467pág.

4.1 Ángulos y medidas

1. Un ángulo es la unión de dos semirrectas de origen común.

a) Verdadero b) Falso

2. Un ángulo queda determinado de manera única por su vértice. a) Verdadero b) Falso

3. Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y son suplementarios.

a) Verdadero b) Falso

4. Dos ángulos suplementarios son siempre agudos.

a) Verdadero b) Falso

5. Dos ángulos opuestos por el vértice siempre son complementarios. a) Verdadero b) Falso

6. Transformar cada ángulo dado de grados a radianes.

a) 30º b) 135º c) −120º d) 450º e) −540º f ) 60º

a) π/6 b) −5π/4 c) 4π/3 d) π/2 e) π/12 f ) 4π7. Transformar cada ángulo dado de radianes a grados.

8. Complete la siguiente tabla:

Radianes 0 π6

π4

π2

2π3

Grados sexagesimales 60º 135º 112º 150º 15º

9. El extremo del minutero de un reloj recorre 7π10 cm en tres minutos. ¿Cuál

es la longitud del minutero?

10. Determine la medida del ángulo, en el cual la medida de su suplemento es 4 veces la medida de su complemento.

11. Si la suma de las medidas de ocho ángulos congruentes es 180º. ¿Cuánto mide dicho ángulo en radianes?

12. La medida del ángulo suplementario de x es igual a 123º. Hallar la medida del ángulo x y la medida de su ángulo complementario.

CAPÍTULO CUATRO4 Ejercicios propuestos

468pág.

4.2 Funciones trigonométricas elementales13. Calcule el valor de las expresiones siguientes y represéntelas como una

fracción o radical simplificado:

a) sen(30º) cos π2 −cos 7π

6 tan 3π4 d) tan2 π

6 −cos2 2π3 −tan 3π

4

b) sen 5π6 cos 4π

3 −tan π6 tan(330º) e) sen(120º) + cos(240º)

tan(60º) + tan(330º)

c) 3cos π6 + sen 5π

6 −tan π3 f )

2sen2 π6 cos2(π)

4tan π4 sen2 3π

4

14. Hallar el valor de cada expresión dada:

c) 3sen(45º) − 4tan π6

a) tan(π) + sen(π) d) sen(−40º)cos(50º)

b) sen(50º)cos(40º) e) 6cos 3π

4 + 2tan − π3

4.3 Gráficas de funciones trigonométricas15. Parte de la gráfica de y= p + qcos(x) aparece a continuación. La gráfica

contiene los puntos (0,3) y (π,−1). Determine cuál de los siguientes enunciados es verdadero:

a) p2 + q2 = 9

b) p2 − q2 = 3

c) p2 − q2 = −9

d) p + q = −3

e) p2 − q2 = −3

y

x

3

2

1

0

−1

2ππ

16. Si se tiene la función f : [0,π]→ , tal que f (x)= 2−1cos(2x), entonces su gráfica es:

a)f (x)

−1

1

π2

π 3π2

2π

y

x

b)f (x)

y

x

1/2

−1/2

π2

3π2

2ππ

469pág.

18. Graficar:

a) y = 2cos x − π4 + 1

b) y = |sen(2x) −1| − 1

c) y = 1−tan(π − x)

d) y = 0.5 − sen(x/2)

e) y = sgn(cos(2x))

17. El siguiente diagrama muestra parte de la gráfica de una curva senoidal f(x)= p + qsen(kx). El período es 4π, el valor mínimo es 3 y el valor máximo es 11 (esta gráfica no está a escala). Halle el valor de:

c) y

x

f (x)2

−2

π4

π2

3π4

π

d) y

x

f (x)2

−2

π4

π2

3π4

π

e)f (x)

y

x

1/2

−1/2

π2

π4

3π4

π

a) p

b) q

c) k

y

x0

470pág.

4.4 Funciones trigonométricas inversas

20. Sea α = arccos(−1/2), π/2 < α < π y β = arcsen(− 3/2), 3π/2 < β < 2π; encuentre el valor de sen(α) + tan(β).

21. Encuentre el valor de cos(x) si x = arctan (4/7), x ∈ π, 3π2 .

4.5 Identidades trigonométricas

23. ∀x, y ∈ , [sen−1( x + y) = sen−1(x) + sen−1(y)]

a) Verdadero b) Falso

22. Simplificar las siguientes expresiones:

d) sen arctan − 53b) cos(arctan(x))

c) arccos cos − 175 πa) cos(arcsen(x))

La altura h puede tener como modelo a la función h(t) = acos(bt) + 3.

a) Use la gráfica anterior para hallar los valores de las constantes a y b.b) A partir del resultado anterior, calcule la altura de la marea a las 13:00.c) ¿A qué hora estará la marea en su mínimo durante el segundo período de

8 horas?

19. La gráfica muestra la altura h de las mareas en metros, a las t horas pasadas la media noche en la isla de Tahini.

h

t

5

3

1

0

Altura de las mareas en Tahini

Número de horas pasada la media noche

4 8 12

471pág.

