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2.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de números y literales ordinarios que representan números,

Por lo tanto,

son expresiones algebraicas.Un término consiste de productos y cocientes de números y literales ordinarios que representan números. Por lo

tanto, 6x2y3, 5x�3y4, �3x7 son términos.Sin embargo, 6x2 � 7xy es una expresión algebraica que consiste de dos términos.Un monomio es una expresión algebraica que consiste de un término solamente. Por lo tanto, 7x3y4, 3xyz2, 4x2�y

son monomios.Debido a esta defi nición, a menudo a los monomios se les llama simplemente términos.Un binomio es una expresión algebraica que consiste de dos términos. Por lo tanto, 2x � 4y, 3x4 � 4xyz3 son

binomios.Un trinomio es una expresión algebraica que consiste de tres términos. Por lo tanto, 3x2 � 5x � 2, 2x � 6y �

3z, x3 � 3xy�z � 2x3z7 son trinomios.Un polinomio es una expresión algebraica que consiste de más de un término. Por lo tanto, 7x � 6y, 3x3 � 6x2y

�7xy � 6, 7x � 5x2�y � 3x3�16 son polinomios.

2.2 TÉRMINOS

Se dice que el factor de un término es el coefi ciente del resto de dicho término. Por ende, en el término 5x3y2, 5x3 es el coefi ciente de y2, 5y2 es el coefi ciente de x3, y 5 es el coefi ciente de x3y2.

Si un término consiste en el producto de un número ordinario y una o más literales, se le llama coefi ciente numérico (o simplemente el coefi ciente) del término al número. Por lo tanto, en el término �5x3y2, el �5 es el coefi ciente numérico o simplemente el coefi ciente.

2 Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas

3x2 5xy � 2y4, 2a3b5,5xy � 3z2a3 c2

12

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2.5 CÁLCULO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 13

Los términos semejantes o similares difi eren solamente en sus coefi cientes numéricos. Por ejemplo, 7xy y �2xy son términos semejantes; 3x2y4 y �1–2 x

2y4 son términos semejantes; sin embargo, �2a2b3 y �3a2b7 son términos diferentes.

En una expresión algebraica, dos o más términos semejantes pueden simplifi carse para formar un solo término. Por lo tanto, 7x2y � 4x2y � 2x2y puede simplifi carse y escribirse como 5x2y.

Un término es entero y racional respecto a ciertas literales (letras que representan números) si dicho término está formado por:

a) potencias enteras positivas de las variables multiplicadas por un factor que no contiene ninguna variable o,b) ninguna variable.

Por ejemplo, los términos 6x2y3, �5y4, 7, �4x y ��3x3y6 son enteros y racionales en las variables presentes. Sin embargo, 3��x no es racional en x, 4�x no es entero en x.

Un polinomio es un monomio o multinomio en el que todos sus términos son enteros y racionales.Por ejemplo, 3x2y3 � 5x4y � 2, 2x4 � 7x3 � 3x2 � 5x � 2, 4xy � z, y 3x2 son polinomios. Sin embargo, 3x2 �

4�x y 4 ��y � 3 no son polinomios.

2.3 GRADO

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las variables de un término. Por lo tanto, el grado de 4x3y2z es 3 � 2 � 1 � 6. El grado de una constante como 6, 0, ��3 o p, es cero.

El grado de un polinomio es el mismo que el del término que tiene el coefi ciente de mayor grado diferente de cero. Por lo tanto, 7x3y2 � 4xz5 � 2x3 tiene términos de grado 5, 6 y 4, respectivamente; de aquí que el grado del polinomio es 6.

2.4 AGRUPAMIENTO

Los símbolos de agrupamiento tales como los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { } a menudo se utilizan para expresar que los términos contenidos en éstos se deben considerar como una sola cantidad.

Por ejemplo, la suma de las dos expresiones algebraicas 5x2 � 3x � y y 2x � 3y puede escribirse como (5x2 � 3x � y) � (2x � 3y). La diferencia de éstas puede escribirse como (5x2 � 3x � y) � (2x � 3y) y su producto como (5x2 � 3x � y)(2x � 3y).

La eliminación de los símbolos de agrupamiento está gobernada por las siguientes leyes.

1. Si un signo � precede a un símbolo de agrupamiento, éste puede quitarse sin afectar a los términos contenidos en el grupo.

Por lo tanto, (3x � 7y) � (4xy � 3x3) � 3x � 7y � 4xy � 3x3.

