Capítulo 8 - carlospitta.com 17 y 18.pdf · 13 Demanda condicionada •Esto es bastante familiar...

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Capítulo 8

Funciones de Costo

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Dos supuestos simplificadores:

• Solo existen dos factores productivos

– Trabajo (l), medido en horas

– Capital (k), medido en horas máquinas

• Muchos otros costos, como otros insumos que se

requieren también se incluyen aquí

• Los insumos son contratados en

mercados perfectamente competitivos

– Las firmas son tomadoras de precios en el

mercado de los insumos

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Beneficios Económicos• Los costos totales de la firma están dados

por:

Costo Total = C = wl + vk

• El Ingreso Total de la Firma está dado por:

Ingreso Total = pq = pf(k,l)

• El beneficio Económico ( ) está dado por:

= Ingreso Total - Costo Total

= pq - wl - vk

= pf(k,l) - wl - vk

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Beneficios Económicos

• El beneficio económico está en función

del monto de capital y trabajo empleados

– Así que podemos examinar específicamente

cómo una firma escoge k y l para maximizar

el beneficio

• Esto se conoce como la teoría de las

“demandas derivadas, contingentes, o

condicionadas”

– Por el momento asumiremos que la firma ya

ha escogido su nivel de producción (q0) y

que quiere minimizar sus costos

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Dos vías para el análisis

1. Maximizar el beneficio: Analizar

específicamente cómo una firma escoge

k y l

2. Minimizar el Costo: asumir que la firma

ya ha escogido su nivel de producción

(q0) y que quiere minimizar sus costos

De momento, usaremos el segundo método

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Elección de insumos que minimizan

los costos

• Para minimizar los costos de producir

un nivel determinado de producto, una

firma debe seleccionar un punto en la

isocuanta al cual su TMST sea igual al

cociente w/v

– Deberá igualar la tasa a la que k puede ser

intercambiado por l en el proceso

productivo a la tasa a la que puede

intercambiar dichos factores productivos

en el mercado de insumos

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los costos• Matemáticamente, queremos minimizar

el costo total dado por q = f(k,l) = q0

• Escribiendo el Langrageano:

L = wl + vk + [q0 - f(k,l)]

• Las condiciones de primer orden son:

L/ l = w - ( f/ l) = 0

L/ k = v - ( f/ k) = 0

L/ = q0 - f(k,l) = 0

8


los costos

• Dividiendo las dos primeras condiciones:

) for ( /

/kRTS

kf

f

v

wl

l

• Entonces, una firma que busca

minimizar el costo deberá igualar su

TMST al cociente de sus precios

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los costos

• Arreglando, tenemos:

w

f

v

fk l

• Si queremos minimizar los costos, el

producto marginal por dólar gastado

debe ser igual para todos los insumos

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los costos

• Note lo que significa la inversa de esta

función:

kf

v

f

w

l

• El multiplicador Langrangeano muestra

en cuanto se incrementará nuestro

costo si decidimos incrementar

marginalmente el producto (ya sea

usando más capital o más trabajo)

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q0

Dado el producto q0, queremos encontrar el

punto menos costoso en una isocuanta:

C1

C2

C3

Los costos están

representados por las líneas

paralelas de pendiente -w/v


los costos

l por período

k por período

C1 < C2 < C3

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C1

C2

C3

q0

El costo mínimo para producir q0 es C2


los costos

l por período

k por período

k*

l*

La elección óptima

es l*, k*

Esto ocurre en la

tangencia entre la

isocuanta y la expresión

de costo total

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Demanda condicionada

• Esto es bastante familiar para nosotros.

Recuerdo que antes desarrollamos un

mecanismo para que un consumidor

minimizara sus costos totales

– En esa ocasión, usamos dicho proceso de

minimización para encontrar una demanda

compensada (Hicksiana) por los bienes

• ¿Podremos usar esa misma tecnología

para encontrar las demandas de una

firma por insumos?

