CAPÍTULO 6. ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Análisis estructural

Pablo Pujadas Álvarez

91

CAPÍTULO 6.

ANÁLISIS ESTRUCTURAL

6.1 INTRODUCCIÓN

En este apartado de la tesina, se tratará de conjugar la experiencia y los datos

recogidos durante la realización de la campaña experimental con las actuales

herramientas de análisis existentes, dando a conocer parte de la potencialidad de dichas

herramientas para el estudio de elementos de hormigón reforzados con fibras.

El presente capítulo abandona la línea experimental seguida hasta el momento y

presenta un programa de cálculo AESS (Análisis Evolutivo de Secciones Simétricas),

desarrollado por de la Fuente [36], con el que se reproducen los ensayos realizados en el

Laboratorio de Tecnología de Estructuras de la UPC.

El objetivo de este capítulo es, por tanto, presentar la respuesta estructural

sugerida por dicho programa, compararla con los resultados experimentales y valorar la

precisión con la que el programa es capaz de reproducir el ensayo y, consecuentemente,

estimar comportamientos con otras configuraciones de armadura y dosificaciones de

fibras. Para ello, el capítulo se estructura en tres partes.

En la primera parte se lleva a cabo la presentación del programa en el que se

detallan las hipótesis en las que se basa el propio programa para el cálculo, las diversas

aplicaciones que tiene el programa y también se describe brevemente el método de

trabajo seguido.

En la segunda parte se presentan los resultados obtenidos mediante la ejecución

del programa. En primer lugar se realiza una descripción de los pasos previos a la

consecución de los resultados (detallando la introducción de datos y la ejecución de las

Capítulo 6

Durabilidad del hormigón con fibras de polipropileno

92

subrutinas). Seguidamente se presentan las gráficas de resultados para cada tipo de fibra

y dosificación obtenidas para dos modelos constitutivos, uno indirecto y otro directo.

En la tercera y última parte se valoran los resultados obtenidos mediante ambos

modelos y se analiza su ajuste a la realidad observada en el laboratorio, siempre

teniendo en cuenta los posibles condicionantes que hayan podido afectar a los

resultados registrados en el laboratorio.

6.2 AESS (ANÁLISIS EVOLUTIVO DE SECCIONES SIMÉTRICAS)

6.2.1 Introducción

AESS (Análisis evolutivo de secciones simétricas) es un programa de análisis no

lineal de secciones simples, compuestas y mixtas con configuraciones de materiales y

formas distintas, escrito en código MATLAB (MATrix LABoratory). El software

contiene los módulos necesarios para la verificación de los estados límite de servicio y

agotamiento, teniendo en cuenta los fenómenos diferidos, la construcción evolutiva y

las principales no linealidades de los materiales para llevar a cabo estas

comprobaciones.

El programa AESS contiene un conjunto de subrutinas que permite analizar una

amplia gama de secciones. Las secciones que se pretende analizar con el software

desarrollado cumplen las siguientes hipótesis:

- Las secciones inicialmente planas antes de ser sometidas a una acción, continúan

siendo planas después de la aplicación de una carga o de una deformación

impuesta.

- No se tiene en cuenta las deformaciones por tensiones tangenciales.

- Se admite adherencia perfecta entre los materiales que constituyen la sección.

Ello es aplicable a distintas tipologías de armaduras (después de la inyección en

el caso de postensados adherentes) y a secciones construidas evolutivamente, ya

sea añadiendo hormigones u otros materiales.

- Se considera que los esfuerzos se aplican en un plano de simetría de la sección,

originándose una situación de flexocompresión recta.

El algoritmo que calcula el estado tenso-deformacional de la sección para un par

de esfuerzos externos consiste en un esquema iterativo con control de fuerzas basado en

los algoritmos clásicos de búsqueda de ceros de funciones. En el mismo se imponen las

hipótesis básicas de equilibrio y compatibilidad.

