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Caracterización y ClasificaciónMorfológica de Imágenes de UltrasonidoComo Herramienta al Diagnóstico deLesiones en los Tendones de Conejo

Daniel Alberto Chávez Verbel

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Maestría en Ciencias Matemáticas AplicadasManizales - Caldas, Colombia

2016

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Morphological Characterization andClassification of Ultrasound Imaging as aTool to Diagnosis of Injury in Rabbit

Tendon




2016

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Caracterización y ClasificaciónMorfológica de Imágenes de UltrasonidoComo Herramienta al Diagnóstico deLesiones en los Tendones de Conejo


Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:Magister en Ciencias - Matemática Aplicada

Director:Ph.D. Juan Carlos Riaño Rojas

Grupo de Investigación:PCM Computational Applications

[email protected]

Codirector:Ph.D. Carlos Daniel Acosta Medina

Grupo de Investigación:Modelamiento Matemático y Computación Científica

[email protected]



2016

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Dedicatoria

A Dios por ser fuente de vida, salud e inspiración.

A mi esposa Natalie, mis hijos Camilo Andrés y DanaSofía Chávez Díaz, por aceptar y entender que mi ausenciaen momentos importantes de nuestras vidas tenía como finla superación personal y familiar.

A mis padres, Marco y María por su apoyo constante eincondicional.

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Agradecimientos

A Dios, por ayudarme, acompañarme y mostrarme quecuando el hombre cree no tener nada, él puede darlo todo.

A todos los docentes que han contribuido a mi formaciónacadémica y en especial a mi director de tesis Juan CarlosRiaño Rojas por su valioso tiempo, dedicación y orientaciónpara hacer posible este proyecto de investigación.

Al grupo Terapia Regenerativa de la Universidad de CaldasPor cederme el banco de imágenes para este proyecto.

Índice general

1. Introducción 11

2. Preliminares y Antecedentes 132.1. Tendones y diagnóstico médico en sus patologías . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Tendones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2. Patologías del tendón y diagnóstico médico . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.3. Tratamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Ultrasonido y antecedentes en medicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1. La ultrasonografía como técnica de elección en el diagnóstico de tendi-

nopatías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3. Antecedentes en reconocimiento de patrones en el diagnóstico médico . . . . 242.4. Índices de texturas en imágenes digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.1. Métodos Estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.2. Métodos Estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.3. Métodos Espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.4. Métodos Basados en Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5. Clasificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3. Procesamiento digital de imágenes de ultrasonido 373.1. Adquisición de imágenes ultrasónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Pre-procesamiento de las imágenes de ultrasonido . . . . . . . . . . . . . . . 393.3. Selección y extracción de características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4. Exploración de invarianza a rotación, traslación y escalamiento . . . . . . . . 413.5. Caracterización efectiva de características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6. Clasificación de patrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.7. Evaluación del desempeño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. Resultados y Discusión 454.1. Resultados de la exploración de invarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2. Resultados en cuanto a caracterización efectiva de características, clasificación

de patrones y evaluación de los clasificadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5. Conclusiones y Trabajos Futuros 575.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2. Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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8 ÍNDICE GENERAL

A. Matriz de datos resultado de la evaluación de 13 características sobre 43 imágenesecográficas de tendones de conejos y sus correspondientes etiquetas. 59

B. Resultado del proceso de clasificación con imágenes comunes. 63B.1. Imágenes Claras Vs Oscuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

C. Descripción de los Clasificadores 65C.1. Clasificador Bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65C.2. Clasificador de datos KNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67C.3. Máquina de Vectores de Soporte - SVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

C.3.1. SVM con margen máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69C.3.2. SVM lineal con margen blando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72C.3.3. SVM para clasificación no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Resumen

En este trabajo de investigación se realiza un estudio interdisciplinario con el fin de detec-tar patrones en una imagen de ultrasonido que evidencien diferencias entre un tejido normaly un tejido anormal en tendones de conejos, empleando técnicas de procesamiento digitalde imágenes, programación y clasificación de patrones. Se emplean en total 13 índices detexturas, 10 correspondientes a métodos estadísticos, 1 a métodos espectrales y 2 a métodosbasados en modelos, entre los que se cuenta el modelo de red compleja. Las característicasobtenidas mediante la evaluación de los índices, ingresan a una etapa de clasificación inicial,donde con ayuda de los clasificadores y un análisis de gráficas, se logra una caracterizaciónefectiva de las mismas, obteniéndose como resultado un conjunto efectivo de 3 característicasque evidencian diferencias entre tendones de conejos lesionados y sanos. Los resultados aquíobtenidos, en conjunto con la herramienta de cálculo desarrollada, constituyen un instrumen-to ideal que sirve como soporte al diagnóstico médico en el campo de la medicina veterinaria.

Palabras Claves: Imágenes ultrasónicas, Procesamiento digital de imágenes, Clasifi-cación de patrones, Tendinopatías, Tendón, Textura, Índices de textura, Redes complejas,Clasificadores, Dimensión Fractal.

Abstract

In this research an interdisciplinary study was performed in order to detect patterns in anultrasound image that demonstrate differences between normal tissue and abnormal tissue intendons of rabbits, using techniques of digital image processing, programming and patternclassification . Are used in total 13 rates textures, 10 corresponding to statistical methods,methods 1 and 2 to spectral model-based approaches, including the complex network mo-del is counted. The characteristics obtained by evaluating indices, entering a stage of initialclassification, where using classifiers and analysis graphs, effective characterization of thesame is achieved, resulting in an effective set of three characteristics evidencing differencesbetween rabbits injured tendons and healthy. The results obtained here, in conjunction withthe calculation tool developed, provide an ideal instrument serving as the medical diagnosissupport in the field of veterinary medicine.

Keywords: Ultrasound images, Digital image processing, Pattern classification, Tendino-pathies, Tendon, Texture, Indices texture, Complex networks, Classifiers, Fractal dimension.

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10 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Introducción

A diario se suelen presentar lesiones de ligamentos y tendones en muchas partes delcuerpo; sin embargo, los tendones más afectados del organismo son el rotuliano, aquiliano,manguito rotador, y los tendones flexores de la mano que revisten vital atención, ya quepueden dejar secuelas graves que van, desde una simple disminución de la fuerza, hasta unalimitación importante de la flexión, limitando la función global de la mano. En los tendones,se suelen presentar varios tipos de lesiones, entre las que se cuentan: tendinosis, tendinitis,tenosinovitis, tenosinovitis con tendinosis y ruptura total; las cuales revisten vital importan-cia dado que son muy frecuentes en las consultas y aún más en deportistas. En cualquierade estas lesiones, es esencial un diagnóstico que garantice la completa recuperación del tejidoafectado, de tal forma que se pueda estimar un tiempo para la recuperación total del pacientey su reintegro a las actividades cotidianas o al mundo laboral.

Conocedores de que la exploración por ultrasonido es de fácil acceso, bajo costo y propor-ciona una buena imagen de los tejidos blandos, el grupo Terapia Regenerativa de la Facultadde Veterinaria de la Universidad de Caldas ha implementado un modelo de tendinopatiasdel tendón de Aquiles en conejos, haciendo seguimiento semanal mediante ultrasonografía,y han desarrollado un banco de imágenes ecográficas para evidenciar diferencias o mejoríasen los tendones de conejos después de haber puesto en marcha un tratamiento regenerativo.Visualmente ellos manifiestan notar diferencias en las imágenes de los tendones normales vsanormales; sin embrago, no hay patrones morfológicos en las imágenes que respalden dichahipótesis.

En este trabajo, se toman las imágenes de tendones de conejos del grupo Terapia Regene-rativa de la universidad de Caldas y se desarrolla una herramienta que permite la caracteri-zación y clasificación morfológica de dichas imágenes, empleando técnicas de procesamientodigital de imágenes, programación y clasificación de patrones. Esta herramienta se convier-te en un instrumento de apoyo en el diagnóstico de lesiones en los tendones de conejo, ypuede influir en la valoración continua en un proceso de regeneración del tendón afectado.Adicionalmente, se organizó una base de datos de imágenes comunes, con el fin de clasificary establecer diferencias entre imágenes claras e imágenes oscuras.

El trabajo se ha organizado en cinco capítulos. En el siguiente capítulo, se describen

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12 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

aspectos relacionados con tendones, sus patologías, diagnóstico médico, tratamientos, el ul-trasonido y sus antecedentes en medicina, antecedentes en reconocimiento de patrones enel diagnóstico médico, se describen algunos índices de textura que se aplican en imágenesdigitales y su clasificación según los enfoques existentes en la literatura para el análisis detexturas, y se puntualizan aspectos relacionados con clasificadores de datos. En el capítu-lo tres, se describen aspectos relacionados con: adquisición de las imágenes ultrasónicas, laetapa de pre-procesamiento de las imágenes, extracción de características, caracterizaciónefectiva, clasificación de patrones, evaluación del desempeño y una exploración de invarianzaa rotación, traslación y escalamiento. En el capítulo cuatro, se presentan los resultados dela exploración de invarianza a rotación, traslación y escalamiento aplicada a 4 imágenes deprueba, y los resultados en cuanto a caracterización efectiva de características, clasificación depatrones y evaluación de los clasificadores. En el último capítulo, se exponen las conclusionesy se presentan posibles trabajos futuros. El apéndice B, presenta los resultados de aplicar elproceso de clasificación con imágenes comunes.

Los resultados de esta investigación abren las puertas a posteriores trabajos interdiscipli-narios en el campo de la veterinaria y el procesamiento de imágenes. Estos pueden consistir,en adaptaciones para clasificar patrones en imágenes ultrasónicas que permitan el diagnos-tico de lesiones tendinosas específicas en otros animales, o en estudios complementarios másprofundos en los que se caractericen y clasifiquen características morfológicas para estableceretapas en el proceso de regeneración del tejido tendinoso lesionado.

Capítulo 2

Preliminares y Antecedentes

En este capítulo se describen aspectos relacionados con tendones, sus patologías, diag-nóstico médico, tratamientos, el ultrasonido y sus antecedentes en medicina, antecedentes enreconocimiento de patrones en el diagnóstico médico, se describen algunos índices de texturaque se aplican en imágenes digitales y su clasificación según los enfoques existentes en laliteratura para el análisis de texturas.

2.1. Tendones y diagnóstico médico en sus patologías

2.1.1. Tendones

Los tendones son tejidos conectivos fibrosos que permiten la unión de los músculos alos huesos o a otras estructuras como el globo ocular, cuya función es trasmitir la fuerzagenerada por los primeros a todo el esqueleto, para dar lugar al movimiento articular [1].El tendón puede considerarse como la prolongación del musculo hasta su punto de inser-ción, presentando formas variables, cilíndricos, anchos, cortos, largos, en forma de abanico,en forma de correa o aplanados, entre otros. Los tendones sanos son brillantes de coloraciónblanquecina (blanco lechoso), tienen una textura fibro-elástica con gran resistencia a las car-gas mecánicas, [5] [9]. Las fibras tendinosas se agrupan en fascículos y su cohesión se debeal entrelazamiento y a la disposición helicoidal del tejido conjuntivo dispuesto entre ellas [11].

Los tendones están constituidos por distintos elementos: células, sustancia fundamental yfibras de colágeno, los cuales constituyen el cuerpo del tendón en diferentes proporciones [1].El componente celular del tendón lo constituyen - en un 90% a 95% [7] - los tenoblastos ylos tenocitos, los cuales son fibroblastos de morfología aplanada con prolongaciones delgadas[2], responsables de la producción de colágeno y de sustancia fundamental como los proteo-glicanos y agua, encargados de la organización y control del tejido colágeno. Los tenoblastosson células inmaduras del tendón que tienen forma de huso y numerosos orgánulos citoplas-máticos, lo que refleja su alta actividad metabólica. A medida que maduran, los tenoblastosse alargan y se transforman en tenocitos. El 5% a 10% restante de los elementos celulares detendones consiste en condrocitos en la fijación del hueso y los sitios de inserción, las célulassinoviales de la vaina del tendón, y las células vasculares, incluyendo las células endoteliales

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14 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES Y ANTECEDENTES

de los capilares y las células del músculo liso de las arteriolas [5].

En todo tejido conectivo la clave de la fuerza está en la configuración de la molécula decolágeno y es el factor más importante para la resistencia mecánica de un tendón [1] [9]. Elcolágeno es la proteína fibrosa más fuerte del cuerpo y forma una triple hélice característicade tres cadenas de polipéptidos, que se estabiliza principalmente por enlaces de hidrógeno yse combinan de manera diferente con elementos estructurales globulares y no helicoidales [8],originando una variada tipificación para esta molécula. Según Gelse [10], hay más de 20 tiposdiferentes de colágeno identificados hasta el momento, de los cuales varios (X, XII, XIV, XIX,XX) tienen una función aun poco conocida; para Best [8], existen 12 tipos diferentes, y Jura-do [1] hace una clasificación de 13 tipos de colágeno, los cuales son divididos en dos grupos:los que conforman fibras regulares de colágeno (I, II, III, V, XI) y los que no la conforman(IV, VI, VII, VIII, IX, XII, XIII). En todo caso, el colágeno tipo I es el colágeno más común,mejor estudiado, el principal colágeno presente en el tendón y según [8] constituye el 90%del colágeno en el cuerpo. Los tendones flexores adultos humanos normales se componen engran medida de colágeno tipo I (>95%); el 5% restante consiste en tipo III y colágeno detipo IV.

Una agrupación de fibrillas de colágeno forma una fibra de colágeno, que es la unidadmás pequeña de un tendón que se puede probar mecánicamente, es visible con microscopíade luz y se alinea de extremo a extremo en un tendón. Un manojo de fibras de colágenoforma un haz de fibras primaria, un grupo de haces de fibras primarias forma un haz defibras secundaria, un grupo de haces de fibras secundarias, a su vez, forma un haz de fibrasterciaria, y los haces terciarias forman el tendón [9]. Dentro de una fibra de colágeno, lasfibrillas están orientadas no sólo en sentido longitudinal, sino también en sentido transversaly horizontal, cruzándose algunas veces entre sí, formando espirales y trenzas [5]. El diámetrode estas fibrillas de colágeno varía de 20 nm a 150 nm [12]. En el tendón de Aquiles humano,las fibrillas están entre 30 nm y 130 nm de diámetro (la mayoría de ellos entre 50 nm y 90nm), mientras que en los flexores y extensores de los dedos de manos y pies, el diámetro esde 20-60 nm [12].

El número de fibras de colágeno en cada haz primario puede variar considerablemente detendón a tendón. El diámetro de la fibra de colágeno también muestra variación; por ejemplo,en el tendón de cola de rata el diámetro varía de 5 mm a 30 mm [13] y en tendones humanosel diámetro de la fibra puede ser hasta de 300 mm [14]. La concentración de colágeno en cadafibra está directamente relacionada con el diámetro de la fibra, que a su vez depende delnúmero más que del tamaño de sus fibrillas constituyentes [14]. En los tendones se reconocentres zonas específicas en toda su extensión: el punto de unión músculo-tendón llamada uniónmiotendinosa (UMT); la unión tendón-hueso denominada unión osteotendinosa (UOT), y lazona media o cuerpo del tendón que puede algunas veces cambiar de dirección apoyándoseen las poleas óseas [1].

En la parte externa el tendón está rodeado de unas estructuras que según [4], puedenagruparse en cinco categorías: las vainas fibrosas, las poleas de reflexión, las vainas sino-viales, vainas peritendinosas y las bursas (bolsas). Las vainas fibrosas son conductos que

2.1. TENDONES Y DIAGNÓSTICO MÉDICO EN SUS PATOLOGÍAS 15

permiten el deslizamiento de los tendones durante su recorrido, aunque están presentes sóloen tendones (como los flexores y extensores de manos y pies) que deben recorrer un largocamino para su inserción, lo que hace que puedan estar sometidos a importantes fricciones.Las poleas de reflexión se suelen localizar en las partes curvas que se pueden hallar a lolargo del tendón, brindando refuerzo a la anatomía de las vainas fibrosas y así mantenerel tendón dentro del lecho por el que se desliza. Las vainas sinoviales se encuentran en laszonas sometidas a mayor estrés mecánico, consisten en canales o conductos por los que lostendones acceden al hueso o a otras estructuras anatómicas que pueden causar fricción sobreel tendón, y su fin es mantener lubricado (mediante un fluido peritendinoso) al tendón paramitigar dicha fricción. Las vainas peritendinosas o paratendón se presentan en tendones quecarecen de una vaina sinovial verdadera y su función es permitir el libre movimiento del ten-dón contra los tejidos colindantes reduciendo así la fricción. Las bursas, son pequeños sacosde líquido situados entre dos estructuras contiguas (musculo, tendón o hueso) donde asistenal movimiento actuando como amortiguadores y disminuyendo la fricción.

En humanos y animales se encuentran muchos tendones, como el rotuliano, ubicado en laarticulación de la rodilla y que es una prolongación del cuádriceps femoral; tendón del rectofemoral, que origina parte del tendón del cuádriceps femoral; el tendón de aquiles o calcáneo,que se considera uno de los más resistentes del cuerpo; los tendones extensores y flexoresde las manos y pies; los del codo (tendón del bíceps braquial y tríceps braquial); los delhombro (tendón del supraespinoso, del infraespinoso, del pectoral menor,. . . ); del esófago,como el tendón cricoesofágico, entre otros. Lo anterior indica, que los tendones son parteesencial del cuerpo que aportan en gran medida a la movilidad y por tanto, cualquier estudioal respecto reviste gran importancia; más aún, cuando se conoce que las propiedades de lostendones varían ampliamente, no sólo entre las especies, sino también dentro de una especie[3]. En este trabajo se enfatiza siempre en el tendón de aquiles o calcáneo, ya que, sobre ellosrepercute la investigación.

