138

CAPÍTULO IV

RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN

1. Análisis de los datos.

El desarrollo experimental está conformado por cuatro (4) fases, las

cuales se estructuran en un orden preestablecido, para lograr un resultado

óptimo de la investigación. En este sentido, se especifica a continuación el

desarrollo de cada una de ellas:

Fase 1.

(a) Establecer un modelo matemático del proceso químico para

elaborar la simulación.

Para realizar la simulación se elaboró el modelo matemático del

proceso de Neutralización ácido-base, en el cual se calculó la variable pH de

salida del sistema.

En tal sentido, se plantearon los siguientes equilibrios:

(1) H2O H + + OH – (De ésta reacción derivó Kw, que es la

variable para el equilibrio de autodisociación del agua H2O).

(2) H2CO3 H + + HCO3 – (De ésta reacción derivó Ka1, que es

la variable para la primera disociación del ácido – Carbónico H2CO3).

139

(3) HCO3- H + + CO3

2- (De ésta reacción derivó Ka2, que es

la variable para la segunda disociación del Bicarbonato HCO3-).

En este sentido, las ecuaciones para establecer el modelo matemático

del proceso de Neutralización ácido – base, se dedujeron de las reacciones

químicas y balance de cargas, con los siguientes componentes

seleccionados por el investigador, los cuales conforman un prototipo de

reacción de Neutralización ácido - base:

oBicarbonatHCO →−3 Base( )Débil

CarbonatoCO →−23 Base( )Mediana

ácidoCOH →32 Carbónico ácido( )Débil

→+Na Sodio Bases)y Salesforman combinarse (Al

Hidrógeno) (Ión Hidrógeno H →+

Hidróxido) (Ión HidróxidoOH →−

Débil). (Base Nitrato NO →−3

Se muestra a continuación las ecuaciones obtenidas por el

investigador con los compuestos, reacciones, y elementos antes

mencionados:

Cargas)

de (Balance] [NO][OH]2[CO][HCO][Na][H (4)

o)(Equilibri] ]/[HCO[CO] [H Ka2 (3)

o)(Equilibri] CO]/[H][HCO[H Ka1 (2)

o)(Equilibri] ][OH[HKw (1)

333

23

23

−−−−++

−−+

−+

−+

+++=+

=

=

=

2

3

3

140

.332 )CO de (Balance )(Constante M]CO[H ][CO][HCO (5) 233 =++ −−

En este orden de ideas, se consideró que [Na+] y [NO3

-] no son

alterados por los equilibrios, además, [Na +] = L + M; y K=[NO3-], y la

constante en la ecuación (5) es igual a M, resultando en un sistema de cinco

(5) ecuaciones con cinco (5) incógnitas, en el cual se pudo resolver en forma

implícita para [H+]:

A continuación se indica un cambio de variable realizado a los

compuestos antes mencionados que facilitó las operaciones algebraicas para

obtener la ecuación del modelo matemático:

c d b M ],[NaML

],[NOk

],[CO d

],CO[Hc ],[HCO b

],[OH a

][Hh

3

3

2

++==+

=

=

==

=

=

+

−

−

−

−

+

2

3

3

,

Luego de haber realizado el cambio de variable, las ecuaciones de

equilibrio, balance de cargas y constante del balance del CO3 quedaron

expresadas de la siguiente forma:

o)(Equilibri b

d x h Ka2 (3)

o)(Equilibri c

b x h Ka1 (2)

o)(Equilibri a x h Kw (1)

=

=

=

141

.3 )CO de (Balance )(Constante Mc d b (5) Cargas) de (Balance k a 2db M)(L h (4)

=+++++=++

Procedimiento para obtener la ecuación implícita para [H+]:

De uno (1) se despejó a y se sustituyó en (4) obteniendo:

k

hKw2dbM)(Lh (4)

hKw

a a x h Kw (1)

+++=++

=→=

Luego, la cantidad de ecuaciones se redujo a 4,

)CO de (Balance )(Constante ,Mcdb (5)

cargas) de (Balance kh

Kw2dbM)(Lh (4)

o)(Equilibri b

d x hKa2 (3)

o)(Equilibri c

b x hKa1 (2)

3=++

+++=++

=

=

,

,

,

Se tuvo después, que de (2) se despejó c y se sustituyó en (5)

obteniendo:

M

Ka1b x h

db (5)

Ka1b x h

c c

b x hKa1 (2)

=++

=→=

De manera, que la cantidad de ecuaciones se simplificó a 3,

)

,

,

3CO de (Balance )(Constante MKa1

b x hdb (5)

Cargas) de (Balance kh

Kw2dbM)(Lh (4)

o)(Equilibri b

d x hKa2 (3)

=++

+++=++

=

142

De (3), se despejó b y se sustituyó en (4) y (5) obteniendo:

MKa2 x Ka1d xh

dKa2

d x h (5)

kh

Kw2dKa2

d x hM)(Lh (4)

Ka2d x h

b b

d x hKa2 (3)

=++

+++=++

=→=

2

Luego, la cantidad de ecuaciones se redujo a 2,

)CO de (Balance )(Constante M

Ka2 x Ka1d xh

dKa2

d x h (5)

Cargas) de (Balance kh

Kw2d

Ka2d x h

M)(Lh (4)

3=++

+++=++

2

De la ecuación (5), se despejó d y se sustituyó en (4),

2

2

h Ka1 x h Ka2 x Ka1Ka2 x Ka1 x Md (5)

MKa2 x Ka1

d xh Ka2 x Ka1 x d Ka1 x d x h (5)

MKa2 x Ka1d xh

Ka2 Ka2 x dd x h

(5)

MKa2 x Ka1d xh

dKa2

d x h (5)

++=

=++

=++

=++

2

2

0)h Ka1 x h Ka2 x (Ka1

Ka2 x Ka1 x Mx 2)h Ka1 x h Ka2 x (Ka1

Ka1 x Mx hM)(Lk

hKw

h

kh

KwhKa1 x h Ka2 x (Ka1

Ka2 x Ka1 x Mx 2)h Ka1 x h Ka2 x (Ka1

Ka1 x Mx hM)(Lh (4)

kh

Kw2d

Ka2d x h

M)(L h (4)

22

22

=++

−++

−++−−

++++

+++

=++

+++=++

)

143

0h Ka1 x h Ka2 x Ka1

Ka2 x Ka1 x Mx 2Ka1 x Mx hM)(Lkh

Kwh (4) =

+++−++−−

2

( ) 0h Ka1 x h Ka2 x Ka1

Ka2 x 2 hKa1 x MM)(Lkh

Kwh (4) =

+++−++−−

2

0h Ka1 x h Ka2 x Ka1

Ka2 x Ka1 x M2Ka2

hM)(Lkh

Kwh (4) =

++

+−++−−

2

A continuación se muestra la ecuación final obtenida como modelo

matemático del proceso químico de Neutralización ácido-base:

0M)(L kh

Kw hh Ka1 x h Ka2 x Ka1

Ka2 x Ka1 x M2Ka2

h =+−++−

++

+

2

En función de ésta ecuación se definió el proceso de Neutralización

ácido-base, con el cual se realizaron numerosos programas donde fueron

establecidos los parámetros que describieron al proceso. Por ello, para esta

fase (1) inciso (a) fueron planteados cuatro (4) programas con pruebas

distintas.

A continuación se describen El programa (1) el cual, estuvo

estructurado con tres (3) concentraciones de flujo de entrada para los

compuestos del ácido Nítrico-HNO3, Hidróxido de Sodio-NaOH y Bicarbonato

de Sodio-NaHCO3, respectivamente, bajo las variables de entrada X, Y y Z

de forma sucesiva, asignándole un valor de 0.1 debido a la condición teórica

de cero (0) Molar.

En tal sentido, éstas concentraciones son tres (3) flujos distintos que

entran independientes a un tanque reactor, con lo cual se estableció una

144

variable Qt que indicó la sumatoria de éstos, determinando a (u) ácido

Nítrico, (t) Hidróxido de Sodio , y (j) Bicarbonato de Sodio.

Para esta prueba, (u) y (j) se especificaron con un valor de 1

constante, mientras que (t) más bajo a un valor de 0.5 constante. Por ello,

estos flujos no variaron dentro del proceso. Luego, entraron en consideración

las variables, Kw (constante de disociación del agua H2O, con valor nominal

de 1x10-14 a 25ºC de temperatura ambiente), Ka1 (constante de equilibrio de

la primera disociación del ácido carbónico H2CO3, con valor de 42x10-8 a

25ºC de temperatura ambiente), Ka2 (constante de la segunda disociación

del Bicarbonato HCO3, con valor nominal de 48x10-12 a 25ºC de temperatura

ambiente).

