Capitulo 8 maquinas de reluctancia variable y motores de pasos

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Máquinas de reluctancia variabley motores de pasos

Lasmáquinas de reluctancia variable' (abreviadas a menudo como VRMS, por sus siglasen inglés) son tal vez las máquinas eléctricas más simples. Constan de una estator condevanados de excitación y un rotor magnético con salientes. No se requieren conducto-

res en el rotor porque el par es generado por su tendencia a alinearse con la onda de flujoproducida por el estator, de modo que se incrementen al máximo los enlaces de flujo quegeneran una corriente dada aplicada a éste. La producción de par en estas máquinas puedeevaluarse con las técnicas del capítulo 3 y con el hecho de que las inductancias en el devanadodel estator son funciones de la posición angular del rotor.

Aunque el concepto de máquinas de reluctancia variable existe desde hace mucho tiempo,sólo en las décadas pasadas fue cuando estas máquinas comenzaron a utilizarse más en aplica-ciones de ingeniería. Esto se debe en gran parte al hecho de que aunque son de construcciónsimple, resultan un tanto complicadas para controlar. Por ejemplo, se debe conocer la posicióndel rotor para energizar de manera apropiada los devanados de fase y producir par. La extensadisponibilidad y el bajo costo de la microelectrónica y la electrónica de potencia han hechoque, en una amplia variedad de aplicaciones, las máquinas de reluctancia variable se vuelvancompetitivas con otras tecnologías de motores.

Con la excitación en secuencia de las fases de una máquina de reluctancia variable, elrotor girará a pasos o de manera gradual, rotando a través de un ángulo específico por paso.Los motores de pasos están diseñados para sacar provecho de esta característica. Los motorescon tales características con frecuencia combinan el uso de una geometría de reluctancia varia-ble con imanes permanentes para incrementar el par y la precisión de la posición.

8.1 FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS DE MÁQUINASDE RELUCTANCIA VARIABLE

Las máquinas de reluctancia variable se clasifican en dos tipos: de salientes simples y de sa-lientes dobles. En ambos casos sus características más notables son la au encia de devanados

1 Con frecuencia se hace referencia a las máquinas de reluctancia variable como máquinas de reluctancia conmutada(SRM, por sus siglas en inglés) para indicar la combinación de una VRM y el inversor de conmutación requerido paracontrolarla. El término es popular en la literatura técnica.

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408 CAPiTULO 8 Máquinas de reluctancia variable y motores de pasos

o imanes permanentes en sus rotores y que su única fuente de excitación consiste en devanadosde estator. Ésta es una característica significativa porque quiere decir que todas las pérdidasresistivas en el devanado de una máquina de reluctancia variable ocurren en el estator. Debidoa que por lo general el estator puede ser enfriado con mucha más eficiencia y facilidad que elrotor, el resultado a menudo es un motor más pequeño para una capacidad y tamaño dados.

Como se analizó en el capítulo 3, para producir el par, las máquinas de reluctancia varia-ble deben estar diseñadas de modo que las inductancias en el devanado del estator varíen conla posición del rotar. La figura 8.la muestra una vista de la sección transversal de una máquinade reluctancia variable de saliente simple; como se puede ver, consiste de un estator no salientey un rotar con dos polos salientes, ambos construidos con un material de alta permeabilidadmagnética. En la figura se presenta un devanado de estator bifásico aunque cualquier númerode fases es posible.

La figura 8.2a muestra la variación de las inductancias del estator como una función delángulo del rotar 8m para una máquina de reluctancia variable de saliente simple de la formamostrada en la figura 8.la. Observe que la inductancia de cada devanado de fase del estatorvaría con la posición del rotar, de modo que la inductancia alcanza su valor máximo cuando eleje del rotar está alineado con el eje magnético de dicha fase y el valor mínimo ocurre cuandolos dos ejes están perpendiculares. La figura también muestra que la inductancia mutua entrelos devanados de fase es cero cuando el rotar está alineado con el eje magnético de cualquierfase, pero si sucede lo contrario, varía periódicamente con la posición del rotar.

La figura 8.lb muestra la vista de sección transversal de una VRM de saliente doble, en laque tanto el rotar como el estator tienen polos salientes. En esta máquina el estator tiene cuatropolos, cada uno con un devanado. Sin embargo, los devanados en polos opuestos que son de lamisma fase pueden ser conectados en serie o en paralelo. Por lo tanto, esta máquina es bastantesimilar a la de la figura 8.la, en la cual existe un devanado de estator bifásico y un rotar de dospolos salientes. Asimismo, la inductancia de fase de esta configuración varía desde un valormáximo cuando el eje del rotor está alineado con el eje de esa fase, hasta un mínimo cuandoestán perpendiculares. '

A diferencia de la máquina de saliente simple de la figura 8.la, con base en la suposiciónde reluctancia insignificante en el hierro, las inductancias mutuas entre las fases de la VRM dedoble saliente de la figura 8.lb serán cero, con la excepción de un pequeño componente que esesencialmente constante y se asocia con el flujo de dispersión. Además, la característica salien-te del estator mejora la diferencia entre las inductancias máxima y mínima, la cual a su vezmejora Ia caraoterística de producción de par de la máquina de saliente doble. La figura 8.2bmuestra la forma de la variación de las inductancias de fase de la VRM de saliente doble de lafigura 8.lb.

La relación entre el enlace de flujo y corriente para la VRM de saliente simple es de laforma

(8.1)

Aquí L"C8m) y ~2C8m) son las autoinductancias de las fases 1 y 2, respectivamente, yL'2C8m) es la inductancia mutua. Observe que por simetría

(8.2)

Figura 8.1Máquinas de reluctan-eia variable básicas:a) saliente simple yb) saliente doble.

8.1 Fundamentos para el análisis de máquinas de reluctancia variable 409

Eje magnéticode la fase 2

Eje del rotor

a)

Eje magnéticode la fase 2

Estator

b)

También observe que todas estas inductancias son regulares con un periodo de 1800 por-que la rotación de 1800 del rotor a partir de cualquier posición dada no produce cambios en elcircuito magnético de la máquina.

De acuerdo con la ecuación 3.68, el par electromagnético de este sistema se determina apartir de la coenergía como

(8.3)


LII((Jm)

\\\

\·1(Jm. 0° 90° • 180°. / \

.\ /. .,<:.:» '-.-- .

LI2((Jm)

a)

Figura 8.2LII((Jm) L22((Jm)Gráficas de inductan- ,-\ "cia frente a (Jm de a) la I \ I \

máquina de reluctan- I \ I \

I \ I \

cia variable de saliente I ,, ,

simple de la figura 8.1 a (Jmy b) la máquina de re- -180° -90° 0° 90° 180°luctancia variable desaliente doble de lafigura 8.1 b. b)

(8.4)

donde la derivada parcial se calcula mientras las corrientes i, e i2 se mantienen constantes. Eneste caso, la coenergía se calcula con la ecuación 3.70.

Por lo tanto, la combinación de las ecuaciones 8.3 y 8.4 dan el par como

(8.5)

Para la VRM de saliente doble de la figura 8.lb, el término de inductancia mutua dL'2( (}m)/d()mes cero y la expresión del par de la ecuación 8.5 se simplifica como

(8.6)

La sustitución de la ecuación 8.2 da entonces

(8.7)

Las ecuaciones 8.6 y 8.7 ilustran una importante característica de las VRM en las cualeslos efectos de inductancia mutua son insignificantes. En estas máquinas la expresión de par secompone de una suma de términos, cada uno de los cuales es proporcional al cuadrado de una

8.1 fundamentos para el análisis de máquinas de reluctancia variable 411

corriente de fase individual. En consecuencia, el par depende sólo de la magnitud de lascorrientes de fase y no de su polaridad. Así, la electrónica que suministra las corrientes defase a estas máquinas puede ser unidireccional; es decir, no se requieren corrientes bidireccio-nales.

Puesto que las corrientes de fase por lo general se activan y desactivan por medio deinterruptores de estado sólido tales como transistores o tiristores, y como cada interruptornecesita sólo manejar la corriente en una dirección única, para su funcionamiento estos moto-res requieren sólo la mitad del número de interruptores (así como también la mitad de la elec-trónica de control correspondiente) que se requeriría en un control bidireccional correspon-diente. El resultado es un sistema de control menos complejo y que puede ser más barato. En lasección 11.4 se analizan controles de motor de VRM típicos.

La suposición de inductancia mutua insignificante es válida sólo para la VRM de salientedoble de la figura 8.1b, tanto porque su geometría es simétrica como por la suposición dereluctancia en el hierro insignificante. En la práctica, incluso en situaciones en las que la sime-tría podría sugerir que las inductancias mutuas son cero o que pueden ser ignoradas porque sonindependientes de la posición del rotor (por ejemplo, las fases están acopladas mediante flujosde dispersión), pueden surgir efectos no lineales y de inductancia mutua significativos que sonprovocados por la saturación del hierro de la máquina. En estos casos, aun cuando las técnicasdel capítulo 3, y de hecho las expresiones de par de la forma de la ecuación 8.3, siguen siendoválidas, con frecuencia las expresiones analíticas son difíciles de obtener (véase la sección8.4).

En la etapa de diseño y análisis, las relaciones flujo-corriente a través del devanado y elpar del motor se determinan mediante paquetes de análisis numérico, los cuales toman encuenta la no linealidad del material magnético de la máquina. Una vez que se construye lamáquina es posible hacer mediciones, tanto para validar las diversas suposiciones y aproxima-ciones que se hicieron, así como también para medir con precisión el desempeño real de lamáquina.

De aquí en adelante, se utilizará el símbolo Ps para indicar el número de polos del estatory p, para indicar el número de polos del rotor, y la máquina correspondiente se llama máquinapJPr. El ejemplo 8.1 examina una máquina VRM 4/2.

~ L- _

En la figura 8.3 se muestra una VRM 4/2. Sus dimensiones son

R= 3.8 cm a= /3= 60° = 1!/3 rad

g = 2.54 X 10-2 cm D = 13.0 cm

y los polos de cada devanado de fase están conectados en serie de modo que existe un total de N = 100vueltas (50 vueltas por polo) en cada devanado de fase. Suponga que el rotar y el estator son de unmaterial de permeabilidad magnética infinita.

a) Ignorando los flujos de dispersión y marginales, grafique la inductancia L de la fase l L(em) comouna función de em.

b) Grafique el par suponiendo (i) i) = 1) e i2 = O Y (ii) i) = O e i2 = lz.e) Calcule el par neto (en N . m) que actúa en el estator cuando ambos devanados son excitados de

modo que i) = i2 = 5 A Yen ángulos (i) em = 0°, (i¡) em = 45°, (ii¡) em = 75°.

412

Figura 8.3Máquina 4/2 de reluc-tancia variable delejemplo 8.1.

CAPiTULO 8 Máquinas de reluctancia variable y motores de pasos

• Solución

a) Con las técnicas de circuito magnético del capítulo 1, se observa que la inductancia máxima 4náxpara la fase 1 ocurre cuando el eje del rotor se alinea con el eje magnético de la fase 1. Con laecuación 1.31 se ve que la Lmáx es igual a

donde a RD es el área de sección transversal del entrehierro y 2g es su longitud total en el circuitomagnético. Con los valores dados,

Lmáx =N2J.LoaRD

2g

(100)Z(47l' x 1O-7)(7l' /3)(3.8 x 10-2)(0.13)2 x (2.54 X 10-4)

= 0.128H

Al ignorar el flujo marginal, la inductancia L(8m) variará linealmente con el área de la seccióntransversal como se muestra en la figura 8.4a. Observe que esta idealización predice que la inductanciaes cero cuando no hay traslape porque de hecho habrá un pequeño valor de inductancia, como semuestra en la figura 8.2.

b) Según la ecuación 8.7, el par consta de dos términos

y dL¡¡/d8m puede ser considerada como la forma de onda escalonada de la figura 8.4b, cuyos valoresmáximos están dados por ±L.náx/a (jcon a expresada en radianes!). Por lo tanto, el par de torsión escomo se muestra en la figura 8.4c.

Figura 8.4a) L,,(flm) frente a flm,

b) dL,,(flm)/dflm frentea flmY e) par de torsiónfrente a flm.

