Capitulo J. SOLUCI6N NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES · SOLUCI6N NUMERICA DE SISTEMAS DE...

(325)

(326)

Capitulo J SOLUCI6N NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 169

r(u v) o (f(uv) =0)

j (327)

s(uv) o

para las incognitas u y v

Usando el metodo de Newton-Raphson para sistemas no-lineales si

donde ru rv suo S v son las derivadas parciales de r y s con respecto a u y v

respectivamente entonces en la k-esima iteracion (para determinar u y v) tenemos

(328 )

Aparentemente no se dispone de las derivadas parciales de r y s por no conocerse una relacion explicita para r y s sin embargo si usamos la relacion de recurrencia para ai bi u v r y s dada en (3 26) y derivamos parcialmente con respecto a u obtenemos

(bn- 2 t = 0 pues bn_2 = an con an constante y

(bn-3 )u = bn_2

(bn- 4 )u = bn-3 + u(bn 3)u

(bn-s)u = bn_4 + u(bn_4 t + v(bn- 3)u (3 29)

ru =bo +u(bo)u + v(b)u

Su =r+u ru + v(b ot

Si defin imos = (bk - 2 )u k = n -ln - 2 2 c = ru y C o = Su las relaciones en (3 29) ck

pueden escribirse como sigue

170 METODOS NUMERICOS

cn_1 = bn ~2

Cn 2 = bn ~ 3 + UCn_1

_ = bn_ + UCn_2 + VCn_Cn 3 4 1 (3 30)

-= b + U C3 + V C4C 2

C =bo + uc 2 + VC 3

cO = r + uc +vC2 de modo Que

de modo que

redundante Yse convierte en

C (k)

J(Xlkl ) == 1

[ c (k)o

(k) (k )donde c Y Co son los valores de c Y Co obtenidos en las ecuaciones (3 30) en la

iteracion k-esima

Para obtener expresiones para ry(x lk)) Y Sv (X (k) ) derivamos parcialmente las mismas

relaciones en (3 26) pero con respecto a v con 10 cual obtenemos

(bn_4 )y =bn-2

(bn -s) v = U(bn ~ 4) v + bn ~ 3 -= bn ~ 3 + u(bn_4)y

(b r 5)y = u(bn ~ s)y + b 4 + v(bn_4L= bn_4 + u(bn_s)y + v(bn_4)y

1 (boI u(b I + b + v(b I b + U(bI + v(b I (3 31 )

I ry = u(bo)v + b + V(b L= b + u(bo)y + v(b )v

l Sv = ury + bo + v(bo) y = bo ~ urv + V(boL

Si definimos dk=(bk ~ 3)v k=n - 1n-2 3 d2 = ry Y d = sv entonces las ecuaciones

(3 31) se convlerten en

(330)

111Iwllnnpc (3 30) en la

IIIilIllTlPnlp las mismas

(331 )

Capitulo 3 SOLUCI6N NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 171

dn_ =bn- 2

dn- = bn_ + udn_2 3

dn - 3 = bn-4 + udn_2 + vdn_1 (332)

d3 =b2 + ud4 + vd 5

= b + ud 3 + vd 4d2

d = ba + ud 2 + vd3

de modo que (k)

c 1J(Xik))= [ C (k)

a

Si observamos las ecuaciones (3 30) y (332) vemos que elias producen los mismos valores para k=n - 1n - 2 1 es decir dk = Ck k = n - ln - 2 1 por tanto (332) es

redundante Y J( X(k)) puede calcularse como -------------------~

Resumimos la discusi6n precedente en el siguiente algoritmo

2Algoritmo 37 (Metodo de Ba irstow) Para encontrar un factor cuadratico x - ux - v de un polinomio con coeficientes reales

Entrada EI grado n del pol inomio p(x) los coeficientes aaa an de l pol inomio p(x) unas

aproximaciones iniciales ua va de u Y v respectivame nte una to lerancia Tol Y

un numero maximo de iteraciones N

Salida Un factor cuadratico aproximado x2 - ux - v del polinomio p(x) 0 un mensaje

Paso 1 Hacer

(observe que se cambi6 la nota cion de sub indices)

Paso 2 Tomar 1=1

Paso 3 Mientras que i 5 N seguir los pasos 4-10

172 METODOS NUMERIC OS

Paso 5 Para k = n - 2n - 30 hacer

bk = ak + uObk + + vObk +2

ck =bk + + UOck+ + V OC k +2

(con este cambio de subindices b = r y bo = s)

2 (cPaso 6 Hacer J =- COc2 - c (aqu l J es igual a - det Co

Paso 7 Hacer c b - c2bo u = Uo + J

ebo - Cob v = vo + J

(Se esta usando la regia de Cramer para resolver el sistema)

Paso 8 Si Ib I Ir I lt Tol Y Ibo I= Is 1ltTol entonces salida Un factor

cuadratico aproximado de l pol inomio dado y los correspondientes 2valores de r y s son x - ux - v r = b s = bo Terminar

Paso 9 Tomar i = i + 1

Paso 10 Hacer Uo = u

Vo = v

Paso 11 Salida Se alcanz6 el numero maximo de iteraciones N pero no la tolerancia Terminar

Ejemplo 316 Encontra r todas las ra lces de la ecuaci6n X4 - 4x3 + 7x 2 - 5x - 2 =0 usando

el metodo de Bairstow

Soluci6n Con un programa disenado sigu iendo el algoritmo 37 anterior se obtienen los siguientes resultados

10- 10Para las aproximaciones iniciales Uo =3 Y va = - 4 Y una to lerancia Tol = se obtiene

en la septima iteraci6n que u =22756822037 Y v = -36273650847 Y los valores de r y s

correspondientes son r =- - 57853028 x 10- 6 Y s = - 11423154 x 10-15

Las ra ices del factor rll2rlr2hlIIJ

con parte rea l 11378411018 obtiene el pol inomio

cuyas raices son XI

BAI RSTOW( p(x) X uo

Bairstow ap licado al

aproximaciones

BAI RSTOW( i - 4x3

Ejemplo 317


Las raices del factor cuadratico aproximado x 2 - UX - v obtenido son compleJas conJugadas

con parte real 11378411018 y parte imaginaria 15273122509 Y si usamos Deflacion se obtiene el polinomio reducido de grado dos

q(x) = x 2 -17243177963x- 5513644073

cuyas ralces son Xl = 20000000000 Y x2 = - 2756822037 bull

Instrucci6n en DERIVE

BAIRSTOW( p( x) x uo vo N) aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de

Bairstow aplicado al polinomio p(x) para obtener valores aprox imados UN y vN de los

coeficientes u y v de un factor cuadratico x2 - UX - v del polinomio p( x) tomando como

aproximaciones iniciales Uo y vo Para este ejemplo aproXime la exp resi6n

BAIRSTOW( X4 - 4x3 + 7x 2 - 5x - 2 x 3 - 47) 0

Ejemplo 317 Encontrar todas las raices de la ecuacion

p(x) = x7 - 28x6 + 322xs -1960X4 + 6769x3 - 131 32x2 + 13068x - 5040 = 0

usando el metodo de Bairstow

Soluci6n Si aplicamos el metodo de Bairstow con Deflacion para hailar todas las raices de la ecuaci6n polin6mica dada se obtienen los resultados que aparecen a continuacion

