CarlosIvorraCastillo - Universitat de ValènciaANALISIS´ MATEMATICO II´ Si una cantidad no...

Carlos Ivorra Castillo

ANALISIS

MATEMATICO II

Si una cantidad no negativa fuera tan pequena

que resultara menor que cualquier otra dada, cierta-

mente no podrıa ser sino cero. A quienes pregun-

tan quees una cantidad infinitamente pequena en

matematicas, nosotros respondemos que es, de he-

cho, cero. Ası pues, no hay tantos misterios ocultos

en este concepto como se suele creer. Esos supues-

tos misterios han convertido el calculo de lo infinita-

mente pequeno en algo sospechoso para mucha gente.

Las dudas que puedan quedar las resolveremos por

completo en las paginas siguientes, donde explicare-

mos este calculo.

Leonhard Euler

Indice General

Preambulo vii

Capıtulo X: Formas diferenciales 110.1 El algebra exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110.2 El algebra de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710.3 Algunos conceptos del calculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 2010.4 La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Capıtulo XI: El teorema de Stokes 3511.1 Variedades con frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.2 El teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.3 Aplicaciones del teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4811.4 Las formulas de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6611.5 El teorema de Stokes con singularidades . . . . . . . . . . . . . . 7011.6 Apendice: Algunas formulas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . 75

Capıtulo XII: Cohomologıa de De Rham 7912.1 Grupos de cohomologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7912.2 Homotopıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8212.3 Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8812.4 Aplicaciones al calculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Capıtulo XIII: Funciones harmonicas y holomorfas 9913.1 Funciones harmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9913.2 Funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11013.3 La integral curvilınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11413.4 Coholomogıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11513.5 Teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11713.6 Singularidades aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11913.7 El teorema de los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Capıtulo XIV: Bases ortogonales en espacios L2 12914.1 Funciones homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13514.2 Harmonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13914.3 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

v

vi INDICE GENERAL

14.4 Los polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15314.5 El teorema de adicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17114.6 Las funciones asociadas de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 18014.7 Harmonicos esfericos en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Capıtulo XV: Aplicaciones a la fısica 18715.1 Gravitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18715.2 Electricidad y magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20315.3 Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Capıtulo XVI: La ecuacion de ondas 24116.1 La ecuacion de ondas en fenomenos fısicos . . . . . . . . . . . . . 24216.2 La ecuacion de ondas tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 25616.3 Soluciones de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 262

Bibliografıa 269

Indice de Materias 271

Preambulo

Este libro es el segundo volumen del libro Analisis Matematico I y contieneuna version ampliada de los ultimos capıtulos de la version anterior de mi libroAnalisis matematico, que corresponden al calculo integral avanzado (formasdiferenciales, el teorema de Stokes y algo de cohomologıa de De Rham) junto conun capıtulo adicional sobre series de Fourier y harmonicos esfericos y diversasaplicaciones a la teorıa de funciones harmonicas y holomorfas, ası como a lafısica.

vii

Capıtulo X

Formas diferenciales

En este capıtulo introduciremos un aparato algebraico que introducira unagran flexibilidad en el calculo integral y que ademas constituye el fundamentoteorico que justifica muchas de las manipulaciones de expresiones “diferenciales”que se interpretan de forma natural como cantidades infinitesimales.

10.1 El algebra exterior

Si comparamos el teorema de cambio de variable tal y como lo enunciamosen el capıtulo anterior con la formula de una variable

∫ b

a

u(x) dx =

∫ t(b)

t(a)

u(x(t))x′(t) dt

observamos una diferencia: la derivada x′(t) es el determinante jacobiano dela transformacion x = x(t), pero aparece sin valor absoluto, con lo que unintegrando positivo puede transformarse en un integrando negativo. Esto su-cede cuando la funcion x(t) es decreciente, pero entonces el intervalo [a, b] setransforma en el intervalo [t(b), t(a)] y, como los lımites de integracion apareceninvertidos, la integral se interpreta como cambiada de signo, lo cual compensala ausencia del valor absoluto.

En el caso general tambien es posible eliminar el valor absoluto en el determi-nante jacobiano que aparece en la formula de cambio de variable, a condicion deconsiderar orientados los dominios de integracion (exactamente igual que un in-tervalo [a, b] esta orientado positivamente cuando a < b y negativamente cuandob < a, y en este caso la integral se considera cambiada de signo). La ventaja deeste otro enfoque es que permite emerger a una potente teorıa algebraica quesubyace en el calculo integral.

Para separar esta parte puramente algebraica conviene trabajar en un es-pacio vectorial arbitrario E de dimension n, tal y como hicimos al estudiar eltensor metrico de una variedad en el capıtulo VI. Al igual que allı, en la practicasolo nos interesara el caso en que E es el espacio tangente Tp(S) de una variedad

1

2 Capıtulo 10. Formas diferenciales

S en un punto p. Mantendremos la misma notacion que usabamos entonces: losvectores (v1, . . . , vn) representaran una base arbitraria de E y (dx1, . . . , dxn)representara su base dual, es decir, la base de E∗ determinada por

dxi(vj) = δij .

En la practica, cuando E = Tp(S) la base considerada sera siempre la asociada auna carta X de S alrededor de p, es decir, la formada por las derivadas parcialesD1X(x), . . . , DnX(x), donde X(x) = p, con lo que su base dual sera la formadapor las diferenciales dx1(p), . . . , dxn(p), donde x1, . . . , xn son las funciones en Sque a cada punto le asignan sus coordenadas respecto a X .

Definicion 10.1 Sea E un espacio vectorial de dimension n. Llamaremos pa-ralelepıpedos orientados de E a las n-tuplas F = (v1, . . . , vn) ∈ En. A cada Fle asociamos el paralelepıpedo no orientado P (F ) dado por

P (F ) = α1v1 + · · ·+ αnvn | α1, . . . , αn ∈ [0, 1] ⊂ E.

Si los vectores de F son linealmente dependientes diremos que el paralelepıpedoes degenerado.

Habiendo fijado una base en E (y considerando positiva a su orientacion),podemos dividir los paralelepıpedos no degenerados en positiva y negativamenteorientados, segun que sus vectores determinen una base con la orientacion delespacio o con la contraria (es decir, segun si la matriz de cambio de base respectoa la base prefijada tenga determinante positivo o negativo).

Si E es un espacio euclıdeo, es claro que la medida de Lebesgue de P (F )se puede calcular como el valor absoluto del determinante de las coordenadasde los vectores de F en cualquier base ortonormal B de E (pues estas coorde-nadas son sus imagenes a traves de la isometrıa de E en R

n que transforma Ben la base canonica). Si suprimimos este valor absoluto tenemos una “medidaorientada”, que ya no es funcion de P (F ), sino del paralelepıpedo orientado F ,y ademas depende de la base ortonormal B seleccionada. En efecto, la medidaorientada es igual a la medida de P (F ) si los vectores de F forman una base deE con la misma orientacion que B y es dicha medida cambiada de signo en casocontrario. Si elegimos B con la misma orientacion que la base (v1, . . . , vn) prefi-jada, entonces podemos considerar que el signo de la medida orientada dependede esta base y, por consiguiente, de la orientacion que le hemos dado a E. Elinconveniente de que la medida dependa de la orientacion se ve compensado concreces por el hecho de que la medida orientada sea esencialmente un determi-nante y, por lo tanto, una forma multilineal alternada de En en R. Las formasmultilineales alternadas en un espacio euclıdeo resultan ser el equivalente a lasdiferenciales de funciones en el caso de una variable.

Definicion 10.2 Sea E un espacio vectorial euclıdeo de dimension n. Llama-remos k-formas diferenciales (constantes) de E (o formas de grado k) a lasaplicaciones multilineales alternadas ω : Ek −→ R.

10.1. El algebra exterior 3

Multilineal quiere decir que

ω(u1, . . . , αui + βu′i, . . . , uk) = αω(u1, . . . , ui, . . . , uk) + βω(u1, . . . , u′i, . . . , uk)

para todo i = 1, . . . , n y alternada quiere decir que al permutar dos vectores elvalor de la forma cambia de signo o, mas en general, que si σ es una permutacionde 1, . . . , k, se cumple

ω(uσ(1), . . . , uσ(k)) = sig σ ω(u1, . . . , uk),

donde sig σ es la signatura de la permutacion.

Llamaremos Ak(E) al conjunto de todas las k-formas de E. Claramenteforman un espacio vectorial con la suma y el producto definidos puntualmente.Convendremos en que A0(E) = R. Definimos el algebra exterior de E como lasuma directa

A(E) =

∞⊕

k=0

Ak(E).

Es claro que una forma alternada se anula cuando dos de sus argumentosson iguales, luego tambien se anula al actuar sobre vectores linealmente depen-dientes (al desarrollar uno como combinacion lineal de los demas la imagen dela forma se descompone en una combinacion lineal de imagenes de k-tuplas condos componentes iguales). Esto implica que Ak(E) = 0 para k > n y por lotanto A(E) tiene dimension finita. Vamos a estudiar ahora la estructura de losespacios Ak(E) para k ≤ n.

Es claro que A1(E) es simplemente el espacio de aplicaciones lineales de Een R, es decir, el espacio dual de E, y tiene dimension n. Una base la formanlas diferenciales (du1, . . . , dun).

Para obtener bases de los espacios de k-formas de orden superior introdu-cimos el producto exterior de formas, definido como sigue: si ω ∈ Ak(E) yω′ ∈ Ak

′

(E), entonces ω ∧ ω′ es la (k + k′)-forma dada por

(ω∧ω′)(u1, . . . , uk+k′) =∑

σ∈Σk+k′

sig σ

k!k′!ω(uσ(1), . . . , uσ(k))ω

′(uσ(k+1), . . . , uσ(k+k′)),

donde σ recorre las permutaciones de 1, . . . , k + k′.Es inmediato comprobar que ω ∧ω′ es realmente una forma. Obviamente es

multilineal y si τ ∈ Σk+k′ entonces

(ω ∧ ω′)(uτ(1), . . . , uτ(k+k′))

=∑

σ∈Σk+k′

sig σ

k!k′!ω(uστ(1), . . . , uστ(k))ω

′(uστ(k+1), . . . , uστ(k+k′))

= sig τ∑

σ∈Σk+k′

sig στ

k!k′!ω(uστ(1), . . . , uστ(k))ω

′(uστ(k+1), . . . , uστ(k+k′))

= sig τ (ω ∧ ω′)(u1, . . . , uk+k′ ).


La definicion de ω ∧ ω′ vale incluso si k = 0 o k′ = 0. Por ejemplo, si k = 0convenimos que ω( ) = ω ∈ R, con lo que

(ω ∧ ω′)(u1, . . . , uk′) =∑

σ∈Σk′

sig σ

k′!ωω′(uσ(1), . . . , uσ(k′))

=∑

σ∈Σk′

1

k′!ωω′(u1, . . . , uk′) = ωω′(u1, . . . , un).

Ası pues, en este caso ω ∧ ω′ = ωω′ (e igualmente si k′ = 0).

Teorema 10.3 El producto exterior tiene las propiedades siguientes (se en-tiende que ω, ω′, ω′′ son formas de los grados adecuados para que tengan sentidolas operaciones):

a) (ω ∧ ω′) ∧ ω′′ = ω ∧ (ω′ ∧ ω′′),

b) ω ∧ (ω′ + ω′′) = ω ∧ ω′ + ω ∧ ω′′, (ω + ω′) ∧ ω′′ = ω ∧ ω′′ + ω′ ∧ ω′′,

c) α(ω ∧ ω′) = (αω) ∧ ω′ = ω ∧ (αω′), para α ∈ R,

d) ω ∧ ω′ = (−1)kk′

ω′ ∧ ω.

Demostracion: a) Supongamos que ω, ω′ y ω′′ tienen grados k, k′ y k′′

respectivamente. Entonces

(

(ω ∧ ω′) ∧ ω′′)(u1, . . . , uk+k′+k′′ ) =

∑

σ∈Σk+k′+k′′

sig σ

(k + k′)!k′′!(ω∧ω′)(uσ(1), . . . , uσ(k+k′))ω

′′(uσ(k+k′+1), . . . , uσ(k+k′+k′′))

=∑


sig σ

(k + k′)!k′′!

∑

τ∈Σk+k′

sig τ

k!k′!ω(uστ(1), . . . , uστ(k))

ω′(uστ(k+1), . . . , uστ(k+k′))ω′′(uσ(k+k′+1), . . . , uσ(k+k′+k′′)).

Si identificamos las permutaciones τ ∈ Σk+k′ con las permutaciones deΣk+k′+k′′ que fijan a los ındices mayores que k + k′ la signatura es la misma ypodemos escribir στ en todos los subındices. Entonces queda

(

(ω ∧ ω′) ∧ ω′′)(u1, . . . , uk+k′+k′′ )

=∑


∑

τ∈Σk+k′

sig στ

(k + k′)!k!k′!k′′!ω(uστ(1), . . . , uστ(k))

ω′(uστ(k+1), . . . , uστ(k+k′))ω′′(uσ(k+k′+1), . . . , uσ(k+k′+k′′)).

10.1. El algebra exterior 5

Claramente, στ recorre (k+k′)! veces cada permutacion de Σk+k′+k′′ , luegotenemos que

(

(ω ∧ ω′) ∧ ω′′)(u1, . . . , uk+k′+k′′ )

=∑


sig σ

k!k′!k′′!ω(uσ(1), . . . , uσ(k))ω

′(uσ(k+1), . . . , uσ(k+k′))

ω′′(uσ(k+k′+1), . . . , uσ(k+k′+k′′)).

Si partimos de ω∧(ω′∧ω′′) llegamos claramente a la misma expresion, luego(ω ∧ ω′) ∧ ω′′ = ω ∧ (ω′ ∧ ω′′).

Las propiedades b) y c) son inmediatas. Para probar d) supongamos queω ∈ Ak(E) y ω′ ∈ Ak

′

(E). Entonces

ω ∧ ω′ = (−1)kk′

ω′ ∧ ω.

En efecto, sea τ ∈ Σk+k′ la permutacion dada por

τ(i) =

i+ k′ si i ≤ ki− k si i > k

Es facil comprobar que sig τ = (−1)kk′

. Entonces

(ω∧ω′)(u1, . . . , uk+k′ ) =∑

σ∈Σk+k′

sig σ

k!k′!ω(uσ(1), . . . , uσ(k))ω

′(uσ(k+1), . . . , uσ(k+k′))

=∑

σ∈Σk+k′

sig στ

k!k′!ω(uστ(1), . . . , uστ(k))ω

′(uστ(k+1), . . . , uστ(k+k′))

= (−1)kk′∑

σ∈Σk+k′

sig σ

k!k′!ω(uσ(k′+1), . . . , uσ(k′+k))ω

′(uσ(1), . . . , uσ(k′))

= (−1)kk′

(ω′ ∧ ω)(u1, . . . , uk+k′ ).

Ahora extendemos el producto exterior hasta un producto en A(E) mediante

(

n∑

i=0

ωi

)

∧

n∑

j=0

ω′j

=n∑

i,j=0

ωi ∧ ω′j .

Usando el teorema anterior se prueba sin dificultad que A(E) es un anillo(no conmutativo) con la suma y el producto exterior. La propiedad c) vale paraelementos arbitrarios de A(E) (no necesariamente formas), lo que significa queel algebra exterior es ciertamente un algebra no conmutativa.

Podemos comparar la construccion de A(E) y su estructura de algebra con laconstruccion de los anillos de polinomios: las definiciones son las tecnicamente


necesarias para obtener las propiedades deseadas, pero una vez comprobadoslos hechos basicos estas definiciones pueden ser olvidadas y sustituidas por pro-piedades algebraicas naturales. Por ejemplo, un polinomio termina siendo unacombinacion de sumas y productos de indeterminadas sujetas a las propiedadesde los anillos; igualmente un elemento de A(E) no es mas que una combinacionde sumas y productos de diferenciales sujetas a las propiedades de un algebrano conmutativa. Para ver que esto es ası hemos de observar que el argumentocon el que hemos probado la asociatividad del producto exterior se generalizasin dificultad para dar una expresion simetrica del producto de un numero ar-bitrario de formas. Solo nos interesa el caso en que los factores son 1-formas,que queda como sigue:

Teorema 10.4 Si ω1, . . . , ωk ∈ A1(E), entonces su producto exterior es la k-forma dada por

(ω1 ∧ · · · ∧ ωk)(u1, . . . , uk) =∑

σ∈Σk

sig σ ω1(uσ(1)) · · ·ωk(uσ(k)) = det(

ωi(uj))

.

En particular

(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)(u1, . . . , uk) = det(

dxir (uj))

.

Mas concretamente, si i1 < · · · < ik, j1 < · · · < jk, entonces

(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)(vj1 , . . . , vjk) =

1 si i1 = j1, . . . , ik = jk0 en otro caso,

pues dxir (vjs) = δirjs y el determinante sera nulo en cuanto algun ir no figureentre los js o viceversa. Con esto ya es facil obtener la expresion general de unak-forma:

Teorema 10.5 Toda forma ω ∈ Ak(E) se expresa de forma unica como

ω =∑

i1<···<ikαi1···ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik , con αi1···ik ∈ R.

Concretamente αi1···ik = ω(vi1 , . . . , vik) ∈ R.

Demostracion: Llamemos ω′ al miembro derecho de la igualdad. Paraprobar que ω = ω′, por la multilinealidad es suficiente comprobar que ambascoinciden sobre los vectores basicos vj1 , . . . , vjk , y como son alternadas pode-mos suponer ademas que j1 < · · · < jk. La observacion anterior prueba queω′(vj1 , . . . , vjk) = αj1···jk = ω(vj1 , . . . , vjk). La unicidad es clara.

Por consiguiente, la dimension de Ak(E) es(

nk

)

y la dimension del algebraexterior A(E) es 2n. Como ultima observacion general para operar en A(E)observemos que

dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi,luego en particular dxi ∧ dxi = 0.

10.2. El algebra de Grassmann 7

Ejemplo Tomemos E = R3 con la base canonica. Entonces una base de

A1(Rn) la forman las tres diferenciales dx, dy, dz, y una 2-forma arbitraria es

ω = a dx ∧ dy + b dx ∧ dz + c dy ∧ dz, con a, b, c ∈ R.

Calculemos por ejemplo:

ω ∧ (dx+ dy) = a dx ∧ dy ∧ dx+ b dx ∧ dz ∧ dx+ c dy ∧ dz ∧ dx+ a dx ∧ dy ∧ dy + b dx ∧ dz ∧ dy + c dy ∧ dz ∧ dy= c dx ∧ dy ∧ dz − b dx ∧ dy ∧ dz = (c− b) dx ∧ dy ∧ dz.

Vemos ası que las formas se manipulan facilmente sin necesidad de recurriren ningun momento a las definiciones de las operaciones, sino tan solo usandosus propiedades algebraicas.

Para terminar con las generalidades sobre formas diferenciales demostrare-mos el teorema siguiente:

Teorema 10.6 Sea E un espacio vectorial de dimension n y sean (v1, . . . , vn),(v′1, . . . , v

′n) dos bases de E. Sean (dx1, . . . , dxn) y (dx′1, . . . , dx

′n) sus bases

duales respectivas. Sea A la matriz de cambio de base (es decir, la matriz cuyasfilas son las coordenadas de los vectores vi en la segunda base). Entonces

dx′1 ∧ · · · ∧ dx′n = detAdx1 ∧ · · · ∧ dxn.

Demostracion: Sea A = (aij). Entonces vi = ai1v′1+ · · ·+ainv′n, de donde

dx′j(vi) = aij . Por el teorema 10.4 tenemos que

(dx′1∧· · ·∧dx′n)(v1, . . . , vn) = det(

dx′j(vi))

= detA (dx1∧· · ·∧dxn)(v1, . . . , vn).

Esto implica que ambas formas son iguales.

10.2 El algebra de Grassmann

En la seccion anterior hemos estudiado las formas diferenciales en un espaciovectorial. Ahora pasamos a definir formas sobre variedades diferenciables. Larelacion entre unas y otras es la misma que la que hay entre vectores y cam-pos vectoriales, solo que a los “campos de formas” se les llama simplemente“formas”:

Definicion 10.7 Sea S una variedad diferenciable. Una k-forma diferencial enS es una aplicacion ω que a cada p ∈ S le asigna una k-forma ω(p) ∈ Ak

(

Tp(S))

.

Observar que una 0-forma es simplemente una funcion f : S −→ R.

Si X : U −→ V ⊂ S es una carta de S y p ∈ V , entonces una base deAk(

Tp(S))

esta formada por las formas

dxi1 (p) ∧ · · · ∧ dxik(p), con 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n.


Por consiguiente, para todo p ∈ V se cumplira que

ω(p) =∑

1≤i1<···<ik≤nαi1···ik(p) dxi1 (p) ∧ · · · ∧ dxik (p), (10.1)

para ciertas funciones αi1···ik : V −→ R, llamadas coeficientes de la formaen la carta dada. Si consideramos otra carta alrededor de p con coordenadasy1, . . . , yn, entonces podremos expresar

dxi(p) =∂xi∂y1

(p) dy1(p) + · · ·+ ∂xi∂yn

(p) dyn(p).

Al sustituir en el miembro derecho de (10.1) y desarrollar los productos exterio-res obtenemos que los coeficientes βi1···ik de ω en la carta Y se obtienen a partirde los coeficientes en X mediante sumas y productos por las derivadas parcialesque aparecen en la igualdad anterior. De aquı se sigue que las funciones αi1···ikson continuas, diferenciables o de clase Cq en un punto dado si y solo si lo sonlas funciones βi1···ik (suponiendo que las cartas sean suficientemente derivables).

Una forma diferencial de una variedad S es continua, diferenciable o de claseCq si y solo si lo son sus coeficientes en todas las cartas. Por razones de simplici-dad en lo sucesivo sobrentenderemos que todas las variedades que consideremostendran cartas de clase C∞ y por “forma diferencial” entenderemos “forma di-ferencial de clase C∞”. En realidad todos los resultados que probemos valdranigualmente sin mas que suponer que las cartas y las funciones consideradas sonsuficientemente derivables, pero no entraremos en detalles al respecto.

Si S es una variedad diferenciable, llamaremos Λk(S) al conjunto de todaslas formas diferenciales (de clase C∞) en S. Es claro que se trata de un espaciovectorial con las operaciones definidas puntualmente. Definimos el algebra deGrassmann de S como la suma directa

Λ(S) =

∞⊕

k=0

Λk(S).

El producto exterior de las algebras A(

Tp(S))

induce puntualmente un pro-ducto exterior en el algebra de Grassmann, con el cual adquiere estructura dealgebra no conmutativa. Todas las propiedades del producto exterior que vimosen la seccion anterior para algebras exteriores valen trivialmente para algebrasde Grassmann.

Tenemos que Λ0(S) es el conjunto de las funciones de clase C∞ definidassobre S. Si f ∈ Λ0(S) y ω ∈ Λ(S) escribiremos fω en lugar de f ∧ ω. Notemosque (fω)(p) = f(p)ω(p).

Con la ayuda de estos conceptos podemos formular con precision algunas delas ideas que exponıamos al comienzo de la seccion anterior. Sea E un espaciovectorial euclıdeo. Observemos que la n-forma dx1 ∧ · · · ∧ dxn asigna a cadaparalelepıpedo orientado F de E el determinante de las coordenadas de sus


vectores en la base v1, . . . , vn. Si esta es ortonormal y F no es degeneradoentonces (dx1 ∧ · · · ∧ dxn)(F ) es lo que llamabamos la medida orientada de F ,es decir, la medida de P (F ) salvo un signo, que sera positivo o negativo segunla orientacion de F .

Si la base v1, . . . , vn no es ortonormal (lo cual sera lo mas frecuente, pueslas bases asociadas a cartas en espacios tangentes casi nunca lo son) entonces elvolumen de F no vendra dado por la n-forma basica, sino por un multiplo suyo:

dm = a dx1 ∧ · · · ∧ dxn,donde a es el valor absoluto del determinante de la matriz de cambio de baseentre una base ortonormal de E y (v1, . . . , vn). A esta n-forma se le llamaelemento de longitud, area, volumen, medida de E (segun la dimension). No-temos que si hacemos actuar los dos miembros de la igualdad anterior sobre labase (v1, . . . , vn) vemos que a no es sino la medida del paralelepıpedo que estadetermina.

En el caso en que E es un espacio tangente Tp(S) y la base fijada es laasociada a una carta X , el teorema 9.47 prueba de hecho que

dm(p) = ∆X(p) dx1(p) ∧ · · · ∧ dxn(p). (10.2)

En efecto, basta observar que ∆X(p) es la medida de la imagen por dX(x)del paralelepıpedo asociado a la base canonica, es decir, del paralelepıpedo(D1X(x), . . . , DnX(x)) que hemos tomado como base en Tp(S).

Ahora nos encontramos con un inconveniente: nos gustarıa definir el ele-mento de medida de una variedad S como la forma diferencial dm que a cadapunto p le asigna la medida orientada de Tp(S). Sin embargo esto es ambiguo,pues en Tp(S) hay dos medidas orientadas —de signo opuesto— correspondien-tes a las dos orientaciones posibles del espacio. Mas exactamente, si considera-mos la expresion (10.2) para dos cartas distintas X e Y alrededor de un punto p,las formas dm(p) correspondientes pueden ser iguales u opuestas segun lo seanlas orientaciones de las bases de Tp(S) asociadas a las cartas. En otras palabras,depende de si dX(x) y dY (y) transforman la base canonica de Rn en bases conla misma orientacion, y es facil ver que esto equivale a que d(X Y −1)(x) con-serve la orientacion, es decir, a que el determinante jacobiano de X Y −1 seapositivo en x.

Definicion 10.8 Un atlas de una variedad S es un conjunto de cartas quecubran todos los puntos de S. Un atlas orientado es un atlas de S tal que si X eY son dos de sus cartas y ambas cubren a un punto p, entonces el determinantejacobiano de X Y −1 es positivo. Una variedad S es orientable si admite unatlas orientado.

De este modo, si fijamos un atlas orientado en una variedad S y tomamosp ∈ Tp(S), todas las bases de Tp(S) inducidas por cartas del atlas tienen lamisma orientacion, a la que llamaremos orientacion positiva de Tp(S). En losucesivo, cuando hablemos de una variedad orientable se sobrentendera que enella hemos seleccionado un atlas orientado y por consiguiente una orientacionpositiva en cada espacio tangente.


Ejemplo Toda variedad cubrible por una sola carta es orientable, conside-rando el atlas formado unicamente por dicha carta. En particular todo abiertode Rn es una variedad orientable, tomando como carta la identidad. En lo su-cesivo consideraremos siempre esta orientacion en los abiertos de Rn, de modoque la base canonica sera una base orientada de cada espacio tangente.

Teorema 10.9 Sea S una variedad orientable y X una carta de S con imagenconexa. Entonces, o bien las bases asociadas a X son todas positivas o bien sontodas negativas. Segun el caso diremos que la carta es positiva o negativa.

Demostracion: Sea U el dominio de X . Observamos que el conjunto delos puntos x ∈ U tales que la orientacion de la base de TX(x)(S) es positiva esun abierto. En efecto, si x es uno de estos puntos e Y es una carta del atlasorientado alrededor de X(p), entonces el determinante jacobiano de X Y −1 espositivo en x, luego es positivo en un entorno de x, y en todos los puntos dedicho entorno la base asociada a X sera positiva.

Similarmente se prueba que el conjunto de puntos x ∈ U tales que la orien-tacion de la base de TX(x)(S) es negativa es un abierto. Como U es conexo, unode los dos conjuntos es vacıo.

Casi todas las variedades que hemos considerado como ejemplos concretosson orientables. La unica excepcion1 es la banda de Mobius, que describimosbrevemente en el capıtulo VI. No es difıcil probar que toda variedad de di-mension 1 es orientable, ası como toda superficie de revolucion, todo productode variedades orientables (tomando como cartas positivas los productos de car-tas positivas) incluyendo la esfera, lo cual se deduce facilmente a partir delteorema siguiente:

Teorema 10.10 Una variedad S ⊂ Rm de dimension m − 1 es orientable siy solo si existe una determinacion continua n : S −→ Rm del vector normal aTp(S) en cada punto p ∈ S.

Demostracion: Si S es orientable y p ∈ S definimos n(p) como el unicovector unitario tal que si X es una carta positiva alrededor de p la base deRm formada por

(

n(p), D1X(x0), . . . , Dm−1X(x0))

es positiva, donde x0 es elvector de coordenadas de p. Es claro que n(p) no depende de la eleccion de X .Veamos que n es diferenciable en un entorno de p, para lo cual probaremos queX n es diferenciable en un entorno de x0. Consideremos un vector de inde-terminadas n = (y1, . . . , ym) ∈ Rm y las siguientes m ecuaciones con variablesx1, . . . , xm−1, y1, . . . , ym:

nD1X = 0, . . . , nDm−1X = 0, ‖n‖2 = 1.

Admitiendo que X es de clase C2, el teorema de la funcion implıcita nos daque en un entorno de x0 existe una funcion diferenciable n tal que n(x) = n(p)

1Otro ejemplo es el plano elıptico descrito en [G, Capıtulo XIII], que contiene una bandade Mobius.


y n(x) es unitario y perpendicular a TX(x)(S). En efecto, el determinante queha de ser no nulo para ello esta formado por los m − 1 vectores DiX(x0) y elvector 2n(p), que forman una base de Rm.

Hemos de comprobar que n(x) = n(X(x)) para todo x en el dominio de n.Basta ver que el determinante cuyas filas son

(

n(x), D1X(x), . . . , Dm−1X(x))

es positivo en todo punto x, pero ciertamente es una funcion continua que nose anula y en x0 es positivo, luego lo es en todos los puntos.

Recıprocamente, si n es una determinacion continua del vector normal aS, definimos las cartas positivas como aquellas cartas X tales que la base(

n(X(x)), D1X(x), . . . , Dm−1X(x))

es positiva en todo punto x. Por el mismoargumento que en la implicacion anterior es claro que la orientacion de di-cha base depende solo de X . Si una carta X es negativa, entonces la cartaX(−x1, x2, . . . , xm−1) es positiva y cubre los mismos puntos, luego todo puntode S se puede cubrir por una carta positiva. Es claro que si X e Y son doscartas positivas alrededor de un punto p, entonces sus base asociadas en Tp(S)tienen la misma orientacion, luego las cartas positivas forman realmente un atlasorientado de S.

La prueba del teorema anterior muestra que las determinaciones continuasdel vector normal son de hecho diferenciables (si las cartas son de clase Ck, laaplicacion n es de clase Ck−1).

Si una superficie encierra una region del espacio (una esfera, un cilindro,un toro, etc.) es costumbre tomar como orientacion positiva la inducida por ladeterminacion del vector normal que apunta hacia fuera.

Definicion 10.11 El elemento de medida de una variedad orientable S es laforma diferencial dm que a cada punto p ∈ S le asigna la medida orientadaen Tp(S), entendiendo que los paralelepıpedos positivamente orientados tienenmedida positiva. Si X es una carta positiva alrededor de un punto p, el elementode medida en p viene dado por la expresion (10.2), que prueba que efectivamentees una forma de clase C∞.

Esto nos da una caracterizacion de las variedades orientables en terminos deformas diferenciales:

Teorema 10.12 Una variedad diferencial S de dimension n es orientable si ysolo si existe una n-forma ω ∈ Λn(S) tal que ω(p) 6= 0 para todo p ∈ S.

Demostracion: Si S es orientable, entonces el elemento de medida dm esuna n-forma en S que no se anula. Si existe una forma ω que no se anula, bastatomar como cartas positivas a las cartas X tales que para todo punto p cubiertopor X se cumpla

ω(p) = a(p) dx1(p) ∧ · · · ∧ dxn(p), con a > 0.

Notemos que si una carta es negativa, la carta que resulta de cambiar el signoa una funcion coordenada resulta positiva, por lo que todo punto puede cubrirse


con una carta positiva, es decir, las cartas positivas forman un atlas. Por otraparte, si X e Y son dos cartas positivas alrededor de un punto p, tenemos que

ω(p) = a(p) dx1(p) ∧ · · · ∧ dxn(p) = b(p) dy1(p) ∧ · · · ∧ dyn(p),

donde a y b son funciones positivas. Por el teorema 10.6 resulta que ba−1

es el determinante de la matriz de cambio de base entre DX1(p), . . . , DXn(p)y DY1(p), . . . , DYn(p), luego este es positivo y ambas bases tienen la mismaorientacion, luego las cartas positivas forman un atlas orientado.

Definicion 10.13 Sea S una variedad orientable de dimension n y sea ω unan-forma diferencial en S. Entonces ω = f dm, para cierta f ∈ Λ0(S). Diremosque ω es integrable en un conjunto de Borel B ⊂ S si lo es f respecto a la medidade Lebesgue, y en tal caso definimos

∫

B

ω =

∫

B

f dm,

donde el segundo miembro se entiende como la integral de f respecto a la medidade Lebesgue de S.

Observemos que si consideramos la integral de ω como funcion de B, tenemosque cada n-forma integrable induce una medida signada en S.

Definimos el soporte de una forma en S como la clausura del conjunto depuntos de S donde ω no es nula. Es claro que las n-formas continuas con soportecompacto son integrables.

Conviene comprender el significado geometrico de la medida asociada a unan-forma ω en una variedad S de dimension n: es claro que ω determina unamedida en cada espacio Tp(S), la unica medida que sobre los paralelepıpedosactua como ω(p). Entonces, la medida que ω induce en S es la unica medidaque en un entorno de cada punto p se confunde con la medida correspondientede Tp(S), donde “se confunde” hay que entenderlo exactamente en el mismosentido que al principio del capıtulo.

Continuemos con las propiedades de las integrales de formas: Es claro que∫

B

(αω + βω′) = α

∫

B

ω + β

∫

B

ω′.

Observemos que si B esta cubierto por una carta positiva X , aplicando laformula (10.2) y el teorema 9.48 tenemos

∫

B

f dx1 ∧ · · · ∧ dxn =

∫

B

f

∆Xdm =

∫

X−1[B]

(X f) dx1 · · · dxn, (10.3)

donde la ultima integral es una integral usual en Rn respecto a la medida deLebesgue. En la practica, si expresamos f en funcion de las coordenadas res-pecto a X , los dos extremos de las igualdades anteriores se escriben igual (salvopor la supresion de los sımbolos del producto exterior), con lo que la teorıa quesubyace en dicha igualdad se vuelve “trasparente”. El ejemplo siguiente ilustralo que queremos decir:


Ejemplo Sea S la esfera de centro 0 y radio 1 (con la orientacion usual, esdecir, de modo que las bases positivas induzcan el vector normal que apuntahacia fuera). Sea B la semiesfera z > 0 y calculemos

∫

B

xy dx ∧ dy.

Para ello observamos que la carta de coordenadas (x, y), es decir, la carta

X(x, y) =(

x, y,√

1− x2 − y2)

es positiva, pues

Xx ∧Xy =(x

z,y

z, 1)

=1

z(x, y, z).

Por consiguiente∫

B

xy dx ∧ dy =

∫

C

xy dxdy,

donde C = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 1. Ası pues (una vez hemos comprobadoque la carta esta bien orientada) el calculo de la integral se reduce a considerarque xy no es la funcion que a cada punto de S le asigna el producto de suscoordenadas, sino simplemente la funcion xy en R2, y que estas varıan en elconjunto en el que varıan las coordenadas de los puntos de la semiesfera, esdecir, en el disco unitario.

Ejemplo Sea de nuevo S la esfera unidad. Veamos que

∫

S

dx ∧ dy = 0.

Llamemos B+ y B− a las semiesferas z > 0 y z < 0. Teniendo en cuentaque el ecuador tiene medida nula, podemos escribir

∫

S

dx ∧ dy =

∫

B+

dx ∧ dy +∫

B−

dx ∧ dy.

Razonando como en el ejemplo anterior concluimos que la primera integralvale π, el area del disco unitario de R

2. Para calcular la integral en la otrasemiesfera no podemos usar la carta X(x, y) =

(

x, y,−√

1− x2 − y2)

porque

es negativa. En su lugar usamos X(y, x) =(

x, y,−√

1− x2 − y2)

, con lo que

∫

B−

dx ∧ dy = −∫

B−

dy ∧ dx = −∫

C

dydx = −π,

luego la integral total es nula.

Para trabajar teoricamente con transformaciones de integrales del estilo delas que hemos empleado en los ejemplos anteriores conviene introducir un nuevoconcepto.


Teorema 10.14 Sea f : S −→ T una aplicacion diferenciable entre variedades.Entonces f induce un homomorfismo de algebras f ♯ : Λ(T ) −→ Λ(S) que a cadaω ∈ Λk(T ) le asigna la k-forma dada por

f ♯(ω)(p)(v1, . . . , vk) = ω(

f(p))(

df(p)(v1), . . . , df(p)(vk))

.

Demostracion: Se comprueba inmediatamente que f ♯(ω)(p) ∈ Ak(

Tp(S))

,con lo que f ♯ es una aplicacion de Λ(T ) en el algebra de todas las formas deS (no necesariamente diferenciables). Ası mismo es claro que f ♯ es lineal y, apartir de la definicion del producto exterior, se comprueba tambien sin dificultadque f ♯(ω ∧ ω′) = f ♯(ω) ∧ f ♯(ω′).

Para probar que f ♯(ω) es diferenciable en un punto p tomamos una cartaX : U −→ V alrededor de p y una carta Y : U ′ −→ V ′ alrededor de f(p).Podemos suponer que f [V ] ⊂ V ′. Basta ver que f ♯(ω)|V es diferenciable en p,pero como la definicion de f ♯ depende solo de los valores que toma f alrededorde p, dicha restriccion coincide con (f |V )♯(ω|V ′). En resumen, que podemossuponer que S y T son simplemente V y V ′.

En tal caso, las diferenciales dyi junto con las 0-formas generan toda elalgebra de Grassmann, luego basta probar que f ♯(dyi) y f ♯(g) con g ∈ Λ0(T )son diferenciables. Esto es evidente: por la propia definicion f ♯(dyi) = d(f yi)y f ♯(g) = f g.

Una simple comprobacion nos da que (f g)♯ = g♯ f ♯. Si I es la identi-dad en una variedad S, entonces I♯ es la identidad en Λ(S), luego si f es undifeomorfismo tambien lo es f ♯ y (f ♯)−1 = (f−1)♯.

La aplicacion f ♯ recibe el nombre de retraccion asociada a f .

Cuando se emplea la notacion adecuada, las retracciones resultan “invisibles”en la practica. Por ejemplo, la retraccion de la inclusion i : S −→ T entre dosvariedades es i♯(ω)(p) = ω(p)|Tp(S)k , donde ω ∈ Λk(T ). En muchas ocasioneshemos usado la notacion dxi para deferirnos tanto a la diferencial en Rn de laproyeccion xi en la i-esima componente como para referirnos a la diferencialde la restriccion de xi a una variedad S. Ahora vemos que dicha restriccion esi♯(xi) y que la diferencial de la restriccion es i♯(dxi).

Otro ejemplo nos lo proporciona la formula (10.3), que hemos usado paracalcular integrales en variedades. En terminos de retracciones se escribe como

∫

B

ω =

∫

X−1[B]

X♯(ω),

donde X es un carta de una variedad y B es un conjunto de Borel en su rango.En efecto, notemos que las xi del segundo miembro de (10.3) son en realidad

X xi (si entendemos que las xi son, como en el primer miembro, las coordena-das de X en la variedad), luego dxi(u)(v) es en realidad dxi(X(u))(dX(v)), esdecir, las diferenciales dxi que aparecen en el segundo miembro son en realidadX♯(dxi), si entendemos dxi como en el primer miembro.

Con rigor deberıamos escribir X♯(i♯(ω)), donde i es la inclusion del rango deX en la variedad. Usando particiones de la unidad podemos probar un resultado


mas general, pero primero necesitamos justificar que las particiones se puedentomar de clase C∞. Ello se debe al teorema siguiente, que es la version delLema de Urysohn para funciones de clase C∞. Recordemos que la notacionK ≺ f ≺ V en un espacio S significa que f : S −→ [0, 1] es una aplicacioncontinua que vale 1 en K y se anula fuera de V . En lo sucesivo S sera unavariedad y K ≺ f ≺ V supondra tambien que f es de clase C∞.

Teorema 10.15 Sea S una variedad diferenciable, sea K un subconjunto com-pacto de S y sea V un abierto de modo que K ⊂ V . Entonces existe f ∈ Λ0(S)tal que K ≺ f ≺ V .

Demostracion: Probamos primero que dados numeros reales 0 ≤ a < bexiste g : Rn −→ [0, 1] de clase C∞ tal que

g(x) =

0 si ‖x‖ ≤ a,1 si ‖x‖ ≥ b.

La construccion es sencilla a partir del teorema 4.33. En efecto, segun dichoteorema existe una funcion f : R −→ R de clase C∞ que es nula fuera del

intervalo]

a2, b2[

y positiva en su interior. Sea M =∫ b2

a2f(t) dt > 0. Definimos

φ(u) =1

M

∫ u

a2f(t) dt.

Ası, Mφ(u) es una primitiva de f , luego es de clase C∞ en R y φ tambien.Como f es mayor o igual que 0 es claro que φ es creciente. Tambien es obvioque

φ(u) =

0 si u ≤ a2,1 si u ≥ b2.

Ahora basta tomar g(x) = 1− φ(‖x‖2).Sea ahora p ∈ K. Tomamos una carta Xp : U −→ W ⊂ S que cubra a

p, donde U es un abierto en Rn. Podemos suponer que 0 ∈ U , Xp(0) = p

y W ⊂ V . Sea bp > 0 tal que Bbp(0) ⊂ U . Sea ap = bp/2. ComponiendoX−1p con la funcion que nos da la construccion anterior obtenemos una funcion

gp : W −→ [0, 1] de clase C∞ en W tal que gp vale 1 en un entorno de p en

S (concretamente en Xp[Bap(0)]) y se anula fuera de Xp[Bbp(0)]. Es claro quepodemos extenderla a una funcion gp : S −→ [0, 1] de clase C∞ sin mas quehacer gp(q) = 0 para todo q ∈ S \W . En particular gp se anula fuera de V .

Hemos dicho que gp vale 1 en un entorno de p. Estos entornos cubren K,luego por compacidad podemos extraer un subcubrimiento finito, con lo quetenemos k abiertos W1, . . . ,Wk que cubren K y k funciones gi : S −→ [0, 1] declase C∞ de modo que se anulan fuera de V y gi|Wi = 1.

Ahora basta tomar f(q) = 1− (1− g1(q)) · · · (1− gk(q)).

Notemos que el teorema 3.17 es valido para variedades diferenciables, puesestas son localmente compactas y ademas, si en lugar de usar en la prueba el


lema de Urysohn usamos el teorema 10.15, resulta que las particiones de launidad las podemos tomar de clase C∞, tal y como pretendıamos. Ahora yapodemos probar:

Teorema 10.16 Sea f : S −→ T un difeomorfismo entre variedades orientablesde dimension n y ω una n-forma en T con soporte compacto. Entonces

∫

T

ω =

∫

S

f ♯(ω).

Demostracion: Cubrimos el soporte de ω con un numero finito de rangosde cartas. Tomamos una particion de la unidad h1, . . . , hr subordinada a talesabiertos, es decir, h1+· · ·hr = 1 sobre los puntos del soporte de ω y cada hi tienesu soporte contenido en el rango de una carta. Entonces ω = h1ω + · · · + hrωy basta probar el teorema para cada forma hiω. Equivalentemente, podemossuponer que el soporte de ω esta contenido en el rango V de una carta X deT . Entonces Y = X f−1 es una carta de S y es facil ver que el soporte def ♯(ω) esta contenido en su rango. Segun los comentarios previos al teorema, lasintegrales de la igualdad que queremos probar coinciden respectivamente conlas de las formas Y ♯(f ♯(ω)) y X♯(ω), definidas sobre el dominio (comun) de lasdos cartas. Es claro que ambas formas son la misma.

Veamos otro ejemplo de “invisibilidad” de las retracciones: Si S1 y S2 sondos variedades diferenciables, la retraccion de la proyeccion πi : S1 × S2 −→ Sies un homomorfismo π♯i : Λ(Si) −→ Λ(S1 × S2).

Supongamos que S1 y S2 son los rangos de las cartasX1 yX2, de coordenadasx1, . . . , xn1 e y1, . . . , yn2 . Entonces las funciones coordenadas de X1 × X2 sonlas π1 xi y π2 yi, que en la practica podemos llamar tambien xi e yi, peroque con rigor son π♯1(xi) y π

♯2(yi).

Notemos que dπi(p1, p2) : Tp1(S1) × Tp2(S2) −→ Tpi(Si) es simplemente laproyeccion. Teniendo esto en cuenta es facil ver que dxi, considerada comoforma en S1 × S2, no es sino la retraccion π♯1(dxi), donde ahora dxi es la formade S1. Ası pues, la retraccion de una forma arbitraria de Si expresada enterminos de las coordenadas de Xi es la forma que tiene la misma expresionpero interpretando las coordenadas y las diferenciales en el producto.

Mas en general, es facil ver que si una k-forma ω (digamos de S1) no se

anula en un punto p, entonces π♯1(ω) no se anula en los puntos de la forma (p, q)

y analogamente para i = 2, con lo que las retracciones π♯i son monomorfismosde algebras y podemos identificar las formas de S1 y S2 con formas de S1 × S2.

Por ejemplo, con estas identificaciones tenemos que dm = dm1∧dm2, dondedm, dm1 y dm2 son los elementos de medida de S1×S2, S1 y S2 respectivamente.En efecto, una carta X1 × X2 alrededor de un punto (p, q) de coordenadas(x, y) induce la base de T(p,q)(S1 × S2) formada por los vectores (DiX1(x), 0) y(0, DiX2(y)). Ademas

ui = dπ1(p, q)(DiX1(x), 0) = DiX1(x), dπ1(p, q)(0, DiX2(y)) = 0,

vi = dπ2(p, q)(0, DiX2(y)) = DiX2(y), dπ2(p, q)(DiX1(x), 0) = 0,


luego, al calcular π♯1(dm1)(p)∧π♯2(dm2)(q) sobre esta base mediante la definicionde producto exterior, se anulan todos los sumandos correspondientes a permu-taciones que hacen actuar a π♯1(dm1)(p) sobre una vector de X2 y viceversa. Porconsiguiente queda

∑

(σ,τ)∈Σn1×Σn2

sig(σ, τ)

n1!n2!dm1(uσ(1), . . . , uσ(n1)) dm2(vτ(1), . . . , vτ(n2)),

que claramente es igual a

dm1(p)(u1, . . . , un1)dm2(q)(v1, . . . , vn2) = ∆X1(p)∆X2 (q) = ∆X1×X2(p, q).

Por otra parte es inmediato que este es el valor que toma dm(p, q) sobre lamisma base, luego ambas formas coinciden.

Ejemplo Sea f : ]0,+∞[ × ]−π, π[ −→ R2 el cambio a coordenadas polares,dado por f(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ). Entonces

f ♯(dx ∧ dy) = d(f x) ∧ d(f y) = d(ρ cos θ) ∧ d(ρ sen θ)

= (cos θ dρ− ρ sen θ dθ) ∧ (sen θ dρ+ ρ cos θ dθ) = ρ dρ ∧ dθ,

donde hemos usado que dρ ∧ dρ = dθ ∧ dθ = 0 y que dθ ∧ dρ = −dρ ∧ dθ.El teorema anterior muestra entonces que si U es un abierto en R2, entonces

∫

U

g(x, y) dx ∧ dy =

∫

f−1[U ]

g(ρ cos θ, ρ sen θ) ρ dρ ∧ dθ,

que no es sino la version con orientacion del teorema de cambio de variablespara las coordenadas polares. Eliminando la orientacion, el calculo precedentees una forma de calcular el elemento de area de coordenadas polares ρ dρ dθ apartir de su expresion en coordenadas cartesianas dx dy. En la practica consistesimplemente en sustituir las expresiones

dx = cos θ dρ− ρ sen θ dθ, dy = sen θ dρ+ ρ cos θ dθ

en dx ∧ dy y operar con las reglas del algebra exterior. Ahora bien, si alguienintenta (sin justificacion alguna), sustituir las diferenciales en dx dy y operarcon las reglas “usuales” para un producto asociativo y conmutativo obtiene:

dx dy = sen θ cos θ dρ2 − ρ2 sen θ cos θ dθ2 + ρ(cos2 θ − sen2 θ) dρ dθ,

que es un completo sinsentido. Vemos, pues, que el algebra exterior es “elalgebra correcta” para la manipulacion de diferenciales.


Ejemplo La aplicacion f : ]0,+∞[ × Sn−1 −→ Rn \ 0 dada por f(r, x) =

rx es un difeomorfismo. Tomemos una carta X de Sn−1 (de coordenadasx1, . . . , xn−1) y la identidad como carta de ]0,+∞[ (con coordenada r). En-tonces Y = (I × X) f es una carta de Rn \ 0. Mas detalladamente:Y (r, x1, . . . , xn−1) = rX(x1, . . . , xn−1).

De este modo, cada punto del rango de I ×X tiene las mismas coordenadasque su imagen por f y la retraccion f ♯ de una forma de Rn \ 0 expresadaen terminos de r, x1, . . . , xn−1, y sus diferenciales es la forma con la misma ex-presion pero interpretada como forma de ]0,+∞[×Sn−1. En estas coordenadas,el elemento de medida en Rn \ 0 es

dm = rn−1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

X1 D1X1 · · · Dn−1X1

......

...Xn D1Xn · · · Dn−1Xn

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

dr ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxn−1.

La retraccion f ♯(dm) viene dada por esta misma expresion. El determinantees la medida del paralelepıpedo formado por los vectores X,D1X, . . . , Dn−1X .Como X es unitario y perpendicular a los otros vectores, es claro que dichamedida es tambien la medida n−1-dimensional del paralelepıpedo determinadopor los vectores D1X, . . . , Dn−1X . Ası pues,

f ♯(dm) = rn−1 dr ∧ dσ,

donde dσ es el elemento de medida de Sn−1. Hemos probado esta relacion paralos puntos de ]0,+∞[ × Sn−1 cubiertos por la carta que hemos tomado, perocomo esta era arbitraria, la igualdad vale para todo punto. Por otro lado dr∧dσes el elemento de medida de ]0,+∞[× Sn−1.

Con esto hemos probado en general que si h es una funcion integrable enRn, entonces

∫

Rn

h(r, x1, . . . , xn−1) dm =

∫

]0,+∞[×Sn−1

h(r, x1, . . . , xn−1)rn−1 dm

=

∫ +∞

0

(∫

Sn−1

h(r, x1, . . . , xn−1)rn−1 dσ

)

dr. (10.4)

De aquı se sigue que si identificamos Rn con ]0,+∞[ × Sn−1 entonces la

medida de Lebesgue se identifica con el producto de la medida dada por rn−1 dry la medida de Lebesgue en Sn−1. En particular, podemos aplicar el teorema deFubini, que nos asegura que si h es positiva y existe la integral doble del miembroderecho, entonces h es integrable en Rn. En otras palabras, las funciones puedenintegrarse “por capas”.

Veamos un par de aplicaciones:

Teorema 10.17 La funcion 1/‖x‖α es integrable en un entorno de 0 en Rn siy solo si α < n.


Demostracion: Con la notacion del ejemplo anterior:

∫

D(ǫ,R)

1

‖x‖α dm =

∫

]ǫ,R[×Sn−1

r−αrn−1 dm = m(Sn−1)

∫ R

ǫ

rn−1−α dr.

Si α < n, una primitiva del integrando de la derecha es rn−α/(n − α) ypodemos concluir que

∫

B

1

‖x‖α dm = m(Sn−1)Rn−α

n− α.

Si α ≥ n, el miembro derecho tiende a ∞ cuando ǫ tiende a 0.

Ejemplo Sea σn la medida de Lebesgue de Sn. Vamos a calcularla. Para elloconsideremos la funcion g(x) = e−‖x‖2

, definida en Rn+1. Calculamos de dosformas su integral. Por una parte (ver el final del capıtulo anterior)

∫

Rn+1

g(x) dm =

(∫

R

e−t2

dt

)n+1

= π(n+1)/2.

Por otra parte la integral se puede calcular como

∫

Sn

∫ +∞

0

rne−r2

drdσ =σn2

∫ +∞

0

tn/2e−tt−1/2 dt =σn2Π(n− 1

2).

Por consiguiente

σn =2π(n+1)/2

Π(n−12 )

=(n+ 1)π(n+1)/2

Π(n+12 )

.

En el capıtulo anterior obtuvimos una expresion para la medida de Le-besgue de la bola unidad en terminos de la funcion factorial. Tambien po-demos deducirla de la expresion anterior, pues a traves de la identificacionRn = ]0,+∞[× Sn−1 la bola unidad se identifica con ]0, 1[× Sn−1 y su medidade Lebesgue es el producto de la medida rn−1 dr por la medida de Lebesgue enla esfera. La medida del intervalo es

∫ 1

0

rn−1 dr =1

n,

luego la medida de la bola es

vn =σn−1

n=

πn/2

Π(n/2),

como ya sabıamos.


10.3 Algunos conceptos del calculo vectorial

En esta seccion introduciremos algunos conceptos que ilustren las aplicacio-nes de las formas diferenciales, aunque sera en el capıtulo siguiente en el quepodremos apreciar realmente su utilidad. Comenzamos con la integral curvilıneay sus aplicaciones. Sea γ : [a, b] −→ Rn un arco regular. Si γ no se corta a sımismo (sin excluir que sus extremos coincidan) podemos considerar a su imagencomo una 1-variedad con γ como unica carta y dotada de la orientacion esta leinduce. Sea F : γ[a, b] −→ Rn un campo continuo de vectores. A este campo leasociamos la 1-forma en γ dada por

F d~r = F1 dx1 + · · ·+ Fn dxn,

que formalmente puede interpretarse como el producto escalar de F por el vectord~r = (dx1, . . . , dxn). De hecho, la forma asigna a cada vector v ∈ Tp(γ) elproducto escalar F (p)v. Esto implica que F d~r solo depende de la proyeccionde F sobre la recta tangente a γ en cada punto. En particular, si F es el vectortangente unitario T entonces (T d~r)(v) = ±‖v‖, la longitud orientada de v,es decir, T d~r = ds. En general podemos descomponer F = aT + N , dondeT y N son ortogonales. Multiplicando por T vemos que a = FT . Ası puesF d~r = (FT )T d~r = FT ds.

Se define la circulacion o integral curvilınea de F a traves de γ como laintegral

∫

γ

F d~r =

∫

γ

FT ds =

∫ b

a

(

F1

(

γ(t))

γ′1(t) + · · ·+ Fn(

γ(t))

γ′n(t))

dt

=

∫ b

a

F(

γ(t))

γ′(t) dt.

Observemos que F d~r es en principio una forma continua, no necesariamentediferenciable, pero nuestra definicion de integral vale igualmente en este caso.Notemos tambien que la ultima integral tiene sentido aunque γ se corte a sımisma, por lo que la nocion de integral curvilınea es ligeramente mas general.En la practica conviene considerar incluso el caso en que γ es derivable salvo enun numero finito de puntos, lo cual tampoco afecta a la integral.

Definicion 10.18 Un arco singular es una aplicacion continua φ : [a, b] −→ Rn

tal que existe una particion a = t0 < t1 < · · · < tn = b de modo que φ|[ti,ti+1] esde clase C1 (en el sentido de que se extiende a una funcion de clase C1 en unabierto que contiene a [ti, ti+1]).

Observar que no exigimos que la derivada no se anule. Si F : φ[a, b] −→ Rn

tenemos definida la integral curvilınea de F sobre φ mediante

∫

φ

F d~r =

n∑

i=1

∫ ti

ti−1

F(

φ(t))

φ′(t) dt.

10.3. Algunos conceptos del calculo vectorial 21

Si φ : [a, b] −→ Rn y ψ : [c, d] −→ R

n son dos arcos singulares tales queφ(b) = ψ(c), definimos su union como el arco φ ∪ ψ : [a, b+ d− c] −→ Rn dadopor

(φ ∪ ψ)(t) =

φ(t) si a ≤ t ≤ bψ(t− b+ c) si b ≤ t ≤ b+ d− c

Claramente φ∪ψ es el arco que resulta de recorrer φ y seguidamente recorrerψ. Observemos que aunque φ y ψ fueran derivables en todo su dominio, su unionno tiene por que serlo en el punto de enlace. Esta es una de las razones por lasque conviene trabajar con arcos derivables a trozos.

Dado un arco singular φ : [a, b] −→ Rn, definimos su inverso como el arco

−φ : [−b,−a] −→ Rn dado por (−φ)(t) = φ(−t). Se trata del arco que recorrela misma trayectoria pero en sentido inverso.

Las propiedades siguientes son inmediatas:∫

φ∪ψF d~r =

∫

φ

F d~r +

∫

ψ

F d~r,

∫

−φF d~r = −

∫

φ

F d~r.

En este contexto, el segmento que une dos puntos x, y ∈ Rn es el arco dadopor [x, y](t) = (1 − t)x+ ty, para 0 ≤ t ≤ 1. Una poligonal es una union finitade segmentos. Un arco φ : [a, b] −→ Rn es cerrado si φ(a) = φ(b).

La interpretacion mas importante de la circulacion de un campo a lo largode una trayectoria proviene de la fısica:

Ejemplo Supongamos que γ(t) es la posicion en cada instante t de un movilde masam, de modo que cuando se encuentra en la posicion p la fuerza total queactua sobre el es F (p). La circulacion W de F a traves de γ recibe el nombrede trabajo realizado por F sobre el movil. Para entender el significado fısicodel trabajo observemos en primer lugar que este depende unicamente de de lacomponente tangencial de F , que sera de la forma Ft = maT , donde T es elvector tangente unitario de γ y a es la derivada del modulo v de la velocidaddel movil. Ası

dW = F d~r = maT d~r = mads = mav dt = mv dv.

Nos gustarıa integrar ambos miembros, pero para ello necesitarıamos consi-derar a v como variable independiente, lo que equivale a tomarla como parametrode γ y esto no siempre sera posible. Pese a ello, el resultado que se obtiene deintegrar formalmente la igualdad anterior es correcto. Para probarlo definimos

E =1

2mv2.

EntoncesdE

dt= mva =

dW (t)

dt,

donde W (t) representa a la circulacion de F en el intervalo [a, t]. De aquı sesigue que

W =W (b) = ∆E = E(b)− E(a).


La magnitud E recibe el nombre de energıa cinetica del movil, y lo quehemos probado es que el trabajo que ejerce una fuerza sobre un movil es igualal incremento de la energıa cinetica que este experimenta bajo su influencia.Notar que podemos definir el trabajo realizado por cualquier fuerza sobre unmovil dado, no necesariamente la fuerza total que actua sobre el. Entonces eltrabajo realizado por una suma de fuerzas es la suma de los trabajos realizadospor cada una de ellas. El trabajo y la energıa se miden en Julios. Un Julio esel trabajo que realiza una fuerza de un Newton cuando actua tangencialmentesobre un movil que recorre una trayectoria de un metro.

Existe una version de la regla de Barrow para integrales curvilıneas.

Teorema 10.19 Sea f : U −→ R una aplicacion de clase C2 en un abiertoU de Rn y sea γ : [a, b] −→ U es un arco de extremos p = γ(a) y q = γ(b).Entonces

∫

γ

df = f(q)− f(p).

Demostracion: Observemos que

df =∂f

∂x1dx1 + · · ·+ ∂f

∂xndxn = ∇f d~r.

Entonces∫

γ

df =

∫

γ

∇f d~r =∫ b

a

∇f(γ(t))γ′(t) dt

=

∫ b

a

d(γ f)dt

dt = f(

γ(b))

− f(

γ(a))

= f(q)− f(p).

(Si hay puntos donde γ no es derivable se razona separadamente en cadaintervalo donde sı lo es y se llega a la misma conclusion).

Vemos ası que cuando integramos un campo de la forma ∇f sobre un arco,la integral solo depende de los extremos del mismo. Este hecho tiene granimportancia:

Definicion 10.20 Diremos que un campo F : U ⊂ Rn −→ Rn definido en unabierto U es conservativo si la circulacion de F a lo largo de cualquier arcosingular contenido en U depende unicamente de sus extremos.

Hay que entender que en la dependencia de los extremos se incluye el ordende los mismos, pues γ y −γ tienen los mismos extremos, pero las integralesrespectivas son opuestas. Notemos que si φ y ψ son arcos con los mismosextremos, la condicion

∫

φ

F d~r =

∫

ψ

F d~r

es equivalente a∫

φ∪−ψF d~r = 0.


Es claro entonces que un campo F es conservativo si y solo si las integrales deF a lo largo de los arcos cerrados son todas nulas.

El teorema anterior prueba que los campos de gradientes, es decir, los camposde la forma F = ∇f , donde f es una funcion de clase C2, son conservativos.Ahora probamos que estos son los unicos campos conservativos:

Teorema 10.21 Un campo F : U −→ Rn de clase C1 en un abierto U ⊂ Rn

es conservativo si y solo si existe una funcion V : U −→ R tal que F = ∇V . SiU es conexo, la funcion V esta determinada salvo una constante.

Demostracion: Ya sabemos que los campos de gradientes son conservati-vos. Supongamos que F es un campo conservativo. No perdemos generalidad sisuponemos que U es conexo. Entonces es conexo por poligonales. Fijamos unpunto x0 ∈ U y para cada x ∈ U existe una poligonal φx : [a, b] −→ U tal queφx(a) = x0 y φx(b) = x. Definimos

V (x) =

∫

φx

F d~r.

Como F es conservativo, V (x) no depende de la eleccion de la poligonal. Veamosque ∇V = F , lo que en particular probara que V es una funcion de clase C2.

Tomemos x ∈ V y sea ei el i-esimo vector de la base canonica de Rn. Sea φxuna poligonal que una x0 con x y consideremos la poligonal φx∪ [x, x+hei], queune x0 con x + hei, donde h 6= 0 es suficientemente pequeno para que x + heieste en U . Entonces

V (x+ hei)− V (x)

h=

1

h

∫

[x,x+hei]

F d~r =1

h

∫ 1

0

F (x + thei)hei dt

=

∫ 1

0

Fi(x+ thei) dt.

La funcion Fi es uniformemente continua en el segmento [x−h0ei, x+h0ei],para un h0 fijo. Por lo tanto, dado ǫ > 0, existe un δ > 0 tal que si |h| ≤ δ y0 ≤ t ≤ 1 entonces |Fi(x + fhei)− Fi(x)| < ǫ/2. Por consiguiente

∣

∣

∣

∣

V (x + hei)− V (x)

h− Fi(x)

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∫ 1

0

(

Fi(x + thei)− Fi(x))

dt

∣

∣

∣

∣

≤∫ 1

0

|Fi(x+ thei)− Fi(x)| dt ≤ǫ

2

∫ 1

0

dt < ǫ.

Esto prueba que existe∂V

∂xi(x) = Fi(x).

La unicidad de V es clara: si V1 y V2 cumplen el teorema entonces V1 − V2es una funcion de clase C1 con gradiente nulo, luego su diferencial es nula y (siU es conexo) V1 − V2 es constante.


Si un campo es de la forma F = ∇V , se dice que la funcion V es una funcionpotencial para F . Segun hemos calculado, la circulacion de F a lo largo de unarco singular es la diferencia de potencial entre sus extremos. De nuevo la fısicanos proporciona ejemplos de esta situacion:

Ejemplo El campo gravitatorio que produce una masa puntual es conser-vativo. Recordemos que si el cuerpo tiene masa M y elegimos el sistema dereferencia de modo que sus coordenadas sean nulas, la fuerza que este ejercesobre un cuerpo de masa m situado en la posicion x es

F = −GMm

‖x‖3 x.

Puesto que la fuerza depende solo de ρ = ‖x‖ lo mismo ha de suceder conel potencial. Si planteamos el problema en una variable (y x > 0) la soluciones simple: buscamos una funcion cuya derivada sea −GMm/x2, luego nos sirveGMm/x. En tres dimensiones la solucion es

GMm

‖x‖ .

Si un cuerpo de masa m se encuentra en la posicion x, definimos su energıapotencial respecto a la masa M como

Ep = −GMm

‖x‖ .

Anadimos el signo negativo de modo que si el cuerpo se desplaza desde unpunto x hasta un punto y por cualquier trayectoria, el trabajo que sobre elrealiza el campo gravitatorio de M es −∆Ep = −

(

Ep(y)−Ep(x))

. Si el cuerpose mueve sobre una trayectoria γ y sobre el actua otra fuerza F distinta de lagravitatoria, el trabajo total realizado sobre el es

∫

γ

F d~r −∆Ep.

Segun hemos visto antes, este trabajo es igual al incremento de la energıacinetica del cuerpo ∆Ec. Si llamamos energıa total del cuerpo a E = Ep + Ecconcluimos que

∆E = ∆Ep +∆Ec =

∫

γ

F d~r.

En resumen: el trabajo realizado sobre un cuerpo por las fuerzas distintasdel campo es igual al incremento de la energıa total del cuerpo. En particular,si un cuerpo se mueve sometido unicamente a la accion del campo su energıatotal permanece constante.

Toda la teorıa se desarrolla mas comodamente sin particularizar a un cuerpom en concreto. Para ello se definen el vector intensidad de campo y el potencialgravitatorio como

E = −GM

‖x‖3 x, V = −GM‖x‖ ,


respectivamente, de modo que la fuerza gravitatoria que actua sobre un cuerpode masa m es mE y la energıa potencial de un cuerpo de masa m es mV . Larelacion entre ambos es E = −∇V .

Retomemos los calculos que hicimos en el capıtulo VII sobre un cuerpo quesigue una trayectoria conica sometido a la fuerza gravitatoria. Puesto que lossumandos de (7.4) son ortogonales deducimos que el cuadrado del modulo de lavelocidad es

v2 = ρ′2 + ρ2ω2.

(Notemos que en el capıtulo VII llamabamos v al vector velocidad y aquı a sumodulo). La energıa total del movil sera

E = Ec + Ep =1

2m(ρ′2 + ρ2ω2)− GMm

ρ.

Por otro lado la ecuacion de la trayectoria es

ρ =L2

GMm2

1

1 + ǫ cos θ

donde ǫ es la excentricidad de la conica. Puesto que la energıa total es constante,podemos calcularla en el punto que nos resulte mas conveniente. Por ejemplocuando θ = 0, que corresponde con el valor mınimo de ρ, luego ρ′ = 0. Entonces

Ec =1

2mρ2ω2 =

L2

2mρ2=G2M2m3

2L2(1 + ǫ)2, Ep = −G

2M2m3

L2(1 + ǫ),

luego

E =G2M2m3

2L2

(

(1 + ǫ)2 − 2(1 + ǫ))

,

y, en definitiva, la energıa del movil es

E =G2M2m3

2L2(ǫ2 − 1).

Notamos que la trayectoria es elıptica, parabolica o hiperbolica segun siE < 0, E = 0 o E > 0.

Ejemplo Veamos otra interpretacion de la circulacion de un campo, ahora enel contexto de la hidrodinamica. Supongamos que ~v es el campo de velocidadesde un fluido. Esto significa que si liberamos una partıcula de masa despreciableen un punto p el fluido la arrastrara con velocidad ~v(p) (no excluimos que ~vpueda depender del tiempo ademas de hacerlo de la posicion). Supongamosahora que en el fluido situamos una bolita sujeta por una varilla rıgida a uneje, respecto al cual puede girar a lo largo de una circunferencia de radio r.2 Es

2En esta clase de situaciones suponemos siempre que los objetos que introducimos soninstrumentos de medida ideales, es decir, que son afectados por el fluido pero ellos no afectanal mismo.


claro que si la bolita se encuentra en el punto p el fluido la hara moverse convelocidad igual a la proyeccion de ~v(p) sobre la recta tangente a la circunferenciaen p, pues la componente normal de la velocidad sera cancelada por las fuerzasque mantienen rıgida a la varilla que sujeta la bola.

p1p2

~v

V~v

VImaginemos ahora que el eje sujeta a la varilla porel centro y que esta tiene una bolita en cada brazo.Si estas se encuentran en los puntos p1 y p2, enton-ces su velocidad (que en modulo ha de ser la mismapara ambas a causa de la rigidez de la varilla) estaradeterminada por los vectores ~v(p1) y ~v(p2). Al igualque en el caso anterior en realidad dependera solo de las proyecciones V (p1) yV (p2) de dichos vectores sobre las rectas tangentes respectivas. Por ejemplo, enel caso indicado en la figura, donde ‖V (p1)‖ = 2 y ‖V (p2)‖ = 1, la velocidadresultante sera el promedio3 de ambas: la varilla girara en sentido contrario alas agujas del reloj con velocidad (2− 1)/2 = 1/2.

Supongamos ahora que en vez de una varilla tenemos un molinillo con naspas. Entonces el modulo de la velocidad resultante sera

1

n~v(p1)~τ (p1) + · · ·+ 1

n~v(pn)~τ (pn),

donde ~τ es el vector tangente unitario a la circunferencia. Equivalentementepodemos escribir

1

2πr

(

2πr

n~v(p1)~τ (p1) + · · ·+ 2πr

n~v(pn)~τ (pn)

)

,

donde r es el radio de la circunferencia. Esto equivale a considerar la circun-ferencia dividida en n partes iguales de longitud ∆s = 2πr/n, multiplicar lalongitud de cada parte por el valor de ~v ·~τ en uno de sus puntos, sumar y luegodividir el resultado entre la longitud completa de la circunferencia. Finalmente,si en lugar de un molinillo ponemos una ruedecita de radio r, la velocidad quele imprimira el fluido vendra dada por

v =1

2πr

∫

C

~v · ~τ ds = 1

2πr

∫

C

~v d~r.

La velocidad v corresponde a una velocidad angular ω = v/r. Ası pues,

ω =1

2πr2

∫

C

~v d~r.

3Se trata de un problema de conservacion de la cantidad de movimiento. De hecho esequivalente al siguiente: dos cuerpos de la misma masa se aproximan frontalmente de modoque sus velocidades son v1 y v2. Si tras el choque se mueven conjuntamente, ¿a que velocidadlo hacen? La respuesta es que la cantidad de movimiento del sistema es mv1+mv2 al principioy 2mv al final. Igualando resulta que v = (v1 + v2)/2. El fluido comunica una cantidad demovimiento a las bolitas y la varilla se limita a unificar las velocidades sin alterar la cantidadde movimiento.


Estudiemos ahora la nocion de flujo de un campo a traves de una variedad.A cada campo F : U ⊂ Rm −→ Rm, donde U es un abierto en Rm, podemosasociarle la m− 1-forma

dΦ(F ) =

m∑

i=1

(−1)i+1Fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxm.

Supongamos que S ⊂ U es una variedad orientable de dimension m − 1,sea n la determinacion del vector normal que induce su orientacion, tomemosp ∈ S y v1, . . . , vm−1 ∈ Tp(S). Vamos a probar que dΦ(F )(p)(v1, . . . , vm−1) esel determinante de la matriz A cuyas filas son F (p), v1, . . . , vm−1. En efecto,desarrollandolo por la primera fila tenemos que

detA =

m∑

i=1

(−1)i+1Fi(p) detAi,

donde Ai es la matriz que tiene por filas a los vectores v1, . . . , vm−1 sin su i-esimacomponente. Teniendo en cuenta el teorema 10.4 resulta que

detAi = dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxm(v1, . . . vm−1)

y tenemos la relacion buscada. Notemos que para este calculo no necesitamosque F este definido mas que sobre los puntos de S. En particular podemosaplicarlo al vector normal n, pero entonces el determinante de la matriz cuyasfilas son n(p), v1, . . . , vm−1 es la medida (orientada) del paralelepıpedo determi-nado por estos vectores, y como n(p) es unitario y perpendicular a los restantes,es claro que coincide con la medida orientada de (v1, . . . , vm−1) en Tp(S). Asıpues, si llamamos dσ al elemento de medida de S, hemos probado que

dσ(p) =

m∑

i=1

(−1)i+1ni(p)dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxm.

Volviendo al campo F , sobre los puntos de S podemos descomponerlo comoF = (Fn)n+t, donde t ∈ Tp(S). Esto nos permite descomponer el determinantede A en dos terminos, pero el sumando correspondiente a t es nulo (pues susfilas son m vectores de Tp(S)), luego en definitiva

dΦ(F ) = (Fn)

(

m∑

i=1

(−1)i+1ni(p)dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxm)

,

es decir, dΦ(F ) = (Fn) dσ.

Ejercicio: En particular, si S es una superficie en R3 tenemos que

dσ = n1 dy ∧ dz + n2 dz ∧ dx+ n3 dx ∧ dy.

Calcular a partir de aquı el area de la esfera.


Definicion 10.22 Sea F : U ⊂ Rm −→ R

m un campo de clase C1 en unabierto U ⊂ Rm. Se llama flujo de F a traves de una variedad orientable S ⊂ Ude dimension m− 1 a la integral

Φ(F ) =

∫

S

(Fn) dσ =

∫

S

(

m∑

i=1

(−1)i+1Fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxm)

.

donde n es el vector normal de S.

En resumen, ası como la circulacion de un campo a traves de una curvaera la integral del modulo orientado de la componente tangencial del campo encada punto de la curva, el flujo de un campo a traves de una variedad es laintegral del modulo orientado de su componente normal. La hidrodinamica nosproporciona una imagen mas concreta del flujo de un campo.

Ejemplo Supongamos que ~v es la velocidad de un fluido en cada punto. SeaS una superficie en el seno del fluido y p ∈ S. Consideremos un paralelogramoP (x, y) en Tp(S) suficientemente pequeno como para que p+P (x, y) se confundacon un subconjunto de S. Tambien podemos suponer que la velocidad del fluidoen un entorno de p en R3 que contiene al paralelogramo es aproximadamenteigual a ~v(p). Nos preguntamos cual es el volumen de fluido que atraviesa elparalelogramo por unidad de tiempo.

~v

x

y

n

Observamos que el fluido que en un instantedado se encuentra en el paralelogramo, al cabode una unidad de tiempo se encontrara en otroparalelogramo similar trasladado del primero me-diante el vector ~v = ~v(p). El volumen de fluidoque ha atravesado el paralelogramo sera igual alvolumen del paralelepıpedo (x, y, ~v). Una simpleaplicacion del teorema de Fubini muestra que el volumen del paralelepıpedoes igual al area de su base multiplicada por su altura (medida perpendicu-larmente a la base), es decir, el volumen que atraviesa el paralelogramo es(~v · n)(p)dσ(p)(x, y) = dΦ(~v)(x, y), entendiendo que el volumen es positivo siel fluido atraviesa el paralelogramo en la direccion de n y negativo en casocontrario.

