CAPÍTULO 8 INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE...
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CAPÍTULO 8
INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE
MATERIALES
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CONCEPTO DE PIEZA PRISMÁTICA
CG
y
CG
y
Directriz o eje
Sección transversal
Centro de gravedad
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Existen otras ramas de la Mecánica de Medios Continuos en las que la palabra “tensión” se sustituye por la de “esfuerzo” y, así se habla en ellas, de “esfuerzo normal”(en vez de tensión normal) y de “esfuerzo tangencial” (en vez de tensión tangencial). En Ingeniería Industrial, al igual que sucede en Ingeniería Civil y en otras muchas Ingenierías, es mucho más usual la nomenclatura que aquí se emplea, sobre todo porque la palabra “esfuerzo”, en Resistencia de Materiales, representa a otro concepto que no es, precisamente, una tensión.
ADVERTENCIA:
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CONCEPTO DE ESFUERZO
B
A
B
A
B
A
πB
A
πB
A
π
B
x
y
z
R
M
G
B
x
y
z
R
MB
x
y
z
R
M
G
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B
x
y
z
R
N
QyQx
G
B
x
y
z
R
N
QyQx
B
x
y
z
R
N
QyQx
G
B
x
y
z
R
M
G
B
x
y
z
R
MB
x
y
z
R
M
G
La componente de sobre el eje z , N, recibe el nombre es esfuerzo axily las componentes sobre los ejes x e y, esfuerzo cortante a lo largo, respectivamente, del eje x (Qx) y del eje y (Qy). Estas componentes se expresarán en unidades de fuerza que, en el Sistema Internacional de Unidades, serían Newtons (N)
Rr
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B
x
y
z
M
MT
Mx
My
G
B
x
y
z
M
MT
Mx
My
B
x
y
z
M
MT
Mx
My
G
B
x
y
z
R
M
G
B
x
y
z
R
MB
x
y
z
R
M
G
Mr
La componente de sobre el eje z recibe el nombre de momento torsor, MT, en la sección considerada, y las componentes sobre los ejes x e y se denominan momentos flectores (Mx a la componente sobre el eje x y My a la correspondiente al eje y). Sus unidades serán las correspondientes a fuerza por distancia (N.m o m.Nen el Sistema Internacional de Unidades; en general, conviene emplear como unidad, para este tipo de esfuerzos, el N.m ya que m.N podría ser confundido con miliNewtons (mN)].
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CASO DE UNA PIEZA DE DIRECTRIZ RECTA CONCARGAS EN SU PLANO
Supongamos, ahora, que todas las cargas aplicadas al sólido (pieza prismática) se encuentran contenidas en el plano y-z. En estas condiciones, Qx=My=MT =0y, denominando simplemente Q a Qy y M a My, las consideraciones anteriores nos llevarían a una situación como la representada en la Figura:
A B
Plano decorte
directriz
zy
A B
Plano decorte
directrizA B
Plano decorte
directriz
zy
A N
MQ
A N
MQ Q
BN
MQ
BN
M
N recibe el nombre de esfuerzo axil, Q el de esfuerzo cortante y M el de momento flector
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Cómo obtener los esfuerzos:
Encontrar los esfuerzos en la viga de la figura en función de W1 y W2. La viga se encuentra simplemente apoyada en su extremo de la derechay sometida a la acción de un cable cuya “tensión” es T.
Rx
Ry
T
W1 W2
30°
a a a 2a
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2121W
34W
38T60T3W2W40 +=⇒−+==∑ cosaaaMB
x
y+
2121W
31W
31RR60TWW0 +−=⇒++−−==∑ yyyF cos
21 W3
32W3
34R30TR0 −−=⇒+==∑ xxxF cos
Ecuaciones de la Estática:
Rx
Ry
T cos60
W1 W2
30°
a a a 2a
BT
T cos 30
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xax <<0
V
NM
∑∑∑
==
−==
==
M0
V0
N0
M
F
F
y
x
Rx
Ry
T
W1 W2
a a a 2a
x
y+
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axa 2<<
1
1
1
1
W)(MMW)(0
WV
VW0
N0
axaxM
F
F
y
x
−−=
+−==
−=
−−==
==
∑
∑∑
W1
x-a
Rx
Ry
T
W1 W2
x
a a a 2a
x
y+
V
NM
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Rx
Ry
T
W1 W2
x
a a a 2a
axa 32 <<
)2)(WW()(WMM60cosT)2(W)(0
WWV
V60cosTW0WWN
N30cosT0
232
134
1
1
232
131
1
2332
1334
axaxaxaxM
F
F
y
x
−++−−=
+−−−==
+=
−+−==
−−=
+==
∑
∑
∑
W1x-2ax-a
T
x
y+
V
NM
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axa 53 <<
)2)(WW()3(W)(WMM)3(W)2(60cosT)(W0
WWV
VW60cosTW030cosTN
N30cosT0
232
134
21
21
231
131
21
axaxaxaxaxaxM
F
F
y
x
−++−−−⋅−=
+−+−⋅−−==
−=
−−+−==
−=
+==
∑
∑
∑
W1
T
W2x-3aRx
Ry
T
W1 W2
x
a a a 2a
x
y+
V
NM
x-a
x-2a
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LEYES DE ESFUERZOS
• Para determinar si una estructura es capaz de resistir las cargas a las que estásometida, necesitamos determinar la distribución de tensiones que en ella se producen.
