Caracas, Mayo 2010

Universidad MetropolitanaVII Congreso de Investigación y Creación

Intelectual de la UNIMET

Prof. Cipriano CruzUniversidad Central de Venezuela

Universidad Metropolitanaccruz@unimet.edu.ve

Prof. Sonia ChahinUniversidad Nacional Experimental de Guayana

schahin@uneg.edu.veschahin@uneg.edu.ve

VISUALIZACIÓN DE LAS FUNCIONES AFÍN Y CUADRÁTICA

MEDIANTE EL USO DE UN SOFTWARE.

VISUALIZACIÓN DE LAS FUNCIONES AFÍN Y CUADRÁTICA

MEDIANTE EL USO DE UN SOFTWARE.

- El ProblemaEl Problema

- Preguntas y objetivos de la investigaciónPreguntas y objetivos de la investigación

- Marco TeóricoMarco Teórico

- MetodologíaMetodología

- ResultadosResultados

- Conclusiones y RecomendacionesConclusiones y Recomendaciones

ESQUEMA DE LA PRESENTACIÓNESQUEMA DE LA PRESENTACIÓN

DesinterésDesinterés

DificultadesDificultades

DesmotivaciónDesmotivación

LimitacionesLimitaciones

EL PROBLEMAEL PROBLEMA

ARTIGUE (1995)ARTIGUE (1995)

““Los alumnos tienen dificultades en las articulaciones de los Los alumnos tienen dificultades en las articulaciones de los registros simbólicos de la noción de función, junto con las registros simbólicos de la noción de función, junto con las dificultades para hacer la conversión de un registro a otro”.dificultades para hacer la conversión de un registro a otro”.

DE LA ROSA (2000)DE LA ROSA (2000)

““No se fomentan habilidades para trabajar con gráficos y existe la No se fomentan habilidades para trabajar con gráficos y existe la carencia de la habilidad de visualización”.carencia de la habilidad de visualización”.

CANTORAL (2002)CANTORAL (2002)

““Se deben explorar las habilidades visuales para aprender el Se deben explorar las habilidades visuales para aprender el concepto de función y de allí la necesidad de utilizar la concepto de función y de allí la necesidad de utilizar la computadora para la enseñanza-aprendizaje de este concepto”.computadora para la enseñanza-aprendizaje de este concepto”.

ANTECEDENTESANTECEDENTES

¿¿Cómo contribuirá el uso sistemático de Cómo contribuirá el uso sistemático de

un software educativo a que los alumnos un software educativo a que los alumnos

de matemática I de los proyectos de de matemática I de los proyectos de

carrera de Administración y Contaduría de carrera de Administración y Contaduría de

la UNEG, visualicen las funciones afín y la UNEG, visualicen las funciones afín y

cuadrática como un objeto matemático y cuadrática como un objeto matemático y

puedan resolver problemas aplicados?puedan resolver problemas aplicados?

PREGUNTA DE INVESTIGACIÓNPREGUNTA DE INVESTIGACIÓN

Describir, analizar y evaluar cómo el uso de un software Describir, analizar y evaluar cómo el uso de un software educativo contribuye a desarrollar habilidades para que educativo contribuye a desarrollar habilidades para que los alumnos de Administración y Contaduría de la UNEG los alumnos de Administración y Contaduría de la UNEG

visualicen a las funciones afín y cuadrática como objetos visualicen a las funciones afín y cuadrática como objetos matemáticos, y resuelvan problemas aplicados a la matemáticos, y resuelvan problemas aplicados a la

Administración y a la ContaduríaAdministración y a la Contaduría

OBJETIVO GENERALOBJETIVO GENERAL

1. Diseñar y aplicar una propuesta didáctica para el estudio de las funciones

afín y cuadrática, utilizando como herramienta el software de graficación

Graphmatica.

2. Describir cómo el uso de un software educativo, incide en el desarrollo de

habilidades de un grupo de estudiantes de Administración y Contaduría para

visualizar a las funciones afín y cuadrática como objetos matemáticos.

3. Describir e interpretar cómo los estudiantes, usando un software para

representar funciones afín y cuadrática como un modelo matemático

correspondiente a un problema de Administración y Contaduría, reconocen en

dicho modelo los elementos críticos y los utilizan para dar respuesta al

problema.

OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS

Uso del Software Uso del Software

GRAPMATICAGRAPMATICA

El Concepto de El Concepto de FunciónFunción

La La VisualizaciónVisualización

Principios Principios Constructivistas Constructivistas del Aprendizajedel Aprendizaje

Principios teóricos Principios teóricos de Duvalde Duval

MARCO TEÓRICOMARCO TEÓRICO

““Las conexiones entre los diferentes registros constituyen la estructura Las conexiones entre los diferentes registros constituyen la estructura cognitiva por la que los estudiantes pueden reconocer el mismo objeto cognitiva por la que los estudiantes pueden reconocer el mismo objeto a través de sus diferentes representaciones.”a través de sus diferentes representaciones.”