La aplicacion que a cada region de S le asigna el volumen de fluido que loatraviesa es una medida en S que en un entorno de cada punto debe confundirsecon dΦ(~v). Por consiguiente dicho volumen es precisamente Φ(~v).

Si en lugar de hablar de volumenes queremos hablar de masa habremos deconsiderar la densidad ρ del fluido en cada punto, es decir, ρ es la derivada dela medida que a cada region del espacio le hace corresponder la masa de fluidoque contiene, de modo que dicha masa se recupera integrando ρ en la region encuestion. Si en lugar de trabajar con ~v trabajamos con el campo A = ρ~v, elrazonamiento anterior nos da claramente que la cantidad de masa que atraviesauna superficie S es el flujo de A a traves de S.

10.4. La diferencial exterior 29

10.4 La diferencial exterior

Vamos a introducir un concepto de diferencial de una forma diferencial quegeneraliza a diversos conceptos del calculo vectorial y que en el capıtulo siguientenos permitira enunciar y demostrar una version general de la regla de Barrowpara formas arbitrarias. La idea basica es muy simple: la diferencial de la n-forma f dx1 ∧ · · · ∧ dxk sera la k + 1-forma df ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxk. Sin embargo,esto no nos sirve como definicion, pues hemos de justificar que el resultado nodepende del sistema de coordenadas con el que trabajamos. Como al diferenciarperdemos un grado de derivabilidad, para evitar cuestiones tecnicas al respectoa partir de ahora supondremos que todas las variedades y funciones que consi-deremos seran de clase C∞. El lector puede entretenerse relajando las hipotesisde derivabilidad en cada caso hasta las estrictamente necesarias.

Teorema 10.23 Si S es una variedad diferenciable existe una unica aplicacionlineal d : Λ(S) −→ Λ(S) que cumple las propiedades siguientes:

a) Si f ∈ Λ0(S), entonces df es la diferencial de f en el sentido usual.

b) Para cada ω ∈ Λk(S) se cumple que dω ∈ Λk+1(S).

c) Si ω1 ∈ Λk(S) y ω2 ∈ Λ(S), entonces

d(ω1 ∧ ω2) = dω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ dω2.

d) d2 = d d = 0.

e) Si ω ∈ Λ(S) se anula en un abierto V ⊂ S entonces dω tambien se anulaen V .

Demostracion: En primer lugar probaremos que la ultima propiedad esconsecuencia de las anteriores. Para cada p ∈ V existe una funcion p ≺ f ≺ V .Entonces la forma fω es nula, y como la diferencial es lineal ha de ser

0 = d(fω) = df ∧ ω + f ∧ dω,

luego dω(p) = (f ∧ dω)(p) = −df(p) ∧ 0 = 0.

Notemos que la propiedad e) junto con la linealidad de la diferencial pruebaque si dos formas coinciden en un abierto de S entonces sus diferenciales tambiencoinciden.

Ahora probamos que si existe la diferencial es unica. Tomemos un puntop ∈ S y sea X : U −→ V ⊂ S una carta alrededor de p. Tomemos un entornode p cuya clausura K sea compacta y este contenida en V . Sea K ≺ f ≺ V .

Si ω ∈ Λk(S) entonces ω|V se expresa como

∑

1≤i1<···<ik≤nωi1···ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik , (10.5)

para ciertas funciones ωi1···ik de clase C∞ en V .


La forma fω coincide con ω en un entorno de p y sus coeficientes son lasfunciones ωi1···ik = fωi1···ik . Estas funciones se anulan fuera de un compactocontenido en V , luego podemos extenderlas a funciones de clase C∞ en S ha-ciendo que tomen el valor 0 fuera de V . Similarmente, las funciones yi = fxiextendidas como 0 fuera de U son de clase C∞ en S y coinciden con las xi enun entorno de p. Por consiguiente dyi coincide con dxi en un entorno de p. Asıpues, la forma fω (y por consiguiente ω) coincide con la forma

ω =∑

1≤i1<···<ik≤nωi1···ikdyi1 ∧ · · · ∧ dyik

en un entorno de p. Ahora calculamos

dω =∑

1≤i1<···<ik≤ndωi1···ik ∧ dyi1 ∧ · · · ∧ dyik ,

pues una simple induccion prueba a partir de c) y d) que d(dyi1 ∧· · ·∧dyik) = 0.Teniendo en cuenta que la diferencial depende solo del comportamiento local delas formas llegamos a que

dω(p) =∑

1≤i1<···<ik≤ndωi1···ik(p) ∧ dxi1(p) ∧ · · · ∧ dxik (p). (10.6)

Ahora bien, por la propiedad a) tenemos que el miembro derecho de laigualdad anterior es el mismo cualquiera que sea la funcion d que cumpla laspropiedades del enunciado. En consecuencia la diferencial exterior es unica.

Veamos que toda variedad cubrible por una sola carta tiene una diferencialexterior. En tal caso toda k-forma ω se expresa de forma unica como (10.5).Para cada punto p definimos dω(p) mediante (10.6). Claramente dω ası defi-nida es una k + 1-forma (de clase C∞) y la diferencial d es lineal. Las unicaspropiedades que no son evidentes son c) y d).

Puesto que los dos miembros de la igualdad c) son lineales en ω1 y ω2, bastaprobar que se da la igualdad cuando

ω1 = f1 dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , ω2 = f2 dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr .

Entonces

ω1 ∧ ω2 = f1f2 dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr ,

luego

d(ω1 ∧ ω2) = (f2 df1 + f1 df2) ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr= f2 df1 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr

+f1 df2 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr= df1 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ f2 dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr

+(−1)kf1dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ df2 ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjrdω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ dω2.


Del mismo modo, basta comprobar que d) se cumple para una forma de tipo

ω = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

Entonces

dω = df ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiky basta ver que d2 = 0 al actuar sobre 0-formas, pues una induccion usando lapropiedad c) ya demostrada nos da el caso general de d). Veamos, pues, qued(df)) = 0. En efecto, sabemos que

df =

n∑

i=1

∂f

∂xidxi.

En consecuencia

d(d(f)) =n∑

i=1

d∂f

∂xi∧ dxi =

n∑

i=1

n∑

j=1

∂2f

∂xi∂xjdxj ∧ dxi

=∑

1≤i<j≤n

(

∂2f

∂xi∂xj− ∂2f

∂xj∂xi

)

dxj ∧ dxi = 0.

Consideremos finalmente una variedad arbitraria S. Si p ∈ S y V es laimagen de una carta que cubre a p, entonces tenemos definida una diferencialexterior dV en Λ(V ). Para cada forma ω ∈ λ(S), definimos dω(p) = dV (ω|V )(p).Veamos que la forma dω(p) no depende de la eleccion de V .

Si tomamos dos cartas X e Y con imagenes V1 y V2 entonces V1∩V2 tambienes la imagen de una carta, luego tambien tenemos definida una diferencial ex-terior en Λ(V1 ∩ V2). Ahora bien, si ω|V admite la expresion (10.5), entoncesω|V1∩V2 admite la misma expresion (restringiendo las funciones ωi1···ik y xij aV1 ∩ V2). Por consiguiente dV (ω|V1)(p) = dV1∩V2(ω|V1∩V2)(p), pues ambas vie-nen dadas por (10.6). Por otro lado dV (ω|V2)(p) = dV1∩V2(ω|V1∩V2)(p). Ahorausamos que la diferencial en Λ(V1 ∩ V2) es la misma independientemente de lacarta con la que se calcula (por la unicidad que hemos probado) y concluimosque dV (ω|V1)(p) = dV (ω|V2)(p), como querıamos probar.

Con esto tenemos definida una aplicacion d : Λ(S) −→ Λ(S). Notemos quedω es realmente una forma de clase C∞ porque si p ∈ S y V es la imagen deuna carta que cubre a p tenemos que (dω)|V = dV (ω|V ) y esta es una forma declase C∞. Esta misma relacion justifica tambien que d es lineal, ası como queverifica las propiedades del enunciado.

Si no suponemos que las formas son de clase C∞ podemos definir igualmentela diferencial de una forma de clase Ck como una forma de clase Ck−1 y todaslas propiedades del teorema anterior se cumplen igualmente con las restriccionesobvias. Por ejemplo, para d(dω)) = 0 hemos de exigir que ω sea al menos declase C2. Veamos algunos casos particulares de la diferencial exterior:


Definicion 10.24 Sea F : U ⊂ R3 −→ R

3 un campo de vectores definido sobreun abierto U . El rotacional de F es el campo rotF : U −→ R3 dado por

rotF =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e1 e2 e3∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

F1 F2 F3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

(

∂F3

∂y− ∂F2

∂z,∂F1

∂z− ∂F3

∂x,∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)

.

Por supuesto que el determinante intermedio es solo una regla mnemotecnica.La relacion con la diferencial exterior es la siguiente: segun vimos en el capıtuloanterior, al campo F le podemos asociar la 1-forma F d~r = F1 dx+F2 dy+F3 dz.La diferencial de esta forma es

d(F d~r) = dF1 ∧ dx+ dF2 ∧ dy + dF3 ∧ dz =

(

∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)

dy ∧ dz

+

(

∂F1

∂z− ∂F3

∂x

)

dz ∧ dx+

(

∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)

dy ∧ dz

= dΦ(rotF )).

Es decir, la diferencial del elemento de circulacion de F es el elemento deflujo del rotacional de F .

Si f : U −→ R es un campo escalar, es claro que df = ∇f d~r, luego

0 = d2f = d(∇f d~r) = dΦ(rot∇f)),

de donde se sigue la relacion

rot∇f = 0,

para todo campo escalar f .

Definicion 10.25 Sea F : U ⊂ Rn −→ Rn un campo de clase C∞ en un abiertoU . La divergencia de F es el campo escalar divF : U −→ R dado por

divF =∂F1

∂x1+ · · ·+ ∂Fn

∂xn.

Claramente

d(dΦ(F )) =

n∑

i=1

(−1)i+1dFi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn

=

n∑

i=1

(−1)i+1 ∂Fi∂xi

dxi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn

=

n∑

i=1

∂Fi∂xi

dx1 ∧ · · · ∧ dxn = divF dm.


Ası pues, la diferencial del elemento de flujo de F es la divergencia por elelemento de volumen de Rn. En particular, si n = 3 y aplicamos esto a rotFresulta

div rotF dm = d(dΦ(rotF )) = d(d(F d~r)) = 0,

luegodiv rotF = 0,

para todo campo vectorial F .

El teorema de Stokes, que probaremos en el capıtulo siguiente, no solo nospermitira aprovechar estos conceptos que acabamos de introducir, sino que nosdara interpretaciones geometricas de los mismos.

El operador nabla Muchas formulas del calculo vectorial se recuerdan masfacilmente si definimos el “vector” nabla como

∇ =

(

∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)

.

Naturalmente, esto no tiene ningun significado en sı mismo, pero formal-mente el gradiente de una funcion f puede pensarse como el producto del vector∇ por el escalar f , lo que concuerda con la notacion ∇f . Similarmente, la di-vergencia de un campo vectorial V puede interpretarse como el producto escalardel vector ∇ por el vector V , lo que nos permite escribir tambien div V = ∇V .Por ultimo, el rotacional de V es el producto vectorial de ∇ por V , o sea,rotV = ∇×V . En estos terminos, las formulas siguientes se expresan de formamas simetrica:

∇(fg) = g(∇f) + f(∇g) (10.7)

∇(fV ) = (∇f)V + f(∇V ) (10.8)

∇× (fV ) = (∇f × V ) + f(∇× V ) (10.9)

∇(V ×W ) = W (∇× V )− V (∇×W ) (10.10)

Todas ellas se comprueban sin dificultad a partir de las definiciones, aunquealgunas resultan algo laboriosas.

Notemos que las relaciones rot gradf = 0, div rotV = 0 tambien se recuer-dan mas facilmente en la forma∇×(∇f) = 0, ∇(∇×V ) = 0, pues formalmenteson propiedades validas para vectores y escalares cualesquiera.

Conviene observar que en algunos contextos usamos la letra d para indicaralgo que no es una diferencial exterior. Ası por ejemplo, el elemento de medidadm no es la diferencial exterior de ninguna forma m, ni tampoco lo es en generalel elemento de flujo de un campo dΦ(F ). En estos caso la d solo indica que lamedida se obtiene integrando dm o que el flujo se obtiene integrando dΦ(F ),pero serıa incorrecto afirmar cosas como que d(dΦ(F )) = 0.

Terminamos la seccion con una propiedad importante de la diferencial:


Teorema 10.26 Sea f : S −→ T una aplicacion de clase C∞ entre variedades.Entonces la retraccion f ♯ : Λ(T ) −→ Λ(S) conmuta con la diferencial exterior,es decir, f ♯(dω) = df ♯(ω), para toda ω ∈ Λ(T ).

Demostracion: Es claro que el valor de ambas formas en un punto pdepende unicamente de los valores que toma ω en un entorno de f(p), luegono perdemos generalidad si suponemos que T es el rango de una carta Y decoordenadas y1, . . . , yn. En tal caso basta probar que

f ♯(

d(g dyi1 ∧ · · · ∧ dyik))

= d(

f ♯(g dyi1 ∧ · · · ∧ dyik))

.

Ahora bien, ambos miembros son d(f g)∧ d(f yi1)∧ · · · ∧ d(f yik).

Capıtulo XI

El teorema de Stokes

En el capıtulo anterior hemos visto el teorema 10.19, que es la version para 1-formas de la regla de Barrow. Existe una version general del teorema de Barrowpara n-formas, la cual constituye el ultimo de los resultados fundamentales delcalculo integral de varias variables. Se trata del llamado teorema de Stokesgeneralizado, del que nos ocuparemos en este capıtulo. Se trata de la formula:

∫

S

dω =

∫

∂S

ω,

donde todavıa tenemos pendiente definir el concepto de frontera ∂S de unavariedad diferenciable (de modo que sea tambien una variedad diferenciable).Por ejemplo, si S es una bola abierta en R3, entonces ∂S sera la esfera delmismo centro y el mismo radio (que es una variedad de una dimension menos).El teorema de Stokes afirma en este caso que la integral de la forma dω sobrela bola puede obtenerse integrando ω sobre la esfera.

Es importante que la nocion de frontera de una variedad que vamos a intro-ducir no siempre coincide con la frontera topologica. Por ejemplo, si S es unasemiesfera en R3, todos sus puntos son puntos frontera desde el punto de vistatopologico, mientras que su frontera como variedad la formaran los puntos delecuador, donde la superficie “termina”.

11.1 Variedades con frontera

Definicion 11.1 Un semiespacio en Rn es un subconjunto de la forma

H = x ∈ Rn | u(x) ≤ a,

donde u : Rn −→ R es una aplicacion lineal y a ∈ R.

Obviamente H es cerrado en Rn y su frontera topologica es

∂H = x ∈ Rn | u(x) = a.

35

36 Capıtulo 11. El teorema de Stokes

Cuando hablemos de un subespacio abierto U de un semiespacio H ⊂ Rn

entenderemos que U es abierto respecto a la topologıa de H , no necesariamenteabierto en Rn. Llamaremos frontera de U al conjunto ∂U = U ∩ ∂H . Es claroque ∂U es la interseccion de U con su frontera en Rn, por lo que no dependede H . Ademas el conjunto U es abierto en Rn si y solo si ∂U = ∅. Los puntosde U \ ∂U los llamaremos puntos interiores de U . Notemos que estos conceptosde interior y frontera no coinciden con los topologicos.

Sea U un subespacio abierto de un semiespacio en Rn. Diremos que unaaplicacion f : U −→ Rm es diferenciable (de clase Ck, etc.) en un punto p ∈ Usi existe un entorno abierto W de p en Rn y una aplicacion g : W −→ Rm

diferenciable (de clase Ck, etc.) en el sentido usual y de modo que g|W∩U = f .

Notemos que si p /∈ ∂U entonces podemos tomar W ⊂ U y la condicionequivale a que f sea diferenciable (en el sentido usual) en un entorno de p, esdecir, a que f sea diferenciable en p en el sentido usual.

Si f : U −→ V es un difeomorfismo de clase C1 entre subespacios abiertos desemiespacios de Rn, entonces f [∂U ] = ∂V . En efecto, si p /∈ ∂U existe W ⊂ Uentorno abierto de p en Rn tal que f |W es diferenciable en el sentido usual, luegof [W ] ⊂ V es abierto en R

n, luego f(p) /∈ ∂V .

Sea f : U −→ Rm una aplicacion de clase C1 definida en un subespacio

abierto de un semiespacio y p ∈ ∂U . Para i = 1, 2 sea gi : Wi −→ Rm unaextension de clase C1 tal que Wi es abierto en Rn y gi|Wi∩U = f . Entoncesdg1(p) = dg2(p). En efecto, la aplicacion g = g1 − g2 es de clase C1 en W =W1 ∩W2 y es nula en todos los puntos del abierto W ∩ (U \ ∂U). Sus derivadasparciales seran nulas en dicho abierto y por continuidad tambien lo seran en p.Por consiguiente dg(p) = 0 y ası dg1(p) = dg2(p).

En consecuencia podemos definir df(p) = dg(p), donde g es cualquier ex-tension de f a un entorno de p en Rn. En particular podemos hablar de lasderivadas parciales sucesivas de f en los puntos frontera de su dominio, lascuales estan completamente determinadas por f .

A partir de aquı todos los resultados validos para funciones f : U −→ Rm declase Ck donde U es un abierto en Rn se extienden trivialmente al caso en queU es un abierto en un semiespacio. Ahora podemos modificar nuestra definicionde variedad para admitir puntos frontera:

Definicion 11.2 Un conjunto S ⊂ Rm es una variedad diferenciable (con fron-tera) de dimension n ≤ m y de clase Cq si para cada punto p ∈ S existe un en-torno V de p, un abierto U en un semiespacio de Rn y una funcionX : U −→ Rm

de clase Cq de modo que el rango de la matriz JX sea igual a n en todo puntoy X : U −→ S ∩ V sea un homeomorfismo.

En el resto de la seccion la palabra “variedad” hara referencia a variedadescon frontera. Veamos en primer lugar que el teorema 6.4 vale tambien paravariedades con frontera, es decir, que si X : U −→ S es una carta de unavariedad S de clase Cq y u0 ∈ U , entonces existe un entorno G de u0 en Rn, un

11.1. Variedades con frontera 37

entorno V de X(u0) en Rm y una aplicacion g : V −→ G de clase Cq tal que

(X |G∩U )−1 = g|V ∩S .

En efecto, tenemos que JX(u0) tiene rango maximo, luego n de sus filastienen determinante no nulo. Por simplicidad podemos suponer que son lasprimeras. Entonces X(u) =

(

X1(u), X2(u))

, donde X1 tiene las n primerascoordenadas de X y X2 las restantes, de modo que JX1(u0) tiene determinanteno nulo. La funcion X se extiende a una funcion de clase Cq en un entorno deu0 en R

n, luego lo mismo le ocurre a X1. Sea X1 una extension. Por el teoremade inyectividad local y el teorema de la funcion inversa obtenemos un entornoG de u0 en Rn de modo que W = X1[G] es abierto en Rn, X1|G : G −→ W esbiyectiva y (X1|G)−1 es de clase Cq.

Sea V ′ un abierto en Rm tal que X [U ] = V ′ ∩ S, sea π : Rm −→ Rn

la proyeccion en las n primeras componentes, sea V = π−1[W ] ∩ V ′ y seag = π (X1|G)−1, que es una funcion de clase Cq. Claramente X(u0) ∈ V .Si p ∈ V ∩ S ⊂ V ′ ∩ S entonces p = X(u), para un cierto u ∈ U , ademasX1(u) ∈W , luego u ∈ G ∩ U y ası p ∈ X [G ∩ U ].

Recıprocamente, si X(u) ∈ X [G ∩ U ], entonces X1(u) ∈ W , luego tenemosX(u) ∈ V ∩ S y

g(

X(u))

= (X1|G)−1(

X1(u))

= u = (X |G∩U)−1(

X(u))

.

Ası concluimos que (X |G∩U)−1 = g|V ∩S .

Con esto la prueba del teorema 6.5 se adapta facilmente para probar laversion para variedades con frontera:

Teorema 11.3 Sea S ⊂ Rm una variedad de dimension n y de clase Cq. Seap ∈ S y X : U −→ S ∩ V , Y : U ′ −→ S ∩ V ′ dos cartas alrededor de p. SeanV0 = V ∩ V ′, U0 = X−1[V0], U

′0 = Y −1[V0]. Entonces U0 y U ′

0 son abiertos ensemiespacios de Rn y la aplicacion X Y −1 : U0 −→ U ′

0 es biyectiva, de claseCq y con determinante jacobiano no nulo, con lo que su inversa es tambien declase Cq.

Definicion 11.4 Sea S una variedad con frontera. Un punto p ∈ S es un puntofrontera de S si cuando X : U −→ S es una carta alrededor de p entonces lascoordenadas X−1(p) son un punto frontera de U . Por el teorema anterior estono depende de la eleccion de la carta. Llamaremos frontera de S al conjunto ∂Sde puntos frontera de S.

Es claro que ∂S es cerrado en S (quiza vacıo) y que S \ ∂S es una variedaden el sentido del capıtulo VI. De este modo las variedades sin frontera coincidencon las variedades con frontera cuya frontera es vacıa.

A partir de aquı toda la teorıa de variedades diferenciales se generaliza sindificultad para el caso de variedades con frontera: podemos definir los espaciostangentes, la diferenciabilidad y la diferencial de aplicaciones entre variedades,etc. todo sin cambio alguno. Solo hay una salvedad: podemos definir el pro-ducto de una variedad con frontera por una variedad sin frontera, pero no el


producto de dos variedades con frontera. La razon es que el producto de unabierto en un semiespacio de Rm por un abierto en Rn es un abierto en unsemiespacio en Rm+n, mientras que el producto de dos abiertos en dos semi-espacios no es necesariamente un abierto en un semiespacio. Por ejemplo, elproducto de dos semirrectas cerradas es un cuadrante cerrado en R2, que noes un abierto en ningun semiplano. Para admitir productos de variedades confrontera tendrıamos que definir variedades con esquinas.

Por otra parte no es necesario generalizar el calculo integral al caso de varie-dades con frontera. Si el lector se molesta en hacerlo demostrara que la fronterade una variedad siempre tiene medida nula, luego en la practica podemos inte-grar en el conjunto de puntos interiores.

Ejemplo Una bola cerrada en Rn es una variedad cuya frontera coincide consu frontera topologica. En efecto, consideremos por ejemplo la bola B de centro0 y radio 1. Para cubrir los puntos interiores tomamos como carta la identidaden la bola abierta. Veamos ahora una carta que cubre los puntos frontera dela semiesfera xn > 0. Similarmente se cubren los puntos restantes. DefinimosX : Rn−1 × ]0, 1] −→ B mediante

X(u, r) =(ru, r)

‖(u, 1)‖ .

Claramente el dominio U = Rn−1 × ]0, 1] es un abierto en el semiplanoxn ≤ 1 y X puede extenderse hasta el abierto Rn−1 × ]0,+∞[ mediante lamisma expresion, y ciertamente es de clase C∞.

Podemos ver X como sigue: dados (u, r) construimos el punto (u, 1) que estaen el plano tangente a la esfera por su polo norte, dividimos por su norma, conlo que pasamos a un punto de la esfera (distinto para cada valor de u) y luegomultiplicamos por r, con lo que pasamos a un punto de la esfera de radio r.Teniendo esto en cuenta es claro que X es inyectiva. Concretamente su inversaes

X−1(x) =

(

x1xn, . . . ,

xn−1

xn, ‖x‖

)

,

que es diferenciable, por lo que las diferenciales de X y X−1 son mutuamenteinversas, luego JX tiene rango n.

Ejercicio: Probar que una corona esferica cerrada (es decir, una bola cerrada menosuna bola abierta concentrica) es una variedad con frontera.

Ejercicio: Probar que un casquete esferico cerrado es una variedad con frontera.

Ejercicio: Probar que un cuadrado cerrado menos sus cuatro vertices es una variedadcon frontera. (Con los vertices serıa una variedad con esquinas.)

Ejercicio: Definimos el toro solido de radios r y R (tales que 0 < r < R) como laimagen de R

2 × [0, r] por la aplicacion

X(u, v, ρ) = (R cos v + ρ cos u cos v, R sen v + ρ cos u sen v, ρ sen u).

Probar que es una variedad cuya frontera es igual al toro de radios r y R.

11.1. Variedades con frontera 39

Vamos a probar que la frontera de una variedad S es a su vez una variedad(sin frontera) de una dimension menos. Para ello probamos el teorema siguiente,que ademas nos permitira relacionar las orientaciones de S y ∂S.

Teorema 11.5 Sea S una variedad de dimension n > 1 y sea p ∈ ∂S. Entoncesp puede cubrirse por una carta X : U −→ V ∩S tal que U = ]−1, 0]× ]−1, 1[n−1,los puntos de V ∩ ∂S son exactamente los puntos de V ∩S tales que x1 = 0, lospuntos de V ∩S \∂S son los puntos de V ∩S tales que x1 < 0 y p = X(0, . . . , 0).Si S es orientable la carta puede tomarse positiva.

Demostracion: En principio podemos tomar una carta cuyo dominio seaun abierto en un semiespacio de modo que los puntos de la frontera tengancoordenadas en un cierto hiperplano afın de Rn. Componiendo la carta con unaaplicacion afın (que es de clase C∞) podemos exigir que dicho hiperplano seax1 = 0 y que el semiespacio de coordenadas sea x1 ≤ 0. Mas aun, podemosexigir que las coordenadas de p sean nulas. El dominio de la carta sera unentorno de 0, luego contendra un semicubo de centro 0. Componiendo con unahomotecia podremos conseguir que contenga el semicubo U del enunciado yrestringiendo la carta a U tenemos una carta en las condiciones pedidas. Si Sesta orientada y la carta que hemos obtenido es negativa basta tomar la cartaX(x1, . . . , xn) = X(x1, . . . , xn−1,−xn) y pasamos a tener una carta positiva(aquı usamos que n > 1).

Teorema 11.6 Sea S una variedad de dimension n y clase Cq con frontera novacıa. Entonces ∂S es una variedad (sin frontera) de dimension n − 1 y claseCq. Basta tomar como cartas las de la forma Y (x2, . . . , xn) = X(0, x2, . . . , xn),donde X es una carta del tipo dado por el teorema anterior (con lo que Y esta

definida sobre el cubo ]−1, 1[n−1

). Si S es orientable y tomamos solo cartaspositivas obtenemos un atlas orientado para ∂S.

Demostracion: Por el teorema anterior todo punto de ∂S es cubrible poruna de estas cartas. Claramente son de clase Cq y JY (x2, . . . , xn) se obtienequitando la primera fila a JX(0, x2, . . . , xn), luego su rango es n− 1. Tambien

es evidente que Y : ]−1, 1[n−1 −→ V ∩ ∂S es un homeomorfismo.

Supongamos ahora que S es orientable y que tenemos dos cartas positivasY1 e Y2 que cubran a un mismo punto, obtenidas a partir de cartas X1 y X2.Consideremos la aplicacion g = X−1

1 X2. Entonces g1(0, x2, . . . , xn) = 0 paratodas las coordenadas (x2, . . . , xn), pues g hace corresponder puntos fronterade U1 con puntos frontera de U2. Por lo tanto Dig1(x2, . . . , xn) = 0 para todoi > 1, luego la matriz jacobiana de g es de la forma

Jg(0, x2, . . . , xn) =

D1g1 ∗ · · · ∗0... A0


Sea h = Y −11 Y2. Claramente h = ι g π, donde ι(x2, . . . , xn) =

(0, x2, . . . , xn) y π(x1, . . . , xn) = (x2, . . . , xn). Considerando las matrices ja-cobianas concluimos facilmente que Jh(x2, . . . , xn) = A. Ası pues

|Jg(0, x2, . . . , xn)| = D1g1(0, x2, . . . , xn) |Jh(x2, . . . , xn)|.

Como las cartas X1 y X2 son positivas tenemos que primer determinante espositivo. Si probamos que D1g1(0, x2, . . . , xn) > 0 tendremos que el determi-nante de Jh sera positivo tambien, y esto probara que Y1 e Y2 tienen la mismaorientacion. Ahora bien,

D1g1(0, x2, . . . , xn) = lımr→0

g1(r, x2, . . . , xn)

r.

Si r < 0 estamos en las coordenadas de un punto de S, luego g(r, x2, . . . , xn) esla primera coordenada de dicho punto en la carta X2, luego g(r, x2, . . . , xn) < 0,luego el cociente es positivo y el lımite (que ciertamente es no nulo) es tambienpositivo.

En lo sucesivo, cuando S sea una variedad orientada sobrentenderemos que∂S tiene la orientacion dada por el teorema anterior.

XuXv

Ejemplo Consideremos la variedad con frontera S in-dicada en la figura dotada de la orientacion usual. En-tonces ∂S queda orientada de modo que al recorrerla ensentido positivo giramos en sentido contrario a las agujasdel reloj. En efecto, dado un punto p en la frontera decoordenadas (0, v0), sea X una carta positiva que lo cubra. La curva X(u, v0)esta dentro de S cuando u < 0 y fuera de S cuando u > 0 (recordemos que lascoordenadas se pueden extender un poco fuera de S). Por consiguiente el vectorXu apuntara hacia fuera de S. Como la base (Xu, Xv) ha de ser positiva, elvector Xv ha de marcar la direccion de giro antihoraria. En el teorema anteriorhemos adoptado los convenios necesarios para que esto sea ası.

En cambio, si la variedad tiene un agujero, la fronteradel mismo quedara orientada en sentido horario (el vectorXu apuntara hacia el interior del agujero). Es facil veren general que si V ⊂ Rm es una variedad de dimensionm con la orientacion natural en R

m (la dada por la basecanonica), entonces la orientacion en ∂V es la inducida por el vector normal queapunta hacia fuera de V .

11.2 El teorema de Stokes

Ahora ya tenemos todos los elementos necesarios para enunciar el Teoremade Stokes. Sin embargo debemos introducir algunos mas que nos serviran deayuda en la demostracion.

11.2. El teorema de Stokes 41

Definicion 11.7 Un n-cubo es un conjunto de la forma

S = [a1, b1]× · · · × [an, bn],

donde ai < bi son numeros reales. La frontera (topologica) de S en Rn estaformada por la union de los 2n conjuntos

S0i = [a1, b1]× · · · × ai × · · · × [an, bn],

S1i = [a1, b1]× · · · × bi × · · · × [an, bn], i = 1, . . . , n,

a los que llamaremos caras del cubo.

Una forma diferencial en un cubo S es simplemente una forma diferencialdefinida en un abierto de Rn que contenga a S. Consideraremos a dicho abiertocomo variedad orientada, tomando a la identidad como carta positiva (con loque la base canonica de Rn es positiva). En particular tenemos definida laintegral de una n-forma sobre un n-cubo.

Si ω es una n − 1-forma en un cubo S, donde n > 1, vamos a definir laintegral de ω sobre ∂S. Para ello comenzamos definiendo la integral sobre cadacara. Consideramos primero una forma de tipo

ω(x1, . . . , xn) = f(x1, . . . , xn) dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn.

La integral de ω sobre la cara Skj (para j = 1, . . . , n y k = 0, 1) se define comoigual a 0 si j 6= i y en caso contrario mediante

∫

S0i

ω =

∫

C

f(x1, . . . , ai, . . . , xn) dx1 · · · dxi−1 dxi+1 · · · dxn,∫

S1i

ω =

∫

C

f(x1, . . . , bi, . . . , xn) dx1 · · · dxi−1 dxi+1 · · · dxn,

donde C = [a1, b1]× · · · × [ai−1, bi−1]× [ai+1, bi+1]× · · · × [an, bn].

Una n− 1-forma arbitraria se descompone de forma unica en suma de n for-mas del tipo anterior (en cada una de las cuales falta un dxi distinto). Definimossu integral sobre la cara Ski como la suma de las integrales de estas n formas.Ası tenemos definida

∫

Skiω para cualquier n− 1-forma sobre S. La integral es

obviamente lineal en ω. Finalmente definimos

∫

∂S

ω =

n∑

i=1

(−1)i

(

∫

S0i

ω −∫

S1i

ω

)

.

X

Y

ZConviene entender por que es esta la definicion correcta

de integral sobre ∂S. Pensemos por ejemplo en un cubotridimensional. Segun la formula las integrales sobre ca-ras opuestas se suman con signos opuestos. Concretamentetienen signo positivo las dos que en la figura aparecen som-breadas mas la situada sobre el plano XZ, que no se ve.


Nuestra intencion es tratar al cubo como si fuese una variedad con frontera. Nolo es a causa de que la frontera tiene aristas donde no es diferenciable, pero aefectos de la integracion esto no va a afectar porque las aristas tienen area nula,y el teorema de Stokes va a ser cierto tambien sobre el cubo. La orientacion quedebemos imponer a la frontera en analogıa con las variedades es la inducida porel vector normal que apunta hacia fuera del cubo. Supongamos que queremosintegrar una forma de tipo f(x, y, z) dx ∧ dz. Es claro que solo van a influir lascaras con y constante, pues dx es nula en las caras con x constante y dz es nulaen las caras con z constante.

Para integrar la forma sobre S1y (la cara que en la figura queda a la derecha)

consideramos la cartaX(x, z) = (x, y0, z). La base asociada en el plano tangentede cada punto es Xx = (1, 0, 0), Xz = (0, 0, 1), y por consiguiente Xx ∧ Xz =(0,−1, 0), que apunta hacia dentro del cubo, luego la carta es negativa y laintegral es

∫

S1y

f dx ∧ dz = −∫

C

f(x, y0, z) dxdz,

y el signo corresponde con el que hemos establecido en la definicion. En cambio,si la integral es sobre la cara opuesta, ahora el vector (0,−1, 0) sı que apuntahacia fuera del cubo, luego la carta es positiva y no hay que cambiar el signo,tal y como indica la definicion.

Mediante este tipo de razonamientos es posible justificar que la definicionque hemos dado hace que la integral sobre ∂S sea la correcta respecto a laorientacion de las caras inducida por la orientacion usual del interior del cubo,es decir, la que hace positiva una base de una cara si al anadirle como primervector uno que apunte hacia fuera del cubo obtenemos una base positiva deRn. De todos modos esto no es muy importante, pues solo vamos a usar las

integrales sobre cubos como un paso previo a la prueba del teorema de Stokessobre variedades orientadas.

Ejercicio: Representar graficamente la orientacion de la frontera de un cuadradosegun la definicion que hemos dado.

Si definimos la integral de una 0-forma sobre la frontera de un 1-cubo, esdecir, de una funcion f sobre los extremos de un intervalo S = [a, b], como

∫

∂S

f = f(b)− f(a),

el teorema siguiente tiene sentido para n = 1 y entonces no es mas que la reglade Barrow:

Teorema 11.8 (Teorema de Stokes para un cubo) Sea S un n-cubo y ωuna n− 1-forma en S. Entonces

∫

S

dω =

∫

∂S

ω.


Demostracion: Segun acabamos de comentar, el caso n = 1 es simple-mente la regla de Barrow. Supongamos, pues n > 1. Por la linealidad de laintegral y de la diferencial es suficiente probar el teorema cuando la forma es

ω(x1, . . . , xn) = f(x1, . . . , xn) dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn.

Por definicion la integral de ω es nula sobre todas las caras de S excepto Ski ,para k = 0, 1. Ası pues,

∫

∂Sω es igual a

(−1)i∫

C

(

f(x1, . . . , ai, . . . , xn)−f(x1, . . . , bi, . . . , xn))

dx1 · · · dxi−1dxi+1 · · · dxn,

donde C es el cubo que resulta de eliminar el i-esimo intervalo a S. Por otrolado,

dω = df ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn=

∂f

∂xidxi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn

= (−1)i−1 ∂f

∂xidx1 ∧ · · · ∧ dxn.

Ası pues,∫

S

dω = (−1)i−1

∫

S

∂f

∂xidx1 · · · dxn.

Por el teorema de Fubini podemos integrar primero respecto a dxi, para locual aplicamos la regla de Barrow y queda

(−1)i−1

∫

C

(

f(x1, . . . , bi, . . . , xn)−f(x1, . . . , ai, . . . , xn))

dx1 · · · dxi−1dxi+1 · · · dxn,

que coincide con la integral sobre la frontera.

Teorema 11.9 (Teorema de Stokes generalizado) Sea S una variedad di-ferenciable orientable de dimension n > 1 y ω una n− 1-forma en S de soportecompacto.1 Entonces

∫

S

dω =

∫

∂S

ω.

Demostracion: Vamos a definir para cada punto p ∈ S un entorno Vp en S.Si p es un punto interior tomamos una carta positiva Xp : Up −→ S alrededor dep, donde Up es una bola abierta en Rn. Tomamos un cubo Cp ⊂ Up que contengaen su interior al vector de coordenadas de p y llamamos Vp a la imagen por Xp

del interior de Cp (que obviamente es un entorno de p en S).Si p ∈ ∂S tomamos una carta positiva Xp : Up −→ S de modo que

Up = ]−2, 0]× ]−2, 2[n−1,

1Un analisis de la prueba muestra que basta exigir que S sea de clase C2 y ω de clase C1.


Xp(0, . . . , 0) = p y los puntos de ∂S enXp[Up] sean exactamente los que cumplanx1 = 0 (una leve modificacion de la prueba del teorema 11.5 prueba la existenciade tal carta). Es claro que Xp induce una carta positiva en ∂S. LlamamosCp = [−1, 0] × [−1, 1]n−1, que es un entorno de 0 en Up y tomamos como Vpla imagen por Xp del interior de Cp, es decir, de ]−1, 0]× ]−1, 1[

n−1, que es un

entorno de p en S.

Los abiertos Vp cubren el soporte de ω, que por hipotesis es compacto, luegoexiste un subcubrimiento finito formado por los abiertos Vp1 , . . . , Vpr . Por elteorema 3.17 existen funciones h1, . . . , hr en S (que segun hemos comentado laspodemos tomar de clase C∞) de modo que hi ≺ Vpi y h1 + · · · + hr toma elvalor 1 sobre cada punto del soporte de ω.

Sea ωi = hiω, que claramente es una n− 1-forma (de clase C∞) con soportecompacto contenido en Vpi . El complementario del soporte de ωi es un abiertodonde ωi se anula, luego lo mismo le ocurre a dωi, es decir, que dωi tambientiene el soporte contenido en Vpi . Ademas ω = ω1 + · · ·+ ωr, luego

∫

S

dω =

r∑

i=1

∫

S

dωi =

r∑

i=1

∫

Vpi

dωi,

∫

∂S

ω =

r∑

i=1

∫

∂S

ωi =

r∑

i=1

∫

Vpi∩∂S

ωi.

Por consiguiente basta probar que

∫

Vpi

dωi =

∫

Vpi∩∂S

ωi,

es decir, hemos reducido el problema al caso local en que el soporte de la formaesta contenido en el rango de una carta. Por simplificar la notacion eliminaremoslos subındices, que son ya innecesarios. Hemos de probar que

∫

Vp

dω =

∫

Vp∩∂Sω, (11.1)

donde ω es una n−1-forma con soporte compacto contenido en Vp. Por linealidadpodemos suponer ademas que

ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn.

Llamemos

ω∗ = (Xp f) dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn,

que es una n − 1-forma definida en Up cuyo soporte es la antiimagen por elhomeomorfismo Xp del soporte de ω, el cual estara contenido en la antiimagende Vp, que es el interior del cubo Cp.

Como en teorema anterior, vemos que

dω = (−1)i−1 ∂f

∂xidx1 ∧ · · · ∧ dxn.


Para calcular el primer miembro de (11.1) transformamos la integral me-diante la carta Xp, con lo que obtenemos

∫

Cp

(−1)i−1

(

Xp ∂f

∂xi

)

dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

Teniendo en cuenta la definicion de la derivada parcial de una funcion en unavariedad es claro que

Xp ∂f

∂xi=∂(Xp f)

∂xi,

y al calcular igualmente dω∗ obtenemos∫

Vp

dω =

∫

Cp

dω∗.

Con esto podemos probar (11.1) en el caso en que p es un punto interior de S.En efecto, entonces Vp no corta a ∂S, luego el segundo miembro es nulo. Porotra parte, el soporte de ω∗ esta contenido en el interior del cubo Cp, luego ω

∗

es nula en ∂Cp, luego el teorema de Stokes para un cubo nos da que

∫

Vp

dω =

∫

Cp

dω∗ =

∫

∂Cp

ω∗ = 0.

Ası pues, en adelante supondremos que p ∈ ∂S. Para evaluar el segundomiembro de (11.1) usamos la carta positiva X(0, x2, . . . , xn). Notemos que enVp ∩ ∂S la funcion x1 es constante, luego dx1 = 0. Supongamos primero i = 1.La carta transforma Vp ∩ ∂S en la cara (Cp)

11 del cubo, luego

∫

Vp∩∂Sω =

∫

(Cp)11

f(

Xp(0, x2, . . . , xn))

dx2 · · · dxn =

∫

(Cp)11

ω∗,

(la ultima igualdad por definicion de integral sobre una cara). La igualdad

∫

Vp∩∂Sω =

∫

(Cp)11

ω∗

es valida aunque sea i 6= 1, pues en tal caso ω es nula en Vp ∩ ∂S y el miembroderecho es nulo por definicion. En definitiva, la igualdad (11.1) que tenemosque probar se reduce a

∫

Cp

dω∗ =

∫

(Cp)11

ω∗.

Por el teorema de Stokes para un cubo basta probar que∫

∂Cp

ω∗ =

∫

(Cp)11

ω∗.

Ahora bien, ω∗ tiene el soporte contenido en la antiimagen por Xp de Vp,

que es ]−1, 0]× ]−1, 1[n−1

, lo que significa que ω∗ es nula sobre todas las caras


de Cp salvo quiza (Cp)11, y aplicando la definicion de integral sobre la frontera

de un cubo tenemos la igualdad anterior.

El teorema anterior engloba a muchos casos particulares conocidos desdemucho antes, uno de ellos el Teorema de Stokes propiamente dicho, que seobtiene al aplicarlo al elemento de circulacion de un campo en R3 a traves deuna curva.

Teorema 11.10 (Teorema de Stokes) Sea S una superficie compacta orien-table contenida en un abierto U ⊂ R

3 y sea F : U −→ R3 un campo vectorial.

Entonces∫

S

(rotF )n dσ =

∫

∂S

F d~r,

donde n es el vector normal a S que determina su orientacion.

En otras palabras: el flujo del rotacional a traves de la superficie es igual a sucirculacion en la frontera. Es consecuencia inmediata de la relacion d(F d~r) =dΦ(rotF ), que demostramos en la seccion anterior. La compacidad de la super-ficie implica la del soporte de la forma.

Consideremos ahora la relacion d(dΦ(F )) = divF dm, que demostramos enla seccion anterior. Al aplicarle el teorema de Stokes generalizado obtenemosotro importante teorema clasico debido a Gauss:

Teorema 11.11 (Teorema de la divergencia) Sea V ⊂ Rm una variedadcompacta de dimension m contenida en un abierto U . Sea F : U −→ Rm uncampo vectorial. Entonces

∫

V

divF dm =

∫

∂V

Fndσ,

donde n es el vector normal a ∂V que apunta hacia fuera de V .

En otros terminos, el flujo de un campo a traves de una superficie cerradaes igual a la integral de la divergencia sobre el recinto que limita.

Ejemplo El campo F (x) = x cumple divF = n, luego el teorema de ladivergencia nos da una formula para el volumen n-dimensional V encerrado poruna superficie S:

V =1

n

∫

S

dΦ(x).

Destacamos los casos particulares n = 2 y n = 3. El area de una figuraplana limitada por una curva C es

A =1

2

∫

C

x dy − y dx.

El volumen de una region del espacio limitado por una superficie S es

V =1

3

∫

S

x dy ∧ dz + y dz ∧ dx+ z dx ∧ dy.


Por ejemplo, la elipse de semiejes a y b admite la parametrizacion x = a cos t,y = b sen t. Por consiguiente su area es

A =1

2

∫ 2π

0

(ab cos2 t+ ab sen2 t) dt = πab.

Ejercicio: Calcular el area de la cardioide mediante la formula anterior.

Ejemplo Consideremos el campo F : Rn+1 −→ Rn+1 dado por

F (x) =x

r,

para un r > 0. Sobre los puntos de la esfera de centro 0 y radio r coincide conel vector normal unitario de la misma, luego Fn = 1. Ası pues, el teorema dela divergencia nos da que el area de la esfera vale

∫

S

dσ =

∫

S

Fndσ =

∫

B

divF dm =

∫

B

n+ 1

rdm = (n+ 1)vn+1r

n = σnrn,

donde B es la bola de centro 0 y radio r y vn+1 es el volumen de la bola unitariade dimension n+ 1. Obtenemos de nuevo la relacion σn = (n+ 1)vn+1, que yahabıamos obtenido en el capıtulo anterior.

Terminamos con otras dos formulas integrales que se deducen del teoremade Stokes:

Teorema 11.12 Sea V ⊂ R3 una variedad compacta de dimension 3 contenida

en un abierto U . Sea F : U −→ R3 un campo vectorial definido en un entornode V ∪ ∂V . Entonces

∫

V

rotF dm =

∫

∂V

(n× F ) dσ,


Demostracion: Tomamos un vector constante v ∈ R3 arbitrario y calcu-lamos

v ·∫

V

rotF dm =

∫

V

v · rotF dm =

∫

V

div(F × v ) dm

=

∫

∂V

(F × v ) · n dσ = v ·∫

∂V

(n× F ) dσ,

donde en el segundo paso hemos usado la identidad (10.10) simplificada en elcaso en que W = v es constante, a continuacion el teorema de la divergencia yen el ultimo paso la asociatividad entre el producto escalar y vectorial. El hechode que la igualdad obtenida valga para todo v implica que v es cancelable.


Teorema 11.13 Sea S una superficie compacta orientable definida en un abiertoU ⊂ R3 y sea φ : U −→ R un campo escalar. Entonces

∫

∂S

φd~r =

∫

S

n×∇φdσ.

Demostracion: Aplicamos el teorema de Stokes al campo F = φv, dondev es un vector arbitrario. Ası tenemos que

(∫

∂S

φd~r

)

· v =

∫

S

(∇φ× v) · n dσ =

(∫

S

n×∇φdσ)

· v,

donde hemos aplicado la identidad (10.9) para el caso en que ~G = ~v es constantey la asociatividad del producto escalar y vectorial. Como v es arbitrario podemoscancelarlo.

11.3 Aplicaciones del teorema de Stokes

11.3.1 Aplicaciones a la mecanica de fluidos

El rotacional en hidrodinamica El teorema clasico de Stokes nos da unainterpretacion importante del rotacional en hidrodinamica. Supongamos que ~ves el campo de velocidades de un fluido tal y como considerabamos en el capıtuloanterior. Supongamos que en su seno situamos una pequena rueda que puedagirar en torno a un eje fijo. Formalmente, sea S un disco cerrado de centro p yradio r (contenido en el dominio de V , o sea, en R3, con cualquier inclinacion).Sea C la circunferencia que lo bordea y sea n un vector unitario normal almismo.

Dado ǫ > 0, existe un entorno U de p tal que |(rot~v)(p)n− (rot~v)(x)n| < ǫpara todo x ∈ U . Si tomamos r suficientemente pequeno para que la rueda estecontenida en U , entonces

(

(rot~v)(p)n− ǫ)

πr2 ≤∫

S

(rotF )n dσ ≤(

(rot~v)(p)n− ǫ)

πr2.

Por otra parte, vimos en el capıtulo anterior que

∫

C

~v d~r = 2πr2ωr,

donde ωr es la velocidad angular que el fluido transmite a la rueda. Aplicandoel teorema de Stokes llegamos a que

|(rot~v)(p)n− 2ωr| ≤ ǫ,

para todo r suficientemente pequeno, es decir,

(rot~v)(p)n = 2 lımr→0

ωr.

11.3. Aplicaciones del teorema de Stokes 49

Ası pues, la velocidad angular que adquirira la rueda es (aproximadamente)la mitad de la proyeccion del rotacional sobre el eje de giro. Claramente elrotacional indica la direccion en que hemos de situar el eje para que la velocidadde rotacion sea maxima.

La ecuacion de continuidad Como en el parrafo precedente, sea ~v el campode velocidades de un fluido y sea ρ su densidad (ambos dependen de la posiciony del tiempo). Sea p un punto cualquiera y S una esfera de centro p. En elcapıtulo anterior vimos que el flujo del campo A = ρV a traves de S se interpretacomo la masa de fluido que sale de S por unidad de tiempo. La cantidad defluido contenida en S en un instante dado es la integral de ρ sobre la bola B defrontera S, luego la variacion de esta masa es

d

dt

∫

B

ρ dm =

∫

B

∂ρ

∂tdm.

Sea r el radio de B y

ψr(p) =1

m(B)

(∫

B

∂ρ

∂tdm+

∫

B

divAdm

)

.

Ası, ψr(p)m(B) es el aumento de la masa de fluido en B por unidad detiempo menos la cantidad de masa que entra en B a traves de S por unidad detiempo. Por consiguiente ψr(p) es la cantidad de masa que se crea en B porunidad de tiempo y de volumen (la masa que aparece en B sin entrar por sufrontera). El mismo argumento que hemos empleado en la interpretacion delrotacional nos da ahora que

ψ(p) = lımr→0

ψr(p) =∂ρ

∂t(p) + divA(p),

donde ψ(p) representa la cantidad de fluido que se crea alrededor de p por unidadde tiempo y de volumen. La ecuacion

divA = ψ − ∂ρ

∂t. (11.2)

se denomina ecuacion de continuidad de la hidrodinamica, y expresa la conser-vacion de la masa. La formula (10.8) nos da una expresion alternativa:

ψ = ∇ρ · ~v + ∂ρ

∂t+ ρ div~v =

Dρ

Dt+ ρ div~v,

donde Dρ/Dt es la derivada total de la densidad, segun la formula (7.1) .

Los puntos donde ψ > 0 se llaman fuentes (son puntos donde aparece fluido)y los puntos donde ψ < 0 se llaman sumideros (en los cuales desaparece fluido).

Para fluidos incompresibles (en los que Dρ/dt = 0), la ecuacion de continui-dad se reduce a que ψ = ρ div~v. Si el fluido es homogeneo con densidad ρ = 1,entonces la divergencia de ~v en un punto indica la cantidad de fluido que se creao se destruye en dicho punto por unidad de masa y de volumen. Si ademas nohay fuentes ni sumideros, la ecuacion de continuidad se reduce a div~v = 0.


El teorema de transporte de Reynolds El ejemplo siguiente es en realidaduna aplicacion del teorema de cambio de variable, pero el teorema de Stokesproporciona una formulacion alternativa de interes.

Consideremos un campo de velocidades ~v : R × Ω −→ Rn, donde Ω es unabierto en Rn, y sea F : R × Ω −→ R una funcion diferenciable arbitraria.Tomemos un abierto acotado V en Rn tal que V ⊂ Ω. Entonces podemosconsiderar la derivada2

∂

∂t

∫

V

F (t, ~r) dm =

∫

V

∂F

∂tdm.

Por ejemplo, si el campo de velocidades corresponde a un fluido y F es ladensidad en cada instante y cada punto, entonces la integral representa la masade fluido contenida en V , y la derivada representa la variacion de dicha masa.

Pero tambien podemos considerar la derivada total definida como

D

Dt

∫

V

F (t, ~r) dm =∂

∂t

∫

Vt

F (t, ~r) dm,

donde Vt es la traslacion de V = V0 determinada por el flujo.3

El teorema de transporte de Reynolds es una relacion analoga a (7.1), quereduce la derivada total a integrales sobre recintos fijos:

D

Dt

∫

V

F dm =

∫

V

(

∂F

∂t+ div(F~v )

)

dm =∂

∂t

∫

V

F dm+

∫

∂V

F ~v · ~n dσ, (11.3)

donde ~n es el vector normal a ∂V que apunta hacia afuera de V .

Vamos a probar la primera igualdad. La segunda resulta de aplicar el teo-rema de la divergencia, lo cual requiere como hipotesis que el abierto V deter-mine una variedad con frontera en las condiciones de dicho teorema.

Fijado un t0, sabemos que Vt esta definido para todo t suficientementeproximo a t0. Vamos a aplicar el teorema de cambio de variable a la funcionφt0,t : Vt0 −→ Vt. Llamamos (u1, . . . , un) a los puntos de Vt0 y (x1, . . . , xn) asus imagenes en Vt, de modo que la matriz jacobiana de φt0,t es

A(t) =

(

∂xj∂ui

)

,

y la de su inversa es

A−1(t) =

(

∂uj∂xi

)

.

Vamos a aplicar el teorema de Jacobi 5.11. Para ello observamos que

dA

dt=

(

∂

∂ui

∂xj∂t

)

=

(

∂vj∂ui

)

.

2La igualdad se cumple por 8.57, teniendo en cuenta que la integral puede calcularse en V .3Vease la discusion tras la definicion 7.6.


Por consiguiente,

Tr(A−1 dA

dt) = Tr

(

∑

k

∂uk∂xi

∂vj∂uk

)

=∑

i,k

∂uk∂xi

∂vi∂uk

= div~v.

El teorema de Jacobi nos da entonces que

d

dt|A(t)| = |A(t)| div~v.

Por el teorema de cambio de variable,

h(t) =

∫

Vt

F dm =

∫

Vt0

F (t, φt0,t(u)) |A(t)| dm.

Con el dominio de integracion fijo (y compacto, pues podemos cambiar Vpor su clausura) podemos derivar bajo el signo de integral:

dh

dt=

∫

Vt0

((

∑

i

∂F

∂xivi +

∂F

∂t

)

|A(t)|+ F (t, φt0,t(t, u))|A(t)|div~v)

dm

=

∫

Vt

(

∇F · ~v + ∂F

∂t+ F div~v

)

dm =

∫

Vt

(

∂F

∂t+ div (F ~v)

)

dm.

Por ejemplo, haciendo F = 1 vemos que la condicion necesaria y suficientepara que el transporte asociado a un campo de velocidades ~v conserve el volumende los abiertos acotados es que div~v = 0.

Similarmente, si F = ρ es la densidad de un fluido que evoluciona en eltiempo sin que aparezca ni desaparezca materia (es decir, sin fuentes ni sumide-ros), entonces

∫

Vtρ dm es la masa de fluido contenida en Vt en el instante t, que

tiene que ser constante (el fluido contenido en Vt en el instante t es el mismocontenido en Vt0 en el instante t0), luego la derivada total tiene que ser nula.Ası pues, el teorema de Reynolds afirma que

∂

∂t

∫

V

ρ dm+

∫

∂V

ρ~v · ~n dσ = 0

o, equivalentemente, si llamamos µt(V ) a la masa contenida en V en el instante t,entonces

∫

∂V

ρ~v · ~ndσ = −dµt(V )

dt.

En otras palabras, el flujo del campo ρ~v por la frontera de una superficie cerradaes la masa de fluido que sale del volumen que encierra (descontando el que entra).Si suponemos ρ = 1, entonces la masa es igual al volumen, con lo que tenemosuna nueva justificacion de la interpretacion del flujo: la integral sobre la fronteracompleta solo puede dar como resultado el balance global de entrada y salidade fluido si en cada fragmento de superficie calcula el flujo local, de modo queel flujo de un campo de velocidades sobre una superficie es el volumen de fluidoque atraviesa la superficie por unidad de tiempo.


Ejemplo Supongamos que un fluido homogeneo entra en un tubo con velo-cidad constante v0 y este se estrecha (o se ensancha), de modo que su seccionpasa de tener un area A0 a tener un area A1. Vamos a calcular la velocidad desalida v1.

Para ello tomamos como elemento de volumen V el fragmento de tubo queaparece en la figura. La velocidad del fluido sera tangente a la superficie deltubo, luego los unicos puntos de la frontera donde el flujo de ~v sera no nuloseran los puntos de las secciones de entrada y salida S0 y S1. En la seccion deentrada ~v tiene la direccion opuesta a ~n, luego ~v · ~n = −v0, mientras que en laseccion de salida es ~v · ~n = v1. Por consiguiente,

A0v0 =

∫

S0

v0 dσ =

∫

S1

v1 dσ = A1v1.

La relacion entre las velocidades de entrada y salida es, pues,

v1 =A0

A1v0.

En particular, el fluido acelera cuando el tubo se estrecha.

La ecuacion de Euler Veamos ahora la version hidrodinamica de la segundaley de Newton. Recordemos que esta afirma que ~F = m~a, donde ~F es la fuerzatotal que actua sobre un cuerpo de masa m y a es la aceleracion del mismo.Vamos a aplicarla a un elemento infinitesimal de fluido. Si llamamos ~v(~r, x) ala velocidad del fluido en el instante t y en el punto ~r, entonces su aceleracionviene dada por la derivada total

~a =D~v

Dt=∂~v

∂t+ (∇~v)~v.

La segunda ley de Newton para el elemento de fluido es d~F = ρ~a dm, dondedm es el elemento de volumen y ρ la densidad, de modo que ρ dm es el elementode masa. Si V es un volumen de fluido se ha de cumplir

~F =

∫

V

ρ

(

∂~v

∂t+ (∇~v)~v

)

dm,

donde F es la fuerza total que actua sobre V . Podemos descomponer estafuerza en dos partes. Por un lado tenemos las fuerzas de largo alcance, como la


gravedad, que actuan sobre todos los puntos del fluido, y cuya intensidad porunidad de masa representaremos por ~f , de modo que la fuerza de largo alcanceque actua sobre V es

∫

V ρ~f dm.

Por otra parte, sobre V pueden actuar fuerzas de corto alcance que soloafectan a las partıculas de fluido situadas en ∂V . Vamos a suponer4 que estasfuerzas actuan perpendicularmente a ∂V y hacia dentro de V . Las fuerzas decorto alcance normales reciben el nombre de presion, y su expresion es de laforma −

∫

∂Vp~n dσ, donde ~n es el vector normal a ∂V que apunta hacia fuera

de V y p(t, ~v) es una funcion escalar que representa la intensidad de la presionpor unidad de superficie.5 La componente i-esima de esta integral es el flujo delcampo pei. Por el teorema de la divergencia equivale a la integral en V de laderivada de p respecto a xi, y al reunir las tres igualdades queda

−∫

∂V

pn dσ = −∫

V

∇p dm.

Tenemos, pues

∫

V

ρ

(

∂~v

∂t+ (∇~v)~v

)

dm =

∫

V

ρ~f dm−∫

V

∇p dm.

Como esta igualdad ha de darse para todo volumen V , necesariamente losintegrandos han de ser iguales, es decir,

∂~v

∂t+ (∇~v)~v = ~f − 1

ρ∇p. (11.4)

Esta es la ecuacion de Euler, que expresa la conservacion de la cantidad demovimiento de un fluido.

Hidrostatica Cuando el campo de velocidades es nulo, la ecuacion de Eulerse reduce a

∇p = ρ ~f. (11.5)

Esta es la ecuacion fundamental de la hidrostatica. Si el fluido esta en reposo,su densidad es constante y esta sometido a un campo gravitatorio dirigido haciaabajo y de intensidad constante g, entonces obtenemos

∇p = −ρge3,

lo cual implica a su vez la conclusion siguiente:

4Esto se expresa diciendo que consideramos un fluido ideal, en el que las fuerzas de cortoalcance son unicamente normales, y no tienen componente tangencial. La existencia de fuerzastangenciales de corto alcance se traduce en el grado de viscosidad de un fluido. Si ponemos unfluido ideal en un tubo vertical y abrimos la parte inferior del tubo, el fluido cae exactamenteigual que si no estuviera el tubo, pero si el fluido es viscoso, entonces la velocidad de caıdasera mas lenta para las partıculas mas cercanas a la superficie vertical del tubo, a causa delas fuerzas tangenciales, que se debilitan a medida que nos alejamos de las paredes.

5La unidad de medida de presion es el pascal (Pa), que es la presion que ejerce una fuerzade 1N sobre 1m2.


La presion en un fluido homogeneo en reposo depende unicamentede la altura z en la forma

p = −ρgz + p0, (11.6)

donde p0 es la presion en los puntos de altura z = 0.

Veamos algunas consecuencias de estos hechos:

El principio de Arquımedes Es una propiedad bien conocida que determinala “perdida de peso” que experimenta un objeto al estar sumergido en un fluido:

Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje haciaarriba de intensidad igual al peso del fluido que desplaza.

Aquı hay que entender que el fluido es homogeneo y que esta en reposo. Laprueba es trivial: la fuerza superficial que experimenta el elemento de volumenV ocupado por el cuerpo se obtiene integrando −p~n sobre ∂V , pero ya hemosvisto que dicha integral coincide con la integral de −∇p = (0, 0, ρg) sobre V . Elresultado es una fuerza dirigida hacia arriba cuya intensidad es la integral de latercera componente de −∇p (pues las otras dos son nulas), a saber:

F =

∫

V

ρg dv =Mg,

donde M es la masa de fluido que cabrıa en V , luego F es el peso del fluido quecabrıa en V , es decir, el fluido desplazado por el cuerpo.

El principio de Pascal El principio de Pascal suele enunciarse diciendo queun fluido incompresible transmite la presion en todas direcciones por igual. Masprecisamente:

Si ejercemos una presion adicional ∆p en un punto de un fluido in-compresible, entonces su presion aumenta en ∆p en todos los puntosdel fluido.

La razon es que, si la densidad ha de permanecer constante, para que laecuacion (11.6) proporcione el nuevo valor de la presion en el punto dondehemos aplicado la presion adicional, solo puede verse modificada en la forma

p = −ρgz + p0 +∆p,

lo que significa que la presion aumenta en ∆p en todos los puntos del fluido.

El principio de Pascal es el fundamento de la prensa hidraulica. Esta con-siste en un recipiente de paredes resistentes y lleno con un lıquido incompresible.Su forma es irrelevante, pero de el salen dos tubos cuyas secciones tienen areasdesiguales A1 y A2 y que estan cerrados con embolos que pueden deslizarse sindejar salir el lıquido. Si aplicamos una fuerza F1 al embolo de seccion A1, esto


aumenta uniformemente la presion del lıquido sobre su superficie en F1/A1.Por el principio de Pascal, toda la superficie delrecipiente ve incrementada su presion en esta can-tidad, en particular el segundo embolo, con lo cualla fuerza que el fluido ejerce sobre el aumenta enF2 = (A2/A1)F1. De este modo, si la proporcionA2/A1 es grande, una prensa hidraulica permitetransformar una fuerza pequena en otra muchomayor.

F1

A1 A2

F2

El experimento de Torricelli Es famoso el experimento de Torricelli quepermite medir la presion atmosferica. Consiste en llenar de mercurio un tubocerrado por un extremo, bloquear momentaneamente el otro extremo para su-mergirlo en una cuba de mercurio y finalmente, con el tubo en vertical, destaparsu embocadura como indica la figura.6 Entonces parte del mercurio del tubopasa a la cuba, pero otra parte forma una columna que se mantiene por encimadel nivel de la cuba.

76 cm

Ello se debe a que la presion en lo alto de la columnade mercurio es nula (depreciando la que pueda ejercerel vapor de mercurio que necesariamente contendra),mientras que la presion en la superficie de la cuba esla presion atmosferica. Por lo tanto, si tomamos lasuperficie de la cuba como altura cero y p0 es la presionatmosferica (que podemos suponer independiente de la

altura, pues decrece muy lentamente con esta), la presion a una altura arbitrariavendra dada por p = −ρgz+ p0, donde ρ es la densidad del mercurio. La alturah de la columna de mercurio cumplira, pues, que h = p0/ρg o, recıprocamente,midiendo h podemos calcular la presion atmosferica como p0 = ρgh.

La altura de la columna de mercurio a nivel del mar es de unos 76 cm.Teniendo en cuenta que la densidad del mercurio es ρ = 13 600 kg/m3 y g =9.8N/m, esto nos da un valor de p0 = 101 292.8Pa. Una medicion mas precisaarroja un valor de 101 325Pa, y a este valor se le denomina atmosfera (atm), yes mas habitual que el pascal como unidad de presion.

La razon por la que Torricelli uso mercurio y no agua (por ejemplo) es queel mercurio es 13.6 veces mas denso. Para compensar la presion atmosferica,una columna de agua ha de elevarse mas de 10m. Si se usa un tubo mas cortoeste queda lleno y no hay medicion posible.

Notemos que el nivel del mercurio es distinto dentro y fuera del tubo porquedentro no actua la presion atmosferica. Es evidente que si tenemos un lıquidocontenido en un recipiente, todos los puntos del lıquido que esten en contactocon la atmosfera formaran una superficie donde la presion sera la atmosferica,luego todos tienen que estar a la misma altura, cualquiera que sea la forma del

6En realidad la superficie del mercurio dentro del tubo no sera plana, como indica la figura,sino que formara una superficie convexa debido a la llamada tension superficial, pero no vamosa entrar en este fenomeno.


recipiente. Este es el llamado principio de los vasos comunicantes, pues un casoparticular es que si tenemos dos o mas recipientes llenos de lıquido y conectadospor tuberıas, a todos los efectos son un unico recipiente, por lo que el lıquidofluira como sea necesario por las tuberıas para que, al quedar en reposo, todaslas superficies del lıquido en contacto con la atmosfera esten a la misma altura.

La presion atmosferica La formula (11.6) es valida bajo el supuesto de quela densidad del fluido es constante. Esta hipotesis es razonable para muchoslıquidos, pero no para gases, pues la densidad de un gas depende, entre otrosfactores, de la presion. Concretamente, para un gas ideal (suponiendo la tem-peratura constante), la densidad es directamente proporcional a la presion. Porconsiguiente, si conocemos la densidad de un gas ρ0 para una presion dada p0,su densidad para cualquier otro valor de p sera ρ = ρ0p/p0, y ası (11.5) seconvierte en la ecuacion diferencial

dp

dz= −ρ0g

p0p,

cuya solucion esp = p0e

−z/α, donde α = p0/ρ0g

y la altura z se mide desde el punto en el que la densidad y la presion son ρ0 yp0 respectivamente.

La densidad del aire a nivel del mar se estima en ρ0 = 1.23 kg/m3, lo cual,junto con el valor p0 = 101 325Pa para la presion atmosferica a nivel del mar,nos da una constante α ≈ 8 400m. Si usamos la atmosfera como unidad depresion, la formula que hemos obtenido para la presion atmosferica se reduce a

p = e−h/8 400,

donde h es la altura sobre el nivel del mar.

La grafica siguiente muestra la funcion p(h) hasta una altura de 50 km (ellımite superior de la estratosfera). Los puntos son promedios calculados por laNASA a partir de datos empıricos correspondientes a un intervalo de un ano enlugares repartidos por toda la superficie del planeta a las alturas correspondien-tes.

10 20 30 40 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1


La ecuacion de Bernoulli Consideremos un fluido ideal homogeneo en flujoestacionario (es decir, tal que la presion y la velocidad son constantes en cadapunto) sometido a una fuerza (de volumen) conservativa (y tambien indepen-

diente del tiempo) ~f = −∇V . La ecuacion de Euler (11.4) se convierte en

ρ~v · ∇~v = −ρ∇V −∇p.

Ahora aplicamos la siguiente formula general, que se comprueba sin dificultad:

~v · ∇~v =1

2∇(~v · ~v)− ~v × rot~v.

Llamando v = ‖~v‖ obtenemos

∇(v2/2)− ~v × rot~v = −∇V − ∇pρ,

o tambien:

∇(

v2

2+ V +

p

ρ

)

= ~v × rot~v.

Multiplicando la ecuacion por ~v obtenemos que

~v · ∇(

v2

2+ V +

p

ρ

)

= 0,

lo cual, teniendo en cuenta que la expresion entre parentesis no depende de t, yen terminos de la derivada total definida en (7.1), equivale a que

D

Dt

(

v2

2+ V +

p

ρ

)

= 0.

Esto significa que, sobre cada trayectoria del flujo, se cumple la ecuacion

v2

2+ V +

p

ρ= cte.

Esta es la ecuacion de Bernoulli. Cuando la fuerza de volumen es la gravedad,V = gz, la ecuacion equivale a

1

2ρv2 + ρgz + p = cte.

Ejemplo Consideremos de nuevo el ejemplo de un fluido homogeneo e incom-presible que fluye por un tubo que se ensancha o se estrecha. En la pagina 52vimos que la relacion entre las velocidades de entrada y salida es v1 = (A0/A1)v0,donde A0 y A1 son las areas de las secciones correspondientes. Ahora vamosa calcular la relacion entre las presiones de entrada y de salida p0 y p1 (quepodemos suponer constantes en cada seccion del tubo).


Para ello aplicamos la ecuacion de Bernoulli a una trayectoria cualquiera,considerando que la variacion de la altura z es despreciable. Ası obtenemos que

1

2ρv20 + p0 =

1

2ρv21 + p1,

luego

p1 = p0 +1

2ρ(v20 − v21) = p0 +

1

2ρ(1− (A0/A1)

2)v20 .

En particular, cuando el tubo se estrecha la velocidad aumenta y la presiondisminuye.

La ley de Torricelli La ley de Torricelli afirma que

Si un fluido contenido en un deposito abierto escapa por un orificiosituado a una distancia h de la superficie, la velocidad de salida esla misma que adquirirıa un objeto cualquiera que recorriera dichadistancia h en caıda libre.

En efecto: consideremos un punto P situado en el orificio y prolonguemos sutrayectoria hacia atras en el tiempo. Claramente, esta llegara hasta un punto Qde la superficie del fluido,7 y podemos, por tanto, aplicar la ecuacion de Bernoullia los puntos P yQ. Si tomamos un sistema de referencia con origen en el agujero,en el punto P la presion p0 es la atmosferica, la altura es z = h y podemossuponer que la velocidad es nula, pues se trata de la velocidad de descenso delnivel del fluido, que (si el recipiente tiene una seccion mucho mayor que la delagujero) sera insignificante frente a la velocidad v del fluido en el punto Q. Porotra parte, la presion en Q sera tambien la atmosferica (que podemos suponerconstante) y ası, la ecuacion de Bernoulli nos da que

ρgh+ p0 =1

2ρv2 + p0,

luego v =√2gh. Es inmediato comprobar que esta es tambien la velocidad de

caıda libre. En la practica la velocidad del lıquido es algo menos debido a laviscosidad que aquı estamos despreciando.

El gradiente de un campo escalar tiene una interpretacion muy simple queno requiere el teorema de Stokes: dado un campo escalar φ en Rn y un punto pdonde ∇φ(p) 6= 0, entonces para cada v ∈ Rn de norma 1 tenemos que

dφ(p)(v) = ∇φ(p)v = ‖∇φ(p)‖ cosα,

donde α es el angulo entre v y ∇φ(p). Esta cantidad es, por otra parte, elaumento que experimenta φ por cada unidad que nos desplazamos en la direccionde v y obviamente se hace maxima cuando v tiene la misma direccion y sentidoque ∇φ(p). Por consiguiente ∇φ indica en cada punto la direccion en la que φcrece mas rapidamente.

7Con esto no estamos afirmando que toda partıcula que sale en un momento dado por elagujero ha estado necesariamente en la superficie un tiempo atras.


La ecuacion del calor La materia, en cualquiera de sus estados, esta com-puesta de partıculas diminutas, sean partıculas subatomicas sueltas, atomos conenlace metalico o moleculas con diferentes estructuras. En todos estos casos, di-chas partıculas tienen una cierta libertad de movimiento y a nivel microscopicopueden moverse a velocidad considerable. Esta velocidad no puede medirse di-rectamente, pero la velocidad media de las partıculas de un cuerpo determina loque llamamos su temperatura T . Por otra parte, la suma de la energıa cineticade cada partıcula es lo que llamamos la cantidad de calor Q del cuerpo (y semide en Julios, como corresponde a la energıa). Puesto que T es un promedio develocidades, ya no es cierto que Q sea proporcional al cuadrado de T , sino quela experiencia establece que la proporcion es lineal y la constante depende de lascaracterısticas quımicas de cada sustancia. Concretamente cada sustancia tieneasociado un calor especıfico c, de modo que la cantidad de calor de un cuerpode masa m, calor especıfico c y temperatura T es Q = mcT .

Aquı suponemos que T y c son constantes. Si, por el contrario, c y Tdependen de la posicion entonces Q =

∫

VcρT dm, donde ρ es la densidad del

cuerpo (funcion de la posicion) y dm es el elemento de volumen (no de masa).Por consiguiente cρT es la densidad de calor de un cuerpo de calor especıfico c,densidad ρ y temperatura T . Podemos suponer que c y ρ solo dependen de laposicion, mientras que Q y T dependeran tambien del tiempo, y se plantea elproblema de determinar esta dependencia, esto es, de determinar la forma enque se transmite el calor a traves de un cuerpo.

El modelo mas simple al respecto postula que el calor es como un fluidoque se mueve hacia el punto mas frıo posible, es decir, teniendo en cuenta elejemplo en el que hemos introducido la ecuacion de continuidad ası como lainterpretacion del gradiente, el flujo de calor es A = −k∇T , donde k > 0 es unaconstante llamada conductividad termica. La ecuacion de continuidad (11.2) seconvierte en este caso en

k∆T + ψ = cρ∂T

∂t, (11.7)

donde ψ refleja las fuentes y sumideros de calor. Esta ecuacion se conoce comoecuacion del calor.

11.3.2 Potenciales

Recordemos que el laplaciano de un campo escalar φ : U −→ R se define(definicion 7.10) como

∆φ = div∇φ =∂2φ

∂x21+ · · ·+ ∂2φ

∂x2n.

Si S es una variedad n− 1-dimensional orientable contenida en U y n es suvector normal, se define la derivada direccional de φ respecto a n como

dφ

dn= (∇φ)n.


