Capitulo 8 Formas Cuadraticas

Capítulo 8

FORMAS CUADRÁTICAS 8.1. INTRODUCCIÓN. En este capítulo se presenta un concepto fundamental para la teoría de la probabilidad, específicamente para el estudio de la distribución normal multivariante, como lo es el concepto de Forma Cuadrática. Se exponen sus principales temas asociados como lo son las Representaciones Normal y Canónica, la Clasificación y la Derivada de Formas Cuadráticas. 8.2. DEFINICIONES, PROPIEDADES Y EJEMPLOS. Definición 8.1. Sean B∈Mnxn(ℜ) y f: ℜn→ℜ. Se dice que f es una forma cuadrática con matriz asociada B si y sólo si:

f(X) = XtBX

Observación:

Desarrollando se obtiene que:

f(X) = f(X1, X2, …, Xn) = [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

n21

X

XX

BBB

BBBBBB

XXXM

L

MMM

L

L

L

= ∑∑= =

n

1i

n

1jjiij XXB

Ejemplo 8.1. Sea f: ℜ3→ℜ definida por:

322123

22

21321 XX2XX2XX2X)X,X,X(f +−++=

Esta función es una forma cuadrática, ya que su regla de correspondencia es de

la forma ∑∑= =

3

1i

3

1jjiij XXB . Luego, B11 = 1, B12 = -2, B13 = 0, B21 = 0, B22 = 2,

B23 = 2, B31 = 0, B32 = 0 y B33 = 1 y la matriz:

CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS

287

B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

1 0 02 2 00 21

es una matriz asociada a la forma cuadrática f. Pero f también puede escribirse de la siguiente forma:

32122123

22

21321 XX2XXXXXX2X)X,X,X(f +−−++=

En ese caso, B11 = 1, B12 = -1, B13 = 0, B21 = -1, B22 = 2, B23 = 2, B31 = 0, B32 = 0 y B33 = 1 y la matriz:

B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

1 0 0 2 2 10 11

es también una matriz asociada a la forma cuadrática f. Observación: El ejemplo anterior evidenció que una forma cuadrática puede tener más de una matriz asociada. Para identificar a una forma cuadrática con una única matriz, se obtiene una matriz B asociada a la función y luego se calcula la siguiente matriz:

)BB(21A t+=

La matriz A es simétrica y de hecho es la única matriz simétrica asociada a la forma cuadrática f. Con dicha matriz es que se identifica de forma única una forma cuadrática. Ejemplo 8.2. La única matriz simétrica asociada a la forma cuadrática del ejemplo 8.1., es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1 1 0 1 2 10 11

)1 2 0 0 2 20 0 1

1 0 02 2 00 21

(21A

Definición 8.2. Sean A, B∈Mnxn(ℜ). Se dice que A es congruente con B si y sólo si:

∃ P∈Mnxn(ℜ) (P no singular): PtAP = B

ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS

288

Si además A y B son las matrices simétricas asociadas a las formas cuadráticas f: ℜn→ℜ y g: ℜn→ℜ, respectivamente, entonces se dice que las formas cuadráticas f y g son congruentes. Si además P es ortogonal entonces se dice que tanto A y B como f y g son ortogonalmente congruentes. Observaciones: Si A es congruente con B entonces:

1. Rango(B) = Rango(PtAP) = Rango(A). 2. Como P es no singular entonces P se puede escribir como un

producto de matrices elementales, en este caso como P aparece postmultiplicando a A dichas matrices elementales son obtenidas con operaciones elementales de columnas, es decir, P = FsFs-1…F1. Luego, Pt = (FsFs-1…F1)t = (F1)t(F2)t…(Fs)t = E1E2…Es. Luego,

E1E2…EsAFsFs-1…F1 = B

3. Las matrices elementales E1, E2, …, Es se pueden elegir de forma

tal que E1E2…EsA sea una matriz triangular, digamos triangular superior. Luego,

E1E2…EsA = T; siendo Pt = E1E2…Es

Tomando transpuesta a ambos lados se obtiene que:

(E1E2…EsA)t = Tt At(E1E2…Es)t = Tt AtFsFs-1…F1 = Tt

Si A es simétrica entonces se tiene que:

AFsFs-1…F1 = Tt ⇒ E1E2…EsAFsFs-1…F1 = E1E2…EsTt

Es decir, A es congruente con la matriz E1E2…EsTt. Pero T es triangular superior, en consecuencia, Tt es triangular inferior y como E1E2…Es logran una matriz triangular superior entonces la matriz E1E2…EsTt es una matriz diagonal. Por lo tanto, si A es simétrica entonces A es congruente con una matriz diagonal, no necesariamente igual a la matriz de autovalores de A.

Ejemplo 8.3. Consideremos la forma cuadrática del ejemplo 8.1. La matriz simétrica asociada es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

1 1 0 1 2 10 11

A


289

Apliquemos operaciones elementales de fila sobre A para obtener una matriz triangular superior equivalente por filas a A. Dichas operaciones serán aplicadas simultáneamente sobre la matriz I3 para obtener a la vez la matriz Pt:

[A| I3] = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

100010001

1 1 0 1 2 10 11

⎯⎯⎯ →⎯ +→ 122 rrr

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

100011001

1 1 0 1 1 0 0 11

⎯⎯⎯ →⎯ −→ 233 rrr

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

1 110 1 1 0 0 1

0 0 0 1 1 0 0 11

= [T | Pt]

Por lo tanto,

T = PtA = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

0 0 0 1 1 0 0 11

P = (Pt)t = (⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−− 1 110 1 1 0 0 1

)t = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

1 0 011 011 1

Luego,

D = PtAP = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

0 0 0 1 1 0 0 11

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

1 0 011 011 1

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0 0 00 1 00 0 1

Por consiguiente, A es congruente con la matriz diagonal D. Teorema 8.1. Sean A∈Mnxn(ℜ). A es simétrica si y sólo si A es ortogonalmente congruente con su matriz de autovalores Dλ(A). Demostración CN (⇒): Si A es simétrica entonces A es ortogonalmente congruente con su matriz de autovalores Dλ(A). Si A es simétrica entonces por el teorema 7.17. A es diagonalizable ortogonalmente, es decir:

∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): PtAP = Dλ(A)

Luego, A es congruente con Dλ(A).


