Capitulo 6 Transformaciones Lineales

Capítulo 6

TRANSFORMACIONESLINEALES

6.1. INTRODUCCIÓN. En este capítulo se presenta el importante concepto de Transformación Lineal. Se exponen los principales conceptos asociados como lo son Kernel, Imagen, Nulidad y Rango de una Transformación Lineal, Monomorfismos, Epiformismos e Isomorfismos, Matriz asociada a una Transformación Lineal de ℜn a ℜm y Matriz de una Transformación Lineal T: V→W relativa a bases de V y W, respectivamente. 6.2. DEFINICIONES, PROPIEDADES Y EJEMPLOS. Definición 6.1. Sean V y W espacios vectoriales sobre K y T: V→W. Se dice que T es una Transformación Lineal (T.L) u homomorfismo si T verifica las siguientes condiciones:

1. ∀ α, β∈V se cumple que T(α + β) = T(α) + T(β). 2. ∀ α∈V, ∀ c∈K se cumple que T(c•α) = cT(α).

Observación: Una función T: V→W es una T.L. si ∀ α, β∈V, ∀ c∈K se cumple que T(c•α + β) = c•T(α) + T(β). Teorema 6.1. Sea T: V→W una T.L. Entonces se cumple que:

1. T(θ) = θ. 2. ∀ α∈V se cumple que T(-α) = -T(α). 3. ∀ α, β∈V se cumple que T(α – β) = T(α) – T(β). 4. Si αi∈V, ci∈K, i = 1, 2, …, n, entonces se cumple que

T(∑=

α•n

1iiic ) =∑

=

α•n

1iii )(Tc .

5. Si U1 es un subespacio de V entonces el conjunto: T(U1) = {T(α): α∈U1} = {β∈W: β = T(α), para algún α∈U1}

es un subespacio de W. 6. Si U2 es un subespacio de W entonces el conjunto:

T-1(U2) = {α∈V: T(α)∈U2} es un subespacio de V.

ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS

207

Demostración

1. Es claro que θ∈V. Luego, T(θ) = T(θ+θ) = T(θ)+T(θ). Por otro lado, θ = T(θ) – T(θ). Luego, T(θ) + θ = T(θ) + T(θ) – T(θ) ⇒ T(θ) = T(θ) – T(θ) = θ.

2. Sean α∈V y c∈K. Luego, T(c•α) = c•T(α).

Si c = -1 entonces T((-1)α) = (-1)T(α), es decir, T(-α) = -T(α). 3. T(α + c•β) = T(α) + c•T(β). Si c = -1 entonces se cumple que

T(α – β) = T(α) – T(β). 4. Utilicemos inducción completa. Demostremos que la igualdad se

cumple para n = 2, es decir : T( 2211 cc α•+α• ) = c1•T(α1)+ c2•T(α2)

En efecto,

T( 2211 cc α•+α• ) = T(c1•α1)+ T(c2•α2) = c1•T(α1)+ c2•T(α2)

Supongamos que la igualdad se cumple para n = p, es decir :

T(∑=

α•p

1iiic ) = ∑

=

α•p

1iii )(Tc

Demostremos ahora que la igualdad se cumple para n = p+1. En efecto,

T(∑+

=

α•1p

1iiic ) = T(∑

=

α•p

1iiic + cp+1•α1p+1)

= T(∑=

α•p

1iiic ) + T(cp+1•α1p+1)

= ∑=

α•p

1iii )(Tc + cp+1•T(α1p+1)

= ∑+

=

α•1p

1iii )(Tc

Por tanto se cumple que:

T(∑=

α•n

1iiic ) = ∑

=

α•n

1iii )(Tc

5. Sea U1 un subespacio de V. Veamos que T(U1) así definido es un subespacio de W.

Es claro que θ∈T(U1) ya que θ = T(θ), θ∈U1.

CAPÍTULO 6: TRANSFORMACIONES LINEALES

208

Sean δ, γ ∈T(U1) y c∈K. Entonces δ = T(α), γ = T(β), α, β∈U1. Por lo tanto, c•δ + γ = c•T(α) + T(β) = T(c•α + β), con (c•α + β)∈U1. Luego, (c•δ + γ)∈T(U1) y por consiguiente, T(U1) es un subespacio de W.

6. Sea U2 un subespacio de W. Veamos que T-1(U2) así definido es un

subespacio de W.

Es claro que θ∈T-1(U2) ya que θ∈V y T(θ) = θ∈U2. Sean δ, γ∈T-1(U2) y c∈K. Entonces δ∈V con T(δ)∈U2, γ∈V con T(γ)∈U2. Por lo tanto, (c•δ + γ)∈V, siendo T(c•δ) + T(γ) = T(c•δ + γ)∈U2. Luego, (c•δ + γ)∈T-1(U2) y por consiguiente, T-1(U2) es un subespacio de V.

Ejemplo 6.1. Sean V y W espacios vectoriales sobre K. La función Θ: V→W definida como Θ(α) = θ, ∀ α∈V es una T.L., ya que:

Θ(c•α + β) = θ = c•θ + θ = c•Θ(α) + Θ(β) Esta T.L. recibe el nombre de Transformación Lineal Nula. Ejemplo 6.2. Sea V un espacio vectorial sobre K. La función I: V→V definida como I(α) = α, ∀ α∈V es una T.L., ya que ∀ α,β∈V y c∈K:

I(c•α+β) = c•α+β = c•I(α)+I(β)

Esta T.L. recibe el nombre de Transformación Lineal Identidad. Ejemplo 6.3. Sea T: ℜ3→ℜ2 la función definida por:

T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

Z2YYX

, ∀ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

∈ℜ3.