(Notemos que efectivamente se trata de la derivada direccional de φ en el sen-tido usual y en la direccion que marca n.) Aplicando a ∇φ el teorema de ladivergencia obtenemos:

Teorema 11.14 Sea V ⊂ Rn una variedad compacta de dimension n contenida

en un abierto U . Sea φ : U ⊂ Rn −→ R un campo escalar. Entonces

∫

V

∆φdm =

∫

∂V

dφ

dndσ,


En otras palabras, el flujo del gradiente de un campo a traves de una su-perficie cerrada es igual a la integral de su laplaciano sobre el recinto que estaencierra. Esto nos relaciona el laplaciano con los campos conservativos, que seexpresan como gradientes de campos escalares.

El campo gravitatorio Consideremos de nuevo el campo gravitatorio gene-rado por un cuerpo puntual de masa M situado en un punto y. Sabemos quesu intensidad (es decir, la fuerza que ejerce por unidad de masa) viene dada porla ley de Newton:

E(x) = − GM

‖x− y‖3 (x− y),

suponiendo al cuerpo en el origen de coordenadas, y que ademas puede expre-sarse de la forma E = −∇V , donde

V (x) = − GM

‖x− y‖ .

Un calculo elemental muestra que ∆V = divE = 0. Esto significa que elflujo de E a traves de una superficie cerrada S que rodee a un punto dado y nocontenga a y es nulo (es la integral del laplaciano de V ). No ocurre lo mismosi la superficie contiene a y en su interior (notemos que si y esta en S el flujono esta definido). En efecto, en tal caso podemos tomar una bola B de centroy contenida en la region G rodeada por S. Entonces G \B es una variedad confrontera, la cual es igual a S ∪ ∂B. La orientacion positiva en S es la mismarespecto a G y respecto a G \ B, mientras que la orientacion positiva en ∂Bcomo parte de la frontera de G \B es la dada por el vector normal que apuntahacia dentro de B, es decir, la opuesta a su orientacion positiva como fronterade B. El teorema de Stokes nos da que el flujo de E por la frontera de G \ Bes nulo, luego el flujo a traves de S es igual al flujo a traves de ∂B. Por otraparte, el campo E es normal a ∂B, de modulo constante sobre la superficie yapunta hacia el interior, luego dicho flujo es

Φ = −‖E‖m(∂B) = −GMr2

4πr2 = −4πGM,

donde r es el radio de B.


Resulta orientador pensar en el campo gravitatorio generado por una masapuntual M como si fuera el campo de velocidades de un fluido incompresible.El hecho de que el flujo a traves de las superficies cerradas que contienen a y sea−4πGM se interpreta como que tales superficies “se tragan” una cantidad defluido proporcional aM . No podemos decir con propiedad que y sea un sumideroen el sentido que dimos a este termino, pues sobre el no esta definido el campo,pero esto mas bien debe llevarnos a pensar que dicha definicion de sumidero esdemasiado particular, y que debemos admitir como tales a los puntos alrededorde los cuales desaparece fluido en el sentido que acabamos de ver.

Por otra parte, donde no hay masa la divergencia del campo es nula y,efectivamente, no se crea ni se destruye fluido (el flujo es nulo).

Todo esto se generaliza de forma inmediata al caso del campo producido porn partıculas puntuales de masas M1, . . . ,Mn. Basta aplicar el principio de su-perposicion, en virtud del cual la fuerza que estas masas ejercen sobre un cuerpodado es la suma de las fuerzas que cada una de ellas ejercerıa por separado. Esclaro entonces que el potencial del campo es la suma de los potenciales asociadosa cada uno de ellos. El flujo a traves de una superficie cerrada es igual a −4πGpor la suma de las masas que contiene.

Los modelos de masas puntuales son validos para estudiar el movimiento delos planetas, pero no sirven para dar cuenta, por ejemplo, de la interaccion entrela Tierra y los objetos proximos a ella. En tal caso debemos tener en cuenta laforma geometrica del espacio que ocupan las masas. En lugar de tener uno ovarios puntos de masa tenemos una medida que asigna a cada region del espaciola masa que contiene. Si admitimos que una region de volumen 0 no puedecontener masa (es decir, negamos la existencia de masas puntuales) entoncesdicha medida estara determinada por una funcion de densidad ρ, de modo quela masa contenida en un volumen V vendra dada por

M =

∫

V

ρ dm.

Para calcular una aproximacion de la intensidad del campo gravitatorio gene-rado por la distribucion de masas ρ en un punto x podemos dividir el espacioen regiones pequenas de volumen ρ dm, calcular la intensidad correspondientea esta masa y sumar las fuerzas ası obtenidas. Con ello estamos calculando unaaproximacion de la integral

E(x) = −G∫

V

ρ(y)

‖x− y‖3 (x− y) dm(y),

donde V es un volumen que contiene a toda la masa que influye (el dominio deρ) y la integral de una funcion vectorial se interpreta como el vector formadopor la integral de cada componente. Esta debe ser la expresion exacta de lacitada intensidad del campo. Un razonamiento similar con los potenciales noslleva a que el potencial gravitatorio en el punto x debe ser

V (x) = −G∫

V

ρ(y)

‖x− y‖ dm(y).


No obstante, todo esto nos plantea varios problemas. En primer lugar hemosde justificar que las integrales existen, pues si x ∈ V el integrando tiende ainfinito en x. Por otra parte no es evidente que estas funciones cumplan E =−∇V , que es la relacion que debe darse para que V sea una funcion potencialde E. Los resultados que vamos a obtener pueden darse en un contexto general:

Definicion 11.15 Sea Ω ⊂ Rn (con n ≥ 3) un abierto acotado y f una funcionmedible acotada en Ω. Llamaremos potencial newtoniano asociado a f a lafuncion

Vf (x) =

∫

Ω

f(y)

‖x− y‖n−2dm(y), para x ∈ R

n.

El teorema 10.17 garantiza que el integrando es realmente integrable en Ω,por lo que Vf esta bien definido. Sea g(x, y) = ‖x − y‖2−n. Es claro que g esde clase C1 en (Rn \ Ω)×Ω, luego el teorema 8.57 nos garantiza8 que Vf es declase C1 en Rn \ Ω y sus derivadas valen

∂Vf∂xi

(x) = −(n− 2)

∫

Ω

f(y)

‖x− y‖n (xi − yi) dm(y), (11.8)

Vamos a probar que esta expresion vale igualmente en Ω. Por lo prontoobservemos que el integrando del segundo miembro es ciertamente integrable.Basta tener en cuenta que

|xi − yi|‖x− y‖ ≤ 1,

con lo que el integrando esta mayorado por la funcion integrable K/‖x− y‖n−1.

Para cada natural k ≥ 1 consideremos la funcion ak : [0,+∞[ −→ R dadapor

ak(r) =

1

kn−2+n− 2

kn−3

(

r − 1

k

)

si r < 1/k

rn−2 si r ≥ 1/k

Claramente ak es de clase C1 en su dominio y ademas no se anula, pues laderivada es positiva en [0, 1/k]. Definimos las funciones

Vk(x) =

∫

Ω

f(y)

ak(‖x− y‖) dm(y).

La funcion ak(‖x − y‖)−1 es de clase C1 en Rn × Rn, por lo que podemosaplicar el teorema 8.57.

Si probamos que las funciones Vk convergen uniformemente a Vf y sus de-rivadas convergen al segundo miembro de (11.8), el teorema 4.28 nos dara quedicha igualdad es valida en todo punto.

8Admitimos que ∂Ω es nula, luego la integral puede tomarse en el compacto Ω.


Puesto que los integrandos de Vf (x) y Vk(x) difieren solo sobre B1/k(x),tenemos que

|Vf (x) − Vk(x)| ≤ M

∫

B1/k(x)

∣

∣

∣

∣

1

‖x− y‖n−2− 1

ak(‖x− y‖)

∣

∣

∣

∣

dm(y)

= M

∫

B1/k(0)

∣

∣

∣

∣

1

‖y‖n−2− 1

ak(‖y‖)

∣

∣

∣

∣

dm(y).

La ultima integral, como funcion del dominio de integracion, es una me-dida finita en B1(0) por el teorema 8.51, luego el ultimo miembro tiende a 0con k, por el teorema 8.20. Esto prueba la convergencia uniforme de Vk. Elmismo argumento vale para las derivadas. Observar que no es necesario calcu-lar explıcitamente la derivada del integrando de Vk. Basta tener en cuenta queconsta de f(y) multiplicada por una funcion continua, luego integrable.

Notemos que las derivadas de Vf en los puntos de Ω son el lımite uniformede una sucesion de funciones continuas (las derivadas de Vk), luego Vf es unafuncion de clase C1 en R

n.En particular tenemos que el campo y el potencial gravitatorio determinados

por una distribucion de masa ρ estan bien definidos y satisfacen la relacionE = −∇V , como ha de ser.

Sigamos en el caso general y vamos a calcular el laplaciano de Vf . El teo-rema 8.57 nos permite concluir directamente que Vf es de clase C∞ en Rn \ Ω.Mas aun, es facil comprobar que ∆xg = 0, con lo que tambien ∆Vf = 0. Paralos puntos de Ω no podemos emplear la misma tecnica que hemos usado paracalcular las primeras parciales, pues las derivadas segundas del integrando noson integrables.

Consideremos un punto x0 ∈ Ω tal que f es de clase C1 en una bolaB2ǫ(x0) ⊂ Ω.

Descomponemos Vf = V1 + V2, donde ambos sumandos tienen la mismadefinicion que Vf salvo que el dominio de integracion es Bǫ(x0) en el caso de V1y Ω \Bǫ(x0) en el caso de V2.

Es claro que V2 es de clase C2 en Bǫ(x0). Sus parciales segundas se puedencalcular derivando el integrando. Ademas ∆V2 = 0. Por lo tanto para probarque Vf es de clase C2 en Bǫ(x0) basta probar que lo es V1, y ademas tendremos∆Vf (x0) = ∆V1(x0). Ya sabemos que

∂V1∂xi

(x) =

∫

Bǫ(x0)

f(y)∂

∂xi

(

1

‖x− y‖n−2

)

dm(y)

= −∫

Bǫ(x0)

f(y)∂

∂yi

(

1

‖x− y‖n−2

)

dm(y)

= −∫

Bǫ(x0)

(

∂

∂yi

(

f(y)

‖x− y‖n−2

)

− 1

‖x− y‖n−2

∂f

∂yi(y)

)

dm(y).

La integral del segundo termino es el potencial newtoniano de la derivada


de f , luego sabemos que tiene derivada continua y viene dada por

∂

∂xi

∫

Bǫ(x0)

1

‖x− y‖n−2

∂f

∂yi(y) dm(y) =

∫

Bǫ(x0)

∂

∂xi

(

1

‖x− y‖n−2

)

∂f

∂yi(y) dm(y)

Nos ocupamos ahora del otro termino. Aplicamos el teorema de la divergen-cia al campo F dado por

F (y) =f(y)

‖x− y‖n−2ei,

donde ei es el i-esimo vector de la base canonica. La divergencia de F es nuestrointegrando y su flujo a traves de la esfera de radio ǫ (precedido del signo negativode nuestra integral) es

−∫

∂Bǫ(x0)

f(y)

‖x− y‖n−2ein(y) dσ(y),

donde n es el vector unitario normal a la esfera y dσ es el elemento de medidade la esfera. A esta integral tambien le podemos aplicar 8.57, con lo que tienederivada continua respecto a xi y viene dada por

(n− 2)

∫

∂Bǫ(x0)

f(y)

‖x− y‖n (xi − yi)ein(y) dσ(y).

En este punto ya tenemos que V1 es de clase C2 en Bǫ(x0). Teniendo encuenta que n(y) = (y − x0)/‖x0 − y‖, al particularizar en x0 tenemos en total

∂2V1∂x2i

(x0) = −(n− 2)

∫

∂Bǫ(x0)

f(y)(x0i − yi)2

ǫn+1dσ(y)

+

∫

Bǫ(x0)

∂

∂xi

(

1

‖x− y‖n−2

)

(x0, y)∂f

∂yi(y) dm(y).

Por consiguiente:

∆Vf (x0) = ∆V1(x0) = −n− 2

ǫn−1

∫

∂Bǫ(x0)

f(y) dσ

+

n∑

i=1

∫

Bǫ(x0)

∂

∂xi

(

1

‖x− y‖n−2

)

(x0, y)∂f

∂yidm.

Como el miembro izquierdo no depende de ǫ, podemos tomar el lımite cuandoǫ tiende a 0. El ultimo sumatorio tiende a 0, luego queda

∆Vf (x0) = −(n− 2) lımǫ→0

1

ǫn−1

∫

∂Bǫ(x0)

f(y) dσ.

Llamemos σn−1 a la medida de ∂B1(0). Entonces la medida de ∂Bǫ(x0) esǫn−1σn−1. Ası

∣

∣

∣

∣

∣

1

ǫn−1

∫

∂Bǫ(x0)

f(y) dσ − σn−1f(x0)

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

1

ǫn−1

∫

∂Bǫ(x0)

f(y)− f(x0) dσ

∣

∣

∣

∣

∣


≤ 1

ǫn−1

∫

∂Bǫ(x0)

|f(y)− f(x0)| dσ.

Dado η > 0, existe un δ > 0 de manera que si ‖y − x0‖ < δ entonces|f(y) − f(x0)| < η/σn−1. Para todo ǫ < δ la expresion anterior esta acotadapor η, luego concluimos que ∆Vf (x0) = −(n− 2)σn−1f(x0).

Si extendemos f a Rn con el valor 0 fuera de Ω, hemos probado que Vf esde clase C2 allı donde f es de clase C2 (lo cual incluye a todos los puntos deRn \Ω) y en tales puntos ∆Vf = −(n−2)σn−1f . El analisis que hemos hecho delas parciales de Vf puede usarse inductivamente para probar que si f es de claseCk alrededor de un punto, lo mismo vale para Vf . Resumimos en un teoremalo que hemos obtenido:

Teorema 11.16 Sea Ω un abierto acotado en Rn, para n ≥ 3, y sea f unafuncion medible acotada que se anula fuera de Ω. Entonces el potencial newto-niano

Vf (x) =

∫

Ω

f(y)

‖x− y‖n−2dm(y), para x ∈ R

n

es una funcion de clase C1 en Rn y de clase Ck en todos los puntos donde f esde clase Ck. Ademas

∇Vf = −(n− 2)

∫

Ω

f(y)

‖x− y‖n (x− y) dm(y),

y en los puntos donde f es de clase C2 satisface la ecuacion de Poisson asociadaa f , es decir, ∆Vf = −(n − 2)σn−1f , donde σn−1 es la medida de la esferaunitaria de dimension n− 1.

Ejercicio: Probar un teorema analogo para n = 2 definiendo

Vf (x) =

∫

Ω

f(y) log ‖x− y‖dy.

Si n = 3 queda ∆Vf = −4πf . En particular, si V es el potencial gravitatoriogenerado por una distribucion de masa ρ, entonces ∆V = 4πGρ. Equivalente-mente, si E es la intensidad del campo, se cumple divE = −4πGρ. En este casopodemos decir con propiedad que los puntos donde hay masa se comportan comosumideros de un “fluido gravitatorio”. Ademas tenemos un importante teoremade Gauss:

El flujo del campo gravitatorio a traves de una superficie cerrada queencierra una masa M es igual a −4πGM .

Por ejemplo, sea B una esfera homogenea de densidad ρ y radio R. Es facilver que el campo gravitatorio que origina tiene simetrıa esferica, es decir,

E(x) = −K(‖x‖)‖x‖ x,


para una cierta funcion K. Consideremos una superficie esferica S cuyo centrocoincida con el de B y de radio r < R. El flujo de E a traves de S es −4πr2K(r),luego por el teorema de Gauss

−4πr2K(r) = −4πGρ4

3πr3.

En definitiva,

E(x) = −4πGρ

3x = −GM

R3x.

Si tomamos r ≥ R entonces queda −4πr2K(r) = −4πGM , luego

E(x) = −GM

‖x‖3 x,

es decir, el campo generado por la esfera en un punto exterior a la misma coincidecon el que generarıa una masa puntual situada en su centro.

11.4 Las formulas de Green

Vamos a deducir varias formulas clasicas a partir del teorema de Stokes.Partimos de dos funciones f, g : U −→ R de clase C2 en un abierto U ⊂ R

n.Una simple comprobacion nos da la identidad

div(g∇f) = ∇f ∇g + g∆f.

Sea V ⊂ U una variedad compacta orientable de dimension n. Aplicando elteorema de la divergencia obtenemos la llamada primera formula de Green:

∫

V

g∆f dm+

∫

V

∇g∇f dm =

∫

∂V

gdf

dndσ,

donde dσ es el elemento de medida en ∂V y n su vector normal. Intercambiandolos papeles de f y g y restando las formulas correspondientes obtenemos lasegunda formula de Green:

∫

V

(g∆f − f∆g) dm =

∫

∂V

(

gdf

dn− f

dg

dn

)

dσ.

Supongamos n ≥ 3, fijemos un punto x interior a V y apliquemos la formulaanterior a la funcion g(y) = 1/‖x − y‖n−2 y a la variedad Vǫ que resulta dequitarle a V una bola abierta de radio ǫ suficientemente pequeno para que estecontenida en V . Observamos que ∆g = 0. En efecto:

∂g

∂yi= (n− 2)

xi − yi‖x− y‖n ,

∂g2

∂y2i= − n− 1

‖x− y‖n + n(n− 2)(xi − yi)

2

‖x− y‖n+2,

y al sumar sobre i queda 0. Si llamamos Sǫ a la esfera de centro x y radio ǫ laformula de Green nos da que

11.4. Las formulas de Green 67

∫

Vǫ

∆f(y)

‖x− y‖n−2dm(y) =

∫

∂V

(

1

‖x− y‖n−2

df

dn− f

d

dn

1

‖x− y‖n−2

)

dσ(y)

+

∫

Sǫ

(

fd

dn

1

‖x− y‖n−2− 1

‖x− y‖n−2

df

dn

)

dσ(y).

Observemos que hemos cambiado el signo en el segundo integrando porquela orientacion positiva de S es la contraria a la que tiene como parte de lafrontera de Vǫ. Puesto que f es de clase C2, tenemos que ∆f es continua en V ,por lo que el integrando del primer miembro es integrable en V (es el potencialnewtoniano de ∆f), luego existe el lımite cuando ǫ→ 0 de ambos miembros dela igualdad, luego tambien del ultimo termino. Vamos a calcularlo.

Notemos que sobre los puntos de Sǫ es n(y) = (y − x)/‖x − y‖, luego loscalculos que hemos hecho antes muestran que

d

dn

1

‖x− y‖n−2= − n− 2

‖x− y‖n−1.

El ultimo termino es, pues,

− (n− 2)

ǫn−1

∫

Sǫ

f(y) dσ(y)−∫

Sǫ

1

ǫn−2

df

dndσ(y).

Si llamamos σn−1 a la medida de Lebesgue de la esfera unitaria de dimensionn−1, entonces σ(Sǫ) = ǫn−1σn−1, y es claro que la segunda integral esta acotadapor Kσn−1ǫ, donde K es una cota de la derivada direccional de f en un entornode x. Por consiguiente este termino tiende a 0. El lımite del primer sumando localculamos al estudiar los potenciales newtonianos (ver las formulas precedentesal teorema 11.16). Recordemos que vale −(n−2)σn−1f(x). Con esto obtenemosla tercera formula de Green

f(x) =1

(n− 2)σn−1

(

−∫

V

∆f(y)

‖x− y‖n−2dm(y)

+

∫

∂V

(

1

‖x− y‖n−2

df

dn− f

d

dn

1

‖x− y‖n−2

)

dσ(y)

)

.

Esta formula nos dice que el valor de una funcion de clase C2 en un puntox esta completamente determinado por ∆f en un entorno de x y las funcionesf y df/dn sobre una superficie que rodee a x.

Recordemos (definicion 7.10) que una funcion es harmonica en un abierto sicumple ∆f(x) = 0. Por ejemplo, el potencial newtoniano de una funcion f esuna funcion harmonica en los puntos exteriores al soporte de f .

La tercera formula de Green para una funcion harmonica f se reduce a

f(x) =1

(n− 2)σn−1

∫

∂V

(

1

‖x− y‖n−2

df

dn− f

d

dn

1

‖x− y‖n−2

)

dσ(y),


donde V es un abierto en Rn cuya clausura sea una variedad compacta y en el

cual f sea harmonica (con n ≥ 3).Esta formula nos dice en principio que una funcion harmonica f en V esta

completamente determinada por los valores que f y df/dn toman sobre ∂V .Podemos ir mas lejos y concluir que una funcion harmonica en V esta comple-tamente determinada por los valores que toma en ∂V . En efecto, supongamosque f1 y f2 son funciones continuas en V , harmonicas en V y que coincidenen ∂V . Entonces la funcion h = f1 − f2 es harmonica en V y se anula en ∂V .Aplicando la primera formula de Green a las funciones f = g = h resulta

∫

V

‖∇h‖2 dm = 0

y, como el integrando es positivo, ha de ser ∇h = 0 en V , lo que implica que hes constante en V y, como se anula en ∂V , ha de ser h = 0, es decir, f1 = f2.

Si suponemos ahora que V es la bola de centro x y radio r, entonces latercera formula de Green para una funcion harmonica nos da que

f(x) =1

rn−2(n− 2)σn−1

∫

∂V

df

dndσ +

1

rn−1σn−1

∫

∂V

f dσ,

Por el teorema de la divergencia∫

∂V

df

dndσ =

∫

∂V

∇f n dσ =

∫

V

∆f dm = 0,

luego se cumple el llamado teorema del valor medio de Gauss:

f(x) =1

σ(∂Br(x))

∫

∂Br(x)

f dσ.

Esta formula afirma que el valor que toma una funcion harmonica en unpunto x es la media aritmetica de los valores que toma en cualquier esfera concentro en x. De aquı se sigue facilmente que una funcion harmonica no puedetomar valores maximos o mınimos en ningun abierto en el que este definida.Tambien es claro que si una funcion harmonica tiende a una constante en ∞entonces es constante.

Unicidad del potencial newtoniano Si f , g : Rn −→ R, usaremos lanotacion f = O(g) para indicar que existen constantes M y R tales que si‖x‖ ≥ R entonces |f(x)| ≤ M |g(x)| (se dice entonces que f es una funcion delorden de g).

Si f : Rn −→ R es una funcion de clase C2 con soporte compacto, donden ≥ 3, es facil ver que su potencial newtoniano Vf cumple Vf = O(1/‖x‖n−2)y ‖∇Vf‖ = O(1/‖x‖n−1). Por ejemplo, en el caso de la gravedad esto significaque el campo gravitatorio se atenua en proporcion inversa al cuadrado de ladistancia. Ademas sabemos que satisface la ecuacion ∆Vf = −(n − 2)σn−1f .Vamos a probar que Vf es la unica funcion que cumple estas condiciones.

11.4. Las formulas de Green 69

Supongamos que u : Rn −→ R es una funcion de clase C2 tal que

u = O(1/‖x‖), ‖∇u‖ = O(1/‖x‖2), ∆u = −(n− 2)σn−1f.

Veamos que necesariamente u = Vf . Basta aplicar la tercera formula de Greena la bola Br de centro 0 y radio r:

u(x) =

∫

Br

f(y)

‖x− y‖n−2dm(y)

+1

(n− 2)σn−1

∫

∂Br

(

1

‖x− y‖n−2

du

dn− u

d

dn

1

‖x− y‖n−2

)

dσ(y)

Si r es suficientemente grande como para que se cumplan las estimaciones deu y ∇u que estamos suponiendo, el modulo del integrando del ultimo terminoesta acotado por K/rn, luego la integral esta acotada por K ′/r, luego tiendea 0 cuando r tiende a +∞. Consecuentemente

u(x) =

∫

Rn

f(y)

‖x− y‖n−2dm(y).

El dominio de integracion se puede reducir a cualquier abierto que contengaal soporte de f . Ası pues, u = Vf .

Ejercicio: Deducir la tercera formula de Green y sus consecuencias para el caso enque n = 2, tomando para ello g(y) = log ‖x− y‖ en lugar de ‖x− y‖2−n.

Unicidad de la ecuacion del calor Consideremos ahora la ecuacion delcalor (11.3.1) en ausencia de fuentes o sumideros de calor, es decir,

∆T =1

α

∂T

∂t, (11.9)

donde la constante α = cρ/k recibe el nombre de difusividad termica y dependede cada sustancia. Sea U un abierto en Rn y V ⊂ U una variedad compactaorientable de dimension n. Supongamos que T : U × [0, b[ −→ R es una funcionde clase C2 que cumple:

Ecuacion del calor ∆T =1

α

∂T

∂t.

Condicion inicial T (x, 0) = 0 para todo x ∈ V .

Condiciones de frontera Para cada punto x ∈ ∂V , o bien T (x, t) = 0, o biendT

dn= 0, donde n es el vector normal a ∂V .

Entonces T = 0.

Esto implica que si tenemos dos soluciones T1 y T2 de la ecuacion del calorsobre V que satisfagan la misma condicion inicial Ti(x, 0) = f(x), para todo


x ∈ V y las mismas condiciones de frontera Ti(x, t) = g(x, t) o biendTidx

= g(x, t)

para todo x ∈ ∂V , entonces T1 = T2. Basta aplicar el resultado anterior aT = T1 − T2.

En efecto, llamemos

J(t) =

∫

V

1

2T 2 dm,

de modo que, aplicando (11.9) y la primera formula de Green con f = g = T ,

J ′(t) =

∫

V

T∂T

∂tdm = α

∫

V

T ∆T dm =

∫

∂V

TdT

dndσ −

∫

V

∇T ∇T dm,

pero la primera integral del ultimo termino es nula por hipotesis, luego

dJ

dt= −

∫

V

(

(

∂T

∂x

)2

+

(

∂T

∂y

)2

+

(

∂T

∂z

)2)

dm

Esto implica que J ′(t) ≤ 0, y por la condicion inicial J(0) = 0, luego,para todo t ≥ 0 se cumple J(t) ≤ 0, pero la propia definicion de J muestraque J(t) ≥ 0, luego tiene que ser J(t) = 0 para todo t ≥ 0. Pero entoncesT 2(x, t) = 0 para todo x y todo t ≥ 0, luego T = 0 para todo t ≥ 0.

11.5 El teorema de Stokes con singularidades

Observemos que el teorema de Stokes para un cubo (teorema11.8) no es un caso particular del teorema de Stokes generalizado,pues un cubo no se ajusta a la definicion que hemos dado devariedad con frontera (a causa de sus aristas). El hecho de queel teorema de Stokes valga para cubos hace sospechar que valepara variedades (en algun sentido de la palabra) mas generalesque las que estamos considerando aquı. Efectivamente, es frecuente que enaplicaciones a la fısica se haga uso del teorema sobre —por ejemplo— un cilindrode altura finita, que tampoco es una variedad con frontera a causa de las doscircunferencias que bordean sus “tapas”. Podrıamos considerar como variedadcon frontera al cilindro menos dichas circunferencias, pero esto no ayuda enmucho, pues si tenemos una 2-forma definida en un entorno del cilindro surestriccion al cilindro menos las circunferencias no tiene necesariamente soportecompacto (y nos gustarıa, pese a ello, justificar la formula de Stokes en estecaso). Conviene introducir algunos conceptos.

Definicion 11.17 Sea S ⊂ Rm una variedad de dimension n sin frontera. SeaF (S) = S \ S. Diremos que un punto p ∈ F (S) es un punto frontera regularde S si existe una carta X : U −→ V de Rn alrededor de p (de coordenadasx1, . . . , xm) de modo que S ∩ V esta formado por los puntos de coordenadasxn+1 = · · · = xm = 0, xn < 0, mientras que los puntos de F (S) ∩ V son los decoordenadas xn = xn+1 = · · · = xm = 0. Llamaremos ∂S al conjunto de puntosfrontera regulares de S.

11.5. El teorema de Stokes con singularidades 71

Obviamente S ∪ ∂S es una variedad con frontera. El conjunto F (S) \ ∂S escerrado en Rm. Sus puntos se llaman puntos frontera singulares.

Por ejemplo, si S es un cilindro abierto en R3, sus puntos frontera singularesson los de las dos circunferencias que limitan sus tapas. Nuestra intencion esprobar el teorema de Stokes para una variedad S cuyos puntos frontera singu-lares formen un conjunto pequeno en el sentido de la teorıa de la medida. Asu vez, la idea es modificar cada forma en un entorno suficientemente pequenodel conjunto de puntos singulares para hacer aplicable el teorema de Stokes queconocemos y despues hacer un paso al lımite.

Una sucesion fundamental de entornos de un cerrado E ⊂ Rm es una familiade abiertos Wk∞k=1 que contienen a E tal que si V es un abierto y E ⊂ V ,entonces Wk ⊂ V para todo k suficientemente grande.

Supongamos que E es el conjunto de puntos singulares de una variedad Sy que Wk∞k=1 es una sucesion fundamental de entornos de E. Para cada k,tomemos una funcion gk que se anule en un entorno de E y valga 1 fuera deWk.De este modo, si ω es una n−1-forma definida en un entorno de S, la forma gkωcoincide con ω salvo en Wk y tiene soporte compacto en S ∪∂S, luego podemosaplicarle el teorema de Stokes:

∫

∂S

gkω =

∫

S

d(gkω) =

∫

S

gk dω +

∫

S

dgk ∧ ω. (11.10)

El paso siguiente es tomar lımites cuando k tiende a infinito, y el punto masdelicado es estudiar el comportamiento del ultimo termino. Recogeremos en unadefinicion todo lo que necesitamos:

Definicion 11.18 Sean E un subconjunto cerrado de Rm y S ⊂ Rm una varie-dad sin frontera de dimension n. Diremos que E es despreciable para S si existeun abierto W en Rm que contiene a E y una sucesion fundamental Wk∞k=1 deentornos de E tales que W k ⊂W y una sucesion gk∞k=1 de funciones de claseC1 en W tales que

a) 0 ≤ gk ≤ 1, gk se anula en un entorno de E y vale 1 fuera de Wk.

b) Si ω es una n− 1-forma de clase C1 en W , entonces dgk ∧ ω es integrableen W ∩ S y, si llamamos µk a la medida signada en S definida por suintegral, entonces

lımk

|µk|(W ∩ S) = 0.

Con esta definicion es facil probar:

Teorema 11.19 Sea S ⊂ Rm una variedad de dimension n sin frontera. Sea ωuna n − 1-forma de clase C1 en un abierto de Rm que contenga a S y tal quela interseccion con S del soporte de ω sea compacta. Supongamos:

a) Si E es la interseccion del conjunto de puntos frontera singulares de S conel soporte de ω, entonces E es despreciable para S.


b) Las formas dω en S y ω en ∂S son integrables.

Entonces∫

S

dω =

∫

∂S

ω.

Demostracion: Sean W , Wk∞k=1 y gk∞k=1 segun la definicion de con-junto despreciable. Notemos que las funciones gk se pueden considerar definidasen Rm. Entonces gkω es nula en un entorno de E, de donde se sigue facilmenteque el soporte de su restriccion a S ∪ ∂S es compacto. Aplicando el teorema deStokes a esta variedad con frontera obtenemos (11.10). Ahora notamos que

∣

∣

∣

∣

∫

∂S

ω −∫

∂S

gkω

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∫

∂S

(1 − gk)ω

∣

∣

∣

∣

≤∫

Wk∩∂Sd|µω| = |µω|(Wk ∩ ∂S),

donde µω es la medida definida por la integral de ω. Puesto que la interseccionde los conjuntos Wk ∩ ∂S es vacıa y las medidas son finitas, el teorema 8.20 nosda que

lımk

∫

∂S

gkω =

∫

∂S

ω.

(Podemos suponer que los conjuntos Wk son decrecientes.) Igualmente se llegaa que

lımk

∫

S

gk dω =

∫

S

dω.

Finalmente:∣

∣

∣

∣

∫

S

dgk ∧ ω∣

∣

∣

∣

≤∫

S∩Wd|µk| = |µk|(W ∩ S),

y por la definicion de conjunto despreciable el ultimo termino tiende a 0. To-mando lımites en (11.10) obtenemos la formula del enunciado.

Evidentemente, este teorema es de escaso valor sin una caracterizacion acep-table de los conjuntos despreciables. Es claro que todo subconjunto cerrado deun conjunto despreciable para una variedad S es tambien despreciable.

Teorema 11.20 Sean E y F dos subconjuntos compactos despreciables parauna variedad S ⊂ Rn sin frontera. Entonces E ∪ F tambien es despreciable.

Demostracion: Sean W , Wk∞k=1, gk∞k=1 segun la definicion de con-junto despreciable (para E) y sean W ′, W ′

k∞k=1, g′k∞k=1 los analogos para F .Basta tomar

W ′′ =W ∪W ′, W ′′k =Wk ∪W ′

k, g′′k = gkg′k.

Es claro que estos conjuntos y funciones prueban que E ∪F es despreciable.Para la ultima condicion observamos que

d(gkg′k) ∧ ω = g′k dgk ∧ ω + gk dg

′k ∧ ω.

Enunciamos el teorema siguiente en el caso en que la variedad S es un abiertoen Rn porque es el de mayor interes en la practica, pero afinando un poco elargumento se generaliza a abiertos en variedades arbitrarias.

11.5. El teorema de Stokes con singularidades 73

Teorema 11.21 Sea S un abierto en Rn y E un subconjunto compacto de R

n

tal que9 existe un cubo cerrado Q de dimension m ≤ n − 2 y una aplicacionh : U −→ Rn de clase C1, donde U es un entorno de Q y h[Q] = E. EntoncesE es despreciable para S.

Demostracion: En primer lugar observamos que podemos suponer quem = n − 2, pues en caso contrario la aplicacion f se puede componer con laproyeccion desde un cubo de dimension superior. Ası mismo, componiendo conuna aplicacion lineal podemos suponer que Q = [0, 1]n−2

Un sistema fundamental de entornos de E lo forman los conjuntos

Wk = x ∈ Rn | d(x,E) < 2/k, k = 1, 2, . . .

Consideramos concretamente la distancia inducida por ‖ ‖∞ en Rn. Tome-mos una funcion φ : Rn −→ [0, 1] de clase C∞ que se anule sobre los puntos con‖x‖∞ ≤ 1/2 y valga 1 sobre los puntos con ‖x‖∞ ≥ 1. Para cada natural k > 0sea φk(x) = φ(kx). Si C es una cota de las derivadas parciales de φ en Rn, esclaro que para todo x ∈ Rn se cumple ‖Diφk(x)‖∞ ≤ kC. Observar que la cotaC solo depende de n.

Sea I = l ∈ Zn | d(l/2k,E) ≤ 1/k. Claramente se trata de un conjuntofinito. Definimos

gk(x) =∏

l∈Iφk

(

x− l

2k

)

.

La funcion gk es de clase C∞. Veamos que se anula en un entorno de E,concretamente en el de los puntos x ∈ Rn tales que d(x,E) < 1/4k. Dadouno de estos puntos x, existe l ∈ Zn tal que d(x, l/2k) ≤ 1/2k (la coordenadali es la parte entera de 2kxi). Claramente d(l/2k,E) < 1/k, luego l ∈ I yφk(x− l/2k) = 0, y en consecuencia gk(x) = 0, como querıamos probar.

Veamos ahora que gk vale 1 fuera deWk. En efecto, si d(x,E) ≥ 2/k y l ∈ I,es decir, d(l/2k,E) ≤ 1/k, entonces d(x, l/2k) > 1/k, luego φk(x− l/2k) = 1 yası gk(x) = 1.

El motivo de toda esta construccion es garantizar que las funciones gk cum-plen una condicion adicional, y es que sus derivadas parciales estan acotadaspor C1k, donde C1 es una constante que solo depende de n. En efecto, tomemosun punto x ∈ Rn alrededor del cual las derivadas de gk no sean identicamentenulas, lo que implica que ‖x − l0/2k‖∞ ≤ 1/k para un cierto l0 ∈ I. De losfactores que componen gk, todos seran nulos en un entorno de x excepto a losumo los correspondientes a vectores l ∈ I tales que ‖x − l/2k‖∞ ≤ 1/k, peroentonces ‖l− l0‖∞ ≤ 4, y es facil ver que hay a lo sumo 9n puntos ası. Al derivargk obtenemos una suma de 9n terminos, cada uno de los cuales es un productode la derivada de una funcion φk(x− l/2k) por otras funciones de este tipo sinderivar. Estas estan acotadas por 1 y la primera por Ck, luego cada derivadade gk esta acotada por C1k, donde C1 es una constante que solo depende de n.

9En el caso n = 2 el teorema se cumple siE consta de un solo punto. Algunos razonamientoshan de ser sustituidos por otros mas simples.


Tomando W = Rn tenemos comprobada la condicion a) de la definicion de

conjunto despreciable.

Consideremos ahora una n− 1-forma ω de clase C1 en Rn. Sera de la forma

ω =n∑

j=1

fj dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxn.

Entonces dgk ∧ ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn, donde la funcion

f =n∑

j=1

(−1)j+1fjDjgk

esta acotada por C2k, y la constante C2 solo depende de n (las funciones fj seacotan en W 1). Puesto que f tiene soporte compacto, la n-forma dgk ∧ ω esintegrable en Rn y determina la medida dada por µk(A) =

∫

Af dm. Entonces

|µk|(Rn) =∫

Rn

|f | dm ≤ C2km(Wk). (11.11)

Ahora estimaremos la medida de Wk para concluir que la expresion anteriortiende a 0 cuando k tiende a infinito. Dividimos el cubo Q en kn−2 cubos delado 1/k. Como las normas en Rn son equivalentes, la distancia euclıdea entredos puntos del mismo cubo esta acotada por C3/k, para una cierta constante k.Aplicando el teorema del valor medio a cada funcion coordenada de h concluimosque si u y v estan en el mismo cubo, entonces ‖h(u)−h(v)‖∞ ≤ C4/k. Si x ∈ Wk,entonces x dista menos de 2/k de un punto de E, el cual dista menos de C4/kde la imagen del centro de uno de los kn−2 cubos, luego Wk esta contenido enla union de kn−2 bolas de radio C5/k (para cualquier norma, por ejemplo laeuclıdea), luego

m(Wk) ≤ kn−2C6

kn=C6

k2,

donde las constantes C3, . . . , C6 dependen de n, f y ω, pero no de k. Conectandoesto con (11.11) llegamos a que |µk|(Rn) ≤ C7/k, que tiende a 0 con k.

En vista de lo anterior tenemos la version siguiente del teorema de Stokes,que incluye como caso particular el de los cubos que ya habıamos probado:

Teorema 11.22 (Teorema de Stokes con singularidades) Consideremosun abierto S en Rn tal que el conjunto de puntos singulares de su fronterasea union de un numero finito de uniones de imagenes de cubos cerrados de di-mension ≤ n− 2 por aplicaciones de clase C1. Sea ω una n− 1-forma definidaen un entorno de S tal que la interseccion con S de su soporte sea compacta ylas formas ω y dω sean integrables en S y ∂S respectivamente. Entonces

∫

S

dω =

∫

∂S

ω.

Evidentemente, todas las consecuencias del teorema de Stokes que hemosvisto en las secciones anteriores valen ahora en el contexto de este teorema.

11.6. Apendice: Algunas formulas vectoriales 75

11.6 Apendice: Algunas formulas vectoriales

Aunque el contenido de esta seccion no tiene que ver directamente con el teo-rema de Stokes, hemos preferido posponer hasta aquı los resultados que siguenpara exponerlos una vez estamos familiarizados con las principales operacionesvectoriales: gradiente, divergencia y rotacional. Los resultados principales seranlas expresiones de estas operaciones en sistemas de coordenadas distintas de lascartesianas, pero antes recogemos algunas formulas de interes.

Coordenadas curvilıneas ortogonales Sea X : U −→ S una aplicacion declase C1 entre dos abiertos de R3. Podemos considerar a S como una variedaddiferenciable y a X como una carta de S. Entonces X−1 es un sistema decoordenadas que a cada punto p = (x1, x2, x3) ∈ S le asigna unas coordenadasu = (u1, u2, u3). Supondremos que X es ortogonal, en el sentido de que loscoeficientes gij del tensor metrico son nulos cuando i 6= j. Recordemos que

gij(u) = DiX(u)DjX(u). Abreviaremos hi(u) =√

gii(u) = ‖DiX(u)‖.La ortogonalidad de X equivale a que los vectores DiX(u) forman en cada

punto p = X(u) una base ortogonal de Tp(S). Por consiguiente los vectoresvi(u) = h−1

i (u)DiX(u) forman una base ortonormal, a la que nos referiremossimplemente como la base asociada al sistema de coordenadas dado.

Si llamamos u = X−1, su matriz jacobiana es Ju(p) = JX−1(u(p)). Puestoque (gij) = (JX)(JX)t es una matriz diagonal, lo mismo le sucede a su inversa,luego (Ju)(Ju)t es diagonal en cada punto. Mas concretamente:

∇ui∇uj =

g−1ii si i = j0 si i 6= j

De aquı podemos obtener las coordenadas de los gradientes ∇ui en la base(v1, v2, v3). En efecto, si

∇ui = αi1v1 + αi2v2 + αi3v3 =αi1h1

D1X +αi2h2

D2X +αi3h3

D3X,

aplicando la base dual duj resulta que

αij(p)

hj(p)= duj(p)(∇ui(p)) = ∇uj(p)∇ui(p),

con lo que

∇ui =1

hivi. (11.12)

Consideremos ahora una funcion f : S −→ R de clase C1. Llamaremostambien f a su composicion conX . Mediante la regla de la cadena se compruebafacilmente que

∇f =

3∑

i=1

∂f

∂ui∇ui =

3∑

i=1

1

hi

∂f

∂uivi, (11.13)

que es la expresion del gradiente en en sistema de coordenadas considerado.


Consideremos ahora un campo vectorial en coordenadas curvilıneas

A = a1(u1, u2, u3)v1 + a2(u1, u2, u3)v2 + a3(u1, u2, u3)v3.

Vamos a calcular su divergencia. Supondremos que las coordenadas estanordenadas de modo que la base (v1, v2, v3) es positiva. Entonces v1 = v2 × v3,v2 = v3 × v1 y v3 = v1 × v2. Teniendo en cuenta (11.12) podemos escribir

A = a1h2h3(∇u2 ×∇u3)+ a2h1h3(∇u3 ×∇u1)+ a3h1h2(∇u1 ×∇u2). (11.14)

Calculamos divA aplicando (10.8), (10.10) y el hecho de que el rotacionalde un gradiente es nulo. El resultado es

∇(a1h2h3)(∇u2 ×∇u3) +∇(a2h1h3)(∇u3 ×∇u1) +∇(a3h1h2)(∇u1 ×∇u2).

Ahora aplicamos (11.13) teniendo en cuenta que un producto mixto con dosvectores iguales es nulo. Obtenemos

divA =

(

∂a1h2h3∂u1

+∂a2h1h3∂u2

+∂a3h1h2∂u3

)

(∇u1,∇u2,∇u3).

Finalmente observamos que (v1, v2, v3) = 1, lo que juntamente con (11.12)nos da

divA =1

h1h2h3

(

∂a1h2h3∂u1

+∂a2h1h3∂u2

+∂a3h1h2∂u3

)

.

Para calcular el rotacional de A partimos de (11.14) y aplicamos (10.9) juntocon el hecho de que el rotacional de un gradiente es nulo. Ası pues,

rotA = ∇(a1h1)×∇u1 +∇(a2h2)×∇u2 +∇(a3h3)×∇u3.

Aplicamos (11.13) junto con el hecho de que el rotacional de un gradiente esnulo.

rotA =∂a1h1∂u2

∇u2 ×∇u1 +∂a1h1∂u3

∇u3 ×∇u1

=∂a2h2∂u1

∇u1 ×∇u2 +∂a2h2∂u3

∇u3 ×∇u2

=∂a3h3∂u1

∇u1 ×∇u3 +∂a3h3∂u2

∇u2 ×∇u3.

Por ultimo aplicamos (11.12) y agrupamos los coeficientes de cada vi. Elresultado se recuerda mejor mediante la regla mnemotecnica

rotA =1

h1h2h3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

h1v1 h2v2 h3v3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1a1 h2a2 h3a3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

11.6. Apendice: Algunas formulas vectoriales 77

La relacion ∆f = div∇f nos da inmediatamente la expresion del laplaciano:

∆f =1

h1h2h3

(

∂

∂u1

(

h2h3h1

∂f

∂u1

)

+∂

∂u2

(

h1h3h2

∂f

∂u2

)

+∂

∂u3

(

h1h2h3

∂f

∂u3

))

.

Notemos que las formulas anteriores se reducen a las usuales en el caso delas coordenadas cartesianas, para las cuales h1 = h2 = h3 = 1. Existen variossistemas de coordenadas que ayudan con frecuencia en los calculos con vectores.

r

φ

θ

x

y

zCitaremos por ejemplo el caso de las coordenadasesfericas, definidas sobre el abierto

S = (x, y, z) ∈ R3 | x 6= 0.

En un entorno de cada punto vienen dadas por

X(r, θ, φ) = (r sen θ cosφ, r sen θ senφ, r cos θ).

Es facil ver que constituyen un sistema de coordenadasortogonales positivamente orientado con hr = 1, hθ = r y hφ = r sen θ.

Otro caso es el de las coordenadas cilındricas, definidas en el mismo abiertoy dadas por

X(r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z).

Claramente hr = 1, hθ = r, hz = 1.

Capıtulo XII

Cohomologıa de De Rham

La regla de Barrow reduce el problema de calcular la integral de una funcioncontinua cualquiera al calculo de una primitiva. En la practica existen funcionespara las cuales la determinacion de una primitiva puede ser muy complicado, eincluso puede ocurrir que dicha primitiva no admita una expresion en terminosde funciones “conocidas”, como senos, exponenciales, etc. y que por consiguientela citada regla, aunque pueda ser de utilidad, no resuelve completamente elproblema. No obstante, contamos con el hecho de que toda funcion continua enun intervalo tiene primitiva o, lo que es lo mismo, que toda 1-forma continuaf dx en un intervalo puede expresarse como dg, para una cierta 0-forma g.

La situacion es distinta en el caso general: no es cierto que toda k-forma ωsea la diferencial de una k − 1-forma, ni siquiera en el caso de 1-formas sobre1-variedades distintas de los intervalos. El teorema de Stokes hace que seainteresante determinar bajo que condiciones una forma es la diferencial de otra.Ademas, bajo este planteamiento caben problemas muy variados. Por ejemplo,un campo F en Rn es conservativo si y solo si es el gradiente de una funcion, locual equivale a que la 1-forma F d~r sea la diferencial de una 0-forma.

Definicion 12.1 Diremos que una k-forma ω es exacta si ω = dω′, para unacierta k − 1-forma ω′. Diremos que ω es cerrada si dω = 0.

Es obvio que una condicion necesaria para que una forma sea exacta es quesea cerrada, pues si ω = dω′ entonces dω = d(dω′)) = 0. Sucede que en muchoscasos esta simple condicion es tambien suficiente. En este capıtulo veremoslo mas basico de una importante teorıa que nos permite determinar bajo quecondiciones esto es ası.

12.1 Grupos de cohomologıa

Nota En las secciones siguientes, cuando hablemos de variedades diferencia-bles entenderemos que tienen cartas de clase C∞ y cuando digamos que unafuncion o una forma es diferenciable entenderemos que es de clase C∞.

79

80 Capıtulo 12. Cohomologıa de De Rham

Comenzamos con unas definiciones algebraicas que que se ajustan a la es-tructura de las algebras de Grassmann:

Definicion 12.2 Un modulo graduado sobre un anillo A es una suma directade A-modulos C =

⊕

k∈Z

Ck.

Los elementos de cada submodulo Ck se llaman homogeneos de grado k.

Un submodulo graduado de C es un modulo graduadoD tal queDk = Ck∩D.

Un homomorfismo graduado f : C −→ D (de grado d) entre modulos gra-duados es un homomorfismo de modulos tal que fk = f |Ck

: Ck −→ Dk+d paratodo entero k.

Un complejo es un par ordenado C = (C, ∂), donde C es un modulo graduadoy ∂ : C −→ C es un homomorfismo de grado ±1 tal que ∂ ∂ = 0. Si ∂ tienegrado −1 el complejo se dice directo y si el grado es 1 se dice inverso.

Un complejo directo puede verse tambien como una sucesion de modulos yhomomorfismos:

· · · ∂k+2−→ Ck+1∂k+1−→ Ck

∂k−→ Ck−1∂k−1−→ · · ·

de modo que ∂k+1 ∂k = 0 para todo k. Un complejo inverso es igual perocambiando el sentido de las flechas.

Ejemplo Si S es una variedad diferenciable, el algebra de Grassmann

Λ(S) =⊕

k∈Z

Λk(S)

es un espacio vectorial graduado (tomando Λk(S) = 0 para k < 0). Ademas ladiferencial exterior d es un homomorfismo de grado 1 en ΛS que lo convierte enun complejo inverso.

Notemos que todo complejo directo puede verse como un complejo inverso sinmas que cambiar los ındices, por lo que todo lo que vale para complejos directosvale para complejos inversos. La diferencia la marca unicamente la practica:del mismo modo que resultarıa artificial tratar al algebra de Grassmann comoun complejo directo, hay otros complejos que resultarıa artificial tratarlos comocomplejos inversos.

Es costumbre usar terminos distintos para referirse a los conceptos corres-pondientes a los complejos directos y a sus analogos en los complejos inversos.Para empezar, los modulos homogeneos de un complejo inverso se suelen repre-sentar con superındices Ck en lugar de con subındices Ck.

Dado un complejo C = (C, ∂), el homomorfismo ∂ recibe el nombre de ope-rador frontera en un complejo directo y operador cofrontera en un complejoinverso.

Los elementos de Ck (en un complejo directo) se llaman cadenas de dimen-sion k y los de Ck (en un complejo inverso) se llaman cocadenas de dimension k.

12.1. Grupos de cohomologıa 81

Los elementos de Zk = N(∂k) (el nucleo de ∂k) se llaman ciclos de di-mension k. Respectivamente, los elementos de Zk = N(∂k) se llaman cociclosde dimension k.

Los elementos de Fk = Im(∂k+1) (resp. Fk = Im(∂k−1)) se llaman fronteras

(resp. cofronteras) de dimension k.

La condicion ∂ ∂ = 0 implica que Fk ⊂ Zk (resp. F k ⊂ Zk). El modulocociente Hk(C) = Zk/Fk (resp. Hk(C) = Zk/F k) recibe el nombre de grupode homologıa (resp. grupo de cohomologıa) de dimension k. Dos (co)ciclos son(co)homologos si pertenecen al la misma clase de (co)homologıa.

Una vez entendida la cuestion de notacion, en lo que sigue desarrollaremosla teorıa en terminos de cohomologıa, pues las algebras de Grassmann son com-plejos inversos. Si C es un complejo, definimos

H(C) =⊕

k∈Z

Hk(C),

que es obviamente un modulo graduado.

Definicion 12.3 Sea S una variedad diferenciable. El grupo de cohomologıade dimension k del algebra de Grassmann Λ(S) recibe el nombre de grupo decohomologıa de De Rham de dimension k de la variedad S y se representa porHk(S). Llamaremos

H(S) =⊕

k∈Z

Hk(S).

Notemos que las cocadenas de dimension k son las k-formas, los cociclos sonlas k-formas cerradas y las cofronteras son las k-formas exactas. Los grupos decohomologıa son en este caso espacios vectoriales sobre R.

Si S es una variedad de dimension n es evidente que Hk(S) = 0 para k < 0y k > n. Los 0-cociclos son las funciones en S cuya diferencial es nula. Si Ses conexa son exactamente las funciones constantes y como F 0 = 0, concluimosque H0(S) ∼= R. Mas en general, es facil ver que si S tiene p componentesconexas entonces H0(S) ∼= R

p.

El objetivo de la teorıa que estamos desarrollando es calcular los grupos decohomologıa Hk(S) para 1 ≤ k ≤ n, pues si probamos que Hk(S) = 0 entoncessabemos que las k-formas exactas coinciden con las cerradas y tenemos ası unacaracterizacion sencilla de las primeras.

Definicion 12.4 Un homomorfismo de complejos φ : C −→ C′ es un homomor-

fismo de grado 0 tal que φ∂′ = ∂ φ, o equivalentemente, tal que los diagramassiguientes conmutan:

· · · −→ Ck−1 ∂k−1

−→ Ck∂k

−→ Ck+1 −→ · · ·

yφk−1

yφk

yφk+1

· · · −→ C′k−1 ∂′k−1

−→ C′k ∂′k

−→ C′k+1 −→ · · ·


Es claro que un homomorfismo φ envıa ciclos a ciclos y fronteras a fronte-ras, luego induce homomorfismos φk : Hk(C) −→ Hk(C′) o, equivalentemente,induce un homomorfismo de grado 0

φ : H(C) −→ H(C′).

Es inmediato que la composicion de homomorfismos de complejos es un ho-momorfismo de complejos ası como que φ ψ = φ ψ. Si φ es un isomorfismoentonces φ tambien lo es y (φ)−1 = φ−1. Si f : S −→ T es una aplicacion dife-renciable entre variedades, la retraccion f ♯ : Λ(T ) −→ Λ(S) es un homomorfismo

de complejos, que a su vez induce un homomorfismo f ♯ : H(T ) −→ H(S). Por

simplificar la notacion escribiremos f en lugar de f ♯.

Ejercicio: Sea S =⋃

i∈I

Si una union disjunta de variedades (entendiendo que cada

una de ellas es abierta y cerrada en S). Probar que H(S) ∼=∏

i∈I

H(Si).

Los difeomorfismos entre variedades inducen isomorfismos entre los gruposde cohomologıa de De Rham. Esto era de esperar. Sin embargo, vamos a probarque hay aplicaciones mucho mas generales que los difeomorfismos y que tambieninducen isomorfismos entre los grupos de cohomologıa, lo que nos permitirareducir el calculo de unas variedades a otras mas simples. Dedicamos a ello laseccion siguiente.

12.2 Homotopıas

Recordemos que tenemos definido el producto de una variedad sin fronterapor una variedad con o sin frontera. Claramente, el producto de una recta yuna circunferencia nos da una superficie cilındrica, mientras que el producto deuna recta y un cırculo nos da un cilindro solido (con o sin frontera, segun siel cırculo es cerrado o abierto). En general, dada una variedad S, llamaremoscilindro de S a la variedad producto R × S. Conviene pensar en R × S comoen infinitas copias de S “apiladas” una encima de otra, cada una a una alturat. Concretamente, la copia de altura t ∈ R es St = t × S. Es claro que St esuna variedad difeomorfa a S.

Cuando trabajemos con un cilindro R×S consideraremos unicamente cartasde la forma X = I ×X , donde I es la identidad en R y X es una carta en S.De este modo, X(t, u) =

(

t,X(u))

. En particular vemos que el primer vectorde la base canonica esta en todos los espacios tangentes:

e1 = D1X(t, u) ∈ T(t,p)(R× S).

Definicion 12.5 Dos aplicaciones f, g : S1 −→ S2 diferenciables entre dosvariedades son homotopicas si existe H : R × S1 −→ S2 diferenciable de modoque para todo p ∈ S1 se cumpla

H(0, p) = f(p), H(1, p) = g(p).

Se dice que la aplicacion H es una homotopıa entre f y g.

12.2. Homotopıas 83

Es decir, dos aplicaciones son homotopicas si una se puede transformar enla otra mediante una gradacion diferenciable.

Ejemplo Sea S la bola abierta de centro 0 y radio 2 en Rn menos su centro0. Se trata de un abierto en Rn y por lo tanto es una variedad. Sea f : S −→ Sla aplicacion identidad y sea g : S −→ S la aplicacion dada por g(x) = x/‖x‖.Ambas son homotopicas. Basta considerar la homotopıa

H(t, x) =tx

‖x‖ + (1− t)x.

Si fijamos x y hacemos variar t entre 0 y 1 vemos que H(t, x) recorre el seg-mento radial que va desde x hasta la circunferencia unidad. Ası, H transformaS0 en todo S (es la identidad), mientras que la imagen de S1 es la circunferen-cia. La homotopıa H aproxima paulatinamente la imagen de cada punto por laaplicacion f hasta su imagen por la aplicacion g.

El objetivo de esta seccion es probar que dos aplicaciones homotopicas en-tre variedades inducen la misma aplicacion entre los grupos de cohomologıa.La prueba es una generalizacion de un teorema de Poincare y necesita variosconceptos previos.

La evaluacion Sea S ⊂ Rm una variedad y V un campo de vectores tangentesen S, es decir, V : S −→ Rm es una funcion diferenciable y para cada p ∈ Sse cumple V (p) ∈ Tp(S). Entonces V induce una aplicacion lineal de grado −1i(V ) : Λ(S) −→ Λ(S) que a cada k-forma ω le asigna la k − 1-forma dada por

i(V )(ω)(p)(v1, . . . , vk−1) = ω(p)(V (p), v1, . . . , vk−1).

Convenimos que i(V )(f) = 0 para toda f ∈ Λ0(S).

Es claro que i(V )(ω)(p) ∈ Ak−1(Tp(S)), pero falta ver que i(V )(ω) es di-ferenciable. En principio i(V ) es una aplicacion lineal de Λ(S) en el algebrade todas las formas en S, no necesariamente diferenciables. Una comprobacionrutinaria nos da que si ω1 ∈ Λk(S), ω2 ∈ Λ(S), entonces1

i(V )(ω1 ∧ ω2) = i(V )(ω1) ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ i(V )(ω2).

Las aplicaciones lineales que cumplen esta relacion se llaman antiderivacio-nes. Otro ejemplo de antiderivacion es la diferencial exterior.

1En la definicion de ω1 ∧ω2 separamos los sumandos correspondientes a las permutacionesque dejan a V (p) entre las k primeras componentes y las que lo dejan entre las siguientes. Enel primer sumando sustituimos cada permutacion σ por permutacion σ que resulta de llevarV (p) a la primera posicion. El cambio de signo que sufre ω se compensa con el cambio designatura de σ a σ. Ası tenemos una suma sobre las permutaciones σ tales que σ(1) = 1.Identificandolas con las permutaciones de k+k′−1 elementos obtenemos i(V )(ω1)(p)∧ω2(p).Con el segundo sumando razonamos igual, salvo que llevamos V (p) a la posicion k+1. Ahora,al pasar de las permutaciones que cumplen σ(1) = k+1 a la permutacion correspondiente dek + k′ − 1 elementos la signatura varıa en (−1)k .


Para probar que i(V )(ω) es diferenciable en un punto p tomamos una cartaX alrededor de p. SiW es el rango deX , notamos que i(V |W )(ω|W ) coincide coni(V )(ω)|W , luego basta probar que la primera es diferenciable. Ahora bien, unaforma en W se expresa en funcion del producto exterior a partir de 0-formas ylas diferenciales de las coordenadas dxi y al ser una antiderivacion i(V |W )(ω|W )quedara en funcion de las imagenes por i(V |W ) de estas formas en particular,luego basta ver que i(V |W )(dxi) es diferenciable (para las 0-formas es obvio,porque la imagen es nula). Ahora bien,

i(V |W )(dxi)(p) = dxi(p)(V (p)) = Vi(p),

donde V (X(x)) =n∑

i=1

Vi(X(x))DiX(x). El teorema de la funcion implıcita

justifica que las funciones X Vi son diferenciables (luego las Vi tambien).

La antiderivacion i(V ) se llama evaluacion en V .

En particular, en un cilindro R× S podemos considerar el campo constanteigual a e1. Si S se puede cubrir con una sola carta X y llamamos (t, x1, . . . , xn)a las coordenadas del cilindro, tenemos que i(e1)(dt) = 1, i(e1)(dxi) = 0. Estasrelaciones determinan a i(e1). Concretamente:

i(e1)(f dt ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik) = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ,

i(e1)(f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ) = 0.

Las inclusiones Consideremos ahora las inclusiones jt : S −→ R × S dadaspor jt(p) = (t, p). Obviamente son diferenciables, por lo que tienen asociadas

las retracciones j♯t : Λ(R× S) −→ Λ(S), que son homomorfismos de grado 0. SiS se puede cubrir por una sola carta tenemos

j♯t (f) = jt f, j♯t (dt) = 0, j♯t (dxi) = dxi,

con lo que quedan completamente determinadas.

El operador integral Finalmente, dados dos numeros reales a < b, definimosuna aplicacion lineal Iba : Λ(R×S) −→ Λ(S) de grado 0 que a cada ω ∈ Λk(R×S)le asigna

Iba(ω)(p)(v1, . . . , vk) =

∫ b

a

j♯t (ω)(p)(v1, . . . , vk) dt.

Fijado un punto p ∈ S y una carta X a su alrededor, la restriccion de ω alrango de I ×X se expresa como suma de k-formas de tipo

η = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ,

donde admitimos la posibilidad de que i1 = 0 con el convenio de que x0 = t.Si aparece dt, entonces j♯t (η) = 0 y el termino no contribuye en nada. En casocontrario

j♯t (η)(p)(v1, . . . , vk) = f(t, p)(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )(v1, . . . , vk),


luego

Iba(η)(p)(v1, . . . , vk) =

(

∫ b

a

f(t, p) dt

)

(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)(v1, . . . , vk),

y en definitiva

Iba(η) =

(

∫ b

a

f dt

)

dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

El teorema 8.57 implica que Iba(η) es una forma diferenciable. En generalIba(ω) (restringida al rango de I ×X) es una suma de formas de este tipo, luegoefectivamente Iba(ω) ∈ Λ(S). Evidentemente Iba es lineal. Veamos que conmutacon la diferencial exterior, es decir: d Iba = Iba d.

Sea p ∈ S y X una carta alrededor de p. Es claro que el valor que tomaen p la imagen de una forma por cualquiera de los dos miembros sera la mismaque la imagen de la restriccion de dicha forma al rango de la carta I ×X por eloperador integral en dicho abierto. Ası pues, podemos trabajar con una formadefinida en el rango de I × X . Como ambos miembros son lineales podemostomarla de tipo

ω = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

Si i1 = 0, es decir, si ω contiene a dt, entonces dω se expresara como suma deformas, todas ellas con dt, luego tanto si hacemos actuar primero la diferencialcomo el operador integral obtenemos la forma nula. Supongamos, pues, que ωno contiene a dt. Entonces, tanto en un orden como en otro, llegamos a

∑

i6=ij

(

∫ b

a

∂f

∂xidt

)

dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

Ahora probamos una igualdad que relaciona todas las funciones que acaba-mos de introducir y a partir de la cual se deducira facilmente el resultado quequeremos probar sobre homotopıas. Veamos que

j♯b − j♯a = d i(e1) Iba + i(e1) Iba d. (12.1)

Puesto que el operador integral conmuta con la diferencial, podemos escribirel segundo miembro como (d i(e1) + i(e1) d) Iba. Por el argumento habitualpodemos restringirnos al rango de una carta y trabajar con una forma

ω = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

A su vez hemos de distinguir si aparece dt o no. Si no aparece tenemos qued(i(e1)(ω)) = 0 y

i(e1)(dω) =∂f

∂tdxi1 ∧ · · · ∧ dxik .


Al aplicar Iba obtenemos(

∫ b

a

∂f

∂tdt

)

dxi1 ∧ · · · ∧dxik = (jb f − fa f)dxi1 ∧ · · · ∧dxik = j♯b(ω)− j♯a(ω).

Supongamos ahora que ω = f dt ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik . Entonces

dω = −∑

i6=ij

∂f

∂xidt ∧ dxi ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik ,

luego

i(e1)(dω) = −∑

i6=ij

∂f

∂xidxi ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik

y

d(i(e1)(ω)) =∑

i6=ij

∂f

∂xidxi ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik +

∂f

∂tdt ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik .

Al sumar estos dos terminos nos queda solo el ultimo sumando de la ultimaigualdad y, como tiene dt, al aplicar Iba queda la forma nula. Ası mismo es claro

que j♯b(ω)− j♯a(ω) = 0.

Ahora conviene introducir el concepto siguiente:

Definicion 12.6 Sean φ, ψ : C −→ C′ homomorfismos de complejos inversos.Diremos que son homotopicos si existe un homomorfismo h : C −→ C′ de grado−1 tal que φ− ψ = h∂′ + ∂h. Equivalentemente, tal que

φk − ψk = ∂khk+1 + hk∂k−1.

En tal caso diremos que h es una homotopıa2 entre φ y ψ.

Es evidente que si φ y ψ son homotopicos entonces ψ−φ transforma cocicloses cofronteras, por lo que φ = ψ.

Casi tenemos probado el teorema siguiente:

Teorema 12.7 Si f, g : S1 −→ S2 son aplicaciones homotopicas entre varieda-des, entonces f ♯, g♯ : Λ(S2) −→ Λ(S1) son homomorfismos homotopicos.

Demostracion: Sea H : R×S1 −→ S2 una homotopıa entre f y g. Defini-mos h = H♯ i(e1) I10 . Claramente h : Λ(S2) −→ Λ(S1) es un homomorfismode grado −1. Componiendo con H♯ en ambos miembros de (12.1) obtenemos

H♯ (j♯1 − j♯0) = H♯ d i(e1) I10 +H♯ i(e1) I10 d.

El primer miembro es (j1 H)♯ − (j0 H)♯ = g♯ − f ♯. Teniendo en cuentaque H♯ conmuta con la diferencial, el segundo miembro es d h+ h d, luego hes una homotopıa.

2Las homotopıas entre homomorfismos de complejos directos tienen grado 1


Definicion 12.8 Sean S1 ⊂ S2 variedades diferenciables. Una retraccion de S2

en S1 es una aplicacion r : S2 −→ S1 diferenciable tal que r|S1 sea la identidad.En tal caso se dice que S1 es un retracto de S2. Si la retraccion es homotopicaa la identidad en S2 entonces se dice que la variedad S1 es un retracto pordeformacion3 de S2.

Informalmente, S1 es un retracto por deformacion de S2 si S2 puede defor-marse gradualmente hasta quedar aplastado sobre S1 y ello sin mover ningunode los puntos de S1.

Por ejemplo, la esfera unitaria de dimension n es un retracto de la bola(abierta o cerrada) de dimension n+1 de centro 0 y radio 2 menos el origen, taly como muestra el ejemplo que hemos visto de homotopıa. En realidad es claroque los centros y los radios son irrelevantes: cualquier bola menos su centro sepuede retraer homotopicamente hasta cualquier esfera concentrica contenida enella. La deformacion consiste en agrandar paulatinamente el agujero que dejael centro y contraer los puntos exteriores a la esfera.

Una superficie cilındrica puede retraerse hasta una circunferencia (sin masque aplastar verticalmente sus paredes). Un toro solido puede “estrangularse”hasta una circunferencia.

Las variedades que pueden retraerse a un punto se llaman contractibles.Entre ellas se encuentran Rn, las bolas abiertas y cerradas y, mas en general,todas las variedades cubribles por una sola carta con dominio contractible. Encambio, una esfera no es contractible (como veremos enseguida).

El interes de todo esto radica en que los retractos por deformacion tienen lamisma cohomologıa:

Teorema 12.9 Sea S1 un retracto por deformacion de una variedad S2. En-tonces la inclusion i : S1 −→ S2 induce un isomorfismo i : H(S2) −→ H(S1).

Demostracion: Sea r : S2 −→ S1 una retraccion homotopica a la identidaden S2. Entonces i r = I|S1 , luego r i = I|H(S1). Por otra parte, r i, esdecir, r vista como aplicacion de S2 en S2, es homotopica a la identidad, luegoel teorema anterior nos da que r i = I|H(S2), luego i r = I|H(S2).

Estas relaciones prueban que i y r son biyectivas y mutuamente inversas.

Ası pues, si queremos conocer la cohomologıa de todas las variedades con-tractibles no tenemos mas que estudiar la mas simple de todas: el punto.

Teorema 12.10 Sea S una variedad contractible. Entonces

H0(S) ∼= R, Hk(S) = 0 para k 6= 0.

3Estos conceptos tienen interes para espacios vectoriales arbitrarios, considerando entoncesretracciones y homotopıas continuas, ya no diferenciables.


Demostracion: Segun lo dicho basta estudiar la cohomologıa de De Rhamde la 0-variedad S formada por un punto. La variedad tangente es trivial, luegoΛk(S) = 0 para k > 0 y consecuentemente todos los grupos de cohomologıa(salvo el primero) son triviales.4

Para terminar la seccion observamos que, tal y como habıamos afirmado,las esferas no son contractibles. Mas en general, ninguna variedad compactaorientable S sin frontera es contractible. En efecto, si S tiene dimension n,el teorema de Stokes implica que la diferencial de una n − 1-forma en S tieneintegral nula, pero el elemento de medida de S es una n-forma cuya integralno es nula, luego no es la diferencial de ninguna n − 1-forma, y obviamente escerrada, luego Hn(S) 6= 0.

12.3 Sucesiones exactas

Ya hemos visto como las homotopıas nos permiten relacionar los grupos decohomologıa de variedades distintas. Otra potente herramienta para relacionargrupos de cohomologıa son las sucesiones exactas:

Definicion 12.11 Diremos que una sucesion de homomorfismos de modulos

· · · φk−2−→ Mk−1φk−1−→ Mk

φk−→Mk+1φk+1−→ · · ·

es exacta en Mk si Imφk−1 = N(φk). Diremos que es exacta si lo es en todoslos modulos.

Notemos que la exactitud en M de una sucesion de la forma

Nα−→M −→ 0

equivale a que α sea suprayectiva (en situaciones como esta se entiende que laflecha sin nombre representa al homomorfismo nulo, pues no hay otra posibili-dad). Igualmente, la exactitud en M de una sucesion

0 −→Mα−→ N

equivale a que α sea inyectiva. Por consiguiente, una sucesion exacta de la forma

0 −→M −→ N −→ 0

nos da que M y N son isomorfos. Las situaciones de este tipo son las que hacenutiles a las sucesiones exactas. El resultado principal de esta seccion es un teo-rema que a partir de una sucesion exacta entre complejos nos permite construiruna sucesion exacta entre sus grupos de cohomologıa. Como aplicacion obten-dremos la cohomologıa de las esferas. Veamos primero un resultado auxiliar.

4Quiza el lector ponga en duda que los teoremas que hemos probado pensando en variedadesarbitrarias sean aplicables a un punto. Lo cierto es que ası es, pero, de todos modos, si S esun espacio contractible entonces la identidad es homotopica a una funcion constante c, pero

I = I|H(S) y ck = 0 para k > 0, todo ello sin hacer referencia a 0-variedades.

12.3. Sucesiones exactas 89

Teorema 12.12 Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de modulosy supongamos que sus filas son exactas.

Z ′1 φ′

−→ Z ′2 ψ′

−→ Z ′3−→ 0

y∂1

y∂2

y∂3

0 −→ Z1 −→φ

Z2 −→ψ

Z3

Entonces existe un homomorfismo de modulos ∂∗ : N(∂3) −→ Z1/ Im ∂1 tal quela sucesion

N(∂1)φ′′

−→ N(∂2)

ψ′′

−→ N(∂3)

δ∗−→ Z1/ Im∂1φ−→ Z2/ Im∂2

ψ−→ Z3/ Im∂3

es exacta, donde φ′′ y ψ′′ son las restricciones de φ′ y ψ′ a N(∂1) y N(∂2) y φ,ψ son los homomorfismos inducidos de forma natural.

Demostracion: Es facil comprobar que las aplicaciones φ′′, ψ′′, φ y ψestan bien definidas, ası como la exactitud de la sucesion en N(∂2) y Z2/ Im ∂2.

Para definir δ∗ tomamos c′3 ∈ N(∂3). Entonces existe c′2 ∈ Z ′2 tal quec′3 = ψ′(c′2). Como ψ(∂2(c′2)) = ∂3(ψ′(c′2)) = ∂3(c′3) = 0, existe un c1 ∈ Z1 talque φ(c1) = ∂2(c′2).

Es claro que c′2 es unico modulo N(ψ′) = Imφ′, luego ∂2(c′2) es unico moduloφ[Im ∂1], luego c1 es unico modulo Im ∂1.

Por lo tanto podemos definir δ∗(c′3) = c1 + Im ∂1. Es claro que, ası definido,es un homomorfismo de modulos. (Observar que en definitiva δ∗ se calculaeligiendo una antiimagen por ψ′, su imagen por ∂2 y una antiimagen por ψ.)

Es claro que Imψ′′ ⊂ N(δ∗). Si c′3 ∈ N(δ∗) entonces c1 = ∂1(c′1), paraun cierto c′1 ∈ Z ′

1, luego ∂2(c′2) = φ(c1) = φ(∂1(c′1)) = ∂2(φ′(c′1)), con loque c′2 − φ′(c′1) ∈ N(∂2) y ası c′3 = ψ′(c′2) = ψ′(c′2 − φ′(c′1)

)

+ ψ′(φ′(c′1))

=

ψ′(c′2 − φ′(c′1))

∈ Imψ′′.

Tambien es claro que Im δ∗ ⊂ N(φ). Si c1 + Im ∂1 ∈ N(φ) entonces tenemosque φ(c1) ∈ Im ∂2, digamos φ(c1) = ∂2(c′2), con c

′2 ∈ Z ′2. Sea c′3 = ψ′(c′2). Es

claro que c′3 ∈ N(∂3) y por construccion δ∗(c′3) = c1 + Im ∂1, luego concluimosque c1 + Im ∂1 ∈ Im δ∗.

He aquı el resultado que querıamos probar:

Teorema 12.13 Si 0 −→ Aφ−→ B

ψ−→ C −→ 0 es una sucesion exacta dehomomorfismos de complejos de grado 0 entonces existe un homomorfismo demodulos δ∗ : H(C) −→ H(A) de grado 1 tal que la sucesion siguiente es exacta:

· · · −→ Hk(A)φk

−→ Hk(B)ψk

−→ Hk(C)(δ∗)k−→ Hk+1(A)

φk+1

−→ Hk+1(B) −→ · · ·

Equivalentemente, tenemos el triangulo exacto

H(C)δ∗−→ H(A)

ψ տ ւφ

H(B)


Demostracion: Tenemos las sucesiones exactas

0 −→ Ck(A)φk

−→ Cn(B)ψk

−→ Ck(C) −→ 0,

para todo k ∈ Z.Basta comprobar que el diagrama siguiente se encuentra en las hipotesis del

teorema anterior.

Ck(A)/F k(A)φk

−→ Ck(B)/F k(B)ψk

−→ Ck(C)/F k(C)−→ 0

∂k

y ∂k

y ∂k

y

0 −→ Zk+1(A)φk+1

−→ Zk+1(B)ψk+1

−→ Zk+1(C)

(donde Z y F representan los grupos de cociclos y cofronteras de los complejos.)

