Capitulo # 2.1.- Ondas Electromagnéticas

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Msc. Diego Freire Quiroga

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Capitulo # 2.1.- Ondas Electromagnéticas

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  • Msc. Diego Freire Quiroga

  • Consider, la propagacin de ondas planas en el agua, peroa frecuencias muchas mas altas de microondas. (2.5 Ghz)

    A frecuencia dentro de este rango o mayores los fenmenosde relajacin dipolar y de resonancia en las molculas deagua son considerablemente significativos.agua son considerablemente significativos.

    La parte real e imaginaria de la permitividad estn presentesy ambas varan con la frecuencia.

    A frecuencias por debajo de la luz visible ambosmecanismos producen un valor de que aumenta alincrementarse la frecuencia y alcanza su mximo valoralrededor de los 1013 Hz.

  • Por lo consiguiente, a 2.5 GHz, los efectos de la relajacindipolar dominan. Los valores de la permitividad son

    De la ecuacin De la ecuacin

    Se obtiene

  • Ntese que el campo se atenuar a un valor de -1 veces suvalor inicial a una distancia de 1/= 4.8 cm . A estadistancia se le llama profundidad de penetracin delmaterial, y por su puesto depende de la frecuencia.

    A muy altas frecuencias, donde el valor de es mayor, laprofundidad de penetracin disminuye y se absorbe muchapotencia en la superficie; a frecuencias mas bajas, laprofundidad de penetracin aumenta y no se presenta lasuficiente absorcin total.

  • Utilizar

    Se realiza los clculos de manera muy similar a los de enla cual encontramos = 464 rad/m.

    Donde la longitud de onda es = 2 / = 1.4 cm En comparacin con el espacio libre esto hubiera sido 0=

    c/f= 12 cm.

  • A continuacin considere el caso de materiales conductivos.En estos las corrientes se forman por el movimiento de loselectrones libres y huecos bajo la influencia de un campoelctrico.

    La relacin que gobierna lo indicado es La relacin que gobierna lo indicado es

    = E

    Donde es la conductividad del material.

  • Con una conductividad infinita, la onda pierde potencia pormedio del calentamiento resistivo del material.

    Se buscar una interpretacin de la permitividad complejaen relacin con la conductividad.

    Considere la ecuacin rotacional de Maxwell Considere la ecuacin rotacional de Maxwell

    Y utilizando la permitividad compleja.

  • Se convierte en

    Esta ecuacin puede expresarse de una forma mas familiaren la que se incluya la corriente de conduccin:en la que se incluya la corriente de conduccin:

    Posteriormente, se utiliza Js = Es y se interpreta en laecuacin anterior.

  • Esta ecuacin se convierte en

    La cual se expresa en terminos de la densidad de corrientede conduccion J

    s = Es y la densidad de corriente dede conduccion Js = Es y la densidad de corriente dedesplazamiento, Jds = jEs.

    Al compararlas ecuaciones

    Y

  • Se encuentra un medio conductor:

    El criterio por medio del cual se evala si las perdidas sonEl criterio por medio del cual se evala si las perdidas sonpequeas o no es la magnitud de la tangente de perdida

    Este parmetro tiene influencia directa sobre el coeficientede atenuacin .

    Por medio de inspeccin de

  • se observa que las magnitudes de a la corriente deconduccin y la densidad de la corriente de desplazamientoes:

    Es decir , estos dos vectores apuntan en la misma direccinen l espacio; sin embargo estn 90 fuera de fase en tiempo.

    La densidad de corriente de desplazamiento est adelantada90 con respecto a la densidad de corriente de conduccin.

  • La relacin de fuera de fase

    El ngulo puede identificarse, por lo tanto, como elngulo en el que a densidad de corriente de desplazamientoest adelantada con respecto a la densidad de corriente total

  • Si la tangente de perdidas es pequea, entonces se puedenobtener aproximaciones muy tiles de las constates deatenuacin y de fase, as como para la impedanciaintrnseca.

    El criterio para obtener una tangente de perdidas pequea es El criterio para obtener una tangente de perdidas pequea es

    Lo cual identifica el medio como un buen dielctrico.

  • Considerando un material conductor, para el quela ecuacin

    Se convierte en Se convierte en

    Por lo cual se puede expandir el segundo radical utilizandoel teorema binomial y donde x

  • Ahora en un buen dielctrico.

    En muchas ocasiones el segundo termino de es losuficientemente pequeo para que

  • y l impedancia intrnseca para un buen dielctrico seobtiene,

  • Con el propsito de encontrar el flujo de potencia asociadocon una onda electromagntica, es necesario desarrollar unteorema de la potencia de un campo electromagnticoconocido como el teorema de Poynting.

    Le ecuacin abajo descrita se conoce como el teorema dePoynting.

