CAPITULO I NOCIONES BÁSICAS DE TOMA DE...
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1 CAPITULO I NOCIONES BÁSICAS DE TOMA DE DECISIONES. Contenido. Introducción. Introducción al Cálculo de Probabilidades. Distribuciones continuas usadas en Finanzas. Variables aleatorias bidimensionales. Casos:1) Caso proceso de jerarquía analítica 2) Caso proyectos con flujos de caja aleatorios 3) Caso proyectos con flujos de caja con comportamiento desconocido. Teoría de la utilidad. Escalas de medición. Formulación de un modelo de toma de decisiones Problemas. Bibliografía INTRODUCCIÓN. Las herramientas de toma de decisiones son muy variadas, el desarrollo de las mismas depende del enfoque que se considere, los primeros enfoques se orientaron a comprender la conducta del consumidor de forma individual como un elector racional, en donde con el concepto de escala ordinal se desarrolló la teoría de las curvas de indiferencias y se incorporó la idea de maximización de la utilidad asumiendo información completa, es decir, conociendo todas las acciones y sus consecuencias. Posteriormente, se incorporó el comportamiento no de un consumidor sino el conjunto de consumidores, que no se podía tratar como una suma de conductas individuales, surgiendo así la teoría del bienestar, donde tiene una vital importancia el óptimo de Pareto sustentado en la utilidad cardinal, este óptimo establece que: un cambio es óptimo si deja a todos tan bien como antes y, mejora la posición de al menos una persona. En estos enfoques no se considera el riesgo en la elección. Otro, es considerar la elección con información imperfecta, en este caso no se conoce el devenir, entonces, se le asigna probabilidades a los resultados de las elecciones tal como jugar una lotería, en este caso se incorpora el concepto de probabilidad y la mejor elección es aquella que maximiza la utilidad esperada. Los enfoques donde se estudia el comportamiento del consumidor y hay información completa, puede extenderse a otros problemas de la economía como él de la formación de los precios o él de producción conjunta, dando lugar al desarrollo de la teoría de juegos no cooperativos y cooperativos además, de la programación matemática como herramientas para el uso óptimo de recursos escasos y por tanto, para la toma de decisiones. El enfoque de asignar probabilidades y algunas formas de soluciones puede extenderse a la decisión bayesiana y a la inferencia estadística y, a la construcción de modelos estocásticos muy aplicados al problema de la volatilidad en el mercado de capitales. Como aplicación de los modelos estocásticos, está el estudio de series temporales que busca descubrir patrones que sirvan para predecir el comportamiento futuro de una o varias variables económicas, surgiendo de esta forma una herramienta útil para la toma de decisiones gerenciales. Otro enfoque, que se aparta definitivamente del clásico, pero no entra en contradicción con él sino que lo complementa, es donde no sólo se considera la decisión de una o un conjunto de personas tratando el problema como un caso de juego o de decisión bajo riesgo o incertidumbre, sino aquel
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CAPITULO I
NOCIONES BÁSICAS DE TOMA DE DECISIONES.
Contenido.
Introducción.
Introducción al Cálculo de Probabilidades.
Distribuciones continuas usadas en Finanzas.
Variables aleatorias bidimensionales.
Casos:1) Caso proceso de jerarquía analítica 2) Caso proyectos con flujos de
caja aleatorios 3) Caso proyectos con flujos de caja con comportamiento
desconocido.
Teoría de la utilidad.
Escalas de medición.
Formulación de un modelo de toma de decisiones
Problemas.
Bibliografía
INTRODUCCIÓN.
Las herramientas de toma de decisiones son muy variadas, el desarrollo de las mismas
depende del enfoque que se considere, los primeros enfoques se orientaron a comprender la
conducta del consumidor de forma individual como un elector racional, en donde con el
concepto de escala ordinal se desarrolló la teoría de las curvas de indiferencias y se
incorporó la idea de maximización de la utilidad asumiendo información completa, es decir,
conociendo todas las acciones y sus consecuencias. Posteriormente, se incorporó el
comportamiento no de un consumidor sino el conjunto de consumidores, que no se podía
tratar como una suma de conductas individuales, surgiendo así la teoría del bienestar, donde
tiene una vital importancia el óptimo de Pareto sustentado en la utilidad cardinal, este
óptimo establece que: un cambio es óptimo si deja a todos tan bien como antes y,
mejora la posición de al menos una persona. En estos enfoques no se considera el riesgo
en la elección. Otro, es considerar la elección con información imperfecta, en este caso no
se conoce el devenir, entonces, se le asigna probabilidades a los resultados de las elecciones
tal como jugar una lotería, en este caso se incorpora el concepto de probabilidad y la mejor
elección es aquella que maximiza la utilidad esperada. Los enfoques donde se estudia el
comportamiento del consumidor y hay información completa, puede extenderse a otros
problemas de la economía como él de la formación de los precios o él de producción
conjunta, dando lugar al desarrollo de la teoría de juegos no cooperativos y cooperativos
además, de la programación matemática como herramientas para el uso óptimo de recursos
escasos y por tanto, para la toma de decisiones. El enfoque de asignar probabilidades y
algunas formas de soluciones puede extenderse a la decisión bayesiana y a la inferencia
estadística y, a la construcción de modelos estocásticos muy aplicados al problema de la
volatilidad en el mercado de capitales. Como aplicación de los modelos estocásticos, está el
estudio de series temporales que busca descubrir patrones que sirvan para predecir el
comportamiento futuro de una o varias variables económicas, surgiendo de esta forma una
herramienta útil para la toma de decisiones gerenciales. Otro enfoque, que se aparta
definitivamente del clásico, pero no entra en contradicción con él sino que lo complementa,
es donde no sólo se considera la decisión de una o un conjunto de personas tratando el
problema como un caso de juego o de decisión bajo riesgo o incertidumbre, sino aquel
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donde se hace énfasis en el conocimiento del entorno y del propio elector bien como
persona o como empresa es lo que podemos llamar decisión estratégica compleja, ella
requiere de nuevos instrumentos que van desde modelos predictivos, análisis estadístico de
datos multivariantes, la simulación e inteligencia artificial. Por el momento, en este
capítulo veremos solo los conceptos básicos necesarios para abordar las diferentes
herramientas de la teoría de la decisión clásica.
Una decisión, en el caso más sencillo, es resolver un dilema que se presenta cuando al
frente tenemos un problema que puede resolverse al considerar dos acciones o estrategias,
cuyos resultados son medidos mediante un índice, este índice lo llamaremos pago. El que
toma la decisión es un ser racional e intencional y su capacidad de actuar depende del grado
de información que posea. Decidir, en general, no es otra cosa que hacer una elección entre
varias opciones que se dan como solución a un determinado problema, y un problema es la
limitación que se presenta para cumplir con una misión previamente deseada. El decisor
tomará una decisión óptima cuando con la acción o acciones seleccionadas arribará al
mejor de todos los pagos. El problema por ejemplo, puede referirse al caso de un gerente de
una empresa que presenta un bajo volumen de ventas, que atenta contra la supervivencia de
la empresa en el mercado. Él puede hacer una lista de acciones que anulen las causas que
producen este bajo volumen de ventas. Una forma de proceder es construir un gráfico causa
efecto que indique las interrelaciones de las causas y el efecto y posteriormente un gráfico
de Pareto que indica la importancia de cada causa y, finalmente definirá el conjunto de
acciones, tal como los mostramos a continuación (Estos gráficos se han obtenido
empleándole software SAS). El primer gráfico es el causa efecto.
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En este ejemplo, se han considerado cuatro grupos de causas del comportamiento de la
venta: costos, calidad de la materia prima, la gerencia y el mercadeo. Cada uno de ellos se
ha dividido en subgrupos. Por ejemplo, el mercadeo se ha considerado dos aspectos: el
desconocimiento de las expectativas de los clientes y la publicidad. La calidad de la materia
prima se asume que depende de los proveedores y la entrega a destiempo que afecta la
calidad de la materia prima. Los costos responden a los altos inventarios y la tecnología
obsoleta que emplea la empresa en el proceso de producción. Finalmente los problemas de
la gerencia se asocian al bajo nivel de los supervisores.
Ahora corresponde definir la importancia de cada uno de ellos, esto puede hacerse
midiendo el costo de oportunidad asociado a cada elemento o dándole un grado de
importancia de acuerdo a una escala.
En nuestro caso se ha empleado una escala del 1 al 20 que indica el grado de importancia
de cada causa.
A continuación presentamos las causas, el código que se le asigna y la puntuación.
CAUSAS CÓDIGO CALIFICACIÓN
Inventario 1 5
Tecnología obsoleta 2 20
Nivel de los supervisores 3 8
Publicidad 4 10
Desconocimiento del cliente 5 18
Proveedores 6 4
Entrega a destiempo 7 3
El gráfico de Pareto es:
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El gráfico de Pareto muestra que la causa más importante es la tecnología obsoleta
representado en el gráfico con el código:2, la segunda es el desconocimiento del cliente
con el código: 5, la tercera es la publicidad con código 4. Estos tres representan el 70% de
todos los pesos.
El conjunto de acciones o estrategias que define el gerente como ente decisor es:
A1: Reestructurar toda la empresa.
A2: Atacar solo las tres causas más importante (Tecnología obsoleta, cliente y publicidad)
que conjuntamente representa el 70% de las causas.
En general, el pago asociado a cada acción depende del ambiente en donde debe tomar la
decisión, este puede ser uno o varios decisores igualmente racionales, que pueden compartir
los mismos intereses o por el contrario ser oponentes. En el caso en que comparten
intereses y pueden comunicarse entre sí llegando a compromisos vinculantes, estaremos
frente a lo que se conoce como juego cooperativo y en el caso que pueden entrar en
conflicto de intereses en juego no cooperativos.
Un ejemplo de la situación de intereses encontrados es lo que se conoce como la guerra de
las colas. En los juegos cooperativos hay un caso muy conocido: el problema de la tríada;
supóngase que el mercado de un determinado producto está repartido en tres empresas. La
empresa A tiene el 42% del mercado, B el 30% y C el 28%. Entonces, se pregunta por
ejemplo si C decide aliarse con una de las dos empresas para mejorar su situación en el
mercado ¿Cuál elegiría?
Pero también, el ambiente puede ser un conjunto de factores externos (políticos,
económicos, sociales, naturales, etc.) a los cuales no se les puede suponer racionalidad e
intencionalidad expresa. En éste último caso se habla de la naturaleza.
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Supongamos que una empresa quiere invertir en un país en un futuro próximo. La empresa
puede formular varios escenarios cada uno es tal, que describe la situación política,
económica, jurídica y social con diferentes atributos. Un escenario puede describirse como:
un país con alta inestabilidad política, bajo desenvolvimiento económico, inseguridad
jurídica y graves problemas sociales; esta descripción corresponde a un escenario pesimista,
puede definir un segundo o en general varios escenarios con la condición que sean
excluyentes. Cada escenario es un estado de la naturaleza sobre el cual no se tiene ningún
control. La empresa puede hacer una lista de posibles acciones y asociar a cada par de
acción-estado de la naturaleza un pago estimado.
Existen dos formas de abordar el asunto de la toma de decisiones. La primera forma es
estudiar la manera como las personas suelen tomar decisiones y la otra de cómo deberían
tomarla. La primera, se basa en realizar ciertos tipos de experimentos con los que se tratan
de encontrar algún patrón de comportamiento y, en este caso estamos frente a un enfoque
descriptivo de la toma de decisiones. En el otro caso, consiste en elaborar un conjunto de
supuestos y con estos se dan pautas de cómo debe ser la conducta de aquel que toma la
decisión siempre considerando que es un ser racional e intencional, aunque tenga
limitaciones de información, este es el enfoque normativo.
Nosotros solamente tomaremos el último caso para desarrollar las herramientas de la toma
de decisiones.
El que toma la decisión tiene un grado de información sobre el ambiente. Esta información
puede ser veraz y completa que de acuerdo a la acción seleccionada dará un resultado
conocido perfectamente predecible. La selección de la acción la puede hacer aplicando un
modelo que recoge esta información y al resolverlo le indique la existencia de una solución
óptima. Un modelo construido con información completa que permite predecir lo que
ocurre con exactitud se llama un modelo determinístico. Casos de estos modelos son los de
programación lineal, modelos de inventarios con demanda y costos conocidos etc.