Aportes de la Teoría de Ausubel en el Constructivismo:Aportes de la Teoría de Ausubel en el Constructivismo:

Teoría de las Representaciones (Duval ,1999Teoría de las Representaciones (Duval ,1999))

El conocimiento no se descubre, se construye, el alumno elabora El conocimiento no se descubre, se construye, el alumno elabora el conocimiento, a partir de su propia forma de ser, pensar e el conocimiento, a partir de su propia forma de ser, pensar e interpretar la información. interpretar la información.

El alumno es un ser responsable que participa activamente en su El alumno es un ser responsable que participa activamente en su proceso de aprendizaje. proceso de aprendizaje.

Tres principios generales del aprendizaje significativo: Tres principios generales del aprendizaje significativo: Estructuración, diferenciación progresiva y reconciliación.Estructuración, diferenciación progresiva y reconciliación.

MARCO TEÓRICOMARCO TEÓRICO

Cantoral y colaboradores (2000)Cantoral y colaboradores (2000)

Habilidad para:Habilidad para:

RepresentarRepresentar

Transformar Transformar

ComunicarComunicar

DocumentarDocumentar Reflejar Reflejar información información

visualvisual

Duval (1999)Duval (1999)

Capacidad de reconocer las unidades significativas de los registros para Capacidad de reconocer las unidades significativas de los registros para pasar de una representación a otra en forma bidireccional.pasar de una representación a otra en forma bidireccional.

Desarrollo de tres capacidades cognitivas:Desarrollo de tres capacidades cognitivas:

FormaciónFormación TratamientoTratamiento ConversiónConversión

GenerarGenerar

LA VISUALIZACIÓNLA VISUALIZACIÓN

SOFTWARE GRAPHMATICASOFTWARE GRAPHMATICA

Editor gráfico interactivo que Editor gráfico interactivo que facilita el cambio de facilita el cambio de representación algebraica a representación algebraica a representación gráfica.representación gráfica.

Ventajas:Ventajas: Requerimientos mínimos de Requerimientos mínimos de

hardware.hardware. No requiere conocimientos No requiere conocimientos

especializados sobre el uso especializados sobre el uso de la computadora.de la computadora.

Permite visualizar en la Permite visualizar en la gráfica cualquier cambio que gráfica cualquier cambio que se le hagan a los parámetros se le hagan a los parámetros de la función.de la función.

PARADIGMA:PARADIGMA: CuantitativoCuantitativoCuantitativoCuantitativo CualitativoCualitativoCualitativoCualitativo

TIPO DE ESTUDIO:TIPO DE ESTUDIO:

Estudio de Caso:Estudio de Caso: - Particularista- Particularista - Descriptivo- Descriptivo - Inductivo- Inductivo

SUJETOS DE ESTUDIO:SUJETOS DE ESTUDIO:

En el estudio cuantitativo participaron los 15 alumnos que presentaron tanto En el estudio cuantitativo participaron los 15 alumnos que presentaron tanto la prueba inicial como la final.la prueba inicial como la final.Para el análisis de las respuestas dadas a las pruebas y las sesiones Para el análisis de las respuestas dadas a las pruebas y las sesiones prácticas se seleccionaron siete (7) alumnos del curso.prácticas se seleccionaron siete (7) alumnos del curso.

CRITERIOS DE SELECCIÓN:CRITERIOS DE SELECCIÓN:

Se utilizó una selección intencional: Se utilizó una selección intencional: 2 alumnos con promedio de calificaciones bajo.2 alumnos con promedio de calificaciones bajo. 3 alumnos promedio de calificaciones medio.3 alumnos promedio de calificaciones medio. 2 alumnos promedio de calificaciones alto.2 alumnos promedio de calificaciones alto.

MARCO METODOLÓGICOMARCO METODOLÓGICO

CATEGORÍAS:CATEGORÍAS:

1. HABILIDADES 1. HABILIDADES VISUALESVISUALES

REPRESENTAR REPRESENTAR Capacidad para hacer un registro de una función tomando en cuenta las

unidades y las reglas de formación que le son

propias a éste.

REPRESENTAR REPRESENTAR Capacidad para hacer un registro de una función tomando en cuenta las

unidades y las reglas de formación que le son

propias a éste.

CONVERTIRCONVERTIRCapacidad de hacer

cambios de representación de un

registro a otro.

CONVERTIRCONVERTIRCapacidad de hacer

cambios de representación de un

registro a otro.

TRANSFORMARTRANSFORMARCapacidad para hacer cambios en un mismo

registro de representación.

TRANSFORMARTRANSFORMARCapacidad para hacer cambios en un mismo

registro de representación.

2. ERRORES2. ERRORES

CONCEPTUALES CONCEPTUALES Cuando el alumno

manifiesta desconocimiento de las

definiciones o uso incorrecto de las mismas.

CONCEPTUALES CONCEPTUALES Cuando el alumno

manifiesta desconocimiento de las

definiciones o uso incorrecto de las mismas.

