl~rJlmDl


y como q(x) es un polinomio del cual conocemos sus coeficientes (los numeros

bn bn_1 b1 ) podemos aplicar el algoritmo de Horner al polinomio q(x) para hallar q(z) y

de esta manera obtener p(z)

Algoritmo 24 (Horner) Para evaluar un polinomio con coeficientes reales


Entrada EI grado n del polinomio los coeficientes aOa1 an del polinomio p(x) el numero

real z

Salida bo =p(z) y c =p(z)

Paso 1 Tomar b = an (calcula el coeficiente b de q( x) )n n

c =an

Paso 2 Para j = n -1n - 2bull 1 tomar

bj = aj + zbj+1 (calcula los coeficientes bn_1bn_2 b1 de q(x))

c = bj+ zc (almacenaenca q(z) = p(z))

Paso 3 Tomar bo = ao + zb1 (almacena en bo a pz))

Paso 4 Salida p(z)=bo y pmiddot(z) = c Terminar

Observe en el algoritmo anterior que como b b _1 b son los coeficientes del polinomio n n 1

reducido q( x) si aplicamos el algoritmo de Horner a este polinomio q(x) es decir hacemos

cn = bn y

para j=n - 1n - 2 1 hacemos cj = bj + zc j+1

obtenemos que c1 = b1 + zC 2 = q(z) = P(z) Por tanto al terminar la aplicacion del

algoritmo de Horner en c queda almacenado q(z) es decir c = q(z) = P(z)

Es importante observar que el algoritmo de Horner solo usa n multiplicaciones y n sumas

para calcular p(z) 10 que hace muy eficiente dicho calculo Intente calcular p(z) de

cualquier otra forma y compare el numero de operaciones

68 M~TODOSNUM~~COS

Para implementar el algoritmo de Horner manualmente usamos el esquema de division sintetica

an a _ an-2 a1 a ~ n 1 o zbn_zbn 1 zb2 zb1

b _ b _ bo=P(Z)bn n 1 n 2 b1II

an

Ejemplo 27 Consideremos la ecuaci6n x 3 - x - 1 = O Como p( x) = x 3

- x -1 es continua en

el intervalo [12] p(1) = - 1lt 0 Y p(2)=5 gt 0 entonces la ecuacion p(x) = o tiene por 10

men os una rafz en el intervalo [12] Por otro lado como p(x) = 3x2 - 1gt 0 para todo

x E [12] entonces la ecuaci6n p( x) = 0 tiene una (mica raiz simple a 1 E [12] Es claro

entonces que se puede aplicar el metodo de Newton-Raphson para calcular esta raiz a 1middot Si

hacemos los calculos usando el metodo de Newton-Raphson combinado con el algoritmo de Horner tomando como aproximaci6n inicial Xo = 2 Y criterio de aproximaci6n

3I xn - xn_11 lt 5 x 10-3

0 Ip(xn) 1 lt 5 x 10- obtenemos

Debemos calcular p(20) y p(20) Si usamos el algoritmo de Horner y aritmetica con

redondeo a cinco (5) dlgitos para los caculos se obtienen los resultados que aparecen en el siguiente esquema de divisi6n sintetica

20 -1 -1 62 4

2 3 15 =p(2) I 2 8

4 1 11 =P(2) I

Entonces

3x1= 20- 50 =15455 Y I x1- xo l= 4545 gt 5 x 10 shy110

3 Para calcular P(X1) = p(15455) Y verificar si se satisface la condicion I p(x1) lt 5 x 10-

usaremos el algoritmo de Horner Vea el siguiente esquema de division sintetica

Capitulo 2 SOLUCI6N NUM~RICA DE

-10 2388615455

15455 13886

15455

3091

3 Observe que p(x1)1 = 11461gt 5 x 10- asl ~ut resultados que aparecen en el esquema anleriOl

Si seguimos calculando como se indic6 en

3p(x )=1536 gt 5 x 10- P(X2) = 2

3Ip(X3 ) I = 0046 lt 005 =5 x 10-

Luego al 13258 = X3 Puesto que

podrlamos intentar aproximar las

verificar facilmente que las ralces

Recordemos que

donde q(x)

los coeficientes del polinomio

Total que

Capitulo 2 SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NOmiddotLlNEAL EN UNA VARIABLE 69

115455 o -1 -1 15455 23886 21461

15455 13886 1 1461=p(15455)

15455 47771

3091 61657=p(15455)

3Observe que Ip( Xl) I= 11461 gt 5 x 10- asf que debemos calcular x2 De acuerdo con los

resultados que aparecen en el esquema anterior

X =X - P(Xl) =15455 - 11461 = 13596 Y Ix2-xI=1859gt5x10-3 2 1 p(xl ) 61657

Si seguimos calculando como se indic6 en los dos casos anteriores obtenemos

P(X2) = 1536 gt 5 x 10-3 p(x2) = 45455 X3 = 13258

3Ip(x3)1 = 0046 lt 005 = 5 x 10-

3Luego Ul 13258 = x3 Puesto que la ecuaci6n dada x - X-1 = 0 tiene tres raices como

podrfamos intentar aproximar las otras dos raices u 2 Y U3 de esta ecuaci6n (Se puede

verificar facilmente que las raices u 2 Y u 3 son complejas no-reales)

Recordemos que

p(x) = (x - 13258)q(x) + p(13258)

3donde q(x) es el polinomio cociente en la division de p(x) = x - x -1 por x - 13258 Y que

los coeficientes del polinomio q( x) se pueden obtener usando el algoritmo de Horner Pues

bien el siguiente esquema muestra cuales son los coeficientes del polinomio q(x)

