Capítulo 3CONDUÇÃO DE CALOR 1-D,REGIME PERMANENTE

Parede plana

x=0 x=L

qx

Ts1

Ts2

T∞2

T∞1

€

ddx

k dTdx

"

# $

%

& ' = 0⇒ qx = −kA dT

dx= cte

⇒ T(x) = ax + b

CC :T(0) = Ts1T(L) = Ts2

* + ,

⇒ b = Ts1 a =Ts2 −Ts1L

T(x) =Ts2 −Ts1L

x + Ts1

qx = −kLTs2 −Ts1( )A

1

∂∂x

k ∂T∂x

!

"#

$

%&+

∂∂y

k ∂T∂y

!

"#

$

%&+

∂∂z

k ∂T∂z

!

"#

$

%&+ !q = ρcp

∂T∂t

CALOR

Balanço de energia numa superfície: 0=− ""

convcond qq( )111 sx TTAhq −= ∞

( )222 ∞−= TTAhq sx

Parede plana, sem fonte

x=0 x=L

qx

Ts1

Ts2

T∞2

T∞1

2

( )21 ssx TTLAkq −=

somando

( )111 sx TTAhq −= ∞

( )222 ∞−= TTAhq sx

( )21 ∞∞ −= TTUAqx

U = Coeficiente global de transferência de calor

( )21 ssx TTLAk

q−=

/)(

( )111

sx TTAhq

−= ∞

( )222

∞−= TTAhq

sx

( )21 ∞∞ −= TTUAqx

L

k

( )2121

11∞∞ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ TT

AhkAL

Ahqx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

AhkAL

AhUA 21

111

qx

1/h1A 1/h2AL/kA

T∞1 Ts1 Ts2 T∞2

Resistência Térmica - analogia com resistência elétrica

Resistência térmica à condução Resistência térmica à convecção

€

Rt ,cond ≡Ts1 −Ts2qx

=LkA

€

q = hA(Ts −T∞)

Rt ,conv ≡Ts −T∞q

=1hA

Resistência Total

€

Rtot =T∞1 −T∞2qx

=1h1A

+LkA

+1h2A

3

qx

1/(UA)

T∞1 T∞2

Circuito equivalente

qx=qc1=qk=qc2

Resistência térmica à radiação

€

Rt ,rad =Ts −Tambqrad

=1hrA

hr ≡ εσ Ts + Tamb( ) Ts2 + Tamb2( )

Paredes compostas em série

T∞1

T∞2qx

A B C D

€

qx =T∞1 −T∞2

Rt∑=

T∞1 −T∞21/ h1A + LA / kAA + LB / kBA + LC / kCA + LD / kDA +1/ h2A

Coeficiente Global de Troca de Calor

€

qx =UAΔT

U ≡1

RtotA=

11/ h1 + LA / kA + LB / kB + LC / kC + LD / kD +1/ h24

( )44ambsrad TTAq −= εσ

( ) ( )( )( )2244ambsambsambsambs TTTTTTTT ++−=−

Paredes em paralelo

A

B

C

Dqx

Exercício: Obtenha a resistência térmica total para a parede plana composta pelos materiais A, B, C, D

5

qx

L2/(kBAB)

Ts1 Ts2 Ts3 Ts4

L2/(kCAC)

L3/(kDAD)L1/(kAAA)

qx qx

qx1qx2

∑=tparelelotot RR11

,

∑= tserietot RR ,

Resistência térmica de contato

-Provoca queda de temperatura na interface entre 2 paredes

- Ocorre principalmente devido à rugosidade das superfícies

- Valores são obtidos experimentalmente

A BA B

TA TBqx

6

x

BAcontatot q

TTR

ʹ́

−≡,

ExemploUm fabricante deseja projetar um forno auto-limpante, que utiliza uma janela composta, separando a cavidade do forno do ar ambiente. A janela consiste de 2 plásticos (LA=2LB, kA=0,15W/mK e kB=0,08W/mK). Durante o funcionamento, a parede do forno e a temperatura do ar interno valem 400 0C, enquanto o ar ambiente esta a 25 0C. Os coeficientes convectivos interno e externo, e o de radiação (hi, he e hr) valem 25 W/m2K. Qual a espessura mínima da parede (L= LA+LB) necessária para garantir que a temperatura na superfície externa da janela não ultrapasse 50 0C?