10usando como tolerancia Tol = 10-

Para los valores iniciales Uo =2 Y Vo = 3 se obtiene en la octava iterac lon

u = 40000000000 v = - 30000000000 Y los valores de r y s correspondientes son 11r=-18927082 x 10-11 y s=-36550318x10 Las dos rarces del factor cuadratico

aproximado obtenido son 300000000000 10000000000 Y el polinomio reducido qs (x) de

gradocinco es qs(x)=xs -24x4 +223x3 -99f1x 2 +2116x - 1680

Si aplicamos Deflacion es decir aplicamos el metodo de Bairstow al polinomio reducldo

qs(x) se obtiene para los valores iniciales Uo = 3 Y va 5 en la decima iteraci6n los

valores de u = 800000000000 v = -120000000000 r = 14388490 x 10 -13 Y

s = 91660013 x 10- 13 Las ralces del factor cuadratico aproximado correspondiente son 60000000000 y 200000000000 Y el polinomio reducido de grado tres es

q3(X) = x3 -16x 2 +83x-140

AI aplicar nuevamente Deflacion para los valores iniciales U o = 8 Y Vo = 30 se obtlene el

la septima iteracion u = 90000000000 v = -200000000000 r = 86330942 x 10 13

Y

s = 83950624 x 10 - 12 Las ralces del factor cuadratico correspondiente son 500000000000


y 40000000000 Y el poilnomlo reducido de grado uno es Ql(X) = x - 7 Que nos leva a 4 Oados los cuatro sistemas dt

obtener como ultima raiz aproximada de la ecuaci6n pol inomica original el valor 70 AX =b141 donde

Las raices exactas de la ecuaclon polinomica dada son 1 2 3 4 56 Y 7 bull 2 -3 1

A = 1 1 -1 [ - 1 1 -J

TALLER 3 a) Resuelva los sistemas

(A bl ) b(21b(3 bl )

1 Use el metoda de Ilmlnaclon Gaussiana simple (sin pivoteo) con sustitucion regresiva y aritmetlca exacta para reso lver si es poslble los sistemas lineales AX =b siguientes y encuentre matrices P de permutaclon L triangular Inferior con sus elementos diagonales iguales a 1 y U escalonada (triangu lar superior) tales que PA =LU

( 1

1 X1 - X2 + X3 =4

2 r X1 -x 2 r3x 3 - 2 2x - X2 - X 3 + x4 = 5 a) 13X -3x +x ~~ 1 b)

x 1 X 2 = 3 c)

2 Use el algoritmo 32 y antmetlca de precision senci lla en un computador para resolver si es posib le los siguientes sistemas de ecuaciones

3 Resuelva los siguientes sistemas AX = b por Ellm inacion Gaussiana sin pivoteo Chequee si A tlene factorizaci6n LU con L triangular inferior con sus elementos diagonales Iguales a 1 y U escalonada (triangular superior)

b) A = [~ ~l b = [ 1~2 ~~l 1 1

1 2 3 4 - iI

=4

b= ~ J -1 - 1


4 Dados los cuatro sistemas de ecuaciones lineales AX = b( ) AX = b (2) AX - b (3 ) Y

AX = b (4) donde

a) Resuelva los sistemas lineales aplicando eliminacion Gaussiana a la matriz aumentada

(A b tl) b (21 b P) b (41) Y luego hacienda sustitucion reg resiva

b) Resuelva los sistemas lineales usando eliminaci6n Gaussiana para obtener matrices P L Y U tales que PA = LU Y luego siguiendo los pasos siguientes

Paso1 Calcular Pb(I) i = 1234

Paso 2 Resolver para C(i LC( i =Pb(i i = 1234 par sustitueion progresiva

Paso 3 Resolver para X (I) U X( I) =e(i) i = 1234 por susti tueion regresiva

c) Resuelva los sistemas lineales aplicando el metoda de Gauss-Jordan a la matriz aumentada de a)

d) Resuelva los sistemas lineales encontrando la inversa de la matriz A y calculando los

A 1b(i - 1 2 3 4 productos I -

e) Cual metodo de los anteriores parece ser mas facll Cual metoda de los anterJores requiere mas operaciones

5 Encontrar II X 11 0lt y II X 11 2 para cada uno de los siguient-es vectores

( ( 3) T

)

a) X = 3 -402 b) X (2 1- 34f

T c) X = (sen k cosk2k) para un entero positiv~ fiJo k

6 a) Verificar que la funcion II definida en R n por

n

II XII = I lxll 1=

es una norma vectorial

b) Encontrar II X II para cada uno de los vectores dados en el eJercicio 5

176 METODOS NUMpoundRICOS

7 Demuestre que para todo X E Rn II X ~ X L c) Calcule II XII Y

II X II $11 X 11 2$ 11 X II

y que las igualdades pueden ocurrir aun para vectores no nulos

14 Cons idere ~ 1 sistema

8 Demuestre que para todo X Rn

II X 111~ nil X II y II X II 2$ r111 X II00

9 a) Encuentre II A112 IIA II y II AIIr para cada una de las siguientes matrices

A=C~) A= [ ~1 ~ ~l I ~1 ~ 1 2

15 EI sistema b) Calcu le el radio espectral p(A) para cada una de las matrices dadas en a)

10 Demuestre que si A es simetrica entonces II A 112 = p(A)

( 1

11 Calcule Cond cr (A) y Cond (A) para cada una de las matrices dadas en el ejercicio

9a)

12 Sea A R bull Demuestre que Cond (A) = Cond (a A para cualqu ier escalar a E n n (

a c 0

)

13 a) Considere el sistema lineal AX =b dado por

y calcule su soluci6n exacta X

b) Considere ahora el sistema perturbado (A + cAlX =b dado por

( 1 1 )(X1) ~ r 2 ) 1 101 1 201x2


i

Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 177

c) Calcule II ~ ~ Y comparela con la cota de error obtenida a partir del teorema 34ltQ

Es la matriz A mal condicionada

14 Considere 1 sistema

780X+ 563x2 = 217 913 x + 659x2 = 254

Calcule el vector error residual R = AX -b para las dos soluciones aproximadas

X = (341 - 087)T Y X2 = (999- 1001)T Y concluya a partir unicamente del tamano de

estos errores residuales cual es la meJor aproximacion de la solucion del sistema

Verifique que la solucion exacta del sistema es X (1-1f

15 EI sistema

+ y = o

999999y == 1

tiene solucion exacta x = 106 Y == _10 6 Encuentre la solucion exacta del sistema

X + y = 0

x + 1000001y = 1

Comente ampliamente los resultados

16 Considere las matrices

A ~( 11 -1 ) (1 -1)-100001 8 == -1 100001

Muestre que Cond (A) 1 Y Cond (8) ~ 4 x 105 Muestre Sin embargo que

Cond 2(A) == Cond 2(8) Concluya que Cond() no es un buen numero de condicion

para matrices no simetricas Es A mal condicionada 0 bien condlcionada

17 La matriz de Hilbert H(n) =(hJmiddot)nn definida por h middot = __1_ 1 ~ i J ~ n es un importante I i + j - 1

eJemplo en el algebra lineal numerica

a) Encuentre la matriz H(4) demuestre que

178 MElOOOS NUMERIC OS

- 120 240 - 140 ][ 16 1200 -2700 1680

[H(4)r - ~214 0 - 2700 6480 -4200

-140 1680 -4200 2800

y calcule Cond (H( 4))

b) Resuelva el sistema lineal

usando antmetica con redondeo a tres digitos y compare el error real en la

aproximaci6n ca lculada con la cota de error dada en el teorema 33 Es la matriz H(4) mal condic ionada

18 Considere el sistema lineal

2 1 2X1 + - X2 + - X3

3 3 Xl + 2X2 - X3 - 0

6x l + 2x2 + 2X3 = -2

y verifique que su soluci6n es x -= 26 x2 -38 X 3 = -50

a) Usando aritmetica de punto flotante decimal con redondeo a cuatro digitos resuelva el sistema anterior por el metodo de el iminaci6n Gaussiana sin pivoteo

b) Repita la pa rte a) usando pivoteo parcial y pivoteo escalado de fila

c) Cual de las tres soluciones calculadas en a) y b) es la mejor Explique

19 a) Muestre todos los pasos intermedios esto es los multiplicadores los factores de escala S y el vector de in tercambios p al aplicar el pivoteo escalado de fila sobre la

matriz siguiente

1 -2 3J A = 3 -5 - 1 [

2 -4 2

b) Use la in formaci6n de la parte a) pa ra encontrar matrices P L y U correspondientes al metodo de pivoteo esca lado de fila tales que PA =LU

