Caracteristicas Geometricas de Figuras Planas
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CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DE LAS
FIGURAS PLANAS
CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DE LAS
FIGURAS PLANAS
MOMENTO ESTATICO• Es el obtenido por el producto de una superficie de área A por la
distancia desde el centroide de esa superficie a un eje.
YdAx
A
y
A
x
xdAS
ydAS
• Es el obtenido por el producto de una superficie de área A por la distancia desde el centroide de esa superficie a un eje.
X
dA
y
x
A
y
A
x
xdAS
ydAS
• Los momentos estáticos del área respecto a los ejes centrales son iguales a cero.
CENTROIDE• El centroide de un área se refiere al punto que define el centro
geométrico del área.
• Para calcular el centroide de una sección compuesta por diferentes áreas geométricas se hace a través del cálculo de momentos respecto al punto de intersección de los ejes de coordenadas
• El centroide de un área se refiere al punto que define el centro geométrico del área.
• Para calcular el centroide de una sección compuesta por diferentes áreas geométricas se hace a través del cálculo de momentos respecto al punto de intersección de los ejes de coordenadas
i
ii
iitotal
i
ii
iitotal
A
yAyyAyA
A
xAxxAxA
..
..
CENTROIDE
Ai(cm2)
Xi(cm)
Yi(cm)
Ai*Xi Ai*Yi
1 30*10 15 25 4500 75002 8*20 15 10 2400 1600Suma 460 6900 9100
cm 78.19cm 00.15
yx
Centroide de sección hueca
• El área hueca se toma como área negativa.
40cm Ai (cm2) Xi Yi Ai*Xi Ai*Yi1 40*60 20 30 48000 72000
2 -p/4*20^2 20 40 -6283.19 -12566.37
60cm 20cm
40cm
2 -p/4*20^2 20 40 -6283.19 -12566.37
2085.84 41716.81 59433.63
cm 49.28cm 00.20
yx
MOMENTO DE INERCIA
• Es una propiedad geométrica sin ninguna representación física. Se le conoce también como momento de segundo orden.
A
y
A
x
dAxI
dAyI
2
2
• Es una propiedad geométrica sin ninguna representación física. Se le conoce también como momento de segundo orden.
A
y
A
x
dAxI
dAyI
2
2
X
YdA
y
x
r
MOMENTO DE INERCIA
• Para las figuras con geometría básica, éstas integrales ya han sido resueltas:
dAdy
A
x dAyI 2
• Para las figuras con geometría básica, éstas integrales ya han sido resueltas:
122*
24.
3..*2
332/
0
32
0
2 bhhbybbdyyIhh
x
dAy
b
dyh
X
A
x dAyI 2
MOMENTO DE INERCIA
• En resistencia de materiales el momento de inercia representa la capacidad de la sección de ofrecer resistencia a la deformación producida por solicitaciones de flexión.
• Cuanto mayor sea el momento de Inercia más rígida será la sección.
• En resistencia de materiales el momento de inercia representa la capacidad de la sección de ofrecer resistencia a la deformación producida por solicitaciones de flexión.
• Cuanto mayor sea el momento de Inercia más rígida será la sección.
PRODUCTO DE INERCIA
A
xy dAyxI ..YdAx
r
• Con respecto a los ejes ortogonales x-y:
• Para secciones con un eje de simetría, el producto de inercia, Ixy = 0
X
yr
MOMENTO POLAR DE INERCIA
yx
A
p IIdAI .2rY
dAx
r
• Con respecto al origen del sistema de coordenadas O:
X
yr
Momentos de inercia con respecto a losejesparalelos - TEOREMA STEINER
• Si se conoce el momento de inercia de un área con respecto a unos ejes, su momento de inercia puede determinarse con respecto a ejes paralelos usando el TEOREMA DE EJES PARALELOS O STEINER
• Si se conoce el momento de inercia de un área con respecto a unos ejes, su momento de inercia puede determinarse con respecto a ejes paralelos usando el TEOREMA DE EJES PARALELOS O STEINER
22
''
2'
2'
.
..
.
.
baAII
baAII
aAII
bAII
xypp
xyyx
yy
xx
X
YdA
y
x
X’
Y’
x’
y’
a
b
Momento de inercia con respecto a un eje paralelo al eje centroidal - TEOREMA STEINER
2' .dAII xx
MOMENTO DE INERCIA DE UNA SECCION COMPUESTA
• Para calcular el momento de inercia de una sección compuesta por varias área geométricas se puede hacer siguiendo la expresión:
A
x dAyI 2
• Para calcular el momento de inercia de una sección compuesta por varias área geométricas se puede hacer siguiendo la expresión:
A
x dAyI 2
• O usando el teorema de ejes paralelos o Steiner
MOMENTO DE INERCIA
cm 78.19cm 00.15
yx
X’
19.78 cm2
' .dAII xx
423
23'
60.31311)1078.19(*20*820*8*12/1
)78.1925(*10*3010*30*12/1
cm
I x-
-
2' .dAII xx
MOMENTO DE INERCIA RESPECTO DE EJES GIRADOS
• Los momentos de inercia respecto a ejes girados son:
xyuv
xyyx
uv
xyyxyx
u
xyyxyx
v
IpIp
CosISenII
I
SenICosIIII
I
SenICosIIII
I
-
--
-
-
222
2222
2222
Y
dAx
u
u
xyuv
xyyx
uv
xyyxyx
u
xyyxyx
v
IpIp
CosISenII
I
SenICosIIII
I
SenICosIIII
I
-
--
-
-
222
2222
2222
Xy
vu v
MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES PRINCIPALES
• Los ejes principales de inercia de una figura plana, es decir dos ejes ortogonales, respecto a los cuales es nulo el producto de inercia del figura, ocupan la posición que se determina por la ecuación:
yx
xy
III
tg-
2
2
X
Y
dA
y
x
v
u
u v
• Los ejes principales de inercia de una figura plana, es decir dos ejes ortogonales, respecto a los cuales es nulo el producto de inercia del figura, ocupan la posición que se determina por la ecuación:
MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES PRINCIPALES
Yu
22
,minmax, 22 xyyxyx
uv IIIII
III
-
Ixy
Y (Iy, Ixy)
X
dA
y
x
vu v
Ix, Iy
X (Ix, -Ixy)
Iu Iv2
2yx
medII
I
22
2
2 xyyx III
R
-
RIIRII
mediou
mediov
-
RADIO DE GIRO• Representa la distancia en que se concentra toda el área
para que se cumpla:ArI xx
2
AI
r xx