Puede ocurrir, que la información que se posee es veraz pero incompleta, hay un conjunto
de elementos que hace que el comportamiento del ambiente sea irregular. El resultado de la
selección de la acción está condicionado al azar. Los modelos que se construyen en este
caso son de naturaleza probabilística. Ejemplo de este caso es la selección entre varias
inversiones donde los flujos de caja de cada opción tienen un comportamiento aleatorio.
Finalmente, puede ocurrir que no poseemos ninguna información. Esto puede darse porque
el fenómeno es completamente nuevo o el fenómeno es altamente complejo que hace
imposible predecir el comportamiento final. No es fácil definir lo que es complejo, pero
tentativamente consideremos que el número de elementos que son necesarios para
describirlo es sumamente grande y además es casi imposible conocer todas las
interrelaciones existentes entre ellos, bajo esta situación, solo tenemos un conjunto de
criterios a escoger, la complejidad se da más por existir relaciones entre los componentes
del sistemas encubiertas que por el número de variables. En cuanto a las acciones o
estrategias, no existe un algoritmo que nos permita definir una lista de las mismas. Solo
podemos establecer algunas reglas que nos ayudan, siempre suponiendo la racionalidad, sin
que con ello se descarte la intuición, que aunque muchos no la acepten es otra forma de
conocer el ambiente. La definición de una estrategia está relacionada con el nivel de
información que se posee del ambiente. En general una estrategia es un conjunto de pasos
para lograr un fin determinado dentro de un ambiente del cual se tiene algún grado de
información.
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El número de estrategia puede ser finito o infinito, este último es el caso de los juegos de
persecución (misil versus avión, ambos se mueven en un espacio continuo
tetradimensional).
Ejemplo 1.
Retomemos el ejemplo inicial, del gerente de una empresa que tiene un bajo volumen de
ventas, llamemos a este gerente Juan. Como se recordará, él puede elegir entre reestructurar
toda la empresa o ocuparse de las causas más importantes. Ahora, supongamos que está en
un mercado duopólico donde la otra empresa está pasando por una situación similar y, tiene
dos estrategias cambiar de producto, es decir, abandonar el mercado, o invertir en nueva
tecnología sin cambiar de producto. Llamemos al gerente de esta empresa Pedro.
La lista de estrategias de Juan es:
A1: Reestructurar toda la empresa.
A2: Atacar solo las tres causas más importante.
La lista de estrategias de Pedro es:
B1: Cambiar de producto.
B2: Invertir en nueva tecnología.
El pago o la recompensa está dado por la participación en el mercado, como es un duopolio
lo que gana uno lo pierde el otro, por tanto basta indicar el pago de uno de ellos en
porcentaje de participación en el mercado. Tomaremos el pago asociado a Juan y
construyamos una matriz que refleje este pago:
Juan/Pedro B1 Abandonar B2 Cambiar de tecnología
A1 (Reestructurar) 100% 70%
A2 (Atacar más importante) 100% 50%
Lo primero que debemos tomar en cuenta es que lo que haga Juan afecta a Pedro y, lo que
haga Pedro afecta a Juan. Ambos tienen información completa y veraz de lo que ocurre en
el mercado y además, ambos conocen los resultados del conjunto de elecciones. Este es un
típico caso de juego con intereses opuestos o no cooperativo. Como se puede ver, la mejor
estrategia de Juan es elegir la reestructuración de la empresa independientemente de la
selección de Pedro, porque corresponde en todos los casos a los porcentajes más altos de
participación en el mercado, lo mínimo que se garantiza con esta estrategia es el 70% del
mercado. Mientras la otra estrategia lo mínimo que le garantiza es el 50%. Por tanto, para
su conjunto de estrategias:
21, AAE tiene asociado un conjunto de pagos mínimos %50%,70P . Como
70%>50% entonces: la estrategia de seleccionar A1 es preferida a A2.
Lo dicho en el ejemplo, podemos generalizarlo como sigue, consideremos los siguientes
conjuntos:
neeeE ..., 21
)()...(),( 21 nepepepP
Donde E es el conjunto formado por un número finito de estrategias y P los pagos
asociados a las mismas. En el caso en donde el número de estrategias es infinito el decisor
puede definir sus estrategias por ejemplo en intervalos del tiempo o espacios.
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Dentro del conjunto de estrategias puede definirse una relación de orden de acuerdo al pago
esperado. Cuando una estrategia es preferida a otra se dice que ésta domina a aquella.
Si la relación de orden sobre P es: que se lee ¨ preferible o indiferente a¨, o la relación
de orden en sentido estricto > que se lee ¨ preferible a ¨.
Si
)(...)()( 21 nepepep
Entonces, se verifica la relación de orden en E:
neee ...21
En este caso 1e es preferible a 2e y 2e es preferible a 3e , si la relación de orden es de
sentido estricto, entonces se dice que 1e domina a 2e y 2e domina a 3e etc.
Definamos ahora, una estrategia que está dada como combinación de otras dos:
kj eee )1(* kj 10
Si es cero o uno *e es una estrategia pura, si )1,0( es una estrategia mixta. Toda
estrategia mixta que no es dominada por otra se llama estrategia admisible.
La función de pago no siempre es fácil definirla. En ocasiones está dada en valor monetario
en otra en forma de utilidad. Sobre esto último se ha desarrollado toda una teoría que se
llama teoría de la utilidad que veremos brevemente en el punto IV.
Ahora, haremos un breve repaso del cálculo de probabilidades, cuyos conceptos son
necesarios para comprender los puntos que se desarrollan es este libro.
II.-INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES.
Como hemos indicado, hay situaciones en las cuales no se posee información completa y
perfecta sobre el comportamiento de lo que hemos llamado ambiente. Este comportamiento
varía independientemente que pensemos que se han mantenido las mismas condiciones,
presentando irregularidades en sus resultados. Esto se explica, porque hay un gran número
de factores no observables y por tanto no medibles que actúan sobre el comportamiento del
ambiente que hacen que se presenten estas irregularidades, entonces se dice que está
interviniendo el azar. Los fenómenos o experimentos afectados por el azar lo llamamos
fenómenos o experimentos aleatorios. La pregunta es ¿Hay alguna ley que regule a estos
fenómenos?. El célebre matemático Emil Borel (1971) da una repuesta a esta pregunta:
¨Parece evidente que la repuesta debería ser negativa, ya que precisamente el azar se define
como característica de los fenómenos que no tienen ley, fenómenos cuyas causas son
demasiados complejas como para que podamos preverlas. Sin embargo, las matemáticas a
partir de Pascal, Galileo y muchos otros pensadores eminentes, han establecido una ciencia,
el cálculo de probabilidades, cuyo objeto ha sido generalmente definido como el estudio de
las leyes del azar¨. Podemos por tanto decir que el cálculo de probabilidades es la
matemática del azar. Modernamente se ha ampliado el concepto al considerar la teoría de
probabilidades, como otra rama de la matemática tal como la geometría, con su cuerpo
axiomático.
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Hay varias formas de definir la probabilidad, unos la definen como un grado de creencia,
otros como cantidad de información, nosotros tomaremos la axiomática de Kolmogorov
como referencia sin entrar en refinamientos matemáticos.
Empecemos diciendo que a todo fenómeno aleatorio está asociado un conjunto formado por
todos los resultados posibles de este fenómeno que llamamos espacio muestral y que
designaremos por E . El conjunto de todos los conjuntos que se pueden formar con los
elementos del conjunto E , incluyéndolo a él, las uniones y complementos que se pueden
formar con estos conjuntos y el conjunto vacío lo designaremos por . Consideremos
ahora, un conjunto cualquiera A de , al número )(AP lo llamaremos probabilidad de A
si cumple:
1.- 0)( AP
2.- 1)( EP
3.-Si A y B son dos conjuntos de y BA entonces: )()()( BPAPBAP
En general:
)()(11
i
i
i
i APAP . Si los conjuntos son disjuntos entre ellos.
Al concepto de probabilidad está ligado el concepto de variable aleatoria. Dado un
fenómeno o experimento aleatorio, se llama variable aleatoria a una función que asigna a
cada elemento del espacio muestral uno y solamente un número real. Esto es Es :
RsX )(
Es importante destacar que a diferencia de lo que en matemática se conoce como función,
aquí la inversa no está definida en E sino en .
Por otra parte, )(sX toma estos valores con una determinada ley de probabilidad. Esta ley
indica cual es la probabilidad que la variable )(sX toma valores discretos o todos los
valores de un intervalo.
Entonces, las variables aleatorias pueden clasificarse de acuerdo a que tomen como valor
un número finito o infinito numerable, o tomen sus valores en todo un intervalo real o,
combine ambos casos. Cuando toma un número finito o infinito numerable de valores
enteros, decimos que la variable es discreta; en un intervalo decimos que es continua y,
mixta cuando puede tomar valores discretos y continuos.
De estas tres variables nos referimos primeramente a las variables aleatorias discretas.
Formalmente, )(sX que denotaremos por X es una variable aleatoria discreta que toma los
valores: ......., 21 jxxx
Entonces:
1.- 0);();( 11 xPxXP
2.- );();();( 1
1
i
k
i
k xFxPxXP
3.- 1);(1
i
ixP
9
),( ixP se llama función de probabilidad puntual, porque da la probabilidad de que la
variable aleatoria tome un valor x particular; }...,{ 21 k es el conjunto de parámetros
asociados a la ley de probabilidad. ),( ixXP es la función de probabilidad acumulada,
conocida también como función de distribución, indica la probabilidad de que la variable
aleatoria X tome todos los valores hasta el valor ix incluido.
El último sumando es la probabilidad de que tome todos y cada uno de los valores, por
tanto esta suma es igual a la unidad. Para simplificar la notación obviaremos los
parámetros.
Una forma de caracterizar una variable aleatoria es a través de sus momentos. Estos se
pueden definir partiendo de una función de X tal como )(Xg . Llamamos momento de
orden n a
)()(...)()(...)()()()())((1
2211 i
n
i
ij
n
j
nnn xPxgxPxgxPxgxPxgXgE
E es un operador que se lee: ¨ esperanza matemática de…¨.
Hay dos casos particulares que nos interesan, el primero es cuando 1n y XXg )( y se
llama simplemente esperanza de X, la cual se interpreta como centro de gravedad de la
masa de puntos y su expresión es:
)(..)(...)()()(1
2211 i
i
inn xPxxPxxPxxPxXE
Si nos acordamos de la media aritmética para datos estadísticos encontramos una relación
entre los dos conceptos, basta expresar la media aritmética en función de las frecuencias
relativas if y considerar que estas frecuencias son estimadores de los valores )( ixP :
nni fxfxfxM ...221
Donde f = (número que se repite xi)/(el número total de observaciones)0 y 1 if .
El segundo caso que nos interesa es cuando 2n y )()( XEXXg , entonces tenemos
el segundo momento de inercia que mide la esperanza de los cuadrados de las distancias
entre los puntos y el centro de gravedad. Mientras más concentrados estén estos puntos
alrededor de )(XE menor dispersión tienen los datos, dicho de otra manera, más
homogéneos son y por tanto menor será este momento. Este caso se llama varianza de la
variable aleatoria X . Su expresión es:
)())(())(()( 2
1
2
i
i
i xPXExXEXEXVAR
Como se ve su interpretación es semejante a la varianza de un conjunto de datos, la cual es
el promedio de los cuadrados de los desvíos con respecto a la media aritmética.
Ejemplo 2:
Supongamos que tenemos una variable aleatoria que toma los valores 1,2,3,4,5,6 con
probabilidad de 1/6 cada uno. Esta variable se dice que se distribuye como una variable
discreta uniforme. La probabilidad que toma cualquier valor x entre 1 y 6 es:P(X=x)=1/6, la
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probabilidad de que tome a lo sumo cuatro valores es;P(X4)= P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+
P(X=4)=2/3.
El valor esperado es:
E(X)=1x1/6+2x1/6+3x1/6+4x1/6+5x1/6+6x1/6=3,5
La varianza es:
VAR(X)=(1-3,5) 2
x1/6+(2-3,5) 2
x1/6+(3-3,5) 2
x1/6+(4-3,5) 2
x1/6+(5-3,5) 2x1/6+
(6-3,5) 2
x1/6=96,25
Otros casos de variables discretas son: la binomial, Poisson, uniforme discreta cuyas
funciones de probabilidad puntual son:
Binomial: xnx ppx
npnxXP
)1(),,(
Poisson: !/exp);( xxXP x
Uniforme discreta: nnxXP /1):(
La primera distribución tiene como parámetros n y p y se escribe ).;( pnxB la segunda tiene
como parámetro y se escribe );( xP . Estas tres distribuciones se verán con más
detenimiento en el capítulo IX de simulación.
