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Volumen I 2-1
Capítulo II
2.1 INTRODUCCIÓN Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un juego de
ecuaciones que representa la dinámica del sistema con exactitud, o al menos,
razonablemente bien. Un modelo matemático no es único para un sistema dado. Un sistema
se puede representar de muchos modos diferentes, y por tanto, puede tener muchos modelos
matemáticos, dependiendo de las perspectivas individuales.
Aunque el análisis y diseño de sistemas de control lineales se ha desarrollado
ampliamente, su contraparte para sistemas no lineales es normalmente muy complejo. Por
esto es necesario determinar no sólo cómo describir exactamente un sistema de forma
matemática, sino más importante aún, cómo hacer suposiciones y aproximaciones
correctas, para que el sistema sea caracterizado en una forma realista mediante un modelo
matemático lineal.
La dinámica de muchos sistemas, sean mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos,
biológicos, u otros, se puede describir en términos de ecuaciones diferenciales. Esas
ecuaciones diferenciales pueden obtenerse utilizando las leyes físicas que rigen un sistema
en particular. La respuesta de un sistema dinámico a una entrada (o función excitadora)
puede obtenerse si se resuelven las ecuaciones diferenciales que modelan dicho sistema.
Es posible aumentar la exactitud de un modelo matemático incrementando su
complejidad. Sin embargo, al determinar un modelo matemático, hay que lograr un
equilibrio entre la simplicidad del modelo y la exactitud de los resultados del análisis. En
un modelo simplificado, a menudo es conveniente pasar por alto ciertas características
físicas inherentes del sistema. Si los efectos que esas características despreciadas producen
son pequeños en la respuesta, se logra una buena concordancia entre los resultados del
análisis de un modelo matemático y los resultados del estudio experimental del sistema
físico.
Volumen I 2-2
2.2 PRINCIPIOS DE FORMULACIÓN DEL MODELO
MATEMÁTICO
Bases
Las bases de los modelos matemáticos son fundamentalmente leyes físicas y
químicas, como las leyes de conservación de la masa, energía u momentum. Para estudiar
la dinámica se usarán en su forma general.
Suposiciones
Probablemente el rol más importante que juega un ingeniero en el modelaje es el de
aplicar su juicio ingenieril para hacer suposiciones válidas en el modelo en estudio.
Obviamente un modelo demasiado riguroso que incluya cada fenómeno en detalle
microscópico sería muy complejo y largo de desarrollar, e incluso podría ser imposible de
resolver. Es necesario un compromiso entre rigurosidad y facilidad de resolución del
modelo planteado, por esto es necesario hacer suposiciones razonables, las cuales deben
ser cuidadosamente consideradas y listadas, ellas imponen limitaciones al modelo que
deben tenerse en cuenta a la hora de evaluar el resultado obtenido.
Consistencia del modelo matemático
Una vez que todas las ecuaciones del modelo matemático son escritas, es una buena
idea, sobretodo con sistemas de ecuaciones complejos, asegurarse de que el número de
variables sea igual al número de ecuaciones (grados de libertad = cero). Esto puede parecer
trivial, pero puede salvar muchas horas de frustración y confusión. Otro paso trivial y
obvio puede ser el de chequear que las unidades de todos los términos en todas las
ecuaciones sean consistentes.
Solución matemática
La solución del modelo está implícitamente contenida en los resultados de los pasos
anteriores. Hay varios métodos de hallar la solución del modelo, pero el ingeniero debe
usar la solución que le provea una mejor percepción del sistema. Por lo tanto una solución
analítica es preferida en la mayoría de los casos, porque puede usarse para (1) calcular
Volumen I 2-3
valores numéricos específicos, (2) determinar importantes relaciones funcionales entre
variables de diseño y de operación y comportamiento del sistema, y (3) dar una mejor
percepción de la sensibilidad del resultado a los cambios en los datos. A veces estos
resultados son tan valorados que se hacen suposiciones para obtener un resultado analítico.
En algunos casos, la aproximación necesaria para hacer posible una solución
analítica produce errores inaceptables y en estos casos, se usa una solución numérica de las
ecuaciones empleadas. Aunque las soluciones numéricas nunca son exactas, el error
introducido puede ser muy pequeño en comparación a los errores asociados a las
suposiciones y datos en el modelo, por esto soluciones numéricas calculadas
apropiadamente pueden ser consideradas prácticamente exactas.
Validación
Consiste en probar que el modelo describe la situación real. Esto se hace
comparando los resultados de simulaciones con resultados reales del sistema. En el diseño
esto puede ser imposible de hacer porque la planta aún no ha sido construida, sin embargo
pueden obtenerse datos experimentales de plantas similares o de plantas piloto.
2.2.1 Ecuaciones Diferenciales Una gran variedad de sistemas en ingeniería se modelan matemáticamente mediante
ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones generalmente involucran derivadas e integrales
de variables dependientes con respecto a la variable independiente.
Leyes Básicas en Modelación:
• Ecuación de Continuidad
Esta ecuación es válida para realizar balances de masa y energía
Rata de acumulación en el sistema =
Rata de entrada al sistema
Rata de salida al sistema
Rata de generación dentro del
sistema
- +Rata de
consumo dentro del
sistema
-
Volumen I 2-4
• Ley de Newton:
- Sistemas mecánicos traslacionales
(2-1) ∑ ⋅= amF
- Sistemas mecánicos rotacionales
(2-2) ∑ α⋅= ITorques
• Ley de Kirchoff
- La suma algebraica de las diferencias de potencial alrededor de un circuito cerrado debe
ser cero.
- La suma algebraica de corrientes en un nodo debe ser igual a cero.
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
Una ecuación diferencial de un sistema de n-ésimo orden se escribe como:
que también se conoce como ecuación ordinaria lineal si los coeficientes a0, a1, ..., an-1 no
son funciones de y(t).
Ecuaciones diferenciales no lineales
La mayoría de los sistemas físicos son no lineales y se deben describir mediante
ecuaciones diferenciales no lineales. En ingeniería de control, la operación normal del
sistema puede darse alrededor de un punto de equilibrio. Entonces, si el sistema funciona en
las proximidades de un punto de equilibrio, y si las señales incluidas son pequeñas, es
posible aproximar el sistema no lineal a un sistema lineal. Tal sistema lineal es equivalente
al sistema no lineal considerado dentro de un rango de operación limitado.
2.2.2 Transformada de Laplace La transformada de Laplace es una de las herramientas matemáticas utilizadas para
la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. En comparación con el método
)t(f)t(y adt
)t(dya...dt
)t(ydadt
)t(ydo11n
1n
1nn
n=++++
−
−
−(2-3)
Volumen I 2-5
clásico de resolución de ecuaciones diferenciales lineales, la transformada de Laplace tiene
dos características atractivas:
• La solución de la ecuación homogénea y la solución particular se obtienen en una sola
operación.
• La transformada de Laplace convierte la ecuación diferencial en una ecuación
algebraica en s. Es posible manipular esta ecuación algebraica mediante reglas
algebraicas simples, para obtener la solución en el dominio s.
Definición de la transformada de Laplace
Dada una función real f(t) que satisface la condición:
∞<∫∞
− dtetf t )(0
σ (2-4)
donde f(t) es una función de tiempo t tal que f(t)=0 para t <0. Para algún valor σ finito, la
transformada de Laplace de f(t) se define como:
dtetfsF t )()(0
∫∞
−= σ (2-5)
F(s) = L (2-6) [ ])t(f
donde s es una variable compleja y F(s) es la transformada de Laplace de f(t).
La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace
converge. La integral de Laplace ha de converger si f(t) es seleccionalmente continua en
todo intervalo finito dentro del rango t >0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a
infinito. Se dice que una función f(t) es de orden exponencial, si existe una constante real,
positiva σ tal que la función
)(tfe tσ− (2-7)
tiende a cero cuando t tiende a infinito.
Teoremas importantes de la transformada de Laplace
Las aplicaciones de la transformada de Laplace en muchos casos se simplifican al
emplear las propiedades de la transformada.
Volumen I 2-6
• Teorema 2.1: Multiplicación por una constante.
Sea A una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:
L (2-8) [ ] )()( sFAtfA =
• Teorema 2.2: Suma y Resta.
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t), respectivamente.
Entonces:
L [ f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s) (2-9)
• Teorema 2.3: Diferenciación.
Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) el límite de f(t) cuando t tiende a
cero. La transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:
L )0(f)s(F s)t(flim)s(F sdt
)t(df 0→t
== (2-10)
En general, para las derivadas de orden superior de f(t),
L )0(...)0()0()( )( )1()1(21 nnnnn
n
ffsfssFsdt
tfd= (2-11)
donde f(i)(0) denota la derivada de i-ésimo orden de f(t) con respecto a t, evaluada en
t=0
• Teorema 2.4: Integración.