24. El valor de la expresión 8cos(10º)cos(20º)cos(40º) es:

a) 8cos(70º) b) 1 c) tan(10º) d) cot(10º) e) 8

27. Si π/2<x<π y sen(x)= 5/13, entonces el valor de sen(2x), es:

a) −10/13 b) 12/13 c) −12/13 d) 120/169 e) −120/169

28. La expresión: 1 + sec(3x)2sec(3x)

, es equivalente a:

a) sec(3x) b) sec(2x) c) −1 d) cos(3x/2) e) sec(3x/2)

30. Hallar el valor de: tan(19π/12).

25. El valor de cos(π/12) es:

a) 43 − 1 b) 4

3 + 2 c) 42 + 1 d) 4

6 + 2 e) 43 + 1

26.Si π/2<x<π y sen(x)= 5/13, entonces el valor de cos(x+π/3) es:

a) − 2612 + 5 3 b) 74

5 3 + 7 c) 743 3 − 1 d) 26

3 − 7 3 e) 74

5 − 7 3

29. La expresión que no representa una identidad trigonométrica es:

c) tan(x) cos(x) = 1csc(x)

b) cos(4x) = cos2(2x) − sen2(2x) e) tan(2x) = 2tan(x)1 − tan2(x)

a) sen x2 cos x

2 = 12 sen(x) d) sen2(2x) + cos2(2x) = 2

31. Hallar (gof ) (x) si f y g están definidas por las siguientes reglas de correspondencia:

f (x) = cos(x) ; x ≥ 0ln(−x) ; x < 0 y g(x) =

x ; |x| ≤ 1ex ; |x| > 1

32. Si tan(25º)= a, representar en términos de a la siguiente expresión:

tan(245º) + tan(335º)tan(205º) − tan(115º)

472pág.

33. Simplificar y hallar el valor de las siguientes expresiones:

a) 2sen(10º)1 − 2sen(70º)

b) sen π12 cos π

12c) tan(55º) − tan(35º)

d) cos π5 cos 3π

5

e) sen 3π

2 + α tan π2 + β

cos(π − α) cot 3π2 − β

− sen 3π

2 − β + cot π2 + α

cos(2π − β) tan(π − α)

f) cos π65 cos 2π

65 cos 4π65 cos 8π

65 cos 16π65 cos 32π

65

34. Demuestre:

cos−1 103 + cos−1

52 = π

4

35. Demuestre:

a) sen3(α − 270º) cos(360º − α)

tan3 α − π2 cos3 α − 3π

2 = cos(α)

b) cos2(α )

cot α2 − tan α

2 = 1

4 sen(2α)

c) tan2(2x) − tan2(x)1 − tan2(2x) tan2(x)

= tan(3x)tan(x)

d) sen(ω)sen(60º − ω) sen π3 + ω = 1

4 sen(3ω)

e) sen(47º) + sen(61º) − sen(11º) − sen(25º) = cos(7º)

f) 1 + sen(β) + cos(β)1 + sen(β) − cos(β)

= 1 + cos(β)

sen(β)

36. Una de las siguientes expresiones no constituye una identidad trigonométrica, identifíquela:

a) sen2(θ)(1 + cot2(θ)) = 1b) 1 − csc2(θ) = −cot2(θ)

c) sen(θ)(cot(θ) + tan(θ)) = sec(θ)d) (1 − sen2(θ))(1 + tan2(θ)) = −1

473pág.

37. Si π < α < 3π/2 y sen(α) = −3/5, hallar el valor de tan(2α).

38. Si tan(α)=1/7; sen(β)=1/ 10; α ∈(0,π/2) y β ∈(0,π/2), determine sen(α + 2β).

39. Si f (x) = 2tan(x/2); x ∈ [0, π/2], hallar el valor de f (2π/3) − f (π/2).

40. Si sen(x) = −12/13; 3π/2 ≤ x ≤ 2π, hallar el valor de cos(x + π/3).

41. Encuentre una expresión para tan(3α) en términos de tan(α).

42. Si tan(α)= −7/24 y cot(β)=3/4, π/2 < α < π, π < β < 3π/2, encuentre el valor de cos(α + β).

44. Dado que sen(x) = 13 , donde x es un ángulo agudo, halle el valor de:

a) cos(x) b) cos(2x) c) sen(2x)

43. Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:

a) (2sen2(θ) − 1)2

sen4(θ) − cos4(θ) = 1 − 2cos2(θ)

b) 2tan(x)

1 − tan2(x) + 1

2cos2(x) − 1 = cos(x) + sen(x) cos(x) − sen(x)

c) tan(α) + 1

cos3(α) −

1sen(α) − tan(α)

= sen2(α)cos3(α)

d) 3cos2(z) + 5sen(z) − 5 cos2(z)

= 3sen(z) − 2 1 + sen(z)

e) 2sen2(ω) + 3cos(ω) − 3 sen2(ω)

= 2cos(ω) − 1 1 + cos(ω)

f) sen2(t) + 4sen(t) + 3 cos2(t) = 3 + sen(t)

1 − sen(t)

g) sec( y) − cos( y)

1 + sen( y) = tan( y)

474pág.

4.6 Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas

45. Sea p(x): 2sen2(x) − 7sen(x) + 3 = 0 y x ∈ [0, π], la suma de los elementos de Ap(x) es:

a) π b) π/3 c) 5π/3 d) 7π/6 e) 2π

46. Sea p(x): sen(x) > 12 , x ∈(0, 2π), hallar Ap(x).

47. Sea q(x): cos(x) < 13 , x ∈(0, 2π), hallar Aq(x).

a) Halle el valor de R y la medida del ángulo α.

b) Halle el rango de f.c) Es inversible f, ¿por qué?

d) Halle el valor de x que satisface la ecuación f (x) = 2.

48. La función f de dominio 0, π2 se define como f (x) = cos(x) + 3 sen(x). Esta

función puede también expresarse de la forma f (x) = Rcos(x − α), donde

R > 0 y 0 < α < π2 .

49. Considere el predicado p(x): 2sen2(x) = 1 − cos(x), x ∈[0, 2π]. La suma de los elementos de Ap(x) es:

a) 8π3 b) 3π c) 4π

3 d) 4π e) 7π3

50. Resuelva la ecuación 2cos2(x) = sen(2x), siendo 0 ≤ x ≤ π.