290

CS (⇐): Si A es ortogonalmente congruente con su matriz de autovalores Dλ(A) entonces A es simétrica. Si A es ortogonalmente congruente con su matriz de autovalores Dλ(A) entonces:

∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): PtAP = Dλ(A) ⇒ ∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): PPtAPPt = PDλ(A)Pt

⇒ ∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): A = PDλ(A)Pt ⇒ ∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): At = (PDλ(A)Pt)t ⇒ ∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): At = (Pt)t(Dλ(A))tPt ⇒ ∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): At = P(Dλ(A))tPt

Como Dλ(A) es una matriz diagonal entonces es simétrica, luego:

∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): At = PDλ(A)Pt Por lo tanto, A = At, es decir, A es simétrica.

Definición 8.3. Sea A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica. Se define como índice de A y se denota por Indice(A) al número de autovalores positivos de A. Ejemplo 8.4. Consideremos la forma cuadrática del ejemplo 8.1. La matriz simétrica asociada es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

1 1 0 1 2 10 11

A

Hallemos sus autovalores. Se puede demostrar que su autopolinomio es:

λ−λ+λ−=λ 34)(P 23A

Los autovalores de A son λ1 = 1, λ2 = 3 y λ3 = 0. Por lo tanto, Indice(A) = 2. Ejemplo 8.5. Consideremos la Varianza de un grupo de n datos cuantitativos X1, X2, …, Xn:

n

)XX(S

n

1i

2i

2∑=

−=


291

⇒ ∑=

−=n

1i

2i

2 )XX(nS

Veamos que nS2 es una forma cuadrática. Se puede demostrar que:

∑ ∑= =

−=−n

1i

2n

1i

2i

2i XnX)XX(

Luego,

n

X

n

XnXXXnXXnX

n

1ii

n

1iin

1i

2i

n

1i

2i

2n

1i

2i

∑∑∑∑∑ ==

===

−=−=−

∑∑∑===

−=n

1ii

n

1ii

n

1i

2i XX

n1X = X))((X

n1XX t

nntt 11−

= X)))((n1I(X t

nnnt 11−

= XtPX; con X =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

X

XX

M

Por lo tanto, nS2 es una forma cuadrática con matriz simétrica asociada la matriz de centraje. Por el ejemplo 7.19., dicha matriz tiene como autovalores λ1 = 0 con r1 = 1 y λ2 = 1 con r2 = n – 1. En consecuencia, Indice(P) = n – 1. Teorema 8.2. Sea A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica. Si Rango(A) = r e Indice(A) = p entonces A es congruente con la matriz diagonal D´(A) definida por:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθθ−θθθ

=′

−−−−−

−−−−

−−

)rn(x)rn()pr(x)rn(xp)rn(

)rn(x)pr(prxp)pr(

)rn(px)pr(pxp

II

)A(D

Demostración Como A es simétrica entonces por el teorema 8.1., A es ortogonalmente congruente con su matriz de autovalores o forma canónica de Jordan de A, es decir,

∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): PtAP = Dλ(A) (1)


292

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que en la matriz Dλ(A) los primeros p autovalores son los positivos de A, los siguientes r – p autovalores son los negativos de A y los últimos n – r autovalores son los nulos de A. Sea C∈Mnxn(ℜ) la matriz definida por:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≠+==

==λ

=j i si 0

n ..., 1,r i j; i si c

r ..., 2, 1, i j;i si 1

Ci

ij ; c∈ℜ*

Es claro que C es una matriz diagonal y no singular. Premultiplicando y postmultiplicando a ambos lados de (1) por Ct y C, respectivamente se tiene que:

CtPtAPC = CtDλ(A)C (PC)tA(PC) = CtDλ(A)C

Como P y C son no singulares entonces la matriz Q∈Mnxn(ℜ); Q = PC es también no singular. Luego,

∃Q∈Mnxn(ℜ) (Q no singular): QtAQ = CtDλ(A)C Por lo tanto, A es congruente con la matriz CtDλ(A)C, cuyo elemento genérico es:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≠+==

+==λ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

==λ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

=λ

ji si 0 n ..., 1,r i j; i si 0.c

r ..., 1,p i j; i si 1

p ..., 2, 1, i j; i si 1

)C)A(DC(

2

i

2

i

i

2

i

ijt

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≠+==

+==λλ

==λλ

=

ji si 0 n ..., 1,r i j; i si 0

r ..., 1,p i j; i si

p ..., 2, 1, i j; i si

i

i

i

i


293

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≠+==

+==λ−λ

==λ+λ

=

ji si 0 n ..., 1,r i j; i si 0

r ..., 1,p i j; i si

p ..., 2, 1, i j; i si

i

i

i

i

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≠+==+==−

==

=

ji si 0 n ..., 1,r i j; i si 0 r ..., 1,p i j; i si 1

p ..., 2, 1, i j; i si 1

Es decir, CtDλ(A)C = D´(A). Se concluye que A es congruente con la matriz D´(A). Ejemplo 8.6. Consideremos la forma cuadrática del ejemplo 8.1. La matriz simétrica asociada es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

1 1 0 1 2 10 11

A

Sus autovalores son λ1 = 1, λ2 = 3 y λ3 = 0. La matriz Dλ(A) es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=λ

000030001

)A(D

Se puede verificar que los autoespacios asociados a dichos autovalores son:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ℜ∈

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=ℜ∈= *31 a;

220

22

aX:X)A(V

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ℜ∈

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=ℜ∈= *33 b;

66

36

66

bX:X)A(V


294

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ℜ∈

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=ℜ∈= *30 c;

33

33

33

cX:X)A(V

La matriz P ortogonal que hace a A ortogonalmente congruente con Dλ(A) es:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

33 6

6 22

33

36 0

33

66

22

P

Se sabe que Indice(A) = 2 y Rango(A) = 2. Luego, la matriz C es:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

c00

03

10001

C ; c∈ℜ*

La matriz Q es:

Q =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

33 6

6 22

33

36 0

33

66

22

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

c00

03

10001

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

3c3 6

22

23

c33

2 03

c36

22

2

La matriz D´(A) es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=′

000010001

)A(D

A es congruente con D´(A) y se verifica que QtAQ = D´(A).