La transformada de Laplace de la primera integral de f(t) con respecto al
tiempo, es la transformada de Laplace de f(t) dividida entre s, esto es:
L s
)s(Fdt)t(f t
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∫0
(2-12)
Para la integración de n-ésimo orden:
L n
t
n
t t
s)s(Fdt ... dt dt td )t(f...
n
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∫ ∫ ∫ −
1 2
0121
0 0
(2-13)
• Teorema 2.5: Teorema del valor inicial.
Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:
Volumen I 2-7
)( )(0
sFslimtflimst ∞→→
= (2-14)
sí, y sólo sí, el límite existe.
• Teorema 2.6: Teorema del valor final.
Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), y si s F(s) es analítica sobre el eje
imaginario y en el semiplano derecho del plano s, entonces:
)()(0
sFslimtflimst
→∞→
= (2-15)
El teorema del valor final es muy útil para el análisis y diseño de sistemas de
control, ya que proporciona el valor final de una función de tiempo mediante el
conocimiento de su transformada de Laplace en s = 0. El teorema del valor final no es
válido si s F(s) contiene algún polo cuya parte real es cero o positiva, lo que equivale al
requisito de que s F(s) sea analítica en el semiplano derecho.
Transformada de Laplace de funciones.
La Tabla Nº 2.1 presenta transformadas de funciones en el tiempo que aparecen
frecuentemente en el análisis de sistemas lineales de control.
Tabla Nº 2.1: Pares de transformadas de Laplace
TRANSFORMADA DE LAPLACE F(x)
FUNCION TIEMPO f(t)
1
Función de impulso unitario δ(t)
s1
Función escalón unitario ut(t)
2
1s
Función rampa unitaria t
1
!+ns
n
tn (n = entero positivo)
α+s1
e-αt
( )2
1α+s
te-αt
Volumen I 2-8
( ) 1
!++ ns
nα
tne-α (n = entero positivo)
( )( )βα ++ ss1 ( )tt ee βα
αβ−
−−1 (α≠β)
( )( )βα ++ sss ( )tt ee αβ αβ
αβ−−
−1 (α≠β)
( )ss α+1 ( )te α
α−−11
( )2
1α+ss
( )tt ee αα αα
−− −−112
( ) 2
1ss α+
( )tet ααα
−+−112
( ) 22
1ss α+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++− − tet α
ααα2111
2
Transformada inversa de Laplace
El proceso matemático de pasar de la expresión en variable compleja a la expresión
en función del tiempo, se denomina transformación inversa. La notación para la
transformación inversa es L –1 de modo que:
L-1[F(s)] = f(t) (2-16)
Para hallar f(t) a partir de F(s), se utiliza la Tabla Nº 2 de transformadas de Laplace.
Si no se encuentra en la tabla una transformada F(s) determinada, se puede desarrollar en
fracciones parciales, y escribir F(s) en términos de funciones simples de s, para las cuales
se conocen las transformadas inversas de Laplace. Este método se basa en el hecho de que
la correspondencia única entre una función del tiempo y su transformada Laplace inversa,
se mantiene para cualquier función del tiempo que sea continua.
2.3 DIFERENTES REPRESENTACIONES DEL MODELO Además de modelar un sistema a través de ecuaciones diferenciales es posible
representar el modelo del sistema de diversas formas. Unas de ellas son la función de
transferencia, el diagrama de bloques y el diagrama de flujo de señales.
Volumen I 2-9
Función de Transferencia La función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales
invariantes en el tiempo, se define como la relación entre la transformada de Laplace de la
salida (función respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función excitación),
bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.
Sea el sistema lineal invariante en el tiempo definido por las siguientes ecuaciones
diferenciales: 0
11
1011
10 ...... xbxbxbxbyayayaya mmmmo
nnnn ++++=++++ −
−−
− (2-17)
donde: y(t): es la salida del sistema.
x(t): es la entrada del sistema. mn ≥
La función de transferencia de este sistema se obtiene, tomando las transformadas
de Laplace de ambos miembros de la ecuación (2-17), bajo la suposición de que todas las
condiciones iniciales son cero:
nnnn
o
mmmm
asasasabsbsbsb
sxsysG
++++++++
==−
−−
−
11
1
11
10
...
...)()()( (2-18)
Utilizando este concepto de función de transferencia, se puede representar la
dinámica de un sistema por ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia mas alta de s en el
denominador de la función de transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden
n.
Factorizando la ecuación (2-18), se tiene:
))....()(())....()(()(
21
21
n
m
pspspszszszssG
++++++
= (2-19)
donde las raíces del numerador de la función G(s) son llamadas los ceros de la función de
transferencia y las del denominador son llamadas los polos de la función de transferencia.
En una función de transferencia, el denominador expresado como un polinomio en
s, es llamado ecuación característica:
D(s) = ao sn + a1 sn-1 + ... + an-1 s + an = 0 (2-20)
Las propiedades de la función de transferencia son:
Volumen I 2-10
• Es independiente de la entrada del sistema, las características de un sistema son
inherentes en él
• Las condiciones iniciales del sistema son iguales a cero.
• Si se conoce la función de transferencia del sistema, se puede estudiar la salida o
respuesta, para diversas formas de entradas con el objetivo de lograr una mejor
comprensión de la naturaleza del sistema.
• La función de transferencia está definida solo para un sistema lineal e invariante en el
tiempo, no está definida para sistemas no lineales.
• La función de transferencia de un sistema en tiempo continuo se expresa solo como una
función de la variable compleja s, no es función de la variable real tiempo, o cualquier
otra variable que se utilice como variable independiente.
• La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada
con la salida; no obstante, no brinda ninguna información respecto a la descripción
física del sistema (las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente
distintos pueden ser idénticas).
• Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, se puede establecer
experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la respuesta o salida
del sistema. Una vez establecida, una función de transferencia brinda una descripción
completa de las características dinámicas del sistema, tan definida como su descripción
física.
Función de Transferencia a Lazo Abierto y Función de Transferencia de Lazo cerrado
Para un sistema retroalimentado, como el mostrado en la figura 2.1 la relación entre
la señal de retroalimentación M(s) y la señal de error actuante E(s), se denomina Función
de Transferencia de Lazo Abierto (FTLA), la cual se puede escribir como:
)( )()()( sHsG
sEsB
= (2-21)
Volumen I 2-11
Figura Nº 2.1: Sistema de lazo cerrado
La relación entre la salida C(s) y la señal de error actuante E(s) se denomina
Función de Transferencia de Lazo Directo (FTLD) la cual se puede expresar por:
)()()( sG
sEsC
= (2-22)
Es importante notar que si la función de transferencia de retroalimentación H(s) es
igual a uno, las dos ecuaciones anteriores son exactamente iguales.
Para el mismo sistema retroalimentado mostrado en la Figura Nº 2.1, la relación
entre la salida C(s) y la entrada R(s) se denomina Función de Transferencia de lazo cerrado
(FTLC) y puede obtenerse de la siguiente manera:
)()()( sMsRsE −= (2-23)
)()()( sHsCsM = (2-24)
)()()( sEsGsC = (2-25)
Sustituyendo la ecuación (2-23) en la ecuación (2-25):
[ ] )()()()( sGsMsRsC −= (2-26)
Sustituyendo la ecuación (2-24) en la ecuación (2.26):
)()()()()( sGsHC(s)sGsRsC −= (2-27)
Despejando:
[ ] )()()()(1)( sGsRSGsHsC =+ (2-28)
Función de Transferencia de Lazo Cerrado (FTLC)
)( )(1
)()()(
sHsGsG
sRsC
+= (2-29)
G2(s)
H(s)
R(s) + E(s) C(s) _ M(s)
Volumen I 2-12
Esta ecuación relaciona la dinámica del sistema de lazo cerrado con la dinámica de
los elementos de la acción directa y los de retroalimentación.
Por otro lado, de la función de transferencia de lazo cerrado se puede encontrar
una expresión para la salida del sistema, la cual viene dada por:
)()(1)()()(sHsG
sRsGsC
+
= (2-30)
donde el denominador es llamado ecuación característica, o sea:
1 + G(s) H(s) = 0. (2-31)
Sistema de lazo cerrado sometido a una perturbación:
En la Figura Nº 2.2 se ve un sistema de lazo cerrado sometido a una perturbación
N(s)
Figura Nº 2.2: Sistema de lazo cerrado sujeto a una perturbación
Cuando dos entradas (la señal de referencia y la de perturbación) están presentes en
un sistema lineal, cada entrada puede tratarse independientemente de la otra; y las salidas
correspondientes se pueden sumar a cada una de las entradas individuales, para obtener la
salida total. En el punto de suma se indica, ya sea por medio de un signo positivo o
negativo, la forma en que cada entrada se introduce al sistema.
Para hacer esto, es necesario calcular las funciones de transferencia de lazo cerrado
tanto de la referencia como de la perturbación. La función de transferencia entre la salida y
la referencia se calcula como se mencionó anteriormente tomando en cuenta que N(s) = 0.