A B

Forno7

8

qci,n

A B

Forno

1/(hiA)

LB/(kBA)LA/(kAA)

T∞1

Tsin TsA

1/(heA)

Ts,e T∞2

qkA qkB qc,e

qr,i,n

1/(hrA)

T∞1T∞1

T∞1=400T∞2=25

hi= he = hr = 25 W/m2K

LA=2LB, kA=0,15W/(mK) e kB=0,08W/(mK)L= LA+LB=?Para Ts,e < 50 oC

ecBkAkinrincx qqqqqq ,,,,, ===+=)/(, Ah

TTq

e

seec 1

2∞−=

( )( ) ( )]/[,, AhAh

TTTTAhAhqqq

ri

sinsinriinrincx +

−=−+=+= ∞

∞ 11

1

)/()/()/(]/[ AhAkLAkLAhAhTT

qeBBAAri

x 1121

++++

−= ∞∞

62583325060

375251080150225251

25400=

+=

++++−

=ʹ́BBB

x LLLq

,,/,/,/]/[

2625

2512550

mWqx =

−=ʹ́

/

mLB 020903083325

060625375

,,

,=

−= mLLLL BBA 062710

83325

060625375

3 ,,

,=

−==+=

Sistemas radiais:Paredes cilíndricas

Cilindro: regime permanente, sem geração

€

1rddrkr dTdr

"

# $

%

& ' = 0

qr = −kA dTdr

= −k 2πrL( ) dTdr

independe de r

= qr" 2πrL( )

função de r

Para k constante :T(r) = a lnr + b

CC :T(r1) = Ts1T(r2) = Ts2

* + ,

⇒ T(r) =Ts1 −Ts2ln(r1 /r2)

ln rr2

"

# $

%

& ' + Ts2 qr =

2πLk(Ts1 −Ts2)ln(r2 /r1)

Rt ,cond =ln(r2 /r1)2πkL

9

€

q"= −k ∂T∂r

ˆ e r +1r∂T∂θ

ˆ e θ +∂T∂z

ˆ e z%

& '

(

) *

1r∂∂r

kr ∂T∂r

%

& '

(

) * +

1r 2

∂∂θ

k ∂T∂θ

%

& '

(

) * +

∂∂z

k ∂T∂z

%

& '

(

) * + ˙ q = ρc p

∂T∂t

Paredes cilíndricas em série

10

11

Exercício: Raio ótimo de isolamento em sistemas radiais

ri

Ti

rT∞,h

k

Existe uma espessura crítica de isolamento,abaixo da qual q cresce com o aumento de r, e acima delaq cai com o aumento de r: rcr=k/h

Aumento de r (ou da espessura de isolante): resistência a condução cresce, e resistência a conveção cai

Paredes esféricas

qr+dr

qr

€

qr = −k 4πr 2( ) dTdr ⇒qr4π

drr 2r1

r2∫ = k(T)dTTs1

Ts 2∫Para k constante :

qr =4πk Ts1 −Ts2( )1/r1 −1/r2

Rt ,cond =Ts1 −Ts2( )qr

=14πk

1r1−1r2

&

' (

)

* +

12

€

q"= −k ∂T∂r

ˆ e r +1r∂T∂θ

ˆ e θ +1

r sinθ∂T∂φ

ˆ e φ&

' (

)

* +

1r 2

∂∂r

kr 2 ∂T∂r

&

' (

)

* + +

1r 2 sin2θ

∂∂φ

k ∂T∂φ

&

' (

)