2.1.2. Patologías del tendón y diagnóstico médico

La función primaria del tendón es transmitir la fuerza muscular al sistema esquelético pa-ra proporcionar la locomoción y movimiento de articulaciones y extremidades. Para hacerlocon eficacia, los tendones deben ser capaces de resistir altas fuerzas de tracción con alarga-miento limitado. Un tendón normal es capaz de soportar una carga de 50 a 100 N

m2 y se puedeestirar hasta aproximadamente el 4% de su longitud total antes de evidencia microscópicade la rotura de algunas fibras de colágeno [6]. Las haces de fibras de colágeno empaquetadasdensamente dispuestas en paralelo a lo largo de la longitud del tejido proporcionan una resis-tencia eficiente frente a cargas de tracción, sin embargo los tendones tienen una resistenciadébil a las fuerzas de cizallamiento y de compresión. Un tendón sano es brillante, nacarado,de textura elástica firme, en contraste con un tendón degenerado que pierde su textura, esde color grisáceo y de aspecto frágil [17].

Hay muchas presentaciones clínicas comunes de procesos patológicos agudos y crónicosque implican los tendones, denominados tendinopatías, entre las que se cuentan: tendinosis,tendinitis, tenosinovitis, tenosinovitis con tendinosis [1] y ruptura total; las cuales revisten


vital importancia dado que son muy frecuentes en las consultas y aún más en deportistas.Las lesiones tendinosas son producidas principalmente por fuerzas de compresión, fuerzasde rozamiento o fricción, fuerzas de tracción, o por diferentes estímulos de leve intensidadaplicados de forma repetitiva [16].

La tendinosis consiste en una degeneración intratendinosa debido a microtraumatismos,deterioro vascular o edad, se considera una tendinopatía crónica debido al tiempo de evolu-ción (> 6 semanas), y se asocia, desde el punto de vista histológico, con la desorientacióny desorganización del colágeno, la neovascularización y la celularidad aumentada. La tendi-nitis se considera una tendinopatía aguda (< 2 semanas) que consiste en una degeneraciónsintomática del tendón con rotura vascular y respuesta inflamatoria que se evidencia por pro-liferación fibroblástica, hemorragia y organización del tejido de granulación. La tenosinovitiso paratendinitis consiste en una inflamación de la capa externa del tendón y se evidencia enuna degeneración mucoide en el tejido areolar. La tenosinovitis con tendinosis es una para-tendinitis asociada con degeneración del cuerpo del tendón y se evidencia, desde el punto devista histológico, por cambios degenerativos con degeneración mucoide con o sin fibrosis ycélulas inflamatorias [1].

Desde el punto de vista histológico, las alteraciones estructurales que ocurren en un ten-dón afectado, son bandas de colágeno desorganizadas, hipercelularidad, aumento de vasossanguíneos y aumento de terminaciones nerviosas. También se aprecia infiltración grasa ysignos de hipoxia [17].

Las lesiones del tendón agudas o crónicas, pueden tener un origen intrínseco y/o extrínse-co. Según [5], los factores extrínsecos predominan en un traumatismo agudo y la degeneracióndel tendón puede conducir a la reducción de resistencia a la tracción y una predisposición ala ruptura.

Entre los factores intrínsecos hay factores generales como la edad, el sexo [20], la presenciao ausencia de enfermedades sistémicas heredadas o adquiridas (como la artritis reumatoideo la diabetes mellitus) [22] y el sobrepeso, y otros locales o específicos como la isquemia [5],la torsión tibial lateral, la tibia en varo, el pie cavo, la disimetría de miembros inferiores yla hiperpronación del pie dada por problemas anatómicos, como antepié en valgo, laxitudligamentosa del pie medio o debilidad del tríceps sural [19]. La isquemia, ocasionada poralteraciones vasculares, puede producirse cuando el tendón es sometido a carga máxima oestá comprimido por una prominencia ósea [16].

En los factores extrínsecos se destacan, la indebida planificación o métodos de entrena-miento, como la duración excesiva de los tiempos de trabajo, intensidad excesiva, déficitde adaptación fisiológica, calentamiento insuficiente, cambios de superficie de entrenamien-to/juego, incrementos súbitos en el programa de entrenamiento, recuperación insuficiente,errores en la adaptación individual al entrenamiento, entrenamientos en superficies muy du-ras, disminución de los periodos de descanso, la ejecución en pendiente, carreteras resbala-dizas, entre otros [19]. De igual forma, aparecen otros factores externos, como las zapatillasinadecuadas, el consumo de anticonceptivos orales en mujeres, el tabaquismo y la falta de

2.1. TENDONES Y DIAGNÓSTICO MÉDICO EN SUS PATOLOGÍAS 17

aclimatación (el paso de un ambiente frío a uno caluroso o la cantidad de humedad relativa)que hace que el individuo no regule bien la pérdida de agua y otros minerales, con incidenciadirecta sobre el colágeno [16].

Un buen diagnóstico de las lesiones tendinosas es relevante, dado que:

Permite elegir, en lo posible, las técnicas apropiadas para el tratamiento en el procesode regeneración del tendón.

Es posible prever el tipo de afectación que ocasiona u ocasionará en otros componentesdel sistema musculo esquelético, los cuales “se ven afectados en distinta y adversa me-dida por la inactividad, apareciendo la atrofia de partes blandas y la desmineralizacióndel tejido óseo” [1].

Se puede estimar un tiempo para la recuperación total del paciente y su reintegro a lasactividades cotidianas o al mundo laboral.

Si se trata de animales, podría determinarse si es conveniente o no, volverlos a sometera las actividades para las cuales han sido entrenados, como es el caso de los caballosde competencias, o reintegrarlos a su habitad, como es el caso de los conejos. Estosúltimos, necesitan miembros posteriores en óptimas condiciones para escapar de losdepredadores y poner a salvo su vida.

Aunque no hay cifras exactas, son muchos los datos estadísticos que dan cuenta de laimportancia de un buen diagnóstico y tratamiento de lesiones tendinosas. Por ejemplo, enla versión XVI del Campeonato Sudamericano de Fútbol Sub-17 realizado en 2015, Se re-gistraron 103 lesiones en 35 partidos, de las cuales 14 (13,59%) estuvieron asociadas conproblemas del tendón de aquiles [15]. Según [18], de 1100 jugadores de futbol americano dela liga infantil-juvenil portadores de lesiones por sobre-uso y esfuerzo excesivo, 79 (7%) co-rresponden a tendinopatías. En un estudio prospectivo de 3 años en una clínica deportivafinlandesa, las quejas del hombro fueron de aproximadamente el 18% (afectando principal-mente el manguito rotador) y los problemas del tendón de aquiles y de los otros tendones dela pantorrilla cerca del 20% [19]. [21] afirma que las tendinopatías y desgarros de los tendo-nes son lesiones musculo-esqueléticas comunes que dan cuenta de más del 30% de todas lasconsultas del aparato locomotor, y según [22], los problemas de tejidos blandos en generalcomprenden hasta el 43% de las nuevas referencias de pacientes de reumatología.

Si bien el tendón de aquiles es el más fuerte en el cuerpo se lesiona con frecuencia. Engeneral, las diferentes mal alineaciones y defectos biomecánicos están asociados, en un 60 a70%, con las lesiones por uso excesivo de este tendón [19]. El diagnóstico clínico más comúnde lesiones por uso excesivo del tendón de aquiles es la tendinopatía del cuerpo principal deltendón (55% a 65%), seguido de problemas de inserción, tales como bursitis retrocalcánea yla tendinopatía de inserción (20% a 25%) [19]. La prevalencia de la tendinopatía de aquilesen los corredores se ha estimado en un 11% [22].

La reparación tendinosa consta de tres fases: inflamatoria inicial, proliferativa intermediao etapa productoras de colágeno y remodelación final. En la primera los eritrocitos y células


inflamatorias, principalmente neutrófilos, llegan al lugar de la lesión en las primeras 24 horas,quienes activan al resto de células inflamatorias y el aumento de vascularización. En la segun-da, pasados unos días, se aumenta la producción de colágeno tipo III que intenta andamiar eltejido sobre el que se va a construir el tejido reparado. Alrededor de las seis semanas todo eltejido formado empieza a remodelar y a madurar, y se aprecia un aumento del contenido encolágeno tipo I. Esta última fase puede continuar hasta durante 1 año después de la lesión [8].

Para clasificar los grados de avance y alteraciones degenerativas que van apareciendo enun tendón afectado y basados en esta categorización proponer tratamientos específicos, sedebe partir con una evaluación clínica específica y un estudio ecográfico. En la evaluaciónclínica se busca detectar factores predisponentes, plan de trabajo físico realizado, superficies,competencias, calzado, volumen de entrenamiento y causa de la sobrecarga deportiva (si esel caso). En la ecografía, se requiere un médico ecografista con especialización en lesionesmúsculo esqueléticas, para evaluar engrosamiento del tendón, presencia de rupturas de fibras,quistes y calcificaciones, entre otras [17].

2.1.3. Tratamiento

Hoy día se puede observar que las lesiones de partes blandas son cotidianas y más aún enel mundo del deporte, razón por la cual es necesario un buen protocolo de actuación, desde elmomento de la lesión, hasta la etapa de vinculación del deportista o la persona a la actividaddeportiva o laboral, devolviendo a la estructura afectada sus propiedades iniciales.

La tendinopatía y la ruptura del tendón incapacitante son afecciones musculo-esqueléticasmuy comunes y a pesar de la prevalencia de estas lesiones, un número limitado de investiga-dores están llevando a cabo estudios de ciencias básicas centrados en los procesos que rigen lastendinopatías y la comprensión de la curación del tendón. El desarrollo de terapias eficaces seve obstaculizado por la falta de datos rectores fundamentales sobre la biología del desarrollodel tendón [21]; Sin embargo, en literatura se encuentran descritos muchos tratamientos en elmanejo de la patología tendinosa y en su gran mayoría han dado lugar a resultados contradic-torios, probablemente debido a las diferencias en los tendones, los animales y curso temporalde la evaluación entre los estudios [21]. Además, pocos tienen una fuerte base de pruebas [22].

Algunos de los tratamientos más conocidos son: los fármacos anti-inflamatorios no este-roideos (AINE), corticoides, heparina, dextrosa, aprotinina, inyecciones esclerosantes (poli-docanol), tratamientos físicos (la crioterapia, el láser, el ultrasonido terapéutico), trinitratode glicerol, la terapia con ondas de choque, glucosaminoglucanos polisulfatados (GAGPS), lacarga excéntrica y el plasma rico en plaquetas [22] [16].

El grupo Terapia Regenerativa de la facultad de Veterinaria de la Universidad de Caldasha implementado varios de estos tratamientos en conejos, a los que se les ha lesionado eltendón de aquiles por medio de inyección eco-guiada con colagenása para reproducir unmodelo animal de la tendinopatía. Entre los tratamientos puestos a pruebas se tienen lasolución salina con placebo y el plasma rico en plaquetas.

2.2. ULTRASONIDO Y ANTECEDENTES EN MEDICINA 19

2.2. Ultrasonido y antecedentes en medicina

La ecografía es una técnica de diagnóstico por imagen que se utiliza fundamentalmentepara evaluar los tejidos blandos. Se trata de un procedimiento seguro, no invasivo y que noutiliza radiaciones ionizantes, por lo que no produce efectos biológicos adversos. Las imá-genes ecográficas corresponden al aspecto macroscópico de cortes anatómicos, mostrando laarquitectura interna de los diferentes órganos. Con la suma de cortes se puede obtener unaidea tridimensional del tamaño, la forma y la estructura de los órganos [46].

La ecografía se basa en la emisión y recepción de ultrasonidos, que son aquellas ondas desonido cuya frecuencia es superior a la audible por el oído humano, es decir, por encima delos 20.000 Hercios (Hz). Las frecuencias utilizadas en la práctica clínica varían entre 2 y 10Megahercios (MHz) [46].

Tiene tres modos de operación, A, B y M. El modo A (Amplitud), utiliza un solo haz deUS y la información recogida es representada en gráficas unidimensionales en las que el ejevertical representa la distancia y el eje horizontal la amplitud de los ecos. El modo B (Brillo),utiliza múltiples haces emitidos secuencialmente para obtener imágenes bidimensionales enlas que el brillo del punto es proporcional a la amplitud del eco y la posición al tiempo derecepción. El conjunto de los puntos reproduce un corte anatómico de la región examinada.El modo M (Movimiento), es una adaptación del modo B en la que se utiliza un solo hazde US y se obtienen imágenes unidimensionales en movimiento en las que se observan losecos como puntos de brillo de distinta intensidad, siendo la distancia también proporcional altiempo que tardan en ser recibidos. Esta línea de puntos es presentada en el monitor de formacontinua a lo largo del tiempo, avanzando la imagen hacia la derecha; por lo que se puedenseguir con precisión los movimientos a lo largo del tiempo, lo cual lo hace muy utilizado enecocardiografía [46].

La ultrasonografía (ecografía o ecosonografía) es hoy día, una técnica o procedimientode diagnóstico médico, empleada diariamente en hospitales y clínicas a nivel mundial; sinembargo, no en todas partes se adelanta investigación o estudios con estas imágenes. A conti-nuación se describen algunos de los estudios que se han descrito en la literatura relacionadoscon el empleo de la ultrasonografía.

La utilidad del ultrasonido como método de exploración médica fue iniciada por Gohry Wedekind en la Medical University of Koln en Alemania en 1940, quienes publican unartículo "Der Ultraschall in der Medizin", describiendo la posibilidad de detectar tumores oabscesos en el cerebro empleando los mismos principios de reflexión del sonido. Ese mismoaño, el psiquiatra austríaco Dussik, desarrolla un procedimiento para detectar tumores enlos ventrículos cerebrales empleando ultrasonidos al que denomina “hiperfonografía”. Estecurioso método consistía en sumergir la cabeza del paciente en agua con dos transductoresque emitían ultrasonidos de 1,2 MHz y registrar los cambios del sonido en un papel sensibleal calor (método similar a los rayos X). Mas tarde, Howry (1947) detectó estructuras de teji-dos blandos al examinar los reflejos producidos por el ultrasonido en diferentes interfaces [26].


En 1948, se lleva a cabo el Primer Congreso de Ultrasonido en Medicina celebrado enErlangen (Alemania). En él, Dussik y Keidel presentaron sus informes de ecografía empleadaen el diagnóstico médico, y fueron los únicos dos artículos que discuten la ecografía comoherramienta de diagnóstico. Los demás informes hablaban todos de su uso terapéutico [30].

En 1950, Dognon y Dénier mejoran los métodos de registro de imágenes y proponen eltérmino “ultrasonoscopia” para la técnica. En esa misma época, en Estados Unidos, Ludwing,visualiza cálculos en vesícula y explora tejidos blandos animales basado en la metodologíade Radar y Sonar. También determinó la velocidad del sonido en los tejidos animales (1540m/s), cuyo valor se sigue utilizando hoy día [26].

En 1951, hizo su aparición el “ultrasonido compuesto”, en el cual un transductor móvilproducía varios disparos de haces ultrasónicos desde diferentes posiciones, y hacia un áreafija. Los ecos emitidos se registraban e integraban en una sola imagen. En 1952, Howry yBliss publicaron imágenes bidimensionales del antebrazo in vivo; y Wild y Reid también lohicieron de los tumores de mama y obtuvieron un 90% de certeza en la diferenciación entrelesiones quísticas y sólidas. Hasta ese momento la ecografía se realizó por inmersión [26].

El 29 de octubre de 1953, Inge Edler y Hellmuth Hertz equipados con el Ültraschall Im-pulsgerät", registran la primera imagen en movimiento del corazón, inaugurando así el campode la çardiografía de ultrasonido". Los primeros ecos, registrados a través de modo-M, eran dela pared posterior del ventrículo izquierdo y de otra estructura que se cree la pared anteriorde la aurícula izquierda. El trabajo de Edler y Hellmuth fue llevado adelante por cardiólogosde todo el mundo, que desarrollaron Doppler, 2 dimensiones, el contraste y la ecocardiografíatransesofágica, hoy día estándar en los exámenes cardiológicos [31].

En 1955 Shigeo Satomura y Yasuhara Nimura, del Instituto de Investigación Industrialy Científica en Osaka (Japón), implementan por primera vez las aplicaciones médicas de lastécnicas de ultrasonidos doppler para el estudio de la movilidad valvular cardiaca y pulsacio-nes de los vasos sanguíneos periféricos. El equipo Satomura incluyendo a Kaneko, fue pioneroen las mediciones de flujo Doppler transcutánea en 1959 [30].

En 1966, Kichuchi introdujo la ültrasonocardiotomografía sincronizada", usada para ob-tener estudios en 9 diferentes fases del ciclo cardiaco, usando un transductor rotatorio y unaalmohada de agua. Un año más tarde se inicia el desarrollo de transductores de Modo Apara detectar el corazón embrionario. En 1968, Sommer describió el desarrollo de un scan-ner electrónico con 21 cristales de 1.2 MHz, que producía 30 imágenes por segundo y quefue realmente el primer aparato en reproducir imágenes de tiempo real, con una resoluciónaceptable [26].

En 1968, Garrett, Robinson y Kossoff publican uno de los primeros trabajos en anatomíafetal "la anatomía fetal mostrada por ultrasonidos". En 1970 publican un trabajo sobre eldiagnóstico de malformación fetal, reportando un caso de riñones poliquísticos fetal a las 31semanas de gestación. En 1971, informan sobre exploraciones obstétricas a escala de grisesen la reunión de Ingeniería Biológica Internacional en Melbourne y luego en el Congreso


Mundial de diagnóstico por ultrasonidos en Medicina en Rotterdam en 1973 [30].