Luego, el abanico de secciones y casuísticas que se pueden analizar es

amplísimo, dando una capacidad de cálculo y de estudios paramétricos importantes al

programa. Las aplicaciones de este programa son diversas:

En el caso que nos ocupa, el programa se aplica con el objetivo de reproducir los

ensayos realizados previamente en el Laboratorio de Tecnología de Estructuras de la



93

UPC y obtener tanto los campos de deformaciones y curvaturas en los puntos de

integración como la evolución del ancho de fisura en la sección más desfavorable a lo

largo del proceso de carga.

Las principales características del modelo son las siguientes:

- Empleo de cualquier tipo de sección compuesta por uno o varios materiales tipo

hormigón y acero (activo, pasivo, estructural), combinados bajo cualquier

configuración manteniendo un eje de simetría (flexión en un eje).

- Discretización de la sección en fibras y puntos asignándoles el material y la

ecuación constitutiva correspondiente.

- Resolución del problema de la construcción evolutiva y de los fenómenos

diferidos del hormigón mediante el esquema del método del coeficiente de

envejecimiento aplicado paso a paso.

- Consideración de los principales fenómenos no lineal de los materiales y de la

sección: redistribución de esfuerzos, fisuración, abolladura, plastificaciones,

fluencia a altas tensiones.

- Confección de diagramas Momento – Curvatura y de interacción Momento –

Axil.

- Presentación de todos los resultados de forma interactiva apoyándose en gráficos

y listados (véase figura 6.1).

Figura 6.1 Presentación resultados AESS (losas sin fibras, sólo armadura tradicional)

0 20 40 60 800

100

200

300

Max Displacement (mm)

Tot

al F

orce

(K

N)

0 50 1000

50

100

Max Curvature (1/Km)

Max

Ben

ding

Mom

ent

(KN

m)

0 1 2 3-80

-60

-40

-20

0

Cross Section Position (m)

Max

Dis

plac

emen

t (m

m)

0 100 200 3000

1

2

3x 10

-3

Max

cra

ck w

ith (

mm

)

Total Force (KN)

Capítulo 6


94

6.2.2 Método de trabajo

Con el objetivo expuesto anteriormente, se ha desarrollado, ad hoc, una rutina

de cálculo para simular el comportamiento a flexión de una viga de hormigón armado

según la configuración presentada en el capítulo 4. Se ha desarrollado de tal manera que

admite un armado formado por barras, fibras o la combinación de ambos.

Salvo en el caso de las características del armado (características del acero,

número de barras y recubrimiento), la entrada de datos necesarios depende de la

ecuación constitutiva empleada para modelar el hormigón reforzado con fibras de acero,

es decir, de si la ecuación es indirecta o directa.

El primer procedimiento, basado en un análisis inverso, parte de unos resultados

obtenidos en unos ensayos a flexión. Éstos, mediante un estudio a nivel seccional,

permiten obtener unas leyes constitutivas a nivel material. Este planteamiento requiere

una campaña previa de tipo experimental, por lo que en proyecto resulta poco

operativo, a no ser que se adopte un diagrama de tipo general, que no precise cuál es la

especificidad de cada tipo y cuantía de fibra. Ello probablemente lleva a posiciones

muy conservadoras en numerosos casos, lo que reduce las ventajas estructurales que la

contribución de la fibra puede tener.

El planteamiento directo a través de una definición de una ecuación constitutiva

mediante un diagrama tensión deformación resulta muy interesante, si bien presenta un

grado de dificultad al tener que dar una función diferente para cada condición de

contorno, principalmente: tipo de hormigón, tipo de fibra y cuantía de fibra. Ello

requiere una campaña previa de contrastación de las formulaciones que se sugieran.

En este caso se trabaja con dos ecuaciones: modelo RILEM (modelo indirecto) y

modelo LARANJEIRA [39] (modelo directo) desarrollado en la UPC.