8.1 Fundamentos para el análisis de máquinas de reluctancia variable 413

a)

__ m_dflm

4náxla(a = n/3)

-180° -120°

-150° -90° -60° -30° O 30° 60° 90° 120° 150° 180°

Lmáx- a

b)

Lmá/rTmáx,= ~

Lmáxl~Tmáx, = -2a r------j Tmáxr-------¡ Tmáx2 ~ I r-------¡

1 1 1 11 1 1 1l -120° l l l

-+--I---+--I---+--I---+--t----+--t----+--+---t-+ flm

Par de torsión

-90° -60° -30° O 30°1 I

1 11--------' ,...-T

-T máx,máx,

60° 90° 120° 150° 180°1 I1 11 1

e)

c) El par de torsión máximo generado por cada uno de los devanados está dado por

(Lmáx) 2 ( 0.128) 2

Tmáx = 2a i = 2(rr /3) 5 = 1.53 N . m

(i) En la gráfica de la figura 8.4c, con em = 0°, la contribución del par generado por la fase 2 escero. Aunque la contribución de la fase 1 aparece indeterminada en una máquina real, el cam-bio de par de Tmax¡ a -T máx¡ con em = 0° tendría una pendiente infinita y el par sería cero cone= O°. Por lo tanto, el par de las fases 1 y 2 en esta posición es cero.

Observe que el par con em = O es cero independientemente de los niveles de corriente en lasfases l y 2. Éste es un problema con la configuración 4/2 de la figura 8.3 puesto que el estator puede·

quedarse "bloqueado" en esta posición (así como también con (}m = ± 90°, ±1800), y no hay manerade producir un par eléctrico para moverlo.


(ii) Con (}'"= 45° ambas fases generan par. El de la fase 1 es negativo mientras que el de la fase 2es positivo. Como las corrientes de fase son iguales, los pares son por lo tanto iguales y opues-tos, y el par neto es cero. No obstante, a diferencia del caso de (}m = 0°, el par en este puntopuede hacerse positivo o negativo simplemente con la selección apropiada de las corrientes defase.

(iii) Con (}m = 75° la fase 1 no produce par, mientras que la fase 2 genera un par positivo de magni-tud Tmáx2' Así pues, el par neto en esta posición es positivo y de magnitud 1.53 N . m. Observeque no existe una combinación de corrientes de fase que produzca un par negativo en estaposición, puesto que el par de la fase 1 siempre es cero mientras que el de la fase 2 puede sersólo positivo (o cero).

~----------------------------------Repita el cálculo del ejemplo 8.1, parte e), en el caso en que a= f3 = 70°.

Solución

(i) T=ON'm(ii) T= O N· m

(iii) T= 1.59 N· m

El ejemplo 8.1 ilustra varias consideraciones importantes para el diseño de máquinas dereluctancia variable. Estas máquinas deben ser diseñadas para evitar la ocurrencia de posicio-nes del rotor en las que ninguna de las fases pueda producir par de torsión. Ésta es una de laspreocupaciones en cuanto al diseño de máquinas 4/2 las cuales siempre tendrán esas posicio-nes si se construyen con entrehierros simétricos, uniformes.

También está claro que para operar máquinas de reluctancia variable con las característi-cas de par específicas, las corrientes de fase deben aplicarse de manera consistente con laposición del rotor. Por ejemplo, la producción de par positivo por cada uno de los devanadosde fase en el ejemplo 8.1, en la figura 8.4c se observa que ocurre sólo con valores específicosde Om' Por lo tanto, la operación de máquinas de reluctancia variable debe incluir algún tipo dedetección de la posición del rotor, así como también un controlador que determine tanto lasecuencia como la forma de onda de las corrientes de fase para lograr el funcionamiento desea-do. Lo anterior por lo general se implementa mediante dispositivos de conmutación electróni-cos (transistores, tiristores, dispositivos de desactivación de compuerta, etc.) con la supervi-sión de un controlador basado en un microprocesador.

Aunque una máquina de reluctancia variable 4/2 como la del ejemplo 8.1 puede hacersetrabajar, en la práctica no es muy útil debido a las características indeseables tales como susposiciones de par cero y al hecho de que existen ubicaciones angulares en las cuales no esposible lograr un par positivo. Por ejemplo, debido a estas linútaciones, no es posible hacerque esta máquina genere un par constante, independiente del ángulo del rotor; asimismo, cier-tamente ninguna combinación de corrientes de fase es capaz de producir par en las posicionesde par cero o par positivo en el rango de ubicaciones angulares donde sólo se puede producirpar negativo. Como se vio en la sección 8.2, estas dificultades son eliminadas con diseños 4/2de geometrías asimétricas, y de ese modo es posible construir máquinas 4/2 prácticas.

8.2 Configuraciones prácticas de las máquinas de reluctancia variable 415

Como ya se vio en esta sección, el análisis de las máquinas de reluctancia variable esconceptualmente directo. En el caso del hierro de máquina lineal (sin saturación magnética), ladeterminación del par es simplemente cuestión de determinar las inductancias de fase del estator(propias y mutuas) como una función de la posición del rotar, y después expresar la coenergíaen función de estas inductancias, y luego calcular la derivada de la coenergía con respecto a laposición angular (manteniendo las corrientes de fase constantes cuando se calcula la deriva-da). Asimismo, como se vio en la sección 3.8, el voltaje terminal eléctrico de cada una de lasfases se determina con la suma de la derivada de tiempo de su enlace de flujo y la caída iR através de su resistencia.

En el caso de hierro de máquina no lineal (en el que los efectos de saturación son impor-tantes), como se vio en la sección 8.4, la conergía se calcula por medio de la integraciónapropiada de los enlaces de flujo de la fase, y el par de nuevo se calcula con la derivada de lacoenergía con respecto a la posición angular del rotar. En uno u otro caso, en un motor dereluctancia variable bien diseñado no hay devanados de rotar y por lo general tampoco hayotras corrientes de rotar; por consiguiente, a diferencia de otros tipos de máquinas de ea(síncronas y de inducción), no existe dinámica eléctrica asociada con el rotar de la máquina.Esto simplifica mucho su análisis.

Aunque las máquinas de reluctancia variable son simples en cuanto a concepto y cons-trucción, su operación es un tanto complicada y requiere complejos dispositivos electrónicosde mando del motor y control para lograr características de operación útiles. Estos problemasy otros se analizan en las secciones 8.2 a 8.5.

8.2 CONFIGURACIONES PRÁCTICAS DE LAS MÁQUINASDE RELUCTANCIA VARIABLE

Los sistemas de mando prácticos de las máquinas de reluctancia variable (el motor y su inver-sor) están diseñados para satisfacer criterios de funcionamiento tales como

• Bajo costo.• Par constante independiente de la posición angular del rotar.• Un rango de velocidad de funcionamiento deseado.• Alta eficiencia.• Una gran relación par a masa.

Como en cualquier situación de ingeniería, el diseño final para un uso específico implicará uncompromiso entre la variedad de opciones disponibles para el diseñador. Como las máquinasde reluctancia variable requieren algún tipo de electrónica y control para funcionar, con fre-cuencia al diseñador le interesa optimizar una característica del sistema de mando completo, locual impondrá restricciones adicionales al diseño del motor.

Las máquinas de reluctancia variable se construyen en una amplia variedad de configura-ciones. En la figura 8.1 se muestran dos formas de máquinas 4/2: una de saliente simple en lafigura 8.la y otra de saliente doble en la figura 8.lb. Aunque es posible hacer que ambos tiposfuncionen, un diseño de saliente doble con frecuencia es la mejor opción porque en generalproduce un mayor par con un tamaño de armazón dado.

Esto puede ser visto de manera cuantitativa (con arreglo a la suposición de una estructuramagnética no saturable de alta permeabilidad) por medio de la ecuación 8.7, la cual muestra

416 CAPíTULO 8 Máquinas de reluctancia variable y motores de pasos

que el par es una función de dL¡¡ (8m)/d8m, así como la derivada de la inductancia de fase conrespecto a la posición angular del rotor. Es claro que todo lo demás es igual, ya que la máquinacon la derivada más grande producirá el par más grande.

Se puede pensar que esta derivada está determinada por la razón de las inductancias defase máxima a mínima Lmáx/Lmín- En otras palabras, es posible escribir,

dL¡¡ ((}m) '" Lmáx - Lmínd(}m /::;'(}m

= Lmáx (1 _ Lmín)/::;'(}m Lmáx

(8.8)

donde /::;'8m es el desplazamiento angular del rotor entre las posiciones de inductancia de fasemáxima y mínima. De acuerdo con la ecuación 8.8, se ve que, para una Lmáx dada y 118m, elvalor más grande de Lmáx/Lmín dará el par más grande. Debido a su geometría, una estructura desaliente doble por lo general tendrá una inductancia mínima más baja y por lo tanto un valormás grande de Lmáx/Lmín; por consiguiente, producirá un par más grande con la misma estruc-tura de rotor.

Por esta razón las máquinas de saliente doble son el tipo predominante de máquina dereluctancia variable, por lo cual en el resto de este capítulo se consideran sólo las máquinas desaliente doble. En general, las máquinas de saliente doble se construyen con dos o más polostanto en el estator como en el rotor. Debe mencionarse que una vez que se determina la estruc-tura básica de una máquina de reluctancia variable, Lmáx queda bastante bien determinada porcantidades tales como el número de vueltas, la longitud del entrehierro y las dimensionesbásicas de los polos. El reto para el diseñador de máquinas de reluctancia variable es lograr unvalor pequeño de Lmín' Lo cual es una difícil tarea porque Lmíx está dominada por flujos dedispersión y otras cantidades que son difíciles de calcular y analizar.

Como se muestra en el ejemplo 8.1, la geometría de una máquina 4/2 de reluctancia varia-ble con entrehierro uniforme da lugar a posiciones del rotor en las que no se puede desarrollarpar con cualquier combinación de excitación de los devanados de fase. Estos pares cero ocu-rren en posiciones del rotor en las que todas las fases del estator de manera simultánea están enuna posición de inductancia máxima o mínima. Como el par depende de la derivada deinductancia con respecto a la posición angular, esta alineación simultánea de los puntos deinductancia máxima y mínima necesariamente produce un par neto cero.

La figura 8.5 muestra una máquina 6/4 de reluctancia variable en la cual se ve que unacaracterística fundamental de la máquina 6/4 es que no es posible semejante alineación de lasinductancias de fase. En consecuencia, la máquina no tiene posiciones de par cero. Este puntoes significativo porque elimina la posibilidad de que el rotor pudiera bloquearse en una deestas posiciones, lo cual requeriría moverlo mecánicamente a una nueva posición antes de quepudiera ser arrancado de nuevo. Además del hecho de que no existen posiciones de alineaciónsimultánea para la máquina 6/4 de reluctancia variable, también se observa que no existenposiciones del rotor en las cuales sea posible producir sólo un par de un solo signo (positivo onegativo). Por consiguiente, mediante el control apropiado de las corrientes de fase, deberá serposible lograr un par constante, independiente de la posición del rotor.

En el caso de una máquina de reluctancia variable simétrica con Ps polos de estator y p,polos de rotor, se puede usar una prueba simple para determinar si existen posiciones de parcero. Si la razón Ps/Pr (o alternativamente Pr/Ps si Pr es mayor que Ps) es un entero, habráposiciones de par cero. Por ejemplo, para una máquina 6/4, la razón es 1.5, y no habrá posicio-

Figura 8.5Vista de la seccióntransversal de unamáquina 6/4 dereluctancia variabletrifásica.


Fase 11

-2

-3

nes de par cero. Sin embargo, la razón es 2.0 para una máquina 6/3, y habrá posiciones de parcero.

En algunos casos, las restricciones de diseño dictan que es deseable una máquina con unarazón de polo entera. En estos casos, es posible eliminar las posiciones de par cero construyen-do una máquina con rotor asimétrico. Por ejemplo, se puede hacer que varíe el radio del rotorcon un ángulo, como se muestra de manera extremadamente exagerada en la figura 8.6a. Estediseño, que también requiere que el ancho del polo del rotor sea más ancho que el del estator,no producirá par cero en posiciones de alineación porque dL( 8m)/d8m no es cero en estos pun-tos, como se observa en relación a la figura 8.6b.

Un procedimiento alternativo para construir una máquina de reluctancia variable con ra-zón de polos entera, sin posiciones de par cero, es construir un montaje de dos o más máquinasde reluctancia variable en serie, alineadas de modo que cada una de ellas esté desplazada unángulo de las demás con todos los rotores compartiendo un eje común. De este modo, lasposiciones de par cero de las máquinas individuales no se alinearán y, por lo tanto, la máquinacompleta no tendrá pares cero. Por ejemplo, un montaje en serie de dos máquinas 4/2 dereluctancia variable, como la del ejemplo 8.1 (figura 8.3) con un desplazamiento angular de45° entre las VRM individuales, producirá una máquina de reluctancia variable de cuatro fasessin posiciones de par cero.