En el caso de una variable continua, la cual puede tomar cualquier valor en un intervalo real
cumple con:
1.- 0);( 1 xf ; función de densidad
2.- );();();( 1 i
x
i xFdxxfxXP ; función de distribución
3.- 1);();( 1
dxxfXP i
El valor esperado y la varianza es cada caso:
dxxxfXE );()(
dxxfXExXVAR );())(()( 2
Entre estas variables aleatorias continuas están: la distribución normal, la exponencial, la
beta , gamma, chi cuadrado , la triangular etc.
II a.-Distribuciones continuas empleadas en finanzas.
Dado un fenómeno tal, que asumimos que su comportamiento obedece a un gran número de
factores que actúan independientemente y de forma aditiva y, además, cada factor por
separado su efecto es casi nulo, podemos presumir que este fenómeno queda bien
representado por una variable aleatoria X que se distribuye como una normal de media
y desviación estándar: , es importante poseer un buen número de observaciones,
preferiblemente mayor que treinta para poder evaluar esta presunción, cuando se tienen
datos. Su notación es ),( N . El modelo matemático es:
11
Si se define el cambio de variable z=(x-)/, entonces obtenemos la normal reducida o
N(0,1)
Otras distribuciones muy empleadas en finanzas son la beta y la triangular. Estas se
emplean cuando se definen tres escenarios: pesimista, más probable y optimista. Un caso es
donde un determinado proyecto, los flujos de caja futuros se clasifiquen en uno de estos
escenarios previamente establecidos.
222
2
2
2
/)2/1(exp2/1
/)2/1(exp2/1
/)2/1(exp2/1
/)2/1(exp2/1,,
x
x
x
X
dxxxXVAR
dxxxXE
dxxxXP
xxf
222
2
2
2
1)2/1(exp2/1
0)2/1(exp2/1
)2/1(exp2/1
)2/1(exp2/11,0,
dxzzZVAR
dxzzZE
dxzzZP
zzf
z
Z
12
La distribución beta es:
El modelo matemático de la distribución triangular (Andrés Suárez Suárez (1991)) es:
La media y varianza es:
Ejemplo 3.
Supongamos que se tiene un proyecto con un horizonte económico de siete períodos. Se ha
considerado tres escenarios que afectan los flujos futuros de caja del proyecto. Estos
escenarios se han clasificado como pesimistas, medio o más probables y, optimistas.
Los datos de los flujos de caja pueden presentarse por ejemplo mediante la siguiente tabla,
en donde, la primera columna se refiere a los períodos y, las siguientes a los escenarios.
Período Pesimista Medio Optimista
36/
6/4
,/1
/
1...321
/,
),(/,;
2
11
111
acXVAR
cbaXE
qpByyyf
acaXY
Si
nnnn
qpqpqpB
cxa
paraacqpBxcaxqpxf
qp
Y
qpqp
X
cxb
accbcxxf
bxa
acabaxxf
ax
xf
x
x
x
/2
/2
0
18/
3/
2bcabacXVAR
cbaxE
13
1 12 16 20
2 10 12 15
3 23 24 34
4 12 18 20
5 14 16 20
6 18 20 22
7 17 22 30
En cada período se asume que el flujo correspondiente es una variable aleatoria con una
distribución beta o una distribución triangular. Se ha obtenido, con fines prácticos las
medias y las varianzas aproximadas de estas distribuciones. Se considera entonces, que a
corresponde al valor de la variable en un escenario pesimista, b o modo es el valor de la
variable en el escenario más probable y finalmente c al escenario optimista. En el caso que
nos ocupa, podemos ilustrar lo dicho asumiendo que los flujos de caja tienen una
distribución beta, entonces, el flujo de cajas esperado en el primer período es:
E(x)=(a+4b+c)/6=(12+4x16+20)/6=16 y la varianza es Var(x)=(c-a)2/36=(20-12)
2/36=1,77
De la misma forma puede obtenerse las medias y varianzas para los períodos siguientes.
II b.-Variables aleatorias bidimensionales.
Finalmente, el último tópico que nos interesa de la teoría de probabilidad, es el de variable
aleatoria bidimensional que se define como: dado un fenómeno o experimento aleatorio, se
llama variable aleatoria bidimensional a dos funciones X e Y que asigna a cada elemento
del espacio muestral uno y solamente un número real. Esto es Es : RsX )( y
RsY )( Y(s)R y se escribe: ),( YX .
En el caso de variables discretas tenemos:
1.- 0);,();,();,( jiii yxPyYxXPYXP
2.- );,();,();,(1 1
YXFyxPyYxXP j
k
i
l
j
iii
3.- 1);,(1 1
i j
ji yxP
);,( YXP se llama función de probabilidad puntual conjunta. Si las dos variables
aleatorias son independientes, esto es, conocida la probabilidad de que una de ella tome un
valor cualquiera, este conocimiento no afecta la probabilidad de la otra en ningún caso,
entonces:
);(),();,( ii yYPxXPYXP
);( ixXP y );( iyYP se llaman funciones de probabilidad marginales de las
variables X e Y respectivamente. Si la ocurrencia de un valor de una de la variable
modifica la probabilidad de ocurrencia de la otra ya no son independientes. Si la ocurrencia
ixX modifica la probabilidad );( iyYP , esto es condiciona a );( iyYP entonces
se habla de probabilidad condicional de Y dado un valor de X y se escribe:
);( ii xXyYP , por tanto :
14
);(),();,( iii xXyYPxXPYXP
Ejemplo 4:
Consideremos que se tiene un registro de dos variables aleatorias tal como se muestra a
continuación:
X Y 1 2 3 4 5 6
1 10 5 5 1 5 5
2 10 5 5 4 4 6
3 5 0 5 2 0 5
4 5 5 0 3 5 0
La variable X toma los valores 1,2,3,4 y las variables Y los valores 1,2,3,4,5,6.
Supongamos que se observan 100 realizaciones de (X,Y). Las celdas indican las veces que
repiten los valores de las variables, por ejemplo para X=1 y Y=1 hay 10 observaciones. El
número total de observaciones es 100. Si se usa la frecuencia relativa como una estimación
de la probabilidad entonces P*(X=1,Y=1)=10/100=0,1. la probabilidad condicional de X=1
dado que Y=1, esto es, P*(X=1/Y=1)=10/30, la probabilidad de Y=1, P*(Y=1)=30/100. La
función de probabilidad marginal de Y es P*(Y=y), y para los valores de Y=1, 2,3,4,5,6 se
obtiene :
(30/100,15/100,15/100,10/100;14/100,16/100)=(0,3;0,15:0,15;0,1:0,14;0,16)
Con las variables aleatorias YX , se pueden definir la suma, el producto y la división.
Tomaremos el caso de la suma:
YXZ La esperanza es:
)()()()( YEXEYXEZE
En general, tanto para variables continuas como discretas, si se tiene n variables aleatorias
nXXX ..., 21 , la suma es:
nXXXZ ...21
Por tanto la esperanza de la suma es:
)()...()(1
21
n
i
in XEXXXEZE
Si las variables que se están sumando son independientes, entonces la varianza es:
)()()()( YVARXVARYXVARZVAR
En general, tanto para variables continuas como discretas independientes, la varianza de la
suma es:
)()...()(1
21
n
i
in XVARXXXVARZVAR
Si las variables que se están sumando no son independiente se demuestra que :
),(2)()()()( YXCOVYVARXVARYXVARZVAR
15
Donde ))())((((),( YEYXEXEYXCOV , el cual representa la variación conjunta de
las variables YX , , este valor por tanto puede ser positivo, nulo o negativo. Si el valor es
positivo indica que las dos variables van en el mismo sentido, ambas creciendo o ambas
decreciendo, si es negativo entonces, van en sentido opuesto.
En general tendremos:
),(2)(
),()()..()(
1 11
1
21
j
n
i
i
n
ij
n
i
i
j
n
ji
i
n
i
in
XXOVCXVAR
XXCOVXVARXXXVARZVAR
La relación 2/1)()(/),(),( jijiji XVARXVARXXCOVXX se llama coeficiente de
correlación, y geométricamente es el coseno del ángulo formado por ji XX , y por tanto
varía entre menos uno y más uno. Cuando la relación lineal es perfecta toma los valores
extremos. Cuando ambas variables crecen o decrecen en el mismo sentido entonces la
correlación es positiva, en caso contrario si una crece y la otra decrece la correlación es
negativa.
Si las variables ji XX , son independientes entonces, 0),( ji XX , el recíproco, en
general no es cierto. Si 0),( ji XX , entonces ji XX , no están correlacionadas.
Finalmente, consideremos la variable Z como una combinación lineal de n variables
aleatorias:
nn XaXaXaZ ...2211
Entonces:
)()...()(1
2211 i
n
i
inn XEaXaXaXaEZE
),()()...()(1
2
2211 ji
n
ji
jii
n
i
inn XXCOVaaXVARaXaXaXaVARZVAR
Esta última propiedad se va a emplear con bastante frecuencia en diferentes modelos
financieros. Por ejemplo, en la selección de cartera, las variables iX representan los
rendimientos de los títulos y las aes la proporción que se quiere invertir en cada título. Por
tanto Z representa la composición de la cartera. Las esperanzas )( iXE representan los
rendimientos esperados de los títulos y )(ZE de la cartera. Las varianzas )( iXVAR
representan los riesgos de los títulos y )(ZVAR el riesgo de la cartera. Los términos:
),( jiji XXCOVaa pueden sustituirse por 2/1)()(),( jijiji XVARXVARXXaa A
continuación presentamos tres casos de toma de decisiones, el primero corresponde a un
artículo escrito por el autor titulado Consideraciones Teóricas y Praxis del Proceso de
Jerarquía Analítica en la Toma de Decisiones para el Cuaderno de Postgrado de FACES-
UCV, donde se describe un método heurístico para resolver problemas con cierto grado de
complejidad, el segundo es un ejercicio de selección de varios proyectos con flujos de caja
16
aleatorios donde se asume que se conoce las leyes de probabilidad que los rige y, el tercero
es también un ejercicio parecido al segundo pero sin ningún conocimiento sobre la ley de
probabilidad de los posibles eventos.
III.-CASO: PROCESO DE JERARQUÍA ANALÍTICA.
La técnica que a continuación comentamos fue desarrollada por el matemático T. M. Saaty
durante los primeros años de la década de los ochenta. Su aplicación es tan amplia que
discurre desde complejos problemas de política internacional hasta selección de un
software o de una cartera de inversión. Este trabajo es el resultado de algunas aplicaciones
realizadas en Venezuela por el suscrito, mostrando al final de este punto las dificultades y
limitaciones de la herramienta en diferentes situaciones. El método resulta sencillo cuando
hay un solo árbitro y pocos atributos, pero cuando estos atributos se ramifican en varios
niveles y hay más de un decisor su aplicación presenta varios problemas. El caso se divide
en los siguientes puntos, en primer lugar se desarrolla el método, posteriormente se
presenta una propuesta donde se establece la relación que hay entre la teoría de la
información y el problema de consistencia del método, en seguida se plantea unos
comentarios generales productos de la experiencia.
1.- El método.
El proceso de jerarquía analítica (P.J.A) es un método que permite consolidar las opiniones
de uno o varios expertos cuando se está en la disyuntiva de escoger entre varias opciones,
que no son fáciles de evaluar por el gran número de categorías implícitas. Para ello se
definen diferentes niveles. En el primer nivel está la definición del problema, en el segundo
están los atributos en su expresión más alta. Cada uno de estos atributos se subdivide en
sub-atributos definiendo un nuevo nivel. Esta operación de definir niveles se efectúa tantas
veces como sea necesario dando origen a lo que Saaty(2001) llama una jerarquía funcional
si el sistema bajo estudio es descompuesto en partes considerando sus relaciones esenciales
o jerarquía estructural si el sistema se descompone en orden descendente de acuerdo a sus
propiedades estructurales tales como el tamaño, color etc. El tipo de jerarquía que
emplearemos es la funcional. Partiendo de esta forma jerárquica, si no hay información
previa de los atributos a un nivel o solo se tiene de algunos de ellos que permitan hacer
comparaciones, se construyen sucesivas matrices, que permiten realizar comparaciones
pareadas y, mediante el uso de auto vectores y auto valores pueden determinarse cuál es el
orden de importancia de cada atributo en los diferentes niveles.