A tal efecto, el valor del pH indicó el rango de valores de la escala de

0 a 14 en la salida del modelo dinámico, en donde característicamente el pH

para un valor de 0 muestra una concentración de H+ (Hidrógeno) igual a 1 y

cuando adquiere un valor de 1, la concentración de OH – (Hidróxido) es igua l

a 1.

De manera que el conjunto global del proceso está formado por un

sistema de tres (3) entradas y una salida. Asimismo, cada uno de éstos flujos

posee una concentración inicial al instante de producirse la combinación,

definida por K, L, M .

El programa (1), calcula todas las variables expuestas, las sustituye en

la ecuación de Neutralización ácido-base y las grafica para obtener la curva

145

de reacción de Neutralización. A continuación se muestra el algoritmo de

dicho programa:

Algoritmo del programa (1)

Dados X, Y, Z y los flujos u, j, t. Calcular las invariantes de reacción K, L, M y graficar la función (y) contra pH. El valor correcto de pH, corresponde a y=0.

En tal sentido, la gráfica y una sección final de 10 filas de valores de

(y) calculados por el programa son mostrados en los Anexos 1 y 2. Se indica

ahora la conclusión :

El programa tuvo como objetivo determinar el pH a partir de los flujos

de ácido Nítrico, Hidróxido de Sodio, Bicarbonato de Sodio colocando los

flujos de entrada cons tantes para calcular las concentraciones iniciales que

determinaron el pH de la mezcla, de acuerdo con la ecuación y=0. En este

sentido, el punto de cruce de la función (y) con el eje (x) indicó el pH de la

mezcla. De manera, que la gráfica mostró la variación con el pH y en donde

existió un sólo corte que significó que la ecuación tiene única solución.

Asimismo, (y) varió alcanzando un valor máximo de 1.06.

El programa (2), estuvo estructurado con tres (3) concentraciones de

flujo de entrada para los compuestos del ácido Nítrico-HNO3, Hidróxido de

Sodio-NaOH y Bicarbonato de Sodio-NaHCO3, de igual manera que en el

programa anterior, con las variables de entrada X, Y y Z de forma sucesiva,

donde se estableció un valor de 0.1 debido a la condición teórica de cero (0)

Molar.

146

Presentó, concentraciones para tres (3) flujos distintos que entran

independientes a un tanque reactor, con lo cual se estableció una variable Qt

que indicó la sumatoria de éstos, determinando a (u) ácido Nítrico, (t)

Hidróxido de Sodio y (j) Bicarbonato de Sodio.

Para esta prueba, (u) se mantuvo constante, (t) y (j) variable, esto fue

producto, de inquietud del investigador en aplicar un método matemático

que se aproximara paramétricamente a través de un algoritmo que cambiara

la respuesta del sistema. Asimismo, para establecer el programa distinto al

anterior, se creó el estructuramiento de un pequeño ciclo for ejecutable

siguiendo una secuencia lógica, en donde se adoptó la variable (s) para un

recorrido numérico en el orden desde 1 hasta 101. Además, la función inline

tuvo como objetivo capturar la función dentro del programa.

En este orden de ideas, la primera entrada (u) ácido Nítrico, se

consideró constante a un valor de 0.5, luego los flujos (t) y (j) se

consideraron iguales en el sentido de variación y cantidad, por ser

dependientes de la ecuación que determinó el ciclo de cambio de la variable.

Por lo tanto, estos flujos variaron dentro del proceso. Después,

entraron en consideración las variables, Kw, Ka1, Ka2 y el valor del pH que

indicó el rango de valores de la escala de 0 a 14 en la salida del modelo

dinámico. Asimismo, los flujos tuvieron la misma concentración inicial que el

programa anterior, definido por K, L, M. Además, se procedió a utilizar el

método de la secante, estableciendo los límites mínimos y máximos del pH a

147

través de las variables x1 y x2. En tal sentido, las dos (2) funciones bases

para cada uno de estos límites, fue de la siguiente forma:

yf =1 ,1(x ,1Ka ,2Ka ,Kw ,K ,L )M

yf =2 ,2( x ,1Ka ,2Ka ,Kw ,K ,L )M

De manera, que consecutivamente se aplicó la ecuación del método

de la secante que relacionó a los dos (2) límites de pH y las dos (2)

funciones anteriores, expresadas así:

21)21(*223

ffxxfxx

−−−=

esta ecuación se utilizó para determinar una función (f3) que relacionó la

variable calculada x3 dentro de la serie de parámetros antes mencionados.

Finalmente, el lazo o ciclo concluyó con el cálculo de la variable pH a través

de x3. En este sentido, el algoritmo es el siguiente:

Algoritmo del programa (2) con el método de la Secante.

100 1)/(n t

101 TO n for−=

= 1

Dados X, Y, Z y los flujos u, j, t. Calcular las invariantes de reacción K, L, M

)(2)(1

2

1

211

xyfxyf

ini xx ; ini xx 2

==

==

33

3

2123

)(3

)21/()(*2

xoldx

xyf

ffxxfxx

=

=

−−−=

148

DO ENDIF END

EXIT THEN imax iter OR 0f3 IF

y(xf3 ffxxfxx

y(xf2 y(xf1

x x ; xx DO

3

3

2

1

321

≥=

=−−−=

==

==

))21/()(*2

))

212

2

n NEXT

La gráfica y la sección final de 15 filas de valores de K, L, y M

calculados por el programa son mostrados en los Anexos 3 y 4. La

conclusión es la siguiente:

Los resultados obtenidos para ésta lógica de programación, arro jaron

datos poco satisfactorios, debido a que el método de la secante no converge

en la primera parte de la curva, reflejando una ruptura en la continuidad. En

este sentido, los datos para la concentración inicial del ácido Nítrico (K)

disminuyeron en fo rma gradual a medida que el ciclo avanzaba pudiéndose

capturar la muestra final de los últimos 15 valores hasta llegar a un (K) final

de 0.02 . Además, se notó que las concentraciones iniciales del Hidróxido de

Sodio (L) y el Bicarbonato de Sodio (M) mostraron variaciones en los valores

llegando a 0.04.

149

En este sentido, luego de haber planteado estos dos (2) programas el

investigador asumió realizar una prueba con un programa (3) el cual,

contiene un ciclo for más extenso, en donde se planteó variar el flujo del

ácido Nítrico (u) y mantener constante los flujos del Hidróxido de Sodio (t) y

el Bicarbonato de Sodio (j). Además, se utilizaron aproximaciones

consecutivas, para cada una de las concentraciones iniciales agregándose a

éste programa la variable F (exceso de ácido Nítrico), H (concentración del

ión hidrógeno), Kh2 (constante de Hidrólisis), BI (exceso de Bicarbonato), W

(exceso de Hidróxido), WOW (variable que determina el valor de pH), y OH

(concentración de Hidróxido).

El ciclo for fue establecido con un rango i desde 1 hasta 10000, el

cual osciló para la variable (u) flujo de ácido Nítrico, adquiriendo valores de

0.001 hasta 1 y de 1 hasta el límite máximo de 10. En este sentido, se

evidenció valores bajos, debido a que la muestra, fue considerada por el

investigador como prueba corta para asumir resultados directos, para

posteriores pruebas más extensas.

Luego, se iniciaron una serie de nueve (9) condiciones if (variable de

un ciclo for ) que reflejan el planteamiento de las aproximaciones químicas.

En este orden de ideas, el primer if condiciona a la concentración inicial del

ácido Nítrico K mayor que la concentración inicial del Hidróxido de Sodio L ,

suponiéndose ser cierta para originar un exceso de ácido Nítrico F.

Sucesivamente, éste exceso fue condicionado mayor que la concentración

150

inicial del Bicarbonato de Sodio M en donde, si continuaba el exceso, se

calculaba la concentración del ión Hidrógeno H.

Progresivamente, se calculó el pH a través de H. Luego, asumiendo la

condición contraria F<M se calculó BI (exceso de Bicarbonato de Sodio).

Además, se describió para este lazo el cálculo de H, el cual químicamente es

obtenido con exceso de Bicarbonato con la ecuación

H=sqrt((Ka1*Ka2+Ka1*Ka2+BI)/(Ka1+BI)). Seguidamente, el pH en función

de H por cada variación de (i).