Ciertamente la fila superior esta bien definida, ψk es suprayectiva y se cumpleImφk ⊂ N(ψk).

Si ψk(u + F k(

B))

= 0 entonces ψk(u) ∈ F k(C), luego ψk(u) = ∂k−1(v),para un cierto v ∈ Ck−1(C), que a su vez es de la forma v = ψk−1(w) conw ∈ Ck−1(B). Ası pues, ψk(u) = ∂k−1

(

ψk−1(w))

= ψk(

∂k−1(w))

, con loque u − ∂k−1(w) ∈ N(ψk). Por consiguiente existe un x ∈ Ck(A) tal queu− ∂k−1(w) = φk(x), luego u+ F k(B) = φk

(

x+ F k(A))

.

Esto prueba la exactitud de la fila superior. Es obvio que el diagrama con-muta, que φk+1 es inyectiva y que Imφk+1 ⊂ N(ψk+1).

Supongamos por ultimo que x ∈ N(ψk+1). Entonces x = φk+1(y) para uny ∈ Ck+1(A) y hay que probar que y ∈ Zk+1(A). Ahora bien, φk+2

(

∂k+1(y))

=

∂k+1(

φk+1(y))

= ∂k+1(x) = 0 (pues x es un ciclo). Como φk+2 es inyectivaresulta que ∂k+1(y) = 0, luego y es un ciclo.

El homomorfismo δ∗ recibe el nombre de homomorfismo de conexion de lasucesion exacta dada. Conviene recordar como actua: dado un cociclo de C,tomamos cualquier antiimagen por ψ, calculamos la cofrontera de esta, calcula-mos su antiimagen por φ y la clase del cociclo resultante es la imagen por δ∗ dela clase del cociclo de partida.

Veamos un ejemplo importante de aplicacion de este teorema:

Sea S una variedad diferenciable y U1, U2 dos abiertos en S de modo queS = U1 ∪ U2, U1 ∩ U2 6= ∅. Claramente, U1, U2, U1 ∩ U2 son variedadesdiferenciables. Consideramos las inclusiones

j1 : U1 ∩ U2 −→ U1, j2 : U1 ∩ U2 −→ U2, i1 : U1 −→M, i2 : U2 −→M.

A partir de ellas construimos una sucesion de aplicaciones lineales

0 −→ Λ(S)α−→ Λ(U1)⊕ Λ(U2)

β−→ Λ(U1 ∩ U2) −→ 0. (12.2)

Definimos α(ω) =(

i♯1(ω), i♯2(ω)

)

y β(ω1, ω2) = j♯1(ω1)− j♯2(ω2).


Representaremos las diferenciales de Λ(S), Λ(U1), Λ(U2) y Λ(U1 ∩ U2) me-diante d, d1, d2 y d12 respectivamente. Es claro que Λ(U1) ⊕ Λ(U2) es uncomplejo con el operador cofrontera dado por (d1 ⊕ d2)(ω1, ω2) = (d1ω1, d2ω2).Las aplicaciones α y β son homomorfismos de complejos (es decir, conmutancon las diferenciales), luego inducen aplicaciones lineales

α : H(S) −→ H(U1)⊕H(U2), β : H(U1)⊕H(U2) −→ H(U1 ∩ U2).

Veamos que la sucesion (12.2) es exacta, con lo que podremos aplicarle elteorema 12.13. En primer lugar probamos que β es suprayectiva. Fijemos unaparticion de la unidad p1, p2 en S subordinada al cubrimiento U1, U2, es decir,p1 + p2 = 1, p1 ≺ U1, p2 ≺ U2.

Tomemos ω ∈ Λ(U1 ∩ U2). La funcion i♯1(p2) esta definida en U1 y se anula

en un entorno de cada punto de U1 \ U2, luego la forma ω1 =(

i♯1(p2))

ω sepuede extender a U1 haciendola nula en U1 \ U2. Similarmente tenemos ω2 =(

i♯2(p2))

ω ∈ Λ(U2). Es inmediato comprobar que ω = β(ω1,−ω2).

La inyectividad de α es obvia: si α(ω) = 0 entonces ω se anula en U1 y enU2, luego se anula en S.

Es claro que α β = 0, luego Imα ⊂ Nβ. Tomemos ahora (ω1, ω2) ∈ Nβ.Entonces ω1(p) = ω2(p) para todo p ∈ U1 ∩ U2 y consecuentemente podemosdefinir ω ∈ Λ(S) que extienda simultaneamente a ω1 y a ω2, pero esto equivalea decir que α(ω) = (ω1, ω2).

Ası pues, el teorema 12.13 nos da la existencia de un homomorfismo δ∗ degrado 1 que hace conmutativo el triangulo

H(U1 ∩ U2)δ∗−→ H(S)

β տ ւα

H(U1)⊕H(U2)

En otras palabras, tenemos una sucesion exacta

· · · −→ Hk(S)α−→ Hk(U1)⊕Hk(U2)

β−→ Hk(U1 ∩ U2)δ∗−→ Hk+1(S) −→ · · ·

Esta sucesion se conoce como la sucesion de Mayer-Vietoris de S respectoal cubrimiento (U1, U2).

Ejemplo Para n ≥ 1, sea Sn = x ∈ Rn+1 | ‖x‖ = 1, es decir, la esfera de

dimension n. Vamos a calcular su cohomologıa.Fijemos 0 < ǫ < 1 y consideremos los abiertos

U = x ∈ Sn | xn+1 > −ǫ, V = x ∈ Sn | xn+1 < ǫ.

Los puntos de Sn+1 con xn+1 = 0 forman el ecuador de la esfera, el cual di-vide a la misma en dos hemisferios, correspondientes a xn+1 ≤ 0 y xn+1 ≥ 0 res-pectivamente. Los abiertos U y V cubren cada uno un hemisferio extendiendose


un poco mas alla del ecuador. Podemos formar la sucesion de Mayer-Vietorisde Sn asociada al cubrimiento (U, V ):

· · · −→ Hk(Sn) −→ Hk(U)⊕Hk(V ) −→ Hk(U ∩ V ) −→ Hk+1(Sn) −→ · · ·

Es facil ver que U y V son contractibles. Por ejemplo, para contraer U hastael polo Norte basta acercar paulatinamente a 1 la coordenada xn+1 de cadapunto. Por otro lado, U ∩ V se puede contraer hasta el ecuador disminuyendopaulatinamente la coordenada xn+1 hasta hacerla nula. Tambien es claro queel ecuador de Sn es difeomorfo a Sn−1 (entendiendo que S0 esta formada pordos puntos). Teniendo en cuenta estas consideraciones, la sucesion de Mayer-Vietoris se reduce a

· · · −→ Hk(Sn) −→ Hk(p)⊕Hk(p) −→ Hk(Sn−1) −→ Hk+1(Sn) −→ · · ·

donde p representa a una variedad de dimension 0 (un punto). El grupo Hk(p)es distinto segun si k = 0 o si k > 0. Para k = 0 tenemos

0 −→ R −→ R2 −→ H0(Sn−1) −→ H1(Sn) −→ 0,

y para k > 0 tenemos

0 −→ Hk(Sn−1) −→ Hk+1(Sn) −→ 0.

A partir de la primera sucesion, un simple calculo de dimensiones nos da larelacion dimH1(Sn) = dimH0(Sn−1)− 1, con lo que

dimH1(Sn) =

1 si n = 10 si n > 1

La segunda sucesion nos da

dimHk+1(Sn) = dimHk(Sn−1), para k > 1.

A partir de aquı, una simple induccion prueba que

dimHk(Sn) =

1 si k = 0 o k = n0 si 1 ≤ k ≤ n− 1

Este es el mejor resultado que podıamos obtener, teniendo en cuenta que yasabıamos que Hn(Sn) 6= 0.

Ejercicio: Calcular la cohomologıa de un toro.

Ejercicio: Calcular la cohomologıa de un cırculo abierto con n agujeros. Probar queel grupo H1 de R

2 con infinitos agujeros tiene dimension infinita.

Veamos un ultimo ejemplo mas sofisticado. Sea J : S −→ S una involucionen una variedad, es decir, un difeomorfismo tal que J J sea la identidad. Elcaso tıpico es J : Sn −→ Sn dado por J(p) = −p.


Entonces J♯ : Λ(S) −→ Λ(S) es un automorfismo con la misma propiedad:J♯ J♯ = I. Podemos descomponer Λ(S) = Λ+(S)⊕ Λ−(S), donde

Λ+(S) = ω ∈ Λ(S) | J♯(ω) = ω, Λ−(S) = ω ∈ Λ(S) | J♯(ω) = −ω.

En efecto, basta tener en cuenta que

ω =ω + J♯(ω)

2+ω − J♯(ω)

2.

Estos dos subespacios son estables para la diferencial, luego podemos verloscomo complejos inversos, y es claro entonces que H(S) = H+(S) ⊕ H−(S),donde

H+(S) = α ∈ H(S) | J(α) = α, H−(S) = α ∈ H(S) | J(α) = −α.

Ejemplo Vamos a calcular Hk+(S

n) y Hk−(S

n). Obviamente son todos nulosexcepto los correspondientes a k = 0, n. En cada caso, uno de los dos sera nuloy el otro tendra dimension 1. Solo hemos de decidir cual es cual. Para k = 0es obvio: la aplicacion antıpoda J deja invariantes a las funciones constantes,luego H0

+(Sn) = R y H0

−(Sn) = 0.

Para k = n sabemos que el elemento de medida dm es un n-cociclo conintegral no nula y por lo tanto no es una cofrontera. Por consiguiente la clasede cohomologıa de dm es una base de Hn(Sn). Hemos de ver si esta en Hn

+(Sn)

o en Hn−(S

n). Dado p ∈ Sn y v1, . . . , vn ∈ Tp(Sn), calculamos

J♯(dm)(p)(v1, . . . , vn) = dm(

J(p))(

dJ(p)(v1), . . . , dJ(p)(vn))

.

Podemos considerar a J definida en todo Rn+1. La aplicacion J en S es larestriccion de esta, luego dJ en S es la restriccion de dJ en Rn+1, pero J eslineal, luego dJ(p) = J , para todo p ∈ R

n, luego en definitiva dJ(p)(v) = −v.Por consiguiente J♯(dm)(p) = (−1)ndm

(

J(p))

.

Notar que la igualdad anterior tiene sentido porque Sn tiene el mismo espaciotangente en dos puntos antıpodas. Sin embargo, es facil ver que la orientacionde Tp(S

n) es la opuesta de la de TJ(p)(Sn), por lo que dm

(

J(p))

= −dm(p). En

resumen obtenemos que J♯(dm) = (−1)n+1dm, con lo que

H+(Sn) =

R si n es impar0 si n es par

H−(Sn) =

0 si n es imparR si n es par

El interes de estos grupos de cohomologıa se debe a lo siguiente:

Teorema 12.14 Sea π : S −→ P un difeomorfismo local entre variedades, esdecir, π es diferenciable y suprayectiva y todo punto de S tiene un entornoabierto V tal que π[V ] es abierto en P y la restriccion de π a V es un di-feomorfismo en su imagen. Sea J una involucion en S y supongamos quepara todo p ∈ P se cumple π−1(p) = q, J(q), para cierto q ∈ S. EntoncesHk(P ) = Hk

+(S).


Demostracion: Basta probar que π♯ : Λ(P ) −→ Λ+(S) es un isomorfismo.Puesto que J π = π, tenemos que π♯ J♯ = π♯, luego la imagen de π♯ (que enprincipio estarıa en Λ(S)) esta en Λ+(S).

Para probar que es inyectiva tomemos ω ∈ Λk(P ) no nula y veamos que suimagen es no nula. Tenemos que existe p ∈ P y v1, . . . , vk ∈ Tp(P ) de modoque ω(p)(v1, . . . , vk) 6= 0. Sea p = π(q), con q ∈ S. El hecho de que π seaun difeomorfismo local se traduce en que dπ(q) es un isomorfismo, con lo queexisten vectores w1, . . . , wk tales que dπ(q)(wi) = vi. Es claro entonces que

π♯(ω)(q)(w1, . . . , wk) = ω(p)(v1, . . . , vk) 6= 0,

luego π♯(ω) 6= 0.Tomemos ahora ω ∈ Λk+(S) y veamos que tiene una antiimagen. Fijemos un

punto p ∈ P . Sea q ∈ S tal que π(q) = p. Sea V un entorno de q en el cual πsea un difeomorfismo. Sea ωp = (π|−1

V )♯(ω|π[V ]), que es una k-forma en π[V ].Veamos que ωp no depende de ninguna de las elecciones que hemos hecho

para construirla. Si p′ es cualquier punto en π[V ] y q′ es su antiimagen en V ,entonces

ωp(p′)(v1, . . . , vk) = ω(q′)(dπ(q′)−1(v1), . . . , dπ(q

′)−1(vk)). (12.3)

Esta expresion no depende mas que de ω salvo por el hecho de que hemosescogido la antiimagen q′ de p′. Solo hay otra alternativa, pues p′ no tienemas antiimagenes que q′ y J(q′). Ahora bien, si en (12.3) sustituimos q′ porJ(q′) el miembro derecho se convierte en ω(J(q′)) actuando sobre los vectoresdπ(J(q′))−1(vi), pero se cumple que J π = π, y por consiguiente dπ(q′) =dJ(q′)dπ(J(q′)), luego dπ(J(q′))−1(vi) = dJ(q′)

(

dπ(q′)−1(vi))

y, en definitiva,el miembro derecho de (12.3) se transforma en ω(J(q′)) actuando sobre losvectores dJ(q′)

(

dπ(q′)−1(vi))

, pero esto es lo mismo que

J♯(ω)(q′)(dπ(q′)−1(v1), . . . , dπ(q′)−1(vk)),

que da el mismo resultado, porque ω ∈ Λ+(S).De este modo, para cada punto p ∈ P hemos construido una forma ωp en

un entorno que al actuar sobre un punto q′ cualquiera da un resultado que solodepende de ω. Por lo tanto, dos formas ωp y ωp′ coincidiran en su dominiocomun, luego la familia de formas que hemos definido determinan una unicaforma ω∗ ∈ Λp(P ), que en un entorno de cada punto viene dada por (12.3). Esinmediato que π♯(ω∗) = ω.

Ejemplo En [G 13.5] hemos visto que el plano proyectivo P2(R) puede dotarsede estructura de variedad diferenciable. Vamos a calcula su cohomologıa. Enrealidad todos los razonamientos valen para el espacio proyectivo Pn(R). Siadmitimos que puede dotarse de estructura de variedad diferenciable y que laaplicacion π : Sn −→ Pn(R) que a cada par de puntos antıpodas les asigna elpunto con dichas coordenadas homogeneas es un difeomorfismo local (cosa que

12.4. Aplicaciones al calculo vectorial 95

solo hemos probado para n = 2), el teorema anterior nos da inmediatamenteque

H0(

Pn(R))

= R, Hk(

Pn(R))

= 0, 1 ≤ k < n,

Hn(

Pn(R))

=

0 si n es parR si n es impar

Incidentalmente tenemos una prueba de que los espacios proyectivos de di-mension par no son orientables, pues si lo fueran, al ser compactos, deberıancumplir Hn 6= 0.

12.4 Aplicaciones al calculo vectorial

Tras los resultados de las secciones anteriores podemos afirmar que los abier-tos en Rn que cumplen condiciones como H1(U) = 0 son bastante frecuentes.Vamos a describir con un poco mas de detalle las consecuencias de que los gruposde cohomologıa sean triviales.

Nota A la hora de dar aplicaciones, resulta conveniente observar que lashipotesis de diferenciabilidad pueden relajarse considerablemente. En efecto,en las secciones anteriores hemos trabajado unicamente con formas de clase C∞

para que las cuestiones tecnicas sobre diferenciabilidad no ocultaran las ideasfundamentales de la cohomologıa. No obstante, si S es una variedad de clase C∞

(no vale la pena relajar esta hipotesis) podemos tomar como Λ(S) el algebra delas formas diferenciales continuas y definir Zk(S) como el espacio de k-formas declase C1 con diferencial nula, F k(S) como el espacio de las diferenciales de k+1-formas de clase C2 y Hk(S) como el correspondiente espacio cociente. En estascondiciones Λ(S) no se ajusta a la definicion de complejo, pues la diferencialsolo esta definida en un subespacio de cada Λk(S), el formado por las k-formasde clase C1, pero si el lector repasa las pruebas anteriores se convencera deque todos los resultados valen en este contexto.5 Ası pues, cuando Hk(S) = 0podemos asegurar que las k-formas cerradas de clase C1 son exactas.

La aplicacion mas elemental es la siguiente:

Teorema 12.15 Sea U un abierto en Rn tal que H1(U) = 0. Entonces uncampo F : U −→ Rn de clase C1 es de la forma F = ∇f para una ciertafuncion f : U −→ R si y solo si

∂Fi∂xj

=∂Fj∂xi

, para 1 ≤ i < j ≤ n.

5Las modificaciones son todas obvias. Por ejemplo, en la definicion de homomorfismo decomplejos hemos de exigir que las formas de clase C1 se transformen en formas de clase C1.Lo mismo sucede en la definicion de homotopıa. Ahora, si h es una homotopıa entre dos

homomorfismos φ y ψ y ω es una k-forma de clase C1, entonces φ(ω) − ψ(ω) = d(

h(ω))

.

Como el miembro izquierdo es de clase C1 lo mismo le sucede al derecho, luego φ(ω)−ψ(ω) esuna cofrontera. Notar que las aplicaciones i(e1) e Iba conservan el grado de derivabilidad y laformula (12.1) vale para formas de clase C1. Esto nos permite probar igualmente el teorema12.9, y observaciones similares se aplican a los resultados posteriores.


Demostracion: Consideremos la 1-forma ω = F1 dx1 + · · · + Fn dxn. Elcampo F es el gradiente de una funcion f si y solo si ω = df . Por hipotesis estoequivale a dω = 0 y, como

dω =

n∑

i=1

∑

j 6=i

∂Fi∂xj

dxj ∧ dxi =∑

1≤i<j≤n

(

∂Fi∂xj

− ∂Fj∂xi

)

dxj ∧ dxi,

la condicion dω = 0 equivale a la del enunciado.

Observemos que el teorema anterior afirma esencialmente que la condicionnecesaria que el teorema de Schwarz impone a los campos de gradientes estambien suficiente (en los abiertos considerados). Conviene destacar los casosparticulares correspondientes a n = 2 y n = 3:

Teorema 12.16 Sea U un abierto en R2 tal que H1(U) = 0. Entonces uncampo F : U −→ R2 de clase C1 es conservativo si y solo si

∂f1∂y

=∂f2∂x

.

Teorema 12.17 Sea U un abierto en R3 tal que H1(U) = 0. Entonces uncampo F : U −→ R

3 de clase C1 es conservativo si y solo si rotF = 0.

Vimos en el capıtulo anterior que si F es un campo de clase C2, entoncesdiv rotF = 0. El teorema siguiente nos da un recıproco parcial:

Teorema 12.18 Sea U un abierto en R3 tal que H2(U) = 0 y sea F : U −→ R3

un campo de clase C1. Entonces existe un campo G : U −→ R3 tal que F = rotG

si y solo si divF = 0.

Demostracion: Sabemos que d(

dΦ(F ))

= divF dm, por lo que divF = 0equivale a que dΦ(F ) = dω, para una cierta 1-forma ω = Gd~r, lo cual a su vezequivale a que F = rotG.

De aquı se siguen algunos resultados importantes sobre unicidad de uncampo:

Teorema 12.19 Sea F : R3 −→ R3 un campo de clase C1 tal que divF =rotF = 0 y F tienda a 0 en infinito. Entonces F = 0.

Demostracion: Como rotF = 0 tenemos que F = ∇φ, para cierta funcionφ : R3 −→ R de clase C2. Como ∆φ = div∇φ = divF = 0, tenemos que φ esharmonica. Es inmediato comprobar que si φ es cualquier funcion de clase C2

se cumple∂

∂xi(∆φ) = ∆

(

∂φ

∂xi

)

.

De aquı se sigue en nuestro caso que las derivadas parciales de φ, es decir, lascomponentes de F son harmonicas. Ahora bien, vimos en el capıtulo anterior

12.4. Aplicaciones al calculo vectorial 97

que una funcion harmonica que tienda a 0 en infinito ha de ser nula, es decir,F = 0.

De aquı se sigue que si dos campos en R3 se anulan en el infinito y tienenla misma divergencia y el mismo rotacional, entonces son iguales. (En realidadbasta con que la diferencia tienda a 0 en el infinito.) Es natural preguntarseahora si las ecuaciones divF = G, rotF = H tienen solucion para dos camposG y H prefijados. Si imponemos a G y H las condiciones necesarias para queF se anule en el infinito la respuesta es afirmativa. Antes conviene probar otroresultado:

Teorema 12.20 Sea F un campo de clase C1 en R3 tal que divF tenga soportecompacto. Entonces F puede descomponerse como F = V +U , donde rotV = 0y divU = 0.

Demostracion: El campo V ha de ser de la forma ∇φ, para una ciertafuncion φ de clase C2. Ademas ∆φ = div V = divF . Segun vimos en el capıtuloanterior, esta ecuacion tiene como unica solucion el potencial newtoniano:

φ(x) =1

4π

∫

R3

divF

‖x− y‖ dm(y).

Definimos, pues, φ de esta manera y V = ∇φ. Por lo tanto definimos U = F−V .Entonces

divU = divF − div V = ∆φ− div∇φ = 0.

En las condiciones del teorema anterior tenemos que V = ∇φ y U = rotA,para una cierta funcion φ : R3 −→ R y un cierto campo A : R3 −→ R3. A φse le llama potencial escalar de F , mientras que A es el potencial vectorial deF . El primero esta determinado salvo una constante, mientras que el segundolo esta salvo un gradiente. Podemos determinar completamente A si exigimosque divA = 0.

Conviene definir el laplaciano vectorial de un campo A : R3 −→ R3 como

∆A = ∇ divA− rot rotA.

Se comprueba que si A = (A1, A2, A3) entonces ∆A = (∆A1,∆A2,∆A3).

Volviendo a nuestro caso, el potencial vectorial A de un campo F (determi-nado por la condicion divA = 0) cumple ∆A = − rot rotA = − rotU = − rotF .Concluimos ası que los potenciales φ y A de un campo F con divergencia desoporte compacto estan determinados por las ecuaciones

∆φ = divF, ∆A = − rotF.

Si rotF tiene tambien soporte compacto entonces la ultima ecuacion vecto-rial equivale a tres ecuaciones escalares analogas a la primera, y las soluciones


son los potenciales newtonianos de las componentes del rotacional. En definitivatenemos

F (x) = − 1

4π∇∫

R3

divF

‖x− y‖ dm+1

4πrot

∫

R3

rotF

‖x− y‖ dm.

Teorema 12.21 Dados dos campos D : R3 −→ R y R : R3 −→ R3 de clase C2

y de soporte compacto de modo que divR = 0, existe un unico campo vectorialF : R3 −→ R tal que divF = D y rotF = R.

Demostracion: Basta tomar ∆φ = D, ∆A = −R, F = ∇φ+ rotA.

Por ejemplo, segun el teorema 11.16, el campo electrico ~E determinado poruna distribucion de masa (en una region acotada del espacio) con funcion dedensidad ρ esta completamente determinado por las ecuaciones

div ~E = −4πGρ, rot ~E = 0.

Capıtulo XIII

Funciones harmonicas y

holomorfas

La holomorfıa es la propiedad analoga para funciones de variable complejaa la diferenciabilidad para funciones de variable real. Sin embargo, vamos a verque el comportamiento de las funciones holomorfas es mucho mas regular queel de las funciones diferenciables. En este capıtulo derivaremos sus propiedadesmas destacadas a partir de los resultados que hemos obtenido en los capıtulosanteriores, sobre todo el teorema de Stokes y las propiedades de las funcionesharmonicas. Dedicamos la primera seccion a demostrar algunas propiedades delas funciones harmonicas que nos serviran para estudiar las funciones holomorfasjunto con otras que tienen interes en sı mismo.

13.1 Funciones harmonicas

Recordemos que si Ω ⊂ Rn es un abierto, una funcion f : Ω −→ R es

harmonica si satisface la ecuacion en derivadas parciales ∆f = 0, conocida comoecuacion de Laplace. Las funciones harmonicas aparecen en muchos contextosrelacionados con la fısica. Por ejemplo, el teorema 11.16 implica que el potencialnewtoniano de una funcion f es una funcion harmonica en los puntos exterioresal soporte de f .

Ya hemos obtenido algunas propiedades sobre estas funciones. Teniendo encuenta que el operador ∆ es lineal, es claro que el conjunto de las funcionesharmonicas en un abierto Ω es un espacio vectorial con la suma y el productopor un escalar definidos puntualmente.

Es obvio que toda funcion afın es harmonica (y las funciones afines son lasunicas funciones harmonicas en un abierto de R). El teorema 7.12 determinatodas las funciones harmonicas con simetrıa esferica en Rn. Por ultimo, en laseccion 11.4 demostramos un resultado fundamental sobre funciones harmonicas:

99

100 Capıtulo 13. Funciones harmonicas y holomorfas

Teorema 13.1 (Teorema del valor medio de Gauss) Si x0 ∈ Rn y una

funcion f : Br(x0) −→ R es continua en Br(x0) y harmonica en ∂Br(x0),entonces

f(x0) =1

σ(∂Br(x0))

∫

∂Br(x0)

f(x) dσ.

Esto significa que f(x0) es la media aritmetica de los valores que toma f encualquier esfera de centro x0.

En general, si Ω es un abierto en Rn distinto de ∅ y Rn, y f ∈ C(∂Ω)es una funcion continua en su frontera, el problema de encontrar una funcionharmonica en Ω y continua en Ω que extienda a f se conoce como problemade Dirichlet, y es uno de los ejemplos mas sencillos de ecuacion en derivadasparciales con una condicion de frontera (es decir, una condicion que pretendeespecificar una solucion de una ecuacion diferencial en un abierto exigiendo quetome unos valores concretos en su frontera).

Empezaremos demostrando que el problema de Dirichlet tiene solucion unicasobre cualquier bola abierta en Rn. Por simplificar la notacion supondremos queel centro es 0, pero todo vale igualmente para un centro arbitrario. Consideremosla bola abierta de centro 0 y radio r en Rn y f : ∂Br(0) −→ R continua. Vamosa extenderla a una funcion continua que sea harmonica en Br(0). Para ello nosvaldremos de la funcion

H(x, y) =‖y‖2 − ‖x‖2‖x− y‖n .

Una comprobacion rutinaria muestra que, para cada y ∈ Rn fijo y todox 6= y se cumple ∆xH = 0, donde ∆xH representa el laplaciano de la funcionx 7→ H(x, y). Definimos

uf(x) =1

rσn−1

∫

‖y‖=rH(x, y)f(y) dσ(y), para ‖x‖ < r,

donde σn−1 es la medida de Lebesgue de ∂B1(0). Como podemos derivar bajola integral, es claro que ∆uf es harmonica en Br(0). Vamos a probar que siz ∈ ∂Br(0), entonces existe

lımx→z

uf(x) = f(z).

Esto prueba que si extendemos uf a la frontera de la bola como uf(z) = f(z)obtenemos una extension continua de f , que resuelve el problema de Dirichlet.Consideremos primero el caso en que f = 1. Entonces

u1(x) =1

rσn−1

∫

‖y‖=r

r2 − ‖x‖2‖x− y‖n dσ(y).

Sea h el giro de centro 0 que cumple h(‖x‖e1) = x, donde e1 es el primervector de la base canonica. Aplicando el teorema de cambio de variable resultaque

u1(x) =1

rσn−1

∫

‖y‖=r

r2 − ‖h(‖x‖e1)‖2‖h(‖x‖e1)− h(y)‖n dσ(y) = u1(‖x‖e1),

13.1. Funciones harmonicas 101

luego si llamamos g(r) = u1(re1) hemos probado que u1(x) = g(‖x‖), luego u1tiene la forma indicada en el teorema anterior. Ahora bien, u1 esta definida en 0,luego la unica posibilidad es que u1 sea constante. Es facil ver que u1(0) = 1,luego u1 = 1. Volvamos ahora al caso general. Fijemos un punto tal que ‖z‖ = r.

Como f es continua en z, dado ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que si ‖y − z‖ < δentonces |f(y)−f(z)| < ǫ/2. Tomemos ‖x‖ < r tal que ‖x−z‖ ≤ δ/2. Entonces

uf (x)−f(z) = uf (x)−f(z)u1(x) =1

rσn−1

∫

‖y‖=r

r2 − ‖x‖2‖x− y‖n (f(y)−f(z)) dσ(y).

Descomponemos en dos partes la integral. La primera sobre el conjuntode los puntos que cumplen ‖y − z‖ ≥ δ y la segunda sobre los que cumplen‖y − z‖ < δ.

En el primer caso tenemos δ ≤ ‖y− z‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖y− z‖ ≤ ‖x− y‖+ δ/2,luego ‖x− y‖ ≥ δ/2. Ası pues, si M es una cota de f ,

|uf (x)− f(z)| ≤ 2M

rσn−1(r2 − ‖x‖2)

(

2

δ

)n

+ǫ

2rσn−1

∫

‖y‖=r

r2 − ‖x‖2‖x− y‖n dσ(y)

≤ 2M

rσn−1(r2 − ‖x‖2)

(

2

δ

)n

+ǫ

2.

Si tomamos x suficientemente proximo a z podemos exigir que el primersumando sea menor que ǫ/2, con lo que obtenemos |uf(x)− f(z)| < ǫ. Con estohemos probado el teorema siguiente, que generaliza al teorema de Gauss:

Teorema 13.2 Sea f : ∂Br(x0) ⊂ Rn −→ Rn una funcion continua. Entoncesexiste una unica funcion continua uf : Br(x0) −→ R que extiende a f y esharmonica en Br(x0). En los puntos interiores de la bola uf viene dada por

uf (x) =1

rσn−1

∫

‖y−x0‖=rH(x− x0, y) f(y) dσ(y).

De aquı se desprenden muchas consecuencias. La unicidad de la extensionnos da inmediatamente la siguiente propiedad de las funciones harmonicas, quegeneraliza al teorema de Gauss:

Teorema 13.3 Sea f : Ω −→ R una funcion harmonica en un abierto de Rn,sea x0 ∈ Ω y r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω. Entonces si ‖x‖ < r se cumple

f(x) =1

rσn−1

∫

‖y−x0‖=rH(x− x0, y − x0) f(y) dσ(y).

El teorema 8.57 puede aplicarse indefinidamente a esta integral, lo queprueba que las funciones harmonicas son siempre de clase C∞. Las derivadasparciales conmutan obviamente con el laplaciano, luego las derivadas parcialesde cualquier orden de una funcion harmonica son funciones harmonicas.

La formula anterior nos da una informacion mas precisa sobre las derivadasde una funcion harmonica, de la que sacaremos consecuencias importantes:


Teorema 13.4 Sea ω un abierto en Rn, sea f : Ω −→ R una funcion continua

en Ω y harmonica en Ω. Para cada punto x ∈ Ω sea d(x) = d(x, ∂Ω). Entonces

∣

∣

∣

∣

∂f

∂xi(x0)

∣

∣

∣

∣

≤ n

d(x0)supy∈∂Ω

|f(y)|.

Demostracion: Tomemos 0 < r < d(x0) y apliquemos el teorema anterioren la bola Br(x0). Derivando resulta

∂f

∂xi=

1

rσn−1

∫

‖y−x0‖=r

(−2(xi − x0i)

‖x− y‖n − nr2 − ‖x− x0‖2‖x− y‖n+2

(xi − yi)

)

f(y) dσ,

luego

∣

∣

∣

∣

∂f

∂xi(x0)

∣

∣

∣

∣

≤ n

σn−1rn+1

∫

‖y−x0‖=r|x0i − yi| |f(y)| dσ

≤ n

rsup

‖y−x0‖=r|f(y)| ≤ n

rsupy∈∂Ω

|f(y)|.

La ultima desigualdad se basa en que f no puede tomar un valor maximo omınimo en Ω, sino que los valores maximos y mınimos los toma en ∂Ω, como sededuce facilmente del teorema del valor medio de Gauss. Si Ω no es compacto elsupremo puede ser infinito. Puesto que la desigualdad vale para todo r < d(x0),tambien se cumple para d(x0).

Como aplicacion probamos lo siguiente:

Teorema 13.5 Sea Ω un abierto en Rn y fn∞n=0 una sucesion de funcionesharmonicas en Ω que converge uniformemente a una funcion f . Entonces f esharmonica en Ω. Ademas la sucesion Difn converge uniformemente a Dif .

Demostracion: Tomemos un punto x ∈ Ω y apliquemos el teorema an-terior a una bola cerrada de centro x contenida en Ω. Puesto que fn∞n=0

converge uniformemente en la frontera, es claro que la sucesion Difn∞n=0 esuniformemente de Cauchy en la bola cerrada, luego converge uniformemente auna funcion g, que por el teorema 4.28 es Dif . Ası pues, f es de clase C1 enΩ. Como las funciones Difn tambien son harmonicas en la bola abierta, elmismo razonamiento prueba que Dif es de clase C2. Concretamente, las segun-das parciales de f en la bola son el lımite uniforme de las segundas parciales delas fn, luego ∆f es el lımite de ∆fn, luego ∆f = 0.

Otra aplicacion importante del teorema 13.4 es el hecho de que una funcionharmonica en todo Rn no puede estar acotada:

Teorema 13.6 (Teorema de Liouville) Si f : Rn −→ R es harmonica yacotada entonces es constante.


Demostracion: Aplicamos 13.4 en la bola de centro x y radio r, con loque obtenemos

∣

∣

∣

∣

∂f

∂xi

∣

∣

∣

∣

≤ nM

r,

donde M es una cota de f . Como r es arbitrario concluimos que ∇f = 0, luegof es constante.

Funciones subharmonicas Recordemos que una funcion real de una variablees convexa si y solo si su grafica en un intervalo queda por debajo de la rectaque coincide con ella en sus extremos. Si sustituimos “recta” por “funcionharmonica” y generalizamos a una dimension arbitrara obtenemos el conceptode funcion subharmonica:

Definicion 13.7 Sea Ω un abierto en Rn. Una funcion continua f : Ω −→ R

es subharmonica (superharmonica) si para toda bola cerrada B contenida en Ωse cumple que f |B ≤ h (f |B ≥ h), donde h es la funcion (continua) harmonicaen (el interior de) B que coincide con f en ∂B.

Es inmediato que una funcion es harmonica si y solo si es subharmonica ysuperharmonica al mismo tiempo, ası como que una funcion f es subharmonicasi y solo si −f es superharmonica y viceversa. Esto hace que todo teoremasobre funciones subharmonicas se traduzca inmediatamente a otro analogo sobrefunciones superharmonicas. Por lo tanto en lo sucesivo trabajaremos unicamentecon funciones subharmonicas.

No exigimos que las funciones subharmonicas sean derivables, pero si sonal menos de clase C2 entonces pueden ser caracterizadas en terminos de sulaplaciano:

Teorema 13.8 Sea f una funcion real de clase C2 en un abierto Ω ⊂ Rn.Entonces f es subharmonica si y solo si ∆f ≥ 0.

Demostracion: Supongamos que ∆f ≥ 0 y tomemos una bola cerrada Bde centro x0 contenida en Ω. Sea h la funcion harmonica en B que coincide conf en ∂B. Hemos de probar que f ≤ h, equivalentemente, que f |B − h ≤ 0. Porcontinuidad y compacidad f |B − h ha de tomar un valor maximo en la clausurade B. Si este es positivo lo tomara en un punto x1 ∈ B (pues en la frontera fcoincide con h). Tomando c > 0 suficientemente pequeno, la funcion

φ(x) = c‖x− x0‖2 + f(x)− h(x)

cumple φ(x1) > φ(x) para todo x ∈ ∂B. En efecto, si x ∈ ∂B se cumpleφ(x) = cr2, luego basta tomar c > 0 de modo que cr2 < f(x1)− h(x1).

De nuevo por continuidad y compacidad, φ tomara su valor maximo en unpunto de la clausura de B, pero segun lo dicho ha de ser en realidad un punto


interior x2 ∈ B. La funcion que resulta de fijar todas las variables de φ menosla i-esima tiene un maximo en (x2)i, luego

1

∂2φ

∂x2i(x2) ≤ 0.

Sumando las derivadas obtenemos que

0 ≥ ∆φ(x2) = 2nc+∆f(x2)−∆h(x2) = 2nc+∆f(x2),

luego ∆f(x2) ≤ −2nc < 0, en contra de lo supuesto. Por consiguiente el maximode fB − h es menor o igual que 0 y ası f es subharmonica.

Recıprocamente, si f es subharmonica en Ω pero ∆f < 0 en algun punto,por continuidad existira una bola abierta B en la cual ∆f < 0, luego por laparte ya probada −f sera subharmonica en B, luego f sera subharmonica ysuperharmonica en B, luego sera harmonica y en realidad cumplira ∆f = 0 enB, con lo que tenemos una contradiccion.

Por ejemplo, ahora es inmediato que f(x, y) = x2 + y2 es una funcion sub-harmonica en R2 (pero no harmonica).

La propiedad de ser subharmonica es local. El teorema anterior lo pruebapara funciones de clase C2, pero es cierto en general, como se desprende delresultado siguiente:

Teorema 13.9 Sea f : Ω −→ R una funcion subharmonica en un abierto deRn. Si x0 ∈ Ω y Br(x0) ⊂ Ω, entonces

f(x0) ≤1

rn−1σn−1

∫

‖x−x0‖=rf(x) dσ,

donde σn−1 es la medida de Lebesgue de la esfera unitaria de dimension n− 1.Recıprocamente, si f es continua y cumple la desigualdad anterior en cada

punto x0 para una sucesion de radios rn > 0 convergente a 0, entonces f essubharmonica en Ω.

Demostracion: Sea h la funcion harmonica en Br(x0) que coincide con fen la frontera. Entonces

f(x0) ≤ h(x0) =1

rn−1σn−1

∫

‖x−x0‖=rf(x) dσ.

Veamos el recıproco. Sea x0 ∈ Ω y sea R > 0 tal que BR(x0) ⊂ Ω. Sea h lafuncion harmonica en la bola que coincide con f en la frontera. Hemos de probarque f ≤ h. Sea g = f −h y m su supremo en la bola cerrada. Hemos de ver quees menor o igual que 0. Supongamos, por el contrario, que m > 0. Como g es

1Si una funcion real f de clase C2 tiene un maximo en un punto x, entonces f ′(x) = 0 yf ′′(x) ≤ 0, pues si f ′′(x) > 0 tendrıamos que f ′ serıa positiva a la derecha de x, con lo que fserıa creciente a la derecha de x y f(x) no podrıa ser un maximo.


nula en la frontera de la bola, el conjunto E = x ∈ BR(x0) | g(x) = m es unsubconjunto compacto de BR(x0). Sea x1 ∈ E tal que ‖x1 − x0‖ sea maximo.De este modo, para todo r suficientemente pequeno, al menos media esfera decentro x1 y radio r esta fuera de E. Tomando como r uno de los valores paralos que se cumple la desigualdad del enunciado obtenemos:

m = g(x1) = f(x1)− h(x1) ≤1

rn−1σn−1

∫

‖x−x1‖=r(f(x)− h(x)) dσ

<1

rn−1σn−1

∫

‖x−x1‖=rmdσ = m,

lo que prueba que m = 0, o sea, f ≤ h en la bola. Ası pues, f es subharmonica.

Veamos otra propiedad importante de las funciones subharmonicas. Parael caso particular del modulo de una funcion holomorfa recibe el nombre dePrincipio del modulo maximo.

Teorema 13.10 (Principio del maximo) Sea f una funcion subharmonicano constante en un abierto Ω ⊂ Rn. Entonces

a) Para todo x0 ∈ Ω se cumple f(x0) < supx∈Ω

f(x).

b) Si Ω esta acotado y f es continua en Ω, entonces para todo x0 ∈ Ω secumple

f(x0) < maxx∈∂Ω

f(x).

Demostracion: Podemos suponer que Ω es conexo. Sea m = supx∈Ω

f(x)

(quiza m = +∞). Descomponemos Ω como union de los conjuntos

Ω1 = x ∈ Ω | f(x) = m, Ω2 = x ∈ Ω | f(x) < m.

La continuidad de f implica que Ω2 es abierto. Si probamos que Ω1 tambienlo es, por conexion uno de los dos sera vacıo, pero como f no es constante tendraque serlo Ω1 y a) quedara demostrado. Para probar que Ω1 es abierto podemossuponer que es no vacıo, lo que implica que m es finito.

Tomemos x0 ∈ Ω1. Al ser f subharmonica, para r suficientemente pequenose cumple

0 ≤∫

‖x−x0‖=rf(x) dσ − σn−1r

n−1f(x0) =

∫

‖x−x0‖=r

(

f(x)− f(x0))

dσ

Como f(x)−f(x0) = f(x)−m ≤ 0, la desigualdad anterior es una igualdad,y f(x) = m para todo x tal que ‖x − x0‖ = r, para todo r suficientementepequeno, es decir, hay un entorno de x0 contenido en Ω1. Esto prueba a). Elapartado b) es una consecuencia inmediata.

Como aplicacion obtenemos la unicidad de la solucion del problema de Di-richlet para abiertos con frontera no vacıa (no necesariamente acotados):


Teorema 13.11 Sea Ω un abierto en Rn distinto de ∅ y de Rn. Sea f : Ω −→ R

una funcion continua harmonica en Ω y tal que f = 0 en ∂Ω. Entonces f = 0en Ω.

Demostracion: Basta probar que f es constante en Ω, pero si no lo fuera,por el teorema anterior deberıa ser f < 0 en Ω (porque f es subharmonica) yf > 0 en Ω (porque −f es subharmonica).

Veamos algunas propiedades adicionales que nos ayudaran a probar que elproblema de Dirichlet tiene solucion en una familia muy amplia de abiertos.

Teorema 13.12 El maximo de dos funciones subharmonicas es una funcionsubharmonica.

Demostracion: Sean f1 y f2 dos funciones subharmonicas en un abiertoΩ ⊂ Rn. Sea f(x) = maxf1(x), f2(x). Fijada una bola cerrada B contenidaen Ω, sean h, h1 y h2 las funciones harmonicas en en B que coinciden con f ,f1 y f2 respectivamente en la frontera. Entonces h − h1 ≥ 0 en ∂B, y al serharmonica la desigualdad vale tambien en B, es decir, f1 ≤ h1 ≤ h, e igualmentef2 ≤ h2 ≤ h, luego f ≤ h. Por consiguiente f es subharmonica.

Similarmente se prueba:

Teorema 13.13 La suma de dos funciones subharmonicas es una funcion sub-harmonica.

Teorema 13.14 Sea Ω un abierto en Rn y B una bola cerrada contenida en Ω.Sea f una funcion subharmonica en Ω y f ′ la funcion que coincide con f fuerade B y es harmonica en B. Entonces f ′ es subharmonica en Ω.

Demostracion: Aplicaremos el teorema 13.9. Basta considerar puntosx0 ∈ ∂B. Notemos que f ≤ f ′ en Ω. Entonces

f ′(x0) = f(x0) =1

σn−1rn−1

∫

‖x−x0‖=rf(x) dσ ≤ 1

σn−1rn−1

∫

‖x−x0‖=rf ′(x) dσ.

El problema de Dirichlet Hemos probado que el problema de Dirichlettiene a lo sumo una solucion en cada abierto con frontera no vacıa, pero solohemos probado que tiene solucion en el caso de las bolas abiertas. Terminamosesta seccion demostrando que existe solucion para una familia muy amplia deabiertos.

Sea f : ∂Ω −→ R una funcion continua y acotada. Llamaremos familiade Perron de f al conjunto P (f,Ω) de todas las funciones u continuas en Ω,subharmonicas en Ω y tales que u|∂Ω ≤ f . Si M es una cota de f , entonces elprincipio del maximo prueba que toda funcion u en estas condiciones cumpleu ≤M en Ω. Por consiguiente podemos definir la funcion de Perron de f como

Pf (x) = supu(x) | u ∈ P (f,Ω), para x ∈ Ω.


Ahora observamos que si el problema de Dirichlet tiene solucion para f y Ω,entonces la solucion ha de ser Pf . En efecto, la solucion g esta obviamenteen P (f,Ω), luego g ≤ Pf . Por otra parte, si u ∈ P (f,Ω) la funcion u − g essubharmonica y en ∂Ω es ≤ 0, luego por el principio del maximo se cumpleu− g ≤ 0 en Ω, o sea, u ≤ g, luego Pf ≤ g.

Para probar que Pf es realmente solucion del problema de Dirichlet hemosde ver dos cosas: que es harmonica y que tiende a f en ∂Ω. Lo primero podemosprobarlo ya:

Teorema 13.15 Sea Ω un abierto en Rn tal que ∂Ω 6= ∅. Sea f : ∂Ω −→ R

una funcion continua y acotada. Entonces Pf es harmonica en Ω.

Demostracion: Tomemos x0 ∈ Ω y sea r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω. Po-demos tomar una sucesion de funciones un ∈ P (f,Ω) tales que lım

nun(x0) =

Pf (x0). Sustituyendo cada un por el maximo de todas las anteriores podemossuponer que un es creciente. Mas aun, aplicando el teorema 13.14 obtenemosfunciones vn ∈ P (f,Ω) que son harmonicas en Br(x0). La sucesion vn tambienes creciente y, como un(x0) ≤ vn(x0) ≤ Pf (x0), la sucesion vn(x0) tambienconverge a Pf (x0).

Veamos que vn converge uniformemente en un entorno de x0. Esto probaraque Pf es harmonica en un entorno de x0. Sea 0 < r′ < r. Sea ‖y − x0‖ = r y‖x− x0‖ = r′. Entonces r − r′ ≤ ‖y − x‖, luego

r2 − r′2

‖y − x‖n ≤ r2 − r′2

(r − r′)n,

y el teorema 13.2 implica que

vn+1(x) − vn(x) ≤r2 − r′2

(r − r′)n1

rσn−1

∫

‖y−x0‖=r(vn+1 − vn) dσ,

luego el teorema del valor medio nos da

vn+1(x) − vn(x) ≤r2 − r′2

(r − r′)nrn−2(vn+1(x0)− vn(x0)).

Fijado 0 < k < r, para todo x ∈ Bk(x0) se cumple r′ < k, luego

r2 − r′2

(r − r′)nrn−2 =

r + r′

(r − r′)n−1rn−2 ≤ r + k

(r − k)n−1rn−2 =M,

con lo que vn+1(x)− vn(x) ≤M(vn+1(x0)− vn(x0)). Puesto que

v0(x0) +

∞∑

n=0

(vn+1(x0)− vn(x0)) = Pf (x0),

el criterio de mayoracion de Weierstrass implica que la serie

v0(x) +

∞∑

n=0

(vn+1(x)− vn(x))


converge uniformemente en Bk(x0), pero dicha serie no es sino la sucesion vn.

En general no es cierto que Pf coincida con f en ∂Ω. Por ejemplo, tomemosΩ = B1(0) \ (0, 0) ⊂ R2 y sea f la funcion que vale 0 en ∂B1(0) y f(0) = 1.

Tomemos u ∈ P (f,Ω). Por el principio del maximo se cumple que ‖u‖ ≤ 1.Dado 0 < ǫ < 1, la funcion hǫ(x) = (log ‖x‖)/ log ǫ es harmonica en el anillocomprendido entre las circunferencias de centro 0 y radios ǫ y 1 (teorema 7.12).Ademas hǫ vale 0 sobre la circunferencia exterior y 1 sobre la interior. Enconsecuencia u ≤ hǫ en la frontera del anillo. Como u−hǫ es subharmonica, dehecho u ≤ hǫ en todo el anillo (por el principio del maximo), es decir,

u(x) ≤ log ‖x‖log ǫ

,

para 0 < ǫ ≤ ‖x‖ < 1. Si fijamos x y hacemos tender ǫ a 0 queda u(x) ≤ 0 paratodo x ∈ B1(0)\0 y toda u ∈ P (f,Ω). Por consiguiente Pf = 0 y no converge

a f en 0. No existe ninguna funcion harmonica en Ω continua en B1(0) quetome el valor 0 para ‖x‖ = 1 y el valor 1 en x = 0.

Veamos una condicion necesaria para que las funciones continuas y acotadasen la frontera de un abierto Ω se extiendan a funciones harmonicas en Ω. CuandoΩ tiene esta propiedad (entendiendo que ∂Ω 6= ∅) se dice que es una region deDirichlet. Dado un punto a ∈ ∂Ω, podemos considerar la funcion

f(x) =‖x− a‖

1 + ‖x− a‖ .

Claramente se trata de una funcion continua y acotada en Rn (toma valores

en [0, 1]) y que se anula unicamente en a. Si Ω es una region de Dirichlet existeuna funcion continua h : Ω −→ R harmonica en Ω y que coincide con f en ∂Ω.En particular h(a) = 0 y h(x) > 0 para todo x ∈ ∂Ω, x 6= a. Vamos a probarque una condicion mas debil que esta es tambien suficiente para que Ω sea unaregion de Dirichlet.

Definicion 13.16 Sea Ω un abierto en Rn distinto de ∅ y de Rn. Para cadaǫ > 0 y a ∈ ∂Ω sea Ωǫ(a) = Ω ∩Bǫ(a). Una barrera para Ω en a es una funcioncontinua u : Ωǫ(a) −→ R subharmonica en Ω∩Bǫ(a) tal que u(a) = 0 y u(x) < 0para todo x ∈ ∂Ωǫ(a), x 6= a.

Es claro que si Ω es una region de Dirichlet entonces tiene una barrera encada punto de su frontera (para cualquier ǫ > 0, restringimos a Ωǫ(a) la funcion−h que hemos construido en el parrafo anterior).

Las regiones de Dirichlet admiten la caracterizacion siguiente:

Teorema 13.17 Un abierto Ω ⊂ Rn de frontera no vacıa es una region deDirichlet si y solo si tiene una barrera en cada punto de su frontera.


Demostracion: Ya hemos visto que la condicion es necesaria. Veamos quetambien es suficiente. Para ello consideremos una funcion continua y acotadaf : ∂Ω −→ R. Basta probar que Pf es continua en Ω y que coincide con f en

∂Ω. Fijemos un punto a ∈ ∂Ω y sea v : Ωǫ(a) −→ R una barrera para Ω en a.Por el principio del maximo v < 0 en Ωǫ(a). Tomando 0 < r < ǫ tenemos

que v < 0 en el compacto Ωǫ(a) \ Br(a), luego existe un η > 0 tal que v ≤ −ηen dicho compacto.

Sea w : Ωǫ(a) −→ R el maximo entre −η y v. Entonces w es tambien unabarrera para Ω en a con la propiedad adicional de que vale −η fuera de Br(a),luego se puede extender de forma constante a w : Ω −→ R y sigue cumpliendo laspropiedades de una barrera (salvo que su dominio es mayor). Concretamente,w es continua en Ω, subharmonica en Ω, w(x) < 0 para todo x ∈ ∂Ω, x 6= a yw(a) = 0.

Sean K, ǫ constantes positivas y consideremos la funcion

u(x) = f(a)− ǫ+Kw(x).

Claramente u es continua en Ω y subharmonica en Ω. Ademas u(x) ≤ f(a)−ǫpara todo x ∈ ∂Ω y u(a) = f(a) − ǫ. Como f es continua en a, existe unδ > 0 tal que f(x) > f(a) − ǫ para los x ∈ ∂Ω que cumplen ‖x − a‖ < δ.Ası pues, u(x) ≤ f(x), para estos puntos x. Como w tiene una cota superiornegativa en el conjunto de puntos x ∈ ∂Ω tales que ‖x − a‖ ≥ δ, eligiendoK adecuadamente podemos exigir que u(x) ≤ f(x) para todo x ∈ ∂Ω. Porconsiguiente u ∈ P (f,Ω), luego u ≤ Pf .

Por consiguiente f(a) − ǫ = u(a) ≤ Pf (a), para todo ǫ > 0, lo que pruebaque Pf (a) = f(a). No obstante esto no prueba la continuidad de Pf en a.Puesto que lım

x→au(x) = f(a)− ǫ, en realidad hemos visto que para puntos x ∈ Ω

suficientemente proximos a a se cumple f(a)− 2ǫ ≤ Pf (x).Aplicamos este hecho a la funcion P−f , es decir, sabemos que para puntos

x ∈ Ω suficientemente proximos a a se cumple −f(a)− 2ǫ ≤ P−f (x).Ahora bien, si v1 ∈ P (f,Ω) y v2 ∈ P (−f,Ω) entonces v1 + v2 ≤ 0 en ∂Ω

y es subharmonica en Ω, luego v1 + v2 ≤ 0 en Ω, luego v2 ≤ −v1 y tomandoel supremo P−f ≤ −v1, luego v1 ≤ −P−f , luego tomando de nuevo el supremoPf ≤ −P−f . Cambiando f por −f obtenemos tambien la otra desigualdad, esdecir,

f(a)− 2ǫ ≤ Pf (x) ≤ −P−f (x) ≤ f(a) + 2ǫ,

para puntos x ∈ Ω suficientemente proximos a a, es decir, existe

lımx→a

Pf (x) = f(a).

Terminamos observando que la existencia de barreras es una condicion quese cumple en una gran clase de abiertos. Por ejemplo, si Ω tiene un hiperplanotangente en un punto a ∈ ∂Ω, es decir, si todos los puntos de Ω estan en unmismo lado del hiperplano excepto el propio a, podemos tomar como barrerauna aplicacion afın que se anule en el hiperplano.

Mas en general, si existe una bola cerrada B tal que B∩Ω = a entonces Ωtiene una barrera en a. Basta considerar una funcion de la forma A/‖x−c‖+B,donde c es el centro de B.


13.2 Funciones holomorfas

Existen varias definiciones equivalentes del concepto de funcion holomorfa.La que mejor enlaza con el calculo diferencial que estamos estudiando es lasiguiente:

Definicion 13.18 Sea Ω ⊂ Cn un abierto. Una funcion f : Ω −→ Cm esholomorfa si considerada como aplicacion f : Ω ⊂ R2n −→ R2m es de clase C1

y, para cada z ∈ Ω, la diferencial df(z) : Cn −→ Cm es C-lineal.

La regla de la cadena (para funciones de variable real) afirma que la compo-sicion de aplicaciones de clase C1 es de clase C1, ası como que

d(f g)(z) = df(z) dg(f(z)),

luego es claro que la composicion de funciones holomorfas es holomorfa.Tambien es claro que una funcion f : Ω −→ Cm es holomorfa si y solo si

lo son sus funciones coordenadas fi : Ω −→ C. Por ello habitualmente noslimitaremos a estudiar funciones con valores en C.

Veamos que ha de cumplir una aplicacion R-lineal g : Cn −→ C para que seaC-lineal. Si es C-lineal entonces g(z1, . . . , zn) = c1z1 + · · · + cnzn, para ciertosnumeros complejos ci = ai + ibi. Si llamamos zi = xi + iyi entonces

g(x1, y1 . . . , xn, yn) = (a1x1−b1y1+ · · ·+anxn−bnyn, a1y1+b1x1+ · · ·+anyn+bnxn),

luego la matriz de g es

a1 b1−b1 a1...

...an bn−bn an

Recıprocamente, si la matriz de g es de esta forma —para numeros realescualesquiera ai y bi— entonces g es C-lineal.

Si aplicamos esto al caso en que g = df(z) obtenemos el teorema siguiente:

Teorema 13.19 Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto y f : Ω −→ C una funcion

de clase C1. Entonces f es holomorfa en Ω si y solo si satisface las ecuacionesde Cauchy-Riemann:

∂Re f

∂xi=∂ Im f

∂yi,

∂ Re f

∂yi= −∂ Im f

∂xi.

En tal caso

df =∂f

∂z1dz1 + · · ·+ ∂f

∂zndzn,

donde usamos la notacion

∂f

∂zi=∂Re f

∂xi+ i

∂ Im f

∂xi, dzi = dxi + idyi.

13.2. Funciones holomorfas 111

Las igualdades entre diferenciales han de entenderse como elementos delespacio Λ1(Ω) de todas las aplicaciones de Ω en el espacio de aplicaciones R-lineales de Cn en C (con las operaciones definidas de forma obvia). Las llamare-mos 1-formas complejas. Para el caso de funciones de una variable es costumbreescribir

f ′(z) =df

dz(z) en lugar de

∂f

∂z(z).

Notemos que la derivada parcial2 respecto de zi en un punto (z1, . . . , zn) es laderivada de la funcion z 7→ f(z1, . . . , zi−1, z, zi+1, . . . , zn) en el punto zi.

Observemos que, para una funcion holomorfa de una variable, (f ′(z)) es lamatriz de df(z) vista como aplicacion lineal en C (respecto de la base 1), y elhecho de que la matriz de una composicion sea el producto de las matrices setraduce en la forma usual de la regla de la cadena para derivadas:

(f g)′(z) = f ′(z)g′(f(z)).

Ejemplo Recordemos que la funcion exponencial compleja viene dada por

ez = ex+iy = ex(cos y + i sen y).

Ciertamente se trata de una funcion de clase C1 en C y

∂ Re ez

∂x= ex cos y,

∂ Re ez

∂y= −ex sen y,

∂ Im ez

∂x= ex sen y,

∂ Im ez

∂y= ex cos y.

Vemos que ez cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann y, por consiguiente,es una funcion holomorfa en C. Su derivada es

dez

dz=∂ Re ez

∂x+ i

∂ Im ez

∂x= ex cos y + i ex sen y = ez.

En general, si f es una funcion holomorfa en un abierto de C que extiendea una funcion real g : I −→ R, para un cierto intervalo I, es decir, si Re f |I = ge Im g|I = 0, para todo x ∈ I tenemos que

f ′(x) =∂ Re f

∂x(x) + i

∂ Im f

∂x(x) = g′(x),

es decir, si una funcion holomorfa f extiende a una funcion real g, entonces laderivada compleja de f extiende a la derivada real de g.

LlamaremosH(Ω) al conjunto de todas las funciones holomorfas en el abiertoΩ ⊂ Cn. Es claro que la suma de funciones holomorfas es holomorfa, ası como el

2Es facil ver que∂f

∂z= lım

h→0

f(z1, . . . , zi + h, . . . , zn) − f(z)

h,

pero con toda la teorıa de la que disponemos podemos presentar la teorıa basica sobre lasfunciones holomorfas sin calcular practicamente un solo lımite.


producto de un numero complejo por una funcion holomorfa, mas aun, se cumplela relacion d(α1f + α2g) = α1df + α2dg, con lo que H(Ω) tiene estructura deC-espacio vectorial. En el caso de una variable tenemos la regla de derivacion(α1f + α2g)

′ = α1f′ + α2g

′.

El producto de funciones holomorfas tambien es una funcion holomorfa. Paraprobarlo consideramos la aplicacion f : C2 −→ C dada por

f(z1, z2) = z1z2 = x1x2 − y1y2 + i(x1y2 + x2y1).

Es claro que

∂ Re f

∂x1= x2 =

∂ Im f

∂y1,

∂ Re f

∂y1= −y2 = −∂ Im f

∂x1,

∂ Re f

∂x2= x1 =

∂ Im f

∂y2,

∂ Re f

∂y2= −y1 = −∂ Im f

∂x2,

luego z1z2 es holomorfa y d(z1z2) = z2 dz1 + z1 dz2. De aquı se sigue, mas engeneral, que si f y g son funciones holomorfas en un abierto Ω ⊂ Cn, entoncesfg tambien lo es. Ademas, d(fg) = g df + f dg.

Basta aplicar la regla de la cadena a las funciones h(z) = (f(z), g(z)) yp(z1, z2) = z1z2, de modo que fg = h p. Entonces

d(fg)(z)(v) = (dh(z) dp(f(z), g(z)))(v) = dp(f(z), g(z))(df(z)(v), dg(z)(v))

= g(z) df(z)(v) + f(z) dg(z)(v) = (g df + f dg)(z)(v).

Esto implica que H(Ω) tiene estructura de algebra. En el caso de funcionesde una variable tenemos la regla usual de derivacion de productos, pues

(fg)′ dz = d(fg)(z) = g(z) df(z) + f(z) dg(z) = (g(z)f ′(z) + f(z)g′(z)) dz.

Ahora es evidente que el anillo de polinomios C[z1, . . . , zn] esta contenido enH(Cn), y se comprueba inmediatamente que la derivada de un polinomio coin-cide con su derivada formal en el sentido de la teorıa de cuerpos.

Ejercicio: Probar que la funcion 1/z es holomorfa en C \ 0 y d(1/z) = (−1/z2) dz.Concluir que si f : Ω ⊂ C

n −→ C es una funcion holomorfa que no se anula, entonces1/f(z) es tambien holomorfa. Deducir a su vez que la regla de derivacion de un cocientevale tambien para funciones holomorfas.

Ejercicio: Probar que las funciones sen z y cos z son holomorfas, ası como que(sen z)′ = cos z, (cos z)′ = − sen z.

Tambien se cumple trivialmente el teorema de la funcion inversa:

Teorema 13.20 Sea f : Ω −→ Cn una funcion inyectiva y holomorfa en un

abierto Ω ⊂ Cn. Entonces Ω∗ = f [Ω] es abierto en Cn y f−1 : Ω∗ −→ Ω esholomorfa.

13.2. Funciones holomorfas 113

Demostracion: Por el teorema de la funcion inversa para funciones devariable real sabemos que Ω∗ es abierto y que f−1 es de clase C1. ademas, porla regla de la cadena, si w = f(z) ∈ Ω∗, entonces df−1(w) = df(z)−1. Comodf(z) es C-lineal, lo mismo vale para su inversa, luego f−1 es holomorfa.

La regla de la cadena afirma que si f(z) = w, entonces df(z) df−1(w) es laidentidad. En particular, para funciones de una variable, f ′(z)(f−1)′(w) = 1 o,equivalentemente:

(f−1)′(w) =1

f ′(f−1(w)).

Ejemplo La funcion exponencial f(z) = ez = eRe z(cos Im z + i sen Im z) esinyectiva si se restringe a Ω = R× ]−π, π[, pues si z1 = x1iy1, z2 = x2 + iy2 y

ex1(cos y1 + i sen y1) = ex2(cos y2 + i sen y2),

tomando el modulo de ambos miembros vemos que ex1 = ex2 , luego x1 = x2,luego cos y1 = cos y2, sen y1 = sen y2, y si ambos argumentos estan en ]−π, π[,entonces y1 = y2.

Por el teorema de la funcion inversa, tenemos que Ω∗ = f [Ω] es abierto,aunque esto lo podemos comprobar directamente:

Ω∗ = C \ z ∈ C | Re z ≤ 0, Im z = 0,

y ademas la funcion inversa log : Ω∗ −→ C es holomorfa. Observemos que siz = ex(cos y + i sen y), entonces x = log |z|, e y es un argumento de z. Por lotanto,

log z = log |z|+ i arg z,

donde el argumento se toma en ]−π, π[. En particular, si z es un numero realpositivo, entonces log z es el logaritmo que ya tenıamos definido. La regla dederivacion de funciones inversas nos da que

log′(z) =1

elog z=

1

z.

En particular tenemos que el logaritmo usual log x definido en los numeros realespositivos se extiende a una funcion holomorfa definida sobre todos los numeroscomplejos menos los reales x ≤ 0. A su vez, esto implica que lo mismo vale paralas funciones potenciales zα = eα log z, en particular para n

√z, etc. Ademas

dzα

dz= eα log z α

z= αeα log ze− log z = αzα−1.

Por consiguiente, la regla de derivacion de potencias vale para exponentes arbi-trarios.


13.3 La integral curvilınea

Hasta aquı hemos mostrado que las funciones holomorfas cumplen propie-dades analogas a las funciones diferenciables de variable real. Seguidamenteveremos que cumplen muchas otras que convierten la teorıa de las funcionesholomorfas en una teorıa mucho mas potente que su analoga real. Muchasde estas propiedades adicionales requieren considerar integrales sobre curvas defunciones holomorfas, ası que vamos a presentar las propiedades basicas de estasintegrales.

Consideremos un arco γ : [a, b] −→ C de clase C1 (en el sentido de que seextiende a una funcion de clase C1 en un abierto que contiene a [a, b]) cuyaderivada no se anula en ningun punto. Mas en general, podemos considerar queγ es C1 a trozos, es decir, que podemos partir a = t0 < t1 < · · · < tn = bde modo que las restricciones γ|[ti−1,ti] sea de clase C1 en el sentido anterior.Llamaremos γ∗ = γ[[a, b]]. Si f es una funcion continua sobre γ∗, definimos∫

γ

f(z) dz =

∫ b

a

f(γ(t))γ′(t) dt =

∫ b

a

Re f(γ(t))γ′(t) dt+i

∫ b

a

Im f(γ(t))γ′(t) dt.

Observemos que el teorema 8.57 es aplicable para derivar integrales de fun-ciones complejas: Si γ es un arco y f : Ω×γ∗ −→ C es una funcion tal que f( , ζ)es holomorfa en Ω para cada ζ ∈ γ∗, entonces la funcion F (z) =

∫

γ f(z, ζ) dζ esholomorfa en Ω y

F ′(z) =

∫

γ

df

dz(z, ζ) dζ.

Basta aplicar 8.57 para comprobar que F tiene derivadas parciales y queestas cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Observemos ahora que si h : [a, b] −→ C es una funcion continua, se cumplela desigualdad

∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

h(t) dt

∣

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a

|h(t)| dt.

En efecto: Si la integral de h es nula la desigualdad es obvia. En otro casosea

α =

∣

∣

∣

∫ b

a h(t) dt∣

∣

∣

∫ b

a h(t) dt∈ C.

Entonces∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

h(t) dt

∣

∣

∣

∣

∣

= α

∫ b

a

h(t) dt =

∫ b

a

αh(t) dt,

pero como se trata de un numero real, en realidad ha de ser∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

h(t) dt

∣

∣

∣

∣

∣

=

∫ b

a

Re(αh(t)) dt ≤∫ b

a

|h(t)| dt,

pues Re z ≤ |z| y |α| = 1.

13.4. Coholomogıa 115

Aplicamos este teorema a un un arco γ y a una funcion f continua en γ∗.Si M es una cota de |f | sobre γ∗, tenemos que

∣

∣

∣

∣

∫

γ

f(z) dz

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a

|f(γ(t))| |γ′(t)| dt ≤M L(γ),

donde L(γ) es la longitud de γ segun la definicion 5.23. Como consecuencia:

Teorema 13.21 Si fn∞n=1 es una sucesion de funciones continuas que con-vergen uniformemente en el rango de un arco γ a una funcion f , entonces

∫

γ

f(z) dz = lımn

∫

γ

fn(z) dz.

Demostracion: Dado ǫ > 0 existe un natural n0 tal que si n ≥ n0 entonces|fn(z)− fn0(z)| < ǫ/L(γ). Por lo tanto

∣

∣

∣

∣

∫

γ

f(z) dz −∫

γ

fn(z) dz

∣

∣

∣

∣

≤∣

∣

∣

∣

∫

γ

f(z)− fn(z) dz

∣

∣

∣

∣

≤ ǫ

L(γ)L(γ) = ǫ.

Una simple comprobacion muestra que la regla de Barrow es valida paraintegrales complejas, es decir, que

∫

γ

f ′(z) dz = f(

γ(b))

− f(

γ(a))

.

En particular, si γ(b) = γ(a) entonces f ′(z) tiene integral nula sobre γ.

13.4 Coholomogıa

Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto. Toda 1-forma compleja en Ω es de la formaω = Reω + i Imω, donde Reω e Imω son dos 1-formas reales en Ω. Si ω es declase C1 (es decir, si lo son sus partes real e imaginaria) definimos la 2-formacompleja dω = dReω + i d Imω. Si f : Ω −→ C es una funcion holomorfapodemos considerar la 1-forma

f(z) dz = (Re f(z) + i Im f(z))(dx+ i dy) =(

Re f(z) dx− Im f(z) dy)

+ i(

Re f(z) dy + Im f(z) dx)

.

Toda la potencia de la teorıa de las funciones holomorfas deriva en ultimainstancia de aplicar la maquinaria analıtica a la siguiente observacion elemental:

Teorema 13.22 Si f es una funcion holomorfa en un abierto Ω ⊂ C, entoncesd(f d(z)) = 0.

Demostracion: Se entiende que la diferencial de una 1-forma compleja sedefine como dω = dReω + i d Imω. Entonces

d(f dz) =∂Re f

∂ydy ∧ dx− ∂ Im f

∂xdx ∧ dy + i(

∂ Re f

∂xdx ∧ dy + ∂ Im f

∂ydy ∧ dx)

y basta aplicar las ecuaciones de Cauchy-Riemann.


En las condiciones del teorema anterior, si suponemos ademas queH1(Ω) = 0(lo cual lo cumplen, por ejemplo, las bolas abiertas), tenemos, por la propiadefinicion del grupo de cohomologıa, que existe una 0-forma g = Re g + i Im gde clase C1 en Ω de modo que f(z) dz = dg, es decir,

Re f(z) dx− Im f(z) dy =∂Re g

∂xdx +

∂Re g

∂ydy,

Re f(z) dy + Im f(z) dx =∂ Im g

∂xdx +

∂ Im g

∂ydy.

De aquı se sigue que g cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann y es,por tanto, una funcion holomorfa. Ademas f(z) = g′(z). Por lo tanto hemosdemostrado lo siguiente:

Teorema 13.23 Toda funcion holomorfa en un abierto Ω ⊂ C que cumplaH1(Ω) = 0 tiene primitiva.

Mas aun, las ecuaciones de Cauchy-Riemann para f implican que la funciong cumple ∆g = ∆Re g + i∆Im g = 0, es decir, que Re g e Im g son funcionesharmonicas, luego tambien lo son Re f e Im f .

Como las funciones harmonicas son de clase C∞, en particular tenemos quela funcion f ′ es de clase C1, y ∆f = 0 equivale a las ecuaciones de Cauchy-Riemann para f ′. Ası pues, f ′ es holomorfa.

Como todas estas conclusiones son locales, la hipotesis de que H1(Ω) = 0 sepuede suprimir (pues si Ω es arbitrario basta aplicar lo dicho a la restriccion def a los discos contenidos en Ω). Mas aun, si f : Ω ⊂ Cn −→ C es holomorfa yz = (z1, . . . , zn) ∈ Ω, podemos aplicar el razonamiento anterior a las funcionesque fijan todas las componentes de z menos una, con lo cual obtenemos:

Teorema 13.24 Si f : Ω −→ C es una funcion holomorfa en un abierto deCn, entonces f es de clase C∞ en Ω, Re f e Im f son funciones harmonicas ylas derivadas parciales de f son tambien holomorfas.

Ası pues, —al contrario de lo que sucede en el caso real— las funciones ho-lomorfas son infinitamente derivables. Todas las propiedades de las funcionesharmonicas se traducen ahora a propiedades analogas de las funciones holomor-fas. Por ejemplo, 13.5 nos da:

Teorema 13.25 (Teorema de Weierstrass) Si fn∞n=0 es una sucesion defunciones holomorfas en un abierto Ω ⊂ C que converge uniformemente en lossubconjuntos compactos de Ω a una funcion f : Ω −→ C entonces f es holomorfaen Ω y f ′

n converge a f ′ uniformemente en los compactos de Ω.

Basta observar que la convergencia uniforme de fn a f equivale a queRe fn converja uniformemente a Re f e Im fn converja uniformemente aIm f . La posibilidad de relajar la convergencia uniforme de 13.5 a la conver-gencia uniforme en compactos es clara, y de este modo el teorema es aplicablea las series de potencias (vease 4.26), de donde resulta que todas las funcionesdefinidas por series de potencias son holomorfas. Ası tenemos otra prueba deque las funciones ez, sen z, cos z son holomorfas.

13.5. Teoremas integrales 117

Ejemplo El teorema de Liouville vale para funciones holomorfas en C, locual tiene una aplicacion clasica: el teorema fundamental del algebra. Si unpolinomio no constante P (z) no tuviera raıces complejas entonces 1/P (z) serıauna funcion holomorfa y acotada en C, lo cual es imposible.

A partir de aquı nos restringimos al caso de una variable porque es el demayor interes y las ideas fundamentales se ven ası mas claramente.

Teorema 13.26 Sea Ω un abierto en C tal que H1(Ω) = 0. Entonces todafuncion harmonica en Ω es la parte real de una funcion holomorfa.

Demostracion: Sea f : Ω −→ R una funcion harmonica. Hemos de probarque existe una funcion g : Ω −→ R de modo que f + ig sea holomorfa, es decir,que sea de clase C1 y cumpla

∂g

∂x= −∂f

∂y,

∂g

∂y=∂f

∂x.

La existencia de g se sigue inmediatamente del teorema 12.15.

Si dos funciones harmonicas f y g cumplen que f + ig es una funcion holo-morfa se dice que son funciones harmonicas conjugadas. Es facil ver que se tratade una relacion simetrica y que dos conjugadas de una misma funcion se diferen-cian en una constante. El teorema anterior prueba que toda funcion harmonicaen un abierto en C de cohomologıa trivial tiene una funcion harmonica conju-gada.

13.5 Teoremas integrales

Una consecuencia elemental del teorema precedente es esta:

Teorema 13.27 (Teorema de Cauchy) Sea Ω un abierto en C que cumplaH1(Ω) = 0 y sea γ : [a, b] −→ Ω un arco cerrado, es decir, tal que γ(a) = γ(b).Entonces, si f : Ω −→ C es una funcion holomorfa,

∫

γf(z) dz = 0.

En efecto, como f tiene primitiva, basta aplicar la regla de Barrow. Lahipotesis cohomologica es esencial, como muestra el ejemplo siguiente:

Ejemplo Vamos a probar que si z0 ∈ C, r > 0 y n ∈ Z entonces∫

|ζ−z0|=r(ζ − z0)

n dζ =

0 si n 6= −12πi si n = −1

En efecto, se entiende que la integral se calcula sobre la circunferencia decentro z0 y radio r con la orientacion usual (en sentido antihorario), de modoque una parametrizacion es ζ = z0 + reit, para t ∈ [0, 2π], luego

∫

|ζ−z0|=r

1

ζ − z0dζ =

∫ 2π

0

ireit

reitdt = 2πi.