En general, las máquinas de reluctancia variable se devanan con una sola bobina en cadapolo. Aunque es posible controlar cada uno de estos devanados de manera independiente comofases individuales, es una práctica común combinarlos en grupos de polos, los cuales son exci-tados al mismo tiempo. Por ejemplo, la VRM 4/2 de la figura 8.3 se muestra conectada comomáquina bifásica. Como se muestra en la figura 8.5, una máquina de reluctancia variable 6/4comúnmente se conecta como máquina trifásica con los polos opuestos conectados a la mismafase, de tal modo que los devanados impulsan el flujo en la misma dirección a través del rotar.

En algunos casos, las máquinas de reluctancia variable se devanan por medio de conjun-tos de devanados en paralelo en cada fase. Esta configuración, conocida como devanado bi-

418

Figura 8.6Una máquina 4/2 dereluctancia variablecon entrehierro no uni-forme: a) vista esque-mática exagerada yb) gráficas de L( (}m) YdL((}m)/d(}m frente a e;

CAPiTULO 8 Máquinas de reluctancia variable y motores de pasos

a)

b)

filar, en algunos casos produce una configuración de inversor simple y por lo tanto un mandode motor no caro, simple. El uso de un devanado bifilar en la VRM se analiza en la sección11.4.

En general, cuando una fase dada es excitada, el par es tal que el rotor es jalado a laposición más cercana de enlace de flujo máximo. A medida que se retira la excitación de la fasey la siguiente es excitada, el rotor "sigue", ya que luego es jalado a una posición de enlace deflujo máximo. Por lo tanto, la velocidad del rotor es determinada por la frecuencia de lascorrientes de fase. Sin embargo, a diferencia del caso de una máquina síncrona, la relaciónentre la velocidad del rotor, la frecuencia y la secuencia de la excitación del devanado de fasepuede ser bastante compleja, según el número de polos de rotor y el número de polos de estatory fases. Esto se ilustra en el ejemplo 8.2.

~~------------------------Considere una 8/6 VRM, de cuatro fases. Si las fases del estator son excitadas en secuencia, con untiempo total de To segundos requerido para excitar las cuatro fases (es decir, cada fase es excitada duranteun tiempo de T 014 seg), encuentre la velocidad angular de la onda del flujo de estator y la velocidadangular correspondiente del rotor. Ignore cualquier dinámica del sistema y suponga que el rotor rastrearáinstantáneamente la excitación del estator.

Figura 8.7Vista esquemática deuna máquina 8/6 dereluctancia variablede cuatro fases. Lasflechas indican lasubicaciones de lospolos.


• Solución

La figura 8.7 muestra de forma esquemática una VRM 8/6. Los detalles de la forma de los polos no sonde importancia en este ejemplo, por lo tanto, los polos del rotor y del estator se muestran simplementecomo flechas que indican sus ubicaciones. La figura muestra el rotor alineado con los polos de la fase Idel estator. Esta posición corresponde a la que ocurriría si no hubiera carga en el rotor y los devanados dela fase 1 del estator estuvieran excitados, puesto que corresponde a una posición de enlace de flujomáximo de la fase 1.

A continuación considere que se elimina la excitación en la fase 1 y que se excita la fase 2. En estepunto la onda de flujo del estator ha girado 45° en el sentido de las agujas del reloj. Asimismo, conformela excitación en la fase 2 se va eliminando y la fase 3 es excitada, la onda de flujo del estator girará 45° másen el sentido de las agujas del reloj. Por lo tanto, la velocidad angular Q)s de la onda de flujo del estatorse calcula de manera bastante simple como n/4 rad (45°) dividido entre TrJ4 seg, o Q)s = 7dTo rad/seg.

Observe, sin embargo, que ésta no es la velocidad angular del rotor propiamente dicho. La excita-ción de la fase 1 es eliminada y la fase 2 es excitada, el rotor se moverá de tal modo que los enlaces deflujo de la fase 2 se incrementarán al máximo. En este caso, la figura 8.7 muestra que el rotor se moverá15° en sentido contrario a las agujas del reloj, puesto que los polos de rotor más cercanos a la fase 2 enrealidad se encuentran 15° adelante de los polos de la fase 2. Por lo tanto, la velocidad angular del rotorse calcula como -7d12 rad (15°, con el signo menos que indica rotación en sentido contrario a las agujasdel reloj) dividida entre TrJ4 seg, o Q)m = -7d(3To) rad/seg.

[En este caso, el rotor se desplaza a un tercio de la velocidad angular de la excitación del estator y enla dirección opuesta!_... . ..... .. ~-------------------------------------------------------------------Repita el cálculo del ejemplo 8.2 para el caso de una VRM 8/10 cuatrifásica.

Solución

Q)m = n/(5To) rad/seg

El ejemplo 8.2 ilustra la compleja relación que puede existir entre la frecuencia de excita-ción de una VRM y la frecuencia "síncrona" del rotar. Esta relación es directamente análoga ala que existe entre dos engranes mecánicos para los cuales la selección de diferentes formas y

420

Figura 8.8Vista esquemática deuna máquina de reluc-tancia variable almena-da trifásica con seispolos de estator y cua-tro dientes por polo y28 polos de rotar.

CAPíTULO 8 Máquinas de reluctancia variable y motores de pasos

configuraciones de engranes ocasiona una amplia variedad de razones de velocidad. Es difícilderivar una sola regla que describa esta relación debido a la inmensa variedad de configuracio-nes de VRM que puede ser imaginada. Es, sin embargo, una cuestión bastante simple seguir unprocedimiento similar al mostrado en el ejemplo 8.2 para investigar cualquier configuraciónparticular de interés.

Son posibles aún más variaciones en las configuraciones de VRM si los polos del estatory rotar principales se subdividen con la adición de dientes individuales (los cuales son consi-derados como un conjunto de polos pequeños excitados al mismo tiempo por un devanadoúnico). El concepto básico se ilustra en la figura 8.8, la cual muestra una vista esquemática detres polos de una VRM trifásica con un total de seis polos de estator principales. Una máquinacomo ésa, con los polos de estator y de rotar subdivididos en dientes, se conoce como máquinade reluctancia variable almenada; el nombre se deriva del hecho de que los dientes del estatorse parecen mucho a las torres de un castillo medieval.

En la figura 8.8 cada polo de estator se dividió en cuatro subpolos con la adición de cuatrodientes de 6~0 de ancho (indicado mediante el ángulo 13 en la figura), con una ranura del mismoancho entre cada diente. Se elige la misma separación diente/ranura para el rotar, lo cual pro-duce un total de 28 dientes en el rotar. Observe que este número de dientes de rotar y el valorcorrespondiente de 13 se eligieron de modo que cuando los dientes del rotar estén alineados conlos del polo del estator de la fase 1, no estén alineados con los de las fases 2 y 3. De este modo,la excitación sucesiva de las fases del estator producirá rotación del rotar.

Esta configuración almenada complica aún más la relación entre la velocidad del rotar y lafrecuencia así como la secuencia de la excitación del devanado del estator. Por ejemplo, en lafigura 8.8 se observa que con esta configuración, cuando se elimina la excitación de la fase 1 yse excita la fase 2 (correspondiente a una rotación de 600 de la onda de flujo del estator en elsentido de las agujas del reloj), el rotar girará un ángulo de (2f3/3) = 4~0 en sentido contrario alas agujas del reloj.

Del análisis precedente, se deduce que la técnica de utilizar configuraciones almenadaspuede utilizarse para crear VRM capaces de funcionar a bajas velocidades (y, por consiguien-te, de producir un alto par con una entrada de potencia dada al estator) y con una muy precisaexactitud de la posición del rotar. Por ejemplo, la máquina de la figura 8.8 puede ser girada conprecisión en incrementos angulares de (213/3). El uso de más dientes incrementa aún más laresolución de posición de estas máquinas. Las máquinas de tales características se encuentran

,k---600----;.~,_. --- 600---.J,

JIIJI

~~f3"'f3"1 2/3/3 -1 ¡.... 4/3/3 -1 ¡....

Rotor

8.3 Formas de onda de corriente para la producción de par 421

en aplicaciones en las que se requiere baja velocidad, alto par y una resolución angular preci-sa. Esta configuración almenada es un ejemplo de una clase de VRM comúnmente conocidacomo motores de pasos, debido a su capacidad de producir pequeños pasos de resoluciónangular.

8.3 FORMAS DE ONDA DE CORRIENTEPARA LA PRODUCCiÓN DE PAR

Como se vio en la sección 8.1, el par producido por una máquina de reluctancia variable en lacual los efectos de saturación e inductancia mutua pueden ser ignorados, queda determinadopor la suma de términos que consisten en derivadas de las inductancias de fase con respecto ala posición angular del rotor, cada una multiplicada por el cuadrado de la corriente de fasecorrespondiente. Por ejemplo, en las ecuaciones 8.6 y 8.7 se ve que el par de torsión de la VRM4/2, bifásica de la figura 8.lb está dado por

(8.9)

Para cada fase de una VRM, la inductancia es periódica en posición angular del rotor, porlo tanto, su área bajo la curva de dUdem calculada a lo largo de un periodo completo de L(em)

es cero, es decir,

(8.10)

donde p, es el número de polos de rotor.El par promedio producido por una VRM se calcula integrando la ecuación de par de

torsión (ecuación 8.9) a lo largo del periodo de rotación completo. Es claro que si las corrientesdel estator se mantienen constantes, la ecuación 8.10 muestra que el par promedio será cero.Por consiguiente, para producir un par promedio con respecto al tiempo, las corrientes delestator deben variar con la posición del rotor. El par producido promedio deseado para unaVRM depende de la naturaleza de la aplicación. Por ejemplo, el funcionamiento de motorrequiere un par positivo en el eje, promediado con respecto al tiempo. Asimismo, la acción defrenado o de generador requiere un par negativo pro mediado con respecto al tiempo.

Un par positivo se produce cuando una fase es excitada en posiciones angulares con dUdem positiva para dicha fase, y se produce un par negativo mediante excitación en posicionesen las cuales dUdem es negativa. Considere una VRM 6/4, trifásica (similar a la mostrada en lafigura 8.5) con polos de rotor y estator a 40°. La inductancia frente a la posición del rotor paraesta máquina será similar a la representación idealizada que se muestra en la figura 8.9.

El funcionamiento de esta máquina como motor requiere un par positivo neto. Además,puede ser operada como generador en condiciones de par negativo. Observando que el parpositivo se genera cuando se aplica excitación en posiciones del rotor en las cuales dUdem espositiva, es posible ver que se requiere un sistema de control que determine la posición de rotor

422

Figura 8.9Inductancia idealizaday curvas dUd8m deuna máquina 6/4 de re-luctancia variable trltá-sica con polos de rotary estator a 40°.

Figura 8.10Pares de fase individualy par total del motor dela figura 8.9. Cada fasees excitada con unacorriente constante losólo en las posicionesdonde dUd9m> O.