Durante la secuencia de la lógica del programa, se continuó

condicionando a F=M para asumir el pH un valor de 7 y calcularlo para cada

iteración de (i). Asimismo, se condicionó a K=L lo cual de producirse,

entonces ocasionó que BI=M para después calcular nuevamente a H y pH.

En ciertas circunstancias, si la concentración inicial de ácido Nítrico K fue

igual a la concentración inicial del Hidróxido de Sodio L , se aproximó que a

nivel químico el exceso de Bicarbonato de Sodio BI fue aproximadamente

igual a la concentración inicial del Bicarbonato de Sodio M .

En las otras condiciones, se adoptó a K<L en donde se produjo, que

de ser ésta condición válida sería calculado teóricamente el exceso de

Hidróxido W . Ahora, si este exceso W era mayor que M era viable calcular la

concentración de Hidróxido, para después encontrar el valor de pH a través

de la diferencia del límite máximo de 14 – log10(OH) calculando cada pH por

cada iteración.

151

Se ubica después, una nueva condición if donde W<M calculándose

BI, en la cual la concentración inicial del Bicarbonato de Sodio es mayor que

el exceso de Hidróxido, donde también fue posible colocar una línea de

cálculo para obtener el valor de la concentración del ión Hidrógeno a través

del producto de la segunda disociación del ácido carbónico Ka2 y el cociente

de BI con W seguido en líneas posteriores del cálculo de pH por cada

iteración.

Por último, se igualó W=M calculándose el Hidróxido OH=-

Kh2+sqrt(Kh2^2+4*W*Kh2))/2, en donde Kh2 es la constante de Hidrólisis

que es calculado en función de W. Asimismo, pH se obtuvo en base al valor

OH por cada iteración. A continuación se muestra el algoritmo del programa

(3):

Algoritmo del programa (3) con la aplicación de Aproximaciones

consecutivas.

/1000 n u

10000 TO n for== 1

Dados X, Y, Z y los flujos u, j, t. Calcular las invariantes de reacción K, L, M.

IF ENDlog(H)pH

MFH MF IF

LKF

L K IF

−=

−=>

−=

>

152

IF END log(H)pH

BIka1BI*Ka2*Ka1Ka2*Ka1

H

FMBI MF IF

−=+

+=

−=<

IF END log(H)pH

BIka1BI*Ka2*Ka1Ka2*Ka1

H

MBI LK IF

IF ENDIF END

7pH MF IF

−=+

+=

==

==

IF END log(OH))(14pH

MWOH MW IF

K L W

L K IF

−−=

−=>

−=

<

22**4 khW(kh2)Kh2

OH

MW IFIF END

log(H)pH W

BI* Ka2H

W MBI MW IF

2 ++−=

=

−=

=

−=<

))log((14 OHpH −−=

153

IF ENDIF END

IF END

En tal sentido, la gráfica y la sección final de 15 filas de valores de H

(concentración ión Hidrógeno para W>M ) calculados por el programa, son

mostrados en los Anexos 5 y 6. A continuación la conclusión es la siguiente:

Se aplicó una series de funciones aproximadas para encontrar el pH

en donde se obtuvo una variación abrupta presentando dos (2) rupturas en

pH= 7.7 aproximadamente, para las primeras tres (3) condiciones if y en

pH=2.8 para los tres (3) if siguientes y finalmente se estabilizó en 1 cuando

alcanzó la iteración mayor de 10000. Asimismo, los 15 últimos valores de H

ascienden hasta ubicarse en un valor máximo de 4.7952e-008.

(b) Aplicación del método de Bisección para resolver las ecuaciones

del modelo.

En el transcurso de las pruebas realizadas se comprobó que ninguno

de los métodos y procedimientos arrojaban resultados óptimos que

mostraran una curva o representación gráfica más asociada al proceso de

Neutralización ácido-base. En tal sentido, se procedió a estructurar un

programa con un método matemático que se aproximara más a los valores

no-lineales del sistema. Dicho programa, se especificó como programa (4).

En este orden de ideas, en la estructura del programa se realizaron

cambios significativos, en primer lugar con el del ciclo for para la variable (s)

desde uno (1) hasta (101) , tomando en cuenta previamente que los flujos

154

de entrada Hidróxido de Sodio (t) y Bicarbonato de Sodio (j) fueron

constantes con la condición de asumirlos iguales en el ritmo de variación. En

este sentido, j = t para luego colocar el flujo total Qt =u+j+j y dentro del ciclo

for el valor de j.

Asimismo, se colocó un orden lógico de cálculo para obtener los

valores de cada una de las concentraciones iniciales en función de (u) valor

constante y (j) valor variable dependiente de (s) . Por ello, se procedió a

ejecutar el método de bisección aplicado a esta lógica de programación,

asignando en primer término los valores extremos de pH con las variables

x1=0 y x2=14 describiendo simultáneamente una función f1 dependiente del

valor menor límite de pH y f2 dependiente de x2, lo cual tiene similitud con el

programa del método de la secante en la forma de colocar cada función f1 y

f2 dependientes de las variables del proceso de Neutralización.

Con el método de Bisección, fue importante generar otro ciclo for con

la variable (n) desde 1 hasta 16 donde fue creada ésta secuencia de manera

que al proceso de cálculo del método se le asignó x3=(x1+x2)/2 para crear

una función f3 que indicara el método y el ciclo de 16 pasos fue establecido

de esa manera para disminuir el intervalo calculado de la siguiente forma:

(Lím(máx de pH) – Lím(mín de pH))/216 de forma que al realizar el ciclo 16

veces se garantizó el cálculo del pH con buena precisión. Además, culminó

el ciclo con f3=0 y se creó una validación de signos para los productos f3*f2 y

f3*f1 para finalmente depender del valor de pH con el método aplicado de la

variable x3. A continuación se muestra el Algoritmo del programa (4):

155

Algoritmo del programa (4) con el método de bisección.

1)/100(nt

101 TO n for−=

= 1

Dados X, Y, Z y los flujos u, j, t. Calcular las invariantes de reacción K, L, M.

nmax TO n forxyf

y(xf1ini xx ; ini xx

1

2

1)(2

)

2

211

==

===

IF ENDEXIT

THEN 0f3 IFxyf

xxx

==

+=

)(32

)(

3

213

IF END

IF END f3f2 ; xx

THEN (f1) signo signo(f3)IFIF END

f3f1 ; xx THEN signo(f2)(f3) signoIF

2

1

==

≠

==≠

3

3

La gráfica y la sección final de 10 filas de valores de f3 (solución del

método de bisección) calculados por el programa, son mostrados en los

Anexos 7 y 8. Seguidamente la conclusión es la siguiente:

Con el método de bisección se encontró la solución de y=0 para una

terna de valores de K, L y M donde se partió de los extremos pH =0 y 14,

reflejando la función (y) signos opuestos, dividiendo el intervalo a la mitad y

encontrando el valor de la función en el punto medio de f3. En este sentido,

fue representada la variación de pH al variar el flujo de la forma indicada por

156

(y) . Asimismo, se observó que se agregó base (cantidad creciente de base)

produciendo un aumento de pH neutralizando progresivamente el ácido

fuerte, ácido carbónico y el bicarbonato. Además, cada uno de los puntos

representa un cero (0) de la función para el bicarbonato, ácido carbónico y

ácido fuerte.

Fase 2.

(a) Análisis comparación y selección de los tipos de red neuronal

disponible.

Existen distintos tipos de red neuronal que describen funciones

determinadas para optimizar y simular datos históricos o creados por el

investigador, relacionados a modelos de sistemas o procesos en la industria

química. En tal sentido, se mencionan a continuación los tipos de red

neuronal:

(1) Red neuronal de tipo Perceptron.( Función percept ).

(2) Red neuronal para filtro Lineal. ( Función linnet ).

(3) Red neuronal tipo Retropropagación. (Función backprop ).

(4) Red neuronal para sistemas de control.(Función Narma-LA ).

(5) Red neuronal tipo función de base radial (Función radbasis).

(6) Red neuronal de tipo funciones de Cuantización del vector

aprendizaje y autoorganización. (Función lvq).

(7) Red neuronales de tipo recurrentes.

(a) Redes neurales Elman (Función elman).

157

(b) Redes neurales Hopfield (Función hopfield) .