2. Si un signo � precede a un símbolo de agrupamiento, éste puede ser retirado si los signos de los términos contenidos en el grupo son modifi cados.

Por lo tanto, (3x � 7y) � (4xy � 3x3) � 3x � 7y � 4xy � 3x3.

3. Si el agrupamiento tiene más de un signo, los símbolos interiores se quitarán primero.

Por lo tanto, 2x � {4x3 � (3x2 � 5y)} � 2x � {4x3 � 3x2 � 5y} � 2x � 4x3 � 3x2 � 5y.

2.5 CÁLCULO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

La suma de expresiones algebraicas se lleva a cabo combinando términos semejantes. Con el fi n de realizar esta suma, las expresiones pueden colocarse en fi las con los términos semejantes en la misma columna; enseguida se suman estas columnas.


14 CAPÍTULO 2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EJEMPLO 2.1 Sume 7x � 3y3 � 4xy, 3x � 2y3 � 7xy, y 2xy � 5x � 6y3.

Escriba:

Suma: Entonces el resultado es: 5x � 5y3 � 5xy.

La resta de dos expresiones algebraicas se lleva a cabo cambiando el signo de cada uno de los términos de la expresión que está siendo sustraída (a menudo llamada sustraendo) y sumando este resultado a la otra expresión (llamada minuendo).

EJEMPLO 2.2 Reste 2x2 � 3xy � 5y2 de 10x2 � 2xy � 3y2.

Resta:

También se puede escribir (10x2 � 2xy � 3y2) � (2x2 � 3xy � 5y2) � 10x2 � 2xy � 3y2 � 2x2 � 3xy � 5y2 � 8x2 � xy � 8y2.

La multiplicación de expresiones algebraicas se lleva a cabo multiplicando los términos contenidos en los factores de las expresiones.

1. Para multiplicar dos o más monomios utilice las leyes de los exponentes, la ley de los signos y las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación.

EJEMPLO 2.3 Multiplique �3x2y3z, 2x4y y �4xy4z2.

Escriba (�3x2y3z)(2x4y)(�4xy4z2).

Ordenando de acuerdo con las leyes asociativa y conmutativa,

{(�3)(2)(�4)}{(x2)(x4)(x)}{(y3)(y)(y4)}{(z)(z2)}.

Combine utilizando las reglas de los signos y las leyes de los exponentes para obtener,

24x7y8z3.

El paso 1) puede realizarse mentalmente cuando se tiene un cierto grado de experiencia.

2. Para multiplicar un polinomio por un monomio, multiplique cada término del polinomio por el monomio y combine los resultados.

EJEMPLO 2.4 Multiplique 3xy � 4x3 � 2xy2 por 5x2y4.

Escriba

3. Para multiplicar un polinomio por un polinomio, multiplique cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y combine los resultados.

Con mucha frecuencia es de utilidad ordenar los polinomios en función de las potencias ascendentes (o descendentes) de una de las literales involucradas.

x 3y3 �4xy3x �2y3 7xy

�5

5

7

x �6y3 2xy___________________

x �5y3 5xy.

10

8

x2 � 2xy � 3y2

2x2 � 3xy � 5y2

_______________x2 � xy � 8y2

(5x2y4)(3xy 4x3 � 2xy2)

� (5x2y4)(3xy) � (5x2y4)( 4x3) � (5x2y4)(2xy2)

� 15x3y5 20x5y4 � 10x3y6.


2.5 CÁLCULO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 15

EJEMPLO 2.5 Multiplique �3x � 9 � x2 por 3 � x.Ordenando en potencias descendentes de x,

Multiplicando (2) por �x,Multiplicando (2) por 3,

Sumando,

La división de expresiones algebraicas se logra utilizando las leyes de la división de los exponentes.

1. Para dividir un monomio entre otro monomio, encuentre el cociente de los coefi cientes numéricos, encuentre los cocientes de las variables y multiplíquelos.

EJEMPLO 2.6 Divida 24x4y2z3 entre �3x3y4z.

Escriba:

2. Para dividir un polinomio por otro polinomio:

a) Ordene los términos de ambos polinomios en orden descendente (o ascendente) de acuerdo con la potencia de una de las variables comunes a ambos polinomios.

b) Divida el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Lo anterior nos da el primer término del cociente.

c) Multiplique el primer término del cociente por el divisor y réstelo del dividendo, obteniendo así un nuevo dividendo.

d) Utilice el dividendo obtenido en c) para repetir los pasos b) y c) hasta que se obtenga un residuo, el cual tendrá un grado menor que el grado del divisor o cero.

e) El resultado se escribe:

EJEMPLO 2.7 Divida x2 � 2x4 � 3x3 � x � 2 entre x2 � 3x � 2.