En 1975, Roger Sanders, Michael Curtin y Alan Tapper [33], describen el uso y la utilidadde la ecografía en la evaluación de pacientes programados para someterse a aborto volunta-rio. Demuestran las aplicaciones clínicas de la ecografía en el aborto voluntario, basados enmás de 1.000 ecografías realizadas para evaluar a los pacientes a punto de someterse a (einiciando) aborto electivo en el Hospital Johns Hopkins en Baltimore- Maryland.

Harvey Goldstein, Barry Green, y Ralph Weaver, publican en 1978, su experiencia concinco casos de carcinoma renal en los que pudieron detectar, mediante ecografía en escala degrises, la extensión tumoral renal a la vena cava inferior. Se observaron dos apariencias eco-gráficas diferentes que reflejan el tumor en cava. Cuatro pacientes tenían uno o dos nódulosecogénicas lntraluminal o trombos, y el quinto caso manifiestó generalizada dilatación de lavena cava con innumerables ecos difusos de baja amplitud que emanan del lumen [34].

Terry Silver et al. [36] documentan en 1979, un caso en el que detectan bloqueo cardiacoprenatal congénito por medio del estudio de la actividad y ritmo cardiaco en la ecografíadoppler. El diagnóstico se pudo corroborar al nacimiento del bebe.

Ese mismo año, Bergman, Neiman y Kraut [37], describen los hallazgos ecográficos aso-ciados con la formación de abscesos pericolecístico, una de las complicaciones potencialmenteserias de la colecistitis aguda. Para la época, el uso de la ecografía en escala de grises en laevaluación de enfermedades de la vesícula estaba bien establecido; sin embargo, el ultrasonidopara la detección preoperatoria de absceso pericolecístico era muy discutido. Los hallazgosecográficos y quirúrgicos se correlacionaron en tres pacientes.

En 1991, Harris Cohen et al. [39], realizan un estudio con 397 mujeres en estado de emba-razo para medir longitudes normales de los riñones fetales mediante ecografía en las diferentesedades gestacionales. Según estos autores, una línea de base precisa de las longitudes de losriñones fetales normales es necesaria para diagnosticar anomalías fetales asociadas con el ta-maño renal anormal, y las mediciones precisas también pueden ser útiles en la determinaciónde la edad gestacional, sobre todo cuando la última menstruación de la madre es descono-cida y los métodos de rutina utilizados para determinar la edad gestacional dan resultadoscontradictorios. Los resultados muestran que las longitudes medias son mayores, con inter-valos de confianza más anchos de lo que se conocía con anterioridad; además, se halló unafuerte correlación entre la longitud renal y la edad gestacional, determinado por el diámetrobiparietal, la longitud del fémur y la circunferencia abdominal.

La calidad de imagen registró mejoras reales en la década de 1990. Es interesante notarque la disponibilidad de nuevas y eficaces tecnologías para equipos de ultrasonido tambiénse había debido progresivamente a partir de los avances en la tecnología en otras áreas de laciencia, tales como la navegación por radar, las telecomunicaciones y la electrónica de consu-mo. Con una mejor resolución de la ecografía transvaginal, Mark Cullen en Yale, informó porprimera vez en 1990 una gran serie de anomalías congénitas detectadas en el primer trimestremediante ecografía transvaginal, y señaló la importancia de una buena comprensión del desa-


rrollo embrionario normal en dicho diagnóstico. Ese mismo año, un grupo de investigadoresde la Universidad de Columbia dirigido por Donald King, describió en 1990 otros enfoquesy algoritmos informáticos para el registro espacial 3-D y la visualización de la posición y laorientación de las imágenes de ultrasonido en tiempo real [30].

HC Kuo, FM Chang y CH Wu del Hospital de la Universidad Nacional Cheng Kung (Tai-wán), informaron en 1992, la visualización 3D de la cara del feto, el cerebelo y la vértebracervical, usando el Combison 330 de Kretztechnik. El grupo taiwanés también fue el primeroen describir la visualización 3D del corazón del feto en el mismo año, aunque en ese momentosólo manejaban imágenes en 3D estáticas [30].

Mediados de la década de 1990 se llevaron a cabo por primera vez, el examen Dopplercolor de las estructuras patológicas en el área de cabeza y cuello. Los estudios Doppler trans-craneal de flujo sanguíneo en la arteria cerebral media permite una conclusión sobre unaposible oclusión intraoperatoria de la arteria carótida común y los déficits neurológicos post-operatorios esperados [Mann].

En 1995, el centro de diagnóstico por ultrasonidos y terapia prenatal, Universidad deMainz (Alemania), demostró la utilidad de la imagen ortogonal multiplanar, las vistas desuperficie y las vistas transparentes, en el diagnóstico y confirmación de la superficie fetal,anomalías esqueléticas tales como labio leporino y malformaciones múltiples y complejas. En1997, su equipo informó sobre el diagnóstico de anomalías faciales utilizando exploracionestrans-vaginales 3-D [30].

De julio a septiembre de 2004, personal médico del Centro Médico Nacional “Adolfo RuizCortines” en México, evaluaron la utilidad de la ecografía abdominal en el diagnóstico dedengue hemorrágico y describieron la correlación entre los hallazgos clínicos y ecográficosmás frecuentes. El estudio se llevó a cabo con 132 pacientes, 21 con dengue clásico y 111 conhemorrágico. Se efectuó ultrasonido para buscar engrosamiento de la pared vesicular, derramepleural y ascitis. De los 111 pacientes de dengue hemorrágico, el 86% presentó engrosamientode la pared vesicular, el 66% derrame pleural, 60% ascitis y 36% colecistitis alitiásica aguda[42].

En 2007 Altenbrunner et al. [29], publican los resultados de un estudio ecográfico de losaspectos fundamentales del hombro bovino y los hallazgos fisiológicos, realizado con 19 bo-vinos sanos y 6 cadáveres de bovinos. Las imágenes de los músculos de los hombros lateralesfueron exitosas en todos los casos; en el ganado sano las cavidades sinoviales de la articu-lación escapulohumeral, la bursa bicipital y la bursa infraespinosa no estuvieron claramentedefinidas, aspecto que mejoró después de llenar con agua experimental. En ese estudio, sepresenta el aspecto ecográfico normal de las estructuras de los tejidos blandos y las superficiesóseas de la escápula y húmero proximal, proporcionando los datos básicos de referencia parala evaluación ecográfica de la región del hombro bovina.

En 2013, la doctora Claudia Astudillo [28] publica una revisión de las utilidades e indi-caciones más frecuentes de los exámenes de ultrasonido musculoesquelético, y se describen


ventajas y desventajas del ultrasonido en comparación con la RM. Dentro de las ventajasestán: el bajo costo, no invasivo e inocuo, sin contraindicaciones (embarazo, marcapaso, im-plantes metálicos, claustrofobia,. . . ), permite comparación con el lado contralateral, es unestudio dinámico (con observación en tiempo real de las estructuras durante el movimiento),permite interactuar con el paciente correlacionando la alteración visible con su molestia olugar del dolor, es de fácil transporte y accesible (apoyo intraoperatorio, evaluación inmediataen deportistas), y permite guiar intervenciones por vía percutánea, tanto diagnósticas comoterapéuticas. Como desventajas están: que es operador dependiente, la curva de aprendizajees lenta (el operador debe conocer ampliamente la anatomía y patología de los distintos seg-mentos, debe saber reconocer la presencia de artefactos que simulan alteraciones y considerarcomo en toda la imagenología que “lo que no se conoce, no se ve”), depende del equipamientodisponible (equipos de ultrasonido moderno brindan imágenes de mejor calidad), permite uncampo visual relativamente pequeño, es limitado para visualizar estructuras más profundas(pacientes de gran contextura física, no atraviesa las estructuras óseas), no permite evaluaciónde estructuras intra-articulares, y en ocasiones, lesiones o desgarros pequeños pueden no serevidentes en las primeras 24-48 horas, por lo que muchas veces se sugiere una re-evaluaciónecográfica posterior.

En 2015 García, et al. [27], publican un artículo sobre estudio retrospectivo con 58 pa-cientes, llevado a cabo entre marzo de 2011 y septiembre de 2014, en el que se muestra quela ecografía como guía en la punción percutánea de lesiones torácicas periféricas(LTP) ofreceventajas frente a otras técnicas de imagen.

2.2.1. La ultrasonografía como técnica de elección en el diagnósticode tendinopatías

Avances significativos se han hecho en la comprensión de la fisiopatología de enfermedadesque afectan los tendones. Las pruebas histopatológicas, junto con los avances en las técnicasde imagen, ha hecho apreciar más la naturaleza degenerativa (en lugar de inflamatoria) deestas condiciones [22].

Para llevar a cabo la etapa de diagnóstico el especialista recurre en primera instancia ala palpación; sin embargo, se estima que usando simplemente la palpación y la observaciónpara diagnosticar lesiones en tendones y ligamentos, se incurrirá en error el 75% de las vecesen el momento de realizar el examen clínico [23]. Otras pruebas empleadas desde la etapa dediagnóstico consisten en: exámenes de laboratorios, en los que se asocia el aumento de leu-cocitos a una inflación grave; exámenes histológicos como biopsias, que permiten diferenciarentre maneras agudas o crónicas de tendinopatías [1], y la ultrasonografía como técnica deelección para el diagnóstico de este tipo de alteraciones.

La radiología médica contribuye ahora a elegir el tipo de lesiones de los tendones, lo quepermite establecer el tratamiento más adecuado. La ecografía tiene cuatro funciones princi-pales para definir el tipo de lesión y orientar el tratamiento: confirmar la existencia real dela lesión tendinosa, precisar la ubicación exacta de la misma, determinar la gravedad de lalesión y, por fin, evaluar su carácter “activo” o de secuela [24]. No obstante, existen tendones


del miembro superior, origen de dolor y patología, cuya visualización en ocasiones es dificul-tosa mediante ecografía de alta resolución dada la anatomía intrínseca de los mismos y laexistencia de artefactos propios de esta técnica, que requieren un conocimiento en profun-didad y una larga curva de aprendizaje, en la exploración e interpretación de las imágenes [25].

Cuando un diagnóstico de la tendinopatía de Aquiles no se deduce de la historia y exa-men físico, se justifican los estudios de imagen. La ecografía y la resonancia magnética (RM)son de ayuda cuando los resultados del examen clínicos no son suficientes para llegar a undiagnóstico. En un estudio de comparación, entre el ultrasonido y resonancia magnética queincluyó el cegamiento de los examinadores a la evaluación clínica, hubo un desempeño similaren la identificación de la tendinopatía de Aquiles. Esto ratifica que el uso de la ecografía esapropiado en el estudio o diagnóstico de lesiones tendinosas [27].

Conocedores de que la exploración por ultrasonido es de fácil acceso, bajo costo, no invasi-va y proporciona una buena imagen de los tejidos blandos, el grupo Terapia Regenerativa dela facultad de Veterinaria de la Universidad de Caldas ha desarrollado un banco de imágenesultrasónicas para evidenciar diferencias o mejorías en los tendones de conejos después de serfracturados y puesto en marcha un tratamiento regenerativo. Visualmente ellos manifiestannotar diferencias en las imágenes de los tendones normales vs anormales; sin embrago, nohay patrones morfológicos en las imágenes que respalden dicha hipótesis. Con este estudio,se trata de evitar la falta de histopatología humana en la enfermedad temprana del tendónmirando la evidencia de daño del tendón inducida experimentalmente. En otros experimen-tos, además de conejos, se han empleado comúnmente modelos de ratas y caballos [22].

El ultrasonido se ha empleado también como tratamiento terapéutico y se ha utilizadocomo tratamiento físico común para los trastornos de los tendones. Las ondas de ultrasonidoson transmitidas desde un transductor a un paciente a través de un medio de acoplamiento(tal como un gel), causando un efecto térmico sobre los tejidos. Hay poca evidencia clínicaque demuestra su eficacia [22].

2.3. Antecedentes en reconocimiento de patrones en eldiagnóstico médico

En 1974, J. Burger y W. Blauenstein [32], muestran con ejemplos clínicos la utilidad deunos criterios topográficos que se idearon para la delimitación ecográfica de la región del pán-creas. Lograron ilustrar el patrón de eco típico de las siguientes enfermedades pancreáticas:(1) dilatación del conducto pancreático, carcinoma de la papila; (2) la pancreatitis aguda;(3) la fibrosis, necrosis; y (4), los tumores de la cabeza, cuerpo y cola del páncreas.

Michael Bernardino, et al. [35] hallaron en 1978, una serie de características ultrasónicasen 21 tumores suprarrenales de 19 pacientes, examinados empleando ecografía en escala degrises. Determinaron que los tumores variaban en tamaño desde 4 hasta 25 cm y todos mos-traban características de eco sólidos sin áreas quísticas focales. Las masas tendían a teneruna ronda de forma ovoide con contornos suaves. Una lesión primaria tenía una proyección

2.3. ANTECEDENTES EN RECONOCIMIENTO DE PATRONES EN EL DIAGNÓSTICO MÉDICO25

anterior en forma de lengua al riñón.

En 1980 Richard Sukov et al. [38], describen como se ve el espectro de patrones ecográficosen escala de grises de 17 abscesos hepáticos amebianos en ocho pacientes. De los abscesos, 16tenían un tono gris más bajo que el hígado normal adyacente, el rango de tamaño de los abs-cesos fue de 3 a 10 cm, eran generalmente redondos y, a excepción de uno, bien delimitadosdel parénquima adyacente normal. Con los resultados obtenidos, sugieren valorar el papeldel ultrasonido tanto en el diagnóstico, como en el tratamiento de los abscesos amebianoshepáticos.

En [24], se describe el aspecto normal del tendón en la ecografía, indicando que casi todoslos tendones del cuerpo humano tienen una ecoestructura similar. En un corte longitudinal,presentan una estructura de alta ecogenicidad, fibrilar y paralela al eje largo del tendón,lo cual corresponde a las fibras de colágeno, rodeadas con estructura de ecogenicidad inter-mediaria (matriz de proteoglicanos); además, dependiendo de su espesor, algunos tendonespresentan una envoltura periférica de ecogenicidad aumentada que constituye la vaina si-novial. En secciones transversales, la mayoría de los tendones aparecen ovales o redondos,presentan múltiples ecos y están rodeados por una estructura hiperecogénica: la vaina sino-vial; los tendones en el plano transversal pueden visualizarse menos claramente a causa de lagrasa periférica también hiperecogénica.

En 1996 J. Cornwall et al. [41], dejan claro que gran parte del trabajo de caracterizacióndel tejido se realiza con los mismos instrumentos ecográficos para hacer imágenes, lo cualdificulta hacer mediciones cruciales como constantes de atenuación de los tejidos, la depen-dencia de frecuencia de la velocidad del sonido en el tejido, constantes elásticas, y similares;además, el tejido variable de paciente a paciente y de un órgano a otro, es otra dificultad.Resaltan que un programa de caracterización de los tejidos incluiría entre otros, estudios quevan más allá de la capacidad del equipo de ultrasonido convencional.

Es de destacar el trabajo de J. C. Riaño [43] en 2010, quien en su tesis doctoral, desa-rrolla una metodología como soporte para la detección de enfermedades vasculares del tejidoconectivo a través de imágenes capilaroscópicas. Empleando más de 90 características, lograclasificar imágenes digitales de capilares en tres principales grupos: imágenes normales, imá-genes con lupus eritematoso e imágenes con esclerodermia.

El 11 de noviembre de 2011 se llevó a cabo la 1a Jornada interhospitalaria de fisioterapiaen el Hospital Universitario de Fuenlabrada (Madrid, España). En ella, José Ríos et al. [44]dieron a conocer los resultados de un estudio en el que comparan el poder discriminatoriode los patrones ecográficos del tendón de Aquiles de dos técnicas de análisis de imagencon fundamentación teórica diferente: el análisis fractal y el análisis textural con matricesde co-ocurrencia de nivel de gris. El estudio se realizó sobre una muestra de 103 personas(206 imágenes ecográficas) sin sintomatología en el TA ni historia de patología, con edadescomprendidas entre los 18 y 53 años y divididos en cuatro grupos de edad. Se obtuvieronlas variables fractales dimensión fractal y lagunaridad, y las variables texturales energía,contraste, homogeneidad y entropía. Como conclusión, el análisis cuantitativo de los patrones


ecográficos del tendón de Aquiles detectó diferencias significativas entre sujetos de diferenteedad que no pueden ser detectadas y cuantificadas visualmente.

2.4. Índices de texturas en imágenes digitales

No existe una definición exacta de lo que significa textura en el ámbito del análisis yprocesado de imágenes; sin embargo, es un término ampliamente utilizado y son varias lasdefiniciones que se le han dado. Para Gonzales [47], por ejemplo, es un descriptor que propor-ciona intuitivamente medidas de propiedades tales como suavizado, rugosidad y regularidad.

Según Russ [49], textura es un término que hace referencia a la variación local en el brillode un píxel al siguiente o dentro de una pequeña región, y se puede ver como una medida dela rugosidad si el brillo se interpreta como la elevación en una representación de la imagencomo una superficie.

Para Haralick y Shapiro [48], la textura se refiere a la distribución espacial de las inten-sidades de imagen y las características tonales discretas, y puede ser descrita a través demedidas de la uniformidad, densidad, aspereza, rugosidad, regularidad, intensidad y direc-cionalidad.

Bharati et al. [50], consideran que la textura puede describirse como un atributo querepresenta la distribución espacial de los niveles de intensidad en una región dada de unaimagen digital.

En este trabajo se considera la textura en el sentido en que la han definido [47] y [48],ya que, se evalúan características que tienen en cuenta los niveles de gris y/o la distribuciónespacial de los mismos en la imagen, haciendo siempre una cuantificación que apunta a lacaracterización que se persigue.