El Proceso de Jerarquía Analítica también conocido como Método Analítico de Jerarquía
dará lugar a un árbol cuya forma general es:
Nivel l
Objeto general
del proceso de
decisión
17
Nivel 2.
Nivel 3
Nivel k
Se puede observar que en el último nivel están las opciones o alternativas.
Ahora veremos un ejemplo que servirá para explicar el método en cada uno de los pasos.
Ejemplo 4.
Supongamos, que una empresa desea adquirir una nueva maquinaria tomando en cuenta
tres cualidades o categorías: a) tecnología b) costo y c) vida útil. Hay tres maquinarias
candidatas a ser seleccionadas de acuerdo a estos atributos. El problema se presenta en
forma de un árbol como sigue: el primer nivel, representado por la primera casilla es el
problema que consiste en la selección de una maquinaria de acuerdo a los atributos. Esta
casilla está conectada con las tres correspondientes al segundo nivel que indica las
cualidades y finalmente, cada una de estas cualidades está conectada con cada una de las
marcas de las maquinarias.
Atributo
1
Atributo
2
Atributo 3
Atribut
oo4oo 4
Atributo n
Sub-
Atribut
o 1
Sub-
Atribut
o
2
Sub-
Atribut
o
3
Alterna-
tiva de
de-
cisión 1
Sub-
Atributo
1
Sub-
Atributo
2
Alterna-
tiva de
de-
cisión 2
Alterna-
tiva de
de-
cisión 3
Alterna-
tiva de
de-
cisión 4
18
El siguiente paso, consiste en la determinación de los pesos para clasificar las alternativas
de decisión, esto puede hacerse mediante matrices de comparaciones pareadas.
Si se tiene en forma general, n criterios en una jerarquía cualquiera, entonces necesitamos
una matriz de comparación nxn. Cada uno de estos criterios pueden subdividirse en mi
criterios, dando origen a matrices mi x mi, y así sucesivamente. En cuanto al último nivel la
información requerida de las opciones debe corresponder a las que se poseen del nivel
inmediatamente anterior.
Supongamos que en un nivel cualquiera se están comparando tres atributos independientes
entre sí que llamaremos A, B y C; la matriz de comparación pareada es:
ATRIBUTOS A B C
A 1
B 1
C 1
Una característica de esta matriz cuadrada es que la diagonal principal es una constante
igual a 1 porque la comparación entre un mismo atributo es indiferente.
Para continuar la comparación debemos tener presente los siguientes aspectos:
1.-Hay que estar seguro que por la naturaleza de los atributos estos son independientes, la
presencia de uno no condiciona para nada la de otro.
2.-Los valores que se asigna a las comparaciones deben cumplir con:
2.a Siempre es: AA . Por tanto el número que se le asigna es uno.
Nivel 1
Selección
Productos
Nivel 2-a
Pa=0,75
Nivel 2-c
Pc=0,19
Maquinaria 1 Q1a=0;3
Q1b=0;1
Q1c=0;5
Maquinaria 2
Q2a=0;5
Q2b=0;5
Q2c=0;1
Nivel 2-b
Pb=0,06
Maquinaria 3
Q3a=0;2
Q3b=0;4
Q3c=0;4
19
2.b Si BA , esto es, A es preferido a B y se le asigna el valor k, al hacer la
comparación B con A se cumple AB y por tanto el valor asignado es 1/k.
2. c. Si CBA , entonces CA , por tanto si BA se le asignó k y CB se le
asignó g, a CA se le asignará un número ),max( gkm .
2 .d Si A es indiferente a B, esto es A es igualmente preferido a B: BA entonces, AB
y el valor que se asigna es uno.
2.e Si BA y CB entonces CA y el valor que se le asigna a C es el mismo que el
asignado a BA .
Sea ija el elemento de la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz cuadrada Anxn (en
donde su lectura por fila o por columna se asocia a los n atributos) el cual puede tomar los
valores enteros entre 1 y 9, en donde 1ija , indica que tanto el atributo i como el atributo j
son igualmente importantes, 3ija refleja que el atributo i es algo importante que el
atributo j, 5ija indica que el atributo i es más importante que el atributo j, 7ija indica
que el atributo i es mucho más importante que el atributo j, 9ija es el caso extremo
donde el atributo i es extremadamente mucho mas importante que j. De esto se desprende
que si kaij ka ji /1 . Se puede emplear los números 2,4,6 y 8 como puntos intermedios
entre los descritos.
Una vez asignado los valores de la matriz de comparaciones pareadas, el problema es
encontrar la solución a la siguiente ecuación:
0 xAx
En donde A es la matriz de comparaciones pareadas, x es un vector fila , 0 es el vector
nulo y es un valor real. Esta ecuación tiene solución distinta a la trivial si y solo si el determinante cumple con:
0 xAx . Al resolver el determinante se obtendrá un polinomio en λ. En efecto:
)( fxAx
Como el determinante debe ser nulo, entonces: 0)( f . Las raíces de )(f se denominan
raíces características o autovalores y los vectores asociados a estas raíces se llaman
vectores característicos o autovectores. Hay diferentes métodos de cálculo que permiten
obtener tanto las raíces como los vectores.
Si la matriz de comparaciones se ha construido tomando en cuenta lo propuesto en los
puntos 1 y 2 entonces la matriz de comparación, es perfectamente consistente. Si este es el
caso, entonces se podrá construir una nueva matriz P partiendo de ésta, tal que la suma de
los componentes de cada vector columna suma uno, esto es:
ijpP ,
n
i
ijijij aap1
/ ni ,..2,1 ; nj ,..2,1
Los componentes del autovector se obtiene como los promedios de cada columna, esto si
ix es el componente i-ésimo del autovector x entonces:
n
j
iji px1
Ejemplo 5.
Considerando el ejemplo anterior, supongamos que la gerencia ha decidido dar la siguiente
ponderación a cada categoría como construyendo la siguiente matriz de comparaciones: MATRIZ A
20
Tecnología Costo Vida Útil
Tecnología 1 9 7
Costo 0,11111111 1 0,2
Vida Útil 0,14285714 5 1
SUMA 1,25396825 15 8,2
A continuación construimos la matriz P que consiste en dividir los elementos de cada
columna por la suma correspondiente:
n
i
ijij aa1
/ :
MATRIZ P
Tecnología 0,80 0,60 0,85
Costo 0,09 0,07 0,02
Vida Ütil 0,11 0,33 0,12
SUMA 1 1 1
Luego calculamos el autovector cuyos elementos son
n
j
iji px1
.
AUTOVECTOR
0,75
0,06
0,19
1
Del vector anterior concluimos que la tecnología tiene un peso de 0,75; el costo 0,06 y
finalmente la vida útil 0,19.
Para obtener el autovalor, en primer lugar se multiplica la matriz original A por el
autovector obteniéndose un nuevo vector: 2,61752255
0,18121048
0,59637356
Cada elemento de este vector se divide entre cada elemento del autovalor y luego se suman
y se divide entre el número de sumandos. El resultado es el primer autovalor de la matriz A
esto es: (2,6175/0,75+0,1812/0,06+0,5963/0,19)/3=3,219
Si la matriz A es consistente entonces el primer valor característico es igual al número de
atributos o criterios que se están evaluando.
Generalmente, no se puede garantizar la consistencia de una matriz la primera vez que se
trabaja, por tanto hay que estudiar la consistencia de la matriz de comparación, que en
forma general se plantea así: se calcula el índice de consistencia de A dado por:
)1/()( nnIC , el índice de consistencia aleatorio dado por: nnICA /)1(98,1 y la
razón de consistencia que está dada por: )2)(1(98,1/)( nnnn , si esta razón es menor
que 0,1, el nivel de inconsistencia es, según Saaty muy aceptable. Para una matriz de
comparaciones de orden 3x3 una buena consistencia está alrededor de 5% , para una tabla
4x4 alrededor del 9%.
Si las matrices son consistentes, se pasa al ordenamiento de las variables o categorías según
el valor del elemento que le corresponde en el auto valor en cada nivel.
21
En nuestro ejemplo, al realizar las operaciones apropiadas para el segundo nivel se
encuentra que el índice de consistencia es 0,1095; el índice de consistencia aleatorio es
1,32, por tanto la razón de consistencia es 0,083, luego el nivel de consistencia es aceptable.
En general, este procedimiento se repite en cada nivel siempre que no se posea datos.
Ahora consideremos el tercer nivel donde están como opciones las tres máquinas de las
cuales se obtienen las ponderaciones de cada cualidad según información suministrada por
los vendedores.
MAQUINARIAS
1 2 3
Tecnología 0,3 0,5 0,2
Costo 0,1 0,5 0,4
Vida Útil 0,5 0,1 0,4
Este cuadro quiere decir que al comparar la tecnología entre las tres máquinas la segunda
tiene el mayor peso que es 0,5, la maquina dos tiene un peso en esta cualidad de 0,3 y
finalmente la maquina tres de 0,2. Igual ocurre con las otras dos categorías.
Para evaluar cada maquinaria, ponderamos el peso que tiene cada una de las categorías por
el peso correspondiente del nivel superior, obteniendo el peso de cada maquinaria:
M1=0,3x0,75+0,1x0,06+0,5x0,19=0,32597
M2=0,5x0,75+0,5x0,06+0,4x0,19=0,42411
M3=0,2x0,75+0,4x0,06+0,4x0,19=0,24992
En este caso el mejor es la segunda maquinaria.
Cuando se tiene un solo evaluador y un solo nivel de comparación con pocos atributos el
problema se resuelve sin ninguna dificultad, de hecho se puede emplear el Excel sin
recurrir a algún software especializado. Difícilmente, un evaluador frente a matrices de
orden menor a cuatro tendrá mayores problemas para obtener matrices consistentes, el
problema surge cuando hay varios niveles con matrices de orden superior a tres.
Cuando existen varios niveles es necesario estudiar la consistencia global, no solamente la
consistencia en cada nivel. Para estudiar la consistencia global partimos como sigue:
ICG=IC del segundo nivel + (autovector del segundo nivel)x( vector de IC del tercer
nivel)+(autovector del tercer nivel)x(vector de IC del cuarto nivel)+….+(autovector del
nivel k-1)x( vector de IC del nivel k).
Ahora bien, es frecuente que en una empresa participen varios evaluadores considerados
como expertos. Cuando existen varios evaluadores para un mismo problema que afecta a
una organización hay que estudiar la concordancia entre los evaluadores.
Para ver la concordancia entre todos los expertos o evaluadores, se emplea el coeficiente de
concordancia W de Kendall que viene dado por:
)1(/)(12 22_
1
_
nnRRWn
i
i
Donde:
iR_
: es el promedio de los rangos asignados al objeto i.
22
_
R : es la media de todos los rangos asignados a todos los objetos
n : es el número de factores o atributos evaluados.
12/)1( 2 nn : es la suma máxima posible de los cuadrados de las desviaciones
El máximo valor que puede alcanzar 2_
1
)( RRn
i
i
es 12/)1( 2 nn y el mínimo es cero Por
tanto 10 W , mientras más cercano se esté de uno, mejor es la concordancia, puesto que
de la forma que está definido este estadístico, a valor mayor de correlación entre el
conjunto de rangos, mayor es la concordancia.
Ejemplo 6.
Retomemos el caso de la selección dado en el ejemplo 5 y asumamos que existen nueve
evaluadores independientes tal que cada uno ha obtenido un autovector tal como se muestra
a continuación: atributo Evaluador1 Evaluador2 Evaluador3 Evaluador4 Evaluador5
Tecnología 0,5 0,7 0,8 0,7 0,6
Costos 0,1 0,01 0,1 0,2 0,1
Vida ütil 0,4 0,29 0,1 0,1 0,3
SUMA 1 1 1 1 1
atributo Evaluador6 Evaluador7 Evaluador8 Evaluador9 Evaluador10
Tecnología 0,5 0,5 0,6 0,7 0,6
Costos 0,3 0,3 0,2 0,1 0,1
Vida ütil 0,2 0,2 0,2 0,2 0,3
SUMA 1 1 1 1 1
La matriz de rango con su promedio es:
atributo Evaluador1 Evaluador2 Evaluador3 Evaluador4 Evaluador5
Tecnología 3 3 3 3 3
Costos 1 1 1,5 2 1
Vida ütil 2 2 1,5 1 2
atributo Evaluador6 Evaluador7 Evaluador8 Evaluador9 Evaluador10
Tecnología 3 3 3 3 3
Costos 2 2 1,5 1 1
Vida ütil 1 1 1,5 2 2
La medias son 31
R ; 4,12
R ; 6,13
R y 2
R , de acá se obtiene el valor 76,0W .