Luego de haber mencionado los distintos tipos de red se analizó y

comparó cada una con respecto a la investigación. Asimismo, se seleccionó

la red neuronal que optimizó al modelo matemático de Neutralización ácido-

base de la siguiente forma:

(1) Red neuronal de tipo Perceptron.( Función percept ).

Es una red neural que se utiliza como clasificador. Éstas pueden

clasificar vectores de entrada linealmente separables eficazmente. En este

sentido, la convergencia es garantizada en un número finito de pasos que la

red Perceptron provee para resolver el problema. A tal efecto, en la

investigación el modelo utilizado no requiere éste tipo de red debido a que la

función requerida para optimizar los datos del modelo en estudio no se

identifica para clasificar vectores de entrada.

(2) Red neuronal para filtro Lineal. ( Función linnet ).

Las redes lineales de capa sencilla pueden ser diseñadas

directamente o entrenadas con la norma Widrow-Hoff para encontrar un error

mínimo en la solución. Además, éstas redes son entrenadas adaptivamente

permitiendo a la red localizar cambios en el sistema utilizado. Asimismo, en

la investigación esta red no es aplicada debido a que el tipo de aprendizaje

no puede representarse exactamente para relaciones no -lineales entre las

entradas y objetivos.

158

(3) Red neuronal tipo Retropropagación. (Función backprop ).

El entrenamiento para retropropagación puede realizarse con redes

feed-forward (Alimentadas hacia delante) multicapa y funciones de

transferencia diferenciable para desarrollar la función de aproximación,

asociación de patrones y clasificaciones de patrones. En este sentido, el

término retropropagación está referido al proceso en el cual las derivadas del

error de la red, con respecto a la red de pesos y biases, puedan ser

calculadas. Además, este proceso puede usarse con un número diferente de

estrategias de optimización.

En este orden de ideas, en la investigación este tipo de red neural

está acorde con el modelo utilizado, debido a que el proceso es netamente

no-lineal y se desarrolló en función del tipo de alimentación hacia delante con

el comando (newff) que contiene rango de entrada, número de capas, tipo de

funciones y velocidad de entrenamiento. Además, la red de retropropagación

luego de haberle realizado una prueba previa, el investigador comprobó la

versatilidad de ésta para el proceso investigado y la postuló para

seleccionarla.

(4) Red neuronal para sistemas de control.(Función Narma-L2 ).

El control de red neural predictivo utiliza un modelo de planta con la

misma red para predecir el comportamiento de la planta. En tal sentido, un

algoritmo de optimización determina la entrada de control que se debe

optimizar en el funcionamiento de la planta sobre un horizonte finito de

tiempo.

159

Existe también dentro de los sistemas de control, la red neural de

control NARMA-L2 y la red neural del control de modelo referencial, en el

cual el control NARMA-L2 calcula la entrada del control para forzar la salida

de la planta a seguir una señal de referencia. Además, el modelo de planta

de red neural es entrenado con retropropagación estática, el cual es

razonablemente rápido.

Asimismo, para el caso del control por modelo de referencia un

controlador de red neural es entrenada para forzar la salida de la planta a

continuar la salida del modelo referencial. La arquitectura de este tipo de

control requiere la aplicación de retropropagación dinámica para el

entrenamiento del controlador. En la investigación, el sistema planteado está

compuesto de tres (3) entradas y una salida, por lo cual se aplica una red

neural netamente para entrenamiento estático con características no -

lineales.

(5) Red Neuronal tipo función de base radial. ( Función radbasis).

Las redes de base radial pueden ser diseñadas rápidamente en dos

(2) formas diferentes. El primer método de diseño, es la función newrbe, la

cual encuentra una solución exacta. Dicha función crea redes de base radial

con cualquier cantidad de neuronas de base radial, así como vectores de

entrada en los datos de entrenamiento.

El segundo método, newrb, encuentra una red pequeña que puede

resolver el problema sin tener una meta de error dada. Típicamente, lo

160

opuesto a pocas neuronas es requerida por la función newrb que devuelve

un comportamiento parecido al de la función newrbe.

Este tipo de red neural a pesar de poder ser aplicada a sistemas

altamente complejos como el tratado en la investigación, no optó como red

aplicable debido a que tiene como condición que el número de

neuronas de base radial sea proporcional al tamaño

del espacio de entrada.

(6) Red neuronal de tipo de funciones de cuantización del vector de

aprendizaje y autoorganización. (Función lvq).

Las redes de clasificación de cuantización del vector de aprendizaje

clasifican los vectores de entrada en clases de objetivos usando una capa

competitiva para encontrar subclases de dos (2) vectores de entrada, y

entonces combinar estos en clases de objetivos.

Asimismo, el mapeo de aprendizaje de autoorganización para

categorizar vectores de entrada, es también un aprendizaje de distribución

de vectores de entrada. Además, la característica de mapeo es colocar más

neuronas, reconocer partes del espacio de entrada donde cualquier vector de

entrada aparece y asignar pocas neuronas para partes del espacio de

entrada donde fueron distribuidos pocos vectores de entrada.

Ambos tipos de redes cumplen la función de clasificar, lo cual no es el

objetivo para la investigación, por lo tanto los datos mostrados en la misma,

indican que la red neural aplicada asumirá una matriz de 1001 filas por

cuatro (4) columnas.

161

(7) Redes neuronales de tipo recurrentes clasificadas en redes Elman

y redes Hopfield. (Funcion elman y hopfield).

Las redes Elman, tienen un lazo interno de retroalimentación, donde

son capaces de aprender a detectar y generar patrones temporales. Estas

redes son utilizadas en el procesamiento de señales y predicción donde

juegan un papel dominante. Asimismo, estas redes entran en la capacidad

de cualquier función de entrada/salida con un número finito de

discontinuidades. Además, requieren de muchas neuronas en la capa

recurrente para una función compleja.

Las redes Hopfield actúan como corrección de error o un vector de red

de categorización. En este sentido, los vectores de entrada son usados como

condiciones iniciales para la red, que actualiza repetidamente hasta localizar

un vector de salida estable. Por tal razón, las características mostradas de

ambos tienen un campo finito de aplicación, en comparación del

requerimiento del proceso en estudio. Es decir, son redes que abarcan un

campo específico y no se asumen como herramienta en la investigación.

En estos análisis, se muestran brevemente las características

funcionales básicas de cada red neural. Asimismo, el investigador comparó y

seleccionó la red neural del tipo retropropagación, en la cual como se

observará más adelante se estructuró inicialmente con una red feed forward

(newff) , aprendizaje de regularización bayesiana (trainbr) y una función de

evaluación postentrenamiento (postreg) la cual mostró una validación

determinada del resultado del entrenamiento.

162

En este sentido, se tomaron a consideración distintas pruebas en las

cuales fueron distribuidas teóricamente las funciones de transferencia

sigmoidales, tansig, logsig y una lineal denominada purelin. En la cual, las

dos (2) primeras son funciones no-lineales.

Con la aplicación, de la red de alimentación hacia delante (newff), se

observó estar formada en la línea de comando Matlab versión 5.3, por el

rango de las entradas, número de capas con la cantidad de neuronas

respectivas en cada capa, funciones de transferencia por cada capa y el tipo

de entrenamiento. Además, en la retropropagación se trabajó en el tipo de

entrenamiento en el modo Batch donde los pesos y bias de la red fueron

actualizados después del entrenamiento (trainbr) aplicado a la red. También

utilizó la función sim que simula la red.

En este orden de ideas, ésta red tuvo distintos parámetros de

entrenamiento tales como:

; aram.lrnet.trainP; aram.shownet.trainP

; saram.epochnet.trainP

==

=

los cuales, quedaron ajustados automáticamente por defecto cuando se

aplicó la red (newff), pero se realizaron algunas modificaciones y se recurrió

a los parámetros antes mencionados. Luego, se observó distintos tipos de

entrenamiento en los que destacó la rapidez, cualidad importante al

momento de ejecutar un programa. En tal sentido, destacan los

163

entrenamientos traingd, traingdm, traingdx, traingx, trainlm y trainbr.

Seleccionándose trainbr por la exactitud y capacidad de respuesta.

(b) Pruebas preliminares de la red seleccionada para acoplarlas al

sistema.

Para la configuración de un entrenamiento de prueba previo, luego de

haber analizado, comparado y seleccionado las propiedades y características

de las redes neurales se realizó un análisis exhaustivo de la forma lógica de

programar la red neural basada en el tipo retropropagación.