295

8.3. REPRESENTACIONES NORMAL Y CANÓNICA DE UNA FORMA CUADRÁTICA. Teorema 8.3. (Representación Normal de una Forma Cuadrática) Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica de rango r y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. Si λi∈ℜ*, ∀ i = 1, 2, …, r, tal que λi es autovalor no nulo de A entonces existe una forma cuadrática Nf: ℜn→ℜ

definida por Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=

λr

1i

2iiY ortogonalmente congruente con f y

tal que f = Nf (la forma cuadrática Nf se dice que es la representación normal de la forma cuadrática f). Demostración Como A es simétrica, por el teorema 8.1., es ortogonalmente congruente con su matriz de autovalores Dλ(A), es decir:

∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): PtAP = Dλ(A)

En consecuencia, la forma cuadrática f es ortogonalmente congruente con la forma cuadrática Nf cuya matriz simétrica asociada es Dλ(A), es decir, Nf(Y) = YtDλ(A)Y. Desarrollando se obtiene que:

Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=

λr

1i

2iiY

Por otro lado, si X = PY entonces:

f(X) = XtAX = (PY)tA(PY) = YtPtAPY = YtDλ(A)Y = Nf(Y) Ejemplo 8.7. La representación normal de la forma cuadrática f del ejemplo 8.1., es:

22

21321 Y3Y)Y,Y,Y(Nf +=

Teorema 8.4. (Representación Canónica de una Forma Cuadrática) Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. Si Indice(A) = p y Rango(A) = r entonces existe una forma cuadrática Cf: ℜn→ℜ definida por

Cf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑∑+==

−r

1pi

2i

p

1i

2i YY congruente con f y tal que f = Cf

(la forma cuadrática Cf se dice que es la representación canónica de la forma cuadrática f).


296

Demostración Como A es simétrica, Indice(A) = p y Rango(A) = r por el teorema 8.2., es congruente con la matriz D´(A), es decir:

∃P∈Mnxn(ℜ) (P no singular): PtAP = D´(A)

En consecuencia, la forma cuadrática f es congruente con la forma cuadrática Cf cuya matriz simétrica asociada es D´(A), es decir, Cf(Y) = YtD´(A)Y. Desarrollando se obtiene que:

Cf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑∑+==

−r

1pi

2i

p

1i

2i YY

Por otro lado, si X = PY entonces:

f(X) = XtAX = (PY)tA(PY) = YtPtAPY = YtD´(A)Y = Cf(Y) Ejemplo 8.8. La representación canónica de la forma cuadrática f del ejemplo 8.1., es:

22

21321 YY)Y,Y,Y(Cf +=

Teorema 8.5. Sean A, B∈Mnxn(ℜ) matrices simétricas y f, g: ℜn→ℜ formas cuadráticas con matrices simétricas asociadas A y B, respectivamente. La forma cuadrática f es congruente con g si y sólo si f y g tienen la misma representación canónica. Demostración CN(⇒): Si f es congruente con g entonces f y g tienen la misma representación canónica. Si f es congruente con g entonces A es congruente con B. Luego:

∃P∈Mnxn(ℜ) (P no singular): PtAP = B (2) Como B es simétrica entonces por el teorema 8.2., es congruente con la matriz D´(B), es decir:

∃Q∈Mnxn(ℜ) (Q no singular): QtBQ = D´(B) ∃Q∈Mnxn(ℜ) (Q no singular): B = (Qt)-1D´(B)Q-1 (3)

Sustituyendo (3) en (2) se tiene que:

∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): PtAP = (Qt)-1D´(B)Q-1 ∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): QtPtAPQ = D´(B)

∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): (PQ)tA(PQ) = D´(B) ∃R∈Mnxn(ℜ) (R no singular) (R = PQ): RtAR = D´(B)


297

Luego, A es congruente con D´(B) y en consecuencia la forma cuadrática f es congruente con la forma cuadrática Cg. Análogamente se demuestra que la forma cuadrática g es congruente con la forma cuadrática Cf. Por lo tanto, la representación canónica de f es Cg y la representación canónica de g es Cf. En consecuencia, Cf = Cg. CS(⇐): Si f y g tienen la misma representación canónica entonces f es congruente con g. Si f y g tienen la misma representación canónica entonces A y B son congruentes con una común matriz D´, es decir:

∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): PtAP = D´ y QtBQ = D´ ⇒ ∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): PtAP = QtBQ

⇒ ∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): (Qt)-1PtAPQ-1 = B ⇒ ∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): (Q-1)tPtAPQ-1 = B ⇒ ∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): (PQ-1)tA(PQ-1) = B

⇒ ∃R∈Mnxn(ℜ) (R no singular) (R = PQ-1): RtAR = B Luego, A es congruente con B y por lo tanto f es congruente con g. 8.4. CLASIFICACIÓN DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS. Definición 8.4. Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. Se dice que f es:

1. Definida Positiva si y sólo si ∀ X∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) > 0. 2. Semidefinida Positiva si y sólo si ∀ X∈ℜn: f(X) ≥ 0 y

∃ X∈ℜn(X ≠ θnx1): f(X) = 0. 3. Definida Negativa si y sólo si ∀ X∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) < 0. 4. Semidefinida Negativa si y sólo si ∀ X∈ℜn: f(X) ≤ 0 y

∃ X∈ℜn(X ≠ θnx1): f(X) = 0. 5. Indefinida si y sólo si ∃ X1, X2∈ℜn (X1 ≠ θnx1, X2 ≠ θnx1):

f(X1) > 0 y f(X2) < 0.

Igualmente se dice que la matriz simétrica A adopta la clasificación de su forma cuadrática f. Ejemplo 8.9. Sean f1, f2, f3, f4, f5: ℜ3→ℜ definidas por:

312332

2221

213211 XX2X2XX2X2XX2X2)X,X,X(f −+−++=

23

2221

213212 X3X4XX4X)X,X,X(f +++=

312332

2221

213213 XX2X2XX2X2XX2X2)X,X,X(f +−+−−−=

23

2221

213214 X3X4XX4X)X,X,X(f −−−−=

23

22

213215 XXX)X,X,X(f −+=


298

1. f1 es definida positiva ya que:

312332

2221

213211 XX2X2XX2X2XX2X2)X,X,X(f −+−++=

3123

2332

22

2221

21

21 XX2XXXX2XXXX2XX −++−++++=

)XXX2X()XXX2X()XXX2X( 2331

21

2332

22

2221

21 +−++−+++=

231

232

221 )XX()XX()XX( −+−++=

A su vez, f1(X1, X2, X3) = 0 si y sólo si X1+X2= X2–X3 = X1–X3 = 0, es decir, si y sólo si:

X1 = –X2, X2 = X3 y X1 = X3 ⇒ X1 = –X3 y X1 = X3

⇒ –X3 = X3 ⇒ 2X3 = 0 ⇒ X3 = 0 ⇒ X1 = 0 ⇒ X2 = 0

Luego, f1(X1, X2, X3) = 0 si y sólo si X1 = X2 = X3 = 0. Por lo tanto, ∀ X∈ℜ3 (X ≠ θ3x1): f1(X) > 0.