G1(s)
H(s)
Perturbación N(s) R(s) + + C(s) _
G2(s)
+
Volumen I 2-13
)( )( )(1)( )(
)()(
21
21
sHsGsGsGsG
sRsCR
+= (2-32)
La función de transferencia de lazo cerrado entre la salida y la perturbación se
calcula haciendo R(s) = 0, como:
)s(H )s(G )s(G)s(G
)s(N)s(CN
21
2
1 += (2-33)
La respuesta a la aplicación simultánea de la entrada de referencia y de la
perturbación se puede obtener sumando las dos respuestas individuales; es decir, la
respuesta del sistema C(s) debida a la aplicación simultánea de estas dos entradas está dada
por:
( ))s(H )s(G )s(G
)s(N)s(R )s(G )s(G)s(C)s(C)s(C NR21
12
1 ++
=+= (2-34)
donde la ecuación característica viene dada por:
1 + G1(s) G2(s) H(s) = 0 (2-35)
Diagrama de Bloques Un diagrama de bloques es una representación gráfica de las funciones de
transferencia de un sistema. En la figura 2.3 se presenta un diagrama de bloques donde:
U(s) ... variable de entrada o de excitación al sistema.
G(s) ... función de transferencia del sistema.
C(s) ... Variable de salida o controlada.
Figura Nº 2.3: Diagrama de bloques
En este caso C(s) = U(s) G(s).
G(S) C(S)
U(S)
Volumen I 2-14
Este diagrama indica las interrelaciones que existen entre los diversos componentes,
y además tiene la ventaja de indicar en forma más realista que la representación matemática
el flujo de señales del sistema real. Sin embargo tiene como desventaja el no contener
ninguna información acerca de la constitución física del sistema.
Los diagramas de bloques tienen tres elementos principales:
• Bloque: es un símbolo de la operación matemática que el bloque produce a la salida,
sobre la señal que tiene a la entrada. Dentro de cada bloque se coloca generalmente las
funciones de transferencia de los componentes y estos están interconectados por flechas
para indicar la dirección del flujo de señales.
• Punto de suma: es un símbolo en forma circular que es usado para sumar y/o restar
señales. Este puede tener cualquier número de señales de entradas, pero con la
excepción de que tiene solo una señal de salida. Es importante tener cuidado en que las
señales a sumarse o restarse deben tener las mismas dimensiones y unidades.
• Punto de bifurcación: es un punto desde el cual la señal de un bloque parte hacia varios
bloques o puntos de suma.
La Figura Nº 2.4 muestra los elementos del diagrama de bloques.
Figura 2.4: Elementos del diagrama de bloques
Procedimiento para trazar el diagrama de bloques
Para representar un modelo físico a través de diagramas de bloques, se procede a:
• Escribir las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico en cada
componente.
Bloque Sumador + _
Punto de Bifurcación
Volumen I 2-15
• Tomar la transformada de Laplace de estas ecuaciones, suponiendo condiciones
iniciales iguales a cero. Cada ecuación de transformada de Laplace se representa
individualmente en forma de bloque funcional.
• Integrar los elementos en el diagrama de bloques completo.
2.3.3 Ejemplos
• Problema 2.3.3.1: Sistema Hidráulico
En la figura anexa se muestra un sistema de llenado de tanques.
Figura 2.5: Esquema del sistema hidráulico
Este sistema consta de un tanque de área transversal constante A, el cual dispone de
una válvula que ejerce una resistencia fluídica de magnitud R.
Suposiciones:
- El flujo volumétrico qo(t) que pasa a través de R presenta la siguiente relación:
( )R
)t(htqo = (1)
(Esto solo es aplicable para flujos laminares, una resistencia que tenga una relación
lineal es llamada RESISTENCIA LINEAL. Para flujos turbulentos, la relación para
válvulas y tuberías viene dada en general por C h. . Cuando las tuberías tienen formas
geométricas es K hn. . Por ejemplo, tuberías rectangulares es K h.3
2 )
Volumen I 2-16
- Se considera que:
constante. ftlb densidad 3 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=ρ
Aplicando la ecuación de continuidad en un balance de masa
( ) ( ) [ ] t
h.A.tq.tq. o ∂ρ∂
=ρ−ρ (2)
donde: q(t) y qo(t) son flujos volumétricos.
En estado estacionario se cumple que todas las variables con respecto al tiempo son
nulas, lo que implica que en la ecuación diferencial (2), la derivada [ ]
0 t
=∂∂
.
Empleando la notación q para estados estacionarios, la ecuación (2) se transforma
en:
oqq =⇒=− 0q q oρρ (3)
La cual es válida para el sistema en estado estacionario.
Para poder desarrollar la función de trasferencia del sistema, es necesario definir el
problema en término de variables de perturbación, las cuales se definen tal y como se
muestra a continuación:
DEFINICION DE VARIABLES DE PERTURBACION
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
q t q t q
h t h t h
q t q t qo o
*
*
*
= −
= −
= −
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪o
Donde q h qo, , son los valores obtenidos del sistema operando
en estado estacionario.
Sustrayendo la ecuación (3) a la ecuación (2), se obtiene que:
Volumen I 2-17
( ) ( ) ( )[ ]
[ ]( )
ρ ρ∂ ρ
∂
ρ ρ∂ ρ
∂
q t q t Ah t
t
q q Ah
t
2'
o
o
− =
− =
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
Acomodando esta ecuación se obtiene:
( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( )'2' t
tAh tq tq
ththA qtq qtq
**o
*
oo
⎪⎭
⎪⎬⎫
∂ρ∂
=ρ−ρ
∂−ρ∂
=−ρ−−ρ
La ecuación (2’’) representa al sistema escrito en variables de perturbación.
Eliminando a ρ y suponiendo variaciones muy pequeñas alrededor del punto de
operación podemos formar T.L. a (2) quedando:
( ) ( ) ( ) ( )3...sHsAsQsQ *..o =−
Tomando T.L. a (1) ( ) ( )R
sHsQ *
o = (4)
Sustituyendo (4) en (3) y reagrupando términos, tenemos:
( )( ) 1sAR
RsQsH
..*
*
+= (5)
Nuevamente, si τ = R y K = R. A , .
( )( ) 1 .*
*
+=
sK
sQsH
τ (6)
Sistema de primer orden
Volumen I 2-18
Figura 2.7: Esquema del sistema hidráulico con controlador • Problema 2.3.3.2: Sistema térmico
Figura 2.9: Diagrama de un termómetro
Considerando al termómetro colocado en una corriente donde la temperatura T(t)
varía con t. Nuestro problema es calcular la respuesta del termómetro, es decir Tt(t) para un
cambio T(t).
Suposiciones
- La resistencia a la transferencia de calor permanece en la película externa al bulbo.
- Resistencia del vidrio y del mercurio despreciables.
Volumen I 2-19
- Toda la capacidad térmica queda en el mercurio.
- Se supone que la Tt(t) es uniforme.
El vidrio no se contrae ni se expande durante la respuesta transiente.
Estas suposiciones hacen que estemos trabajando con un sistema en
PARAMETROS CONCENTRADOS (LUMPED) porque localizamos toda la resistencia en
un lugar así como la capacidad térmica.
Aplicando un balance sencillo de energía y suponiendo que estamos alrededor del
punto en estado estacionario, se tiene que:
( )h A T T O m CdTdtt m
t⋅ ⋅ − − = ⋅ ⋅⋅ (1)
Entrada - Salida = Rata de Acumulación
Donde:
A: Superficie del área de transferencia de calor [ft2]
Cm : Capacidad calórica del mercurio [BTU/lbmºF]
m : masa del mercurio en el bulbo [lbm]
h : coeficiente de transferencia de calor de la película [BTU/?]
h dependerá de la rata de flujo y del fluido así como de las dimensiones del bulbo. Lo
supondremos constante.
Supongamos que el termómetro esté en estado estacionario, es decir, Tss y Ttss . La
ecuación queda:
(2) 0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅
−−
tssss TTAh
Si restamos (1) - (2):
( ) ( )[ ] ( )h A T T T T m C
d T Tdtss t tss m
t tss⋅ ⋅ − − − = ⋅ ⋅−
⋅ (3)
Volumen I 2-20
Si definimos
T T T
T T Tt t
ss
*
*
= −
= −tss
T * y son variables de perturbación. Tt*
Por lo tanto:
( )dt
dTCmOTTAh
*t
m*
t* ⋅⋅=−−⋅⋅ ⋅ (4)
Tomando Transformada de Laplace a (4):
( ) ( ) ( )h A T s h A T s m C s T st m⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅* * *
t (5)
Al dividir (5) por h.A y arreglar el resultado obtenemos:
( )( ) 1s
AhCm
1
sT
sTm*
*t
+⋅⋅
⋅=
• Problema 2.3.3.3: Sistema Eléctrico
Dado el siguiente circuito, queremos hallar su función de transferencia )s(V)s(E
i(t)
Figura 2.10: Esquema del circuito
A partir de las leyes de Kirchoff, se pueden obtener las siguientes expresiones matemáticas:
Volumen I 2-21
V t R T u tC
i t dt( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅ ⋅∫1
(1)
)t(i
dt)t(dE
C
dt)t(iC1)t(E
o
o
=⋅=>
⋅⋅= ∫ (2)
Sustituyendo (2) en (1)
V t R CdE t
dtE to( )
( )( )= ⋅ ⋅ + 0 (3)
V R Cd Edt
Eoo= ⋅ ⋅ + (4)
Restando (3) - (4)
V t V RC
d E t Edt
E t E
V t RCdE t
dtE t
oo o
oo
( )( ( ) )
( ( )
( )( )
( )**
*
− =−
+ −
= +
0 ) (5)
Aplicando Transformada de Laplace:
V s R C s E s E sV s R C s E s
o o
o
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
= ⋅ ⋅ ⋅ += ⋅ ⋅ + ⋅1
Despejando:
E sV s RCs
o ( )( )
=+
11
Tomando τ = RC, se tiene que
E sV s
ks
o ( )( )
=⋅ +τ 1
Sistema de 1er Orden.