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Demanda condicionada

• La consecuencia de usar el segundo camino

(minimización de costos) nos conduce

igualmente a unas demandas por capital y

trabajo que son contingentes al nivel de

producto que se produce (igual que antes las

Hicksianas eran contingentes a la utilidad)

• Esta demanda por insumos son llamadas

demandas condicionadas o derivadas

– Y dependen del nivel de producción escogido

por la firma

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Senda de Expansión de la firma

• La firma puede determinar las combinaciones

minimizadoras de costo de k y l para cada

nivel particular de producto que desee

producir

• Si los costos de los insumos permanecen

constantes para todo nivel de k y l que la

firma pueda demandar, entonces podemos

dibujar dichas elecciones que minimizan el

costo

– Esto es llamado el sendero de expansión

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l por período

k por período

q00

El sendero de expansión es la combinación de

todas las tangencias que minimizan costos

q0

q1

E

La curva muestra cómo

los requerimientos de

insumos crecen a

medida que el producto

aumenta

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• La senda de expansión no tiene

necesariamente que ser una línea recta

– El uso de algunos insumos puede

incrementarse más rápido que otros a

medida que el producto se incrementa

• Y esto depende de la curvatura de la Isocuanta

• La senda de expansión no tiene

necesariamente que tener pendiente positiva

– Si el uso de un bien cae a medida que el

producto se expande, llamamos a dicho

insumo un inferior

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Minimización de Costos

• Suponga la función de producción

Cobb-Douglas:

q = k l

• El Langrangeano si deseamos

minimizar costos en la producción

de q0 es

L = vk + wl + (q0 - k l )

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• Las condiciones de primer orden para un

mínimo son:

L/ k = v - k -1l = 0

L/ l = w - k l -1 = 0

L/ = q0 - k l = 0

20


• Dividiendo las dos primeras expresiones

tenemos que:1

1

w k kTMST

v k

l

l l

• Esta función de producción es homotética

– La TMST depende sólo del cociente de los

dos insumos

– La senda de expansión es una línea recta

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• Suponga ahora que la función de

producción es la CES:

q = (k + l ) /

• El Langrangeano para minimizar

costos en la producción de q0 es

L = vk + wl + [q0 - (k + l ) / ]

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• Las condiciones de primer orden son:

L/ k = v - ( / )(k + l )( - )/ ( )k -1 = 0

L/ l = w - ( / )(k + l )( - )/ ( )l -1 = 0

L/ = q0 - (k + l ) / = 0

23


• Dividiendo las primeras dos ecuaciones

tenemos:/111

1

ll

kk

kv

w

• Esta función de producción también es

homotética

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Función de Costos Totales

• La Función de Costos Totales muestra

que para un conjunto cualesquiera de

costos de los insumos y nivel de

producción, el costo mínimo en el cual

podría incurrir la firma es:

C = C(v,w,q)

• A medida que la producción (q) se

incrementa, los costos totales también

se incrementan

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Función de Costos Medios

• A la Función de Costo Promedio (AC) la

encontramos calculando los costos

totales por unidad de producto

( , , )costo promedio ( , , )

C v w qAC v w q

q

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Función de Costos Marginales

• A la Función de Costos Marginales

(MC) la encontramos derivando el

cambio en los costos totales ante

cambio en el producto

( , , )Costo Marginal ( , , )

C v w qMC v w q

q

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Análisis Gráfico de los Costos Totales

• Suponga que se necesitan k1 unidades de

capital y l1 unidades de trabajo para

producir una unidad de producto:

C(q=1) = vk1 + wl1

• Para producir m unidades de producto (y

asumiendo Retornos Constantes a

Escala)

C(q=m) = vmk1 + wml1 = m(vk1 + wl1)

C(q=m) = m C(q=1)

