CAPÍTULOS 9, 10 Y 11 DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES...
Transcript of CAPÍTULOS 9, 10 Y 11 DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES...
CAPÍTULOS 9, 10 Y 11
DISTRIBUCIÓN DE TENSIONESORIGINADAS POR LOS
DIFERENTES ESFUERZOS
y
y
Q
NM
z
∫
∫
∫
−=
=
=
Areaz
Areazy
Areaz
dAy
dA
dA
σ
τ
σ
M
Q
N
z
xdA
σz
τzy
y
¿Qué pretendemos en esta lección?
Esfuerzos:
Tensiones originadas:
Equivalencia mecánica de lossistemas de esfuerzos, por un lado,y de las tensiones generadas, porotro:
ESFUERZO AXIL: TRACCIÓN O COMPRESIÓN PURA
B
x
y
z
N
G
B
x
y
z
N
G
Consideremos una barra prismática de sección arbitraria sometida a un esfuerzo axil N cuya recta de acción pasa por el centro de gravedad de la sección de la barra.Las tensiones normales, σ, producidas por el esfuerzo axil son constantes en cualquier punto de la sección.
NN
x
y
zG
N pasa por GxG
dA
x
y
y EQUIVALENCIA ENTRE N Y LA DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES:
Momentos en G:
∫∫−==
==
xdAM
ydAM
y
x
σ
σ
0
0
Igualdad de resultantes:
ANAdAdAN =⇒=== ∫∫ σσσσ
0E yzxzxyzxyz
z ===−=== γγγνεεεσε
ESTADO DE DEFORMACIONES EN LA PIEZA PRISMÁTICA:
TRACCIÓN PURA
COMPRESIÓN PURA
En ambos casos, el esfuerzo axil pasa por el c.d.g de la sección
FLEXIÓNFLEXIÓN PURA, FLEXIÓN COMPUESTA Y
FLEXIÓN SIMPLE
B
x
y
z
Mx
My
G
B
x
y
z
Mx
My
G
B
x
y
z
NG
rP
B
x
y
z
NG
rP
B
x
y (EJE DE SIMETRÍA)
z
Mx
Qy
G
z
xy
P-P
Q
P P
Zona de flexión pura
M P.aZona de flexión simple
dz
Q=0
a a
FLEXIÓN PURA
B
x
y
z
Mx
My
G
B
x
y
z
Mx
My
G
00 ≠===== zyzxzxyyx στττσσ
( )yxzz ,σσ =
CByAxz ++=σ
00 =⇒=Ω∫∫Ω Cdzσ
EQUIVALENCIA ENTRE Mx y My Y LA DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES:
Igualdad de resultantes:
Igualdad de momentos en G:
∫∫ +=Ω∧Ω jMiMdr yxz
rrrr σ
ByAxz +=σ 2
2
xyyx
xyyyx
xyyx
xyxyx
PII
PMIMB
PII
IMPMA
−
+=
−
+−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−=
22xyyx
xxyy
xyyx
xyyxz PII
xIyPM
PII
xPyIMσ
B
x
y
z
Mx
My
G
B
x
y
z
Mx
My
G
Si los ejes x,y fueran principales de inercia de la sección, Pxy=0, por lo que la expresión anterior se reduciría a:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−=
22xyyx
xxyy
xyyx
xyyxz PII
xIyPM
PII
xPyIMσ
y
y
x
xz I
xMIyM−=σ
y si , se obtendría:0=yM
x
xz I
yM=σ
yy
x
G
x
G
Sección rectangular
x
y
G
h 2
h 1
σ1=Μx h1
Ιx
σ2=Μx h2
Ιx
Mx
SECCION ALZADO LATERAL
Cantox
y
G
h 2
h 1
σ1=Μx h1
Ιx
σ2=Μx h2
Ιx
Mxx
y
G x
y
G
h 2
h 1
σ1=Μx h1
Ιxσ1=
Μx h1
Ιx
σ2=Μx h2
Ιxσ2=
Μx h2
Ιx
Mx
SECCION ALZADO LATERAL
Canto
ALA
ALA
ALMA
NOMENCLATURA EN PERFILES LAMINADOS:
q=20kN/mP=50kN
RARB2.5m 3.5m
h=0.7m
b=0.22m
EJEMPLO: CALCULO DE LAS MÁXIMAS TENSIONES NORMALES EN LA VIGA DE LA FIGURA
h = cantob = ancho
Q=89,2kN
39,2kN
-10,8kN-80,8kNM=160,4kNm
Q
M
q=20kN/mP=50kN
Módulo resistentede la sección
32
2
.