6.2.3 Rutina SimpleBeam

La rutina SimpleBeam se ha implementado para simular las condiciones de

ensayo en laboratorio con las placas de hormigón armado y reforzado con fibras. En

términos de análisis numérico, atendiendo a la simetría del problema, se pueden hacer

una serie de modificaciones en las condiciones de contorno con el fin de reducir la carga

numérica manteniendo la precisión deseada (milímetros). En la figura 6.2 se recoge el

esquema ideal de la pieza analizada con las variables empleadas para el análisis:

Figura 6.2 Idealización longitudinal de la placa a analizar

a

A C B

Mc = Pa

φc = 0

l/2

x

P



95

El interés radica en conocer el campo de desplazamientos δ de la placa en los

puntos en que se extiende la discretización; en particular se pretende capturar el

desplazamiento del punto C, pues en esta coordenada es donde se produce la mayor

flecha. Para ello existen varias alternativas: elementos finitos, diferencias finitas,

método de rigidez, método de compatibilidad… si bien todos ellos requieren de un gran

esfuerzo inicial de implementación que no se aplica en este caso, pues el

comportamiento es altamente no lineal, sobretodo, para la etapa de pre – rotura.

Abordando el problema con otros métodos más sencillos pero sin duda más robustos en

este caso, se alcanzan resultados igual de precisos y con un esfuerzo tanto

computacional como numérico considerablemente menor. Este último hecho es

especialmente interesante porque se deben hacer varias hipótesis de trabajo y, por lo

tanto, varias ejecuciones del modelo, con la carga de tiempo que puede ello acarrear.

Entre las metodologías que conducen a la solución de la tarea perseguida se

encuentra la aplicación estricta de los teoremas de Mohr, tanto el primero, ec. 6.1, como

el segundo, ec 6.2:

x

f

fdx

xK

xMx

0 (6.1)

x

f

f

A dxxlxK

xMxx

0 2 (6.2)

Donde:

Mf: Es el momento flector.

φ: Giro en la dirección ortogonal al plano que contiene la estructura.

δ: Flecha en el plano de la estructura.

l: Longitud de la placa.

Kf: Rigidez a flexión.

Las ecuaciones 6.1 y 6.2 se pueden combinar para conducir a una ecuación

integral independiente del giro en el punto A 6.3:

xl

dxxlxdxxxx0

2/

0 2 (6.3)

La ecuación 6.3 se expresa en términos del campo de curvaturas que, a la postre,

es la variable de control del algoritmo.

La ecuación integral 6.3 conduce a un campo de desplazamiento fruto de la

integración, mediante una cuadratura numérica (Simpson), de un campo de curvaturas

cualesquiera. Sin embargo, este campo de curvaturas debe ser compatible con las

condiciones de vinculación establecidas, el nivel de carga y la respuesta

tensodeformacional de la sección. En esta última premisa es dónde el modelo de análisis

seccional AESS toma las riendas del siguiente modo:

1. Se fija una curvatura χ(x) en cada una de las secciones en las que se ha

discretizado el elemento lineal de la figura 6.2.

Capítulo 6


96

2. Fijada la curvatura χ(x) y el axil exterior, de valor 0 al tratarse de flexión pura, se

resuelve un sistema de ecuaciones no lineal mediante el método de Newton –

Raphson, aplicado de forma incremental – iterativa, para obtener el plano de

deformaciones que responde a las condiciones impuestas.

3. Se integra, aplicando las ecuaciones constitutivas elegidas, el plano de

deformaciones para obtener el momento M respuesta de la sección.

4. Se calcula la fuerza exterior P que conduce a este estado tensodeformacional de

la pieza. La relación P – M es unívoca y se obtiene como P = MC/a.

Este proceso descrito anteriormente se repite incrementando, paso a paso, la

curvatura en una cantidad dχ que se fija al inicio del proceso incremental. El algoritmo

se detiene cuando el plano de deformaciones o, alternativamente, el par de esfuerzos

(N,M) de la sección más desfavorable interseca con el contorno del diagrama de

interacción de la sección más desfavorable.

Figura 6.3 Diagrama de flujo programa AESS

Introducción de las

variables constitutivas de los materiales

Ejecución del modelo de

análisis seccional AESS

Cargado variables constitutivas de la

sección.

Definición geométrica de la sección.

Discretización de la sección.

Obtención de los esfuerzos últimos de la

sección

Ejecución de la rutina

SimpleBeam

Cálculo paso a paso de la historia P – δ

y P – w de la losa con las condiciones

de carga y apoyo descritas.