Fase 1

-4----------~~--~----------_+----------~+__4~----------4_~8m- 50°: -40° O 40°: 50°-99° 90°

Fase 2

~~~--~-----------7I---------+~~~~-----------I~------~~~9m-90 1 -70° 1-30° O 110°20° 160° 90°

___ 1 L_______ _ __1 1 .

Fase 3

y que aplique excitaciones al devanado de fase en el momento apropiado. Si se considera sólola simplicidad de la VRM misma, es, de hecho, la necesidad de este tipo de control lo que haceque los sistemas de mando de VRM sean más complejos de lo que se podría pensar.

Una de las razones por la que las VRM se utilizan en una amplia variedad de situacioneses porque la amplia disponibilidad y el bajo costo de los microprocesadores y dispositivoselectrónicos de potencia han reducido el costo de los sistemas de detección y control requeri-dos para operar con éxito los sistemas de mando de VRM a un nivel en el cual estos sistemaspueden competir con otras tecnologías. Aunque el control de mandos de VRM es más comple-jo que el requerido para los sistemas de motor de cd, de inducción o de ea de imán permanente,en muchas aplicaciones el sistema de mando de VRM en general resulta ser menos caro y másflexible que la competencia.

Si se dispone del sistema de detección y control de posición del rotar apropiado, la pre-gunta sigue siendo cómo excitar las fases del inducido. Según la figura 8.9, un posible esque-ma de excitación sería aplicar una corriente constante a cada fase en aquellas posiciones angu-lares en las que dLld8", es positiva o de lo contrario la corriente es cero.

Cuando se hace lo anterior, la forma de onda del par resultante será la de la figura 8.10.Observe que debido a que las formas de onda de par de las fases individuales se traslapan, el

Par_.- Fase 1••••••••••••• Fase 2_ .. - Fase 3

--- Total

-J-----~~--~--~----~_4------~~-----L-~----~~~~emO 90°


par resultante no será constante sino que más bien tendrá una componente pulsante por encimadel valor promedio. En general, tales pares pulsantes deben evitarse porque pueden produciresfuerzos dañinos en la VRM y también pueden generar vibración y ruido excesivos.

La consideración de la figura 8.9 muestra que existen estrategias de excitación alternati-vas, las cuales pueden reducir las pulsaciones del par de la figura 8.10. Quizá la estrategia mássimple es excitar cada fase durante sólo 30° de posición angular, en lugar de los 40° queresultaron en la figura 8.9. De este modo, cada fase simplemente se desactivaría en el momen-to en que la siguiente se activa, y no habría traslape de par entre fases.

Aunque esta estrategia sería una solución ideal al problema, en la práctica no es posibleimplementarla. El problema es que debido a que cada devanado de fase tiene autoinductancia,no es posible activar o desactivar al mismo tiempo las corrientes de fase. De manera específi-ca, para una VRM con fases independientes/ (desacopladas), la relación voltaje-corriente de lafase j está dada por

. dAjv·=R·/·+-] ] ] dt (8.11 )

donde

(8.12)

Por lo tanto

dVj = Rjij + -[Ljj(l1m)ij]

dt(8.13)

La ecuación 8.13 se reescribe de la siguiente manera

{d } di,Vj = s, + -[Ljj(l1m)] ij + Ljj(l1m)-]dt dt (8.14)

o

[dLjj(l1m) dl1m] . di¡

v·= R·+ - I+L··(I1)-] ] d(l1m) dt ] ]] m dt (8.15)

Aun cuando las ecuaciones 8.13 a 8.15 son matemáticamente complejas y con frecuenciarequieren solución numérica, resulta claro que indican que se necesita de cierto tiempo paraincrementar las corrientes en los devanados de fase después de la aplicación de voltaje a dichafase. Es posible realizar un análisis similar en condiciones asociadas con la cancelación decorrientes de fase. El tiempo de demora asociado con el incremento de la corriente puedelimitar el par máximo alcanzable, mientras que el tiempo de mengua de la corriente puede pro-ducir un par negativo si la corriente sigue fluyendo cuando dL( ()m)/d()mcambia de signo. Estosefectos se ilustran en el ejemplo 8.3, en el cual también se muestra que en casos donde laresistencia del devanado puede ser ignorada es posible hallar una solución aproximada a estasecuaciones.

2 Se recuerda al lector que en algunos casos no se justifica la suposición de fases independientes, y en tal caso serequiere un análisis más complejo de la VRM (véase el análisis después de la obtención de la ecuación 8.5).


~~-------------------------------------

M Considere la VRM 4/2 idealizada del ejemplo 8.1. Suponga que tiene una resistencia de devanado de R =1.5 illfase y una inductancia de dispersión L¡ = 5 mH en cada fase. Para una velocidad de rotor constantede 4 000 rlmin, calcule a) la corriente de la fase 1con una función del tiempo durante el intervalo -60° $(}m :s; 0°, suponiendo que se aplica un voltaje constante Vo = 100 V a la fase 1 en el momento en quedLlI«(}m)ld(}m se vuelve positiva (es decir, cuando (}m = -60° = -n/3 rad), y b) la reducción de la corrientede la fase 1 si se aplica un voltaje negativo de -200 V cuando (}m = 0° y se mantiene hasta que la corrientellega a cero, e) Con MATLAB3 grafique estas corrientes así como también el par correspondiente. Ade-más, calcule la integral bajo la gráfica del par frente al tiempo y compárela con la integral de la curva parfrente al tiempo para el periodo durante el cual el par es positivo .

• Solución

a) Según la ecuación 8.15, la ecuación diferencial que rige el incremento de la corriente en la fase lestá dada por

v = [R+dLII(8m)d8m]i +L (8)dil

I d8m dt 111m dt

A 4 000 rlmin,

d8m • ttWm = - = 4 000 r/min x-

dt 30 [rad/s.eg]

rlrmn400n= -3- rad/seg

Por lo tanto

y

la cual es mucho mayor que la resistencia R = 1.5 Q.

Esto permite obtener una solución aproximada de la corriente, si se ignora el término Ri en laecuación 8.13. Se debe resolver entonces

3 MATLAB es una marea registrada de The Math Works, Ine.


cuya solución es

Sustituyendo

en la expresión para Lll «~m)se obtiene

lOOti (t) - AI - 0.005 + 51.1t

la cual es válida hasta que (Jm= 0° cuando t = 2.5 mseg, en el punto en que i¡(t) = 1.88 A.b) Durante el periodo de reducción de la corriente la solución prosigue como en la parte a). En la figura

8.4, con 0° ~ (Jm ~ 60°, dLll«(Jm)/dt = 5l.1 n y de nuevo es posible ignorar el término Ri en laecuación 8.13.

Por lo tanto, como el voltaje aplicado es -200 V durante este periodo (t ~ 2.5 mseg hastaque i¡(t) = O) en un esfuerzo por hacer que la corriente llegue rápidamente a cero, como la corrientedebe ser continua en el instante to = 2.5 mseg, y como de acuerdo con la ecuación 8.4 (con 0° ~(Jm~ 60°)

se ve que la solución es

LI¡ (to)i¡ (to) + J,' VI dtil(t) = '0

LII (t)

0.25 - 200(t - 2.5 x 10-3)

0.005 + 51.1(5 x 10-3 - t)

Con esta ecuación, se observa que la corriente llega a cero cuando t = 3.5 mseg.e) El par de torsión se calcula con la ecuación 8.9 e i2= O. Por lo tanto

Con MATLAB Ylos resultados de las partes a) y b), la forma de onda de la corriente se grafica en lafigura 8.11a y el par en la figura 8.lIb. La integral bajo la curva del par es 3.35 x 10-4 N . m . seg,mientras que bajo la parte positiva de la curva del par correspondiente a un par positivo es 4.56 x 10-4N . m . seg. Por lo tanto, se observa que el par negativo produce una reducción de 25% en el par prome-dio, que de ocurrir lo contrario estaría disponible si la corriente pudiera reducirse instantáneamente acero.

Observe en primer lugar por medio de los resultados de la parte b) y la figura 8.lla que, a pesar deaplicar un voltaje negativo de dos veces la magnitud del voltaje utilizado para incrementar la corriente,

426 CAPfTULO 8 Máquinas de reluctancia variable y motores de pasos

1.8

1.6

1.4

<'-1.2

~" 1"O

~·E 0.8oU

0.6

0.4

0.2

oo 0.5 1.5 2 2.5 3.5Tiempo (mseg)

a)

0.25

0.2

0.15

0.1

E2S 0.05

=~Siu

~.0.05e,

-<l.1

-<l.15

-0.2

Figura 8.11Ejemplo 8.3: a) corrien- -<l.25

0 0.5 1.5 2 2.5 3.5

te de la fase 1 y Tiempo (mseg)

b) perfil del par. b)

ésta continúa fluyendo en el devanado durante 1.25 mseg después de invertir el voltaje aplicado. Deacuerdo con la figura 8.11b se ve que el resultado es un periodo significativo de producción de parnegativo. En la práctica, por ejemplo, esto puede dictar un esquema de control que invierta la corriente defase antes de que el signo de dL(Om)/dOm) se invierta, y se logra un par promedio más grande a cambio dela reducción del par positivo promedio contra una mayor disminución del par negativo promedio.

Este ejemplo también ilustra otro aspecto importante del funcionamiento de una VRM. Para unsistema de resistencia de 1.5 ne inductancia constante, se esperaria una corriente de régimen permanentede 100/1.5 = 66.7 A. No obstante, en este sistema la corriente de estado estable es menor que 2 A. Larazón de esto es evidente por las ecuaciones 8.14 y 8.15 donde dLIl (Om)/dt = 51.1 n se presenta comouna resistencia aparente en serie con la resistencia del devanado, la cual es mucho más grande que laresistencia del devanado mismo. La caída de voltaje correspondiente (el voltaje de velocidad) es desuficiente magnitud para limitar la corriente de estado estable a un valor de 100/51.1 = 1.96 A.


He aquí el programa MATLAB:

clcclear

% Éstas son las inductanciasLmax : 0.128;Lleak : 0.005;

Pos integral : O;integral: O;N : 500;tmax: 3.7Se-3;deltat : tmax/N;

% A continuación se realizan los cálculosfor n : 1: (N+1)

t(n) : tmax*(n-1)/N;thetam(n) : -(pi/3) + (400*pi/3) * t(n);if (thetam(n) <: O)i(n) : 100*t(n)/(0.00S + 51.1 *t(n));dld11dtheta : 0.122;Torque(n) : 0.S*i(n)\A{}2*dld11dtheta;Pos integral : Pos integral + Torque(n)*deltat;integral: Posintegral;

elsei(n) : (0.25 - 200*(t(n) - 2.Se-3))/(0.00S+Sl.1*(Se-3 - t(n)));dld11dtheta : -0.122;Torque(n) : 0.S*i(n)A2*dld11dtheta;integral: integral + Torque(n)*deltat;

end

endfprintf('\Par de torsión integral positivo: %g [N-m-sec)' ,Posintegral)fprintf('\Par de torsión: %g [N-m-sec)\n' ,integral)

plot(t*1000,i)xlabel('tiempo [msec) ')ylabel('corriente de fase [A) ')

pause

plot(t*1000,Par de torsión)xlabel('tiempo [msec) ')ylabel('Par de torsión [N-m) ')


~~~------------------------------------------------------------------

Reconsidere el ejemplo 8.3 con la condición de que el voltaje de -250 V sea aplicado para desactivar lacorriente de fase. Use MATLAB para calcular la integral bajo la gráfica par frente a tiempo y despuéscompárela con la integral bajo la curva par frente a tiempo correspondiente al periodo durante el cual elpar es positivo.

Solución

La corriente regresa a cero cuando t = 3.5 mseg. La integral bajo la curva de par es 3.67 x 10-4 N . m seg,mientras que bajo la parte negativa de la curva del par correspondiente al par positivo permanece igual a4.56 x 10-4 N . m . seg. En este caso, el par negativo produce 20% de reducción del par, que de locontrario estaría disponible si la corriente pudiera reducirse de manera instantánea a cero.

El ejemplo 8.3 ilustra aspectos importantes del desempeño de las máquinas de reluctanciavariable que no aparecen en un análisis idealizado como el del ejemplo 8.1 pero que desempe-ñan un papel muy importante en aplicaciones prácticas. Está claro que no es posible aplicarcon facilidad corrientes de fase a configuraciones de onda arbitrarias. Las inductancias dedevanado (y su derivada con respecto al tiempo) afectan significativamente la forma de ondade la corriente que se puede lograr con un voltaje aplicado dado.

En general, el problema se vuelve más severo conforme se incrementa la velocidad delrotor. La consideración del ejemplo 8.3 muestra, que con un voltaje aplicado dado, 1) a medidaque se incrementa la velocidad, la corriente consumirá mayor fracción del tiempo disponibledurante el cual dL( ()m)/d()m es positiva para alcanzar un nivel, y 2) que la corriente de estadoestable que puede ser alcanzada disminuye de manera gradual. Un método común de incre-mentar al máximo el par disponible es aplicar el voltaje de fase con algo de anticipación alinstante en que dL( ()m)/d()m comienza a incrementarse. Esto da tiempo a la corriente para incre-mentarse a un nivel significativo antes de que comience la producción de torsión.

No obstante, una dificultad más significativa (también ilustrada en el ejemplo 8.3) es queasí como las corrientes requieren una cantidad de tiempo significativa para incrementarse alprincipio del ciclo de activación, al final también requieren tiempo para reducirse. Por consi-guiente, si la excitación de fase se elimina durante o casi al final del periodo dL«()m)/d()m' esmuy probable que habrá corriente de fase en el momento en que dL( ()m)/d()m se vuelve negati-va, así que habrá un periodo de producción de par negativo, lo que reduce la capacidad deproducción de par efectiva de la VRM.

Una manera de evitar tal producción de par negativo es desactivar la excitación de fasecon suficiente anticipación en el ciclo, de modo que la corriente haya decaído en esencia a ceroen el momento en que dL«()m)/d()m se vuelva negativa. Sin embargo, es claro que existe unpunto de retornos decrecientes, porque la desactivación de la corriente de fase mientras dL( ()m)/d()m es positiva, también reduce la producción de par positivo. Por consiguiente, con frecuen-cia es necesario aceptar cierta cantidad de par negativo (para conseguir el par positivo requeri-do) y compensarlo con la producción de par positivo adicional producido por otra fase.