RELACIONALESRELACIONALESCuando el alumno no vincula o establece

asociaciones incorrectas entre los elementos y sus

modalidades de representación.

RELACIONALESRELACIONALESCuando el alumno no vincula o establece

asociaciones incorrectas entre los elementos y sus

modalidades de representación.

PROCEDIMENTALESPROCEDIMENTALES Cuando el alumno no

respeta las reglas o no sigue secuencias o

procedimientos válidos.

PROCEDIMENTALESPROCEDIMENTALES Cuando el alumno no

respeta las reglas o no sigue secuencias o

procedimientos válidos.

MARCO METODOLÓGICOMARCO METODOLÓGICO

CRITERIO PARA EL ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓNCRITERIO PARA EL ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

RESPUESTASRESPUESTASCORRECTASCORRECTAS

(Aciertos)(Aciertos)

RESPUESTASRESPUESTASCORRECTASCORRECTAS

(Aciertos)(Aciertos)

RESPUESTASRESPUESTASINCORRECTAS INCORRECTAS

(Errores)(Errores)

RESPUESTASRESPUESTASINCORRECTAS INCORRECTAS

(Errores)(Errores)

CONCON HABILIDADES HABILIDADES PARA VISUALIZARPARA VISUALIZAR

CONCON HABILIDADES HABILIDADES PARA VISUALIZARPARA VISUALIZAR

SINSIN HABILIDADES HABILIDADES PARA VISUALIZARPARA VISUALIZARSINSIN HABILIDADES HABILIDADES PARA VISUALIZARPARA VISUALIZAR

MARCO METODOLÓGICOMARCO METODOLÓGICO

RESPUESTASRESPUESTASEN BLANCOEN BLANCO

RESPUESTASRESPUESTASEN BLANCOEN BLANCO

CRITERIO PARA EL ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

ERRORES CONCEPTUALES

ERRORES CONCEPTUALES

ERRORES RELACIONALES

ERRORES RELACIONALES

ERRORES PROCEDIMENTALES

ERRORES PROCEDIMENTALES

HABILIDADES PARA REPRESENTAR

HABILIDADES PARA REPRESENTAR

HABILIDADES PARA CONVERTIR

HABILIDADES PARA CONVERTIR

MARCO METODOLÓGICOMARCO METODOLÓGICO

HABILIDADES PARA VISUALIZARHABILIDADES PARA VISUALIZARHABILIDADES PARA VISUALIZARHABILIDADES PARA VISUALIZAR

ANÁLISIS DE RESULTADOSANÁLISIS DE RESULTADOS

TIPO DE ERRORTIPO DE ERRORPRUEBA DIAGNÓSTICA (PD)PRUEBA DIAGNÓSTICA (PD) PRUEBA FINAL (PF)PRUEBA FINAL (PF)

RESULTADOSRESULTADOS INTERPRETACIÓNINTERPRETACIÓN RESULTADOSRESULTADOS INTERPRETACIÓNINTERPRETACIÓN

CONCEPTUALCONCEPTUAL

Todos los Todos los alumnos alumnos

desconocen desconocen cual es el cual es el

dominio de la dominio de la función afín.función afín.

Ningún alumno Ningún alumno demostró tener habilidad demostró tener habilidad

para representar.para representar.

No cometieron No cometieron errores.errores.

Todos los alumno Todos los alumno demostraron tener la demostraron tener la

habilidad para representar, habilidad para representar, ya que determinaron el ya que determinaron el dominio de una función dominio de una función

afín.afín.

RELACIONALRELACIONAL

Dos alumnos Dos alumnos dijeron que la dijeron que la gráfica de la gráfica de la función afín función afín

tiene la forma tiene la forma de una esfera y de una esfera y los demás no los demás no contestaron contestaron

nada.nada.

Ningún alumno Ningún alumno demostró tener la demostró tener la

habilidad para convertir, habilidad para convertir, ya que no reconocieron ya que no reconocieron

a la función afín a la función afín expresada en su forma expresada en su forma

gráfica.gráfica.

No cometieron No cometieron errores.errores.

Todos los alumnos Todos los alumnos reconocen la gráfica de la reconocen la gráfica de la

función afín.función afín.

PROCEDIMENTALPROCEDIMENTAL

Los alumnos no Los alumnos no hallaron la hallaron la

fórmula de la fórmula de la pendiente de pendiente de una recta y no una recta y no

hallaron la hallaron la ecuación punto ecuación punto

pendiente.pendiente.

Ningún alumno Ningún alumno demostró tener la demostró tener la

habilidad para convertir, habilidad para convertir, pues no hallaron la pues no hallaron la

ecuación de la recta a ecuación de la recta a partir de los puntos de partir de los puntos de corte de la misma con corte de la misma con

los ejes de coordenada.los ejes de coordenada.

Desconocen la Desconocen la fórmula de la fórmula de la

pendiente de una pendiente de una recta y la de la recta y la de la ecuación punto ecuación punto

pendiente.pendiente.