  • Que parte de las ecuaciones rotacionales de Maxwell, en laque se supone que el medio es conductor, despus se calculael producto escalar en ambos lados con E, se incorpora laidentidad vectorial, la cual puede demostrase por medio dela expansin en coordenadas cartesianas y en comparacinde resultados se indica que el rotacional del campo electrode resultados se indica que el rotacional del campo electroest dado por la otra ecuacin rotacional de Maxwell.

    Despus de esto se procede a cada extremo a derivar conrespecto al tiempo y por ultimo se integra en un volumen.

    Despus se aplica el teorema de la divergencia se aplica enel lado izquierdo de la ecuacin, as la integral de volumense convierte en una integral en la superficie que encierra elvolumen.

  • La primera integral es la potencia hmica total (pero instantnea)disipada dentro del volumen.

    La segunda integral es la energa total almacenada en el campo La segunda integral es la energa total almacenada en el campoelctrico.

    La tercera integral, la energa almacenada en el campomagntico.

    Puesto que las derivadas con respecto al tiempo se calculan de lasegunda y tercera integral, esos resultados proporcionan larapidez con la que se incrementa al almacenamiento de energadentro del volumen o la potencia instantnea que incrementara laenerga almacenada.

  • Por lo tanto, la suma de los trminos en el lado derechodebe ser igual a la potencia total que fluye hacia adentro deeste volumen, por lo que la potencia total que fluye haciafuera de este volumen es

    Donde la integral se calcula sobre la superficie cerrada querodea al volumen. Al producto vectorial E x H se lo conocecomo el vector de Poynting, S

  • El cual se interpreta como la densidad de potenciainstantnea medida en Watts por metro cuadrado (W/m2).

    La direccin del vector S indica la direccin del flujo depotencia instantneo en un punto y mucha gente considerapotencia instantneo en un punto y mucha gente consideraal vector de Poynting como un vector de apuntamiento.

    Puesto que S est dado por el producto vectorial E y H, ladireccin de flujo de potencia en cualquier punto esperpendicular tanto al vector E como al H.

  • Esto ciertamente concuerda con la experiencia que se tuvocon la onda plana uniforme, puesto que la propagacin en ladireccin +Z se asociaba con una componente Ex y Hy.

    En un dielctrico perfecto las amplitudes de los campos E yH estn dados por

    Donde es real.

  • Por lo tanto, la amplitud de la densidad de potencia es

    En el caso de un dielctrico con perdidas, E y H no estn En el caso de un dielctrico con perdidas, Ex y Hy no estnen fase, se tiene que

    Si se deja que Entonces, se puede expresar la intensidad de campo

    magntico como

  • Por lo tanto el Vector de Poynting esta dado por

    Puesto que la seal sinusoidal, la densidad de potencia Puesto que la seal sinusoidal, la densidad de potenciapromedio, SZ es la cantidad que finalmente se medir.Como resultado de un anlisis se tiene que

  • Ntese que la densidad de potencia se atena en funcin dee-2z , mientras que Ex y Hy disminuyen en funcin de e-z.

    Por ultimo se puede observar que es posible obtener laexpresin anterior de una manera muy fcil utilizando lasformas fasoriales de los campos elctricos y magnticos.formas fasoriales de los campos elctricos y magnticos.

    En forma vectorial, estas son,

    En el presente caso,

  • La ecuacin anterior se aplica en cualquier ondaelectromagntica sinusoidal y proporciona tanto lamagnitud como la direccin de la densidad de potenciapromedio.

  • Se han estudiado ondas planas uniformes en donde sesupone que los vectores de campo elctrico y magntico seencuentran en direcciones fijas.

    En particular, en una onda que se propaga a lo largo de losejes z, E estaba sobre el eje x, lo cual requera entonces queH estuviera sobre el eje y.H estuviera sobre el eje y.

    Esta relacin ortogonal entre E, H y S era siempre validapara una onda plana uniforme.

    Las direcciones de E y H sobre el plano perpendicular a az,pueden cambiar, sin embargo, en funcin del tiempo y laposicin lo harn dependiendo de cmo se genero la onda oen que tipo de medio se esta propagando.

  • Una descripcin completa de una onda electromagntica nosolamente incluye parmetros como su longitud de onda,velocidad de fase y potencia, sino que tambin unaespecificacin de la orientacin de sus vectores de campoen un instante determinado.

    Por lo consiguiente se define la polarizacin de onda como Por lo consiguiente se define la polarizacin de onda comola orientacin del vector campo elctrico como funcin deltiempo en un determinado punto en el espacio.

    Una caracterizacin mas completa de la polarizacinincluira, de hecho, la especificacin de la orientacin delcampo en todos los puntos, ya que algunas ondas poseenvariaciones en el espacio en su polarizacin.