Otra posibilidad se ilustra en la figura 8.12. La figura 8.12a muestra la vista de seccióntransversal de una VRM 4/2 similar a la de la figura 8.3, con la excepción de que el ángulo delpolo de rotor se incrementó de 60° a 75°, con el resultado de que el polo del rotor sobresale aldel estator en 15°. Como se observa en la figura 8.12b, esto produce una región de inductanciaconstante que separa las regiones dL«()m)/d()m positiva y negativa, la que a su vez proporciona

Figura 8.12Una máquina 4/2 dereluctancia variablecon rotar que sobresa-le 15°:a) vista de lasección transversal yb) gráficas de L,,(Om) YdL,,(Om)/dOm frente a8m·


a)

-h~~~--~~-+--~~---+--~~--~--~~,--~--~~---+--~r-~Om-180°' -150°-120'1 -90° -60° -30° '30° 60°'

" "~----- - - -' '- - ------,b)

más tiempo para que la corriente de fase se desactive antes de que se alcance la región deproducción de par de torsión negativo.

Aunque la figura 8.12 muestra un ejemplo con 15° de vuelo de rotor, en cualquier diseñoparticular la cantidad de vuelo se determinaría como parte del proceso de diseño general ydependería de situaciones tales como la cantidad de tiempo requerida para que la corriente defase decaiga al igual que la velocidad de operación de la VRM. En este proceso también seincluye el reconocimiento de que el uso de polos de rotor más anchos producirá un mayorvalor de Lmín, el cual por sí mismo tiende a reducir la producción de par (véase el análisis de laecuación 8.8) y aumentar el tiempo de incremento de la corriente.

En condiciones de operación a velocidad constante, a menudo es deseable alcanzar un parconstante e independiente de la posición del rotor. Una operación como ésa reducirá al mínimolos pares pulsantes que pueden provocar ruido y vibración excesivos y, por último, tal vezconducir a fallas de componentes por fatiga del material. Esto significa que a medida que laproducción de par de una fase comienza a disminuir, el de otra fase debe incrementarse paracompensar. Como se observa en la forma de onda de par de la figura 8.11, esto representa uncomplejo problema de control para la excitación de fase, y en muchos casos será difícil lograrun par totalmente sin rizos.

430 CAPíTULO8 Máquinas de reluctancia variable y motores de pasos

8.4 ANÁLISIS NO LINEAL

Figura 8.13Gráficas de ;..frente a ide una máquina dereluctancia variablecon a) material magné-tico lineal y b) materialmagnético no lineal.

Como la mayoría de las máquinas eléctricas, las VRM emplean materiales magnéticos tantopara dirigir como para configurar los campos magnéticos en la máquina y para incrementar ladensidad de flujo magnético que se puede lograr con una amplitud de corriente dada. Paraobtener el máximo beneficio del material magnético, las máquinas de reluctancia variableprácticas se operan con la densidad de flujo magnético suficientemente alto de modo que elmaterial magnético esté saturado en condiciones de operaciones normales.

Como con las máquinas de cd de inducción, síncronas analizadas en los capítulos 5-7 ladensidad de flujo de operación real es determinada a cambio de cantidades tales como costo,eficiencia y relación par a masa. Sin embargo, debido a que la VRM y sus dispositivos electró-nicos de mando están bastante interrelacionados, el diseño de las máquinas de reluctanciavariable implica intercambios adicionales que a su vez afectan la selección de la densidad deflujo de operación.

La figura 8.2 muestra curvas de inductancia típicas frente al ángulo de las máquinas dereluctancia variable de la figura 8.1. Tales curvas son características de todas las máquinasde reluctancia variable. Se debe reconocer que el uso del concepto de inductancia es estricta-

70·80"

~~~90.

(}m O· io- 20· 30· 40·

50·

60"

Corriente de fase, i

a)

O·

~~~::::::::::====:::::::ro-20·30·40·

50"

60·

70·80·90·

Corriente de fase, i

b)

8.4 Análisis no lineal 431

mente válido sólo con la condición de que el circuito magnético en la máquina sea lineal, demodo que la densidad de flujo (y por consiguiente el enlace del flujo del devanado) seapropor-cional a la corriente del devanado. Este análisis lineal está basado en la suposición de que elmaterial magnético en el motor tiene una permeabilidad magnética constante. Esta suposiciónse utilizó en todos los análisis precedentes en este capítulo.

Una representación alternativa del enlace de flujo frente a la característica de corrientede una VRM se muestra en la figura 8.13. Esta representación consiste en una serie de gráfi-cas del enlace de flujo frente a la corriente a varios ángulos del rotor. En esta figura, las cur-vas corresponden a una máquina con un rotor de dos polos como en la figura 8.1, por consi-guiente, una gráfica de curvas de 0° a 90° es suficiente para caracterizar por completo a lamáquina.

La figura 8.13a muestra el conjunto de características A-i que se medirían en una máquinacon material magnético lineal, es decir, permeabilidad magnética constante y sin saturaciónmagnética. Con cada ángulo del rotor, la curva es una línea recta cuya pendiente correspondea la inductancia L( 0m) en esa posición angular. De hecho, una gráfica de L( 0m) frente a Omcomo en la figura 8.2 es una representación equivalente a la de la figura 8.13a.

En la práctica, las máquinas de reluctancia variable sí funcionan con su material magnéti-co en saturación y sus características A-i adoptan la forma de la figura 8.13b. Observe que conbajos niveles de corriente, las curvas son lineales, y corresponden a la suposición de materialmagnético lineal de la figura 8.13a. Sin embargo, con niveles de corriente más altos, se iniciala saturación y las curvas adoptan una inclinación más pronunciada, con el resultado de que losefectos de saturación son máximos con Om = 0° (posición en la cual los polos del rotor y delestator están alineados) y mínimos con ángulos mayores a medida que el rotor se aproxima a laposición no alineada.

La saturación tiene dos efectos importantes un tanto contradictorios en el desempeño deuna VRM. Por un lado, la saturación limita las densidades de flujo con un nivel de corrientedado y por lo tanto tiende a limitar la cantidad de par disponible producido por la VRM. Por elotro, es posible demostrar que la saturación tiende a reducir la capacidad volt ampere delinversor requerido, ya que para una potencia de salida dada de la VRM y de éste tiende a hacerque el inversor sea más pequeño y menos costoso. Un sistema de VRM bien diseñado se basaráen un intercambio entre dos efectos."

Estos efectos de saturación pueden investigarse considerando las dos máquinas de lasfiguras 8.13a y b que funcionan a la misma velocidad rotatoria y en la misma condición deoperación. Por simplicidad, se supone una condición algo idealizada en la cual la corriente dela fase 1 se activa de manera instantánea a un valor lo cuando Om = -90° (la posición no alinea-da de la fase 1) y se desactiva instantáneamente cuando Om = 0° (la posición alineada). Estaoperación es similar a la analizada en el ejemplo 8.1, en el cual se ignoran los efectos quecomplica el incremento de la corriente y las transitorias de decaimiento que se ilustran en elejemplo 8.3.

Por la simetría del rotor, los enlaces de flujo con ángulos del rotor negativos son idénticosa aquellos con ángulos positivos. De este modo, las trayectorias de enlace de flujo-corrientedurante un ciclo de corriente se determinan con las figuras 8.13a y b y se muestran para las dosmáquinas en las figuras 8.14a y b,

4 Para un análisis de los efectos de saturación en sistemas de mando de máquinas de reluctancia variable, véaseT.J .E. Miller, "Con verter Volt-Ampere Requirements of the Switched Reluctance Motor"./EEE Trans./nd. Appl., lA-21:1136-1114,1985.

432

Figura 8.14a) Trayectoria enlacede flujo-corriente delas máquinas a) linea-les y b) no lineal de lafigura 8.13.


111:8m=900

I

18m = 900

II

o oa) b)

A medida que se recorre cada trayectoria, la entrada de potencia al devanado está dada porsu producto volt ampere

. .dAPent = IV = 1-

dt(8.16)

La entrada de energía eléctrica neta a la máquina (la energía que se convierte en trabajomecánico) en un ciclo se determina integrando la ecuación 8.16 alrededor de la trayectoria

Trabajo neto = J Pent dt = f i dA (8.17)

Esto se puede ver gráficamente como el área encerrada por la trayectoria rotulada Wnet enlas figuras 8.14a y b. Observe que la máquina saturada convierte menos trabajo útil por cicloque la no saturada. Por consiguiente, para obtener una máquina de la misma salida de potencia,la máquina saturada tendrá que ser más grande que una máquina (hipotética) no saturada. Esteanálisis demuestra los efectos de saturación al reducir el par de torsión y la salida de potencia.

También puede calcularse la entrada de energía pico al devanado proveniente del inversor.Es igual a la integral de la potencia de entrada desde el inicio de la trayectoria hasta el punto(lo, A",áx):

r:Energía pico = lo i dl: (8.18)

Ésta es el área total bajo la curva A-i, mostrada en la figura 8.14a y b como la suma de las áreasmarcadas Wrec Y Wnet·

Puesto que se ha visto que la energía representada por el área Wnet corresponde a energíade salida útil, está claro que la energía representada por el área Wrec corresponde a la entrada deenergía requerida para hacer que la VRM funcione (es decir, se emplea en crear campos mag-néticos en la VRM). Esta energía no produce trabajo útil, más bien debe ser reciclada de regre-so al inversor al final de la trayectoria.

La capacidad volt ampere del inversor es determinada por la potencia promedio por faseprocesada por el inversor conforme el motor funciona, al igual que la entrada de energía pico a


la VRM dividida entre el tiempo T entre ciclos. Asimismo, la potencia de salida promedio porfase de la VRM está dada por la entrada de energía neta por ciclo dividida entre T. Por lo tanto,la razón de capacidad volt ampere del inversor a la salida de potencia es

Capacidad volt ampere del inversor _ Área (Wrec + Wnet)

Área de salida neta - Área (Wnet)(8.19)

En general, la capacidad volt ampere del inversor determina su costo y tamaño. Por lotanto, para una salida de potencia dada de una VRM, una razón más pequeña de capacidad voltampere del inversor a potencia de salida significa que el inversor será tanto más pequeño comomás barato. La comparación de las figuras 8.14a y b muestra que esta razón es más pequeña enla máquina que se satura; el efecto de saturación es reducir la cantidad de energía que debe serreciclada en cada ciclo y por consiguiente la capacidad volt ampere del inversor requerida paraalimentar la VRM.

~~-----------------------------------------

M Considere una VRM 4/2 bifásica simétrica cuya característica A-i puede representarse por la siguienteexpresión A-i (para la fase 1) como una función de 8", dentro del rango O ~ 8", ~ 90°

La fase 2 de este motor es idéntica a la fase 1, y entre ellas no existe ninguna inductancia mutua signifi-cativa. Suponga que la resistencia del devanado es insignificante.

a) Con MATLAB, grafique una familia de curvas A¡-i¡ para este motor a medida que 8", varía de O a90° en incrementos de 10° y a medida que i¡ varía de O a 30 A.

b) De nuevo con MATLAB, use la ecuación 8.19 y la figura 8.14 para calcular la razón de la capacidadvolt ampere a la salida de potencia neta de la VRM para el siguiente ciclo de operación idealizado:

(i) La corriente se eleva instantáneamente a 25 A cuando 8m = _90°.(ii) La corriente luego se mantiene constante cuando el motor gira a 8m = O°.

(iii) Cuando 8m = 0°, la corriente se reduce a cero.

e) Suponiendo que la VRM funciona como motor con el ciclo descrito en la parte b) y cuando gira auna velocidad constante de 2 500 r/min, calcule la potencia electromecánica neta suministrada alrotor .

• Solución

a) En la figura 8.15a se muestran las curvas A¡-i¡.b) La figura 8.15b muestra las áreas Wnet Y Wrec' Observe que, como se señala en el texto, las curvas

A-i son simétricas alrededor de 8m = 0°, por lo tanto, las curvas con valores negativos de 8m sonidénticas a aquellas con los valores positivos correspondientes. El área Wnet está limitada por lascurvas A¡-i¡ correspondientes a 8m = 0° y 811I = 90° y la línea i¡ = 25 A. El área Wrec está limitada porla línea A¡ = Amáx y la curva A¡ = i¡ correspondiente a 8m = 0°, donde Amáx = A¡ (25 A, 0°).

Con MATLAB integre las áreas, la razón deseada se calcula con la ecuación 8.19 como

Capacida,d volt ampere del inversor = Áre~ (W,ec + Wnet) = l.55Area de salida neta Area (Wnet)

434

Figura 8.15a) Curvas .íl,-i, delejemplo 8.4. b) Áreasutilizadas en el cálculode la parte b).


