Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III
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Geometría
Analítica Plana
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I.Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III. La línea recta
IV. Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI. La parábola
VII. La elipse
VIII. La hipérbola
Geometría Analítica Plana
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http://www.licimep.org/MateFisica.htm
Problemas resueltos de Matemáticas y de
Física
•En particular, hay una sección dedicada a la Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos
•En esa sección hay problemas del Lehmann. En particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos
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http://speckle.inaoep.mx/~jjbaezr/
Página del doctor Javier Baez. Donde
están las presentaciones
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¿Qué es la Geometría Analítica?
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Es el estudio de la geometría
usando los principios del
álgebra y viceversa.
Es la unión de la geometría
y el álgebra
¿Qué es la Geometría Analítica?
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Ecuaciones en dos
variables
Figuras
geométricas en el plan
o
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Gracias al sistema
coordenado, al plano
cartesiano
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Que establece una correspondencia biunívoca, uno a
uno, entre los puntos del plano y
los pares ordenados de
números reales
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Abscisa
Ordenada
Plano cartesiano
,x y
x
y
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Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
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Dada una ecuación,
interpretarla geométricam
ente
Dada un figura geométrica,
determinar su ecuación
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
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Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Primer problema fundamental: La gráfica de una
ecuación
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Definición 1: El conjunto de los puntos,
y solamente de aquellos puntos, cuyas
coordenadas s
gráfica de la e
atisfagan una ecuación
, =0
se llama o, bien,
su
cuación
lugar geométr co .i
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
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Definición 2: Cualquier punto cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación
, =0
pertenece a la gráfica de la ecuación.
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
![Page 16: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/16.jpg)
Características de la ecuación
El conjunto solución de la ecuación,
formado por los puntos ordenados,
debe pertenecer al conjunto de los
números reales.
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Intersección con los
ejes
Construcción de la
curva
Extensión de la curva
Asíntotas
Simetría
Cálculo de
coordenadas
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Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosSegundo problema
fundamental: Encontrar la
ecuación de un lugar geométrico
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Consideremos ahora el segundo
problema fundamental de la
Geometría Analítica:
Dada una figura geométrica,
o la condición que deben cumplir
los puntos de la misma, determinar
su ecuación.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
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Una figura geométrica , tal como una curva ,
generalmente se da por su definición.
Por definición de un objeto entendemos una
descripción de ese objeto, de tal naturaleza
que sea posible identificarlo de una manera
definida entre todos los demás objetos de su
clase.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
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Debemos observar cuidadosamente lo que implica
este enunciado: expresa una condición necesaria y
suficiente para la existencia del objeto definido.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoPor definición de un objeto entendemos una descripción de
ese objeto, de tal naturaleza que sea posible identificarlo de
una manera definida entre todos los demás objetos de su clase.
![Page 22: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/22.jpg)
Así , consideremos que estamos definiendo
una curva plana del tipo por medio de
una propiedad , que únicamente posee .
Entonces, entre todas las curvas planas,
una curva es del tipo si y solamente
C
P C
C si
posee la propiedad .P
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
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Como un ejemplo especifico, consideremos una
curva plana muy conocida: la circunferencia.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 24: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/24.jpg)
Definimos una circunferencia como
una curva plana que posee la
propiedad única , que todos
sus puntos están a igual distancia
de un punto fijo en su plano.
P
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
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Esto significa que toda circunferencia
tiene la propiedad , y reciprocamente,
toda curva plana que tenga la
propiedad es una circunferencia.
P
P
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoDefinimos una circunferencia como una curva plana
que posee la propiedad única , que todos sus puntos
están a igual distancia de un punto fijo en su plano.
P
![Page 26: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/26.jpg)
Para una curva , dar la condición que deben
cumplir sus puntos es dar una ley a la cual
deben obedecer todos los puntos de la curva.
Esto significa que todo punto de la curva
debe satisfacer la ley particular de la curva.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
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De acuerdo con esto se define
frecuentemente una curva como
el lugar geométrico descrito por
un punto que se mueve siguiendo
una ley específica.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 28: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/28.jpg)
Así, una circunferencia puede definirse como
el lugar geométrico de un punto que se mueve
en un plano de tal manera que su distancia a
un punto fijo de ese plano es constante.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoDe acuerdo con esto se define frecuentemente una
curva como el lugar geométrico descrito por un
punto que se mueve siguiendo una ley específica.