Escriba los polinomios en orden descendente de acuerdo con su potencia de x y ordene de la forma siguiente.

De aquí que,

x2 � 3x � 9�x � 3__________�x3 � 3x2 � 9x

x2 � 9x � 27___________________�x3 � 6x2 � 18x � 27

24x4y2z3

3x3y4z�

243

x4

x3

y2

y4

z3

z� ( 8)(x)

1y2

(z2)8xz2

y2.

DividendoDivisor

�� Cociente �ResiduoDivisor

.

2x2 � 3x � 6x2 � 3x � 2)2x4 3x3 � x2 � x 2

2x4 � 6x3 � 4x2

3x3 3x2 � x 23x3 9x2 � 6x

6x2 5x 26x2 18x � 12

13x 14

2x4 3x3 � x2 � x 2x2 3x � 2

� 2x2 � 3x � 6 �13x 14

x2 3x � 2.



Problemas resueltos

2.1 Evalúe cada una de las expresiones algebraicas, dado que x � 2, y � �1, z � 3, a � 0, b � 4, c � 1/3.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2.2 Clasifi que cada una de las expresiones algebraicas siguientes de acuerdo con las categorías término o mono-mio, binomio, trinomio, multinomio y polinomio.

a) d) g) b) e) h) c) f) i)

SOLUCIÓN Si la expresión pertenece a una o más categorías, éstas se indican con un signo de verifi cación.

Término o monomio Binomio Trinomio Multinomio Polinomio

x3 � 3y2z � � �

2x2 � 5x � 3 � � �

4x2y�z �

y � 3 � � �

4z2 � 3z � 2��z � �

5x3 � 4�y � �

��x2 � y2 � z2 �

��y � ��z � �

a3 � b3 � c3 � 3abc � �

2.3 Encuentre el grado de cada uno de los polinomios siguientes.

a) 2x3y � 4xyz4. El grado de 2x3y es 4 y el de 4xyz4 es 6; de aquí que el polinomio es de grado 6. b) x2 � 3x3 � 4. El grado de x2 es 2, de 3x3 es 3 y de �4 es 0; de aquí que el grado del polinomio es 3. c) y3 � 3y2 � 4y � 2 es de grado 3. d) xz3 � 3x2z2 � 4x3z � x4. Cada término es de grado 4; de aquí que el polinomio es de grado 4. e) x2 � 105 es de grado 2. (El grado de la constante 105 es cero.)

2x2 3yz � 2(2)2 3( 1)(3) � 8 � 9 � 17

2z4 3z3 � 4z2 2z � 3 � 2(3)4 3(3)3 � 4(3)2 2(3) � 3 � 162 81 � 36 6 � 3 � 114

4a2 3ab � 6c � 4(0)2 3(0)(4) � 6(1�3) � 0 0 � 2 � 2

5xy � 3z2a3 c2

�5(2)( 1) � 3(3)

2(0)3 (1�3)2 �10 � 9

1�9�

11�9

� 9

3x2yz

bcx � 1

�3(2)2( 1)

34(1�3)

34 4�9 40�9

4x2y(z 1)a � b 3c

�4(2)2( 1)(3 1)0 � 4 3(1�3)

�4(4)( 1)(2)

4 1323

x3 � 3y2z y � 3 x2 � y2 � z2

2x2 5x � 3 4z2 � 3z 2 z��

y � z4x2y�z 5x3 � 4�y a3 � b3 � c3 3abc


2.4 Remueva los símbolos de agrupación en cada una de las siguientes expresiones y simplifi que las expresiones resultantes combinando términos semejantes.

a) b) c) d)

2.5 Sume las expresiones algebraicas de cada uno de los grupos siguientes.

a)

SOLUCIÓN

Ordenando

Sumando

El resultado de la suma es 1.

b) 5x3y � 4ab � c2, 3c2 � 2ab � 3x2y, x3y � x2y � 4c2 � 3ab, 4c2 � 2x2y � ab2 � 3ab

SOLUCIÓN

Ordenando,

Sumando,

2.6 Reste la segunda expresión de la primera en cada una de las expresiones siguientes:

a) a � b � c � d, c � a � d � b

SOLUCIÓN

Escriba

Restando, El resultado es 2a � 2d.