0 -1 -1 13258 I

13258 17577 10046

13258 07577 I 00046 =p(13258) I IIII lt 1 middot

b2 b1

De acuerdo con el anterior esquema de division sintetica el polinomio q(x) es

q(x) = x 2 + 13258x + 7577

Total que

p(x) = (x - 13258)( x2 + 13258x + 7577) + 00046

(recuerde que estamos haciendo redondeo a cinco dfgitos)

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA 70 METODOS NUMERIC OS

Si despreciamos el residuo en la division anterior es decir despreciamos p(13258) = 0046

entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)

2y entonces podrlamos usar el polinomio reducido q( x) = x + 13258x + 7577 (cociente de la

3divis ion del polinomio x - x - 1 por el pol inomio x - 13258) para aproximar las otras dos 3ralces de la ecuacion orig inal p( x) = x - x - 1= 0 Si resolvemos la ecuac ion q( x) == 0

obtenemos a 23 ~ - 6629 plusmn 56415i bull

Instrucci6n en DERIVE

QUOTIENT( p( x) x - a ) Simplifica 0 aproXima el polinomio cociente q( x) que resulta de la

division del polinomio p( x) pQr x - a Para el ejemplo aproXime la expresion

QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0

EI proceso ilustrado en el ejemplo anterior para aproximar las ralces a 2 y a 3 se conoce

como Deflaci6n

En general la Deflacion aplicada al problema dehallar raices reales de ecuaciones polinomicas consiste en 10 sigu iente

Supongamos que en la N-esima iteraci6n en la aplicacion del metodo de Newton-Raphson obtuvimos un cero aproximado del polinomio p(x) entonces xN

ya que p(xN ) 0 (porque p(x) es continua y si a con a un cero de p(x) entonces xN

p( xN ) p(a) = 0 )

Lo anterior significa que (x - xN ) es un factor aproximado de p(x)

Tomando a~ == Y qn_(x) como el polinomio reducido q(x) de grado n -1 se tiene que xN

d con n cerosSi p(x) es un polinomlo de gra 0 n reiteradamente permitira eventual mente ~btener n

factor cuadratico aproximado q2 (X) es declr

p(x)e(x -a)(x-a) (x

AI polinomio cuadratico q2(X) Ie podremos ealcular

EI procedimiento descrito antes para obtener

La posible deficiencia en la precisi~n de la~ cuando obtenemos los cer~s aproxlmados e Raphson aplicado al polinomio redueido q(x

ado a queDeflaci6n cualquier cero aproxlm k

someterse a un refinamiento aplicando el

p(x) tomando a a~ como aproximaci6n

Un algoritmo para el metodo de

Algoritmo 25 (Newton-Raphon

aproximado a del polinomio p(x)

Entrada EI grado n y 105 una toleraneia ToiXo

Salida Un cero aproximado jI

Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que

y podemos encontrar una aproximacion a de un segundo cero de p(x) aplicando el metodo

de Newton-Raphson al polinomio qn- ( x) con 10 cual

p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)

siendo qn-2(x) un pol inomio de grado n - 2

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NOmiddotLlNEAL EN UNA VARIABLE 71

Si p(X) es un polinomio de grado n con n ceros reales este procedimiento aplicado reiteradamente permitira eventualmente obtener n - 2 ceros aproximados de p(x) y un

factor cuadratico aproximado q2(X) es decir

AI polinomio cuadratico q2(X) Ie podremos calcular sus ceros usando la formula cuadratica

EI procedimiento descrito antes para obtener 00middot0~_2 se conoce como Deflaci6n

La posible deficiencia en la precision de las raices obtenidas por Deflacion se debe a que cuando obtenemos los ceros aproximados de p(x) estamos usando el metodo de Newtonshy

Raphson aplicado al pOlinomio reducido qk(X) Para mejorar la precision en el metodo de

Defiacion cualquier cero aproximado o~ que se encuentre para un polinomio reducido debe

someterse a un refinamiento aplicando el metodo de Newton-Raphson al polinomio original

p(x) tomando a o~ como aproximacion inicial

Un algoritmo para el metodo de Newton-Raphson combinado con Horner es el iguiente

Algoritmo 25 (Newton-Raphson combinado con Horner) Para encontrar un cero

aproximado 0 del polinomio

Entrada EI grado n y los coeficientes aOa1 an del polinomio p(x) una aproximacion inicial

Xo una tolerancia Tol y un numero maximo de iteraciones N

Salida Un cero aproximado 0 del polinomio p(x) 0 un mensaje

Paso 1 Tomar i = 1

Paso 2 Mientras que i ~ N seguir los pasos 3-10

Paso 3 Tomar bn = an y c = an

Paso 4 Para j = n -1n - 2 1 tomar

Paso 5 Tomar bo = ao + xOb1 (calcula p(xo))

72 METODOS NUMERICOS

Paso 6 Si c = 0 entonces salida No se puede continuar el metodo porque se

anul6 p( xo) Terminar

bPaso 7 Tome Xl = Xo - ~ (calcula Xi en el metodo de Newton-Raphson)

c

Paso 8 Si I bo 1lt Tol 0 I Xl - Xo I = I b 1lt Tol entonces salida Una raiz

aproximada de p( x) = 0 es a = Xl Terminar

Paso 9 Tomar i = i + 1

Paso 10 Tomar Xo = Xlmiddot


Ejemplo 28 Encontrar todas las ra ices reales de la ecuaci6n pol in6mica

X4 _ 2x3 - 4X2 + 4x + 4 =0 usando el metodo de Newton-Raphson y Deflaci6n

Empezamos graficando el polinomio p(x) = X4 - 2x3 - 4X2 + 4x + 4 para ubicar las raices

reales (ver la FIGURA 216 siguiente)

Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216

De acuerdo con la grafica del polinomio p(x) = X4 -2x raices a l a2a3 y a 4 de la ecuaci6n

a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J

Se ve ciaramente que p( x) satisface la hip6tesis

intervalos apropiados para cada una de las ralces

Usando el metoda de Newton-Raphson para 5Ip(xn) 1lt 5 x 10 - 0 Ixn - xn_l I 5 x 10 5 58

