Capitulo 4 Teoria General de La Flexion Analisis de Deformaciones
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Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
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Apuntes de la asignatura
Elasticidad y Resistencia de Materiales II
José María García Terán (PTEU)
Departamento de Construcciones Arquitectónicas, Ingeniería del Terreno, Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
Tema 4- Teoría general de la flexión.
Análisis de deformaciones.
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
2
Indice:
4.1.- Introducción. ..........................................................................................................................2
4.2.- Método de la doble integración. Ecuación de la línea elástica. .............................................3 4.2.1. Conceptos fundamentales..................................................................................................3 4.2.2. Ecuación de la deformada. ................................................................................................4 4.2.3. Ecuación universal de la deformada de una viga de rigidez constante. ............................5
4.3.- Teoremas de Mohr. ................................................................................................................8 4.3.1. Primer teorema de Mohr....................................................................................................8 4.3.2. Segundo teorema de Mohr. ...............................................................................................9
4.4.- Teorema de la viga conjugada..............................................................................................10
4.5.- Potencial interno de un prisma sometido a flexión simple. Sección reducida. ....................13
4.6.- Deformación por esfuerzo cortante......................................................................................14
4.7.- Método de Mohr para el cálculo de deformaciones. ............................................................15 4.7.1. Método de la multiplicación de gráficos. ........................................................................17
4.8.- Deformaciones a flexión de una viga por efecto de gradiente de temperatura. ...................18
4.9.- Flexión simple de vigas producida por impacto. .................................................................20
4.10.- Vigas de sección variable sometida a flexión simple...........................................................22 4.10.1.Vigas de igual resistencia................................................................................................23
4.10.1.1. Viga volada de altura constante y anchura variable, con carga puntual en el extremo libre. .........................................................................................................24
4.10.1.2. Viga en voladizo con altura variable y ancho constante, sometida a carga uniformemente repartida. .......................................................................................27
4.10.1.3. Viga en voladizo con altura variable y ancho constante, sometida a carga puntual en el extremo libre. ...................................................................................30
4.11.- Resortes de flexión...............................................................................................................33
4.1.- Introducción.
Mientras que el capítulo anterior estuvo dedicado al estudio de tensiones en flexión por lo tanto de la resistencia de las vigas, este capítulo se dedica al estudio de las deformaciones o rigidez. Este estudio es importante ya que el diseño de elementos de máquinas o estructuras viene en muchos casos determinado más por esta característica que por su resistencia. Por eso, en las normas de los países se fijan las deformaciones máximas o admisibles que pueden presentarse en distintos elementos.
Esto hace que en algunos casos se diseñe los sistemas mecánicos mediante criterios de rigidez (teniendo en cuenta las deformaciones admisibles), y posteriormente se compruebe su resistencia (que las tensiones máximas sean también inferiores a las admisibles).
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
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4.2.- Método de la doble integración. Ecuación de la línea elástica.
4.2.1. Conceptos fundamentales.
• Inicialmente se considerará un prisma recto de sección constante, y el estudio se realizará respecto de ejes principales de inercia que pasan por el centro de gravedad de la sección. Se considerará que las cargas se producen sobre algún eje principal de inercia.
• Se define como superficie neutra la generada por los ejes neutros de todas las secciones de la viga. Esta superficie varía de forma debido a la acción de las fuerzas exteriores, pero no varía de longitud, ya que no está sometida a tensión normal.
• La intersección de la superficie neutra con el plano de carga determina la deformada de la línea media del prisma, denominada línea elástica.
• Para estudiar la deformada de la pieza prismática se considerará la ecuación de la línea elástica referida al sistema cartesiano ortonormal principal de inercia, cuyo eje x coincide con la configuración indeformada y el eje y (principal de inercia) se considera vertical, con sentido positivo hacia arriba.
• Para el caso de cargas verticales, que será el único que se considerará en este tema, se supondrá despreciable el desplazamiento en la dirección longitudinal (x) frente al desplazamiento vertical (y).
Lo anterior indica que la deformación de la línea neutra de una sección C estará definida por las siguientes magnitudes:
• yc desplazamiento perpendicular al eje longitudinal. Positivo en el sentido positivo del eje, y negativo en el contrario.
• θc ángulo girado por la sección, coincidente con el ángulo de la tangente de la elástica con el eje x. Positivo en sentido antihorario.
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
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4.2.2. Ecuación de la deformada.
Para determinar la ecuación de la línea elástica se considera una rebanada de longitud ds, donde el ángulo que forman las secciones después de la deformación es dθ y el radio de curvatura de la línea media ρ.
La expresión de la curvatura de flexión para una trayectoria plana es,
( ) 232y1
y1
′+
′′=
ρ
donde:
dxd
dxydy
dxdyy 2
2 θθ ==′′==′
Recordando la expresión de la curvatura de flexión, obtenida a partir de tomar momentos en una rebanada,
z
z
z2
xF
Fz
IEM1
IEdyEdyM
MM
=⇒
=
−−=−=
=
∫∫∑
ρρ
Ωρ
ΩσΩΩ
se obtiene la expresión,
( )( ) 2
2
232z
z
z
z
232
dxydy
y1
yIE
M
IEM1
y1
y1
=′′≈′+
′′=⇒
=
′+
′′=
ρ
ρ
en la que para pequeñas deformaciones se desprecia el valor de 2y′ frente a la unidad del denominador, luego la ecuación diferencial de la deformada es,
z
z2
2
IEM
dxyd=
con el criterio de signos indicado en las figuras.
siendo el producto EIz la rigidez a flexión.
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
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x
P
a1
My
Tz
x
M
a1
My
Tz
Mediante una doble integración se obtiene la expresión de la deformada de la línea neutra y=y(x). En cada proceso de integración aparecerá una constante que se deberá determinar a partir de las condiciones de contorno.
( )
( ) o221z
z1
z
z
o11z
z
z
z2
2
y0xyCconCdxCdxIE
MyCdxIE
Mdxdyy
0xCconCdxIE
MyIE
Mdxd
dxydy
ydxdy
dxdy
dxd
dx
ydy
===+
+=⇒+==′
===+==′⇒==′
=′′⇒
=′=
==′′
∫ ∫∫
∫ θθθθ
θ
La máxima deformación de una viga (que algunos autores denominan flecha) puede aparecer en alguno de sus extremos volados o en un punto dentro del dominio de la viga.
Para la obtención del máximo valor de la deformada en un punto del dominio de la viga se ha de determinar la cota x en la que se anula el giro ( )0x =θ , y sustituir su valor en la ecuación de la deformada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0xyy0x0dx
xdyxyxy .max.max ==⇒=⇒==′=⇒ θθθ
4.2.3. Ecuación universal de la deformada de una viga de rigidez constante.
Si se considera el caso de una viga que tenga n campos de carga, es necesario obtener dos constantes de integración en cada uno de los campos. Para disminuir esta dificultad se busca una ecuación universal en la que independientemente del número de campos de carga que existan en la viga, sea preciso determinar sólo dos constantes de integración. Esto se logra con las funciones de discontinuidad o de Macaulay.
