Cargas Por Vibración e Impacto

8/18/2019 Cargas Por Vibración e Impacto

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CARGAS POR VIBRACIÓN

En los sistemas cargados dinámicamente, por lo general hay cargas por vibración sobrepuestas a las

cargas teóricas pronosticadas con las ecuaciones dinámicas. Tales cargas vibratorias suelen tener

diferentes causas. Si los elementos del sistema fueran infinitamente rígidos, se eliminarían las

vibraciones, pero los elementos reales, de cualquier material, son elásticos y, por ende, actúan como

resortes cuando están suetos a fuer!as.

"on frecuencia, el único modo para obtener una medida precisa de los efectos de la vibración sobre

un sistema es hacer pruebas en prototipos o sistemas de producción bao condiciones de servicio

severas. #as t$cnicas modernas de análisis de los elementos finitos %&E'( y los elementos límite

%)E'( tambi$n permiten modelar y calcular los efectos de la vibración en un sistema o una

estructura. *ncluso, resulta difícil lograr un modelo por computadora de un sistema compleo que

sea tan preciso y real como un prototipo. #o anterior es especialmente cierto cuando los claros

%espacios( entre las pie!as móviles permiten que haya impactos en las uniones, cuando se invierten

las cargas. #os impactos originan fenómenos no lineales muy difíciles de modelar matemáticamente.

"ualquier sistema real puede tener un número infinito de frecuencias naturales donde vibrará

fácilmente. El número de frecuencias naturales necesarias o deseables para el cálculo varía según la

situación. +ara dicha tarea, el enfoque más completo es utili!ar el análisis de los elementos fi nitos

%&E'( al descomponer el montae en un gran número de elementos discretos.

#a frecuencia natural esencial sin amortiguamientoωn en unidades de rad /s , o fn , en

unidades de !, se calcula a partir de las e-presiones

ωn= k

m

f n= 1

2π ωn


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dondeωn es la frecuencia natural fundamental, m es la masa móvil del sistema en unidades

de masa reales %por eemplo, g, g, blob o slug, no lbm( y k es la constante efectiva del resorte

del sistema. %El periodo de la frecuencia natural es su recíproco en segundos,T n=

1

f n (

CONSTANTE DEL RESORTE #a constante k de un resorte se supone como una relación

lineal entre la fuer!a, F

, que se aplica a un elemento y su defle-ión resultanteδ

.

k = F

δ

Si es posible calcular o deducir la e-presión de la defle-ión de un elemento, se proporcionará esta

relación resorte/constante, la defle-ión δ del resorte es igual al despla!amiento y de lamasa.

k = F

y

AMORTIGUAMIENTO Todas las p$rdidas por amortiguamiento, o ro!amiento, se agrupan en elcoeficiente de amortiguamiento d . +ara este modelo sencillo se supone que el amortiguamiento es

inversamente proporcional a la velocidad y punto de la masa.

d= F ´ y


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Si se incluye el amortiguamiento, las e-presiones de la frecuencia fundamental natural amortiguada

ωd en unidades de radián /seg , o f d , en unidades de !, se convierte en

ωd=√ k

m−( d2m)

2

f d=1

2π ωd

Tal frecuencia de amortiguamientoωd será ligeramente menor que la frecuencia no amortiguada

ωn .

VALORES EFECTIVOS #a determinación de la masa efectiva de un modelo agrupado essencilla, sólo requiere sumar todos los valores de las masas móviles conectadas en las unidades demasa adecuadas.

RESONANCIA Se puede e-perimentar una condición, llamada resonancia, si la operación o lafrecuencia de for!amiento aplicada al sistema son las mismas que cualquiera de sus frecuencias

naturales. Es decir, si la velocidad angular de entrada aplicada a un sistema giratorio es la misma

queωn , o está cercana a $sta, la respuesta vibratoria será muy grande.

Fuerzas dinámias

F y

=ma=m ́y

F leva− F resorte− F amortiguador=m ´ y

F leva=m ´ y+d ́y+ky

Si se conocen los parámetros cinemáticos de despla!amiento, velocidad y aceleración del sistema,

esta ecuación se resuelve directamente para la fuer!a sobre la leva como una función del tiempo. Si

se conoce la fuer!a de la leva y se desean los parámetros cinemáticos, entonces se puede aplicar la

solución bien conocida de la ecuación diferencial lineal con coeficiente constante.


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CARGAS DE IMPACTO

#o que distingue las cargas de impacto de las cargas estáticas es el tiempo de duración de la

aplicación de la carga. Si la carga se aplica lentamente, se considera estática0 si se aplica con

rapide!, entonces es de impacto. 1n criterio que sirve para distinguir entre ambas es comparar el

tiempo de aplicación de la cargat l %definido como el tiempo que le toma a la carga para elevarse

de cero a su valor pico( con el periodo de la frecuencia natural

T n del sistema. Si

t l es menor

que la mitad deT n , se considera que es de impacto. Si

t l es mayor que tres vecesT n , se

considera estática.