Familia de curvas lambda-i a medida que theta., varía de O a 90 grados.0.8r----..,.----.-----r----,----~----...,

theta., = Ogrados0.7

0.6

0.5

~~ 0.4.n

j0.3

0.2

0.1

5 10 15Corriente [Al

20 25 30

a)

Familia de curvas lambda-i a medida que theta., varía de O a 90 grados.0.8r----..,.----.-----r----,----~----...,

0.1

5 10 15Corriente [Al

30

b)


e) Cada fase suministra energía igual al área (Wnet) al rotar dos veces durante cada revolución del rotar.Si se mide el área (Wnet) en joules, la potencia en watts suministrada por cada fase es, por lo tanto,igual a

donde Tes el tiempo de una revolución (en segundos).Con MATLAB, el área(Wnet) = 9.91 joules y a 2 500 r/min, T = 60/2 500 = 0.024 seg.

(9.91 )

Prase = 2 0.024 = 825 W

y por lo tanto

Pmec = 2Pfase = 1 650 W

He aquí el programa MATLAB:

clcclear%(a) Primero se grafican las características l-ifor m = 1:10theta(m) = 10*(m-1);

for n=1:101i(n) = 30*(n-1)/100;Lambda(n) = i(n)*(0.005 + 0.09*((90-theta(m))/90)*(8/(i(n)+8)));

endplot(i,Lambda)if m==l

holdend

endholdxlabel('Corriente [A)')ylabel('Lambda [Wb)')title ('Familia de curvas l-i conforme theta m varía de O a 90 grados}')text(17, .7,'theta_m = O grados')text(20, .06, 'theta_m = 90 grados')%(b) Ahora se integra para calcular las áreas.%Lambda pico a O grados, 25 Ampslambdamax = 25*(0.005+0.09*(8/(25+8)));AreaWnet O;AreaWrec = O;% 100 pasos de integracióndeli = 25/100;for n=1:101i(n) = 25*(n-1)/100;


AreaWnet = AreaWnet + deli*i(n)*(0.09)*(8/(i(n)+8));AreaWrec = AreaWrec + deli*(lambdamáx - i(n)*(0.005+0.09*(8/(i(n)+8))));

end

Ratio = (AreaWrec + AreaWnet)/AreaWnet;fprintf('\Part(b) Ratio = %9' ,Ratio)%(c) Cálculo de la potencia

rpm = 2500;rps = 2500/60;T = l/rps;Pphase = 2*AreaWnet/T;Ptot = 2*Pphase;fprintf('\n\npart(c) AreaWnet = \%9 [Joulesl' ,AreaWnet)fprintf('\ Pphase = %9 [Wl and Ptot = %9 [Wl\n' ,Pphase,Ptot)

- L- _

Considere una VRM bifásica idéntica a la del ejemplo 8.4 con la excepción de una inductancia de disper-sión de 5 mH adicional en cada fase. a) Calcule la relación de la capacidad en volt amperes del inversora la salida de potencia neta de la VRM para el siguiente ciclo de operación idealizado:

(i) La corriente se eleva instantáneamente a 25 A cuando em = -90°.(ii) Luego la corriente se mantiene constante cuando el motor gira a em = 10°.

(iii) Cuando em = 10°, la corriente se reduce a cero.

b) Suponiendo que la VRM funciona corno motor con el ciclo descrito en la parte a) y si gira a unavelocidad constante de 2 500 r/min, calcule la potencia electromecánica neta suministrada al rotar.

Capacidad volt ampere del inversor = 1.75Potencia de salida neta

Solución

a)

b) Pmec= 1467W

Es claro que los efectos de saturación deben ser tomados en cuenta porque desempeñan unpapel significativo en el desempeño de la mayoría de las máquinas de reluctancia variable.Además, el ciclo de operación idealizado que se ilustra en el ejemplo 8.4 no puede, desdeluego, ser logrado en la práctica puesto que es probable que ocurra algo de movimiento delrotar durante la escala de tiempo durante la cual ocurren los cambios de corriente. Por consi-guiente, con frecuencia es necesario recurrir a paquetes de análisis numérico tales como pro-gramas de elemento finito como parte del proceso de diseño de sistemas de VRM prácticos.Muchos de estos programas incorporan la capacidad de modelar los efectos no lineales desaturación magnética así como también mecánicos (por ejemplo, los movimientos del rotar) ylos efectos dinámicos eléctricos (por ejemplo, el incremento de la corriente).

8.5 Motores de pasos 437

Como ya se vio, el diseño de un sistema de mando de VRM a menudo requiere que se hagaun intercambio. Por un lado, la saturación tiende a incrementar el tamaño de la VRM para unasalida de potencia dada. Por el otro, al comparar dos sistemas de VRM con la misma salida depotencia, el sistema con el nivel de saturación más alto por lo general requerirá un inversor demenor capacidad volt ampere. Por lo tanto, el diseño final quedará determinado por un inter-cambio entre el tamaño, el costo y la eficiencia de la VRM y del inversor.

8.5 MOTORES DE PASOS

Como ya se vio, cuando las fases de una VRM son energizadas en secuencia de una maneragradual apropiada, la VRM girará un ángulo específico por cada paso. Los motores diseñadosespecíficamente para aprovechar esta característica se conocen como motores de pasos. Confrecuencia los motores de pasos se diseñan para producir un gran número de pasos por revolu-ción, por ejemplo, 50, 100 o 200 pasos por revolución (correspondientes a una rotación de7.2°,3.6° y 1.8° por paso).

Una característica importante del motor de pasos es su compatibilidad con sistemas elec-trónicos digitales. Estos sistemas son comunes en una amplia variedad de aplicaciones y cadavez son más poderosos y menos caros. Por ejemplo, el motor de pasos a menudo se utiliza ensistemas de control digital donde el motor recibe comandos de bucle abierto en la forma de untren de pulsos para hacer girar un eje o mover un objeto a una distancia específica. Algunasaplicaciones típicas incluyen los motores posicionadores de cabezas de impresión y de avancede papel en impresoras y graficadores, los motores de posicionadores de cabezas y mando enunidades de disco y reproductores de discos compactos, y en mesas de trabajo los motores deposicionadores de herramientas en equipo de maquinado numéricamente controlado. En mu-chas aplicaciones es posible obtener información de posición simplemente con lievar la cuentade los pulsos enviados al motor, en cuyo caso no se requieren sensores de posición ni controlde retroalimentación.

La resolución angular de una VRM está determinada por el número de dientes del rotor ydel estator, y puede ser mejorada en gran medida mediante técnicas tales como configuracio-nes almenadas, como se mencionó en el sección 8.2. Los motores de pasos vienen en unaamplia variedad de diseños y configuraciones. Además de las configuraciones de reluctanciavariable, éstas incluyen configuraciones de imán permanente e híbridas. El uso de imanespermanentes en combinación con una geometría de reluctancia variable mejora significativa-mente el par y la precisión posicional de un motor de pasos.

Las configuraciones de VRM analizadas en las secciones 8.1 a 8.3 se componen de unsolo rotar y estator con fases múltiples. Un motor de pasos con esta configuración recibe elnombre de motor de pasos de reluctancia variable de escalonamiento simple. Una forma alter-na de motor de pasos de reluctancia variable se conoce como motor de pasos de reluctanciavariable de escalonamiento múltiple. En esta configuración se considera que el motor estácompuesto de un conjunto de VRM monofásicas axialmente desplazadas y montadas en unsolo eje.

La figura 8.16 muestra un motor de pasos de reluctancia variable de escalonamiento múl-tiple. Este tipo de motor consiste en una serie de montajes, cada uno desplazado axialmente, degeometría idéntica y excitado por un devanado monofásico, como se muestra en la figura 8.17.El motor de la figura 8.16 tiene tres escalonamientos y tres fases, aunque los motores con másfases y escalonamientos son más comunes. En un motor de ns escalonamientos, el rotor o

438

Figura 8.16Vista de corte de unmotor de pasos dereluctancia variablede escalonamiento.trifásico. (WarnerElectric.)


estator (pero no ambos) en cada escalonamiento está desplazado en l/ns veces el ángulo depaso del polo. En la figura 8.16, los polos del rotar están alineados, pero los estatores estáncompensados por un desplazamiento angular igual a un tercio del paso del polo. Con excita-ción sucesiva de las fases individuales, es posible hacer que el rotar gire en incrementos de esteángulo de desplazamiento.

En la figura 8.18 se muestra un diagrama esquemático de un motor de pasos bifásico conun imán permanente y rotar de dos polos. Observe que por sus características esta máquina essíncrona bifásica, similar, por ejemplo, a la máquina de ea de imán permanente trifásica de lafigura 5.29. La diferencia entre un motor de pasos como ése y un motor síncrono surge no de laconstrucción del motor, sino de cómo se opera el motor. El motor síncrono por lo general estádiseñado para impulsar una carga a una velocidad específica, y el motor de pasos para contro-lar la posición de una carga.

El rotar del motor de pasos de la figura 8.18 asume los ángulos ()m = O, 45°, 90° ... confor-me los devanados se excitan en la secuencia:

1. Corriente positiva en la fase 1 sola.2. Corrientes positivas de magnitud igual en la fase 1 y fase 2.3. Corriente positiva en la fase 2 sola.4. Corriente de magnitud igual en la fase 1 y corriente positiva en la fase 2.5. Corriente negativa en la fase 1 sola.6. y así sucesivamente.

Observe que si se sustituyera un rotar ferromagnético por un rotar de imán permanente, elrotar giraría de la misma manera.

Figura 8.17Diagrama de unescalonamiento y fasede un motor de pasosde reluctancia variablede escalonamientos yfases múltiples, comoel de la figura 8.16. Enun motor de ns escalo-namientos, el rotor oestator (pero noambos) en cada esca-lonamiento está des-plazado vo, veces elpaso del polo.

Figura 8.18Diagrama esquemáticode un motor de pasosde imán permanentebifásico.


Devanado de fase

El motor de pasos de la figura 8.18 también puede ser utilizado para pasos de 90° si lasbobinas se excitan de una en una. En el último caso, sólo se puede usar un rotar de imánpermanente. Esto se puede ver en las curvas de ángulo de par de torsión de los tipos de rotoresmostrados en la figura 8.19. Mientras que el rotor de imán permanente produce un par picocuando la excitación se desplaza 90°, el rotor ferromagnético produce un par cero y puedemoverse en una u otra dirección.

La posición del rotor en el motor de pasos de imán permanente de la figura 8.18 es defini-da por las corrientes de devanado sin ambigüedad y depende de la dirección de la corriente defase. La inversión de las corrientes de fase hará que el rotor invierta su orientación. Ocurre encontraste con una VRM con rotar ferromagnético, en la cual dos posiciones del rotor son

440

Figura 8.19Curvas par-ángulo delmotor de pasos de lafigura 8.18: a) rotor deimán permanente yb) rotor de reluctanciavariable.


-900

TI" par de torsiónque actúa en el rotoren la dirección +8".

00 +900 + 1800

" I, »> Fase 2 excitada

'í: I\ Fase 1 excitada\\\

+2700

TI" par que actúaen el rotor en

la dirección +8",

Fase l excitada

a) Rotor: construcciónde imán O I'---------'~---~~---____,I'____---____,I'____--l~8".

permanente / /

••••••••• IIIIIi •••••• ÍI••~ •• II/•• Posición del rotor1" con la fase l excitada

Fase 2 excitada

b) Rotor: construcciónde reluctancia O I--------'I------jf--------:l-------jl---l~ 8".

variable

•••••••••••••••••• ~ •••• Posición del rotorcon la fase 1 excitada\

-900 00 +900 +1800 +2700

igualmente estables con cualquier conjunto particular de corrientes de fase, por consiguiente,la posición del rotor no puede ser determinada de manera única. Los motores de pasos de imánpermanente también se distinguen de las VRM en que el par que tiende a alinear el rotor conlos polos del estator se generará aun cuando no haya excitación aplicada a los devanados defase. Por lo tanto, el rotor tendrá posiciones de reposo no excitadas preferentes, un hecho quepuede ser utilizado con ventaja en algunas configuraciones.

~~-------------------------------------Con las técnicas del capítulo 3 e ignorando los efectos de saturación, el par de un motor de pasos de imánpermanente de la forma de la figura 8.18 puede ser expresado como

Tmec = To (i, cos e", + i2 sen em)

donde To es una constante positiva que depende de la geometría del motor y de las propiedades del imánpermanente.