Tres de los siete sujetos Tres de los siete sujetos demostraron tener la demostraron tener la habilidad hallaron la habilidad hallaron la

ecuación de la recta a ecuación de la recta a partir de los puntos de partir de los puntos de

corte de la misma con los corte de la misma con los ejes de coordenadas.ejes de coordenadas.

FUNCIÓN AFÍN

US

O D

EL

SO

FT

WA

RE

US

O D

EL

SO

FT

WA

RE

ANÁLISIS DE RESULTADOSANÁLISIS DE RESULTADOSLos alumnos usando el software Graphmatica, estudiaron las características de las rectas Los alumnos usando el software Graphmatica, estudiaron las características de las rectas del tipo y = ax, para lo cual del tipo y = ax, para lo cual graficaron graficaron las funciones que se indican a continuación:las funciones que se indican a continuación: (a) y = x (b) y = 3x (c) y = 1,5x (d) y = -x (e) y = -2x(a) y = x (b) y = 3x (c) y = 1,5x (d) y = -x (e) y = -2x

Los alumnos usando el software Graphmatica, estudiaron las características de las rectas Los alumnos usando el software Graphmatica, estudiaron las características de las rectas del tipo y = ax, para lo cual del tipo y = ax, para lo cual graficaron graficaron las funciones que se indican a continuación:las funciones que se indican a continuación: (a) y = x (b) y = 3x (c) y = 1,5x (d) y = -x (e) y = -2x(a) y = x (b) y = 3x (c) y = 1,5x (d) y = -x (e) y = -2x

Gráfica de la función afín del tipo Gráfica de la función afín del tipo y = ax, y = ax, usando el software usando el software Graphmatica. Graphmatica.

Gráfica de la función afín del tipo Gráfica de la función afín del tipo y = ax, y = ax, usando el software usando el software Graphmatica. Graphmatica.

Tipo de Tipo de habilidad habilidad

desarrolladadesarrollada

Indicadores de la Indicadores de la habilidadhabilidad

PAPA Alumnos que Alumnos que adquirieron la adquirieron la

habilidadhabilidad

Respuestas dadas por los Respuestas dadas por los alumnos que adquirieron alumnos que adquirieron

la habilidadla habilidad

Errores cometidos por Errores cometidos por los alumnos que no los alumnos que no

adquirieron la habilidadadquirieron la habilidad

Habilidad Habilidad para para

convertirconvertir

Identifican el dominio Identifican el dominio de la función afín.de la función afín.

2.22.2 Todos los Todos los sujetossujetos

El dominio de la función El dominio de la función afín son todos los afín son todos los números reales.números reales.

No cometieron erroresNo cometieron errores

Reconocen que la Reconocen que la gráfica de la función gráfica de la función afín es una la recta.afín es una la recta.

2.32.3 Todos los Todos los sujetossujetos

La recta es la La recta es la representación gráfica de representación gráfica de la función afín.la función afín.

No cometieron erroresNo cometieron errores

Reconocen los efectos Reconocen los efectos que ocurren en la que ocurren en la gráfica cuando se varia gráfica cuando se varia el parámetro “a” el parámetro “a”

2.42.4 Todos los Todos los sujetossujetos

Todas las rectas variaron Todas las rectas variaron el ángulo de inclinación. el ángulo de inclinación.

No cometieron erroresNo cometieron errores

ANÁLISIS DE RESULTADOSANÁLISIS DE RESULTADOSFUNCIÓN CUADRÁTICA

TIPO DE ERRORTIPO DE ERROR PRUEBA DIAGNÓSTICA (PD)PRUEBA DIAGNÓSTICA (PD) PRUEBA FINAL (PF)PRUEBA FINAL (PF)

RESULTADOSRESULTADOS DESCRIPCIÓNDESCRIPCIÓN RESULTADOSRESULTADOS DESCRIPCIÓNDESCRIPCIÓN

CONCEPTUALCONCEPTUAL Dos alumnos Dos alumnos cometieron el error cometieron el error

y dijeron que la y dijeron que la función función

y = axy = ax22+ bx + c, + bx + c, con con

a ≠ 0 es una a ≠ 0 es una función algebraica. función algebraica. y cuatro alumnos y cuatro alumnos no respondieron. no respondieron.

Un solo alumno Un solo alumno demostró tener la demostró tener la

habilidad para habilidad para representar, ya que representar, ya que

reconoce a la reconoce a la función cuadrática función cuadrática expresada en su expresada en su forma algebraica.forma algebraica.

Un alumno respondió que Un alumno respondió que función que la función del función que la función del

tipotipoy = axy = ax22+ bx + c, con+ bx + c, con

a ≠ 0 define una función a ≠ 0 define una función algebraica.algebraica.

Seis de los siete Seis de los siete sujetos sujetos

demostraron tener demostraron tener la habilidad para la habilidad para representar, ya representar, ya

que reconocieron que reconocieron a la función a la función cuadrática cuadrática

expresada en su expresada en su forma algebraica.forma algebraica.