Las expresiones de giro y flecha correspondiente a cada una de las distintas cargas son:
Momento puntual:
( )
21z
1z
01y
ax2MyEI
axMEI
MaxMxM
>−<−=
>−<−=
−=>−<−=
θ
Carga puntual:
( )
31z
21z
1y
ax!3
PyEI
ax!2
PEI
axPxM
>−<−=
>−<−=
>−<−=
θ
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
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x
q
a1 a2
My
Tz
x
q
a1 a2
My
Tz
x
q
a1 a2
My
Tz
x
q1
a1 a2
My
Tz
q2
Carga uniforme:
( )
>−<−
>−<−=
>−<−
>−<−=
>−<−
>−<−=
!4ax
!4axqyEI
!3ax
!3axqEI
2ax
2axqxM
42
41
z
32
31
z
22
21
y
θ
Carga triangular creciente:
( )
!4axq
!5ax
!5ax
aaqyEI
!3axq
!4ax
!4ax
aaqEI
2axq
!3ax
!3ax
aaqxM
42
52
51
12z
32
42
41
12z
22
32
31
12y
>−<+
>−<−
>−<−
−=
>−<+
>−<−
>−<−
−=
>−<+
>−<−
>−<−
−=
θ
A partir del análisis de estas cargas simples se pueden determinar el giro y la deformada para cargas más complejas a partir de su superposición.
Carga triangular decreciente:
( )
>−<−
>−<−
+>−<
−=
>−<−
>−<−
+>−<
−=
>−<−
>−<−
+>−<
−=
!5ax
!5ax
aaq
!4axqyEI
!4ax
!4ax
aaq
!3axqEI
!3ax
!3ax
aaq
2axqxM
52
51
12
41
z
42
41
12
31
z
32
31
12
21
y
θ
Carga trapecial creciente:
( )
!4ax
q!5ax
!5ax
aaqq
!4ax
qyEI
!3ax
q!4ax
!4ax
aaqq
!3ax
qEI
2ax
q!3ax
!3ax
aaqq
2ax
qxM
42
2
52
51
12
124
11z
32
2
42
41
12
123
11z
22
2
32
31
12
122
11y
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
θ
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
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x
q1
a1 a2
My
Tz
q2
Carga trapecial decreciente:
( )
!4ax
q!5
ax!5ax
aaqq
!4ax
qyEI
!3ax
q!4
ax!4ax
aaqq
!3ax
qEI
2ax
q!3ax
!3ax
aaqq
2ax
qxM
42
2
52
51
12
124
11z
32
2
42
41
12
123
11z
22
2
32
31
12
122
11y
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
θ
El estado de carga trapecial creciente permite obtener cualquier otro estado de carga repartida sin más que modificar sus parámetros:
Carga uniforme: q1 = q2 = q
( ) ( )
>−<+
>−<−=
>−<+
>−<−=
>−<+
>−<−=
⇒
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
!4ax
q!4ax
qyEI
!3ax
q!3ax
qEI
2ax
q2ax
qxM
!4ax
q!5ax
!5ax
aaqq
!4ax
qyEI
!3ax
q!4ax
!4ax
aaqq
!3ax
qEI
2ax
q6ax
6ax
aaqq
2ax
qxM
42
41
z
32
31
z
22
21
y
42
2
52
51
12
124
11z
32
2
32
41
12
123
11z
22
2
32
31
12
122
11y
θθ
Carga triangular creciente: q1 = 0, q2 = q
( ) ( )
>−<+
>−<−
>−<−
−=
>−<+
>−<−
>−<−
−=
>−<+
>−<−
>−<−
−=
⇒
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
!4ax
q!5ax
!5ax
aaq
yEI
!3ax
q!4ax
!4ax
aaq
EI
2ax
q6ax
6ax
aaqxM
!4ax
q!5ax
!5ax
aaqq
!4ax
qyEI
!3ax
q!4ax
!4ax
aaqq
!3ax
qEI
2ax
q6ax
6ax
aaqq
2ax
qxM
42
52
51
12
2z
32
32
41
12
2z
22
32
31
12y
42
2
52
51
12
124
11z
32
2
32
41
12
123
11z
22
2
32
31
12
122
11y
θθ
Carga triangular decreciente: q1 = q, q2 = 0
( ) ( )
>−<−
>−<−
+>−<
−=
>−<−
>−<−
+>−<
−=
>−<−
>−<−
+>−<
−=
⇒
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
>−<+
>−<−
>−<−−
−>−<
−=
!5ax
!5ax
aaq
!4ax
qyEI
!4ax
!4ax
aaq
!3ax
qEI
6ax
6ax
aaq
2ax
qxM
!4ax
q!5ax
!5ax
aaqq
!4ax
qyEI
!3ax
q!4ax
!4ax
aaqq
!3ax
qEI
2ax
q6ax
6ax
aaqq
2ax
qxM
52
51
12
14
1z
32
41
12
13
1z
32
31
12
21
y
42
2
52
51
12
124
11z
32
2
32
41
12
123
11z
22
2
32
31
12
122
11y
θθ
Con estas expresiones, tomando el parámetro x a partir de la sección izquierda de la viga, las constantes de integración corresponden al giro (θo) y flecha (yo) en el origen, por ello, las expresiones de los giros y deformada de una viga se puede expresar mediante,
[ ]
∑
∑∑
=
==
>−<+
>−<−
>−<
−
−−
>−<−+
+
>−<−+>−<+=
repartidas
1i
32
2
32
41
12
123
11
puntuales
1i
21
imomentos
1i1iozz
!3ax
q!4
ax!4
axaaqq
!3ax
q
ax!2
PaxMIEIE
i
i
ii
ii
iii
i
ii
θθ
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
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∑
∑∑
=
==
>−<+
>−<−
>−<
−
−−
>−<−+
+
>−<−+
>−<++=
repartidas
1i
42
2
52
51
12
124
11
puntuales
1i
31
imomentos
1i
21
iozozz
!4ax
q!5
ax!5
axaaqq
!4ax
q
ax!3
Pax2
MxIEyIEyIE
i
i
ii
ii
iii
i
ii
θ
4.3.- Teoremas de Mohr.
En numerosos casos no es necesario hacer el cálculo de la elástica, ya que sólo se requiere conocer el desplazamiento del centro de gravedad o el giro de una determinada sección. Para estos casos y en los que la sección transversal de la viga es variable se aplican los teoremas de Mohr.
4.3.1. Primer teorema de Mohr.
A partir de la ecuación diferencial de la deformada a flexión,
z
z2
2
EIM
dxd
dxyd
==θ
se puede obtener el ángulo que forman dos secciones infinitamente próximas entre sí,
dxEIMd
z
z=θ
Esto indica que el ángulo entre dos secciones viene dado por el área del gráfico de momentos flectores ( dxM z ) dividida entre la rigidez a flexión.