3
018,06
7,022,06.
2
121
mxhbW
WM
I
hM
hbI
x
x
x
máx
x
===
=⋅
=
⋅=
σ
MPamkNm
WM
C 9,8018,0
4,1603
max −=−=−=σ
MPaT 9,8+=σ
TENSIONES NORMALES MÁXIMAS:0h
b
x
y
G
TENSIONES Y DEFORMACIONES EN FLEXIÓN PURA
Deformaciones εz
ε
σCurva tensión-deformación
Las deformaciones εz también varían linealmente
y
Tensiones σz
directriz
FLEXIÓN PURA:
Las caras que eran planas….
MM
ρ
…siguen siendoplanas
FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIÓN PURA
Se denomina fibra o eje neutro al lugar geométrico de los puntos de la sección en los que σz es nula
022
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−=
xyyx
xxyy
xyyx
xyyxz PII
xIyPM
PII
xPyIMσ
xyyyx
xyxyx
PMIMIMPM
xy
+
+=
Si los ejes x,y fueran principales de inercia:
yx
xy
IMIM
xy=
que corresponde a una recta que pasa por el c.d.g de la sección. Si, además, My=0, la fibra neutra coincide con el eje x: yy
x
G
x
GFibra neutra
FLEXIÓN COMPUESTA
B
x
y
z
NG
rP
B
x
y
z
NG
rP
esfuerzo axil N en un punto P de coordenadas (a,b)
Reduciendo N al c.d.g.:
jMiMjaNibNN
bakji
NrM yxrrrr
rvv
vvr+=−==∧=
000
B
x
y
zM
G N
B
x
y
zM
G N
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+=
22xyyx
xxy
xyyx
xyyz PII
xIyPNa
PII
xPyINbN
Ωσ
Aplicando el Principio de superposición:
FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIÓN COMPUESTA
( ) ( ) 02
=−+−+−
= xyyxyxxyyx
z aPbIybPaIxPII
Ωσ
En el caso de flexión compuesta, la fibra neutra no pasa por el c.d.g de la sección.
NUCLEO CENTRAL DE UNA SECCION TRABAJANDO A FLEXIÓN COMPUESTA
Región de la sección en la que puede actuar un esfuerzo axil de compresión N sin que se produzcan tensiones de tracción en ningún punto de la sección. El centro de gravedad de la sección G debe pertenecer al núcleo central pues, si en él se aplicara un esfuerzo axil de compresión toda la sección se encontraría trabajando a compresión.
x
y
A
B
C
(a)
(b)
(c)x
y
A
B
C
(a)
(b)
(c)
Si el esfuerzo axil de compresión actuase en el punto A de la sección, la recta (a)sería la correspondiente fibra neutra. Supongamos ahora que el esfuerzo axil actuase en el punto B y que (b) es la correspondiente fibra neutra. Si C es el punto de corte de las rectas (a) y (b), se puede demostrar que si el esfuerzo axil actuase en C la correspondiente fibra neutra (c) pasaría por los puntos A y B.