RELACIONALRELACIONAL Cuatro alumnos Cuatro alumnos cometieron el error cometieron el error y relacionaron a la y relacionaron a la

expresión expresión algebraica algebraica

y = axy = ax2 2 + c, con + c, con una recta.una recta.

Tres alumnos Tres alumnos tenían la habilidad tenían la habilidad

para relacionar a la para relacionar a la función función

y = axy = ax22 + c, con su + c, con su respectiva gráfica.respectiva gráfica.

No cometieronNo cometieronerrorerror

Todos los alumnos Todos los alumnos demostraron tener demostraron tener la habilidad para la habilidad para relacionan a la relacionan a la

función y =axfunción y =ax22, con , con su respectiva su respectiva

gráfica.gráfica.

PROCEDIMENTALPROCEDIMENTAL Ningún alumno Ningún alumno determinó el corte determinó el corte de la parábola con de la parábola con

los ejes de los ejes de coordenadas.coordenadas.

Ningún alumno Ningún alumno tiene la habilidad tiene la habilidad para convertir. para convertir.

Tres alumnos no hallaron Tres alumnos no hallaron el corte de la parábola con el corte de la parábola con los ejes de coordenadas y los ejes de coordenadas y cuatro alumnos si hallaron cuatro alumnos si hallaron el corte de la parábola con el corte de la parábola con

los ejes..los ejes..

Cuatro de los siete Cuatro de los siete sujetos demostraron sujetos demostraron

tener la habilidad tener la habilidad para convertir, ya para convertir, ya que determinaron que determinaron

los cortes de la los cortes de la parábola con los parábola con los

ejes.ejes.

US

O D

EL

SO

FT

WA

RE

US

O D

EL

SO

FT

WA

RE

ANÁLISIS DE RESULTADOSANÁLISIS DE RESULTADOS

Gráfica de la función cuadrática del tipo y = ax 2 + c, utilizando en

software Graphmatica.

Gráfica de la función cuadrática del tipo y = ax 2 + c, utilizando en

software Graphmatica.

Los alumnos usando el software Graphmatica, estudiaron las características de las parábolas del tipo y = ax2 + c. para lo cual graficaron las siguientes funciones:

(a) y = x^2, (b) y = x^2 + 2, (c) y = x^2 - 2 , (d) y = x^2 – 4

Los alumnos usando el software Graphmatica, estudiaron las características de las parábolas del tipo y = ax2 + c. para lo cual graficaron las siguientes funciones:

(a) y = x^2, (b) y = x^2 + 2, (c) y = x^2 - 2 , (d) y = x^2 – 4

Tipo de Tipo de habilidadhabilidad

Indicadores de la habilidadIndicadores de la habilidad PAPA Alumnos que Alumnos que adquirieron la adquirieron la

habilidadhabilidad

Respuestas dadas por los Respuestas dadas por los alumnos que adquirieron la alumnos que adquirieron la

habilidadhabilidad

Errores cometidos por los Errores cometidos por los alumnos que no adquirieron la alumnos que no adquirieron la

habilidadhabilidad

Habilidad para Habilidad para convertirconvertir

Relacionan a la expresión Relacionan a la expresión algebraica y =axalgebraica y =ax22 + c,.con + c,.con una parábola.una parábola.

2.52.5 Todos los alumnos Todos los alumnos adquirieron la adquirieron la habilidad.habilidad.

La expresión algebraicaLa expresión algebraica y = axy = ax22 + c,. representa una + c,. representa una parábola.parábola.

Reconocen la traslación Reconocen la traslación vertical que le ocurre a la vertical que le ocurre a la gráfica y = ax2, cuando se le gráfica y = ax2, cuando se le suma un número c positivo.suma un número c positivo.

2.62.6 Seis alumnos Seis alumnos adquirieron la adquirieron la habilidad habilidad

La parábola se traslada hacia La parábola se traslada hacia arriba tantas veces como lo arriba tantas veces como lo indique el valor de “c”. indique el valor de “c”.

Un alumno respondió que la Un alumno respondió que la parábola cuando “c” es positivo parábola cuando “c” es positivo se traslada cóncava hacia arriba. se traslada cóncava hacia arriba.

Reconocen lo que Reconocen lo que representa el valor de “c” de representa el valor de “c” de la función algebraica y = axla función algebraica y = ax22 + c, en la gráfica.+ c, en la gráfica.

2.82.8 Seis alumnos Seis alumnos adquirieron la adquirieron la habilidadhabilidad

El valor de “c” representa el El valor de “c” representa el punto de corte de la parábola punto de corte de la parábola con el eje “y”. con el eje “y”.

Un alumno respondió que el Un alumno respondió que el valor de “c” representa el valor de “c” representa el traslado que tiene la gráfica en el traslado que tiene la gráfica en el eje x.eje x.