El ángulo que forma las tangentes a la elástica en dos puntos de abcisas xC y xD viene dado por la integral de la expresión anterior,
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
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∫=D
C
x
x z
zCD dx
EIMθ
Expresión correspondiente al primer teorema de Mohr, que indica que el ángulo formado por las tangentes trazadas por dos puntos de la elástica de una viga, es igual al área del diagrama de momentos flectores delimitada por la vertical en dichos puntos, partido por la rigidez a flexión EIz.
4.3.2. Segundo teorema de Mohr.
Las tangentes por dos puntos de la elástica infinitamente próximos entre sí N y N’ cortan a la vertical trazada por un punto arbitrario C en P y P’, respectivamente. La longitud del segmento PP’ se puede obtener mediante,
( ) θdxxdv'PP c−==
Desarrollando a partir del primer teorema de Mohr se tiene,
( )( ) dx
EIMxxdv
dxxdv'PP
dxEIMd
z
zc
c
z
z−=⇒
−==
=
θ
θ
lo que corresponde al momento estático del área del gráfico de momentos de la rebanada respecto del punto C, dividido por la rigidez a flexión EIz.
Si se denomina δCD la distancia desde el punto C hasta la intersección D’ de la tangente de la elástica por el punto D con la vertical por C, se tiene,
( )∫∫ −==D
C
D
C
x
x z
zc
x
xCD dx
EIMxxdvδ
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
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Por lo que el segundo teorema de Mohr se puede enunciar diciendo que el segmento sobre la vertical de un punto de la elástica de la viga C, determinado por la distancia entre los puntos C (de la elástica) y D’ (correspondiente a la intersección de la tangente a la elástica por D con la vertical por C), es igual al momento estático del área del diagrama de momentos entre las cotas C y D respecto del punto C, partido por la rigidez de la viga.
4.4.- Teorema de la viga conjugada.
Dada una viga con un estado de cargas, se denomina viga conjugada de ésta a una viga ficticia de la misma longitud y material, cuya vinculación se analizará más adelante. Esta viga conjugada está cargada con un estado de cargas repartidas ficticias que se corresponden con el momento flector de la viga inicial dividido por su rigidez a flexión (EIz).
Criterio de signos.
Se considerará que cuando el momento flector de la viga inicial es positivo (Mz > 0) el estado de cargas de la viga conjugada es vertical y hacia arriba ( 0q < ), mientras que cuando el momento flector de la viga inicial es negativo (Mz < 0) el estado de cargas de la viga conjugada es vertical y hacia abajo ( 0q > ).
En la viga inicial existen una serie de relaciones entre su carga repartida (q), el esfuerzo cortante (Ty) y el momento flector (Mz), que son:
2z
2y
zy
y
dxMd
dxdT
q
dxdMT
dxdT
q==−⇒
=
−=
Al mismo tiempo existen relaciones entre momento flector (Mz), y el giro (θ) y deformada (y) que son,
z
z2
2
z
z2
2
2
2
EIM
dxd
dxyd
EIM
dxyd
dxd
dx'dy
dxdy
dxd
dxyd''y
dxdy'y
==⇒
=
==
==
==
θθ
θ
Si consideramos ahora la viga conjugada de una viga inicial, cargada con una carga repartida ficticia ( q ) coincidente con el momento flector de la viga inicial partido por su rigidez, y con el criterio de signos anteriormente indicado, tendremos,
z
zEIMq −=
Se distinguirán las características de la viga conjugada mediante una raya alta sobre el símbolo correspondiente (-).
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
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Las relaciones entre esta carga ficticia ( q ) con el esfuerzo cortante ( yT ) y momento flector ( zM ) de la viga conjugada serán los siguientes:
2z
2y
zy
y
dx
MddxTd
q
dxMdT
dxTd
q−=−=⇒
=
−=
pero al mismo tiempo, la carga repartida ficticia de la viga conjugada se puede relacionar con el giro de la viga inicial mediante,
dxdq
dxd
EIM
EIMq
z
z
z
zθ
θ−=⇒
=
−=
luego,
θθθ
=⇒−=−=⇒
−=
−=y
yy
Tdxd
dxTd
q
dxdq
dxTd
q
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
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lo cual nos indica que la magnitud del esfuerzo cortante en una sección de la viga conjugada ( yT ) coincide con el valor del giro de dicha sección de la viga inicial (θ).
De la misma forma podemos poner,
yMdx
yddx
Mdq
dxyd
dxd
EIMq
dxMdq
z2
2
2z
2
2
2
z
z
2z
2
=⇒−=−=⇒
−=−=−=
−=
θ
lo cual nos indica que la magnitud del momento flector en una sección de la viga conjugada ( zM ) coincide con el valor de la deformada de dicha sección de la viga inicial (y).
Se demuestra así la relación directa entre el esfuerzo cortante ( yT ) y el momento flector ( zM ) de la viga conjugada con el giro (θ) y la flecha (y) de la viga inicia.
A partir de las relaciones entre cortante de la viga conjugada, momento de la viga conjugada, giro de la viga inicial y flecha de la viga inicial,
yMT zy ==θ
A partir de esta similitud, se pueden determinar las transformadas de los distintos vínculos de la viga inicial a los correspondientes de la viga conjugada. Estas transformaciones se reflejan en la siguiente tabla:
Lo cual da lugar a las siguientes transformaciones
Apoyo articulado extremo ⇔ Apoyo articulado extremo
Apoyo articulado intermedio ⇔ Rótula intermedia
Empotramiento ⇔ Extremo libre
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
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Para casos de vigas con inercia y material constantes, se puede considerar la carga ficticia de la viga conjugada únicamente mediante los momentos flectores de la viga inicial, y al resultado dividirle por la rigidez a flexión.
La aplicación de la viga conjugada adquiere importancia en el estudio de comportamiento de vigas sometidas a flexión de inercia variable.
4.5.- Potencial interno de un prisma sometido a flexión simple. Sección reducida.
La expresión del potencial interno del entorno de un punto de un prisma sometido a flexión simple viene dado por,
( ) dzdydxG21dzdydx
E21dW 22 τσ +−=
Mientras que el de una rebanada de ese prisma se obtiene por integración,
( ) ∫∫ +−=ΩΩ
τσ dzdyG2
dxdzdyE2
dxdW 22
Sustituyendo la tensión normal y tangencial por las expresiones correspondientes a la ley de Navier y la fórmula de Colignon respectivamente, se obtiene,
( )
∫∫
∫∫
+
=⇒
+−=
=
−=
ΩΩ
ΩΩ
τσ
τ
σ
dzdyIbmT
G2dxdzdyy
IM
E2dxdW
dzdyG2
dxdzdyE2
dxdW
IbmT
yI
M
2
z
zy2
z
z
22
z
zy
z
z
Expresión que desarrollando es,
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
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∫∫
+=
ΩΩ
Ω dybb
mGI2
dxTdy
EI2dxMdW
2z
2z
2y2
2z
2z
la integral del primer sumando corresponde al momento de inercia respecto de la línea neutra, mientras que en el segundo sumando considerando,
∫
=
ΩΩ
dybb
mI11 2
z2zy1
la expresión del potencial se puede poner,
dxG2
Tdx
EI2MdW
y1
2y
z
2z
Ω+=
donde al término y1Ω se le denomina sección reducida.