Yel correspondiente polinomio reducldo de

Usando Deflaci6n encontramos

al 1414157 =X5 tomando como

correspondiente de grado 2 es

Finalmente encontramos aDn)xin

cuadratica q2(x) ~ 0 con 10 que

Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0

La grllfica del polinomio r( 217

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE58 METODOS NUMERICOS

Teorema 23~2ongamos que la funci6n f tiene sus primeras m + 1 derivadas continuas~~ yuJltQtervalo ab que conJ~ne a un numercY~1 ~ntonces s una rafz de multiplicidad m_de

laecuacj6n f(x)=O siys610si O=f(a)=f(a)=f(a)= =f(m-11(a) y f (m1(a)otO V - Jo

Volviendo aJ metodo de Newton-Raphsonla- hip_6tQ$~e1 para aplicar este metodo es

que ~9a sus primeras dosJIerl ladas ~QntiIlua en un intervalo lab] con f( x)ot-0 para--

todo x E[ab] y exista ~ ~ [a b tal que f(a) = O

De acuerdo con la hip6tesis general y el teorema 22 ~a)ot 0 entonces la raiz _~

simple es decir de multiplicidad 1 shy

L_a_sect siguientes graficas muestran diversas posibilidades de multiplicidad para una raiz a de

una ecuaci6n f( x) =0

Presentacion usando polinomiOi d

y = f(x) general y sea a una aproximaci6n de II y = f(x)

1 Consideremos el polinomio dez~~ xx

FIGURA 213a FIGURA213b FIGURA 213c (Raiz simple) (Raiz multiple par) (Raiz multiple irnpar)

Hay varias formas de presentar el metodo de Newton-Raphson dos de elias son

Presentacion grcifica Supongamos que f satisface la hip6tesis general y escojamos

Xo E[ab] cercano ala raiz a

L~ primera aproximaci6n x en el metodo de Newton-Raphson es el punto en el cual la obtenemos

recta L tangente a la grafica de f en el punto (xo f( xo)) corta al eje x (ver la FIGURA 214)

y despejando a De acuerdo con esto se liene que

( ) f(xo) - 0f Xo = -------Xo - x

yentonces

En general para cad a n ~ 1 x = X 1 - f( Xn-Oscisa del punto de intersecci6n de la n n- f(xn_) r - -_

recta tangent~ltJa grafica de fen el punta xn-1 f(Xn_)) ~on el eje x


y

Xo

FIGURA 214








obtenemos




f a






g(x) = x _ f(x) f( x)



x - 2 7

en a = - = 175 Como 4

4(x-2)-(4X-7) - 1 2 f(x) = (X_2)2 = (X_2)2 fll(x) = (X_2)3



4x _ 7 n 1 shy

xn- 1rn = xn_ - - 2 xn- 1 2-1








I xn - Ilt 5 x 10 - 5 xn-1

)


y

n


y

4 -------------shy

x

FIGURA 215


0 165 114 1 179 -761 I 14 2 17564 -105 j 336x10-1

3 1750163 -260 x1 0-3 6237 x 10-3

4 175 0 163 x 10-4





n

0 185 -266 1 179 -761 60 x 10-2

2 17564 -105 336 x 10-1

3 1750163 -260 x10-r 6237 x 10--3

4 175 0 163 x 10-4

TABLA 29




I n

0 I

xn

10 I

f( xn )

30 I I xn - xn-1I I

1 2

40 220

45 405

30 180

3 16420 4000609 16200 4

5 1076168 x 107

4632550 x 1014 4000000

4000000 10760038 x 107

46325498 x1014

TABLA 210







g(x) = x- f(x) f(x)



En efecto



Ahora




[f ( x)t



f(a)f(a)

g(a) = [f(a)]2





ta ll que



Luego g[a - 8 a + 0] -+ [a - Ba



de la sucesi6n n




g(a ) = f(a )f(~ ) = deg [f (a)]





tal que












convergencia





de iteraciones N


Paso 1 Tomar n = 1




d










r




n


n



Si a

n xn f(xn) Ixn - xn_1 I 0 - 5 143 1 -4602195 426 x10-3 397805 x 10-2

2 - 4589635 418 x10-6 1256 x 10-3

TABLA 211




n xn f( xn) Ixn - xn_1 I 0 10 281 x10-1

1 9141552 426 x 10-3 858448 x 10-2

2 9100176 418 x10-6 41376 x 10-3

TABLA212


n xn f( xn) Ixn - xn-1 I 0 37 622 x10- 1

1 3734125 - 203 x 1 0-2 34125 x 10-2

2 3733080 -200 x10-5 1045 x 10-3

TABLA 213






p( xn- 1)

xn =xn_1 - ( ) n=12 p xn _1






Si hacemos

bn =an Y

= ak + zbk+1 para k = n -1n - 2 10 bk

entonces bo = p(z)



p( x) = ( x - z )q( x) + b0

En efecto


p(z) = (z - z)q(z) + bo = bo

Ahora bien como

p( x) = (x - z )q( x) + bo


p(x) = q( x) + (x - z)q( x)

yentonces

p(z) = q(z) + (z - z)q(z) = q(z)






real z














real z



c =an








cn = bn y







68 M~TODOSNUM~~COS




an








3I xn - xn_11 lt 5 x 10-3




20 -1 -1 62 4

2 3 15 =p(2) I 2 8

4 1 11 =P(2) I

Entonces

3x1= 20- 50 =15455 Y I x1- xo l= 4545 gt 5 x 10 shy110




-10 2388615455

15455 13886

15455

3091



3p(x )=1536 gt 5 x 10- P(X2) = 2

3Ip(X3 ) I = 0046 lt 005 =5 x 10-




Recordemos que

donde q(x)