Sean ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=α

1

1

1

ZYX

∈ℜ3, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=β

2

2

2

ZYX

∈ℜ3 y c∈ℜ. Luego,

T(α) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

11

11

Z2YYX

T(β) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

22

22

Z2YYX


209

T(c•α+β) = T(c•⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1

1

1

ZYX

+ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

2

2

ZYX

)

= T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1

1

1

cZcYcX

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

2

2

ZYX

)

= T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

21

21

21

ZcZYcYXcX

)

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++−+

)ZcZ(2)YcY()YcY()XcX(

2121

2121

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−−+

)Z2cZ2YcY)YcYXcX

2121

2121

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−+−

)Z2Y()Z2Y(c)YX()YX(c

2211

2211

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

22

22

11

11

Z2YYX

)Z2Y(c)YX(c

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

•22

22

11

11

Z2YYX

Z2YYX

c

= c•T(α) + T(β) Por tanto, T es una T.L. Teorema 6.2. Sean V un espacio vectorial finito dimensional con Dim(V) = n y B = {α1, α2, …, αn} una base de V. Sean W un espacio vectorial y β1, β2, …, βn∈W. Supongamos que T1 y T2 son T.L. Tj: V→W; j = 1, 2, tales que T1(αi) = T2(αi) = βi, ∀ i = 1, 2, …, n. Entonces se cumple que ∀α∈V, T1(α) = T2(α). Demostración Como B es una base de V, por el teorema 4.12., existe un conjunto único de

escalares c1, c2, …, cn tales que ∀α∈V se cumple que α = ∑=

α•n

1iiic .

Luego, por el teorema 6.1., apartado 4 se cumple que:

T1(α) = T1(∑=

α•n

1iiic ) = ∑

=

α•n

1ii1i )(Tc = ∑

=

β•n

1iiic

Igualmente,


210

T2(α) = T2(∑=

α•n

1iiic ) = ∑

=

α•n

1ii2i )(Tc = ∑

=

β•n

1iiic

Luego, ∀α∈V, T1(α) = T2(α). 6.3. KERNEL, IMAGEN, NULIDAD Y RANGO. Definición 6.2. Sea T: V→W una T.L. Se define como Núcleo o Kernel de T y se denota por Ker(T) al conjunto:

Ker(T) = {α∈V: T(α) = θ} Definición 6.3. Sea T: V→W una T.L. Se define como Imagen de T y se denota por Img(T) al conjunto:

Img(T) = {T(α): α∈V} = {β∈W: β = T(α), para algún α∈V} Observación: Es sencillo demostrar que Ker(T) e Img(T) son subespacios de V y W, respectivamente. En particular, Ker(T) = T-1({θ}) e Img(T) = T(V) (Ver Teorema 6.1., apartados 5 y 6). Teorema 6.3. Sean V y W espacios vectoriales sobre K tales que V es finito dimensional y T: V→W una T.L. Entonces Ker(T) e Img(T) son subespacios finito dimensionales de V y W, respectivamente. Demostración Se sabe que Ker(T) e Img(T) son subespacios de V y W, respectivamente. Supongamos que Dim(V) = n y sea B = {α1, α2, …, αn} una base de V. Como V es finito dimensional entonces por definición Ker(T)⊆B, luego por el teorema 4.14., apartado 1, Dim(Ker(T)) ≤ n. Por consiguiente, Ker(T) es finito dimensional. Veamos ahora que Img(T) = [{T(α1), T(α2), …, T(αn)}]. Es claro que por definición de Img(T), [{T(α1), T(α2), …, T(αn)}] ⊆ Img(T) (1). Sea β∈Img(T). Entonces existe α∈V tal que T(α) = β. Por otra parte como B es una base de V se tiene que existen escalares c1, c2, …,

cn∈K tales que α = ∑=

α•n

1iiic , ci∈K. Por lo tanto,

T(α) = T(∑=

α•n

1iiic ) = ∑

=

α•n

1iii )(Tc = β


211

Luego, β∈[{T(α1), T(α2), …, T(αn)}] y por lo tanto: Img(T) ⊆ [{T(α1), T(α2), …, T(αn)}] (2)

Por (1) y (2) se concluye que Img(T) = [{T(α1), T(α2), …, T(αn)}], es decir, Img(T) es finito dimensional. Definición 6.4. Sean V y W espacios vectoriales sobre K tales que V es finito dimensional y T: V→W una T.L. Se define como Nulidad de T y se denota por Nul(T) a la dimensión del Kernel de T, es decir, Nul(T) = Dim(Ker(T)). Definición 6.5. Sean V y W espacios vectoriales sobre K tales que V es finito dimensional y T: V→W una T.L. Se define como Rango de T y se denota por Ran(T) a la dimensión de la Imagen de T, es decir, Ran(T) = Dim(Img(T)). Ejemplo 6.4. En el ejemplo 6.3.:

T: ℜ3→ℜ2 definida por T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

Z2YYX

, ∀ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

∈ℜ3 es una T.L.

Determinemos Ran(T):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ba

∈Img(T) si y sólo si ∃ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

∈ℜ3: T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ba

⇒ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ba

∈Img(T) si y sólo si ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

32

21

X2XXX

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ba

⇒ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ba

∈Img(T) si y sólo si el SEL ⎩⎨⎧

=+=−

bX2XaXX

32

21 es consistente.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −b

b2a210201

rrrba

210011

211

Por lo tanto,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡b210

b2a201(Rango)

210201

(Rango

Independientemente de los valores de a y b. En consecuencia,


212

Img(T) = { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ba

∈ℜ2: a∈ℜ y b∈ℜ} = ℜ2.

⇒ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ba

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0a

+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡b0

= a• ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01

+ b• ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡10

⇒ Ran(T) = Dim(Img(T)) = 2 Determinemos ahora Nul(T) :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

∈Ker(T) si y sólo si T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

⇒ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

∈Ker(T) si y sólo si ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

32

21

X2XXX

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

⇒ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

∈Ker(T) si y sólo si ⎩⎨⎧

=+=−

0X2X0X X

32

21

⇒ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX


−==

32

21

X2XX X

⇒ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX


−=−=

32

31

X2XX2X

⇒ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

∈Ker(T) si y sólo si ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

3

3

3

X X2X2

= X3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

1 22

⇒ Ker(T) = {⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

∈ℜ3: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

= a⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

1 22

; a∈ℜ}

⇒ Nul(T) = Dim (Ker(T)) = 1 Nótese que Ran(T) + Nul(T) = 2 + 1 = 3 = Dim(ℜ3) Teorema 6.4. Sean V y W espacios vectoriales sobre K tales que V es finito dimensional y T: V→W una T.L. Entonces Ran(T) + Nul(T) = Dim(V)


