Capitulo_3

3 - 1

ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO CONTINUO

INTRODUCCIÓN

En el capítulo 2 se presentaron los conceptos fundamentales sobre estabilidad absoluta y estabilidad relativa de un sistema de control. La estabilidad absoluta de un sistema de control se evaluó demostrando que las raíces de la ecuación característica o polos de la función de transferencia de lazo cerrado (FTLC) se encuentran en el semi-plano izquierdo (SPI) del plano-s. Así mismo, usando el prototipo de orden-2 se evaluó la estabilidad relativa de dos sistemas de control estables, comparando los valores característicos de la respuesta transitoria y ( )pt ssM T ante una entrada escalón unitario.

En este capítulo se desarrollarán otras herramientas, que en forma sistemática permiten evaluar la estabilidad de un sistema de control, sin importar el esquema utilizado y el orden de la función de transferencia del sistema. Una de esas herramientas es la tabla de Routh-Hurwitz, que permite evaluar la estabilidad absoluta del sistema de control cuando existe un parámetro ( )k desconocido en la ecuación característica. Usando como punto de partida la función de transferencia de lazo abierto (FTLA), el método del lugar de las raíces permitirá evaluar la estabilidad del sistema en lazo cerrado, observando la trayectoria de las raíces de la ecuación característica o polos de la función de transferencia de lazo cerrado (FTLC). Finalmente, se demostrará que es posible evaluar la estabilidad absoluta y relativa a partir de la respuesta de frecuencia (RDF), sin necesidad de recurrir al cálculo de las raíces de la ecuación característica.

3.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTABILIDAD

En esta sección se hará una revisión de los conceptos asociados con la evaluación de la estabilidad de un sistema de control en el dominio del tiempo continuo y en el plano-s. El fundamento será el análisis de la respuesta dinámica y el cálculo de las raíces de la ecuación característica del sistema. Al final se hará una descripción breve de los métodos clásicos usados para evaluar la estabilidad del sistema de control, con base en el modelo de función de transferencia (FT).

Estabilidad absoluta y estabilidad relativa

Aunque se pueden usar diversas formas para evaluar la estabilidad de un sistema de control, la más general se encuentra en la teoría sobre análisis de señales y sistemas [Carlson98] , [ReySoto07] y se reconoce como estabilidad acotada o estabilidad BIBO, la cual fue definida en (1.9). Existen dos formas prácticas para evaluar la estabilidad acotada:

3

3 - 2 Capítulo 3 – ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO CONTINUO

- demostrar que el valor de estabilización ( )ssy de la respuesta escalón es finito. - demostrar que la respuesta impulso ( )h t , según la ecuación (1.10), es integrable.

Si se logra una de estas dos condiciones, se dice que el sistema posee estabilidad absoluta o estabilidad asintótica, y las raíces de la ecuación característica (EC) o los polos del sistema ( )kp de la función de transferencia de lazo cerrado ( )T s están en el semi-plano izquierdo (SPI) del plano-s, es decir si { } 0kp <Re . La EC se puede evaluar usando (2.6) para la forma canónica de lazo cerrado o (2.7) para un esquema arbitrario. Existe una situación especial que se presenta cuando la FTLC incluye un par de polos imaginarios conjugados, en cuyo caso la respuesta es oscilatoria y se dice que el sistema es marginalmente estable. Es importante observar que si la respuesta del sistema tiene un polo en el origen ( 0)kp = el sistema puede seguir siendo estable. En la sección 2.1 se demostró que el análisis de la respuesta escalón de un sistema de control es suficiente para verificar su estabilidad absoluta. Más aún, ajustando los parámetros del sistema es posible mejorar su respuesta transitoria, evaluada a través de los valores característicos ptM , rT y ssT . Esta estrategia de comparar dos situaciones de un sistema estable, se reconoce como estabilidad relativa, la cual fue utilizada en el ejemplo 2.8 y analizada en la sección 2.4.

EJEMPLO 3.1: La forma canónica del sistema de control en lazo cerrado de la figura 2.4 tiene las siguientes funciones

1( ) , ( )

( 1) 2k

G s H ss s s

= =+ +

Verificar la estabilidad absoluta para 10k = y determinar analíticamente el valor de k para estabilidad marginal.

Solución: Para 10k = obtenemos la EC, como 3 210 3 2 10

1 ( ) ( ) 1 0( 1)( 2) ( 1)( 2)

s s sG s H s

s s s s s s+ + +

+ = + = =+ + + +

Evaluando las raíces del numerador, obtenemos los polos del sistema en lazo cerrado, como 1 3.3089p = − y 2,3 0.1545 1.7316p j= ± . Este resultado es suficiente para demostrar que si 10k = el sistema es inestable. Para determinar el valor de k para estabilidad marginal, expresamos la EC como

3 23 2 0s s s k+ + + =

Estabilidad acotada, absoluta y relativa.

3.2 MÉTODO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ 3 - 3

que corresponde a un sistema de orden-3. Descomponiendo en un sistema de orden-1 y uno de orden-2 con respuesta oscilatoria ( 0)ζ = , obtenemos

2 2 3 2 2 2( )( ) 0n n ns a s s as s a+ +ω = + +ω + ω =

Comparando con la ecuación anterior 3a = , 2nω = y 6k = . Sustituyendo este valor en la EC, obtenemos 1 3p = − y 2,3 1.4142p j= ± , que es suficiente para demostrar que para 6k = el sistema es marginalmente estable. El polo imaginario conjugado es de la forma nj± ω , donde 1.4142 /n rad sω = es la frecuencia natural del sistema. Se puede verificar que cualquier valor de 0 6k< < , garantiza estabilidad absoluta en el sistema.

Otros métodos para evaluar la estabilidad

Además de los métodos mencionados anteriormente, existen otras formas clásicas para evaluar sistemáticamente la estabilidad de un sistema de control:

- método de Routh-Hurwitz - método del lugar de las raíces - método de la respuesta de frecuencia - método de Nyquist

El método de Routh-Hurwitz utiliza propiedades algebraicas de la ecuación característica (EC) para verificar si un sistema es estable o no, identificando el número de polos que están en el semi-plano derecho (SPD) del plano-s, sin necesidad de su evaluación numérica. El método del lugar de las raíces se basa en construir la trayectoria gráfica que siguen las raíces de la EC en el plano-s, cuando cambia un parámetro ( )k del sistema. Este método permite evaluar la estabilidad relativa y estimar el valor de k que lleva el sistema a su condición de estabilidad marginal. El método de la respuesta de frecuencia utiliza la función de transferencia de lazo abierto (FTLA) para evaluar la estabilidad absoluta y relativa del sistema de control en lazo cerrado desde el plano-ω. Este método permite analizar la respuesta dinámica de un sistema de control de cualquier orden, sin tener de recurrir al uso de señales de prueba. El método de Nyquist parte de la FTLA para evaluar la estabilidad del sistema en lazo cerrado, desarrollando un conjunto de criterios sustentados en el teorema de Cauchy. Este método es útil en sistemas de control de fase no mínima, cuya FTLA tiene polos o ceros en el SPD, caso en el cual el método de la respuesta de frecuencia no funciona adecuadamente.


3.2 METODO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ

En la sección anterior se demostró que para evaluar la estabilidad absoluta de un sistema de control, es suficiente el calculo de la raíces de la ecuación característica. Sin embargo para determinar la condición estabilidad marginal el ejemplo 3.1 fue necesario usar un artificio algebraico que funciona adecuadamente en un sistema de orden-3. En esta sección se presentará el criterio de Routh-Hurwitz que permite evaluar la estabilidad absoluta y estabilidad marginal de un sistema de control, sin importar el orden del mismo. Condiciones necesarias para estabilidad absoluta

Antes de presentar los criterios de Routh-Hurwitz analizaremos las propiedades algebraicas del polinomio característico (asociado con al EC) Asumiendo que la FTLC se expresa como una función racional de la forma ( ) ( ) / ( )T s P s Q s= , la forma general de la EC es

11 1 0( ) 0n n

nQ s s a s a s a−−= + + + + = (3.1)

para un sistema de orden-n con los coeficientes reales. Si el sistema es de orden-3

3 22 1 0 1 2 3( ) ( )( )( )Q s s a s a s a s p s p s p= + + + = − − − (3.2)

Desarrollando el segundo miembro 3 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )Q s s p p p s p p p p p p s p p p= − + + + + + −

Comparando coeficientes, obtenemos

2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 0 1 2 3( ), ( ),a p p p a p p p p p p a p p p= − + + = + + = − (3.3)

Generalizando

)1 (na − = − suma de raíces )2 (na − = + producto de raíces en grupos de 2

)0 (a = − producto de raíces

Las expresiones anteriores demuestran que si existe una raíz en el SPD,

- se podría eliminar un coeficiente en ( )Q s - podría cambiar el signo de un coeficiente en ( )Q s

Lo anterior permite formular las condiciones necesarias, pero no suficientes, para que un sistema de control sea absolutamente estable:

1. Deben existir todos los coeficientes en ( )Q s . 2. Todos los coeficientes en ( )Q s deben ser positivos.


EJEMPLO 3.2: Aplicar las condiciones necesarias para evaluar la estabilidad absoluta de las siguientes ecuaciones características:

31( ) 3 2 0Q s s s= + + =

22( ) 2 1 0Q s s s= − + =

3 23( ) 2 8 0Q s s s s= + + + =

Solución: Aplicando las dos condiciones necesarias (no suficientes), obtenemos

1( )Q s : inestable porque no aparece el coeficiente de 2s . Calculando las raíces: 1 0.5961p = − , 2,3 0.2980 1.8072p j= ± .

2( )Q s : inestable porque hay cambio de signo en los coeficientes. En efecto, las raíces son: 1,2 1p = .

2( )Q s : se cumplen las dos condiciones necesarias. Sin embargo no es suficiente para asegurar que el sistema sea estable. Las raíces son: 1 2p = − , 2,3 0.5 1.9365p j= ± . Luego es inestable.

Criterios de estabilidad de Routh-Hurwitz

Con base en el resultado del ejemplo anterior se puede establecer un procedimiento en la aplicación del método de Routh-Hurwitz (R-H), que se inicia verificando las 2 condiciones necesarias enumeradas anteriormente.

1. Si no se cumple una de las 2 condiciones necesarias, se puede asegurar que el sistema es absolutamente inestable.

2. Si se cumplen las 2 condiciones necesarias, no se puede asegurar que el sistema es estable. Por lo tanto es necesario verificar la posición de las raíces en el plano-s.

Si se cumplen las condiciones necesarias, el método propone construir la tabla de Routh-Hurwitz o tabla R-H, a partir de los coeficientes de la ecuación característica (EC). Para el caso de un sistema de orden-4 la EC es:

4 3 23 2 1 0( ) 0Q s s a s a s a s a= + + + + =

el resultado se muestra en la tabla 3.1. Se observa que las 2 primeras filas se construyen tomando los coeficientes de la EC en forma alternada. Los coeficientes de las filas restantes se construyen utilizando los determinantes de Routh, que serán definidos a continuación. Sin embargo, antes de calcular estas los valores de la tabla, es conveniente reconocer las siguientes condiciones de simetría de la tabla R-H:

Condiciones necesarias para estabilidad absoluta.


1. El número de filas es ( 1)n+ , siendo n el orden de la EC. 2. El número de columnas es igual a la parte entera de ( / 2) 1n + . 3. Las filas se organizan en grupos de 2. Si el orden-n es par, la primera fila no tiene

compañera de grupo (se reconoce como viuda). 4. Las 2 últimas filas solo tienen un elemento. 5. El último elemento de cada grupo se repite como último en todos los demás grupos.

En la tabla 3.1, implica que 1 2 0d b a= = , como se verificará en el ejemplo 2.3.

Tabla 3.1 – Tabla de Routh-Hurwitz 4s 1 2a

0a 3s 3a 1a 2s 1b

2b 1s 1c 0s 1d

Los determinantes de Routh para calcular los elementos de la fila-b son

2 01 2 0

3 1 33 3

1 11 10

a ab b a

a a aa a= − = − = (3.4)

El coeficiente 3a y la primera columna no cambian, recibiendo la denominación de pivotes. El procedimiento se repite para las demás filas, hasta completar el último grupo, que según las condiciones de simetría solo tiene un elemento. EJEMPLO 3.3: Construir la tabla R-H para un sistema cuya EC es

3 2( ) 2 8 0Q s s s s= + + + =

Solución: Esta EC corresponde al caso 3 del ejemplo 3.2, el cual cumple con las 2 condiciones necesarias y por lo tanto es necesario construir la tabla. Aplicando las condiciones de simetría, el primer resultado es:

3s 1 2 2s 1 8 1s 1b 0s 8

Luego, solo se requiere calcular 1b . Usando los determinantes de Routh (3.4)

Construcción de la tabla R-H.


1 1

1 2 1 81 16 8

1 8 6 01 6b c= − = − = − =

−−

El cálculo de 1c no es necesario y solo se ha hecho para comprobar la propiedad-4. La tabla definitiva es

3s 1 2 2s 1 8 1s 6− 0s 8

Se observa que la primera columna presenta 2 cambios de signo, que serán usados a continuación para identificar el número de raíces en el SPD.

DEFINICION 3.1: Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz El número de cambios de signo en la primera columna de la tabla R-H es igual al número de raíces de la EC en el SPD del plano-s

En el ejemplo 3.3 existen 2 cambios de signo, por lo tanto la EC debe tener 2 raíces en el SPD. En efecto, en el ejemplo 3.2 se obtuvo 1 2p = − , 2,3 0.5 1.9365p j= ± , que permite verificar lo anterior.

EJEMPLO 3.4: Evaluar la estabilidad del sistema de control de lazo cerrado mostrado a continuación, el cual utiliza un controlador PID para regular un proceso.

Solución: De acuerdo con lo tratado en la sección 2.3, la ganancia DC de la rama de realimentación ( )H s es infinita. Luego el sistema es inestable. Para comprobar lo anterior calculamos ( )G s equivalente de la forma canónica, como

2

2 2 2

10 1 2 6 10( ) 6 2

( 4) ( 4)s s

G s ss s s s s s s

+ +⎛ ⎞= + + × =⎜ ⎟ + + + +⎝ ⎠

Para verificar que es inestable, obtenemos la EC del sistema (2.6), como

Estabilidad absoluta en sistema de control PID, usando criterios R-H. −

106 2s

s+ +

( )Y s ( )R s

1/ s

+2

1( 4)s s s+ +


5 4 3 2

3 2

4 2 6 101 ( ) ( ) 0

( 4)s s s s s

G s H ss s s

+ + + + ++ = =

+ +

Por lo tanto 5 4 3 2( ) 4 2 6 10 0Q s s s s s s= + + + + + =

Como se cumplen las condiciones necesarias, pero no suficientes, debe desarrollarse la tabla R-H. De acuerdo con las condiciones de simetría, existen 6 filas que se organizan en 3 pares de grupos:

5s 1 4 6 4s 1 2 10 3s 1b 2b 2s 1c 10 1s 1d 0s 10

Es necesario aplicar los determinantes de Routh (3.4) para evaluar 4 elementos:

1 2

1 4 1 61 12 4

1 2 1 101 1b b= − = = − = −

1 1

1 2 2 41 14 9

2 4 4 102 4c d

−= − = = − = −

−

Existen 2 cambios en la primera columna, que identifican la presencia de 2 polos en el SDP. Luego, el sistema es absolutamente inestable y se puede verificar calculando las raíces de la EC:

1 1.1190p = − , 2,3 0.6867 1.8459p j= − ± , 4,5 0.7462 1.3121p j= ±

Casos especiales de la tabla R-H

En los ejemplos anteriores no hubo dificultad en el cálculo de la tabla R-H, porque los resultados de los determinantes de Routh dieron valores finitos. Existen 2 casos especiales donde es necesario modificar el desarrollo de la tabla R-H: Caso 1: La primera columna contiene un cero.

La presencia de un cero en la primera columna dificulta la evaluación de los determinantes de Routh, porque el elemento pivote sería nulo, lo cual reportaría un valor indeterminado. La solución consiste en sustituir el cero por un valor ε para


continuar el desarrollo de la tabla. Al final se evalúa el resultado de la primera columna para 0+ε → y se determina el número de cambios de signo.

EJEMPLO 3.5: Evaluar la estabilidad del sistema de control de lazo cerrado cuya EC es

4 3 2( ) 2 2 4 6 0Q s s s s s= + + + + =

Solución: Construyendo la tabla R-H, obtenemos

4s 1 2 6 3s 2 4 2s 1b 6 1s 1c 0s 6

Se observa que la primera línea es viuda. Sin embargo es posible aplicar la propiedad-4 de simetría. Evaluando el elemento 1b de la fila-s2

1

1 210

2 42b = − =

Por lo tanto, debemos sustituir 1b = ε y continuar el desarrollo de la tabla. El elemento 1c resulta

1

2 41 4 126

cε −

= − =εε ε

Evaluando para 0+ε → , se observa que

10 0

12 124 0c lim lim

+ +ε→ ε→

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ≈ − <⎜ ⎟ ⎜ ⎟ε ε⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Existen 2 cambios de signo en la primera columna, que identifican la presencia de 2 raíces en el SPD, lo cual se puede verificar calculando las raíces de la EC:

1,2 1.4901 0.6876p j= − ± y 3,4 0.4901 1.4099p j= ± Caso 2: Todos los elementos de una fila son cero.

Se puede demostrar [Kuo65], [Ogata03a], que esta situación ocurre en una fila impar y para resolver este inconveniente se sugiere el siguiente procedimiento:

Tabla R-H con un cero en la primera columna.


- crear una ecuación auxiliar ( ) 0aQ s = , con los coeficientes de la fila par inmediata anterior.