![Page 29: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/29.jpg)
Un lugar geométrico no debe satisfacer necesariamente
una sola condición; puede satisfacer dos ó más
condiciones. Podemos tener una curva que sea el lugar
geométrico de un punto que se mueve de tal manera
que:
1 ) Pasa por un punto dado.
2) Se conserva siempre a una distancia constante de una
recta dada.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 30: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/30.jpg)
Definición:
Una curva es el lugar geométrico de
todos aquellos puntos, y solamente de
aquellos puntos, que satisfacen una o
más condiciones geométricas dadas.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 31: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/31.jpg)
i) Se debe observar que esta definición implica
que la condición o condiciones dadas sean
necesarias y suficientes para la existencia de
la curva.
ii) Esta definición debe también compararse
con la definición 1 del artículo 14:
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
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Definición 1: El conjunto de los
puntos, y solamente de aquellos
puntos, cuyas coordenadas
satisfagan una ecuación
, =0
se llama gráfica de la ecuación
o su lugar geométrico.
f x y
Definición:
Una curva es el lugar
geométrico de todos
aquellos puntos, y
solamente de aquellos
puntos, que satisfacen
una o más condiciones
geométricas dadas.
![Page 33: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/33.jpg)
Hasta ahora hemos estudiado
el problema desde un punto
de vista puramente geométrico.
Consideraremos ahora la
interpretación analítica.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 34: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/34.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Ecuación de un lugar
geométrico
![Page 35: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/35.jpg)
Ecuación de un lugar geométrico
Estudiaremos ahora el problema de la
determinación de la ecuación de un
lugar geometrico en el caso que la
interpretación analítica de la condición
o condiciones geometricas definen el
lugar geométrico.
![Page 36: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/36.jpg)
Ecuación de un lugar geométrico
El método es el indicado claramente
por las dos definiciones previas
siguientes:
![Page 37: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/37.jpg)
Definición 1: El conjunto de los
puntos, y solamente de aquellos
puntos, cuyas coordenadas
satisfagan una ecuación
, =0
se llama gráfica de la ecuación
o su lugar geométrico.
f x y
Definición:
Una curva es el lugar
geométrico de todos
aquellos puntos, y
solamente de aquellos
puntos, que satisfacen
una o más condiciones
geométricas dadas.
![Page 38: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/38.jpg)
Ecuación de un lugar geométrico
Combinando estas dos definiciones
tenemos una nueva:
![Page 39: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/39.jpg)
Definición:
Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una
ecuación de la forma
, 0
cuyas soluciones reales para valores correspondientes
de e son todas coordenadas de aquellos puntos,
y solam
f x y
x y
ente de aquellos puntos, que satisfacen la
condición o condiciones geométricas dadas que
definen el lugar geométrico.
Ecuación de un lugar geométrico
![Page 40: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/40.jpg)
Ecuación de un lugar geométrico
Nótese que esta definición expresa
una condición necesaria y suficiente
para que , 0 sea la ecuación
de un lugar geométrico.
f x y
![Page 41: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/41.jpg)
Ecuación de un lugar geométrico
De acuerdo con esto, el procedimiento
para obtener la ecuación de un lugar
geométrico es esencialmente como sigue :
Definición:
Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma
, 0
cuyas soluciones reales para valores correspondientes de e son todas
coordenadas de aquellos puntos, y s
f x y
x y
olamente de aquellos puntos, que
satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el
lugar geométrico.
![Page 42: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/42.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico1. Se supone que el punto ,
de coordenadas ( , ),
es un punto cualquiera que satisface la
condición ó condiciones dadas, y, por tanto,
un punto del lugar geométrico.
P
x y
![Page 43: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/43.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico2. Se expresa, analíticamente,
la condición o condiciones
geométricas dadas,
por medio de una ecuación o ecuaciones
en las coordenadas variables e . x y
![Page 44: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/44.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico
3. Se simplifica, si hace falta,
la ecuación obtenida en el paso
anterior 2 de tal manera que
tome la forma
( , ) 0f x y
![Page 45: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/45.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico
1 1
1 1
1 1
4. Se comprueba el reciproco:
Sean ( , ) las coordenadas de cualquier punto que satisfacen
( , ) 0, de tal manera que la ecuación ( , ) 0 es
verdadera.