1 1 Xl + 2X2 +iX

1 1 1 b) 2 Xl + 3x2+iJ

1 1 13 Xl +4X2+S

1 1 xl +2 X2 T3

1 1 1 2 Xl +3 X2 t 4

1 1 c) - Xl +-X2 middot

3 4 1 1 4 Xl +SX2

1 1 -Xl +- Xl 4 5

Capitulo 3 SOLUGI6N NUMERIGA DE SISTEMAS DE EGUAGIONES 179

c) Use la factorizaci6n PA = LU para calcular detA

20 Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando aritmetica de computador en precisi6nsimple y eliminaci6n Gaussiana con i) sin pivoteo ii) pivoteo parcial iii) pivoteo escalado de fila

2641X I +1735X2 +8642X3 = -7521

a) - 8641x l - 424 3x2 +0711x3 = 2501j9411x l +0175x2 +1463x3 = 6310

1 1 XI + - X2 + -X3 = 2

2 3 1 1 1

b) -XI + - X2 + - X3 =-1 2 3 4 1 1 1 - XI + - x2 + - X3 = 0 3 4 5

1 1 1 1 XI + - x2 + - X3 + - x4 + - Xs = 1

2 3 4 5 1 1 1 1 1 -XI + - x2 +-X3 + - X4 + - xs =1 2 3 4 5 6 1 1 1

c) -XI + - X2 +-X3 + - x4 +-xs =1 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 - XI + -X2 + -X3 + - X4 + - xs = 1 45678 1 1 1 1 1 - XI + - + - X3 - + - Xs = 1x 2 x445679

En cad a caso estime el numero de cond icion relativo a la norma II middot II de la matriz de JO

coeficientes y concluya sobre el bien 0 mal condicionam iento de esta matriz y Sl es posible sobre la bondad de la soluci6n cG iculada

21 Determine cuales de las siguientes matrices son i) simetricas ii) s ingulares iii) estrictamente dOry1nantes diagonalmente (EOD) por filas iv) defi0 idasfositi~ast

a) (2 1) b) (-2 1) l 1 3 1 -3

22 Defina la matriz tridiagonal de orden n


2 - 1 0 0

-1 2 - 1 0 A -T1 - 0 1 2 -1

0 -1 2

a) Encuentre una f6rmula general para An = LU con L triangular inferior con sus

elementos diagonales iguales a uno y U triangular superior

b) Use la factorizaci6n obtenida en a) para resolver el sistema An X = bn donde

b (1 1 1)T para n = 3 4 5 6

c) Con base en la respuesta obtenida en a) muestre que la matriz An es invertible

23 Pruebe que si A = LLT can L -= Rnn no singular entonces A es simetrica y definida

positiva

28

j

2Xl +x a) XI +6

2

24 Usando el metoda de Choleski encuentre la factorizaci6n A =LLT para las siguientes matrices

- 18 15 - 30 [ 15[ 225 24 -18-1~~1 b) A= -18 -]a) A = - 30 50

15 -18 18 -3 45 -10 0 340

-3 4 -3 1

25 Considere la matriz A - ( 2 3) Verifique que la matriz A flO1 es estrictamente dominante 1 4 ~

diagonalmente (por fi las) pero que los metodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel para resolver cualq uier sistema AX = b convergen

26 Demuestre que para la matriz

A=(- ~ ~ ~ ]l 1 2 - 3

las iteraciones de Jacobi convergen y las de Gauss-Seidel divergen

27 Considere el sistema

Capi tulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 181

2X + Y + z = 4

j x+2y + z = 4

X + Y+ 2z = 4

a) Muestre que la matriz de coe ficientes del sistema no es estrictamente dominante diagonalmente (par filas )

inferior can sus b) Partiendo de X(O) = (88 8)T muestre que las iteraciones de Jacobi oscilan entre los

valores (121212f y (888( donde

c) Muestre que las iteraciones de Gauss-Seidel convergen a la soluci6n X - (1 1 1f

calculando iteraciones hasta que II X (k) - XIH) II lt 10 -3

28 Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones expl ique si los metodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen 0 no En los casas donde haya

3convergencia calcule las iteraciones hasta que II X (k) - X (k - l) II f lt 10 -

T para las siguientes 2X1 + x2 = 1 2Xl + X2 - 3x3 = - 1 - X1 2x 2 + 3X3 = 0

a) x1+6x2 =3 b) -Xl +3X2 + 2X3 = 12 c) 4 x - + X3 = 6j2X 2 + X3 = 1 3x1 +X2-3x3= 0 2x1 + 3x2 - X3 =0 - 2 1

x2

42X1 + x2 - X3 ~ 1 3 ~2~2 4x

3 + X ~

d) X1 +X2 - - 1 e) Xl - X3 +3X4 = - 1

x1- x2 + 2x3 = 21 2X1 + x2 -- X3 = 11 29 Para cada uno de los sistemas del eje rcicio 28 si la matriz de coeficientes no es

estrictamente dominante diagonalmente (par filas) reordenelo de modo que el nuevo sistema equivalente tenga matriz de coeficientes 10 mas cercana posible a ser estrictamente dominante diagonalmente (par fil as) y estu die la convergencia a divergencia de los metodos iterat ivos de Jacobi y Gauss-Seidel para estos sistemas reordenados En los casas donde haya convergencia calcule las iteraciones hasta que

3II X (k) - X (k-1) II lt 1 0 -

30 Para cada uno de los sistemas reordenados del ejercicio 30 use el metoda SOR can

w =12 w = 8


31 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones no-li ne~les usando el metoda de Punta Fija y el metodo de Newton-Raphson En los casas donde haya convergencia del

metodo calcule las iteraciones hasta que II X (k) - X(k - l) II co lt 10- 3 En cada casa haga

una grafica que ilustre cuantas saluciones reales tiene el sistema

4 X2 _ y2 =0 c)

4xy2 - X= 1 32 Use el metodo de Newton-Raphson para aproximar un punto cri tica de la funci6n

33 Considere el polinomio

a) Haga una grMica que ilustre cuantas ra lces reales tiene la ecuaci6n p( x) = 0

b) Aplique el algaritmo 37 (metodo de Bairstow) can punto inicial (uo Yo) = (31) Y

Tol == 10 3 Una vez que haya encontrada un factor cuadratica x2 - UX - v use

Deflaci6n para encantrar tadas las raic~s de la ecuaci6n p( x) = 0

CAPiTULO 4 J

INTRODucelON

En este capitulo siguiente

Problema 1 Dados n

en los cuales xo x grado menor 0 igual

se Ie denomina colocaci6n para

lIamados nodOl

x2 - ux - v use

CAPiTULO 4 INTERPOlACION POLINOMIAl YAJUSTE POLINOMIAl

INTRODUCCION

En este capitulo trataremos basicamente dos problemas el primero de los cuales es el siguiente

Problema 1 Dados n + 1 puntos de R 2

(Xo Yo) (Xl Y1) (Xn Y n )

en los cuales XOXl Xn son numeros distintos se qu ie re encontrar un polinomio Pn(x) de

grado menor 0 igual que n tal que

Probaremos que un tal polinomio Pn(x) siempre existe Y ademas es unico A tal polinomio

se Ie denomina polinomio de interpolacion polinomio interpolante 0 polinomio de colocacion para los puntos (datos) dados En este contexto los numeros xox xn son