- derivar la ecuación auxiliar: '( ) 0aQ s = . - sustituir los ceros de la filar impar par por los coeficientes de '( ) 0aQ s = . - continuar el desarrollo de la tabla.

EJEMPLO 3.6: Evaluar la estabilidad del sistema de control de lazo cerrado cuya EC es

6 5 4 3 2( ) 2 8 8 18 4 8 0Q s s s s s s s= + + + + + + =

Solución: Construyendo la tabla R-H y reduciendo filas, obtenemos

6s 1 8 18 8 5s 2

1 8

4 4

2

4s 1 ( 4b 1) 2 ( 16b 4) 82

3s 1c (0) 2c (0) 2s 1d 2 1s 1e 0s 2

Utilizando los determinantes de Routh, obtenemos

1 2 1 2

1 8 1 18 1 4 1 21 1 1 14 16 0 0

1 4 1 2 1 4 1 21 1 1 1b b c c= − = = − = = − = = − =

La fila 3s (impar) se anula y por lo tanto no se puede continuar con la tabla. Aplicando el procedimiento sugerido, construimos la ecuación auxiliar, usando los coeficientes de la fila 4s y la derivamos:

4 2 3( ) 4 2 0 '( ) 4 8 0a aQ s s s Q s s s= + + = → = + =

Finalmente sustituimos los ceros de la fila 3s por los coeficientes de '( ) 0aQ s = :

6s 1 8 18 8 5s 1 4 2 4s 1 4 2 3s 4

1 8

2

2s 1d (4) 2 1s 1e (1.5) 0s 2

Tabla R-H con fila impar igual a cero.


Calculamos los dos términos restantes usando los determinantes de Routh

1 1

4 4 1 21 14 1.5

1 2 4 21 4d e= − = = − =

Como no existen cambios de signo no hay raíces en el SPD. Sin embargo, se puede verificar que en este caso, este resultado no es suficiente para garantizar estabilidad absoluta. Lo anterior se fundamenta en que las raíces de la ecuación auxiliar, también son raíces de la EC. En efecto, resolviendo ( ) 0Q s = obtenemos:

1,2 1 1.7321p j= − ± , 3,4 0.7654p j= ± y 5,6 1.8478p j= ± Haciendo lo mismo para la ecuación auxiliar ( ) 0aQ s = :

1,2 0.7654p j= ± y 3,4 1.8478p j= ±

Luego el sistema es marginalmente estable. Comentarios:

1. Al desarrollar la tabla R-H se pueden dividir todos los elementos de una fila por un factor común, antes de evaluar los determinantes, sin que esto afecte el número de cambios de signo. Esta estrategia se reconoce como reducción de filas.

2. Cuando una fila se anula, siempre es impar. 3. El polinomio ( )aQ s de la ecuación auxiliar es par. 4. Las raíces de la ecuación auxiliar son también raíces de la EC (polos del sistema) y

puede ocurrir [Kuo65], [Ogata03a], que exista: - uno o más pares de polos imaginarios conjugados. - pares de polos complejos conjugados con partes reales opuestas. - al menos un par de polos reales opuestos.

5. La presencia de polos imaginarios conjugados implica una componente oscilatoria permanente en la respuesta y por lo tanto el sistema es marginalmente inestable.

6. Si se presentan cambios de signo en la columna-1, es posible que no existan raíces sobre el eje-jω. Esto se deduce de la forma de la ecuación auxiliar.

EJEMPLO 3.7: Evaluar la estabilidad de un sistema de control cuya EC es

3 2( ) 3 4 12 0Q s s s s= + − − =

Tabla R-H con una fila cero y sin respuesta oscilatoria.


Solución: Los cambios de signo en los coeficientes es una condición suficiente para establecer que el sistema es inestable. Sin embargo, desarrollando la tabla RH y aplicando reducción de filas, obtenemos

3s 1 4− 2s 3

1 2−

4−

1s 1 (0)b 2 (0)b 0s 4−

Utilizando los determinantes de Routh

1 2

1 4 1 01 10 0

1 4 1 01 1b b

−= − = = − =

−

La ecuación auxiliar es 2( ) 4aQ s s= − y su derivada '( ) 2aQ s s= . Sustituyendo la fila de ceros, obtenemos

3s 1 4− 2s 1 4− 1s 2 0 0s 4−

Existe 1 cambio de signo que implica 1 polo en el SPD. En efecto, las raíces de la EC son 1 3p = − y 2,3 2p = ± , donde las dos últimas son raíces de ( ) 0aQ s = .

3.3 APLICACIÓN DE ROUTH HURWITZ AL DISEÑO

Los ejemplos anteriores no justifican el uso de los criterios de Routh Hurwitz (R-H) para evaluar la estabilidad absoluta, por cuanto se conocen los coeficientes de la EC y el cálculo de sus raíces puede efectuarse usando una calculadora o MATLAB®. El método R-H tiene aplicación práctica cuando se desea evaluar el efecto de uno o más parámetros en la estabilidad absoluta. Este problema es de gran ayuda en el diseño del sistema de control.

Ajuste de ganancia para estabilidad absoluta

El esquema usado en este análisis se muestra en la figura 3.1, donde el problema se reduce a determinar el rango de valores de k que garantizan la estabilidad absoluta del sistema. Este es un caso típico de diseño, donde k puede ser la ganancia de un controlador proporcional (P) utilizado para regular el funcionamiento del proceso ( )G s .

3.3 APLICACIÓN DE ROUTH-HURWITZ AL DISEÑO 3 - 13

Para evaluar la estabilidad absoluta partimos de la EC del sistema, dada por

1 ( ) ( ) 0kG s H s+ = (3.5)

Si el esquema no corresponde a la forma canónica de la figura 3.1, se supone que k es un parámetro de la EC, obtenida a partir del determinante de Mason ( ) 0sΔ = . Como se demuestra en el siguiente ejemplo, aplicando la tabla R-H es posible encontrar el rango de valores de k para satisfacer la condición de estabilidad absoluta.

EJEMPLO 3.8: Determinar el rango de valores de k para lograr estabilidad absoluta de un sistema de control, cuya EC es

3 2( ) ( 4) 6 16( 1) 0s s k s s kΔ = + + + + + =

Solución: Las condiciones necesarias exigen que 4k > − y 1k > − para que todos los coeficientes sean positivos. Construyendo la tabla R-H, obtenemos

3s 1 6 2s 4k+ 16( 1)k+ 1s 1b 0s 16( 1)k+

donde 1b viene dado por

1

1 61 8 104 16( 1)4 4

kb

k kk k−

= − =+ ++ +

Para que los términos de la primera columna sean todos positivos se requiere:

Condición 1: 4 0 4k k+ > → > − (condición necesaria9 Condición 2: 8 10 0 0.8k k− > → < Condición 3: 16( 1) 0 1k k+ > → > − (condición necesaria)

Luego el rango de valores para estabilidad absoluta es 0 0.8k< < .

Se sugiere al lector resolver el ejemplo 3.1 usando la tabla R-H

−

Y(s) R(s) + E(s)

B(s)

k G(s)

H(s)

Figura 3.1 Forma canónica para aplicación de la tabla R-H al diseño.

Rango de valores de k para estabilidad absoluta.


Ganancia límite y frecuencia natural

En aplicaciones de diseño es posible descartar los valores negativos de k. Aún más, aplicando el caso 2 se puede anular una fila impar para determinar el máximo valor de k que lleva el sistema a la condición de estabilidad marginal. En efecto si en el ejemplo 3.8 se ajusta la ganancia a 0.8k = , la fila impar 1s se anula presentándose el caso 2 del método R-H. A partir de la fila para anterior 2s podemos construir la ecuación auxiliar

2( ) ( 4) 16( 1) 0aQ s k s k= + + + =

Evaluando esta ecuación para 0.8k = las raíces son 2.4495s j= ± , que genera a una componente oscilatoria permanente llevando al sistema a su condición de estabilidad marginal. El valor de 2.4495 /n rad sω = es la frecuencia natural del sistema y el valor de

0.8k = se reconoce como la ganancia límite del sistema.

EJEMPLO 3.9: Diseñar el controlador proporcional (P) de un sistema de control de lazo cerrado con realimentación unitaria, para lograr un error estacionario máximo de 5%, asumiendo que el proceso ( )pG s viene dado por

2

2( )

( 2)( 1)pG ss s

=+ +

Solución: Como el sistema es tipo 0N = con realimentación unitaria, podemos usar la tabla 2.2 para evaluar el error estacionario de posición. Incluyendo la ganancia

pk del controlador:

200

2( ) ( )

( 2)( 1)p p pss

K limG s H s k ks s→

=

= = =+ +

Luego, el error estacionario es

1 10.05

1 1spp p

eK k

= = <+ +

que se satisface si la ganancia del controlador P se ajusta en 19pk > . Sin embargo es necesario verificar si esta solución garantiza la estabilidad absoluta del sistema. Según (3.5) la EC viene dada por

3 2

2 2

2 4 5 2( 1)1 0

( 2)( 1) ( 2)( 1)s s s k

ks s s s

+ + + ++ = =

+ + + +

Considerando solo el numerador 3 2( ) 4 5 2( 1) 0Q s s s s k= + + + + =

Diseño de controlador P usando criterios RH.


A partir de este resultado construimos la tabla R-H

3s 1 5 2s 4

2 2

1( 1)k+

1s 1b 0s 1k+

donde 1b viene dado por

1

1 51 10 ( 1) 1(9 )

2 12 2 2k

b kk

− += − = = −

+

Se pueden identificar dos condiciones para lograr que todos los elementos de la primera columna sean positivos y por lo tanto que el sistema sea estable:

Condición 1: 0.5(9 ) 0 9k k− > → < Condición 2: 1 0 1k k+ > → > −

Descartando valores negativos, el rango de ganancia del controlador P que garantiza estabilidad absoluta es: 0 9k< < . Por lo tanto, ajustando únicamente la ganancia del controlador P no es posible lograr un error estacionario de posición 5%< . En el ejemplo 3.10 se demostrará que utilizando un controlador PI de puede eliminar este error. La ganancia límite (fila 1s cero) que lleva el sistema a la condición de estabilidad marginal es 9Lk k= = . Para obtener la frecuencia natural del sistema, evaluamos el polinomio auxiliar (fila 2s ) para 9k =

29 9

( ) 2 ( 1) 0a k kQ s s k

= == + + =

cuyas raíces son 1,2 2.2361p j= ± , que equivale a 2.2361 /n rad sω = . Se puede comprobar que estos valores son raíces de la EC.

Región de estabilidad

En los ejemplos anteriores se consideró el efecto de un parámetro k en la estabilidad del sistema de control. Sin embargo, existen aplicaciones prácticas donde es posible considerar el efecto de dos parámetros 1k y 2k . Existen dos alternativas de solución:

- asumir un valor arbitrario de 1k y evaluar la estabilidad para 2k . - considerar simultáneamente el efecto de 1k y 2k .


La primera alternativa exige la construcción de una tabla R-H para cada valor particular de

1k a partir de la cual es posible encontrar el rango de valores de 2k para estabilidad absoluta. La segunda es más general y conduce al desarrollo de una expresión algebraica de

2 1( )k f k= o de 1 2( )k f k= que se puede representar gráficamente como una región de estabilidad. Un caso típico es el diseño de un controlador PI, que se describe en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 3.10: Rediseñar el controlador del ejemplo anterior para lograr un error

estacionario de posición máximo de 5%, usando un controlador PI (proporcional integral).

Solución: En el capítulo 4 se demostrará que la FT del controlador PI es:

( ) p iic p

k s kkG s k

s s

+= + =

donde pk representa la ganancia de la acción proporcional y ik la ganancia de la acción integral. La expresión de ( )G s para la forma canónica es

2

2( )( )

( 2)( 1)p ik s k

G ss s s

+=

+ +

Como ( ) 1H s = , el polo en el origen del controlador PI convierte al sistema en tipo 1N = . Por lo tanto, según la tabla 2.2, el error estacionario de posición es cero y se logra la condición de diseño. Sin embargo, se presenta error estacionario de velocidad que puede evaluarse usando la tabla 2.2:

200

2( )( ) ( )

( 2)( 1)p i

v iss

k s kK lim sG s H s k

s s→=

+= = =

+ +

Luego, el error de velocidad resultante solo depende del ajuste de ganancia de la acción integral y viene dado por 1/sv ie k= . A continuación se demostrará que la estabilidad depende del ajuste de la ganancia de la acción P ( )pk y en consecuencia ( )i pk f k= . Para esto, obtenemos la EC, como

4 3 2

2 2

2( ) 4 5 2( 1) 21 0

( 2)( 1) ( 2)( 1)p i p ik s k s s s k s k

s s s s s s

+ + + + + ++ = =

+ + + +

Considerando solo el numerador 4 3 2( ) 4 5 2( 1) 2 0p iQ s s s s k s k= + + + + + =

Diseño de controlador PI usando criterios de Routh-Hurwitz.


Utilizando este resultado, construimos la tabla R-H

4s 1 5 2 ik 3s 4

2 2

1( 1)pk +

2s 1b 2 ik 1s 1c 0s 2 ik

Utilizando determinantes de Routh

1

1 5 10 ( 1)1 1(9 )

2 12 2 2p

pp

kb k

k− +

= − = = −+

1 111 1

( 1)(9 ) 82 11 1( 1) 2

9p p ip

p ii p

k k kkc b k k

b kb b k

+ − −+⎡ ⎤= − = + − =⎣ ⎦ −

Existen 3 condiciones para lograr estabilidad absoluta

Condición 1: 0.5(9 ) 0 9p pk k− > → <

Condición 2: 1

8( 1)(9 )i p pk k k< + −

Condición 3: 2 0 0i ik k> → >

La primera condición establece claramente el rango de ajuste de ganancia de la acción proporcional, como 0 9pk< < (resultado del ejemplo 3.9). Por otro lado, la condición 2 confirma ( )i pk f k= . Considerando la condición límite de la desigualdad (estabilidad marginal, porque se anula fila 1s ), obtenemos:

2 21 1 258 8 8( 8 9) ( 4)i p p pk k k k= − − − = − − +

Esta expresión corresponde a una parábola, cuya forma estándar es 225 1

8 8 ( 4)i pk k− = − −

cuyo vértice se encuentra en (4,3.125) . Para determinar el corte con el eje vertical hacemos 0pk = :

225 18 8 ( 4) 1.1250ik = − − =

De modo similar para 0ik = : 21 25

8 8( 4) 0pk − + =

Cuya solución permite calcular los puntos de corte con el eje horizontal en 1pk = − y 9pk = . El resultado se muestra en la figura 3.2.


Cualquier punto sobre la parábola anula 1c (fila impar) y el sistema estaría en condición de estabilidad marginal. La región de estabilidad corresponde a puntos debajo de la parábola, para valores de 0pk > y 0ik > . Según la figura 3.2, para estabilidad absoluta 1.125ik < (vértice), que implica 1.125vK < . Luego existe un límite en el error de velocidad que se puede alcanzar. En efecto 1/ 1.125 0.32sve > = y por lo tanto 32%sve > .

Para facilitar la construcción de la tabla R-H del sistema de la figura 3.1, se desarrolló la función especial tablaRH(), la cual se describe en el apéndice E. Su sintaxis es k=tablaRH(GHs)

Introduciendo solo el nombre de la función se consigue ayuda y un ejemplo de aplicación. Si el esquema de control es diferente a la figura 3.1, es necesario calcular la función de transferencia equivalente, que será presentada en la sección 3.4 (ejemplo 3.12). Aplicando al ejemplo 3.9, obtenemos

» Gps=zpk([],[-2 -1 -1],2); Hs=1; GHs=Gps*Hs; k=tablaRH(GHs)

Ecuación característica... Qs = s^3+4*s^2+5*s+2+2*k

Tabla R-H

[ 1, 5] [ 4, 2*k+2] [ -1/2*k+9/2, 0] [ 2*k+2, 0]

Condición 1... k < 9 Condición 2... k > -1

k = 9 -1

Usando el vector k es posible capturar la ganancia límite del sistema para condición de estabilidad marginal. En el caso anterior es 9Lk = y puede obtener como: kL = k(1).

Figura 3.2 Criterio de Routh Hurwitz a partir de 2 parámetros.

3.4 METODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES 3 - 19

3.4 METODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES

En las secciones anteriores se demostró cómo la posición de las raíces de la ecuación característica o polos del sistema en lazo cerrado en el plano-s determinan la estabilidad absoluta y relativa de un sistema de control. El estudio del comportamiento de las raíces de la ecuación característica o polos del sistema, cuando se modifica uno o varios parámetros, se puede usar para evaluar la estabilidad absoluta y relativa, sin olvidar que la respuesta transitoria también depende de los ceros de la función de transferencia en lazo cerrado. En esta sección abordaremos el método del Lugar de la Raíces (LR), una de las herramientas gráficas que ofrece mayor versatilidad en el análisis de la estabilidad absoluta y relativa de un sistema de control. Como se demostrará en los capítulos 4 y 6, esta herramienta es fundamental para el diseño de un sistema de control en tiempo continuo o en tiempo discreto. El método se fundamenta en un algoritmo desarrollado en 1.948 por W.R.Evans [Evans48], que permite obtener el lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica (EC) o polos del sistema en lazo cerrado, a partir de la función de transferencia de lazo abierto (FTLA).

Conceptos básicos de lugar de las raíces

El lugar de la raíces (LR) se reconoce como la trayectoria gráfica de las raíces de la ecuación característica o polos en lazo cerrado del sistema de control, mostrado en la figura 3.1, cuando el parámetro o ganancia k toma valores positivos en el intervalo [0, )∞ . El lugar geométrico para valores negativos de k en el intervalo ( ,0]−∞ se conoce como el Complemento del Lugar de las Raíces (CLR). El siguiente ejemplo muestra el desarrollo del LR para el sistema de control de posición de una antena comandada por un servomotor, cuya FT se ha simplificado asumiendo 0aL ≈ .