Si de la ecuación ( , ) 0 se puede
x y
f x y f x y
f x y
1 1
deducir la expresión
analítica de la condición o condiciones geométricas dadas,
cuando se aplica al punto , , entonces , 0 es la
ecuación buscada del lugar geométrico.
x y f x y
![Page 46: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/46.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico
Nótese que en el paso 1 al tomar
como un punto cualquiera del lugar
geométrico, estamos considerando
todos los puntos de ese lugar geométrico.
P
![Page 47: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/47.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométricoEn la práctica generalmente se omite
el paso 4, ya que la repetición del
trabajo del paso 3 al paso 2 es,
en casi todos los casos, inmediata.
![Page 48: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/48.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico1. Se supone que el punto , de coordenadas ( , ), es un punto cualquiera
que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del
lugar geométrico.
2. Se expresa, analíticamente, la c
P x y
ondición o condiciones geométricas dadas,
por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables e .
3. Se simplifica, si hace falta,la ecuación obtenida en el paso anterior 2 de
tal mane
x y
1 1
1 1
ra que tome la forma ( , ) 0
4. Se comprueba el reciproco: Sean ( , ) las coordenadas de cualquier punto
que satisfacen ( , ) 0, de tal manera que la ecuación ( , ) 0 es
verdadera. Si de la
f x y
x y
f x y f x y
1 1
1 1
ecuación ( , ) 0 se puede deducir la expresión
analítica de la condición o condiciones geométricas dadas, cuando se aplica al
punto , , entonces , 0 es la ecuación buscada del lugar geométr
f x y
x y f x y
ico.
![Page 49: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/49.jpg)
Ecuación de un lugar geométrico.
Ejemplo 1. La circunferencia
![Page 50: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/50.jpg)
Encuentra la ecuación del lugar geométrico
de todos los puntos que están a una distancia
1 del origen.
Ecuación de un lugar geométrico.
Ejemplo 1. La circunferencia
![Page 51: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/51.jpg)
Encuentra la ecuación del lugar geométrico
de todos los puntos que están a una distancia
1 del origen.
Ecuación de un lugar geométrico.
Ejemplo 1. La circunferencia
¿Cuál es el lugar geométrico?
![Page 52: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/52.jpg)
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos
los puntos que están a una distancia 1 del origen.
Ecuación de un lugar geométrico.
Ejemplo 1. La circunferencia
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
![Page 53: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/53.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico1. Se supone que el punto , de coordenadas ( , ), es un punto cualquiera
que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del
lugar geométrico.
2. Se expresa, analíticamente, la c
P x y
ondición o condiciones geométricas dadas,
por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables e .
3. Se simplifica, si hace falta,la ecuación obtenida en el paso anterior 2 de
tal mane
x y
1 1
1 1
ra que tome la forma ( , ) 0
4. Se comprueba el reciproco: Sean ( , ) las coordenadas de cualquier punto
que satisfacen ( , ) 0, de tal manera que la ecuación ( , ) 0 es
verdadera. Si de la
f x y
x y
f x y f x y
1 1
1 1
ecuación ( , ) 0 se puede deducir la expresión
analítica de la condición o condiciones geométricas dadas, cuando se aplica al
punto , , entonces , 0 es la ecuación buscada del lugar geométr
f x y
x y f x y
ico.
![Page 54: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/54.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico1. Se supone que el punto ,
de coordenadas ( , ),
es un punto cualquiera que satisface la
condición ó condiciones dadas, y, por tanto,
un punto del lugar geométrico.
P
x y
![Page 55: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/55.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico2. Se expresa, analíticamente,
la condición o condiciones
geométricas dadas,
por medio de una ecuación o ecuaciones
en las coordenadas variables e . x y
![Page 56: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/56.jpg)
1 1 1 2 2 2
2 2
2 1 2 1
Teorema 2. La distancia , entre dos
puntos ( , ) y ( , ), está dada
por la formula:
d
P x y P x y
d x x y y
La distancia entre dos puntos
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Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico2. Se expresa, analíticamente,
la condición o condiciones
geométricas dadas,
por medio de una ecuación o ecuaciones
en las coordenadas variables e . x y
![Page 58: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/58.jpg)
Ecuación de un lugar geométrico.