213

Demostración Supongamos que Dim(V) = n y sea B = {α1, α2, …, αn} una base de V. Como B es una base de V se tiene que existen escalares c1, c2, …, cn∈K tales que

α = ∑=

α•n

1iiic , ci∈K; ∀ i = 1, 2, …, n y α∈V. Por lo tanto,

T(α) = T(∑=

α•n

1iiic ) = ∑

=

α•n

1iii )(Tc

Supongamos que Nul(T) = p y que sin pérdida de generalidad α1, α2, …, αp∈Ker(T). Luego, T(αi) = θ, ∀ i = 1, 2, …, p. Supongamos ahora que β∈Img(T). Entonces existe α∈V tal que T(α) = β. Luego,

β = T(α) = ∑=

α•n

1iii )(Tc = ∑

=

α•p

1iii )(Tc + ∑

+=

α•n

1piii )(Tc

= ∑=

θ•p

1iic + ∑

+=

α•n

1piii )(Tc

= θ + ∑+=

α•n

1piii )(Tc

= ∑+=

α•n

1piii )(Tc

Por consiguiente, Ran(T) = n – (p+1) + 1 = n – p – 1 + 1 = n – p, es decir:

Ran(T) = Dim(V) – Nul(T)

⇒ Ran(T) + Nul(T) = Dim(V)

Teorema 6.5. Sean V y W espacios vectoriales sobre K tales que V es finito dimensional con Dim(V) = n, B = {α1, α2, …, αn} una base de V y β1, β2, …, βn vectores cualesquiera de W. Entonces existe una única T.L. T: V→W tal que T(αj) = βj, ∀ j = 1, 2, …, n. Demostración Como B = {α1, α2, …, αn} es una base de V por el teorema 4.12., se cumple

que ∀ α∈V, existen escalares únicos c1, c2, …, cn∈K tales que α = ∑=

α•n

1iiic .

Definamos T(α) = ∑=

β•n

1iiic . Es claro que T(αj) = βj, ∀ j = 1, 2, …, n ya que:


214

T(α) = T(∑=

α•n

1iiic ) = ∑

=

α•n

1iii )(Tc = ∑

=

β•n

1iiic

Veamos que T es una T.L.

Sean α = ∑=

α•n

1iiic , δ = ∑

=

α•n

1iiid , con d1, d2, …, dn∈K y c∈K.

Ahora bien,

T(c•α+δ) = T(c•∑=

α•n

1iiic +∑

=

α•n

1iiid ) = T(∑

=

α•+n

1iiii )dcc(

= ∑=

α•+n

1iiii )(T)dcc(

= ∑=

β•+n

1iiii )dcc(

= ∑=

β•n

1iiicc + ∑

=

β•n

1iiid

= ∑=

α•n

1iii )(Tcc + ∑

=

α•n

1iii )(Td

= cT(α) + T(δ) Veamos ahora que T es única. Sea S: V→W otra T.L. tal que: S(αj) = βj, j = 1, 2, …, n.

Ahora bien, si α = ∑=

α•n

1iiic entonces:

S(α) = S(∑=

α•n

1iiic ) = ∑

=

α•n

1iii )(Sc = ∑

=

β•n

1iiic = T(α)

Ejemplo 6.5.

Determinemos si existe una T.L. T: ℜ2→ℜ3 tal que T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01

) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

3 2 1

y

T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1 1

) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

010

. Veamos primero que ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01

y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1 1

forman una base de ℜ2.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ba

= c1• ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01

+ c2• ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1 1

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0c1 + ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

2

2

c c

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

2

21

ccc


215

⇒ a = c1 – c2 y b = c2 ⇒ c1 = a + b y c2 = b.

⇒ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ba

= (a+b)• ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01

+ b• ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1 1

⇒ T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ba

) = T((a+b)• ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01

+ b• ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1 1

)

= (a+b)T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01

) + bT( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1 1

)

= (a+b)•⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

3 2 1

+ b•⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

010

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−

b3a3 b2a2

ba +

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0b0

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−

b3a3 b3a2

ba

Luego, si existe una T.L. T: ℜ2→ℜ3 que cumple con ambas condiciones y

además tiene por regla de correspondencia T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ba

) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−

b3a3 b3a2

ba.

6.4. MONOMORFISMOS, EPIMORFISMOS E ISOMORFISMOS. Definición 6.6. Sea T: V→W una T.L. Se dice que T es un:

1. Monomorfismo si T es inyectiva. 2. Epimorfismo si T es sobreyectiva. 3. Isomorfismo si T es biyectiva.

Teorema 6.6. Sea T: V→W una T.L. T es un Monomorfismo si y sólo si Ker(T) = {θ}. Demostración CN(⇒): Si T es un Monomorfismo entonces Ker(T) = {θ}. Sea α∈Ker(T). Entonces T(α) = θ. Pero también T(θ) = θ. Como T es un Monomorfismo entonces T es inyectiva. Luego, α = θ. Por consiguiente, Ker(T) = {θ}.


216

CS(⇐): Si Ker(T) = {θ} entonces T es un Monomorfismo. Sean α1, α2∈V tales que T(α1) = T(α2). Entonces, T(α1) – T(α2) = θ, es decir, T(α1 – α2) = θ. Esto indica que (α1 – α2)∈Ker(T), pero como por hipótesis Ker(T) = {θ} entonces α1 – α2 = θ, es decir, α1 = α2. Luego, T es inyectiva y por consiguiente T es un Monomorfismo. Ejemplo 6.6. En el ejemplo 6.5.:

La T.L. T: ℜ3→ℜ2 definida por T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

Z2YYX

, ∀ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

∈ℜ3 tiene las

siguientes características:

Img(T) = { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ba

∈ℜ2: a∈ℜ y b∈ℜ} = ℜ2.