Por otra parte, si n 6= −1 la funcion (z − z0)n tiene primitiva en C \ 0,

concretamente la funcion(z − z0)

n+1

n+ 1,

luego la regla de Barrow implica que la integral es nula.

En particular 1/z es un ejemplo de funcion holomorfa en C\0 que no tieneprimitiva en dicho abierto.

Supongamos que C ⊂ C es una 1-variedad orientable (de hecho, toda 1-variedad es orientable). Si ω es una 1-forma compleja en C, diremos que esintegrable si lo son Reω e Imω, y en tal caso definimos su integral como

∫

C

ω =

∫

C

Reω + i

∫

C

Imω.

Es facil ver que la integral ası definida es C-lineal. Diremos que una funcionf : C −→ C es integrable si lo es la 1-forma f(z) dz, en cuyo caso definimos laintegral de f como la de dicha forma. Si f es holomorfa, el teorema 13.22 nosda que d(f(z) dz) = 0, luego el teorema de Stokes nos proporciona una variantedel teorema de Cauchy:

Teorema 13.28 Sea Ω un abierto acotado en C tal que Ω sea una 2-variedadcon frontera. Sea f una funcion holomorfa definida en un abierto que contengaa Ω. Entonces

∫

∂Ω

f(z) dz = 0.

El caso principal al que aplicaremos este teorema sera aquel en que Ω es unacorona circular:

Ω = z ∈ C | r < |z − z0| < R.Entonces ∂Ω consta de dos circunferencias concentricas, y es esencial repararen que, considerando en Ω la orientacion usual, la circunferencia exterior quedaorientada en sentido antihorario, pero la interior queda orientada en sentidohorario (vease el ejemplo de la pagina 40). Por consiguiente la conclusion es que

∫

|z−z0|=Rf(z) dz −

∫

|z−z0|=rf(z) dz = 0,

donde las dos circunferencias se recorren en sentido antihorario. Con esto po-demos probar un resultado fundamental:

Teorema 13.29 (Formula integral de Cauchy) Sea f : Ω −→ C una fun-cion holomorfa en un abierto Ω que contenga una bola cerrada Br(z0). Entonces,si |z − z0| < r y n es un numero natural se cumple

fn)(z) =n!

2πi

∫

|ζ−z0|=r

f(ζ)

(ζ − z)n+1dζ.

13.6. Singularidades aisladas 119

Demostracion: Probemos primero el caso n = 0 y z = z0. En primerlugar la observacion precedente al teorema implica que la integral

∫

|ζ−z0|=r

f(ζ)

ζ − z0dζ

no depende de r. Sea ǫ > 0 y tomemos r suficientemente pequeno para que si|ζ− z0| = r entonces |f(ζ)− f(z0)| < ǫ. Teniendo en cuenta el ejemplo anterior,

∣

∣

∣

∣

∣

1

2πi

∫

|ζ−z0|=r

f(ζ)

ζ − z0dζ − f(z0)

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

1

2πi

∫

|ζ−z0|=r

f(ζ) − f(z0)

ζ − z0dζ

∣

∣

∣

∣

∣

≤ ǫ

2πrL(γ) = ǫ.

Como esto se cumple para todo ǫ, concluimos que se da la igualdad buscada.Consideremos ahora un punto z tal que |z − z0| < r y tomemos un radio s talque Bs(z) ⊂ Br(z0). Entonces el teorema 13.28 junto con la parte ya probadaimplica que

1

2πi

∫

|ζ−z0|=r

f(ζ)

ζ − zdζ =

1

2πi

∫

|ζ−z|=s

f(ζ)

ζ − zdζ = f(z),

pues las dos circunferencias constituyen la frontera del abierto Br(z0) \ Bs(z).La formula para n arbitrario se obtiene derivando esta.

13.6 Singularidades aisladas

Introducimos ahora un nuevo concepto que nos permitira generalizar nota-blemente estas formulas. Consideremos una serie funcional de la forma

+∞∑

n=1

a−n(z − z0)n

, (13.1)

donde a−n, z0 ∈ C. La funcion h(z) = 1/(z − z0) es un homeomorfismo deC \ z0 en C \ 0 (su inversa es h−1(z) = z0 + 1/z). Es claro que la serieanterior converge (absolutamente) en un punto z 6= z0 si y solo si la serie depotencias

∞∑

n=1

a−nzn

converge (absolutamente) en h(z) (y la suma es la misma). Puesto que esta serieconverge absolutamente en un disco de la forma Bǫ(0) (= C si ǫ = ∞) y divergefuera de la clausura del mismo (teorema 4.26), concluimos que la serie originalconverge absolutamente en el abierto A = h−1[Bǫ(0)] = z ∈ C | |z − z0| > r(donde r = 1/ǫ) y diverge fuera de la clausura del mismo (supuesto ǫ > 0 y conel convenio 1/∞ = 0). Mas aun, si K es un subconjunto compacto de A, la


serie de potencias converge uniformemente en h[K], de donde se sigue facilmenteque la serie original converge uniformemente en K. El teorema de Weierstrassimplica que (13.1) define una funcion holomorfa sobre los numeros z tales que|z − z0| > r. Consideremos ahora una serie de potencias

∞∑

n=0

an(z − z0)n.

Si su radio de convergencia R es mayor que r, entonces podemos considerarla funcion holomorfa

f(z) =

+∞∑

n=−∞an(z − z0)

n =

+∞∑

n=1

a−n(z − z0)n

+

∞∑

n=0

an(z − z0)n,

definida sobre el anillo A(z0, r, R) = z ∈ C | r < |z − z0| < R, donde quizaR = +∞.

Estas series dobles reciben el nombre de series de Laurent. Las series

∞∑

n=0

an(z − z0)n,

∞∑

n=1

a−n(z − z0)n

,

reciben el nombre de parte regular y parte singular, respectivamente, de la seriede Laurent.

Los razonamientos anteriores muestran que si una serie de Laurent convergeen un abierto (en el sentido de que lo hacen sus partes regular y singular) en-tonces converge en un anillo A(z0, r, R). La convergencia es absoluta y uniformeen los compactos. Ademas la serie diverge fuera de la clausura del anillo.

Ahora es facil ver que los coeficientes de una serie de Laurent convergenteen un anillo estan completamente determinados por la funcion holomorfa quedetermina:

Teorema 13.30 Supongamos que una serie de Laurent

+∞∑

n=−∞an(z − z0)

n

converge en un anillo A(z0, r, R) a una funcion f . Sea r < ρ < R. Entonces

an =1

2πi

∫

|ζ−z0|=ρ

f(ζ)

(ζ − z0)n+1dζ.

Demostracion: La serie de Laurent

f(ζ)

(ζ − z0)m+1=

+∞∑

n=−∞an(z − z0)

n−m−1


converge obviamente en el mismo anillo que f , y la convergencia es uniforme enla circunferencia de radio ρ. Por 13.21 podemos intercambiar la integral con lasuma:

∫

|ζ−z0|=ρ

f(ζ)

(ζ − z0)n+1dζ =

+∞∑

n=−∞an

∫

|ζ−z0|=ρ(z − z0)

n−m−1 dζ = 2πiam,

pues todos los sumandos son nulos excepto el correspondiente a n = m, segunhemos visto anteriormente.

Lo verdaderamente notable es que toda funcion holomorfa en un anillo ad-mite un desarrollo en serie de Laurent:

Teorema 13.31 Sea f una funcion holomorfa en el anillo A(z0, r, R), dondez0 ∈ C y 0 ≤ r < R ≤ +∞. Sea r < ρ < R y para cada n ∈ Z sea

an =1

2πi

∫

|ζ−z0|=ρ

f(ζ)

(ζ − z0)n+1dζ.

Entonces

f(z) =+∞∑

n=−∞an(z − z0)

n, para r < |z| < R.

Demostracion: El teorema de 13.28 implica que an es independiente dela eleccion de ρ. Dado z ∈ A(z0, r, R) tomamos r < ρ1 < |z| < ρ2 < R. Ahoraaplicamos el teorema 13.28 al anillo limitado por las circunferencias de centro z0y radios ρ1 y ρ2 menos un disco de centro z y radio ǫ suficientemente pequenopara que su clausura este contenida en dicho anillo. Obtenemos que

f(z) =1

2πi

∫

|ζ−z|=ǫ

f(ζ)

ζ − zdζ

=1

2πi

∫

|ζ−z0|=ρ2

f(ζ)

ζ − zdζ − 1

2πi

∫

|ζ−z0|=ρ1

f(ζ)

ζ − zdζ

=1

2πi

∫

|ζ−z0|=ρ2

f(ζ)

(ζ − z0)− (z − z0)dζ − 1

2πi

∫

|ζ−z0|=ρ1

f(ζ)

(ζ − z0)− (z − z0)dζ

=1

2πi

∫

|ζ−z0|=ρ2

f(ζ)

ζ − z0

dζ

1− z−z0ζ−z0

+1

2πi

∫

|ζ−z0|=ρ1

f(ζ)

z − z0

dζ

1− ζ−z0z−z0

=1

2πi

∫

|ζ−z0|=ρ2

f(ζ)

ζ − z0

∞∑

n=0

(

z − z0ζ − z0

)n

dζ

+1

2πi

∫

|z−z0|=ρ1

f(ζ)

z − z0

∞∑

n=0

(

ζ − z0z − z0

)n

dζ.


Para intercambiar las sumas con las integrales hemos de justificar que lasseries convergen uniformemente en las circunferencias. Esto se sigue del criteriode mayoracion de Weierstrass. Por ejemplo, para la primera tenemos

∣

∣

∣

∣

f(ζ)

ζ − z0

(

z − z0ζ − z0

)n∣∣

∣

∣

≤ M

ρ2

( |z − z0|ρ2

)n

y la sucesion de la derecha es una progresion geometrica de razon menor que 1,luego determina una serie convergente. Con la segunda serie se razona igual-mente. Ası pues,

f(z) =∞∑

n=0

1

2πi

(

∫

|ζ−z0|=ρ2

f(ζ)

(ζ − z0)n+1dζ

)

(z − z0)n

+

∞∑

n=0

1

2πi

(

∫

|ζ−z0|=ρ2f(ζ)(ζ − z0)

ndζ

)

(z − z0)−n−1

=

+∞∑

n=−∞an(z − z0)

n.

Definicion 13.32 Sea f : Ω −→ C una funcion holomorfa. Diremos que unpunto z0 es una singularidad aislada de f si Br(z0) \ z0 ⊂ Ω para cierto radior > 0.

Es decir, z0 es una singularidad aislada de f si f esta definida alrededor dez0 (pero tal vez no en z0). Puesto que Br(z0) \ z0 = A(z0, 0, r), el teoremaanterior implica que f admite un desarrollo en serie de Laurent

f(z) =

+∞∑

n=−∞an(z − z0)

n, para 0 < |z − z0| < r.

Los coeficientes an estan unıvocamente determinados por f , luego podemosdefinir el orden de f en z0 como

o(f, z0) = ınfn ∈ Z | an 6= 0,

entendiendo que o(f, z0) = +∞ si an = 0 para todo n y o(f, z0) = −∞ si haycoeficientes a−n = 0 para n arbitrariamente grande.

Veamos la informacion que nos da el orden de una singularidad aislada. Sio(f, z0) ≥ 0 entonces la serie de Laurent es en realidad una serie de potencias,definida tambien en z0, por lo que f se extiende a una funcion holomorfa enΩ∪z0. Concretamente f(z0) = a0. Mas en general, la formula de Cauchy nosda que si n ≥ 0 entonces

an =1

2πi

∫

|ζ−z0|=r

f(ζ)

(ζ − z0)n+1dζ =

fn)(z0)

n!.


Por consiguiente el desarrollo de Laurent de f es

f(z) =

∞∑

n=0

fn)(z0)

n!(z − z0)

n,

es decir, la serie de Laurent de f es precisamente su serie de Taylor. Ahorasabemos que la serie converge a f en todo disco abierto de centro z0 contenidoen Ω. Cuando o(f, z0) ≥ 0 se dice que z0 es una singularidad evitable de f .

En general, si o(f, z0) = n ∈ Z, podemos extraer un termino (z − z0)n de

la serie de Laurent, de modo que nos queda una serie de potencias con primercoeficiente no nulo, es decir, f(z) = (z − z0)

ng(z), donde g(z) es una funcionholomorfa definida en un entorno de z0 y tal que g(z0) 6= 0. La unicidad de laserie de Laurent implica facilmente que esta descomposicion es unica.

Si o(f, z0) = n > 0 se dice que z0 es un cero de orden n de f . Notemosque si f es un polinomio este concepto de orden de un cero coincide con lamultiplicidad de una raız. Si o(f, z0) = −n < 0 se dice que z0 es un polo deorden n de z0. Es claro que f(z) tiende a infinito cuando z tiende a un polo.

Finalmente, si o(f, z0) = −∞ se dice que el punto z0 es una singularidadesencial de f . Notemos que f no puede estar acotada en un entorno de unasingularidad esencial. En efecto, si lo estuviera, tambien lo estarıa la partesingular de su serie de Laurent, es decir, tendrıamos una funcion

g(z) =

+∞∑

n=1

a−n(z − z0)n

convergente para 0 < |z−z0| y acotada en un entorno de z0. Entonces la funciong(1/(z− z0)) esta definida por una serie de potencias que converge en C y tieneque estar acotada en un entorno de ∞, luego esta acotada en todo C. Por elteorema de Liouville ha de ser constante, luego de hecho ha de ser nula, al igualque g, lo que nos da una contradiccion.

Tampoco puede ser que una funcion f tienda a ∞ cuando z tiende a unasingularidad esencial z0, pues entonces 1/f tenderıa a 0, luego z0 serıa unasingularidad evitable de 1/f (no puede ser un polo ni una singularidad esencial),digamos 1/f(z) = (z − z0)

ng(z), para una cierta funcion g holomorfa en unentorno de z0 que no se anula en z0. Por consiguiente f(z) = (z−z0)−n(1/g(z)),donde el segundo factor es una funcion holomorfa en un entorno de z0 que nose anula. Desarrollandola en serie de Taylor vemos que f tiene un polo en z0,en contra de lo supuesto.

Como los casos que hemos considerado son todos los posibles y se excluyenmutuamente, hemos probado lo siguiente:

Teorema 13.33 Sea z0 una singularidad aislada de una funcion holomorfa f .Entonces:

a) z0 es una singularidad evitable de f si y solo si f esta acotada en unentorno de z0. Ademas en tal caso existe lım

z→z0f(z) ∈ C.


b) z0 es un polo de f si y solo si lımz→z0

f(z) = ∞.

c) z0 es una singularidad esencial de f si y solo si f no tiene lımite (finitoo infinito) en z0.

Observemos que hemos demostrado la variante siguiente del teorema 13.31,segun el cual la convergencia de las series de Taylor se vuelve trivial:

Teorema 13.34 Si f es una funcion holomorfa en una bola abierta Br(z0),entonces la serie de Taylor de f alrededor de z0 converge a f en todos suspuntos.

Ejemplo Consideremos la funcion f(z) = (1+z)α, que es holomorfa en la bolaB1(0). Claramente fn)(z) = α(α−1) · · · (α− (n−1))f(z), luego los coeficientesde su serie de Taylor son los numeros combinatorios generalizados

(

α

n

)

=α(α− 1) · · · (α− (n− 1))

n!.

El teorema anterior justifica que

(1 + z)α =

∞∑

n=0

(

α

n

)

zn, para |z| < 1,

lo que supone una generalizacion de la formula del binomio de Newton, ya que siα es un numero natural es claro que los numeros combinatorios son los usualeshasta n = α y son nulos a partir de α.

El teorema anterior tiene una consecuencia notable:

Teorema 13.35 (Principio de prolongacion analıtica) Si Ω es un abiertoconexo en C y f ∈ H(Ω) cumple que el conjunto z ∈ Ω | f(z) = 0 tiene unpunto de acumulacion en Ω, entonces f = 0.

Demostracion: Sea A el conjunto de todos los puntos z ∈ Ω tales quefn)(z) = 0 para todo n = 0, 1, 2, . . . Se cumple que A es cerrado en Ω, pues

A =∞⋂

n=0(fn))−1[0],

que es una interseccion de cerrados por la continuidad de las derivadas fn).Pero A tambien es abierto en Ω, pues si z ∈ A, podemos tomar un r > 0 tal queBr(z) ⊂ A y el teorema anterior implica que la serie de Taylor de f alrededorde z converge a f en la bola, pero la definicion de A dicha serie tiene todossus coeficientes nulos, luego f |Br(z) es nula, luego si w ∈ Br(z), el desarrollo enserie de Taylor de f alrededor de w tiene que tener todos sus coeficientes nulos,luego w ∈ A. Ası pues, Br(z) ⊂ A, lo que prueba que A es abierto.

Como Ω es conexo, si demostramos que A 6= ∅, podremos concluirque A = Ω, lo que en particular implica que f = 0. Sea z0 ∈ Ω un punto

13.7. El teorema de los residuos 125

de acumulacion del conjunto de ceros de f . Basta probar que z0 ∈ A. Sea r > 0tal que Br(z0) ⊂ Ω. Si z0 /∈ A, sea p el menor natural tal que fp)(z0) 6= 0. Porcontinuidad tenemos que f(z0) = 0, luego p > 0.

Por el teorema anterior todo z ∈ Br(z0) cumple que

f(z) = (z − z0)p

∞∑

n=p

fn)(z0)

n!(z − z0)

n−p = (z − z0)ph(z),

donde la funcion h(z) es holomorfa en Br(z0) y cumple que h(z0) =fp)(z0)p! 6= 0.

Por continuidad existe un r′ < r tal que h no se anula en Br′(z0), lo cual implicaa su vez que z0 es el unico cero de f en Br′(z0), en contradiccion con el hechode que z0 era un punto de acumulacion del conjunto de los ceros de f .

Nota Conviene comparar el teorema anterior con el hecho de que un polinomioque se anule en infinitos puntos es nulo. Una funcion holomorfa en un abiertopuede anularse en infinitos puntos sin ser nula (es el caso, por ejemplo, de lasfunciones sen z y cos z) pero sus ceros tienen que formar un cerrado discreto (sinpuntos de acumulacion en el dominio de la funcion). En particular una funcionholomorfa solo puede tener una cantidad numerable de ceros.

Como consecuencia, si Ω ⊂ C es un conjunto conexo, entonces el anillo H(Ω)es un dominio ıntegro, pues si fg = 0, una de las dos funciones tiene que teneruna cantidad no numerable de ceros, luego tiene que ser nula.

13.7 El teorema de los residuos

Terminamos demostrando una ultima consecuencia destacada del hecho deque las 1-formas diferenciales holomorfas tengan diferencial nula, que es unaaplicacion mas del teorema de Stokes.

Definicion 13.36 Si z0 es una singularidad aislada de una funcion holomorfaf se llama residuo de f en z0 al coeficiente a−1 de su serie de Laurent en z0. Lorepresentaremos por Res(f, z0).

Convenimos en que si f es holomorfa en z0 entonces Rex(f, z0) = 0. Elresiduo de f es lo unico que influye al calcular una integral a lo largo de unacircunferencia que rodee a z0 y a ninguna otra singularidad de f . En efecto, siuna funcion f es holomorfa en BR(z0) \ z0 y 0 < r < R entonces

∫

|ζ−z0|=rf(ζ) dζ =

∫

|ζ−z0|=r

+∞∑

n=−∞an(z − z0)

n dζ

=

+∞∑

n=−∞an

∫

|ζ−z0|=r(z − z0)

n dζ

= 2πiRes(f, z0),


donde hemos usado que la serie converge uniformemente sobre la circunferenciapara intercambiarla con la integral.

Mas en general, tenemos el siguiente resultado, que extiende al teorema deCauchy:

Teorema 13.37 (Teorema de los residuos) Sea Ω ⊂ C un abierto acotadotal que Ω sea una variedad con frontera en las condiciones del teorema de Sto-kes 11.22. Sea f una funcion holomorfa definida en un abierto que contengaa Ω salvo a lo sumo un numero finito de sus puntos, ninguno de ellos en ∂Ω.Entonces

∫

∂Ω

f(ζ) dζ = 2πi∑

z∈Ω

Res(f, z).

Demostracion: Para cada punto z ∈ Ω donde no este definida f tomamosuna bola cerrada de centro z y radio r suficientemente pequeno como para queel anillo A(z, 0, r) este contenido en Ω y no contenga ninguna singularidad de f(no evitable).

Aplicamos el teorema de Stokes a la variedad for-mada por Ω menos las bolas abiertas. Teniendo encuenta que las orientaciones de las bolas abiertas sonlas opuestas a la de ∂Ω, concluimos que la integral de fen ∂Ω es igual a la suma de las integrales de f a lo largode las circunferencias, cuyo valor ya lo hemos calculado y es el que requiere elteorema.

El teorema de los residuos tiene innumerables aplicaciones, especialmente alcalculo de integrales y suma de series. Veamos una a modo de ejemplo.

Teorema 13.38 Consideremos una funcion racional (cociente de polinomios)

R(x) =P (x)

Q(x)∈ R(x),

de modo que gradQ(x) ≥ gradP (x)+2 y Q(x) no tenga raıces reales. Entonces

∫ +∞

−∞R(x) dx = 2πi

∑

Im z>0

Res(R, z).

Demostracion: La funcion R(z) esta definida sobre todo el plano complejosalvo en las raıces de Q(z), que son un numero finito. Sea r un numero realmayor que el modulo de cualquiera de estas raıces. Consideremos el semicırculoΩ de centro 0 y radio r contenido en el semiplano superior. Esta en las condicio-nes del teorema de Stokes, pues su frontera tiene tan solo dos puntos singulares(±r). Al aplicar el teorema de los residuos obtenemos que

∫

∂Ω

R(z) dz = 2πi∑

Im z>0

Res(R, z).

13.7. El teorema de los residuos 127

La frontera de Ω menos sus dos puntos singulares es la union de dos varie-dades: la semicircunferencia de carta reit, para t ∈ [0, π], y el intervalo [−r, r],una carta del cual es la identidad. Ası pues,

∫

∂Ω

R(z) dz =

∫ r

−rR(x) dx + ir

∫ π

0

R(reit)eit dt. (13.2)

Pongamos que

R(z) =anz

n + · · ·+ a1z + a0bmzm + · · ·+ b1z + b0

=1

zm−nan + an−1

z + · · ·+ a1zn−1 + a0

zn

bm + bm−1

z + · · ·+ b1zm−1 + b0

zm

.

El ultimo termino tiende a an/bm cuando z tiende a ∞, luego para valoresgrandes de |z| se cumple

|R(z)| ≤ C

|z|m−n ≤ C

|z|2 , con C ∈ R.

Por consiguiente

∣

∣

∣

∣

ir

∫ π

0

R(reit)eit dt

∣

∣

∣

∣

≤ πrC

r2=πC

r,

luego el ultimo termino de (13.2) tiende a 0 cuando r tiende a +∞. Puestoque la expresion es constante (es la suma de los residuos de R(z)), tambien hade existir el lımite la integral sobre [−r, r]. Teniendo en cuenta que R(x) solopuede cambiar de signo un numero finito de veces, el teorema de la convergenciamonotona puede aplicarse para justificar que R(x) es integrable en R. Al tomarlımites en (13.2) se obtiene la igualdad del enunciado.

Ejemplo Vamos a calcular

∫ +∞

−∞

dx

1 + x4.

Si llamamos ζ = eiπ/4, las raıces del denominador son ζ, ζ3, ζ5, ζ7, de lascuales tienen parte imaginaria positiva

ζ =

√2

2+ i

√2

2y ζ3 = −

√2

2+ i

√2

2.

Tenemos que R(z) = (z − ζ)−1g(z), donde g(ζ) 6= 0, luego ζ es un polosimple (de orden 1) del integrando R. El argumento que sigue es una tecnicageneral para calcular residuos de polos simples. Ha de ser

R(z) =Res(R, ζ)

z − ζ+ h(z),


para cierta funcion h holomorfa alrededor de ζ. Por consiguiente

(z − ζ)R(z) = Res(R, ζ) + (z − ζ)h(z)

y ası el residuo puede calcularse como

Res(R, ζ) = lımz→ζ

(z − ζ)R(z).

En nuestro caso

Res(R, ζ) = lımz→ζ

1

(z − ζ3)(z − ζ5)(z − ζ7)=

1

(ζ − ζ3)(ζ − ζ5)(ζ − ζ7)

=1

ζ3(1− i)(1 + 1)(1 + i)=ζ5

4,

y del mismo modo llegamos a

Res(R, ζ3) =1

(ζ3 − ζ)(ζ3 − ζ5)(ζ3 − ζ7)=ζ7

4.

Por consiguiente

∫ +∞

−∞

dx

1 + x4= 2πi

ζ5 + ζ7

4= 2πi

−√2i

4=

π√2.

Capıtulo XIV

Bases ortogonales en

espacios L2

Los resultados que vamos a exponer aquı tienen su origen en la teorıa clasicasobre series de Fourier. Empezamos discutiendo un ejemplo del tipo de proble-mas que la motivaron:

Ejemplo Una esfera de hierro de 1 cm de radio se calienta hasta una tem-peratura de 100C y a continuacion se sumerge en una cuba de agua a 30C.Determinar la temperatura en cada punto de la esfera a partir del momento dela inmersion.

Solucion: Suponemos que la temperatura T de la esfera satisface la ecua-cion del calor (11.9)

∂T

∂t= α∆T,

donde la difusividad termica del hierro es α = 2.3 · 10−5m2/s = 0.23 cm2/s.

Suponemos tambien que la cuba de agua es lo suficientemente grande comopara absorber todo el exceso de calor de la esfera sin alterar sensiblementesu temperatura, de modo que al cabo de un tiempo la esfera terminara a latemperatura ambiente. Mas aun, vamos a suponer que el tiempo que tarda lasuperficie de la esfera en alcanzar la temperatura ambiente es despreciable o,dicho de otro modo, que la superficie pasa instantaneamente de la temperaturade 100C a la de 30C.

Un planteamiento mas realista serıa considerar la ley de enfriamiento deNewton, que postula que la variacion de temperatura en la superficie de laesfera es proporcional a la diferencia de temperatura respecto de la temperaturaambiente T0:

∂T

∂t= −r(T − T0).

129

130 Capıtulo 14. Bases ortogonales en espacios L2

De este modo, el descenso de temperatura en la superficie es tambien gradual,pero el problema con la ley de Newton requiere tecnicas que exceden el alcancede la teorıa que vamos a desarrollar aquı.

Por comodidad vamos a usar una escala alternativa de temperatura en la que30C corresponda a T = 0 y 100C corresponda a T = 1. Al final expresaremoslos resultados de nuevo en grados centıgrados. En lugar de suponer que latemperatura inicial de la esfera es constante, podemos trabajar en el contextomas general en el que la distribucion de temperatura es radial, es decir, queT = T (r, t) depende unicamente de la distancia r al centro de la esfera y deltiempo. Por simetrıa, si esto es ası en el instante inicial t = 0, seguira siendoası en todo momento. Teniendo en cuenta que r =

√

x2 + y2 + z2, vemos que

∂T

∂x=∂T

∂r

x

r,

∂2T

∂x2=∂2T

∂r2x2

r2+∂T

∂r

r − x2/r

r2,

y al derivar respecto de y, z obtenemos formulas analogas, con lo que

∆T =∂2T

∂r2+

2

r

∂T

∂r=

1

r

∂2(rT )

∂r2.

Resulta conveniente definir T (r, t) para valores negativos de r estableciendoque T (−r, t) = T (r, t), para −1 ≤ r ≤ 1. Esto significa que r recorre, nosolo un radio, sino un diametro completo de la esfera. En estos terminos, elplanteamiento completo del problema es:

1

r

∂2(rT )

∂r2=

1

α

∂T

∂t, T (±1, t) = 0, T (r, 0) = F (r), para − 1 < r < 1.

donde F : [−1, 1] −→ [0,+∞[ es, en principio, una funcion arbitraria (razo-nable) que cumpla F (−r) = F (r) (que en las condiciones del enunciado esconcretamente F (r) = 1). La segunda ecuacion es lo que se llama la condicionde frontera, y establece que la temperatura en la frontera de la esfera tiene queser 0 en todo momento, mientras que la tercera ecuacion es la condicion inicial,y prescribe la temperatura de la esfera en t = 0.

Notemos que solo exigimos la condicion inicial para |r| < 1 porque nuestraintencion es particularizar al caso F (r) = 1, y suponer que la condicion inicialse cumple para r = ±1 contradirıa la condicion de frontera, debido al supuestode “enfriamiento instantaneo” de la superficie que hemos discutido antes.

Conviene hacer el cambio de variable U(r, t) = rT (r, t). En terminos de lafuncion U el problema se convierte en

∂2U

∂r2=

1

α

∂U

∂t, U(±1, t) = 0, U(r, 0) = rF (r), para − 1 < r < 1.

Lo que se sabıa antes del trabajo de Fourier es que, prescindiendo de lascondiciones iniciales y de frontera, es posible encontrar soluciones de la ecuaciondel calor de la forma U(r, t) = u(r)v(t), pues en este caso es posible separar las

131

variables en la ecuacion. En efecto, al sustituir esta expresion en la ecuaciondiferencial obtenemos u′′(r)v(t) = u(r)v′(t)/α, o tambien

u′′(r)

u(r)=

v′(t)

αv(t)= −λ2

No nos preocupamos mucho por si podemos estar dividiendo entre 0 porquenuestro proposito es acabar con una funcion que cumpla la ecuacion y, si elresultado es correcto, el camino recorrido no importara para nada. La cuestiones que el hecho de que una funcion que depende solo de r sea igual a otra quedepende solo de t implica que ambas tienen que ser constantes, y llamamos −λ2a dicha constante. Con esta notacion estamos anticipando el hecho de que, comoveremos, la constante tiene que ser negativa.

La ecuacion para v(t) tiene una solucion muy simple: Integrando ambos

miembros vemos que log v(t) = −αλ2t + k, de donde v(t) = c′e−αλ2t, para

cierta constante c′. La ecuacion para u(r) es del tipo estudiado en el ejemplo 1de la seccion 7.2, donde vimos que sus soluciones son v(r) = c′′ cos(λr+φ), paraciertas constantes c′′, φ ∈ R. Por lo tanto, una solucion de la ecuacion del calores de la forma

U(r, t) = c cos(λr + φ)e−αλ2t

(y podemos comprobar que esto es ası independientemente del camino que hemosseguido para llegar hasta ella). Para que se cumpla U(0, 0) = 0 podemos tomar

φ = π/2, lo cual equivale a que U(r, t) = c sen(λr)e−αλ2t. Las condiciones

U(±1, 0) = 0 equivalen a que λ = nπ, luego las funciones

Un(r, t) = cn sen(nπr)e−αn2π2t

cumplen todas las condiciones del problema salvo quiza la condicion inicial. Apartir de aquı, Fourier se planteo considerar soluciones de la forma

U(r, t) =∞∑

n=1cn sen(nπr)e

−αn2π2t.

Observemos que cualquier sucesion acotada cn∞n=1 define una funcion declase C∞ en ]−1, 1[ × ]0,+∞[ que cumple la ecuacion del calor. En efecto, siconsideramos a U(r, t) como funcion de r para un t fijo, vemos que la serieconverge uniformemente por el teorema de mayoracion de Weierstrass, ya que

|cn sen(nπr)e−αn2π2t| ≤ Ke−αn

2π2t,

y la serie de la exponencial converge por el criterio de D’Alembert. Mas aun,la serie de las derivadas respecto de r tambien converge uniformemente, puesahora

|nπcn cos(nπr)e−αn2π2t| ≤ Kne−αn

2π2t,

y esta serie sigue siendo convergente. El teorema 4.49 implica que U es derivablerespecto de r y que la derivada parcial es la suma de las series de las derivadas. Elmismo razonamiento se aplica a las derivadas sucesivas, y ası tenemos que ∆U


es la suma de los laplacianos de los sumandos. Por otra parte, si fijamos r,la serie tambien converge uniformemente en un entorno de cada t > 0, puespodemos fijar 0 < ǫ < t y acotar

|cn sen(nπr)e−αn2π2t| ≤ Ke−αn

2π2ǫ.

Igualmente se razona que la serie de las derivadas converge uniformemente, loque a su vez implica que U es derivable respecto de t y que su derivada es la sumade las derivadas de los sumandos de la serie. Esto nos basta para probar queU satisface la ecuacion del calor, aunque afinando el razonamiento concluimosque U es de clase C∞ en ]−1, 1[× ]0,+∞[.

Tambien es inmediato que, como los sumandos cumplen la condicion defrontera, lo mismo le sucede a la suma U . Por ultimo, que U cumpla la condicioninicial equivale a que

∞∑

n=1cn sen(nπr) = rF (r), (14.1)

y este es el punto donde interviene la teorıa de Fourier. Fourier se planteosi toda funcion f : [a, b] −→ R (que cumpla condiciones “razonables”) puededesarrollarse en una serie trigonometrica de la forma

f(x) = a0 +∞∑

n=1(an cos

2nπT x+ bn sen

2nπT x), (14.2)

donde T = b− a. Veremos que la respuesta es afirmativa. Mas aun, el hecho deque en (14.1) no aparezcan cosenos sera una consecuencia necesaria del hechode que la funcion f(r) = rF (r) es impar, es decir, que cumple f(−r) = −f(r).Ası, si rF (r) admite lo que se llama un “desarrollo en serie de Fourier”, sera dela forma requerida por (14.1) y los coeficientes cn definiran una solucion U(r, t)del problema que tenemos planteado, concretamente, la dada por

T (r, t) =∞∑

n=1

cnsen(nπr)

re−αn

2π2t.

Veremos que la teorıa de Fourier no solo asegura (bajo condiciones “razonables”)la existencia de desarrollos en serie de Fourier, sino que indica como calcularexplıcitamente los coeficientes para una funcion dada. Por ejemplo, en el casoen que F (r) = 1, veremos que el desarrollo en serie de Fourier de f(x) = x enel intervalo [−1, 1] es

x =

∞∑

n=1

2(−1)n+1

nπsennπx, −1 < x < 1, (14.3)

lo que a su vez da lugar a la solucion

T (r, t) =

∞∑

n=1

(−1)n+12

nπ

sen(nπr)

re−αn

2π2t

133

o, si volvemos a expresar la temperatura en grados:

T (r, t) = 30 + 140∞∑

n=1

(−1)n+1

nπ

sen(nπr)

re−αn

2π2t.

He aquı las sumas parciales de la serie (14.3) con 10 y 100 sumandos, res-pectivamente:

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

La figura siguiente muestra la funcion T (calculada como la suma de los5 000 primeros terminos de la serie que la define):

0

0.5

r10

0.5

11.5

2t

50

100T

Vemos que su comportamiento es el requerido: en t = 0 es constante iguala 100, y a partir de ahı la temperatura va descendiendo con el tiempo hastaalcanzar la temperatura ambiente de 30. Observamos tambien la discontinui-dad en (r, t) = (1, 0) provocada por la hipotesis de enfriamiento instantaneo dela superficie de la esfera.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

20

40

60

80

100La temperatura en el centro de la esfera(r = 0) viene dada por

T (0, t) = 30 + 140∞∑

n=1(−1)n+1 e−αn

2π2t.

Vemos en la grafica que al cabo de 3s elcentro y, por consiguiente, toda la esfera,ha alcanzado ya practicamente la tempera-tura ambiente. Tambien es interesante observar que hay un breve lapso de


unas decimas de segundo en las que la temperatura del centro apenas varıa.Teoricamente, la ecuacion del calor establece que las variaciones de calor setransmiten de forma instantanea, en el sentido de que, por ejemplo, la tempe-ratura del centro empieza a variar (aunque sea poco) en el mismo instante enque la esfera se sumerge en el agua, lo cual no es fısicamente posible, pero en lapractica el modelo es aceptable, pues predice que la variacion inicial que se daen teorıa es practicamente inapreciable.

Tenemos, pues, que estudiar, bajo que condiciones es posible desarrollaruna funcion f en una serie de Fourier (14.2). Como todos los sumandos sonperiodicos de periodo T , es inmediato que si una serie de este tipo converge enun intervalo [a, b] de longitud T , de hecho converge en todo R a una funcion deperiodo T . Esto puede verse en las graficas que hemos mostrado de las sumasparciales de la serie de Fourier de la funcion f(x) = x en el intervalo [−1, 1], queconvergen a una funcion periodica con discontinuidades en los numeros enteros(donde toma el valor 0).

Una parte esencial en la obtencion de los desarrollos en serie de Fourierconsistira en demostrar que las funciones cos 2nπ

T y sen 2nπT , para n = 0, 1, . . .

forman una base ortogonal del espacio de Hilbert L2([a, b]), donde b − a = T ,de modo que los coeficientes de la serie de Fourier de una funcion f podranobtenerse a partir de la teorıa general sobre los espacios de Hilbert. (Vease, porejemplo, la definicion 3.48.)

Finalmente observamos que las funciones f : R −→ R periodicas de pe-riodo T pueden identificarse con las funciones f : S1 −→ R, definidas en lacircunferencia unitaria S1 = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1 a traves de la biyecciondada por

f(t) = f(cos2πt

T, sen

2πt

T).

Esto significa que “en realidad” la teorıa de series de Fourier es una teorıa sobrelas funciones definidas en la circunferencia S1, y aquı vamos a presentar unateorıa general valida para funciones definidas en esferas

Sd = x ∈ Rd+1 | ‖x‖ = 1

de cualquier dimension (que suponemos unitarias por simplicidad, pues todoslos resultados se trasladan trivialmente a esferas de centro y radio arbitrarios).

Aunque en muchas aplicaciones las funciones involucradas tomaran valoresreales, desde un punto de vista teorico es util trabajar con funciones con valorescomplejos. Como es habitual, usaremos la letra K para referirnos indistinta-mente a R o a C.

Si (X,µ) es un espacio medida y f : X −→ C es una funcion arbitraria,podemos expresarla de forma unica como f = f1 + if2. Diremos que f esmedible (resp. integrable) si lo son f1 y f2, y definimos

∫

X

f dµ =

∫

X

f1 dµ+ i

∫

X

f2 dµ.

14.1. Funciones homogeneas 135

A su vez, el espacio Lp(µ) se define como el espacio de las funciones mediblesf : X −→ K tales que

‖f‖p =(∫

X

|f |p dµ)1/p

<∞,

donde |f |p =(√

f21 + f2

2

)pes una funcion real.

Toda la teorıa sobre los espacios Lp se puede desarrollar en este contextomas general o, alternativamente, podemos demostrar facilmente los resultadospara funciones complejas a partir de los resultados correspondientes a funcionesreales. Por simplicidad consideraremos unicamente el caso p = 2, que es el quevamos a necesitar.

Observamos en primer lugar que, para una funcion compleja, el modulo|f |2 = |f1|2+|f2|2 es integrable si y solo si lo son |f1|2 y |f2|2, es decir, f ∈ L2(µ)si y solo si f1, f2 ∈ L2(µ). Ademas, ‖f‖2 =

√

‖f1‖22 + ‖f2‖22.De aquı se sigue inmediatamente que ‖ ‖2 es “casi” una norma en el caso

complejo, y que induce una norma en el espacio vectorial cociente definido por elsubespacio de L2(µ) formado por las funciones de norma nula. A dicho cocientelo llamaremos tambien L2(µ). Es inmediato que el espacio complejo L2(µ)es el producto del espacio real correspondiente por sı mismo en el sentido delteorema 2.3. Esto implica a su vez que se trata de un espacio de Banach.

Podemos dotar a L2(µ) de estructura de espacio de Hilbert con el productoescalar dado por

〈f, g〉 =∫

X

f g dµ =

∫

X

f1g1 dµ+

∫

X

f2g2 dµ+ i

(∫

X

f2g1 dµ−∫

X

f1g2 dµ

)

= 〈f1, g1〉+ 〈f2, g2〉+ i(〈f2, g1〉 − 〈f1, g2〉), (14.4)

donde los ultimos productos escalares son los correspondientes al espacio L2(µ)con funciones reales.

Como vamos a considerar unicamente la medida de Lebesgue sobre diferentesespacios, en lo sucesivo escribiremos L2(X) en lugar de L2(µ), destacando elconjunto en el que trabajamos en lugar de su medida.

Por ultimo observamos que el teorema 9.24 para el caso real implica inme-diatamente su analogo complejo. En particular, podemos considerar a C(Sd,K)como subespacio de L2(Sd). A partir de aquı omitiremos el subındice 2 en lanorma de L2.

14.1 Funciones homogeneas

Introducimos aquı algunos preliminares que vamos a necesitar, relativos alconcepto siguiente:

Definicion 14.1 Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto. Una funcion f : Ω −→ K eshomogenea de grado α ∈ R si para todo x ∈ Ω y todo λ > 0 tal que λx ∈ Ω secumple que f(λx) = λαf(x).

Observemos que cuando α = 0 esto equivale a que f(λx) = f(x).


Es claro que si f = f1 + if2 entonces f es homogenea de grado α si y solo silo son f1 y f2. Esto permite reducir al caso real todos los hechos que vamos asenalar a continuacion, aunque a menudo las pruebas son directas, sin necesidadde tal reduccion.

Un polinomio no nulo f(x) ∈ K[x1, . . . , xn] (visto como funcion Rn −→ K)

es homogeneo de grado m ∈ N si y solo si es suma de monomios de grado m.

En efecto, es claro que toda suma de monomios de gradom es homogenea degrado m, ası como que f se descompone de forma unica como f = f0 + · · ·+ fr,donde cada fi es una suma de monomios de grado i. Entonces, si λ > 0, tenemosque

λmf(x) = f0(x) + λf1(x) + · · ·+ λrfr(x).

Ası pues, para cada x ∈ Rn tenemos que los dos miembros son polinomios en λque toman los mismos valores para todo λ > 0. Esto solo puede ocurrir si sonel mismo polinomio, es decir, si f(x) = fm(x) para todo x ∈ Rn.

Observemos que los polinomios homogeneos cumplen la definicion de homo-geneidad para todo λ ∈ R, no necesariamente positivo. Si K es un cuerpo arbi-trario podemos definir los polinomios homogeneos de grado m en K[x1, . . . , xn]como las sumas de monomios de grado m, y la definicion coincide con la prece-dente para el caso en que K = K.

Tambien es inmediato que las derivadas parciales de una funcion homogeneade grado α son homogeneas de grado α− 1. En efecto, solo tenemos que derivaren la relacion que define la homogeneidad para obtener que

∂f

∂xi(λx)λ = λα

∂f

∂x⇒ ∂f

∂xi(λx) = λα−1 ∂f

∂x.

Las funciones homogeneas de clase C1 admiten una caracterizacion en ter-minos de sus derivadas:

Teorema 14.2 (Euler) Si Ω ⊂ Rn es abierto, una funcion f : Ω −→ K declase C1 es homogenea de grado α ∈ R si y solo si, para todo x ∈ Ω, se cumple

x1∂f

∂x1+ · · ·+ xn

∂f

∂xn= αf.

Demostracion: Consideramos la ecuacion f(λx) = λαf(x) y derivamosambos miembros respecto de λ:

∂f

∂x1(λx)x1 + · · ·+ ∂f

∂xn(λx)xn = αλα−1f(x).

Tomando λ = 1 resulta la ecuacion del enunciado. Para probar el recıproco noperdemos generalidad si suponemos que f : Ω −→ R, pues el caso real implicatrivialmente el caso complejo. Si f cumple la ecuacion del enunciado, llamamosg(λ) = f(λx), de modo que

g′(λ) =∂f

∂x1(λx)x1 + · · ·+ ∂f

∂xn(λx)xn = αλα−1f(x) =

α

λg(λ).

14.1. Funciones homogeneas 137

Tenemos ası una ecuacion diferencial de variables separables:

g′(λ)

g(λ)=α

λ,

luego log g(λ) = α log(λ) + c, luego g(λ) = kλα con k = g(1) = f(x), luegof(λx) = λαf(x).

Observamos ahora que toda funcion F : Rd+1 \ 0 −→ K homogenea degrado m ∈ N esta determinada por su restriccion f = F |Sd , pues obviamenteF (x) = rmf(x/r), donde r = ‖x‖. Recıprocamente, si f : Sd −→ K, la relacionF (x) = rmf(x/r) define una extension de f a Rd+1\0 homogenea de gradom.

Mas precisamente, observemos que si f ∈ Ck(Sd), es decir, si para cadap ∈ Sd existe una carta X : U −→ Sd que cubre p de modo que X f es declase Ck, entonces la extension F es de clase Ck en R

d+1 \ 0. Basta teneren cuenta que la funcion f(x/r) es de clase Ck, porque en un entorno de cadapunto se descompone como

x ∈ Rd+1 \ 0 | x/r ∈ X [U ] x/r−→ X [U ]

f−→ K,

donde las dos funciones son de clase Ck, y claramente x 7→ rm tambien es declase Ck en Rd+1 \ 0.

Definicion 14.3 Definimos el operador de Laplace-Beltrami en Sd como laaplicacion ∆d : C2(Sd,K) −→ C2(Sd,K) definida por ∆df = ∆F |Sd , dondeF (x) = f(x/r) es la extension de f a Rd+1 \ 0 homogenea de grado 0.

Teniendo en cuenta que si F = F1 + iF2, entonces ∆F = ∆F1 + i∆F2, esclaro que si f = f1 + if2, entonces ∆df = ∆df1 + i∆df2. Como en el caso de lahomogeneidad, Esta relacion permite reducir al caso real todas las propiedadesque vamos a considerar.

Observemos que, para puntos de Rd+1 \ 0 que no esten necesariamente

en Sd se cumple que ∆F (x) = r−2∆df(x/r) pues, como F es homogenea degrado 0, su laplaciano es una funcion homogenea de grado −2, luego

∆F (x) = r−2∆F (x/r) = r−2∆df(x/r).

El teorema siguiente generaliza esta formula:

Teorema 14.4 Sea f ∈ C2(Sd,K) y F : Rd+1 \ 0 −→ K su extension ho-mogenea de grado m. Entonces

∆F (x) = rm−2(m(d+m− 1)f(x/r) + ∆df(x/r)).

Demostracion: Llamamos F0(x) = f(x/r), de modo que F (x) = rmF0(x).Entonces

∇F = F0∇rm + rm∇F0, ∆F = F0∆rm + rm∆F0 + 2∇rm∇F0.


Ahora bien, ∇rm = mrm−1∇r = mrm−2x, y por el teorema de Euler x∇F0 = 0,luego

∆F = ∆rm f(x/r) + rm−2∆f(x/r).

Solo falta calcular

∆rm = m∇(rm−2x) = m(∇rm−2 · x+ rm−2∇x) =

m((m− 2)rm−3x

r· x+ (d+ 1)rm−2) = m((m− 2)rm−3r + (d+ 1)rm−2) =

rm−2m(d+m− 1).

Necesitamos una ultima propiedad del operador de Laplace-Beltrami:

Teorema 14.5 Si f, g ∈ C2(Sd,K), entonces

∫

Sd

f ∆dg dσ =

∫

Sd

∆df g dσ.

Demostracion: La la relacion (14.4) permite reducir trivialmente el casocomplejo al caso real, ası que no perdemos generalidad si suponemos que lasfunciones son reales.

Sean F,G : Rd+1\0 −→ R las extensiones de f y g homogeneas de grado 0.Entonces

∫

Sd

(f∆dg − g∆df) dσ =

∫

Sd

(F ∆G−G∆F ) dσ.

Como el integrando, visto como funcion en Rd+1 \ 0, no depende de r y∫ 1

0rd dr = 1, el cambio de variable (10.4) (pagina 18) nos da que

∫

Sd

(f∆dg − g∆df) dσ =

∫ 1

0

rd∫

Sd

(F ∆G−G∆F ) dσ dr =

∫

Bd+1

(F ∆G−G∆F ) dm =

∫

Sd

(FdG

dn−G

dF

dn) dσ = 0,

donde hemos aplicado la segunda formula de Green y el teorema de Euler, segunel cual (teniendo en cuenta que el vector normal a Sd es simplemente n = x)

dF

dn= ∇F · x = 0.

Observemos que la igualdad del teorema anterior puede expresarse en ter-minos del producto escalar de L2(Sd), pues equivale a que 〈f,∆dg〉 = 〈∆df, g〉.

14.2. Harmonicos esfericos 139

14.2 Harmonicos esfericos

Nuestro objetivo a medio plazo es seleccionar una determinada base deL2(Sd). La idea basica es que podemos encontrarla entre las restricciones aSd de polinomios de Rd+1, pero como todo polinomio es suma de polinomioshomogeneos, podemos considerar unicamente polinomios homogeneos, y aunası estos son “demasiados”, y todavıa podemos restringirnos a polinomios queademas de homogeneos sean harmonicos.

En general, si Ω ⊂ Rd+1 es un conjunto abierto y F ∈ C2(Ω,K), diremosque f es harmonica si ∆F = 0, lo cual equivale a que lo sean su parte real y suparte imaginaria. El operador de Laplace-Beltrami caracteriza a las funcionesde S2 que admiten una extension harmonica homogenea:

Teorema 14.6 Una funcion f ∈ C2(Sd,K) admite una extension a Rd+1 \ 0harmonica y homogenea de grado m si y solo si

−∆df = m(d+m− 1)f.

Demostracion: Si F es la extension homogenea de grado m de f , el teo-rema 14.4 nos da que, sobre los puntos de Ω,

∆F = m(d+m− 1)f +∆df.

Entonces F es harmonica si y solo si ∆F = 0, si y solo si ∆F |Sd = 0 (porque ∆Fes homogenea de grado m− 2) si y solo si se cumple la igualdad del enunciado.

A partir de aquı nos restringimos a polinomios. Observemos que todo po-linomio no nulo F ∈ K[x0, . . . , xd] se descompone de forma unica como sumaF = F0+ · · ·+Fk de polinomios homogeneos fn de grado n, con fk 6= 0. Enton-ces ∆F = ∆F2 + · · ·+∆Fk, y cada ∆Fn es un polinomio homogeneo de gradon−2, luego ∆F = 0 si y solo si ∆Fn = 0, para todo n (incluyendo n = 0, 1, pueslos polinomios de grado 0, 1 son todos harmonicos). Ası pues, F es harmonicosi y solo si lo son los polinomios Fn.

Definicion 14.7 Un polinomio F es harmonico de grado n si y solo si es harmo-nico y homogeneo de grado n. Llamaremos Pdn al espacio vectorial de los poli-nomios homogeneos de grado n en K[x0, . . . , xd] (mas el polinomio nulo) y PHd

n

al subespacio de los polinomios harmonicos de grado n.

Vamos a calcular las dimensiones de estos espacios vectoriales. Para elloprobamos lo siguiente:

Teorema 14.8 La aplicacion Pdn −→ Pdn−2 dada por F 7→ ∆F es un epimor-fismo, (con el convenio de que Pd−1 = Pd−2 = 0).

Demostracion: Es evidente que se trata de una aplicacion lineal. Solohemos de probar que es suprayectiva. Podemos suponer que n ≥ 2. Basta probar


que todo monomio xn00 · · ·xnd

d con n0 + · · ·+ nd = n− 2 puede expresarse en laforma ∆G para un cierto G ∈ Pdn. Lo probaremos por induccion descendentesobre n0, es decir, observamos que es evidentemente cierto cuando n0 = n− 2,suponemos que se cumple para monomios xm0

0 · · ·xmd

d con n0 < m0 ≤ n − 2 ylo demostramos para n0. Para ello observamos que

xn00 · · ·xnd

d =1

(n0 + 1)(n0 + 2)∆(xn0+2

0 xn11 · · ·xnd

d ) +R,

donde R es un polinomio homogeneo de grado n − 2 en los que la variable x0tiene exponente n0+2. Por hipotesis de induccion R = ∆G, para cierto G ∈ Pdn,y la conclusion es inmediata.

Es facil ver que dimPdn =(

d+nn

)

, pues una base la forman los monomios1

xn00 · · ·xnd

d que cumplen n0 + · · ·+ nd = n.

Por consiguiente el teorema anterior nos da que

dimPHdn = dimP

dn − dimP

dn−2

=

(

d+ n

n

)

−(

d+ n− 2

n− 2

)

=(2n+ d− 1)(n+ d− 2)!

(d− 1)!n!,

entendiendo que el segundo numero combinatorio es nulo para n < 2. Ademas,esto no depende de si K es R o C, y tenemos que PHd

n(R) ⊂ PHdn(C), de

donde se sigue facilmente que una R-base de PHdn(R) es tambien una C-base de

PHdn(C) (pues sigue siendo linealmente independiente sobre C).

Ejemplo Si d = 1 tenemos que dimPH1n = 2, independientemente de n ≥ 1.

Obviamente PH11 = 〈x, y〉. Para calcular una base de PH1

2 consideramos unpolinomio homogeneo arbitrario F (x, y) = ax2 + bxy + cy2 y calculamos ellaplaciano ∆F = 2a+ 2c, con lo que los polinomios harmonicos de grado 2 sonlos de la forma ax2 + bxy − ay2, luego PH

21 =

⟨

x2 − y2, xy⟩

.

En el caso complejo podemos hallar una base para n arbitrario observandoque los polinomios conjugados

F (x, y) = (x± iy)n

son harmonicos. Podemos calcular su laplaciano separando la parte real y laimaginaria o, alternativamente, observando que las derivadas parciales de lamultiplicacion compleja (y, por consiguiente, de las potencias) cumplen la regladel producto usual. Ası

∆F = n(n− 1)(x± iy)n − n(n− 1)(x± iy)n = 0.

1Su numero coincide con el de d + 1-tuplas (n0, . . . , nd) con 1 ≤ ni ≤ n + 1 que sumenn + d + 1. Pensemos en n+ d + 1 puntos alineados, entre los que hay n + d separaciones, yhay que calcular todas las formas de situar d separadores en las n+ d posiciones posibles parapartir los n+ d+ 1 puntos en d+ 1 partes.


Ademas, como ambos polinomios son distintos y el coeficiente de xn es 1 enambos casos, es claro que son linealmente independientes, luego

PH1n = 〈(x+ iy)n, (x− iy)n〉 .

Por ejemplo, una base de PH13 la forman el polinomio

(x + iy)3 = x3 + 3x2yi− 3xy2 − y3i = x3 − 3xy2 + (3x2y − y3)i

y su conjugado. Si queremos una base formada por funciones reales basta tomarla parte real y la imaginaria:

PH13 =

⟨

x3 − 3xy2, 3x2y − y3⟩

.

A su vez, esto implica que todo polinomio harmonico complejo es una sumafinita de la forma

a0 + a1(x+ iy) + b1(x− iy) + a2(x + iy)2 + b2(x− iy)2 + · · ·

Definicion 14.9 Llamaremos harmonicos esfericos de grado n a las restriccio-nes a Sd de los polinomios de PHd

n. Llamaremos Hdn ⊂ C(Sd,K) al espacio

vectorial formado por todos ellos.

El teorema siguiente implica en particular que cada harmonico esferico tieneun grado unıvocamente determinado, es decir, que una misma funcion en Sd nonula no puede ser un harmonico esferico de dos grados distintos.

Teorema 14.10 Si f ∈ Hdm y g ∈ H

dn y m 6= n, entonces f y g son ortogonales

en L2(Sd).

Demostracion: Basta probarlo en el caso K = R, pues una base de Hdm(R)

sobre R es tambien base de Hdm(C) sobre C, luego todo elemento de Hd

m(C) escombinacion lineal de elementos de Hd

m(R), y es claro entonces que si estos sonortogonales a los elementos de Hd

n(R), entonces los elementos de Hdm(C) son

tambien ortogonales a los elementos de Hdn(C).

Sean F ∈ PHdm y G ∈ PHd

n polinomios homogeneos cuyas restricciones a Sd

sean f y g respectivamente. Vamos a aplicarles la primera formula de Green,que afirma (para el caso de la bola unitaria Bd+1 ⊂ Rd+1) que

∫

Sd

G(∇F · ~n) dσ =

∫

Bd+1

G∆F dm+

∫

Bd+1

∇G∇F dm,

donde dσ es el elemento de medida en Sd, dm es el elemento de medida en Bd

y ~n es el vector unitario normal a Sd. Ahora bien, en el caso concreto de Sd,el vector normal unitario en un punto x es el propio x, luego, para una funcionhomogenea F de grado m se cumple que

∇F · ~n =

d∑

j=0

xj∂F

∂xj= mF.


Como ademas ∆F = 0, la formula de Green se reduce a

m

∫

Sd

GF dσ =

∫

Bd+1

∇G∇F dm.

Intercambiando los papeles de F y G tenemos tambien que

n

∫

Sd

GF dσ =

∫

Bd+1

∇G∇F dm.

Por consiguiente:

(m− n)

∫

Sd

fg dσ = 0,

luego 〈f, g〉 = 0.

De hecho, un harmonico esferico no solo determina su grado, sino tambienel polinomio harmonico al cual se extiende:

Teorema 14.11 La restriccion PHdn −→ Hd

n es un isomorfismo de espaciosvectoriales. Mas aun, si F ∈ PH

dn y G ∈ PH

dm tienen la misma restriccion

a Sd, entonces F = G (y en particular n = m si F y G son no nulos).

Demostracion: Por el teorema anterior tiene que ser m = n, y cadafuncion en Sd admite una unica extension homogenea de grado m.

Como consecuencia:

dimHdn = dimPH

dn =

(

d+ n

n

)

−(

d+ n− 2

n− 2

)

=(2n+ d− 1)(n+ d− 2)!

(d− 1)!n!

(siempre considerando nulo el segundo numero combinatorio si n < 2).

Una consecuencia inmediata del teorema 14.10 es que el espacio generadopor los harmonicos esfericos se descompone en suma directa (suma ortogonal,de hecho) de los espacios homogeneos correspondientes:

Hd =

∞⊕

n=0Hdn.

Llamaremos sucesion canonica de harmonicos esfericos a una sucesion for-mada por una base ortogonal de Hd

0 , seguida de una base ortogonal de Hd1 ,

etc. Vamos a probar que cualquier sucesion canonica de harmonicos esfericos escompleta. Para ello nos apoyaremos en el teorema siguiente:

Teorema 14.12 Para todo polinomio homogeneo F de grado n existen polino-mios harmonicos Pj ∈ PHd

j , para j = n, n− 2, n− 4, . . . tales que

F (x) = Pn(x) + ‖x‖2Pn−2(x) + ‖x‖4Pn−4(x) + · · ·


Demostracion: Sea F el subespacio vectorial de Pdn formado por los poli-

nomios que se pueden expresar en la forma indicada. Observemos que si

Pn(x) + ‖x‖2Pn−2(x) + ‖x‖4Pn−4(x) + · · · = 0,

entonces, restringiendo a Sd, los correspondientes harmonicos esfericos cum-pliran pn + pn−2 + pn−4 + · · · = 0 y, como los sumandos son ortogonales dos ados, han de ser nulos. Esto implica que

dimF = dimPHdn + dimPH

dn−2 + dimPH

dn−4 + · · ·

luego dimF =(

d+nn

)

= dimPdn. Por consiguiente, F = Pdn, y esto nos da laconclusion.

Puesto que todo polinomio es suma de polinomios homogeneos de gradoigual o inferior, el teorema siguiente es ahora inmediato:

Teorema 14.13 Si G es un polinomio de grado n y g es su restriccion a Sd,entonces existen unos unicos harmonicos esfericos hj ∈ H

dj (para j = 0, . . . , n)

tales que g = h0 + h1 + · · ·+ hn.

Observacion El teorema anterior es trivial si G es un polinomio harmonico.El hecho notable es que vale para polinomios arbitrarios, y la razon de fondo esque, segun el teorema 14.12, la “parte no harmonica” de un polinomio cualquierase reduce a potencias del polinomio ‖x‖2 = x20+ · · ·+x2d, las cuales desaparecenal restringir el polinomio a Sd.

Con esto ya podemos probar:

Teorema 14.14 Toda sucesion ortogonal canonica de harmonicos esfericos escompleta.

Demostracion: Toda f ∈ L2(Sd) (en el caso K = R) puede aproximarsepor una funcion continua g ∈ C(Sd), la cual a su vez, por el teorema de Stone-Weierstrass puede aproximarse por un polinomio h, que segun el teorema an-terior, es una suma de harmonicos esfericos (aquı usamos que la convergenciauniforme en C(Sd) implica la convergencia en L2(Sd), como es facil comprobar.Hemos probado esto en el caso K = R, pero la conclusion es valida obviamentecuando K = C, ya que basta aproximar la parte real e imaginaria de f porrespectivas sumas h1 y h2 de harmonicos esfericos, y entonces h1 + ih2 es unaaproximacion de f por una suma de harmonicos esfericos.

Una sucesion ortogonal canonica de harmonicos esfericos tiene la propiedadde que cualquier suma de harmonicos esfericos es combinacion lineal de unnumero finito de sus terminos, luego hemos probado que todo f ∈ L2(Sd) sepuede aproximar por una combinacion lineal finita de terminos de la sucesionortogonal dada. El teorema 3.50 nos da entonces la completitud.

En general no es facil encontrar explıcitamente bases ortogonales de los es-pacios Hd

n, pero para n = 1 tenemos el resultado siguiente:


Teorema 14.15 Una base ortogonal de Hd1 esta formada por las funciones coor-

denadas x0, . . . , xd, cuya norma es ‖xj‖2 = σd/(d+ 1), donde σd es la medidade Sd.

Demostracion: Si i 6= j se cumple que∫

Sd

xixj dσ = 0

porque podemos partir

Sd = x ∈ Sd | xixj < 0 ∪ x ∈ Sd | xixj > 0 ∪ x ∈ Sd | xixj = 0,

el tercer conjunto es nulo y los otros dos se corresponden a traves de la reflexionxi 7→ −xi, por lo que la integral en uno de ellos es opuesta a la integral en elotro.

Por simetrıa, las normas ‖xi‖ han de ser todas iguales, luego

‖xi‖2 =1

d+ 1

d∑

j=0

‖xj‖2 =1

d+ 1

∫

Sd

d∑

j=0

x2j dσ =1

d+ 1

∫

Sd

dσ =σdd+ 1

.

Definicion 14.16 Si hn∞n=0 es una sucesion ortogonal canonica de harmoni-cos esfericos en Sd, el teorema anterior implica que toda funcion f ∈ L2(Sd)puede expresarse de forma unica en la forma

f =∞∑

n=0cnhn,

para ciertos cn ∈ K, que concretamente vienen dados por2 cn = ‖hn‖−2 〈f, hn〉.Esta serie recibe el nombre de serie de Laplace (o de Fourier-Laplace) de la

funcion f respecto de la base ortogonal prefijada. Los coeficientes cn son loscoeficientes de Laplace de f .

A menudo se escribe

f ∼∞∑

n=0cnhn

para indicar que la serie converge a f respecto de la norma de L2(Sd), lo cualno implica necesariamente que la convergencia sea puntual, es decir, que paratodo x ∈ Sd se cumpla

f(x) =∞∑

n=0cnhn(x).

La teorıa general sobre bases ortonormales en espacios de Hilbert nos pro-porciona automaticamente algunos resultados de interes:

2La definicion 3.48 es aplicable a la base ortonormal ‖hn‖−1hn, con lo que tenemos el

desarrollo f =∞∑

n=0

⟨

f, ‖hn‖−1hn⟩

‖hn‖−1hn =∞∑

n=0‖hn‖−2 〈f, hn〉hn.


• La identidad de Parseval, en este contexto, se traduce en que

∞∑

n=0|cn|2‖hn‖2 = ‖f‖2.

• Una sucesion cn∞n=0 es la sucesion de coeficientes de Laplace de unafuncion f ∈ L2(Sd) si y solo la serie de la igualdad anterior es convergente.

Esto es el teorema 3.51.

• En particular, lımncn‖hn‖ = 0, es decir,

lımn

1

‖hn‖

∫

Sd

f(x)hn(x) dσ = 0.

Sin embargo, la teorıa general sobre espacios de Hilbert no aporta nada sobrelas condiciones necesarias para que una serie de Laplace converja puntualmentea la funcion que la define. Antes de ocuparnos de este problema, dedicaremos laseccion siguiente a estudiar con mas detalle el caso unidimensional, que corres-ponde a las series de Fourier. Terminamos esta seccion con un ultimo resultadosobre harmonicos esfericos que necesitaremos mas adelante:

SeaO(d) el grupo ortogonal enRd, es decir, el grupo formado por las matricesA ∈ Matd(R) que cumplen AAt = Id. Identificaremos cada matriz A ∈ O(d)con la isometrıa ρ : Rd −→ Rd dada por ρ(u) = uA. En particular, ρ se restringea una isometrıa ρ : Sd−1 −→ Sd−1. Si f : Rd −→ K (o bien f : Sd−1 −→ K),escribiremos ρf = ρ f .

Teorema 14.17 Cada ρ ∈ O(d + 1) induce una isometrıa L2(Sd) −→ L2(Sd)dada por f 7→ ρf , que se restringe a una isometrıa en Hd

n.

Demostracion: Es claro que si una funcion f : Sd −→ K cumple que |f |2es integrable, tambien lo es |ρf |2 = ρ |f |2. Ademas si f y g coinciden casipor todas partes, lo mismo vale para ρf y ρg. Esto significa que ρ induce unaaplicacion L2(Sd) −→ L2(Sd). Ademas,

〈ρf, ρg〉 =∫

Sd

(ρf)(ρg) dσ =

∫

Sd

ρ(fg) dσ =

∫

Sd

fg dσ = 〈f, g〉 ,

porque, al reducir las integrales a Rd+1 a traves de cartas, el teorema de cambiode variable permite eliminar ρ, ya que su determinante jacobiano es ±1. Asıpues, ρ induce una isometrıa en L2(Sd).

Por otra parte, si h ∈ Hdn es la restriccion de H ∈ PHd

n, entonces ρh es la res-triccion de ρH , y es claro que al componer un polinomio homogeneo harmonicocon un automorfismo de Rd+1, el resultado sigue siendo un polinomio homogeneoharmonico. Por lo tanto, ρh ∈ Hd

n.


14.3 Series de Fourier

Vamos a determinar sucesiones ortogonales canonicas de harmonicos circu-lares, es decir, de harmonicos esfericos de dimension d = 1. A menudo interesaparametrizar las funciones de S1 mediante funciones periodicas, lo que requierealgunas consideraciones tecnicas para justificar que varios espacios L2 son “esen-cialmente el mismo”:

Dado T > 0, definimos L2(T ) como el conjunto formado por todas las fun-ciones f : R −→ K de periodo T cuya restriccion a [0, T ] esta en L2([0, T ]).Llamaremos igual al cociente de este espacio entre el subespacio formado porlas funciones que restringidas a [0, T ] son nulas casi por todas partes (lo cualequivale a que sean nulas casi por todas partes, sin necesidad de restringir).

La restriccion determina un isomorfismo3 L2(T ) −→ L2([0, T ]), a traves delcual el producto escalar de L2([0, T ]) se transporta a un producto escalar enL2(T ) que dota a este espacio de estructura de espacio de Hilbert (isometrico aL([0, T ]). Concretamente,

〈f, g〉 =∫ T

0

f(x)g(x) dx.

Pero, mas aun, es facil ver que, para todos los numeros a, t ∈ R, la periodicidadde las funciones implica que

∫ T

0

f(x)g(x) dx =

∫ a+T

a

f(x+ t)g(x+ t) dx.

Esto se traduce en que L2(T ) es isometrico (a traves de la restriccion) a cualquierespacio L2([a, b]) con b − a = T , ası como que las traslaciones definidas porf 7→ ft(x) = f(x+ t) definen isometrıas en L2(T ).

Por otra parte, podemos definir una isometrıa L2(S1) −→ L2(T ) mediante

f 7→ f∗(x) =

√

2π

Tf(cos

2πx

T, sen

2πx

T).

En efecto, es claro que f 7→ f∗ transforma funciones de cuadrado integrableen funciones de cuadrado integrable y, de hecho,

∫

S1

|f |2 dσ =

∫ T

0

|f |2(cos 2πxT

, sen2πx

T)2π

Tdx =

∫ T

0

|f∗|2(x) dx.

Por lo tanto, ‖f‖ = ‖f∗‖. En particular f 7→ f∗ transforma funciones de normanula en funciones de norma nula, luego induce una aplicacion entre los espacioscociente respectivos respecto de las funciones de norma nula, que claramente esun isomorfismo de espacios vectoriales. Ademas es una isometrıa, porque

〈f, g〉 =∫

S1

f g dσ =

∫ T

0

(f g)(cos2πx

T, sen

2πx

T)2π

Tdx

3Dada f ∈ L2([0, T ]), podemos suponer que f(0) = f(T ), pues modificar el valor de f(T )no altera la clase de equivalencia de f , y entonces f se extiende a una funcion de L2(T ).

14.3. Series de Fourier 147

=

∫ T

0

f∗(x)g∗(x) dx = 〈f∗, g∗〉 .

Si nuestro unico proposito fuera describir las funciones de L2(S1), bastarıatomar T = 2π, de modo que la isometrıa adopta la forma mas simple, perotambien conviene estar en condiciones de trasladar los resultados sobre L2(S1)a cualquier espacio L2([a, b]), y para ello necesitamos el contexto general quehemos descrito.

Pasamos ya a estudiar los harmonicos circulares. Hemos visto que una basede PH1

n esta formada por los polinomios

zn = (x+ iy)n y zn = (x− iy)n,

luego una base de H1n esta formada por las restricciones de estas funciones a S1.

En terminos de las parametrizaciones de S1, estas funciones se correspondencon

2π

T(cos

2πx

T+ i sen

2πx

T)n,

2π

T(cos

2πx

T− i sen

2πx

T)n,

o equivalentemente, con 2πT e

2nπix/T , con n ∈ Z. Podemos eliminar la constante

y concluir que las funciones e±2nπix/T se corresponden con una base de H1n(S

1).

De hecho son una base ortogonal, pues, para n > 0,

⟨

e2nπix/T , e−2nπix/T⟩

=

∫ T

0

e4nπix/T dx =T

4nπi[e4nπix/T ]T0 = 0.

(Notemos que para n = 0 no hay nada que probar, pues la base consta de unaunica funcion.) No es difıcil probar directamente que las funciones e2nπix/T ye2mπix/T , param 6= n, son ortogonales, pero esto lo tenemos probado en generalen 14.10. En cuanto a sus normas, vemos que

⟨

e2nπix/T , e2nπix/T⟩

=

∫ T

0

dx = T,

luego todas las funciones tienen norma√T en L2(T ) (luego las funciones co-

rrespondientes en L2(S1) tienen norma T/√2π). En definitiva:

Una base ortogonal de L2(T ) la forman las funciones e2nπi/T , conn ∈ Z, todas las cuales tienen norma

√T

Podemos obtener una base formada por funciones reales tomando las partesreal e imaginaria de las funciones anteriores:

1, cos2nπix

T, sen

2nπix

T, n = 1, 2, 3, . . .

Para comprobar que es tambien una base ortogonal y calcular sus normas lomas simple es expresar

cos2nπix

T=e2nπix/T + e−2nπix/T

2, sen

2nπix

T=e2nπix/T − e−2nπix/T

2i


y aplicar la linealidad del producto escalar. Por ejemplo, el calculo de la normapara n > 0 es

⟨

e2nπix/T ± e−2nπix/T

2[i],e2nπix/T ± e−2nπix/T

2[i]

⟩

=1

4(T + T ) =

T

2,

En definitiva:

Una base ortogonal de L2(T ) la forman las funciones 1, cos(2nπix/T ),sen(2nπix/T ), para n > 0, todas las cuales tienen norma

√

T/2 ex-

cepto la primera, que tiene norma√T .

Hemos visto que estas bases se corresponden con sucesiones ortogonales com-pletas en L2(S1). Cuando T = 2π las normas en L2(S1) son las mismas. Engeneral, hay que multiplicarlas por

√

T/2π.

Estos hechos nos llevan a la definicion siguiente:

Definicion 14.18 Sean a < b dos numeros reales y T = b−a. Si f ∈ L2([a, b]),su serie de Fourier es la serie funcional

f(x) ∼ a02

+∞∑

n=1(an cos

2nπxT + bn sen

2nπxT ),

donde

an =2

T

∫ b

a

f(x) cos2nπx

Tdx, bn =

2

T

∫ b

a

f(x) sen2nπx

Tdx.

Alternativamente, se llama tambien serie de Fourier de f a la serie

f(x) ∼∑

n∈Z

f(n)e2nπxi/T ,

donde

f(n) =1

T

∫ b

a

f(x)e−2nπxi/T dx.

A traves de las isometrıas con L2(S1), estas definiciones se corresponden conla definicion general 14.16. Observemos que hemos dejado un 2 “fuera” de ladefinicion de a0 para compensar el hecho de que la norma de la funcion 1 esdistinta de la de las demas funciones de la base, de manera que la definicion dea0 sigue el mismo esquema que la de los otros an.

Conviene particularizar los resultados generales que conocemos para seriesde Lagrange:

Identidad de Parseval Los coeficientes de Fourier de cualquier funcion fcumplen:

|a0|22

+∞∑

n=1(|an|2 + |bn|2) =

2

T‖f‖2

o, respecto de la base compleja:

∑

n∈Z

|f(n)|2 =1

T‖f‖2.


Teorema de Riesz-Fischer Todo par de sucesiones an∞n=0, bn∞n=1 paralos que converge la serie anterior constituyen la sucesion de coeficientesde Fourier de una unica funcion f ∈ L2(T ).

Alternativamente, toda4 f ∈ ℓ2(Z) es la sucesion de coeficientes de Fourierde una unica funcion f ∈ L2(T ).

Lema de Riemann-Lebesgue Las sucesiones de coeficientes de Fourier tien-den a 0:

lımn

∫ T

0

f(x) cos2nπx

Tdx = lım

n

∫ T

0

f(x) sen2nπx

Tdx = 0,

lımn

∫ T

0

f(x)e±2nπxi/T = 0.

Puede probarse que existen funciones continuas f cuya serie de Fourier noconverge puntualmente a f en todos los puntos, pero vamos a ver que la deri-vabilidad es una condicion suficiente:

Teorema 14.19 Sea f ∈ L2(T ) y x0 ∈ R un punto en el que sea derivable.Entonces la serie de Fourier de f converge puntualmente a f(x0) en x0.