IIamados nodos Cuando n = 1 es decir s610 tenemos dos puntos el polinomio de interpolaci6n correspondiente se denomina tambien polinomio de interpolacion lineal

EI caso de mayor interes para nosotros es aquel en el cual Yk = f( xk) siendo f una cierta

funci6n de la que posiblemente no se conoce una formula explicita 0 bien es muy complicada para evaluarla derivarla integrarla hallarle ceros etc En este caso el polinolil io

de interpolacion Pn(x) puede usarse como aproximacion de la funcion f Y en particular para

aproximar valores de la funci6n fen puntos intermedios entre los nodos XOxl Nosxn referiremos a esta manera de aproximar una funcion dada mediante un polinomio de interpolaci6n como interpolacion polinomial cuando usemos solo dos nodos nos referiremos a la correspondiente interpolacion como il terpolacion lineal En este contexto

el polinomio de interpolaci6n Pn(x) se dira el polinomio que interpola a la funcion f en los

nodos xoXl xn middot

EI otro problema a tratar es


(xo Yo)(xl Yl)middotmiddotmiddot (xnYn)

en los cuales xo Xl Xn son n umeros distintos Y dado un entero no-negativo m con m lt n

se trata de encontrar un polinomio

184 METOOOS NUMERICOS

ta l que la suma de cuadrados

n

2]Pm(xk) - Yk)2 ~c O

sea minima

EI criteria mediante el cual se elige el polinomio Pm (x) es conocido como criterio de los

minimos cuadrados Probaremos que tal polinomio Pm (x) existe Y es un ico se Ie

denomina pOlinomio de ajuste segun minimos cuadrados para los datos dados N6tese

que esta vez a dlferencia de 10 que ocurre can el polinomio de colocaci6n Pm(xk ) no

necesari amente es igual a Yk para todo k = 01 n EI polinomio Pm (X) 10 que da es un

aju ste razonable a los datos dados

Este tipo de aproximaci6n mediante el polinomio de ajuste Pm(x) se conoce como ajuste

polinomial Aunque el ajuste polinomial segun mfn imos cuadrados es el caso mas usado tamblen consideraremos el caso de ajuste exponencial logarftmico Y de potencia segun minimos cuadrados

41 INTERPOLACI6N POLINOMIAL

Teorema 41 (existencia y unicidad del polinomio interpolante) Dados los n + 1 puntos

(xoYo)( X1Yl)(XnYn) de R2 can xO x xn distintos existe un unico polinomio

de grado menor 0 igual que n que interpola los puntas dados es decir ta l que

Demostraci6n Existe un unico polinomio

tal que

si y 5610 si existen numeros rea les unicos aOa1a2 an tales que

2 n ao tmiddot a1xO + a2 xO+middotmiddotmiddot+an xO = Yo

2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull


cn_1 = bn ~2

Cn 2 = bn ~ 3 + UCn_1

_ = bn_ + UCn_2 + VCn_Cn 3 4 1 (3 30)

-= b + U C3 + V C4C 2

C =bo + uc 2 + VC 3

cO = r + uc +vC2 de modo Que

de modo que

redundante Yse convierte en

C (k)

J(Xlkl ) == 1

[ c (k)o

(k) (k )donde c Y Co son los valores de c Y Co obtenidos en las ecuaciones (3 30) en la

iteracion k-esima

Para obtener expresiones para ry(x lk)) Y Sv (X (k) ) derivamos parcialmente las mismas

relaciones en (3 26) pero con respecto a v con 10 cual obtenemos

(bn_4 )y =bn-2

(bn -s) v = U(bn ~ 4) v + bn ~ 3 -= bn ~ 3 + u(bn_4)y

(b r 5)y = u(bn ~ s)y + b 4 + v(bn_4L= bn_4 + u(bn_s)y + v(bn_4)y

1 (boI u(b I + b + v(b I b + U(bI + v(b I (3 31 )

I ry = u(bo)v + b + V(b L= b + u(bo)y + v(b )v

l Sv = ury + bo + v(bo) y = bo ~ urv + V(boL

Si definimos dk=(bk ~ 3)v k=n - 1n-2 3 d2 = ry Y d = sv entonces las ecuaciones

(3 31) se convlerten en

(330)



(331 )


dn_ =bn- 2

dn- = bn_ + udn_2 3

dn - 3 = bn-4 + udn_2 + vdn_1 (332)

d3 =b2 + ud4 + vd 5

= b + ud 3 + vd 4d2

d = ba + ud 2 + vd3

de modo que (k)

c 1J(Xik))= [ C (k)

a









Paso 1 Hacer


Paso 2 Tomar 1=1















Vo = v










cuyas raices son XI



aproximaciones

BAI RSTOW( i - 4x3

Ejemplo 317




q(x) = x 2 -17243177963x- 5513644073







BAIRSTOW( X4 - 4x3 + 7x 2 - 5x - 2 x 3 - 47) 0


p(x) = x7 - 28x6 + 322xs -1960X4 + 6769x3 - 131 32x2 + 13068x - 5040 = 0










valores de u = 800000000000 v = -120000000000 r = 14388490 x 10 -13 Y


q3(X) = x3 -16x 2 +83x-140



Y






A = 1 1 -1 [ - 1 1 -J


(A bl ) b(21b(3 bl )


( 1

1 X1 - X2 + X3 =4

2 r X1 -x 2 r3x 3 - 2 2x - X2 - X 3 + x4 = 5 a) 13X -3x +x ~~ 1 b)

x 1 X 2 = 3 c)



b) A = [~ ~l b = [ 1~2 ~~l 1 1

1 2 3 4 - iI

=4

b= ~ J -1 - 1



AX = b (4) donde












( ( 3) T

)

a) X = 3 -402 b) X (2 1- 34f



n

II XII = I lxll 1=





II X II $11 X 11 2$ 11 X II






A=C~) A= [ ~1 ~ ~l I ~1 ~ 1 2



( 1


9a)


a c 0

)




( 1 1 )(X1) ~ r 2 ) 1 101 1 201x2


i





780X+ 563x2 = 217 913 x + 659x2 = 254





15 EI sistema

+ y = o

999999y == 1


X + y = 0

x + 1000001y = 1



A ~( 11 -1 ) (1 -1)-100001 8 == -1 100001








- 120 240 - 140 ][ 16 1200 -2700 1680

[H(4)r - ~214 0 - 2700 6480 -4200

-140 1680 -4200 2800






2 1 2X1 + - X2 + - X3

3 3 Xl + 2X2 - X3 - 0

6x l + 2x2 + 2X3 = -2






matriz siguiente

1 -2 3J A = 3 -5 - 1 [

2 -4 2


1 1 Xl + 2X2 +iX

1 1 1 b) 2 Xl + 3x2+iJ

1 1 13 Xl +4X2+S

1 1 xl +2 X2 T3

1 1 1 2 Xl +3 X2 t 4


3 4 1 1 4 Xl +SX2

1 1 -Xl +- Xl 4 5




2641X I +1735X2 +8642X3 = -7521

a) - 8641x l - 424 3x2 +0711x3 = 2501j9411x l +0175x2 +1463x3 = 6310

1 1 XI + - X2 + -X3 = 2

2 3 1 1 1

b) -XI + - X2 + - X3 =-1 2 3 4 1 1 1 - XI + - x2 + - X3 = 0 3 4 5

1 1 1 1 XI + - x2 + - X3 + - x4 + - Xs = 1

2 3 4 5 1 1 1 1 1 -XI + - x2 +-X3 + - X4 + - xs =1 2 3 4 5 6 1 1 1





a) (2 1) b) (-2 1) l 1 3 1 -3



2 - 1 0 0

-1 2 - 1 0 A -T1 - 0 1 2 -1

0 -1 2




b (1 1 1)T para n = 3 4 5 6



positiva

28

j

2Xl +x a) XI +6

2


- 18 15 - 30 [ 15[ 225 24 -18-1~~1 b) A= -18 -]a) A = - 30 50

15 -18 18 -3 45 -10 0 340

-3 4 -3 1




A=(- ~ ~ ~ ]l 1 2 - 3




2X + Y + z = 4

j x+2y + z = 4

X + Y+ 2z = 4










x2

42X1 + x2 - X3 ~ 1 3 ~2~2 4x

3 + X ~

d) X1 +X2 - - 1 e) Xl - X3 +3X4 = - 1



3II X (k) - X (k-1) II lt 1 0 -


w =12 w = 8





4 X2 _ y2 =0 c)







CAPiTULO 4 J

INTRODucelON


Problema 1 Dados n



lIamados nodOl

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull

(330)