Existen en la literatura diversos enfoques para analizar texturas y difieren principalmenteen el método empleado para extraer las características de la textura. Los cuatro enfoquesmás utilizados para describir la textura de una región son los estadísticos, estructurales,espectrales [47] y los métodos basados en el modelo [51]. A continuación se describen estosenfoques y las características o índices de texturas empleados en la presente investigación:

2.4.1. Métodos Estadísticos

Estos métodos se calculan teniendo en cuenta los valores del histograma de nivel de gris yse pueden obtener directamente de la imagen original después de, por lo general, aplicar algúnfiltro; aunque, en su gran mayoría, tienen en cuenta la distribución espacial y las relacionesentre los niveles de gris, y se obtienen tras aplicar las denominadas matrices de co-ocurrenciade nivel de gris (GLCM).

2.4. ÍNDICES DE TEXTURAS EN IMÁGENES DIGITALES 27

Los métodos estadísticos proporcionan características de texturas tales como las siguientes[51] [47] [52]:

1. Máxima probabilidad: Es el valor más alto en la matriz de co-ocurrencia C y sufórmula es como sigue:

máxi,j(ci,j) (2.1)

Esta propiedad da una indicación de la respuesta más fuerte a P , donde P hace refe-rencia al operador de posición para el cálculo de la GLCM.

2. Media: Corresponde a la media aritmética o promedio de todas las entradas en lamatriz de co-ocurrencia C:

meani,j(ci,j) (2.2)

3. Mediana: Equivale a la mediana de los valores presentes en la matriz de co-ocurrenciaC:

mediani,j(ci,j) (2.3)

4. Homogeneidad: Indica el grado de cercanía de la distribución de los elementos en laGLCM a la diagonal principal. Al observar la ecuación de homogeneidad los valores deprobabilidad en la matriz son mayores en la diagonal principal y su peso decae al alejarsede ella; por lo tanto, una imagen resulta homogénea si los valores en dicha diagonal sonaltos. . El rango de valores para este índice es de [0, 1], donde la homogeneidad es 1para una GLCM diagonal:

Homogeneidad =∑i,j

ci,j

1 + |i− j|(2.4)

5. Energía: Corresponde a la suma de los cuadrados de los elementos en la GLCM. Elrango es [0, 1], donde la energía es 1 para una imagen constante:

Energía =∑i,j

(ci,j)2 (2.5)

6. Contraste: Es un índice, de alguna forma, opuesto a la homogeneidad; ya que, ahorael contraste tendrá un valor alto si los valores altos en la GLCM están concentradoslejos de la diagonal principal. El contraste es 0 para una imagen constante.

Contraste =∑i,j

(i− j)2ci,j (2.6)

7. Correlación: Medida estadística de la forma correlacionada de un píxel con los demásen toda la imagen o la GLCM. Su rango es [-1, 1], y la correlación es 1 o -1 para unaimagen perfectamente correlacionada positiva o negativamente.

Correlación =∑i,j

(i− µi)(j − µj)ci,jσiσj

(2.7)

Donde µi, µj, σi y σj, son las medias y desviaciones estándar en ci y cj.


8. Entropía: Es una medida de la aleatoriedad, que alcanza su valor máximo cuandotodos los elementos en la GLCM son iguales. Por lo que se espera que una imagensuave tenga una baja entropía y una alta entropía será para imágenes toscas.

Entropía = −∑i,j

ci,j log ci,j (2.8)

Se asume 0 · log 0 = 0.

9. Disimilaridad: Es un índice de textura similar al contraste y se diferencian en que enesta medida, el peso se incrementa de forma lineal.

Disimilaridad =∑i,j

|i− j|ci,j (2.9)

10. Elemento momento diferencia de orden k: Son medidas que relacionan posicionesy entradas en la GLCM, y se caracterizan por tener un valor relativamente bajo cuan-do los mayores valores de la GLCM están próximos a la diagonal principal. Un casoparticular lo constituye el contraste, ya que es el momento diferencia de orden 2.

MDifk =∑i,j

(i− j)kci,j (2.10)

En este trabajo se emplea el momento diferencia de orden 3.

11. Elemento momento inverso diferencia de orden k: Este descriptor tiene el efectoopuesto al anterior. La fórmula es como sigue:

MIDifk =∑i,j

ci,j

(i− j)k, i 6= j (2.11)

12. Suavidad de la textura: Es un descriptor que se calcula a partir de la varianza queno tiene en cuenta la GLCM, si no que se aplica directamente sobre la imagen original,considerando el histograma de nivel de gris:

R = 1− 1

1 + σ2(z)(2.12)

En este descriptor, R es cero si se tiene varianza cero, lo cual ocurre cuando todaslas zi tienen el mismo valor; es decir, la región analizada es de intensidad constante.Así mismo, R tiende a 1 si la varianza σ2(z) toma valores grandes procedentes deconsiderables variaciones de la intensidad en la imagen o región analizada. En resumen,valores bajos de R indican la presencia de una textura homogénea con escaso contrastey viceversa, valores altos son indicativos de que la textura representa una región nohomogénea con altos contrastes en lo que a niveles de intensidad se refiere [53].


13. Índice de rugosidad: Es un índice tomado de Pezoa [54], quien indica que es unparámetro que sirve también como una forma de medir la capacidad de corrección deuna imagen adquirida con los sensores en un arreglo de foto-detectores infrarrojos. Aligual que el índice anterior, no tiene en cuenta la GLCM y se aplica sobre la imagenoriginal. Su fórmula es la siguiente:

ρ(I) =‖h1 ∗ I‖1+‖h2 ∗ I‖1

‖I‖1(2.13)

En la ecuación anterior, la expresión ‖I‖1 representa la norma 1 de la imagen originalI, * es la convolución discreta, h1 = δi−1,j − δi,j y h2 = δi,j−1− δi,j, donde δi,jes el deltade Kronecker; esto es:

δi,j =

{1, si i = j

0, si i 6= j(2.14)

14. Suavidad de textura modificada: En la ecuación 2.12,

σ2(z) =

∑z2

n− z2 (2.15)

Si se hace un cambio en el miembro derecho de la anterior expresión, de tal forma quese tome: ∑

z2

n− (z2)2 = z2 − (z2)2 (2.16)

y se remplace en 2.12, se obtiene:

Rm = 1− 1

1 + [z2 − (z2)2](2.17)

La expresión 2.17, es la que se propone como índice de textura, y se denomina suavidadde textura modificada o índice de textura de Chávez.

Este nuevo índice traslada el rango de [0,1] dado por 2.12, a valores por lo generalmayores que 1, cuando se trabaja con imágenes a escala de grises en su escala deniveles de gris de 0 a 255. Rm sólo es cero cuando todas las zi tienen valor 0 o 1, y adiferencia de R, no se hace cero para regiones de intensidad constante diferentes a 0y 1. Esto hace que este nuevo índice se torne interesante, ya que, se podrían obtenerdiferencias y por tanto clasificar imágenes con intensidad constante, pero diferentespara cada grupo de interés.

2.4.2. Métodos Estructurales

Los métodos estructurales o geométricos, se basan en la idea de, texturas primitivas (mi-crotexturas) bien definidas, presentes en una imagen, y de una jerarquía de disposicionesespaciales (macrotextura) de esas primitivas [56]. Se trata de técnicas que describen las tex-turas como la composición de elementos de textura que se deben definir, tales como líneas


paralelas regularmente espaciadas, o concatenaciones de figuras geométricas de formas cono-cidas tales como pentágonos u otras formas geométricas [53]. Después de identificar o definirlos elementos o primitivas, la textura puede analizarse bajo dos perspectivas: computar pro-piedades estadísticas de los elementos extraídos o bien extraer la regla de colocación quedescriba la textura, donde esta última aproximación puede conllevar métodos geométricos osintácticos [51].

La ventaja del enfoque estructural es que proporciona una buena descripción simbólicade la imagen; sin embargo, esta característica es más útil para la síntesis de las tareas deanálisis. Las descripciones abstractas pueden ser mal definidas para las texturas naturalesdebido a la variabilidad tanto de la micro como de la macro-estructura y no hay distinciónclara entre ellas [55]. En este trabajo, no se hará uso de estos métodos, por lo que no seahondará en más detalles.

2.4.3. Métodos Espectrales

Los métodos espectrales conocidos también como métodos basados en una transformadao de procesado de señal [51], representan una imagen en un espacio cuyo sistema de coor-denadas tiene una interpretación que está estrechamente relacionado con las característicasde una textura (como la frecuencia o volumen) [55]. Estos métodos dependen del tipo detransformada aplicada, que puede ser, la transformada de Fourier, la de Wavelets y la deGabor entre otras.

La transformada de Fourier bidimensional, permite extraer las componentes de frecuencia(altas o bajas) que caracterizan las estructuras subyacentes en las imágenes. Se han desa-rrollado sistemas de análisis de texturas de filtrado en el dominio de Fourier para obtenerdistintas características. Cada filtro es selectivo tanto en frecuencia como en orientación [51].Según Gonzales y Woods [47], el espectro de Fourier está idealmente indicado para describirla direccionalidad de patrones bidimensionales periódicos o casi periódicos de una imagen.Estos patrones de textura global, aunque son fácilmente distinguibles como concentracionesde alta energía del espectro, generalmente son bastante difíciles de detectar con métodosespaciales a causa de la naturaleza local de estas técnicas.

La transformada de Fourier para una función de dos variables f(x, y), es [47]:

F (u, v) =

∫∫ ∞−∞

f(x, y)exp[−j2π(ux+ vy)]dxdy (2.18)

Y para una función bidimensional (por ejemplo una imagen) I(x, y) de tamaño M × N latransformada discreta de Fourier se define como [59]:

F (u, v) =1

√MN

M−1∑y=0

N−1∑x=0

I(x, y) · exp[− j2π

(ux

M+vy

N

)](2.19)

Donde u = 0, . . . ,M − 1 y v = 0, . . . , N − 1 representan las coordenadas espectrales.


En todo caso, para el cálculo de la transformada de Fourier se dispone de un algoritmopotente y muy eficiente, conocido como la transformada rápida de Fourier o FFT (del inglésFast Fourier Transform).

Buscando encontrar diferencias entre las dos clases de imágenes de ultrasonido tratadasen este trabajo, se toma el espectro de potencia de Fourier como índice de textura; ya que,según William Nailon [60], el espectro de potencia revela información sobre la tosquedad/finura (periodicidad) y la direccionalidad de una textura.

El espectro de potencia de Fourier, se define como [47]:

P (u, v) = |F (u, v)|2 = R2(u, v) + I2(u, v) (2.20)

2.4.4. Métodos Basados en Modelos

Estos métodos se basan en la construcción de un modelo al que se le deben calcular oestimar unos parámetros, que luego pueden ser utilizados para el análisis de imagen. Losparámetros estimados describirían las cualidades de la textura [51][53]. Ejemplos de este tipode técnicas son los modelos auto regresivos, los campos aleatorios de Markov, los modelosfractales [53] y los recientemente implementados, modelos de red compleja [61].

En el presente trabajo se tienen en cuenta los modelos fractales y los modelos de redcompleja, razón por la cual se detallan a continuación:

Modelos Fractales

Un conjunto (por ejemplo, una imagen) se llama "fractal"si muestra auto-similitud; esdecir, se puede dividir en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente)una copia de tamaño reducido de la totalidad [62]. Esta propiedad fundamental conduce a laclasificación de los fractales en dos grupos distintos, al azar y deterministas [60]. Los fractalesal azar, corresponden a clases de fractales aleatorios de la vida real, que no son exactamenteauto-similares y se conocen como estadísticamente auto-similares. Por el contrario, los frac-tales deterministas, corresponden a objetos denominados estrictamente auto-similares, queno cambian su apariencia cuando se observan bajo ampliación arbitraria.

Según López [51], el análisis de textura basándose en fractales fue introducido por el es-tadounidense Alex Pentland (1984), quien mostró la correlación existente entre la dimensiónfractal de una textura y su tosquedad. La dimensión fractal describe el grado de irregularidadde la textura o de una superficie [60], razón por la cual, la descripción fractal de texturas sebasa fundamentalmente en su determinación.

Para el cálculo de la dimensión fractal se emplean varias técnicas, que debido al mecanis-mo particularmente empleado, pueden producir diferentes valores en el análisis de un mismoobjeto o textura. Se destacan dos enfoques usualmente utilizados para calcular la dimen-sión fractal de una imagen [60]. El primero es el enfoque contando cuadros. El segundo, que


trata la entrada como una superficie con textura mediante el trazado de la intensidad en ca-da posición X e Y en el plano z, calcula la dimensión fractal utilizando el método Korcak [60].

En este trabajo, se considera la dimensión fractal como índice de textura, y se calcula bajoel enfoque de “cálculo de cuadros”. La dimensión fractal de cualquier subconjunto A ⊂ R2,denotada por dimf (A), está dada por [43] [63]:

dimf (A) = lımr→0

(logNr

log r−1

)(2.21)

Donde Nr es el menor cardinal de los cubrimientos disyuntos de A con radio fijo r > 0. Amedida que el radio r de las bolas decrece, el número Nr, que representa las piezas o baldosasque cubren la región A, crece.

Para la implementación discreta de la Dimensión Fractal es necesario hacer una regresiónlineal de conjunto de las parejas (log r−1, logNr). Para reducir el costo computacional se hanconsiderado radios potencias de 2. La pendiente de esta regresión es interpretada como laDimensión Fractal de la región [43].

Modelo de Redes Complejas

Las redes complejas pueden ser entendidas como estructuras naturales capaces de repre-sentar diversos sistemas del mundo real [63], y su estudio se encuentra en la intersección entrela teoría de grafos y la mecánica estadística, lo que le dota de un carácter verdaderamentemultidisciplinar [64]. Según Costa y otros [64], la investigación en redes complejas ha tenidoun foco de atención reciente, cuya razón principal ha sido el descubrimiento de que, las redesreales tienen características que no se explican por la conectividad uniformemente aleatoria,y las redes complejas son flexibles y ofrecen generalidad para representar prácticamente cual-quier estructura natural, incluyendo las que se someten a cambios dinámicos de la topología.Además, la disponibilidad de equipos de alto rendimiento y grandes colecciones de datos,constituye un gran apoyo.

La teoría de redes complejas proporciona un amplio conjunto de herramientas para elmodelado de un problema en la forma de una red compleja, por lo que el modelado se con-vierte en totalmente dependiente de la naturaleza del problema y de los objetivos a alcanzar.Prácticamente cualquier objeto (ya sea un pixel de una imagen, o incluso una ciudad en unmapa) se puede representar como un vértice en la red. En consecuencia, los vínculos entrelos vértices, es decir, los extremos de la red, se pueden establecer de acuerdo con cualquiermétrica, ya que la métrica escogida representa adecuadamente la relación entre los pares devértices [63].

La compleja red puede ser descrita por su matriz de adyacencia, la cual es una matrizsimétrica con entradas cero y uno, donde uno representa que dos nodos están unidos por unaarista y cero significa que no hay aristas entre dos nodos. Un modelo de red compleja y sumatriz de adyacencia se muestran en la siguiente Figura:


Figura 2.1: Esquema de una red compleja y su matriz de adyacencia

Para poder aplicar la teoría de redes complejas a un problema específico, este debe sermodelado como un gráfico. Para dicho gráfico, se establece el modelo G = (V,E), dondeV = {vi : i = 1 . . . N} es el conjunto de nodos definidos para la red, y E = {(vi, vj) :(vi, vj) ∈ V × V } es el conjunto de aristas que conectan dos vértices de la red de acuerdoa una métrica o un criterio previamente establecido. Además, se puede considerar el pesow(vi, vj) de la arista que conecta los vértices vi y vj.

En las redes complejas se distinguen algunas propiedades, como el grado, el grado dedistribución y el grado conjunto, entre otras.

El grado de conectividad de un nodo de red vi es el número de aristas ki conectadas alnodo en el modelo de red compleja. Con el grado, se pueden realizar algunas medicionescomo el grado mínimo, el grado medio y el grado máximo, denotados por kmin(G), kmedio(G)y kmax(G) [63]:

kmin(G) = mıniki (2.22)

kmedio(G) =N∑i=1

ki

|V |(2.23)

kmax(G) = maxiki (2.24)

que de una u otro forma, permiten una caracterización inicial de la red.

El grado de distribución p(n) es la proporción de nodos con grado n en la red compleja,como se muestra en la ecuación (2.25). Es la característica topológica básica de la complejared [61].

p(n) =h(n)

N(2.25)

Donde N es el número total de nodos en la red compleja y h(n) es el número de nodos de lared compleja con grado n.

Para una red compleja modelo de imagen, el grado de distribución es la estadística de lafrecuencia y amplitud de los cambios en los niveles de gris de los pixel. Permite el estudiode textura de la imagen mediante el uso de la complejidad de las conexiones de nodos dela red. Entre más suave es la textura, menor son la amplitud y la frecuencia del cambio de


valores de gris de píxel, por lo tanto más uniforme es la distribución de grado, y viceversa [61].

Sobre esta distribución de grado es posible calcular algunos índices de textura como laenergía y la entropía que permiten caracterizar la textura, lo cual puede verse en Xu et al.(2015).

El grado conjunto, es un método para encontrar correlaciones entre dos vértices conec-tados a la red. Esta correlación, se puede expresar como P (ki, kj); es decir, la probabilidad deque haya una arista de conexión de dos vértices de grado ki y kj, con ki y kj predeterminado.La elección de ki y kj se puede realizar de forma arbitraria, siendo el caso más común ki = kj,caso en el cual, se hallaría la probabilidad de que dos vértices conectados tengan el mismogrado [63]. Del análisis de esta distribución de probabilidad, también se pueden extraer variasmedidas que permitan caracterizar y clasificar texturas.

Imágenes digitales y redes complejas

Varios estudios abordan la investigación sobre la representación de un problema comouna red compleja, seguido por el análisis de sus características topológicas y extracción decaracterísticas. Algunas aplicaciones utilizan estos descriptores para discriminar diferentesclases y por lo tanto crear técnicas para el área de reconocimiento de patrones [65].