Total que


115455 o -1 -1 15455 23886 21461

15455 13886 1 1461=p(15455)

15455 47771

3091 61657=p(15455)





P(X2) = 1536 gt 5 x 10-3 p(x2) = 45455 X3 = 13258

3Ip(x3)1 = 0046 lt 005 = 5 x 10-




Recordemos que

p(x) = (x - 13258)q(x) + p(13258)




0 -1 -1 13258 I

13258 17577 10046


b2 b1


q(x) = x 2 + 13258x + 7577

Total que

p(x) = (x - 13258)( x2 + 13258x + 7577) + 00046




entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)







QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0


como Deflaci6n




p( xN ) p(a) = 0 )





p(x)e(x -a)(x-a) (x












Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que



p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0



y

Xo

FIGURA 214








obtenemos




f a






g(x) = x _ f(x) f( x)



x - 2 7

en a = - = 175 Como 4

4(x-2)-(4X-7) - 1 2 f(x) = (X_2)2 = (X_2)2 fll(x) = (X_2)3



4x _ 7 n 1 shy

xn- 1rn = xn_ - - 2 xn- 1 2-1








I xn - Ilt 5 x 10 - 5 xn-1

)


y

n


y

4 -------------shy

x

FIGURA 215


0 165 114 1 179 -761 I 14 2 17564 -105 j 336x10-1

3 1750163 -260 x1 0-3 6237 x 10-3

4 175 0 163 x 10-4





n

0 185 -266 1 179 -761 60 x 10-2

2 17564 -105 336 x 10-1

3 1750163 -260 x10-r 6237 x 10--3

4 175 0 163 x 10-4

TABLA 29




I n

0 I

xn

10 I

f( xn )

30 I I xn - xn-1I I

1 2

40 220

45 405

30 180

3 16420 4000609 16200 4

5 1076168 x 107

4632550 x 1014 4000000

4000000 10760038 x 107

46325498 x1014

TABLA 210







g(x) = x- f(x) f(x)



En efecto



Ahora




[f ( x)t



f(a)f(a)

g(a) = [f(a)]2





ta ll que



Luego g[a - 8 a + 0] -+ [a - Ba



de la sucesi6n n




g(a ) = f(a )f(~ ) = deg [f (a)]





tal que












convergencia





de iteraciones N


Paso 1 Tomar n = 1




d










r




n


n



Si a

n xn f(xn) Ixn - xn_1 I 0 - 5 143 1 -4602195 426 x10-3 397805 x 10-2

2 - 4589635 418 x10-6 1256 x 10-3

TABLA 211




n xn f( xn) Ixn - xn_1 I 0 10 281 x10-1

1 9141552 426 x 10-3 858448 x 10-2

2 9100176 418 x10-6 41376 x 10-3

TABLA212


n xn f( xn) Ixn - xn-1 I 0 37 622 x10- 1

1 3734125 - 203 x 1 0-2 34125 x 10-2

2 3733080 -200 x10-5 1045 x 10-3

TABLA 213






p( xn- 1)

xn =xn_1 - ( ) n=12 p xn _1






Si hacemos

bn =an Y

= ak + zbk+1 para k = n -1n - 2 10 bk

entonces bo = p(z)



p( x) = ( x - z )q( x) + b0

En efecto


p(z) = (z - z)q(z) + bo = bo

Ahora bien como

p( x) = (x - z )q( x) + bo


p(x) = q( x) + (x - z)q( x)

yentonces

p(z) = q(z) + (z - z)q(z) = q(z)






real z














real z



c =an








cn = bn y







68 M~TODOSNUM~~COS




an








3I xn - xn_11 lt 5 x 10-3




20 -1 -1 62 4

2 3 15 =p(2) I 2 8

4 1 11 =P(2) I

Entonces

3x1= 20- 50 =15455 Y I x1- xo l= 4545 gt 5 x 10 shy110




-10 2388615455

15455 13886

15455

3091



3p(x )=1536 gt 5 x 10- P(X2) = 2

3Ip(X3 ) I = 0046 lt 005 =5 x 10-




Recordemos que

donde q(x)


Total que


115455 o -1 -1 15455 23886 21461

15455 13886 1 1461=p(15455)

15455 47771

3091 61657=p(15455)





P(X2) = 1536 gt 5 x 10-3 p(x2) = 45455 X3 = 13258

3Ip(x3)1 = 0046 lt 005 = 5 x 10-




Recordemos que

p(x) = (x - 13258)q(x) + p(13258)




0 -1 -1 13258 I

13258 17577 10046


b2 b1


q(x) = x 2 + 13258x + 7577

Total que

p(x) = (x - 13258)( x2 + 13258x + 7577) + 00046




entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)







QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0


como Deflaci6n




p( xN ) p(a) = 0 )





p(x)e(x -a)(x-a) (x












Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que



p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0





g(x) = x _ f(x) f( x)



x - 2 7

en a = - = 175 Como 4

4(x-2)-(4X-7) - 1 2 f(x) = (X_2)2 = (X_2)2 fll(x) = (X_2)3



4x _ 7 n 1 shy

xn- 1rn = xn_ - - 2 xn- 1 2-1








I xn - Ilt 5 x 10 - 5 xn-1

)


y

n


y

4 -------------shy

x

FIGURA 215


0 165 114 1 179 -761 I 14 2 17564 -105 j 336x10-1

3 1750163 -260 x1 0-3 6237 x 10-3

4 175 0 163 x 10-4





n

0 185 -266 1 179 -761 60 x 10-2

2 17564 -105 336 x 10-1

3 1750163 -260 x10-r 6237 x 10--3

4 175 0 163 x 10-4

TABLA 29




I n

0 I

xn

10 I

f( xn )