Ejemplo 1. La circunferencia
2 2
2 2
La distancia del punto , generico
al origen es
Esa distancia siempre es igual a 1.
Por lo tanto, la ecuación es
1x
P x
y
y
d x y
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Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico
3. Se simplifica, si hace falta,
la ecuación obtenida en el paso
anterior 2 de tal manera que
tome la forma
( , ) 0f x y
![Page 60: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/60.jpg)
Ecuación de un lugar geométrico.
Ejemplo 1. La circunferencia
2 2 1x y
2 2
Se simplifica la ecua
1
ción,
0x y
![Page 61: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/61.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico
1 1
1 1
1 1
4. Se comprueba el reciproco:
Sean ( , ) las coordenadas de cualquier punto que satisfacen
( , ) 0, de tal manera que la ecuación ( , ) 0 es
verdadera.
Si de la ecuación ( , ) 0 se puede
x y
f x y f x y
f x y
1 1
deducir la expresión
analítica de la condición o condiciones geométricas dadas,
cuando se aplica al punto , , entonces , 0 es la
ecuación buscada del lugar geométrico.
x y f x y
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Ecuación de un lugar geométrico.
Ejemplo 1. La circunferencia
1 1 1
2 21 1
2 21 1
2 2
1 1 1
1 1
Sea , un punto que satisface la ecuación;
es decir, 1 0 es verdadera.
Entonces
1
1
que es la condición geo
, , 1
métrica.
P x
d
y
x y
x y
x y
P x y O
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Ecuación de un lugar
geométrico.Ejemplo 2
![Page 64: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/64.jpg)
14. Un punto se mueve de tal manera que su
distancia al punto 2,4 es siempre igual a
su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A
Y
Ecuación de un lugar geométrico.Ejemplo 2
Ejercicio 14, grupo 8, capítulo II. Página 54
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14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
Sea , un punto genérico y arbitrario
del lugar geométrico.
La especificación del lugar geométrico se
escribe, en términos algebráicos, como
, , 2,4 , , 3
P x y
d P x y A d P x y Y
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14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
2 2
Ahora
, , 2,4 , , 3
es
2 4 3
d P x y A d P x y Y
x y x
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
![Page 67: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/67.jpg)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Elevando al cuadrado:
2 4 3
Desarrollando los cuadrados:
4 4 8 16 6 9
Pasando todo al primer miembro:
4 4 8 16 6 9 0
x y x
x x y y x x
x x y y x x
2 22 4 3x y x
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
![Page 68: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/68.jpg)
2 2 24 4 8 16 6 9 0x x y y x x
2
2
2 2
Reduciendo términos semejantes:
8 0
8 10 11 0
4 4 16 96x y y
y y x
x x x
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
![Page 69: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/69.jpg)
14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
2
La ecuación del lugar geométrico es:
8 10 11 0y y x
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
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21 1 1
21 1
2 2 21 1 1 1 1 1
2
1 1
2 2
1 1 1
2 2
1 1 1
1 1 1 1 1
21 1
1
2
8 10 11 0
8 0
4 4
4
8 16 6 9
2 4 3
2 4 3
, , 2,4 , ,
16 94 6
3
y y x
y y
x x y y x x
x y x
x y x
d P x y A
x
d P x y Y
xx x
2 8 10 11 0y y x
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
![Page 71: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/71.jpg)
2 8 10 11 0y y x
![Page 72: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/72.jpg)
Ecuación de un lugar
geométrico.Ejemplo 3
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Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico. Ejemplo 323. Dos de los vértices de un triángulo son
los puntos fijos (-1,3) y (5,1). Hallar la
ecuación del lugar geométrico del tercer
vértice si se mueve de tal manera que la
pendiente del lado es si
A B
C
AC��������������
empre el doble
de la del lado .
2AC BC
BC
m m����������������������������
��������������
![Page 74: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/74.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 3
1,3A
5,1B
C
2
AC BCm m����������������������������
![Page 75: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/75.jpg)
1
2
Solución:
Sea ( , ) un punto cualquiera del lugar geométrico.
3La pendiente del lado es
11
La pendiente del lado es 5
Segun el problema, , debe satisfacer la
condición geomé
P x y
yAP m
xy
BP mx
P x y
��������������
��������������
1 2trica 2m m
23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos (-1,3) y (5,1).
Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice si se mueve de
tal manera que la pendiente del lado es
A B
C
AC��������������
siempre el doble de la del lado .BC��������������
![Page 76: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/76.jpg)
1 2
La condición geométrica especificada,
que la pendiente del lado es siempre
el doble de la del lado ; es decir, que
2
se expresa analíticamente como
3 1=2
1 5
AP
BP
m m
y y
x x
��������������
��������������
23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos (-1,3) y (5,1).
Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice si se mueve de
tal manera que la pendiente del lado es
A B
C
AC��������������
siempre el doble de la del lado .BC��������������
![Page 77: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/77.jpg)
Simplificamos ahora la expresión que
expresa la condición analíticamente,
3 12 0
1 53 5 2 1 1
01 5
3 5 15 2 2 2 20
1 5
y y
x xy x y x
x x
xy x y xy x y
x x
3 1=2
1 5
y y
x x
![Page 78: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/78.jpg)
3 5 15 2 2 2 20
1 5
7
7 17 0
170
1 5
7 17 0
xy x y xy x y
x x
xy x y
x x
x y
xy y
y x
x
3 1=2
1 5
y y
x x
![Page 79: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/79.jpg)
1 1 1
Nos falta comprobar ahora el recíproco, el punto 4
de los pasos que hemos especificado; es decir,
si un punto ( , ) satisface la ecuación
7 17 0
entonces satisface la condición geométrica,
que la
P x y
xy x y
pendiente del lado es siempre el doble de
la del lado .
AP
BP
��������������
��������������
![Page 80: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/80.jpg)
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
Como el punto ( , ) satisface la ecuación
7 17 0
tenemos
7 17 0
Dividimos ambos lados de la ecuación,
7 170
1 5
P x y
xy x y
x y x y
x y x y
x x
![Page 81: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/81.jpg)
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1
1
13 3 5 5 15 1
7 170
1 5
Y ahora separamos las fracciones
7 170
1 5
3 5 15 2 2 2 20
1 5
( 5)( 3) 2( 1)( 1)0
1 5
( 5)(
5
x y x y
x x
x y x y
x x
x y x y x y x y
x x
x y y x
x x
x
x y x y x x y y
y
1 1 1
1 1
3) 2( 1)( 1)0
1 5
y x
x x
![Page 82: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/82.jpg)
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 2
( 5)( 3) 2( 1)( 1)0
1 5
( 5)( 3) ( 1)( 1)2 0
1 5 1 5
3 12 0
1 5
3 12
5
2
1
m m
x y y x
x x
x y y x
x x x x
y y
x x
y y
x x
![Page 83: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/83.jpg)
7 17 0xy x y
![Page 84: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/84.jpg)
![Page 85: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/85.jpg)
![Page 86: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/86.jpg)
![Page 87: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/87.jpg)
Ecuación de un lugar
geométrico.Ejemplo 4
![Page 88: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/88.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico. Ejemplo 4
![Page 89: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/89.jpg)
2
2
( - 3)² ( -1)² ( / 2)
( - 3)² ( -1)² / 4
( - 3)² ( -1)² / 4 0
(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0
(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0
x y x
x y x
x y x
x x y y
x x y y
![Page 90: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/90.jpg)
2 3 4 5 6 7
-1
0
1
2
3
x
y(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0x x y y
![Page 91: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/91.jpg)
Ecuación de un lugar
geométrico.Ejemplo 5
![Page 92: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/92.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico. Ejemplo 5
5. Un punto se mueve de tal manera que su
distancia al punto 2,3 es siempre igual a 5.
Hallar la ecuación de su lugar geométrico y
dar una interpretación geométrica.
![Page 93: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/93.jpg)
1. Se supone que el punto P, de coordenadas ( , ) es un
punto cualquiera que satisface la condición o condiciones
dadas, y , por tanto, un punto del lu
Sea entonces
gar geométri
, un pu
c
nto genera
o.
l P x y
x y
y arbitrario del
lugar geométrico.
![Page 94: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/94.jpg)
2. Se expresa , analíticamente , la condición o
condiciones geometricas dadas, por medio de
una ecuación o ecuaciones en las coordenadas
variables y .