En este sentido, se elaboraron dos (2) programas con los

entrenamientos traingd y trainlm con una red neural feed forward (newff) y

distintos parámetros de entrenamiento. A continuación se muestra el

procedimiento de estructuración de ambos programas, la conclusión de las

gráficas y entrenamientos. Asimismo, las gráficas son colocadas en los

anexos 9 y 10.

El primer programa de prueba realizado para esta fase llevó por

nombre (5), el cual estuvo constituido por una entrada asignada con la línea

de control net.numInputs=1; indicando una entrada, luego el número de

capas estuvo enmarcada por la orden net.numLayers=2; reflejando dos (2)

capas, seguidamente el lugar del conectado de las bias se designó por la

orden net.biasConnect(1)=1; en donde el número entre paréntesis señala la

capa en la cual será conectada la bia y el uno (1) después de la igualdad

indica afirmación de la conexión.

164

En este sentido, la línea que siguió fue net.biasConnect(2)=1;

indicando conexión de la bia en la segunda capa. Asimismo, se determinó la

conexión de la entrada con la capa, establecida por net.inputConnect(1,1)=1;

donde la capa uno (1) (número izquierdo del paréntesis) indica que la capa

está conectada con la entrada uno (1) (número derecho del paréntesis) y el

uno (1) después de la igualdad señala la confirmación de la conexión.

Además, se observa la forma de conexión de las capas a través de la

expresión net.layerConnect(2,1)=1; en la cual el número dos (2) (lado

izquierdo del paréntesis) indica que la capa dos (2) está conectada a la capa

número uno (1) (lado derecho del paréntesis) y el uno (1) después de la

igualdad indica que la conexión se realiza de esa forma.

Luego, fue definida la ubicación de la salida a través de la orden

net.outputConnect=[0 1]; la cual señala en los corchetes que el número cero

(0) del lado izquierdo es la capa dos (2), por lo que es cero (0) debido a que

la salida no está ubicada en esa capa. En tal sentido, el valor uno (1)

muestra que la salida está en la capa dos (2). La letra (p) son los valores de

la entrada, mientras que (t) son los objetivos al cual la entrada tiene que

ajustarse.

El comando plot que se utilizó en Matlab para este programa fue

utilizado para describir la entrada (p) y los objetivos (t) con la descripción en

guión (-). Después, se detalló a la red igual a newff (alimentación hacia

delante) la cual contiene en primer lugar entre corchetes; el rango de la

entrada y el número de neuronas por capas. La función sigmoidal tansig-

165

purelin y el entrenamiento traingd. Además, luego se simuló la red y los

valores de las entradas de esta forma: y=sim(net,p). Dibujándose con el

comando plot los valores p,t y y.

En este orden de ideas, los parámetros de entrenamiento fuero n

establecidos como net.trainParam.epochs=500; (número de repeticiones del

entrenamiento), net.trainParam.goal=0.01; (ajuste del error),

net.trainParam.show=50; (espacio entre muestras de entrenamiento),

net.trainParam.lr=0.05; (grado de aprendizaje) y finalizando el entrenamiento

con la orden [net, tr]=train(net,p,t) (indica la red con el registro de

entrenamiento y después de la igualdad el entrenamiento para la misma red,

las entradas con los objetivos).

Así mismo, se simuló una nueva (y1) con la línea de comando

y1=sim(net, p) (simulación de la red y las entradas), también para obtener la

gráfica final de las entradas en función de los objetivos y las dos (2) variables

salida (y) y (y1), en donde (y) es la variable que representa la simulación

antes del entrenamiento de la red y (y1) representó la simulación después

del entrenamiento desplegada gráficamente a través del comando plot que

contiene a cada una de estas funciones. A continuación se muestra la

conclusión :

La representación observada de la gráfica generada por el programa

(5) muestra que la red neural entrenada con la función traingd

(retropropagación de Gradiente descendiente) actualiza los valores de los

pesos y bias según el gradiente descendiente, es por ello, que la

166

aproximación que realiza la red utilizando en la línea de comando newff

cuatro (4) y uno (1) neuronas produce una respuesta óptima del arreglo

creado. En tal sentido, el espacio de entrenamiento de 50 y el número de

entrenamientos permite que la aproximación de los puntos tenga un margen

de error pequeño.

Los resultados en la pantalla de orden de Matlab, indican para la

variable (y) de salida del entrenamiento con traingd valores fluctuantes

aproximados a cada objetivo, donde alcanzó un valor menor máximo de –

0.8694 y un valor máximo de 2.9763 sin los ajustes de entrenamiento a la

red. Además, para la salida (y1) con ajustes del entrenamiento se percibe

que la red mejora la salida a valores mayores y más constantes positivos

eliminando el carácter aleatorio y colocando la red con valores de entrada (p)

cercano a los objetivos (t) ordenándolos desde –1.9094 hasta 6.9666.

En tal sentido, el primer periodo de entrenamiento 0/500, mostró la

característica del error cuadrado medio que la red tomó por defecto

reflejando un valor de 12.1667/0.01 y una gradiente de 10.5106/1e-010, por

lo cual para el último periodo 252/500, el error cuadrado medio disminuyó

hasta 0.00998439/0.01 con un gradiente de 0.029677/1e-010.

El segundo programa de prueba de esta fase llevó por nombre (6), el

cual tuvo como única diferencia una entrada (p) de un rango un poco más

amplio al igual que los objetivos y utilizó el tipo de entrenamiento trainlm

(retropropagación de Levenberg-Marquardt) con 200 periodos de

entrenamiento.

167

La representación gráfica generada por el programa (6) muestra que

la red neural entrenada con la función trainlm (retropropagación de

Levenberg-Marquartd) actualiza los valores de los pesos y bias según la

optimización Levenbert-Marquartd), por lo cual, la aproximación que reali za la

red produce una respuesta lineal.

Los resultados en la pantalla de orden de Matlab, indican para la

variable (y) de salida antes de los ajustes de entrenamiento con trainlm

valores aproximados a los objetivos ascendentes por cada período, donde

alcanzó un valor menor máximo de 0.2827 y un valor máximo de 2.2412

luego desciende hasta llegar a –0.2650, lo cual cumple con los objetivos (t)

fundamentales.

Además, para la salida (y1) del entrenamiento se percibe que la red

mejora la salida a valores mayores y más constantes positivos eliminando el

carácter aleatorio y colocando la red los valores de entrada (p) dentro de los

valores objetivos (t) ordenándolos desde –9.9025 hasta 9.9303. Asimismo, la

red mostró para el primer entrenamiento 0/200 un error cuadrado medio de

40.7695/0.01 y un gradiente descendiente de 320.957/1e-010, alcanzando

para el último entrenamiento 8/200, una disminución del error cuadrado

medio de 0.00125921/0.01 y un gradiente descendiente de 13.0706/1e-010.

Es evidente, que el entrenamiento trainlm fue más óptimo que el

entrenamiento traingd llevando el error cuadrado medio a un valor menor.

168

Fase 3. (a) Aplicación de una función generatriz aleatoria para entrenamiento

de la red neural a través de Matlab.

Para desarrollar la función generatriz aleatoria se consideró el

programa (7), el cual tuvo un ordenamiento similar al programa (4),

presentado anteriormente de acuerdo al método de bisección y las fórmulas

para calcular las concentraciones iniciales con el respectivo lazo de iteración.

En tal sentido, la reforma realizada al programa contiene una función

que crea una matriz aleatoria de 1001 filas de entrada de los componentes

de ácido Nítrico (k), Hidróxido de Sodio (L) y Bicarbonato de Sodio (M)

multiplicada por nueve (9) y sumada más uno (1), lo cual genera valores

aleatorios entre 1 y 10.

Cuando se estableció el ciclo for, la iteración se colocó desde 1 hasta

1001 colocando a cada uno de los flujos de entrada dependientes de la

matriz A al mismo ciclo de iteración (i) llegando a calcular un valor K, L, M por

cada fila. Asimismo, se aplicó el método de bisección para calcular el pH

dependiente de las iteraciones i e igualado a X3 del método. Luego, fuera del

ciclo la matriz A representa de acuerdo al pH una cuarta columna contenida

con la misma iteración aleatoria que i. Finalmente, ésta matriz aleatoria A es

salvada y guardada bajo el nombre pH000000 con formato –ASCII.