Según esto, el potencial interno de una rebanada sometida a flexión simple viene determinada por dos términos. El primero asociado al efecto del momento flector, mientras que el segundo está producido por el esfuerzo cortante. Esta expresión es la que se utiliza para determinar la deformación por esfuerzo cortante.
4.6.- Deformación por esfuerzo cortante.
Hasta ahora la influencia de la deformación producida por el esfuerzo cortante se ha considerado despreciable, pero para el caso de vigas que tienen pequeña longitud respecto del canto de la sección, puede ser importante.
Para la determinación del desplazamiento vertical (dv) debido al esfuerzo cortante (Ty) se utiliza el teorema de Castigliano, a partir de derivar el potencial interno (dW) respecto de dicho esfuerzo,
( )
dxG
Tdv
dxG2
Tdx
EI2MdW
dTdWddv
y1
y
y1
2y
z
2z
y
ΩΩ
=⇒
+=
=
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
15
y dado que el desplazamiento vertical (dv) se puede poner en función de la deformación angular (γ) su expresión es,
y1
yy1
y
G
T
dxdv
dxG
Tdv
Ωγ
γ
Ω =⇒
=
=
Por lo tanto la deformación debido al efecto del esfuerzo cortante, teniendo en cuenta la relación entre esfuerzo cortante y momento flector viene dada por,
( ) ( )[ ]0MxMG
1dMG
1
G
dMy
dxdMT
dxG
Tdvy
zzy1
x
0z
y1
x
0 y1
z
zy
x
0 y1
yx
0 −−=−=−=⇒
=
−=−=
∫∫∫∫
ΩΩΩΩ
En general, esta deformación producida por el esfuerzo cortante se considera despreciable frente a la correspondiente al momento flector.
4.7.- Método de Mohr para el cálculo de deformaciones.
Otro método distinto para el cálculo de deformaciones a flexión basado en consideraciones energéticas es el denominado método de Mohr.
Si se supone una viga cargada a flexión simple en la que deseamos determinar la deformación producida en una sección C, tal como muestra la figura.
El método se basa en desarrollar los siguientes pasos:
• Se considera una carga puntual ficticia (Φ) situada en la sección (C) donde queremos calcular la deformación en dirección del desplazamiento.
• Se determina el potencial interno de la viga sometida a las acciones de las cargas reales más la carga ficticia.
• El desplazamiento de la sección se calcula aplicando el teorema de Castigliano, particularizando el resultado para el caso de carga ficticia nula
0C d
dW
=
=
ΦΦδ
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
16
• Aplicando el principio de superposición, el momento flector y el esfuerzo cortante en cada una de las secciones de la viga sometida a la carga real más la ficticia, es la suma del momento flector y esfuerzo cortante, respectivamente, debidos a la carga real de la viga, más el momento flector y el esfuerzo cortante debidos a la carga ficticia.
• Por el principio de linealidad, el momento flector y el esfuerzo cortante de la carga ficticia es igual al momento flector y el esfuerzo cortante de una carga unidad (Mz1, Ty1) aplicada en el mismo punto de la carga ficticia (C) con su misma dirección y sentido, multiplicados por la magnitud de la carga ficticia (Φ). Por ello las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes en la viga con carga real y ficticia son, respectivamente
1yyoy1zzoz TTTMMM ΦΦ +=+=
donde:
Mzo – momentos flectores de la viga sometida a la carga real.
Tzo – esfuerzos cortantes de la viga sometida a la carga real.
Mz1 – momentos flectores de la viga sometida a la carga unitaria.
Tz1 – esfuerzos cortantes de la viga sometida a la carga unitaria.
• El potencial interno de la viga vendrá dado entonces por,
( ) ( )∫∫
∫∫+
++
=⇒
+=+=
+=l
0 y1
21yyo
l
0 z
21zzo
1yyoy
1zzoz
l
0 y1
2y
l
0 z
2z
dxG2
TTdx
EI2
MMdWTTT
MMM
dxG2
Tdx
EI2
MdW
Ω
ΦΦ
ΦΦ
Ω
• Por lo que, para obtener el desplazamiento vertical aplicando el teorema de Castigliano se tiene,
( ) ( )
+=
=
++
+=
⇒
=
∫∫
∫∫
=
= l
0 y1
1yyol
0 z
1zzo
0C
l
0 y1
1y1yyol
0 z
1z1zzo
0C
dxG
TTdx
EIMM
ddW
dxG2
TTT2dx
EI2MMM2
ddW
ddW
ΩΦδ
Ω
ΦΦΦ
Φδ
Φ
Φ
Expresión en la que, si se desprecia el efecto del esfuerzo cortante, se tiene,
∫=
=
=
l
0 z
1zzo
0C dx
EIMM
ddW
ΦΦδ
• El movimiento final obtenido dependerá de la carga ficticia que se considere, de forma que para cargas transversales se obtendrán desplazamientos transversales (deformaciones), para cargas longitudinales se obtendrán desplazamientos longitudinales (alargamientos), y para momentos puntuales, giros.
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
17
4.7.1. Método de la multiplicación de gráficos.
El desarrollo de la aplicación del método de Mohr lleva a tener que calcular integrales del tipo,
∫=
=
=
l
0 z
1zzo
0C dx
EIMM
ddW
ΦΦδ
en la que aparece el producto de dos funciones (Mzo y Mz1) que dependen de la variable x.
Dado que los momentos flectores debidos a cargas unitarias tienen variación lineal, existe un método denominado método de multiplicación de gráficos que permiten determinar los valores de las integrales asociadas al método de Mohr sin desarrollarlas.