• Estas tensiones se obtienen de los esfuerzos (N, Q, M) que actúan sobre el elemento estructural del que se trate.
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VIGA SIMPLEMENTE APOYADA
VIGA EN VOLADIZO O MÉNSULA
VIGA EMPOTRADA APOYADA
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Leyes de cortantes y momentos flectores
EJEMPLO:
Fx
y
2L/3
L
Fx
y
F/3 2F/3
Reacciones:
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• Para 0 < x < 2L/3N = 0Q = F/3M = Fx/3
• Para 2L/3 < x < LN = 0Q = - 2F/3M = (2F/3)(L - x)
QN
M
Q
M
N
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Leyes de esfuerzos
Esfuerzoscortantes
Momentosflectores
Fx
y
2L/3
L
x
y
F/3
2F/3
x
2FL/9
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FUERZAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS:
6 kN de ladrillos
q=2 kN/m
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CENTRO DE GRAVEDAD DE LA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS:
q=2 kN/m
dx
x
q*dx
( )mx
dxxx
G
oG
5,1
263
=
⋅=⋅ ∫
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10 x 2 = 5RC5RC=20RC=20/5 =4kN
Cálculo de reacciones:Igualando momentos (sentidos horario y antihorario) en A:
Igualando a cero la suma de fuerzas verticales: RA+RC =10 kN, RA=6 kN
EJEMPLO 1
6 kN 4 kN
10 kN
B
10 kN
B
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Entre A y B:
Entre B y C:
6 kN
6 kN
6 kN
10 kN
V=6 kNM=6.x kN.m
x
x
V=6-10=4 kNM=6.x-10.(x-2) kN.m
LEYES DE ESFUERZOS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES:
6 kN 4 kN
10 kN
B
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Moviéndonos de izquierda a derecha:
El esfuerzo cortante en la rebanada próxima al apoyo coincide con la reacción en el mismo
Entre A y B no hay ninguna carga actuando
Al llegar a B nos encontramos con una cargaaplicada, por lo que la ley presenta un saltobrusco de valor igual a la carga aplicada
Entre B y C no hay ninguna carga actuando
10 kN
LEY DE ESFUERZOS CORTANTES
LEY DE ESFUERZOSCORTANTES
6 kN 4 kN
10 kN
B
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Tramo AB: ).(6)( mkNzzM ⋅=
Tramo BC: ( ) ).(2106)( mkNzzzM −−⋅=
LEY DE MOMENTOS FLECTORES
6 kN 4 kN
10 kN
B
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EJEMPLO 2(Viga biapoyada con sobrecarga uniforme de 10 kN/m)
Tomando momentos en A (momentos horarios= momentos antihorarios): (10 x 6) x 3 = 6RC
6RC=180, por lo que RC=180/6 =30kN
Estableciendo el equilibrio de las fuerzas verticales:RA+RC= 10 x 6 =60kNcomo: RC=30kNRA+30=60RA=60-30=30kN
10 kN/m
Cálculo de reacciones:
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Q=30-10.x
x
10 kN/m
Ley de esfuerzos cortantes:
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M=30.x-10.x2/2
x
10 kN/m
Ley de momentos flectores:
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x
AB
A
VqbqaV
bLbqab
LaqV
−+=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
22
22
Si x<a:
2
2xqxVM
qxVQ
A
A
−=
−=
Si x>a:
( )( )
22
2
22axqaxqaxVM
axqqxVQ
A
A
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
−−−=
EJEMPLO 3
a b
2qq
A B
Q
L
M
q
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QM
xq0
xqQ ⋅= 0
22
2
00xqxxqM ⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅=
EJEMPLO 4
q0
Ley de cortantes
Ley de flectores
Lq0
2
20Lq
x
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23,014,0
-16,0-29,5
22,515,0
30 kN52 kN
55,5
-46,87
0,0 0,0
Las cargas concentradas causan una discontinuidadEl salto es igual al valor de la carga puntual aplicadaEl cambio del valor del cortante entre dos secciones esigual a la suma de cargas entre esas dos secciones
Se producen puntos angulosos en aquellas seccionesen las que existen cargas puntuales aplicadasEl cambio del valor del momento entre dos secciones esigual al área de cortantes entre esas dos seccionesLa pendiente del diagrama de momentos en cualquiersección es igual al valor del cortante en la misma
EJEMPLO 530 kN
x
15 kN3 kN/m
23 kN 52 kN3 m 4,5 m 2,5 m
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17 kN 17 kN
50 kN.m
-85 kN.m-52 kN.m
68 kN.m
120 kN.m
135 kN.mLos momentos concentrados causan una discontinuidadEl salto es igual al valor del momento exterior aplicado
EJEMPLO 6
x120 kN.m135 kN.m
17 kN 17 kN4 m 6 m 4 m