La interpretación se deja al lector.
La hipótesis que se establece es 0:0 WH , contra la alternativa: 0:1 WH . Si el número
de factores o atributos es mayor que siete ( 7n ) el estadístico que se emplea para
contrastar la hipótesis nula es:
Wnk )1(2
Donde k es el número de evaluadores. Este estadístico bajo la hipótesis nula tiene una ley 2 con 1n grados de libertad.
23
Si este valor es mayor que el valor del cuantil asociado a un nivel de significación
preestablecido de una 2 con 1n grado de libertad, entonces rechazamos la hipótesis
0:0 WH .
En el caso de que el número de evaluadores k esté comprendido entre tres y veinte y el
número de criterios a ordenar sea igual o menor a siete se tienen tablas para realizar el
contraste con la distribución exacta.
Un valor alto de W puede interpretarse como un reflejo de que los k evaluadores están
aplicando los mismos estándares al asignar rangos a las n categorías o atributos bajo
estudio.
Resumiendo esta metodología requiere:
1.-Una vez definido el problema y su descomposición jerárquica se pasa a la construcción
de un instrumento especial que permita recoger las comparaciones realizadas en cada nivel
y por cada uno de los expertos en las diferentes áreas.
2.-Estudiar la consistencia de cada una de las matrices mediante la aplicación del índice de
consistencia y razón de consistencia. Una vez obtenido el autovalor, que denotamos por
se obtiene el índice de consistencia dado por:
)1/()( nn
Luego obtenemos el índice de consistencia aleatorio dado por: 1,98(n-2)/n, finalmente
calculamos la razón de consistencia que está dada por: )2)(1(98,1/)( nnnn si esta
razón no es menor que 0,1, el nivel de inconsistencia no es aceptable y debería repetirse la
evaluación.
4.-Estudiar la consistencia global una vez determinada la consistencia de cada matriz.
5.-Estudiar la concordancia o acuerdo de las opiniones de los expertos mediante el
estadístico W de Kendall, cuando existen más de dos expertos.
Para contrastar la hipótesis si el número de objetos evaluados es mayor que siete (n>7)
entonces aplicamos:
Wnk )1(2*
Si este valor es mayor que el valor del cuantil asociado a un nivel de significación
preestablecido de una 2 con n-1 grado de libertad o calculamos )( 2*2 P y si es
menor al nivel de significación rechazamos la hipótesis nula 0:0 WH .
Para valores n<7 hay tablas de la distribución exacta bajo la hipótesis nula disponibles para
realizar el contraste.
6.- Si se tiene varios evaluadores y se encuentra que hay consistencia y concordancia se
promedian los autovalores de aquellos cuya inconsistencia es aceptable, es decir, la razón
de consistencia es menor a 0,1.
24
7.-Si no se logra la concordancia entre los evaluadores, es decir, no se rechaza 0:0 WH
se debe repetir la evaluación previa la aplicación de alguna técnica que busque el consenso.
2.-Información y consistencia.
En este punto consideramos la cantidad de información contenida en el vector característico
o autovector, para ello consideramos el caso que todos los atributos son igualmente
indiferente esto es: 1A , luego el autovector está formado por n elementos iguales a:
n/1 por tanto n .
Si ahora tomamos la función de entropía dada por:
ib
n
i
i ppH log1
La función de entropía tiene dos interpretaciones, antes de realizar el experimento es una
medida de indeterminación y después de realizado es una medida de información promedio.
Esta función se hace máxima para npi /1 para todo i, y el máximo es nblog ( log (b)n, en
donde si b=2, se habla de bit y si es de base 10 de nit ) . Llamamos sH a la función para
cualquiera otro valor de ip con la condición que sean diferentes para todo o casi todo j,
entonces:
sHH es la cantidad de información ganada.
Ahora, consideremos una matriz de comparación nxn con todos sus elementos iguales a una
constante a: aA con 1a ,a tal matriz la llamaremos una matriz de comparación
impropia de primer tipo. Se puede demostrar que esta matriz tiene máxima entropía y
altísima inconsistencia (cuando n tiende a aumentar la inconsistencia se acerca a: 1a ), su
auto valor mayor es na . Si a=1, es una matriz de comparación impropia de segundo
tipo, ella tendrá máxima entropía e inconsistencia nula puesto que su auto valor mayor es
n .
Consideremos una matriz de comparación cualquiera A siempre tendrá mayor información
que las matrices de comparación impropias uno y dos. Por otra parte, tendrá menor o igual
inconsistencia que la matriz del tipo uno y mayor o igual a la matriz del tipo dos. Si IC(.) e
Inf(.) son índices de inconsistencia e información, lo anterior se resume como:
Inf(A)≥Inf(1)
Inf(A)≥Inf(2)
IC(1)≥IC(A)≥IC(2).
Mientras mayor sea la consistencia (menor inconsistencia) de una matriz de comparación,
mayor será su información en el sentido que se ha definido como la diferencia de dos
funciones de entropía.
Consideremos ahora que se puede dar un nivel de inconsistencia asociado al autovector P
y que es posible disminuir tal nivel y corregirlo dando lugar a un nuevo autovector Q. El
problema es cuan tan grande ha sido la modificación del criterio de ponderaciones. Para
responder a este problema tomaremos una propuesta de H. Theil adaptándola con una
nueva interpretación mas apropiada al problema que nos ocupa. Usando la misma notación
de H. Theil tenemos:
25
ii
n
i
iii pqqqpI /log),(1
Siendo ip y iq elementos de P y Q respectivamente.
2
1
22
1
)(2/1/)(2/1),( ii
n
i
iiii
n
i
iii qpqqqpqqpI
Si este estadístico toma un valor muy grande es de presumir que 0 ji qp , para al menos
algún j. La hipótesis nula es 0:0 ji qpH , para todo j y la alternativa 0:1 ji qpH
para al menos algún j. Este estadístico sigue una ley 2 con n-1 g.l, bajo la hipótesis nula.
Si la hipótesis nula no se rechaza no se ha presentado una mejora en la inconsistencia.
Asumiendo que la matriz de comparación es consistente, entonces el suceso de
cumplimiento expuesto en el punto 2 , es un suceso casi seguro.
3.-Comentarios generales.
Empezaremos el comentario sobre el método, indicando sus limitaciones en la aplicación.
Como dijimos anteriormente es fundamental que los atributos en un nivel sean
independientes entre sí incluso en su desagregación a niveles inferiores. En problemas con
un solo árbitro, no es tanto el número de niveles sino el orden de cada matriz de
comparación cuando no hay datos estadísticos que avalen las preferencias. Es corriente en
estos casos, que se presente inconsistencias en uno o varios niveles.
Un problema común es cuando se tienen varios árbitros o jueces pero no existe la
inconsistencia por el orden de las matrices en los diferentes niveles, sino que el problema es
la concordancia.
Hay situaciones que resultan algo más complejas: los niveles son evaluados por árbitros
distintos y además el orden de las matrices es mayor de cuatro. Esto ocurre cuando el
problema es lo suficientemente complejo que requiere la participación de un grupo de
expertos distinto para algún nivel o para todos.
Finalmente, se presenta el caso que no exista uno o varios árbitros que tengan una visión
confiable de conjunto y por tanto no se pueda terminar el árbol. A pesar de lo indicado
anteriormente, el método como herramienta para la toma de decisiones resulta satisfactorio
cuando el transcurrir del tiempo muestra que se ha tomado una buena decisión o porque hay
estudios similares que así lo avalan o, cuando se ha usado el método acompañado con otra
técnica, y es posible contactar que los resultados no se contradicen.
Para resumir lo anterior daremos el siguiente cuadro:
Causa Problema Solución.
Complejidad.
1.-Número de jueces
2.- Número de niveles
Falta de consistencia.-Falta
de concordancia
Revisión de la consistencia
repetición del experimento,
Aplicar T.G.N
3.-Orden de las matrices Falta de consistencia ídem
Conocimiento.
1.-Definición inadecuada de
Falta de consistencia Redefinir el conjunto de
categorías y sus divisiones.
26
la jerarquía.
2.-Desconocimiento de las
reglas de asignación de
valores-
Inducción sobre el método
IV.-CASO: PROYECTOS CON FLUJOS DE CAJA ALEATORIOS.
A continuación daremos un ejemplo de selección de proyectos que suele presentarse con
frecuencia en donde se asume más de un escenario económico y, por tanto los flujos de
cajas son consideradas como variables aleatorias. Hay dos formas de resolver el problema,
el primero es asignar probabilidades a priori a los escenarios con el concurso de un panel de
expertos y aplicar la técnica Delphi. La otra forma es considerar que los flujos responden al
comportamiento de una variable aleatoria con distribución beta o triangular.
Ejemplo 6.
Supongamos un caso sencillo: Ud. debe seleccionar entre tres proyectos independientes y
excluyentes. El primer proyecto tiene una inversión inicial de 10.000 $ y los flujos de caja
se espera que tenga el siguiente comportamiento en M$:
Proyecto 1
Período 1 2 3 4 5 6 7
Escenario1 2 2 2 2 2.1 2.2 2.3
Escenario2 3.5 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2
Escenario3 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
El segundo proyecto su inversión inicial es de 12.000$ y los flujos de caja se espera que
tenga el siguiente comportamiento en M$:
Proyecto 2
Período 1 2 3 4 5 6 7
Escenario1 2 2 2.9 3 3.9 4. 4.3
Escenario2 3 3 3.8 3.9 4.6 4.9 5.2
Escenario3 4 4 4.2 4.3 4.8 5 5.4
El último proyecto tiene una inversión inicial de 6.000 $ y los flujos de caja se espera que
tenga el siguiente comportamiento en M$:
Proyecto 3
Periodo 1 2 3 4 5 6 7
Escenario1 2 2 2.9 3 3.9 4. 4.3
Escenario2 3 3 3.8 3.9 4.6 4.9 5.2
Escenario3 4 4 4.2 4.3 4.8 5 5.4
La tasa mínima exigida es de 12% por período. Seleccione uno de los proyectos tomando
en cuenta el valor esperado del VAN y el riesgo, asumiendo que los escenarios tienen como
probabilidad de ocurrencia: 0,20; 0,30 y 0,50 respectivamente
27
Para resolver este problema, debemos tomar en cuenta que los flujos de cajas en cada
período se comportan como una variable aleatoria que toma tres valores correspondientes a
los tres escenarios. Por tanto, podemos obtener el valor esperado y la varianza de cada flujo
de caja i. En general, el valor esperado de cada flujo de caja en el período j ésimo tiene la
forma:
i
n
i
ijnjnjjjjjj pFpFpFpFFE
1
2211 ...)( Tj ...2,1
Donde jF1 indica el flujo de caja del primer escenario en el período j, jF2 el flujo de caja
del segundo escenario en el período j y, así sucesivamente, 1p indica la probabilidad del
primer escenario, 2p la probabilidad del segundo escenario etc. El horizonte económico es
T (duración del proyecto).
En nuestro ejemplo, el valor esperado del flujo del primer período en el proyecto tres es:
E(F1)=2x0,2+3,5x0,3+4x0,5=3,45
La varianza de cada flujo de caja en el período j ésimo tiene la forma:
ij
n
i
ijj pFEFFVAR 2
1
))(()(
Tj ...2,1
En nuestro caso:
VAR(F1)= (2-3,45)2x0,2 +(3-3,45)
2x0,3 +(4-3,45)
20,50=0,5725
Los valores actualizados de la esperanza y varianza son para el período j:
j
j kFE )1/()(
j
j kFVAR .2)1/()(
Siendo k la tasa mínima exigida.