La gráfica resultante de este programa simplemente genera una serie

de puntos aleatorios que no sobrepasan 1001, cumpliendo este programa

169

con la función principal de cargar esta serie de valores aleatorios como

pH000000 y mostrar los valores de K, L y M . Ver anexos 11 y 12.

Fase 4.

(a) Ajuste del número de neuronas por capas para optimizar la red

neural.

Luego de haber creado la matriz o función generatriz aleatoria se

procedió a iniciar una serie de cinco (5) programas constituidos como (8), (9),

(10), (11) y (12). En tal sentido, se creó antes de configurar estos programas

un programa de Recuperación, con el objeto de configurar un programa para

devolver la misma data de pH000000 conformado por la variable function con

respecto a las entradas (p) y objetivos (t) con el nombre del archivo de la

siguiente forma:

Function [p,t] = Recuperación

En este sentido, se escribió una instrucción donde se ordena cargar la

matriz pH000000 como variable A en el archivo del function. Además,

seguidamente se estableció un recorrido de las columnas de la matriz A para

reflejar valores de las filas para la variable de entrada (p) y para los objetivos

(t) se designó una cuarta columna para el pH con todas las filas de A de la

siguiente manera:

A=load(‘pH000000’) p=A(:,1:3); t=A(:,A);

170

Las dos (2) líneas finales del archivo contienen la transpuesta de (p) y de (t)

para que la lectura de las 1001 filas se realizara completa.

Este programa recupera los datos, los flujos de entrada y del pH

grabados en la matriz pH000000, convirtiéndolos en las matrices con datos

de entrenamiento y objetivo para la red neuronal en donde la matriz original

tuvo los datos en fila; tres (3) flujos y un pH. Asimismo, la red neuronal recibe

los datos en columna de la matriz, tomándolos para procesarlos.

El programa establecido con el nombre de Recuperación fue utilizado

para grabar la matriz aleatoria pH000000 con lo cual se unió a un programa

de prueba (8). En tal sentido, el investigador consideró conformar en éste

archivo una prueba de entrenamiento que tuvo como líneas principales las

variables de entrada (p) y objetivos (t) para separar dentro de la red una

sección de 801 valores aleatorios originando en la red una función de

correlación de datos y los otros 200 valores restantes colocarlos como una

función de valoración .

Por lo tanto, la prueba realizada conservó algunos parámetros de

pruebas anteriores y otros tuvieron variaciones. Asimismo, las primeras tres

(3) líneas estuvieron establecidas por [p0, t0]= Recuperación; la cual fue una

orden que capturó la matriz pH000000. Seguidamente la variable (p) de

entrada fue colocada con la línea p=p0(:,1:801); para crear en función de (p0)

los primeros 801 valores de entrada para los tres (3) flujos de las

concentraciones K, L, M del sistema y los valores de los objetivos (t) se

171

ubicaron en función de la variable (t0) de la forma t=t0(:,1:801); en donde

cada una de las variables (p) y (t) toma todos los valores en fila de los flujos.

Además, otras de la variaciones importantes que tuvo el programa

fueron el rango, el número de neuronas, la función de transferencia, los

periodos de entrenamiento y la consolidación de las figuras para describir la

correlación y validación. Descriptivamente, la forma de orden del rango

quedó asignada como net.inputs{1}.range=[1 10; 1 10;1 10]; lo que precisa

que la red habilitó únicamente una entrada con tres (3) rangos para los

distintos flujos, en donde ésta entrada recibe toda la matriz pH000000 .

El número de neuronas fue indicado dentro la red newff

(retroalimentación hacia delante) como [6,1] utilizando seis (6) neuronas para

la capa uno (1) y una para la capa dos (2) en forma de ensayo. En tal

sentido, se realizó un cambio de función de transferencia de tansig a logsig

ambas sigmoidales (no-lineales) con el entrenamiento trainlm (

retropropagación de Levenberg-Marquartd). Además, el número de

entrenamientos fue de 100 para obtener un resultado breve.

Las líneas figure (‘Name’, ‘Correlación’) y figure (‘Name’, ‘Validación’)

desplegará en forma separada los 801 valores de la correlación y validación

realizada por la red. Los 200 valores de validación se estructuraron para las

entradas (p1) y los objetivos (t1) por p1=p0(:,802: 1001); y t1=t0(:,802:1001);

permitiendo observar por separado el entrenamiento de la red y las gráficas

de correlación y validación.

172

Las gráficas representativas del programa se muestran en los Anexos 13

al 15, en ellas se observó para el entrenamiento trainlm que la red ajusta los

datos del sistema mostrando un error de 0.0428229 para el rango de 0.01 .

En este sentido, la red fue entrenada con 801 puntos y el modelo resultante

se aplicó a 200 puntos diferentes de la matriz, es decir, los primeros 801

puntos fueron para validación. Además, en ambas graficas la red agrupa con

buena aproximación los datos observándose poca dispersión.

Con la prueba anterior, el investigador observó que era necesario

aumentar el número de neuronas y el tipo de entrenamiento buscando

eficiencia en la determinación de los errores calculados por la red. En tal

sentido, el entrenamiento de regularización Bayesiana (trainbr) fue opción

porque calculó los parámetros óptimos de forma automatizada en la cual los

pesos y biases fueron asumidos como variables aleatorias con una

distribución especificada, de forma que los parámetros de regularización

fueron relativos a variaciones desconocidas asociadas con las distribuciones

de pesos y biases.

Por ello, se creó el programa (9), el cual tuvo como diferencia un aumento

de las neuronas a la primera capa en 12 y el cambio de entrenamiento a

trainbr , los números de entrenamientos asignados fueron 500.

Las gráficas representativas del programa se muestran en los Anexos 16

al 18, en ellas se observó para el entrenamiento trainbr que la red ajustó el

parámetro de entrenamiento sse (suma cuadrada del error), con los

parámetros anteriores del programa (8) mostró un valor de 1.5153,

173

notándose un mayor que el mostrado con trainlm. Asimismo, ssw (suma

cuadrada de los pesos) es otra función inherente en la red, que mostró un

valor de 951.335 y el número efectivo de parámetros contabilizado por la red

es de 59.1636 lo que comparativamente significa una buena aproximación

con el cálculo empírico de 60.

La gráfica de correlación fue en base a los datos de entrenamiento donde

se observó un ajuste mayor que el programa anterior, reduciendo las

desviaciones de los puntos y colocándolos más próximos a la pendiente.

Además, el aumento del número de neuronas en doce (12) en la primera

capa uno (1) de función de transferencia logsig como función sigmoidal de

carácter no-lineal, convergió los 801 puntos de entrenamiento de forma lineal

en la capa (2) con salida de función de transferencia purelin (Lineal).

En tal sentido, la validación observada de la red fue consecuencia de la

función trainbr en cuanto a que la red se detuvo cuando la suma ponderada

de ambos errores sobrepasó el límite.

Continuando con las pruebas, en vista de haber observado y comparado

el aumento de neuronas en la capa uno (1) y el cambio de entrenamiento a

trainbr, el investigador asumió agregar una capa más con cuatro (4)

neuronas quedando el conjunto distribuido como [12, 4, 1] lo que conllevó a

conformar una función de transferencia sigmoidal bajo el orden de {‘tansig’,

‘logsig’, ‘purelin’} con periodos de entrenamiento en 200, bajo el programa

(10).

174

Las gráficas representativas del programa (10) se muestran en los

Anexos 19 al 21, para el entrenamiento trainbr que la red ajustó y disminuyó

el parámetro de entrenamiento sse (suma cuadrada del error) de

56862.1/0.01 para el primer entrenamiento de 0/200 y alcanzó un valor final

del error de suma cuadrada de 0.0326304/0.01 para un entrenamiento de

200/200, el cual con los parámetros anteriores del programa (9) se comparó

mejorando el error en una disminución de 1.48, notándose un valor menor

que el mostrado con dos (2) capas.

Asimismo, ssw (suma cuadrada de los pesos), mostró un valor de

727.156 y el número efectivo de parámetros contabilizado por la red fueron

de 94.2791. También, el factor del gradiente descendiente disminuyó

desde1.28e+0041/1.00e-010 en el primer periodo de entrenamiento 0/500

hasta un gradiente de 3.92e-003/1.00e-010 para el último periodo de 500/500

significando que la red bajo regularización Bayesiana reduce el gradiente de

forma óptima.