2. f2 es semidefinida positiva ya que:

23

2221

213212 X3X4XX4X)X,X,X(f +++=

23

221 X3)X2X( ++= > 0.

A su vez, f3(X1, X2, X3) = 0 si y sólo si X1 + 2X2 = 0 y X3 = 0, es decir, X1 = –2X2 y X3 = 0. Luego, existen X1 = –2, X2 = 1 y X3 = 0 para los cuales f2(X1, X2, X3) = 0. En consecuencia, ∀ X∈ℜ3: f2(X) ≥ 0 y ∃ X∈ℜ3(X ≠ θ3x1): f2(X) = 0.

3. f3 es definida negativa ya que:

312332

2221

213213 XX2X2XX2X2XX2X2)X,X,X(f +−+−−−=

)XX2X2XX2X2XX2X2( 312332

2221

21 −+−++−=

)X,X,X(f 3211−= Como ∀ X∈ℜ3 (X ≠ θ3x1): f1(X) > 0 entonces ∀ X∈ℜ3 (X ≠ θ3x1): –f1(X) < 0, es decir, ∀ X∈ℜ3 (X ≠ θ3x1): f3(X) < 0.

4. f4 es semidefinida negativa ya que:

23

2221

213214 X3X4XX4X)X,X,X(f −−−−=

)X3X4XX4X( 23

2221

21 +++−=

)X,X,X(f 3212−=


299

Como ∀ X∈ℜ3: f2(X) ≥ 0 y ∃ X∈ℜ3(X ≠ θ3x1): f2(X) = 0 entonces ∀ X∈ℜ3: –f2(X) ≤ 0 y ∃ X∈ℜ3(X ≠ θ3x1): –f2(X) = 0, es decir, ∀ X∈ℜ3: f4(X) ≤ 0 y ∃ X∈ℜ3(X ≠ θ3x1): f4(X) = 0.

5. f5 es indefinida ya que:

Para X1 = 1, X2 = 1 y X3 = 1, 1)X,X,X(f 3215 = > 0 y para X1 = 0,

X2 = 0 y X3 = 1, 1)X,X,X(f 3215 −= < 0.

Así, ∃ X1, X2∈ℜ3 (X1 ≠ θ3x1, X2 ≠ θ3x1): f5(X1) > 0 y f5(X2) < 0. Teorema 8.6. Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. f es:

1. Definida Positiva si y sólo si A tiene todos sus autovalores positivos, es decir, Indice(A) = Rango(A) = n.

2. Semidefinida Positiva si y sólo si A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un autovalor positivo y ningún autovalor negativo, es decir, Indice(A) = Rango(A) < n.

3. Definida Negativa si y sólo si A tiene todos sus autovalores negativos, es decir, Indice (A) = 0 y Rango(A) = n.

4. Semidefinida Negativa si y sólo si A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un autovalor negativo y ningún autovalor positivo, es decir, Indice(A) = 0 y Rango(A) < n.

5. Indefinida si y sólo si A tiene al menos un autovalor positivo y al menos un autovalor negativo, es decir, 0 < Indice(A) < Rango(A) ≤ n.

Demostración

1. CN(⇒): Si A es definida positiva entonces A tiene todos sus autovalores positivos, es decir, Indice(A) = Rango(A) = n.

Sea λ autovalor de A con autovector asociado X. Luego,

AX = λX ⇒ XtAX = Xt(λX) ⇒ XtAX = λXtX

Ahora bien, X es autovector de A, es decir, X ≠ θnx1. Por lo tanto,

XtX = ∑=

n

1i

2iX > 0.

⇒ XX

AXXt

t

=λ

Por hipótesis, A es definida positiva, es decir, ∀ X∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) = XtAX > 0. En consecuencia.

λ > 0


300

Luego, A tiene todos sus autovalores positivos, es decir, Indice(A) = Rango(A) = n.

CS(⇐): Si A tiene todos sus autovalores positivos, es decir,

Indice(A) = Rango(A) = n, entonces A es definida positiva. Consideremos la representación normal de la forma cuadrática f, es

decir,

Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=

λr

1i

2iiY : siendo r = Rango(A)

Como A tiene todos sus autovalores positivos, es decir,

Indice(A) = Rango(A) = n, entonces:

Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=

λn

1i

2iiY > 0 y

Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=

λn

1i

2iiY = 0 si y sólo si Y1 =Y2 = … = Yn = 0.

Por lo tanto, ∀ Y∈ℜn (Y ≠ θnx1): Nf(Y) > 0. Además, por el

teorema 8.3., Nf(Y) = f(X) para X = PY, es decir, Y = P-1X. Luego, ∀ P-1X ∈ℜn (P-1X ≠ θnx1): f(X) > 0 y en virtud de que P es no singular entonces ∀ X ∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) > 0, es decir, A es definida positiva.

2. CN(⇒): Si A es semidefinida positiva entonces A tiene al menos

un autovalor nulo, al menos un autovalor positivo y ningún autovalor negativo, es decir, Indice(A) = Rango(A) < n.




XtX = ∑=

n

1i

2iX > 0.

⇒ XX

AXXt

t

=λ

Por hipótesis, A es semidefinida positiva, es decir, ∀ X∈ℜn: f(X) = XtAX ≥ 0 y ∃ X∈ℜn(X ≠ θnx1): f(X) = XtAX = 0. En consecuencia.

λ = 0 ó λ > 0


301

Luego, A tiene A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un autovalor positivo y ningún autovalor negativo, es decir, Indice(A) = Rango(A) < n.

CS(⇐): Si A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un

autovalor positivo y ningún autovalor negativo, es decir, Indice(A) = Rango(A) < n, entonces A es semidefinida positiva.