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Los alumnos usando el software Graphmatica, graficaron la función lineal de costo Ct(x) = 2000 + 25x y la función cuadrática de ingreso I(x) = - 0.01x2 + 60x, obteniéndose el gráfico que se muestra a continuación, luego visualizando las gráficas y extrayendo de estas los elementos claves le dan respuesta a las siguientes preguntas del problema.

Los alumnos usando el software Graphmatica, graficaron la función lineal de costo Ct(x) = 2000 + 25x y la función cuadrática de ingreso I(x) = - 0.01x2 + 60x, obteniéndose el gráfico que se muestra a continuación, luego visualizando las gráficas y extrayendo de estas los elementos claves le dan respuesta a las siguientes preguntas del problema.

PROBLEMA APLICADO

1. ¿Cuántas unidades se deben de producir y vender para que la empresa no 1. ¿Cuántas unidades se deben de producir y vender para que la empresa no tenga ni ganancia ni pérdida? Deben visualizar el punto donde se cortan las tenga ni ganancia ni pérdida? Deben visualizar el punto donde se cortan las dos curvas y obtener su valor a través del software, el valor de x representa dos curvas y obtener su valor a través del software, el valor de x representa las unidades que se deben de producir y vender para que la empresa no tenga las unidades que se deben de producir y vender para que la empresa no tenga ni ganancia ni pérdida. ni ganancia ni pérdida.

2. ¿Cuál es el costo y el ingreso donde la empresa no tienen ni ganancia no 2. ¿Cuál es el costo y el ingreso donde la empresa no tienen ni ganancia no pérdida? pérdida? Deben visualizar el punto donde se cortan las dos curvas y obtener Deben visualizar el punto donde se cortan las dos curvas y obtener su valor a través del software, el valor de y representa el precio en bolívares su valor a través del software, el valor de y representa el precio en bolívares donde el costo y el ingreso son iguales, es decir donde la empresa no tiene ni donde el costo y el ingreso son iguales, es decir donde la empresa no tiene ni ganancia ni pérdida.ganancia ni pérdida.

3. ¿Cuál es el número de unidades diarias que deben venderse por día de modo 3. ¿Cuál es el número de unidades diarias que deben venderse por día de modo que se maximice el ingreso? Deben visualizar el vértice de la parábola, y el que se maximice el ingreso? Deben visualizar el vértice de la parábola, y el valor de x del vértice representa las unidades que se deben de vender para valor de x del vértice representa las unidades que se deben de vender para obtener el máximo ingreso. obtener el máximo ingreso.

4. ¿Cuál es el ingreso máximo? Deben visualizar el vértice de la parábola el valor 4. ¿Cuál es el ingreso máximo? Deben visualizar el vértice de la parábola el valor de y del vértice representa el ingreso máximo expresado en bolívares.de y del vértice representa el ingreso máximo expresado en bolívares.

1. ¿Cuántas unidades se deben de producir y vender para que la empresa no 1. ¿Cuántas unidades se deben de producir y vender para que la empresa no tenga ni ganancia ni pérdida? Deben visualizar el punto donde se cortan las tenga ni ganancia ni pérdida? Deben visualizar el punto donde se cortan las dos curvas y obtener su valor a través del software, el valor de x representa dos curvas y obtener su valor a través del software, el valor de x representa las unidades que se deben de producir y vender para que la empresa no tenga las unidades que se deben de producir y vender para que la empresa no tenga ni ganancia ni pérdida. ni ganancia ni pérdida.

2. ¿Cuál es el costo y el ingreso donde la empresa no tienen ni ganancia no 2. ¿Cuál es el costo y el ingreso donde la empresa no tienen ni ganancia no pérdida? pérdida? Deben visualizar el punto donde se cortan las dos curvas y obtener Deben visualizar el punto donde se cortan las dos curvas y obtener su valor a través del software, el valor de y representa el precio en bolívares su valor a través del software, el valor de y representa el precio en bolívares donde el costo y el ingreso son iguales, es decir donde la empresa no tiene ni donde el costo y el ingreso son iguales, es decir donde la empresa no tiene ni ganancia ni pérdida.ganancia ni pérdida.

3. ¿Cuál es el número de unidades diarias que deben venderse por día de modo 3. ¿Cuál es el número de unidades diarias que deben venderse por día de modo que se maximice el ingreso? Deben visualizar el vértice de la parábola, y el que se maximice el ingreso? Deben visualizar el vértice de la parábola, y el valor de x del vértice representa las unidades que se deben de vender para valor de x del vértice representa las unidades que se deben de vender para obtener el máximo ingreso. obtener el máximo ingreso.

4. ¿Cuál es el ingreso máximo? Deben visualizar el vértice de la parábola el valor 4. ¿Cuál es el ingreso máximo? Deben visualizar el vértice de la parábola el valor de y del vértice representa el ingreso máximo expresado en bolívares.de y del vértice representa el ingreso máximo expresado en bolívares.