30 I I xn - xn-1I I

1 2

40 220

45 405

30 180

3 16420 4000609 16200 4

5 1076168 x 107

4632550 x 1014 4000000

4000000 10760038 x 107

46325498 x1014

TABLA 210







g(x) = x- f(x) f(x)



En efecto



Ahora




[f ( x)t



f(a)f(a)

g(a) = [f(a)]2





ta ll que



Luego g[a - 8 a + 0] -+ [a - Ba



de la sucesi6n n




g(a ) = f(a )f(~ ) = deg [f (a)]





tal que












convergencia





de iteraciones N


Paso 1 Tomar n = 1




d










r




n


n



Si a

n xn f(xn) Ixn - xn_1 I 0 - 5 143 1 -4602195 426 x10-3 397805 x 10-2

2 - 4589635 418 x10-6 1256 x 10-3

TABLA 211




n xn f( xn) Ixn - xn_1 I 0 10 281 x10-1

1 9141552 426 x 10-3 858448 x 10-2

2 9100176 418 x10-6 41376 x 10-3

TABLA212


n xn f( xn) Ixn - xn-1 I 0 37 622 x10- 1

1 3734125 - 203 x 1 0-2 34125 x 10-2

2 3733080 -200 x10-5 1045 x 10-3

TABLA 213






p( xn- 1)

xn =xn_1 - ( ) n=12 p xn _1






Si hacemos

bn =an Y

= ak + zbk+1 para k = n -1n - 2 10 bk

entonces bo = p(z)



p( x) = ( x - z )q( x) + b0

En efecto


p(z) = (z - z)q(z) + bo = bo

Ahora bien como

p( x) = (x - z )q( x) + bo


p(x) = q( x) + (x - z)q( x)

yentonces

p(z) = q(z) + (z - z)q(z) = q(z)






real z














real z



c =an








cn = bn y







68 M~TODOSNUM~~COS




an








3I xn - xn_11 lt 5 x 10-3




20 -1 -1 62 4

2 3 15 =p(2) I 2 8

4 1 11 =P(2) I

Entonces

3x1= 20- 50 =15455 Y I x1- xo l= 4545 gt 5 x 10 shy110




-10 2388615455

15455 13886

15455

3091



3p(x )=1536 gt 5 x 10- P(X2) = 2

3Ip(X3 ) I = 0046 lt 005 =5 x 10-




Recordemos que

donde q(x)


Total que


115455 o -1 -1 15455 23886 21461

15455 13886 1 1461=p(15455)

15455 47771

3091 61657=p(15455)





P(X2) = 1536 gt 5 x 10-3 p(x2) = 45455 X3 = 13258

3Ip(x3)1 = 0046 lt 005 = 5 x 10-




Recordemos que

p(x) = (x - 13258)q(x) + p(13258)




0 -1 -1 13258 I

13258 17577 10046


b2 b1


q(x) = x 2 + 13258x + 7577

Total que

p(x) = (x - 13258)( x2 + 13258x + 7577) + 00046




entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)







QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0


como Deflaci6n




p( xN ) p(a) = 0 )





p(x)e(x -a)(x-a) (x












Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que



p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0



y

4 -------------shy

x

FIGURA 215


0 165 114 1 179 -761 I 14 2 17564 -105 j 336x10-1

3 1750163 -260 x1 0-3 6237 x 10-3

4 175 0 163 x 10-4





n

0 185 -266 1 179 -761 60 x 10-2

2 17564 -105 336 x 10-1

3 1750163 -260 x10-r 6237 x 10--3

4 175 0 163 x 10-4

TABLA 29




I n

0 I

xn

10 I

f( xn )

30 I I xn - xn-1I I

1 2

40 220

45 405

30 180

3 16420 4000609 16200 4

5 1076168 x 107

4632550 x 1014 4000000

4000000 10760038 x 107

46325498 x1014

TABLA 210







g(x) = x- f(x) f(x)



En efecto



Ahora




[f ( x)t



f(a)f(a)

g(a) = [f(a)]2





ta ll que



Luego g[a - 8 a + 0] -+ [a - Ba



de la sucesi6n n




g(a ) = f(a )f(~ ) = deg [f (a)]





tal que












convergencia





de iteraciones N


Paso 1 Tomar n = 1




d










r




n


n



Si a

n xn f(xn) Ixn - xn_1 I 0 - 5 143 1 -4602195 426 x10-3 397805 x 10-2

2 - 4589635 418 x10-6 1256 x 10-3

TABLA 211




n xn f( xn) Ixn - xn_1 I 0 10 281 x10-1

1 9141552 426 x 10-3 858448 x 10-2

2 9100176 418 x10-6 41376 x 10-3

TABLA212


n xn f( xn) Ixn - xn-1 I 0 37 622 x10- 1

1 3734125 - 203 x 1 0-2 34125 x 10-2

2 3733080 -200 x10-5 1045 x 10-3

TABLA 213






p( xn- 1)

xn =xn_1 - ( ) n=12 p xn _1






Si hacemos

bn =an Y

= ak + zbk+1 para k = n -1n - 2 10 bk

entonces bo = p(z)



p( x) = ( x - z )q( x) + b0

En efecto


p(z) = (z - z)q(z) + bo = bo

Ahora bien como

p( x) = (x - z )q( x) + bo


p(x) = q( x) + (x - z)q( x)

yentonces

p(z) = q(z) + (z - z)q(z) = q(z)






real z














real z



c =an








cn = bn y







68 M~TODOSNUM~~COS




an








3I xn - xn_11 lt 5 x 10-3




20 -1 -1 62 4

2 3 15 =p(2) I 2 8

4 1 11 =P(2) I

Entonces

3x1= 20- 50 =15455 Y I x1- xo l= 4545 gt 5 x 10 shy110




-10 2388615455

15455 13886

15455

3091



3p(x )=1536 gt 5 x 10- P(X2) = 2

3Ip(X3 ) I = 0046 lt 005 =5 x 10-




Recordemos que

donde q(x)