Consideremos la representación normal de la forma cuadrática f, es

decir,

Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=

λr

1i

2iiY ; siendo r = Rango(A)

Como Indice(A) = Rango(A), es decir, los r primeros autovalores de A son positivos entonces Nf(Y1, Y2, …, Yn) ≥ 0, ∀ Y1, Y2, …, Yr∈ℜ, mientras que Nf(Y1, Y2, …, Yn) = 0 si y sólo si Yi = 0, ∀ i = 1, 2, …, r y Yi ≠ 0, para algún i = r+1, r+2, …, n. Por lo tanto, ∀ Y∈ℜn: Nf(Y) ≥ 0 y ∃ Y∈ℜn(Y ≠ θnx1): Nf(Y) = 0. Además, por el teorema 8.3., Nf(Y) = f(X) para X = PY, es decir, Y = P-1X. Luego, ∀ P-1X∈ℜn: f(X) ≥ 0 y ∃ P-1X∈ℜn(P-1X ≠ θnx1): f(X) = 0 y en virtud de que P es no singular entonces ∀ X∈ℜn: f(X) ≥ 0 y ∃ X∈ℜn(X ≠ θnx1): f(X) = 0, es decir, A es semidefinida positiva.

3. CN(⇒): Si A es definida negativa entonces A tiene todos sus

autovalores negativos, es decir, Indice(A) = 0 y Rango(A) = n.




XtX = ∑=

n

1i

2iX > 0.

⇒ XX

AXXt

t

=λ

Por hipótesis, A es definida negativa, es decir, ∀ X∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) = XtAX < 0. En consecuencia.

λ < 0 Luego, A tiene todos sus autovalores negativos, es decir,

Indice(A) = 0 y Rango(A) = n. CS(⇐): Si A tiene todos sus autovalores negativos, es decir,

Indice(A) = 0 y Rango(A) = n, entonces A es definida negativa.


302


decir,

Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=

λr

1i

2iiY : siendo r = Rango(A)

Como A tiene todos sus autovalores negativos, es decir,

Indice(A) = 0 y Rango(A) = n, entonces:

Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=

λn

1i

2iiY < 0 y

Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=

λn

1i

2iiY = 0 si y sólo si Y1= Y2 = … = Yn = 0.

Por lo tanto, ∀ Y∈ℜn (Y ≠ θnx1): Nf(Y) < 0. Además, por el

teorema 8.3., Nf(Y) = f(X) para X = PY, es decir, Y = P-1X. Luego, ∀ P-1X ∈ℜn (P-1X ≠ θnx1): f(X) < 0 y en virtud de que P es no singular entonces ∀ X ∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) < 0, es decir, A es definida negativa.

4. CN(⇒): Si A es semidefinida negativa entonces A tiene al menos

un autovalor nulo, al menos un autovalor negativo y ningún autovalor positivo, es decir, Indice(A) = 0 y Rango(A) < n.




XtX = ∑=

n

1i

2iX > 0.

⇒ XX

AXXt

t

=λ

Por hipótesis, A es semidefinida negativa, es decir, ∀ X∈ℜn: f(X) = XtAX ≤ 0 y ∃ X∈ℜn(X ≠ θnx1): f(X) = XtAX = 0. En consecuencia.

λ = 0 ó λ < 0

Luego, A tiene A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un autovalor negativo y ningún autovalor positivo, es decir, Indice(A) =0 y Rango(A) < n.

CS(⇐): Si A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un

autovalor negativo y ningún autovalor positivo, es decir, Indice(A) = 0 y Rango(A) < n, entonces A es semidefinida negativa.


303


decir,

Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=

λr

1i


Como Indice(A) = 0 y Rango(A) < n, es decir, los r primeros autovalores de A son negativos entonces Nf(Y1, Y2, …, Yn) ≤ 0, ∀ Y1, Y2, …, Yr∈ℜ, mientras que Nf(Y1, Y2, …, Yn) = 0 si y sólo si Yi = 0, ∀ i = 1, 2, …, r y Yi ≠ 0, para algún i = r+1, r+2, …, n. Por lo tanto, ∀ Y∈ℜn: Nf(Y) ≤ 0 y ∃ Y∈ℜn(Y ≠ θnx1): Nf(Y) = 0. Además, por el teorema 8.3., Nf(Y) = f(X) para X = PY, es decir, Y = P-1X. Luego, ∀ P-1X∈ℜn: f(X) ≤ 0 y ∃ P-1X∈ℜn(P-1X ≠ θnx1): f(X) = 0 y en virtud de que P es no singular entonces ∀ X∈ℜn: f(X) ≤ 0 y ∃ X∈ℜn(X ≠ θnx1): f(X) = 0, es decir, A es semidefinida negativa.

5. CN(⇒): Si A es indefinida entonces A tiene al menos un autovalor

positivo y al menos un autovalor negativo, es decir, 0 < Indice(A) < Rango(A) ≤ n.




XtX = ∑=

n

1i

2iX > 0.

⇒ XX

AXXt

t

=λ

Por hipótesis, A es indefinida, es decir, ∃ X1, X2∈ℜn (X1 ≠ θnx1, X2 ≠ θnx1): f(X1) = (X1)tAX1 > 0 y f(X2) = (X2)tAX2 < 0. En consecuencia, existen λ1 y λ2 tales que:

λ1 > 0 y λ2 < 0

Luego, A tiene A tiene al menos un autovalor positivo y al menos un autovalor negativo, es decir, 0 < Indice(A) < Rango(A) ≤ n.

CS(⇐): Si A tiene al menos un autovalor positivo y al menos un

autovalor negativo, es decir, 0 < Indice(A) < Rango(A) ≤ n, entonces A es indefinida.


decir,

Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=

λr

1i



304

Supongamos que Indice(A) = p. Como 0 <Indice(A)<Rango(A) ≤ n, es decir, los p primeros autovalores de A son positivos, los r – p subsiguientes son negativos y los n – r restantes son nulos entonces Nf(Y1, Y2, …, Yn) > 0 si y sólo si Yi = 0, ∀ i = p+1, p+2, …, r y Yi ≠ 0, para algún i = 1, 2, …, p, mientras que Nf(Y1, Y2, …, Yn)< 0 si y sólo si Yi = 0, ∀ i = 1, 2, …, p y Yi ≠ 0, para algún i = p+1, p+2, …, r. Por lo tanto, ∃ Y1, Y2∈ℜn (Y1 ≠ θnx1, Y2 ≠ θnx1): Nf(Y1) > 0 y Nf(Y2) < 0. Además, por el teorema 8.3., Nf(Y) = f(X) para X = PY, es decir, Y = P-1X. Luego, ∃ P-1X1, P-1X2∈ℜn

(P-1X1 ≠ θnx1, P-2X2 ≠ θnx1): f(X1) > 0 y f(X2) < 0 y en virtud de que P es no singular entonces ∃ X1, X2∈ℜn (X1 ≠ θnx1, X2 ≠ θnx1): f(X1) > 0 y f(X2) < 0, es decir, A es indefinida.