Calcule las posiciones de reposo (par cero) que se producirán si el motor es propulsado por unafuerza motriz de modo que cada corriente de fase pueda ser igual a tres valores -lo, Oe lo. Con esa fuerzamotriz ¿cuál es la dimensión del paso del motor?

• Solución

En general, las posiciones de par cero del motor se calculan haciendo la expresión del par igual a cero yresolviéndola para la posición del rotor resultante. Por lo tanto, con


se obtienei) sen el/! - i2 cos el/! = o

o

Observe que no todas las posiciones de par cero corresponden a las posiciones de equilibrio estable.Por ejemplo, la operación con i) = lo e i2 = O da dos posiciones de par cero: el/! = 0° y el/! = 180°. Noobstante, sólo la posición en! = 0° es estable. Esto es directamente análogo al caso de un péndulo colganteque experimenta un par cero cuando cuelga hacia abajo (e = 0°) y cuando está invertido (e = 180°). Sinembargo, está claro que la más ligera perturbación de la posición del péndulo invertido hará que girehacia abajo y que a la larga se detenga en la posición colgante estable.

Las po iciones de reposo estable del rotar son determinadas por el requerimiento de que se produceun par restaurador a medida que el rotor se aparta de esa posición. Por lo tanto, se deberá producir un parnegativo si el rotor se mueve en la dirección +em, y positivo con movimiento en la dirección -em. Mate-máticamente, esto puede ser expresado como una restricción adicional en el par en la posición de reposo

si.: I O---ae::: . . <"·'2

donde la derivada parcial se evalúa en la posición de par cero y se toma con las corrientes de fase mante-nidas constantes. Así, en este caso, la posición de reposo debe satisfacer la restricción adicional de que

Con esta ecuación, se ve que, por ejemplo, con i) = lo e i2 = O, cuando em = 0°, aTmeJael/! < O Yporlo tanto el/! = 0° es una posición de reposo estable. Asimismo, cuando em = 180°, aTmec/ae", > O Ypor lotanto el/! = 180° no es una posición de reposo estable.

Con estas relaciones, la tabla 8.1 contiene posiciones de repo o estable del rotor con las diversascombinaciones de corrientes de fase.

En esta tabla se observa que esta fuerza motriz produce un tamaño de paso de 45°.

Tabla 8.1 Posiciones de reposo del rotar del problema 8.5.

i¡

OOO

-lo=l»-lolololo

O-loloO

-loloO

-lolo

270°90°

180°225°135°

0°315°45°


~~L _

Para lograr un tamaño de paso de 22.5°, el motor del ejemplo 8.5 se modifica de modo que cada fase puedaser energizada por corrientes de magnitud O,±kIo Y±lo. Calcule el valor requerido de la constante k.

r.: = O (8.20)

Solución

k = ran' (22.5°) = 0.4142

En el ejemplo 8.5 se observa que las posiciones de equilibrio estable de un motor de pasossin carga satisfacen las condiciones de que haya un par cero, es decir,

y de que exista un par restaurador positivo, es decir,

(8.21)

En la práctica, habrá desde luego un par con carga finito que tiende a apartar al motor de pasosde estas posiciones idealizadas. Con sistemas de control de lazo abierto (es decir, sistemas decontrol en los que no existen mecanismos de retroalimentación de posición), se puede lograrun alto grado de control de la posición con el diseño de un motor de pasos que produzca ungran par restaurador (es decir, una gran magnitud de iJTmediJO,J. En un motor de ese tipo, lospares con carga producirán sólo un leve movimiento del rotor a partir de las posiciones ideali-zadas, lo cual satisface las ecuaciones 8.20 y 8.21.

El ejemplo 8.5 también muestra la forma en que las combinaciones cuidadosamente con-troladas de las corrientes de fase pueden mejorar la resolución de un motor de pasos. Estatécnica conocida como generación de micropasos puede ser empleada para conseguir unaresolución de pasos incrementada de una amplia variedad de motores de pasos. Como el ejem-plo siguiente lo demuestra, la generación de microcambios graduales (micropasos) se utilizapara producir una resolución de posición extremadamente fina. La resolución incrementada,sin embargo, se obtiene a expensas de un incremento de la complejidad de la electrónica decontrol del motor de pasos y de los algoritmo s de control, los cuales deben controlar conprecisión la distribución de la corriente a varias fases al mismo tiempo.

~~---------------------------------------------------------Considere de nuevo el motor de pasos bifásico de imán permanente del ejemplo 8.5. Calcule la posiciónde motor que se producirá si las corrientes de fase se controlan para que sean funciones sinusoidales conángulo de referencia 8rer en la forma

11 = lo cos 8rer

• Solución

La sustitución de las expresiones de corriente en la expresión del par del ejemplo 8.5 da

Figura 8.20Motor de pasos híbridode 1.8°jpaso desarma-do. (Oriental Motor.)


El uso de la identidad trigonométrica cos (a - {J) = cos a cos f3 + sen asen f3 da

Con esta expresión y el análisis del ejemplo 8.5, se ve que la posición de equilibrio del rotor seráigual al ángulo de referencia, es decir, am = arer. En una implementación práctica, es probable que seutilice un controlador digital para incrementar areC en pasos finitos, lo que producirá pasos finitos en laposición del motor de pasos.

El motor de pasos híbrido combina características de los motores de pasos de imán per-manente y de reluctancia variable. En la figura 8.20 se muestra la fotografía de un motor depasos híbrido, y en la figura 8.21 una vista esquemática de un motor de pasos híbrido. Laconfiguración del rotar de un motor de pasos híbrido se parece mucho a la de un motor depasos de reluctancia variable de escalonamiento múltiple. En el rotor de la figura 8.2Ia, dosescalonamientos de rotar idénticos están desplazados axialmente a lo largo del rotor y despla-zados en ángulo en medio paso del polo de rotar, mientras que la estructura del estator escontinua a todo lo largo del rotor. A diferencia del motor de pasos de reluctancia variable deescalonarniento múltiple, en el motor de pasos híbrido, los escalonarnientos del rotar estánseparados por un imán permanente axialmente dirigido. Por consiguiente, en la figura 8.2Ia,se puede considerar que un extremo del rotar tiene un polo norte magnético y el otro extremotiene un polo sur magnético. La figura 8.2Ib muestra un vista esquemática de frente de unmotor de pasos híbrido. El estator tiene cuatro polos con el devanado de la fase 1 enrollado enlos polos verticales y el devanando de la fase 2 enrollado en los polos horizontales. El rotar semuestra con el extremo de su polo norte en el extremo próximo y el extremo del polo sur(mostrado achurado) en el extremo más alejado.

En la figura 8.2Ib, la fase 1 se muestra excitada de modo que el polo superior de estator esun polo sur mientras que el polo inferior es un polo norte. Esta excitación del estator interactúacon el flujo del imán permanente del rotar para alinearlo con un polo en su extremo de polonorte verticalmente hacia arriba y un polo en el extremo de su polo sur verticalmente haciaabajo, como se muestra en la figura. Observe que si e corta la excitación del estator, seguiráhabiendo un par del imán permanente que tiende a mantener el rotar en la posición mostrada.

Para hacer girar el rotar, se elimina la excitación de la fase 1,Yse excita la fase 2. Si se excitala fase 2 de modo que el polo del lado derecho sea un polo sur y el del lado izquierdo un polonorte, el rotar girará 30° en sentido contrario a las agujas del reloj. Asimismo, si se aplica exci-tación opuesta al devanado de la fase 2, ocurrirá una rotación de 30° en el sentido de las agujas

444

Figura 8.21Vista esquemática deun motor de pasoshíbrido. a) Rotar dedos escalonamientosque muestra el imánpermanente axialmen-te dirigido y los polosdesplazados a la mitadde su paso. b) Vista defrente de los polosnarte del rotar con suspolos sur en el extremoalejado (mostradosachurados). La fase 1está energizada paraalinear el rotar como semuestra.


/'/'

/'/'

/'

Fase 2

a) b)

del reloj. Por lo tanto, con la aplicación alterna de excitación a las fases 1 y 2 de la polaridadapropiada, es posible hacer que el rotor gire en una u otra dirección un incremento angular espe-cificado.

En general, se construyen motores de pasos híbridos prácticos con más polos de rotor quelos indicados en el motor esquemático de la figura 8.21, para obtener una resolución angularmucho mejor. Por consiguiente, los polos de estator a menudo son almenados (véase la figura8.8) para incrementar aún más la resolución angular. Además, se pueden construir con más dedos escalonamientos por rotor.

El diseño de motor de pasos híbrido ofrece ventajas y desventajas sobre el diseño de imánpermanente analizado con anterioridad. Resulta fácil lograr tamaños de paso pequeños conuna estructura de imán simple, mientras que un motor de imán permanente requeriría un imánpermanente de polos múltiples. En comparación con el motor de pasos de reluctancia variable,el diseño híbrido requiere menos excitación para producir un par de torsión dado, porque partede la excitación es suministrada por el imán permanente. Además, el motor de pasos híbridotenderá a mantener su posición cuando se elimina la excitación del estator, como lo hace eldiseño de imán permanente.

La selección de un diseño de motor de pasos para un uso particular se determinada con baseen las características de operación deseadas, disponibilidad, tamaño y costo. Además de las tresclasificaciones de motores de pasos analizadas en este capítulo, se han desarrollado otros dise-ños diferentes y a menudo bastante ingeniosos. Aunque estos comprenden una amplia variedadde configuraciones y técnicas de construcción, los principios de operación no cambian.

Los motores de pasos pueden manejarse por medio de componentes de control electróni-cos similares a los analizados en la sección 11.4 en el contexto de los controladores de VRM.Observe que el problema de controlar un motor de pasos para obtener la respuesta deseada encondiciones dinámicas transitorias es bastante complejo y sigue siendo un tema relevante parala investigación'

5 Para más información sobre motores de pasos, véase P. Acamley, Stepping Motors: A Guide to Modern Theoryand Practice, 2a. ed., Peter Peregrinus Ltd., Londres, 1982; Takashi Kenjo, Stepping Motors and Their MicroprocessorControls, Clarendon Press, Oxford, 1984; y Benjamín C. Kuo, Theory and Applications ofStep Motors, West PublishingCo., St. Paul, Minnesota, 1974.

8.6 Resumen 445

8.6 RESUMEN

Las máquinas de reluctancia variable tal vez son las máquinas eléctricas más simples. Se com-ponen de un estator con devanados excitadores y un rotor magnético con salientes. El par detorsión es producido por la tendencia del rotor de polos salientes de alinearse con los polosmagnéticos excitados en el estator.

Las máquinas de reluctancia variable son máquinas síncronas ya que producen par detorsión neto sólo cuando el movimiento del rotor está en cierto sentido en sincronía con lafuerza magnetomotriz aplicada al estator. Esta relación síncrona puede ser compleja cuan-do la velocidad del rotor es una fracción específica de la frecuencia eléctrica aplicada, lacual se determina no ólo por el número de polos de e tator y rotor, ino también por el nú-mero de dientes del estator y rotor en estos polos. De hecho, en algunos casos, el rotor gira-rá en el sentido opuesto a la dirección de rotación de la fuerza magnetomotriz aplicada alestator.

El funcionamiento exitoso de una VRM depende de la excitación de los devanados de fasedel estator de una manera específica correlacionada con la posición instantánea del rotor. Deeste modo se debe medir la posición del rotor, y emplear un controlador para determinar lasformas de onda de excitación apropiadas y para controlar la salida del inversor. En general, serequiere "un troceador" para obtener estas formas de onda. El resultado neto es que la VRMpor sí misma es un dispositivo simple; en general, se requieren componentes electrónicos untanto complejos para un sistema de control completo.

La importancia de las máquinas de reluctancia variable en aplicaciones de ingeniería sederiva de su bajo costo, confiabilidad y de que es controlable. Por el hecho de que su pardepende sólo del cuadrado de las corrientes aplicadas al estator y no de su dirección, estasmáquinas pueden ser operadas con sistemas de mando unidireccionales, lo cual reduce el costode los componentes electrónicos de potencia. Sin embargo, es sólo hasta hace poco, con eladvenimiento de los circuitos electrónicos de potencia flexibles y bajo costo y los sistemas decontrol basados en el microprocesador, que las VRM han comenzado a ampliar su u o ensistemas que van desde mandos de tracción hasta sistemas de control de posición de precisióncon alto par para aplicaciones en robótica.