Total que


115455 o -1 -1 15455 23886 21461

15455 13886 1 1461=p(15455)

15455 47771

3091 61657=p(15455)





P(X2) = 1536 gt 5 x 10-3 p(x2) = 45455 X3 = 13258

3Ip(x3)1 = 0046 lt 005 = 5 x 10-




Recordemos que

p(x) = (x - 13258)q(x) + p(13258)




0 -1 -1 13258 I

13258 17577 10046


b2 b1


q(x) = x 2 + 13258x + 7577

Total que

p(x) = (x - 13258)( x2 + 13258x + 7577) + 00046




entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)







QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0


como Deflaci6n




p( xN ) p(a) = 0 )





p(x)e(x -a)(x-a) (x












Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que



p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0



I n

0 I

xn

10 I

f( xn )

30 I I xn - xn-1I I

1 2

40 220

45 405

30 180

3 16420 4000609 16200 4

5 1076168 x 107

4632550 x 1014 4000000

4000000 10760038 x 107

46325498 x1014

TABLA 210







g(x) = x- f(x) f(x)



En efecto



Ahora




[f ( x)t



f(a)f(a)

g(a) = [f(a)]2





ta ll que



Luego g[a - 8 a + 0] -+ [a - Ba



de la sucesi6n n




g(a ) = f(a )f(~ ) = deg [f (a)]





tal que












convergencia





de iteraciones N


Paso 1 Tomar n = 1




d










r




n


n



Si a

n xn f(xn) Ixn - xn_1 I 0 - 5 143 1 -4602195 426 x10-3 397805 x 10-2

2 - 4589635 418 x10-6 1256 x 10-3

TABLA 211




n xn f( xn) Ixn - xn_1 I 0 10 281 x10-1

1 9141552 426 x 10-3 858448 x 10-2

2 9100176 418 x10-6 41376 x 10-3

TABLA212


n xn f( xn) Ixn - xn-1 I 0 37 622 x10- 1

1 3734125 - 203 x 1 0-2 34125 x 10-2

2 3733080 -200 x10-5 1045 x 10-3

TABLA 213






p( xn- 1)

xn =xn_1 - ( ) n=12 p xn _1






Si hacemos

bn =an Y

= ak + zbk+1 para k = n -1n - 2 10 bk

entonces bo = p(z)



p( x) = ( x - z )q( x) + b0

En efecto


p(z) = (z - z)q(z) + bo = bo

Ahora bien como

p( x) = (x - z )q( x) + bo


p(x) = q( x) + (x - z)q( x)

yentonces

p(z) = q(z) + (z - z)q(z) = q(z)






real z














real z



c =an








cn = bn y







68 M~TODOSNUM~~COS




an








3I xn - xn_11 lt 5 x 10-3




20 -1 -1 62 4

2 3 15 =p(2) I 2 8

4 1 11 =P(2) I

Entonces

3x1= 20- 50 =15455 Y I x1- xo l= 4545 gt 5 x 10 shy110




-10 2388615455

15455 13886

15455

3091



3p(x )=1536 gt 5 x 10- P(X2) = 2

3Ip(X3 ) I = 0046 lt 005 =5 x 10-




Recordemos que

donde q(x)


Total que


115455 o -1 -1 15455 23886 21461

15455 13886 1 1461=p(15455)

15455 47771

3091 61657=p(15455)





P(X2) = 1536 gt 5 x 10-3 p(x2) = 45455 X3 = 13258

3Ip(x3)1 = 0046 lt 005 = 5 x 10-




Recordemos que

p(x) = (x - 13258)q(x) + p(13258)




0 -1 -1 13258 I

13258 17577 10046


b2 b1


q(x) = x 2 + 13258x + 7577

Total que

p(x) = (x - 13258)( x2 + 13258x + 7577) + 00046




entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)







QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0


como Deflaci6n




p( xN ) p(a) = 0 )





p(x)e(x -a)(x-a) (x












Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que



p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0





g(a ) = f(a )f(~ ) = deg [f (a)]





tal que












convergencia





de iteraciones N


Paso 1 Tomar n = 1




d










r




n


n



Si a

n xn f(xn) Ixn - xn_1 I 0 - 5 143 1 -4602195 426 x10-3 397805 x 10-2

2 - 4589635 418 x10-6 1256 x 10-3

TABLA 211




n xn f( xn) Ixn - xn_1 I 0 10 281 x10-1

1 9141552 426 x 10-3 858448 x 10-2

2 9100176 418 x10-6 41376 x 10-3

TABLA212


n xn f( xn) Ixn - xn-1 I 0 37 622 x10- 1

1 3734125 - 203 x 1 0-2 34125 x 10-2

2 3733080 -200 x10-5 1045 x 10-3

TABLA 213






p( xn- 1)

xn =xn_1 - ( ) n=12 p xn _1






Si hacemos

bn =an Y

= ak + zbk+1 para k = n -1n - 2 10 bk

entonces bo = p(z)



p( x) = ( x - z )q( x) + b0

En efecto


p(z) = (z - z)q(z) + bo = bo

Ahora bien como

p( x) = (x - z )q( x) + bo


p(x) = q( x) + (x - z)q( x)

yentonces

p(z) = q(z) + (z - z)q(z) = q(z)






real z














real z



c =an








cn = bn y







68 M~TODOSNUM~~COS




an








3I xn - xn_11 lt 5 x 10-3




20 -1 -1 62 4

2 3 15 =p(2) I 2 8

4 1 11 =P(2) I

Entonces

3x1= 20- 50 =15455 Y I x1- xo l= 4545 gt 5 x 10 shy110




-10 2388615455

15455 13886

15455

3091



3p(x )=1536 gt 5 x 10- P(X2) = 2

3Ip(X3 ) I = 0046 lt 005 =5 x 10-




Recordemos que

donde q(x)