Observación: Sean A, B∈Mnxn(ℜ) matrices simétricas y f, g: ℜn→ℜ formas cuadráticas con matrices simétricas asociadas A y B, respectivamente. La forma cuadrática f es congruente con g si y sólo si f y g tienen la misma clasificación. Ejemplo 8.10. Los autovalores de la matriz A del ejemplo 8.1., son λ1 = 1, λ2 = 3 y λ3 = 0. Luego, A es semidefinida positiva. Ejemplo 8.11. En relación al ejemplo 8.5., la matriz de centraje P es la matriz simétrica asociada a la forma cuadrática nS2. Dicha matriz tiene como autovalores λ1 = 0 con r1 = 1 y λ2 = 1 con r2 = n – 1. En consecuencia, P es semidefinida positiva. Teorema 8.7. Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. Si A es:

1. Definida Positiva entonces Det(A) > 0 y Traza(A) > 0. 2. Definida Negativa entonces Traza(A) < 0. 3. Semidefinida Positiva entonces Det(A) = 0 y Traza(A) > 0. 4. Semidefinida Negativa entonces Det(A) = 0 y Traza(A) < 0.

Demostración

1. Si A es definida positiva entonces A tiene todos sus autovalores positivos. Por otra parte, por el teorema 7.13. (lema de Issai Schur),

si λ1, λ2, …, λn son los autovalores de A entonces Det(A) = ∏=

λn

1ii

y Traza(A) = ∑=

λn

1ii . Como λi > 0, ∀ i = 1, 2, …, n entonces

Det(A) > 0 y Traza(A) > 0.


305

2. Si A es definida negativa entonces A tiene todos sus autovalores negativos. Por otra parte, por el teorema 7.13. (lema de Issai Schur), si λ1, λ2, …, λn son los autovalores de A entonces

Traza(A) = ∑=

λn

1ii . Como λi < 0, ∀ i = 1, 2, …, n entonces

Traza(A) < 0. 3. Si A es semidefinida positiva entonces A tiene al menos un

autovalor nulo, al menos un autovalor positivo y ningún autovalor negativo. Por otra parte, por el teorema 7.13. (lema de Issai Schur),


λn

1ii .

Como λi = 0 para algún i = 1, 2, …, n y λi > 0 para el resto de los autovalores entonces Det(A) = 0 y Traza(A) > 0.

4. Si A es semidefinida negativa entonces A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un autovalor negativo y ningún autovalor positivo. Por otra parte, por el teorema 7.13. (lema de Issai Schur),


λn

1ii .

Como λi = 0 para algún i = 1, 2, …, n y λi < 0 para el resto de los autovalores entonces Det(A) = 0 y Traza(A) < 0.

Teorema 8.8.

Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. f es:

1. Definida Positiva si y sólo si A es congruente con In. 2. Definida Negativa si y sólo si A es congruente con –In.

Demostración

1. CN(⇒): Si f es definida positiva entonces A es congruente con In.

Si f es definida positiva entonces A tiene todos sus autovalores positivos, es decir, Indice(A) = Rango(A) = n. En consecuencia, por el teorema 8.2., A es congruente con In.

CS(⇐): Si A es congruente con In entonces A es definida positiva.

Si A es congruente con In entonces por el teorema 8.5., las formas cuadráticas asociadas a A y In, respectivamente tienen la misma representación canónica. Es claro que la representación canónica de la forma cuadrática asociada a In, digamos g(Y) = YtY es Cg(Y1,

Y2, …, Yn) = ∑=

n

1i

2iY . Por lo tanto, esta función es también la

representación canónica de A. En consecuencia, A tiene todos sus autovalores positivos, es decir, A es definida positiva.

2. CN(⇒): Si f es definida negativa entonces A es congruente con –In.


306

Si f es definida negativa entonces A tiene todos sus autovalores negativos, es decir, Indice(A) = 0 y Rango(A) = n. En consecuencia, por el teorema 8.2., A es congruente con –In.

CS(⇐): Si A es congruente con –In entonces A es definida negativa.

Si A es congruente con –In entonces por el teorema 8.5., las formas cuadráticas asociadas a A y –In, respectivamente tienen la misma representación canónica. Es claro que la representación canónica de la forma cuadrática asociada a –In, digamos g(Y) = –YtY es

Cg(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=

−n

1i

2iY)1( . Por lo tanto, esta función es

también la representación canónica de A. En consecuencia, A tiene todos sus autovalores negativos, es decir, A es definida negativa.

Teorema 8.9.

Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. A es definida positiva si y sólo si existe una matriz B∈Mnxn(ℜ) no singular tal que A es una matriz Grammian de la forma A = BtB. Demostración CN(⇒): Si A es definida positiva entonces existe una matriz B∈Mnxn(ℜ) no singular tal que A es una matriz Grammian de la forma A = BtB. Como A es definida positiva entonces por el teorema 8.8., A es congruente con la matriz In, es decir:

∃ P∈Mnxn(ℜ) (P no singular): PtAP = In ⇒ ∃ P∈Mnxn(ℜ) (P no singular): A = (Pt)-1InP-1

⇒ ∃ P∈Mnxn(ℜ) (P no singular): A = (P-1)tP-1

⇒ ∃ P, B∈Mnxn(ℜ) (P, B no singulares) (B = P-1): A = BtB

CS(⇐): Si existe una matriz B∈Mnxn(ℜ) no singular tal que A es una matriz Grammian de la forma A = BtB entonces A es definida positiva. Por hipótesis:

∃ B∈Mnxn(ℜ) (B no singular): A = BtB ⇒ ∃ B∈Mnxn(ℜ) (B no singular): (Bt)-1AB-1 = In

⇒ ∃ B∈Mnxn(ℜ) (P no singular): (B-1)tAB-1 = In

⇒ ∃ P, B∈Mnxn(ℜ) (P, B no singulares) (P = B-1): PtAP = In Luego, A es congruente con In y por el teorema 8.8., A es definida positiva. Teorema 8.10.