ANÁLISIS DE RESULTADOSANÁLISIS DE RESULTADOS

PROBLEMA APLICADO

ANÁLISIS DE RESULTADOSANÁLISIS DE RESULTADOS

Tipo de Tipo de habilidadhabilidad Indicadores de la habilidadIndicadores de la habilidad PAPA

Alumnos que Alumnos que adquirieron la adquirieron la

habilidadhabilidad

Respuestas dadas por los Respuestas dadas por los alumnos que adquirieron la alumnos que adquirieron la

habilidadhabilidad

Errores cometidos Errores cometidos por los alumnos que por los alumnos que

no adquirieron la no adquirieron la habilidadhabilidad

Habilidad Habilidad para para

ConvertirConvertir

Determinan a través de las Determinan a través de las gráficas los valores de los gráficas los valores de los

puntos de corte entre ambas puntos de corte entre ambas curvas.curvas.

11Todos los Todos los

sujetossujetos

Las coordenadas de los punto Las coordenadas de los punto de corte entre ambas curvas de corte entre ambas curvas esta dado por los puntos: esta dado por los puntos:

(67,3506) y (3467,88000)(67,3506) y (3467,88000)

No cometieron erroresNo cometieron errores

Identifican el significado del Identifican el significado del estos puntos de corte entre estos puntos de corte entre

ambas curvas en la situación ambas curvas en la situación planteada.planteada.

11Todos los Todos los

sujetossujetos

Los puntos de corte entre las Los puntos de corte entre las curvas de costo e ingreso curvas de costo e ingreso representan los puntos de representan los puntos de

equilibrio de la empresa, en es equilibrio de la empresa, en es decir donde la empresa no tiene decir donde la empresa no tiene

ni ganancia ni pérdida.ni ganancia ni pérdida.

No cometieron erroresNo cometieron errores

Identifican que el valor de x Identifican que el valor de x de los puntos de corte entre de los puntos de corte entre ambas curvas representa el ambas curvas representa el

número de unidades número de unidades producidas y vendidas donde producidas y vendidas donde

la empresa no tiene ni la empresa no tiene ni ganancia ni perdida.ganancia ni perdida.

11Todos los Todos los

sujetossujetos

Cuando se producen 67 Cuando se producen 67 unidades y 3467 unidades la unidades y 3467 unidades la

empresa no tiene ni ganancia ni empresa no tiene ni ganancia ni perdida.perdida.

No cometieron erroresNo cometieron errores

Identifican que el valor de y Identifican que el valor de y de los puntos de corte entre de los puntos de corte entre ambas curvas representa el ambas curvas representa el

costo y el ingreso en costo y el ingreso en bolívares donde la empresa bolívares donde la empresa

no tiene ni ganancia ni no tiene ni ganancia ni perdida.perdida.

22Todos los Todos los

sujetossujetos

El costo y el ingreso donde la El costo y el ingreso donde la empresa no tiene ni ganancia ni empresa no tiene ni ganancia ni pérdida es de 3506 bolívares y pérdida es de 3506 bolívares y

de 88000 bolívares.de 88000 bolívares.

No cometieron erroresNo cometieron errores

Porcentaje de alumnos con Porcentaje de alumnos con respuestas en blanco, incorrectas y respuestas en blanco, incorrectas y correctas en la prueba diagnósticacorrectas en la prueba diagnóstica . .

Porcentaje de alumnos con Porcentaje de alumnos con respuestas en blanco, incorrectas y respuestas en blanco, incorrectas y

correctas en la prueba final.correctas en la prueba final.

ANÁLISIS DE RESULTADOSANÁLISIS DE RESULTADOS

HABILIDADES VISUALES.HABILIDADES VISUALES.

La propuesta didáctica y el uso del software permitieron que La propuesta didáctica y el uso del software permitieron que los alumnos visualizaran las distintas representaciones de una los alumnos visualizaran las distintas representaciones de una función y, más aún, pudieron visualizar familias de funciones función y, más aún, pudieron visualizar familias de funciones que dependen de parámetros.que dependen de parámetros.

La comparación entre las calificaciones obtenidas en la La comparación entre las calificaciones obtenidas en la prueba inicial y final demuestra que hubo una mejora prueba inicial y final demuestra que hubo una mejora significativa en la eficiencia de los alumnos.significativa en la eficiencia de los alumnos.

Los alumnos fueron capaces de descubrir, identificar y Los alumnos fueron capaces de descubrir, identificar y deducir conceptos importantes de la función: paralelismo entre deducir conceptos importantes de la función: paralelismo entre rectas, perpendicularidad, concavidad, intersecciones de las rectas, perpendicularidad, concavidad, intersecciones de las gráficas con los ejes, dominio y rango.gráficas con los ejes, dominio y rango.

HABILIDADES VISUALES.HABILIDADES VISUALES.

La propuesta didáctica y el uso del software permitieron que La propuesta didáctica y el uso del software permitieron que los alumnos visualizaran las distintas representaciones de una los alumnos visualizaran las distintas representaciones de una función y, más aún, pudieron visualizar familias de funciones función y, más aún, pudieron visualizar familias de funciones que dependen de parámetros.que dependen de parámetros.