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Producto

Costo

Total

C

Con retornos constantes a escala, los

costos totales son proporcionales al

productoAC = MC

Tanto AC como

MC serán

constantes

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• Ahora, suponga que los costos totales

comienzan siendo cóncavos y que

después se tornan convexos a medida

que el producto crece– Una posible explicación para que esto ocurra es

que existe un tercer factor de producción que se

encuentra fijo a medida que K y L se incrementan

– Los costos totales comienzan a incrementarse

rápidamente justo después de la sección de

retornos decrecientes

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Producto

Costo

Total

C

El costo total sube

dramáticamente a

medida que sube el

producto justo

después de los

retornos decrecientes

31


Producto

Costos

Medio y

Marginal

MC

MC es la pendiente de la curva C

AC

Si AC > MC,

AC debe estar

cayendo

Si AC < MC,

AC debe estar

subiendomin AC

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Desplazamientos de las

curvas de costos• Las curvas de costos se dibujan bajo el

supuesto de que tanto los precios como

los niveles de tecnología se mantienen

constantes

– Cualquier cambio en dichos factores

causará un desplazamiento de las curvas

de costos

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Ejemplos de Funciones de Costo

• Suponga que tenemos una tecnología

de proporciones fijas como

q = f(k,l) = min(ak,bl)

• La producción ocurrirá en el vórtice de

las isocuantas, que tienen forma de L

(En particular, q = ak = bl)

C(w,v,q) = vk + wl = v(q/a) + w(q/b)

b

w

a

vaqvwC ),,(

34


• Suponga ahora que tenemos una

tecnología de producción Cobb Douglas

q = f(k,l) = k l

• La minimización de costos requiere

que:

l

k

v

w

lv

wk

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• Si sustituimos dicha condición en la función

de producción y despejamos l, tenemos:

//

/

/1 vwql

• De la misma forma tenemos para k:

//

/

/1 vwqk

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• Ahora nos encontramos en condiciones de

derivar la función de costo total como:///1),,( wBvqwvkqwvC l

Donde

//)(B

es una constante compuesta

únicamente de los parámetros y

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• Suponga que tenemos una tecnología CES

tal que:

q = f(k,l) = (k + l ) /

• Para derivar la función de costos totales,

usamos el mismo método para

(eventualmente) obtener:/)1(1/1//1 )(),,( wvqwvkqwvC l

1/111/1 )(),,( wvqqwvC

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Propiedades de las Funciones de Costo

Las funciones de costo son:

1. Homogéneas

– Las funciones de costo son homogéneas

de grado 1 en los precios de los insumos• La minimización de costos requiere que el cociente de

los precios de los insumos sea igual a la TMST, por lo

que doblar todos los precios de los insumos no cambiará

los niveles comprados de dichos insumos

• Una inflación pura y uniforme no cambiará las decisiones

de consumo de insumos de la firma, pero incrementará

sí las funciones de costos

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2. No decrecientes en q, v, y w

– Las funciones de costo son derivadas de

un proceso de minimización de costos

• Cualquier disminución en los costos que

provenga de un incremento en alguno de los

factores productivos significaría una

contradicción

40



3. Cóncavas en los precios de los

insumos

– Los costos serán menores si una firma

enfrenta precios de insumos que fluctúan

alrededor de un nivel dado, que cuando

permanecen constantes en dicho nivel

• Intuición: la firma puede adaptar la mezcla de

sus insumos para tomar ventaja de dichas

fluctuaciones

41

C(v,w,q1)

Dado que la mezcla de

insumos de la firma muy

seguramente cambiará,

los costos serán menores

que Cpseudo , por ejemplo,

C(v,w,q1)

Cpseudo

Si la firma continua

comprando los mismos

insumos a medida que w

cambia, su función de

costos será Cpseudo

Concavidad de las Funciones de Costos

w

Costos

En w1, los costos de la firma son

C(v,w1,q1)

C(v,w1,q1)

w1

42

Propiedades de las Funciones

de Costo• Algunas de estas propiedades son

llevadas a las curvas de costo promedio

y marginal. Por ejemplo:

– Homogeneidad

43

Sustitución de Insumos

• Un cambio en el precio de un insumo

ocasionará que la firma altere su mezcla de

insumos seleccionada

• Desearíamos ver como k/l cambia en

respuesta a un cambio en w/v, mientras

dejamos q constante:

?

k

w

v

l

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Sustitución de InsumosDejando la expresión anterior en términos

proporcionales (elasticidades) tenemos que:

)/ln(

)/ln(

/

/

)/(

)/(

vw

k

k

vw

vw

ks

l

l

l

nos da una definición alternativa de la

elasticidad de sustitución– Para el caso de dos insumos, s debe ser no

negativa

– Valores relativamente altos de s indican que las

firmas cambian su mezcla de insumos

significativamente a medida que los precios de los

insumos varían

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Tamaño de los Cambios de las

Funciones de Costo

• El incremento en costos será

influenciado en gran medida por la

significancia relativa del insumo en el

proceso productivo

• Si las firmas pueden sustituirlo

fácilmente cuando sube su precio, el

incremento en los costos puede ser

pequeño

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Progreso Tecnológico

• Mejoras tecnológicas también

disminuyen las curvas de costos

• Suponga que el costo total (con

retornos constantes a escala) es

C0 = C0(q,v,w) = qC0(v,w,1)

Ahora suponga que el producto también

depende del tiempo (o, más específicamente,

como evoluciona la tecnología en el tiempo)

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Progreso Tecnológico

• Ahora, los mismos insumos que

produjeron una unidad de producto en el

período 0 producirán A(t) unidades en el

período t

Ct(v,w,A(t)) = A(t)Ct(v,w,1)= C0(v,w,1)

• Los costos totales están dados por:

Ct(v,w,q) = qCt(v,w,1) = qC0(v,w,1)/A(t)

= C0(v,w,q)/A(t)

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Desplazando la Función de Costos Cobb Douglas

• La función de Costos Cobb-Douglas es:///1),,( wBvqwvkqwvC l

Donde//)(B

• Si asumimos que = = 0.5, la curva

de costo total se simplifica a:

5.05.02),,( wqvwvkqwvC l

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• Si v = 3 y w = 12, la relación es:

qqqC 12362),12,3(

– C = 480 para producir q =40

– AC = C/q = 12

– MC = C/ q = 12

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• Si v = 3 y w = 27, la relación es:

qqqC 18812),27,3(

– C = 720 para producir q =40

– AC = C/q = 18

– MC = C/ q = 18

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Demanda Condicionada por

Insumos• Las demandas contingentes o

condicionadas por insumos para todos

los insumos que una firma emplea

pueden ser derivadas de la función de

costos

– Hay que usar el Lemma de Shephard

• La demanda condicionada por insumos está

dada por la derivada parcial de la función de

costos con respecto al precio del insumo que

nos interesa

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Insumos• Suponga que tenemos una tecnología

de proporciones fijas

• La función de costos es:

b

w

a

vaqvwC ),,(

53


Insumos• Para esta función de costos, las

demandas condicionadas son bastante

simples:

a

q

v

qwvCqwvk c ),,(

),,(

b

q

w

qwvCqwvc ),,(

),,(l

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Insumos• Ahora suponga que tenemos una

tecnología Cobb-Douglas

• La función de costos es:

///1),,( wBvqwvkqwvC l

55


Insumos• Para esta función de costos, la

derivación es más compleja:

/

/1

///1

),,(

v

wBq

wBvqv

Cqwvk c

56


Insumos

/

/1

///1

),,(

v

wBq

wBvqw

Cqwvcl

• En este caso, la demanda compensada

por los insumos depende de ambos

precios de los insumos

57

Distinción entre Corto y Largo Plazo

• En el corto plazo, los agentes económicos

gozan de una flexibilidad limitada en sus

acciones

• Ahora asuma que el capital se mantiene

constante en k1 y que la firma sólo es libre de

elegir cuanto trabajo contratará

• La función de producción bajo estas

condiciones se transforma a:

q = f(k1,l)