Total que


115455 o -1 -1 15455 23886 21461

15455 13886 1 1461=p(15455)

15455 47771

3091 61657=p(15455)





P(X2) = 1536 gt 5 x 10-3 p(x2) = 45455 X3 = 13258

3Ip(x3)1 = 0046 lt 005 = 5 x 10-




Recordemos que

p(x) = (x - 13258)q(x) + p(13258)




0 -1 -1 13258 I

13258 17577 10046


b2 b1


q(x) = x 2 + 13258x + 7577

Total que

p(x) = (x - 13258)( x2 + 13258x + 7577) + 00046




entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)







QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0


como Deflaci6n




p( xN ) p(a) = 0 )





p(x)e(x -a)(x-a) (x












Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que



p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0






de iteraciones N


Paso 1 Tomar n = 1




d










r




n


n



Si a

n xn f(xn) Ixn - xn_1 I 0 - 5 143 1 -4602195 426 x10-3 397805 x 10-2

2 - 4589635 418 x10-6 1256 x 10-3

TABLA 211




n xn f( xn) Ixn - xn_1 I 0 10 281 x10-1

1 9141552 426 x 10-3 858448 x 10-2

2 9100176 418 x10-6 41376 x 10-3

TABLA212


n xn f( xn) Ixn - xn-1 I 0 37 622 x10- 1

1 3734125 - 203 x 1 0-2 34125 x 10-2

2 3733080 -200 x10-5 1045 x 10-3

TABLA 213






p( xn- 1)

xn =xn_1 - ( ) n=12 p xn _1






Si hacemos

bn =an Y

= ak + zbk+1 para k = n -1n - 2 10 bk

entonces bo = p(z)



p( x) = ( x - z )q( x) + b0

En efecto


p(z) = (z - z)q(z) + bo = bo

Ahora bien como

p( x) = (x - z )q( x) + bo


p(x) = q( x) + (x - z)q( x)

yentonces

p(z) = q(z) + (z - z)q(z) = q(z)






real z














real z



c =an








cn = bn y







68 M~TODOSNUM~~COS




an








3I xn - xn_11 lt 5 x 10-3




20 -1 -1 62 4

2 3 15 =p(2) I 2 8

4 1 11 =P(2) I

Entonces

3x1= 20- 50 =15455 Y I x1- xo l= 4545 gt 5 x 10 shy110




-10 2388615455

15455 13886

15455

3091



3p(x )=1536 gt 5 x 10- P(X2) = 2

3Ip(X3 ) I = 0046 lt 005 =5 x 10-




Recordemos que

donde q(x)


Total que


115455 o -1 -1 15455 23886 21461

15455 13886 1 1461=p(15455)

15455 47771

3091 61657=p(15455)





P(X2) = 1536 gt 5 x 10-3 p(x2) = 45455 X3 = 13258

3Ip(x3)1 = 0046 lt 005 = 5 x 10-




Recordemos que

p(x) = (x - 13258)q(x) + p(13258)




0 -1 -1 13258 I

13258 17577 10046


b2 b1


q(x) = x 2 + 13258x + 7577

Total que

p(x) = (x - 13258)( x2 + 13258x + 7577) + 00046




entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)







QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0


como Deflaci6n




p( xN ) p(a) = 0 )





p(x)e(x -a)(x-a) (x












Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que



p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0





n xn f( xn) Ixn - xn_1 I 0 10 281 x10-1

1 9141552 426 x 10-3 858448 x 10-2

2 9100176 418 x10-6 41376 x 10-3

TABLA212


n xn f( xn) Ixn - xn-1 I 0 37 622 x10- 1

1 3734125 - 203 x 1 0-2 34125 x 10-2

2 3733080 -200 x10-5 1045 x 10-3

TABLA 213






p( xn- 1)

xn =xn_1 - ( ) n=12 p xn _1






Si hacemos

bn =an Y

= ak + zbk+1 para k = n -1n - 2 10 bk

entonces bo = p(z)



p( x) = ( x - z )q( x) + b0

En efecto


p(z) = (z - z)q(z) + bo = bo

Ahora bien como

p( x) = (x - z )q( x) + bo


p(x) = q( x) + (x - z)q( x)

yentonces

p(z) = q(z) + (z - z)q(z) = q(z)






real z














real z



c =an








cn = bn y







68 M~TODOSNUM~~COS




an








3I xn - xn_11 lt 5 x 10-3




20 -1 -1 62 4

2 3 15 =p(2) I 2 8

4 1 11 =P(2) I

Entonces

3x1= 20- 50 =15455 Y I x1- xo l= 4545 gt 5 x 10 shy110




-10 2388615455

15455 13886

15455

3091



3p(x )=1536 gt 5 x 10- P(X2) = 2

3Ip(X3 ) I = 0046 lt 005 =5 x 10-




Recordemos que

donde q(x)


Total que


115455 o -1 -1 15455 23886 21461

15455 13886 1 1461=p(15455)

15455 47771

3091 61657=p(15455)





P(X2) = 1536 gt 5 x 10-3 p(x2) = 45455 X3 = 13258

3Ip(x3)1 = 0046 lt 005 = 5 x 10-




Recordemos que

p(x) = (x - 13258)q(x) + p(13258)




0 -1 -1 13258 I

13258 17577 10046


b2 b1


q(x) = x 2 + 13258x + 7577

Total que

p(x) = (x - 13258)( x2 + 13258x + 7577) + 00046




entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)







QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0


como Deflaci6n




p( xN ) p(a) = 0 )





p(x)e(x -a)(x-a) (x












Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que



p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0




Si hacemos

bn =an Y

= ak + zbk+1 para k = n -1n - 2 10 bk

entonces bo = p(z)



p( x) = ( x - z )q( x) + b0

En efecto


p(z) = (z - z)q(z) + bo = bo

Ahora bien como

p( x) = (x - z )q( x) + bo


p(x) = q( x) + (x - z)q( x)

yentonces

p(z) = q(z) + (z - z)q(z) = q(z)






real z














real z



c =an








cn = bn y







68 M~TODOSNUM~~COS




an








3I xn - xn_11 lt 5 x 10-3




20 -1 -1 62 4

2 3 15 =p(2) I 2 8

4 1 11 =P(2) I

Entonces

3x1= 20- 50 =15455 Y I x1- xo l= 4545 gt 5 x 10 shy110




-10 2388615455

15455 13886

15455

3091



3p(x )=1536 gt 5 x 10- P(X2) = 2

3Ip(X3 ) I = 0046 lt 005 =5 x 10-




Recordemos que

donde q(x)


Total que


115455 o -1 -1 15455 23886 21461

15455 13886 1 1461=p(15455)

15455 47771

3091 61657=p(15455)





P(X2) = 1536 gt 5 x 10-3 p(x2) = 45455 X3 = 13258

3Ip(x3)1 = 0046 lt 005 = 5 x 10-




Recordemos que

p(x) = (x - 13258)q(x) + p(13258)




0 -1 -1 13258 I

13258 17577 10046


b2 b1


q(x) = x 2 + 13258x + 7577

Total que

p(x) = (x - 13258)( x2 + 13258x + 7577) + 00046




entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)







QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0


como Deflaci6n




p( xN ) p(a) = 0 )





p(x)e(x -a)(x-a) (x












Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que



p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0









real z



c =an








cn = bn y







68 M~TODOSNUM~~COS




an








3I xn - xn_11 lt 5 x 10-3




20 -1 -1 62 4

2 3 15 =p(2) I 2 8

4 1 11 =P(2) I

Entonces

3x1= 20- 50 =15455 Y I x1- xo l= 4545 gt 5 x 10 shy110




-10 2388615455

15455 13886

15455

3091



3p(x )=1536 gt 5 x 10- P(X2) = 2

3Ip(X3 ) I = 0046 lt 005 =5 x 10-




Recordemos que

donde q(x)


Total que


115455 o -1 -1 15455 23886 21461

15455 13886 1 1461=p(15455)

15455 47771

3091 61657=p(15455)





P(X2) = 1536 gt 5 x 10-3 p(x2) = 45455 X3 = 13258

3Ip(x3)1 = 0046 lt 005 = 5 x 10-




Recordemos que

p(x) = (x - 13258)q(x) + p(13258)




0 -1 -1 13258 I

13258 17577 10046


b2 b1


q(x) = x 2 + 13258x + 7577

Total que

p(x) = (x - 13258)( x2 + 13258x + 7577) + 00046




entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)







QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0


como Deflaci6n




p( xN ) p(a) = 0 )





p(x)e(x -a)(x-a) (x












Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que



p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0


68 M~TODOSNUM~~COS




an








3I xn - xn_11 lt 5 x 10-3




20 -1 -1 62 4

2 3 15 =p(2) I 2 8

4 1 11 =P(2) I

Entonces

3x1= 20- 50 =15455 Y I x1- xo l= 4545 gt 5 x 10 shy110




-10 2388615455

15455 13886

15455

3091



3p(x )=1536 gt 5 x 10- P(X2) = 2

3Ip(X3 ) I = 0046 lt 005 =5 x 10-




Recordemos que

donde q(x)


Total que


115455 o -1 -1 15455 23886 21461

15455 13886 1 1461=p(15455)

15455 47771

3091 61657=p(15455)





P(X2) = 1536 gt 5 x 10-3 p(x2) = 45455 X3 = 13258

3Ip(x3)1 = 0046 lt 005 = 5 x 10-




Recordemos que

p(x) = (x - 13258)q(x) + p(13258)




0 -1 -1 13258 I

13258 17577 10046


b2 b1


q(x) = x 2 + 13258x + 7577

Total que

p(x) = (x - 13258)( x2 + 13258x + 7577) + 00046




entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)







QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0


como Deflaci6n




p( xN ) p(a) = 0 )





p(x)e(x -a)(x-a) (x












Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que



p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0



115455 o -1 -1 15455 23886 21461

15455 13886 1 1461=p(15455)

15455 47771

3091 61657=p(15455)





P(X2) = 1536 gt 5 x 10-3 p(x2) = 45455 X3 = 13258

3Ip(x3)1 = 0046 lt 005 = 5 x 10-




Recordemos que

p(x) = (x - 13258)q(x) + p(13258)




0 -1 -1 13258 I

13258 17577 10046


b2 b1


q(x) = x 2 + 13258x + 7577

Total que

p(x) = (x - 13258)( x2 + 13258x + 7577) + 00046




entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)







QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0


como Deflaci6n




p( xN ) p(a) = 0 )





p(x)e(x -a)(x-a) (x












Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que



p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0




entonces 2p( x) (x -13258)(x + 13258x + 7577)







QUOTIENT( x3 - x -1 x - 13258) 0


como Deflaci6n




p( xN ) p(a) = 0 )





p(x)e(x -a)(x-a) (x












Paso 1 Tomar i1

Paso 2 Mientras Que



p(x) (x - a )( x - a )qn- 2(x)


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0


















Paso 1 Tomar i = 1









c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0






c










Y Y=P(x)

3 4 x2

FIGURA 216


a E[-2-1] a2 E[- 1O] a 3 E [12] a 4 E[23J










Ejemplo 29 X4 +5X3 _9x2 _85x-136 0


· Capitulo 2. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 57 . para x,ca, f(x)=(x...

Documents

Transcript of · Capitulo 2. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 57 . para x,ca, f(x)=(x...