Siguiendo con el mismo ejemplo del primer flujo de caja (j=1) del primer proyecto, el valor
esperado actualizado es:
)1/()( 1 kFE 3,45/1,12= 3,08035714
Y la varianza actualizada es: 1.2
1 )1/()( kFVAR =0,5725/1,122=0,45639349
En el caso que la inversión inicial Co del proyecto es conocido y los flujos de caja son
variables aleatorias independientes, el valor esperado y la varianza del Valor Actual Neto
(VAN) es para un horizonte T :
jT
j
n
n
n kFEkFEkFEkFECVANE )1/()()1/()(...)1/()()1/()()(1
2
210
n
n kFVARkFVARkFVARVANVAR 24
2
2
1 )1/()(...)1/()()1/()()(
T
j
j
j kFVAR1
2)1/()(
Se ha asumido que los flujos son incorrelacionados para el cálculo de la varianza del VAN,
por tanto no hay correlaciones.
28
Cuando los valores esperados de diferentes inversiones son iguales, la decisión depende del
riesgo medido por la varianza o la desviación estándar. Cuando los valores esperados son
diferentes se emplea el coeficiente de variación dado por:
100)(/)()( 2 xVANEVANVARVANCV
Empleando una hoja de cálculo Excel se llega a los siguientes resultados:
CUADRO Nº 1
Valores esperados, varianzas y coeficientes de variación
de los valores actuales netos de los proyectos.
Proyecto Valor Esperado:
E(VAN)
Varianza
VAR(VAN)
Coeficiente de
Variación
1 6,84 2,1315 21,33%
2 6,158 1,2142 17,89
3 12,107 1,2058 9,07%
Si partimos de los valores esperados, el tercer proyecto es preferido al primero y el primero
al segundo. Como tienen valores esperados diferentes el riego comparativo de cada
inversión se mide por el coeficiente de variación, de acuerdo a esto el tercer proyecto
presenta el menor riesgo. Por tanto, combinando valor esperado y riesgo del VAN el
proyecto que debe seleccionarse es el tercero. Si no existiese el tercer proyecto, sino solo
los dos primeros encontramos que si bien el primer proyecto tiene un valor esperado del
VAN mayor, también tiene un riesgo mayor medido por el coeficiente de variación,
quedaría entonces la decisión en manos del grado de aversión al riesgo que tiene el
inversionista. Una persona conservadora tomaría el segundo proyecto.
En muchas ocasiones no se tiene información como para estimar las probabilidades de
ocurrencia de los escenarios, entonces se recurre a dos leyes de probabilidad: beta y
triangular. Para ello se supone que los escenarios pueden clasificarse en pesimista,
optimista y más probable, también se supone que los escenarios numéricamente no son
equidistantes.
En el caso que se asuma que se tiene tres escenarios y los valores corresponden una
variable aleatoria X que tiene por ley de probabilidad beta, se puede obtener una buena
aproximación de su esperanza y varianza dada por:
6/)maxmod4(min)( XoXXE
12/)min()( 2XmáxXXVAR
En el caso de flujos de cajas aleatorios asociados a tres escenarios, entonces minX
corresponde al valor del escenario pesimista, modo de X, al más probable y, maxX al
optimista. Entonces, basta sustituir estos valores para obtener los valores esperados y la
varianzas de los flujos de caja en cada período del proyecto. El lector puede rehacer el
problema anterior asumiendo que los flujos de caja son variables aleatorias con ley de
probabilidad beta.
V.-CASO: PROYECTOS CON FLUJOS DE CAJA CON COMPORTAMIENTO
DESCONOCIDO.
29
Ejemplo 7
Supongamos que en el ejemplo anterior, de los tres proyectos bajo los tres escenarios tienen
flujos de cuyos comportamientos no podemos decir nada puesto que la información
disponible es nula, ni siquiera podemos establecer una posible distribución, esto es, estamos
frente a un problema de incertidumbre. En este caso podemos usar varios criterios para
seleccionar el proyecto óptimo.
El primer paso es calcular el VAN de cada proyecto para cada uno de los escenarios.
CUADRO Nº 2
VALORES ACTUALES NETOS DE LOS
TRES PROYECTOS BAJO TRES
ESCENARIOS
ESCENARIO1 ESCENARIO2 ESCENARIO3
PROYECRO1 -0,5787 7,5049 9,4194
PROYECRO2 1,5354 5,6983 8,1818
PROYECRO3 7,5354 11,6983 14,1818
Un criterio que podemos aplicar es asumir que todos los escenarios son igualmente
probables, por tanto tomaremos las medias de los valores actuales netos de cada uno de los
proyectos y seleccionamos aquel con el mayor promedio. Estos promedios son: 5,4484,
0,6646, 11,1385 respectivamente. Por tanto seleccionamos el tercer proyecto.
Otro criterio es pensar que puede ocurrir lo peor, por tanto tomamos el menor valor del
VAN de cada proyecto, que corresponde al escenario pesimista y de estos seleccionamos el
mayor. Esta regla se conoce como maximin. En nuestro caso, de acuerdo a este último
criterio seleccionamos el tercer criterio.
Se pueden definir más criterios que comentaremos más adelante, lo que podemos adelantar
que ninguno tiene ventajas sobre los otros y para todo efecto, en esta situación de
incertidumbre no hay manera de determinar el riesgo.
El poseer poca información o ninguna no implica que el comportamiento de la naturaleza
sea complejo o inestable pero el recíproco si es cierto; en situaciones de complejidad o
inestabilidad la carencia de información suele ser agobiante. Bajo la condición de poca
información o de ninguna no permite hacer ninguna conjetura sobre la distribución de los
parámetros. Frente a esta situación se han propuesto un conjunto de criterios en donde no se
puede decir que unos son mejores que otros porque unos cumplen con ciertas condiciones y
otros no. Aún más, si empleásemos todos los criterios que expondremos más adelante y
todos o la mayoría reconocieran como óptima una acción en particular, no nos garantiza
que estemos en el camino correcto porque no podemos medir el riesgo asociado a esta
acción. Lo único que sobre sale en la selección del criterio es la aptitud psicológica del
decisor que se traduce en el grado de aversión al riesgo.
Ejemplo 8.
Supongamos que se tienen dos estados de la naturaleza de los cuales se desconocen las
probabilidades de ocurrencia por su grado de complejidad y dos acciones con sus
respectivos pagos.
30
Aciones/Naturaleza
A1 100.000 -10.000
A2 1000 1000
Una persona que no le gusta el riesgo decidirá por la segunda acción pues cualquiera sea el
resultado obtendrá 1000 unidades monetarias en cambio, una persona con un espíritu más
lúdico preferirá la primera acción a pesar que puede perder 10.000 unidades monetarias.
Esta condición psicológica impone la selección del criterio bajo incertidumbre.
El primer criterio que expondremos es el criterio de Hurwicz que consiste en lo siguiente.
Para cada acción hay un valor máximo y un valor mínimo, La idea es ponderar estos
valores por un factor comprendido en el intervalo 0,1, esto es:
;1; ii ALMinALMax i=1,2….n.
Si se trata de ganancia o beneficio el decisor buscará el máximo, esto es:
;1; ii ALMinALMaxMax
El decisor le asignará un valor a dependiendo de su aversión al riesgo, si es poco
optimista le dará valores cercano a cero.
Si el decisor es conservador pensará en primer lugar en lo peor, por tanto 0 y su
decisión final se guiará por:
;iALMinMax
Esto significa que trata de garantizarse lo mejor frente a una situación adversa.
Si es optimista, entonces 1 , por tanto seleccionará la acción bajo el criterio
;iALMaxMax
Si en vez de ganancias o beneficios se trata de pérdida la decisión se basará en encontrar el
mínimo de la ponderación siguiente:
;1; ii ALMinALMaxMin
La posición del decisor es pesimista si selecciona como 1 , pues espera lo peor y dentro
de esto buscará la acción que minimice la pérdida. Apliquemos este criterio al ejemplo
anterior.
Retomemos el ejemplo anterior. Para la primera acción A1 tenemos:
;1ALMin =-10.000; ;1ALMax =100.000
Para la segunda acción A2 :
;2ALMin =1.000; ;2ALMax =1.000
Supongamos que la persona selecciona =0,90 lo que indica que su propensión es propia de
una persona optimista; por tanto:
;1; ii ALMinALMaxMax
Max0,90x100.000+0,10x(-10.000);0,90x1.000+0,10x1.0000=89.0000.
Este valor corresponde a la primera acción, por tanto esta es la seleccionada por el decisor.
Otro criterio es el de arrepentimiento de Savage, el cual consiste en obtener una nueva
matriz que contiene como elementos las pérdidas ocasionadas por una selección
inadecuada, esta matriz se llama matriz de arrepentimiento y sobre esta se aplica algún
31
criterio de selección tal como el de Hurwicz. Para ello se le resta al valor máxmin asociado
a cada estado de la naturaleza los pagos correspondientes al mismo en el caso de beneficio
o ganancia, esto es:
jiALMax ; -
jiAL ; para cada j.
Y, en el caso de costo o pérdida a cada pago asociado a cada estado de la naturaleza se le
resta el mínimax, esto es:
jiAL ; -
jiALMin ; para cada j.
Retomemos el ejemplo anterior. Si la persona es conservadora entonces aplicará el
;1ALMaxMin
Los valores mínimos asociados a cada acción son:
;1ALMin =-10.000 ; ;2ALMin =1.000
Por tanto: ;1ALMaxMin =Max-10.000, 1.000=1.000, luego selecciona la segunda
acción. Sin embargo puede darse el primer estado de la naturaleza, donde la primera acción
es mucho mejor que la segunda. Obtenemos en seguida la matriz de arrepentimiento:
1;iALMax =100.000 y 2;iALMax =1.000:
Acción/ExAcción/
Estado1 2
A1100.000-100.000=0 -10.000-1.000
A2 100.000-
1.000=99.000
1.000-1.000=0
Esta matriz indica las pérdidas que se incurre por no tomar la decisión adecuada, en otras
palabras es el costo de oportunidad asociada a una mala elección. En el ejemplo, si se da el
primer estado de la naturaleza y seleccionó la primera acción no tiene ninguna pérdida en
cambio si seleccionó la segunda su pérdida es de 99.000, es decir, lo que dejo de ganar; si
se da el segundo estado de la naturaleza se sigue el mismo razonamiento. Como el resultado
es pérdida o costo de oportunidad y la persona es conservadora tomará el
;iALEMinMax =0 que corresponde a la primera acción.
Laplace razonó que no había motivos para pensar que los estados de la naturaleza no
tuviesen la misma probabilidad de ocurrencia y propuso el siguiente criterio. Todos los
estados son equiprobables, (principio de razón insuficiente) eso es: 1P = 2P =..,
nP n /1 ; por tanto se tomará la acción que maximice el valor esperado en el caso de
ganancia o minimice este valor en caso de pérdida:
;iALEMax o ;iALEMin
En nuestro ejemplo tenemos dos estados de la naturaleza luego la probabilidad que se dé
alguno de ellos es ½, al hacer los cálculos obtenemos:
2/110002/11000;2/1000.102/1000.100; xxxxMaxALEMax i =45.000
Por tanto se selecciona la primera acción.
Estos criterios son de vieja data y presentan varios inconvenientes, el primero es que
responden más a una actitud psicológica que lógica no garantizando una solución óptima y
segundo, son modelos lineales y por tanto no son los más adecuado dentro de un ambiente
32
complejo que se caracteriza por ser no lineal. Se puede argumentar que precisamente por
estar involucrada la actitud psicológica, este factor introduce elementos de no linealidad y
asimetrías.
VI.-TEORÍA DE LA UTILIDAD.
En el segundo ejemplo que hemos vistos, la decisión se toma a la vista del rendimiento
monetario, pero no siempre la satisfacción obtenida con una elección se puede medir en
término del rendimiento monetario. Así ocurre cuando un consumidor prefiere una
combinación de bienes a otra y, selecciona la que le da mayor satisfacción si no está
restringido por su nivel de ingreso, esto es, pasa de una isocuanta a otra. En este caso, su
selección está medida por el nivel de satisfacción que alcanza. Cada consumidor definirá un
conjunto de isocuantas y se irá desplazando a los niveles más altos dependiendo de su nivel
de ingreso. En todo caso, lo que se establece es un orden de preferencia tal como la
situación A es preferida a la situación B A esta preferencia se le asigna un número que
corresponde al orden que tiene entre varias opciones Entonces, dado el orden y su
correspondiente valor numérico obtenemos una función que se llama función de utilidad.
En algunos casos es fácil establecer la preferencia, esto ocurre cuando se tiene información
perfecta de lo que va a ocurrir, pero no siempre es así, lo usual es que esta información sea
incompleta y tenemos que introducir un elemento aleatorio que sólo es posible cuantificar
empleando el concepto de probabilidad.