EJEMPLO: NÚCLEO CENTRAL DE UNA SECCIÓN RECTANGULAR
x
y
P
G
eh
c
A B
CD
x
y
P
G
eh
c
A B
CD Supongamos actuando un esfuerzo axil N de compresiónen el punto P de la sección, que se encuentra situado sobre el eje y a una distancia e del eje x.Reduciendo el esfuerzo N al centro de gravedad G,obtendríamos un esfuerzo axil del mismo valor y un momento flector de eje x de valor N.e
Si aplicásemos N en G (e=0), toda la sección estaría sometida a compresión uniforme. Si va creciendo e, las tensiones de compresión van creciendo en el lado DC y disminuyendo en el AB. Cabría preguntarse: ¿Para qué valor de la distancia e la fibra neutra coincidiría con al lado AB?
e=h/6
x
y
h3
c3
A
R
S
x
y
h3
c3
A
R
S
Núcleo Central
FLEXIÓN SIMPLE
B
x
y (EJE DE SIMETRÍA)
z
Mx
Qy
G
x
y
Qy Mx
G x
y
Qy Mx
G
(Eje de simetría)
Las tensiones normales producidas por el momento flector ya han sido estudiadas con anterioridad, pero: ¿cuáles serán las tensiones tangenciales (contenidas en el plano de la sección) a que da lugar el esfuerzo cortante que estamos aplicando?
Supondremos que dichas tensiones tangenciales sólo dependen de la ordenada “y”:
( )yττ =
REBANADA DE UNA PIEZA PRISMÁTICA
directriz
rebanada
ds
A C
B D
directriz
rebanada
ds
A C
B D
A
B
Qy
Mx
A
B
Qy
Mx
Qy
Mx
C
D
Mx+d Mx
Qy+d QyC
D
Mx+d Mx
Qy+d Qy
Mx+d Mx
Qy+d QyQy+d Qy
C
ds
A
B D
Mx+d Mx
Qy+d QyQy
MxC
ds
A
B D
ds
A
B D
Mx+d Mx
Qy+d Qy
Mx+d Mx
Qy+d QyQy+d QyQy
Mx
c
C
ds
A
B D
Mx+d Mx
Qy+d QyQy
MxC
ds
A
B D
ds
A
B D
Mx+d Mx
Qy+d Qy
Mx+d Mx
Qy+d QyQy+d QyQy
Mx
C
0)( =+−=+++− dsQdMdsdQdsQdMMM yxyyxxx
EQUILIBRIO DE LA REBANADA
dsdM
Q xy =
TENSIONES TANGENCIALES INDUCIDAS POR EL ESFUERZO CORTANTE
Q τ
x
y
G
a(y)
a0
yc
y τ
ds
σ σ+dσ
yh
x
y
G
a(y)
a0
yc
y τ
ds
σ σ+dσ
x
y
G
a(y)
a0
yc
y
x
y
G
a(y)
a0
yc
y τ
ds
σ σ+dσ
ττ
ds
σ σ+dσ
yh x
xz I
yM=σ
x
x
IydM
d =σ
)()).(( 0adsdyyadhc
yy
yy⋅=∫
=
=τσ ∫∫ ⋅⋅== h
c
h
c
y
yx
xy
yx
x adsadyyIdMadyy
IdM
0)()( τ
00 aIMQ
aIM
dsdM
x
ey
x
ex ==τ
EQUILIBRIO HORIZONTAL:
σ+dσσ
τ
EjemploEjemplo: : DistribuciDistribucióónn de de tensionestensiones cortantescortantes sobresobreunauna secciseccióónn rectangular rectangular sometidasometida a a QQyy
0aIMQ
x
ey=τ0
b
x
y
Gh
y
τ(y)
0 x
y
G
(h/2-y)/2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= yyhbyhMe 22
12
3
121 hbIx ⋅= ba =0
b
h fibraneutra
y
x
Tensiones deflexión
z
y
Tensionescortantes
( )
mediamax
2
maxe
5,123
842M
ττ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
bhQ
bhhbh
y
σmax
σ
ymediaτ
τmaxτ