* + +

1r 2 sinθ

∂∂θ

k sinθ ∂T∂θ

&

' (

)

* + + ˙ q = ρc p

∂T∂t

Resumo

13

Exemplo: Reservatório esférico de nitrogênio com vazamento. Calcular a taxa de transferência de calor para o nitrogênio e o fluxo de massa que evapora. Considere que a temperatura da parede interna é igual a do Nitrogênio.

qAr

T=300K

h=20W/m2K

Pó de silica

K=0,0017 W/mK

Nitrogênio líquidoT=77 Kρ=804 kg/m3

hlf=2x105 J/kg (calor latente vaporização)

Paredeisolada

ri=0,25 m

ro=0,275 m

14

Condução 1D, regime permanente, com geração de energia:

Para condutividade constante, e geração uniforme:

€

d 2Tdx2 +

˙ q k

= 0⇒ T(x) = −˙ q

2kx2 + ax + b

CC :T(x = −L) = Ts1

T(x = L) = Ts2

$ % &

⇒ T(x) =˙ q L2

2k1− x2

L2

'

( )

*

+ , +

Ts2 −Ts1

2xL

+Ts2 + Ts1

215

∂∂x

k ∂T∂x

!

"#

$

%&+

∂∂y

k ∂T∂y

!

"#

$

%&+

∂∂z

k ∂T∂z

!

"#

$

%&+ !q = ρcp

∂T∂t

Eq. condução:

Obs.: - O fluxo de calor qx (=-kAdT/dx) é função de x - Se as temperaturas das paredes são iguais, o problema é simétrico:

- No plano de simetria, dT/dx=0 →não há fluxo de calor ⇒superfície adiabática

T (x) = !qL2

2k1− x

2

L2

"

#$

%

&'+Ts

Tmax em x=0: Tmax = T0 =!qL2

2k+Ts

Temperatura adimensional:

Balanço na superfície, para CC de convecção:

θ(x) = T (x)−T0Ts −T0

=xL"

#$

%

&'2

= x*( )2

x* = xL

€

−k dTdx x= L

= h Ts −T∞( )16

Sistemas radiais: cilindro longo

T∞,h

€

˙ q

Ts

qr

€

1r

ddr

r dTdr

"

# $

%

& ' +

˙ q k

= 0

T(r) = −˙ q

4kr 2 + a lnr + b

CC :T(r0) = Ts

dTdr r= 0

= 0

)

* +

, +

⇒ T(r) = −˙ q r0

2

4k1− r 2

r02

"

# $

%

& ' + Ts

Temperatura adimensional :

θ(r) = T(r) −Ts

T0 −Ts

=1− rr0

"

# $

%

& '

2

Balanço global :˙ q πr0

2L = h2πr0L Ts −T∞( )

Ts = T∞ +˙ q r0

2h17

1r∂∂r

kr∂T∂r

!

"#

$

%&+1r2

∂∂θ

k ∂T∂θ

!

"#

$

%&+

∂∂z

k ∂T∂z

!

"#

$

%&+ !q = ρcp

∂T∂t

Exemplo: Tubo sólido longo, isolado termicamente, com condutividade da parede igual a k e geração de calor uniforme na parede igual a (W/m3). O tubo tem raio interno r1 e externo r2. 1. Obter a distribuição de temperaturas na parede do tubo, considerando que a temperatura da superfície externa é igual a Ts2. 2. Calcule o fluxo de calor por unidade de comprimento, na superfície interna do tubo.