Ran(T) = Dim(Img(T)) = 2

Ker(T) = {⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

∈ℜ3: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

= a⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

1 22

; a∈ℜ}

Nul(T) = Dim (Ker(T)) = 1 Como Ker(T) ≠ {θ} entonces aplicando equivalencia contrarecíproca en el teorema 6.6., se obtiene que T no es un Monomorfismo. Por su parte, como Img(T) = ℜ2 entonces T es un epimorfismo. Sin embargo, como T no es un Monomorfismo, aún y cuando es un Epimorfismo no es un Isomorfismo. Teorema 6.7. Sea T: V→W una T.L. con Dim(V) = Dim(W) = n. T es un Monomorfismo si y sólo si T es un Epimorfismo. Demostración CN(⇒): Si Dim(V) = Dim(W) = n y T es un Monomorfismo entonces T es un Epimorfismo. Si T es un Monomorfismo entonces Ker(T) = {θ}. Por consiguiente, Nul(T) = 0, lo cual significa que Ran(T) = Dim(V) – 0 = n = Dim(W). Esto significa que Img(T) = W, es decir, que T es sobreyectiva. Por lo tanto, T es un Epimorfismo. CS(⇐): Si Dim(V) = Dim(W) = n y T es un Epimorfismo entonces T es un Monomorfismo.


217

Si T es un Epimorfismo entonces T es sobreyectiva, es decir, Img(T) = W. Luego,

Ran(T) = Dim(W) = n Por consiguiente, Nul(T) = Dim(V) – n = n – n = 0, es decir, Ker(T) = {θ}. Por lo tanto, por el teorema 6.5., T es un Monomorfismo. Teorema 6.8. Sea T: V→W una T.L. con Dim(V) = n y Dim(W) = m. Entonces se cumple que:

1. Si n > m entonces T no es un Monomorfismo. 2. Si m > n entonces T no es un Epimorfismo.

Demostración

1. Utilicemos reducción al absurdo. Supongamos que n > m y que T es un Monomorfismo. Luego, por el teorema 6.6., Ker(T) = {θ}. Sea {α1, α2, …, αn} una base de V. Sea βi = T(αi), ∀ i = 1, 2, …, n. Analicemos el conjunto S = {β1, β2, …, βn}. Como m = Dim(W) < n entonces por la equivalencia contrarecíproca del teorema 4.14., apartado 1, se tiene que el conjunto S es L.D. De esta forma existen escalares c1, c2, …, cn no todos iguales a cero tales que:

c1•β1 + c2•β2 + … + cn•βn = θ

Sea α = c1•α1 + c2•α2 + … + cn•αn. Como el conjunto {α1, α2, …, αn} es una base de V entonces es L.I. y como no todos los coeficientes ci son iguales a cero se cumple que α ≠ θ. Pero,

T(α) = T(c1•α1 + c2•α2 + … + cn•αn) = c1•T(α1) + c2•T(α2) + … + cn•T(αn) = c1•β1 + c2•β2 + … + cn•βn = θ

Por consiguiente, α∈Ker(T) y Ker(T) ≠ {θ}, lo cual es una contradicción.

2. Utilicemos reducción al absurdo. Supongamos que m > n y que T es un Epimorfismo. Luego, Img(T) = W. Sea {α1, α2, …, αn} una base de V. Supongamos que α∈V. Luego, existen escalares c1, c2, …, cn tales que α = c1•α1 + c2•α2 + … + cn•αn. Sea βi = T(αi), ∀ i = 1, 2, …, n. Por consiguiente:

T(α) = T(c1•α1 + c2•α2 + … + cn•αn)

= c1•T(α1) + c2•T(α2) + … + cn•T(αn) = c1•β1 + c2•β2 + … + cn•βn

Luego, {β1, β2, …, βn} = {T(α1), T(α2), …, T(αn)} es un conjunto de generadores de Img(T). Por el teorema 4.14. apartado 2 se cumple


218

que n ≥ Dim(Img(T)), es decir, n ≥ Ran(T), osea Ran(T) ≤ n. Como m > n entonces Img(T) ≠ W, lo cual es una contradicción.

Definición 6.7. Sean V y W espacios vectoriales sobre K. Se dice que V y W son isomorfos y se escribe V≅ W si existe un Isomorfismo T: V→W. Observación: Sean V y W espacios vectoriales sobre K finito dimensionales. V≅ W si y sólo si Dim(V) = Dim(W). Ejemplo 6.7. K4≅ M2x2(K), ya que se puede verificar fácilmente que la función T: K4→M2x2(K) definida por:

T(

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

dcba

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba

es un isomorfismo. En general se cumple que Kmn ≅ Mmxn(K). 6.5. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL T: ℜn→ℜm. Teorema 6.9. Sea T: ℜn→ℜm una T.L. Entonces existe una matriz única AT∈Mmxn(ℜ) denominada matriz de la transformación T tal que ∀ α∈ℜn se cumple que T(α) = ATα. Demostración Como se sabe α∈ℜn en notación matricial es α∈Mnx1(ℜ). Sea αh = T(eh), ∀ h = 1, 2, …, n, siendo {e1, e2, …, en} la base canónica de ℜn. Sea AT la matriz cuyas columnas son α1, α2, …, αn. Luego,

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=α

mhT

h2T

h1T

h

)A(

)A()A(

M; ∀ h = 1, 2, …, n

Es decir,


219

αh∈ℜm, lo cual significa que αh∈Mmx1(ℜ) y además (αh)ij = (AT)ih Ahora bien, AT∈Mmxn(ℜ) eh∈Mnx1(ℜ),∀ h = 1, 2, …, n. Por consiguiente, (ATeh)∈Mmx1(ℜ) y además:

(ATeh)ij = ∑=

n

1rrj

hirT )e()A(

= njh

inThjh

ihTj1h

1iT )e()A()e()A()e()A( ++++ LL

= ihTinTihT1iT )A(0.)A(1.)A(0.)A( =++++ LL = (αh)ij Es decir, ATeh = αh = T(eh) Por el teorema 6.2., ∀ α∈ℜn, T(α) = ATα. Veamos que AT es única. Supongamos que existen matrices AT∈Mmxn(ℜ) y BT∈Mmxn(ℜ) tales que ∀ α∈ℜn, T(α) = ATα = BTα. Sea CT = AT – BT. Luego, CTα = (AT – BT)α = ATα – BTα = ATα – ATα = θmx1, ∀ α∈ℜn. En particular, CTeh = θmx1, ∀ h = 1, 2, …, n. Pero, CTeh es la h-ésima columna de CT. De esta forma cada una de las n columnas de CT es el vector nulo θmx1 y CT = θmxn. Por consiguiente, AT – BT = θmxn, es decir, AT = BT. Ejemplo 6.8. Como se demostró anteriormente la función T: ℜ3→ℜ2 definida por:

T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

Z2YYX

, ∀ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

∈ℜ3.

es una T.L. Determinemos la matriz AT. Como n = 3 y m = 2 entonces AT∈M2x3(ℜ). Luego, ∀ α∈ℜn se cumple que T(α) = ATα. Por consiguiente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Z2Y

YX

ZYX

AAAAAA

232221

131211


220

⇒ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

Z2YYX

ZAYAXAZAYAXA

232221

131211

⇒ Z2YZAYAXA

YXZAYAXA

232221

131211

+=++−=++

⇒ 2A ,1A ,0A0A ,1A ,1A

232221

131211

====−==

⇒ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

210011

AT

Teorema 6.10. Sea T: ℜn→ℜm una T.L. y AT∈Mmxn(ℜ) su matriz asociada. Entonces se cumple que:

1. Img(T) = tAI =

TAC .

2. Ran(T) = r(AT). 3. Ker(T) =

TAN .

4. Nul(T) = n(AT). Demostración

1. Por definición, Img(T) = {β∈ℜm: β = T(α), para algún α∈ℜn} y a su vez T(α) = ATα. Luego,

Img(T) = {β∈ℜm: β = ATα, para algún α∈ℜn} = tA

I = TAC .

2. Por definición, Ran(T) = Dim(Img(T)) = Dim ( tAI ) = r(AT).

3. Por definición, Ker(T) = {α∈ℜn: T(α) = θmx1} y a su vez T(α) = ATα. Luego,

Ker(T) = {α∈ℜn: ATα = θmx1} =

TAN

4. Por definición, Nul(T) = Dim(Ker(T)) = Dim(

TAN ) = n(AT).

6.6. MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL T: V→W RELATIVA A BASES DE V Y W. Definición 6.8. Sea V un espacio vectorial sobre K finito dimensional con Dim(V) = n y sea B = {α1, α2, …, αn} una base de V. ∀ α∈V existen escalares únicos

c1, c2, …, cn∈K tales que α = ∑=

α•n

1iiic . Se define como matriz de

coordenadas del vector α relativa a la base B y se denota por [α]B a la matriz [α]B∈Mnx1(K) siguiente:


221

[α]B =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

c

cc

M

Observación: Nótese que ([α]B)ij = ci. Definición 6.9. Sea V un espacio vectorial sobre K finito dimensional con Dim(V) = n y sean B1 = {α1, α2, …, αn} y B2 = {β1, β2, …, βn} bases de V. ∀ αj∈B1; j = 1, 2, …, n existen escalares únicos c1j, c2j, …, cnj∈K tales que

αj = ∑=

β•n

1iiijc . Se define como matriz de transición de la base B1 a la base B2

y se denota por [ ] 21

BBα a la matriz [ ] 2

1

BBα ∈Mnxn(K) siguiente:

[ ] 21

BBα =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn2n1n

n22221

n11211

ccc

cccccc

L

MMM

L

L

Observación: Nótese que ( [ ] 2

1

BBα )ij = cij.

Ejemplo 6.9.

Sea V = ℜ2 y B1 = { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=α

12

1 , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=α11

2 } y B2 = { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=β

21

1 , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=β

10

2 }

bases de V. Determinemos la matriz de transición de B1 a B2. Hallemos los valores de c11, c12, c21, c22 tales que:

2211111 cc β•+β•=α y 2221122 cc β•+β•=α

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2111

11

2111

112111 cc2

cc0

c2c

10

c21

c12

3c c41 c2.21 c2c1 ;2c 212121211111 −=⇒+=⇒+=⇒+==⇒

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2212

12

2212

122212 cc2

cc0

c2c

10

c21

c11

3c c21 c2.11 c2c1 ;1c 222222221212 −=⇒+=−⇒+=−⇒+=−=⇒


222

Luego, la matriz de transición de B1 a B2 es:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=α331 2

21

BB

Teorema 6.11.

Sea V un espacio vectorial sobre K finito dimensional con Dim(V) = n y sean B1 = {α1, α2, …, αn} y B2 = {β1, β2, …, βn} bases de V. Entonces se cumple que ∀α∈V:

[ ]2Bα = [ ] 2

1

BBα [ ]

1Bα

Demostración

Como B1 es una base de V entonces ∀α∈V existen escalares únicos c1, c2, …, cn∈K tales que:

nn2211 c...cc α•++α•+α•=α

Igualmente, existen escalares únicos cij; i, j = 1, 2, …, n tales que:

nnn2n21n1n

n2n2221122

n1n2211111

c....cc

c....ccc....cc

β•++β•+β•=α

β•++β•+β•=αβ•++β•+β•=α

M

Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene que:

)c....cc(c)c....cc(c n2n2221122n1n2211111 β•++β•+β••+β•++β•+β••=α )c....cc(c... nnn2n21n1n β•++β•+β••++

2nn22221211nn1212111 )cc...cccc()cc...cccc( β•++++β•+++=α⇒

nnnn22n11n )cc...cccc(... β•+++++

nn2211 d...dd β•++β•+β•=α⇒

Luego,

[ ] [ ] [ ]1

212 B

BB

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

nnn22n11n

nn2222121

nn1212111

n

2

1

B

c

cc

ccc

cccccc

cc...cccc

cc...cccccc...cccc

d

dd

αα=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++++++

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=αM

L

MMM

L

L

MM

Teorema 6.12.