EJEMPLO 3.11: Obtener el LR del sistema de control de posición de lazo cerrado unitario del ejemplo 2.7, cuyo modelo se repite a continuación

0.5( )

( 1)pG ss s

=+

Solución: La ecuación característica (EC) viene dada por

20.51 0 0.5 0

( 1)a ak s s ks s

+ = → + + =+

LR de un sistema de control de posición, en lazo cerrado unitario.

−

( )pG s( )Y s ( )R s +

ak


Los polos del sistema son 1,2 0.5 0.5 1 2 ap k= − ± − y su magnitud depende del ajuste de la ganancia ak del amplificador. Evaluando para diferentes valores de

ak , obtenemos:

ak 1p 2p

0 0 1−

0.5 0.5− 0.5−

1 0.5 0.5j− + 0.5 0.5j− −

1.5 0.5 0.7071j− + 0.5 0.7071j− −

0.5 0.8660j− + 0.5 0.8660j− −

Comentarios:

1. Existen 2 raíces de la EC y por lo tanto se generan 2 trayectorias en el LR. 2. Cada trayectoria se inicia en un polo y termina en un cero de la FTLA ( )F s , cuya

forma general es:

1

( ) ( )( )

( ) ( )N

N s N sF s

D s s D s= = (3.6)

Asumiendo que ( )N s es de orden-m y ( )D s es de orden-n:

1( )

m

n n ms s s

slim F s lim lim

s s −→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ (3.7)

Lo anterior implica que si n m> , existen ( )n m− ceros en infinito, porque la expresión (3.7) tiende a cero, cuando s →∞ . Para el ejemplo anterior 2n = y

0m = ; luego existen dos polos finitos de ( )F s en 1 20, 1p p= = − y dos ceros infinitos en 1 2,z z= ∞ = ∞ . Luego

Trayectoria-1: se inicia en 1 0p = y termina en 1z = ∞ . Trayectoria-2: se inicia en 2 1p = − y termina en 2z = ∞ .

3. Los parámetros de la FTLA: polos, ceros y constante de ganancia, son suficientes

para obtener la trayectoria de los polos del sistema en lazo cerrado. 4. Cada punto del LR tiene asociados dos valores característicos: ganancia ( )k y polo

del sistema en lazo cerrado ( )kp . Antes de presentar la estrategia para la construcción del LR, conviene modificar la EC dada en (3.5) para incluir el caso general de un esquema de control diferente a la figura 3.1.

(2)

1−

σ

jω

j

j−


Partiendo del determinante de Mason, podemos escribir ( ) 1 ( ) 0s kF sΔ = + = (3.8)

La expresión (3.8) se reconoce como la ecuación característica modificada, donde ( )F s es la función de transferencia equivalente de lazo abierto del sistema. Si el esquema de control usa la forma canónica de la figura 3.1, ( ) ( ) ( )F s G s H s= . En caso contrario, el siguiente ejemplo muestra como se puede lograr una expresión equivalente de ( )F s . EJEMPLO 3.12: Obtener la FTLA equivalente del sistema del ejemplo 3.8, cuya EC es

3 2( ) ( 4) 6 16 16 0s s k s s kΔ = + + + + + =

Solución: La estrategia para lograr ( )F s consiste en organizar la expresión anterior, separando los términos que contienen el parámetro k,

3 2 24 6 16 ( 16) 0s s s s k+ + + + + =

Dividiendo por el factor que no contiene k 2

3 2

161 0

4 6 16s

ks s s

++ =

+ + +

Comparando el resultado anterior con (3.8), obtenemos 2

3 2

16( )

4 6 16s

F ss s s

+=

+ + +

La expresión anterior de ( )F s es el argumento en la función especial tablaRH() que se utiliza para construir la tabla R-H. Aplicando al ejemplo 3.8, cuya FTLA equivalente se obtuvo en el ejemplo 3.12, obtenemos:

» Fs=tf([1 0 16],[1 4 6 16]) » k=tablaRH(Fs)

Ecuación característica...

Qs = s^3+(4+k)*s^2+6*s+16*k+16

Tabla R-H [ 1, 6] [ 4+k, 16*k+16] [ (-10*k+8)/(4+k), 0] [ 16*k+16, 0]

Condición 1... k > -4 Condición 2... k < 0.8 Condición 3... k > -1

k = -4.0000 0.8000 -1.0000

Cálculo de FTLA equivalente


Condición de magnitud y condición de ángulo La solución de la ecuación (3.8) es

( ) 1/F s k= − (3.9)

Como ( )F s es una función compleja de variable compleja, la solución de (3.9) genera dos ecuaciones conocidas como la condición de magnitud (CM) y la condición de ángulo (CA). Si un punto particular 0s s= pertenece al LR, obtenemos: CM: 0 0| ( )| 1/F s k= (3.10)

CA: 0( ) 180º , 1, 3, 5,F s r r= × = ± ± ± (3.11)

La construcción del LR se basa en el algoritmo de Evans, que utiliza la CA para verificar si el punto 0s pertenece o no al LR. Una vez comprobado que el punto 0s forma parte del LR, se puede aplicar la CM para calcular la ganancia correspondiente, como

00

1( )

kF s

= (3.12)

Usando esta estrategia es posible desarrollar un algoritmo numérico para calcular los pares de valores , ( )kk p , necesarios para construir el gráfico de las trayectorias del LR. La función rlocus() del Toolbox de Control (TBC) de MATLAB® utiliza este algoritmo y será presentada en próximos ejemplos.

EJEMPLO 3.13: Utilizar el algoritmo de Evans para verificar si los puntos 1 0.5s = − , 2 1 1s j= − + y 3 0.5 2s j= − + pertenecen al LR del ejemplo 3.11. En caso

afirmativo, usar la CM para calcular la ganancia k.

Solución: Evaluando la FTLA para el punto 1 0.5s = −

0.5

( ) 20.5( ) 2

( 1) ( ) 180ºs

F sF s

s s F s=−

=⎧= = − ⎨+ = ±⎩

Luego, el punto 1 0.5s = − satisface la CA dada en (3.11) y por lo tanto podemos aplicar (3.12) para calcular su ganancia, como

1 11/| ( )| 1/ 2 0.5k F s= = =

El par de valores asociados con este punto es (2, 0.5)− . Para 2 1 1s j= − +

1

0.5( ) 0.25 0.25 0.3536 135º

( 1)s j

F s js s =− +

= = − + =+

Como no se cumple la CA, el punto 2 1 1s j= − + no pertenece al LR.

Algoritmo de Evans para verificar puntos del LR.


Para el punto 3 0.5 2s j= − +

0.5 2

0.5( ) 0.1176 0.1176 180º

( 1)s j

F ss s =− +

= = − = ±+

Como se cumple la CA, el punto 3 0.5 2s j= − + pertenece al LR y su ganancia es

3 31/| ( )| 1/ 0.1176 8.5k F s= = = Evaluación vectorial de la FTLA

El cálculo de la CM y la CA se puede facilitar evaluando vectorialmente la FTLA, a partir de los factores de los polos, ceros y constante de ganancia de ( )F s . Sin perder generalidad asumiremos que la FTLA es de la forma siguiente

1

1 2

( )( )

( )( )k s z

F ss p s p

−=

− −

Para verificar si el punto 0s pertenece al LR es necesario evaluar ( )F s para 0s s= . Para esto expresamos los factores del numerador y del denominador en forma polar,

0 1 1 1 10

0 1 0 2 1 1 2 2 1 2

( )( )

( )( )z

p p

k s z k B kF s

s p s p A A− θ

= = =− − θ θ

BA A

(3.13)

donde 1A , 2A y 1B son vectores dibujados desde el cero o polo hacia el punto de prueba

0s , tal como se muestra en la figura 3.3.

Interpretando (3.13) en la figura 3.3 se observa que cada vector está asociado con un factor del numerador y denominador de ( )F s . Cada vector se obtiene evaluando para 0s s= , el factor correspondiente al cero o polo de ( )F s . Luego

00

( ) ( )j j k k s ss ss z s p

=== − = −B A (3.14)

Expresando (3.14) en forma polar, se consigue la magnitud y fase necesarias para evaluar la ecuación (3.13). Utilizando la fase de cada factor en (3.14) permite determinar la CA, como 0 0 0( ) ( ) ( ) 180º

j kz pF s s s r= θ − θ = ×±∑ ∑ (3.15)

Figura 3.3 Evaluación vectorial de la FTLA.

A1A2

B1

1zθ 2pθ1pθ

2p−

σ

jω

1p−1z−

0s


Si el resultado de (3.15) es múltiplo impar ( 1,3,5, )r = … de 180º± , el punto 0s pertenece al LR. La ganancia 0k de este punto, considerando el factor de ganancia k de ( )F s es

0k

j

Ak

k B= ∏∏

(3.16)

En consecuencia, cada punto del LR está asociado con un par de valores: 0k y 0s .

EJEMPLO 3.14: Evaluar vectorialmente la siguiente FTLA, para verificar si el punto

0 1 1s j= − + pertenecen o no al LR.

2

4( 2)( )

( 2 5)s

F ss s s

+=

+ +

Solución: Aplicando (3.14) para 0 1s j= − + obtenemos los vectores, como

1 12 1.4142 45.00º

s js

=− += + =B

1 11.4142 135.00º

s js

=− += =A

2 11 2 1.0 90.00º

s js j

=− += + − = −A

3 11 2 3.0 90.00º

s js j

=− += + + =A

La condición de ángulo, a partir de (3.15) es

0( ) 45 (135 90 90) 90ºF s = − − + = −

Luego el punto 0 1s j= − + no pertenece al LR. Se puede verificar que el punto 0 1s = − sí pertenece al LR y su ganancia es 0 1k = .

Para facilitar la evaluación vectorial de ( )F s se desarrolló la función especial vectores() de MATLAB®, cuya descripción de presenta en el apéndice E. Su sintaxis es: [B,A]=vectores(Fs,s0)

Introduciendo solo el nombre de esta función se consigue ayuda y un ejemplo demostrativo. Aplicando al ejemplo 3.14:

» GHs=tf(2*[1 2],conv([1 0],[1 2 5]) » s0=-1+j; [B,A]=vectores(GHs,s0)

B = 1.4142 45.0000

A = 1.4142 135.0000 1.0000 -90.0000 3.0000 90.0000

Evaluación vectorial de F(s) para CM y CA.


Propiedades y construcción del LR

Aunque existen programas como MATLAB® y MATHCAD® que construyen el LR a partir de la información de la FTLA, es conveniente reconocer sus propiedades para facilitar la construcción manual y la interpretación de los resultados obtenidos. Además, en sistemas de orden inferior es posible identificar rápidamente condiciones de estabilidad absoluta y relativa. Estas propiedades se desarrollan considerando la relación que existe entre los polos y ceros de ( )F s y los polos del sistema en lazo cerrado o raíces EC modificada (3.8). Asumimos que ( )F s es causal y puede expresarse como

1 0 1 2

1 0 1 2

( )( ) ( )( ) ,

( )( ) ( )

mm m

nn

b s b s b k s z s z s zF s m n

s a s a s p s p s p+ + + − − −

= = ≤+ + + − − −

(3.17)

donde y k kz p representan los ceros y polos de ( )F s , y mk b= la constante de ganancia. Si m n= , la función ( )F s tiene n-polos y m-ceros finitos. Cuando m n< , la función ( )F s tiene n-polos finitos y n m− ceros infinitos. Estos elementos son fundamentales en la construcción de cada trayectoria del LR, que de acuerdo con el comentario 2 del ejemplo 3.11, se inicia en un polo (finito) y termina en un cero (finito o infinito) de la FTLA.

P1: Cada rama del LR se inicia ( 0)k = en un polo y termina ( )k = ∞ en un cero de ( )F s . En esta propiedad deben considerarse los ceros infinitos de ( )F s y puede demostrarse evaluando la ecuación (3.9). En efecto si 0k = el resultado es ( )F s = ∞ que por definición corresponde a cada polo de ( )F s , mientras que si k = ∞ el resultado es

( ) 0F s = que está asociado con cada cero de ( )F s . Una consecuencia inmediata de esta propiedad permite reconocer que el número de ramas o trayectorias es igual al orden-n de ( )F s , que corresponde al orden del sistema en lazo cerrado. Además el LR es simétrico respecto del eje-Re debido a la simetría que presentan los polos y ceros complejos conjugados del sistema en lazo cerrado (asumiendo que los coeficientes de la EC en (3.1) son reales).

P2: El LR incluye todos los puntos del eje-Re que se encuentran a la izquierda de un número impar de polos más ceros de ( )F s . Esta propiedad es consecuencia directa de la CA. Si el punto 0s del LR está sobre el eje-Re, los ángulos correspondientes a los polos y ceros complejos se anulan entre sí y solo los polos y ceros reales contribuyen a formar la CA. La figura 3.4 permite comprobar lo anterior.


La CA para cualquier punto 0s a la derecha de 1p es

CA : (0) (0 0) 0k kz pθ − θ = − + =∑ ∑

Luego ningún punto a la derecha de 1p pertenece al LR. Para un punto entre 2p y 1p

CA : (0) ( 180 0) 180k kz pθ − θ = − − + =∑ ∑

Luego todos los puntos entre 2p y 1p pertenecen al LR. Para un punto entre 1z y 2p

CA : (0) ( 180 180) 360k kz pθ − θ = − − − =∑ ∑

Como el resultado no es múltiplo impar de 180± , los puntos entre 1z y 2p no pertenecen al LR. Finalmente, para un punto a la izquierda de 1z

CA : ( 180) ( 180 180) 180k kz pθ − θ = − − − − =∑ ∑

Luego, todos los puntos a la izquierda de 1z , pertenecen al LR. Resumiendo, solo los puntos entre 2p y 1p y los puntos a la izquierda de 1z pertenecen al LR.

P3: Para cada cero infinito de ( )F s existe una asíntota ( )k = ∞ . Si n mα = − es el número de ceros infinitos o asíntotas del LR, sustituyendo n m= +α , la ecuación (3.17) puede expresarse como

1 0

1 0

( )m

mm

b s b s bF s

s a s a+α

+ + +=

+ + + (3.18)

Dividiendo (3.18) por ms y haciendo s →∞ (condición de asíntotas), obtenemos

1

1 01

1 0

( )m

m m mms s

sn

b b s b s blim F s lim

s a s a s s

− −−

α − − α→∞ →∞=∞−

+ + += =

+ + + (3.19)

Sustituyendo (3.19) en la EC modificada (3.8)

1 ( ) 1 0ms

s

bkF s k

sα=∞=∞

+ = + = (3.20)

cuya solución en el límite es

( ) , , , , , 1/ (2 1) 180º0 1 2 1ms kb α + ×

= = α −α

…

Figura 3.4 Puntos del LR sobre el eje-Re.

2p− σ

jω

1p−1z−


Luego cada asíntota tiene un ángulo de fase determinado por

, , , , , (2 1) 180º0 1 2 1A

+ ×θ = = α −

α… (3.21)

La ecuación (3.20) podría usarse para calcular el punto de intersección de las asíntotas conocido como el centroide, que por simetría del LR debe estar sobre el eje-Re. Sin embargo la solución s = ∞ es trivial, pero puede conseguirse una solución real en

As = σ si modificamos (3.20) como

1 0( )

m

A

bk

s α+ =−σ

(3.22)

Desarrollando el numerador y denominador de ( )F s en (3.17)

1

1 2 1 2

11 2 1 2

( )( )

( )

m mm m m

n nn n

b s z z z s z z zF s

s p p p s p p p

−

−

⎡ ⎤− + + + + +⎣ ⎦=− + + + + +

(3.23)

Dividiendo el denominador entre el numerador y considerando que n mα = −

[ ] 11 2 1 2

( )( ) ( )

m

n m

bF s

s p p p z z z sα α−=− + + + − + + + +

Considerando los dos primeros términos del denominador de ( )F s

[ ] 1

1 2 1 2

( )( ) ( )

m

n m

bF s

s p p p z z z sα α−≈− + + + − + + +

(3.24)

Haciendo lo mismo con (3.22), para los dos primeros términos del denominador

11 0m

A

bk

s sα α−+ ≈−ασ

(3.25)

Comparando los coeficientes del denominador de (3.25) y (3.24) se observa que el centroide debe estar localizado en

k ja

p z−σ =

α∑ ∑ (3.26)

siendo kp y jz los polos y ceros, respectivamente de ( )F s . Como el centroide se ubica en el eje-Re, al aplicar (3.26) se puede considerar solo la parte real de los polos y ceros complejos conjugados de ( )F s .

Tabla 3.2 – ÁNGULOS DE ASÍNTOTAS

α θA α θA

1 180º− 4 , 45º 135º± ±

2 90º± 5 , , 36º 108º 180º± ± −

3 , 60º 180º± − 6 , , 30º 90º 150º± ± ±


Aplicando (3.21), la tabla 3.2 muestra los valores de Aθ para diferente número de asíntotas. Para facilitar la evaluación de las asíntotas se desarrolló la función especial de MATLAB® asintotas() que será utilizada en el siguiente ejemplo. Su estructura se presentan en el apéndice E y su sintaxis es: [titaA,sigmaA]=asintotas(Fs,ejes)

Introduciendo solo el nombre se consigue ayuda y un ejemplo demostrativo de aplicación. El segundo argumento es opcional y puede usarse para dibujar las asíntotas.