La gráfica de correlación fue en base a los datos de entrenamiento donde

se observó una semi-pendiente formada por los puntos del proceso que la

red con tres (3) capas produjo para una aproximación más efectiva con la

misma cantidad de datos. En este sentido, el investigador estableció un

criterio referente a la calidad competitiva de la red neural, en cuanto a que

ella realiza cambios aleatorios a lineales proporcionales a las capas y

neuronas. La validación observada de la red fue consecuencia de la

175

optimización recibida en el incremento de las capas conforme el gradiente de

regularización Bayesiana disminuyó con el pequeño lote de entrenamiento.

Consecuentemente, estos resultados condujeron a la aplicación de una

función de postprocesado a través del programa (11) para medir la extensión

de los errores en el entrenamiento. Esta función recibe el nombre de postreg

la cual realiza ésta medición en la correlación y validación arrojando una

gráfica general comparativa. La línea de orden en Matlab estuvo realizada

por [m, b, r]= postreg(y1, t1) en donde m y b corresponden al ciclo de

intercepción de y interceptada a la mejor regresión lineal relacionadas a los

objetivos de la red de salida y r es el coeficiente de correlación entre las

salidas y los objetivos.

Las gráficas son mostrados en los Anexos 22 al 24, en el cual la sse

(suma cuadrada del error) alcanzó hasta 0.0446311/0.01 para el periodo

200/200 con una ssw (suma cuadrada de los pesos) de 929.81 . Además, el

número de parámetros efectivos para la red fue de 93.4946 en donde se

evidenció que la red para el post entrenamiento la red arrojó un valor para m

de 1.0001 y un valor de b en –9.1583e-004 mostrando para la regresión

lineal con los objetivos buena exactitud.

Asimismo, el valor de r fue 1.000 indicó que las salidas con los objetivos

correlacionaron óptimamente debido a que teóricamente cuando el valo r es

cercano a uno (1) la red posee un entrenamiento preciso para el sistema. En

tal sentido, el comportamiento del gradiente para el primer ciclo de

entrenamiento de 0/200 fue de 9.66e+003/1.00e-010 alcanzando una

176

disminución de 5.84e-001/1.00e-010 para el último periodo de 200/200 en

donde se observó con el entrenamiento postreg un incremento del gradiente

en los con respecto al programa anterior.

En forma conclusiva, el investigador optó por éste programa para tomarlo

como programa final para las muestras no-lineales del proceso de

Neutralización ácido-base. En tal sentido, fue realizado otro programa (12),

el cual tuvo una variación únicamente en las funciones de transferencia

colocando para la primera y segunda capa dos (2) funciones sigmoidales

(logsig) obteniéndose una mejoría en la sse (suma cuadrada de los errores)

de 0.0361867 pero no fue compatible con el programa (11) por mostrar un

exceso en la ssw (suma cuadrada de los pesos) de 1777.06 con un número

efectivo de parámetros de 98.3067 .

El gradiente de este programa para el primer entrenamiento 0/200 fue de

9.81e+003/1.00e-010 disminuyendo hasta 1.61e+000/1.00e-010 en el

entrenamiento 200/200. La suma excesiva en los pesos indicó que la red

pudo llegar al límite de mostrar resultados imprecisos ya que los pesos no

convergieron eficazmente al igual que los errores. Aún así, el entrenamiento

postreg resultó ser aproximado, pero no tan exitoso para los valores de m y b

del anterior debido a que el valor de m fue de 0.9994, b=0.0041 y r=1. Ver

Anexos desde 25 al 27 para observar las gráficas respectivas.

(b) Creación de un programa del modelo original del proceso con la

red neural ajustada para mostrar gráficamente en tres (3) dimensiones los

177

valores predichos por la red y la superficie de error de pH con el método de

bisección y desviación estandar.

Para esta parte de la fase cuatro (4), el investigador creó un programa

final, para registrar una muestra de 200 puntos que la red neural asumió a

través del programa base Recuperación que contiene la matriz aleatoria

pH000000. En tal sentido, los parámetros de la red tuvieron modificación en

el número de neuronas de la primera capa oculta aumentándolo de 15

debido a que la red opera con mayor flexibilidad los datos incrementando las

neuronas en esa capa.

Seguidamente, el número de periodos de entrenamientos fue

disminuido a 50 para lograr de ésta forma un entrenamiento más efectivo de

los datos con respecto al factor de exactitud y evitando sobreentrenamiento.

Asimismo, fue considerada la red neural hasta la línea que indica la

activación de los parámetros asignados. Esto, fue producto de la búsqueda

de mostrar a través de la red únicamente el entrenamiento de los datos para

luego iniciar el enlace al método de bisección.

En este orden de ideas, el programa describe un intervalo dividido en

25 partes, es decir, el intervalo cubre flujos de Hidróxido de Sodio (NaOH) y

Bicarbonato de Sodio (NaHCO3) de uno (1) a diez (10) con un flujo constante

de ácido Nítrico (HNO3) de cinco (5) para originar una superficie de pH en

tres dimensiones donde los ejes X y Y son respectivamente los flujos de

Hidróxido de Sodio y Bicarbonato de Sodio. Asimismo, el ciclo for

establecido, muestra la variación de dos (2) flujos, el Hidróxido de Sodio (u) y

178

el Bicarbonato de Sodio (p) manteniendo constante el flujo del ácido Nítrico

realizando después la sumatoria de éstos representados en la variable Qt.

El método de bisección se aplicó debido a que a través de éste, el

verdadero pH es calculado en el programa que involucra al modelo original

del proceso de Neutralización ácido-base, mientras que la red neural cumplió

la función de predecir los valores de pH. Además, el investigador, tuvo como

inquietud principal para la gráfica tridimensional comparar el pH teórico con

el pH predicho por la red, en donde se planteó para el plano X-Y una

configuración de veintiséis (26) por veintiséis (26) puntos correspondientes a

las distintas combinaciones de flujo.

En este sentido, se utilizó la función meshgrid para describir

internamente la división del eje X en veinticinco (25) pero en segmentos 0.36

en donde se representa el límite máximo de X y el límite menor dividido entre

las 25 partes iguales dando origen a la función Interp, la cual interpoló la

superficie en dos (2) dimensiones.

Las gráficas son mostradas en los Anexos 28 al 31, a continuación se

indica la conclusión:

El resultado del entrenamiento arrojó para el primer periodo 0/50 una sse

(suma cuadrada de los errores) de 53745.7/0.1 con una ssw (suma cuadrada

de los pesos) de 257.95 y un gradiente de 9.14e+003/1.00e-010. Asimismo,

estos valores alcanzaron finalmente al periodo 50/50 una sse de 0.28476/0.1

con una ssw de 239.195 y un gradiente de 1.23e+001/1.00e-010 notándose

una disminución en todas las variables.

179

En tal sentido, la desv (desviación estándar) mostró la suma de los

cuadrados de errores entre el número total de puntos, es decir el promedio

cuadrático, calculado en un valor de 0.0442 lo que demuestra un

entrenamiento exitoso y un error de precisión muy pequeño para 200 valores

aleatorios de entrada. Además, en el error de entrenamiento cuadrado

mostrado en la gráfica como 0.28476, el investigador encontró que

aplicándole la desviación estándar con respecto a los valores aleatorios no

tomados en cuenta, resulta en un promedio cuadrático menor al calculado

por la red, es decir la raíz cuadrada del cociente de 0.28476/800 donde el

valor ochocientos (800) es 0.0189.

Esto se comparó de esta forma, ya que el error cuadrático de

entrenamiento es común para cualquier número de entradas por las

características de la estructura de la red, evidenciándose que a mayores

datos menor es el error. En tal sentido, la curva mostrada en la gráfica de

superficie refleja un valor para el ácido Nítrico igual a cinco (5), observándose

para el Bicarbonato e Hidróxido poca apreciación.

2. Discusión de los Resultados. Las resultados obtenidos a través de esta investigación se asocian en

cierta medida a los presentados en los antecedentes que se utilizaron como

marco teórico referencial. Por ello, las pruebas realizadas se fundamentaron

en criterios expuestos por diversos autores, que contribuyeron a desarrollar

las fases planteadas. A continuación se muestran los siguientes aspectos:

180

1.- En el programa (1), fue aplicada la ecuación de Neutralización ácido –

base obtenida en función a los modelos de equilibrios y reacciones

invariantes de Gustafsson y Waller (1992), en donde indican que el sistema

de medición del pH es modelado por un sistema de primer orden li neal en el

pH. A tal efecto, éste modelo simplificado fue usado para introducir una

dinámica no-lineal en el modelo de simulación.