La subrutina principal trabaja con un

algoritmo con control de las curvaturas

para capturar las pérdidas de rigidez

instantánea (snap – through).

Presentación parcial (en

cada paso) y global de

los resultados



97

6.2.4 Ecuación constitutiva

Modelo RILEM

Dado que se disponía de los datos de los ensayos normalizados realizados en los

laboratorios de Bélgica, se ha utilizado la ecuación constitutiva propuesta por la RILEM

para simular el ensayo realizado en el laboratorio de estructuras de la UPC. Para esta

ecuación hay que introducir los siguientes inputs:

- Tensión de fisuración

- Tensión asociada a fR,1

- Deformación asociada a fR,1

- Tensión asociada a fR,4

- Deformación asociada a fR,4

La razón por la que se ha trabajado así es porque, sin duda, emplear los picos de

tensión obtenidos en el ensayo es más realista y reproduce mejor el comportamiento

genuino del material que utilizar los sugeridos en la norma para fR1..., que son semi –

empíricos e independientes de la edad de la probeta, dosificación, etc.

Nótese que alguno de estos valores han sido modificados ya que se debe tener en

cuenta el hecho de que el campo de tensiones normales no es preferentemente

unidireccional sino que tiene una componente transversal no despreciable (ancho de un

metro) y que conduce a una merma de los picos fRi obtenidos en el ensayo Belga.

Acudiendo a esta consideración se han obtenido las gráficas de carga-flecha y ancho de

fisura que, como se verá más adelante, se ajustan correctamente a las obtenidas en los

ensayos.

Modelo LARANJEIRA

El modelo LARANJEIRA es un modelo directo desarrollado en la UPC y que a

diferencia de los modelos indirectos no precisa realizar ensayos previos para obtener los

datos que se deben introducir. Para este modelo basta introducir la tensión de cedencia

de las fibras fy, el módulo de elasticidad Ey, la esbeltez, la densidad del material ρy

(todos ellos datos suministrados por el fabricante) y algunos datos de orientación y

eficiencia espacial de la fibra genuinos del modelo constitutivo.

Una de las principales ventajas del modelo directo respecto al indirecto es que

éste trabaja con variables constitutivas directamente relacionadas con el material

empleado, método de dosificación, forma de la fibra y proceso de fabricación, como las

comentadas anteriormente. Asimismo, no se requiere de una experimentación previa

para la tipificación del material sino que esta tarea se confía a los datos facilitados por el

fabricante de fibras y, por tanto, se obtienen los resultados deseados con un menor

coste económico y temporal.

6.3 ANÁLISIS ESTRUCUTRAL

Introducción de datos: parámetros del armado (características del acero, número

de barras y recubrimiento), parámetros generales del hormigón (resistencia

Capítulo 6


98

característica del hormigón), parámetros de tracción del hormigón (ecuación

constitutiva a emplear en tracción, separación media entre fisuras) y los parámetros del

hormigón reforzado con fibras de acero (dependiendo si se trata del modelo RILEM o

LARANJEIRA se introducen los datos descritos en el apartado anterior).

Descripción de la sección:

Las características de las losas se especifican detalladamente en el capítulo 4 de

esta tesina, recordemos que la sección de dichas losas es de 1m x 0,2m. Se ejecuta la

subrutina de análisis seccional y se introduce la geometría de la sección.

Figura 6.4 Geometría de la sección y armadura concentrada en un punto

Resultados del análisis:

Haciendo uso de la técnica de los diagramas de pivotes y utilizando las

ecuaciones constitutivas correspondientes, se obtiene el diagrama de interacción de la

sección.

Figura 6.5 Diagrama de interacción de la sección synmix55 2,28kg/m3

Todos los pares de esfuerzos (N, M) que están dentro de la superficie de

interacción pueden ser resistidos por la sección pero para este caso concreto interesa

conocer un punto singular, el que corresponde a la flexión pura N= 0 con el que se

obtiene el Mu que puede ser resistido por la sección. A continuación se presentan las

gráficas obtenidas. (Verde para RILEM, rojo para Laranjeira y azul para la campaña

experimental).