EJEMPLO 3.15: Aplicando las 4 propiedades anteriores, construir el LR de un sistema de lazo cerrado que usa la forma canónica, donde

3 2

3 6 3( 2)( ) ( )

4 3 ( 1)( 3)s s

G s H ss s s s s s

+ += =

+ + + +

Solución: Aplicando propiedades obtenemos

P1: Existen tres ramas que se inician en los polos 1 0p = , 2 1p = − , 3 3p = − y terminan en los ceros , , 1 2 32z z z= − = ∞ = ∞ de ( ) ( )G s H s .

P2: Los puntos entre 3 2− ≤ σ ≤ − están a la izquierda de un total de 3 polos+ceros y por lo tanto pertenecen al LR. De modo similar los puntos entre 1 0− ≤ σ ≤ también forman parte del LR dado que el número total de polos+ceros a su derecha es 1.

P3: Existen 3 1 2n mα = − = − = asíntotas, asociadas con los 2 ceros infinitos de ( ) ( )G s H s . Según la tabla 3.2 los ángulos son 90ºAθ = ± y el centroide,

aplicando (3.26) es

(0 1 3) ( 2)1

2a

− − − −σ = = −

Este resultado puede verificarse usando MATLAB®: » GHs=zpk(-2,[0,-1,-3],3); » [titaA,sigmaA]=asintotas(GHs)

titaA = 90 -90 sigmaA = -1

La validez de estas propiedades se puede observar en la figura 3.5, que se obtuvo utilizando la función rlocus() del TBC de MATLAB®. En esta figura se aprecia .que en un lugar cercano a 0.5s = − (punto de ruptura) las 2 ramas que se inician en los polos 1 0p = y 2 1p = − se apartan del eje-Re formando polos complejos conjugados del sistema en lazo cerrado y se orientan buscando las 2 asíntotas del diagrama en 90º± .

Construcción de LR usando reglas básicas.


La figura anterior muestra los puntos característicos del LR, asociados con el par de valores ordenados , 0 0( )k s donde 0k es la ganancia y 0s la posición del polo del sistema en lazo cerrado.

P4: Los puntos de ruptura ocurren cuando existen polos múltiples del sistema en lazo cerrado, generalmente sobre el eje-Re .

Como en un punto de ruptura convergen dos trayectorias del LR, corresponden a una raíz múltiple de la EC y las dos situaciones posibles se muestran en la figura 3.6. Por otro lado, si las ramas salen del eje-Re en el punto de ruptura ocurre el máximo valor posible de k entre el par de polos. Por el contrario, si las ramas llegan el eje-Re, en el punto de ruptura se presenta el valor mínimo de k entre los dos ceros.

Asumiendo que ( ) ( ) / ( )F s N s D s= , expresamos la EC modificada (3.8) como

( )( ) 1 0

( )N s

s kD s

Δ = + = (3.27)

Figura 3.5 Puntos característicos del LR del sistema del ejemplo 3.15.

Figura 3.6 Posibilidades de puntos de ruptura en el LR.

Re

Ramas que salen del eje-Re

0k =0k =

maxk

Re

Ramas que llegan al eje-Re

k = ∞ k = ∞

mink


que se reduce a ( ) ( ) ( ) 0s D s kN sΔ = + = (3.28)

Si en (3.28) existe una raíz múltiple 0s s= de multiplicidad λ ,

0 1( ) ( ) ( )s s s sλΔ = − Δ Derivando respecto de s

10 1 0 1'( ) ( ) ( ) ( ) '( )s s s s s s sλ− λΔ = λ − Δ + − Δ

luego si 0s s= es una raíz múltiple, 0'( ) 0sΔ = . Evaluando esta condición en (3.28),

0 0 0'( ) '( ) '( ) 0s D s kN sΔ = + =

Despejando k de (3.27) y sustituyendo en la expresión anterior,

00 0 0

0

( )'( ) '( ) '( ) 0

( )D s

s D s N sN s

Δ = − =

Luego, la condición para que 0s s= sea un punto de ruptura es

0 0 0 0'( ) ( ) ( ) '( ) 0D s N s D s N s− = (3.29)

Esta condición se logra si derivamos ( )F s respecto de s e igualamos a cero

2

( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )0

( ) ( )dF s d N s N s D s N s D s

ds ds D s N s⎡ ⎤ −

= = =⎢ ⎥⎣ ⎦

Por lo tanto, para determinar los puntos de ruptura, basta con evaluar

( )0

dF sds

= (3.30)

que es la condición para que 0s s= sea una raíz múltiple de la EC. Se puede lograr una expresión alterna para determinar los puntos de ruptura, si se considera que en

0s s= existe un máximo o un mínimo de k. Despejando k en (3.28)

1 ( )( ) ( )

D sk

F s N s= − = −

Derivando respecto de s e igualando a cero

2

'( ) ( ) ( ) '( )0

( )dk D s N s D s N sds N s

−= − =

cuya solución es igual a la ecuación (3.29). Por lo tanto, la expresión alterna es

0dkds

= (3.31)

La solución 0s s= de (3.31) debe corresponder a un máximo de k, cuando las ramas salen del punto de ruptura o a un mínimo de k, cuando las ramas llegan a este.


El máximo o mínimo se refiere a los valores de ganancia que pueden ocurrir entre los dos polos o los dos ceros sobre el eje-Re (figura 3.6).

Aunque las expresiones (3.30) y (3.31) llegan al mismo resultado, es conveniente hacerlo a partir de / 0dk ds = porque se desarrolla a partir de una expresión que facilita el cálculo de 0k asociado con 0s s= . Al evaluar (3.30) o (3.31) pueden ocurrir dos posibilidades:

1. Que cualquier valor de 0s real o complejo conjugado sea parte del LR del sistema en lazo cerrado, si satisface la CA.

2. Que existan valores de 0s que no satisfacen la CA del LR ( 0)k > y deben ser descartadas. Es probable que estas soluciones pertenezcan al CLR ( 0)k < .

Para facilitar el cálculo de los puntos de ruptura se desarrolló la función especial puntosrup() de MATLAB®. Su descripción de presenta en el apéndice E y su sintaxis es

[sr,kr]=puntosrup(Fs)

Introduciendo solo el nombre de esta función se puede obtener ayuda y un ejemplo demostrativo de aplicación. EJEMPLO 3.16: Evaluar los puntos de ruptura del LR del ejemplo 3.15.

Solución: Despejando k de la EC: 1 ( ) ( ) 0kG s H s+ =

3 21 4 3( ) ( ) 3 6

s s sk

G s H s s+ +

= − = −+

Derivando respecto de s e igualando a cero 3 2

2

2 10 16 60

(3 6)dk s s sds s

+ + += − =

+

cuyas raíces son: 1 0.5344s = − , 2,3 2.2328 0.7926s j= − ± . Interpretando este resultado en la figura 3.4, se observa que existe un solo punto de ruptura sobre el eje-Re en 1 0.5344s = − . Los otros dos valores deben descartarse. Sustituyendo este resultado en la expresión k,

3 2

1

0.5344

4 30.1395

3 6s

s s sk

s =−

+ += − =

+

Puntos de ruptura del LR.


Luego el punto de ruptura es , (0.1395 0.5344)− , tal como se muestra en la figura 3.5 del ejemplo 3.15. Este resultado puede verificarse usando MATLAB®:

» GHs=zpk(-2,[0,-1,-3],3) » [sr,kr]=puntosrup(GHs)

sr = -2.2328 + 0.7926i kr = 0.5969 + 1.4257i -2.2328 - 0.7926i 0.5969 - 1.4257i -0.5344 0.1395

donde el par de valores complejos conjugados deben descartarse.

P5: Los puntos de corte con el eje-jω ocurren para la ganancia límite ( )Lk que lleva al sistema a la condición de estabilidad marginal.

Estos puntos son las raíces de la ecuación auxiliar ( ) 0aQ s = de la tabla R-H. Si aplicamos esta propiedad a la figura 3.4 del ejemplo 3.16 es fácil verificar que el LR no corta el eje-jω y por lo tanto el sistema es absolutamente estable para cualquier valor de k. Lo anterior puede comprobarse utilizando la función especial tablaRH(),

» k = tablaRH(GHs)


Qs = s^3+4*s^2+(3*k+3)*s+6*k

Tabla R-H

[ 1, 3*k+3] [ 4, 6*k] [ 3/2*k+3, 0] [ 6*k, 0]

Condición 1... k > -2 Condición 2... k > 0

k = -2 0

Descartando el valor negativa, el rango de valores para estabilidad absoluta es: 0k > y en consecuencia el sistema es absolutamente estable. El siguiente ejemplo muestra el caso especial de un sistema cuya FTLA es inestable. Sin embargo existen valores de k para los cuales el sistema en lazo cerrado puede ser estable.

EJEMPLO 3.17: Obtener el LR de un sistema de control de lazo cerrado que usa la forma

canónica, con las siguientes funciones:

, 4 1( ) ( )

( 1)( 3) 2G s H s

s s s= =

− + +

LR de sistema con FTLA inestable.


Solución: La FTLA necesaria para obtener el LR es

4( ) ( ) ( )

( 1)( 2)( 3)F s G s H s

s s s= =

− + +

Como ( )F s tiene un polo en el SPD es inestable. Sin embargo, usando la tabla RH es posible verificar que el sistema en lazo cerrado es absolutamente estable para 1.5 2.5k< < . En efecto, usando MATALAB®:

» k=tablaRH(Fs)


Qs = s^3+4.*s^2+s-6.+4.*k

Tabla R-H

[ 1., 1.] [ 4., 4.*k-6.] [ -1.*k+2.500, 0] [ 4.*k-6., 0]

Condición 1... k < 2.5 Condición 2... k > 1.5

k = 2.5000 1.5000

Este es un caso especial donde existen dos límites de ganancia; sin embargo, se puede verificar que el valor que anula una fila impar en la tabla es 2.5Lk = . Resolviendo la ecuación auxiliar 2( ) 4 4 6 0aQ s s k= + − = para 2.5Lk = se obtiene ks j= ± , que corresponde a los puntos de corte con el eje-jω, tal como se observa en el LR de la figura 3.7.

Figura 3.7 LR de un sistema de lazo cerrado cuya FTLA es inestable.


La figura anterior se obtuvo con los siguientes comandos de MATLAB®

» Gs=zpk([],[1 -3],4), Hs=tf(1,[1 2]) » Fs=Gs*Hs; rlocus(Fs) Para el punto de ruptura obtenemos la EC:

3 2( ) 4 6 4 0Q s s s s k= + + − + =

Despejando k 3 21

4 ( 4 6)k s s s= − + + −

Aplicando (3.31), obtenemos:

2(3 8 1) 0dk

s sds

= − + + =

cuyas raíces son: 1 2.5352s = − y 2 0.1315s = − , pero según la figura 3.7 solo el último valor es válido. Sustituyendo 2s en la expresión de k, obtenemos:

2 1.5162k = . Estos resultados pueden verificarse usando MATLAB®

» [sr,kr]=puntosrup(Fs)

sr = -2.2552 kr = -0.2199 -0.1315 1.5162

EJEMPLO 3.18: Desarrollar el LR de un sistema de control de lazo cerrado cuya FTLA es

2

1( )

( 4)( 2 5)F s

s s s s=

+ + +

Solución: Utilizando los siguientes comandos de MATLAB®: » Fs=zpk([],[0;-4;roots([1 2 5])],1); rlocus(Fs)

se obtuvo la gráfica de la figura 3.8, donde se pueden verificar las dos primeras propiedades del LR. La FTLA no tiene ceros reales y sus polos son: 1 0p = ,

2 4p = − , 3,4 1 2p j= − ± . Como 4n m− = , existen 4 asíntotas y según la tabla 3.2 su ángulos son 45º± y 135º± . Aplicando (3.26) el centroide está en

(0 4 1 1) (0)1.5

4A

− − − −σ = = −

donde se ha considerado solo la parte real de los polos complejos conjugados. Estos resultados pueden verificarse usando MATLAB®:

» v=axis; [sigmaA,titaA]=asintotas(Fs)

Puntos de ruptura del LR.


titaA = 45 135 -135 -45 sigmaA = -1.5000

Con estos datos es suficiente para aproximar el LR, que se muestra en la figura 3.8 la cual se obtuvo usando la función rlocus() de MATALAB®. Para los puntos de ruptura despejamos k de la EC

4 3 21( 6 13 20 )

( )k s s s s

F s= − = − + + +

Aplicando (3.31)

3 2(4 18 26 20) 0dk

s s sds

= − + + + =

cuya solución es , 1 22.8260 0.8370 1.0338s s j= − = − ± . De acuerdo con la figura 3.8, la solución válida es 1 2.8260s = − . Sustituyendo en la expresión de k obtenemos 1 24.3331k = . Este resultado puede verificarse usando MATLAB®:

» [sr,kr] = puntosrup(Fs)

sr = -2.8260 kr = 24.3331 -0.8370 + 1.0338i 11.8022 - 5.8600i -0.8370 - 1.0338i 11.8022 + 5.8600i

Construyendo la tabla R-H se puede evaluar el punto de corte con el eje-jω. Para esto obtenemos la EC:

2

11 0

( 4)( 2 5)k

s s s s+ =

+ + +

Figura 3.8 Lugar de la raíces y valores característicos.


que se transforma en: 4 3 2( ) 6 13 20 0Q s s s s s k= + + + + =

A partir de esta expresión es posible demostrar que el rango de valores de k para estabilidad absoluta es 0 32.2222k< < . Este resultado puede verificarse usando MATLAB®:

» k = tablaRH(Fs)


Qs = s^4+6*s^3+13*s^2+20*s+k

Tabla R-H

[ 1, 13, k] [ 6, 20, 0] [ 29/3, k, 0] [ -18/29*k+20, 0, 0] [ k, 0, 0]

Condición 1... k < 32.2222 Condición 2... k > 0

k = 32.2222 0

La ganancia límite es 32.2222Lk = y la ecuación auxiliar es

2293( ) 0aQ s s k= + =

Evaluando para 32.2222Lk k= = obtenemos ,1 2 1.8257s j= ± , que representa los puntos de corte con el eje imaginario, mostrados en la figura 3.8. La frecuencia natural del sistema es 1.8257 /n rad sω = .

P6: El ángulo de salida desde un polo o de llegada hacia un cero de ( )F s se puede obtener evaluando la CA en cada uno.

El ángulo de salida o de llegada se reconoce como el ángulo de la tangente de una rama del LR, en un polo o un cero de ( )F s respectivamente, medido con respecto al eje-Re. Para calcular este ángulo basta con evaluar la CA en un punto 0s igual al polo

0p o cero 0z en referencia. De este modo el ángulo del polo 0p viene dado por

0 0 0( ) ( ) 180

j kp z pp p rθ = θ − θ ± ×∑ ∑ (3.32)

De modo similar, el ángulo del cero 0z se obtiene a partir de

0 0 0( ) ( ) 180

j kz p zz z rθ = θ − θ ± ×∑ ∑ (3.33)


Aplicando esta propiedad podemos evaluar el ángulo de salida del polo 3 1 2p j= − + del ejemplo 3.18 mostrado en el LR de la figura 3.8. Para esto, evaluamos vectorialmente ( )F s en 0 3 1 2s p j= = − + , tal como se muestra en la figura 3.9, obtenemos:

1 1 2

2 1 2

4 1 2

1 2 2.23614 116.57º

( 4) 3 2 3.6056 33.69º

( 1 2) 4 4 90º

s j

s j

s j

s j

s j

s j j

=− +

=− +

=− +

= = − + =

= + = + =

= − + = =

A

A

A

Aplicando (3.32)

3 3 3( ) ( ) 180 0 (116.57 33.69 90) 180 60.26ºj kp z pp p rθ = θ − θ ± × = − + + + = −∑ ∑

Por simetría del LR respecto del eje-Re, el ángulo de salida del polo 4 1 2p j= − + debe ser

4 60.26ºpθ = + .

Si el polo/cero en referencia es de multiplicidad (λ), debe considerarse que salen/llegan λ trayectorias del mismo. La tabla 3.3 presenta un resumen de las propiedades del LR que pueden usarse en la construcción manual y en el cálculo de los puntos característicos. La tabla 3.3 presenta un resumen de las características básicas desarrolladas anteriormente, las cuales serán utilizadas como referencia en ejemplos posteriores. Al final de la sección 3.5 se presentarán otras características adicionales que son fundamentales en el diseño del sistema de control, utilizando la estrategia de colocación de polos y ceros, la cual será presentada en el capítulo 4.

Figura 3.9 Evaluación vectorial de F(s) para determinar el ángulo de salida de un polo.

2A1A

4A

60.26º−


Tabla 3.3 – Propiedades del Lugar de las Raíces

Descripción Aplicación

P1 Cada rama del LR se inicia ( 0)k = en un polo

y termina ( )k = ∞ en un cero de ( )F s

P2 El LR incluye todos los puntos del eje-Re a la izquierda de un número impar de polos + ceros

de ( )F s

Considerar solo los polos y ceros de ( )F s sobre el eje-Re

P3 Para cada cero infinito de ( )F s existe una

asíntota ( )k = ∞ α = número de asíntotas

n mα = − k ja

p z−σ =

α∑ ∑

, , , , , (2 1) 180º0 1 2 1A

+ ×θ = = α −

α…

P4 Los puntos de ruptura ocurren cuando existen

polos o ceros múltiples del sistema en lazo cerrado, generalmente sobre el eje-Re

( )0

dF sds

= 0dkds

=

Verificar resultados para descartar valores

P5 Los puntos de corte con el eje-jω ocurren para la ganancia límite ( )Lk que lleva al sistema a

la condición de estabilidad marginal

Desarrollar la tabla RH y calcular el valor de Lk que anula una fila impar. Utilizar la

ecuación auxiliar ( ) 0aQ s = para calcular la frecuencia natural nω

P6 El ángulo de salida desde un polo o de llegada hacia de un cero de ( )F s se obtiene evaluando

la CA en cada uno

0 0 0( ) ( ) 180j kp z pp p rθ = θ − θ ± ×∑ ∑

0 0 0( ) ( ) 180j kz p zz x rθ = θ − θ ± ×∑ ∑

3.5 APLICACIÓN DEL LUGAR DE LAS RAÍCES AL DISEÑO

Aunque en el capítulo 4 se tratarán los detalles formales sobre el diseño del controlador, en esta sección desarrollaremos ejemplos que muestran cómo el método del Lugar de las Raíces puede aplicarse en la selección de un parámetro para satisfacer un requerimiento de respuesta dinámica, una de las estrategias usadas en el diseño de un sistema de control.