(331 )


dn_ =bn- 2

dn- = bn_ + udn_2 3

dn - 3 = bn-4 + udn_2 + vdn_1 (332)

d3 =b2 + ud4 + vd 5

= b + ud 3 + vd 4d2

d = ba + ud 2 + vd3

de modo que (k)

c 1J(Xik))= [ C (k)

a









Paso 1 Hacer


Paso 2 Tomar 1=1















Vo = v










cuyas raices son XI



aproximaciones

BAI RSTOW( i - 4x3

Ejemplo 317




q(x) = x 2 -17243177963x- 5513644073







BAIRSTOW( X4 - 4x3 + 7x 2 - 5x - 2 x 3 - 47) 0


p(x) = x7 - 28x6 + 322xs -1960X4 + 6769x3 - 131 32x2 + 13068x - 5040 = 0










valores de u = 800000000000 v = -120000000000 r = 14388490 x 10 -13 Y


q3(X) = x3 -16x 2 +83x-140



Y






A = 1 1 -1 [ - 1 1 -J


(A bl ) b(21b(3 bl )


( 1

1 X1 - X2 + X3 =4

2 r X1 -x 2 r3x 3 - 2 2x - X2 - X 3 + x4 = 5 a) 13X -3x +x ~~ 1 b)

x 1 X 2 = 3 c)



b) A = [~ ~l b = [ 1~2 ~~l 1 1

1 2 3 4 - iI

=4

b= ~ J -1 - 1



AX = b (4) donde












( ( 3) T

)

a) X = 3 -402 b) X (2 1- 34f



n

II XII = I lxll 1=





II X II $11 X 11 2$ 11 X II






A=C~) A= [ ~1 ~ ~l I ~1 ~ 1 2



( 1


9a)


a c 0

)




( 1 1 )(X1) ~ r 2 ) 1 101 1 201x2


i





780X+ 563x2 = 217 913 x + 659x2 = 254





15 EI sistema

+ y = o

999999y == 1


X + y = 0

x + 1000001y = 1



A ~( 11 -1 ) (1 -1)-100001 8 == -1 100001








- 120 240 - 140 ][ 16 1200 -2700 1680

[H(4)r - ~214 0 - 2700 6480 -4200

-140 1680 -4200 2800






2 1 2X1 + - X2 + - X3

3 3 Xl + 2X2 - X3 - 0

6x l + 2x2 + 2X3 = -2






matriz siguiente

1 -2 3J A = 3 -5 - 1 [

2 -4 2


1 1 Xl + 2X2 +iX

1 1 1 b) 2 Xl + 3x2+iJ

1 1 13 Xl +4X2+S

1 1 xl +2 X2 T3

1 1 1 2 Xl +3 X2 t 4


3 4 1 1 4 Xl +SX2

1 1 -Xl +- Xl 4 5




2641X I +1735X2 +8642X3 = -7521

a) - 8641x l - 424 3x2 +0711x3 = 2501j9411x l +0175x2 +1463x3 = 6310

1 1 XI + - X2 + -X3 = 2

2 3 1 1 1

b) -XI + - X2 + - X3 =-1 2 3 4 1 1 1 - XI + - x2 + - X3 = 0 3 4 5

1 1 1 1 XI + - x2 + - X3 + - x4 + - Xs = 1

2 3 4 5 1 1 1 1 1 -XI + - x2 +-X3 + - X4 + - xs =1 2 3 4 5 6 1 1 1





a) (2 1) b) (-2 1) l 1 3 1 -3



2 - 1 0 0

-1 2 - 1 0 A -T1 - 0 1 2 -1

0 -1 2




b (1 1 1)T para n = 3 4 5 6



positiva

28

j

2Xl +x a) XI +6

2


- 18 15 - 30 [ 15[ 225 24 -18-1~~1 b) A= -18 -]a) A = - 30 50

15 -18 18 -3 45 -10 0 340

-3 4 -3 1




A=(- ~ ~ ~ ]l 1 2 - 3




2X + Y + z = 4

j x+2y + z = 4

X + Y+ 2z = 4










x2

42X1 + x2 - X3 ~ 1 3 ~2~2 4x

3 + X ~

d) X1 +X2 - - 1 e) Xl - X3 +3X4 = - 1



3II X (k) - X (k-1) II lt 1 0 -


w =12 w = 8





4 X2 _ y2 =0 c)







CAPiTULO 4 J

INTRODucelON


Problema 1 Dados n



lIamados nodOl

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull














Vo = v










cuyas raices son XI



aproximaciones

BAI RSTOW( i - 4x3

Ejemplo 317




q(x) = x 2 -17243177963x- 5513644073







BAIRSTOW( X4 - 4x3 + 7x 2 - 5x - 2 x 3 - 47) 0


p(x) = x7 - 28x6 + 322xs -1960X4 + 6769x3 - 131 32x2 + 13068x - 5040 = 0










valores de u = 800000000000 v = -120000000000 r = 14388490 x 10 -13 Y


q3(X) = x3 -16x 2 +83x-140



Y






A = 1 1 -1 [ - 1 1 -J


(A bl ) b(21b(3 bl )


( 1

1 X1 - X2 + X3 =4

2 r X1 -x 2 r3x 3 - 2 2x - X2 - X 3 + x4 = 5 a) 13X -3x +x ~~ 1 b)

x 1 X 2 = 3 c)



b) A = [~ ~l b = [ 1~2 ~~l 1 1

1 2 3 4 - iI

=4

b= ~ J -1 - 1



AX = b (4) donde












( ( 3) T

)

a) X = 3 -402 b) X (2 1- 34f



n

II XII = I lxll 1=





II X II $11 X 11 2$ 11 X II






A=C~) A= [ ~1 ~ ~l I ~1 ~ 1 2



( 1


9a)


a c 0

)