La experiencia práctica con máquinas de reluctancia variable ha demostrado que tienen elpotencial de alta confiabilidad. Esto se debe, en parte, a la simplicidad de su construcción y alhecho de que no existen devanados en sus rotores. Además, los mandos de VRM puedenser operados con éxito (con una capacidad reducida) después de la falla de una o más fases,ya sea en la máquina o en el inversor. Las máquinas de reluctancia variable por lo generaltienen un gran número de fases de estator (cuatro o más), y se puede obtener una salida signi-ficativa incluso cuando algunas de estas fases están fuera de servicio. Debido a que no hayexcitación en el rotor, no se generará voltaje en un devanado de fase que falle en circuitoabierto o en la corriente en un devanado de fase que falle en cortocircuito, y por lo tanto lamáquina puede continuar funcionando sin el riesgo de más daño, pérdidas o calentamientoadicional.

Como las máquinas de reluctancia variable son fáciles de fabricar con un gran número dedientes en el rotor y en el estator (lo que produce grandes cambios de inductancia con peque-ños cambios del ángulo de rotor), pueden construirse para producir un par muy grande porunidad de volumen. Existe, sin embargo, un compromiso entre el par y la velocidad, ademástales máquinas tendrán una baja velocidad de rotación (consistente con el hecho de que tantapotencia sólo se produce por un tamaño de máquina dado). En el extremo opuesto, la configu-


ración simple de un rotor de VRM y el hecho de que no contiene devanados, sugiere que esposible construir rotores de VRM muy robustos. Estos rotores son capaces de soportar altasvelocidades, y se han construido motores que funcionan a más de 200 000 r/min.

Por último, se ha visto que la saturación desempeña un papel importante en el desempeñode las máquinas de reluctancia variable. A medida que los avances en circuitos de potenciaelectrónicos y microelectrónicos han hecho que los sistemas de control de VRM sean prácti-cos, también han avanzado las técnicas analíticas basadas en la computadora para el análisis decampo magnético. El uso de estas técnicas ahora hace que sea más práctico realizar diseñosoptimizados de sistemas de mando de VRM competitivos con tecnologías alternativas en mu-chas aplicaciones.

Los motores de pasos están estrechamente relacionados con las máquinas de reluctanciavariable en que la excitación de cada fase sucesiva del estator produce una rotación angularespecífica del rotor. Los motores de pasos se encuentran en una amplia variedad de diseñosy configuraciones. Éstas incluyen configuraciones de reluctancia variable, de imán permanentee híbridas, La posición del rotor de un motor de pasos de reluctancia variable no es deter- minadasólo por las corrientes de fase puesto que las inductancias de fase no son funciones únicas delángulo del rotor. La adición de un imán permanente cambia esta situación, y la posición del rotorde un motor de pasos de imán permanente es una función única de las corrientes de fase.

Los motores de pasos son los compañeros electromecánicos de los componentes electró-nicos digitales. Mediante la aplicación apropiada de corrientes de fase a los devanados delestator, se puede hacer que estos motores giren en pasos bien definidos desde una fracción degrado por pulso. Por lo tanto, son componentes esenciales de sistemas electromecánicos con-trolados digitalmente, en los que se requiere un alto grado de precisión. Se encuentran en unaamplia variedad de usos incluyendo las máquinas herramienta numéricamente controladas, lasimpresoras y los graficadores y también en unidades de disco de computadora.

8.7 PROBLEMAS

8.1 Repita el ejemplo 8.1 con una máquina idéntica a la considerada en el ejemplo exceptoque el ángulo de las caras de los polos del estator es f3 = 45°.

8.2 En el párrafo que precede a la ecuación 8.1, el texto dice que "con base en la suposiciónde reluctancia insignificante en el hierro, las inductancias mutuas entre las fases de laVRM de doble saliente de la figura 8.lb serán cero, con la excepción de un pequeñocomponente, que es esencialmente constante y se asocia con el flujo de dispersión".Ignore cualquier efecto de flujo de dispersión y use técnicas de circuito magnético parademostrar que este enunciado es verdadero.

8.3 Utilice las técnicas de circuito magnético para demostrar que la inductancia mutual fasea fase en la máquina 6/4 de reluctancia variable de la figura 8.5 es cero conforme a lasuposición de permeabilidad infinita del hierro del rotor y estator. Ignore cualquier con-tribución del flujo de dispersión.

8.4 Una máquina 6/4 de reluctancia variable de la forma de la figura 8.5 tiene las siguientespropiedades:

Ángulo de polo del estator f3 = 30°Ángulo de polo de rotor a= 30°Longitud g del entrehierro = 0.35 cm

8.7 Problemas 447

Radio externo del rotar R = 5.1 cmLongitud activa D = 7 cm

Esta máquina está conectada como motor trifásico con sus polos opuestos conectados enserie para formar cada devanado de fase. Existen 40 vueltas por polo (80 vueltas porfase). Se considera que la permeabilidad del hierro del rotar y del estator es infinita porlo que es posible ignorar los efectos de inductancia mutua.

a) Definiendo el cero del ángulo ()m del rotar en la posición en la que la inductancia dela fase 1 es máxima, grafique y marque la inductancia de la fase 1 como una funcióndel ángulo del rotar.

b) En la gráfica de la parte a), trace las inductancias de las fases 2 y 3.e) Halle la corriente lo de la fase 1 que produce una densidad de flujo magnético de 1.0

T en el entrehierro bajo la cara del polo de la fase 1 cuando el rotar está en unaposición de inductancia de fase 1 máxima.

ti) Suponiendo que la corriente de la fase 1 se mantiene constante al valor encontradoen la parte e) y que no hay corriente en las fases 2 y 3, grafique el par como unafunción de la posición del rotar.

El motor debe controlarse con un inversor de fuente de corriente trifásico quepueda ser activado y des activado para suministrar corriente cero o una corriente demagnitud lo en las fases 2 y 3; asimismo, grafique el par como una función de laposición del rotar.

e) Conforme a la suposición idealizada de que las corrientes pueden ser conmutadas almismo tiempo, determine la secuencia de las corrientes de fase (como una funciónde la posición del rotor) que producirá un par motor positivo constante, indepen-diente de la posición del rotar.

j) Si la frecuencia de la excitación del estator es tal que en el instante To = 35 mseg serequiere que exponga en secuencia a las tres fases en las condiciones de excitaciónde la parte e), calcule la velocidad angular del rotar y su dirección de rotación.

8.5 En la sección 8.2 cuando se analizó la figura 8.5, el texto enuncia: "Además del hecho deque no existen posiciones de alineación simultánea para la máquina 6/4 de reluctanciavariable, también se observa que no existen posiciones del rotar en las cuales sea posibleproducir un par de un solo signo (positivo o negativo)". Demuestre que este enunciadoes verdadero.

8.6 Considere una máquina 6/8 de reluctancia variable trifásica. Las fases del estator sonexcitadas en secuencia, y se requiere un tiempo total de 15 mseg. Calcule la velocidadangular de rotor en r/min.

8.7 Los devanados de fase de la máquina almenada de la figura 8.8 deben excitarse activan-do y desactivando las fases individualmente (es decir, sólo una fase puede ser activadaen cualquier momento dado).

a) Describa la secuencia de las excitaciones de fase requerida para mover el rotar a laderecha (en el sentido de las agujas del reloj) un ángulo de aproximadamente 21.4°.

b) Las fases del estator deben ser excitadas como una secuencia regular de puJsos.Calcule el orden de las fases y el tiempo entre los pulsos requerido para produciruna rotación del rotar de estado estable de 125 r/min en sentido contrario a lasagujas del reloj.


8.8 Reemplace el rotor de 28 dientes del problema 8.7 por un rotor de 26 dientes.

a) La fase 1 es excitada y se permite que el rotor se detenga. Si se interrumpe la exci-tación de la fase 2 y se excita la fase 1, calcule la dirección y magnitud resultantes(en grados) de rotación del rotor.

b) Se tienen que excitar las fases del estator como una secuencia regular de pulsos.Calcule el orden de las fases y el tiempo entre los pulsos requerido para produciruna rotación del rotor de estado estable de 80 r/min en sentido contrario a las agujasdel reloj.

8.9 Repita el ejemplo 8.3 para una velocidad del rotor de 4500 r/min.8.10 Repita el ejemplo 8.3 con la condición de que la velocidad del rotor sea de 4500 r/min y

de que un voltaje negativo de -250 V se usa para apagar la corriente de la fase.8.11 La máquina 6/4 de reluctancia variable trifásica del problema 8.4 tiene una resistencia de

devanado de 0.15 Q/fase y una inductancia de dispersión de 4.5 mH en cada fase. Su-ponga que el rotor gira a una velocidad angular constante de 1 750 r/min.

a) Grafique la inductancia de la fase 1 como una función del ángulo del rotor 8m.

b) Se aplica un voltaje de 75 V a la fase 1 como cuando el rotor alcanza la posición 8m

= -30° Yse mantiene constante hasta que 8m = O°. Calcule y grafique la corriente dela fase 1 como una función del tiempo durante este periodo.

e) Cuando el rotor llega a 8 = 0°, el voltaje aplicado se invierte de modo que se aplicaun voltaje de -75 V al devanado. Este voltaje se mantiene hasta que la corriente deldevanado es cero, donde el devanado está en circuito abierto. Calcule y grafique eldecaimiento de la corriente durante el tiempo hasta que la corriente decae a cero.

d) Calcule y grafique el par durante los periodos investigados en las partes b) y e).

8.12 Suponga que la VRM de los ejemplos 8.1 y 8.3 se modifica con el reemplazo de su rotorpor uno con ángulos de cara de polo de 75°, como se muestra en la figura 8.12a. Todaslas demás dimensiones y parámetros de la VRM no cambian.

a) Calcule y grafique L(8m) para esta máquina.b) Repita el ejemplo 8.3, excepto que primero se aplica el voltaje constante de 100 V

cuando 8m = -67.5° Y dL( 8m)/d8m se vuelve positiva y luego se aplica el voltajeconstante de -100 V cuando 8m = -7.5° (es decir, cuando dL(8m)/d8m se vuelvecero) y se mantiene hasta que la corriente del devanado llega a cero.

e) Grafique el par de torsión correspondiente.

8.13 Repita el ejemplo 8.4 para una VRM 4/2 bifásica simétrica cuya característica A-i puedeser representada por la siguiente expresión (para la fase 1) como una función de 8m en elrango Os 8m ::; 90°:

Al = (0.01+0.15 (900-em) ( 12.0. )1.2) i,90° 12.0+11

8.14 Considere un motor de pasos bifásico con rotor de imán permanente, como el mostradoen la figura 8.18, cuya curva par-ángulo es como la que se presenta en la figura 8.19a.Esta máquina tiene que ser excitada por medio de una secuencia digital de cuatro bitscorrespondiente a la siguiente excitación de devanado:

Figura 8.22Motor de pasos híbridoalmenado del proble-ma 8.15.

8.7 Problemas 449

bit bit1 2 i¡ 3 4 i2

O O O O O OO 1 -lo O 1 -lo1 O lo 1 O lo1 1 O 1 1 O

a) Prepare una tabla de patrones de 4 bits que produzca posiciones angulares del rotorde 0,45°, oo. ,315°.

b) Sometiéndolo a la secuencia de bits de la parte a) se puede hacer girar el motor.¿Qué intervalo de tiempo (en mili segundo ) entre los cambios de patrón de bitsproducirá una velocidad del rotor de 1 200 r/min?

8.15 La figura 8.22 muestra un motor de pasos híbrido bifásico con polos almenados en elestator. El rotor se muestra en la posición que ocupa cuando la corriente fluye hacia elcable positivo de la fase 1.

a) Si la fase uno se des activa y la fase 2 se excita con la corriente que fluye hacia sucable positivo, calcule la rotación angular correspondiente del rotor. ¿Es en la direc-ción de las agujas del reloj o en la dirección contraria a las agujas del reloj?

Polos suren el extremoalejado del rotor

Polos norteen el extremopróximo de rotor

+Fase 1

+Fase 2

b) Describa una secuencia de excitación para los devanados de fase que produzca unarotación permanente del rotor en sentido contrario a las agujas del reloj.

e) Determine la frecuencia de las corrientes de fase requerida para producir una velo-cidad del rotor de 8 r/min.


8.16 Considere un motor de pasos de reluctancia variable de fases y escalonamientos múlti-ples, como el mostrado esquemáticamente en la figura 8.17, con 14 polos en cada uno delos escalonamientos del rotor y del estator, y tres escalonamientos con un devanadode fase por escalonamiento. El motor está construido de modo que los polos del estator decada escalonamiento estén alineados.

a) Calcule el desplazamiento angular entre los montajes del rotor.b) Determine la frecuencia de las corrientes de fase requerida para producir una velo-

cidad del rotor de 900 r/min.

Capitulo 8 maquinas de reluctancia variable y motores de pasos

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