18

€

˙ q

Condução de Calor em Superfícies Extendidas:

Balanço de calor:

€

qx = qx+dx + dqconv

qx = −kAcdTdx

qx+dx = qx +dqxdxdx

⇒ qx+dx = −kAcdTdx

− k ddx

AcdTdx

$

% &

'

( ) dx

dqconv = hdAs T −T∞( )

⇒ddx

AcdTdx

$

% &

'

( ) −hkdAsdx

T −T∞( ) = 0

ou

d 2Tdx2

+1AcdAcdxdTdx

−1AchkdAsdx

$

% &

'

( ) T −T∞( ) = 0

Equação geral energiapara superfícies extendidas

19

Aletas de seção reta constante ⇒ Ac=cte As=Px

⇒dAc/dx=0 e dAs/dx=P

Então a equação de energia fica:

€

d 2Tdx2

−hPkAc

#

$ %

&

' ( T −T∞( ) = 0

Def.: θ(x) = T(x) - T∞ ⇒ dθ/dx = dT/dxEntão a eq. energia fica:

€

d 2θdx2

−m 2θ = 0 m 2 = hPkAc

sol. :θ(x) = C1e

mx + C2e−mx

20

CC: x=0 T=Tb θ= Tb - T∞ ≡ θb

x=L: são possíveis 4 CC diferentes

Caso A: convecção

€

hAc T(L) −T∞( ) = −kAcdTdx x= L

ou

hAcθ(L) = −kAcdθdx x= L

Assim,θθb

=cosh(m(L − x)) + (h /mk)sinh(m(L − x))

cosh(mL) + (h /mk)sinh(mL)

q f = qb = −kAcdTdx x= 0

= −kAcdθdx x= 0

q f = hPkAcθbsinh(mL) + (h /mk)cosh(mL)cosh(mL) + (h /mk)sinh(mL)

Calor perdidoPela aleta

21

Caso B: convecção desprezível na extremidade da aleta

⇒dθ/dx⏐x=L =0

€

θθb

=cosh(m(L − x))cosh(mL)

q f = qb = −kAcdTdx x= 0

= −kAcdθdx x= 0

q f = hPkAcθb tanh(mL)

Caso C: temperatura prescrita na extremidade da aleta ⇒ θ(L)= θL

€

θθb

=θ L /θb sinh(mx) + sinh(m(L − x))

sinh(mL)

q f = hPkAcθbcosh(mL) −θ L /θb

sinh(mL)22

Caso D: Aleta muito longa L→∞, θL→0

€

θθb

= e−mx

q f = hPkAcθb

Exemplo: Barra longa exposta ao ar ambiente

1.  Determine a distribuição de temperatura na barra e as perdas de calor pela barra, considerando 2 materiais: aço (k=14W/mK) e cobre (k=398 W/mK).

2.  Estime o comprimento que a barra deve ter para que a hipótese de barra infinita seja satisfatória.

Tb=100 0C

D=5mm

T∞=25 0Ch= 100 W/m2K

23

Variação da temperatura na aleta para os dois materiais

24

Desempenho das aletas: as aletas aumentam a troca de calor crescendo a área superficial de troca. Porém, a aleta é também uma resistência adicional a troca de calor original.

Efetividade da aleta

€

ε f =q f

hAc,bθb=

troca de calor na aletatroca calor que existiria sem aleta

•  εf deve ser o maior possível. εf < 2 o uso da aleta não se justifica•  Para o caso D: εf =(kP/hAc)1/2

⇒ Maior k → maior εf ⇒ Maior P/Ac (aletas mais finas) → maior εf ⇒ Menor h (gases) → maior a utilização de aletas⇒  εf máximo quando L→∞

25

Resistência térmica da aleta

€

Rt , f ≡θbq f

ε f =Rt ,bRt , f

Rt ,b ≡1hAc,b

(= resistência à convecção na base exposta)

Eficiência da aleta

€

η f ≡q fqmax

=q fhAfθb

fluxo por convecção caso todaa aleta estivesse a Tb

26

Eficiência global de superfície: caracteriza o desempenho de um conjunto de aletas dispostas sobre a superfície

€

η0 =qtqmax

=1−NAf

At= NAf +Ab

1−η f( )

qt =η f NhAfθb + hAbθb

27