( 1 1 )(X1) ~ r 2 ) 1 101 1 201x2


i





780X+ 563x2 = 217 913 x + 659x2 = 254





15 EI sistema

+ y = o

999999y == 1


X + y = 0

x + 1000001y = 1



A ~( 11 -1 ) (1 -1)-100001 8 == -1 100001








- 120 240 - 140 ][ 16 1200 -2700 1680

[H(4)r - ~214 0 - 2700 6480 -4200

-140 1680 -4200 2800






2 1 2X1 + - X2 + - X3

3 3 Xl + 2X2 - X3 - 0

6x l + 2x2 + 2X3 = -2






matriz siguiente

1 -2 3J A = 3 -5 - 1 [

2 -4 2


1 1 Xl + 2X2 +iX

1 1 1 b) 2 Xl + 3x2+iJ

1 1 13 Xl +4X2+S

1 1 xl +2 X2 T3

1 1 1 2 Xl +3 X2 t 4


3 4 1 1 4 Xl +SX2

1 1 -Xl +- Xl 4 5




2641X I +1735X2 +8642X3 = -7521

a) - 8641x l - 424 3x2 +0711x3 = 2501j9411x l +0175x2 +1463x3 = 6310

1 1 XI + - X2 + -X3 = 2

2 3 1 1 1

b) -XI + - X2 + - X3 =-1 2 3 4 1 1 1 - XI + - x2 + - X3 = 0 3 4 5

1 1 1 1 XI + - x2 + - X3 + - x4 + - Xs = 1

2 3 4 5 1 1 1 1 1 -XI + - x2 +-X3 + - X4 + - xs =1 2 3 4 5 6 1 1 1





a) (2 1) b) (-2 1) l 1 3 1 -3



2 - 1 0 0

-1 2 - 1 0 A -T1 - 0 1 2 -1

0 -1 2




b (1 1 1)T para n = 3 4 5 6



positiva

28

j

2Xl +x a) XI +6

2


- 18 15 - 30 [ 15[ 225 24 -18-1~~1 b) A= -18 -]a) A = - 30 50

15 -18 18 -3 45 -10 0 340

-3 4 -3 1




A=(- ~ ~ ~ ]l 1 2 - 3




2X + Y + z = 4

j x+2y + z = 4

X + Y+ 2z = 4










x2

42X1 + x2 - X3 ~ 1 3 ~2~2 4x

3 + X ~

d) X1 +X2 - - 1 e) Xl - X3 +3X4 = - 1



3II X (k) - X (k-1) II lt 1 0 -


w =12 w = 8





4 X2 _ y2 =0 c)







CAPiTULO 4 J

INTRODucelON


Problema 1 Dados n



lIamados nodOl

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull




q(x) = x 2 -17243177963x- 5513644073







BAIRSTOW( X4 - 4x3 + 7x 2 - 5x - 2 x 3 - 47) 0


p(x) = x7 - 28x6 + 322xs -1960X4 + 6769x3 - 131 32x2 + 13068x - 5040 = 0










valores de u = 800000000000 v = -120000000000 r = 14388490 x 10 -13 Y


q3(X) = x3 -16x 2 +83x-140



Y






A = 1 1 -1 [ - 1 1 -J


(A bl ) b(21b(3 bl )


( 1

1 X1 - X2 + X3 =4

2 r X1 -x 2 r3x 3 - 2 2x - X2 - X 3 + x4 = 5 a) 13X -3x +x ~~ 1 b)

x 1 X 2 = 3 c)



b) A = [~ ~l b = [ 1~2 ~~l 1 1

1 2 3 4 - iI

=4

b= ~ J -1 - 1



AX = b (4) donde












( ( 3) T

)

a) X = 3 -402 b) X (2 1- 34f



n

II XII = I lxll 1=





II X II $11 X 11 2$ 11 X II






A=C~) A= [ ~1 ~ ~l I ~1 ~ 1 2



( 1


9a)


a c 0

)




( 1 1 )(X1) ~ r 2 ) 1 101 1 201x2


i





780X+ 563x2 = 217 913 x + 659x2 = 254





15 EI sistema

+ y = o

999999y == 1


X + y = 0

x + 1000001y = 1



A ~( 11 -1 ) (1 -1)-100001 8 == -1 100001








- 120 240 - 140 ][ 16 1200 -2700 1680

[H(4)r - ~214 0 - 2700 6480 -4200

-140 1680 -4200 2800






2 1 2X1 + - X2 + - X3

3 3 Xl + 2X2 - X3 - 0

6x l + 2x2 + 2X3 = -2






matriz siguiente

1 -2 3J A = 3 -5 - 1 [

2 -4 2


1 1 Xl + 2X2 +iX

1 1 1 b) 2 Xl + 3x2+iJ

1 1 13 Xl +4X2+S

1 1 xl +2 X2 T3

1 1 1 2 Xl +3 X2 t 4


3 4 1 1 4 Xl +SX2

1 1 -Xl +- Xl 4 5




2641X I +1735X2 +8642X3 = -7521

a) - 8641x l - 424 3x2 +0711x3 = 2501j9411x l +0175x2 +1463x3 = 6310

1 1 XI + - X2 + -X3 = 2

2 3 1 1 1

b) -XI + - X2 + - X3 =-1 2 3 4 1 1 1 - XI + - x2 + - X3 = 0 3 4 5

1 1 1 1 XI + - x2 + - X3 + - x4 + - Xs = 1

2 3 4 5 1 1 1 1 1 -XI + - x2 +-X3 + - X4 + - xs =1 2 3 4 5 6 1 1 1





a) (2 1) b) (-2 1) l 1 3 1 -3



2 - 1 0 0

-1 2 - 1 0 A -T1 - 0 1 2 -1

0 -1 2




b (1 1 1)T para n = 3 4 5 6



positiva

28

j

2Xl +x a) XI +6

2


- 18 15 - 30 [ 15[ 225 24 -18-1~~1 b) A= -18 -]a) A = - 30 50

15 -18 18 -3 45 -10 0 340

-3 4 -3 1




A=(- ~ ~ ~ ]l 1 2 - 3




2X + Y + z = 4

j x+2y + z = 4

X + Y+ 2z = 4










x2

42X1 + x2 - X3 ~ 1 3 ~2~2 4x

3 + X ~

d) X1 +X2 - - 1 e) Xl - X3 +3X4 = - 1



3II X (k) - X (k-1) II lt 1 0 -


w =12 w = 8





4 X2 _ y2 =0 c)







CAPiTULO 4 J

INTRODucelON


Problema 1 Dados n



lIamados nodOl

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull





A = 1 1 -1 [ - 1 1 -J


(A bl ) b(21b(3 bl )


( 1

1 X1 - X2 + X3 =4

2 r X1 -x 2 r3x 3 - 2 2x - X2 - X 3 + x4 = 5 a) 13X -3x +x ~~ 1 b)

x 1 X 2 = 3 c)



b) A = [~ ~l b = [ 1~2 ~~l 1 1

1 2 3 4 - iI

=4

b= ~ J -1 - 1



AX = b (4) donde












( ( 3) T

)

a) X = 3 -402 b) X (2 1- 34f



n

II XII = I lxll 1=





II X II $11 X 11 2$ 11 X II






A=C~) A= [ ~1 ~ ~l I ~1 ~ 1 2



( 1


9a)


a c 0

)