En este caso esa condición se escribe
, , 2,3 5d P x y A
x y
2 2
que se expresa como
2 3 5x y
![Page 95: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/95.jpg)
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
3. Se simplifica , si hace falta , la ecuación
obtenida en el paso 2 de tal manera que
tome la forma
En este caso
2 3 5
2 3 25
4 4 6 9 25
4 4 6 9 25
, 0
4 2
0
6 1 0
x y
x y
x x y y
x x
f
y x y
x
x
y
y y
![Page 96: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/96.jpg)
1 14 . Se comprueba el reciproco : Sean , las coordenadas de
ctialquier punto que satisfacen (1) de tal manera que la ecuación
es verdadera . Si de (2) se puede deducir la expresi6n analitica de la
cond
x y
2 2
1 1
2 2
1 1
2 21 1 1 1
2
1
1
1
1
ición o condiciones geometricas dadas, cuando se aplica a1 punto
( , y ) , entonces (I) es la ecuación buscada del lugar geométr
En este caso
2 3 5
2 3 25
4 4 6 9 25
ic
4
o.
x y
x y
x x y y
x
x
x
21 1
2 21 1 1 1
4 6 9 25 0
4 6 12 0
y y
x y x y
![Page 97: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/97.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 5
2 2
Construir la gráfica de la
ecuación
4 6 12 0x y x y
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2 2
2
Intersecciones con los ejes
Eje :
Hacemos 0 en la ecuación
4 6 12 0,
y obtenemos
4 12 0
La factorizamos
6 2 0
Las intersecciones del eje son 6 y 2
X
y
x y x y
x x
x x
X
![Page 99: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/99.jpg)
2 2
2
2
Intersecciones con los ejes
Eje :
Hacemos 0 en la ecuación
4 6 12 0,
y obtenemos
6 12 0,
La resolvemos
6 6 4 1 12 6 36 48
2 1 2
6 84 6 4 21 6 2 213 21
2 2 2
Las intersecciones del eje son 3
Y
x
x y x y
y y
y
Y
21 y 3 21
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Simetrías
No tiene
![Page 101: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/101.jpg)
2 2
2 2
2 2
2
Extensión
En el eje :
Despejamos como función de ,
de 4 6 12 0,
6 36 4 4 12 6 4 16 84
2 2
6 4 4 21 6 2 4 21
2 2
3 4 21
X
y x
x y x y
x x x xy
x x x x
y x x
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Asíntotas
No tiene
![Page 103: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/103.jpg)
2 2 4 6 12 0x y x y
2,3
![Page 104: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/104.jpg)
Ecuación de un lugar
geométrico.Ejemplo 6
![Page 105: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/105.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico. Ejemplo 6Hallar la ecuación del lugar geométrico
de un punto que se mueve de tal manera
que siempre equidista de dos puntos
dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B
![Page 106: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/106.jpg)
Hallar la ecuación del lugar geométrico
de un punto que se mueve de tal manera
que siempre equidista de dos puntos
dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B
![Page 107: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/107.jpg)
![Page 108: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/108.jpg)
![Page 109: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/109.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo
6
La ecuación buscada es
5 3 6 0x y
Hallar la ecuación del lugar geométrico
de un punto que se mueve de tal manera
que siempre equidista de dos puntos
dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B
![Page 110: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/110.jpg)
5 3 6 0x y
![Page 111: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/111.jpg)
Ecuación de un lugar
geométrico.Ejemplo 7
![Page 112: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/112.jpg)
Un punto se mueve de tal manera que su distancia
del eje es siempre igual a su distancia del punto
4, 0 . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 7
![Page 113: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/113.jpg)
Sea ( , ) un punto cualquiera del lugar geométrico.
Sea el pie de la perpendicular de al eje ,
según el problema, debe satisfacer lacondición
geométrica
P x y
B P Y
P
PB PA
Un punto se mueve de tal manera que su distancia
del eje es siempre igual a su distancia del punto
4, 0 . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 7
![Page 114: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/114.jpg)
2 2
22 2
2 2 2
2
4
4
8 16
8 16 0
PB PA
x x y
x x y
x x x y
y x
Un punto se mueve de tal manera que su distancia
del eje es siempre igual a su distancia del punto
4, 0 . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 7
![Page 115: Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/5571f86449795991698d524f/html5/thumbnails/115.jpg)
2 8 16 0y x
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 7
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
y 2 8 16 0y x