Demostracion: No perdemos generalidad si trabajamos en el intervalo[−π, π] y suponemos que x0 = 0. Mas aun, podemos suponer que f(0) = 0,pues la serie de Fourier de f∗ = f − f(0) es la misma que la de f , salvo que

f∗(0) = f(0)− f(0). La derivabilidad equivale a que

lımx→0

f(x)

x= f ′(0).

Consideramos la funcion

g(x) =f(x)

eix − 1,

que claramente cumple

lımx→0

g(x) = −i lımx→0

f(x)/x

(eix − 1)/ix= −if ′(0).

Esto implica que g y, por consiguiente, |g|2, este acotada en un entorno de 0.Es facil ver que g es medible, luego |g|2 es integrable en dicho entorno, y el enresto del intervalo [−π, π] tambien es integrable porque |f |2 lo es y la funcion|eix − 1|−2 esta acotada fuera de cualquier entorno de 0. En suma, g ∈ L2(T ) y

f(x) = (eix − 1)g(x).

4El espacio ℓ2(Z) se define igual que ℓ2 = ℓ2(N) pero considerando sucesiones en Z. Cual-quier biyeccion entre Z y N induce una isometrıa entre ambos.


Esta relacion implica inmediatamente que f(n) = g(n− 1)− g(n). Por lo tanto

l∑

n=−kf(n) = g(−k − 1)− g(l),

pues al expresar cada f(n) en terminos de g todos los terminos se cancelanexcepto los dos que aparecen en el miembro derecho. Ahora basta observar quesi evaluamos en x = 0 la serie de Fourier de f obtenemos

∑

n∈Z

f(n),

y las sumas parciales de esta serie convergen a 0 por el lema de Riemann-Lebesgue aplicado a g.

Ası pues, si f : R −→ K es una funcion periodica derivable, entonces es lasuma (puntual) de su serie de Fourier.

Ejemplo Vamos a calcular la serie de Fourier de la funcion f(x) = x en elintervalo [−1, 1]. El hecho de que sea una funcion impar (es decir, que cumplef(−x) = −f(x)), se traduce facilmente en que an = 0 para todo n. Por otraparte,

bn =

∫ 1

−1

x sennπxdx =2

nπ(−1)n+1,

como se obtiene facilmente integrando por partes. Por consiguiente,

x =∞∑

n=1

2

nπ(−1)n+1 sennπx, −1 < x < 1,

tal y como hemos usado en el problema que hemos discutido al principio delcapıtulo. En la pagina 133 estan las graficas de dos sumas parciales de la serieen las que se aprecia claramente la convergencia.

Observacion La serie del ejemplo anterior converge a 0 en ±1, y ello no escasual. En general, es facil probar que si existen

f(x+0 ) = lımx→x+

0

f(x), f(x−0 ) = lımx→x−

0

f(x),

f ′+(x0) = lım

h→0+

f(x+ h)− f(x0)

h, f ′

−(x0) = lımh→0−

f(x+ h)− f(x0)

h,

entonces la serie de Fourier de f converge en x0 a (f(x+0 ) + f(x−0 ))/2.

En efecto, trasladando f y sumandole una constante podemos suponer sinperdida de generalidad que x0 = 0 y que f(0+) = −f(0−). Entonces las sumasparciales en 0 de la serie de Fourier son

k∑

n=−kf(n) =

∫ π

−πf(x)Dk(x) dx,


donde

Dk(x) =1

2π

k∑

n=−ke−nxi.

Ahora bien, es inmediato que Dk(x) = Dk(−x), luego∫ π

−πf(x)Dk(x) dx =

∫ π

−πf(−x)Dk(x) dx =

∫ π

−π

f(x) + f(−x)2

Dk(x) dx.

Pero la funcion g(x) = (f(x) + f(−x))/2 (definida en 0 como g(0) = 0) esderivable en 0, luego el teorema anterior aplicado a esta funcion nos da que

∑

n∈Z

f(n) =∑

n∈Z

g(n) = 0.

Podemos decir mas sobre las series de Fourier de las funciones derivables:

Teorema 14.20 Si f : R −→ R es una funcion derivable de periodo T > 0 ysu desarrollo en serie de Fourier es

f(x) =a02

+∞∑

n=1(an cos

2nπx

T+ bn sen

2nπx

T),

entonces

f ′(x) ∼∞∑

n=1(2nπbnT

cos2nπx

T− 2nπan

Tsen

2nπx

T),

que es la serie que resulta de derivar termino a termino la serie dada. Enterminos de las funciones exponenciales es f ′(n) = − 2nπi

T f(n).

Demostracion: Por ejemplo, integrando por partes:

T

2an(f

′) =

∫ T

0

f ′(x) cos2nπx

Tdx

= −∫ T

0

f(x)2nπ

Tsen

2nπx

Tdx = −2nπ

T

T

2an(f),

luego an(f′) = − 2nπ

T an(f), e igualmente se prueban las demas relaciones.

Nota En la prueba del teorema anterior es fundamental que f(0) = f(T ) paraque se anule el primer termino que resulta de aplicar la formula de integracionpor partes. Por ejemplo, si derivamos termino a termino la serie de Fourierde la funcion f(x) = x calculada en el ejemplo anterior no obtenemos la serie(trivial) de f ′(x) = 1. Por el contrario, obtenemos una serie divergente cuyoscoeficientes ni siquiera estan en ℓ2.

Al principio del capıtulo hemos visto una aplicacion de las series de Fouriera la resolucion de la ecuacion del calor. Sin embargo, la teorıa de las series de


Fourier tiene aplicaciones diversas. Veamos un ejemplo muy distinto de comoel analisis de Fourier puede intervenir en una demostracion matematica.

La desigualdad isoperimetrica afirma que si anudamos una cuerda para for-mar una curva cerrada, la forma de abarcar la mayor area posible con ella esdisponerla en forma de circunferencia. Con mas precision:

Teorema 14.21 (Desigualdad isoperimetrica) Sea Ω un abierto acotadoen R2 tal que Ω sea una variedad con frontera tal que ∂Ω homeomorfa a S1

y de longitud 2π. Entonces el area A de Ω cumple A ≤ π y se da la igualdad siy solo si Ω es un cırculo.

Demostracion: Sea φ : S1 −→ ∂Ω un difeomorfismo (que suponemosal menos de clase C1). Componiendo con t 7→ (cos t, sen t) obtenemos unaaplicacion γ : R −→ R2 de clase C1 y periodica de periodo 2π. Mas aun,podemos suponer que γ esta parametrizada por el arco, es decir, que si γ(t) =(x(t), y(t)), entonces x′2 + y′2 = 1. Aquı esta implıcito que ∂Ω tiene longitud2π, pues esto equivale a que

∫ 2π

0

(x′2(t) + y′2(t)) dt = 2π.

Consideramos a x, y (y tambien a x′, y′) como elementos de L2([0, 2π]), y ası laigualdad anterior equivale a que ‖x′‖2+‖y′‖2 = 2π. Por la igualdad de Parseval,tambien ‖x′‖2 + ‖y′‖2 = 1, donde ahora la norma es en ℓ2(Z). Explıcitamente:

∑

n∈Z

(|x′(n)|2 + |y′(n)|2) = 1.

Ahora usamos 14.20, que nos da x′(n) = −ni x(n), y′(n) = −ni y(n), con lo que

∑

n∈Z

n2(|x(n)|2 + |y(n)|2) = 1. (14.5)

Notemos por otra parte que

d(1

2(x dy − y dx)) =

1

2(dx ∧ dy − dy ∧ dx) = dx ∧ dy,

que es el elemento de area en R2.Ası pues, el teorema de Stokes nos da que

A =1

2

∫

∂Ω

(x dy − y dx) =1

2

∫ 1

0

(x(t)y′(t)− y(t)x′(t)) dt =1

2(x · y′ − y · x′).

Ahora usamos que x 7→√2π x es una isometrıa, por lo que

A =1

2

∣

∣

∣

∣

∑

n∈Z

(x(n)y′(n)− y(n)x′(n))

∣

∣

∣

∣

= π

∣

∣

∣

∣

∑

n∈Z

n(x(n)y(n)− y(n)x(n))

∣

∣

∣

∣

≤ π∑

n∈Z

|n| 2|x(n)| |y(n)| ≤ π∑

n∈Z

n2(|x(n)|2 + |y(n)|2) = π. (14.6)

14.4. Los polinomios de Legendre 153

Para que se de la igualdad, todas las desigualdades

|n| 2|x(n)| |y(n)| ≤ |n| (|x(n)|2 + |y(n)|2) ≤ n2(|x(n)|2 + |y(n)|2)

tienen que ser igualdades. La primera lo es si y solo si n = 0 o |x(n)| = |y(n)|y la segunda requiere que |x(n)| = |y(n)| = 0 salvo si |n| ≤ 1. Por lo tanto, siA = π se cumple que

x(t) = x(−1)eit + x(0) + x(1)e−it, y(t) = y(−1)eit + y(0) + y(1)e−it.

Como x(t) e y(t) toman valores reales, tiene que ser x(−1) = x(1), y(−1) = y(1),y la ecuacion (14.5) nos da que

2(|x(1)|2 + |y(1)|2) = 4|x(1)|2 = 4|y(1)|2 = 1,

luego |x(1)| = |y(1)| = 1/2. Pongamos que x(1) = 12eiα, y(1) = 1

2eiβ .

Ahora usamos que la primera desigualdad de (14.6) tambien tiene que seruna igualdad, lo cual equivale a que

2|x(1)y(1)− x(1)y(1)| = 1.

Por lo tanto|ei(α−β) − e−i(α−β)| = 2,

luego | sen(α − β)| = 1, luego α − β = kπ/2, donde k es un entero impar.Concluimos que

x(t) = x(0) + x(1)e−it + x(1)e−it = x(0) + 2Re(x(1)e−it)

= x(0) + cosα cos t+ senα sen t = x(0) + cos(α+ t),

e igualmente y(t) = y(0) + cos(β + t) = y(0) ± sen(α + t). Ası pues, ∂D es lacircunferencia de centro (x(0), y(0)) y radio 1.

14.4 Los polinomios de Legendre

La teorıa de las series de Fourier que acabamos de presentar se basa esen-cialmente en que las funciones cos(2πx/T ), sen(2πx/T ) constituyen una baseortogonal de L2([a, b]) (donde T = b−a), y resulta natural preguntarse si consi-derando otras bases ortogonales podremos extender la potencia de las tecnicasque hemos mostrado.

Observemos que en cualquier espacio L2([a, b]) podemos considerar una baseortonormal formada por polinomios. En efecto, El espacio vectorial R[x] tienepor base a la sucesion 1, x, x2, . . . No es una base ortogonal en L2([a, b]), peropodemos aplicarle el proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt para obteneruna base ortonormal Pn∞n=0 tal que cada Pn sea un polinomio de grado n. Elteorema de Stone-Weierstrass 3.55 nos asegura que toda funcion continua puedeaproximarse uniformemente (luego tambien respecto de la norma de L2([a, b])


por un polinomio, es decir, por una combinacion lineal de los polinomios Pn, y elteorema 3.50 nos garantiza entonces que Pn∞n=0 forman una base ortonormalde L2([a, b]).

Ahora bien, la sucesion de polinomios que obtenemos al aplicar el proceso deGram-Schmidt a la base 1, x, x2, . . . depende del intervalo [a, b] en el que calcu-lamos el producto escalar. Por ejemplo, los polinomios 1 y x son ortogonales en[−1, 1], pero no en [0, 2]. Los polinomios de Legendre son los que se obtienen alaplicar el proceso de Gram-Schmidt concretamente al intervalo [−1, 1], sin em-bargo, admiten muchas otras definiciones equivalentes. Aquı los introduciremosa partir de las consideraciones que llevaron a Legendre a iniciar su estudio:

Tomemos dos puntos ~r0 y ~r en R3 y vamos a encontrar una expresion para

el inverso de la distancia1

‖~r − ~r0‖.

En primer lugar, observamos que

‖~r − ~r0‖ =√

(~r − ~r0) · (~r − ~r0) =√

r2 + r20 − 2rr0 cos θ,

donde θ es el angulo que forman los vectores ~r0 y ~r. Si llamamos x = cos θ, demodo que −1 ≤ x ≤ 1, para r ≥ r0 tenemos que

1

‖~r − ~r0‖=

1

r

1√1 + s2 − 2sx

, (14.7)

donde s = r0/r ≤ 1. Para r ≤ r0 tenemos

1

‖~r − ~r0‖=

1

r0

1√1 + s2 − 2sx

, (14.8)

donde ahora s = r/r0 ≤ 1. Esto nos lleva a estudiar la expresion

F (x, s) =1√

1 + s2 − 2sx,

para 0 ≤ s ≤ 1 y −1 ≤ x ≤ 1.Visto como funcion de s, el radicando es un polinomio de grado 2 con raıces

x ± i√1− x2, las dos de modulo 1, luego F (x, s) es, para cada x, una funcion

holomorfa en el disco abierto unitario, luego segun el teorema 13.34 admite undesarrollo en serie de Taylor

F (x, s) =∞∑

n=0Pn(x)s

n.

convergente en dicho disco y, en particular, en el intervalo ]−1, 1[. Calculamos

∂F

∂s= −1

2(1 + s2 − 2sx)−3/2(2s− 2x) =

s− x

1 + s2 − 2sxF (x, s).


Equivalentemente,

(1 + s2 − 2sx)∂F

∂s= (x− s)F (x, s).

Por lo tanto,

∞∑

n=1nPn(x)s

n−1 +∞∑

n=1nPn(x)s

n+1 −∞∑

n=12nxPn(x)s

n

=∞∑

n=0xPn(x)s

n −∞∑

n=0Pn(x)s

n+1.

Reordenando las potencias:

∞∑

n=0

(n+ 1)Pn+1(x)sn +

∞∑

n=1

(n− 1)Pn−1(x)sn −

∞∑

n=1

2nxPn(x)sn

=∞∑

n=0xPn(x)s

n −∞∑

n=1Pn−1(x)s

n.

Agrupamos:

P1(x)− xP0(x) +∞∑

n=1((n+ 1)Pn+1(x) − x(2n+ 1)Pn(x) + nPn−1(x))s

2 = 0

y ası llegamos a la relacion de recurrencia:

(n+ 1)Pn+1(x) − x(2n+ 1)Pn(x) + nPn−1(x) = 0, P1(x) = xP0(x).

Como F (x, 0) = 1, ha de ser P0(x) = 1, luego la segunda relacion nos da queP1(x) = x y la primera implica que Pn(x) es un polinomio de grado n.

Definicion 14.22 Llamaremos polinomios de Legendre a los polinomios Pn(x)que aparecen en el desarrollo en serie de Taylor

1√1 + s2 − 2sx

=∞∑

n=0Pn(x)s

n, −1 ≤ x ≤ 1, −1 < s < 1,

y que vienen determinados por la relacion de recurrencia: P0(x) = 1, P1(x) = x,

(n+ 1)Pn+1(x) − x(2n+ 1)Pn(x) + nPn−1(x) = 0. (14.9)

Los primeros polinomios de Legendre son:

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =1

2(3x2 − 1), P3(x) =

1

2(5x3 − 3x),

P4(x) =1

8(35x4 − 30x2 + 3), P5(x) =

1

8(63x5 − 70x3 + 15x).

La figura siguiente muestra sus graficas. Se reconoce cual es cada uno por elnumero de raıces. En efecto, demostraremos mas adelante que Pn tiene n raıcessimples en el intervalo ]−1, 1[. Algunas propiedades elementales (que podemosapreciar en la figura) son las siguientes:


-1 -0.5 0.5 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5• Pn(−x) = (−1)nPn(x).

Esto se demuestra inductivamente a par-tir de la relacion (14.9).

• Pn(1) = 1,

porque F (1, s) = 11−s = 1 + s+ s2 + · · ·

• Pn(−1) = (−1)n,

porque

F (−1, s) =1

1 + s= 1− s+ s2 − · · ·

• Pn(0) =

(−1)n/2

2n

(

nn/2

)

si n es par,

0 si n es impar.

Porque (14.9) para x = 0 se reduce a (n+1)Pn+1(0) = −nPn−1(0), y es facilver que la sucesion del enunciado cumple esta misma relacion recurrente.

El teorema siguiente nos proporciona una formula general para los polino-mios de Legendre:

Teorema 14.23 (Formula de Olinde Rodrigues)

Pn(x) =1

2nn!

dn(x2 − 1)n

dxn.

Demostracion: Aplicamos la formula integral de Cauchy:

Pn(x) =1

n!

∂nF

∂sn

∣

∣

∣

∣

0

=1

2πi

∫

C

1√1 + s2 − 2sx

1

sn+1ds,

donde C es una circunferencia de centro 0 y radio r < 1 recorrida en sentidopositivo.

Calcularemos la integral con el cambio de variable 1− us =√1− 2xs+ s2.

Notemos que la raız cuadrada es una funcion holomorfa en el disco unitario cuyodesarrollo en serie de Taylor es de la forma

√

1− 2xs+ s2 = 1− xs+ · · ·

lo que implica que la funcion

u =1

s(1 −

√

1− 2xs+ s2)

tiene una singularidad evitable en s = 0, donde tiene una extension holomorfau(0) = x. Por consiguiente, u biyecta el disco unitario en un cierto abierto D,donde la funcion inversa viene dada por

s =2(u− x)

u2 − 1.


De aquı se sigue que

√

1− 2xs+ s2 = −u2 − 2ux+ 1

u2 − 1, ds = −2(u2 − 2ux+ 1)

(u2 − 1)2du.

Si llamamos C′ al arco imagen de C por la aplicacion u,

Pn(x) =1

2n 2πi

∫

C′

(u2 − 1)n

(u− x)n+1du.

El teorema 13.28 aplicado a u[Br(0)] menos una bola de centro x y radio r′

suficientemente pequeno, podemos sustituir C′ por la circunferencia |u−x| = r′

en la integral anterior. Entonces basta aplicar de nuevo la formula integral deCauchy:

Pn(x) =1

2n n!

dn(x2 − 1)n

dxn.

Se aquı se sigue la propiedad sobre las raıces de Pn(x) que habıamos antici-pado:

Teorema 14.24 El polinomio Pn(x) tiene n raıces simples en el intervalo ]−1, 1[.

Demostracion: El polinomio (x2 − 1)n tiene exactamente dos raıces deorden n en los puntos ±1. Si m < n, la derivada m-sima tiene raıces de ordenn − m en ±1. Supongamos inductivamente que tiene m raıces simples en elintervalo ]−1, 1[. Entonces, la derivada m + 1-esima, ha de tener dos raıces deorden n−m− 1 en ±1 y, por el teorema de Rolle, entre cada par de raıces dela derivada m-sima ha de haber una de la derivada m + 1-esima, lo que da almenos m + 1 raıces en el intervalo ]−1, 1[. Como en total suman 2n −m − 1,que es el grado de la derivada, han de ser todas las raıces y han de ser simples.Por induccion concluimos que la derivada n-sima tiene n raıces simples.

Veamos otra consecuencia sencilla de la formula de Rodrigues:

Teorema 14.25 Se cumple P ′n+1(x)− P ′

n−1(x) = (2n+ 1)Pn(x). Equivalente-mente:

∫

Pn(x) dx =1

2n+ 1(Pn+1(x) − Pn−1(x)) + C.

Demostracion: Por la formula de Rodrigues,

P ′n+1(x) =

1

2n+1(n+ 1)!

dn+2

dxn+2((x2 − 1)n+1) =

1

2nn!

dn+1

dxn+1((x2 − 1)nx) =

1

2nn!

dn

dxn(2n(x2 − 1)n−1x2 + (x2 − 1)n) =

1

2nn!

dn

dxn(2n(x2 − 1)n−1(x2 − 1 + 1) + (x2 − 1)n) =


1

2nn!

dn

dxn(2n(x2 − 1)n + 2n(x2 + 1)n−1 + (x2 − 1)n) =

1

2nn!

dn

dxn((2n+ 1)(x2 − 1)n + 2n(x2 − 1)n−1) = (2n+ 1)Pn(x)− P ′

n−1(x).

Ahora probamos que, tal y como anticipabamos, los polinomios de Legendreson ortogonales:

Teorema 14.26 (Relaciones de ortogonalidad)

∫ 1

−1

Pm(x)Pn(x) dx =

2

2n+ 1si m = n,

0 si m 6= n.

Demostracion: Llamemos u(x) = (x2 − 1)n. Entonces, por la formula deRodrigues, para 0 ≤ m < n, se cumple que

2nn!

∫ 1

−1

xmPn(x) dx =

∫ 1

−1

xmun)(x) dx.

Integrando por partes queda

2nn!

∫ 1

−1

xmPn(x) dx =[

xmun−1)(x)]1

−1−m

∫ 1

−1

xm−1un−1)(x) dx,

y el primer termino es nulo porque u(x) tiene raıces de orden n en ±1, luegoum)(x) = 0 para m < n. Despues de integrar por partes m veces llegamos a que

2nn!

∫ 1

−1

xmPn(x) dx = (−1)mm!

∫ 1

−1

un−m)(x) dx

= (−1)mm! [un−m−1)(x)]1−1 = 0.

Por linealidad,∫ 1

−1

Q(x)Pn(x) dx = 0

para todo polinomio Q(x) de grado m < n, en particular para Q(x) = Pm(x).

Calculamos ahora

(2nn!)2∫ 1

−1

P 2n(x) dx =

∫ 1

−1

un)(x)un)(x) dx.

Integrando por partes n veces queda

(2nn!)2∫ 1

−1

P 2n(x) dx = (−1)n

∫ 1

−1

u2n)(x)u(x) dx =


(−1)n∫ 1

−1

d2n(t2 − 1)n

dx2nu(x) dx = (−1)n

∫ 1

−1

(2n)!u(x) dx

= (2n)!

∫ 1

−1

(1− x2)n dx = (2n)!

∫ 1

−1

(1− x)n(1 + x)n dx.

Integramos otra vez por partes:

(2nn!)2∫ 1

−1

P 2n(x) dx

= (2n)!

(

[

(1− x)n(1 + x)n+1

n+ 1

]1

−1

+n

n+ 1

∫ 1

−1

(1 − x)n−1(1 + x)n+1

)

y, nuevamente, el primer termino es nulo. Tras haber integrado n veces llegamosa que

(2nn!)2∫ 1

−1

P 2n(x) dx = (2n)!

n!n!

(2n)!

∫ 1

−1

(1 + x)2n dx

= (n!)2[

(1 + x)2n+1

2n+ 1

]1

−1

= (n!)222n+1

2n+ 1.

Por consiguiente:∫ 1

−1

P 2n(x) dx =

2

2n+ 1.

El mero hecho de que Pn(x) tenga grado n implica que los polinomios deLegendre son una base del espacio vectorial R[x], luego el teorema de Stone-Weierstrass implica que toda funcion continua en [−1, 1] se puede aproximarpor una combinacion lineal de polinomios de Legendre, luego el teorema 3.50implica que los polinomios de Legendre son una base ortogonal de L2([−1, 1]).Por lo tanto, los polinomios normalizados

P ∗n(x) =

√

n+1

2Pn(x)

forman una base ortonormal de L2([−1, 1]), y ahora es facil ver que, tal y comohabıamos senalado, estos polinomios son los que se obtienen al aplicar el procesode ortonormalizacion de Gram-Schmidt a la base 1, x, x2, . . .

En particular tenemos que toda funcion f ∈ L2([−1, 1]) admite un desarrolloen serie de la forma

f ∼∞∑

n=0anPn(x),

donde5

an =

(

n+1

2

)∫ 1

−1

f(x)Pn(x) dx.

5Notemos que los coeficientes del desarrollo respecto de la base P ∗n(x) son

an‖Pn(x)‖ = 〈f, Pn/‖Pn‖〉 ,

luego an = ‖Pn‖−2 〈f, Pn〉.


Estas series se llaman series de Fourier-Legendre, pues son el analogo a lasseries de Fourier respecto de la base ortonormal determinada por los polinomiosde Legendre.

Como en el caso de las series de Fourier, la serie de Fourier-Legendre deuna funcion f ∈ L2([−1, 1]) converge a f en L2([−1, 1]), lo cual no significa quetenga que converger puntualmente. La identidad de Parseval nos da que

∞∑

n=0(P ∗n · f)2 = ‖f‖2,

luego el analogo al lema de Riemann-Lebesgue es que

lımn

〈P ∗n , f〉 = lım

n

√

n+1

2

∫ 1

−1

f(x)Pn(x) dx = 0, (14.10)

para toda funcion f ∈ L2([−1, 1]).

Para estudiar la convergencia puntual necesitamos algunos hechos previos.

Teorema 14.27 (Relacion de Laplace) Si −1 < x < 1 se cumple que

Pn(x) =1

2π

∫ 2π

0

(x+ i√

1− x2 cosφ)n dφ.

Demostracion: Por la formula integral de Cauchy a partir de la formulade Rodrigues tenemos que

Pn(x) =1

2n1

2πi

∫

C

(u2 − 1)n

(u− x)n+1du,

donde C es la circunferencia u = x+ reiφ, φ ∈ [0, 2π]. Se cumple que

du = ireiφ dφ = i(u− x) dφ,

u2 − 1

u− x=x2 + r2e2iφ + 2xreiφ − 1

reiφ=

1

r((x2 − 1)e−iφ + r2eiφ + 2xr),

con lo que

Pn(x) =1

2n1

2π

1

rn

∫ 2π

0

((x2 − 1)e−iφ + r2eiφ + 2xr)n dφ.

Esto es valido para todo numero complejo r 6= 0 (no necesariamente real).En particular podemos tomar r = i

√1− x2, con lo que

Pn(x) =1

2n1

2π

1

rn

∫ 2π

0

(r2(eiφ + e−iφ) + 2xr)n dφ

=1

2n1

2π

∫ 2π

0

(

2i√

1− x2 cosφ+ 2x)n

dφ =


1

2π

∫ 2π

0

(

x+ i√

1− x2 cosφ)n

dφ.

De aquı obtenemos facilmente:

Teorema 14.28 Si −1 ≤ x ≤ 1, se cumple que |Pn(x)| ≤ 1.

Demostracion: Podemos suponer que −1 < x < 1, pues ya hemos vistoque Pn(1) = 1 y Pn(−1) = (−1)n. Entonces

|x+ i√

1− x2 cosφ|2 = x2 + (1− x2) cos2 φ ≤ x2 + 1− x2 = 1,

luego

|Pn(x)| ≤1

2π

∫ 2π

0

|x+ i√

1− x2 cosφ|n dφ ≤ 1

2π

∫ 2π

0

dφ = 1.

No obstante, podemos obtener una acotacion mas fina:

Teorema 14.29 Si 0 < θ < π se cumple que

|Pn(cos θ)| ≤√π√

2n sen θ.

Demostracion: Por la relacion de Laplace:

Pn(cos θ) =1

π

∫ π

0

(cos θ + i sen θ cosφ)n dφ.

Calculamos el modulo del integrando multiplicando por su conjugado y to-mando la raız cuadrada:

|Pn(cos θ)| ≤1

π

∫ π

0

(cos2 θ + sen2 θ cos2 φ)n/2 dφ

=2

π

∫ π/2

0

(cos2 θ + sen2 θ cos2 φ)n/2 dφ.

Ahora observamos que

cos2 θ + sen2 θ cos2 φ = 1− sen2 θ(1 − cos2 φ) = 1− sen2 θ sen2 φ.

Ahora usamos6 que senφ ≥ 2φ/π y que 1− y ≤ e−y:

cos2 θ + sen2 θ cos2 φ ≤ 1− sen2 θ (2φ/π)2 ≤ e− sen2 θ (2φ/π)2 .

6Esto se debe a que la funcion seno es concava en el intervalo [0, π/2]. Una prueba directaconsiste en considerar f(φ) = senφ − 2φ/π y observar que f(0) = f(π/2) = 0, ası como quef ′′(φ) < 0, luego f ′(φ) es decreciente, luego solo se anula una vez en el intervalo, luego f essiempre positiva en ]0, π/2[, porque empieza siendo creciente y, si se anulara en algun puntointermedio, f ′ tendrıa que anularse dos veces.


Por lo tanto:

|Pn(cos θ)| ≤2

π

∫ π/2

0

e−2n sen2 θ

π2 φ2

dφ.

Ahora hacemos el cambio de variable

t =√2n

φ

πsen θ.

|Pn(cos θ)| ≤√2√

n sen θ

∫

√n/2 sen θ

0

e−t2

dt <

√2√

n sen θ

∫ +∞

0

e−t2

dt

=

√2√

n sen θ

√π

2=

√π√

2n sen θ.

El teorema siguiente se puede probar con hipotesis mas debiles:

Teorema 14.30 Sea f : [−1, 1] −→ R una funcion acotada continua a trozos.Entonces, para todo x ∈ ]−1, 1[ donde f sea derivable, se cumple que

f(x) =

∞∑

n=0

anPn(x),

con

an =

(

n+1

2

)∫ 1

−1

f(x)Pn(x) dx.

Demostracion: Consideremos las sumas parciales:

Sm(x) =m∑

n=0anPn(x) =

m∑

n=0

(

n+1

2

)

Pn(x)

∫ 1

−1

f(y)Pn(y) dy

=

∫ 1

−1

f(y)Km(x, y) dy,

donde

Km(x, y) =m∑

n=0

(

n+1

2

)

Pn(x)Pn(y).

Para calcular esta expresion multiplicamos (14.9) por Pn(y) y al resultadole restamos la misma formula intercambiando x con y. El resultado es

(2n+ 1)(x− y)Pn(x)Pn(y) = (n+ 1)(Pn+1(x)Pn(y)− Pn(x)Pn+1(y))

− n (Pn(x)Pn−1(y)− Pn−1(x)Pn(y)).

Comprobamos que esta expresion es valida incluso para n = 0 aunque noeste definido P−1, que en la formula aparece multiplicado por 0.


Ahora observamos que al sumar sobre n, la primera parte de cada terminode la derecha se cancela con la segunda parte del correspondiente al sumandosiguiente, con lo que

(x− y)m∑

n=0(2n+ 1)Pn(x)Pn(y) = (m+ 1)(Pm+1(x)Pm(y)− Pm(x)Pm+1(y)).

Por consiguiente,

Km(x, y) =m+ 1

2

Pm+1(x)Pm(y)− Pm(x)Pm+1(y)

x− y.

Notemos que esta expresion no esta definida cuando x = y, pero la definicionde Km muestra que ha de ser continuo en (x, y), luego las discontinuidades sonevitables.

De la propia definicion de Km(x, y), junto con las relaciones de ortogonali-dad, se sigue que

∫ 1

−1

Km(x, y) dy =

m∑

n=0

(

n+1

2

)

Pn(x)

∫ 1

−1

P0(x)Pn(y) dy = 1.

Ahora ya podemos comparar las sumas parciales con la funcion f :

Sm(x) − f(x) =

∫ 1

−1

f(y)Km(x, y) dy −∫ 1

−1

f(x)Km(x, y) dy

=

∫ 1

−1

Km(x, y)(f(y) − f(x)) dy

=m+ 1

2

∫ 1

−1

(Pm(x)Pm+1(y)− Pm+1(x)Pm(y))f(y)− f(x)

y − xdy

=m+ 1

2Pm(x)

∫ 1

−1

Pm+1(y)φ(x, y) dy −m+ 1

2Pm+1(x)

∫ 1

−1

Pm(y)φ(x, y) dy,

donde

φ(x, y) =f(y)− f(x)

y − x.

Notemos que φ(x, y), como funcion de y, tiene una discontinuidad evitableen y = x, donde tiende a f ′(x), luego es una funcion acotada y continua a trozos,en particular integrable. Por (14.10) tenemos que

lımn

√

n+1

2

∫ 1

−1

Pn(x)φ(x, y) dy = 0,

y lo mismo vale si cambiamos la raız por√n. Ası, si llamamos

In =√n

∫ 1

−1

Pn(x)φ(x, y) dy,


tenemos que

Sm(x)− f(x) =m+ 1

2Pm(x)

Im+1√m+ 1

− m+ 1

2Pm+1(x)

Im√m

y basta probar que las cantidades

√m+ 1Pm(x), y

m+ 1√m

Pm+1(x)

permanecen acotadas cuando m→ ∞. Claramente, basta verlo para√nPn(x).

Para ello aplicamos el teorema 14.29, que nos da

|Pn(x)| ≤√π√

2n√1− x2

,

luego

|√nPn(x)| ≤

√

π

2− 2x2

y el teorema queda demostrado.

Ejemplo Vamos a calcular la serie de Fourier-Legendre de la funcion

f(x) =

1 si 0 < x < 1,0 si x = 0,

−1 si −1 < x < 0.

En realidad, el valor de f(0) es irrelevante. Tenemos que calcular

an =

(

n+1

2

)∫ 1

−1

f(x)Pn(x) dx.

Como Pn(−x) = (−1)nPn(x) y f(−x) = −f(x), es inmediato que a2k = 0 paratodo k. Por otra parte,

a2k+1 = 2

(

2k +3

2

)∫ 1

0

P2k+1(x) dx.

La integral la calculamos usando 14.25:

∫ 1

0

P2k+1(x) dx =1

4k + 3[P2k+2(x) − P2k(x)]

10 =

1

4k + 3(P2k(0)− P2k+2(0))

=1

4k + 3

(

(−1)k

22k

(

2k

k

)

− (−1)k+1

22k+2

(

2k + 2

k + 1

))

=(−1)k

22k+1(k + 1)

(

2k

k

)

.

En definitiva, para −1 < x < 1 se cumple que

f(x) =

∞∑

k=0

(−1)k(4k + 3)

22k+1(k + 1)

(

2k

k

)

P2k+1(x),


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2La figura muestra la suma de los 20 primerosterminos de la serie.

Veamos ahora que los polinomios de Legendreson soluciones de una ecuacion diferencial, conocidaprecisamente como ecuacion de Legendre:

Teorema 14.31 Los polinomios de Legendre satis-facen la ecuacion diferencial

(1− x2)y′′ − 2xy′ + n(n+ 1)y = 0, (14.11)

o, equivalentemente,

d

dx((1 − x2)

dy

dx) + n(n+ 1)y = 0.

Demostracion: Consideremos la funcion u(x) = (x2 − 1)n. Tenemos que

u′(x) = 2n(x2 − 1)n−1x,

luego(x2 − 1)u′(x) = 2nxu(x),

luegodn+1

dxn+1((x2 − 1)u′(x)) =

dn+1

dxn+1(2nxu(x)).

Aplicando la formula del producto en ambos miembros obtenemos

(x2 − 1)un+2)(x) + (n+ 1)2xun+1)(x) + (n+ 1)nun)(x)

= 2nxun+1)(x) + 2n(n+ 1)un)(x).

Equivalentemente:

(x2 − 1)un+2)(x) + 2xun+1)(x) − n(n+ 1)un)(x) = 0.

La formula de Rodrigues nos da entonces que

(x2 − 1)P ′′n (x) + 2xP ′

n(x) − n(n+ 1)Pn(x) = 0.

Los polinomios de Legendre no son las unicas soluciones de la ecuacion de Le-gendre. No obstante, antes de encontrar otras conviene observar que, expresadaen la forma general considerada en el teorema 7.9, es

y′′ =2x

1− x2y′ − n(n+ 1)

1− x2y,

de modo que sus coeficientes no estan definidos para x = ±1. Esto hace que enrealidad esta ecuacion determina tres ecuaciones diferenciales en principio sinconexion entre sı: una para x < −1, otra para −1 < x < 1 y otra para x > 1.Aquı nos vamos a centrar en los valores de x en ]−1, 1[.


Notemos tambien la ecuacion es lineal en (y, y′, y′′), lo cual implica que elconjunto V de soluciones es un subespacio vectorial del espacio de todas lasfunciones ]−1, 1[ −→ R. Mas aun, la unicidad para unas condiciones inicialesdadas hace que la aplicacion V −→ R2 dada por y 7→ (y(0), y′(0)) sea unisomorfismo de espacios vectoriales, por lo que la solucion general es de la forma

c1Pn + c2Qn, c1, c2 ∈ R

donde Pn y Qn son dos soluciones cualesquiera linealmente independientes. Po-demos tomar como Pn el polinomio de Legendre, y nos falta encontrar otrasolucion7 particular Qn que sea linealmente independiente de Pn.

Vamos a buscarla de la forma Qn(x) = Pn(x)u(x), para cierta funcion u(x)no constante. Al sustituir en la ecuacion queda

(1 − x2)(P ′′n + 2P ′

nu′ + u′′)− 2x(P ′

nu+ Pnu′) + n(n+ 1)y = 0,

o equivalentemente:

(1− x2)Pnu′′ + (2(1− x2)P ′

n − 2xPn)u′ + ((1− x2)P ′′

n − 2xP ′n + n(n+1))u = 0.

El ultimo termino se anula porque Pn cumple la ecuacion de Legendre. Por lotanto obtenemos

u′′

u′= −2P ′

n

Pn+

2x

1− x2.

Integrando ambos miembros llegamos a que

log |u′| = − logP 2n − log(1− x2) = − log((1− x2)P 2

n(x)).

No consideramos ninguna constante de integracion porque solo estamos intere-sados en encontrar una solucion particular. Ası llegamos a que

u′(x) =1

(1− x2)P 2n(x)

.

Al margen del proceso que hemos seguido para llegar hasta aquı, se compruebasin dificultad que si u cumple esta condicion entonces Pnu cumple la ecuacionde Legendre. De aquı llegamos a que

u(x) =

∫

dx

(1− x2)P 2n(x)

.

De nuevo, no especificamos lımites de integracion porque nos basta encontraruna primitiva concreta.

Hemos visto que Pn(x) tiene n raıces simples en el intervalo ]−1, 1[, demodo que Pn(x) = x0(x− x1) · · · (x− xk). Consideramos la descomposicion enfracciones simples del integrando (vease [A, 3.55]), que sera de la forma

1

(1− x2)P 2n(x)

=A

x− 1+

B

x+ 1+

n∑

k=1

(

Dk

(x − xk)2+

Ekx− xk

)

, (14.12)

para ciertos coeficientes A,B,Dk, Ek ∈ R que tenemos que calcular.

7En realidad, necesitamos encontrar una solucionQn definida sobre todo el intervalo ]−1, 1[,lo cual justificara que todas las soluciones estan definidas en todo el intervalo.


Para calcular A multiplicamos ambos miembros por x− 1, con lo que obte-nemos que

−1

(x+ 1)P 2n(x)

= A+ · · · ,

donde los puntos suspensivos son terminos que valen 0 en 1, luego evaluandoen 1 queda que A = −1/2P 2

n(1) = −1/2. Multiplicando ambos miembros porx+ 1 obtenemos igualmente que B = 1/2. Para calcular Dk observamos que

Dk = lımx→xk

(x− xk)2u′(x).

En efecto, evaluando el lımite en el miembro derecho de (14.12) vemos que almultiplicar por (x− xk)

2 todos los sumandos tienden a 0 excepto el correspon-diente a Dk, que es Dk. Si hacemos el calculo con el miembro izquierdo resultaque

Dk = lımx→xk

(x− xk)2

(1− x2)P 2n(x)

= lımx→xk

1

(1 − x2)(

Pn(x)−Pn(xk)x−xk

)2 =1

(1− x2k)P′2n (xk)

.

El calculo de Ek es mas delicado. Podemos obtenerlo como

Ek = lımx→xk

d

dx((x − xk)

2u′(x)).

En efecto, los sumandos del miembro izquierdo de (14.12) distintos de los doscorrespondientes al ındice k son de la forma (x − xk)

2T (x), donde T (x) estadefinido en xk. Al derivar queda 2(x−xk)T (x)+ (x−xk)

2T ′(x), que tiende a 0en xk. El primer sumando correspondiente al ındice k es Dk, que al derivar seanula, y el segundo es Ek(x− xk), que al derivar pasa a ser Ek. Lo calculamoscon el miembro izquierdo:

Ek = lımx→xk

d

dx

(x− xk)2

(1− x2)P 2n(x)

=

lımx→xk

2(x− xk)(1 − x2)P 2n(x)− (x− xk)

2(−2xP 2n(x) + (1− x2)2Pn(x)P

′n(x))

(1− x2)2P 4n(x)

= lımx→xk

2(x− xk)Pn(x)

(1− x2)P 2n(x)

(1− x2)Pn(x) − (x− xk)(−xPn(x) + (1− x2)P ′n(x))

P 2n(x)

.

En el primer factor se simplifica el x− xk (porque xk es raız de Pn(x)) y elcociente tiende a un valor finito. Basta probar que el segundo factor tiende a 0,con lo que podremos concluir que Ek = 0. Aplicamos la regla de L’Hopital:

−2xPn + (1− x2)P ′n − (−xPn + (1− x2)P ′

n)− (x− xk)(−Pn − xP ′n − 2xP ′

n + (1− x2)P ′′n )

2PnP ′n

.

Usando que Pn cumple la ecuacion de Legendre la expresion se simplifica a

lımx→xk

−xPn(x) − (x− xk)(−Pn(x)− xP ′n(x) − n(n− 1)Pn(x))

2Pn(x)P ′n(x)

.


Volvemos a aplicar la regla de L’Hopital:

−Pn − xP ′n − (−Pn − xP ′

n − n(n− 1)Pn) − (x− xk)(−P′n − P ′

n − xP ′′n − n(n− 1)P ′

n)

2P ′2n + 2PnP ′′

n

.

El lımite cuando x→ xk es

−xkP ′n(xk)− (−xkP ′

n(xk))

2P ′2n (xk)

= 0.

En definitiva:

u(x) =

∫

(

−1/2

x− 1+

1/2

x+ 1+

n∑

k=1

Dk

(x− xk)2

)

dx =

−1

2log(1− x) +

1

2log(1 + x)−

n∑

k=1

Dk

x− xk

=1

2log

1 + x

1− x−

n∑

k=1

1

(1− x2k)P′2n (xk)

1

x− xk

Las funciones

Qn(x) = Pn(x)1

2log

1 + x

1− x−

n∑

k=1

1

(1− x2k)P′2n (xk)

Pn(x)

x− xk

se llaman funciones de Legendre de segunda clase (las de primera clase son lospolinomios de Legendre). Observemos que el sumatorio es un polinomio, porquex− xk divide a Pn(x).

Teniendo en cuenta la relacion Pn(−x) = (−1)nPn(x), es inmediato queQn(−x) = (−1)n+1Qn(x). Tambien se comprueba facilmente que tienden a ∞en ±1.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Q0 Q1

Q2

Q3

Q4

La figura muestra las primeras funcionesde Legendre de segunda clase, que son lassiguientes:

Q0(x) =1

2log

1 + x

1− x

Q1(x) =1

2log

1 + x

1− x− 1

Q2(x) =3x2 − 1

2log

1 + x

1− x− 3x

2

Q3(x) =5x3 − 3x

2log

1 + x

1− x+

2

3− 5x2

2

Q4(x) =35x4 − 30x2 + 3

8log

1 + x

1− x+

55x

24− 25x3

8.

Veamos una aplicacion:


Ejemplo La base de una boveda semiesferica de 10m de radio se mantienecaldeada a una temperatura constante de 30C, mientras que su superficie seencuentra a la temperatura ambiente de 5C. Determinar la temperatura encada punto del interior de la boveda.

Solucion: Por simetrıa, la temperatura de cada punto tiene que ser unafuncion T = T (r, z). Por simplicidad vamos a tomar los 10m de radio dela boveda como unidad de longitud, de modo que el radio es ahora unitario.Similarmente, vamos a tomar los 30C de la base como origen de temperaturas,de modo que la base esta a temperatura 0 (y la superficie de la boveda a −25).

Buscamos una solucion estacionaria a la ecuacion del calor (es decir, contemperatura constante, lo cual no significa que no haya flujo de calor, puesciertamente el calor fluira de la base a la superficie). La ecuacion se reduceentonces a la de Laplace: ∆T = 0, es decir, buscamos una funcion harmonicaen el interior de la semiesfera que tienda a 0 en la base y a Tf = −25 en lasuperficie.

Necesitamos expresar el laplaciano en terminos de las coordenadas r, z. Aun-que podrıamos derivar directamente la expresion, por simplicidad partiremos dela expresion en coordenadas esfericas, que es bien conocida:

∆T =1

r2∂

∂r

(

r2∂T

∂r

)

+1

r2 sen θ

∂

∂θ

(

sen θ∂T

∂θ

)

+1

r2 sen2 θ

∂2T

∂φ2.

Ahora usamos que T no depende de φ, por lo que el ultimo termino es nulo, yque z = cos θ, de modo que

∂

∂θ= − sen θ

∂

∂z.

Ası pues,

∆T =1

r2∂

∂r

(

r2∂T

∂r

)

− 1

r2∂

∂z

(

− sen2 θ∂T

∂z

)

=∂2T

∂r2+

2

r

∂T

∂r+

1

r2∂

∂z

(

(1 − z2)∂T

∂z

)

.

En definitiva, tenemos que resolver la ecuacion en derivadas parciales

∂2T

∂r2+

2

r

∂T

∂r+

1

r2∂

∂z

(

(1− z2)∂T

∂z

)

= 0

en la semiesfera abierta, con las condiciones de frontera que establecen que latemperatura debe tender a 0 cuando z → 0 y a un valor T0 cuando r → 1.

En primer lugar buscamos soluciones de la forma T (r, z) = R(r)Z(z). Alsustituir en la ecuacion y separar variables queda

r2

R(R′′ +

2

rR′) = −1

z

d

dz((1 − z)2Z ′) = n(n+ 1).

Como cada miembro depende de una variable distinta, ambos tienen que serconstantes, y vamos a considerar los casos en los que la constante es de la forma


n(n + 1), donde n ∈ N. De este modo, la funcion Z satisface la ecuacion deLegendre

d

dz((1− Z)2Z ′) + z n(n− 1) = 0,

cuyas soluciones son de la forma Z = C1Pn(z)+C2Qn(z), pero tomamos C2 = 0porque buscamos soluciones con lımite finito cuando z → 1. Por otra parte, lacondicion de frontera referente a la base de la semiesfera exige que C1Pn(0) = 0,lo cual se cumple si n es impar.

Por otra parte, la funcion R tiene que cumplir

r2R′′ + 2rR′ = n(n+ 1)R.

Se trata de una ecuacion de Euler-Cauchy, precisamente la que hemos re-suelto en el capıtulo XVI. Sus soluciones son de la forma

C3rn + C4r

−(n+1),

pero hacemos C4 = 0 porque no queremos soluciones que tiendan a ∞ en 0. Entotal, concluimos que las funciones de la forma

Tn(r, z) = cnrnPn(z),

con n impar, cumplen las condiciones del problema salvo la condicion de fronteraque exige que la temperatura tienda a T0 cuando r → 1. Ahora pasamos aconsiderar soluciones de la forma

T (r, z) =∞∑

n=0c2n+1r

2n+1P2n+1(z).

Si la sucesion de coeficientes c2n+1 determina una serie de Fourier-Legendreconvergente para cada 0 < z < 1, entonces el criterio de mayoracion de Weiers-trass nos asegura que T (r, z), como funcion de r para un z fijo, es una serie depotencias de radio de convergencia≥ 1, y por lo tanto las derivadas parciales su-cesivas de T respecto de r son las sumas de las correspondientes a los sumandos.Similarmente, si fijamos 0 < r < 1, la acotacion |c2n+1r

2n+1P2n+1(z)| ≤ Kr2n+1

(dondeK es una cota para los coeficientes) nos da la convergencia uniforme en z,y podemos aplicar el teorema de Weierstrass 13.25 (ya que los polinomios sonfunciones holomorfas) para concluir que T es derivable respecto de z y que susderivadas sucesivas son las sumas de las derivadas de los sumandos. De aquı sesigue que ∆T es la suma de los laplacianos de los sumandos, luego ∆T = 0 yclaramente cumple todos los requisitos del problema, salvo quiza la condicionde frontera en la superficie. Concretamente:

T (1, z) =∞∑

n=0c2n+1P2n+1(z).

Solo falta ajustar los coeficientes para que esta serie sume 1 si 0 < z ≤ 1. Comolos polinomios de Legendre impares cumplen P2n+1(−z) = −P2n+1(z), en el

14.5. El teorema de adicion 171

intervalo [−1, 1] la serie tiene que converger (respecto a la norma de L2) a lafuncion

f(z) =

1 si z ≥ 0,−1 si z < 0.

El teorema 14.30 prueba que la serie de Fourier-Legendre de esta funcion con-verge puntualmente a 1 en 0 < z < 1 (porque f es derivable en estos puntos,luego nos proporciona la solucion deseada de la ecuacion diferencial. Para volvera las unidades iniciales solo hay que transformarla en 30− 25T (r/10, z/10).

x10

50

−5−1030T

2010

500

5

z 10

La figura muestra la solucion calculada con 500 sumandos de la serie. Vemoscomo, en efecto, la temperatura en la base de la semiesfera es de 30C, mientrasque en su superficie es de 5C.

14.5 El teorema de adicion

Aparentemente, al estudiar los polinomios de Legendre nos hemos alejadodel estudio de los harmonicos esfericos, pero esto no es del todo cierto, puesahora vamos a probar que los polinomios de Legendre intervienen en un teo-rema fundamental sobre estos. En realidad intervienen en el caso bidimensionalde teorema, mientras que el caso general requiere una generalizacion de lospolinomios de Legendre. El resultado es el siguiente:

Teorema 14.32 (Teorema de adicion) Para cada d ≥ 1 y cada n ≥ 0 existeun unico polinomio P dn(t) con la propiedad siguiente: Si h1, . . . , hN es una baseortonormal de Hd

n, entonces

N∑

i=1

hi(u)hi(v) =N

σdP dn (u · v),

donde σd es la medida de Sd. Ademas, P dn (t) es un polinomio de grado n concoeficientes reales y, para cualquier v ∈ Sd fijo, la funcion P dn(u · v) es unelemento de Hd

n.


Demostracion: Tomemos dos bases ortonormales h1, . . . , hN y h′1, . . . , h′N

y consideremos las funciones

F (u, v) =N∑

i=1

hi(u)hi(v), F ′(u, v) =N∑

i=1

h′i(u)h′i(v).

Vamos a probar que F = F ′. Para ello tomamos h ∈ Hdn y fijamos v ∈ Sd. Es

claro que las funciones F (u, v) y F ′(u, v) estan en Hdn, pues son combinaciones

lineales de las bases dadas. Ademas:

〈h(u), F (u, v)− F ′(u, v)〉 =N∑

i=1

〈h(u), hi(u)〉 hi(v)−N∑

i=1

〈h(u), h′i(u)〉 h′i(v)

= h(v)− h(v) = 0.

Tomando concretamente h(u) = F (u, v)− F ′(u, v) concluimos que

‖F (u, v)− F ′(u, v)‖ = 0

y como F y F ′ son funciones continuas, ha de ser F = F ′.

Ası pues, la funcion F puede ser calculada con cualquier base ortonormalde Hd

n. En particular, dada la base del enunciado y un ρ ∈ O(d+1), segun 14.17podemos considerar la base ortonormal ρh1, . . . , ρhN , lo que nos da que F esinvariante por isometrıas:

F (u, v) =N∑

i=1

ρhi(u)ρhi(v) =N∑

i=1

hi(ρ(u))hi(ρ(v)) = F (ρ(u), ρ(v)).

Ahora, dados dos puntos u, v ∈ Sd, podemos tomar una base ortonormalu0, . . . , ud de Rd+1 tal que u0 = u y de modo que v ∈ 〈u0, u1〉. Respecto a estabase, las coordenadas de u y v seran (1, 0, . . . , 0, ) y (uv,

√

1− (uv)2, 0, . . . , 0).La matriz de cambio de base (respecto a una base ortonormal arbitraria pre-fijada) determina una isometrıa ρ ∈ O(d + 1) tal que ρ(u) = (1, 0, . . . , 0) yρ(v) = (uv,

√

1− (uv)2, 0, . . . , 0). Por consiguiente,

F (u, v) = F ((1, 0, . . . , 0, ), (uv,√

1− (uv)2, 0, . . . , 0)).

Si definimos

Q(t) = F ((1, 0, . . . , 0), (t,√

1− t2, 0, . . . , 0)),

entonces F (u, v) = Q(u · v), donde la funcion Q no es identicamente nula, puespodemos tomar una base h1, . . . , hN formada por funciones con imagen en R y,como ha de haber un u ∈ Sd tal que h1(u) 6= 0, ha de ser Q(u · u) 6= 0 (pues esuna suma de cuadrados reales no todos nulos).

El teorema quedara probado si demostramos que existe un polinomio degrado n con coeficientes reales que coincide con Q(t) en el intervalo [−1, 1].


Vamos a tratar aparte el caso d = 1. Para n = 0 una base ortonormal deH1

0 es h1 = 1/√2π, con lo que Q(t) = 1/2π y podemos tomar P 1

0 (t) = 1. Paran ≥ 1, podemos tomar h1 = (1/

√π) cosnα, h2 = (1/

√π) sennα, con lo que, si

u = (cosα, senα), v = (cosβ, senβ), u · v = cos(α− β)

h1(u)h1(v) + h2(u)h2(v) =1

π(cosnα cosnβ+sennα sennβ) =

1

πcos(n(α− β)).

Llamando γ = α−β, la relacion (cos γ+ i sen γ)n = cosnγ+ i sennγ implicaque

Q(u · v) = cosnγ = P (cos γ) = P (u · v),donde P es un polinomio de grado n con coeficientes reales, y podemos tomarP 1n = P , de modo que

N

σ1P 1n(u · v) = 2

2πP (u · v) = 1

πP (cos(α− β)) =

1

πcos(n(α− β)),

de acuerdo con la igualdad del enunciado.

Supongamos ahora que d ≥ 2, fijemos e0 = (1, 0, . . . , 0) y consideremos elharmonico esferico h(u) = Q(u·e0). Observamos que es invariante por isometrıasρ ∈ O(d+ 1) que cumplan ρe0 = e0, pues

ρh(u) = F (ρu, e0) = F (u, ρ−1e0) = F (u, e0) = h(u).

Sea H ∈ PHdn el polinomio cuya restriccion a Sd es h. Como la base de

partida se puede tomar formada por harmonicos esfericos reales, el polinomioH puede tomarse con coeficientes reales. Podemos expresarlo en la forma

H =n∑

j=0

xn−j0 Pj(x1, . . . , xd),

donde cada Pj es homogeneo de grado j. Puesto que ρH se restringe a ρh = h,el teorema 14.11 implica que H es invariante respecto a isometrıas que fijen ae0. Fijado un punto u ∈ Rd+1, existe ρ ∈ O(d + 1) que deja invariante a e0y tal que ρ(u) = (u0,

√

u21 + · · ·+ u2d, 0, . . . , 0). Al aplicar la invarianza de Hconcluimos que

Pj(x1, . . . , xd) = Pj((x21+· · ·+x2d)1/2, 0, . . . , 0) = (x21+· · ·+x2d)j/2Pj(1, 0, . . . , 0).

Como Pj es un polinomio, para que cj = Pj(1, 0, . . . , 0) pueda ser no nulo esnecesario que j = 2k, con lo que

H(x) =[n/2]∑

k=0

c2k xn−2k0 (x21 + · · ·+ x2d)

k,

donde [n/2] representa al mayor entero que no supera a n/2. Ası, si t ∈ [−1, 1],tenemos que

Q(t) = Q((t,√

1− t2, 0, . . . , 0) · e0) =[n/2]∑

k=0

c2k tn−2k(1− t2)k,


luego Q coincide en [−1, 1] con el polinomio de la derecha, que tiene coeficientesreales. Solo falta probar que tiene grado n. Notemos que todos los sumandostienen grado n, salvo que sean nulos. Hemos de probar que c0−c2+c4−· · · 6= 0.Para ello probaremos que c2k y c2k+2 tienen signos opuestos, con lo que todoslos sumandos tienen el mismo signo y la unica posibilidad para que la sumafuera nula serıa que todo el polinomio fuera nulo, con lo que serıa Q = 0 y yahemos probado que no es ası.

Nos basaremos en que H es harmonico, luego cumple ∆H = 0. Un calculorutinario muestra que

∆H =[n/2]∑

k=0

c2k(n− 2k)(n− 2k − 1)xn−2k−20 (x21 + · · ·+ x2d)

k

+[n/2]∑

k=0

c2k2k(d+ 2k − 2)xn−2k0 (x21 + · · ·+ x2d)

k−1

=[n/2]∑

k=0

((n− 2k)(n− 2k− 1)c2k+2(k+1)(d+2k)c2k+2)xn−2k−20 (x21 + · · ·+ x2d)

k.

Ası pues, la condicion ∆H = 0 equivale a la relacion

c2k+2 = − (n− 2k)(n− 2k − 1)

2(k + 1)(d+ 2k)c2k,

luego los coeficientes tienen signos alternos, como tenıamos que probar.

Definicion 14.33 El polinomio P dn(t) dado por el teorema anterior se llamapolinomio de Legendre (generalizado) de grado n y dimension d.

Demostraremos que los polinomios de Legendre clasicos estudiados en laseccion precedente son los polinomios de Legendre correspondientes a d = 2.Respecto a los correspondientes a d = 1, en la prueba del teorema de adicionhemos visto que P 1

n(cos γ) = cosnγ. Esta propiedad caracteriza a los llama-dos polinomios de Chebyshev, que son, pues, los polinomios de Legendre dedimension 1. Ademas, hemos visto que en este caso el teorema de adicion sereduce a la relacion

cosα cosβ + senα senβ = cos(α− β).

Obviamente, cualquier aplicacion explıcita del teorema de adicion requiereuna descripcion explıcita de los polinomios de Legendre y para obtenerla nece-sitaremos algunos resultados previos. Empezamos con un resultado elementalsobre integracion en esferas:

Teorema 14.34 Sea f : Sd −→ R una funcion integrable, con d > 1. Entonces

∫

Sd

f dσ =

∫ 1

−1

(1− t2)(d−2)/2

∫

Sd−1

f(t, u√

1− t2) dσ(u) dt.


Demostracion: Consideramos el difeomorfismo f : ]−1, 1[× Sd−1 −→ Sd

dado por f(t, u) = (t, u√1− t2), cuya imagen es toda Sd menos dos puntos.

Sea X : U −→ Sd−1 una carta arbitraria y tomamos la identidad I como cartadel intervalo abierto. Entonces I × X es una carta del producto cartesiano yY = (I×X)f es una carta de Sd. Explıcitamente, Y (t, u) = (t,

√1− t2X(u)).

Calculamos la matriz jacobiana

JY =

1 − t√1−t2X

0√1− t2 JX

.

El elemento de medida de Sd respecto de la carta Y es

dσ =√

det((JY )(JY )t) dm,

donde dm es la medida de Lebesgue en ]0, 1[ × U . Teniendo en cuenta queX ·X = 1 y que X es ortogonal a todas las filas de JX , es claro que

(JY )(JY )t =

11−t2 0

0 (1− t2)(JX)(JX)t

,

luego el determinante es

(1− t2)d−2 det((JX)(JX)t)

y concluimos que dσd = (1− t2)(d−2)/2(dt∧ dσd−1), donde dσd−1 es el elementode medida de Sd−1 respecto de la carta X .

Por otra parte, el elemento de medida de ]−1, 1[ × Sd−1 es precisamentedt ∧ dσd−1, luego concluimos que

f#(dσd) = (1− t2)(d−2)/2dt ∧ dσd−1,

donde ahora consideramos ambos miembros como formas diferenciales en elproducto ]−1, 1[ × Sd−1 y la igualdad es entonces independiente de las cartasconsideradas. Esto implica la formula del enunciado.

Observemos que, para d = 1, un razonamiento mucho mas elemental de-muestra que

∫

S1

f dσ =

∫ 1

−1

f(t,√1− t2) + f(t,−

√1− t2)√

1− t2dt,

y esta formula es un caso particular de la del teorema anterior si consideramosque S2 = ±1 y que ambos puntos tienen medida 1, de modo que

∫

S0

f dσ = f(−1) + f(1).

Pasamos ya a estudiar los polinomios de Legendre. Conviene recordar que suconexion con los harmonicos esfericos tiene que ver unicamente con los valoresque toman en el intervalo [−1, 1].


Teorema 14.35 Si n ≥ 0, entonces P dn (1) = 1 y para todo t ∈ [−1, 1] se cumple|P dn(t)| ≤ 1.

Demostracion: Fijemos una base ortonormal h1, . . . , hn de Hdn que pode-

mos suponer que esta formada por funciones reales. Por el teorema de adicion,si u ∈ Sd es un punto arbitrario,

N

σdP dn (1) =

N∑

i=1

hi(u)2.

Integrando ambos miembros sobre Sd, y teniendo en cuenta que cada hitiene norma 1, obtenemos que NP dn(1) = N , luego P dn(1) = 1. Dado t ∈ [−1, 1],claramente existen u, v ∈ Sd tales que uv = t, con lo que

|P dn (t)|2 = |P dn (uv)|2 =σ2d

N2

(

N∑

i=1

hi(u)hi(v)

)2

≤ σdN

(

N∑

i=1

hi(u)2

)

σdN

(

N∑

i=1

hi(u)2

)

= P dn(1)2 = 1,

donde hemos usado la desigualdad de Cauchy-Schwarz en RN .

Los polinomios de Legendre verifican una condicion de ortogonalidad enL2([−1, 1]), pero no con respecto al producto escalar usual, sino respecto alproducto ponderado dado por

[f, g] =

∫ 1

−1

f(t)g(t)(1 − t2)ϑ dt,

donde ϑ = (d−2)/2. Es inmediato comprobar que L2([−1, 1]) con este productoes isometrico a L2([−1, 1]) con el producto usual. (La isometrıa natural esf(t) 7→ f(t)(1 − t2)ϑ/2.)

Teorema 14.36 Se cumple que

[P dm, Pdn ] = δmn

σdσd−1N

,

donde N = dimHdn y σd es la medida de Sd. Ademas, si Q0, Q1, . . . es una

sucesion finita o infinita de polinomios tales que Qi tiene grado i y [Qm, Qn] = 0cuando m 6= n, entonces Qn(t) = ηdnP

dn(t), para un cierto ηdn ∈ R.

Demostracion: Si m 6= n, entonces∫

Sd

P dm(u · e0)P dn (u · e0) dσ = 0

porque los dos factores del integrando son harmonicos esfericos de distinto grado.Si m = n, usamos el teorema de adicion:

∫

Sd

P dn(u · e0)2 dσ =σ2d

N2

∫

Sd−1

(

N∑

i=1

hi(u)hi(e0)

)2

dσ


=σ2d

N2

(

N∑

i=1

hi(u)hi(e0) ·N∑

i=1

hi(u)hi(e0)

)

=σ2d

N2

N∑

i=1

hi(e0)2 =

σdNP dn(1) =

σdN.

Ası pues,∫

Sd

P dm(u0)Pdn (u0) dσ = δmn

σdN.

Aplicando el teorema 14.34, la integral se convierte en

∫ 1

−1

(1− t2)ϑP dm(t)P dn (t)

∫

Sd−1

dσd−1 dt = σd−1[Pdm, P

dn ].

Esto prueba la primera parte del teorema. Notemos que la conclusion esvalida para d = 1 con el convenio de que σ0 = 2. Para la segunda parterazonamos por induccion sobre n que Qn es un multiplo de P dn . Para n = 0 estrivial, pues ambos polinomios tienen grado 0. Supongamos que Qm = ηdmP

dm

para m < n. Como los polinomios P dm con m ≤ n forman una base del espaciode los polinomios de grado ≤ n, podemos expresar

Qn =n∑

m=0amP

dm,

pero, aplicando [−, Qm] = ηdm[−, P dm], concluimos que am = 0 para todo m < n,luego Qn = amP

dm y basta tomar ηdm = am.

Finalmente podemos obtener una expresion explıcita para los polinomios deLegendre:

Teorema 14.37 (Formula de Olinde Rodrigues)

P dn(t) =(−1)n

2n(ϑ+ 1)(ϑ+ 2) · · · (ϑ+ n)(1− t2)−ϑ

dn

dtn(1 − t2)ϑ+n,

donde ϑ = (d− 2)/2.

Demostracion: Llamemos fn(t) al miembro derecho de la formula delenunciado. Vamos a calcular la derivada descomponiendo

(1− t2)ϑ+n = (1− t)ϑ+n(1 + t)ϑ+n

y aplicando la regla de Leibniz para las derivadas sucesivas de un producto:

dn

dtn(1 − t2)ϑ+n =

n∑

k=0

(

n

k

)

dk

dtk(1− t)n+ϑ

dn−k

dtn−k(1 + t)n+ϑ

=

n∑

k=0

(

n

k

)

(−1)k(n+ϑ) · · · (n+ϑ−k+1)(1−t)n+ϑ−k(n+ϑ) · · · (k+ϑ−1)(1+t)k+θ

= (t2−1)ϑn∑

k=0

(

n

k

)

(−1)k(n+ϑ) · · · (n+ϑ−k+1)(1−t)n−k(n+ϑ) · · · (k+ϑ−1)(1+t)k.


Como en fn(t) la derivada aparece multiplicada por (t2 − 1)−θ, vemos quefn(t) es un polinomio de grado n. Al evaluarlo en t = 1 desaparecen todos lossumandos de la derivada excepto el correspondiente a k = n, de donde se sigueinmediatamente que fn(1) = 1 = P dn(1). Por el teorema anterior, basta probarque [fm, fn] = 0 para m < n. Integrando por partes n veces obtenemos que

[fm, fn] = c1

∫ 1

−1

fm(t)dn

dtn(1− t2)ϑ+n dt = c2

∫ 1

−1

(1− t2)ϑ+ndn

dtnfm(t) dt = 0,

pues fm es un polinomio de grado m. En la integracion por partes hemos usadoque las derivadas

dj

dtj(1− t2)ϑ+n

para j < n se anulan en ±1, lo cual se prueba calculando la derivada j-esimaigual que hemos calculado antes la derivada n-sima.

Para d = 2 se cumple que ϑ = 0 y la formula se reduce a

P 2n(t) =

1

2nn!

dn

dtn(t2 − 1)n,

que es la formula clasica de Olinde Rodrigues que define a los polinomios deLegendre clasicos. Ahora ya es inmediato que estos no son sino los polinomiosde Legendre P 2

n(x).

Una aplicacion relevante del teorema de adicion nos proporciona la conver-gencia de las series de Laplace. Empezamos probando lo siguiente:

Teorema 14.38 Existe una constante Cd tal que si h1, . . . , hN es una baseortonormal de Hd

n entonces, para todo u ∈ Sd, se cumple que

N∑

i=1

|hi(u)|2 ≤ Cd nd−1.

Demostracion: Podemos suponer n > 0, pues para n = 0 el miembroizquierdo vale 1, independientemente de d. Por el teorema de adicion,

N∑

i=1

|hi(u)|2 =N∑

i=1

hi(u)hi(u) =N

σdP dn (1) =

N

σd.


N

nd−1=

(2n+ d− 1)(n+ d− 2)!

(d− 1)!n!nd−1=

(

2 +d− 1

n

)

(n+ d− 2)!

(d− 1)!n!nd−2

=1

(d− 1)!

(

2 +d− 1

n

)(

1 +d− 2

n

)(

1 +d− 3

n

)

· · ·(

1 +1

n

)

≤ Kd,

donde Kd es la constante que resulta de hacer n = 1 en la expresion precedente.Basta tomar Cd = Kd/σd.


Teorema 14.39 Sea k = 2E[(d + 1)/4], sea f ∈ Ck(Sd) y sea hn1 , . . . , hnN(d,n)

una base ortonormal de Hdn. Entonces la serie de Laplace

∞∑

n=0

N(d,n)∑

j=1

cn,j hnj

converge absoluta y uniformemente a f en Sd.

Demostracion: Llamamos λn = n(d+n−1), de modo que, segun 14.6, lasfunciones hnj cumplen que −∆dh

nj = λnh

nj . Tomemos p ∈ N y cualquier u ∈ Sd.

EntoncesN(d,n)∑

j=1

|cn,j hnj (u)| ≤N(d,n)∑

j=1

2|λpncn,j ||λ−pn hnj (u)|

≤N(d,n)∑

j=1

|λpncn,j |2 +N(d,n)∑

j=1

|λ−pn hnj (u)|2.

Por el teorema anterior, el segundo sumando puede acotarse ası:

λ−2pn

N(d,n)∑

j=1

|hnj (u)|2 ≤ Cd nd−1

(n(d+ n− 1))2p≤ Cdn4p+1−d .

Segun 8.62, la serie definida por la ultima expresion es convergente si p > d/4,luego la expresion puede hacerse arbitrariamente pequena si m1 y m2 se tomansuficientemente grandes.

Por otra parte, consideramos la funcion g = (−∆d)p(f), donde el expo-

nente indica composicion, es decir, se trata de la aplicacion a f del operadorde Laplace-Beltrami p veces consecutivas. Notemos que la hipotesis del teo-rema garantiza que f es de clase C2p. Por lo tanto, g esta bien definida yg ∈ C(Sd) ⊂ L2(Sd). Sean c∗n,j los coeficientes de Laplace de g. Por los teore-mas 14.5 y 14.6, tenemos que

c∗n,j =⟨

(−∆d)p(f), hnj

⟩

=⟨

f, (−∆d)p(hnj )

⟩

=⟨

f, λpnhnj

⟩

= λpncn,j .

Ası pues,N(d,n)∑

j=1

|λpncn,j|2 =N(d,n)∑

j=1

|c∗n,j |2,

y la serie definida por la ultima expresion es convergente (por la identidad deParseval para g). El teorema de mayoracion de Weierstrass prueba entoncesque la serie de Laplace de f es absolutamente convergente en Sd. Su suma Fes una funcion continua, y la serie de Laplace converge tambien a F en L2(Sd).Esto significa que F = f como funciones de L2(Sd), pero al ser ambas funcionescontinuas esto implica que son la misma funcion.


14.6 Las funciones asociadas de Legendre

A partir de las soluciones de la ecuacion de Legendre es posible obtener lasde otra ecuacion diferencial conocida como ecuacion asociada de Legendre:

Teorema 14.40 Si una funcion y(x) satisface la ecuacion diferencial de Le-gendre (14.11), entonces, para cada numero natural m,

u(x) = (1− x2)m/2dmy

dxm

satisface la ecuacion asociada de Legendre:

(1− x2)u′′ − 2xu′ +

(

n(n+ 1)− m2

1− x2

)

u = 0. (14.13)

Demostracion: Al derivar m veces (14.11) obtenemos

(1− x2)v′′ − 2(m+ 1)xv′ + (n−m)(n+m+ 1)v = 0,

donde v = ym) = (1− x2)−m/2 u. Entonces

v′ = (1 − x2)−m/2(

u′ +mx

1− x2u

)

,

v′′ = (1− x2)−m/2(

u′′ +2mx

1− x2u′ +

m

1− x2u+

m(m+ 2)x2

(1− x2)2u

)

.

Sustituyendo en la ultima ecuacion diferencial y simplificando se llega a queu cumple la ecuacion del enunciado.

Definicion 14.41 Para cada par de numeros naturales 0 ≤ m ≤ n definimoslas funciones asociadas de Legendre como

Pmn (x) = (1− x2)m/2dmPndxm

.

Similarmente, las funciones asociadas de Legendre de segunda clase son las dadaspor

Qmn (x) = (1 − x2)m/2dmQndxm

,

donde Qn son las funciones de Legendre de segunda clase. Claramente lasfunciones de Legendre son el caso particular P 0

n = Pn y Q0n = Qn.

Es facil concluir que la solucion general de la ecuacion asociada de Legendreen ]−1, 1[ es APmn +BQmn , donde A y B son constantes de integracion arbitrarias.

La formula de Rodrigues nos da una expresion alternativa para las funcionesde Legendre de primera clase:

Pmn (x) =1

2nn!(1− x2)m/2

dn+m(x2 − 1)n

dxn+m. (14.14)

14.6. Las funciones asociadas de Legendre 181

A veces a estas funciones se las llama polinomios asociados de Legendre, apesar de que solo son polinomios se m es par. La razon es que, en cualquiercaso, Pmn (cos θ) es un polinomio de grado n en cos θ y sen θ.

Las funciones asociadas se calculan mas facilmente mediante esta relacionrecurrente:

(n−m+ 1)Pmn+1(x)− (2n+ 1)xPmn (x) + (n+m)Pmn−1(x) = 0. (14.15)

Para demostrarla partimos de la relacion recurrente de los polinomios deLegendre:

(2n+ 1)xPn(x) = (n+ 1)Pn+1(x) + nPn−1(x).

Al derivarla m veces (usando la regla de Leibniz) obtenemos

(2n+ 1)xdm

dxmPn(x) +m(2n+ 1)

dm−1

dxm−1Pn(x) =

(n+ 1)dm

dxmPn+1(x) + n

dm

dxmPn−1(x).

Multiplicamos por (1− x2)m/2:

(2n+ 1)xPmn (x) +m(2n+ 1)(1− x2)Pm−1n (x) = (n+ 1)Pmn+1(x) + nPmn−1(x).

Ahora derivamos m veces la relacion dada por el teorema 14.25:

(2n+ 1)dm

dxmPn(x) =

dm+1

dxm+1Pn+1(x) −

dm+1

dxm+1Pn−1(x)

y multiplicamos por (1 − x2)(m+1)/2:

(2n+ 1)(1− x2)Pmn (x) = Pm+1n+1 (x) − Pm+1

n−1 (x).

Al sustituir esta ecuacion en la que habıamos obtenido resulta (14.15).

He aquı algunos polinomios asociados de Legendre:

P 11 (x) = −

√1− x2 P 2

2 (x) = 3(1− x2)

P 12 (x) = −3x

√1− x2 P 2

3 (x) = 15x(1− x2)

P 13 (x) =

32 (1− 5x2)

√1− x2 P 2

4 (x) =152 (7x2 − 1)(1− x2)

P 14 (x) =

52 (3x− 7x3)

√1− x2 P 2

5 (x) =152 (21x3 − 7x)(1 − x2)

Veamos ahora que las funciones asociadas de Legendre para un m fijo sonortogonales dos a dos en L2(]0, 1[). Concretamente:

Teorema 14.42 Si m ≤ n y m ≤ n′, entonces

∫ 1

−1

Pmn (x)Pmn′ (x) dx =

2(n+m)!

(2n+ 1) (n−m)!si n = n′,

0 si n 6= n′.


Demostracion: Llamemos X = x2−1. Si n 6= n′ no perdemos generalidadsi suponemos n < n′. Usando (14.14):

∫ 1

−1

Pmn (x)Pmn′ (x) dx =(−1)m

2n+n′n!n′!