Volumen I 2-22
• Problema 2.3.3.4: Sistema Mecánico rotacional
Figura 2.11: Esquema del sistema mecánico rotacional
Se desea determinar la función de trasferencia del sistema mecánico mostrado en la
figura 2.11. Para ello, se definen los siguientes parámetros:
T(t): Torque aplicado [ N . m ]
TD: Torque de oposición [ N . m ]
J: Momento de inercia del eje y ventilador [ Kg . m2 ]
B: Coeficiente de arrastre [ N mrad seg
⋅ ]
w(t): Velocidad Angular [rad seg]
α (t): aceleración angular [rad seg2 ]
A partir de la segunda ley de Newton, se tiene que:
T t T t J dw tdtD( ) ( ) ( )
− = ⋅ (1)
Además: T B w TD = ⋅ ( ) (2)
Sustituyendo (2) en (1) nos queda:
T t B w T J dw tdt
( ) ( ) ( )− ⋅ = ⋅ (3)
T B w J d wdt
− ⋅ = ⋅ (3’)
Volumen I 2-23
Restando (3) - (3’):
( ) ( ( ) ) ( ( ) )T T B w t w J d w t wdt
− − ⋅ − = ⋅−
(3’’)
T t B w t J dw tdt
* **
( ) ( ) ( )− ⋅ = ⋅ (3’’’)
Tomando Transformada de Laplace en (3’’’)
ssWJsWBsT ⋅⋅+⋅= )()()( ***
Agrupando Términos nos queda:
1
1
)()(
*
*
+⋅=
sBJ
BsTsW
De aquí podemos observar:
− Variable de Entrada: T s( )
− Variable de Salida: W s( )
− JB tiene unidades de tiempo
Llamaremos:
JB = τ
1B k=
Por lo tanto : W sT s
ks
( )( )
=⋅ +τ 1
Sistema de 1er Orden
Volumen I 2-24
• Problema 2.3.3.5: Sistema mecánico traslacional
Figura 2.12: Amortiguador de Vibraciones
Se desea determinar la función de trasferencia: Y*(s) / F*(s) Aplicando la Ley de Newton:
Wg
d ydt
K y C dydt
F tc
⋅ = − ⋅ − ⋅ +2
2 ( ) (1)
Donde:
W = masa [lbm]
gc = 32,2 lbm . ft / lbf . seg2
C = coeficiente de amortiguación viscosa [lbf / (ft/seg)]
K = Constante de Hooke [lbf/ft]
F(t) = Fuerza Aplicada [lbf]
Si dividimos a (1) por K tenemos:
Wg K
d ydt
y CK
dydt
F tKc ⋅
⋅ = − − ⋅ +2
2( )
(2)
Rearreglando:
τ ζ τ22
2 2⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + =d y t
dtdy t
dty t x t( ) ( ) ( ) ( ) (3)
Escribiendo el Estado estacionario de (3):
τ ζ τ22
2 2⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + =d ydt
dydt
y x (3’)
y(t)
Volumen I 2-25
(3-3’) ⇒ τ ζ τ22
2 2⋅−
+ ⋅ ⋅ ⋅−
+ − = −d y t y
dtd y t y
dty t y x t x( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) (3’’)
Aplicando T. L.
( )τ ζ τ2 2 2 1s s Y s X+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =* *( ) ( )s
∴ =+ ⋅ ⋅ ⋅ +
Y sX s s s
*
*( )( )
12 12 2τ ζ τ
Y sF s
Ks s
*
*( )( )
=+ ⋅ ⋅ ⋅ +
12 12 2τ ζ τ
Y sF s
Ks s
*
*( )( )
/=
+ ⋅ ⋅ ⋅ +12 12 2τ ζ τ
Sistema de Segundo Orden
donde:
τ2 =⋅
Wg Kc
; 2 ⋅ ⋅ =ζ τCK
; x t F tK
( ) ( )=
de donde:
τ =⋅
Wg Kc
(4) [seg] debe ser > 0
ζ =⋅
⋅ ⋅g C
W Kc
2
4 (5) adimensional debe ser > 0
Un sistema de 2° orden necesita dos parámetros para ser definido, en este caso son ζ
y τ.
La representación en diagramas de bloques se muestra en la figura 2.13.
Volumen I 2-26
X(s) Y(s)
Figura 2.13: Representación en diagramas de bloque del sistema
121
1)()(
22
++=
swn
swn
sXsY
ξ
• Problema 2.3.3.6: Sistema eléctrico LRC
Se desea determinar la función de transferencia del circuito LRC que se muestra en la
figura 2.13.
Figura 2.14: Esquema del circuito LRC
A partir de las leyes de Kirchoff, se pueden deducir las siguientes ecuaciones
diferenciales que reproducen el comportamiento del sistema:
e t L di
dtR i
Ci dt( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∫
1 (1)
Aplicando T. L. y CI = 0
E s L s I s R I sC s
I s( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ + ⋅ +⋅
⋅1 (2)
12 12 2τ ζ τ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +s s
Volumen I 2-27
E s C L s R C s I sC s
( ) ( )=
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ( )⋅
2 1
I sE s
C sC L s R C s
( )( )
=⋅
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +2 1
CLs
LRs
sL
CLs
CLRCs
sCLC
sEsI
1
1
1)()(
22 ++=
++=
Donde:
CL
LR
n
n
1
.2
=
=
ω
ωξ
Problema 2.3.3.7: Modelado de un Manómetro
Figura 2.14: Esquema de un manómetro de mercurio
Se desea determinar la relación H sP s
( )( )1
Suposiciones:
- Consideramos flujo laminar.
- Fricción despreciable.
Volumen I 2-28
Aplicando Newton:
m d hdt
P A h A⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅2
2 1 γ (1)
Donde:
m masa del Hg
h = altura desplazada
A = Sección Transversal
γ = Viscocidad del Hg
ρ = densidad
Por otro lado: γ = ρ.g (2)
m = ρ.A.L ⇒ m = γg
A L⋅ ⋅ (3)
Sustituyendo (3) en (1):
γ
γ⋅ ⋅
⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅A Lg
d hdt
P A h A2
2 1 ⇒ f(P1, h) (4)
No hay términos no lineales. Procedemos a reagrupar
h + Lg
d hdt
P⋅ = ⋅2
2 11γ
(5)
Estado Estacionario: h = ⋅1
1γP (6)
Restando (5) - (6)
Lg
d hdt
h⋅ + = ⋅2
2 11*
* *
γP (7)
Volumen I 2-29
Aplicando T. L. para una segunda derivada
s F s s F f2 0 0⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )/
Lg
s H s P s⋅ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ =2 11 ( ) ( )
γ
de donde
H sP s L
Gs
( )( )
/
1 2
1
1=
⋅ +
γ
Sistema de 2º orden
• Problema 2.3.3.8: Motores DC
If(t)
Figura 2.15: Esquema de un motor DC
Suposiciones:
- La corriente Ia (ctte) puede ser suministrada por una fuente DC, ó una línea AC (uso de
transformadores y rectificadores).
- El voltaje Ef aplicado al campo se obtiene de un amplificador de baja potencia.
Volumen I 2-30
- El circuito de campo se encuentra representado por una resistencia Rf y una inductancia
Lf.
Asumiendo un comportamiento lineal, se tiene que:
El flujo magnético del campo: ( )φ t ( ) ( )φ t k I tf f= . (1)
El torque desarrollado por el motor es directamente proporcional al flujo magnético
y a la corriente de la armadura:
T = k (2) 1φ Ia
Donde:
- = constante propia del motor, función del número de conductores de la armadura, del
número de polos del campo, etc.
k1
- φ = Flujo magnético del campo función del tiempo
- Ia = Corriente de la armadura.
)(k=(t) f tI fφ ; I f : corriente del campo
( ) →Τ tIIkk= faf1 ( ) ( )tIIkt fam=Τ (3)
Haciendo sumatoria de torques, en la parte mecánica:
( ) ( ) ( ) ( )tJttBt Lr ωω &=Τ−−Τ (4)
Donde:
ω = velocidad angular. J = Inercia de la armadura.