Empezaremos por definir una lotería. Consideremos el conjunto de eventos aleatorios
nsssS ..., 21 con probabilidad de ocurrencia 0ip y 11
n
i
ip entonces el conjunto de
pares ordenados: ),)...(,)(,( 2211 nn pspspsL se llama una lotería de una etapa o
unietápica. Si ahora consideramos varias loterías unietápicas kjL j ...2,1; con
probabilidades de ocurrencia 0jq y 11
k
j
jq el nuevo conjunto:
),)...(,)(,( 2211
*
kk qLqLqLL se llama una lotería bietápica o en dos etapas. Por un
procedimiento similar podemos encontrar loterìas de orden superior o de más de dos etapas.
Ahora, sobre una lotería L definimos una relación de preferencia, y a la función RLu )(
utal que )( iLu es preferido o indiferente a )( jLu para i distinto a j, se llama función de
utilidad si y solamente si ji LL . Si se cumple la propiedad: ))1(;( ji LqqLu
)()1()( ji LuqLqu donde 1,0q luego la función de utilidad es una función lineal.
En general, todo decisor tiene una función de utilidad la cual puede cambiar en el tiempo
dado los cambios en sus preferencias. Por otra parte, es importante destacar que esta
función es una variable aleatoria que mide la actitud del decidor frente al riesgo. En efecto,
la lotería tiene el rol de un espacio muestral donde cada evento s tiene asociado una
probabilidad, el decidor frente a una situación en donde no posee información perfecta
asume una postura frente al riesgo asociado al conjunto de acciones que puede seleccionar.
Bajo el supuesto de racionalidad el decidor hará una elección tal que maximice su utilidad.
El problema intrínseco es el nivel de conocimiento que tenga sobre el problema y por tanto,
33
por ser la probabilidad una medida de información, estará pendiente sobre los valores de p.
La racionalidad también está en cuestión porque el uso de la misma está limitada por el
grado de conocimiento retrospectivo o actual y de la capacidad algorítmica del decisor, esto
conduce a pensar en una función de utilidad es más que un operador lineal que asigna un
orden a las preferencias.
Luce y Raiffa (1957) al inicio de su obra plantean seis supuestos que corresponden a la
idea de racionalidad, ( El símbolo ≥se lee como es preferido o indiferente a, y el símbolo ≈
se lee como indiferente a y > es preferido a.) .
El primer supuesto se refiere a la existencia de preferencias y su propiedad de transitividad,
esto es, se da solo y solamente uno de estos caso: ji ss o ij ss o ji ss , además si
ji ss kj ss entonces ki ss .
El siguiente supuesto se refiere que una lotería compleja es indiferente a una lotería de una
etapa si tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
El tercer supuesto es: dado tres eventos que cumplen la transitividad jki sss entonces
existe un valor p y otro p1 asociados a los dos extremos tal que jir sppss )1(, si
p está cercano a uno ki ss y si p está cercano a cero jk ss .
El cuarto supuesto consiste en un cambio de al menos un evento de una lotería tal que si
ji ss entonces:
),)...(,)...(,)(,(),)...(,)...(,)(,( 2211
*
2211 nnjjnnii pspspspsLpspspspsL
El quinto supuesto se refiere a que la preferencia y la indiferencia acerca de la loterías
cumple con la relación transitiva: 21 LL y 32 LL entonces: 31 LL .
El sexto y último supuesto es la lotería ji spps )1(, es indiferente o preferida a
ji spps )1(, ** si y solamente si *pp .
Ejemplo 8.
Veamos un ejemplo de cómo se construye una función de utilidad: Supongamos que a una
persona se le propone el siguiente planteamiento: a) obtener una ganancia de 10 unidades
monetaria sin ningún costo b) jugar la lotería dada como: ganar 1200 unidades monetarias
con probabilidad p o perder 1000 unidades monetarias con probabilidad 1-p. La primera
opción es una lotería también donde la probabilidad de ganancia es p=1 y de perder 1-p=0.
Por tanto ambas loterías se pueden escribir como. L1=((10.1);(0,0)) y L2=((1200.p);(-
1000,1-p)). El valor de p de la primera lotería lo conoce, no así el valor de p de la segunda.
La elección está dependiendo de cual es el valor de p y de una actitud personal como es la
actitud frente al riesgo. Para determinar el valor de p asumimos que ambas loterías son
indiferentes a la persona que debe elegir entre las ellas, por tanto, sus valores monetarios
esperados son iguales, esto es:
1200p-1000(1-p)=10
2200p=1010 de donde p =1010/2200=0,45909091.
Podemos variar los valores de p, en la medida que los valores sean mayores al obtenido al
igualar los valores esperados, mayor es el valor esperado de la segunda lotería y viceversa,
a valores menores de p menor será este valor esperado. Por tanto, si la persona elige la
segunda lotería solo para valores mayores a p entonces es adverso al riesgo y propenso, si
34
selecciona la lotería para valores menores a p, es indiferente si selecciona la lotería con el
valor obtenido de p.
Frente a la teoría de la utilidad se ha propuesto el concepto de expectativa racional de los
agentes económicos, en este concepto se supone el comportamiento dinámico del entorno
depende en cierta medida de las expectativas que tuvieron o tienen estos agentes sobre el
comportamiento de las variables económicas que afectan al mismo y por tanto, a la
selección de estrategias por parte del decisor. Bajo esta circunstancia, el decisor se mueve
en un ambiente donde tiene conocimiento de algunos factores y incertidumbre sobre otros
que son relevantes en el dinamismo del entorno, de estos últimos asume un valor esperado
del comportamiento en el futuro, además, a los factores conocidos los incluye como
variables con efectos actuales y retardados. Como un ejemplo está el caso de una
determinada inversión en donde se conoce el rendimiento pasado y actual pero desconoce
el rendimiento futuro de la misma donde interviene el comportamiento futuro de ciertas
variables como las tasa de interés y la inflación de las cuales tan solo puede hacer una
previsión. Este planteamiento asume que el decisor va aprendiendo de sus propios errores
haciendo las correcciones pertinentes.
VII.-ESCALAS DE MEDICIÓN
Las herramientas de la toma de decisiones suponen una forma de representar los datos esto
es el problema de la medición de los datos, que no es otra cosa que las reglas que deben
emplearse para asignar signos a las características o propiedades de los objetos,
distinguiéndose dos grandes grupos: mediciones en escala métrica, que comprenden la
escala de intervalo y la de razón y mediciones no métricas que responden a la escala
nominal y la ordinal. Este aspecto es de vital importancia porque la técnica estadística que
se emplee para analizar los datos para la toma de decisiones, dependerá entre otros aspectos
de la escala empleada.
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61
uti
lid
ad
valor de p
función de utilidad
probabidad
utilidad
35
Empezaremos a considerar tres conjuntos. El primer conjunto representa cualesquiera entes
y lo llamaremos A, el segundo representa las cualidades que poseen estos entes y lo
llamaremos B y, finalmente un conjunto de símbolos que llamaremos C. Definiremos
medición a una aplicación tal que a cada elemento de B le asignamos uno y solo un
elemento de C y, las propiedades que se cumplan en B deben cumplirse en C y viceversa.
La regla de asignar estos símbolos y sus propiedades se llama escala de medición.La escala
de medición más sencilla está basada en establecer una relación de equivalencia y, se
denomina escala nominal. Para ello, se define una partición P en el conjunto B, originando
un conjunto de clases, en donde el elemento a de B está relacionado con el elemento b de
B, y se escribe aRb , si a y b pertenecen a una misma clase y solo en este caso, y esta
relación cumple con las siguientes propiedades:
1.- aRa (propiedad reflexiva)
2.- aRb implica bRa (propiedad simétrica)
3.- aRb y bRc entonces aRc (propiedad transitiva)
Cuando los elementos de B cumplen con estas propiedades, se dice que cumplen con la
relación de equivalencia. De este modo, se obtiene el conjunto de todas las clases de
equivalencias llamado conjunto cociente. Entonces, a los elementos a y b se le asigna el
mismo símbolo S, si pertenecen a la misma clase: )()( bSaS . Si son de clase diferentes
entonces )()( bSaS
Por tanto, esta escala permite solamente clasificar los elementos de A partiendo de sus
propiedades en B en donde se ha definido esta relación de equivalencia, y contar cuantos
elementos contiene cada clase.
Todo conjunto de objeto puede ser medido con esta escala, en donde los símbolos para
diferenciar las clase son arbitrarios, pueden ser alfanumérico o cualquier otro. Supongamos
por ejemplo que el conjunto A es los clientes de un banco, B es las características
socioeconómicas. Entonces definimos la relación binaria de equivalencia: religión a la que
pertenece; los católicos forman una clase, los evangélicos otra y así sucesivamente. A los
católicos se le puede asignar el símbolo C o 1, a los evangélicos E o 2 originando los
elementos del conjunto C etc.
La siguiente escala es la ordinal, esto es, los elementos de B pueden ordenarse si se cumple
para toda par (a,b):
1.- aaR^ (propiedad reflexiva)
2.- baR^ y cbR^ entonces caR^ (propiedad transitiva)
3.- baR^ y abR^ si y solamente si ba (propiedad antisimétrica). Si ba y si baR^ ,
entonces no puede verificarse abR^ .
Cuando el conjunto B se puede medir en estas escalas: nominal y ordinal, entonces
incorpora también las propiedades de la escala nominal, es decir, se puede clasificar y
contar los elementos de cada clase, pero además, dentro de cada clase se establece una
relación de orden que expresa el grado de presencia de la característica o cualidad, por
tanto, la asignación de los símbolos deben mantener este grado. Entonces. )()( ^^ bSaS si
36
están en la misma clase, )()( ^^ bSaS S`si están en clases diferentes y )()( ^^ bSaS si la
característica en a se presenta en un grado mayor que en b. Aquí, no se determina cuán
mayor es ese grado. Supongamos que la característica es el color de un conjunto de objetos,
supongamos que los objetos se clasifican en tres colores verde, azul y amarrillo, pero cada
color puede degradarse desde los mas intensos hasta lo mas tenues, luego, podemos
clasificar los objetos de acuerdo al color y dentro de cada color ordenarlo desde lo más
tenues a lo más fuerte y asignarle un número que llamamos rango que refleja la intensidad
de la presencia del color originando los elementos del conjunto C.
Cuando los datos están medidos en estas escalas: nominal u ordinal, la inferencia estadística
que se desarrolla se conoce como estadística no paramétrica. Los modelos y métodos
multivariantes que se pueden usar, los cuales exponen en esta obra en el capítulo VIII son:
los métodos de correspondencia simple y múltiple, si la medición es ordinal, es posible
emplear el análisis de componentes principales siempre que la asignación de los rangos
recoja un espectro amplio
Las siguientes escalas se conocen como métricas y, cuando las propiedades de los objetos
están medidas en estas escala son a los que se pueden aplicar los métodos de regresión,
serie de tiempo, componentes principales y clasificación automática o análisis de
conglomerados, aunque se han desarrollados algoritmos que permiten definir
conglomerados de categorías.
La primera escala métrica es la de intervalo, la cual contiene todas las propiedades de la
escala ordinal, pero es posible establecer numéricamente la diferencia entre el grado de
presencia de una cualidad de un objeto a otro. Parte de un origen arbitrario, donde el cero
no significa ausencia total de la característica. Un ejemplo clásico es la temperatura, cero
grado centígrado no significa ausencia total de calor. Una característica especial de esta
escala es que se puede pasar de una magnitud a otra mediante una relación lineal, si la
cualidad de a se le asigna un número )(aS en una magnitud (grados centígrados) y otro
número )(* aS en otra magnitud (grados Fº) se puede establecer la relación lineal:
cakSaS )()( *
Dado dos elementos a y b se puede establecer la diferencia:
))()(()()( ** bSaSkbSaS
Finalmente, está la escala de razón que posee todas las características de la anterior pero el
origen no es arbitrario, el cero indica ausencia total de la característica, se pueden realizar
todas las operaciones aritméticas. Como el cero no es arbitrario se pueden establecer
proporciones:
kbSaS )(/)(
VIII.-FORMULACIÓN DE UN MODELO DE TOMA DE DECISIONES.
En este punto daremos una guía que facilita la formulación de un modelo de toma de
decisiones en el mundo empresarial.