Las imágenes digitales pueden ser consideradas como sistemas complejos del mundo real,con componentes con agrupaciones de un gran número de píxeles. Las imágenes presentancaracterísticas visuales únicas que combinan las características locales y globales en términosdel contexto que rodea a cada píxel. Por lo tanto, para el procesamiento digital de imágenes,las características de cada píxel y las relaciones con sus vecinos pueden ser representadas porlas redes complejas y analizadas por la teoría de la red compleja. Las mediciones tales comoel promedio, los valores máximos de grados, la entropía y la energía se pueden utilizar parala identificación de amplias clases de imágenes [61].

En 2013, Backes et al. [66] plantean un nuevo método de análisis de la textura en imá-genes digitales comunes usando la teoría de redes complejas. El enfoque propuesto utilizamediciones de grado para componer un conjunto de descriptores de textura.

Xu et al. en 2015, proponen un método de clasificación y extracción de características detextura en imágenes espuma basada en redes complejas, con el fin de tener característicasdistintivas que garanticen control y seguimiento en diferentes estados de producción del pro-ceso de flotación de minerales.

Una imagen en escala de grises que contiene M ×M píxeles, puede ser abstraída comouna red compleja con N = M2 nodos. Las relaciones de correspondencia entre los nodos dered complejas y los píxeles de la imagen se describen en las ecuaciones (2.26) - (2.28) [61]:

i = yi + (xi − 1)M (2.26)


xi = [(k − 1)/M ] + 1 (2.27)

yi = mod((k − 1),M) + 1 (2.28)

donde i es el i-ésimo nodo del modelo de red compleja, 1 ≤ i ≤ N ; (xi, yi) son lascoordenadas cartesianas del pixel asociado al nodo i-ésimo, 1 ≤ x, y ≤ M , [*] es la funciónde redondeo; mod(∗) es la función complementaria. Las aristas de la red compleja necesitanser establecidas entre los nodos de acuerdo a ciertos criterios. Los siguientes criterios seutilizan como establecimiento de conexiones [66] [61]:√

(x− x′)2 + (y − y′)2 ≤ r (2.29)

(x− x′)2 + (y − y′)2 + r2|I(x, y)− I(x′, y′)|

L2r2

≤ t (2.30)

donde (x, y) y (x′, y′) son las coordenadas cartesianas de dos píxeles en una imagen degris I. I(x, y) y I(x′, y′) son sus valores de píxeles. r y t son los valores umbrales empí-ricos para el radio de búsqueda y el valor de similitud. L es el número máximo de nivelesde gris de la imagen, y el denominador en la ecuación (2.30), la normaliza en el intervalo [0, 1].

Con la ecuación (2.29) se calcula la distancia entre los píxel, con la que se determinauna relación con respecto a la posición espacial. Luego, por medio de la ecuación (2.30), sepueden elegir los píxeles similares a partir de los píxeles que cumplieron la relación dada enla ecuación (2.29).

Siguiendo las ideas de [61], se hará uso de la distancia de Minkowski, descrita por laecuación 2.31, lo cual brinda opciones para el rango de búsqueda.

Mp =

( n∑i=1

|xi − yi|p) 1

p

(2.31)

Si en la ecuación (2.31) p = 1, Mp es igual a la distancia Manhattan, que es la distanciaentre dos puntos medida a lo largo de los ejes en ángulo recto. Cuando p = 2, Mp es iguala la distancia euclidiana y si p es igual a infinito, Mp es igual a la distancia Chebyshev querepresenta la diferencia máxima entre dos puntos en una cierta dimensión.

Al sustituir la distancia euclidiana por la distancia de Minkowski dada por la ecuación2.31, en las ecuaciones (2.29) y (2.30), se obtienen las ecuaciones (2.32) y (2.33), dadas acontinuación:

p√

(x− x′)p + (y − y′)p ≤ r (2.32)

(x− x′)p + (y − y′)p + rp|I(x, y)− I(x′, y′)|

L2rp

≤ t (2.33)


Los parámetros de las ecuaciones (2.32) y (2.33) son los mismos que los de las ecuaciones(2.29) y (2.30). El parámetro t se asocia con la media de la escala de grises en la imagen, yse toma como t = V m/L; donde V m es el valor medio de la escala de grises en la imagen yL es el número máximo de niveles de gris de la imagen. Para una imagen digital de 8 bits,L= 255.

2.5. ClasificadoresLos clasificadores son técnicas que, en tratamiento digital de imágenes, se aplican en la

etapa de reconocimiento e interpretación, con el fin de asociar uno o más elementos (patro-nes) a conjuntos o clases distintas representadas por diversas características. Los clasificadorespueden ser de dos tipos: supervisados y no supervisados. Los supervisados, se emplean cuan-do un experto proporciona una etiqueta de categoría a las diferentes clases en un conjunto deentrenamiento, para posteriormente clasificar los elementos de un conjunto de prueba. Los nosupervisados, se emplean cuando no hay una clasificación explicita por parte de un experto,obteniéndose agrupaciones naturales de un conjunto de elementos, de acuerdo a ciertas simi-litudes obtenidas a partir de distancias o medidas. En estos últimos, diferentes algoritmos deagrupamiento conducen a diferentes grupos [68].

Los clasificadores se basan en la búsqueda y utilización de funciones de decisión (o dis-criminantes) di(x) asociadas a cada una de las M clases wi, de tal forma que, si un patrónvectorial x = (x1, x2, . . . , xn)T de dimensión n pertenece a la clase wi, entonces di(x) > dj(x),con j = 1, 2, . . . ,M ; j 6= i. En este sentido, un patrón desconocido x, pertenece a la i-ésimaclase de patrones si, al sustituir la x en todas las funciones de decisión, di(x) toma el mayorvalor numérico [47].

La frontera de decisión, entre la clase wi y la clase wj está dada por los valores de x paralos cuales di(x) = dj(x) o equivalentemente, por valores de x para los que di(x)− dj(x) = 0.La práctica habitual según [47], radica en hacer que la frontera de decisión entre dos clasessea la función dij(x) = di(x) − dj(x) = 0, de tal forma que, para patrones de la clase wi,dij(x) > 0, y para patrones de la clase wj, dij(x) < 0.

Existen varios tipos de clasificadores supervisados, como los clasificadores de Bayes, losneuronales, los de distancia mínima, los del tipo K-vecinos, el de Fisher, los árboles de de-cisión y las SVM (Support Vector Machine- Maquina de Vectores de Soporte), entre otros.En este trabajo se emplean el clasificador de datos Bayesiano, el KNN (K Nearest-Neighbor-K vecino más cercano) y las SVM con dos configuraciones, lineal (SVML) y con funcióngaussiana de base radial (SVMR). (Ver apéndice C)

Para formar los grupos de entrenamiento y prueba que entran en cada clasificador, seaplica validación cruzada por medio de la función crossvalind de Matlab, cuya sintaxis puedeser “crossvalind(’Kfold’,N ,K)”, con la cual se obtienen índices generados al azar para valida-ción cruzada K-veces de N observaciones.

Capítulo 3

Procesamiento digital de imágenes deultrasonido

En el presente capitulo, se describen aspectos relacionados con: adquisición de las imáge-nes ultrasónicas, la etapa de pre-procesamiento de las imágenes, extracción de características,caracterización efectiva, clasificación de patrones y evaluación del desempeño.

Todos los procedimientos y funciones empleados desde la etapa de pre-procesamiento enadelante, así como la herramienta de cálculo definitiva, son implementados en Matlab versión8.1 (R2013a).

3.1. Adquisición de imágenes ultrasónicas

El grupo Terapia Regenerativa de la Facultad de Veterinaria de la Universidad de Cal-das, quienes desde hace aproximadamente 15 años, vienen implementando estudios que usanmodelos animales para tratamiento de ciertas enfermedades o lesiones sufridas de manerafrecuente en humanos, han implementado modelos caninos para reparación quirúrgica de larotura del ligamento cruzado craneal, modelos equinos de tendinopatía del tendón flexor di-gital superficial, modelos bovinos para estudio celular y modelos en conejos de tendinopatíade Aquiles, entre otros.

Las imágenes base para esta investigación, fueron proporcionadas por este reconocido gru-po de investigación y corresponden a imágenes de ultrasonido de los modelos de tendinopatíade Aquiles en conejos, desarrolladas para evidenciar diferencias o mejorías en los tendonesdespués de ser fracturados y puesto en marcha un tratamiento regenerativo con plasma ricoen plaquetas. La lesión se produce por medio de una inyección ecoguiada con colagenasaaplicada directamente en el tendón.

Las imágenes son tomadas con el ecógrafo Mindray Mobile Trolley modelo UMT-200 (verFigura 3.1). Los conejos se rasuran con anterioridad, al momento de la toma se les aplicagel para la transmisión de ultrasonido y se sostienen, no se sedan. De cada animal se tomandos imágenes de ultrasonido, una correspondiente a un corte longitudinal y otra a un corte

37

38 CAPÍTULO 3. PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMÁGENES DE ULTRASONIDO

transversal, tal como se aprecia en la Figura 3.2. El presente estudio se realiza sólo con lasimágenes de corte transversal.

Figura 3.1: Imágenes del ecógrafo Mindray Mobile Trolley UMT-200

El seguimiento con imágenes se hace semana a semana con una duración de 8 a 10 semanas,momento en el cual se considera que el tendón debe estar completamente regenerado. El bancode imágenes empleadas en el presente estudio fue tomado entre el 15 de septiembre y el 27de noviembre de 2014.

a)

b)

Figura 3.2: Imágenes ecográficas de tendones de conejos. a) corte longitudinal, b) corte trans-versal.

3.2. PRE-PROCESAMIENTO DE LAS IMÁGENES DE ULTRASONIDO 39

3.2. Pre-procesamiento de las imágenes de ultrasonidoLas imágenes ecográficas inicialmente son como la mostrada en la Figura 3.2.b), luego,

mediante segmentación manual implementada en matlab y en la que se deben señalar trespuntos en el área de interés, se obtiene un rectángulo o cuadrado con la porción de imagenpara estudio (ver Figura 3.3).

Figura 3.3: Imágen recortada

Finalmente, a la imagen mostrada en la Figura 3.3, se le aplica el filtro de la mediana conventana o mascara de 5× 5, con lo cual se suaviza la imagen y se quita la marca del experto(ver Figura 3.4).

Figura 3.4: Resultado de aplicar el filtro de la mediana a la imagen de la Figura 3.3

3.3. Selección y extracción de característicasEn el estudio se tienen en cuenta un total de 13 características, 10 correspondientes a

métodos estadísticos, 2 a métodos basados en modelos y 1 a métodos espectrales. Estascaracterísticas se resumen en la siguiente tabla:


Variable Nombre de la VariableX1 Entropía, calculada en la dirección 0o de la GLCMX2 Energía, calculada en la dirección 180o de la GLCMX3 Momento diferencia de orden 3, calculado en la dirección

135o de la GLCMX4 Contraste, calculado en la dirección 0o de la GLCMX5 Correlación, calculada en la dirección 180o de la GLCMX6 Homogeneidad, calculada en la dirección 135o de la

GLCMX7 Suavidad de textura modificada, no tiene en cuenta la

GLCM y se calcula sobre la imagen directamente.X8 Disimilaridad, calculada en la dirección 0o de la GLCMX9 Espectro de potenciaX10 Suavidad de textura, calculada sobre redes complejasX11 Contraste, calculado sobre la imagen original después de

aplicar el filtro LaplacianoX12 Dimensión fractalX13 Índice de rugosidad

Tabla 3.1: Características seleccionadas para el estudio.

Para la extracción de las características estadísticas, X1-X6 y X8, se toman las imágenesdespués de aplicar un filtro de la mediana (Figura 3.4), se calculan las GLCM en las direc-ciones necesarias y luego, mediante ciclos repetitivos se calculan estas medidas.

Para la suavidad de textura modificada X7, se toman las imágenes tal como se ven en laFigura 3.4 y se calcula la expresión dada en 2.17.

Para la extracción del espectro de potencia, se calcula primero la transformada discretade Fourier bidimensional, por medio de un algoritmo para la el cálculo de la transformadarápida de Fourier y luego se aplica la fórmula 3.1 en lugar de la fórmula 2.20. Esto se hatomado así, porque log(|F (u, v)| + 1), permite tener un rango de visualización más ampliodel espectro de Fourier [59].

P (u, v) = [log(|F (u, v)|+ 1)]2 (3.1)

Para calcular X11 se aplica el filtro laplaciano a las imágenes originales (Figura 3.4). Lamascarilla que implementa el filtro se muestra en la Figura 3.5.

Figura 3.5: Mascarilla que implementa el filtro de Laplace

3.4. EXPLORACIÓN DE INVARIANZA A ROTACIÓN, TRASLACIÓN Y ESCALAMIENTO41

Para calcular X10 y cualquier otra característica, que sea posible, sobre redes complejas,se deben tener en cuenta los siguientes pasos, en los que se supone que las imágenes a procesarson de tamaño M ×M :

Paso 1: Se lee la imagen, se determinan p y r, y se calcula t.

Paso 2: Se calculan las distancias y valores de similaridad entre pixel de acuerdo a las ecuaciones2.32 y 2.33. Los resultados se almacenan en matrices D y S de tamaño M2 × M2,respectivamente.

Paso 3: Se calcula la matriz de adyacencia, colocando 1 en las posiciones donde simultáneamentelos valores deD y S sean menores o iguales que r y t, respectivamente. En caso contrariose coloca un 0.

Paso 4: Se calcula el grado de cada pixel, ya sea sumando filas o columnas en la matriz de adya-cencia. El resultado se almacena en un vector de tamañoM2×1 o 1×M2, dependiendosi se sumaron filas o columnas.

Paso 5: Se obtiene el grado de distribución p(n) de acuerdo con la ecuación 2.25.

Paso 6: Con el grado de distribución o distribución de grado, se calculan las característicasdeseadas, en este caso, la suavidad de textura.

En el cálculo de X12 se ha empleado el mismo algoritmo implementado por Juan C. RIAÑO[43].

3.4. Exploración de invarianza a rotación, traslación yescalamiento

En esta oportunidad se trabaja con 4 imágenes, 2 naturales y 2 artificiales (ver Figura3.6), con las cuales se indaga por la invarianza a rotación, traslación y escalamiento de las 13características presentadas en la tabla 1. Es importante aclarar que en [43] ya se demostróla invarianza del índice fractal a escalamientos, rotaciones y traslaciones, y en [61], se afirmaque los descriptores de grado de red compleja son invariantes a rotación e invariantes a escala.

a) b) c) d)

Figura 3.6: Imágenes de prueba. a) y b) imágenes naturales, c) y d) imágenes artificiales


Para realizar estos cálculos, se toma la imagen original sobre un recuadro fijo negro ycinco variaciones más de la misma, una traslación, un aumento de tamaño del 40%, unarotación de 45o, una de 90o y otra de 180o, tal como se como se muestra en la Figura 3.7,con la imagen natural 3.6 a).

a) b) c)

d) e) f)

Figura 3.7: Imagen natural 3.6 a) y algunas transformaciones

3.5. Caracterización efectiva de características

Dado que no son muchas características, la extracción efectiva se hace con ayuda de losclasificadores supervisados. Se hace un análisis con cada una de las 13 características, severifica el desempeño individual, el posible aporte de cada una a la etapa de clasificación yse determinan las características ideales para la clasificación final.

En esta etapa, y en la etapa de clasificación inicial, se trabaja con una matriz de 43 x 13,correspondiente a 43 filas asociadas con las 43 imágenes de ultrasonido (30 de tendones sanosy 13 de tendones lesionados) y 13 columnas asociadas a las características que se calcularonsobre cada imagen. En el apéndice A se muestra esta matriz y las correspondientes etiquetasempleadas para clasificación y entrenamiento.

3.6. CLASIFICACIÓN DE PATRONES 43

3.6. Clasificación de patronesLos patrones aquí son entendidos como vectores, formados por uno o más descriptores o

características que describen cuantitativamente a un objeto o alguna entidad de interés enuna imagen [47].

En este paso se aplican dos procesos relevantes, reconocimiento e interpretación. En elreconocimiento se asigna una etiqueta a un objeto basándose en la información proporcio-nada por sus descriptores, y en la interpretación se da significado a un conjunto de objetosreconocidos.

Para esta etapa de clasificación se emplea el clasificador de datos Bayesiano, el KNN ylas SVM (Support Vector Machine).

La clasificación médico veterinaria para clasificar los tendones sanos de anormales, sólodeja claro que por lo general los tendones lesionados se ven más opacos u oscuros en algunaszonas de la imagen de ultrasonido, y que las lesiones no presentan una forma y ubicaciónespecíficas.

3.7. Evaluación del desempeñoLas imágenes para este estudio, han sido etiquetadas por expertos veterinarios del Grupo

Terapia Regenerativa, en cabeza del doctor Jorge Uriel Carmona Ramírez. Por tanto, parala evaluación del desempeño, se comparan los resultados automáticos con la clasificación rea-lizada por estos expertos.

Capítulo 4

Resultados y Discusión

4.1. Resultados de la exploración de invarianza

A continuación se presentan los resultados de la exploración de invarianza a rotación,traslación y escalamiento, aplicada a las 4 imágenes que se muestran en la Figura 3.6.