Si se quiere calcular la integral del producto de dos funciones (Fo(x) y F1(x)), de las cuales la segunda es lineal en el dominio l,
( ) ( )∫=l
01o dxxFxFI
al ser F1(x) lineal se puede indicar que es del tipo,
( ) baxxF1 +=
luego la integral a determinar es,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +=+==l
0o
l
0o
l
0o
l
01o dxxFbdxxxFadxbaxxFdxxFxFI
La primera corresponde al momento estático de la función Fo(x) respecto al eje y, mientras que la segunda es el área del diagrama de la función Fo(x). Si se denomina oΩ el área bajo la función Fo(x) y xG la posición de su centro de gravedad, la integral anterior se obtiene de,
( ) ( )
( )
( )
( )bxabxaI
xdxxxF
dxxF
dxxFbdxxxFaI
GooGo
Go
l
0o
o
l
0o
l
0o
l
0o
+=+=⇒
=
=
+=
∫
∫
∫∫
ΩΩΩ
Ω
Ω
y sacando factor común al área oΩ bajo la función Fo(x) se tiene,
( )( ) ( )G1o
GG1
Go xFIbaxxF
bxaIΩ
Ω=⇒
+=+=
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
18
Es decir, el valor de la integral buscada se obtiene de multiplicar el área oΩ bajo la función Fo(x) por el valor de la función lineal F1(x) aplicada al centro de gravedad de la función Fo(x). Para que la integral tenga el signo correcto, habrá que tener en cuenta los signos de las dos funciones (Fo(x) y F1(x)), de forma que si el signo de la integral es positivo, indica que el sentido del movimiento de la sección buscada coincide con el de la solicitación unitaria aplicada, y si es negativo será el contrario.
4.8.- Deformaciones a flexión de una viga por efecto de gradiente de temperatura.
Si a un prisma mecánico se le somete a una variación térmica uniforme, todas las fibras de sus secciones tienden a aumentar o disminuir su longitud en una magnitud constante, de forma que se produce una variación de la longitud del prisma (∆l) que viene dada por,
tll ∆α∆ =
donde,
α – coeficiente de dilatación lineal,
l – longitud del prisma,
∆t – variación de la temperatura.
Si se considera una viga con apoyos articulados en los extremos, de sección rectangular constante, y con temperatura inicial to, en la que actúa un gradiente térmico constante a lo largo de su canto, de forma que las temperaturas de la cara superior (t1) e inferior (t2) de las secciones de la viga sean distintas y su variación lineal, los alargamientos longitudinales de las fibras pertenecientes a una sección son también distintos, lo que hace que la línea media de la viga se curve.
El efecto producido en las fibras de una rebanada de la viga indicada por el gradiente de temperatura, corresponde a un alargamiento de magnitud,
( )om ttll −=α∆
donde tm es la temperatura media entre las correspondientes a las parte superior e inferior de la sección,
2ttt 21
m−
=
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
19
seguido de un giro semejante al que produciría un momento flector actuando en los extremos del elemento.
Para obtener la ecuación diferencial de la elástica en este caso se determina el ángulo girado por la línea media de la rebanada,
( )[ ] ( )[ ] ( )dxh
tth
dxtt1dxtt1d 210201 −=
−+−−+=
αααθ
luego,
( )( )
htt
dxyd
dxyd
dxd
dxdy
htt
dxd
212
2
2
2
21−
=⇒
=⇒=
−=
αθθ
αθ
Ecuación diferencial a partir de la cual se obtiene la elástica de la viga por un proceso de doble integración.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) o22121
121
o112121
2
2
y0xyCconCdxCdxh
ttyCdxh
ttdxdyy
0xCconCdxh
ttyh
ttdxd
dxyd
dxyd
===+
+
−=⇒+
−==′
===+−
==′⇒−
==′
=
∫ ∫∫
∫αα
θθαθαθ
En el caso de una viga en la que exista estado de cargas y gradiente de temperatura, para la obtención de su deformada se utilizaría el principio de superposición,
( )z
z212
2
EIM
htt
dxyd
+−
=α
Para la aplicación de los teoremas de Mohr o de la viga conjugada, se sustituirá en las
expresiones correspondientes el momento flector partido por la rigidez de la viga (z
zEIM ) por el
segundo término de la ecuación diferencial anterior.
Otra forma de plantear el problema es a partir de obtener el momento flector equivalente que actúa en la sección debido al gradiente de temperatura (Mz equiv.), y aplicarlo en los cálculos
( ) ( )z
21.equivz
z
.equivz21 EIh
ttMEI
Mh
tt −=⇒=
− αα
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
20
4.9.- Flexión simple de vigas producida por impacto.
Hasta ahora se han considerado únicamente cargas estáticas (que se aplican de forma lenta y progresiva) actuando sobre una viga para el cálculo de su deformación. Se va a analizar ahora la flexión que se produce en una viga cuando un cuerpo de masa M impacta contra ella.
El impacto a analizar produce una deformación en el cuerpo elástico por transformación de la energía cinética de la masa impactante en energía de deformación en el prisma elástico, por lo que el estudio se realizará mediante planteamientos energéticos. Para el estudio se considerarán las siguientes hipótesis:
• El sistema es conservativo.
• La masa que impacta con la viga permanecerá unida a ellla durante su deformación.
• No se tienen en cuenta efectos de rebote.
• Se considerará el principio de rigidez relativa (deformaciones pequeñas) por lo que no se tendrán en cuenta variaciones del sólido elástico respecto de su configuración indeformada.
• Se va a calcular la deformación máxima de la viga (δ) que aparece al final del desplazamiento en su primera oscilación (instante en que la velocidad del sistema masa impactante-viga es nulo), para a partir de ella obtener la carga elástica equivalente, que se corresponde con la que actuando sobre la viga en equilibrio elástico produciría la misma energía de deformación que la masa impactante.
• Después de producida la deformación máxima, aparece un periodo transitorio en el que el prisma vibrará hasta que pierde energía y alcanza el equilibrio estático, periodo que no se analiza.
El análisis se realiza a partir del principio de conservación de la energía del sistema masa impactante-viga, planteado entre los instantes inicial 1 (en que la masa cae sobre la viga) y final 2 (en que el sistema masa impactante-viga alcanzan conjuntamente su máxima deformación),
21 EE =
donde,
2peb2pgb2pgM2
1peb1cb1pgb1cM1pgM1
EEEE
EEEEEE
++=
++++=
1
2
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
21
siendo,
EpgM1 – Energía potencial gravitatoria de la masa M en el instante 1.
EcM1 – Energía cinética de la masa M en el instante 1.
Epgb1 – Energía potencial gravitatoria de la barra en el instante 1.
EcM1 – Energía cinética de la barra en el instante 1.
Epeb1 – Energía potencial elástica de la barra en el instante 1.
EpgM2 – Energía potencial gravitatoria de la masa M en el instante 2.
Epgb2 – Energía potencial gravitatoria de la barra en el instante 2.
Epgb2 – Energía potencial elástica de la barra en el instante 2.
Sustituyendo cada uno de los términos por su expresión correspondiente y haciendo las siguientes consideraciones: cota de potencial nulo la configuración indeformada de la viga (Epgb1 = 0), la viga está inicialmente descargada (Epeb1 = 0) en el instante de impacto y despreciando la variación de posición del centro de gravedad de la viga en su configuración deformada (Epgb2 = 0), tenemos,
22b
2M
22peb
2pgb
2pgM
1peb
2b1cb
1pgb
2M1cM
1pgM
k21MgMv
21Mv
21Mgh
k21E
0E
MgE
0E
Mv21E
0E
Mv21E
MghE
δδ
δ
δ
+−=++⇒
=
=
−=
=
=
=
=
=
donde k es la constante elástica de proporcionalidad de la viga, correspondiente a la relación elástica entre la fuerza realizada y el desplazamiento generado. Esta constante dependerá de la posición en la que impacta la masa sobre la barra, de sus vínculos, del material de la viga y de sus dimensiones.