Sea V un espacio vectorial sobre K finito dimensional con Dim(V) = n y sean B1 = {α1, α2, …, αn} y B2 = {β1, β2, …, βn} bases de V. Entonces se cumple que:

[ ] [ ] 1BB

BB )( 2

112

−α=α


223

Demostración Por el teorema 6.11., se tiene que:

[ ]1Bα = [ ] 1

2

BBα [ ]

2Bα

Pero [ ]

2Bα = [ ] 21

BBα [ ]

1Bα . Luego,

[ ]

1Bα = [ ] 12

BBα [ ] 2

1

BBα [ ]

1Bα

⇒ [ ]1Bα – [ ] 1

2

BBα [ ] 2

1

BBα [ ]

1Bα = θnx1

⇒ [ ]1Bα (In – [ ] 1

2

BBα [ ] 2

1

BBα ) = θnx1

Como [ ]

1Bα ≠θnx1 entonces (In – [ ] 12

BBα [ ] 2

1

BBα ) = θnxn. Por lo tanto,

[ ] 1

2

BBα [ ] 2

1

BBα = In

Por el teorema 1.10., [ ] [ ] 1B

BBB )( 2

112

−α=α

Definición 6.10. Sean V y W espacios vectoriales finito dimensionales sobre K con Dim(V) = n y Dim(W) = m y B1 = {α1, α2, …, αn} y B2 = {β1, β2, …, βm} bases de V y W, respectivamente. Sea T: V→W una T.L. ∀ j = 1, 2, …, n, T(αj)∈W, por lo cual

existen m escalares Aij∈K tales que T(αj) = ∑=

βm

1iiijA . Se define como matriz

de la T.L. T relativa a las bases B1 y B2 y se denota por [ ] 21

BBT a la matriz

[ ] 21

BBT ∈Mmxn(K) particionada 1xn siguiente:

[ ] 2

1

BBT = [ [ ] [ ] [ ]

222 BnB2B1 )(T)(T)(T ααα L ]

Observaciones

1. [ ] 21

BBT ij = Aij; ∀ i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

2. Ran(T) = r( [ ] 21

BBT )

3. Nul(T) = n( [ ] 21

BBT )

4. [ ] [ ] [ ]1

212 B

BBB T)(T α=α

5. T(α) = [ ]∑=

βαm

1iiiB ))(T(

2


224

Ejemplo 6.10. Sea T: ℜ3→ℜ2 la T.L. definida por:

T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

ZYYX

Sean:

B1 = {⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=α

2 11

1 , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=α

310

2 , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=α

100

3 }

B2 = { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=β

01

1 , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=β

1 1

2 }

Tales que B1 y B2 son bases de ℜ3 y ℜ2, respectivamente. Determinemos [ ] 2

1

BBT .

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ba

= c1•β1 + c2•β2 = c1• ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01

+ c2• ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1 1

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0c1 + ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

2

2

c c

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

2

21

c cc

⇒ a = c1 – c2 y b = c2 ⇒ a = c1 – b y c2 = b ⇒ c1 = a + b y c2 = b.

⇒ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡b

baba

2B

T(α1) = T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

2 11

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡12

T(α2) = T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

310

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4 1

T(α3) = T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡10

( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=α

13

12

T2

2

BB1


225

( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=α

43

4 1

T2

2

BB2

( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=α

11

10

T2

2

BB3

Luego,

[ ] 21

BBT = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡141133

Nótese que: T(α1) = 3•β1 + 1•β2; T(α2) = 3•β1 + 4•β2 y T(α3) = 1•β1 + 1•β2 Ahora bien,

332211 ccc α•+α•+α•=α ⇒ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡•+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡•+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−•=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100

c310

c2 11

cZYX

321

⇒ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

32

2

1

1

1

c00

c3c0

c2 cc

ZYX

⇒ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

321

21

1

cc3c2 cc

c

ZYX

⇒ c1 = X Y = –c1 + c2 ⇒ Y = –X + c2 ⇒ c2 = X + Y Z = 2c1 + 3c2 + c3 ⇒ Z = 2X + 3(X + Y) + c3 ⇒ Z = 2X + 3X + 3Y + c3 ⇒ Z = 5X + 3Y + c3 ⇒ c3 = –5X – 3Y + z Luego,

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+=α

ZY3X5YX

X

1B

Por otra parte,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡b

baba

2B

y además T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

ZYYX

. Por lo tanto,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ZYZX

ZYZYYX

ZYYX

ZYX

T2

2

BB

Por consiguiente,


226

[ ] [ ]1

21

2

BBB

B

TZY3X5

YXX

141133

ZYZX

ZYX

T α=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Para hallar la imagen a través de esta matriz de un vector determinado,

digamos el vector ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=α

321

se procede de la siguiente manera:

T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

321

) = ∑=

β⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡m

1iii

B

))321

(T(

2

, siendo [ ]1

21

2 B

BB

B321

T)321

(T⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Hallamos:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

83 1

32.31.521

1

321

1B

Luego,

[ ]1

21

2 B

BB

B321

T)321

(T⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

83 1

141133

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡54

Por consiguiente,

T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

321

) = ∑=

β⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡m

1iii

B

))321

(T(

2

= 4. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01

+ 5. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1 1

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−5 1

Directamente con la transformación lineal se obtiene que:

T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

321

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

5 1

3221


227

Teorema 6.13. Sean T: ℜn→ℜm una T.L. y, B1 = {α1, α2, …, αn} y B2 = {β1, β2, …, βm} bases de ℜn y ℜm, respectivamente. Si A1∈Mnxn(ℜ) definida como una matriz particionada 1xn A1 = [α1 α2 … αn] y A2∈Mnxn(ℜ) definida como una matriz particionada 1xm A2 = [β1 β2 … βm] entonces se cumple que:

[ ] 21

BBT = 1T

12 AAA− .

Demostración Por definición,

[ ] 21

BBT = [ [ ] [ ] [ ]

222 BnB2B1 )(T)(T)(T ααα L ]

A su vez, existen escalares c1, c2, …, cn tales que:

∑=

β•=αm

1iiijj c)(T

Luego,

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=α

mj

j2

j1

Bj

c

cc

)(T2 M

Por consiguiente,

[ ] 21

BBT =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mn2m1m

n22221

n11211

ccc

cccccc

L

MMM

L

L

Ahora bien,

mmj2j21j1

m

1iiijj c...ccc)(T β•++β•+β•=β•=α ∑

=

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

βββ=α⇒

mj

j2

j1

m21j

c

cc

)(TM

L


228

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=α⇒

mj

j2

j1

2j

c

cc

A)(TM

Luego,

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=ααα

mn

n2

n1

2

2m

22

12

2

1m

21

11

2n21

c

cc

A

c

cc

A

c

cc

A)(T)(T)(TM

LMM

L

⇒ [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=ααα

mn

n2

n1

2m

22

12

1m

21

11

2n21

c

cc

c

cc

c

cc

A)(T)(T)(TM

LMM

L

⇒ [ ] [ ] 21

BB2n21 TA)(T)(T)(T =ααα L

Por otro lado, T(α) = ATα, es decir que:

[ ] [ ] 21

BB2nT2T1T TAAAA =ααα L

Por consiguiente,

[ ] [ ] 21

BB2n21T TAA =ααα L [ ] 2

1

BB21T TAAA =⇒

Como B2 = {β1, β2, …, βm} es una base entonces B2 es un conjunto L.I. Luego, la matriz A2 = [β1 β2 … βm] es no singular. Por lo tanto,

[ ] [ ] 1T1

2BB

BB21T AAATTAAA 2

121

−=⇒=

Ejemplo 6.11. En el ejemplo 6.9., la T.L. T: ℜ3→ℜ2 es definida por:

T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

ZYYX

Es sencillo verificar que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

11 0011

AT


229

Como B1 = {⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=α

2 11

1 , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=α

310

2 , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=α

100

2 } entonces ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

132 011001

A1

Como B2 = { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=β

01

1 , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=β

1 1

2 } entonces ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

1 011

A2

Se puede verificar fácilmente que ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

1011

A 12

Luego, [ ] 1T1

2BB AAAT 2

1

−= = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡141133

132 011001

11 0011

1011


230

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Determine cuáles de las siguientes funciones son T.L.:

1.1. T: ℜ3→ℜ3 definida por:

1.1.1. T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

3

1

12

XX

XX

1.1.2. T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ +

0X

1X

2

1

1.1.3. T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+0

XX0

21

1.1.4. T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1

3

21

XXXX

1.2. T: ℜ3→ℜ2 definida por:

1.2.1. T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1

2

XX

1.2.2. T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

3

21

XXX2

1.3. T: M2x2(ℜ)→M2x2(ℜ) tal que T(A) = A + At. 1.4. T: M2x2(ℜ)→ℜ tal que T(A) = Det(A). 1.5. T: M2x2(ℜ)→ℜ tal que T(A) = Traza(A).

2. Para cada una de las funciones anteriores que sean transformaciones

lineales determine Kernel, Imagen, Nulidad y Rango.

3. La función T: ℜ2→ℜ2 es una T.L. y verifica que T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡21

) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

2 0 1

y

T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡12

) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−12 0

. Determine las imágenes de los vectores ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡33

y

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1

0 .


231

4. Determine si existe una T.L. T: ℜ2→ℜ tal que T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡21

) = 3,

T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

) = –1 y T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡52

) = 2

19 .

5. Sea T: ℜ2→M3x3(ℜ) definida por T(X1, X2) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

212

211

11

XXX0 XXX0XX

5.1. Demuestre que T es una T.L. 5.2. Determine Kernel e Imagen de T, así como también bases

de estos subespacios.

6. Sea T: ℜ2→ℜ3 una T.L. definida por T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

XX

) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

0X

X2X

1

21

.

6.1. Determine la matriz asociada con T con respecto a las

bases { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡31

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−4 2

} de ℜ2 y {⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

111

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

022

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

003

} de ℜ3.

6.2. Calcular mediante esta matriz T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡38

).

7. Sea T: ℜ2→ℜ2 una T.L. tal que T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡11

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01

y T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1

1 ) = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡10

.

Determine la representación matricial de T con respecto a la base

{ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡11

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1

1 }

8. Determine una T.L. T: ℜ3→ℜ3 tal que:

Ker(T) = {⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

: 2X1 – X2 + X3 = 0}.

9. Sea T: ℜ3→ℜ2 una T.L. definida por T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

32

31

XXX2X

.


232

Determine la matriz asociada a T con respecto a las bases

{⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

111

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

022

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

003

} de ℜ3 y { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡02

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡20

} de ℜ2.

10. Sea T: M2x2(ℜ)→ℜ3 una T.L. definida por

T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

XXXX

) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++−+

432

421

321

XXXXXXXXX

10.1. Determine la matriz asociada a T con respecto a las bases

{ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1111

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0101

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1110

} de M2x2(ℜ) y

{⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

120

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

102

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

110

de ℜ3.

10.2. Utilizando la matriz determinada en 10.1., determine la

imagen de ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −22 31

.

11. Determine la T.L. T: ℜ3→ℜ2 tal que respecto a las bases

{⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

110

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

101

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

011

} de ℜ3 y { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡21

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡12

} de ℜ2 la matriz asociada es

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 111

00 1.

12. Sea Tφ: ℜ2→ℜ2 la T.L. representada por la matriz

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φφφ−φ)(Cos)(Sen)(Sen)(Cos

respecto a la base canónica de ℜ2. Demuestre

que si φ1∈ℜ y φ2∈ℜ entonces:

12.1. 2121

TTT φ+φφφ =o .

12.2. 21

TT 1φ−

−φ = .

13. Sea T: V→W una T.L., β∈W y α0∈V tal que T(α0) = β. Demuestre

que toda solución de T(α) = β es de la forma α0 + δ, donde δ∈Ker(T). 14. Sea B∈nxn(K) una matriz no singular. Demuestre que la T.L.

T: Mmxn(ℜ)→Mmxn(ℜ) definida por T(A) = AB es un isomorfismo.


233

15. Sean U, V y W espacios vectoriales y T1: V→W y T2: W→U T.L., tales que T1 y T2 son monomorfismos. Demuestre que T1°T2 es un monomorfismo.

16. Sea T: ℜ3→ℜ2 una T.L. y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

211112

la matriz asociada con T con

respecto a las bases canónicas de cada espacio. Determine la

preimagen por T del vector ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1 1

. ¿Es T un monomorfismo?.

17. Sea T: V→V una T.L. y tal que T2 – T + I = θ. Demuestre que T-1

existe y que T-1 = I – T.