De otra forma: (a � b � c � d) � (c � a � d � b) � a � b � c � d � c � a � d � b � 2a � 2d

b) 4x2y � 3ab � 2a2 � xy, 4xy � ab2 � 3a2 � 2ab.

SOLUCIÓN

Escriba

Restando,

De otra forma:

3x2 � (y2 4z) (2x 3y � 4z) � 3x2 � y2 4z 2x � 3y 4z � 3x2 � y2 2x � 3y 8z2(4xy � 3z) � 3(x 2xy) 4(z 2xy) � 8xy � 6z � 3x 6xy 4z � 8xy � 10xy � 3x � 2zx 3 2{2 3(x y)} � x 3 2{2 3x � 3y} � x 3 4 � 6x 6y � 7x 6y 74x2 {3x2 2�y 3(x2 y) 4} � 4x2 {3x2 2� �� y 3x2 � 3y 4}

� 4x2 {3x2 2y � 6x2 6y � 4} � 4x2 {9x2 8y � 4}� 4x2 9x2 � 8y 4 5x2 � 8y 4

x2 � y2 z2 � 2xy 2yz, y2 � z2 x2 � 2yz 2zx, z2 � x2 y2 � 2zx 2xy,1 x2 y2 z2

x2 � y2 z2 � 2xy 2yzx2 � y2 � z2 � 2yz 2zxx2 y2 � z2 2xy � 2zxx2 y2 z2 � 1

0 � 0 � 0 � 0 � 0 � 0 � 1

a b � c da b � c � d

2a � 0 � 0 2d

5x3y 4ab � c2

3x2y � 2ab � 3c2

x2y � x3y 3ab 4c2

2x2y 3ab � 4c2 � ab2

4x2y � 6x3y 8ab � 4c2 � ab2

4x2y 3ab � 2a2 xy2ab 3a2 � 4xy � ab2

4 x2y 5ab � 5a2 5xy ab2

(4x2y 3ab � 2a2 xy) (4xy � ab2 3a2 � 2ab)� 4x2y 3ab � 2a2 xy 4xy ab2 � 3a2 2ab� 4x2y 5ab � 5a2 5xy ab2

PROBLEMAS RESUELTOS 17



2.7 En cada una de las operaciones siguientes encuentre el producto de las expresiones algebraicas indicadas.

a) e) b) f) c) g) d) h)

SOLUCIÓN

a)

b)

c)

d)

e) f)

g) h)

2.8 Efectúe las divisiones que se indican.

a)

b)

c)

d)

e)

( 22ab3)(4a2b5) (x2 3x � 9)(x � 3)( 3x2y)(4xy2)( 2x3y4) (x4 � x3y � x2y2 � xy3 � y4)(x y)(3ab2)(2ab � b2) (x2 xy � y2)(x2 � xy � y2)(x2 3xy � y2)(4xy2) (2x � y z)(3x z � y)

( 2ab3)(4a2b5) � {( 2)(4)}{(a)(a2)}{(b3)(b5)} 8a3b8

( 3x2y)(4xy2)( 2x3y4) � {( 3)(4)( 2)}{(x2)(x)(x3)}{(y)(y2)(y4)} � 24x6y7

(3ab2)(2ab � b2) � (3ab2)(2ab) � (3ab2)(b2) � 6a2b3 � 3ab4

(x2 3xy � y2)(4xy2) � (x2)(4xy2) � ( 3xy)(4xy2) � (y2)(4xy2) � 4x3y2 12x2y3 � 4xy4