  • El campo elctrico tiene una orientacin recta fija en todomomento y para toda posicin, se dice que dicha onda estpolarizada linealmente. Se ha considerado que E est sobreel eje x, sin embargo, el campo puede estar orientado encualquier direccin fija sobre el plano x,y y estar polarizadolinealmente.

    Para el caso de la propagacin en la direccin z positiva, laonda tiene, en general, su fasor de campo elctricoexpresado como

  • Donde Ex0 y Ey0 son amplitudes constantes a lo largo de xy y.

    El campo magntico puede encontrarse con facilidaddeterminando sus componentes x y y directamente a partirde las de Es.de las de Es.

    El valor de Hs viene dado por:

  • En la imagen se dibuja los doscampos y se demuestra el porque delsigno menos en el termino queinvolucra a Ey0. La direccin delflujo de potencia dado por E x H, esen este caso, en la direccin positivaen este caso, en la direccin positivadel eje z.

    Una componente de E en ladireccin positiva de y, requerira deuna componente de H en la direccinnegativa de x; por lo tanto de unsigno de menos.

  • La densidad de potencia en la onda quedara escrita de lasiguiente manera:

    Este resultado demuestra la idea de que una onda planapolarizada linealmente puede considerarse como dos ondasplanas distintas que tiene polarizaciones en x y en y y cuyoscampos elctricos se combinan en fase para generar lacomponente E.

  • Este es un punto critico en la comprensin de lapolarizacin de la onda, en el sentido de que cualquierestado de polarizacin puede escribirse en trminos de lascomponentes mutuamente perpendiculares del campoelctrico y sus fases relativas.

    A continuacin se considera el efecto de una diferencia defase , entre Exo y Eyo, donde < /2. Por simplicidad, seconsidera la propagacin en un medio sin perdidas.

    El campo total en forma fasorial es.

  • Para visualizar mejor, se convierte esta onda a la formainstantnea real multiplicando por ejt. Y tomando la partereal:

    Donde se ha puesto que Ex0 y Ey0 son reales. Si se considera la longitud del vector campo como una

    medida de su magnitud, se encuentra que en una posicinfija la punta del vector dibuja la forma de una elipse en eltiempo t=2/, por lo cual se dice que la onda estapolarizada elpticamente.

  • La polarizacin elptica es, de hecho, el estado depolarizacin mas general, puesto que abarca cualquierdiferencia en magnitud y fase entre Ex y Ey.

    La polarizacin lineal es un caso especial de la polarizacinelptica en la cual la diferencia de fase es cero.elptica en la cual la diferencia de fase es cero.

  • La polarizacin es una caractersticade la onda electromagntica armnicosen el tiempo.

    Cuando la orientacin del vector decampo elctrico de una onda plana nocampo elctrico de una onda plana nocambia, decimos que la onda estpolarizada linealmente. Por ejemplo,

    es una onda polarizada linealmente alo largo del eje x. En un punto deobservacin fijo, este vector cambiacon el tiempo como en la Imagen

  • Si dos ondas polarizadas linealmente, cuyas fases difieren por 0 o 180grados., Se superponen, el resultado es de nuevo una onda polarizadalinealmente. Por lo general, se consideran dos ondas ortogonalespolarizadas linealmente, que componen una onda resultante, por ejemplo,

    El ngulo entre la resultante linealmente polarizada E-vector y el eje x essimplemente

  • Observe en la grafica a E-vector de polarizacin lineal, a 45grados. con respecto al eje x. Sus componentes x e ylinealmente polarizadas son de la misma magnitud y estnen fase.

  • Si los dos componentes ortogonales polarizados linealmentetienen la misma magnitud y estn en cuadratura de fase,entonces el vector de E dependiente del tiempo resultantegira en el plano xy, y su punta sigue un crculo perfecto.Matemticamente,

  • Las ondas de polarizacin circularpuede ser derecha o izquierdapolarizada circularmente. La ondatiene una polarizacin circularderecha si la direccin de la rotacinE-vector y la direccin deE-vector y la direccin depropagacin de la onda se relacionana travs de la regla de la manoderecha. Si ellos estn relacionadosa travs de la regla de la manoizquierda, la onda se ha marchado depolarizacin circular

  • En el caso ms general, ni lasmagnitudes de las X ni loscomponentes lineales y son losmismos, ni sus fases difieren en unmltiplo de 90 grados. Acontinuacin, el vector resultantegira E, sino tambin, en el curso degira E, sino tambin, en el curso dela rotacin, sus cambios demagnitud: su punta sigue una elipse.All, los dos componentespolarizados linealmente estn enfase, sin embargo, sus magnitudesdifieren por un factor de dos.