Br = Coeficiente viscoso de fricción. = Torque de la carga. TL
Aplicando Kichoff, en la parte eléctrica:
( )( )
E I t R Lt
f f f f= +∂
∂ I
tf
(5)
Las ecuaciones (3), (4) y (5) representan los tres balances necesarios para un sistema
electro-mecánico.
Deseamos como función de transferencia la relación: ( )( )
ω sE sf
, para ello se tienen
que llevar a cumplir lo siguiente:
Volumen I 2-31
- se debe eliminar a . fI
-Τ quede como una perturbación al proceso. l
- no hay no-linealidades.
- expresando las ecuaciones en variables de perturbación ó de desviación:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
ω=Τ−ω−Τ
=Τ
5' . . . tILtIRtE
4' . . . tjttBt
3' . . . tIIkt
*f
*ff
**l
*v
*
*fam
*
ff&
&
Aplicando T. Laplace a todas, y manipulándolas convenientemente:
( ) ( ) ( )1R
E s I s s I sf
f f f f* * *= + Τ ; con Τ f
f
f
LR
= ctte de tiempo.
Despejando: ( )( )
( )I sR s
E sff f
f* =
+
11 Τ
* (6)
Sustituyendo (6) y (3’) transformada en (4’) transformada:
( ) ( ) ( )sR
EIksjsB
ff
famLr Τ+
=Τ++1
***ω (7)
Relación de transferencia.
( ) ( ) JsBTE
sRIk
sr
Lfff
am+⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
Τ+=
11
**ω
Js
Figura 2.16: Diagrama de bloques del sistema
Volumen I 2-32
A continuación se procederá a hacer un análisis de la armadura del motor DC.
Figura 2.17: Esquema de la armadura del motor DC
Suposiciones:
- La velocidad del motor es controlada por el voltaje de la armadura.
- I f normalmente se mantiene constante.
- Ea normalmente suplido por un generador.
Ecuación circuital para la armadura:
( ) ( ) ( )dt
dIaLtIRtIktE aaafca +=− ω (1)
El torque desarrollado por el motor es:
( ) ( )Τ t k I I tm f a= (2)
Balance de torques:
( ) ( ) ( ) ( )tJttt lr ωω &=Τ−−Τ B (3)
Donde : dtdw
=ω&
realizando los pasos correspondientes, se llega al siguiente diagrama de bloques, a partir de
las ecuaciones 1 - 3:
ia(t)ia(t)
Volumen I 2-33
TL
Figura 2.18: Diagrama de bloques del motor DC
Donde:
Τa
a
a
c f
LR
k I
=
: ctte de la f.e.m.
Problema 2.3.3.9: Sistemas de tanques interconectados
Figura 2.19: Sistema de tanques interconectados
Se desea obtener la función de transferencia del sistema, así como su representación
en diagramas de bloques. Los parámetros que definen al sistema se muestran a
continuación:
Datos:
Área: A1
CN
MN
h
h
A2 R2′
Q2
P2
R1′
Q1
Volumen I 2-34
Corrientes: Q1,Q2,Q3
Altura de los tanques: h1,h2
Constante: C
Válvulas:
Q2=f(h1)⇒ Q2*=R1h1* donde : a2 :....para toda abertura
Q3=f(h2,a2) Q⇒ 3*=R2h2*+R3a2* de la válvula.
Ahora se procede a realizar los balances de masa para cada uno de los tanques.
Primer tanque :
....1(1
)()()()()(
**
1
11111111
11111
11
121
+=⇒=−
=−⇒==−
sk
sQsHssHAsHRsQ
ciontransformadt
dhAhRQ
dtdh
Adt
dVQQ
τ
donde : kR1
1
1= ; τ1
1
1=
AR
Segundo tanque :
dtdh
AaRhRhRdt
dhAQQ
****
*** 2
22322112
232 =−−⇒=−
Transformación:
))()((1
1)(
)()()()(
23122
2
22222311
saksHks
sH
sHRssHAsaRsHR
−+
=
⇒+=−
τ
donde: 2
22 R
A=τ ;
2
12 R
Rk = ;
2
33 R
Rk =
Volumen I 2-35
.a2(s) Q1(s) H1(s)
H2r + E - H2(s)
- +
Figura 2.20: Diagrama de bloques del sistema retro
2.3.4 No linealidades en los sistemas Las no linealidades son inherentes en los procesos y en el contro
ellas podemos señalar:
1. Saturación
2. Zona muerta
3. Histéresis
4. Backlash
5. Fricción (estática, colombos, etc.)
6. Resorte no lineal
7. Compresibilidad de los fluidos
8. Prendido-apagado
9. Otros. - (ecuaciones cinéticas, correlaciones de transferencia de m
Su presencia afecta a los sistemas de control. Por ejemplo:
- Backlash: causa inestabilidad en el sistema.
- Zona muerta: causa errores en el estado estacionario.
Hasta el momento hemos analizado sistemas físicos lineal
realidad esto no es cierto.
K2
K3
GC GV
1.1
1
+sk
τ
HM
1
alimentado
l de los mismos. Entre
asa y cala, etc ...)
es. Sin embargo en la
1.2 +sτ
Volumen I 2-36
Partamos del problema 2.3.3.1, donde se supuso una resistencia lineal. Hablemos
ahora de:
)(0 thCq ⋅= (1)
C= ctte.
Nuevamente nuestro balance de masa , seria:
dtdhAhCq ⋅=⋅− (2)
En este punto observamos que es mas difícil tomar Transformada de Laplace por la
presencia de un termino variable no lineal h . Esta dificultad puede saltarse si aplicamos
una expansión de Taylor.
Condiciones:
- Las variables deben ser continuas
- Las derivadas deben ser continuas
Supongamos que tenemos una función f que depende de dos variables x1 x2 => f(x1
x2 ) y queremos linealizarla alrededor de su valor estacionario x x1 2, .
Aplicando serie de Taylor:
...)(!2
1
)(!2
1)()(),(),(
222
2,12
2
2
211
2,12
1
2
222,12
112,11
2121
+−⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅+
−⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅+−⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
xxx
f
xxx
fxxxfxx
xfxxfxxf
xx
xxxxxx
∂
∂
∂
∂∂∂
∂∂
Por lo general, se toma en cuenta hasta la primera derivada, porque los términos
(x x n− ) tienden a hacerse muy pequeños.
Por lo tanto el termino )(th
Volumen I 2-37
h h h h h= + ⋅ ⋅ −12
( ) (4)
Donde h h= en estado estacionario.
Sustituyendo (4) en (2):
dtdhAhhhhhCtq ⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+=⋅− )(
21)( (5)
La ecuación (5) en estado estacionario:
q t C h( ) − ⋅ = 0 (6)
Restando (5) - (6):
( ) ( ) ( )q q C h h h A d h hdt
− − ⋅ ⋅ − = ⋅−
2 (7)
Donde C C h'= ⋅2
Variables de perturbación:
Q q q
h h h
*
*
( )
( )
= −
= −
=> − ⋅ = ⋅Q C h A dhdt
* **
' (8)
Tomando Transformada de Laplace a (8):
Q s H s A s C* *( ) ( ) ( ')= ⋅ ⋅ +
H sQ s
ks
*
*( )( )
=⋅ +
11τ
Donde
Volumen I 2-38
kC
h
CA
Ch
12
2 2
= ⋅
= =⋅
⋅τ'
Vemos que en este caso la Función de Transferencia es un sistema de primer orden
como en los otros casos pero el valor de k1 y τ dependen de las condiciones en estado
estacionario.
Ejemplos
• Problema 2.3.5.1: Tanque con válvula reguladora de salida
Figura 2.21: Sistema de tanque con válvula reguladora de salida
Se desea calcular la función de transferencia del sistema, así como su representación
en diagramas de bloques
)()( 21 tQtQdtdV ρρρ −=
El flujo Q2 depende de las diferencias de presiones y
de la porción del vástago de la válvula m(t). Este se representa de manera simplificada
como sigue:
( )Q k P P P k
Q k gh k m
f2 1 0 0 2
2 1 2
= ′ + − +
= ′ +
.
.l
m
y luego
Q2
h
MCN
Q1
Volumen I 2-39
mktghktQdt
tdhA .)()()(211 −′−= ρ
El elemento no lineal ghρ puede linealizarse alrededor del punto de equilibrio h
como : ( ) ( hhhghggh −+≅ − 21
21 ρρρ ) ya que
( ) ( ) ( ) ( )f x x f x xfx
x xf
xx x
x x x x1 2 1 2
11 1
22 2
1 2 1 2
, ,... , ,.....
...., .. , ...
≅ + − + − +δδ
δδ
⇒ se puede siempre
sustituir en la ecuación original, la parte linealizada, escribiendo todo en términos de
variables de variación .