Para el caso de la figura, correspondiente a una barra biarticulada en los extremos en la que el impacto se produce en su punto medio, la constante elástica de proporcionalidad de la barra (k) correspondiente a la deformada producida en este punto por una carga puntual P viene dada por,
3z
3z
z
3
lEI48k
lEI48P
EI48Pl
=⇒=⇒= δδ
Considerando el caso concreto en que tanto la masa móvil (M) como la viga tienen velocidad nula en el instante inicial (1), la expresión de la conservación de la energía es,
23
z
lEI48
21MgMgh δδ +−=
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
22
A partir de la cual se obtiene el desplazamiento de la viga (δ) en el punto de impacto
z
3z
233332
z EI48
hMglEI96MglMgl0MghllMgEI24
+
+
=⇒=−− δδδ
Determinado el valor del desplazamiento (δ) se puede obtener la carga puntual elástica equivalente (Pe equiv.) que produciría esa deformación en la viga,
( )( )
( )3
3z
233
z
3z
233
3z
.equive
z
3z
233
3z
.equive
l
hMglEI96MglMgl
EI48hMglEI96MglMgl
lEI48P
EI48hMglEI96MglMgl
lEI48P
++=
=++
=⇒
++=
=
δ
δ
De los resultados calculados se pueden obtener las siguientes conclusiones:
• La carga elástica equivalente es siempre superior al peso de la masa impactante (Mg).
• Si la masa impactante se aplica a la viga desde una altura nula (h=0), pero con un procedimiento no estático (que no sea de forma lenta y progresiva), la carga equivalente sería el doble del peso de la masa.
Mg2l
MglMglP
0hl
hMglEI96MglMglP 3
233
.equive3
3z
233
.equive =
+
=⇒
=
+
+
=
• El desplazamiento determinado es el máximo posible ya que no se han tenido en cuenta ningún tipo de pérdidas energéticas.
4.10.- Vigas de sección variable sometida a flexión simple.
Hasta ahora se ha considerado la deformación en vigas de sección constante. Sin embargo existen innumerables casos en la práctica en los que la viga a analizar es de sección variable, ya sea por condicionamientos económicos o constructivos. Para el análisis de vigas de inercia variable se admiten todas las hipótesis consideradas en el estudio de flexión de vigas con sección constante.
Ejemplos de viga de inercia variable son las denominadas vigas de igual resistencia a flexión, que se van a utilizar para indicar los procesos de cálculo.
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
23
4.10.1. Vigas de igual resistencia.
Son aquellas en la que la tensión máxima que aparece en todas las secciones adquiere una magnitud constante. Teniendo en cuenta la expresión asociada a las tensiones normales, esta condición se puede indicar mediante,
cteWM
z
z.max ==σ
Para la determinación de la flecha en una viga de inercia variable se pueden utilizar dos métodos:
1- Ecuación universal de la deformada.
A partir de las ecuaciones universales de asociadas al giro y la deformada de la viga, se introduce un giro ( ioθ ) y una flecha ( ioy ) en el origen de cada uno de los distintos campos de inercia (i) que posea.
[ ]
∑
∑∑
=
==
>−<+
>−<−
>−<
−
−−
>−<−+
+
>−<−+>−<+=
repartidas
1i
32
2
32
41
12
123
11
puntuales
1i
21
imomentos
1i1ioziz
!3ax
q!4
ax!4
axaaqq
!3ax
q
ax!2
PaxMIEIE
i
i
ii
ii
iii
i
iiiiiθθ
∑
∑∑
=
==
>−<+
>−<−
>−<
−
−−
>−<−+
+
>−<−+
>−<++=
repartidas
1i
42
2
52
51
12
124
11
puntuales
1i
31
imomentos
1i
21
iozoziz
!4ax
q!5
ax!5
axaaqq
!4ax
q
ax!3
Pax2
MxIEyIEyIE
i
i
ii
ii
iii
i
iiiiiiiθ
donde izI corresponde al momento de inercia existente en la cota x de estudio.
Este procedimiento genera dos constantes de integración para cada campo de inercia de la viga, por lo que aumenta el número de incógnitas a terminar.
Para su resolución se han de introducir nuevas condiciones de contorno, que corresponden a la compatibilidad (igualdad) del giro y flecha existentes en la sección de cambio de inercia, teniendo en cuenta cada una de las dos inercias que la afectan.
2- Método de la viga conjugada.
Se carga la viga conjugada de la inicial con el momento flector dividido por la rigidez de la viga en cada sección.
Se aplicarán estos métodos a algunos casos de viga de igual resistencia:
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
24
4.10.1.1. Viga volada de altura constante y anchura variable, con carga puntual en el extremo libre.
Se va a considerar la viga de inercia variable de sección rectangular mostrada en la figura. Se va a determinar en principio su geometría para posteriormente calcular su deformación.
Si se denomina bx la anchura variable con la posición, y h la altura constante, el momento resistente de cualquier sección de la viga es,
6hb
2h
hb121
yIW
2x
3x
.max
zz ===
tomando origen del parámetro longitudinal (x) a partir del extremo libre de la viga, el momento flector es,
Px0xPM z −=−−=
luego la tensión normal máxima de cualquier sección viene dada por,
2x
2xz
zx
hbPx6
6hb
PxWM
==−=σ
Si queremos que esa tensión sea igual a la tensión admisible del material, el ancho de la sección ha de ser,
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
25
[ ][ ]σ
σσ2x2
xx
h
Px6bhb
Px6=⇒==
por lo que el ancho de fibra de la sección rectangular de la viga varía linealmente.
Atendiendo a la expresión obtenida, en la sección correspondiente al extremo libre de la viga (x = 0), la anchura de la fibra necesaria es nula (bx = 0). Esto ocurre porque el momento flector en dicha sección es nulo, pero el esfuerzo cortante no lo es, por lo que debe de existir material para soportarlo. Para definir la anchura de la fibra necesaria para soportar el esfuerzo cortante, se tiene en cuenta la tensión tangencial máxima que actúan en la fibra central de la sección. Para el caso de una sección rectangular, se analizó el valor de la tensión tangencial máxima, luego la anchura de la fibra necesaria para que la tensión tangencial no supere su valor admisible es,
[ ][ ] [ ]τττ
ττ
τ
h2P3b
hb2P3PT
bh2T3
oo
.max
.max
.max
=⇒==⇒
==
=
que corresponde a una anchura constante.