( 1 1 )(X1) ~ r 2 ) 1 101 1 201x2


i





780X+ 563x2 = 217 913 x + 659x2 = 254





15 EI sistema

+ y = o

999999y == 1


X + y = 0

x + 1000001y = 1



A ~( 11 -1 ) (1 -1)-100001 8 == -1 100001








- 120 240 - 140 ][ 16 1200 -2700 1680

[H(4)r - ~214 0 - 2700 6480 -4200

-140 1680 -4200 2800






2 1 2X1 + - X2 + - X3

3 3 Xl + 2X2 - X3 - 0

6x l + 2x2 + 2X3 = -2






matriz siguiente

1 -2 3J A = 3 -5 - 1 [

2 -4 2


1 1 Xl + 2X2 +iX

1 1 1 b) 2 Xl + 3x2+iJ

1 1 13 Xl +4X2+S

1 1 xl +2 X2 T3

1 1 1 2 Xl +3 X2 t 4


3 4 1 1 4 Xl +SX2

1 1 -Xl +- Xl 4 5




2641X I +1735X2 +8642X3 = -7521

a) - 8641x l - 424 3x2 +0711x3 = 2501j9411x l +0175x2 +1463x3 = 6310

1 1 XI + - X2 + -X3 = 2

2 3 1 1 1

b) -XI + - X2 + - X3 =-1 2 3 4 1 1 1 - XI + - x2 + - X3 = 0 3 4 5

1 1 1 1 XI + - x2 + - X3 + - x4 + - Xs = 1

2 3 4 5 1 1 1 1 1 -XI + - x2 +-X3 + - X4 + - xs =1 2 3 4 5 6 1 1 1





a) (2 1) b) (-2 1) l 1 3 1 -3



2 - 1 0 0

-1 2 - 1 0 A -T1 - 0 1 2 -1

0 -1 2




b (1 1 1)T para n = 3 4 5 6



positiva

28

j

2Xl +x a) XI +6

2


- 18 15 - 30 [ 15[ 225 24 -18-1~~1 b) A= -18 -]a) A = - 30 50

15 -18 18 -3 45 -10 0 340

-3 4 -3 1




A=(- ~ ~ ~ ]l 1 2 - 3




2X + Y + z = 4

j x+2y + z = 4

X + Y+ 2z = 4










x2

42X1 + x2 - X3 ~ 1 3 ~2~2 4x

3 + X ~

d) X1 +X2 - - 1 e) Xl - X3 +3X4 = - 1



3II X (k) - X (k-1) II lt 1 0 -


w =12 w = 8





4 X2 _ y2 =0 c)







CAPiTULO 4 J

INTRODucelON


Problema 1 Dados n



lIamados nodOl

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull

=4

b= ~ J -1 - 1



AX = b (4) donde












( ( 3) T

)

a) X = 3 -402 b) X (2 1- 34f



n

II XII = I lxll 1=





II X II $11 X 11 2$ 11 X II






A=C~) A= [ ~1 ~ ~l I ~1 ~ 1 2



( 1


9a)


a c 0

)




( 1 1 )(X1) ~ r 2 ) 1 101 1 201x2


i





780X+ 563x2 = 217 913 x + 659x2 = 254





15 EI sistema

+ y = o

999999y == 1


X + y = 0

x + 1000001y = 1



A ~( 11 -1 ) (1 -1)-100001 8 == -1 100001








- 120 240 - 140 ][ 16 1200 -2700 1680

[H(4)r - ~214 0 - 2700 6480 -4200

-140 1680 -4200 2800






2 1 2X1 + - X2 + - X3

3 3 Xl + 2X2 - X3 - 0

6x l + 2x2 + 2X3 = -2






matriz siguiente

1 -2 3J A = 3 -5 - 1 [

2 -4 2


1 1 Xl + 2X2 +iX

1 1 1 b) 2 Xl + 3x2+iJ

1 1 13 Xl +4X2+S

1 1 xl +2 X2 T3

1 1 1 2 Xl +3 X2 t 4


3 4 1 1 4 Xl +SX2

1 1 -Xl +- Xl 4 5




2641X I +1735X2 +8642X3 = -7521

a) - 8641x l - 424 3x2 +0711x3 = 2501j9411x l +0175x2 +1463x3 = 6310

1 1 XI + - X2 + -X3 = 2

2 3 1 1 1

b) -XI + - X2 + - X3 =-1 2 3 4 1 1 1 - XI + - x2 + - X3 = 0 3 4 5

1 1 1 1 XI + - x2 + - X3 + - x4 + - Xs = 1

2 3 4 5 1 1 1 1 1 -XI + - x2 +-X3 + - X4 + - xs =1 2 3 4 5 6 1 1 1





a) (2 1) b) (-2 1) l 1 3 1 -3



2 - 1 0 0

-1 2 - 1 0 A -T1 - 0 1 2 -1

0 -1 2




b (1 1 1)T para n = 3 4 5 6



positiva

28

j

2Xl +x a) XI +6

2


- 18 15 - 30 [ 15[ 225 24 -18-1~~1 b) A= -18 -]a) A = - 30 50

15 -18 18 -3 45 -10 0 340

-3 4 -3 1




A=(- ~ ~ ~ ]l 1 2 - 3




2X + Y + z = 4

j x+2y + z = 4

X + Y+ 2z = 4










x2

42X1 + x2 - X3 ~ 1 3 ~2~2 4x

3 + X ~

d) X1 +X2 - - 1 e) Xl - X3 +3X4 = - 1



3II X (k) - X (k-1) II lt 1 0 -


w =12 w = 8





4 X2 _ y2 =0 c)







CAPiTULO 4 J

INTRODucelON


Problema 1 Dados n



lIamados nodOl

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull



II X II $11 X 11 2$ 11 X II






A=C~) A= [ ~1 ~ ~l I ~1 ~ 1 2



( 1


9a)


a c 0

)