Adhdt
Q k h k m*
* . * .= − −1 1 2 * donde ( ) 21
11 21 −′= hgkk ρ
transformando:
A H s Q s k H s k M s
H sA k
Q s k M s
s
s
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( ))
= − −
=+
−
1 1 2
11 2
1⇒
Figura 2.22: Diagrama de bloques del sistema
• Problema 2.3.5.2:Tanque de mezclado
Se tiene un tanque de mezclado, el cual se muestra en la figura 2.23, al cual se desea
controlar la CA2 variando la CA1. El flujo de entrada es considerado un perturbación. Se
Volumen I 2-40
considera la salida como flujo laminar. Considere ρ constante. Los flujos son
volumétrico y F2 = Rh.
Figura 2.23: Esquema del tanque de mezclado
Balance de masa dtdhARhF
dtdVFF =−⇒=− 121 . (1)
Balance del componente Ai dtVdC
CFCF AAA
22.21.1 =− (1`)
dtdhC
ARhCCF AAA
2.2.1.1 =− (2)
Términos que son funciones del tiempo: F1, CA1, h, CA2
Términos no lineales: F1CA1, hCA2
Linealizando y sustituyendo en (2) , sumando y utilizando variables de perturbación :
******2.2.11.1.12.
2. hCRRChFCCFdt
dhCAdt
dCAh AAAAA
A −−+=+ (3)
Tomando T.L y reagrupando las ecuaciones (1) y (3) tenemos:
h
CC
TE R
F2 , CA2
A
F1 , CA1
Volumen I 2-41
( ) )()()...()(.)(... 1.12.2.12. sCFsHCRsCAsFCsChRshA AAAAA ++−=+ (4)
(5) )().)(( 1 sFRsAsH =+
-
-
+
.2. refC A 1.AC
+
Figura 2.24: Representación
• Problema 2.3.5.3: Tanque con tubería
Figura 2.25: Esquem
1.1+sA
2.. A RsCA +
1FGv GC
TC
)(1 sF
H(
++ )(2. sC A
en diagrama de bloques del sist
a del tanque con tubería
2AC
1.AC
hRshA +..1
s)
ema
Volumen I 2-42
Se desea hallar la función de transferencia del sistema mostrado en la figura 2.23,
del cual se conocen los siguientes parámetros:
Datos:
A1 = Area del tanque.
h(t) = Nivel en el tanque.
q0(t) = Flujo de entrada.
A2 = Area de la tubería.
d2 = Diámetrode la tubería.
f2 = Coeficiente de fricción.
n≥n = Velocidad del flujo. No depende de L.
En este sistema se desea controlar el nivel manipulando el flujo de entrada.
Inicialmente, se procede a realizar un balance de masa sobre el tanque:
( ) ( )q t q t A dhdto − = 1 (1)
Por otro lado: ( ) ( )q t A v t= 2 (2)
( ) ( )dtdhAtvAtq 12o =−∴ (3)
Variables: qo(t), v(t), h(t); se debe eliminar v(t).
Ecuación de Bernoulli para flujo no permanente:
dvdt
ds pp
vgz p
pv
gz f Ld
v+ + + = + + −∫
1
22 2
2
21 1
2
1 22
22
2 2 2 (4)
dtdvLds
dtdvds
dtdvds
dtdv
=+= ∫∫ ∫2
3
2
1
3
1 (5)
0
Sustituyendo (5) en (4):
( ) ( )2
12
22
tvdLftgh
dtdvL ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= (6)
Linealizando a v2:
Volumen I 2-43
( ) ( ) ( )v-v1fv-2
12
2
2
22 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
dLtv
dLftgh
dtdvL (7)
y en estado estacionario:
0 12
2= − −gh kv 0 (8)
***
kvvghdt
dvL −= (9)
dividiendo a (9) por vk , y tomando T.L.
( )( ) 1+
=kv
Lkv
g
sHsV
(10)
poniendo en variables de perturbación a (3) y tomando T.L:
( ) ( ) ( )Q s A V s A sH so − =2 1 (11)
despejando V(s) de (11):
( ) ( ) ( )Q s A sH s
AV so −
=1
2 (12)
si sustituimos (12) en (10):
( )( )
( )
( )
H sQ s
aAbs
AaA
s bso=
+
+ +
1 1
1 1
2
1
2
donde: a gvk b vk= , y = L
K
Volumen I 2-44
• Problema 2.3.5.4: Reactor con camisa de calentamiento
Figura 2.26: Reactor de tanque agitado con camisa de calentamiento
En la figura 2.24 se muestra el esquema de un tanque de agitado continuo donde se
lleva a cabo la siguiente reacción:
C ABk⎯ →⎯ orden n y k = k(T)
Se desea determinar la función de transferencia del sistema, así como el diagrama de
bloques del mismo:
Datos:
V = constante
Condición térmica de las paredes: alta
Conocidos: U y ∆Hr (cal / gr de C)
Perturbaciones ∴ T1 y C1
Solución:
Balance de masa en el componente C:
dt
dCVVCQCQ 2
21 ⋅=γ⋅−⋅−⋅ Donde γ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
=lth
molC (1)
Balance de energía en el reactor:
ρ ρ ρ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅Q Cp T Q Cp T U A T T H V r V Cp dTdta r1 2 2
2( ) ∆ (2)
La rata r se linealiza en forma genérica:
Volumen I 2-45
r r rC
k
C C rT
k
T TC T C T
= + − + −∂
∂∂∂2 2 2
1
2 22 2 2
2
2 2, ,
( ) (
1 24 34 1 24 34
)
Se escriben ahora las ecuaciones (1) y (2) en términos de variables de perturbación:
Q C Q C V k C V k T V dCdt
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅1 2 1 2 2 22* * * **
, (1’)
y dividiendo entre ρ.Q.Cp para la ec. (2)
43421434214444 34444 213
*2
1
2
**1
*2
1
2*2
*2*
22*
21**
2*2
*1
1
)(
R
ra
r
rra
CQCp
VkH
R
TQCpUATT
RQCp
VkHQCpUA
dtdT
dtdT
TQCp
VkHC
QCpVkH
TTQCpUATT
ρρρρτ
τρρρ
∆−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆++−=⋅⇒
⋅=∆
−∆
−−−−
; con τ =VQ
Transformando (1) y (2) se obtiene:
( )()(1
1)( 211
2 sTksCks
sC tc ⋅+⋅⋅+⋅
=τ
) (3)
donde: τττ1
11=
+ ⋅ k ; k
kc =+ ⋅
11 1τ
; k kkt =
⋅+ ⋅τ
τ2
11 ; τ =
VQ
T ss R
T s RR
T s RR
C sa22 1
12
1
3
12
11
1( ) ( ) ( ) ( )=⋅ +
⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
τ (4)
Para definir la influencia de Fa sobre Ta:
Balance de energía en la camisa:
ρ ρa a a a a a a a caCp F T T U A T T Cp V dT
dt⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅( ) ( )0 2 (5)
dt
dTVCpρ
TAUTAUTFCpρTFCpρTFCpρ*
caa
**a
*aa
*aaaa
*aa
a
a2aa0a
⋅⋅⋅=
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⇒
Dividiendo entre ρa.Cpa y transformando:
Volumen I 2-46
T F s F T s T F s R T s R T s V s T sa a a a a a a c a0 4 2 4⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
donde: R U ACpa a
4 =⋅
⋅ρ (6)
( )T ss
R F s R T sa a( ) ( ) ( )=⋅ +
⋅ ⋅ + ⋅1
135 6τ 2 ; con
RT TF Ra a
a5
0
4=
−
+ ; R R
F Ra6
4
4=
+ ; τ3
4=
+V
F Rc
a
Diagrama de Bloques:
Figura 2.27: Diagrama de bloques del reactor con camisa de calentamiento
Reducción del diagrama de bloques
Los bloques se pueden conectar en serie solamente si la salida de un bloque no es
afectada por el bloque inmediatamente siguiente. Cualquier cantidad de bloques en cascada
que representes componentes que no producen efectos de carga se pueden representar como
un bloque individual, siendo la función de transferencia de ese bloque simplemente el
producto de las funciones de transferencia individuales. A través de las reglas del álgebra
de bloques se pueden ir simplificando paso por paso un complejo diagrama de bloques,
Volumen I 2-47
pero sin embargo los nuevos bloques que se van obteniendo se vuelven más complejos,
debido a que se generan nuevos polos y ceros.
Al simplificar un diagrama de bloques, se debe recordar:
1. El producto de las funciones de transferencia en sentido directo queda igual.
2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo queda igual.
En la Tabla 2.2 se muestra las reglas del álgebra de diagramas de bloques.