La comparación entre las calificaciones obtenidas en la La comparación entre las calificaciones obtenidas en la prueba inicial y final demuestra que hubo una mejora prueba inicial y final demuestra que hubo una mejora significativa en la eficiencia de los alumnos.significativa en la eficiencia de los alumnos.

Los alumnos fueron capaces de descubrir, identificar y Los alumnos fueron capaces de descubrir, identificar y deducir conceptos importantes de la función: paralelismo entre deducir conceptos importantes de la función: paralelismo entre rectas, perpendicularidad, concavidad, intersecciones de las rectas, perpendicularidad, concavidad, intersecciones de las gráficas con los ejes, dominio y rango.gráficas con los ejes, dominio y rango.

CONCLUSIONESCONCLUSIONES

HABILIDADES HABILIDADES VISUALES VISUALES

PARA PARA RESOLVER RESOLVER

PROBLEMAS PROBLEMAS APLICADOSAPLICADOS

Con el software los alumnos representaron Con el software los alumnos representaron funciones afín y cuadrática como modelos de funciones afín y cuadrática como modelos de costo, ingreso, oferta y demanda, vinculando los costo, ingreso, oferta y demanda, vinculando los elementos contextuales con los del modelo elementos contextuales con los del modelo matemático para interpretar en ellos los matemático para interpretar en ellos los elementos claves que le permitieron dar respuesta elementos claves que le permitieron dar respuesta al problema planteado.al problema planteado.

El uso del software desarrolló, en los alumnos, El uso del software desarrolló, en los alumnos, la habilidad de visualizar y contribuyó en la la habilidad de visualizar y contribuyó en la disminución de los errores. Sin embargo, se pudo disminución de los errores. Sin embargo, se pudo observar que los alumnos siguen cometiendo observar que los alumnos siguen cometiendo errores ocasionados por: falta de los errores ocasionados por: falta de los conocimiento previos necesarios y de conocimiento previos necesarios y de entrenamiento en la solución de problemas en entrenamiento en la solución de problemas en contexto.contexto.

El uso del software desarrolló, en los alumnos, El uso del software desarrolló, en los alumnos, la habilidad de visualizar y contribuyó en la la habilidad de visualizar y contribuyó en la disminución de los errores. Sin embargo, se pudo disminución de los errores. Sin embargo, se pudo observar que los alumnos siguen cometiendo observar que los alumnos siguen cometiendo errores ocasionados por: falta de los errores ocasionados por: falta de los conocimiento previos necesarios y de conocimiento previos necesarios y de entrenamiento en la solución de problemas en entrenamiento en la solución de problemas en contexto.contexto.

CONCLUSIONESCONCLUSIONES

A LA INSTITUCIÓN: A LA INSTITUCIÓN:

Los resultados encontrados ponen de relieve que la enseñanza Los resultados encontrados ponen de relieve que la enseñanza de las funciones no es tarea sencilla, por lo que se recomienda que de las funciones no es tarea sencilla, por lo que se recomienda que para su enseñanza se utilicen software matemáticos acompañadas para su enseñanza se utilicen software matemáticos acompañadas de propuestas didácticas que ayuden a desarrollar la visualización de propuestas didácticas que ayuden a desarrollar la visualización en los alumnos y a resolver problemas contextualizados.en los alumnos y a resolver problemas contextualizados.

A LA INSTITUCIÓN: A LA INSTITUCIÓN:

Los resultados encontrados ponen de relieve que la enseñanza Los resultados encontrados ponen de relieve que la enseñanza de las funciones no es tarea sencilla, por lo que se recomienda que de las funciones no es tarea sencilla, por lo que se recomienda que para su enseñanza se utilicen software matemáticos acompañadas para su enseñanza se utilicen software matemáticos acompañadas de propuestas didácticas que ayuden a desarrollar la visualización de propuestas didácticas que ayuden a desarrollar la visualización en los alumnos y a resolver problemas contextualizados.en los alumnos y a resolver problemas contextualizados.

A LOS DOCENTES: A LOS DOCENTES:

Utilizar software matemático que ayuden a enfatizar la Utilizar software matemático que ayuden a enfatizar la importancia de las representaciones en el concepto de funciones.importancia de las representaciones en el concepto de funciones.

Trabajar la visualización paralelamente con los procesos Trabajar la visualización paralelamente con los procesos analíticos.analíticos.

A LOS DOCENTES: A LOS DOCENTES:

Utilizar software matemático que ayuden a enfatizar la Utilizar software matemático que ayuden a enfatizar la importancia de las representaciones en el concepto de funciones.importancia de las representaciones en el concepto de funciones.

Trabajar la visualización paralelamente con los procesos Trabajar la visualización paralelamente con los procesos analíticos.analíticos.

RECOMENDACIONESRECOMENDACIONES