En tal sentido, los resultados arrojados en la curva señalan una no -

linealidad en función de las reacciones invariantes de los equilibrios.

Además, condujo a graficar el valor de pH con respecto a los flujos, lo que

demuestra que existe compatibilidad en los equilibrios y reacciones aplicadas

por los autores antes mencionados.

2.- En el programa (2), fue aplicado el método de la Secante obtenido de

Chapra y Canale (1999), en donde se calculó una aproximación de la

pendiente de la función que se usa para proyectar hacia el eje X una nueva

aproximación de la raíz, por lo que éste método reemplaza los valores en

una secuencia estricta de las nuevas aproximaciones.

Por ello, continuando con la aplicación de la ecuación de Neutralización

ácido-base y agregando el método de la Secante, se comprobó que dicho

método arroja divergencias en la continuidad de los puntos, lo cual quiere

decir que no converge a los resultados correctos.

3.- En el programa (3), fueron expuestas las aproximaciones consecutivas

mencionadas por Montoya (2000), en las que se aplican distintas fórmulas a

los procesos de equilibrio ácido-base según las especies predominantes. En

181

este sentido, en los resultados las aproximaciones no coinciden de forma

óptima en los extremos del rango de aplicación. Por ello, se observa

discontinuidad en la curva calculada por el programa.

4.- En el programa (4) luego de haber obtenido resultados poco

satisfactorios, en los arreglos anteriores, se procedió aplicar el Método de

Bisección descrito en Chapra y Canale (1999), en el cual, el intervalo es

dividido por dos (2), por lo que si la función cambia de signo sobre un

intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. Asimismo, se

determinaron la posición de la raíz, situándola en el punto medio del

subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo.

El Resultado obtenido con este método, se asocia al criterio de

Gustafsson y Waller (1992) en donde se señala que al agregar cantidad

creciente de Buffer (corriente amortiguadora - Bicarbonato HCO3-) en

presencia de algunos componentes, incrementa el valor absoluto de la

derivada de la curva de titulación, la cual decrece en la ganancia del proceso

que es inversamente proporcional al buffer (corriente amortiguadora) y se

percibe que el efecto del Buffer es local en la escala de pH, dependiendo de

la constante de disociación del ácido.

En este orden de ideas, la curva obtenida muestra un crecimiento de la

base (Hidróxido de Sodio- NaOH) y buffer (Bicarbonato-HCO3-) que

neutraliza al ácido Nítrico, por lo que se aproxima a la curva de titulación con

la diferencia de que no es planteada a través del criterio de la deri vada de la

curva.

182

5.- Luego de haber encontrado el método matemático preciso para

representar la curva de titulación, se procedió a seleccionar el tipo de

entrenamiento y a realizar a través de él, dos (2) pruebas de ajuste de

entrada con los objetivos. En consecuencia, los criterios de selección y

prueba con las redes neurales fueron a través de Demuth y Beale (1998), en

el cual se seleccionó el entrenamiento de retropropagación debido a que

permite ajustar los parámetros de la red, de modo de reproducir los valores

de salida con los objetivos a partir de los valores de entrada.

Los resultados para el entrenamiento de retropropagación fue a través de

la función train (Entrenamiento) el cual aproximó las entradas planteadas a

los objetivos, en donde se observó que la red neural para los programas (5) y

(6) procesó estos valores, flexibles en una salida que soportó la similitud a

los objetivos, siendo óptimo con el entrenamiento Levenberg-Marquart por la

capacidad de respuesta y por la moderación del tamaño de las entradas.

6.- Los parámetros del programa (7) mostraron una serie de puntos

aleatorios correspondientes al modelo mecanístico de reactor expuesto por,

Henson y Seborg (1994), en el cual señalan una variación aleatoria de 999

puntos correspondientes a tres (3) entradas de ácido, base y buffer y la

salida usada como el predictor de las variables de entrada representadas en

el pH. Todo ello, aplicando el método PLS (mínimos cuadrados parciales).

Los resultados con el programa (7) indicaron una configuración con la

ecuación de Neutralización ácido-base, método de bisección y la Matriz

183

aleatoria, generando gráficamente la aplicación de 1001 puntos aleatorios,

donde se tomó como referencia a los autores mencionados para la prueba.

7.- En la fase cuatro (4), se estructuraron cinco (5) programas en los

cuales se fue incrementando el número de capas, número de neuronas por

capas, funciones de transferencia, etc. En este sentido, fue seleccionado el

programa (11) como óptimo en la correlación, validación, error cuadrático de

entrenamiento y post-entrenamiento.

Por tal razón, en la aproximación realizada por Qin y McAvoy (1992) se

discute la aplicación de las redes neurales en la estructura del PLS (mínimos

cuadrados parciales) modelando el método resultante en una red neural PLS

aproximada. A este respecto, el estudio aportado por los mencionados

autores tiene aplicación en el análisis de datos cosméticos, en donde se

determina un modelo entre la composición de la crema y los indicadores de

calidad, de manera, que la calidad de la crema es predicha desde la

composición de la crema.

En este orden de ideas, se determinó que el algoritmo NNPLS (red neural

de mínimos cuadrados parciales) requiere dos (2) unidades ocultas para el

primer factor y tres (3) unidades ocultas para el tercer factor respectivamente,

mientras que el segundo y el cuarto factor es almenos lineal y cada uno

requiere una unidad oculta. Además, se determinó que la aproximación

NNPLS es capaz de representar una relación lineal y no-lineal.

En Consecuencia, el programa (11) aproxima de forma precisa (lineal) la

correlación de 800 datos, la validación de 198 datos y el post-entrenamiento

184

con valor de la pendiente de uno (1). A tal efecto, se demostró que al

aumentar las neuronas en la capa oculta (1) la red neural se comporta

flexiblemente, convergiendo los puntos linealmente. Además, comparando

con los resultados de la combinación del método PLS y la red neural

coinciden en que las redes neurales representan los datos no-lineales, pero

con la diferencia de que los autores utilizan una data escasa de 19 valores, lo

cual ocasiona que la red neural aproxime con menos efectividad los datos a

la curva real del proceso, mientras que en la investigación se encontró que la

red neural con una data mayor se comporta de forma óptima acoplando los

datos no-lineales al proceso.

8.- En la fase 4, inciso (b) se realizó un programa final conformado por el

modelo mecanístico y dinámico del proceso de neutralización ácido-base, el

cual se estructuró para reconocer 799 valores aleatorios del proceso,

teniendo como característica una red neural entrenada que se combina con

la estructura programática del modelo mecanístico, con el método de

bisección y que tuvo como finalidad calcular gráficamente en tres (3)

dimensiones los valores de pH, valores de pH predichos por la red y la

superficie de error a través de interpolar los puntos en X y Y para la

descripción gráfica.

En este sentido, Johansen y Foss (1997), plantearon la necesidad de

construir un modelo híbrido para modelar no -linealmente la estructura que

soporte el desarrollo del modelo, entre el modelo empírico y mecanístico. En

consecuencia, en la representación del modelo establecen la interpolación

185

del método matemático para luego simularlo a través de la herramienta de

Software ORBIT.

En este orden de ideas, dichos autores exponen como razón de la

aplicación del modelado híbrido la necesidad de controles globales no -

lineales en la representación de modelos empíricos no-lineales y las redes

neurales. Por ello, ésta afirmación condujo al investigador a realizar la

elaboración del programa de cálculo de superficie de error de pH.

La Superficie de error de pH, los valores de pH y los valores de pH

predichos por la red neural describen una gráfica representativa de los datos

no-lineales, la cual mostró un comportamiento inclinado al error del pH

cuando el flujo de Hidróxido de Sodio es igual a cinco (5).

En tal sentido, Johansen y Foss (1997) llegaron a la conclusión que el

modelado lineal es suficiente para cualquier control o problemas de

optimización, y el modelado no-lineal es de sumo interés cuando el proceso

es operado dentro de un amplio rango de condiciones de operación, tal como

los procesos de batch (lote), durante la puesta en marcha y paro, durante los

cambios de producto, y otras condiciones excepcionales de operación.

Los resultados de ambas investigaciones, arrojan cierta similitud en el

modelo híbrido utilizado en asumir la precisión de la aplicación de

herramientas de simulación a un modelo preestablecido. En estas

investigaciones, la combinación de un modelo local empírico y mecanístico

en donde se aplican para cada investigación interpolación a los datos en la

conformación gráfica resultante.