Tabla 2.2: Fórmulas de álgebra de bloques
Diagramas de bloque originales Diagramas de bloque equivalentes
1
2
5
6
7
8
A + A-B + A-B+C - + B C
A + A+C + A+C-B + -
C B C A ++
A-B+C - B
C A + A-B
+ A-B
+C
- B
G1 G2 A A G1 A G1 G2 G2 G1
A A G2 A G2 G1
G1 G2 A A G1 A G1 G2 G1 G2
A AG1G2
G1
G2
A AG1 + AG1 + AG2 + AG2
G1 + G2 A AG1 + AG2
G1 A AG1 + AG1 - B - B
G
1/G
A + A-B/G AG - B - B/G B
G A + A-B AG – BG - B
G
G
A AG + AG - BG - B BG
G A AG
AGG
A AG AG G
4
3
Volumen I 2-48
9
10
11
12
13
Obtención de la F. T. a partir del diagrama de bloques:
Nos interesa hallar:
F. T. = C sR s
( )( )
E s R s M s( ) ( ) ( )= − (1) M s C s H s( ) ( ) ( )= (2)
)()()( sGsEsC = (3)
Sustituyendo (1) en (3): [ ]C s R s M s G s( ) ( ) ( ) ( )= − (4)
Sustituyendo (2) en (4): C s R s G s C s H s G s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − (5)
Despejando: [ ]C s H s G s R s G s( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 + = ⇒
G A AG
A
G A AG AG A 1/G
A + A-B
- A-B
B
B + - A-B A + A-B -
B
G1 A + B -
G2
G1 A AG1 + AG1+AG2 + AG 2G2
G1 A AG1 + AG1+AG2 + G2/G1
G1 A + B - G2
G1 A + B -
G2 1/G2
G1/(1+G1G2) A B
Volumen I 2-49
Función de Transferencia de Lazo Cerrado (FTLC) = C sR s
G sG s H s
( )( )
( )( ) ( )
=+1
Función de Transferencia de Lazo Abierto (FTLA) = M sE s
G s H s( )( )
( ) ( )=
Función de Transferencia de Lazo Directo (FTLD) = C sE s
G s( )( )
( )=
Respuesta: )()()(1
)()( sRsHsG
sGsC+
=
Ecuación Característica: 1 0+ =G s H s( ) ( )
Diagrama de Flujo de Señales
Un diagrama de flujo de señales es en una red en la cual los elementos llamados
nodos están conectados por otros elementos llamados ramas con dirección y sentido. Esta
es otra forma de establecer la relación entre las transformadas de Laplace de las señales de
entrada y salida de un sistema de forma gráfica, por lo tanto es equivalente al diagrama de
bloques en cuanto al objetivo que persigue. La ventaja de representar al sistema a través de
este gráfico de flujo de señales, es la aplicación de la fórmula de Mason que permite
determinar la función de transferencia de un sistema directamente, sin necesidad de realizar
ninguna reducción como se hacía en el diagrama de bloques.
Elementos básicos
El diagrama de flujo de señales consta de principalmente varios elementos:
- Nodos: son los puntos donde aparecen señales y cada rama conectada entre dos nodos
actúa como un multiplicador de señal. Los nodos son equivalentes a las flechas en el
diagrama de bloques.
- Señales: son las variables del sistema.
- Ramas: una rama es un segmento de línea con dirección y sentido, que une dos nodos.
Las ramas son equivalentes a los bloques en el diagrama de bloques.
Volumen I 2-50
- Ganancia o transmitancia de una rama: es una ganancia real o una ganancia compleja
entre dos nodos. Tales ganancias pueden expresarse en términos de la función de
transferencia entre dos nodos y es la cantidad asociada a cada rama.
- Nodo de entrada o fuente: es un nodo que sólo tiene ramas que salen. Esto corresponde a
una variable independiente.
- Nodo de salida o sumidero: es un nodo que sólo tiene ramas de entrada. Se corresponde a
una variable dependiente.
- Nodo mixto: es un nodo que tiene tanto ramas que llegan, como ramas que salen.
- Camino o trayectoria: es cualquier colección de una sucesión continua de ramas que se
dirigen en la misma dirección. Si no se cruza ningún nodo más de una vez es llamado
camino directo. Si el camino regresa al nodo de partida, sin pasar por otros nodos más de
una vez, se llama bucle o lazo. Si un camino cruza algún nodo más de una vez, pero
finaliza en un nodo diferente de aquel del cual partió, el camino no es ni abierto ni cerrado.
- Ganancia de bucle o lazo: es el producto de las transmitancias de ramas de un lazo.
- Ganancia del camino directo: es el producto de las transmitancias de una rama de un
camino o trayecto directo.
- Lazos disjuntos: los lazos que no tienen ningún nodo en común.
Propiedades básicas de los gráficos de flujo de señal
Las propiedades más importantes de este tipo de representación son:
- Las gráficas de flujo de señal se aplican solo a sistemas lineales.
- Las ecuaciones a partir de las cuales se dibuja una gráfica de flujo de señal deben ser
algebraicas en la forma de causa y efecto.
- Una rama indica la dependencia funcional de una señal respecto a otra. La señal viaja a
través de las ramas solamente en la dirección descrita por las flechas.
- Un nodo se encarga de sumar las señales de todas las ramas de entrada y transmite esa
suma a todas las ramas de salida. También se utilizan para expresar variables.
- Un nodo mixto se puede considerar como un nodo de salida añadiendo una rama de salida
de transmitancia unitaria. Pero se debe notar que utilizando este método un nodo mixto no
se puede transformar en una fuente.
Volumen I 2-51
- Para un sistema cualquiera, el gráfico de flujo de señal no es único. Se pueden dibujar
muchos gráficos de flujo de señal diferentes para un sistema, escribiendo las ecuaciones del
sistema en forma diferente.
2.3.8 Algebra de gráficos de flujo de señal. Para dibujar un gráfico de flujo de señal se deben colocar los nodos de entrada
(fuentes) a la izquierda y los nodos de salida (sumideros) a la derecha. Las variables
independientes y dependientes de las ecuaciones obtenidas en el modelaje, se convierten en
nodos de entrada y nodos de salida. Las transmitancias de rama se pueden obtener a través
de los coeficientes de las ecuaciones.
Las reglas a seguir para reducir un gráfico de flujo de señal a un gráfico que
contenga solo nodos de entrada y salida son las siguientes:
- El valor de un nodo con una rama de entrada es x2 = a x1. Figura Nº 2.28 (a)
- Una conexión en serie de ramas unidireccionales se puede remplazar por una sola rama
con ganancia igual al producto de las ganancias de las ramas. Figura Nº 2.28 (b)
- Las ramas paralelas con una misma dirección que conectan dos nodos se pueden
remplazar por una sola rama con ganancia igual a la suma de las ganancias de las ramas
paralelas. Figura Nº 2.28 (c)
- Se puede eliminar un nodo mixto. Figura Nº 2.28 (d)
- Se puede eliminar un lazo. Figura Nº 2.28 (e)
La Figura 2.28 muestra gráficos de flujo de señal y simplificaciones.
Volumen I 2-52
(a) a
X1 X2
(b) a b ab=
X1 X2 X 3 X1 X2
(c) a a + b
X1 X2 = X1 X22 b
(d) X1 a X1 ac X3 c
X4 = X4 X2 b X2 ab
(e) a X2 b X 1 ab X3 X1 X3 X1 X3 = = ab/(1+bc) c bc
Figura 2.28: Gráficos de flujo de señal y simplificaciones
Fórmula de Mason
Permite la determinación de las relaciones entrada - salida de una gráfica de flujo de
señal mediante inspección, cuantificando la ganancia real de transmisión T entre cualquier
entrada xi y cualquier salida x0.
La Regla de Mason establece:
∆∆∑
= kk PT (2-38)
donde:
• k: es el trayecto k-ésimo directo diferente entre xi y x0.
• Pk: es la ganancia de trayectoria o transmitancia de la k-ésima trayectoria.
• ∆: es el determinante del gráfico.
• ∆k: es el cofactor del determinante de la k-ésima trayectoria directa del gráfico,
eliminando los lazos que tocan en más de un nodo a dicha trayectoria.
• T: es la función de transferencia entre la salida y la entrada del sistema.
Volumen I 2-53
La fórmula para hallar el determinante del gráfico es la siguiente:
∆ = 1 - (suma de las ganancias de todos los lazos) + (suma de productos de todas las
combinaciones de los pares de lazos que no se tocan) - (suma de productos de las
ganancias de todas las combinaciones de todas las combinaciones de ternas de lazos que
no se tocan). (2-39)
Es importante destacar que si el sistema posee mas de una entrada, para hallar la función de
transferencia entre la salida y una de estas entradas, es necesario hacer cero las entradas
restantes. Posteriormente si se desea hallar la solución del sistema tomando en cuenta todas
las entradas involucradas en el mismo se utiliza el principio de superposición.