Ajuste de un parámetro para lograr requerimientos de respuesta dinámica

El problema consiste en determinar el valor de un parámetro arbitrario ( )k del sistema para lograr una condición específica de funcionamiento, por ejemplo el pico de la respuesta ( )ptM o el tiempo de estabilización ( )ssT ante una entrada escalón. La estrategia se basa en usar el LR para colocar un polo o un cero del sistema de control en lazo cerrado que satisfaga requerimientos de diseño y a partir de esta condición determinar el parámetro ( )k . Tal como se muestra en el siguiente ejemplo, la función rlocfind() del TBC de MATLAB® facilita este trabajo, al permitir la captura en forma interactiva de los valores de k y ks que satisfacen un requerimiento de respuesta dinámica.

3.5 APLICACION DEL LUGAR DE LAS RAÍCES AL DISEÑO 3 - 39

EJEMPLO 3.19: Diseñar el controlador P del ejemplo 3.9 para lograr un sobrepaso inferior

a 15%. Verificar el tiempo de estabilización y error estacionario.

Solución: La FT del proceso es

2

2( )

( 2)( 1)pG ss s

=+ +

Como ( ) 1H s = , la EC del sistema para evaluar el efecto de ajuste de la ganancia pk es 1 ( ) 0p pk G s+ = , que se convierte en:

3 24 5 2 0s s s k+ + + =

Utilizando MATLAB® » Gps=zpk([],[-2 -1 -1],2), Hs=1; Fs=Gps*Hs; » rlocus(Fs)

se obtiene la gráfica mostrada en la figura 3.10. La función rlocfind() de MATLAB® permite capturar en forma interactiva los valores característicos de un punto cualquiera del LR. Usando esta función podríamos estimar la ganancia límite ( )Lk del sistema para estabilidad marginal. Sin embargo, en la figura 3.10 no es posible capturar este punto porque el diagrama “parece incompleto”, debido al algoritmo usado por MATLAB® para la selección de los valores de ganancia k.

Diseño de un controlador P utilizando LR.

Figura 3.10 LR original usando la función rlocus().


Sin embargo, es posible ampliar el gráfico del LR estableciendo un rango de valores de k como segundo argumento de la función rlocus():

» k=0:0.1:20; rlocus(Fs,k) » [kk,pk]=rlocfind(Fs)

La función rlocfind(), tal como se muestra en la figura 3.11, transfiere el control a la ventana gráfica activa y coloca un par de líneas perpendiculares que se pueden mover con el “mouse” para “apuntar” en un punto particular del LR. Al hacer “click” el programa devuelve los valores de k y ks del punto más cercano que pertenece al LR.

Haciendo “clic” en el punto de corte del LR con el eje-jω, obtenemos: selected_point = -0.00028 + 2.2382i

kk = 9.0055

pk = -4.0005 0.0003 + 2.2365i 0.0003 - 2.2365i

El valor logrado depende de la exactitud al “apuntar” sobre el punto de corte con el eje-jω. Una medida de esta exactitud es la cercanía entre el valor devuelto como selected point y el valor del polo complejo conjugado. Para mejorar la exactitud se puede usar la opción “zoom”, disponible en la ventana de la gráfica del LR, antes de invocar la función rlocfind().

Figura 3.11 LR modificado y captura de un punto usando la función rlocfind().


Luego la ganancia límite es 9Lk ≈ , que coincide con el valor calculado en el ejemplo 3.9 usando la tabla R-H. Por lo tanto cualquier ajuste en la ganancia del controlador P debe estar en el intervalo 0 9pk< < . Asumiendo que el sistema en lazo cerrado posee un polo dominante de orden-2, aplicamos (2.30) para calcular el ángulo β que logra un 15%SP < ,

1 58.87º(15 / 100)

tanln

− ⎡ ⎤πβ < − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

El problema se reduce a obtener la intersección de la recta que representa este ángulo, con la gráfica del LR. Para facilitar este trabajo se puede recurrir a la función sgrid() del TBC de MATLAB®, que dibuja una rejilla para valores de ζ y nω constantes. En nuestro caso nos interesa el valor de

(58.87) 0.5169cosζ = =

Con este valor y los siguientes comandos de MATLAB® se logra la figura 3.12. » SP=15, betar=atan(-pi/(log(SP/100))); beta=betar*180/pi; » zeta=cos(betar), hold on, sgrid(zeta,''), hold off

A partir de la gráfica anterior, obtenemos: » [kp,p]=rlocfind(Fs)

selected_point =

-0.6374 + 1.0526i

Figura 3.12 LR original y líneas para β=58.87º o

0.5169ζ = .


kp = 1.0671 p = -2.7208 -0.6396 + 1.0537i -0.6396 - 1.0537i

Se logra estimar un valor de 1.0671pk = , a partir del cual se puede seleccionar el ajuste máximo que garantice el 15%SP < . Luego de varios intentos se encontró un valor máximo es 1.19pk = , con lo cual

2

( ) 2.38( )

1 ( ) ( 2.764)( 1.236 1.584)p

p

k F sT s

k F s s s s= =

+ + + +

que puede verificarse usando MATLAB® » kp=1.19, Ts=feedback(kp*Fs,1)

Zero/pole/gain:

2.38 -------------------------------- (s+2.764) (s^2 + 1.236s + 1.584)

Como el sistema es de orden-3, no es posible aplicar (2.30) para verificar el resultado del diseño. Sin embargo, los polos de ( )T s son 1 2.7645p = − y

2,3 0.6178 1.0967p j= − ± , el efecto dominante del polo complejo conjugado hace que se comporte como un sistema de orden-2. Usando el triángulo característico de la figura 2.11, obtenemos 1(1.0967 / 0.6178) 60.61tan−β = = ° . Con este valor utilizamos (2.30):

/ (60.61)100 17.04%tanSP e−π≈ × =

Para el tiempo de estabilización aplicamos (2.31)

4 46.47

0.6178ssT s≈ = =α

Como el sistema es de lazo cerrado unitario, podemos usar la tabla 2.2 para evaluar el error estacionario

200

1.19 2( ) 1.19

( 2)( 1)p p ss

K k F ss s=

=

×= × = =

+ +

Luego el mínimo error estacionario de posición logrado es

1 10.4566

1 1 1.19spp

eK

= = =+ +

Este resultado se puede verificarse usando el teorema del valor final (2.46)

1 1 0.5434 0.4566sp sse y= − = − =


Los resultados anteriores pueden comprobarse usando MATLAB® » esp=errores(kp*Fs)

esp = 0.4566

» [Mpt,SP,Tss]=valrespt(Ts)

Mpt = 0.6247 SP = 14.9762 Tss = 6.7927

El valor mínimo logrado para el error estacionario es 45.66%spe = y el tiempo de estabilización final es 6.7927ssT s= , que pueden ser inaceptables en una aplicación práctica. Como se demostrará en el capítulo 4, la incorporación de la acción integral o el uso de un compensador pueden mejorar estos valores. La figura 3.13 muestra la respuesta escalón, que verifica los resultados anteriores.

La figura 3.13 se generó usando la función especial stepm() que describe en el apéndice E. Es una versión mejorada de la función step() del TBC de MATLAB® y su sintaxis es: [ti,yi]=stepm(modelo,ts,tipoL,anchoL,titulo,Rx,Ry)

Introduciendo solo el nombre de la función se consigue ayuda y un ejemplo de aplicación.

En el ejemplo 3.19 la ganancia pk del controlador P como parámetro de diseño, se ajusta a la forma canónica de la figura 3.1. Sin embargo, es posible que el parámetro a considerar no corresponda a la ganancia k de la forma canónica, siendo necesario recurrir a la FTLA equivalente ( )F s dada en la ecuación (3.8), tal como se muestra a continuación.

EJEMPLO 3.20: Determinar la posición del cero en la FT de la rama directa en un sistema de control de lazo cerrado unitario, para lograr un sobrepaso máximo de 4% en la respuesta escalón.

2( )( )

( 1)( 2)s b

G ss s s

+=

+ +

Solución: Se trata de colocar el cero s b= − de la FTLA en una posición tal que garantice un 4%SP < para la respuesta escalón del sistema en lazo cerrado.

Figura 3.13 Respuesta escalón para 1.19pk = y

15%SP < .

Posición del cero en para lograr un valor particular de sobrepaso.


La EC del sistema para ( ) 1H s = , es

2( )1 0

( 1)( 2)s b

s s s+

+ =+ +

que se reduce a: 3 23 4 2 0s s s b+ + + =

Usando la tabla R-H se puede verificar que para estabilidad absoluta 0 6b< < . Por otro lado, para lograr un 4%SP < , aplicando (2.30) el ángulo β debe ser

1 44.30º(4 / 100)

tanln

− ⎡ ⎤πβ < − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

que corresponde a un valor de (44.30) 0.7156cosζ = = . Para obtener el LR, modificamos la EC, explicitando el parámetro b:

3 2

21 0

3 4b

s s s+ =

+ +

Por lo tanto, la FTLA equivalente es

3 2

2( )

3 4F s

s s s=

+ +

Usando los siguientes comandos de MATLAB® se obtuvo la figura 3.14: » Fs=tf(2,[1 3 4 0]); rlocus(Fs) » zeta=0.7156; hold on, sgrid(zeta,''), hold off

Usando rlocfind() capturamos el punto de corte del LR con la línea correspondiente a 0.7156ζ = :

Figura 3.14 LR y líneas para

0.7156ζ =


» [b,pk]=rlocfind(Fs);

selected_point =

-1.0223 + 0.9999i

b = 0.9777 pk = -1.0222 + 1.0007i -1.0222 - 1.0007i

-0.9556

Seleccionado 1b = , el cero compensa el polo de ( )G s en 1p = − y el sistema se comporta como de orden-2, cuya FT de lazo cerrado es

2

2( 1)( )

( 1)( 2 2)s

T ss s s

+=

+ + +

Comparando el denominador con la forma estándar de la EC dada en (2.19):

2nω = y 1/ 2ζ =

Aplicando (2.30) y (2.31):

4.3214%SP = y 4ssT ≈

Usando la función especial valrespt() obtiene un resultado similar:

1.0432ptM = , 4.32%SP = y 4.2515ssT s=

que satisface el requerimiento 4%SP < . Estos valores pueden observarse en la figura 3.15 que muestra la respuesta escalón del sistema en lazo cerrado.

Características adicionales del LR (*)

En la etapa inicial del diseño de un sistema de control no es necesario conocer la ubicación exacta de los polos del sistema en lazo cerrado y bastaría con una ubicación aproximada de los mismos, para tener una estimación cercana de su comportamiento dinámico. En este sentido la identificación de algunas características del LR facilita su construcción rápida sin necesidad de recurrir a programas como el MATLAB®.

Figura 3.15 Respuesta escalón para 4%SP < .


C1: Si la FTLA de un sistema de control tiene un mínimo de dos ceros infinitos, la suma de las raíces de la EC es constante. Esto implica que si al aumentar k una raíz se mueve hacia la derecha, las restantes deben moverse hacia la izquierda.

Para verificar lo anterior, desarrollamos la EC: 1 ( ) 0kF s+ = a partir de (3.23), como

1 11 2 1 2( ) ( ) 0n n m m

n m ms p p p s kb s z z z s− −⎡ ⎤− + + + + + − + + + + =⎣ ⎦ (3.34)

En la expresión anterior se observa que si 2n m− ≥ , los términos de ns y 1ns − resultan independientes de la ganancia k y por lo tanto la suma de los polos 1 2( )np p p+ + + del sistema en lazo cerrado es independiente del valor de k. Por lo tanto la suma de los polos del sistema en lazo cerrado es constante. Aplicando al ejemplo 3.18 para 0k = , cuyo LR se muestra en la figura 3.7 obtenemos

0 ( 1) ( 3) ( 1 3) ( 1 3) 6kp j j= + − + − + − + + − − = −∑ .

Para un valor arbitrario de 5k = , con la ayuda de MATLAB® obtenemos » k=5, pk=rlocus(Fs,k)

pk = -0.9012 + 1.8570i -0.9012 - 1.8570i -0.3012 -3.8964

» suma=sum(pk)

suma = -6

C2: Aplicando el principio de compensación es posible cancelar un polo con un cero en la FTLA, solo si se encuentran en el SPI del plano-s.

Esta estrategia se usará en el capítulo 4 para el diseño del controlador o compensador. Asumimos que el numerador y denominador de ( )F s tienen un factor común ( )s−α ,

1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )N s s N s N s

F sD s s D s D s

−α= = =

−α (3.35)

Al efectuar la simplificación se elimina un polo de ( )F s y se reduce una rama del LR. Sin embargo si no simplificamos el factor común, la EC puede expresarse como

1

1

( ) ( )1 ( ) 1 0

( ) ( )s N s

kF s ks D s−α

+ = + =−α

Organizando términos, la EC es

[ ]1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0s D s k s N s s D s k N s−α + −α = −α + = (3.36)

La expresión (3.36) demuestra que la compensación de un polo y un cero de ( )F s implica que s = α sigue siendo una raíz de la EC y por lo tanto un polo del sistema en lazo cerrado.


EJEMPLO 3.21: Obtener el LR de un sistema de control de lazo cerrado unitario, donde

y 1 1( ) ( )

( 1) 2p c

sG s G s

s s s+

= =+ +

Solución: Se observa que el cero del controlador de coloca para compensar el polo del proceso en 1s = − . Evaluando ( )F s para ( ) 1H s = obtenemos

( 1)

( )( 1)( 2)

sF s

s s s+

=+ +

Si efectuamos la reducción del polo y el cero

1( )

( 2)mF ss s

=+

Luego, la compensación del polo y el cero hace que el sistema de orden-3 se comporte dinámicamente como un sistema de orden-2. Lo anterior de puede verificar comparando la respuesta escalón del sistema original y el sistema simplificado, que se muestra en la figura 3.16. Los resultados anteriores pueden verificarse usando MATLAB®:

» Gcs=tf([1 1],[1 2]); Gps=zpk([],[0 -1],1); » Gs=Gcs*Gps; Gms=minreal(Gs); » Ts=feedback(Gs,1); Tms=feedback(Gms,1)

Efecto de compensación de polos y ceros de F(s) en el LR.

Figura 3.16 Respuesta escalón del sistema original y del sistema simplificado.


La función mineral() del TBC de MATLAB® usada en el ejemplo anterior, permite cancelar algebraicamente factores comunes del numerador y denominador de una FT creada como objeto LIT, logrando un objeto de mínima realización. En aplicaciones de la teoría moderna de control [Tewari02] esta función se usa para eliminar estados no controlables o no observables del modelo de estado de un sistema de control. C3: La posición relativa de los polos y ceros de la FTLA puede originar cambios drásticos

en la forma del LR.

Las figuras 3.19 (a) y (b) muestran el LR de un sistema de orden-2 con un asíntota en 180ºAθ = − . Sin embargo, la posición relativa de un polo y del cero, cambia

radicalmente la forma del LR al generarse un punto de ruptura en el caso (b).

De modo similar las figuras 3.19 (c) y (d) muestran un sistema de orden-3 con 3 asíntotas en , 180º 60ºAθ = − ± . Sin embrago, al desplazar el polo real hacia la derecha se generan dos puntos de ruptura que cambian radicalmente la forma del LR.

C4: Para que el LR pueda cortar el eje-jω se requiere un mínimo de 3 asíntotas.

Esta característica se demuestra fácilmente a partir de la tabla 3.2. En efecto, si 3n m− ≥ se garantiza que por lo menos dos asíntotas se crucen con el eje-jω. La figura

3.20 muestra cuatro casos típicos de esta característica.

Figura 3.19 Efecto de la posición relativa de polos y ceros de la FTLA en la forma del LR.


C5: Si se agrega un polo a la FTLA el LR es empujado hacia la derecha del plano-s. Si se

agrega un cero el efecto es opuesto, forzando un desplazamiento del LR hacia la izquierda del plano-s

La figura 3.21 muestra esta característica que es fundamental en el diseño de un controlador o compensador en el plano-s.

Figura 3.20 Relación entre el valor de n m− y el punto de corte con el eje-jω.

Figura 3.21 Efecto de agregar un polo o un cero a ( )F s .


El Toolbox de Control incluye el comando rltool que activa una herramienta interactiva para análisis y diseño de un sistema de control usando el método del Lugar de Raíces. El apéndice C8 presenta detalles sobre el uso de esta herramienta.