Sean A∈Mmxn(ℜ). Si Rango(A) = n entonces:

1. AtA es definida positiva. 2. AAt es semidefinida positiva.


307

Demostración Es claro que Rango(A) ≤ min{m, n}, es decir, n ≤ min{m, n}. Luego, n < m.

1. Sea f: ℜm→ℜ la forma cuadrática cuya matriz simétrica asociada es AtA. Luego,

f(X) = XtAtAX = (AX)t(AX) = YtY = ∑=

n

1i

2iY ; con Y = AX

Por lo tanto, f(X) ≥ 0 y es tal que f(X) = 0 si y sólo si Y = θmx1. Pero, Y = θmx1 implica que AX = θmx1, lo cual es un SEL homogéneo y por la Eliminación de Gauss-Jordan, como Rango(A) = n entonces el SEL AX = θmx1 tiene una única solución, la cual es la solución trivial X = θnx1. Luego, f(X) = θmx1 si y sólo si X = θnx1. Por consiguiente, ∀ X∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) > 0, es decir, f es definida positiva y en consecuencia AtA es definida positiva.

2. Sea f: ℜn→ℜ la forma cuadrática cuya matriz simétrica asociada es

AAt. Luego,

f(X) = XtAAtX = (AtX)t(AtX) = YtY = ∑=

n

1i

2iY ; con Y = AtX

Por lo tanto, f(X) ≥ 0 y es tal que f(X) = 0 si y sólo si Y = θnx1. Pero, Y = θnx1 implica que AtX = θnx1, lo cual es un SEL homogéneo y por la Eliminación de Gauss-Jordan, como Rango(At) = Rango(A) = n < m entonces el SEL AtX = θnx1 no tiene una única solución, es decir, existen soluciones distintas de la solución trivial X = θmx1. Luego, f(X) ≥ 0 y ∃ X∈ℜn (X ≠ θmx1): f(X) = 0. Por consiguiente, ∀ X∈ℜn: f(X) ≥ 0 y ∃ X∈ℜn (X ≠ θmx1): f(X) = 0, es decir, f es semidefinida positiva y en consecuencia AAt es semidefinida positiva.

8.5. VECTOR DERIVADA O GRADIENTE DE UNA FORMA CUADRÁTICA. Definición 8.5. Sea f: ℜn→ℜ. Se define como vector derivada o vector gradiente de f respecto de X y se denota por )X(f∇ al vector n)X(f ℜ∈∇ cuyo elemento genérico es

ii X

f))X(f(∂∂

=∇ .

Ejemplo 8.12. Sea f: ℜ3→ℜ definida por f(X1, X2, X3) = 2

32231

221

21 X5X3XX5XX3X2 −+−+ .

Luego,


308

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−+

=∇

31

2221

3221

321

X10X5X6XX6

X5X3X4)X,X,X(f

Teorema 8.11. (Gradiente de una Función Lineal) Sea f: ℜn→ℜ definida por XYYX)X(f tt == ; Y∈ℜn. Entonces se cumple que:

Y)X(f =∇ Demostración Por hipótesis, XYYX)X(f tt == , es decir:

f(X1, X2, …, Xn) = ∑=

n

1iiiXY

Luego,

ii

in21 YXf))X,...,X,X(f( =

∂∂

=∇

Por consiguiente,

Y)X(f =∇ Teorema 8.12. (Gradiente de una Forma Cuadrática) Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. Entonces se cumple que:

AX2)X(f =∇ Demostración Por hipótesis:

f(X) = XtAX, es decir, f(X1, X2, …, Xn) = ∑∑= =

n

1i

n

1jjiij XXA

Como A es simétrica entonces f(X1, X2, …, Xn) = ∑ ∑∑= <==

+n

1i

n

j)(i 1jjiij

n

1i

2iii XXA2XA .

Luego,


309

∑∑=≠=

=+=∂∂

=∇n

1jjij

n

)ji( 1jjijiii

iin21 XA2XA2XA2

Xf))X,...,X,X(f(

En consecuencia,

AX2

X

XX

AAA

AAAAAA

2

XA2

XA2

XA2

)X(f

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

n

1jjnj

n

1jjj2

n

1jjj1

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∇

∑

∑

∑

=

=

=

M

L

MMM

L

L

M

Ejemplo 8.13. La derivada de la forma cuadrática del ejemplo 8.1., es:

AX2XXX

1 1 0 1 2 10 11

2XX

XX2XXX

2X2X2

X2X2X4X2X2

)X,X,X(f

3

2

1

32

321

21

23

312

21

321 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−

−=∇

Ejemplo 8.14. En relación al ejemplo 8.5., el vector gradiente de la forma cuadrática nS2 = f(X) = XtPX es:

X̂2PX2)X(f ==∇


310

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Sean f1, f2, f3, f4 funciones fi: ℜ3→ℜ; i = 1, 2, 3, 4 y f5, f6 funciones

fi: ℜ4→ℜ; i = 5, 6 definidas por:

1.1. f1(X1, X2, X3)= X12 + X2

2 + 4X32 –2X1X2 + 2X1X3 – 2X2X3.

1.2. f2(X1, X2, X3)= X12 + 3X2

2 + 4X32 + 4X1X3.

1.3. f3(X1, X2, X3)= (X1 + X2)2 + (2X1 – X3)2 – X12 – 2X2

2 + 6X2X3. 1.4. f4(X1, X2, X3)= 2X1

2 + 9X22 – X3

2 – 4X1X3. 1.5. f5(X1, X2, X3, X4)= X1

2+2X22+X3

2+2X42–2X1X3+2X1X4+

4X2X3 –2X2X4. 1.6. f6(X1, X2, X3, X4)= 2X1

2+2X22+3X3

2+X42+2X1X2–2X1X3+

2X2X3+2X3X4.

Demuestre que cada una de estas funciones son formas cuadráticas y determine en cada caso la respectiva matriz simétrica asociada.

2. En el conjunto Mnxn(ℜ) se define la relación R por

(∀ A, B ∈ Mnxn(ℜ)) A R B si y sólo si A es congruente a B. Demuestre que R es una relación de equivalencia en Mnxn(ℜ).