∫ 1

−1

Xm dn+m

dxn+mXn d

n′+m

dxn′+mXn′

dx.

Si integramos n′ +m veces por partes obtenemos

∫ 1

−1

Pmn (x)Pmn′ (x) dx =(−1)m(−1)n

′+m

2n+n′n!n′!

∫ 1

−1

Xn′ dn′+m

dxn′+m

(

Xm dn+m

dxn+mXn

)

dx.

Observemos que lo que queda fuera de la integral al integrar por partes es

dn′+m−i

dxn′+m−iXn′ di−1

dxi−1

(

Xm dn+m

dxn+mXn

)

y cuando i ≤ m el segundo factor se anula8 en ±1, mientras que si i > m lo haceel primero. Ahora desarrollamos el integrando mediante la regla de Leibniz:

Xn′ dn′+m

dxn′+m

(

Xm dn+m

dxn+mXn

)

=

Xn′

n′+m∑

i=0

(n′ +m)!

i!(n′ +m− i)!

dn′+m−i

dxn′+m−iXm dn+m+i

dxn+m+iXn.

La primera derivada se anula si i < n′ −m y la segunda si i > n −m, luegosi n < n′ todos los terminos se anulan y la integral vale 0. Si n = n′ el unicotermino no nulo es el correspondiente a i = n−m, y entonces

∫ 1

−1

Pmn (x)2 dx =(−1)n(n+m)!

22n n!n!(n−m)!(2m)!

∫ 1

−1

Xn d2m

dx2mXm d2n

dx2nXn dx

=(−1)n(n+m)!(2n)!

22n n!n! (n−m)!

∫ 1

−1

Xn dx =(n+m)!(2n)!

22n n!n! (n−m)!

∫ 1

−1

(1 + x)n(1− x)n dx.

Integrando por partes n veces queda

∫ 1

−1

Pmn (x)2 dx =(n+m)!(2n)!

22n n!n! (n−m)!

∫ 1

−1

(1 + x)2n

(2n)!/n!n! dx =

(n+m)!

22n (n−m)!

∫ 1

−1

(1 + x)2n dx =2(n+m)!

(2n+ 1) (n−m)!.

Podrıamos estudiar las series asociadas de Fourier-Legendre, analogas a lasseries de Fourier-Legendre, pero no vamos a entrar en ello. Los resultados quehemos presentado aquı son los que vamos a necesitar en la seccion siguiente.

8Por ejemplo, ±1 son raıces del polinomio Xn′

de multiplicidad n′, luego todas sus deri-vadas hasta orden n′ − 1 son nulas.

14.7. Harmonicos esfericos en dimension 2 183

14.7 Harmonicos esfericos en dimension 2

En la seccion 14.2 hemos desarrollado la teorıa general sobre los harmonicosesfericos, pero no hemos dado ningun ejemplo explıcito salvo en el caso unidi-mensional, en el que obtenemos simplemente la teorıa de las series de Fourier.Ahora estamos en condiciones de mostrar explıcitamente una base de los espa-cios H2

n que, segun sabemos, tienen dimension 2n+ 1.

Definicion 14.43 Para cada natural n ≥ 0 y cada entero m = −n, . . . , n,llamaremos Y mn a la funcion sobre S2 que en coordenadas esfericas viene dadapor

Y mn (θ, φ) = P |m|n (cos θ)eimφ.

Recordemos que las coordenadas esfericas son

(x, y, z) = (sen θ cosφ, sen θ senφ, cos θ).

Observamos que las funciones Y mn (θ, φ) estan bien definidas, en el sentidode que Y mn (θ, φ) depende solo del resto de φ modulo 2π y que cuando θ = 0 oθ = π no depende de φ, pues si m 6= 0 se cumple que Pmn (±1) = 0.

Teorema 14.44 Las funciones Y mn , para m = −n, . . . , n forman una base or-togonal de H2

n.

Demostracion: Por conveniencia vamos a expresar las funciones en laforma Y ±m

n con 0 ≤ m ≤ n. Por la formula de Rodrigues tenemos que

Y ±mn (θ, φ) = c

dn+m(z2 − 1)n

dzn+msenm θ(cosφ± i senφ)m

= cdn+m(z2 − 1)n

dzn+m(x± iy)m.

Por otra parte, una simple induccion demuestra que la derivada k-esima delpolinomio (z2 − 1)n es una combinacion lineal de polinomios de la forma

(z2 − 1)rz2n−k−2r.

(Basta derivar esta expresion y comprobar que la derivada es suma de dosterminos de esta forma con k+1 en lugar de k.) Por consiguiente, la derivada queaparece en la expresion de Y ±m

n (θ, φ) es una combinacion lineal de polinomiosde la forma

(z2 − 1)rzn−m−2r = (−x2 − y2)rzn−m−2r.

Ası pues, dicha derivada es la restriccion a S2 de un polinomio homogeneo degrado n−m y concluimos que Y ±m

n (θ, φ) es la restriccion a S2 de un polinomiohomogeneo F de grado n. Vamos a probar que es harmonico.

La expresion de F en coordenadas esfericas es

F (r, θ, φ) = F (r sen θ cosφ, r sen θ senφ, r cos θ)

= rnF (sen θ cosφ, sen θ senφ, cos θ) = rnP±mn (cos θ)e±imφ.


Ahora calculamos su laplaciano con la formula para coordenadas esfericas:

∆F =1

r2∂

∂r

(

r2∂F

∂r

)

+1

r2 sen θ

∂

∂θ

(

sen θ∂F

∂θ

)

+1

r2 sen2 θ

∂2F

∂φ2.

El primer sumando es:

1

r2∂

∂r

(

r2∂F

∂r

)

=1

r2(n+ 1)nF, (14.16)

el segundo:

rn−2e±imφ(

d2Pmndx

(cos θ) sen2 θ − 2dPmndx

(cos θ) cos θ

)

.

y el tercero:

−rn−2e±imφ

sen2 θm2Pmn (cos θ).

Ahora sumamos los dos ultimos sumandos sustituyendo z = cos θ y llamandou(z) = Pmn (z):

rn−2e±imφ(

(1− z2)u′′ − 2zu′ − m2

1− z2u

)

. (14.17)

Como u satisface la ecuacion diferencial (14.13), el termino entre parentesises −n(n+ 1)u, luego (14.17) es igual a

−(n+ 1)nrn−2Pmn (cos θ)e±imφ = − 1

r2(n+ 1)nF.

Como faltaba sumar (14.16), concluimos que ∆F = 0. Esto prueba que lasfunciones Y ±m

n son harmonicos esfericos.

Sabemos que dimH2n = 2n− 1, por lo que para demostrar que las funciones

Y mn son una base ortogonal de este espacio basta ver que son ortogonales (yaque entonces seran linealmente independientes, luego seran una base). Ahorabien, esto es inmediato:9

Y mn · Y m′

n =

∫ 2π

0

∫ π

0

Y mn (φ, θ)Y m′

n (φ, θ) sen θ dθdφ

=

∫ π

0

Pmn (cos θ)Pm′

n (cos θ) sen θ dθ

∫ 2π

0

ei(m−m′)φdφ

=

∫ 1

−1

Pmn (x)Pm′

n (x) dx

∫ 2π

0

ei(m−m′)φdφ

=

(∫ 1

−1

Pmn (x)Pm′

n (x) dx

)

1

i(m−m′)

[

ei(m−m′)φ]2π

0= 0,

suponiendo m 6= m′. Esto termina la prueba.

9Es facil ver que el elemento de superficie de S1 en coordenadas esfericas viene dado pordσ = sen θ dθ dφ.

14.7. Harmonicos esfericos en dimension 2 185

Observemos que los calculos de la demostracion anterior nos dan tambien lanorma de los harmonicos que hemos construido:

Y mn · Y mn = 2π

∫ 1

−1

(Pmn (x))2 dx =4π

2n+ 1

(n+m)!

(n−m)!.

Por consiguiente, una base ortonormal de H2n se obtiene redefiniendo

Y ±mn (θ, φ) = (−1)m

√

2n+ 1

4π

(n−m)!

(n+m)!Pmn (cos θ)e±imφ. (14.18)

Obviamente el factor (−1)m es innecesario, pero es un convenio habitual enfısica, conocido como fase de Condon-Shortley.

Capıtulo XV

Aplicaciones a la fısica

En este capıtulo mostraremos algunas aplicaciones ilustrativas de los re-sultados que hemos presentado en los capıtulos precedentes. En primer lugarlos usaremos para presentar algunos aspectos avanzados de la teorıa de la gravi-tacion y a continuacion mostraremos el papel que desempena el calculo vectorialen la fundamentacion de la teorıa clasica del electromagnetismo.

15.1 Gravitacion

Esta seccion esta dividida en dos subsecciones: en la primera analizaremosla dependencia de la gravedad terrestre de la latitud y su relacion con la formade la Tierra, mientras que en la segunda estudiaremos el modo en que la orbitade un planeta del sistema solar se ve afectado por la presencia de los demasplanetas.

15.1.1 El campo gravitatorio de un esferoide

Recordemos que el campo gravitatorio creado por una distribucion de masacon funcion de densidad ρ contenida en una region acotada Ω ⊂ R

3 viene dadopor

~E(~r) = −G∫

Ω

ρ(~r ′)

‖~r − ~r ′‖3 (~r − ~r ′) dv′,

donde dv′ representa el elemento de volumen de R3 (es decir, la medida de

Lebesgue) y el apostrofo indica que la integral es sobre ~r ′, mientras que ~r es unparametro. El teorema 11.16 nos da que E = −∇V , donde

V (~r) = −∫

Ω

Gρ(~r ′)

‖~r − ~r ′‖ dv′.

Vamos a obtener expresiones mas operativas para el potencial gravitatoriogenerado por una distribucion continua de masa con simetrıa axial. Para ello

187

188 Capıtulo 15. Aplicaciones a la fısica

fijamos un radio R > 0 y consideraremos la bola cerrada BR de centro ~0 y radioR, ası como su complementario CR = R3 \BR. Entonces:

V (~r ) = −G∫

BR

ρ(~r ′)

‖~r − ~r ′‖ dv′ −G

∫

CR

ρ(~r ′)

‖~r − ~r ′‖ dv′.

Para calcular estas integrales calcularemos previamente las funciones de po-tencial

V1(~r ) = −G∫

BR

ρ(~r ′)

‖~r − ~r ′‖ dv′

para puntos ~r cuyo modulo sea r > R y

V2(~r ) = −G∫

CR

ρ(~r ′)

‖~r − ~r ′‖ dv′

para puntos ~r cuyo modulo sea r < R. Luego comprobaremos que las expresio-nes que obtendremos seran validas tambien para puntos ~r con modulo r = R.La clave de las expresiones que vamos a obtener es la definicion 14.22 de lospolinomios de Legendre junto con las formulas (14.7) y (14.8), segun las cuales,en el integrando de V1 podemos desarrollar

‖~r − ~r ′‖−1 =1

r

∞∑

n=0Pn(cosα)(r

′/r)n, (15.1)

donde α es el angulo que forman los vectores ~r y ~r ′, y en el integrando de V2

‖~r − ~r ′‖−1 =1

r′

∞∑

n=0Pn(cosα)(r/r

′)n.

Como |Pn(cosα)| ≤ 1, suponiendo ademas que la densidad esta acotada poruna constante C, tenemos que, para V1,

|ρ(~r ′)Pn(cosα)(r′/r)n| ≤ C(R/r)n con R/r < 1,

y para V2

|ρ(~r ′)Pn(cosα)(r/r′)n| ≤ C(r/R)n con r/R < 1.

En ambos casos, el criterio de mayoracion de Weierstrass nos asegura que lasseries respectivas convergen uniformemente en ~r ′, por lo que podemos intercam-biarlas con las integrales:

V1(~r) = −Gr

∞∑

n=0

∫

BR

ρ(~r ′)Pn(cosα)(r′/r)n dv′, (15.2)

V2(~r) = −G∞∑

n=0

∫

CR

1

r′ρ(~r ′)Pn(cosα)(r/r

′)n dv′.

15.1. Gravitacion 189

Ahora consideramos coordenadas esfericas:

~r = (r sen θ cosφ, r sen θ senφ, r cos θ)

y tomamos el sistema de referencia de modo que el eje Z sea el eje de simetrıade la distribucion de masas, de modo que la densidad ρ(r′, θ′) no depende delangulo φ′. Notemos que el elemento de volumen es

dv′ = r′2 sen θ′ dφ′dθ′dr′.

Ası

V1(r, θ) = −Gr

∞∑

n=0

∫ R

0

∫ π

0

∫ 2π

0

ρ(r′, θ′)Pn(cosα)(r′/r)n r′2 sen θ′ dφ′dθ′dr′

= −∞∑

n=0

G

rn+1

∫ R

0

r′ n+2

∫ π

0

ρ(r′, θ′) sen θ′∫ 2π

0

Pn(cosα) dφ′dθ′dr′,

V2(r, θ) = −∞∑

n=0

Grn∫ +∞

R

r′ 1−n∫ π

0

ρ(r′, θ′) sen θ′∫ 2π

0

Pn(cosα) dφ′dθ′dr′.

Ahora observamos que cosα = (~r/r) · (~r ′/r′), por lo que podemos aplicar elteorema de adicion 14.32, juntamente con la expresion explıcita (14.18) para losharmonicos esfericos de dimension 2:

Pn(cosα) =4π

2n+ 1

n∑

m=−nY mn (θ, φ)Y mn (θ′, φ′).

Teniendo en cuenta que∫ 2π

0 eimφ′

dφ′ = 0 salvo si m = 0, vemos que

∫ 2π

0

Pn(cosα) dφ′ = 2πPn(cos θ)Pn(cos θ

′).

Ası pues:

V1(r, θ) = −∞∑

n=0

2πG

rn+1

∫ R

0

r′n+2

∫ π

0

ρ(r′, θ′) sen β′Pn(cos θ)Pn(cos θ′) dθ′dr′,

V2(r, θ) = −∞∑

n=0

2πGrn∫ +∞

R

r′1−n

∫ π

0

ρ(r′, θ′) sen β′Pn(cos θ)Pn(cos θ′) dβ′dr′.

Equivalentemente:

V1(r, θ) =

∞∑

n=0

V−n−1Pn(cos θ)

rn+1, V2(r, θ) =

∞∑

n=0

Vn rnPn(cos θ), (15.3)

donde

V−n−1 = −2πG

∫ R

0

r′n+2

∫ π

0

ρ(r′, θ′) sen θ′Pn(cos θ′) dθ′dr′


= −2πG

∫ R

0

r′n+2

∫ 1

−1

ρ(r′, x)Pn(x) dxdr′ = − 4πG

2n+ 1

∫ R

0

ρn(r′)r′n+2dr′,

Vn = −2πG

∫ +∞

R

r′1−n∫ π

0

ρ(r′, θ′) sen θ′Pn(cos θ′) dθ′dr′

= −2πG

∫ +∞

R

r′1−n∫ 1

−1

ρ(r′, x)Pn(x) dxdr′ = − 4πG

2n+ 1

∫ +∞

R

ρn(r′)r′1−ndr′,

donde a su vez, segun el teorema 14.30, los coeficientes

ρn(r′) =

(

n+1

2

)∫ 1

−1

ρ(r′, x)Pn(x) dx

son los que aparecen en el desarrollo en serie de Fourier-Legendre

ρ(r′, θ′) =∞∑

n=0ρn(r

′)Pn(cos θ′).

En principio tenemos que las series (15.3) convergen respectivamente para r > Ry r < R. Ahora vamos a ver que tambien lo hacen para r = R, y que la suma es,respectivamente, V1(r, θ) y V2(r, θ). Para ello hacemos los cambios de variablerespectivos 1/r = t/R y r = Rt, con lo que obtenemos las series de potencias

∞∑

n=0

V−n−1Pn(cos θ)

Rn+1tn+1,

∞∑

n=0

VnRnPn(cos θ)t

n (15.4)

que convergen para t < 1 y hemos de probar que tambien lo hacen para t = 1.Para ello observamos que, por (14.10), existe una constante K tal que

|ρn(r′)| ≤ K√n,

luego

|V−n−1| ≤K ′√n

∫ R

0

r′n+2dr′ =K ′Rn+3

√n(n+ 3)

,

|Vn| ≤K ′√n

∫ +∞

R

r′1−n dr′ =K ′

√n(n− 2)Rn−2

,

luego los coeficientes an de las series (15.4) estan acotados en modulo por

K ′′R2

n√n,

luego ambas series cumplen que

lımnnan = 0.

Ahora usamos un teorema debido a Tauber que enunciamos y demostramosal final de la seccion (teorema 15.1). Este implica que ambas series convergen


para t = 1 y la suma es V1(r, θ) y V2(r, θ) respectivamente. De aquı podemosconcluir que

V (r, θ) =

∞∑

n=0

Vn(r)Pn(cos θ), (15.5)

donde

Vn(r) = − 4πG

2n+ 1

(

1

rn+1

∫ r

0

ρn(r′)r′n+2dr′ + rn

∫ +∞

r

ρn(r′)r′1−ndr′

)

,

(15.6)con

ρn(r′) =

(

n+1

2

)∫ 1

−1

ρ(r′, x)Pn(x) dx. (15.7)

El caso mas simple al que podemos aplicar estas formulas es el de una esferade radio R cuya densidad es radial, es decir, tal que ρ(r, θ) no depende de θ.En tal caso la ortogonalidad de los polinomios de Legendre implica que ρn = 0para n > 1, mientras que ρ0 = ρ. Ası, para puntos situados fuera de la esfera,el potencial es

V (r) = V0(r) = −4πG

r

∫ R

0

ρ(r′)r′2 dr′ = −Gr

∫

BR(0)

ρ(~r ′) d~r ′ = −GMr,

donde M es la masa total de la esfera.

Vamos a aplicar estas formulas para estudiar el campo gravitatorio generadopor un esferoide, es decir, una distribucion de masa que contenga una esfera decentro ~0 y radio Rmin y que este contenida en una esfera de centro ~0 y radioRmax, de modo que el achatamiento

ǫ =Rmax −Rmin

Rmax

sea pequeno. Esto sera aplicable al caso de la Tierra, cuyo achatamiento esǫ = 0.0033528.

Rmax

Rmin

Para puntos con r ≥ Rmax la expresion de Vn(r) se simplifica hasta

Vn(r) = − 4πG

2n+ 1

1

rn+1

∫ Rmax

0

ρn(r′)r′n+2dr′. (15.8)


En particular,

V0(r) = −Gr

∫ Rmax

0

∫ π

0

∫ 2π

0

ρ(r′, cos θ′)r′2 sen θ′ dφ′dθ′dr′

= −Gr

∫

r≤Rmax

ρ(~r ′) d~r ′ = −GMr, (15.9)

donde M es la masa total del esferoide. En principio, hemos obtenido estaexpresion para puntos con r ≥ Rmax, pero vamos a ver que para puntos quecumplan Rmin ≤ r ≤ Rmax se cumple que (15.9) es una aproximacion razonablede V0(r). En efecto, el mismo calculo sin mas que cambiar Rmax por r nosda que el primer sumando de (15.6) es igual a −GMr/r, donde Mr es la masacontenida en la esfera de radio r. Un calculo analogo nos da que el segundotermino es

−G∫

Er

1

r′dm ≈ −G

r

∫

Er

dm = −Gmr

r

donde Er es el exterior de la esfera de radio r y mr es la masa contenida en Er.Por consiguiente,

V0(r) ≈ −GMr,

donde M es la masa total del esferoide. Mas concretamente,∣

∣

∣

∣

V0(r) −(

−GMr

)∣

∣

∣

∣

= G

∫

Er

(

1

r− 1

r′

)

dm =G

r

∫

Er

r′ − r

r′dm

≤ GM0

r

Rmax −Rmin

Rmin,

donde M0 es la masa comprendida entre las esferas de radios Rmin y Rmax.Ası pues, el error relativo de la aproximacion, con respecto al valor aproxi-

mado −GM/r, cumple

e ≤ M0

M

Rmax −Rmin

Rmin=M0

M

ǫ

1− ǫ,

que para el caso de la Tierra1 es del orden de 6 · 10−6.

Ası pues, podemos considerar a (15.9) como una buena aproximacion deV0(r) para todos los puntos exteriores al elipsoide.

Ahora conviene observar que si nuestro esferoide es simplemente una esferade radio R con densidad radial (es decir, de modo que ρ(r, θ) no depende de θ),entonces la ortogonalidad de los polinomios de Legendre implica que ρn(r

′) = 0para n > 0, por lo que V (r, θ) = V0(r) = −GM/r, para todo r ≥ R.

1Usamos los datos Rmax = 6378 100m, Rmin = 6356 800m, M = 5.97219 · 1024 kg. Ladensidad media de la Tierra es de 5 514 kg/m3, pero la densidad media de la litosfera esd = 3000 kg/m3 y, aproximando la forma de la Tierra por un elipsoide de revolucion, podemoscalcular M0 = 3

4πR2

min(Rmax − Rmin)d, con lo que tenemos una cifra por exceso, ya que notenemos en cuenta que buena parte del volumen considerado esta ocupado por agua, cuyadensidad es menor.


Puesto que la Tierra es casi indistinguible de una esfera (y la simplificacionde considerar su densidad radial es razonable) cabe esperar que los terminosposteriores de (15.5) sean correcciones mınimas de V0 casi inapreciables. Porello es conveniente expresarlos todos en terminos de V0. Considerando de nuevopuntos con r ≥ Rmax, a partir de (15.8) obtenemos que

Vn(r) = −GMr

4π

(2n+ 1)M

1

rn

∫ Rmax

0

ρn(r′)r′n+2dr′,

luego

V (r, θ) = −GMr

(

1−∞∑

n=1

Jn

(

Rmax

r

)n

Pn(cos θ)

)

, (15.10)

donde las constantes

Jn =−4π

MRnmax(2n+ 1)

∫ Rmax

0

ρn(r′)r′n+2dr′ = − 1

MRnmax

∫

R3

r′nPn(cos θ′)dm

se llaman momentos de orden n de la distribucion de masas dada. Notemos queno tienen unidades. Ademas, puesto que la serie (15.10) ha de converger parar = Rmax y θ = 0, la sucesion de los momentos de orden n determina una serieconvergente y, en particular, tiende a 0.

Observemos que

J1 = − 1

MRmax

∫

R3

r′ cos θ′ dm = − 1

MRmax

∫

R3

z dm = 0

si tomamos el sistema de referencia con origen en el centro de masas del esferoide.

Ası pues, la correccion de mayor orden del potencial gravitatorio de un es-feroide respecto del correspondiente a una esfera viene determinada por el mo-mento J2, el cual admite una expresion sencilla:

J2 = − 1

MR2max

∫

R3

r′2P2(cos θ′)dm = − 1

2MR2max

∫

R3

r′2(3 cos2 θ′ − 1)dm

= − 1

2MR2max

∫

R3

(3z2 − x2 − y2 − z2)dm =

− 1

2MR2max

∫

R3

((z2 + x2) + (z2 + y2)− 2(x2 + y2))dm

= − 1

2MR2max

(I22 + I11 − 2I33),

donde I11, I22, I33 son las componentes diagonales del tensor de inercia de ladistribucion de masas (vease el final de la seccion 9.6). La simetrıa axial respectoal eje Z que estamos suponiendo implica que los dos primeros son iguales, luego,llamandolos I1 e I3, concluimos que

J2 =I3 − I1MR2

max

.

Esta es la llamada formula de MacCullagh.


Usando las estimaciones de las componentes del tensor de inercia de la Tierraobtenidas al final de la seccion 9.6, la formula anterior proporciona el valorJ2 = 1120.8084 · 10−6. El valor actualmente aceptado es

J2 = 1082.635 · 10−6,

con lo que el error que hemos cometido no llega al 3.6%.

Ası pues, una aproximacion al potencial de un esferoide para puntos conr ≥ Rmax viene dada por

V ≈ −GMr

(

1− J22

(

Rmax

r

)2

(3 cos2 θ − 1)

)

(15.11)

o, usando la formula de MacCullagh,

V ≈ −GMr

+G(I3 − I1)

2r3(3 cos2 θ − 1). (15.12)

Veamos de nuevo que esta aproximacion sigue siendo razonable para puntoscon Rmin ≤ r ≤ Rmax, y en particular sobre la superficie del esferoide. Paraello observamos que, por el mismo calculo que nos ha llevado a la formula deMacCullagh, el primer termino de (15.6) para n = 2 es

G(Ir3 − Ir1 )

r3,

donde Ir3 e Ir1 son los momentos de inercia de la masa situada en el interior de laesfera de radio r. Vamos a probar que el segundo termino es aproximadamenteigual a esta misma expresion, pero con los momentos de inercia de la masasituada en el exterior de la esfera. Como los momentos de inercia son aditivos,el valor total de V2(r) sera (aproximadamente) el que aparece en (15.12). Enefecto, el segundo termino es

−Gr2∫

Er

P2(cos θ)

r′3dm = −G

r3

∫

Er

( r

r′

)5 3z′2 − r′2

2dm

≈ −G

r3

∫

Er

2z′2 − x′2 − y′2

2dm =

G(I03 − I01 )

r3,

como querıamos probar. El error de la aproximacion es∣

∣

∣

∣

V1(r) −G(I3 − I1)

r3

∣

∣

∣

∣

≤ Gr2∫

Er

|P2(cos θ)|(

1

r3− 1

r′3

)

dm

≤ Gr2M0

(

1

R3min

− 1

R3max

)

,

luego el error relativo es

e ≤ M0R5max

I3 − I1

(

1

R3min

− 1

R3max

)

=M0R

3max

MJ2

(

1

R3min

− 1

R3max

)

,

que para el caso de la Tierra es inferior al 1.7%.


De este modo, la formula (15.11) nos da un modelo teorico para la variaciondel campo gravitatorio sobre la superficie terrestre en funcion de la latitud.En realidad dicha formula no es aceptable porque, puestos a tener en cuenta lasvariaciones mınimas debidas a la latitud, hay otro efecto de magnitud similar queno podemos despreciar, y es la fuerza centrıfuga debida a la rotacion terrestre,que tambien depende de la latitud y debilita el efecto de la gravedad.

Concretamente, la fuerza centrıfuga que actua sobre una partıcula de masaunitaria que se mueva con la Tierra viene dada por

~E = ω2(x, y, 0),

donde ω es la velocidad angular de la Tierra, y esta expresion corresponde a uncampo de fuerzas conservativo, pues deriva del potencial

Vc = −1

2ω2(x2 + y2) = −1

2ω2r2 sen θ,

Anadiendo este potencial al dado por (15.11) obtenemos la expresion

V (r, θ) ≈ −1

2ω2r2 sen θ − GM

r+GMJ2R

2max

2r3(3 cos2 θ − 1). (15.13)

Ahora sı que tenemos un modelo teorico razonable de la dependencia dela gravedad terrestre respecto de la latitud. Observemos que hemos llegado aesta expresion partiendo de la hipotesis de que la Tierra tiene forma aproxima-damente esferica, pero no exactamente esferica, y sin suponer ninguna formageometrica concreta. Recıprocamente, a partir de aproximaciones de este tipopara el potencial gravitatorio (con la correccion centrıfuga) nos permiten extraerconclusiones sobre la forma de la Tierra.

En efecto, es facil probar que en un planeta fluido en equilibrio todos lospuntos de su superficie tienen el mismo potencial gravitatorio (corregido con lafuerza centrıfuga si el fluido esta en rotacion). Incorporando el potencial de lafuerza centrıfuga al del campo gravitatorio podemos considerar un sistema dereferencia que gire con el fluido, de modo que este este en reposo, y entonceses aplicable la ecuacion fundamental de la hidrostatica (11.5), que en este casoadopta la forma

∇p = −ρ∇V.Si la densidad ρ es constante, esto implica que p = −ρV + p0, para cierta

constante p0. Ası pues, la presion es la misma en dos puntos si y solo si tienenel mismo potencial. Como la presion en la superficie tiene que ser 0, resulta quetodos los puntos de la superficie tienen el mismo potencial.

En realidad podemos llegar a la misma conclusion sin suponer que la densi-dad del planeta es constante. Para ello, dados dos puntos ~r0 y ~r1 de su superficie,consideramos un arco (derivable) φ : [0, 1] −→ R3 contenido en dicha superficiey tal que φ(0) = ~r0, φ(1) = ~r1. Tenemos entonces que p(φ(t)) = 0, luego,derivando:

∇p(φ(t)) · dφdt

= 0,


pero entonces, por la ecuacion fundamental, tambien

∇V (φ(t)) · dφdt

= 0,

lo que equivale a que la derivada de V (φ(t)) sea identicamente nula, luegoV (~r0) = V (~r1).

La Tierra no es fluida, pero lo cierto es que su forma se corresponde con granfidelidad a la forma de una superficie equipotencial respecto de (15.13), lo cualindica que en su dıa fue lıquida. Mas aun, la aproximacion mejora si anadimosa (15.13) el termino correspondiente al sumando siguiente de (15.10). La figurasiguiente ilustra el efecto de considerar dicho termino adicional:

L0

L2

L3

La curva L0 es una circunferencia, que podemos considerar que representala seccion de la Tierra si esta fuera esferica de radio igual al radio ecuatorialque realmente tiene el planeta. La curva L2 representa los puntos en los que(15.13) toma el valor V (Rmax, π/2), es decir, los puntos en los que el potenciales el mismo que en el ecuador, salvo por el hecho de que el valor real de J2 seha multiplicado por 50 para que el achatamiento resulte apreciable. Vemos quecorresponde a una silueta ovalada, aunque tecnicamente no es una elipse. Lacurva L3 es la que resulta de incorporar a (15.13) el termino de orden 3 presenteen (15.10), aunque en la figura el valor real de J3 ha sido multiplicado por20 000 para que su efecto resulte apreciable. El valor real, deducido de medidasprecisas de la “silueta terrestre” realizadas mediante satelites artificiales, es

J3 = −2.531 · 10−6.

Vemos que al exagerar el valor de J3 obtenemos una figura en forma de pera,aunque en realidad el efecto de J3 es realmente despreciable. Para hacernos unaidea de su relevancia real podemos considerar las graficas siguientes:


Π

4

Π

2

3 Π

4

Π

6360

6365

6370

6375

Π

4

Π

2

3 Π

4

Π

-15

-10

-5

5

10

15

La de la izquierda muestra el radio en km en funcion del angulo θ. La rectasuperior es el radio constante correspondiente al modelo esferico con el radioecuatorial de la Tierra. La otra curva corresponde tanto al modelo que resultade incorporar solo J2 como el que resulta de incorporar J3, pues la diferenciaentre ambos no es apreciable a esa escala. En la grafica de la derecha vemosla diferencia en metros entre ambos modelos. Vemos que la “forma de pera” setraduce en que el radio en el polo Norte tendrıa que ser apenas 16.3m mayorque el que preve el modelo de orden 2, mientras que en el polo Sur es unos16.3m menor. El mayor hundimiento de “la pera” en el hemisferio Norte (y elmayor abultamiento en el hemisferio Sur) es del orden de 7.25m.

15.1.2 Precesion de los perihelios

En la subseccion 7.3.2 estudiamos el movimiento de un planeta bajo la grave-dad del Sol, sin tener en cuenta el efecto de la atraccion gravitatoria debida a lapresencia de los planetas restantes del sistema solar. Determinar las trayectoriasde tres cuerpos sometidos a la atraccion gravitatoria mutua es el llamado pro-blema de los tres cuerpos, y no admite una solucion cerrada mediante formulasexplıcitas que no involucren series de potencias. Aquı vamos a mostrar unanalisis aproximado del efecto que tienen los demas planetas sobre la trayecto-ria de uno de ellos. La idea es no tener en cuenta la fuerza que cada planetaejerce sobre uno dado en cada instante en concreto (que serıa una funcion muycompleja, ya que los planetas se acercan y se alejan unos de otros de una formamuy compleja, dado que orbitan a velocidades distintas), sino que estudiaremoscomo afecta a un planeta la fuerza media que los demas ejercen sobre el, y di-cha fuerza media la calcularemos distribuyendo uniformemente la masa de cadaplaneta a lo largo de su orbita, es decir, sustituyendo cada planeta por un anillode su misma masa, que supondremos circular de radio igual al radio medio dela orbita real del planeta.

Para ello necesitamos calcular el potencial que genera un anillo. No podemosdeducirlo directamente a partir de los calculos de la seccion anterior porque allıconsiderabamos distribuciones tridimensionales de materia, mientras que aquıpartimos de una distribucion unidimensional. (En la practica, esto simplificaconsiderablemente el razonamiento.) Concretamente, tenemos un anillo de radioR, centrado en el origen de coordenadas, que podemos parametrizar en la forma

~r ′(φ′) = (R cosφ′, R senφ′, 0),


de modo que su elemento de longitud es dl = Rdφ′ y su elemento de masa esdm = RDdφ′, donde D es su densidad. La masa del anillo es M = 2πRD.Equivalentemente:

dm =M

2πdφ′.

El potencial que genera el anillo viene dado por

V (~r) = −G∫ 2π

0

dm

‖~r − ~r ′‖ = −GM2π

∫ 2π

0

dφ′

‖~r − ~r ′‖ .

Para puntos ~r con r > R o r < R, podemos desarrollar, respectivamente:

‖~r − ~r ′‖−1 = 1r

∞∑

n=0Pn(cosα)(R/r)

n, ‖~r − ~r ′‖−1 =1

R

∞∑

n=0Pn(cosα)(r/R)

n,

donde α es el angulo que forman ~r y ~r ′. Los mismos razonamientos empleados enla seccion anterior prueban que podemos intercambiar el sumatorio y la integral,ası como que

∫ 2π

0

Pn(cosα) dφ′ = 2πPn(cos θ)Pn(cos θ

′) = 2πPn(0)Pn(cos θ),

luego

V (~r) = −GM2πr

∞∑

n=0

(R/r)n∫ 2π

0

Pn(cosα) dφ′ = −GM

r

∞∑

n=0Pn(0)Pn(cos θ)(R/r)

n

para r > R y

V (~r) = −GMR

∞∑

n=0Pn(0)Pn(cos θ)(r/R)

n

para r < R. Como solo nos va a interesar el potencial en puntos situados en elmismo plano del anillo (es decir, puntos con θ = π/2), las formulas se simplificana

V (r) =

−GMR

∞∑

n=0Pn(0)

2(R/r)n+1 si r > R,

−GMR

∞∑

n=0Pn(0)

2(r/R)n si R < r.

Numeremos ahora los planetas del sistema solar, de forma que Mercurio esel planeta 1 y Neptuno es el planeta 8. Sea Mi la masa del planeta i y sea Riel radio de su orbita, que supondremos circular. Sea ademas M0 la masa delSol. Entonces, el potencial que generan el Sol y todos los planetas distintos dei-esimo es

Vi(r) = −GM0

r−G

∑

j<i

Mj

Rj

∞∑

n=0

Pn(0)2

(

Rjr

)n+1

−G∑

j>i

Mj

Rj

∞∑

n=0

Pn(0)2

(

r

Rj

)n

.


El campo gravitatorio (fuerza por unidad de masa) al que esta sometido eli-esimo planeta es, pues,

~Ei(r) = −∇Vi = −dVidr

1

r~r,

donde

Ei(r) = −dVidr

= −GM0

r2− G

r2

∑

j<i

Mj

∞∑

n=0

(n+ 1)Pn(0)2

(

Rjr

)n

+G

r2

∑

j>i

Mjr

Rj

∞∑

n=1

nPn(0)2

(

r

Rj

)n

. (15.14)

Vemos ası que el planeta i-esimo esta sometido a una fuerza central dirigidahacia el Sol que no es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia,sino bastante mas sofisticada. A partir de aquı vamos a hacer algunas conside-raciones generales sobre fuerzas centrales. El mismo razonamiento empleado enla subseccion 7.5.2 para llegar a las ecuaciones (7.5) nos da en general que

r′′ − rω2 = E(r).

Pero, como la fuerza es central, al igual que en dicha subseccion se concluyeque la cantidad de movimiento angular L = mr2ω tiene que ser constante, y lomismo vale para h = r2ω. Por lo tanto, la ecuacion anterior equivale a

r′′ − h2

r3= E(r).

Supongamos que un planeta que sigue una orbita aproximadamente elıpticacon pequena excentricidad, con lo que tambien es aproximadamente circular, yconsideremos un instante de tiempo en el que r′′ = 0. (Ha de existir o, de lo con-trario, la distancia del planeta al Sol aumentarıa o disminuirıa constantementey la orbita no podrıa ser cerrada.) Si llamamos r0 al radio correspondiente adicho instante, tenemos que

−h2

r30= E(r0). (15.15)

Llamemos δ = r − r0. Por hipotesis, δ toma en todo momento valorescercanos a 0. La ecuacion del movimiento puede expresarse en la forma

δ′′ − h2

(r0 + δ)3= E(r0 + δ).

Aproximamos ambos miembros por los respectivos polinomios de Taylor degrado 1 alrededor de δ = 0:

δ′′ − h2

r30

(

1− 3δ

r0

)

= E(r0) + E′(r0)δ.


Usando (15.15):

δ′′ =

(

3E(r0)

r0+ E′(r0)

)

δ = 0.

Si la constante

K =3E(r0)

r0+ E′(r0)

es negativa, entonces las soluciones de la ecuacion diferencial precedente son dela forma

δ = ǫ sen(√−Kt+ t0)

y permanecen acotadas. Por el contrario, siK > 0, las soluciones son de la forma

Ae√Kt+Be−

√Kt y tienden a infinito. Ası pues, para que la fuerza central dada

de lugar a una orbita aproximadamente circular de radio r0 es necesario quecumpla la condicion

E′(r0) < −3E(r0)

r0.

Si esto sucede, la distancia al Sol (aproximadamente) oscila periodicamentecon periodo

T =2π√−K

=2π

√

−3E(r0)/r0 − E′(r0).

Para oscilaciones pequenas de r, las variaciones de ω = θ′ seran tambienpequenas (porque h ha de ser constante), luego

θ′ ≈ h

r20=

√

−E(r0)

r0,

donde hemos usado nuevamente (15.15).Concluimos que el angulo que recorre el planeta desde un perihelio hasta

otro perihelio es aproximadamente

∆θ = Tθ′ = 2π

(

3 +E′(r0)

E(r0)r0

)−1/2

. (15.16)

Si la orbita fuera exactamente elıptica, este incremento deberıa ser ∆θ = 2π,pero no tiene por que ser ası. Para una orbita aproximadamente elıptica ladiferencia ∆θ − 2π sera pequena y representa una precesion del perihelio decada planeta, de modo que cada nuevo perihelio se alcanza un poco despues deque el planeta haya dado una vuelta completa alrededor del Sol (despues y noantes porque, como veremos, el resultado es positivo). Vamos a estimar esteangulo de precesion. Para ello solo necesitamos anadir un calculo mas a los queya habıamos realizado, a saber:

rE′i(r) =

2GM0

r2+G

r2

∑

j<i

Mj

∞∑

n=0

(n+ 1)(n+ 2)Pn(0)2

(

Rjr

)n

+G

r2

∑

j>i

Mjr

Rj

∞∑

n=2

n(n− 1)Pn(0)2

(

r

Rj

)n

.


Con esta formula y (15.14) ya podemos calcular (15.16) (para r0 = Ri)y finalmente el angulo de precesion αi = ∆θi − 2π (truncando las series depotencias en un cierto n). A efectos de calculo, observemos que la expresion(15.16) no se altera si expresamos todas las masas en relacion a la masa del Sol(M0 = 1) y todos los radios en unidades astronomicas (R3 = 1). El resultadoestara en radianes. Conviene pasarlo a segundos de arco y, para compararel resultado de cada planeta, conviene dividirlo entre la duracion de su anorespectivo en anos terrestres. Ası tenemos la precesion del perihelio por ano.

La tabla siguiente (en la fila marcada como P14) contiene la precesion delperihelio en segundos de arco/ano calculada truncando las series en n = 14 (loque supone sumar siete terminos, pues Pn(0) = 0 cuando n es impar). La ultimafila contiene la precesion observada.

Mercurio Venus Tierra Marte Jupiter Saturno Urano Nepturo

e 0.206 0.007 0.017 0.093 0.048 0.0541 0.047 0.009R 0.387 0.723 1 1.523 5.203 9.537 19.191 30.07T 0.241 0.615 1 1.881 11.859 29.457 84.323 164.79

P14 5.53 11.72 12.55 17.71 7.53 18.61 2.73 0.66Pobs 5.75 2.04 11.45 16.28 6.55 19.5 3.34 0.36

La grafica siguiente compara los resultados calculados con los observados.Vemos que es bastante aproximada salvo en el caso de Venus, para el que ladiscrepancia es enorme. Las discrepancias entre los resultados teoricos y losobservados se deben principalmente a las numerosas aproximaciones que hemoshecho (la sustitucion de los planetas por anillos—que ademas hemos consideradocirculares y no elıpticos— y la aproximacion de primer orden de la variacion δdel radio medio r0). La discrepancia en el caso de Venus se atribuye a la mınimaexcentricidad de su orbita, que la vuelve muy sensible a las perturbaciones.

2 4 6 8

5

10

15

El astronomo frances Urban Leverrier realizo calculos mas precisos y en1859 anuncio que con ellos podıa dar cuenta de los valores observados para laprecesion del perihelio de todos los planetas del sistema solar excepto Mercurio,para el que el valor observado excedıa en 43′′/ano del valor teorico esperado. Launica explicacion que pudo proponer fue la existencia de un planeta desconocidoentre Mercurio y el Sol, planeta cuya existencia termino siendo descartada.La explicacion ultima de esa discrepancia hay que buscarla en la teorıa de larelatividad, que introduce una correccion a la teorıa newtoniana que resulta serdespreciable para todos los planetas del sistema solar excepto para Mercurio.


15.1.3 El teorema de Tauber

Terminamos la seccion con el enunciado y la demostracion del teorema sobreconvergencia de series de potencias que hemos usado en la deduccion de laformula (15.5):

Teorema 15.1 Sea f(z) =∞∑

n=0anz

n una funcion definida por una serie de

potencias con radio de convergencia 1 y supongamos que existe lımx→1

f(x) = a,

(aquı hay que entender que 0 < x < 1) ası como que lımnnan = 0. Entonces la

serie converge en z = 1 y la suma es a.

Demostracion: Veamos en primer lugar que

lımm

m∑

n=1n|an|

m= 0.

Dado ǫ > 0, sea N > 0 tal que n|an| < ǫ/2 para todo n > N . Fijemosn0 > N . Entonces, para m > n0,

m∑

n=1n|an|

m=

n0∑

n=1n|an|

m+

m∑

n=n0+1n|an|

m<

n0∑

n=1n|an|

m+(m− n0)ǫ

2m<

n0∑

n=1n|an|

m+ǫ

2.

Ahora bien, tomando m suficientemente grande podemos exigir que el pri-mer sumando sea tambien menor que ǫ/2, luego, en definitiva, para todo msuficientemente grande,

m∑

n=1n|an|

m< ǫ.

Tomemos ahora un numero real 0 < x < 1 y calculemos

∣

∣

∣

∣

n∑

k=0

ak − f(x)

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

k=0

ak(1 − xk)−∞∑

k=n+1

akxk

∣

∣

∣

∣

∣

≤ (1− x)

n∑

k=0

|ak|(1 + x+ · · ·+ xk−1) +

∞∑

k=n+1

|ak|xk

< n(1− x)

n∑

k=0

k|ak|

n+

∞∑

k=n+1

k|ak|xk

k.

Para todo n suficientemente grande se cumple que∣

∣

∣

∣

n∑

k=0

ak − f(x)

∣

∣

∣

∣

< n(1 − x)ǫ

2+

ǫ

2n

∞∑

k=n+1

xk

=ǫ

2

(

n(1− x) +1

n

xn+1

1− x

)

<ǫ

2

(

n(1− x) +1

n(1− x)

)

.

15.2. Electricidad y magnetismo 203

Notemos que la eleccion de n es independiente de la de x, luego podemostomar x = 1− 1/n, y ası, para todo n suficientemente grande,

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

k=0

ak − f

(

1− 1

n

)

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ.

De aquı se sigue facilmente que la serie∞∑

k=0

ak es de Cauchy, luego converge, y

∞∑

k=0

ak = lımnf

(

1− 1

n

)

= a.

15.2 Electricidad y magnetismo

Presentamos ahora los conceptos basicos de la teorıa clasica del electromag-netismo incidiendo en el aparato matematico subyacente. Para empezar dare-mos una panoramica de los hechos basicos sin incidir en las cuestiones tecnicas.

En el siglo VI a.C., Tales de Mileto observo que, tras frotar con un panode lana un trozo de ambar, este atraıa a objetos ligeros, como una pluma. Ellector puede repetir ahora mismo el experimento de Tales sustituyendo el ambary la pluma por objetos mas cotidianos, como un bolıgrafo de plastico y trocitospequenos de papel. Ambar en griego se dice

,ηλǫκτρoν, y de ahı proviene la

palabra “electricidad”.Si la gravitacion es la fuerza que nos mantiene pegados al suelo, la electrici-

dad es la fuerza que nos impide atravesarlo. Casi todas las fuerzas que podemosapreciar cotidianamente son de naturaleza electrica o gravitatoria. Las unicasexcepciones son las fuerzas magneticas que experimentamos cuando un imanatrae a un objeto metalico o cuando la aguja de una brujula se mueve paraorientarse hacia el polo Norte. Sin embargo, enseguida veremos que el magne-tismo esta estrechamente relacionado con la electricidad, hasta el punto de queen realidad electricidad y magnetismo son manifestaciones de una misma fuerzaelectromagnetica, si bien esto solo puede entenderse correctamente en terminosde la teorıa de la relatividad.

El experimento de Tales de Mileto es un ejemplo de como dos objetos mate-riales pueden verse atraıdos por una fuerza de naturaleza no gravitatoria. Dichafuerza recibe el nombre de fuerza electrica, la cual presenta ciertas semejanzasy ciertas diferencias notables con respecto a la fuerza gravitatoria:

• Mientras la fuerza gravitatoria es siempre atractiva, la fuerza electricapuede ser atractiva o repulsiva.

• Ası como la fuerza gravitatoria que actua entre dos partıculas es propor-cional a sus masas, la fuerza electrica depende de una carga electrica quepuede ser positiva o negativa, de modo que partıculas con cargas del mismosigno se repelen, mientras que partıculas con cargas de signos opuestos seatraen.


• La fuerza electrica que una partıcula con carga q1 ejerce sobre otra concarga q2 viene dada por la ley de Coulomb, que es formalmente analoga ala ley de Newton, a saber:

~F =1

4πǫ0

q1q2‖~r1 − ~r2‖3

(~r2 − ~r1), (15.17)

de modo que la fuerza electrica entre dos partıculas, al igual que la gravi-tatoria, es radial, directamente proporcional a sus cargas e inversamenteproporcional al cuadrado de sus distancias.2 Sin embargo, es fundamentaltener presente que esta ley solo es valida mientras las cargas se encuentrenen reposo, es decir, en el contexto de la electrostatica.

En efecto, el movimiento de una carga electrica provoca la aparicion de fuer-zas magneticas que actuan tambien sobre las partıculas con carga electrica (aun-que solo si estan en movimiento), ademas de modificar las fuerzas electricas.3

En general, a cada punto del espacio se le puede asignar un campo electrico~E(~r, t) de modo que toda partıcula con una carga electrica Q situada en unaposicion ~r en un instante t esta sometida a una fuerza electrica de la forma

~F = Q ~E(~r, t). (15.18)

Lo que afirma la ley de Coulomb es que el campo electrico generado por unapartıcula en reposo en una posicion ~r0 con carga q viene dado por

~E =1

4πǫ0

q

‖~r − ~r0‖3(~r − ~r0), (15.19)

pero esta expresion es falsa si la partıcula esta en movimiento.4 En cualquier

2La constante ǫ0 recibe el nombre de permitividad del vacıo, y su valor depende, natu-ralmente, de la unidad elegida para la carga electrica. La unidad de carga en el sistemainternacional es el culombio (C), pero su definicion actual es un tanto tecnica. Una apro-ximacion consiste en definir un culombio como la carga electrica que hace que dos cargasunitarias separadas por una distancia de 1m experimenten una fuerza electrica de 9 · 109 N.Con esta definicion es inmediato que ǫ0 = 1

36π109= 8.84194 · · · · 10−12. Sin embargo, la

definicion actual del culombio supone cambiar el 9 por aproximadamente 8.988.3El hecho de que las fuerzas magneticas esten producidas por (y afecten a) las cargas

electricas en movimiento pone en evidencia que la relacion entre la electricidad y el magne-tismo tiene que ser muy especial: una carga electrica puede estar en reposo respecto de unobservador inercial y en movimiento respecto de otro, luego el primero no observara ningunafuerza magnetica generada por la partıcula y el segundo sı. En general, observadores inercialesdistintos no percibiran las mismas fuerzas electricas y magneticas al observar una misma reali-dad fısica. La teorıa de la relatividad muestra que existe un campo electromagnetico absoluto(es decir, percibido igualmente por todos los observadores inerciales salvo las transformacionesobvias) de modo que las fuerzas electricas y magneticas concretas que percibe cada observadordependen tanto del campo electromagnetico como del observador.

4Por ejemplo, si tenemos una unica partıcula en reposo y en un momento dado modificamossu posicion para volverla a dejar en reposo, la ley de Coulomb requerirıa que el campo electricose modificara instantaneamente en todo el universo, pero esto no es ası. La modificacion tardaun tiempo en hacerse notar, por lo que hay un intervalo de tiempo en el que en puntos alejadosde la partıcula el campo electrico sigue siendo el correspondiente a la posicion original a pesarde que la partıcula ya no se encuentra en dicha posicion. Pasado el tiempo necesario, el campose reajusta y la ley de Coulomb vuelve a ser valida (en un entorno de la partıcula cada vezmas amplio).


caso, la existencia del campo ~E y la ecuacion (15.18) son validas en general, yno solo en el contexto de la electrostatica.

Distribuciones continuas de carga Es poco frecuente que una situacionfısica involucre solo unas pocas partıculas cargadas. Para tratar con la mate-ria ordinaria, formada por cantidades astronomicas de partıculas subatomicascargadas, es mas adecuado utilizar distribuciones continuas. Esto supone con-siderar una funcion de densidad de carga ρ(~r, t), de modo que la carga totalcontenida en un elemento de volumen V venga dado por

Q =

∫

V

ρ dv. (15.20)

Ahora bien, teniendo en cuenta que, en la naturaleza, las cargas positivas seencuentran entremezcladas con las negativas, una funcion ρ que trate de reflejarcualquier distribucion de carga realista tiene que ser muy complicada, con cam-bios muy bruscos de valores positivos a valores negativos. Para que podamostrabajar con funciones de densidad sencillas conviene considerar dos funcionesde densidad independientes ρ+(~r, t) y ρ−(~r, t), de modo que la cantidad de cargapositiva y la cantidad de carga negativa contenidas en un elemento de volumenV arbitrario vengan dadas respectivamente por

Q+ =

∫

V

ρ+ dv y Q− = −∫

V

ρ− dv.

(Notemos que adoptamos el convenio de que tanto ρ+ como ρ− son ≥ 0.)

Definimos entonces la densidad de carga total como ρ = ρ+ − ρ−, de modoque (15.20) sigue siendo valida.

Con este planteamiento estamos admitiendo que un mismo punto del espa-cio pueda tener a la vez carga positiva y carga negativa. Por ejemplo, en unaregion del espacio en la que las cargas positivas y las negativas se compensen yesten distribuidas homogeneamente, podemos considerar funciones de densidadconstantes ρ+ = ρ− = k, de modo que la densidad de carga total sea ρ = 0.De este modo tenemos correctamente reflejada la presencia (uniforme) tanto decargas positivas como de cargas negativas en la region sin necesidad de expli-citar la (complicada) forma en que estan mezcladas concretamente. De todosmodos, nada impide en teorıa considerar funciones ρ+ y ρ− tales que una valga 0en todos los puntos donde la otra es positiva, y viceversa, con lo que nuestroplanteamiento no nos impide tener en cuenta —si queremos— la distribucionconcreta de las cargas de uno y otro signo.

Por otra parte, consideramos tambien separadamente un campo de veloci-dades ~v+ correspondiente a las cargas positivas y otro ~v− correspondiente a lascargas negativas. La situacion tıpica sera que el primero sea nulo y el segundono, pues son las cargas negativas las que suelen moverse, pero, en cualquier caso,podemos definir el campo de densidad de corriente electrica como

~ = ρ+~v+ − ρ−~v−.


Notemos entonces que si en un punto del espacio hay carga neta positiva,su movimiento se realiza en la direccion que indica ~, pero si la carga neta esnegativa el movimiento es en la direccion opuesta a la indicada por ~.

Es evidente que los campos de densidades y velocidades ρ+, ~v+ y ρ− y ~v− sontotalmente analogos a los campos de densidad y velocidad de un fluido, con launica diferencia que la densidad que estamos considerando es densidad de cargaen lugar de densidad de masa. Por ello, la conservacion de la carga electrica seexpresa por el analogo de la ecuacion de continuidad, que en su forma (11.2),es en nuestro caso

∂ρ+∂t

+ div ρ+~v+ = 0,∂ρ−∂t

+ div ρ−~v− = 0,

donde la supresion del termino ψ expresa la conservacion de la carga electricapositiva y negativa. Restando ambas ecuaciones tenemos la ecuacion de conser-vacion de la carga electrica:

∂ρ

∂t+ div~ = 0. (15.21)

El flujo del campo ~ a traves de una superficie S (orientada con la eleccionde un vector normal unitario ~n) recibe el nombre de intensidad de corriente atraves de S:

I =

∫

S

~ · ~n dσ.

Su interpretacion es clara: I es la carga electrica que atraviesa la superficie Scada segundo. Se mide en amperios (A), donde, en principio, 1A = 1C/s, si bienen el Sistema Internacional de Unidades el amperio es una unidad fundamental(definida a partir de un proceso fısico, segun veremos mas adelante) y a partirde ella se define el culombio de la forma obvia:

Un culombio es la cantidad de carga electrica transportada en unsegundo por una corriente electrica de 1A de intensidad.

Es claro que las unidades de la densidad de corriente ~ son A/m2, mientrasque las de ρ son C/m3.

Magnetismo Tal y como hemos indicado, la fuerza electrica no es la unica queactua sobre una carga electrica, sino que, si esta se encuentra en movimiento,experimentara tambien una fuerza magnetica que es siempre perpendicular asu velocidad. La relacion basica que determina la fuerza magnetica que actuasobre una partıcula de carga q que en un instante t se encuentra en una posicion~r moviendose con velocidad ~v es la ley de Laplace, segun la cual dicha fuerza es

~F = q(~v × ~B), (15.22)

donde ~B(~r, t) es el campo magnetico, que se mide en teslas T = N · s/C ·m. Asıpues, la fuerza total que actua sobre una partıcula con carga electrica en uninstante y posicion dados es

~F = q( ~E + ~v × ~B).


Si consideramos una distribucion continua de cargas, entonces un volumendv contiene una carga positiva dq+ = ρ+ dv y una carga negativa dq− = −ρ− dv,luego la fuerza magnetica que actua sobre el segun (15.22) es

d~F = (ρ+~v+ dv − ρ+~v− dv) × ~B = ~× ~B dv

y la fuerza magnetica que actua sobre un elemento de volumen V es

~F =

∫

V

~× ~B dv, (15.23)

que es la version continua de la ley de laplace.

El equivalente en magnetismo de la ley de Coulomb es la ley de Biot y Savart,que solamente es valida en el contexto de la magnetostatica, es decir, bajo elsupuesto de que tanto la densidad de carga ρ como la densidad de corriente ~permanezcan constantes en el tiempo. En estas condiciones, la ley de Biot ySavart afirma que el campo magnetico en un punto del espacio viene dado porla expresion

~B(~r ) =µ0

4π

∫

R3

~ (~x )× (~r − ~x)

‖~r − ~x‖3 dv, (15.24)

donde µ0 es una constante llamada permeabilidad magnetica del vacıo.

Veremos mas adelante que la definicion de amperio hace que µ0 tome el valorexacto

µ0 = 4π · 10−7N/A2.

Teniendo en cuenta que ~ dv = ~v+ dq+ + ~v− dq−, el integrando de (15.24) seinterpreta como que la contribucion al campo magnetico en el punto ~r de cadapartıcula de carga dq (positiva o negativa) situada en la posicion ~x y moviendosea velocidad ~v es

d ~B =µ0

4π

~v × (~r − ~x)

‖~r − ~x‖3 dq,

es decir, que su contribucion es perpendicular a la velocidad y a la posicionrelativa de ~r respecto de ~x y su intensidad es directamente proporcional al senodel angulo entre estos dos vectores e inversamente proporcional al cuadrado dela distancia. No obstante, la ley de Biot y Savart para una partıcula individual,aunque se mueva a velocidad constante, es falsa, pues en tales circunstanciastanto la densidad de carga como la densidad de corriente varıan con el tiempoen cada punto.

15.2.1 Electrostatica

Estudiamos ahora las consecuencias de la ley de Coulomb (15.17). Segunhemos advertido, solo es valida cuando las cargas electricas involucradas estanen reposo. Ahora bien, si consideramos una distribucion continua de carga,determinada por una densidad de carga ρ y una densidad de corriente ~, la


version continua de la ley de Coulomb puede enunciarse estableciendo que elcampo electrico en cada punto del espacio viene dado por

~E(~r ) =1

4πǫ0

∫

R3

ρ

‖~r − ~x ‖3 (~r − ~x) dv, (15.25)

y, en esta formulacion, la ley de Coulomb es valida en un contexto ligeramentemas general:

La electrostatica es el estudio de la fuerza electrica bajo la hipotesisde que las funciones ρ y ~ permanezcan constantes en el tiempo (y,

por consiguiente, el campo ~E(~r ) dado por (15.25) tambien perma-nece constante).

Obviamente, si solo estamos considerando una carga, la unica forma en queesto puede suceder es que se encuentre en reposo, pero en general las leyes dela electrostatica son validas aunque existan corrientes electricas estacionarias(= ~ constante) que no modifiquen la densidad de carga. El ejemplo tıpico deesta situacion es una corriente continua de electrones que fluyen a velocidadconstante por un hilo conductor, de modo que la densidad de carga en cadapunto es siempre nula.5

Como en el caso del campo gravitatorio, admitiendo que toda la cargaelectrica se concentra en una region acotada del espacio Ω ⊂ R

3, el teorema 11.16prueba que la integral (15.25) esta bien definida y que

~E = −∇V,

donde el potencial (electrostatico) V viene dado por6

V (~r ) =1

4πǫ0

∫

Ω

1

‖~r − ~x‖ dq. (15.26)

El hecho de que el campo electrostatico es conservativo puede expresarse enterminos de la ecuacion diferencial

rot ~E = ~0, (15.27)

que es una de las ecuaciones fundamentales de la electrostatica. La segunda sededuce de la expresion (15.26) para el potencial electrico, pues 11.16 implicaque V verifica la ecuacion

∆V = ρ/ǫ0


div ~E = ρ/ǫ0.

5Aquı es esencial nuestro convenio de definir ρ = ρ+ − ρ−, sin el cual ρ no podrıa nuncaser constante en presencia de una corriente electrica.

6La unidad de potencial electrico en el sistema internacional es el voltio V = J/C.


Esto sugiere definir la densidad de flujo electrico como el campo ~D = ǫ0 ~E,de modo que

div ~D = ρ. (15.28)

Aunque esta ecuacion la hemos deducido de la ley de Coulomb, que soloes valida en el contexto de la electrostatica, la experiencia muestra que, alcontrario de lo que sucede con (15.27), es valida en general, y constituye una delas ecuaciones fundamentales del electromagnetismo.

Antes de interpretar (15.28) observemos que las ecuaciones (15.27) y (15.28)implican (15.25), es decir, determinan completamente el campo electrostaticoen un instante dado a partir de la densidad de carga ρ. Ello se debe a que, segunel teorema 12.21, un campo vectorial esta completamente determinado por sudivergencia y su rotacional. Como sabemos que el campo dado por (15.25)cumple (15.27) y (15.28), la unicidad implica que es la unica solucion posible dedichas ecuaciones, y esta es la razon por la que se las considera las ecuacionesfundamentales de la electrostatica.

Pasemos ya a la interpretacion de (15.28). Para ello definimos el flujoelectrico a traves de una superficie S (respecto a la orientacion determinadapor un campo normal unitario ~n) como

Φ =

∫

S

~D · ~ndσ.

Ası, el teorema de la divergencia aplicado a un elemento de volumen arbi-trario V nos da que

Q =

∫

V

ρ dv =

∫

∂V

~D · ~n dσ.

Esto se conoce como la ley de Gauss, que no es sino la expresion integralequivalente de (15.28):

El flujo electrico a traves de la superficie de un elemento de volumenarbitrario es igual a la carga neta que este contiene.

Ejemplo Vamos a usar la ley de Gauss para determinar el campo electricoque genera una esfera de radio R que contiene una carga electricaQ con simetrıaradial, es decir, de modo que la densidad de carga depende solo de la distanciar al centro de la esfera. Por simetrıa, el campo electrico ~E que genera ha de serradial, y su intensidad E solo puede depender de r. Si suponemos, por ejemplo,que Q > 0, entonces estara dirigido hacia el exterior de la esfera, luego la ley deGauss aplicada a una esfera V de radio r > R nos da que

Q = ǫ0

∫

∂V

~E · ~n dσ = ǫ0E

∫

∂V

dσ = 4πr2ǫ0E,

luego

E =1

4πǫ0

Q

r2.


Si Q < 0 llegamos al mismo resultado, solo que el campo apuntarıa hacia elcentro de la esfera. Ası pues, el campo electrico en el exterior de una esfera conuna carga Q distribuida radialmente es el mismo que generarıa una partıculapuntual con la misma carga situada en su centro. Claramente, el potencial es

V =1

4πǫ0

Q

r.

Esto se interpreta como que la ley de Coulomb (15.19) se deduce de la versioncontinua (15.25) interpretando una partıcula puntual como una esfera con cargauniforme y de radio despreciable.

Lıneas de fuerza A veces es util pensar en el campo ~D como si fuera elcampo de velocidades de un hipotetico “fluido de fuerza7 electrica” (que no hayque confundir con el flujo de cargas electricas). Si convenimos en asignar aeste fluido de “fuerza electrica” una densidad constante unitaria, la ecuacionde continuidad se reduce a div ~D = 0, lo cual, segun (15.28) se cumple en lasregiones libres de carga electrica. Ası pues, donde no hay cargas, el fluido de“fuerza electrica” no se crea ni se destruye. Sin embargo, la ley de Gauss afirmaque las regiones cargadas positivamente son fuentes de “fuerza electrica” (puescualquier elemento de volumen que contenga una carga positiva deja salir porunidad de tiempo tanta “fuerza electrica” por su superficie como carga contiene),mientras que las regiones cargadas negativamente son —recıprocamente— su-mideros. Consecuentemente, en esta analogıa la carga electrica es “masa defuerza electrica” por segundo. Las trayectorias del flujo de “fuerza electrica”(es decir, las llamadas “lıneas de fuerza” o “lıneas de flujo”, que no son sino las

curvas que en cada punto tienen por vector tangente al vector ~D) surgen de lascargas positivas y terminan en las cargas negativas (o se van al infinito).

Ası, por ejemplo, la figura de la izquierda representa igualmente las trayecto-rias de un fluido en presencia de una fuente o de un sumidero puntual o las lıneasde fuerza del campo electrico generado por una carga puntual. Si se trata deuna fuente (resp. de una carga positiva), la velocidad (resp. el campo electrico)apunta siempre en sentido contrario a la fuente (a la partıcula) y viceversa.

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

7Este uso de la palabra “fuerza” es tradicional, aunque no tiene ninguna conexion directacon el concepto tecnico de fuerza. Por ello lo escribiremos siempre entre comillas.


Del mismo modo, la figura de la derecha puede interpretarse como una re-presentacion de las trayectorias de un fluido en presencia de dos fuentes o dossumideros puntuales, o bien como las lıneas de fuerza del campo electrico de-terminado por dos cargas del mismo signo.

Dipolos

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1

1

2Mas interesante es el campo elec-trico generado por dos cargas puntuales designo opuesto ±q, cuyas lıneas de fuerza re-sultan ser las representadas en la figura.

Tomemos un sistema de referencia situadoen el punto medio de las cargas, de modo quesus posiciones sean (0, 0,−d/2) y (0, 0, d/2).Los campos que generan separadamente son

~E+ = −∇V+, ~E− = −∇V−,

donde

V+ =q

4πǫ0r+, V− = − q

4πǫ0r−,

donde a su vez r2+ = x2 + y2 + (z + d/2)2, r2− = x2 + y2 + (z − d/2)2. Por lo

tanto, el campo total ~E es el gradiente del potencial

V =q

4πǫ0r+− q

4πǫ0r−= − q

4πǫ0

r+ − r−r+r−

= − q

4πǫ0r2r2

r+r−(r+ − r−).


r2+ − r2− = (r+ − r−)(r+ + r−) = 2dz = 2dr cos θ,

donde θ es la coordenada esferica. Desarrollando analogamente r2+ − r2 obtene-mos que

r2+r2

= 1 +d

rcos θ − d2

4r2,

de donde se sigue que

lımr→∞

r+r

= 1,

y analogamente sucede con r−. Volviendo a la expresion de V , vemos que

V = − q

4πǫ0r2r2

r+r−

2dr cos θ

r+ + r−= −qd cos θ

4πǫ0r2r2

r+r−

2r+r + r−

r

.

Ası pues, para puntos situados lejos de la fuente y el sumidero, es decir,cuando r es suficientemente grande, se cumple que

V ≈ V0 = − p cos θ

4πǫ0r2, (15.29)


donde hemos llamado p = qd. Consideremos ahora el campo ~E0 definido poreste potencial aproximado V0. De la expresion general para el gradiente encoordenadas esfericas:

∇V0 =∂V0∂r

~ur +1

r

∂V0∂θ

~uθ +1

r sen θ

∂V0∂φ

~uφ

se sigue en nuestro caso que

~E0 = −∇V0 = − p

4πǫ0

(

2 cos θ

r3~ur +

sen θ

r3~uθ

)

=p

4πǫ0

(

1

r3~uz −

3z

r4~ur

)

,

donde ~uz = (0, 0, 1) = cos θ~ur − sen θ~uθ. Todas estas expresiones son relativasal sistema de referencia que hemos tomado, con la fuente y el sumidero en eleje Z. Vamos a dar expresiones para el potencial y el campo que no dependandel sistema de referencia. Para ello llamamos ~p al vector que apunta de lacarga negativa hacia la positiva y cuyo modulo es p. En nuestro sistema decoordenadas es ~p = (0, 0,−p) y ~p · ~ur = −p cos θ. Ası pues, el potencial es

V0 =1

4πǫ0

~p · ~urr2

=1

4πǫ0

~p · ~rr3

, (15.30)

y esta expresion es independiente del sistema de referencia. De aquı se sigue asu vez que

~E0 = −∇V0 =1

r3

(

3(~p · ~r )~rr2

− ~p

)

. (15.31)

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2Este campo recibe el nombre de dipolo elec-trico. La figura muestra algunas de sus lıneasde fuerza en el plano XZ. Salen todas del ori-gen con el campo apuntando hacia el semies-pacio Z negativo y terminan todas en el origenllegando desde el semiespacio Z positivo (ex-cepto dos de ellas: una que recorre el semieje Zpositivo acercandose al origen y otra que reco-rre el semieje Z negativo alejandose del origen).

Es facil comprobar que el flujo de ~D0 es nuloincluso sobre esferas que contengan al origen.Esto se interpreta como que el dipolo electricoes el campo generado por dos cargas opuestas de la misma magnitud situadasambas en un mismo punto.

Consideremos ahora una distribucion continua arbitraria de carga electrica.El potencial (15.26) que genera es formalmente identico al potencial gravitato-rio que estudiamos en la seccion anterior. El hecho de que ahora la densidadde carga pueda tomar valores negativos no afecta en nada a las consideracio-nes hechas allı (o, equivalentemente, todos los razonamientos para el potencialgravitatorio se pueden aplicar a la descomposicion ρ = ρ+ − ρ−).


Restringiendonos a puntos ~r exteriores a una esfera que contenga completa-mente a la distribucion de carga, el analogo a (15.2) (cambiando la constantegravitatoria por la permitividad y corrigiendo el signo) es que

V (~r ) =1

4πǫ0

∞∑

n=0

1

rn+1

∫

Ω

ρ(~r ′)r′nPn(cosα) dv′, (15.32)

donde α es el angulo entre ~r y ~r ′. Cada termino de la serie decae mas rapidamenteque los anteriores,8 luego, para puntos alejados de la distribucion de carga, elcampo puede aproximarse por el primero de ellos que sea no nulo.

El termino correspondiente a n = 0 nos da la aproximacion

V (~r ) =q

4πǫ0r,

donde q es la carga neta de la distribucion. El campo asociado a este potenciales simplemente el campo (15.19) generado por una carga puntual, cuyas lıneasde fuerza estan representadas en la figura de la izquierda de la pagina 210. Sedice que el punto en el que confluyen es un monopolo electrico, es decir, unpunto del que parten o al que llegan lıneas de fuerza electricas.

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2En estos terminos, lo que estamos afirmando es

que el campo electrico de toda distribucion de cargacuya carga neta sea no nula se ve desde lejos comoun monopolo electrico. Por ejemplo, la figura mues-tra las lıneas de fuerza del campo formado por doscargas puntuales de signo opuesto, pero donde la in-ferior es cuatro veces mayor que la superior. Todaslas lıneas de fuerza que pasan por el borde de la figuraacaban en la carga inferior, de modo que la anomalıaque provoca la presencia de la carga superior es me-ramente local, y desde lejos el sistema formado porambas se ve como un monopolo, casi identico al de la figura izquierda de lapagina 210. Las dos cargas de la figura derecha de dicha pagina tambien se vendesde lejos como un monopolo.

Supongamos ahora que nuestra distribucion de carga tenga carga neta nulay consideremos el termino de (15.32) correspondiente a n = 1, que es

1

4πǫ0r3

∫

Ω

ρ rr′ cosαdv′ =1

4πǫ0r3

∫

Ω

ρ~r · ~r ′ dv′ =1

4πǫ0r3~r ·∫

Ω

ρ~r ′ dv′.

Si definimos el momento dipolar electrico de una distribucion de cargas

8Imaginemos que tomamos una unidad de longitud tal que toda la distribucion de carga estecontenida en la esfera de radio 1. Entonces r′ < 1 y r > 1, y es evidente que, al aumentar n,cada termino de la serie es menor que el anterior, y la disminucion es mas drastica cuantomayor es r.


como9

~p =

∫

Ω

ρ(~r )~r dv,

la expresion anterior se reduce a (15.30), es decir, a un dipolo.

Cuando una distribucion de cargas con carga neta nula tiene momento di-polar no nulo, se dice que esta polarizada. En estos terminos, tenemos queel campo electrico generado por cualquier distribucion de cargas polarizada seaproxima en puntos distantes por el campo de un dipolo cuyo momento es elmomento dipolar de la distribucion. Con mas propiedad, podrıamos decir queel punto en el que concurren todas las lıneas de fuerza del campo es un dipolo,y con esto queremos decir que, mientras un monopolo es o bien positivo o biennegativo, segun si las lıneas de fuerza salen de el o llegan a el, un dipolo tieneun polo positivo, es decir, una zona de la que salen lıneas de fuerza (la senaladapor el momento dipolar) y un polo negativo (la diametralmente opuesta al polopositivo) al que llegan lıneas de fuerza. Las lıneas de fuerza que salen del polopositivo con poca inclinacion entran enseguida en el polo negativo, por lo queno son apreciables desde lejos. Desde lejos se aprecian dos haces de lıneas defuerza que salen en una direccion y entran por la direccion opuesta.

No vamos a analizar el termino de (15.32) correspondiente a n = 2, perodiremos que corresponde a un cuadripolo, es decir, a un campo con un puntoen el que pueden distinguirse cuatro polos, dos positivos y dos negativos. Ladistribucion de cargas mas simple que vista a lo lejos genera un cuadripolo esla formada por cuatro cargas puntuales situadas en los vertices de un cuadrado,con la misma intensidad pero signos alternos. Puede verse como dos dipoloscon momentos opuestos, por lo que su momento dipolar es nulo. Desde lejos,la distribucion se ve como un punto del que salen lıneas de fuerza por dosdirecciones diametralmente opuestas (los dos polos positivos) y llegan lıneas defuerza por otras dos direcciones diametralmente opuestas y perpendiculares alas anteriores (los dos polos negativos).

La materia ordinaria no suele estar polarizada, pues las cargas positivas ynegativas en sus atomos se distribuyen de forma simetrica y, aun en caso deque existan asimetrıas locales, estas se compensan globalmente unas a otras. Laprincipal excepcion la constituyen algunos minerales con estructura cristalina, esdecir, tales que sus atomos se disponen en una red geometrica de iones positivosy negativos alternados. Tales redes de iones pueden tener una polaridad no nulaque se acumula y da lugar a un momento dipolar global no nulo.

9Observemos que si la distribucion de carga tiene carga neta nula, el momento dipolar esindependiente del punto elegido como origen del sistema de coordenadas, pues un cambio endicho origen sumarıa a todas las coordenadas un vector fijo ~v, y el valor de ~p se ve incrementadoen q~v, donde q es la carga total de la distribucion. La version discreta de esta definicion, parasistemas de cargas puntuales, es

~p =∑

i

qi~ri.

Notemos que, para el caso de un sistema de dos cargas opuestas, esta definicion se reduce ala de momento que hemos dado. Para un sistema que sea union de pares de cargas opuestas,el momento dipolar es la suma de los momentos de cada par.


Polarizacion del medio Supongamos que una distribucion de cargas deter-minada por una funcion de densidad ρ esta sumergida en un medio dielectrico(es decir, aislante, cuyos atomos retienen a sus electrones y les impiden alejarse)

sin carga electrica neta. Llamemos ~E0 al campo electrico generado por ρ. Enpresencia del campo ~E0, los atomos del medio se polarizan, es decir, redistribu-yen de forma asimetrica su carga negativa, de modo que adquieren un momentodipolar no nulo.10

En general, la intensidad de la polarizacion del medio dielectrico dependede la intensidad del campo electrico en cada punto, ası que a cada elementode volumen suficientemente pequeno le podemos asociar un momento dipolardistinto. En un modelo continuo podemos expresar esto mediante un campode densidad de momento dipolar o, simplemente, un campo de polarizacion delmedio ~P de modo que el momento dipolar en un elemento de volumen V vengadado por

~p =

∫

V

~P dv.