3.6 RESPUESTA DE FRECUENCIA EN SISTEMAS DE CONTROL

En el capítulo 2 se desarrollaron métodos para evaluar el comportamiento dinámico de un sistema de control a partir de los valores característicos de la respuesta transitoria y de la respuesta permanente. Sin embargo, la estrategia utilizada exige el uso de señales de prueba: escalón, rampa y parábola; además existe un grado de dificultad en la evaluación analítica de la repuesta en el dominio del tiempo continuo, particularmente en sistemas de orden superior, a menos que se recurra a métodos de simulación con el apoyo de herramientas como el MATLAB® o se desarrolle un modelo aproximado del sistema. La respuesta de frecuencia (RDF) al igual que el lugar de las raíces (LR) es uno de los métodos más utilizados en el análisis y diseño de sistemas LIT en el dominio del tiempo continuo, debido a que son métodos gráficos de fácil aplicación y sin limitaciones en cuanto al orden del sistema o al uso de señales de prueba. En esta sección se desarrollarán estrategias para evaluar la RDF de un sistema continuo en el dominio-ω, a partir de la función de transferencia (FT) en el dominio-s. Por otra parte, se puede demostrar [Kuo95] que existe una relación directa entre el comportamiento dinámico del sistema de control en el dominio del tiempo y los valores característicos de la RDF. En efecto, la respuesta transitoria del sistema está asociada con valores de la respuesta en alta frecuencia (AF). Asimismo, la respuesta permanente guarda relación con los valores de la respuesta en baja frecuencia (BF). Adicional a lo anterior, la RDF ofrece un mecanismo adecuado para evaluar la sensibilidad del sistema de control [Phillips95] ante la presencia de ruido y perturbaciones.

Definición y evaluación de la respuesta de frecuencia

Si un sistema LIT se modela a través de la función de transferencia ( )H s , la respuesta de frecuencia (RDF) se define [Strum00] como ( ) ( )

s jH j H s

= ωω (3.37)

donde ( )H jω es una función compleja de variable real [ / ]rad sω . Se puede demostrar [Strum00] que para evaluar la RDF a través de la expresión (3.37), la región de convergencia (RC) de ( )H s debe incluir el eje-jω. Esto implica que la respuesta impulso

( )h t es integrable y el sistema debe ser absolutamente estable.

3.6 RESPUESTA DE FRECUENCIA EN SISTEMAS DE CONTROL 3 - 51

En el análisis de la RDF generalmente se utilizan métodos analíticos o gráficos que permiten evaluar la función compleja ( )H jω a partir de sus componentes rectangulares o en su forma polar. Los métodos clásicos se conocen [Strum00] como

1. Diagrama de bode 2. Diagrama de Nyquist 3. Diagrama de Nichols

El diagrama de Bode usa dos gráficos para desarrollar la RDF: magnitud o ganancia

( )dB

H jω en decibeles (dB) y la fase ( )H jω en grados, respecto de la frecuencia real [ / ]rad sω . El diagrama de Nyquist es una representación polar de la función compleja ( )H jω , usndo la frecuencia real [ / ]rad sω como parámetro. Finalmente, el diagrama de

Nichols es la representación de la magnitud ( )dB

H jω respecto de la fase ( )H jω en grados, usando la frecuencia real [ / ]rad sω como parámetro.

EJEMPLO 3.22: Obtener los diagramas Bode, Nyquist y Nichols de la RDF de un sistema LIT cuya FT es

40( )

( 2)( 5)H s

s s s=

+ +

Solución: Como los polos de la FT están en el SPI del plano-s el sistema es absolutamente estable y por lo tanto es posible evaluar su RDF

Diagramas de respuesta de frecuencia.

Figura 3.22 Diagrama de Bode para RDF.


La figura 3.22 muestra el diagrama de Bode, que se obtuvo usando el siguiente guión de MATLAB®:

» Hs=zpk([],[0,-2,-5],40) » w=logspace(-2,2,100); [mag,fase]=bode(Hs,w); » mag=mag(:); fase=fase(:); dB=20*log10(mag); » subplot(2,1,1), semilogx(w,dB,'b-'); grid » subplot(2,1,2), semilogx(w,fase,'b-'); grid

De modo similar usando los comandos de MATLAB® mostrados a continuación, se logró el diagrama de Nyquist mostrado en la figura 3.23.

» [Hr,Hi]=nyquist(Hs,w); Hr=Hr(:); Hi=Hi(:); plot(Hr,Hi,'b-');

El diagrama de Nyquist usa la variable real [ / ]rad sω como parámetro para representar { ( )}H jωRe v/s { ( )}H jωIm . La figura 3.23 muestra el sentido de aumento de la frecuencia, donde el origen corresponde al valor de ω = ∞ .

Este diagrama se conoce también como diagrama polar por la interpretación que se consigue de la magnitud o ganancia ( )H jω en p-u y la fase ( )H jω en grados, mostradas en la figura 3.23 para un valor particular de frecuencia

0ω = ω . Más adelante se demostrará que el diagrama anterior corresponde a un sistema absolutamente estable, que se consigue cuando el punto característico

, ( 1 0)− no es encerrado por la trayectoria de Nyquist.

Figura 3.23 Diagrama de Nyquist para RDF.

0( )H jω

0( )H jω

0ω

ω

ω=∞


Finalmente la figura 3.24 muestra el diagrama de Nichols que representa la magnitud o ganancia ( )H jω en decibeles respecto de la fase ( )H jω en grados, usando la frecuencia [ / ]rad sω como parámetro, el cual se obtuvo utilizando el siguiente comando de MATLAB®

» plot(fase,dB,'b-')

donde fase y dB son los valores de fase en grados y magnitud en decibeles que se calcularon anteriormente usando la función bode().

La línea vertical corresponde a ( ) 180ºH jω = − , que será utilizada como referencia para evaluar la condición de estabilidad del sistema. La figura anterior muestra el sentido de aumento de la frecuencia ω.

Según el modelo de FT que se utilice como punto de partida, existen dos formas posibles para evaluar la respuesta de frecuencia de un sistema de control:

1. Respuesta de frecuencia de lazo abierto (RFLA). 2. Respuesta de frecuencia de lazo cerrado (RFLC).

La respuesta de frecuencia de lazo abierto ( )F jω se obtiene a partir de la FTLA y es una herramienta muy versátil para el análisis y diseño de un sistema LIT. Como se demostrará más adelante, los valores característicos de ( )F jω son suficientes para evaluar la

Figura 3.24 Diagrama de Nyquist para RF.

ω


estabilidad del sistema de control en lazo cerrado. Sin embargo existen limitaciones en su aplicación, cuando ( )F s es una función de fase no mínima o inestable, en cuyo caso debe recurrirse a la respuesta de frecuencia en lazo cerrado ( )T jω , que es exacta.

Funciones de MATLAB® para respuesta de frecuencia

A continuación presentamos las funciones y comandos de MATLAB® utilizados para obtener los gráficos y valores característicos de la RDF, donde sis puede ser el modelo de la FTLA o de la FTLC, según el resultado a obtener. Funciones para dibujar el diagrama de Bode:

Para dibujar el diagrama de Bode de un sistema LIT SISO o MIMO se usa la función: bode(sis)

donde sis es un objeto en las formas TF, ZPK o SS. Si el sistema es SISO, se despliega en la parte superior el diagrama de magnitud en decibeles y en la parte inferior el diagrama de fase en grados. En un sistema MIMO, divide la pantalla en S EN N× bloques, según el número de salidas ( )SN y el número de entradas ( )EN , representando en cada uno los diagramas de magnitud y fase.

Para dibujar el diagrama de Bode usando valores particulares de frecuencia: bode(sis,w)

El argumento w puede ser un vector fila que se puede crear usando las siguientes opciones: w = linspace(w1,w2,N) w = logspace(a1,a2,N)

La primera opción genera N frecuencias distribuidas linealmente entre w1 y w2; si se omite N se generan 100 puntos. La segunda opción genera N frecuencias distribuidos logarítmicamente entre las frecuencias 10^a1 y 10^a2; si se omite N se generan 50 puntos. En lugar del argumento de entrada w se puede usar un arreglo {wmin,wmax}, que crea un vector de 30 puntos espaciados logarítmicamente entre las frecuencias wmin y wmax.

Para dibujar el diagrama de Bode de varios sistemas en una misma ventana: bode(sis1,sis2,...)

donde sis1,sis2,... son objetos LIT en las formas TF, ZPK o SS continuos o discretos. Esta opción será usada en el capítulo 5 para comparar la RDF de un sistema continuo con su equivalente de datos muestreados. Funciones para dibujar el diagrama de Nyquist y Nichols:

Para dibujar el diagrama de Nyquist con las mismas variantes de Bode: nyquist(sis)


Para dibujar el diagrama de Nichols con las mismas variantes de Bode: nichols(sis) Comandos para construir la tabla RDF:

Para capturar valores de magnitud y fase y construir la tabla de RDF: [mag,fase,w]=bode(sis)

Los argumentos de salida mag y fase contienen los valores de magnitud en p-u y la fase en grados, como arreglos tridimensionales de la forma: S E PN N N× × , donde SN representa el número de salidas y EN el número de entradas del sistema MIMO. La tercera dimensión

PN corresponde a los puntos de frecuencia devueltos en el vector columna w.

Para capturar la magnitud en p-u y la fase en grados de la salida-1 y la entrada-2 en un sistema MIMO, se pueden usar los siguientes comandos: mag12=mag(1,2,:), fase12=fase(1,2,:)

Sin embargo, los vectores mag12 y fase12 siguen siendo tridimensionales y para convertirlos en vectores columna se puede recurrir a la notación dos puntos

mag12=mag12(:), fase12=fase12(:)

que convierte el arreglo tridimensional 1 1 PN× × en un vector columna. Otra alternativa es usar la función reshape() que permite cambiar la configuración de un arreglo de celdas o squeeze() que elimina la tercera dimensión del arreglo tridimensional. Si el sistema es tipo SISO, los arreglos mag y fase son tridimensionales de la forma 1 1 PN× × , que pueden convertirse en vectores columna usando:

mag=mag(:), fase=fase(:)

Una vez organizados los valores de la RDF en forma de vectores columna, es posible usar la concatenación horizontal, para crear la tabla de RDF, como [w,mag,20*log10(mag),fase]

Para facilitar la evaluación de la RDF de un sistema SISO se desarrolló la función especial bodem(). Su descripción se presenta en el apéndice E y su sintaxis es [w,mag,dB,fase]=bodem(modelo,w,tipoL,anchoL,titulo)

Introduciendo el nombre de esta función se consigue ayuda y un ejemplo de aplicación. Si se utiliza sin argumentos de salida

bodem(modelo,w,tipoL,anchoL,titulo);

despliega una versión mejorada del diagrama de Bode, respecto del presentado por la función bode().


Comandos adicionales del ToolBox de Control:

Cuando se usa la función nichols() para crear el diagrama de RDF, es posible superponer la carta de Nichols, si se invoca antes el siguiente comando: ngrid. Es posible obtener los valores de la RDF en forma compleja rectangular usando la función

RDF=freqresp(sis,w)

Finalmente usando la función margin() es posible evaluar la estabilidad de un sistema en lazo cerrado, a partir de los valores marginales de la RFLA, como

[Kg,Mf,wf,wg]=margin(Fs)

donde Kg es el margen de ganancia en p-u y Mf el margen de fase en grados, reconocidos como valores marginales de la RFLA. Por otro lado wf es la frecuencia de cruce de fase y wg la frecuencia de cruce de ganancia ambas en rad/s. Si se usa sin argumentos de salida

margin(Fs)

se genera el diagrama de Bode de la RFLA, con una interpretación gráfica de los valores marginales. Debe tenerse precaución en el uso del comando help de MATLAB® porque invierte el orden los argumentos de salida de las frecuencias wf y wg.

3.7 RESPUESTA DE FRECUENCIA DE LAZO ABIERTO

La respuesta de frecuencia de lazo abierto (RFLA) se obtiene a partir de la FTLA. Si el esquema de control corresponde a la forma canónica la FTLA es ( ) ( )G s H s . Si el esquema es arbitrario, la FTLA debe obtenerse a partir del determinante de Mason, como ( ) 1 ( ) 0s F sΔ = + = (3.38)

donde ( )F s es la FTLA equivalente del sistema. La expresión (3.38) es una variante de la ecuación característica modificada (3.8) usada en el método de Routh-Hurwitz y en el método del Lugar de la Raíces, asumiendo que k es parte del modelo ( )F s del sistema.

Condición de magnitud y condición de fase

Usando la transformación s j= ω , podemos expresar (3.38) en el dominio-ω, como 1 ( ) 0F j+ ω = (3.39)

que es una ecuación compleja de variable real ω, cuya solución ( ) 1F jω = − conduce a dos escenarios similares al caso del método del lugar de las raíces (LR) CM: CF: ( ) 1 ( ) 180ºF j F jω = ω = − (3.40)

3.7 RESPUESTA DE FRECUENCIA EN LAZO ABIERTO 3 - 57

conocidas como la condición de magnitud (CM) y la condición de fase (CF). La solución de la CM se reconoce como la frecuencia de cruce de ganancia ( )gω y la solución de la CF como la frecuencia de cruce de fase ( )fω . Según los valores logrados de gω y fω pueden ocurrir [Kuo95] tres escenarios de estabilidad del sistema en lazo cerrado:

- sistema absolutamente estable: g fω < ω - sistema marginalmente estable: g fω = ω

- sistema inestable: g fω > ω Si el sistema es absolutamente estable, se cumplen las siguientes condiciones adicionales:

, ( ) 1 ( ) 180ºf gF j F jω < ω > − (3.41)

De este modo a través de la FTLA se logra evaluar la estabilidad del sistema en lazo cerrado, similar a lo que ocurrió con la tabla R-H y el método del LR. EJEMPLO 3.23: Evaluar la RFLA de un sistema de control cuya FTLA es

( )( 1)( 2)

kF s

s s s=

+ +

Solución: Usando la tabla R-H o el LR, se puede verificar que el rango de valores de k para estabilidad absoluta es 0 6k< < . Ajustando 2k = y efectuando la transformación s j= ω en ( )F s , obtenemos la RDF como

2( )

( 1)( 2)F j

j j jω =

ω ω+ ω+

que puede ser expresada en términos de magnitud y fase como

1 1

2 2

2( ) ( ) 90 ( ) ( / 2)

( 1)( 4)F j F j tan tan− −ω = ω = − − ω − ω

ω ω + ω +

Para encontrar la frecuencia de cruce de ganancia gω evaluamos la CM

2 2

21

( 1)( 4)g g g

=ω ω + ω +

Sustituyendo 2g xω = se llega a la siguiente ecuación

3 25 4 4 0x x x+ + − =

cuya solución es , , 1 2 33.5616 2 0.5616x x x= − = − = . Tomando la solución positiva obtenemos 0.7494 /g rad sω = . Este valor se observa en la figura 3.25 que se obtuvo usando la función especial bodem().

Valores característicos de la RFLA.


Para obtener la frecuencia de cruce de fase fω aplicamos la CF

1 190 ( ) ( / 2) 180f ftan tan− −− − ω − ω = −

cuya solución no es fácil de evaluar algebraicamente. Sin embargo se logra una solución si se interpreta el valor de fω en el diagrama de Nyquist como el punto de corte con eje horizontal, tal como se muestra en la figura 3.26.

Figura 3.25 Valores marginales de la RFLA usando el diagrama de Bode.

Figura 3.26 Valores marginales de la RFLA usando el diagrama de Nyquist.

fω

gω

1/ gk

mφ

gω

fω

margen de ganancia

margen de fase


Para usar esta estrategia necesitamos expresar ( )F jω en forma rectangular

2 2 2

2 2( )( 1)( 2)( )

( 1)( 2) ( 1)( 4)j j j

F jj j j

− ω − ω+ − ω+ω = =

ω ω+ ω+ ω ω + ω +

Racionalizando y separando parte real y la parte imaginaria, obtenemos 2 2

2 2 2 2 2 2

6 2 ( 2)( )

( 1)( 4) ( 1)( 4)F j j

− ω ω ω −ω = +

ω ω + ω + ω ω + ω +

Igualando la parte imaginaria a cero, 1.4142 /f rad sω = , que se puede observar en la figuras 3.25. La figura 3.26 muestra la frecuencia de cruce de ganancia gω como el punto de corte de la trayectoria de Nyquist con un círculo de radio 1. Como g fω < ω el sistema en lazo cerrado es absolutamente estable, consistente con el criterio de Routh-Hurwitz dado que 2k = está dentro del rango 0 6k< < . El resultado anterior puede verificarse usando MATLAB®

» Fs=zpk([],[0 -1 -2],1); » [Kg,Mf,wf,wg]=margin(k*Fs), Mg=20*log10(Kg)

Kg = 3.0000 Mf = 32.6131 wf = 1.4142 wg = 0.7494

Usando las expresiones de magnitud y fase de ( )F jω pueden comprobarse las condiciones adicionales para estabilidad absoluta dadas en (3.41)

2 1

( ) 0.333332 (2 1)(2 4)fF jω = = =

+ +

1 1( ) 90 (0.7494) (0.7494 / 2) 147.39ºgF j tan tan− −ω = − − = −

que también pueden verificarse usando MATLAB® » [magFjwf,faseFjwf]=bode(Fs,wf)

magFjwf = 0.3333 faseFjwf = -180

» [magFjwg,faseFjwg]=bode(Fs,wg)

magFjwg = 1.0000 faseFjwg = -147.3869

Los dos últimos resultados del ejemplo 3.23 permiten reconocer la condición para que el sistema en lazo cerrado pueda alcanzar la estabilidad marginal. De acuerdo con los tres escenarios analizados anteriormente se necesitaría que en fω = ω se cumpla la CM

( ) 1fF jω = . El problema se reduce a ajustar la ganancia desde 0.3333 a 1, para lo cual bastaría con multiplicar la ganancia actual de ( )F s por 3:

( ) 0.3333 3 1fF jω = × =


En otras palabras, un aumento en la ganancia actual de ( )F s desde 2k = a 2 3 6k = × = lleva el sistema a su condición de estabilidad marginal. Se observa que el producto

2 3 6gk k× = × = , es la ganancia límite obtenida usando criterios R-H. Luego, en general g Lk k k× = (3.42)

donde gk se reconoce como el margen de ganancia en p-u que posee el sistema para alcanzar la condición de estabilidad marginal y corresponde al valor devuelto por la función margin() del TBC de MATLAB®. Expresando el valor anterior de 3gk = en decibeles, obtenemos

20 (3) 9.5424gM log dB= × =

que se interpreta como el aumento de ganancia en decibeles que puede aceptar el sistema antes de alcanzar la condición de estabilidad marginal. Este valor se muestra en diagrama de Bode de la figura 3.25 y se define a continuación:

Definición 3.1: Margen de ganancia Es el aumento en decibeles (dB) que puede ser adicionado a la FTLA, antes de que el sistema en lazo cerrado alcance la condición de estabilidad marginal. Según la figura 3.25, el margen de ganancia en decibles es 20 ( ) [ ]

fgM log F j dB

ω=ω= − × ω (3.43)

Aplicando (3.43) al ejemplo 3.23 obtenemos

20 ( ) 20 (0.3333) 9.5424f

gM log F j log dBω=ω

= − × ω = − × =

Si el margen de ganancia se expresa en p-u, viene dado por

1[ ]

( )f

gk puF j

ω=ω

=ω

(3.44)

y su interpretación gráfica se muestra en el diagrama de Nyquist de la figura 3.26. Aplicando al ejemplo 3.23, obtenemos

1 13

( ) 0.3333f

gkF j

ω=ω

= = =ω

Otra forma de lograr la condición de estabilidad marginal consiste en disminuir la fase de ( )F s desde 147.39º− hasta 180º− , para forzar que en gω = ω se cumplan simultáneamente

la CM y la CF. Lo anterior implica que una reducción de fase de la FTLA de 32.61º , llevaría al sistema a la condición de estabilidad marginal.