La longitud del dominio (xo) en que la anchura de la viga es constante (bo) se obtiene igualando las expresiones correspondientes a las anchuras necesarias para soportar la tensión normal y tangencial máximas,
[ ]
[ ][ ] [ ]
[ ][ ]τσ
τστ
σ4hx
h2P3
h
Px6
h2P3b
h
Px6b
o2o
2x
=⇒=⇒
=
=
Una vez determinadas las características geométricas de la viga de igual resistencia, se va a calcular la deformación (giro y flecha) a partir de distintos métodos:
Primer y segundo teorema de Mohr.
Despreciando el efecto del dominio de sección constante, el giro y la deformada máximas de la viga se pueden obtener de forma muy sencilla a partir del primero y segundo teorema de Mohr,
( )
( ) [ ]
[ ] [ ] [ ]
( )
( ) [ ]
[ ] [ ] [ ] 2L
0
2L
0
L
03
2
L
0 z
zo
L
0 z
zo
L0
L
0
L
03
2
o
L
0 z
zo
LEh2
xEh
2xdxEh
2xdxh
h
Px6121E
PxxdxEIMy
0Lxy
xdxEIMyLxy
LEh
2xEh
2dxEh
2dxh
h
Px6121E
Px
0Lx
dxEIMLx
σσσ
σ
σσσ
σ
θ
θ
θθ
−=−=−=−
==⇒
==
−==
===−
−=⇒
==
+==
∫∫∫∫
∫∫∫
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
26
Viga conjugada.
Se carga ahora la viga conjugada de la inicial con la gráfica de momentos flectores partido por la rigidez,
[ ][ ] [ ]
[ ]Eh
2
x2PhE
PxEIM
x2PhI
h
Px6b
hb121I
EIM
q
z
z
z
2x
3xz
z
zc
σ
σσσ
−=−=⇒
=⇒
=
=
=
P
L
Px/EIz(x)
L
PL -
Viga conjugada
L
x x
bx
M)
-
M/EIz)
Como ya sabemos, el esfuerzo cortante (Tcy) y momento flector (Mc
z) de la viga conjugada coinciden con el giro y flecha de la viga inicial, respectivamente. Para la obtención de los valores máximos calculamos el esfuerzo cortante y el momento flector en el empotramiento de la viga conjugada.
[ ]
[ ] [ ] 2A
cA
AcA
LEh2
LLEh
2yM
LEh
2T
σσ
σθ
−=−==
==
Ecuación de la elástica.
Otro método sería el uso de la ecuación universal de la elástica,
[ ][ ]
[ ]
[ ] [ ] xEh
2Eh
2
hh
Px6121E
Pxdxd
hh
Px6121I
h
Px6b
hb121I
EIPx
dxd
PxMEIM
dxd
o323
2z
2x
3xz
z
z
z
z
z
σθθσ
σ
θ
σσ
θθ
−=⇒−=−
=⇒
=⇒
=
=
−=⇒
−=
=
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
27
[ ][ ]
−+=⇒
−=
=
2x
Eh2xyy
xEh
2dxdy
2
oo
o
σθσθθ
θ
ecuaciones en las que aplicando las condiciones de contorno se tiene,
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] 2o
2
o
oo
LEh
y2L
Eh2LL
Eh2y0yLx
LEh
2LEh
20Lx
σσσ
σθσθθ
−=⇒
−+==⇒=
=⇒−==⇒=
4.10.1.2. Viga en voladizo con altura variable y ancho constante, sometida a carga uniformemente repartida.
Nuevamente, se determina inicialmente la geometría. Si se denomina hx la altura variable de la sección rectangular con la posición (x), y b la anchura constante, el momento resistente es,
6bh
2h
bh121
yIW
2x
x
3x
.max
zz ===
siendo el momento flector,
2Px
!2lx
!20x
pM222
z −=
−−
−−=
luego la tensión normal máxima en cualquier sección es,
2x
2
2x
2
z
zx
bh
px3
6bh
2px
WM
==−=σ
Si queremos que esa tensión sea igual a la admisible, la altura necesaria de la sección ha de ser,
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
28
[ ] [ ] [ ] xb
p3bpx3h
bh
px3 21
21
2
x2x
2
=
=⇒=
σσσ
por lo que la altura de la viga varía linealmente con el parámetro longitudinal (x).
En la sección correspondiente al extremo libre de la viga, tanto el momento flector como el esfuerzo cortante son nulos, por lo que la altura necesaria en el extremo también lo es.
Una vez determinadas las características geométricas de la viga de igual resistencia, se va a calcular la deformación (giro y flecha) a partir de distintos métodos:
Primer y segundo teorema de Mohr.
El giro y la flecha máximos de la viga se pueden obtener a partir del primer y segundo teorema de Mohr, respectivamente,
( )
( )[ ] [ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
( )
( )[ ] [ ]
[ ] [ ]23
L0
23
L
023
L
03
21
2L
0 z
zo
L
0 z
zo
23
L0
23
L
023
L
03
21
2L
0 z
zo
L
0 z
zo
bp3Eb
pL6x
bp3Eb
p6
dx
bp3Eb
p6xdx
xb
p3b121E
2xp
xdxEIMy
0Lxy
xdxEIMyLxy
1Lln
bp3Eb
p6xln
bp3Eb
p6
dxx1
bp3Eb
p6dx
xb
p3b121E
2xp
dxEIM
0Lx
dxEIMLx
−=
−=
−=
−==⇒
==
−==
−
=
=
=
=
−−=−=⇒
==
+==
∫∫∫∫
∫∫∫∫
σσ
σσ
σσ
σσ
θ
θ
θθ
Viga conjugada.
Se carga ahora la viga conjugada de la inicial con la gráfica de momentos flectores partido por la rigidez,
[ ][ ] [ ] [ ] x
bp3Eb
p6
xb
p3b121E
2xp
EIM
xb
p3b121I
xb
p3h
bh121I
EIMq
23
323
2
z
z32
3
z21
x
3xz
z
zc
−=
−=⇒
=⇒
=
=
=
σσσ
σ
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
29
P
PL/EIz(x)
L
PL -
Viga conjugada
L
x
hx
M)
-
M/EIz)
Para la obtención de los valores máximos calculamos el esfuerzo cortante y el momento flector en el empotramiento de la viga conjugada.
[ ] [ ] [ ]
( )
[ ]
( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
L
bp3Eb
p6x
bp3Eb
p6dx
bp3Eb
p6xdx
xb
p3b121E
2xp
xdxEIMyM
1Lln
bp3Eb
p6xln
bp3Eb
p6dxx1
bp3Eb
p6dx
xb
p3Eb
p6T
23
L0
23
L
023
L
03
21
2L
0 z
zA
cA
23
L0
23
L
023
L
0 23A
cA
−=
−=
−=
−===
−
=
=
=
−−==
∫∫∫
∫∫
σσσσ
σσσσ
θ
Ecuación de la elástica.