3. Demuestre que la forma cuadrática f1 del ejercicio 1 es congruente con

las formas cuadráticas gi: ℜ3→ℜ; i = 1, 2 definidas por g1(X1, X2, X3) = X1

2 + 3X32 y g2(X1, X2, X3) = X1

2 + X32.

4. Demuestre que la forma cuadrática f4 del ejercicio 1 es

ortogonalmente congruente con la forma cuadrática g1: ℜ3→ℜ y congruente con la forma cuadrática g2: ℜ3→ℜ definidas por

g1(X1, X2, X3)= –2X12+3X2

2+9X22 y g2(X1, X2, X3)=

21 X1

2+9X22

–31 X3

2.

5. Clasifique cada una de las formas cuadráticas del ejercicio 1 y

determine además representación normal y canónica de cada una de ellas.

6. Sean X1, X2, …, Xn un conjunto de datos cuantitativos con media X y

desviación estándar S. Sean f1, f2, f3 funciones fi: ℜn→ℜ; i = 1, 2, 3 definidas por:

6.1. f1(X1, X2, …, Xn) = ( )2X .

6.2. f2(X1, X2, …, Xn) = n ( )2X . 6.3. f3(X1, X2, …, Xn) = S2.

Demuestre que cada una de estas funciones son formas cuadráticas. Clasifíquelas y determine además representación normal y canónica en cada caso.


311

7. La ecuación aY2+bY+a = 0, con a, b ∈ ℜ* puede tener dos raíces reales iguales, dos raíces reales distintas o dos raíces imaginarias. Clasifique en cada caso la forma cuadrática f: ℜ2→ℜ definida por:

f(X1, X2) = bX1

2 + 4aX1X2 + bX22

8. Sean f: ℜn→ℜ y g: ℜn→ℜ formas cuadráticas con matrices simétricas

asociadas A y B, respectivamente. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justificando con una demostración en el caso que las considere verdaderas y con un contraejemplo en el caso que las considere falsas:

8.1. Si Traza(A) > 0 entonces A es definida positiva. 8.2. Si Traza(A) < 0 entonces A es definida negativa. 8.3. Si A es definida negativa entonces Traza(A)Det(A) > 0. 8.4. Si A tiene n autovectores linealmente independientes

entonces A es definida negativa. 8.5. Si A es indefinida y n = 2 entonces A tiene n autovectores

L.I. 8.6. Si A es definida positiva y B es indefinida entonces

Rango(AB) = Rango(A). 9. Sea la forma cuadrática f: ℜ2→ℜ definida por: f(X1, X2) = aX1

2 + 2bX1X2 + cX22; a, b, c∈ℜ

tal que f es definida negativa. Demuestre que:

9.1. a < 0. 9.2. ac > 0. 9.3. a + c < 0. 9.4. ac – b2 > 0.

10. Sea X∈Mnxp(ℜ) una matriz de rango columna completo. Demuestre

que:

10.1. La matriz XtX es no singular. 10.2. La matriz A = k2(In – X(XtX)-1Xt) es semidefinida positiva,

con k ≠ 0. 11. Sea la forma cuadrática f: ℜn→ℜ con matriz simétrica asociada A de

rango q, q < n. Demuestre que:

11.1. Si f es semidefinida positiva entonces existe una matriz P∈Mqxn(ℜ) de rango q tal que A = PtP.

11.2. Si f es semidefinida negativa entonces existe una matriz Q∈Mqxn(ℜ) de rango q tal que A = –QtQ.

12. Sean A∈Mnxn(ℜ) y B∈Mnxp(ℜ) tales que A es definida positiva y

Rango(B) = p. Demuestre que la forma cuadrática f: ℜp→ℜ con matriz simétrica asociada BtA-1B es definida positiva.


312

13. Sea la forma cuadrática f: ℜn→ℜ, tal que f(X) = XtA1X + XtA2X, donde A2A1 = θnxn para i = 1,2 Ai es idempotente y rango(Ai) = ki. Clasifique la forma cuadrática f si se sabe que:

13.1. k1 + k2 < n. 13.2. k1 + k2 = n.

14. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ), tales que Rango(A) = n, ABA = A y BA es simétrica. Demuestre que si P∈Mnxn(ℜ) es no singular entonces la matriz Pt(BA)P es definida positiva.

15. Sean A∈Mpxq(ℜ) y B∈Mqxq(ℜ) tales que Rango(A) = q, B es simétrica

y B – AtA es definida positiva. Demuestre que la matriz B es definida positiva.

16. Sea f la forma cuadrática f: ℜn→ℜ con matriz simétrica asociada A.

Demuestre que:

16.1. A es definida positiva si y sólo si los determinantes de todos sus menores principales son positivos.

16.2. A es definida negativa si y sólo si los determinantes de todos sus menores principales de orden par son positivos y los determinantes de todos sus menores principales de orden impar son negativos.

17. Sea f la forma cuadrática f: ℜ2→ℜ definida por:

f(X1, X2) = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

− 22

22

21

212

1

21

2 SX

SSXrX2

SX

)r1(1

con |r| < 1 y S1S2 > 0. Demuestre que f es definida positiva. 18. Sean X1 y X2 variables aleatorias con varianzas S1

2 y S22,

respectivamente y S12 la covarianza entre X1 y X2. Demuestre que si ∀ Y1, Y2 ∈ℜ no nulos simultáneamente, VAR(Y1X1 + Y2X2) > 0 entonces la matriz V definida por:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= 2

212

122

1

SSSSV

Es definida positiva.

19. Sean X1, X2, …, Xn variables aleatorias con varianzas S1

2, S22, …, Sn

2, respectivamente y Sij la covarianza entre Xi y Xj,i = 1, 2, .., n; j = 1, 2, …, n. Demuestre que si ∀ Y1, Y2, …, Yn∈ℜ no nulos simultáneamente, VAR(Y1X1 + Y2X2 + … + YnXn) > 0 entonces la matriz V definida por:


313

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2nn2n1

n22

212

n1122

1

SSS

SSSSSS

V

L

MMM

L

L

Es definida positiva.

20. Determine el vector gradiente de todas las formas cuadráticas del ejercicio 1.

21. Sean X∈Mnxp(ℜ) una matriz de rango columna completo, Y∈ℜn y

h: ℜp→ℜ definida por h(Z) = (Y–XZ)t(Y–XZ). Determine el vector Z tal que 1px)Z(h θ=∇ .

Capitulo 8 Formas Cuadraticas

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