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Section Plot

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Section Plot

-2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Axial (KN)

Bendin

g (

KN

m)



99

Figura 6.6 Curva carga-flecha para synmix55 2,28kg/m

3

Figura 6.7 Curva ancho de fisura-carga para synmix55 2,28kg/m

3

RILEM Parámetros según

NORMATIVA

Parámetros

PROPUESTOS Laranjeira

Parámetros

PROPUESTOS

Tensión de fisuración (MPa) 4,34 0,400 Esbeltez de la fibra 70

Tensión asociada a fR,1 0,340 0,320 Orientación de las fibras 15,5

Deformación asociada a fR,1 0,24% 0,170 Eficiencia espacial 0,5

Tensión asociada a fR,4 0,130 0,144 Coeficiente multiplicador 1,5

Deformación asociada a fR,4 2,5% 10,5 Factor de reducción 0,1

Tabla 6.1 Parámetros para losas con fibras synmix55 2,28kg/m3

0 20 40 60 80 100 1200

50

100

150

200

250


Tota

l F

orc

e (

KN

)

synmix55 (2,28Kg/m3)

0 50 100 150 200 2500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Max c

rack w

ith (

mm

)

Total Force (KN)


Capítulo 6


100

Figura 6.8 Curva carga-flecha para synmix55 4,55kg/m

3

Figura 6.9 Curva ancho de fisura-carga para synmix55 4,55kg/m

3


NORMATIVA

Parámetros


Parámetros

PROPUESTOS







0 20 40 60 80 100 1200

50

100

150

200

250

300


Tota

l F

orc

e (

KN

)


0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Max c

rack w

ith (

mm

)

Total Force (KN)




101

Figura 6.10 Curva carga-flecha para strux90/40 2,28kg/m

3

Figura 6.11 Curva ancho de fisura-carga para strux90/40 2,28kg/m

3


NORMATIVA

Parámetros


Parámetros

PROPUESTOS






Tabla 6.3 Parámetros para losas con fibras strux90/40 2,28kg/m3

0 20 40 60 80 100 1200

50

100

150

200

250


Tota

l F

orc

e (

KN

)

strux90/40 (2,28Kg/m3)

0 50 100 150 200 2500

1

2

3

4

5

6

Max c

rack w

ith (

mm

)

Total Force (KN)

strux90/40 (2,28Kg/m3)

Capítulo 6


102

Figura 6.12 Curva carga-flecha para strux90/40 4,55kg/m3

Figura 6.13 Curva ancho de fisura-carga para strux90/40 2,28kg/m

3


NORMATIVA

Parámetros


Parámetros

PROPUESTOS







0 20 40 60 80 100 1200

50

100

150

200

250


Tota

l F

orc

e (

KN

)

strux90/40 (4,55Kg/m3)

0 50 100 150 200 2500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Max c

rack w

ith (

mm

)

Total Force (KN)

strux90/40 (4,55Kg/m3)



103

6.4 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

Tal y como se aprecia en las figuras anteriormente presentadas, la herramienta

de cálculo utilizada proporciona valores prácticamente idénticos a los obtenidos en los

ensayos. Por tanto, el programa simula a la perfección el comportamiento de cualquier

elemento independientemente del tipo de fibra y dosificación.

Cabe mencionar sin embargo que las tensiones introducidas como inputs no son

exactamente las propuestas por el RILEM por ser éstas excesivamente conservadoras.

Sin embargo, nótese que los inputs propuestos son apreciablemente inferiores a los

recomendados por el RILEM. Esto es debido, tal y como ya se ha comentado, a la

considerable distorsión que se produce a consecuencia del efecto bidireccional que

supone trabajar con elementos tipo losa, relación l/b<4 (las recomendaciones del

RILEM son para vigas y no para losas).

Asimismo, tal como se reproduce en los ensayos, parece que existe una pre-

fisuración de la losa, quizás debida al impacto dinámico durante el transporte o a las

operaciones de izado del elemento. Nótese que ya en el capítulo 5 (Análisis de los

resultados experimentales) se apuntó esta hipótesis.

Capítulo 6


104

CAPÍTULO 6. ANÁLISIS ESTRUCTURAL

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