Los resultados al calcular las 13 características con la imagen de la Figura 3.6 a) y sustransformaciones, se muestran en la siguiente tabla:

Variable Original Aumentadaen 40%

Trasladada Girada45o

Girada90o

Girada180o

X1 0,00026615 0,00099206 0,00026615 0,00026615 0,00026615 0,00026615X2 0,62625854 0,34530465 0,61337609 0,61971509 0,62402719 0,62586847X3 -684,253466 -589,539938 -535,215089 -2892,8199 -3805,2617 44,3365879X4 91,4289786 110,037167 95,7256175 91,7877274 102,470524 92,2018158X5 0,98259753 0,98671397 0,98250779 0,98219450 0,98122547 0,98263475X6 0,81998575 0,65809882 0,81402636 0,82009015 0,81772298 0,81959683X7 1,00040590 1,00010510 1,00040368 1,00040053 1,00040508 1,00040526X8 2,54502016 3,65690769 2,62129205 2,86851627 3,06623212 2,55083412X9 7121598,19 6679083,9 7125006,66 7438042,57 7137606,47 7095022,89X10 0,09200848 0,08785812 0,08541616 0,08856869 0,0916692 0,09442096X11 196,98696 275,3789 278,68015 258,730611 242,448648 195,423678X12 1,67754904 1,7471774 1,74743719 1,6488651 1,63803399 1,67760436X13 2,30969843 2,16404416 2,3105592 3,21448517 2,73467903 2,31192432

Tabla 4.1: Resultados de la exploración de invarianza con imagen natural 3.6 a)

Para la imagen natural 3.6 b) y sus transformaciones se tienen los siguientes resultados:

45

46 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN



Girada90o

Girada180o

X1 0,00026615 0,00026615 0,000532308 0,00026615 0,00026615 0,00026615X2 0,61543291 0,36213726 0,61428499 0,61186365 0,62428034 0,61439076X3 6158,69649 8284,62901 6179,55948 -805,24852 -6330,4699 -6162,4683X4 75,9845137 89,0734368 76,8326036 96,5134341 113,234796 75,9083976X5 0,9775444 0,9838424 0,97729773 0,97090026 0,96642906 0,9773843X6 0,8150475 0,66773164 0,81476837 0,8171102 0,818909 0,81494704X7 1,00047751 1,000123 1,00047699 1,00046439 1,00047918 1,00047681X8 2,49772137 3,55881622 2,51230459 2,91146495 2,94441529 2,49349555X9 7379856,42 6929525,65 7381948,4 7683966,36 7413007,66 7387141,62X10 0,09690951 0,07855411 0,10549615 0,09071377 0,09316519 0,09401082X11 359,212804 352,388461 350,934005 402,764814 304,512533 372,532737X12 1,68579879 1,73912197 1,74642656 1,65344125 1,63762284 1,68607358X13 2,29355864 2,14966717 2,29367773 5,21731954 2,10022848 2,2844876

Tabla 4.2: Resultados de la exploración de invarianza con imagen natural 3.6 b).

Para la imagen artificial 3.6 c) y sus transformaciones se tienen los siguientes resultados:



Girada90o

Girada180o

X1 0,00026615 0,00026615 0,00026615 0,00026615 0,00026615 0,00026615X2 0,64529624 0,39526883 0,64518593 0,63878432 0,6657823 0,64488912X3 491,105784 236,111459 566,564036 264,70509 -1114,3018 -738,80928X4 159,068996 182,448583 158,61182 121,594587 150,518272 158,798259X5 0,96919365 0,97789933 0,96928673 0,97622717 0,97077177 0,96929269X6 0,81974204 0,66580769 0,81986756 0,81917908 0,83223635 0,81973163X7 1,000479 1,00012266 1,00047906 1,000464 1,00048302 1,0004789X8 4,00835497 5,69888969 4,00454345 3,63057228 3,99236314 3,98737778X9 7710734,35 7129238,78 7694655,25 7915136,77 7642742,67 7673733,85X10 0,09225127 0,08560796 0,09219816 0,09898922 0,09307407 0,09382815X11 331,466907 219,949319 333,925417 391,534367 101,161452 359,57446X12 1,65825015 1,723655 1,65944452 1,63434863 1,60610323 1,65823761X13 3,40061316 3,45095156 3,38957817 2,18677172 2,51143349 3,37437778

Tabla 4.3: Resultados de la exploración de invarianza con imagen artificial 3.6 c).

Para la imagen artificial 3.6 d) y sus transformaciones se tienen los resultados :

4.1. RESULTADOS DE LA EXPLORACIÓN DE INVARIANZA 47



Girada90o

Girada180o

X1 0,00026615 0,00026615 0,00026615 0,00026615 0,00026615 0,00026615X2 0,65006148 0,3954223 0,65091278 0,63709072 0,65271483 0,65059154X3 -1382,85678 -2086,11711 -1682,55865 538,477338 598,328896 1482,04586X4 166,234968 207,77934 166,715647 139,73702 120,216768 165,309871X5 0,98253581 0,98595930 0,98260717 0,98505901 0,987352596 0,982642026X6 0,8310085 0,68421316 0,83123563 0,82515801 0,83066159 0,83075482X7 1,00046874 1,00012266 1,00047305 1,00045701 1,00046827 1,00046837X8 3,25370104 4,65552670 3,25896260 3,35610119 2,93206927 3,24330221X9 7422291,78 6968262,87 7434140,32 7898351,52 7437777,75 7426257,41X10 0,09171094 0,07881215 0,09219939 0,08529992 0,09026037 0,09194238X11 190,652385 183,652467 217,335589 442,400323 241,327069 191,209983X12 1,65981107 1,71792355 1,72167009 1,63770695 1,61712715 1,65961703X13 2,30679455 2,15190676 2,31080472 2,25171775 2,4727788 2,30643736

Tabla 4.4: Resultados de la exploración de invarianza con imagen artificial 3.6 d).

Según los resultados obtenidos con las cuatro imágenes de prueba, en la exploración deinvarianza a rotaciones, traslaciones y escalamiento, se puede expresar lo siguiente:

La entropía, resulta ser una medida invariante a rotaciones, y la invarianza a escala-miento y traslaciones no se concluye por los resultados obtenidos con la imagen natural1 y la imagen natural 2, respectivamente.

Aunque no dan valores exactamente iguales, se puede decir, que la energía es una medidainvariante a traslaciones y rotaciones, más no a escalamientos. Esto es lo esperado ala luz de la fórmula 2.5 para el cálculo de esta característica, dado que lo que puedesuceder en la matriz de coocurrencia es una redistribución de sus valores, lo cual noafectaría la sumatoria de cuadrados.

El momento diferencia de orden 3, resulto ser no invariante a rotación, traslación yescalamiento. Recuérdese que no es un momento centralizado y que por el contrario,la ecuación 2.10 que lo define, tiene en cuenta la distribución espacial de los datos enla GLCM. Un caso similar sucede con el contraste, ya que, en realidad es un momentodiferencia de orden 2, sólo que ahora los valores siempre son positivos y hay una cercaníaentre los resultados obtenidos para la imagen original, la imagen trasladada y la imagengirada 180o.

La correlación, muestra ser invariante a traslaciones, rotaciones y escalamientos.

A la luz de los resultados, la homogeneidad parece ser una medida invariante a rotacióny traslación, más no a escalamiento.

La suavidad de textura modificada, resultó ser una medida invariante a rotación ytraslación, mas no a escalamiento. Es lo más razonable, puesto que se calcula sobre laimagen directamente y la ecuación 2.17, correspondiente a esta medida, toma en cuentasólo los niveles de gris y no sus coordenadas dentro de la imagen total.


La disimilaridad es una medida similar al contraste, y al igual este, presenta ser inva-riante a traslación y giros de 180o.

El espectro de potencia resultó invariante a traslaciones, y los valores obtenidos en lasrotaciones de 45o apuntan a que no es invariante a rotaciones.

La suavidad de textura sobre redes complejas muestra ser invariante a rotaciones. Ala luz de los resultados, contrario a lo afirmado en [61], apunta más a ser invariante atraslación que a escalamiento.

El contraste, calculado sobre la imagen original después de aplicar el filtro Laplaciano,muestra ser no invariante a rotación, traslación y escalamiento.

Los valores obtenidos para el índice fractal confirman lo demostrado en [43] en cuantoa invarianza tanto a rotaciones, traslaciones y escalamientos.

El índice de rugosidad muestra ser invariante a traslaciones.

4.2. Resultados en cuanto a caracterización efectiva decaracterísticas, clasificación de patrones y evaluaciónde los clasificadores.

En esta etapa de clasificación se tienen en cuenta las 13 características descritas en la tabla1 y los clasificadores de datos: Bayesiano, el KNN y las SVM (tanto de núcleo lineal SVML,como de base radial SVMR), a los cuales se les evalúa el desempeño calculando el rendimien-to, la tasa de error, la sensibilidad, la especificidad y el tiempo de cómputo. La tasa de error,se calcula dividiendo las muestras clasificadas incorrectamente por las muestras clasificadas.La sensibilidad, se calcula dividiendo las muestras positivas clasificadas correctamente por lasmuestras positivas verdaderas; los resultados no concluyentes que son verdaderos positivosse cuentan como errores de sensibilidad. La especificidad, por su parte, se halla dividiendolas muestras negativas clasificadas correctamente por las muestras verdaderas negativas; losresultados no concluyentes que son verdaderos negativos se cuentan como errores de la espe-cificidad.

En general, se pretende tener un rendimiento de 1 (100%), una tasa de error mínima ocero, sensibilidad y especificidad cercanas a 1, y el menor tiempo de ejecución posible. Elresultado promedio de cada uno de estos indicadores de desempeño, después de 40 corridassucesivas cambiando aleatoriamente los subconjuntos de entrenamiento y prueba, se resumeen la siguiente tabla:

4.2. RESULTADOS EN CUANTO A CARACTERIZACIÓN EFECTIVA DE CARACTERÍSTICAS, CLASIFICACIÓN DE PATRONES Y EVALUACIÓN DE LOS CLASIFICADORES.49

Indicador de desempeño

Clasificador Rendimiento Error Sensibilidad Especificidad Tiempo deEjecución(s)

Bayesiano 0,97383623 0,02616377 0,93700952 0,99033265 0,019468875KNN 0,96986363 0,03013637 0,90432012 1 0,03055338SVML 1 0 1 1 0,04082075SVMR 0,89054345 0,10945655 0,64646985 1 0,043648875

Tabla 4.5: Desempeño de los clasificadores empleando las 13 características

Como se puede apreciar en la tabla anterior, el error tiende a ser bueno (pequeño) con losclasificadores Bayesiano y KNN, con una sensibilidad un tanto regular para ambos; sin em-bargo, las SVMG muestran un error aproximado del 10,95% (lo cual se considera alto para elpresente estudio) y una sensibilidad muy baja, indicando que hubo verdaderos positivos malclasificados (clasificados incorrectamente como negativos) o que hubo resultados no conclu-yentes con verdaderos positivos que se cuentan como errores de sensibilidad de computación.La clasificación ofrecida por las SVML fue excelente con un 100% de rendimiento.

Para tener un resultado confiable, se hace un análisis con cada una de las 13 característicasy se muestran algunas salidas gráficas, con lo que se verifica el desempeño individual y elaporte de cada una a la etapa de clasificación. Los resultados se registran en la siguientetabla:

Característica Clasificador Error Sensibilidad EspecificidadEntropía Bayesiano 0,70487067 0,32467949 0,29780636

KNN 0,27199844 0,47876602 0,82058254SVML 0,61268379 0,86410118 0,22896895SVMG 0,42232870 0,81466346 0,48681318

Energía Bayesiano 0,47022273 0,25642378 0,64653909KNN 0,41314042 0,08932907 0,8002433SVML 0,42968704 0,07895299 0,80360117SVMR 0,46739497 0 0,76030772

Momento Bayesiano 0,23193255 1 0,65725316diferencia KNN 0,14150064 0,91072192 0,8312117de orden 3 SVML 0,10219781 0,99038462 0,85336308

SVMR 0,15286427 0,87947192 0,8312117Contraste Bayesiano 0 1 1

KNN 0 1 1SVML 0 1 1SVMR 0 1 1

Correlación Bayesiano 0,22681346 0,85977495 0,7403643KNN 0,10187854 0,78042374 0,94592688SVML 0,04166786 0,91741696 0,97636946SVMR 0,08574698 0,82490704 0,95009355


Característica Clasificador Error Sensibilidad EspecificidadHomogeneidad Bayesiano 0,16471868 0,67790751 0,90953735

KNN 0,16611626 0,88315781 0,80842656SVML 0,15101792 0,71014957 0,91731463SVMR 0,14958749 0,67790751 0,93129661

Suavidad de Bayesiano 0 1 1textura KNN 0,02000177 0,93572192 1

modificada SVML 0,04695196 0,91712073 0,97153784SVMR 0,02000177 0,93572192 1

Disimilaridad Bayesiano 0,19459581 0,61490385 0,89708621KNN 0,28103058 0,44022436 0,84918898SVML 0,22139045 0,66802885 0,82370754SVMR 0,19459581 0,61490385 0,89708621

Espectro Bayesiano 0,02774718 0,91185828 1potencia KNN 0,02774718 0,91185828 1

SVML 0 1 1SVMR 0,02774718 0,91185828 1

Suavidad de Bayesiano 0,15634857 1 0,77081834textura KNN 0,17060143 0,90943085 0,79162836redes SVML 0,1046095 1 0,84849407

complejas SVMR 0,15634857 1 0,77081834Contraste Bayesiano 0,02013043 1 0,97085664con filtro KNN 0,11957691 0,69454989 0,97085664Laplaciano SVML 0,02056634 1 0,96947081

SVMR 0,02013043 1 0,97085664Dimensión Bayesiano 0,07336799 0,76587926 1fractal KNN 0,07336799 0,76587926 1

SVML 0,04373714 0,85858759 1SVMR 0,07336799 0,76587926 1

Índice de Bayesiano 0,16184179 0,7688166 0,86888112rugosidad KNN 0,28528909 0,48421682 0,8167624

SVML 0,25960598 0,72411963 0,75032189SVMR 0,21968098 0,73533758 0,80003885

Tabla 4.6: Desempeño de los clasificadores con cada una de las características

A continuación se muestran gráficas de clasificaciones que se obtienen aplicando las SVM,combinando de a dos características. La Figura 4.1, muestra el resultado de aplicar el clasi-ficador SVML, y la Figura 4.2, el resultado de aplicar el clasificador SVMR.


a) Entropía Vs Energía b) Momento Diferencia Vs Correlación

c) Homogeneidad Vs Disimilaridad d) I. de Rugosidad Vs Suavidad Redes C.

Figura 4.1: Clasificación por SVML

a) Entropía Vs Energía b) Momento Diferencia Vs Correlación


c) Homogeneidad Vs Disimilaridad d) Suavidad Redes C. Vs Dimensión Fractal

Figura 4.2: Clasificación por SVMR

Observando las Figuras 4.1 y 4.2, y dirigiendo aún más la atención sobre la Tabla 4.6,vemos que las cifras registradas son claras y muestran que hay características que no son reco-mendables para tener en cuenta en la clasificación final, ya que, aportan poco a la clasificacióndado que dan errores altos -superior al 10%-, y sensibilidad y especificidad muy inferiores a1. La dimensión fractal aunque ha dado errores promedios de aproximadamente 7,33%, tieneuna sensibilidad por debajo de 0,77 por lo que no sería bueno tomarla como característicapara clasificar los datos en estudio, dado que se trata de una investigación relacionada conla medicina. El contraste calculado después de aplicar un filtro Laplaciano, dio error altosolamente con el KNN; sin embargo, como se tiene otra medida del contraste calculada sobrela GLCM con excelentes resultados, se tomará esta última antes que la primera.

En definitiva, se tomarán en cuenta para la clasificación final, el contraste, la suavidadde textura modificada y el espectro de potencia. El resultado promedio de cada uno de losindicadores de desempeño, después de 40 corridas sucesivas cambiando aleatoriamente lossubconjuntos de entrenamiento y prueba, y tomando estas tres características para la etapade clasificación, se resume en la siguiente tabla:


Clasificador Rendimiento Error Sensibilidad Especificidad Tiempo deEjecución(s)

Bayesiano 0,98374852 0,01625148 0,94584971 1 0,0294905KNN 0,98506521 0,01493479 0,95027278 1 0,04125925SVML 1 0 1 1 0,03560238SVMR 1 0 1 1 0,03843675

Tabla 4.7: Desempeño de los clasificadores en la clasificación final

En la anterior tabla se observa que el rendimiento de la clasificación de los cuatro métodos,está por encima del 98%, obteniendo el mejor resultado los clasificadores SVML y SVMR


(100% de rendimiento), los cuales se diferencian mínimamente en el tiempo de ejecución, quefue menor para las SVML. El clasificador Bayesiano, aunque fue el de más rápida ejecución,no logró el 100% de rendimiento y la sensibilidad quedó un poco por debajo del 95%. ElKNN, tuvo un comportamiento similar al Bayesiano, pero en mayor tiempo de ejecución.

En cuanto al clasificador Bayesiano, la variabilidad en el cálculo del error fue de 0,005748,para el cálculo de la sensibilidad 0,018594 y para el cálculo de la especificidad 0. Con elclasificador KNN, la variabilidad en el cálculo del error fue de 0,007761, para el cálculo de lasensibilidad 0,025469 y para el cálculo de la especificidad 0.

Las Figuras 4.3 y 4.4, muestran gráficas de la clasificación que se obtiene, con las SVM,combinando las 3 características más relevantes. La Figura 4.3, muestra el resultado de apli-car el clasificador SVML, y la Figura 4.4, el resultado de aplicar el clasificador SVMR.