Definición 3.2 Margen de fase Es la reducción en grados que puede ser aplicada a la FTLA, antes de que el sistema en lazo cerrado alcance la condición de estabilidad marginal. De acuerdo con la figura 3.25, el margen de fase se determina como

180 ( ) [º]g

m F jω=ω

φ = + ω (3.45)

Aplicando (3.45) al ejemplo 3.23, obtenemos

180 ( ) 180 ( 147.39) 32.61 ºg

m F jω=ω

φ = + ω = + − =

Según el diagrama de Bode de la figura 3.25, un desplazamiento vertical hacia abajo de 32.61º en la respuesta de fase, implica que f gω = ω y por lo tanto el sistema alcanza su estabilidad marginal. En el caso del diagrama de Nyquist de la figura 3.26, equivale a girar la trayectoria en el sentido horario (negativo) hasta alcanzar el punto , ( 1 0)− , donde se cumplen simultáneamente la CM y la CF y por lo tanto f gω = ω . Los valores marginales pueden interpretarse con relativa facilidad en el diagrama de Nichols mostrado en la figura 3.27, par el caso del ejemplo 3.23. Estabilidad marginal usando RDFLA

El análisis anterior, permite reconocer dos situaciones que pueden llevar a un sistema de control a la condición de estabilidad marginal en lazo cerrado

fM

gM

fω

gω

Figura 3.27 Valores marginales de la RFLA usando el diagrama de Nichols.


- aumento de ganancia de la FTLA - disminución de fase de la FTLA

La primera situación fue evaluada utilizando el método de Routh-Hurwitz, que condujo al concepto de ganancia límite ( )Lk , correspondiente al punto de corte con el eje-jω de las trayectorias del LR. La segunda situación puede lograrse si en la forma canónica del esquema de control de la figura 3.1 se sustituye el bloque de ganancia por uno de atraso como se muestra en la figura 3.28. El valor de 0T puede obtenerse considerando que para gω = ω , la fase del bloque de atraso debe ser equivalente al margen de fase del sistema. Por lo tanto

0 [ ]180

f

g

MT s

π= ×ω

(3.46)

asumiendo que fM se expresa en [grados] y gω en [rad/s]. Este valor puede utilizarse para simular el bloque de atraso de la figura 3.30 y demostrar así que el sistema alcanza la condición de estabilidad marginal. Aplicando (3.46) al ejemplo 3.23

0

32.610.7596

0.7494 180T s

π= × =

Para simular el bloque de atraso es necesario recurrir a la aproximación de Padé presentada en la sección 2.5 y usada en el ejemplo 2.18. Para aproximación de orden-2 obtenemos

» T0=Mf/wg*pi/180; [nG0s,dG0s]=pade(T0,2); » G0s=tf(nG0s,dG0s); Fs0=Fs*G0s; » [Kg0,Mf0,wf0,wg0]=margin(Fs0)

Kg0 = 1.0001 Mf0 = 0.0047 wf0 = 0.7494 wg0 = 0.7494

Como 0 0f gω = ω , el sistema se encuentra en condición de estabilidad marginal.

Sistemas de fase mínima y valores marginales de RFLA

Como se demuestra en el siguiente ejemplo, los conceptos anteriores solo pueden aplicarse a un sistema de fase mínima [Dorf05], cuya definición se presenta a continuación:

−

Y(s) R(s) + E(s)

B(s)

0sTe− ( )G s

( )H s

Figura 3.28 Bloque de atraso para lograr condición de estabilidad marginal.


Definición 3.3 Sistema de fase mínima Un sistema de fase mínima es aquel en el cual todos los ceros y polos de su FTLA están en el semiplano izquierdo (SPI) del plano-s.

La presencia de ceros en el SPD no altera la estabilidad del sistema; sin embargo basta un polo en el SPD para que la FTLA sea inestable y por lo tanto no se pueda evaluar su RDF. No obstante, el sistema puede ser estable en lazo cerrado, como ocurrió en el ejemplo 3.17. Aunque la presencia de un cero en el SPD no afecta la respuesta de magnitud, la respuesta de fase sí cambia, ocasionando errores en la evaluación de los valores marginales. EJEMPLO 3.24: Evaluar la RFLA de los siguientes sistemas

1 2

1 1( ) ( )

( 2)( 3) ( 2)( 3)s s

F s F ss s s s

+ −= =

+ + + +

Solución: Usando los siguientes comandos de MATLAB® » F1s=zpk(-1,[-2 -3],1); F2s=zpk(1,[-2 -3],1) » w=logspace(-1,2,100); » [w,mag1,dB1,fase1]=bodem(F1s,w); » [w,mag2,dB1,fase2]=bodem(F2s,w);

se obtuvieron las gráficas de la figura 3.29 donde se observa la diferencia en la respuesta de fase de los dos sistemas como efecto de la posición del cero.

La función 1( )F s presenta un cambio total de fase de 90º− entre 0ω = y ω = ∞ , mientras que el cambio total de fase de 2( )F s es de 270º− . Dado

RF de sistemas de fase mínima y fase no mínima.

Figura 3.29 RF de sistemas de fase mínima y fase no mínima.


que 1( )F s presenta el cambio mínimo de fase se denomina como sistema de fase mínima, mientras que 2( )F s se reconoce como sistema de fase no mínima. Si se aplica la función margin() a 1( )F s y 2( )F s obtenemos Kg1 = Inf Mf1 = Inf wf1 = NaN wg1 = NaN

Kg2 = 2.0000 Mf2 = Inf wf2 = 0 wg2 = NaN

De acuerdo figura 3.28 y las definiciones 3.1 y 3.2 el último conjunto de valores carecen de significado. De este modo se demuestra el error en el cálculo de los valores marginales de un sistema de fase no mínima.

Valores marginales utilizando la tabla de RDF

Una forma práctica de calcular los valores marginales de un sistema de fase mínima es usar una tabla de RDF, construida con el apoyo de la función especial bodem() de MATLAB®. La tabla 3.4 muestra la respuesta de frecuencia para el ejemplo 3.23.

Tabla 3.4 – Respuesta de frecuencia del ejemplo 3.23

La frecuencia de cruce de ganancia ( )gω es el valor para el cual la magnitud es ( ) 1F jω = o ( ) 0

dBF jω = y en la tabla 3.4 se encuentra en el intervalo , {0.7 0.8}ω= . De modo

similar, la frecuencia de cruce de fase ( )fω se encuentra en el intervalo , {1.0 2.0}ω = y corresponde al punto en el cual la fase ( ) 180ºF jω = − . Como g fω < ω , este análisis es suficiente para demostrar que el sistema de control del ejemplo del ejemplo 3.23 es absolutamente estable.

w mag dB Fase 0.1000 9.9380 19.9459 -98.5730 0.2000 4.8786 13.7659 -107.0205 0.3000 3.1574 9.9867 -115.2300 0.4000 2.2761 7.1439 -123.1113 0.5000 1.7354 4.7882 -130.6013 0.6000 1.3689 2.7273 -137.6630 0.7000 1.1046 0.8643 -144.2821 0.8000 0.9063 -0.8548 -150.4612 0.9000 0.7531 -2.4625 -156.2150 1.0000 0.6325 -3.9794 -161.5651 2.0000 0.1581 -16.0206 -198.4349 3.0000 0.0585 -24.6613 -217.8750 4.0000 0.0271 -31.3354 -229.3987 5.0000 0.0146 -36.7325 -236.8887 6.0000 0.0087 -41.2450 -242.1027 7.0000 0.0056 -45.1138 -245.9245 8.0000 0.0038 -48.4954 -248.8387 9.0000 0.0027 -51.4966 -251.1310 10.0000 0.0020 -54.1929 -252.9795

gω

fω


Sin embargo, interpolando linealmente entre estos intervalos podemos conseguir un valor aproximado de las frecuencias marginales:

0.7 1.1046 1.0 161.5651

1.0000 0.7527 180.0000 1.5000

0.8 0.9063 2.0 198.4349g a g a f a f a

−ω → ω = ω − → ω =

−

En aplicaciones prácticas este resultado es aceptable si se compara con los valores exactos 0.7494 /g rad sω = y 1.4142 /f rad sω = que se lograron analíticamente o usando margin()

MATLAB®. A partir de los valores aproximados de las frecuencias marginales y usando la tabla 3.4 es posible estimar el margen de ganancia y el margen de fase. En efecto, aplicando (3.43) debemos obtener la ganancia para f aω = ω . Interpolando nuevamente

0.63251.0

1.5 ( ) ( ) 0.3953

2.0 0.1581f a f aF j F j puω → ω ≈

Luego, el margen de ganancia en decibeles es 20 (0.3953) 8.0618gaM log dB≈ − × =+ . De modo similar, obtenemos la fase para g aω = ω :

0.7000 144.2821

0.7527 ( ) ( ) 147.5414º

0.8000 150.4612g a g aF j F j

−ω → ω ≈ −

−

Por lo tanto, el margen de fase, aplicando (3.45) es 180 174.5414 32.4586ºf aM = − = . Estos resultados pueden considerarse aceptables respecto de 9.5424gM dB= y 32.61ºfM = calculados analíticamente o usando margin() MATLAB®. La estrategia anterior es práctica cuando se usan valores de RDF experimentales o en tiempo real.

Figura 3.30 Diagrama de Bode y valores marginales de la RFLA.


La función margin() usada sin argumentos de salida devuelve el diagrama de Bode mostrado en la figura 3.30, donde se muestra la interpretación gráfica de los valores marginales de la respuesta de frecuencia en lazo abierto.

Relación entre valores marginales y la respuesta dinámica

Para efectos de respuesta dinámica, valores de 12 y 6 30º 60ºg fdB M dB M≤ ≤ ≤ ≤ (3.47)

se consideran aceptables desde el punto de vista de la estabilidad relativa y de la robustez del sistema ante la presencia de perturbaciones. En la sección 2.4 se evaluó la estabilidad relativa del sistema de control a partir de los valores característicos de la respuesta escalón:

ptM y ssT , y su relación con los parámetros de la función de transferencia de lazo cerrado: ζ y nω . Considerando que en el esquema canónico de la figura 2.4

2

( )( 2 )

n

n

G ss s

ω=

+ ζω (3.48)

y ( ) 1H s = , es decir, un sistema con realimentación unitaria, la FTLC viene dada por

2

2 2( )2

n

n n

T ss s

ω=

+ ζω +ω (3.49)

similar a la expresión (2.18) utilizada en la sección 2.2 para evaluar la respuesta dinámica

del sistema en el dominio del tiempo continuo. A partir de (3.49) la RFLA viene dada por

2

( )( 2 ) (1 / 2

n n

n n

G jj j j j

ω ωω = =

ω ω+ ζω ω + ω ζω (3.50)

El margen de fase se obtiene para gω = ω donde ( ) 1G jω = . Luego

2

( )1 ( / 2 )

n

g g n

G jω

ω =ω + ω ζω

Despejando gω , se obtiene

4 24 1 2g nω = ω ζ + − ζ (3.51)

Aunque la ecuación (3.51) puede considerarse como un modelo para determinar analíticamente el valor de gω a partir de la frecuencia natural ( )nω y la relación de amortiguamiento ( )ζ , su utilidad real es para reconocer que en un sistema de orden-2, la frecuencia de cruce de ganancia ( )gω está relacionada directamente con los dos parámetros de ( )T s en la expresión (3.49). El ángulo de fase de ( )G jω es


1( ) 90 ( / 2 )nG j tan−ω = − − ω ζω

Evaluando para gω = ω y aplicando la definición (3.45), obtenemos

1 190 ( / 2 ) (2 / )f g n n gM tan tan− −= − ω ζω = ζω ω (3.52)

Sustituyendo gω dada en (3.51)

1

4 2

2

4 1 2fM tan−

⎛ ⎞ζ⎜ ⎟=⎜ ⎟ζ + − ζ⎝ ⎠

(3.53)

que podría usarse para evaluar analíticamente el margen de fase ( )fM en un sistema de orden-2, a partir de la relación de amortiguamiento ( )ζ . Sin embargo su mayor utilidad es para reconocer que el valor de fM solo depende de ζ, tal como se observa en la figura 3.31. En consecuencia el margen de fase está asociado con el pico de la respuesta escalón ( )ptM es una medida de la estabilidad relativa del sistema.

En la figura anterior se ha dibujado una aproximación lineal dada por

100 [º ]fM ≈ ×ζ (3.54)

que es válida para 0 0.7< ζ < y puede ser utilizada como una relación práctica en el diseño de un sistema de control. De la expresión (3.52) obtenemos

2( ) n

fg

tan Mζω

=ω

Considerando la expresión (2.32) del tiempo de estabilización ssT para 2%± de error

8( )f

g ss

tan MT

≈ω

(3.55)

La expresión (3.55) puede usarse para establecer la relación entre los valores marginales de la RFLA y los valores característicos de la respuesta escalón en un sistema de orden-2, tal como será demostrado en el capítulo 4.

Figura 3.31 Relación entre el margen de fase y la relación de amortiguamiento en un sistema de segundo orden.


Parámetros de la FTLA a partir de la RDF (*)

Usando los diagramas de respuesta de frecuencia (RDF) mencionados anteriormente es posible identificar algunos parámetros de la FTLA de un sistema de control, como: el número de polos en el origen o tipo N del sistema, la diferencia ( )n m− entre el número de polos y ceros finitos de ( )F s y los coeficientes del error estacionario: pK , vK y aK del sistema en lazo cerrado. Estos aspectos forman parte de las técnicas de identificación de sistemas [Wayne03] y [Smith91], que es una herramienta fundamental en el proceso de obtención del modelo matemático de un sistema físico. 1. Diagrama de Bode:

Usando aproximación asintótica del diagrama de Bode [ReySoto07] de la RFLA es posible obtener:

- el tipo N del sistema - los coeficientes de error estacionario del sistema en lazo cerrado

Según la definición presentada en la sección 2.3, el tipo de sistema está asociado con el número N de polos en el origen de la FTLA. Expresando ( )F s en forma estándar

1 2

1 2

(1 )(1 ) (1 )( )

(1 )(1 ) (1 )m

Nn N

K sT sT sTF s

s s s s −

+ + +=

+ τ + τ + τ (3.56)

donde N identifica el tipo de sistema que fue utilizado en capítulo 2 para evaluar el error estacionario del sistema en lazo cerrado, , , , 1 2 mT T T… factores de tiempo calculados como el inverso del valor absoluto de los ceros y , , , 1 2 nτ τ τ… constantes de tiempo calculadas como el inverso del valor absoluto de los polos, sin considerar los que se ubican en el origen. A partir de (3.56) la RDF del sistema en lazo abierto es

1 1

1 1

(1 ) (1 / )( )

( ) (1 ) ( ) (1 / )

m m

i ii i

n N n NN N

k kk k

K j T K jF j

j j j j

= =− −

= =

+ ω + ω ωω = =

ω + ωτ ω + ω ω

∏ ∏

∏ ∏ (3.57)

siendo iω y kω las frecuencias características o frecuencias de corte asociadas con cada cero y cada polo diferente de cero. Estos parámetros se utilizan como referencia para la gráfica asintótica de ganancia en el diagrama de Bode y se calculan como

1 1i k

i kTω = ω =

τ (3.58)

Evaluando (3.57) para el límite 0ω→ , obtenemos la ganancia y fase en BF

( ) / ( ) 90ºNBFBF

F j K F j Nω ≈ ω ω ≈ − × (3.59)


De acuerdo con (3.59) un sistema tipo 0N = presenta un valor de ganancia en BF de 20 ( )log K× siendo K la ganancia DC de ( )F s . Si el sistema es tipo 1N = la ganancia en BF es de 20 /dB decada− , si es tipo 2N = es 40 /dB decada− y así sucesivamente. La figura 3.32 muestra la forma de identificar el tipo N del sistema, a partir de la aproximación asintótica de ganancia del diagrama de Bode.