Ejemplos
Problema 2.3.9.1: Supongamos que tenemos el siguiente flujograma:
Figura 2.29: Flujograma del sistema
Para hallar la función de transferencia del sistema, es necesario calcular la relación
dada por:
TPk k= ∑ ∆∆
Cálculo de ∆:
- # de bucles: 3 ⇒ L1, L2, L3
∆ = (1-L1) (1-L2) (1-L3) = 1-(L1+L2+L3)+(L1L2 + L1L3 + L2L3) (L1L2L3)
- Bucles que se tocan: L2 y L3
∆ = 1-(L1+L2+L3)+(L1L2 + L1L3)
Número de caminos directos entre xi y x0
Volumen I 2-54
K = 2 ⇒ Dos términos en el numerador T = P P1 1 2 2⋅ + ⋅∆ ∆
∆
Trayecto 1: P1 = a b c d e f
Trayecto 2: P2 = a g e f
Bucles que toca cada trayecto:
Trayecto 1: L1, L2, L3 ; Trayecto 2: L2, L3
Cálculo de ∆i:
- Para ello primero se escribe a ∆, es decir:
∆ = 1-(L1+L2+L3)+(L1L2 + L1L3)
- Táchese cada término que contenga una L de un bucle tocado por el trayecto i
∆1 = 1-(L1+L2+L3)+(L1L2 + L1L3) = 1
∆2 = 1-(L1+L2+L3)+(L1L2 + L1L3) = 1 - L1
Resumiendo, tenemos:
∆ = 1-(L1+L2+L3)+(L1L2 + L1L3) ; ∆1 = 1 ; ∆2 = 1-L1
∴ =+ −
− + + + +T P P L
L L L L L L L1 2 1
1 2 3 1 2 1 3
1 11
( ) ( )( ) ( )
xx
T abcdef agef cjcj eh efi cjeh eficji
0 1 11
= =+ −
− + + + +( ) ( )
( ) ( )
Problema 2.3.9.2: Consideremos un sistema de retroalimentación unitaria cuyo diagrama de bloques es:
Figura 2.30: Diagrama de bloques del sistema
Volumen I 2-55
C
Figura 2.31: Flujograma del sistema
Cálculo de ∆
- # de bucles: 4 ⇒ L1, L2, L3, L4
L1 = -G1G2G3G5 ; L2 = -G2H1 ; L3 = -G5H2 ; L4 = -G1G2G4G5
∴ ∆ = (1-L1)(1-L2)(1-L3)(1-L4)
= 1-(L1+L2+L3+L4) + (L1L2+L1L3+L1L4+L2L3+L2L4+L3L4) -
- (L1L2L3+L1L3L4+L2L3L4+L1L2L4) +(L1L2L3L4)
- Bucles que se tocan: L1L2L3L4 ; L2L4; L3L4
∴ ∆ = 1-(L1+L2+L3+L4) + (L2L3)
= 1 + G1G2G3G5+G2H1+G5H2+G1G2G4G5+G2G5H1H2
# de caminos directos entre R y C
∴ K = 2 ⇒ P1 = G1G2G3G5 ; P2 = G1G2G4G5
Bucles que toca cada trayecto:
Trayecto 1: L1, L2, L3, L4 ; Trayecto 2: L1, L2, L3, L4
∆1 = 1 ; ∆2 = 1
CR
T G G G G G G G GG G G G G H G H G G G G G G H H
= =+
+ + + + +1 2 3 5 1 2 4 5
1 2 3 5 2 1 5 2 1 2 4 5 2 5 1 21
Problema 2.3.9.3:
Se desea calcular para un tanque de mezclado ),( 12 FCfC AA =
Ecuaciones:
sH(s) = K6F1(s) - K7H(s) (1)
sCa2(s) = K1Ca1(s) + K2F1(s) - K3Ca2(s) - K4H(s) - K5sH(s) (2)
Volumen I 2-56
Donde:
K1 = F hA1 / ; K Ca h2 1= / A ; K3 = R/A; K R Ca h4 2= ⋅ / A ;
K Ca5 3= / h ; K6 = 1/A ; K7 = R/A
Entradas: F1, Ca1 Salidas: Ca2 ,H(s)
Figura 2.32: Flujograma del sistema
Cálculo de ∆
- # de bucles: L1 = -K3 . 1/s ; L2 = -K7 . 1/s
∆ = 1 - (L1+L2) + L1L2 = 1 + K3 ⋅ + ⋅ +1 1
77 3
2sK
sK K
s
- bucles que se tocan: NINGUNO
# de caminos directos entre:
- Ca1 y Ca2: P1 = Ks1 01 =F
- F1 y Ca2: P1’ = Ks2 ; P2’ = −K K
s6 51
; P3’ = −K K
s6 4
2
01 =AC Bucles que toca cada trayecto:
- P1 toca a L1 ⇒ ∆1 = 1-L2 = 1 + Ks7
- P1’ toca a L1 ⇒ ∆1’ = 1-L2 = 1 + Ks7
Volumen I 2-57
P2’ toca a L1, L2 ⇒ ∆2’ = 1; P3’ toca a L1, L2 ⇒ ∆3’ = 1
Luego:
T = TCa1 + TF1 (aplicando el teorema de superposición)
- TCa1 =P
Ks
Ks
Ks
Ks
K Ks
K s Ks K s K
1 11 7
3 7 3 72
1 7
7 3
1 1 1
1
⋅=
⋅ ⋅ + ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ + +⋅
=+
+ ⋅ +∆
∆( )
( ) ( )
TCa1 = K
s K1
3+ ⇒
CaCa
T F hRAR
sCa
2
11
1
1= =
+
/ (I)
- T
Ks
Ks
K Ks
K Ks
ss K s K
F1
2 7 5 6 42
2 7 3
1
1=+⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
− −
+ +( )( )
6
. Desarrollando, se llega a:
ThA
Ca Cas R AF1
11= ⋅
− 2+
( )/
(II)
∴ =+
⋅ +−
+⋅Ca F hA
s RA
Ca s hACa Ca
s R AF s2
11
1 2
1
1/ ( )
( )
/( )
• Problema 2.3.9.5:
Supongamos que hemos transformado un sistema de ecuaciones diferenciales y
hemos obtenido:
A.s.X(s) + B.X(s) + C.s.Y(s) + D.Y(s) = U1(s) (1)
E.s2.X(s) + F.s.X(s) + G.s.Y(s) = U2(s) (2)
Donde:
A, B, C, D, E, F, G constantes
U1, U2 son entradas dadas al sistema X(s), Y(s) salidas.
Primero se hace un conteo de las variables que hay en el sistema:
Volumen I 2-58
- Variables: s2.X(s), s.X(s), X(s), s.Y(s), Y(s), U1(s), U2(s),
∴ 7 nodos
- Despejando de cada ecuación el término mayor en s.
s Y s AC
s X s BC
X s DC
Y sC
U s⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 (1)
)(1)()()( 22 sU
EsYs
EGsXs
EFsXs ⋅+⋅⋅−⋅⋅−=⋅ (2)
- Nº de incógnitas: 5 : s2X(s) , sX(s) , X(s) , sY(s) , Y(s)
Nº de ecuaciones auxiliares: 3
{s X s }ss X s⋅ = ⋅ ⋅( ) ( )1 2 (3)
{X s }s
s X s( ) ( )= ⋅ ⋅1
(4)
{Y s }s
s Y s( ) ( )= ⋅ ⋅1
(5)
Figura 2.33: Flujograma del sistema de ecuaciones diferenciales
• Problema 2.3.9.5:
Volumen I 2-59
Se desea calcular ( )
( )E sV s
0 , para el circuito mostrado a continuación:
Figura 2.33: Esquema del circuito RC
Las ecuaciones diferenciales que determinan el sistema son:
R i tC
i t dt v V tt
c⋅ + ⋅ + +∫( ) ( ) ( ) ( )1 00
(1)
VC = Voltaje en el condensador para t = 0
EC
i t dt vc01 0= ⋅ +∫ ( ) ( ) (2)
Escribiendo (1) y (2) en T. L. ( y variables de perturbación)
R I ssC
I s V s⋅ + ⋅ =( ) ( ) ( )1 (1’)
( )E ssC
I s01
= ⋅ ( ) (2’)
De (1’) I sR
V sR C
I ss
( ) ( ) ( )= ⋅ −
⋅⋅
1 1 (3)
De (2’) E sC
I ss0
1( ) ( )= ⋅ (4)
Volumen I 2-60
Figura 2.34: Flujograma del circuito RC
Donde se tiene que:
Variables: V(s), I(s), I(s)/s,
Entradas: V(s)
Salidas: E0(s)
Nodos entrada: ← ; Nodos de salida: ↓ ; Mixtos: ↑,→
Ramas: a, b, f, g
Ganancia de las ramas: a = 1/R ; f = 1/RC
Caminos directos: a-b-g
Problema 2.3.9.6
Se desea hacer el flujograma de un sistema masa-resorte
Figura 2.35: Sistema masa-resorte
Descripción del modelo en función de la velocidad de la masa.
m dvdt
f v K vdt K x F tt
⋅ = − ⋅ − ⋅ − ⋅ +∫0
0( ) ( ) (1)
Volumen I 2-61
En variables de perturbación:
m dvdt
f v K v dt F tt
⋅ = − ⋅ − ⋅ +∫*
* * ( )0
* (2)
Tomando T. L. y despreciando el término mayor en s:
s V s fm
V s Km
V ss m
F s⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⋅( ) ( ) ( ) ( )1 (3)
Señales: sV(s) ; V(s) ; V s
s( )
; F(s) ⇒ 4 nodos
Entrada: F(s) ; Salida: V(s)
Figura 2.36: Flujograma del sistema masa-resorte
Volumen I 2-62