Se considera que hay dos casos generales de impacto0 sin embargo, se verá que uno es el límite del

otro. )urr llama a estos dos casos impacto por golpe e impacto por fuerza. El im!a"# !#r $#%!e serefiere a una colisión real de dos cuerpos, tal como en el martilleo o el estrechamiento del espacio

entre las uniones de las pie!as. #a &uerza de im!a"# tiene que ver con una carga aplicadarepentinamente sin la velocidad de colisión, como en un peso que súbitamente se levanta con un

soporte.

Si la masa del obeto que golpea m es grande, en comparación con la masa del obeto golpeado

mb , y si el obeto que golpea se considera rígido, entonces la energía cin$tica poseída por el

obeto que golpea se puede igualar con la energía almacenada elásticamente en el obeto golpeado

en su defle-ión má-ima. Este enfoque de energía proporciona un 'a%#r a!r#(imad# de la carga deimpacto.

M)"#d# de %a ener$*a


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Suponiendo que no hay p$rdida de energía por el calor, la energía cin$tica del cuerpo que golpea se

convierte en energía potencial almacenada en el cuerpo golpeado. Si se supone que todas las

partículas de los cuerpos combinados llegan al reposo en el mismo instante, entonces, usto antes de

rebotar, serán má-imos la fuer!a, el esfuer!o y la defle-ión en el cuerpo golpeado. #a energía

elástica almacenada en el cuerpo golpeado será igual al área bao la curva de fuer!a/defle-ión, que

se define por la constante particular del resorte. +or la relación lineal, $sta es el área de un triángulo,

A=12bh

. 2e tal manera, la energía almacenada en el punto de defle-ión pico por impacto

δ i es

E=1

2 F i δ i

E= F i

2

2k

IMPACTO +ORI,ONTAL #a fi gura 3/34a muestra una masa a punto de impactar el e-tremo deuna varilla hori!ontal. Tal dispositivo, que se conoce algunas veces como martillo deslizante, sirve

para eliminar abolladuras de la carrocería de metal de un automóvil, entre otros usos. En el punto de

impacto, la porción de energía cin$tica de la masa móvil que se transfiere a la masa golpeada es

E=η( 12mv i2)

Si a la masa se le permitiera cargar estáticamente el elemento golpeado, la defle-ión estática

resultante sería

δ st =w

k , dondew=mg

, 'l sustituir esto, da como resultado una ra!ón entre

fuer!a dinámica y fuer!a estática, o bien, entre defle-ión dinámica y defle-ión estática5

F i

w =δ i

δ st =v i√ η

gδ st

El t$rmino del segundo miembro de la ecuación se conoce como factor de impacto, que proporciona

la ra!ón entre el impacto y la fuer!a o defle-ión estática. Entonces, si la defle-ión estática se calcula


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al aplicar una fuer!a igual al peso de la masa, se obtendría un estimado de la fuer!a dinámica y la

defle-ión dinámica.

IMPACTO VERTICAL +ara el caso de una masa que cae una distancia h sobre una varilla como

la de la figura 3/34b, tambi$n se aplica la ecuación con una velocidad de impacto V i2=2 gh . #a

energía potencial de un descenso a lo largo de la distancia h es5

E=ηmv i

2

2=ηmgh=wηh

Si la defle-ión en el impacto es peque6a, comparada con la distancia de caída h, la ecuación es

suficiente. +ero si la defle-ión es significativa, comparada con h, la energía de impacto necesita

incluir una cantidad debida a la defle-ión, a trav$s de la cual el peso cae más allá de h. #a energía

potencial total deada por la masa en el impacto es, entonces,

E=wηh+wδ i=w (ηh+δ i )

'l igualar la energía potencial con la energía elástica, almacenada en el elemento golpeado, además

de sustituir la ecuación y la e-presiónw=k δ st

F i2

2k =w (ηh+δ i )

F i2=2k w (ηh+δ i )=2

w

δ st w (ηh+δ i )

( F iw )2

=2ηh

δ st + δ i

δ st =

2ηh

δ st +2( F iw )

( F iw )2

−2( F iw )−2ηhδ st =0

que da una ecuación cuadrática en F i/ , cuya solución es5

F i

w =δ i

δ st =1+√1+

2ηh

δ st

El segundo miembro de la e-presión es la ra!ón de impacto, para el caso del peso que cae. #a

ecuación se puede utili!ar para cualquier caso de impacto que implique la caída de un peso. +or


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eemplo, si el peso se dea caer sobre una viga, se usa la defle-ión estática de la viga en el punto de

impacto.

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