18. Sea T :P2→M2x2(ℜ) tal que T(ax2+bx+c) =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

ca2b

2bca

.

18.1. Demuestre que T es una T.L. 18.2. Determine Imagen, Kernel, Rango y Nulidad de T. ¿Es T

un isomorfismo? 18.3. Determine la matriz asociada a T respecto a la base

{1+x, 1–x, x2–1} de P2 y la base canónica de M2x2(ℜ). Mediante esta matriz determine la Imagen por T de 4x2–3x+5.

19. Sea T:M2x2(ℜ)→ℜ3 tal que la matriz asociada con T respecto a la base

canónica de M2x2(ℜ) y la base {⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

111

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

022

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

003

} de ℜ3 es

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

0 31

32

31

210 2

1011 0 0

19.1. Determine la preimagen de ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

321

. ¿Es T inyectiva?

19.2. Sea T2: ℜ3→ℜ2 tal que T2(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

XXX

) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+

312

21

XXXXX

.

Determine la matriz asociada con (T2°T) con respecto a las bases canónicas de M2x2(ℜ) y ℜ2.


234

20. Sea T: ℜ4→P2 tal que T(

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4

3

2

1

aaaa

) = a1 + a2x + (a3+a4)x2.

20.1. Demuestre que T es una T.L. 20.2. Determine Kernel, Imagen, Rango y Nulidad de T.

21. Sea T: M2x2(ℜ)→P2 tal que:

T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba

) = (b–c)x2 + (3a–d)x + (4a–2c+d).

21.1. Determine el Kernel, Imagen, Rango y Nulidad de T. ¿Es T

un epimorfismo? 21.2. Determine la matriz asociada con T con respecto a las

bases { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

1143

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1112

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

1122

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1012

} de

M2x2(ℜ) y {2x–1, -5x2+3x-1, x2–2x+1} de P2.

21.3. Mediante esta matriz determine la imagen de ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321

.

22. Sea P2 el espacio vectorial de los polinomios de grado a lo sumo 2,

B = {1+2x, x2–2x+1, x2+x–1} una base de P2 y T: P2→P2 tal que la matriz asociada a T con respecto a la base B es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

2 58 13 40 31

22.1. Demuestre que T es un isomorfismo. 22.2. Determine T-1 y la matriz asociada con T-1 respecto a la

base B. 22.3. Mediante esta matriz, obtener T-1(p) siendo

p(x) = –x2–3x+2.

23. Sea P3 el espacio vectorial de los polinomios de grado a lo sumo 3 y T: P3→ℜ3 tal que la matriz asociada con T con respecto a las bases

B1 = {x3+x2, x2+x, x+1, 1} de P3 y B2 = {⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

31 2

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

0 31

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

2 63

} de ℜ3

es ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

142315125 41 26 1 915101

23.1. Determine si T es un monomorfismo.


235

23.2. Determine T(5x3–x2+3x+2). 23.3. Sea T2: ℜ3→ℜ2 tal que T2(x1, x2, x3) = (-2x1+3x3, x1+2x2–

x3) y la base B3 = { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

12

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡35

} de ℜ2. Determine la matriz

asociada con T2°T con respecto a las bases B1 y B3. ¿Es T2°T un monomorfismo?

24. Sea T: ℜ3→P2 tal que T(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

aaa

) = (a2–a1) + (a1+2a3)x + (a3–a2)x2.

24.1. Demuestre que T es un isomorfismo. 24.2. Determine T-1 y la matriz asociada a T-1 con respecto a las

bases {2x–1, 4x2+x+1, –x2+2x+1} de P2 y

{⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

222

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

013

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

004

} de ℜ3.

24.3. Mediante esta matriz determine T-1(p) siendo p(x) = 2x2–x+6.

25. Sea T: P2→P2 una T.L. y tal que la matriz asociada con T respecto a la

base B = {2x–1, 4x2–x+1, x2+2x+1} es ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

143132031

25.1. Demuestre que T es un isomorfismo. 25.2. Determine T-1. 25.3. Sea T2: ℜ3→P2 tal que:

T2(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

ccc

) = c3 + (c2–c1)x + (c3+2c2)x2.

Determine la matriz asociada a T°T2 respecto a las bases

B de P2 y {⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

111

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

022

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

004

} de ℜ3.

26. Sea P2 el espacio vectorial de los polinomios de grado a lo sumo 2,

B = {1+2x, x2–2x+1, x2+x–1} una base de P2 y T: P2→P2 tal que la matriz asociada con T respecto a la base B es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

2 58 13 40 31


236

26.1. Demuestre que T es un isomorfismo. 26.2. Determine T-1 y la matriz asociada con T-1 respecto a la

base B. 26.3. Mediante esta matriz, determinar T-1(p) siendo

p(x) = –x2–3x+2. 27. Sea T: M2x2(ℜ)→P3 una T.L. tal que la matriz asociada con T respecto

a las bases B1 y B2 es:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

1 0 2 111 0 2 0 13 1 3 2 1 0

B1 = { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0011

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−01 11

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −1 011

}

B2 = {x3+x2, x2+x, x+1, 1}

27.1. Determine T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1320

).

27.2. Demuestre que T es un isomorfismo. 27.3. Determine T-1.

27.4. Sea T2: ℜ3→M2x2(ℜ) tal que T2(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

cba

)= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++−

cbcababa

.

Determine la matriz asociada con T°T2 respecto a las bases

B2 y B3, siendo B3 = {⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

011

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

102

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

210

}. ¿Es T°T2 un

isomorfismo?

28. Determine la matriz de transición de B1 a B2 y de B2 a B1 en los siguientes casos:

28.1. V = ℜ2, B1 = { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=α

01

1 , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=α

10

2 }, B2 = { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=β

32

1 , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=β43

2 }

28.2. V = ℜ2, B1 = { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=α

32

1 , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=α43

2 }, B2 = { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=β

51

1 , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=β

62

2 }

28.3. V = P1, B1 = { 11=α , x2 =α }, B2 = { x321 +=β , x542 +−=β }

Capitulo 6 Transformaciones Lineales

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