Ambas figuras, dejan claro que cualquier combinación de las 3 características selecciona-das para la clasificación final, da resultados excelentes.


a) Contraste Vs Suavidad Modificada

b) Contraste Vs Espectro Potencia

c) Suavidad Modificada Vs Espectro PotenciaFigura 4.3: Clasificación por SVML


a) Contraste Vs Suavidad Modificada

b) Contraste Vs Espectro Potencia

c) Suavidad Modificada Vs Espectro Potencia

Figura 4.4: Clasificación por SVMR

Capítulo 5

Conclusiones y Trabajos Futuros

5.1. Conclusiones

En este trabajo se logró procesar digitalmente las imágenes de ultrasonido de tendonesde conejo, y caracterizar y clasificar patrones relevantes en dichas imágenes que evidenciandiferencias. Se extrajeron 13 características por cada imagen y de estas, empleando los clasifi-cadores, se obtuvieron 3 características que resultaron ideales para la clasificación final y conlas que se logra separar tendones sanos de tendones no sanos o anormales. Estas característi-cas son: el contraste, el espectro potencia y la suavidad de textura modificada, obteniéndoseesta última con un índice de textura propuesto en el presente trabajo. De esta forma, seconcluye que el patrón que permite separar las clases de tendones, es un vector con infor-mación cuantitativa de las tres características evaluadas en cada imagen. El hecho de queen las imágenes de tendones lesionados se tenga un mayor espectro de potencia y un menorcontraste que en las imágenes de tendones sanos, va de la mano con la apreciación de losveterinarios en el sentido de que por lo general los tendones lesionado se ven más opacos uoscuros en algunas zonas de la imagen de ultrasonido.

En cuanto a los clasificadores, todos tuvieron un rendimiento superior al 98% en la atapade clasificación final, una especificidad del 100% y una sensibilidad superior al 94%. Los me-jores resultados se obtuvieron con las máquinas de vectores de soporte, tanto lineal (SVML)como de base radial (SVMR), con un rendimiento, sensibilidad y especificidad del 100%.

Se cuenta además, con una herramienta de cálculo que automatiza e integra la etapade pre-procesamiento, la extracción de características y la etapa de clasificación. En estaherramienta se puede ingresar una o varias imágenes ecográficas de tendones y el programalas clasifica tomando para entrenamiento las 43 imágenes tratadas en el presente estudio.La evaluación del desempeño consistió en comparar los resultados de la clasificación con laclasificación realizada por expertos veterinarios del grupo terapia regenerativa.

57

58 CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

5.2. Trabajos FuturosDentro de los trabajos futuros se cuentan:

Desarrollar una herramienta que permita realizar una clasificación para diferenciar ten-dinopatías agudas y crónicas.

Lograr la segmentación automática de las imágenes empleadas en esta investigación.

Realizar trabajos similares al presente, tomando imágenes lesionadas de forma naturaly no de forma inducida.

Evaluar otros índices de textura empleando redes complejas.

Explorar con otros métodos espectrales.

60APÉNDICE A. MATRIZ DE DATOS RESULTADO DE LA EVALUACIÓN DE 13 CARACTERÍSTICAS SOBRE 43 IMÁGENES ECOGRÁFICAS DE TENDONES DE CONEJOS Y SUS CORRESPONDIENTES ETIQUETAS.

Apéndice AMatriz de datos resultado de la evaluación de 13 características sobre 43 imágenesecográficas de tendones de conejos y sus correspondientes etiquetas.

N X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

1 0,024060666 0,00342858 535,816038 16,014426 0,9931874 0,34153263 1,0000154522 0,019928227 0,0064062 516,292598 15,1531273 0,98858291 0,38752239 1,0000154483 0,028214966 0,00338625 138,116285 6,91995947 0,99699809 0,4306249 1,0000154444 0,023893852 0,00288743 1308,24903 16,0263692 0,9926195 0,39446249 1,000015455 0,022067207 0,00370843 303,424928 14,6007927 0,98897964 0,35704911 1,0000154486 0,025550718 0,00425356 223,111257 10,1130451 0,99449436 0,43500128 1,0000154437 0,028449082 0,0033391 448,28125 19,8815566 0,99501859 0,32900808 1,0000154478 0,024057057 0,00333387 584,42601 17,6754594 0,98899536 0,34263081 1,0000154499 0,024644157 0,00468144 46,3468149 6,52480508 0,99547585 0,46958048 1,00001544310 0,024304416 0,00289259 313,940191 16,2968512 0,99273052 0,34332054 1,00001545211 0,02781087 0,00453433 306,659992 14,671639 0,98879768 0,36887272 1,00001544712 0,027449573 0,00338455 86,6861772 9,64731744 0,99575103 0,40425044 1,00001544313 0,028828118 0,00280886 398,388326 17,8055556 0,99294646 0,33207358 1,00001544914 0,024593098 0,00601036 604,836082 19,8981456 0,97264113 0,3665588 1,00001545215 0,028802378 0,00313085 73,421542 8,0265188 0,99651858 0,42080865 1,00001544416 0,027518796 0,0027217 374,564547 15,7013109 0,99182871 0,34967855 1,00001544817 0,027270276 0,0024728 318,005611 14,0625339 0,99164032 0,38246543 1,00001545118 0,024463102 0,0052254 2051,2619 18,6791799 0,98438319 0,40349399 1,0000154519 0,024730368 0,00545169 35,4382667 7,1589601 0,99580042 0,42281986 1,00001544320 0,026172871 0,00348395 339,246905 15,0469742 0,99188815 0,35840758 1,00001544921 0,02305876 0,00280435 1334,68333 18,7775476 0,98704874 0,36216693 1,00001544922 0,025338577 0,00229084 123,157768 10,0495184 0,99654312 0,3615042 1,00001544323 0,024198208 0,00283319 284,898943 14,8165555 0,99085577 0,35728993 1,00001545124 0,028330193 0,00310599 242,148969 15,3095771 0,99084337 0,38415333 1,00001545125 0,025848142 0,00337832 303,765707 15,9737267 0,99250027 0,34365915 1,00001545126 0,025536194 0,00344734 72,8982885 8,16375291 0,99645841 0,41583296 1,00001544427 0,026260841 0,00222074 432,150797 17,6068324 0,9941774 0,32665671 1,00001544928 0,026118669 0,00305815 504,391235 17,2379883 0,99156564 0,35365665 1,00001544829 0,022729701 0,00814654 98,7751957 7,80960416 0,98724442 0,44461759 1,00001544330 0,026960476 0,00341148 430,505539 16,0486261 0,99072751 0,38512663 1,00001544931 0,020067976 0,00170299 153,648929 14,8776812 0,99278878 0,34554982 1,0000154532 0,024466017 0,00240758 340,133492 16,8916409 0,99190864 0,3278313 1,00001544933 0,025210957 0,0026093 63,2784965 8,55555556 0,99654708 0,42385634 1,00001544634 0,021486021 0,00163773 245,93062 13,7533273 0,99266302 0,34416912 1,00001544935 0,028565031 0,00362706 314,877419 16,7990878 0,98609321 0,36924611 1,00001545136 0,024823563 0,00391485 68,8392519 11,7661807 0,99250909 0,36635175 1,00001544537 0,027518185 0,00355948 268,68683 20,2791491 0,98755219 0,35047236 1,0000154538 0,025338577 0,00231359 275,093395 15,392172 0,99000953 0,35077169 1,0000154539 0,023204242 0,0026857 486,12973 18,557938 0,98796515 0,36097453 1,00001545640 0,023452216 0,0022373 89,1130647 11,5709719 0,99559743 0,36136935 1,00001544741 0,027467073 0,00395996 190,626161 20,9520005 0,98337921 0,34143534 1,00001545242 0,023641207 0,00194575 214,288949 8,51536432 0,99506057 0,36696992 1,00001544643 0,026568053 0,0029787 52,6148368 15,0491903 0,99060225 0,34463619 1,000015448

61

... Continuación

N X8 X9 X10 X11 X12 X13 Etiqueta1 2,50355483 361136,916 0,1192254 30,4172207 1,77903035 1,90277025 Sanos2 1,93763966 372325,769 0,1192254 27,996206 1,77498945 1,71871715 Sanos3 1,58597884 960989,517 0,15350064 12,1606731 1,87503621 1,85467784 Lesionados4 2,01142027 417242,233 0,1191449 42,716716 1,77385011 1,77619886 Sanos5 2,30727023 425069,375 0,15350064 29,744761 1,79342409 1,8270497 Sanos6 1,78261005 862487,39 0,15350064 21,1579561 1,86055305 1,83052614 Lesionados7 2,6849537 437450,846 0,1192254 42,253886 1,79960125 1,82677114 Sanos8 2,48089492 294075,131 0,1191449 33,6714286 1,73323401 1,75381017 Sanos9 1,4109961 854010,077 0,15350064 17,1864593 1,85721093 1,90004095 Lesionados10 2,52906033 397836,949 0,15350064 21,26253 1,79312285 1,74589654 Sanos11 2,1808416 393022,629 0,1191449 38,959426 1,79568963 1,78731099 Sanos12 1,97853255 1044429,26 0,15350064 15,1186722 1,90629339 1,97201125 Lesionados13 2,74157303 362902,259 0,1192254 35,4007326 1,77824668 1,80869289 Sanos14 2,24773328 374585,314 0,135185 41,4899431 1,77073547 1,78724643 Sanos15 1,64122988 1082408,43 0,15350064 12,5612474 1,89330749 1,9159395 Lesionados16 2,31895128 375480,131 0,1191449 37,0140337 1,77636997 1,73447501 Sanos17 1,90159083 477842,119 0,1191449 37,2725962 1,79495662 1,84138978 Sanos18 1,77467876 386696,137 0,0857851 54,9899383 1,75875722 1,8304311 Sanos19 1,64758112 1034129,35 0,15350064 11,4369619 1,73686325 1,80481734 Lesionados20 2,12079365 332292,348 0,11906447 36,9185168 1,74627404 1,8544533 Sanos21 2,16955782 348701,141 0,0948365 50,5178954 1,73069866 1,86180695 Sanos22 2,08422018 880168,364 0,15350064 17,6681086 1,86698282 1,90720031 Lesionados23 2,08753109 362561,333 0,1191449 29,7151927 1,74454329 1,86202453 Sanos24 2,30888719 419122,766 0,1192254 28,2400423 1,79346323 2,00874136 Sanos25 2,32278762 425213,021 0,1191449 33,7965347 1,7906769 1,82480223 Sanos26 1,8078009 780256,048 0,15350064 15,8266234 1,83894362 1,81934422 Lesionados27 2,45809881 320387,839 0,11906447 36,2734091 1,74466535 1,74624356 Sanos28 2,29020346 405535,62 0,0948365 37,745765 1,77752129 1,77327101 Sanos29 1,55900739 1018247,23 0,15350064 17,2939857 1,89268889 1,77785571 Lesionados30 2,30132815 398377,328 0,1191449 31,4641324 1,78933672 1,86111804 Sanos31 2,22942877 335344,42 0,15350064 38,8801314 1,72724093 1,65465856 Sanos32 2,49626984 330520,285 0,11906447 37,4914523 1,74604736 1,81194645 Sanos33 1,84723776 789112,364 0,15350064 17,270338 1,83839137 1,88962713 Lesionados34 2,37263566 334697,76 0,15350064 34,736755 1,7499175 1,81673389 Sanos35 2,20185484 329103,124 0,1191449 27,3338024 1,74539885 1,75590932 Sanos36 2,18314394 552602,757 0,15350064 22,5386681 1,85842562 1,88965882 Lesionados37 2,49255952 356914,384 0,11906447 40,3491099 1,75593381 1,85085233 Sanos38 2,35652097 294972,074 0,1191449 41,3119352 1,72510916 1,84664618 Sanos39 2,34521188 453996,023 0,0948365 38,9754034 1,78409027 2,03339173 Sanos40 2,14940985 673402,02 0,15350064 18,7131347 1,8189026 1,99823075 Lesionados41 2,0964858 426843,957 0,10574493 46,7410164 1,7764176 1,94708044 Sanos42 1,90661867 647723,869 0,15350064 17,6821291 1,80452454 2,03182258 Lesionados43 2,18335177 403774,419 0,09483237 29,1352882 1,77364284 1,9586514 Sanos

62APÉNDICE A. MATRIZ DE DATOS RESULTADO DE LA EVALUACIÓN DE 13 CARACTERÍSTICAS SOBRE 43 IMÁGENES ECOGRÁFICAS DE TENDONES DE CONEJOS Y SUS CORRESPONDIENTES ETIQUETAS.

Apéndice B

Resultado del proceso de clasificacióncon imágenes comunes.

B.1. Imágenes Claras Vs OscurasEn la siguiente tabla (tabla 5.1.) se muestran los resultados de aplicar el proceso de

clasificación a un banco de imágenes que contiene imágenes de dos clases: imágenes clarase imágenes oscuras. Se han tomado las mismas características (el contraste, la suavidad detextura modificada y el espectro de potencia) empleadas en la etapa de clasificación finalcon las imágenes ecográficas empleadas en la investigación. En la tabla se presenta la mediade cada uno de los indicadores de desempeño después de 40 corridas sucesivas cambiandoaleatoriamente los subconjuntos de entrenamiento y prueba.


Clasificador Rendimiento Error Sensibilidad EspecificidadBayesiano 0,925458983 0,07454102 0,91774705 0,93258636

KNN 0,84078357 0,15921643 0,8792403 0,80103272SVML 0,95266738 0,04733262 0,99006621 0,914491SVMR 0,92687909 0,07312091 0,9961875 0,85755022

Tabla B.1: Clasificación de imágenes claras Vs oscuras

En la anterior tabla se observa que el mejor rendimiento se obtuvo con el clasificadorSVML (aproximadamente 95,26% de rendimiento), seguido por los clasificadores SVMR yBayesiano, con aproximadamente un 92,6% de rendimiento. El clasificador KNN fue el demenor rendimiento, con aproximadamente un 84%.

63

64APÉNDICE B. RESULTADO DEL PROCESO DE CLASIFICACIÓN CON IMÁGENES COMUNES.

Apéndice C

Descripción de los Clasificadores

C.1. Clasificador BayesianoEs un clasificador de tipo estadístico que es conveniente usar cuando los patrones de al-

gunas clases presentan, ya sea una cercanía notable o una dispersión significativa [67].

Siguiendo las ideas expuestas en [47], el clasificador de Bayes, es aquel que minimiza elerror medio total, asignando un patrón desconocido x a la clase wi, si

ri(x) < rj(x) para j = 1, . . . ,M ; j 6= i (C.1)

Donde ru(x) es el error medio que se produce al asignar x a la clase wu y se define por:

ru(x) =M∑k=1

LkuP (wk/x) (C.2)

Donde M : es el número de clases consideradas. Lku: es el error del clasificador al decidir quex proviene de wu cuando realmente proviene de wk. P (wk/x): representa la probabilidad deque un patrón x, pertenezca a la clase wk.

De la teoria de la probabilidad se tiene que:

P (wk/x) =P (wk)P (x/wk)

P (x)(C.3)

Donde P (x/wk): es la función de densidad de probabilidad de los patrones de la clase wk; esdecir, representa la probabilidad de que dada la clase wk, el valor de la variable aleatoria seaprecisamente x. P (wk): es la probabilidad de ocurrencia de la clase wk. P (x): es la probabi-lidad a priori de que se manifieste un patrón x.

Reemplazando (C.3) en (C.2), se obtiene:

ru(x) =M∑k=1

LkuP (wk)P (x/wk)

P (x)(C.4)

65

66 APÉNDICE C. DESCRIPCIÓN DE LOS CLASIFICADORES

Como P (x) es positivo y común en todas las clases, se puede prescindir de él, para obtener:

ru(x) =M∑k=1

LkuP (x/wk)P (wk) (C.5)

Así las cosas, y teniendo en cuenta la ecuación (2.34), se puede decir que el clasificadorBayesiano es aquel que asigna un patrón desconocido x a la clase wi si

M∑k=1

LkiP (x/wk)P (wk) <M∑k=1

LqjP (x/wq)P (wq) (C.6)

Para j = 1, . . . ,M ; j 6= i.

Haciendo la consideración adicional de que la función error sea 0 para una decisión correctay 1 para cualquier decisión incorrecta, se tiene que:

Lku = 1− δku (C.7)

Donde δku = 1, si u = k y δku = 0, si u 6= k.

Sustituyendo (C.7) en (C.5) se tiene

ru(x) =M∑k=1

(1− δku)P (x/wk)P (wk)

ru(x) =M∑k=1

P (x/wk)P (wk)−M∑k=1

δkuP (x/wk)P (wk)

ru(x) = P (x)− P (x/wu)P (wu) (C.8)

Por lo tanto, el clasificador Bayesiano asigna un patrón x a la clase wi, si ri(x) < rj(x),esto es P (x)− P (x/wi)P (wi) < P (x)− P (x/wj)P (wj).

Lo cual es equivalente a

P (x/wi)P (wi) > P (x/wj)P (wj) j = 1, . . . ,M ; j 6= i (C.9)

Donde ahora, el clasificador de Bayes puede verse implementando funciones de decisiónde la forma:

du(x) = P (x/wu)P (wu) u = 1, . . . ,M (C.10)

como lo hacen otros clasificadores que emplean distancias y en los que un patrón vectorial xse asigna a la clase wi, si di(x) > dj(x), para todo j 6= i.

En la ecuación (C.10), la probabilidad de ocurrencia de cada clase P (wu) = 1M

en elcaso en que las clases sean equiprobables o se puede inferir del problema en caso que no losean; sin embargo, las funciones de densidad de probabilidad de los patrones de cada clase

C.2. CLASIFICADOR DE DATOS KNN 67

P (x/wu), no son fáciles de determinar, por lo que en ese caso el clasificador de Bayes sebasa en la suposición de una expresión analítica para diversas funciones de densidad y enuna estimación de los parámetros de la expresión para los patrones ejemplo de cada clase.Comúnmente, la función más supuesta para P (x/wu), es la distribución gaussiana, por lo que,entre más cercana a la realidad sea esta suposición, mejor será la aproximación al mínimoerror medio de clasificación [47].

C.2. Clasificador de datos KNNConsiste en asignar o clasificar un nuevo patrón x en la clase wi más frecuente a la que

pertenecen sus k-vecinos más cercanos. Para implementar el algoritmo básico, se toman lasdistancias de todos los patrones en juego al nuevo patrón x que se pretende clasificar y seseleccionan los k casos más cercanos a x, el cual se asignará a la clase wi que contabilice máscasos dentro de los k seleccionados. Este es un algoritmo cuyo costo de aprendizaje es cero,ya que, todo el coste pasa al cálculo de la predicción [69].