Si ( )F s es de fase mínima, a partir de la respuesta de fase del diagrama de Bode se puede identificar la diferencia n m− entre el número de polos y ceros finitos ( )F s . Evaluando (3.57) para el límite ω→∞ , obtenemos la magnitud y fase en AF, como

( ) ( ) ( ) 90ºAFn mAF

KF j F j n m−ω ≈ ω ≈ − − ×

ω (3.60)

suficiente para identificar la diferencia n m− entre los polos y ceros de ( )F s . De este modo, la fase en BF depende del número de polos en el origen y la fase AF de la diferencia entre el número de polos y ceros de ( )F s . Aplicando (3.59) al ejemplo 3.23 cuya RDF se muestra en al figura 3.25, la ganancia en BF es de 20 /dB dec− por lo tanto el sistema es tipo 1N = y la respuesta de fase en BF debe ser 90º− . En la misma figura la fase en AF es 270º− y según (3.60) corresponde a 3n m− = . En efecto ( )F s no tiene ceros y tiene 3 polos. Para determinar los coeficientes de error expresamos (3.59) en decibles, como

( ) 20 ( / )NdB

F j log Kω ≈ ω (3.61)

Si el sistema es tipo 0N = según (2.41), el coeficiente de error de posición coincide con el valor de K. Luego de (3.61) obtenemos

( ) 20 ( )pdBF j log Kω ≈ (3.62)

que se puede usar para calcular el coeficiente pK . De modo similar, para el sistema tipo 1N = , según (3.61) la ganancia en BF es

( )log ω

( )dB

F jω

0N =tipo

20 ( )log K

Figura 3.32 Diagrama de Bode y tipo N de sistema.

( )log ω

( )dB

F jω

1N =tipo

20 /dB dec−

0ω

( )log ω

( )dB

F jω

2N =tipo

40 /dB dec−

0ω


( ) 20 ( / )vdB

F j log Kω ≈ ω (3.63)

Prolongando la aproximación asintótica hasta conseguir el punto 0ω de corte con el eje frecuencia, tal como se muestra en la figura 3.38 y evaluando (3.63) para 0ω = ω

0 0 0( ) 20 ( / ) 0v vdBF j log K Kω ≈ ω = → = ω (3.64)

De modo similar para el sistema tipo 2N = , la figura 3.38 muestra que para 0ω = ω

2 20 0 0( ) 20 ( / ) 0a adB

F j log K Kω ≈ ω = → = ω (3.65)

Luego, midiendo el valor de 0ω sobre la escala logarítmica es posible aplicar (3.64) o (3.65) para determinar gráficamente un valor aproximado de los coeficientes de error estacionario de velocidad y aceleración.

EJEMPLO 3.25: Evaluar los valores característicos de la FTLA de un sistema de control, cuya aproximación asintótica de Bode se muestra en la figura 3.33.

Solución: La aproximación asintótica de ganancia en BF es de 20 /dB dec− y de acuerdo

con la figura 3.32 el sistema es tipo 1N = . El punto de corte con el eje-ω es

0 1 /rad sω = y según (3.64) el coeficiente de error de velocidad es 1vK = .

Valores característicos de la FTLA a partir de su RF.

Figura 3.33 Valores característicos de ( )F s a partir de Bode.

20 /dB dec− 40 /dB dec−

60 /dB dec−


La fase en AF es 270º− , que según (3.60) corresponde a una diferencia 3n m− = . Además, como la fase disminuye continuamente se puede inferir que

el sistema no tiene ceros. Luego ( )F s tiene 3 polos uno de lo cuales se encuentra ubicado en el origen. En la en la respuesta de magnitud asintótica se identifican dos frecuencias de corte c1 1 /rad sω = y c1 2 /rad sω = , que permiten obtener ( )F s , como

2

( ) ( )(1 )(1 / 2) ( 1)( 2)

K KF j F s

j j j s s sω = ↔ =

ω + ω + ω + +

Para satisfacer 1vK = , el factor de ganancia debe ser 1K = . Luego

2( )

( 1)( 2)F s

s s s=

+ +

2. Diagrama de Nyquist: Utilizando el diagrama polar de Nyquist, es posible identificar también el tipo N del sistema y la diferencia n m− entre el número de polos y ceros de ( )F s , tal como se muestra en la figura 3.34, la cual se obtuvo evaluando el ángulo de fase de

( ) ( ) ( )F j X j Yω = ω + ω para 0ω = y ω = ∞ , a partir de (3.59) y (3.60), respectivamente.

3. Diagrama de Nichols: De modo similar, en el diagrama de Nichols es posible identificar el tipo N del sistema si se evalúa a partir de (3.59) el ángulo la fase de ( )F jω para 0ω = , tal como se muestra en la figura 3.35.

( )X ω

( )Y ω

0ω=

0N =

0ω=1N =

ω = ∞2N =

0ω= 0n m− =

3n m− =

2n m− =

1n m− =

Figura 3.34 Tipo de sistema y diferencia entre polos y ceros de ( )F s a partir del diagrama de Nyquist.


En cualquier caso y de acuerdo con (3.60) el ángulo de fase para ω = ∞ dependerá de la diferencia m n− entre el número de polos y ceros de ( )F s .

3.8 RESPUESTA DE FRECUENCIA EN LAZO CERRADO

En la sección anterior se demostró que la respuesta de frecuencia de la FTLA suministra información suficiente para evaluar la estabilidad absoluta y relativa del sistema de control en lazo cerrado. Sin embargo, existen limitaciones en el uso de esta estrategia originadas por dos causas: que la FTLA sea un modelo de fase no mínima o que sea a un modelo inestable. Si ( )F s es de fase no mínima es necesario desarrollar una estrategia especial [Shahian93] para interpretar los valores marginales en la evaluación de la estabilidad del sistema en lazo cerrado. Por otro lado, si ( )F s es inestable tampoco es posible obtener los valores marginales para evaluar la estabilidad del sistema de control en lazo cerrado. Para salvar estos dos obstáculos se puede recurrir a la respuesta de frecuencia de lazo cerrado (RFLC), la cual suministra información exacta relacionada con el comportamiento dinámico del sistema de control.

Especificaciones para la respuesta de frecuencia en lazo cerrado

Asumiendo que el sistema de control utiliza la forma canónica de la figura 2.4, la RFLC viene dada por

( )( )

1 ( ) ( )G j

T jG j H j

ωω =

+ ω ω (3.66)

Usando la ecuación (3.66), la figura 3.35 muestra la forma típica de la respuesta de frecuencia de lazo cerrado de un sistema de control, donde pueden identificarse los siguientes valores característicos: el pico de resonancia ( )pM ω , la frecuencia de resonancia ( )rω y el ancho de banda ( )Bω .

0º

( )F jω

( )dB

F jω

180º−

0N =tipo

0ω=

90º−

( )F jω

( )dB

F jω

180º−

1N =tipo

0ω=

( )F jω

( )dB

F jω

180º−

2N =tipo

0ω=

Figura 3.35 Tipo de sistema a partir del diagrama de Nichols.

3.8 RESPUESTA DE FRECUENCIA EN LAZO CERRADO 3 - 73

De acuerdo con la figura 3.35, el pico se resonancia ( )pM ω es el valor máximo que puede alcanzar la magnitud de la RDF en p-u o en dB el cual ocurre en la frecuencia de resonancia ( )rω expresada en / ][rad s . El ancho de banda ( )Bω se define a continuación. Definición 3.4: Ancho de banda

Se define como la frecuencia a la cual la magnitud de la RDF en p-u se reduce a un 70.7% del valor de la ganancia DC del sistema.

( )2DC

B pu

KT jω (3.67)

Como 0

( )DC sK T s

== , la expresión anterior puede resolverse para calcular el valor de Bω . Si

la magnitud de la RDF se expresa en dB, la ecuación (3.67) se reduce a ( ) 20 ( ) 3.0103B DCDB

T j log Kω = − (3.68)

que en términos prácticos se considera como el valor de frecuencia para el cual la magnitud está 3 DB por debajo de la ganancia de baja frecuencia. El ancho de banda es una medida de la robustez de un sistema de control y está relacionado con el tiempo de crecimiento ( )rT de acuerdo con la siguiente expresión [Oppnheim98] B rTω × ≈ constante (3.69)

De este modo, el ancho de banda es un indicador de la velocidad de reacción del sistema de control ante una perturbación. En efecto un ancho de banda grande implica un valor pequeño del tiempo de crecimiento y por lo tanto una elevada velocidad de reacción. La relación entre la RFLA y la RFLC es fácil de lograr si se considera un sistema con realimentación unitaria, que equivale a asumir ( ) 1H jω = en la ecuación (3.66). En efecto, el diagrama de Nyquist de la figura 3.38 muestra que es posible construir la RFLC en lazo cerrado ( )T jω a partir del vector ( )G jω que corresponde a la RFLA y del vector 1 ( )G j+ ω que se reconoce como la mínima diferencia de retorno (MDR).

Figura 3.35 Valores característicos de la RF en lazo cerrado.


La MDR es un valor característico indicador de la estabilidad y robustez de un sistema de control, utilizado generalmente en la teoría moderna de control. En sistemas tipo MIMO la MDR es un arreglo matricial [Tewari02]. Sin embargo, a partir de la figura 3.38 es fácil determinar la relación que existe entre la MDR y los valores marginales. En efecto, aplicando la ley de los cosenos obtenemos

MDR 21 ( ) 2 ( ) ( )mG j G j cos= + ω − × ω × φ (3.70)

donde mφ es el margen de fase definido en (3.45). Si ( ) 1G jω = , que corresponde al punto de cruce de ganancia gω = ω , el valor de MDR calculado a partir de (3.70) es MDR 2 2 ( )mcos= − × φ (3.71)

que demuestra la relación directa entre el margen de fase ( )mφ y la MDR. Lo anterior implica que a mayor margen de fase del sistema, mayor es el valor de MDR y por lo tanto se mejora la estabilidad relativa. Por otro lado, si en la figura 3.37 fω = ω , que corresponde al punto de cruce de fase, obtenemos MDR 1 1 1/ gk= −α = − (3.72)

donde gk es el margen de ganancia en p-u definido en (3.44). Nuevamente, aumentando el margen de ganancia gk , se aumenta el MDR y se mejora la estabilidad relativa. El siguiente ejemplo muestra la evaluación de la RFLC de un sistema cuya FTLA es de fase no mínima.

EJEMPLO 3.26: Evaluar la RDF en lazo cerrado de un sistema de control que utiliza la forma canónica de la figura 2.4, con las siguientes funciones

, 6( ) ( ) 1

( 1)( 2)G s H s

s s= =

− +

Figura 3.38 RFLC a partir de la RFLA.

( )X ω

( )Y ω

1−

( )G jωMDR 1 ( )G j= + ω

0ω=

ω= ∞

P

mφ

fω

α

Valores característicos de la FTLA a partir de su RF.


Solución: Se trata de un sistema cuya FTLA es inestable y fase no mínima, en razón de que ( ) ( )G s H s tiene un polo en el SPD. Por lo tanto no se puede usar la RFLA para evaluar su estabilidad absoluta y relativa del sistema en lazo cerrado. Para evaluar la FTLC necesitamos conocer ( )T s :

2

66( 1)( 2)

( )6 41 1

( 1)( 2)

s sT ss s

s s

− += =+ ++ ×

− +

Los polos de ( )T s están en ,1 2 0.5 1.9365p j= − ± , que garantiza la estabilidad del sistema en lazo cerrado. Para obtener la RFLC mostrada en la figura 3.39, usamos el siguiente guión de MATLAB®

» Gs=zpk([],[1 -2],6); Hs=1; Ts=feedback(Gs,Hs) » w=logspace(-1,1,200); [w,mag]=bodem(Ts,w);

Como se trata de un sistema de orden-2 es fácil evaluar analíticamente el ancho de banda. Sustituyendo s j= ω en la expresión de ( )T s

2

6( )

(4 )T j

jω =

−ω + ω

Evaluando la magnitud en p-u y aplicando la definición (3.67)

2 2 2

6( )

2(4 )B

DCKT j

ω=ωω = =

−ω +ω

donde la ganancia DC del sistema se calcula como

0

6( ) 1.5

4DC sK T s

== = =

Sustituyendo este en la ecuación anterior y haciendo 2 xω = , obtenemos 2 7 16 0x x− − =

Figura 3.39 Valores característicos de la RFLC.


cuya solución es 1 8.8151x = y 2 1.8151x = − . Descartando el resultado negativo, se logra un valor de 8.5151 2.9690 /B rad sω = = . Para verificar este resultado podemos sustituirlo en la expresión de ( )BT jω

2 2 2

6( ) 1.0607

(4 2.9690 ) 2.9690BT j puω = =

− +

que coincide con el valor de 1.5 / 2 1.0607= . Para obtener la frecuencia de resonancia analíticamente derivamos ( )T jω respecto de ω e igualamos a cero,

32 7 0ω − ω =

Resolviendo se obtiene 1 0ω = , 2 1.8708ω = − y 3 1.8708ω = . Por lo tanto 1.8708 /r rad sω = . Sustituyendo en la expresión de ( )BT jω

2 2 2

63.0984

(4 1.8708 ) 1.8708pM puω = =

− +

Estos valores pueden observarse en la figura 3.38. Utilizando MATLAB® [Mpw,wB,wr]=valrespf(Ts,w)

Mpw = 3.0963 wB = 3.0018 wr = 1.8897

En el ejemplo anterior se utilizó la función especial valrespf() que se desarrolló para facilitar el cálculo de los valores característicos de la RDF en lazo cerrado. Su descripción de presenta en el apéndice E y su sintaxis es: [Mpw,wB,wr] = valrespf(modelo,w)

Introduciendo el nombre de esta función se consigue ayuda y un ejemplo de aplicación. Valores característicos de la RFLC en un sistema de orden-2

Como se demostró en el ejemplo 3.26, si el sistema es de orden-2, es fácil evaluar los valores característicos de la RFLC. En efecto, partiendo de la ecuación (3.49) es posible desarrollar expresiones analíticas para calcular los valores de pM ω , rω y Bω , que más que simples fórmulas, serán usadas para establecer la relación con los valores característicos de la respuesta escalón del sistema en lazo cerrado. Evaluando (3.49) para s j= ω , obtenemos

2

2 2 2

1( )

2 1 ( / ) 2 ( / )n

n n n n

T jj j

ωω = =

ω −ω + ζωω − ω ω + ζ ω ω


Sustituyendo / nμ = ω ω como la frecuencia normalizada en p-u

122 2 2

1 2( ) ( )

1(1 ) (2 )M tan− ⎛ ⎞ζμ

μ = φ μ = − ⎜ ⎟−μ−μ + ζμ ⎝ ⎠ (3.73)

Usando la expresión anterior, la figura 3.40 muestra la magnitud de la RDF de lazo cerrado de un sistema de orden-2, donde se observa que para 0.707ζ ≥ prácticamente no existe pico de resonancia. El comportamiento es similar a la respuesta escalón mostrada en la figura la figura 2.13. Para obtener la frecuencia de resonancia derivamos (3.73) respecto de μ

3 / 22 2 3 21

(1 ) (2 ) (4 4 8 ) 02

dMd

−⎡ ⎤= − −μ + ζμ × μ − μ + μζ =⎣ ⎦μ

Del segundo factor obtenemos 2 21 2 0μ − + ζ = , cuya solución es 1 0μ = y 22 1 2μ = − ζ .

Luego, 21 2r nω = ω − ζ (3.74)

donde se observa que la frecuencia de resonancia ( )rω depende de los parámetros ζ y nω que de acuerdo con las ecuaciones (2.30), (2.31) y (2.32), caracterizan completamente la respuesta escalón del sistema de orden-2. Para que la expresión (3.74) tenga significado, la frecuencia rω debe ser real, lo cual se logra si 22 1ζ ≤ . Por lo tanto la ecuación (3.74) es válida para 0.707ζ ≤ . Sustituyendo en la expresión ( )M μ , obtenemos

Figura 3.40 Magnitud de la RFLC en un sistema de orden-2.


, 2

10.707

2 1pM ω = ζ ≤

ζ − ζ (3.75)

Utilizando las ecuaciones (3.75) y (2.30) se obtuvo la figura 3.41, donde se observa que el pico de resonancia y el pico de la respuesta escalón tienen un comportamiento similar.

Para calcular el ancho de banda aplicamos la definición (3.67) a la ecuación (3.73)

2 2 2

1 12(1 ) (2 )

=−μ + ζμ

considerando que, según (3.49) 1DCK = . La identidad anterior se reduce a 4 2 22(1 2 ) 1 0μ − − ζ μ − =

La solución de esta ecuación, considerando la frecuencia normalizada, conduce a

2 2 2(1 2 ) 2 4 (1 )B nω = ω − ζ + − ζ − ζ (3.76)

Usando (3.76) se obtuvo la figura 3.42 donde se observa que el ancho de banda del sistema de orden-2 en lazo cerrado es inverso a la relación de amortiguamiento. Las ecuaciones desarrolladas anteriormente son válidas para un sistema de orden-2 y su propósito no es utilizarlas como “simples fórmulas” para la evaluación de los valores característicos de la RDF de un sistema de control.

Figura 3.41 Pico de resonancia y pico de respuesta escalón en un sistema de orden-2.


El objetivo era demostrar que la relación de amortiguamiento ( )ζ y la frecuencia natural ( )nω , que son los parámetros de la FTLC, se relacionan directamente con los valores característicos de la RDF en lazo cerrado. Estos conceptos son fundamentales y serán aplicados en el diseño del sistema control en el dominio-ω, que será presentado en el capítulo 4.

Figura 3.42 Ancho de banda en un sistema de orden-2.

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