37
1.-El primer paso es definir el problema, entendiendo como aquella situación que impide o
limita el cumplimiento de la misión o algunos de sus objetivos a corto, mediano o largo
plazo de una persona u organización. La formulación del problema puede conllevar a
diferentes grados de dificultad o complejidad al tratar de encontrar las causas que lo
determinan. Una herramienta útil a la hora de formular el problema es el gráfico causa-
efecto o espina de pescado de Ishikawa visto al inicio de este capítulo. Otra forma gráfica
que ayuda ver las interrelaciones entre las causas es emplear un gráfico de Veen, propuesto
por Mata M (2000) cuya utilidad la mostraremos en el capítulo VI. Las causas pueden estar
representadas por variables o categorías, entendiendo por variables aquellas características
que están medidas en una escala métrica y por categorías en las que sólo se puede definir
una relación de equivalencia o de orden. Las variables pueden tener un comportamiento
estático o dinámico, pueden ser de naturaleza aleatoria o determinística.
2.-El segundo paso es establecer de qué manera se relacionan las causas con el problema y
entre ellas. Puede ser que las causas actúen aditivamente, multiplicativamente o de
cualquier otra forma sobre el problema. Tomando las ideas expuesta por Ubaldo Nieto de
Alba (1998) las causas pueden ser a) ciertas, sencillas, aisladas y estables b) inciertas pero
colectivamente estable (aleatoriedad débil) c) inciertas inestables pero con un orden oculto
(aleatoriedad fuerte) d) disipativas de orden histórico. En este punto empieza la
especificación de un modelo tentativo, entendiendo por modelo la idealización de la
realidad mediante símbolos, relaciones, condiciones e hipótesis a cerca de las causas. En
todo caso, debe existir un isomorfismo entre el modelo que se está formulando y las causas
reales. El modelo debe reflejar lo más fielmente posible las propiedades de la realidad. El
modelo debe proveer las causas, las acciones o estrategias y una regla de decisión que
permita discriminar estas acciones en óptimas y no óptimas. En algunos casos la regla de
decisión se expresa mediante una función conocida como función objetivo y dependiendo
de los valores que toma para cada acción o estrategia se arribará a una decisión óptima.
3.-El tercer paso es la búsqueda de la información de las causas que se presumen originan
el problema. Esta búsqueda puede incluir fuentes primarias, es decir las elaboradas por los
interesados en la toma de decisión o fuentes secundarias que son datos de interés
elaborados por terceros. Puede ocurrir que existan relaciones entre las variables, que el
número de variables no representen la verdadera dimensión del problema o que hay
observaciones que forman grupos homogéneos. Para el primer caso se emplea el concepto
de correlación, en el segundo se usa técnicas de reducción de la dimensionalidad y en el
último clasificación automática.
La información obtenida puede responder a un proceso determinístico estático o dinámico,
estocástico estático o dinámico o altamente sensible a las condiciones iniciales. Si el
proceso es aleatorio dinámico y se posee información suficiente, entonces, puede requerirse
el estudio del comportamiento de los datos en el tiempo empleando el análisis de series
temporales. Se asume que esta información está en correspondencia con la naturaleza de las
causas. Cuando se tiene una gran cantidad de información es conveniente aplicar técnicas
estadísticas que buscan encontrar la estructura subyacente de los datos, esto puede
realizarse mediante técnicas estadísticas de reducción de dimensionalidad que se verán en
el capítulo X.
38
4.- La información lograda debe ser necesariamente analizada en lo posible por métodos
estadísticos, considerando cada causa por separado y en su conjunto con la finalidad de ver
su consistencia. Para estudiar esta consistencia empleando métodos estadísticos, debe
tenerse presente la escala de medición utilizada para cada causa. Es importante determinar
en este punto si hay información redundante, atipicidades o valores faltantes.
Si tal es el caso, hay que depurar la información de cualquier dato que produzca ruido.
5.-El siguiente paso, es alimentar el modelo especificado previamente con las
observaciones obtenidas en el punto anterior y ver su comportamiento en un instante o
durante el tiempo. Es posible que la información sea engañosa y no refleje realmente el
comportamiento de las causas o simplemente se han obviados ciertas variables o
restricciones en la especificación del modelo.
6.-El último paso consiste en validar el modelo, esto es responder a las preguntas: ¿En tanto
y cuánto refleja el modelo la realidad? Y por consiguiente: ¿Podrá conducirnos a una
solución óptima? Si estas preguntas no se responden satisfactoriamente hay que revisar
cada paso anterior. Finalmente se implementa el modelo considerado como el mejor
modelo, esperando llegar a un óptimo. Saaty (2001) propone que se jerarquice las partes
que comprende el problema original cuando se usa el proceso de jerarquía analítica y para
ello propone además la consideración de la interdependencia entre los elementos que
conforma un nivel y el efecto de sinergia a la hora de usar las ponderaciones empleadas en
las matrices de comparaciones pareadas. En su metodología no esta explícitamente el
problema de causa-efecto, más aún combina la racionalidad con la intuición y no descarta
la presencia de subjetividad en la evaluación de la posible solución.
Una vez realizado cada uno de estos pasos se implementa el modelo.
Resumiendo los pasos son:
1.-Formulación del problema.
2.-Formulación tentativa de un modelo.
3.-Recolección de la información.
4.-Estudio de la bondad de la información.
5.-Alimentar el modelo seleccionado.
6.-Validar el modelo.
7.-Implementar.
PROBLEMAS
1.-Suponga que Ud tiene un capital de 106 unidades monetarias. Ud tiene la posibilidad de
invertir en dos mercados diferentes. El primero es un mercado estable donde el rendimiento
es siempre del 12% de interés anual. El otro mercado, el interés varía entre 6% y 16%
anual. Si desea invertir su capital ¿ En cuál de los dos mercado haría la inversión?.
2.-Hay dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes. El primer proyecto tiene un
rendimiento exigido del 15% y el segundo de 16%. Los ingresos y egresos de los dos
proyectos se muestran a continuación:
39
Período Egreso
proyecto1
Ingreso
Proyecto 1
Egreso
proyecto2
Ingreso
Proyecto 2
0 100 0 200
1 150 100 300 250
2 200 250 400 450
3 200 500 500 600
a.-Defina un criterio para decidir entre los dos proyectos
b,.¿Cuál de los dos proyectos selecciona?
3.-Dado la distribución conjunta de dos variables aleatorias X,Y;
(X,Y) 0 1 2 3
0 0,10 0,20 0,05 0,15
1 0,05 0,10 0,15 0,20
Encontrar:
a.-P(X=0)
b.-P(X=1,Y=2)
c.-P(X=1/Y=2)
d.-La distribución marginal de X e Y
e.-E(X) y VAR(X)
f.-E(Y) y VAR(Y)
g.-E(X/Y=2)
4.-Con los datos del problema anterior, y sea la suma Z=2X+Y encontrar:
a.-E(Z) y VAR(Z)
5.-Dada la siguiente matriz:
2 4 2 3
1 3 4 7
2 3 2 2
1 1 1 4
a.-Determinar el vector característico o auto vector.
b.-Encontrar al auto valor o valor característico.
6.-Suponga que se va adquirir un nuevo equipo y se hace una licitación tomando en cuenta
cuatro atributos: A) costo del equipo B) número de administradores del equipoC) Ahorro
mensuales que representa la adquisición D) Vida útil.
Estos atributos fueron comparados entre sí dando como resultado la siguiente matriz de
comparación:
1 A B C D
A 1 5 1/5 1/3
40
B 1/5 1 1/3 1/9
C 5 3 1 1/3
D 3 9 3 1
Se han presentado tres empresas a la licitación y los valores de los atributos de cada equipo
es como sigue:
Equipos/Atributos A B C D
Equipo1 100$ 2 1500$ 10años
Equipo2 150$ 1 1700$ 5años
Equipo3 125$ 1 1600$ 6años
a.-Determine el orden de importancia de los atributos.
b.-Determine la razón de consistencia.
c.-Determine el equipo ganador de acuerdo a los atributos considerados.
7-Suponga que se incorporan tres evaluadores adicionales, cuyas matrices de comparación
son:
Evaluador 1
1 A B C D
A 1 7 1/5 ¼
B 1/5 1 1/3 1/9
C 7 3 1 1/3
D 4 9 3 1
Evaluador 2
1 A B C D
A 1 5 1/3 1/3
B 1/5 1 1/3 1/7
C 3 3 1 1/3
D 3 7 3 1
Evaluador 3
1 A B C D
A 1 3 1/5 1/3
B 1/3 1 1/3 1/7
C 5 3 1 1/3
D 3 7 3 1
a.-Determine la concordancia entre los cuatros evaluadores.
8-Se desea seleccionar un banco entre cuatro posibles. Las características que se consideran
son en primer lugar la solvencia, la calidad de servicio y finalmente las sucursales.
41
En la solvencia se consideran además tres categorías: riesgo del banco, patrimonio, y
pasivo. En cuanto el servicio, se toma en cuenta: servicios electrónicos, servicio de taquilla
y calidad de atención al cliente. En cuanto a las sucursales; nº de las mismas, comodidades
en general y cercanía.
Los cuatro bancos considerados fueron previamente evaluados en una escala de 1 a 5, en
donde 1 es la menor calificación.
Característica Banco A Banco B Banco C Banco D
Riesgo 4 4 5 3
Patrimonio 4 5 3 4
Pasivo 4 4 5 3
Servicio Elect. 4 5 4 5
Servicio taq. 3 3 3 5
Atención Clte. 2 2 4 5
Nº de SCS. 5 5 3 2
Comodidades 4 3 3 5
Cercanía 5 4 3 4
:
a.-Construya las matrices pareadas de acuerdo a la escala presentada en el artículo.
b.-Estudie la consistencia de cada una.
c.-Construya el árbol.
d.-¿Cuál banco selecciona?
e.-Forma un grupo de cuatro personas y analicen el grado de acuerdo en el grupo.
f.-¿Pueden llegar a un consenso?
9.-Suponga que una empresa puede ampliar sus instalaciones si realiza una inversión de
100.000 $.Los flujos de caja futuros tienen un comportamiento aleatorio tal como se
muestra a continuación:
año Flujo 1 P(F=x) Flujo2 P(F=x) Flujo3 P(F=x) Flujo 4 P(F=x)
1 20000 0.10 30000 0,30 35000 0,40 40000 0,20
2 25000 0,20 40000 0,30 60000 0,40 80000 0,10
3 75000 0,10 90000 0,30 135000 0,60
4 200000 1
5 300000 1
P(F=x) es la probabilidad de que el Flujo de caja tome el valor x en el año t..
a.-Determine si vale la pena realizar la ampliación si la tasa mínima exigida por el
inversionista es de 15%.
b.-Determine además el riesgo de la inversión.
42
10.-Suponga que se ha definido tres escenarios 1 2 3 y, de acuerdo a los expertos el
primero tiene una probabilidad de 0,30, el segundo de 0,45 y el tercero de 0,25. Con una
inversión de 100000$ se puede seleccionar uno de los siguientes proyectos de inversión,
que tienen un horizonte económico de un año. Los flujos netos de caja asociados a cada
proyecto de acuerdo al estado de la naturaleza son:
Proyecto/Escenarios 1 2 3
Proyecto1 -1000 200000 300000
Proyecto2 90000 100000 200000
Proyecto3 40000 60000 400000
La tasa mínima exigida es del 15%
a.-De acuerdo a las probabilidades dadas, determine la esperanza matemática del VAN de
cada proyecto.
b.-Determina el riesgo de cada uno.
c.-¿Cuál de los proyectos selecciona y por qué?
11.-Con los datos del problema anterior, asuma que los escenarios se comportan de acuerdo
a una distribución beta.
a.-Determine la esperanza del VAN de cada proyecto.
a.-Determine el riesgo de cada uno.
c.-¿Cuál de los proyectos selecciona y por qué?
12-Ud desea seleccionar un proyecto en un ambiente económico donde se detectan seis
escenarios de los cuales no conoce la probabilidad de ocurrencia de los mismos. Tiene para
seleccionar cuatro proyectos con sus posibles beneficios, tal como se muestra a
continuación:
Proyecto/Escenarios 1 2 3 4 5 6
Proyecto1 -300 500 -100 800 1000 -20
Proyecto2 100 0 300 100 500 0
Proyecto3 -100 300 300 500 0 100
Proyecto4 200 -300 1000 -100 1000 0
a.-Establezca un criterio de selección.
b.-Seleccione una inversión de acuerdo al criterio establecido.
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