x2 3x � 9 x4 � x3y � x2y2 � xy3 � y4

x � 3 x y

x3 3x2 � 9x x5 � x4y � x3y2 � x2y3 � xy4

3x2 9x � 27 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5

x3 � 0 � 0 � 27 x5 � 0 � 0 � 0 � 0 y5

Resp. x3 � 27 Resp. x5 y5

x2 xy � y2 2x � y zx2 � xy � y2 3x � y z

x4 x3y � x2y2 6x2 � 3xy 3xzx3y x2y2 � xy3 2xy � y2 yz

x2y2 xy3 � y4 2xz yz � z2

x4 � 0 � x2y2 � 0 � y4 6x2 � 5xy 5xz � y2 2yz � z2

Resp. x4 � x2y2 � y4

24x3y2z4xyz2

�244

x3

xy2

yzz2

� (6)(x2)(y)1z

�6x2y

z

16a4b6

8ab2c�

168

a4

ab6

b2

1c

�2a3b4

c

3x3y � 16xy2 12x4yz4

2x2yz�

3x3y2x2yz

�16xy2

2x2yz�

12x4yz4

2x2yz�

3x2z

�8yxz

6x2z3

4a3b2 � 16ab 4a2

2a2b�

4a3b2

2a2b�

16ab2a2b

�4a2

2a2b2ab

8a

�2b

2x4 � 3x3 x2 1x 2

f )16y4 12y 1

2x3 � 7x2 � 13x � 26 8y3 � 4y2 � 2y � 1x 2)2x4 � 3x3 x2 1 2y 1)16y4 1

2x4 4x3 16y4 8y3

7x3 x2 1 8y3 17x3 14x2 8y3 4y2

13x2 1 4y2 113x2 26x 4y2 2y

26x 1 2y 126x 52 2y 1

51 0


Por lo tanto

g)

Acomode en potencias descendentes de x.

Por lo tanto

h)

Acomode en potencias descendentes de una literal, digamos x.

Por lo tanto

2.9 Compruebe el trabajo que se realizó en los problemas 2.7 h) y 2.8 g) utilizando el valor x � 1, y � �1, z � 2.

SOLUCIÓN Del problema 2.7 h), (2x � y � z)(3x � z � y) � 6x2 � 5xy � 5xz � 2yz � z2 � y2.Sustituya x � 1, y � �1, z � 2 y obtenga

o

Del problema 2.8 g),

2x4 � 3x3 x2 1x 2

� 2x3 � 7x2 � 13x � 26 �51

x 2y

16y4 12y 1

� 8y3 � 4y2 � 2y � 1.

2x6 � 5x4 x3 � 1x2 � x � 1

.

2x4 2x3 9x2 10x 19x2 � x � 1)2x6 � 5x4 x3 � 1

2x6 2x5 2x4

2x5 � 7x4 x3 � 12x5 2x4 2x3

9x4 � x3 � 19x4 9x3 9x2

10x3 � 9x2 � 110x3 10x2 10x

19x2 � 10x � 119x2 19x 19

29x � 20

2x6 � 5x4 x3 � 1x2 � x � 1

2x4 2x3 9x2 10x 19 �29x � 20x2 � x � 1

.

x4 x3y � x2y2 � 2x2y 2xy2 � 2y3

x2 xy � y2.

x2 � 2yx2 xy � y2)x4 x3y � x2y2 � 2x2y 2xy2 � 2y3

x4 x3y � x2y2

2x2y 2xy2 � 2y3

2x2y 2xy2 � 2y3

0

x4 x3y � x2y2 � 2x2y 2xy2 � 2y3

x2 xy � y2� x2 2y.

2(1) � ( 1) 2 3(1) (2) 1 6(1)2 � 5(1)( 1) 5(1)(2) 2( 1)(2) � (2)2 � ( 1)2

1 0 6 5 10 � 4 � 4 � 1, es decir 0 � 0.

2x6 � 5x4 x3 � 1x2 � x � 1

2x4 2x3 9x2 10x 19 �29x � 20x2 � x � 1

.

PROBLEMAS RESUELTOS 19



Asigne x � 1 y obtenga

Aunque una comprobación por sustitución de números por variables no es totalmente concluyente, pue-de utilizarse para identifi car posibles errores.

Problemas propuestos

2.10 Evalúe cada una de las expresiones algebraicas, dado que x � �1, y � 3, z � 2, a � 1�2, b � �2�3.

a) e) g)

b)

c) f) h)

d)

2.11 Determine el grado de cada uno de los polinomios siguientes.

a) c) e)

b) d) f)

2.12 Elimine los símbolos de agrupación y simplifi que las expresiones resultantes combinando términos semejantes.

a) c)

b) d)

2.13 Sume las expresiones algebraicas en cada uno de los grupos siguientes.

a)

b)

c)

2.14 Reste la segunda expresión de la primera en las expresiones siguientes.

a)

b)

c)

2.15 Reste xy � 3yz � 4xz del doble de la suma de las expresiones siguientes: 3xy � 4yz � 2xz y 3yz � 4zx � 2xy.

2 � 5 1 � 11 � 1 � 1

2 2 9 10 19 �29 � 201 � 1 � 1

o 7 7� .