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Costo Total a Corto Plazo

• Los costos totales a corto plazo para la

firma son ahora:

SC = vk1 + wl

• Existen dos tipos de costos a corto

plazo:

– Costos fijos a corto plazo, asociados con

insumos fijos (vk1)

– Costos variables a corto plazo son costos

asociados con los insumos variables (wl)

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• Los costos a corto plazo no son los

costos mínimos para la producción de

un determinado nivel de producto

– La firma no tiene la flexibilidad de

seleccionar los insumos como quisiera

– Para variar su producción en el corto

plazo, la firma debe utilizar combinaciones

de insumos sub óptimas

– En este caso, la TMST no será igual al

cociente de los precios de los insumos

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l por período

k por período

q0

q1

q2

k1

l1 l2 l3

Debido a que el capital es fijo en k1,

la firma no puede igualar su TMST

con el cociente del precio de los

insumos.

61

Costo Marginal y Medio a Corto Plazo

• La función de Costo Total Promedio a

corto plazo (SAC) es:

SAC = Costo Total/Producto Total = SC/q

• La función de Costo Marginal a corto plazo

(SMC) es:

SMC = cambio en SC/cambio en producto =

SC/ q

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Relación entre los Costos a Corto y Largo Plazo

Producto

Costos

Totales

SC (k0)

SC (k1)

SC (k2)

La curva C a largo

plazo puede ser

derivada variando

los niveles de k

q0 q1 q2

C

63


Producto

Costos

Aquí se muestra

la relación

geométrica que

guardan a corto y

largo plazo las

curvas AC y MC

q0 q1

AC

MCSAC (k0)SMC (k0)

SAC (k1)SMC (k1)

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• En el punto mínimo de la curva AC ocurre:

– Que la curva MC intercepta la curva AC

• MC = AC solo en este punto

– Que la curva SAC es tangente a la curva AC

• SAC (para este nivel de k) se minimiza al mismo

nivel de producto que AC

• SMC interseca SAC también en este punto

AC = MC = SAC = SMC

65

¡Puntos Importantes!

• Una firma que desee minimizar los

costos económicos de producir un

nivel particular de producto deberá

escoger la combinación de insumos a

la cual la Tasa Marginal de Sustitución

Técnica (TMST) es igual al cociente

de los precios de los insumos

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• Si aplicamos repetidamente este

proceso de minimización obtendremos

la senda de expansión de la firma

– La senda de expansión muestra como el

uso de un insumo se expande con los

niveles de producción

• También muestra la relación entre los niveles

de producción y los costos totales

• Esta relación se sumariza en la función de

costos totales, C(v,w,q)

67


• El costo promedio de la firma (AC =

C/q) y el costo marginal (MC =

C/ q) pueden ser derivados

directamente de la función de costo

total

– Si la curva de costos totales tiene una

forma cúbica, tanto la curva AC como la

curva MC tendrán forma de U

68


• Todas las curvas de costos son dibujadas bajo el

supuesto de que los precios de los insumos

permanecen constantes

– Cuando el precio de un insumo cambia, las

curvas de costo se desplazan

• El tamaño de dichos cambios estará

determinado por la importancia de dicho

insumo en la función de producción,

específicamente por la capacidad de la firma

de sustituirlo

– El progreso técnico también desplaza a las

curvas de costos

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• Pueden obtenerse funciones de

demanda por insumos a partir de la

función de costo total de la firma

usando el lemma de Shephard

– Estas demandas dependerán de la

cantidad de producto seleccionado por la

empresa

• Son llamadas “Demandas contingentes” o

“Demandas condicionadas” (al nivel de

producción)

70


• En el corto plazo, es posible que la firma se

vea imposibilitada a variar el nivel de cierto

insumo

– Entonces, solo puede alterar su nivel de

producción únicamente a través de

cambios en el uso de los otros factores

productivos

– Puede tener que utilizar combinaciones

más costosas y sub óptimas de insumos

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