( 1 1 )(X1) ~ r 2 ) 1 101 1 201x2


i





780X+ 563x2 = 217 913 x + 659x2 = 254





15 EI sistema

+ y = o

999999y == 1


X + y = 0

x + 1000001y = 1



A ~( 11 -1 ) (1 -1)-100001 8 == -1 100001








- 120 240 - 140 ][ 16 1200 -2700 1680

[H(4)r - ~214 0 - 2700 6480 -4200

-140 1680 -4200 2800






2 1 2X1 + - X2 + - X3

3 3 Xl + 2X2 - X3 - 0

6x l + 2x2 + 2X3 = -2






matriz siguiente

1 -2 3J A = 3 -5 - 1 [

2 -4 2


1 1 Xl + 2X2 +iX

1 1 1 b) 2 Xl + 3x2+iJ

1 1 13 Xl +4X2+S

1 1 xl +2 X2 T3

1 1 1 2 Xl +3 X2 t 4


3 4 1 1 4 Xl +SX2

1 1 -Xl +- Xl 4 5




2641X I +1735X2 +8642X3 = -7521

a) - 8641x l - 424 3x2 +0711x3 = 2501j9411x l +0175x2 +1463x3 = 6310

1 1 XI + - X2 + -X3 = 2

2 3 1 1 1

b) -XI + - X2 + - X3 =-1 2 3 4 1 1 1 - XI + - x2 + - X3 = 0 3 4 5

1 1 1 1 XI + - x2 + - X3 + - x4 + - Xs = 1

2 3 4 5 1 1 1 1 1 -XI + - x2 +-X3 + - X4 + - xs =1 2 3 4 5 6 1 1 1





a) (2 1) b) (-2 1) l 1 3 1 -3



2 - 1 0 0

-1 2 - 1 0 A -T1 - 0 1 2 -1

0 -1 2




b (1 1 1)T para n = 3 4 5 6



positiva

28

j

2Xl +x a) XI +6

2


- 18 15 - 30 [ 15[ 225 24 -18-1~~1 b) A= -18 -]a) A = - 30 50

15 -18 18 -3 45 -10 0 340

-3 4 -3 1




A=(- ~ ~ ~ ]l 1 2 - 3




2X + Y + z = 4

j x+2y + z = 4

X + Y+ 2z = 4










x2

42X1 + x2 - X3 ~ 1 3 ~2~2 4x

3 + X ~

d) X1 +X2 - - 1 e) Xl - X3 +3X4 = - 1



3II X (k) - X (k-1) II lt 1 0 -


w =12 w = 8





4 X2 _ y2 =0 c)







CAPiTULO 4 J

INTRODucelON


Problema 1 Dados n



lIamados nodOl

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull

i





780X+ 563x2 = 217 913 x + 659x2 = 254





15 EI sistema

+ y = o

999999y == 1


X + y = 0

x + 1000001y = 1



A ~( 11 -1 ) (1 -1)-100001 8 == -1 100001








- 120 240 - 140 ][ 16 1200 -2700 1680

[H(4)r - ~214 0 - 2700 6480 -4200

-140 1680 -4200 2800






2 1 2X1 + - X2 + - X3

3 3 Xl + 2X2 - X3 - 0

6x l + 2x2 + 2X3 = -2






matriz siguiente

1 -2 3J A = 3 -5 - 1 [

2 -4 2


1 1 Xl + 2X2 +iX

1 1 1 b) 2 Xl + 3x2+iJ

1 1 13 Xl +4X2+S

1 1 xl +2 X2 T3

1 1 1 2 Xl +3 X2 t 4


3 4 1 1 4 Xl +SX2

1 1 -Xl +- Xl 4 5




2641X I +1735X2 +8642X3 = -7521

a) - 8641x l - 424 3x2 +0711x3 = 2501j9411x l +0175x2 +1463x3 = 6310

1 1 XI + - X2 + -X3 = 2

2 3 1 1 1

b) -XI + - X2 + - X3 =-1 2 3 4 1 1 1 - XI + - x2 + - X3 = 0 3 4 5

1 1 1 1 XI + - x2 + - X3 + - x4 + - Xs = 1

2 3 4 5 1 1 1 1 1 -XI + - x2 +-X3 + - X4 + - xs =1 2 3 4 5 6 1 1 1





a) (2 1) b) (-2 1) l 1 3 1 -3



2 - 1 0 0

-1 2 - 1 0 A -T1 - 0 1 2 -1

0 -1 2




b (1 1 1)T para n = 3 4 5 6



positiva

28

j

2Xl +x a) XI +6

2


- 18 15 - 30 [ 15[ 225 24 -18-1~~1 b) A= -18 -]a) A = - 30 50

15 -18 18 -3 45 -10 0 340

-3 4 -3 1




A=(- ~ ~ ~ ]l 1 2 - 3




2X + Y + z = 4

j x+2y + z = 4

X + Y+ 2z = 4










x2

42X1 + x2 - X3 ~ 1 3 ~2~2 4x

3 + X ~

d) X1 +X2 - - 1 e) Xl - X3 +3X4 = - 1



3II X (k) - X (k-1) II lt 1 0 -


w =12 w = 8





4 X2 _ y2 =0 c)







CAPiTULO 4 J

INTRODucelON


Problema 1 Dados n



lIamados nodOl

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull


- 120 240 - 140 ][ 16 1200 -2700 1680

[H(4)r - ~214 0 - 2700 6480 -4200

-140 1680 -4200 2800






2 1 2X1 + - X2 + - X3

3 3 Xl + 2X2 - X3 - 0

6x l + 2x2 + 2X3 = -2






matriz siguiente

1 -2 3J A = 3 -5 - 1 [

2 -4 2


1 1 Xl + 2X2 +iX

1 1 1 b) 2 Xl + 3x2+iJ

1 1 13 Xl +4X2+S

1 1 xl +2 X2 T3

1 1 1 2 Xl +3 X2 t 4


3 4 1 1 4 Xl +SX2

1 1 -Xl +- Xl 4 5




2641X I +1735X2 +8642X3 = -7521

a) - 8641x l - 424 3x2 +0711x3 = 2501j9411x l +0175x2 +1463x3 = 6310

1 1 XI + - X2 + -X3 = 2

2 3 1 1 1

b) -XI + - X2 + - X3 =-1 2 3 4 1 1 1 - XI + - x2 + - X3 = 0 3 4 5

1 1 1 1 XI + - x2 + - X3 + - x4 + - Xs = 1

2 3 4 5 1 1 1 1 1 -XI + - x2 +-X3 + - X4 + - xs =1 2 3 4 5 6 1 1 1





a) (2 1) b) (-2 1) l 1 3 1 -3



2 - 1 0 0

-1 2 - 1 0 A -T1 - 0 1 2 -1

0 -1 2




b (1 1 1)T para n = 3 4 5 6



positiva

28

j

2Xl +x a) XI +6

2


- 18 15 - 30 [ 15[ 225 24 -18-1~~1 b) A= -18 -]a) A = - 30 50

15 -18 18 -3 45 -10 0 340

-3 4 -3 1




A=(- ~ ~ ~ ]l 1 2 - 3




2X + Y + z = 4

j x+2y + z = 4

X + Y+ 2z = 4










x2

42X1 + x2 - X3 ~ 1 3 ~2~2 4x

3 + X ~

d) X1 +X2 - - 1 e) Xl - X3 +3X4 = - 1



3II X (k) - X (k-1) II lt 1 0 -


w =12 w = 8





4 X2 _ y2 =0 c)







CAPiTULO 4 J

INTRODucelON


Problema 1 Dados n



lIamados nodOl

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull




2641X I +1735X2 +8642X3 = -7521

a) - 8641x l - 424 3x2 +0711x3 = 2501j9411x l +0175x2 +1463x3 = 6310

1 1 XI + - X2 + -X3 = 2

2 3 1 1 1

b) -XI + - X2 + - X3 =-1 2 3 4 1 1 1 - XI + - x2 + - X3 = 0 3 4 5

1 1 1 1 XI + - x2 + - X3 + - x4 + - Xs = 1

2 3 4 5 1 1 1 1 1 -XI + - x2 +-X3 + - X4 + - xs =1 2 3 4 5 6 1 1 1





a) (2 1) b) (-2 1) l 1 3 1 -3



2 - 1 0 0

-1 2 - 1 0 A -T1 - 0 1 2 -1

0 -1 2




b (1 1 1)T para n = 3 4 5 6



positiva

28

j

2Xl +x a) XI +6

2


- 18 15 - 30 [ 15[ 225 24 -18-1~~1 b) A= -18 -]a) A = - 30 50

15 -18 18 -3 45 -10 0 340

-3 4 -3 1




A=(- ~ ~ ~ ]l 1 2 - 3




2X + Y + z = 4

j x+2y + z = 4

X + Y+ 2z = 4










x2

42X1 + x2 - X3 ~ 1 3 ~2~2 4x

3 + X ~

d) X1 +X2 - - 1 e) Xl - X3 +3X4 = - 1



3II X (k) - X (k-1) II lt 1 0 -


w =12 w = 8





4 X2 _ y2 =0 c)







CAPiTULO 4 J

INTRODucelON


Problema 1 Dados n



lIamados nodOl

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull


2 - 1 0 0

-1 2 - 1 0 A -T1 - 0 1 2 -1

0 -1 2




b (1 1 1)T para n = 3 4 5 6



positiva

28

j

2Xl +x a) XI +6

2


- 18 15 - 30 [ 15[ 225 24 -18-1~~1 b) A= -18 -]a) A = - 30 50

15 -18 18 -3 45 -10 0 340

-3 4 -3 1




A=(- ~ ~ ~ ]l 1 2 - 3




2X + Y + z = 4

j x+2y + z = 4

X + Y+ 2z = 4










x2

42X1 + x2 - X3 ~ 1 3 ~2~2 4x

3 + X ~

d) X1 +X2 - - 1 e) Xl - X3 +3X4 = - 1



3II X (k) - X (k-1) II lt 1 0 -


w =12 w = 8





4 X2 _ y2 =0 c)







CAPiTULO 4 J

INTRODucelON


Problema 1 Dados n



lIamados nodOl

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull


2X + Y + z = 4

j x+2y + z = 4

X + Y+ 2z = 4










x2

42X1 + x2 - X3 ~ 1 3 ~2~2 4x

3 + X ~

d) X1 +X2 - - 1 e) Xl - X3 +3X4 = - 1



3II X (k) - X (k-1) II lt 1 0 -


w =12 w = 8





4 X2 _ y2 =0 c)







CAPiTULO 4 J

INTRODucelON


Problema 1 Dados n



lIamados nodOl

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull





4 X2 _ y2 =0 c)







CAPiTULO 4 J

INTRODucelON


Problema 1 Dados n



lIamados nodOl

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull

x2 - ux - v use


INTRODUCCION






















n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull



n


sea minima














tal que



2 n ao + a 1x ~ a2 x1 + +anx = Y

bull

Capitulo J. SOLUCI6N NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES · SOLUCI6N NUMERICA DE SISTEMAS DE...

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