También se puede obtener a partir de la elástica,
[ ] [ ] [ ]
( )1xln
bp3Eb
p6x1
bp3Eb
p6
xb
p3b121E
2xp
EIM
dxd
23o
233
21
2
z
z −
−=⇒
−=
−==
σ
θθ
σσ
θ
[ ]
( )
[ ]
( )
−
−+=⇒−
−== xxlnx
bp3Eb
p6xyy1xln
bp3Eb
p6dxdy
23oo
23o
σ
θ
σ
θθ
con las condiciones de contorno,
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
30
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )( )
[ ]23o
23
23o
23o
23o
bp3Eb
pL6yLLlnL
bp3Eb
p6LLln
bp3Eb
p6y0yLx
1Lln
bp3Eb
p61Lln
bp3Eb
p60Lx
−=⇒
−
−
+==⇒=
−
=⇒−
−==⇒=
σσσ
σ
θ
σ
θθ
4.10.1.3. Viga en voladizo con altura variable y ancho constante, sometida a carga puntual en el extremo libre.
Si se denomina hx la altura, variable con la posición, y b la anchura constante, el momento resistente es,
6bh
2h
bh121
W2x
x
3x
z ==
siendo el momento flector,
Px0xPM z −=−−=
luego la tensión normal máxima es,
2x
2xz
zx
bhPx6
6bhPx
WM
==−=σ
Si queremos que esa tensión sea igual a la admisible, la altura de la sección ha de ser,
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
31
[ ] [ ]21
x2x
bPx6h
bh
Px6
=⇒=
σσ
por lo que la altura de la viga varía con la raíz cuadrada del parámetro longitudinal (x). Para definir la altura de la fibra necesaria para soportar el esfuerzo cortante, se tiene en cuenta la tensión tangencial máxima que actúan en la fibra central de la sección,
[ ][ ] [ ]τττ
ττ
τ
b2P3h
hb2P3PT
bh2T3
oo
.max
.max
.max
=⇒==⇒
==
=
que corresponde a una altura constante.
La longitud del dominio (xo) en que la altura de la viga es constante (bo) se obtiene igualando las expresiones correspondientes a las alturas necesarias para soportar la tensión normal y tangencial máximas,
[ ]
[ ][ ] [ ]
[ ][ ]2o
21
o
21
x
b8P3x
b2P3
bPx6
b2P3h
bPx6h
τσ
τσ
τ
σ =⇒=
⇒
=
=
Una vez determinadas las características geométricas de la viga de igual resistencia, y despreciando el dominio de inercia constante, se calcula la deformación (giro y flecha) a partir de distintos métodos:
Primer y segundo teorema de Mohr.
El giro y la flecha de la viga se pueden obtener a partir de los teoremas de Mohr,
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
32
( )
( )[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
( )[ ] [ ]
[ ] [ ]23
23
l0
23
23
L
0
21
23
L
03
21
L
0 z
zo
L
0 z
zo
21
3
21
L
0
21
3
21
L
0
21
3
21
L
03
21
L
0 z
zo
L
0 z
zo
bP6Eb
PL8L3x2
bP6Eb
P12
dxx
bP6Eb
P12xdx
bPx6b
121E
PxxdxEIMy
0Lxy
xdxEIMyLxy
L
bP6Eb
P24
21
x
bP6Eb
P12
dxx
bP6Eb
P12dx
bPx6b
121E
PxdxEIM
0Lx
dxEIMLx
−=
−=
=
−−=
−==⇒
==
−==
=
=
=
=
−−=−=⇒
==
+==
∫∫∫∫
∫∫∫∫ −
σσ
σσ
σσ
σσ
θ
θ
θθ
Ecuación de la elástica.
También se puede obtener a partir de la elástica,
[ ] [ ] [ ]
21
23o2
1
233
21z
z x
bP6Eb
P24x
bP6Eb
P12
bPx6b
121E
PxEIM
dxd
−=⇒
−=
−==
−
σ
θθ
σσ
θ
[ ] [ ]
−+=⇒
−== 23
23oo2
1
23o x
bP6Eb
P16xyyx
bP6Eb
P24dxdy
σ
θ
σ
θθ
con las condiciones de contorno,
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
33
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
23
23o
23
23
23
23o
21
23o
21
23o
L
bP6Eb
P8yL
bP6Eb
P16L
bP6Eb
P24y0yLx
L
bP6Eb
P24L2
bP6Eb
P120Lx
−=⇒
−
+==⇒=
=⇒
−==⇒=
σσσ
σ
θ
σ
θθ
4.11.- Resortes de flexión.
Se va a analizar la equivalencia desde el punto de vista de la resistencia y la rigidez entre dos vigas en voladizo del mismo material cargadas con la misma carga puntual en su extremo. Una de las vigas está formada por n láminas iguales de sección rectangular, mientras que la otra tiene sección maciza de igual altura.
Supongamos dos vigas en voladizo, de la misma longitud l y sección rectangular de altura h, la primera de ellas formada por n láminas superpuestas con posibilidad de deslizamiento de unas respecto de las otras, y la segunda con sección maciza. Se considerará la hipótesis de que, para la viga formada por sección de láminas, los momentos flectores absorbidos por cada una de las láminas son iguales.
Si aplicamos en ambas vigas la misma carga (P), la viga formada por láminas trabaja de forma que cada una de ellas absorbe una parte (-Pl/n) del momento flector total, y la tensión normal máxima en cada lámina de altura h/n es,
nbh
Pl6n2
h
nhb
121
nPl
yI
M23.max
z
.maxz.lam.max =
=−=σ
Sin embargo, si se considera la viga de sección maciza, la tensión normal máxima es,
Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.
34
23.maxz
.maxz.mac.max
bh
Pl62h
bh121
PlyI
M==−=σ
Luego la viga de sección maciza es n veces más resistente ante una misma carga que la viga de sección de láminas, ya que la tensión máxima es n veces menor.
n
bh
Pl6
nbh
Pl6
2
2
.mac.max
.lam.max ==σ
σ
Desde el punto de vista de la rigidez, la curvatura de la elástica de la viga de sección formada por láminas es,
233z
z
.lamn
Ebh
Pl12
nhb
121E
nPl
EIM1
=
==ρ
mientras que en la viga de sección maciza su valor es,
33z
z
.mac Ebh
Pl12
bh121E
PlEIM1
===ρ
las expresiones anteriores indican que la viga de sección formada por n láminas va a tener una curvatura n2 veces mayor que la sección maciza equivalente, lo que indica que la viga de sección de láminas es n2 veces más flexible que la viga de sección maciza.
2
3
23
.mac
.lam n
Ebh
Pl12
nEbh
Pl12
1
1
==
ρ
ρ
Esta es la razón por la que, para conseguir la mayor flexibilidad posible, los resortes a flexión se realizan con láminas en vez de con secciones macizas, aunque esto reduzca sus resistencia.