) 4x3y2 3xz2 z(x � y)8a2

3aby x � 1

1x

�1y

�1z

) (x y)(y z)(z x)

) 9ab2 � 6ab 4a2 (x y)2 � 2zax � by

(x 1)(y 1)(z 1)(a 1)(b 1)

xy2 3za � b

) 3x4 2x3 � x2 5 x5 � y5 � z5 5xyz 103

) 4xy4 3x3y3 3��xyz 5 y2 3y5 y � 2y3 4

) (x � 3y z) (2y x � 3z) � (4z 3x � 2y) ) 3x � 4y � 3{x 2(y x) y}

) 3(x2 2yz � y2) 4(x2 y2 3yz) � x2 � y2 ) 3 {2x 1 (x � y) x 2y }

) 2x2 � y2 x � y, 3y2 � x x2, x 2y � x2 4y2

a2 ab � 2bc � 3c2, 2ab � b2 3bc 4c2, ab 4bc � c2 a2, a2 � 2c2 � 5bc 2ab

) 2a2bc 2acb2 � 5c2ab, 4b2ac � 4bca2 7ac2b, 4abc2 3a2bc 3ab2c, b2ac abc2 3a2bc

) 3xy 2yz � 4zx, 3zx � yz 2xy

) 4x2 � 3y2 6x � 4y 2, 2x y2 � 3x2 4y � 3

) r3 3r2s � 4rs2 s3, 2s3 � 3s2r 2sr2 3r3


2.16 Obtenga el producto de las expresiones algebraicas en cada uno de los grupos siguientes.

a) 4x2y5, �3x3y2 f ) y2 � 4y � 16, y � 4

b) 3abc2, �2a3b2c4, 6a2b2 g) x3 � x2y � xy2 � y3, x � y

c) �4x2y, 3xy2 � 4xy h) x2 � 4x � 8, x2 � 4x � 8

d) r2s � 3rs3 � 4rs � s3, 2r2s4 i) 3r � s � t2, 2s � r � 3t2

e) y � 4, y �3 j) 3 � x � y, 2x � y � 1, x � y

2.17 Realice las divisiones que se indican.

a) b) c) d)

2.18 Efectúe las divisiones que se indican.

a) b) c) d)

2.19 Realice las operaciones indicadas y verifíquelas utilizando los valores x � 1, y � 2.

a) b)

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

2.10 a) �24 b) �12 c) �1 d) 90 e) 11/5 f ) �8 g) �1�6 h) �24�5

2.11 a) 4 b) 6 c) 5 d) 3 e) 0 f) 5

2.12 a) 3y � x b) 8y2 � 6yz c) 12x � 5y d) y � 4x � 4

2.13 a) 2x2 � x � y b) a2 � b2 � 2c2 c) abc2

2.14 a) 5xy � 3yz � zx b) x2 � 4y2 � 8x � 8y � 5 c) 4r3 � r2s � rs2 � 3s3

2.15 xy � yz � 8xz

2.16 a) �12x5y7 f ) y3 � 64

b) �36a6b5c6 g) x4 � y4

c) �12x3y3 � 16x3y2 h) x4 � 64

d) 2r4s5 � 6r3s7 � 8r3s5 � 2r2s7 i) 3r2 � 5rs � 8rt2 � 2s2 � 5st2 � 3t4

e) y2 � y � 12 j) y3 � 2y2 � 3y � 3x � 5x2 � 3xy � 2x3 � x2y � 2xy2

2.17 a) b) c) d)

2.18 a) b) c) d)

2.19 a) x8 � x4y4 � y8. Comprobación: 21(13) � 273. b) x2 � y2. Comprobación: 35�7 � 5.

12x4yz3

3x2y4z18r3s2t4r5st2

4ab3 3a2bc � 12a3b2c4

2ab2c3

4x3 5x2 � 3x 2x � 1

27s3 643s 4

1 x2 � x4

1 x2y3 � y5 3y 2

y2 3y � 14x3y � 5x2y2 � x4 � 2xy3

x2 � 2y2 � 3xy

(x4 � x2y2 � y4)(y4 x2y2 � x4)x4 � xy3 � x3y � 2x2y2 � y4

xy � x2 � y2

4x2z2

y3

9s2r2t

2bc3

�3a

2bc26a2c 4x2 9x � 12 �

14x � 1

9s2 � 12s � 16 x3 x2 �1

1 xy3 � 3y2 � 10y � 27 �

68y 29y2 3y � 1

x2 � xy

PROBLEMAS PROPUESTOS 21


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