En la Figura C.1 se puede apreciar un ejemplo del algoritmo KNN con K = 5, en el que setiene un universo de 34 patrones distribuidos en dos clases (A y B) y sobre los que se midendos características (X1 y X2). De los 5 casos más cercanos al elemento nuevo “+” a clasificar,dos pertenecen a la clase A y tres a la clase B; por consiguiente, el clasificador 5-NN asignael nuevo caso a la clase B.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Clasificación por KNN con K=5

X1

X2

Clase A

Clase B

Dato

Figura C.1: Ejemplo de aplicación del algoritmo KNN con K = 5

En esta técnica de clasificación, es importante tener una regla para la resolución de los empa-tes. Entre las reglas heurísticas comúnmente aplicadas están: seleccionar la clase que contengaal vecino más próximo, seleccionar la clase con distancia media menor, seleccionar el punto


de desempate al azar,. . . , entre otras.

Está técnica cuenta además, con importantes variantes, como son: KNN con rechazo, KNNcon distancia media, KNN con distancia mínima, KNN con pesado de casos seleccionados yKNN con pesado de variables entre otros [70]. El KNN con rechazo, por ejemplo, consiste enque un caso pueda quedar sin asignar si no se tiene la certeza de que la clase seleccionada seala correcta. Para esto, se pueden imponer ciertas reglas que el investigador considere nece-sarias para una clasificación óptima. Una opción, puede ser el establecimiento de un umbral(dentro de los k vecinos más próximos) que la clase debe superar para poder ser seleccionada.

En el algoritmo KNN, es relevante, especificar una métrica para poder medir la proximi-dad y determinar el valor óptimo de k. Para la métrica se suele emplear la euclidea y en [68]se ha argumentado la escogencia de un k =

√N , donde N representa al número total de casos

o patrones considerados en el estudio; aunque en la práctica, se suele asignar explícitamenteel valor de k.

En este trabajo, se toma k = 1 y se implementa la regla de clasificación del vecino máspróximo o simplemente 1-NN, la cual se basa en la suposición de que la clase del patrón aetiquetar, x, es la del prototipo más cercano del universo N . empleando la distancia Euclídeapara determinar el grado de proximidad, el problema se reduce entonces, al cálculo de medidasde distancias:

Dij(x) = ‖x− xij‖ (C.11)

Entre el patrón a etiquetar x y el elemento j-ésimo de la clase wi.

En (C.11), ‖a‖= (aTa)1/2 es la norma de Euclides. Si Dkj(x) es la menor distancia,entonces se asigna x a la clase wk.

C.3. Máquina de Vectores de Soporte - SVM

Los inicios de las Máquinas de Vectores de Soporte (SVM por su nombre en inglés SupportVector Machine) se remontan a los años 80, cuando surgen como un método de clasificaciónbasados en la teoría de Vladimir Vapnik [71] y de su equipo AT&T de minimización deriesgo estructural y se centra en lo que se conoce como teoría del aprendizaje estadístico.Generalmente, las SVM consisten en una proyección de los datos a una dimensión mayorconocida como Dimensión de Vapnik-Chervonenkis [72], en la que se logra la separación deun conjunto de datos (patrones) pertenecientes a diferentes categorías, por medio de unafunción de decisión llamada hiperplano de decisión óptima, que ofrece el máximo margen deseparación entre clases. Este hiperplano, se obtiene con un conjunto particular denominadoconjunto de entrenamiento y se espera que el modelo sea capaz de predecir la clase o categoríade los datos en un conjunto de prueba. Dicho hiperplano es el que maximiza la distancia alpunto más próximo de cada clase, y estos puntos, por lo general, son los que determinan losvectores de soporte al modelo (ver Figura C.2).

C.3. MÁQUINA DE VECTORES DE SOPORTE - SVM 69

Figura C.2: Hiperplano y margen de separación óptimos para una SVM

Las Máquinas de Vectores Soporte se pueden emplear, tanto para clasificación binaria (se-parar dos clases), como para clasificación multiclase. Como en este trabajo se busca separarimágenes de tendones en dos clases o categorías (imágenes de tendones sanos y no sanos), seaplica SVM para clasificación binaria. En este proceso de clasificación binaria, una clase esconsiderada como positiva (y = 1) y la otra como negativa (y = −1), lo cual no se contradicecon la etiqueta dada por el investigador, sino que, esta es más bien la clasificación internapara la formulación matemática del modelo.

Existe [73] una formulación matemática de las SVM para datos que sean linealmente se-parables (SVM con margen máximo), linealmente no separables (SVM para la clasificación nolineal) o para datos linealmente separables con algún nivel de ruido (SVM con margen blan-do). La aplicación de este tipo de máquinas de soporte vectorial, requiere la solución de unproblema de optimización- clasificación, enmarcado en el área de la computación matemática.

C.3.1. SVM con margen máximo

En este caso se parte de un conjunto de m datos separables linealmente {(x1, y1), (x2, y2),. . . , (xm, ym)} donde xi ∈ Rn e yi ∈ {−1, 1}, y la meta es separar los vectores de entrena-miento xi, mediante un hiperplano h(x), tal que:

h(x) = ωT · x + b = 0 (C.12)

donde b ∈ R y ω, x ∈ Rn, n la dimensión del espacio de entrada, ω normal al hiperplano.

De acuerdo al lado en que se encuentren los vectores xi, respecto del hiperplano, secumplirá que:

ωT · xi + b > 0, para yi = 1 (C.13)

ωT · xi + b < 0, para yi = −1 (C.14)


Estas expresiones definen las dos clases presentes en el estudio, que por ser linealmenteseparables, permiten hallar el hiperplano que las separa con margen máximo (ver FiguraC.2). Estas expresiones se pueden reducir a una sola

yi(ωT · xi + b) > 0, para i = 1, . . . ,m (C.15)

Considerando que los vectores de soporte (puntos más cercanos al hipreplano representa-dos con borde negro en la Figura C.2) cumplen:

h(xi) = 1, para yi = 1

h(xi) = −1, para yi = −1

De esta forma la mínima separación entre los vectores y el hiperplano separador es launidad, por lo que, no puede haber elementos del conjunto de entrenamiento dentro delmargen máximo de separación y la ecuación (C.15) se transforma en:

yi(ωT · xi + b) ≥ 1, para i = 1, . . . ,m (C.16)

La distancia de un punto x al hiperplano h es:

d(h,x) =|h(x)|‖ω‖

(C.17)

Donde ‖ω‖ es la norma euclidea de ω.

Como los puntos más cercanos al hiperplano son los correspondientes a los vectores desoporte y cumplen |h(x)| = 1, entonces su distancia al hiperplano sería:

d(h,x) =1

‖ω‖(C.18)

Se trata ahora de hallar el valor de ω y b; para esto, se debe resolver un problema deoptimización que permita maximizar la distancia d(h,x), entre el hiperplano y el punto deentrenamiento más próximo; esto es:

Maximizar :1

‖ω‖, sujeto a yi(ω

T · xi + b) ≥ 1, para i = 1, . . . ,m (C.19)

Condición que garantiza que ningún dato de entrenamiento quede dentro del margen quesepara las dos clases y se tenga una mejor generalización del clasificador, tal como se esque-matiza en la Figura C.2

Según [73] maximizar 1‖ω‖ es equivalente a minimizar ‖ω‖

2

2, y el problema de optimización

se transforma en:

Minimizar :‖ω‖2

2, sujeto a yi(ω

T · xi + b) ≥ 1, para i = 1, . . . ,m (C.20)


Este problema de optimización se puede exponer en su formulación dual, más sencilla deresolver, empleando multiplicadores de Lagrange y las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker[72] [71], que en realidad son una generalización de los multiplicadores. De esta manera, elLagrangiano está dado por:

L(ω, b, α) =1

2‖ω‖2 +

m∑i=1

αi(1− yi(ωT · xi + b)) (C.21)

Donde los αi son los multiplicadores de Lagrange. Como el Lagrangiano tiene que serminimizado con respecto a ω y b, se tiene:

∂L

∂b= 0 →

m∑i=1

αiyi = 0 (C.22)

∂L

∂ω= 0 → ω −

m∑i=1

αiyixi = 0 → ω =m∑i=1

αiyixi (C.23)

αi(1− yi(ωT · xi + b)) = 0, para i = 1, . . . ,m

(1− yi(ωT · xi + b)) ≤ 0, para i = 1, . . . ,m

αi ≥ 0, para i = 1, . . . ,m

Los vectores en la etapa de entrenamiento que proporcionan αi > 0, son llamados vecto-res soporte(definen el margen de separabilidad) y los que no son vectores soporte obliganαi = 0, lo cual es igualmente establecido por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.

Sustituyendo las ecuaciones (C.22) y (C.23) en la ecuación (C.21) y teniendo en cuentaque ‖ω‖2 = ωTω y

∑mi=1 αiyib = 0, se obtiene la función objetivo de la fórmula dual:

L(ω, b, α) =m∑i=1

αi −1

2

m∑i,j=1

yiyjαiαjxTi xj (C.24)

De donde se deben obtener los valores de ω y b que definen el hiperplano, lo cual seconsigue al maximizar la ecuación (C.24) sujeta a las condiciones

m∑i=1

αiyi = 0, αi ≥ 0 i = 1, . . . ,m

Teniendo en cuenta que αi = 0 para todos los datos que no son vectores de soporte, al resolverse obtiene:

ω =ms∑i=1

αiyisi

Donde los si son los vectores de soporte y ms es el número de estos.

h(x) = ωT · x + b =ms∑i=1

αiyisTi x + b


b = −1

2

(maxy=−1{ωTxj}+ mın

y=1{ωTxj}

)De donde queda claro que la ecuación del hiperplano solo depende de los vectores sopor-

te, de tal forma que si todos los demás datos son eliminados y se repite el entrenamiento,se encontrará el mismo hiperplano de separación definido por el mismo conjunto de vectoressoporte. Esta es la razón por la que a este algoritmo se le llame máquinas de vectores desoporte o máquinas de soporte vectorial.

C.3.2. SVM lineal con margen blando

Las SVM con margen máximo tratadas en el tema anterior, se aplican a casos linealmenteseparables donde no existen intersecciones o solapamiento entre las clases;sin embargo, haycasos linelamente separables donde pueden existir datos de entrada erróneos, ruido, algúntipo de solapamiento entre las clases o algún outlier (dato atípico). En estos casos, no esconveniente que la SVM se ajuste totalmente a los datos y se busca el mejor hiperplanoclasificador que pueda tolerar el ruido en los datos de entrenamiento.

Para lograr el ajuste, es necesario introducir unas variables flojas o de holgura (no nega-tivas) ξ en la ecuación (C.16) [75]:

yi(ωT · xi + b) ≥ 1− ξi, 1 ≤ i ≤ m (C.25)

En este caso, si 0 < ξi < 1 los datos no poseen margen máximo, pero pueden ser correctamenteclasificados (Ver figura C.3). Además, se emplea un parámetro de penalización C, que puedacontrolar el ancho del margen blando y determinar la relación entre el error de entrenamientoy la dimensión Vapnik-Chervonenkis del módulo.

Figura C.3: Hiperplanos con margen blando

Definición 1 (Dimensión Vapnik-Chervonenkis -VC-) La dimensión VC describe la capa-cidad de un conjunto de funciones implementadas en una máquina de aprendizaje. Paraclasificación binaria h es el máximo número de puntos en el que pueden ser separadas dosclases en todas la 2h formas posibles usando las funciones de la máquina de Aprendizaje.


Partiendo de las condiciones dadas en la ecuación (C.20), el problema de optimización,ahora se transforma en:

Minimizar :‖ω‖2

2+ C

m∑i=1

ξi (C.26)

sujeto a yi(ωT · xi + b) ≥ 1− ξi; ξi ≥ 0, i = 1, . . . ,m

Con estas condiciones puede haber datos dentro del margen con una holgura ξi mayorque 0, lo cual permite colocar datos erróneos u outliers dentro de dicho margen y evita quese cometan errores en el cálculo del hiperplano.

La condición ξi < 0, no se considera, ya que en ese caso, yi(ωT ·xi+b) ≥ 1−ξi ≥ 1. Por otrolado [73], un C grande proporciona un pequeño número de errores de clasificación y tomandoC = ∞ se requiere que el número de datos mal clasificados sea cero; sin embargo, en estecaso no es posible, ya que el problema puede ser factible únicamente para algún valor C <∞.

Con algunas variantes, el Lagrangiano ahora está dado por

L(ω, b, α) =1

2‖ω|2+C

m∑i=1

ξi +m∑i=1

αi(1− ξi − yi(ωT · xi + b))−m∑i=1

µiξi (C.27)

donde los µi son los multiplicadores de Lagrange introducidas para hacer cumplir la positi-vidad de la ξi [72].

Procediendo de la misma manera que en el caso linealmente separable, diferenciando conrespecto a ω, b y ξi, y después sustituyendo en (C.27), se obtiene el problema dual:

L(ω, b, α) =m∑i=1

αi −1

2

m∑i,j=1

yiyjαiαjxTi xj (C.28)

El cual hay que maximizar respecto a αi, sujeto a

m∑i=1

αiyi = 0, 0 ≤ αi ≤ C, 1 ≤ i ≤ m.

La solución está dada de nuevo por

ω =ms∑i=1

αiyisi

Donde los si son los vectores de soporte.

Las variables de holgura ξi permiten que haya datos que cumplan yih(x) < 1; es decir,datos dentro del margen de separación entre las clases, sin que afecte el cálculo del hiperplanoóptimo. Si yih(x) < 0 significa que x está en el lado incorrecto del hiperplano (Ver FiguraC.4).


Figura C.4: Clasificación SVM lineal con margen blando

C.3.3. SVM para clasificación no lineal

Hay ocasiones en que los datos no pueden ser linealmente separables en el espacio deentrada. En estos casos es posible, que empleando una transformación en el espacio de en-trada, se consiga una separación lineal en un espacio de dimensión mayor H (el espacio decaracterísticas), donde los datos si puedan ser separados por un hiperplano, aplicando unrazonamiento similar al empleado en los casos linealmente separables vistos anteriormente.

La función Φ a emplear debe ser tal que

Φ : Rn → Hx→ Φ(x)

Esta función Φ, lleva los datos de entrada, que no son linealmente separables, a un espaciode mayor dimensión donde si podremos encontrar un hiperplano que los separe (ver FiguraC.5). Luego, el algoritmo de entrenamiento sólo dependerá de productos punto de los datosen H, es decir, en funciones de la forma Φ(xi) · Φ(xj) [72].

Figura C.5: Transformación del espacio de entrada a), a un espacio de características b).


En la práctica, es posible hallar una “función núcleo o kernel” K tal que K(xi,xj) =Φ(xi) ·Φ(xj), de tal forma que sólo se tendría que usar K en el algoritmo de entrenamiento,sin saber quién es Φ explícitamente.

Por ejemplo, si tomamos una transformación Φ de R2 en R3, con Φ(x) definida como

Φ(x) = Φ(x1, x2) = (x21,√

2x1x2, x22)

para el producto escalar 〈Φ(x) · Φ(y)〉 se tendría:

〈Φ(x) · Φ(y)〉 =(x21,√

2x1x2, x22) · (y21,

√2y1y2, y

22)T

=((x1, x2) · (y1, y2)T

)2=〈x · y〉2

Así, el producto escalar 〈Φ(x) · Φ(y)〉 en el espacio de características se calcula a partirdel producto escalar 〈x · y〉2 en el espacio de entrada. El kernel asociado al espacio de carac-terísticas es K(x,y) = 〈x ·y〉2. De esta forma, la función núcleo permite calcular el productoescalar 〈Φ(x) · Φ(y)〉 sin emplear la transformación Φ [72].

La solución dada por las SVM para el caso de datos que sean linealmente separables estádada por

h(x) = ωT · x + b =ms∑i=1

αiyisTi x + b

b = −1

2

(maxy=−1{ωTxj}+ mın

y=1{ωTxj}

)Para el caso de datos no separables linealmente, se mantienen las consideraciones ante-

riores, ya que, de igual forma se está haciendo una separación lineal, sólo que en un espaciodiferente. En este caso, para lograr la frontera de decisión [72] [75], se sustituye el productopunto del espacio de entrada sTi x por el producto punto del espacio de características que secorresponde con el kernel; esto es:

h(x) = ωT · x + b =ms∑i=1

αiyiΦ(si) · Φ(x) + b =ms∑i=1

αiyiK(si,x) + b (C.29)

donde los si son los vectores soporte.

Entre los kernel más comunes, se encuentran

K(x,y) = (x · y + 1)p (C.30)

K(x,y) = tanh(ρx · y − δ) (C.31)

K(x,y) = e−‖x−y‖2

2σ2 (C.32)


La ecuación (C.30) corresponde a una función polinómica de grado p; la ecuación (C.31)da un tipo particular de red neuronal sigmoide de dos capas, y la ecuación (C.32) es de unclasificador basado en una función gaussiana de base radial. Esta última es empleada en elpresente trabajo y está definida por la siguiente expresión

f(x) = a · exp

(−(x− c)2

2d2

)(C.33)

Donde a, c y d son constantes reales con a > 0. La gráfica de la función es una campana(campana de Gauss) donde la constante a es la altura, c es su centro y d el ancho de la misma.

Para el caso RBF, el número de centros (ms en la Ec. (C.29)), los mismos centros (los si),los pesos (αi), y el umbral (b) son producidos de forma automática por la SVM en la etapade entrenamiento y da excelentes resultados para el caso de RBF gaussianas en comparacióncon RBFs clásicos [74].

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