Vamos a considerar un elemento de volumen Ω suficientemente grande comopara que contenga a la distribucion de cargas y al medio dielectrico. Ası, enel seno de Ω tenemos las “cargas libres” correspondientes a la distribucion decarga ρ y las “cargas ligadas” presentes en los atomos del medio y que no puedendesplazarse, pero sı distribuirse de forma que determinen una polarizacion ~Pen cada punto. Aceptando (15.30) como el potencial que genera un elementode volumen con centro en el origen de coordenadas en el que el momento depolarizacion es constante igual a ~p, el potencial determinado por un elementode volumen en el que ~p varıa sera

Vp(~r ) =1

4πǫ0

∫

Ω

~P (~x ) · (~r − ~x )

‖~r − ~x ‖3 dv.


~r − ~x

‖~r − ~x ‖3 = ∇(

1

‖~r − ~x ‖

)

,

donde el gradiente hace referencia a las variables de ~x, y la relacion

div(f ~F ) = ∇f · ~F + f div ~F ,

nos da entonces que

Vp(~r ) =1

4πǫ0

∫

Ω

div

(

~P

‖~r − ~x ‖

)

dv − 1

4πǫ0

∫

Ω

div ~P

‖~r − ~x ‖ dv.

10Tambien puede producirse una polarizacion a nivel molecular: algunas moleculas —comola molecula de agua— estan ya polarizadas por la forma geometrica en que se distribuyensus atomos, pero normalmente los momentos dipolares de las distintas moleculas cancelanmutuamente en promedio. Sin embargo, la presencia de un campo electrico puede orientarestos momentos y hacer que tengan una suma apreciable.


Por ultimo aplicamos el teorema de la divergencia:

Vp(~r ) =1

4πǫ0

∫

∂Ω

~P · ~n‖~r − ~x ‖ dσ − 1

4πǫ0

∫

Ω

div ~P

‖~r − ~x ‖ dv. (15.33)

El primer termino depende de la distancia del punto ~r donde calculamos elpotencial a la frontera de Ω. Su significado fısico es que en el interior de Ω cadadipolo tiene cerca otro que lo compensa parcialmente, mientras que esto no esası en los dipolos situados en la frontera de Ω. (Aun en el supuesto de que elmedio se extendiera mas alla de Ω, el hecho es que Vp se ha calculado conside-rando unicamente los dipolos contenidos en Ω.) Si consideramos que el mediose extiende mucho mas alla del punto ~r, podemos despreciar este sumando.

El segundo termino de (15.33) es formalmente el potencial de un campo

electrico ~Ep generado por una hipotetica distribucion de carga en Ω cuya funcion

de densidad es ρp = −div ~P . No existe tal distribucion de cargas, pero como~Ep es el mismo campo que generarıa tal distribucion, podemos afirmar que su

divergencia sera la misma que tendrıa dicho campo, es decir, div ǫ0 ~Ep = −div ~P ,

y el campo total ~E presente en el medio cumple

div ǫ0 ~E = ρ− div ~P .

Esto significa que, en principio, no se cumple la ecuacion fundamental (15.28),pues para ello el miembro derecho deberıa ser simplemente ρ. Naturalmente ellose debe a que el campo ~E no esta generado unicamente por la distribucion decarga ρ, sino tambien por las cargas ligadas. Para recuperar la ecuacion (15.28)tendrıamos que sumarle a ρ una funcion de densidad (muy compleja) que dieracuenta detallada de la distribucion de las cargas ligadas. Sin embargo, loscalculos que acabamos de hacer nos dicen como evitar esto. Basta definir ladensidad de flujo electrico en el medio como

~D = ǫ0 ~E + ~P .

En estos terminos, la densidad definida en (15.28) es el caso particular de la

densidad de flujo electrico en el vacıo, donde ~P = ~0. Con esta definicion genera-lizada tenemos que div ~D = ρ, y de nuevo se cumple (15.28), de modo que la leyde Gauss nos permite recuperar la carga neta (libre) contenida en un elemento

de volumen como el flujo de ~D por su frontera.

En una amplia gama de materiales (conocidos como dielectricos de clase A),la presencia de un campo electrico provoca una polarizacion que alcanza suestado de equilibrio cuando esta es proporcional al campo total, es decir, cuando

~P = ǫ0χ~E,

para una cierta constante (positiva) χ que recibe el nombre de susceptibilidadelectrica. Esto no es ası, por ejemplo, cuando el dielectrico ya tiene una pola-ridad propia, aun en ausencia de un campo electrico, tal y como explicabamos


al final del apartado anterior. No obstante, si nos restringimos al caso masfrecuente, la expresion para la densidad de flujo electrico se reduce a

~D = ǫ0(1 + χ) ~E = ǫ ~E,

donde ǫ = ǫ0(1+χ) recibe el nombre de permitividad del medio y ǫr = 1+χ es lapermitividad relativa. En resumen, las leyes de la electrostatica son aplicablescuando las cargas estan sumergidas en un medio dielectrico sin mas que sustituirla permitividad del vacıo ǫ0 por otra permitividad ǫ dependiente del medio.Como ǫ > ǫ0, vemos que el efecto de la polarizacion es atenuar el campo electrico.

Por ejemplo, la permitividad relativa del aire es de ǫr = 1.0006, por lo que amenudo puede ser despreciada, mientras que la del agua es de ǫr = 80.1.

15.2.2 Magnetostatica

A continuacion estudiamos el magnetismo a partir de la ley de Biot y Sa-vart (15.24), que es valida bajo las mismas condiciones en que es valida laelectrostatica:

Lamagnetostatica es el estudio de la fuerza magnetica bajo la hipote-sis de que las funciones ρ y ~ permanezcan constantes en el tiempo(y, por consiguiente, el campo ~B(~r ) dado por (15.24) tambien per-manece constante).

En este contexto, la ecuacion de conservacion de la carga electrica (15.21)nos da ademas que

div~ = 0.

Vamos a probar que la integral de (15.24) es finita, siempre bajo el supuestode que todas las cargas estan contenidas en una region acotada Ω ⊂ R3. Unsimple calculo nos da que

~(~x)× (~r − ~x)

‖~r − ~x‖3 = ∇~r1

‖~r − ~x‖ × ~(~x) = rot~r~(~x)

‖~r − ~x‖ .

Definimos el potencial vectorial del campo magnetico como

~A(~r) =µ0

4π

∫

Ω

~(~x)

‖~r − ~x‖ dv, (15.34)

de modo que cada una de sus componentes es un potencial newtoniano. Porlo que el teorema 11.16 nos garantiza que ~A esta bien definido. El teorema 8.7justifica que las derivadas parciales respecto de las coordenadas de ~r atraviesanlas integrales que definen las componentes de ~A, lo cual, junto a la linealidadde la integral, justifica que

rot ~A =µ0

4π

∫

Ω

rot~r~(~x)

‖~r − ~x‖ dv


es la integral que aparece en la ley de Biot y Savart (15.24). Esto prueba que la

integral esta bien definida y ademas que ~B = rot ~A. Esto implica a su vez que

div ~B = 0 (15.35)

Por otra parte, el teorema 11.16 nos da ademas que ∆ ~A = −µ0~. Por ladefinicion del laplaciano vectorial tenemos que

rot ~B = rot rot ~A = ∇ div ~A−∆ ~A = ∇ div ~A+ µ0~.

Ademas, usando una vez mas que las derivadas atraviesan las integrales:

div ~A(~r) =µ0

4π

∫

Ω

div~r~(~x)

‖~r − ~x‖ dv =µ0

4π

∫

Ω

~(~x)∇~r1

‖~r − ~x‖ dv

= −µ0

4π

∫

Ω

~(~x)∇~x1

‖~r − ~x‖ dv

=µ0

4π

∫

Ω

div~(~x)

‖~r − ~x‖ dv −µ0

4π

∫

Ω

div~x~(~x)

‖~r − ~x‖ dv,

donde hemos usado la formula para la divergencia de un producto escalar.

La primera integral es nula porque div~ = 0 y el teorema de la divergen-cia implica que la segunda tambien lo es. Concluimos que div ~A = 0 y, porconsiguiente,

rot ~B = µ0~.

Ahora conviene definir la intensidad del campo magnetico como el campo

~H =1

µ0

~B, (15.36)

de modo que

rot ~H = ~. (15.37)

Las ecuaciones (15.35) y (15.37) son las ecuaciones fundamentales de la mag-netostatica, y determinan completamente el campo magnetico (es decir, implicanla ley de Biot y Savart) por el mismo argumento por el que hemos razonado quelas ecuaciones fundamentales de la electrostatica determinan el campo electricoe implican la version continua de la ley de Coulomb.

Definimos el flujo magnetico que atraviesa una superficie S (orientada porun campo de vectores normales unitarios ~n) como

Φ =

∫

S

~B · ~n dσ.

Ası, en virtud del teorema de la divergencia, (15.35) es equivalente a que el flujomagnetico a traves de la frontera de cualquier elemento de volumen es nulo, quees la ley de Gauss de la magnetostatica.


La definicion de flujo magnetico hace que el campo magnetico ~B recibatambien el nombre de densidad de flujo magnetico. La unidad de flujo magneticoes el Weber (W) = T ·m2.

Si pensamos en el campo ~B como el campo de velocidades de un hipotetico“flujo de fuerza magnetica”, las trayectorias son las “lıneas de fuerza magnetica”.La ley de Gauss afirma que no hay “monopolos magneticos”, es decir, ni fuen-tes ni sumideros de “fuerza magnetica”, de modo que figuras como las de lapagina 210 no pueden ser representaciones de las “lıneas de fuerza” de un campomagnetico. En particular, las lıneas de fuerza magneticas no pueden surgir odesaparecer en un punto, sino que son cerradas o bien se prolongan hasta elinfinito.

En cuanto a (15.37), el teorema de Stokes nos proporciona su interpretacionfısica: si S es una superficie limitada por una curva cerrada C, se cumple quela intensidad de corriente que atraviesa S es

I =

∫

S

~ · ~ndσ =

∫

C

~H · d~r. (15.38)

Esta es la ley de Ampere.

Ejemplo

~r

r~B

~

~x

C

Vamos a usar la ley de Ampere paracalcular el campo magnetico que genera una co-rriente electrica que circula por un cable recto delongitud infinita. El integrando de (15.24) muestraque la contribucion de un punto ~x situado sobre elcable al campo ~B en un punto ~r situado a una dis-tancia r del cable tiene la direccion de ~×(~r−~x), esdecir, la direccion del vector ~B indicado en la figura,tangente a la circunferencia C de radio r centrada en el cable. Por consiguiente,el vector ~B (la integral), tendra es misma direccion (y el sentido indicado en lafigura). Para calcular su modulo usamos la ley de Ampere teniendo en cuentaque B es constante a lo largo de C:

I =1

µ0

∫

C

~B · d~r = 1

µ0

∫

C

B dl =2πrB

µ0.

Por consiguiente:

B =µ0I

2πr.

En conclusion, las lıneas de fuerza magnetica alrededor de un cable conductorson circulares, y la intensidad del campo es directamente proporcional a laintensidad de la corriente e inversamente proporcional a la distancia al cable.

Consideremos ahora un cable paralelo situado a una distancia d por el quecircula otra corriente electrica con vector de corriente ~ ′. Despreciando el grosordel cable, podemos suponer que ~B es constante sobre el. De acuerdo con (15.23),


la fuerza que el primer cable ejerce sobre una seccion V del segundo de longitudl es

~F =

∫

V

~ ′ × ~B dv.

Es claro que sera atractiva si ~ y ~ ′ tienen el mismo sentido, y repulsiva en casocontrario. Para calcular su modulo consideramos una seccion arbitraria S delcable orientada con un vector normal ~n en el sentido de ~ ′. Entonces

F =

∫

V

j′B dv = Bl

∫

S

j′ dσ =µ0Il

2πd

∫

S

~ ′ · ~n dσ =µ0II

′l

2πd.

El amperio Ahora estamos en condiciones de discutir la definicion del ampe-rio en el Sistema Internacional de Unidades:

Un amperio es la intensidad de corriente que hace que dos conduc-tores paralelos de longitud infinita y seccion despreciable separadospor una distancia de un metro en el vacıo y por los que circulencorrientes de dicha intensidad experimentan una fuerza magneticade 2 · 10−7N en cada metro de cable.

Segun la formula que acabamos de obtener, esta definicion de amperio equi-vale a establecer que la permeabilidad magnetica del vacıo es exactamente

µ0 = 4π · 10−7N/A2.

Esto fija la magnitud del culombio y hace que la permitividad del vacıo ǫ0 debaser medida (por ejemplo, a partir de la ley de Coulomb), y resulta valer11

ǫ0 = 8.8541878176 · 10−12C2/Nm2.

Demostramos ahora un resultado que necesitaremos en varias ocasiones:

Si V es abierto con H2(V ) = 0 tal que ~ es nulo en su complemen-tario, entonces

∫

V

~ (~r ) dv = ~0. (15.39)

Para ello usamos que, como div~ = 0, el teorema 12.18 nos da que ~ =rot ~N , para cierto campo vectorial ~N , que podemos suponer nulo fuera de V ,en particular en ∂V . Aplicamos el teorema 11.12:

∫

V

~ dv =

∫

V

rot ~N dv =

∫

∂V

~n× ~N dσ = ~0.

11Mas adelante veremos que ǫ0 tambien puede ser determinada de forma exacta, sin nece-sidad de ser medida.


El momento dipolar magnetico El mismo razonamiento que nos da el desa-rrollo (15.32) del potencial electrico (o gravitatorio) se aplica a cada coordenadade (15.34) para concluir que, si una distribucion de corrientes esta contenida enla esfera de centro el origen de coordenadas y radio R, entonces para r > R elpotencial magnetico viene dado por

~A(~r ) =µ0

4π

∞∑

n=1

1

rn+1

∫

R3

~ (~r ′)Pn(cosα)r′n dv′, (15.40)

donde α es el angulo entre ~r y ~r′. Hemos suprimido el termino correspondientea n = 0 porque la integral correspondiente es la considerada en (15.39).

Ahora estudiamos la aproximacion de ~A(~r ) que resulta de considerar eltermino de (15.40) correspondiente a n = 1. Se trata de

~A(~r ) =µ0

4πr2

∫

V

~ (~r ′)r′ cosα dv =µ0

4πr3

∫

V

~ (~r ′)(~r · ~r ′) dv (15.41)

Veamos que ~r puede ser extraıdo de la integral. Para ello la formula deLagrange [Ge 5.14] nos da que:

∫

V

~r × (~r ′ × ~ ) dv =

∫

V

(~r · ~ )~r ′ dv −∫

V

(~r · ~r ′)~ dv, (15.42)

y vamos a probar que las dos integrales del segundo miembro tienen son igualessalvo el signo. Esto se debe a que

div(r′ir′k~ ) = r′kji + r′ijk + r′ir

′k div~ = r′kji + r′ijk

y, como ~ es nulo en ∂V , el teorema de la divergencia nos da que∫

V

r′kji dv = −∫

V

r′ijk dv.

Por lo tanto∫

V

∑

k

rkr′kji dv = −

∫

V

∑

k

rkr′ijk dv

o, lo que es lo mismo,∫

V

(~r · ~r ′)ji dv = −∫

V

(~r · ~ )r′i dv.

Vectorialmente:∫

V

(~r · ~r ′)~ dv = −∫

V

(~r · ~ )~r ′ dv,

luego (15.42) se convierte en

∫

V

~r × (~r ′ × ~ ) dv = −2

∫

V

(~r · ~r ′)~ dv, (15.43)


y a su vez (15.41) toma la forma

~A(~r ) =µ0

4πr3

(∫

V

1

2(~r ′ × ~ ) dv

)

× ~r.

Ası, definiendo el momento dipolar magnetico de una distribucion de corrien-tes contenidas en un elemento de volumen V como12

~m =1

2

∫

V

~r × ~ dv, (15.44)

tenemos que, en una primera aproximacion, el potencial magnetico de la distri-bucion para puntos lejanos viene dado por

~A(~r ) =µ0

4π

1

r3~m× ~r. (15.45)

Si fijamos un sistema de referencia en el que ~m = m~uz y tomamos coorde-nadas esfericas,

~A =µ0I

4πr2m sen θ ~uα,

lo que nos permite aplicar la formula del rotacional en coordenadas esfericaspara calcular ~B = rot ~A, cuyas coordenadas esfericas resultan ser

Br =2µ0m

4πr3cos θ, Bφ = 0, Bθ =

µ0m

4πr3sen θ.

En suma:~B =

µ0m

4πr3(2 cos θ ~ur + sen θ ~uθ).

Sustituyendo las expresiones cartesianas de la base esferica obtenemos

~B =µ0m

4πr3

(

3~r cos θ

r− ~uz

)

y, eliminando de nuevo las coordenadas, llegamos a la expresion

~B =µ0

4πr3

(

3(~m · ~r )~rr2

− ~m

)

, (15.46)

que es identica a la aproximacion (15.31) para el campo electrico de un dipolo.

En general, todo cuerpo que genera un campo magnetico se dice que estamagnetizado o imantado, y se dice tambien que es un iman, aunque es fre-cuente sobrentender que el termino “iman” hace referencia a un cuerpo pola-rizado (magneticamente), es decir un cuerpo con momento dipolar magneticono nulo. Acabamos de comprobar que, en tal caso, el campo magnetico quegenera, visto desde lejos, es aproximadamente dipolar, como muestra la figurade la pagina 212, de modo que podemos distinguir en el un “polo positivo” y un

12Notemos que ~m no depende del punto tomado como origen del sistema de referenciadebido a (15.39). Es claro que las unidades de ~m son A·m2.


“polo negativo”, exactamente en el mismo sentido que explicabamos al tratarla polarizacion electrica. El polo positivo (es decir, el polo del que surgen laslıneas de fuerza) se llama tambien “polo norte” del iman, y el polo negativo (alque llegan las lıneas de fuerza), se llama “polo sur” del iman.

Al igual que senalabamos en el caso de los campos electricos, no todo campomagnetico es dipolar. Cuando el momento de polarizacion es nulo, el campomagnetico esta determinado por los terminos superiores de (15.40). Por ejem-plo, si el termino correspondiente a n = 2 es no nulo, tenemos un cuadripolomagnetico, que presenta dos polos positivos y dos negativos.

Magnetizacion Analogamente a como la estructura atomica y molecular ge-nera pequenos dipolos electricos que en determinadas circunstancias pueden acu-mularse y polarizar la materia, el movimiento microscopico de los electrones ge-nera tambien un pequeno campo magnetico que puede aproximarse por (15.46).Durante un tiempo se creyo que este campo magnetico generado por la materiase debıa unicamente al movimiento orbital de los electrones alrededor de losatomos, o a su desplazamiento libre por los conductores, pero se ha demostradoque, ademas de esto, cada electron genera por sı mismo un campo magnetico.Desde un punto de vista clasico esto solo puede interpretarse como que cadaelectron gira sobre sı mismo, si bien un analisis mas detenido obliga a introdu-cir el concepto cuantico de spin.

En cualquier caso, los modelos continuos que estamos considerando estanpensados precisamente para no tener que preocuparnos de la naturaleza mi-croscopica de los fenomenos que estudiamos. En efecto, nos basta con aceptarque la materia genera en cada punto un momento dipolar magnetico que po-demos determinar en terminos de una densidad de momento magnetico o, sim-plemente, una magnetizacion ~M , que es un campo tal que el momento dipolarmagnetico de un elemento de volumen V viene dado por13

~m =

∫

V

~M dv.

Ası, de acuerdo con (15.45), el potencial magnetico determinado por la mag-netizacion del medio en un elemento de volumen es

~Am(~r ) =µ0

4π

∫

V

~M × (~r − ~x )

‖~r − ~x ‖3 dv.

Como en el caso de la polarizacion electrica, usamos que

~r − ~x

‖~r − ~x ‖3 = ∇(

1

‖~r − ~x ‖

)

,

pero ahora tenemos un producto vectorial en lugar de escalar. La formula quenecesitamos para tratarlo es:

rot(φ~F ) = φ rot ~F +∇φ × ~F .

13De aquı se sigue que las unidades de ~M son A/m.


Con ella obtenemos que

~Am(~r ) =µ0

4π

∫

V

rot ~M

‖~r − ~x ‖ dv −µ0

4π

∫

V

rot~M

‖~r − ~x ‖ dv.

Finalmente aplicamos el teorema 11.12:

~Am(~r ) =µ0

4π

∫

V

rot ~M

‖~r − ~x ‖ dv +µ0

4π

∫

∂V

~M × ~n

‖~r − ~x ‖ dσ. (15.47)

Como el en caso electrico, podemos despreciar la segunda integral si supo-nemos que V se extiende hasta el infinito. El resto es el potencial magneticoque generarıa una hipotetica corriente ~m = rot ~M . Ası pues, el rotacional delcampo magnetico ~Bm asociado a ~Am ha de ser el mismo que tendrıa este campo,es decir, rot ~Bm = µ0 rot ~M .

Si V contiene una autentica distribucion de corriente ~ que genera un campomagnetico ~B0, el rotacional del campo magnetico total ~B sera

rot ~B = µ0(~+ rot ~M).

Esto nos lleva a definir la intensidad del campo magnetico como

~H =1

µ0

~B − ~M.

Ası (15.36) es la intensidad del campo magnetico en el vacıo, donde ~M = ~0,

y con esta definicion generalizada tenemos que rot ~H = ~, luego se cumple la leyde Ampere.

En una amplia variedad de medios se cumple que la magnetizacion global ~Mes nula porque los momentos magneticos de los distintos electrones se cancelanmutuamente, pero la presencia de un campo magnetico hace que todos, o granparte de ellos, se orienten hasta generar un campo de magnetizacion de la forma

~M = χm ~H,

para una constante χm llamada susceptibilidad magnetica del medio, con lo que

~B = µ0(1 + χm) ~H = µ ~H,

donde µ es la permeabilidad magnetica del medio y µr = 1 + χm es la permea-bilidad relativa.

Cabe destacar que, mientras la susceptibilidad electrica siempre es ≥ 0, lasusceptibilidad magnetica puede ser positiva o negativa, de modo que las sus-tancias se clasifican en ferromagneticas, paramagneticas o diamagneticas segunque su susceptibilidad magnetica sea positiva, cercana a 0 o negativa, respec-tivamente (o, equivalentemente, su permeabilidad magnetica sea mayor que 1,cercana a 1 o menor que 1). Una explicacion cabal de estos comportamientosde la materia requiere entrar en consideraciones correspondientes a la mecanicacuantica. De hecho, esta explica la existencia de materiales superconductoresentre cuyas caracterısticas esta que χm = −1.


En definitiva, las sustancias ferromagneticas intensifican los campos magne-ticos, como es el caso del hierro, cuya permeabilidad relativa es del orden deµr = 150 y los materiales diamagneticos atenuan los campos magneticos, comoes el caso del grafito, que puede alcanzar una susceptibilidad χm = −0.0004. Elagua, por ejemplo, se considera paramagnetica, con χm = −9.5 · 10−6.

Normalmente, la magnetizacion que induce un campo magnetico en una sus-tancia desaparece cuando este cesa, pero en determinadas circunstancias puedevolverse permanente. El caso mas conocido es el de un mineral compuesto porun oxido de hierro (Fe3O4) que recibe el nombre de magnetita, y que se da enla naturaleza con una magnetizacion apreciable.

Campos magneticos generados por circuitos electricos Vamos a vercomo se adaptan las formulas de la magnetostatica para el caso en el que lacarga y la corriente se distribuyen en una curva y no en el espacio en general.Concretamente, consideramos una corriente estacionaria de intensidad I quecircula por un circuito cerrado C, representado por una curva parametrizadapor una funcion γ(u).

Para poder aplicar, por ejemplo, ley de Biot y Savart, necesitamos consideraral cable como un tubo tridimensional. Podemos parametrizar dicho tubo con lafuncion

~X(u, s, t) = γ(u) + s ~N(u) + t ~B(u),

donde ~T , ~N , ~B es el triedro de Frenet14 de γ. La coordenada u recorre unintervalo [u0, u1] y s, t recorren un entorno de cero S ⊂ R2 muy pequeno, que

representa la seccion (despreciable) del cable. La matriz jacobiana de ~X es

∇ ~X =

(‖γ′‖ − sκ)~T − sτ ~B + tτ ~N~N~B

,

donde κ y τ son, respectivamente, la curvatura y la torsion de γ. Calculamos eldeterminante jacobiano como

J =

√

det(∇ ~X · ∇ ~Xt) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(‖γ′‖ − sκ)2 + (s2 + t2)τ2 tτ −sτtτ 1 0−sτ 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1/2

= ‖γ′‖−sκ.

Ası pues, segun (15.24), el campo magnetico generado por el tubo es

~B(~r ) =µ0

4π

∫

R3

~ (~x )× (~r − ~x)

‖~r − ~x‖3 dv

=µ0

4π

∫ u1

u0

∫

S

(

~ (~x )× (~r − ~x)

‖~r − ~x‖3 dσ

)

(‖γ′‖ − sκ) du,

14Para considerar el triedro de Frenet hemos de suponer que C tiene curvatura no nula.Puesto que queremos calcular una integral, no importa si la curvatura se anula en puntosaislados. Si es identicamente nula, C es una recta y podemos tomar vectores constantesarbitrarios ~N y ~B que formen una base ortonormal con ~T .


donde hemos usado que, dado que ~N y ~B son ortonormales, el elemento desuperficie de S es dσ = dsdt. En la ultima integral hay que entender que~x = ~X(u, s, t) y, despreciando el grosor del cable, podemos aproximar ~x ≈ γ(u).Esto nos permite escribir:

~B(~r ) =µ0

4π

∫ u1

u0

((∫

S

~ (~x ) dσ

)

× (~r − γ(u))

‖~r − γ(u)‖3 (‖γ′‖ − sκ)

)

du.

Podemos suponer que la parametrizacion γ hace que el vector tangente uni-tario ~T tenga la direccion de ~. Notemos ademas que ~n = ~T es un campo devectores unitarios normales a S. Por lo tanto, ~ = (~ · ~n) ~T y la integral interiores

∫

S

~ (~x ) dσ =

∫

S

(~ · ~n) dσ ~T = I ~T .

Si ademas suprimimos el termino sκ, lo cual solo significa que el grosor del cablees despreciable en relacion con su curvatura, la expresion se reduce a

~B(~r ) =µ0I

4π

∫ u1

u0

(

~T × (~r − γ(u))

‖~r − γ(u)‖3 ‖γ′‖)

du.

Por ultimo observamos que ~T‖γ′‖ du = γ′ du = d~x, y ası llegamos finalmentela expresion de la ley de Biot y Savart para un circuito:

~B(~r ) =µ0I

4π

∫

C

d~x× (~r − ~x)

‖~r − ~x‖3 ,

donde hay que entender que d~x tiene la direccion del vector de corriente ~.Notemos que, formalmente, el paso de (15.24) a la formula anterior ha consistidoen cambiar ~ dv por I d~x. El mismo razonamiento nos lleva a un resultadoanalogo para la expresion del potencial magnetico:

~A(~r ) =µ0I

4π

∫

C

d~x

‖~r − ~x‖ , (15.48)

para la fuerza que actua sobre un elemento de circuito, no necesariamente ce-rrado, (cf. (15.23)):

~F = −I∫

C

~B × d~x, (15.49)

y para la expresion del momento magnetico (15.44):

~m =I

2

∫

C

~x× d~x.

Si C es la frontera de una superficie S, se cumple que

∫

C

~x× d~x = 2

∫

S

~n dσ.


Para probarlo tomamos un vector constante ~v y aplicamos el teorema deStokes a ~F = ~x× v:

∫

C

(~x× ~v ) · d~x =

∫

S

rot(~x × ~v) · ~n dσ.

Se cumple que (~x×~v) · d~x = −~v · (~x× d~x), y un sencillo calculo muestra querot (~x× ~v) = −2~v. Por lo tanto, tenemos que

~v ·(∫

C

~x× d~x

)

= ~v ·(

2

∫

S

~n dσ

)

y, como ~v es arbitrario, podemos cancelarlo. La conclusion es que

~m = I

∫

S

~n dσ,

Si el circuito es plano, podemos tomar la superficie S plana, en cuyo caso ~nes constante y queda

~m = IA~n (15.50)

donde A es el area encerrada por el circuito y ~n es el vector normal que haceque el sentido de circulacion de la corriente sea positivo.

El campo magnetico terrestre La Tierra, el Sol y otros cuerpos celestesgeneran campos magneticos de cierta intensidad. En el caso de la Tierra, elcampo magnetico parece estar generado por corrientes electricas que se producenen su nucleo externo de hierro fundido. Las teorıas que tratan de presentar unmodelo realista de como se genera el campo magnetico terrestre son complicadas,pero aquı vamos a presentar un modelo muy simplificado:

Consideremos una esfera con una carga electrica q uniformemente distribuidapor su superficie y que gira con velocidad angular constante ω. Vamos a calcularel campo magnetico que genera.

Llamemos ~ω a la velocidad angular vectorial, es decir, al vector cuyo moduloes ω y que apunta en la direccion del eje de giro, en el sentido adecuado paraque la velocidad en cada punto ~r ′ sea ~v = ~ω×~r ′. La densidad de corriente sera~ = ρ~v = ρ~ω×~r ′. Que la carga se concentre en la superficie de la esfera significaque ρ es constante en una corona circular de espesor ǫ despreciable. El valor deesta constante ha de ser

ρ =q

43π(R

3 − (R− ǫ)3)=

q43π(3R

2 − 3Rǫ+ ǫ2)ǫ.

Ası pues, tomando coordenadas esfericas,

~A(~r ) =µ0

4π

q~ω43π(3R

2 − 3Rǫ+ ǫ2)ǫ×∫ R

R−ǫ

∫ 2π

0

∫ π

0

r′2~r ′ sen θ

‖~r − ~r ′‖ dθ dφ dr′.


Que ǫ sea despreciable significa que podemos aproximar r′ ≈ R, con lo queel integrando deja de depender de r′ y la expresion se reduce a

~A(~r ) =µ0

4π

qR2~ω43π(3R

2 − 3Rǫ+ ǫ2)×∫ 2π

0

∫ π

0

~r ′ sen θ

‖~r − ~r ′‖ dθ dφ.

Ahora podemos hacer ǫ→ 0, y el resultado es15

~A(~r ) =µ0

4π

q ~ω

4π×∫ 2π

0

∫ π

0

~r ′ sen θ

‖~r − ~r ′‖ dθ dφ.

Esto vale respecto de cualquier sistema de referencia. En particular podemoselegirlo de modo que ~r = r~uz y entonces el denominador no depende de φ.Explıcitamente,

‖~r − ~r ′‖ = (r2 +R2 − 2rR cos θ)1/2.

En cuanto al numerador, es

R(cosφ sen2 θ, senφ sen2 θ, sen θ cos θ).

La integral respecto de φ de las dos primeras componentes es nula, luegosolo queda calcular la tercera. Equivalentemente:

~A(~r ) =µ0qR ~ω

8π× ~uz

∫ π

0

sen θ cos θ

(r2 +R2 − 2rR cos θ)1/2dθ.

Ahora es buen momento para observar que ~uz en el sistema de referenciaparticular que hemos elegido es ~ur en un sistema de referencia arbitrario, luego,respecto a un sistema de referencia arbitrario, independiente de ~r, tenemos que

~A(~r ) =µ0qR

8πF (r) ~ω × ~ur,

donde

F (r) =

∫ π

0

sen θ cos θ

(r2 +R2 − 2rR cos θ)1/2dθ.

Hacemos el cambio de variable cos θ = w y la integral resultante se integrapor partes:

F (r) =

∫ 1

−1

w

(r2 +R2 − 2rRw)1/2dw =

∫ 1

−1

w(A −Bw)−1/2 dw

=

[

− 2

3B2(2A+Bw)(A −Bw)1/2

]1

−1

15Deshaciendo el cambio a coordenadas esfericas, hemos obtenido que

~A(~r) =µ0

4π

∫

S

~ (~r ′)

‖~r − ~r ′‖dσ,

donde ~ = ρ~v para una funcion de densidad superficial ρ. Es la adaptacion obvia de (15.34)para una distribucion superficial de cargas y corrientes analoga a la formula (15.48) paradistribuciones lineales.


=2

3B2

(

(2A−B)(A +B)1/2 − (2A+ B)(A−B)1/2)

=1

3r2R2((r2 +R2 − rR)(r +R)− (r2 +R2 + rR)|r −R|).

Ası pues,

F =

2r

3R2si r < R,

2R

3r2si r > R.

En total:

~A =

µ0q

12πR~ω × ~r si r < R,

µ0qR2

12π~ω × ~r

r3si r > R.

Esto se expresa de forma mas simetrica si llamamos

~m =qR2

3~ω. (15.51)

Entonces

~A =

µ0

4π

1

R3~m× ~r si r < R,

µ0

4π

1

r3~m× ~r si r > R.

El potencial correspondiente al exterior de la esfera no es sino (15.45), luegosabemos que el campo magnetico que genera es de la forma (15.46), es decir, esdipolar con momento dipolar ~m. Notemos que hemos obtenido que este campoes exactamente el campo generado fuera de la esfera, y no una aproximacion.

En cuanto al potencial dentro de la esfera, tomamos un sistema de referenciaen el que ~m = m~uz, y ası

~m× ~r = mr ~uz × ~ur = mr sen θ ~uφ,

luego en coordenadas esfericas

Ar = Aθ = 0, Aφ =µ0m

4πR3r sen θ.

La formula del rotacional en coordenadas esfericas nos da entonces que enel interior de la esfera el campo magnetico es constante igual a

~B =2µ0m

4πR3~uz =

2µ0

4πR3~m.

No esta de mas comprobar que (15.51) es realmente el momento dipolarmagnetico de la esfera de acuerdo con su definicion general (15.44). Como


la distribucion de cargas es superficial hemos de considerar una integral desuperficie:

~m =1

2

∫

S

~r × (ρ~ω × ~r) dσ =q

8πR2

∫

S

(~ω(~r · ~r )− ~r(~r · ~ω)) dσ,

donde hemos usado la formula de Lagrange [Ge 5.14]. La integral del primertermino es simplemente

qR2

2~ω.

Para calcular la segunda tomamos un sistema de referencia en el que ~ω = ω~uzy consideramos coordenadas esfericas. Entonces

− q

8πR2

∫

S

~r(~r ·~ω) dσ = −qω8π

∫

S

cos θ ~ur dσ = −qωR2

8π

∫ 2π

0

∫ π

0

sen θ cos θ ~ur dθ dφ

−qωR2

8π

∫ 2π

0

∫ π

0

sen θ cos θ (cosφ sen θ, senφ sen θ, cos θ) dθ dφ

= −qR2

4~ω

∫ π

0

sen θ cos2 θ dθ = −qR2

6~ω.

Al sumar las dos partes obtenemos (15.51).

Aunque, como ya hemos indicado, el problema de la generacion del campomagnetico terrestre es muy complejo, lo cierto es que las mediciones muestranque se puede considerar aproximadamente como un dipolo como el que acabamosde describir. Su momento dipolar ~m apunta actualmente hacia un punto cercanoal polo sur geografico (el determinado por el eje de rotacion de la Tierra). Asıpues, el polo sur del campo magnetico terrestre (en el sentido general del poloadonde llegan las lıneas de fuerza) se encuentra cerca del polo norte geograficoy, para mayor confusion, recibe el nombre de “polo norte magnetico terrestre”.

La explicacion de este galimatıas es que el polo norte de una aguja imantadase define como el extremo de la aguja que apunta hacia el polo norte geograficocuando se la deja girar libremente, pero esta definicion de “polo norte” obligaa que el polo norte terrestre sea un polo sur magnetico, ya que, como veremosmas adelante, polos opuestos se atraen y polos iguales se repelen.

En definitiva: hay que recordar que, por definicion, el polo norte de cualquieriman es el polo del que surgen las lıneas de fuerza magneticas, con excepcion dela Tierra, pues se llama polo norte magnetico terrestre al polo al que llegan laslıneas de fuerza y que, por consiguiente, es realmente un polo sur que atrae atodos los polos norte de todos los imanes.

Hay que anadir que el campo magnetico terrestre muestra un comporta-miento bastante caotico. La posicion de los polos magneticos sobre la superficieterrestre ha variado mucho a lo largo de la historia del planeta, y en variasocasiones ha invertido subitamente su sentido (la ultima vez fue hace 700 000anos). En cuanto a su intensidad, en el ano 2003 era de m = 8 · 1022A·m2, que


es el doble de su valor medio en el ultimo millon de anos. La magnitud de ~Ben la superficie terrestre oscila entre menos de 30µT en las zonas ecuatorialeshasta 60µT cerca de los polos. El campo se deja sentir a varias decenas de milesde kilometros de altura.

Brujulas Vamos a demostrar que las brujulas senalan la direccion del polo“norte” —sur en realidad— magnetico terrestre. Una brujula no es mas queuna aguja imantada (con un momento dipolar no nulo que apunta hacia unode sus extremos, el que recibe el nombre de polo norte) sostenida de forma quepuede girar libremente sobre un punto fijo.

La brujula esta sometida al campo magnetico terrestre que, dada la cortalongitud de la aguja, puede suponerse constante. Las lıneas de fuerza del campomagnetico terrestre son mas o menos paralelas a la superficie terrestre y van delpolo sur (geografico) al polo norte (geografico), de modo que el campo magnetico~B en un punto de la superficie terrestre puede suponerse constante y dirigidohacia el polo norte geografico. Lo que hemos de probar es que la aguja se moverahasta alinear su momento magnetico ~m con la direccion de ~B.

En general, la fuerza magnetica que actua sobre un elemento de volumen Vque contenga corrientes electricas viene dada por la ley de Laplace (15.23).Supongamos que V contiene completamente a las corrientes, de modo que ~ esnulo en su frontera y en su exterior. Lo primero que observamos es que la fuerzatotal que ejerce sobre V un campo magnetico constante ~B es nula, pues esta es

~F =

(∫

V

~ dv

)

× ~B = ~0

por (15.39).En el caso de la brujula, esto significa que si colgamos de un hilo una aguja

imantada, el hilo permanecera vertical, porque la fuerza con la que el polo nortede la aguja es atraıdo hacia el norte es igual a la fuerza con la que su polo sur esatraıdo hacia el sur. Lo que hace orientarse a la aguja no es la fuerza que actuasobre ella, sino el momento que esta le produce respecto a su punto de apoyo.

En general, fijado un punto arbitrario O como origen de nuestro sistema dereferencia, el momento respecto a O que un campo magnetico constante induceen el elemento de volumen V viene dado por

~T =

∫

V

~r × d~F =

∫

V

~r × (~× ~B) dv.

Aplicamos la formula de Lagrange [Ge 5.14]:

~T =

∫

V

((~r · ~B)~ dv −(∫

V

(~r · ~ ) dv)

~B (15.52)

y vamos a ver que el parentesis es nulo. Para ello consideramos el siguiente casoparticular de (10.8):

∇ · (r2~ ) = 2~r · ~+ r2∇ · ~ = 2~r · ~,


donde hemos eliminado ∇ · ~ = 0. Por lo tanto

∫

V

(~r · ~ ) dv =1

2

∫

V

∇ · (r2~ ) dv =1

2

∫

∂V

r2~ · ~ndσ = 0,

porque ~ se anula en ∂V .Por otra parte, al primer sumando de (15.52) le podemos aplicar la formula

(15.43), donde ~B representa aquı el papel que en (15.52) representa el vector ~r.El resultado es

~T = − ~B ×∫

V

1

2~r × ~ dv,

pero, de acuerdo con (15.44), la integral es el momento magnetico de V , y asıconcluimos que el momento de fuerza que un campo magnetico constante ejercesobre la distribucion de corrientes es

~T = ~m× ~B.

Para interpretar esta formula solo tenemos que unir dos hechos elementales:

• ~T es perpendicular al plano que contiene a ~m y ~B, y su sentido es el quehace que un giro de ~m hacia ~B sea positivo.

• Un momento de fuerza ~T en un solido rıgido provoca en este una ace-leracion angular que tiene por eje de giro el determinado por ~T y cuyosentido de giro es el positivo respecto a ~T .

La conclusion es que el campo magnetico imprime una aceleracion angularen la aguja de la brujula que tiende a girarla de modo que ~m (o sea, la aguja)

se acerque a ~B. Tras una serie de oscilaciones debidas a la inercia de la aguja,esta se estabilizara cuando ~m y ~T esten alineados, es decir, cuando la brujulasenale hacia el polo norte magnetico terrestre.16

15.3 Las ecuaciones de Maxwell

En la seccion anterior hemos visto que una distribucion de cargas ρ y unadistribucion de corrientes ~ estacionarias (es decir, que no varıan con el tiempo)

generan un campo electrico ~E y un campo magnetico ~B determinados por lasecuaciones

div ~D = ρ, rot ~E = ~0, div ~B = 0, rot ~H = ~, (15.53)

y que, a su vez, estos campos actuan sobre una partıcula con carga electrica qejerciendo una fuerza dada por la ley de Laplace:

~F = q( ~E + ~v × ~B)

16En las proximidades de los polos, el campo magnetico apunta hacia el suelo, con unamınima componente tangencial, demasiado debil para que las brujulas puedan detectarla, porlo que dejan de funcionar.

15.3. Las ecuaciones de Maxwell 233

La eleccion de ~E o ~D y de ~B o ~H no se debe a razones esteticas (paraeliminar constantes), sino que de este modo las ecuaciones valen para mediosarbitrarios (no necesariamente el vacıo). En medios homogeneos estas ecuacio-nes se complementan con las relaciones

~D = ǫ ~E, ~B = µ ~H.

Las dos primeras ecuaciones de (15.53) constituyen las ecuaciones funda-mentales de la electrostatica y las dos ultimas son las ecuaciones fundamentalesde la magnetostatica. Observemos que si ρ y ~ no dependen del tiempo, lomismo le sucede a los campos ~E y ~B. En esta seccion veremos que cuando lasdistribuciones de carga y corriente (y, por consiguiente, los campos electrico ymagnetico) dependen del tiempo, las ecuaciones (15.53) dejan de ser validas y

hay que modificarlas de modo que ~E y ~B aparecen combinados en ellas, porlo que ya no es posible hablar de unas ecuaciones para la electricidad y otraspara el magnetismo, sino de un unico sistema de ecuaciones fundamentales delelectromagnetismo, las llamadas ecuaciones de Maxwell.

Conviene destacar que, no obstante, dos de las ecuaciones de (15.53) sonvalidas en general, a saber, las dos correspondientes a las divergencias de loscampos. Recordemos que la correspondiente a ~E equivale a la ley de Gauss, esdecir, a que el flujo del campo ~D a traves de una superficie cerrada es igual ala carga neta que contiene, la cual nos permite interpretar las cargas electricascomo fuentes y sumideros de las lıneas de “fuerza electrica”, mientras que lacorrespondiente a ~B indica precisamente que no existen cargas o “monopolos”magneticos, es decir, que las lıneas de fuerza del campo magnetico siemprese cierran sobre sı mismas o se prolongan hasta el infinito. En teorıa, nadaimpedirıa que una experiencia revelara la existencia de “cargas magneticas”,en cuyo caso la teorıa electromagnetica que conocemos serıa el caso particularvalido en ausencia de tales cargas. No obstante, nadie ha encontrado nunca taleshipoteticas cargas y, hasta donde se sabe, las ecuaciones sobre las divergenciasde ~E y ~B son universalmente validas (al igual que la ley de Laplace).

Dedicamos las dos subsecciones siguientes a explicar las modificaciones querequieren las ecuaciones que describen los rotacionales de los campos electricoy magnetico.

15.3.1 La ley de induccion de Faraday

Consideremos un hilo conductor C, es decir, una porcion de materia quepodemos modelizar como una curva de grosor despreciable y que permite elmovimiento de las cargas electricas a traves de el. Si el hilo se mueve en el senode un campo electrico ~E y un campo magnetico ~B de modo que la velocidadde las cargas en cada punto sea ~v, la fuerza electromagnetica que actua sobrecada punto del circuito es ~E + ~v × ~B, aunque solo la parte tangencial de dichafuerza provocara un movimiento de cargas, es decir, una corriente electrica enel circuito.

Una medida de la magnitud de dicha corriente electrica es la llamada fuerza


electromotriz

E =

∫

C

( ~E + ~v × ~B) · d~r,

que, como conviene advertir, no es una fuerza, ya que sus unidades no sonnewtons, sino voltios. Observemos que la velocidad de la carga electrica enun punto puede descomponerse como ~v = ~vr + ~vc, donde ~vr es la velocidad dela carga relativa al conductor, que sera tangente a este, y ~vc es la velocidaddel conductor en dicho punto (que puede tener cualquier direccion). Entonces

podemos descomponer ~v× ~B = ~vr × ~B+~vc × ~B y el primer sumando es normalal conductor, luego (~vr × ~B) · d~r = 0. Esto significa que la integral no se alterasi tomamos como ~v la velocidad del conductor en cada punto.

Es claro que una fuerza electromotriz no nula se traduce en la presenciade una corriente electrica en el conductor. La intensidad I de dicha corrienteviene determinada por la ley de Ohm, segun la cual I = E/R, donde R es unaconstante asociada al material del que esta hecho el conductor y que recibe elnombre de resistencia electrica. Se mide en ohmios (Ω = V/A).

Por ejemplo, si suponemos que los campos electrico y magnetico son estacio-narios (no dependen del tiempo) y que el circuito esta en reposo, entonces ~v = 0

y, segun las leyes de la electrostatica, ~E = −∇V , luego la fuerza electromotriz

E = −∫

C

∇V · d~r = −∫

C

dV = −(Vfinal − Vinicial)

es la diferencia de potencial entre los extremos del conductor.

Supongamos ahora que el conductor es un circuito cerrado en movimiento(manteniendo la hipotesis de que los campos son estacionarios). Entonces la

circulacion de ~E es nula y la fuerza electromotriz se reduce a

E =

∫

C

(~v × ~B) · d~r.

Aplicamos la formula (??) que determina la derivada del flujo de un campovectorial a traves de una superficie limitada por una curva cerrada que varıa conel tiempo. Teniendo en cuenta que div ~B = 0, uno de sus terminos desaparecey se reduce a

d

dt

∫

St

~B · ~n dσ = −∫

Ct

(~v × ~B) · d~r +∫

St

∂ ~B

∂t· ~n dσ, (15.54)

donde St es una superficie cuya frontera en cada instante t es el circuito Ct.Puesto que estamos suponiendo que ~B es estacionario, el ultimo termino des-aparece tambien, y obtenemos la relacion

E = −dΦdt, (15.55)

donde Φ es el flujo magnetico a traves de cualquier superficie S limitada por elcircuito C.


Ejemplo: Alternadores~B

La formula precedente es apli-cable al caso de una espira que se hace girar respecto deun eje perpendicular a un campo magnetico constante (quepuede ser generado mediante imanes). Si A el area abar-cada por la espira y hacemos girar esta con velocidad angular ω, es claro que elfluido magnetico que la atraviesa en cada instante es

Φ(t) = BA cosωt,

luego E = BAω senωt. Si la resistencia del circuito es R, la rotacion genera unacorriente electrica de intensidad

I =BAω

Rsenωt.

Se trata de una corriente alterna, pues cambia de sentido periodicamente. Estees el principio en que se basan los alternadores para producir energıa electricaa partir de energıa mecanica.

En la practica un alternador no consta de una unica espira tal y como hemosconsiderado en el ejemplo anterior, sino que el cable se arrolla N veces, con loque la intensidad resultante tambien se multiplica por N . Mas aun, en lugarde hacer girar las espiras en un campo magnetico generado por imanes, es maspractico mantener el conductor en reposo y hacer girar los imanes. El efectoes el mismo debido a que la formula (15.55) resulta ser valida en general, esdecir, en todo circuito cerrado se genera una fuerza electromotriz que es, salvoel signo, la derivada del flujo del campo magnetico que lo atraviesa, tanto si lavariacion del flujo se produce como consecuencia del movimiento del circuito ocomo consecuencia de la variacion del campo magnetico (por ejemplo, porquemovemos un iman cerca del circuito), o incluso a causa de una deformacion delcircuito que altere el area que abarca. Este principio general fue descubiertoempıricamente por el fısico Michael Faraday, y por eso se conoce como ley deinduccion de Faraday.

Observemos que esta ley no es compatible con la magnetostatica: mover uniman cerca de un circuito en reposo provocara sin duda un campo magneticovariable, pero, segun la ley de Laplace, un campo magnetico, fijo o variable, noafecta a una carga electrica en reposo. Admitir la universalidad de la ley delflujo exige admitir que las variaciones del campo magnetico inducen un campoelectrico. Para precisar esta idea volvemos a la relacion (15.54) sin descartarahora el ultimo termino. Afirmar que el miembro derecho es −E equivale aadmitir la existencia de un campo electrico ~E que verifica la relacion

∫

St

∂ ~B

∂t· ~ndσ = −

∫

Ct

~E · d~r = −∫

St

rot ~E · ~n dσ.

Para que esto se cumpla sea cual sea la superficie S, es necesario que se dela igualdad

rot ~E = −∂B∂t, (15.56)


que es la ecuacion de Maxwell que generaliza a la segunda ecuacion de (15.53) yque, ciertamente, se particulariza a esta cuando el campo magnetico es estacio-nario. El razonamiento precedente muestra que (15.56) es equivalente a la leyde Faraday.

15.3.2 La corriente de desplazamiento de Maxwell

Para obtener las leyes generales del electromagnetismo solo nos falta revisarla ecuacion rot ~H = ~, que expresa la ley de Ampere. Es facil darse cuenta de queno puede ser cierta en general, ya que, tomando en ella la divergencia, obtenemosque div~ = 0, cuando sabemos que la conservacion de la carga electrica equivalea la ecuacion (15.21):

div~ = −∂ρ∂t.

Aunque Maxwell no conocıa las leyes del electromagnetismo en el formatomoderno en que las estamos expresando, se dio cuenta de este problema y ob-servo ademas que la conservacion de la carga podıa recuperarse anadiendo untermino a ley de Ampere:

rot ~H = ~+∂ ~D

∂t.

En efecto, si ahora tomamos la divergencia en ambos miembros obtenemos

0 = div~+∂ρ

∂t,

que es la ecuacion de continuidad. De este modo, Maxwell se atrevio a proponeresta modificacion a pesar de que no tenıa ninguna evidencia experimental deque la ley de Ampere necesitara retoque alguno. En definitiva, las ecuacionesde Maxwell son las siguientes:

div ~D = ρ, dim ~B = 0, rot ~E = −∂~B

∂t, rot ~H = ~+

∂ ~D

∂t

donde en medios homogeneos ~D = ǫ ~E, ~B = µ ~H .

La teorıa del electromagnetismo de Maxwell postula la validez general deestas cuatro ecuaciones y deduce de ellas todas las propiedades del electromag-netismo.

Los potenciales De div ~B = 0 se sigue la existencia del potencial vectorialmagnetico ~A, de modo que ~B = rot ~A. La tercera ecuacion de Maxwell mues-tra que en general el campo electrico no es conservativo, pero sustituyendo elpotencial magnetico queda

rot

(

~E +∂ ~A

∂t

)

= 0,


con lo que existe un potencial escalar V tal que

~E = −∇V − ∂ ~A

∂t. (15.57)

En el caso en que ~A no dependa de t tenemos el potencial electrostatico queya conocemos. Las ecuaciones de Maxwell permiten expresar los potencialesV y ~A en terminos de la distribucion de carga ρ y la densidad de corriente ~.El primer paso es encontrar ecuaciones diferenciales que contengan una sola delas incognitas V y ~A. Para ello sustituimos la ecuacion anterior en la primeraecuacion de Maxwell:

−∆V − ∂

∂tdiv ~A =

ρ

ǫ. (15.58)

Por otro lado, sustituyendo (15.57) y ~B = rot ~A en la cuarta ecuacion deMaxwell resulta

rot rot ~A = µ~+ µǫ

(

−∇∂V

∂t− ∂2 ~A

∂t2

)

.

Ahora usamos la definicion de laplaciano vectorial:

∇ div ~A−∆ ~A = µ~− µǫ∇∂V

∂t− µǫ

∂2 ~A

∂t2(15.59)

Las ecuaciones (15.58) y (15.59) se pueden simplificar notablemente si te-

nemos en cuenta que ~A esta determinado unicamente por su rotacional, y elteorema 12.21 nos permite elegir su divergencia. Una buena eleccion es

div ~A = −µǫ∂V∂t. (15.60)

Esta ecuacion se conoce como condicion de Lorentz y tiene una interpretacionen la teorıa de la relatividad. Sustituyendola en las ecuaciones que hemos ob-tenido resultan dos formulas simetricas:

∆V − µǫ∂2V

∂t2= −ρ

ǫ(15.61)

∆ ~A− µǫ∂2 ~A

∂t2= −µ~ (15.62)

Estas ecuaciones determinan los potenciales V y ~A a partir de ρ y ~, y a suvez los potenciales determinan los campos ~E y ~B a traves de las ecuaciones

~B = rot ~A, ~E = −∇V − ∂ ~A

∂t.

Los campos ~E y ~B satisfacen ecuaciones similares a (15.61) y (15.62). Para

obtener la de ~E tomamos gradientes en la primera ecuacion de Maxwell y apli-camos la definicion del laplaciano vectorial:

∆ ~E + rot rot ~E =1

ǫ∇ρ.


Aplicamos la tercera ecuacion y despues la cuarta:

∆ ~E − ∂

∂trot ~B =

1

ǫ∇ρ,

∆ ~E − µ

(

∂~

∂t+∂2 ~D

∂t2

)

=1

ǫ∇ρ.

De aquı llegamos a

∆ ~E − µǫ∂2 ~E

∂t2=

1

ǫ∇ρ+ µ

∂~ı

∂t. (15.63)

Un razonamiento similar nos da

∆ ~H − µǫ∂2 ~H

∂t2= − rot~. (15.64)

Las ecuaciones en derivadas parciales (15.61), (15.62), (15.63) y (15.64) sediferencian unicamente en el termino independiente (el que no contiene a la

incognita V , ~A, ~E o ~H). Ello hace que su resolucion pueda ser estudiada engeneral, cosa que haremos en el capıtulo siguiente. Notemos, no obstante, quesi las magnitudes son invariantes con el tiempo todas ellas son ecuaciones dePoisson, que ya sabemos resolver, y nos llevan a los resultados de las seccionesanteriores.

Energıa electromagnetica Apliquemos la relacion (10.10) a los campos ~E

y ~H , es decir:

div( ~E × ~H) = (rot ~E) ~H − ~E(rot ~H).

Si lo aplicamos a los campos ~E y ~H , las ecuaciones de Maxwell implican

div( ~E × ~H) = − ~H∂ ~B

∂t− ~E

∂ ~D

∂t− ~E~ = −∂

∂t

µ ~H2

2− ∂

∂t

ǫ ~E2

2− ~E~.

Fijado un volumen Ω, podemos aplicar el teorema de la divergencia:

∂

∂t

∫

Ω

(

µ ~H2

2+ǫ ~E2

2

)

dm+

∫

Ω

~E~ dm = −∫

∂Ω

dΦ( ~E × ~H) (15.65)

Observemos que si sobre un objeto de masa m que se mueve con velocidad~v actua una fuerza ~F , su energıa cinetica es (1/2)mv2, luego la variacion deesta energıa es mva = vF . En nuestro caso, si llamamos ~v a la velocidad delas cargas en cada punto (y recordando que dm es el elemento de volumen), se

cumple ~E~ dm = ~Eρ~v dm = ~E~v dq = ( ~E + ~v × ~B)~v dq = ~v d~F , luego el segundotermino del primer miembro de la igualdad anterior es el aumento de energıacinetica del fluido electrico producido por el campo electromagnetico.


Esto nos lleva a definir la energıa potencial electromagnetica acumulada enun volumen Ω como

E =

∫

Ω

(

µ0~H2

2+ǫ0 ~E

2

2

)

dm

De este modo, la relacion anterior es una ley de conservacion: si tomamosΩ suficientemente grande como para que los campos sean nulos en su frontera,tenemos que la energıa total (cinetica mas potencial) permanece constante. Mas

en general, el vector ~P = ~E × ~H recibe el nombre de vector de Poynting, y suflujo a traves de una superficie nos da la energıa electromagnetica que sale deella por unidad de tiempo. La variacion de la energıa (o el trabajo realizadopor unidad de tiempo) se mide en vatios. (W = J/s). Las unidades del vectorde Poynting son, pues, W/m2.

Capıtulo XVI

La ecuacion de ondas

Dedicamos este capıtulo a estudiar una ecuacion en derivadas parciales (o,mejor dicho, una familia de ellas). Para ello conviene definir el operador d’alem-bertiano (n-dimensional) como

vu =∂2u

∂t2− v2∆u =

∂2u

∂t2− v2

(

∂2u

∂x21+ · · ·+ ∂2u

∂x2n

)

,

donde u es una funcion de n + 1 variables con valores reales.1 La ecuacion deondas o ecuacion!de D’Alembert es la ecuacion

vu = w,

para cualquier funcion w(x1, . . . , xn, t).

Por ejemplo, llamando c = 1/√ǫµ, las ecuaciones (15.61), (15.62), (15.63) y

(15.64) son equivalentes a las ecuaciones de ondas siguientes:

cV =c2ρ

ǫ, (16.1)

c~A = c2µ~, (16.2)

c~E = −c

2

ǫ∇ρ− c2µ

∂~

∂t, (16.3)

c~H = c2 rot~. (16.4)

Observemos que en las regiones donde no hay cargas ni corrientes electricaslos miembros derechos de las ecuaciones anteriores son nulos.

Es facil ver que las unidades de ǫ son C2/Nm2 y las de µ son Ns2/C2, por loque las de c son m/s, y por consiguiente, en algun sentido, c es una velocidad.En el vacıo su valor es, aproximadamente,

c ≈√

36π · 1094π · 10−7

= 3 · 108m/s = 300 000 km/s.

1En el caso en que u : D ⊂ R4 −→ R3 podemos definir vu analogamente usando ellaplaciano vectorial en lugar del escalar, y entonces es claro que vu = (vu1,vu2,vu3).

241

242 Capıtulo 16. La ecuacion de ondas

Esta es aproximadamente la velocidad de la luz. Maxwell fue el primero enexplicar la naturaleza de la luz en terminos del electromagnetismo. Luego en-traremos en ello, pero de momento adelantamos que en realidad c es exactamentela velocidad de la luz, por lo que su valor real es c = 299 792 458m/s (y el va-lor es exacto porque es el que se usa actualmente para definir el metro). Porconsiguiente, la relacion c = 1/

√ǫ0µ0 nos permite calcular el valor exacto de ǫ0:

ǫ0 =1

µ0c2=

1

4π · 10−7 299 792 4582= 8.8541878176 . . . · 10−12.

Pero cuando Maxwell llego a las ecuaciones de ondas precedentes este tipode ecuacion era ya muy conocido entre los fısicos, ası que antes de continuareste analisis estudiaremos otros contextos mas elementales en los que aparecenecuaciones de ondas.

16.1 La ecuacion de ondas en fenomenos fısicos

16.1.1 Cuerdas vibrantes

Si apartamos una cuerda de una guitarra de su posicion de equilibrio yla soltamos, la cuerda inicia un movimiento vibratorio. Vamos a estudiar lasmatematicas subyacentes a dicho movimiento. Para ello tomamos un sistemade referencia respecto del cual la cuerda en equilibrio se extienda sobre el eje x,digamos desde x = 0 hasta x = l. En principio, la posicion de la cuerda en uninstante t vendra descrita por una curva (x(s, t), y(s, t)), pero vamos a considerarunicamente pequenos desplazamientos respecto de la posicion de equilibrio, porlo que podemos suponer que cada punto se mueve unicamente en vertical, yası podemos tomar como parametro s la coordenada x y describir la cuerdamediante una unica funcion y(x, t).

Suponemos tambien que la cuerda tiene densidad lineal constante ρ, de modoque la masa de un fragmento de cuerda de longitud ∆x es ρ∆x. En principio,si estiramos ligeramente la cuerda, su longitud aumenta ligeramente, por lo quela densidad disminuye ligeramente, pero podemos despreciar dicha variacion dedensidad y suponer que ρ es constante en el tiempo.

Vamos a aplicar la segunda ley de Newton a un fragmento arbitrario decuerda, el comprendido entre x0 y x1. Por una parte, su cantidad de movimientoes

L =

∫ x1

x0

v dm =

∫ x1

x0

ρ∂y

∂tdx.

Por otra parte, sobre cada fragmento de cuerda actuan dos clases de fuerzas(de las que solo nos interesa su componente vertical, pues al suponer que cadapartıcula de cuerda se mueve en vertical estamos suponiendo que la componentehorizontal de la fuerza total que actua sobre la cuerda es nula en cada punto):las fuerzas de largo alcance (gravedad, rozamiento, etc.) que pueden describirsea traves de una funcion f de densidad de fuerza, que puede depender de laposicion (x, y) y tambien de la velocidad ∂y/∂t, de modo que la (componente

16.1. La ecuacion de ondas en fenomenos fısicos 243

vertical de la) fuerza total de largo alcance que actua sobre el fragmento decuerda es

∫ x1

x0

ρf dx,

y las fuerzas de corto alcance, que son lo que se conoce como tension de lacuerda, y es la fuerza que el resto de la cuerda ejerce sobre los extremos decualquier fragmento considerado. El hecho de que la cuerda sea flexible (poroposicion a lo que le sucederıa a una barra rıgida) equivale a que la tension seejerce en la direccion tangente a la cuerda. Esto hace que la tension en cadapunto venga determinada por una funcion escalar T (x, t), de modo que la fuerzaque se ejerce en cada extremo del segmento es2

−T (x0, t)~τ (x0, t), T (x1, t)~τ (x1, t),

respectivamente, donde

0 x0 x1 l

f

−T~τ T~τ~τ (x, t) =

1√

1 + (∂y/∂x)2

(

1,∂y

∂x

)

es el vector tangente a la cuerda en x.

En definitiva, la (componente vertical de la) fuerza total que actua sobre unfragmento de cuerda es

F = −T (x0, t)1

√

1 + (∂y/∂x|x0)2

∂y

∂x

∣

∣

∣

∣

x0

+T (x1, t)1

√

1 + (∂y/∂x|x1)2

∂y

∂x

∣

∣

∣

∣

x1

+

∫ x1

x0

ρf dx.

La segunda ley de Newton afirma que esta fuerza debe ser igual a la derivadade la cantidad de movimiento:

∂L

∂t=

∫ x1

x0

ρ∂2y

∂t2dx.

A partir de aquı consideramos a x0 como un punto fijo y a x1 = x como unpunto variable. En la igualdad F = ∂L/∂t derivamos respecto de x y obtenemos

∂

∂x

(

T√

1 + (∂y/∂x)2∂y

∂x

)

+ ρf = ρ∂2y

∂t2.

Ahora vamos a hacer dos simplificaciones adicionales: la primera es con-siderar que T es constante (es decir, que no depende ni de la posicion de lacuerda ni del tiempo). Esto serıa falso, por ejemplo, si la cuerda esta en po-sicion vertical y tenemos en cuenta su peso. Entonces la tension serıa mayor

2La tension es, en este contexto unidimensional, el equivalente a la presion en la mecanicade fluidos, y el hecho de que la cuerda sea flexible (y, por consiguiente, la tension sea unafuerza tangencial) es el equivalente a considerar un fluido ideal, sin viscosidad.


en los puntos mas altos de la cuerda. Ahora bien, si ponemos una guitarra envertical, la fuerza que tensa una de sus cuerdas es mucho mayor que el pesode un fragmento cualquiera de la cuerda, por lo que la variacion de la tensiondebida al peso es insignificante. Al desplazar la cuerda respecto de su posicionde equilibrio (por ejemplo con un dedo) tambien se producen variaciones localesde la tension, pero si la cuerda esta muy tensa, todas ellas son despreciables.En segundo lugar supondremos que la cuerda en movimiento no dejara de es-tar “casi en posicion horizontal”, de modo que no le surgiran grandes picos ograndes depresiones. Equivalentemente, la pendiente de la curva y(x) (es decir,su derivada) va a ser siempre proxima a 0, luego su cuadrado sera todavıa masproximo a cero, lo que nos permite reducir la ecuacion anterior a

T∂2y

∂x2+ ρf = ρ

∂2y

∂t2

o, equivalentemente, a∂2y

∂t2− T

ρ

∂2y

∂x2= f,

o tambien vy = f , donde v =√

T/ρ, con lo que hemos llegado a una ecuacionde ondas unidimensional, al menos si f depende unicamente de x (no serıarazonable considerar que depende de t). Si queremos tener en cuenta el roza-miento de la cuerda con el aire, esta es proporcional a la velocidad, por lo quela ecuacion serıa de la forma

vy = f − k∂y

∂t,

donde ahora f representa a la densidad de fuerza de largo alcance no asociada alrozamiento, y la ecuacion es lo que se conoce como ecuacion de ondas atenuada.Aquı vamos a despreciar tanto el rozamiento como el efecto de la gravedad sobrela cuerda, lo que nos lleva al caso siguiente:

Ecuacion homogenea unidimensional Vamos a resolver la ecuacion

∂2u

∂t2− v2

∂2u

∂x2= 0. (16.5)

Para ello hacemos el cambio ξ = x + vt, η = x − vt y llamamos u(ξ, η) a lacomposicion de u(x, t) con el cambio inverso. Aplicando la regla de la cadenatenemos

∂u

∂t= v

∂u

∂ξ− v

∂u

∂η,

∂u

∂x=

∂u

∂ξ+

∂u

∂η,

∂2u

∂t2= v2

∂2u

∂ξ2− 2v2

∂2u

∂ξ∂η+ v2

∂2u

∂η2,

∂2u

∂x2=

∂2u

∂ξ2+ 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2.


Al sustituir estas derivadas en la ecuacion de ondas esta se reduce a

∂2u

∂ξ∂η= 0. (16.6)

Esto significa que la derivada de u respecto de η ha de ser una funcion f(ξ)que no dependa de η. Por consiguiente

u =

∫ η

η0

f(s) ds+ f1(ξ) = f1(ξ) + f2(η).

Recıprocamente, cualquier funcion de la forma u(ξ, η) = f1(ξ) + f2(η), paraciertas funciones f1 y f2 de clase C2, es solucion de (16.6). Deshaciendo elcambio de variable, concluimos que las soluciones de la ecuacion de ondas sontodas las funciones de la forma

u(x, y) = f1(x+ vt) + f2(x− vt). (16.7)

Ahora veamos que la ecuacion tiene solucion unica si especificamos arbitra-riamente los valores de u y de su derivada respecto a t en un instante dado, esdecir, vamos a probar que el problema siguiente tiene solucion unica u(x, t):

∂2u

∂t2= v2

∂2u

∂x2

u(x, 0) = φ(x)∂u

∂t(x, 0) = ψ(x)

(16.8)

Para que una solucion u dada por (16.7) satisfaga las condiciones inicialesha de cumplir

f1(x) + f2(x) = φ(x)

vf ′1(x)− vf ′

2(x) = ψ(x)

De la segunda ecuacion deducimos

f1(x)− f2(x) =1

v

∫ x

x0

ψ(s) ds+ C,

y ahora resolviendo el sistema lineal de incognitas f1(x) y f2(x) obtenemos

f1(x) =1

2φ(x) +

1

2v

∫ x

x0

ψ(s) ds+C

2

f2(x) =1

2φ(x) − 1

2v

∫ x

x0

ψ(s) ds− C

2

Entonces (16.7) se convierte en

u(x, t) =φ(x + vt) + φ(x − vt)

2+

1

2v

∫ x+vt

x−vtψ(s) ds. (16.9)


Esta formula indica que el valor u(x, t) es el promedio de los valores quetomaba u para t = 0 en los puntos x±vt mas el promedio de la velocidad inicialen el intervalo [x − vt, x + vt] multiplicado por t. Recıprocamente, la situacioninicial en un punto x0 afecta en cada instante t a los puntos que distan de x0un maximo de vt. Ası pues, la constante v es la velocidad con que se expandeel radio de influencia del estado inicial de cada punto sobre el estado de u.

La figura muestra los valores de u paratiempos distintos a partir del estado inicialdeterminado por una funcion φ en forma decresta (la grafica mas alta) y velocidades nu-las (ψ = 0). Vemos como la cresta se vaachatando por el centro hasta dividirse endos crestas menores, una que se mueve haciala izquierda y otra hacia la derecha, ambascon velocidad v. Desde el punto de vista de una posicion fija alejada de la per-turbacion inicial, la funcion u comienza siendo nula, en un momento dado (trasel tiempo necesario para que el frente de onda llegue al punto) u comienza acrecer hasta llegar a un valor maximo y luego vuelve a decrecer hasta hacersenula de nuevo. De existir una velocidad inicial ψ, digamos de soporte compactoy con integral no nula, su efecto sobre los puntos alejados es permanente, en elsentido de que para tiempos t suficientemente grandes u terminara tomando elvalor de dicha integral.

Vibracion de una cuerda Es evidente que si ponemos dos dedos sobre unacuerda tensa, delimitando en ella un segmento, estiramos del punto medio paraque adquiera una forma similar a la cresta mas alta de la figura anterior y luegoretiramos los dedos, el comportamiento de la cuerda no va a ser transformaresa cresta en dos crestas que se alejen a velocidad v. Ello se debe a que estasolucion de la ecuacion de ondas no cumple la condicion de que los extremos dela cuerda tienen que permanecer fijos. Para obtener una solucion que describarazonablemente el movimiento de una cuerda vibrante tenemos que resolver elproblema

∂2y

∂t2= v2

∂2y

∂x2

y(x, 0) = y0(x)∂y

∂t(x, 0) = y′0(x)

y(0, t) = 0y(l, t) = 0

(16.10)

donde l es la longitud de la cuerda y, en las condiciones iniciales, x varıa en elintervalo [0, l].

Empezamos buscando soluciones con las variables separadas, es decir, de laforma y(x, t) = φ(x)ψ(t) (de modo que φ(0) = φ(l) = 0). Al sustituir en laecuacion obtenemos

φ(x)ψ′′(t) = v2φ′′(x)ψ(t),


luego1

v2ψ′′(t)

ψ(t)=φ′′(x)

φ(x).

Como cada miembro depende de una variable distinta, ambos tienen que tomarun valor fijo −λ (que enseguida veremos que es negativo). Por lo tanto,

φ′′(x) = −λφ(x), ψ′′(t) = −λv2ψ(t).

Si fuera λ < 0, la solucion de la primera ecuacion diferencial serıa de laforma (7.2) con a = 0, es decir,

φ(x) =φ′(0)√−λ

senh(√−λx),

donde hemos usado que φ(0) = 0, pero esta funcion no puede cumplir φ(l) = 0.Ası pues, tiene que ser λ > 0, y entonces, de acuerdo con (7.3), la solucion es

φ(x) = K sen(√λx)

La condicion φ(l) = 0 obliga a que√λ = nπ/l, donde no perdemos generalidad

si suponemos n > 0. Para ψ no tenemos condiciones de frontera (pero ahora yasabemos que λ > 0, luego tiene que ser

ψ(t) = A cosnπvt

l+B sen

nπvt

l.

En total concluimos que las soluciones con variables separadas son de la forma

yn(x, t) = An sennπx

lcos

nπvt

l+Bn sen

nπx

lsen

nπvt

l.

A su vez, esto nos lleva a considerar soluciones generales de la forma

y(x, t) =

∞∑

n=1

(

An sennπx

lcos

nπvt

l+Bn sen

nπx

lsen

nπvt

l

)

. (16.11)

Ası, haciendo t = 0 queda

y0(x) =

∞∑

n=1

An sennπx

l,

luego los coeficientes An son necesariamente los coeficientes de Fourier bn de lafuncion y0 extendida al intervalo [−l, l] mediante y0(−x) = −y0(x), es decir,

An =2

l

∫ l

0

y0(x) sennπx

ldx.

Observemos que si y0 ≥ 0, es decir, si el desplazamiento inicial se hace haciaun mismo lado, entonces A1 6= 0. Por otra parte, para cada x fijo tenemos unaserie de Fourier en t, y al derivarla queda

y′0(x) =∞∑

n=1

nBnπvt

lsen

nπx

l,


lo que determina a su vez los coeficientes Bn a partir de los coeficientes deFourier de la funcion y′0. En particular, si la cuerda parte del reposo los Bn sontodos nulos. Puede probarse que (16.11) con los coeficientes ası determinadoses la unica solucion de (16.10), aunque no vamos a demostrarlo aquı.

Vemos que cada punto de la cuerda oscila periodicamente con una amplitudvariable, pero con periodo 2l/v o, equivalentemente, con frecuencia

ν =v

2l=

1

2l

√

T

ρ.

Observemos que esta frecuencia de vibracion es independiente de la deformacioninicial que sufra la cuerda. El aire transmite fielmente las vibraciones y, si lafrecuencia se encuentra en el rango de entre 20 y 20 000Hz, el oıdo humano laspercibe como sonidos. Cuando las vibraciones son periodicas, como en este caso,la frecuencia es captada como el tono del sonido (otras vibraciones irregularesse perciben como ruido, sin un tono definido). Cuanto mayor es la frecuenciamas agudo se percibe el sonido, de modo que, segun la formula precedente,este es mas agudo cuanto mas corta es la cuerda o mas tensa esta. El tonocorrespondiente a 240Hz se toma como referencia en la afinacion musical parala nota “la central” (el “la” mas proximo al centro del teclado de un piano).Ası pues, el tono de un sonido depende unicamente del primer termino de laserie (16.11), pero el oıdo humano tambien es sensible a los terminos siguientes(que corresponden a vibraciones cuya frecuencia es multiplo de la frecuenciafundamental que define el tono), pues son los que determinan el timbre delsonido.

Ejemplo Consideremos una cuerda de longitud l y supongamos que la des-plazamos una distancia h (pequena) por su punto medio, de modo que toma laforma dada por la funcion

y0(x) =

2hl x si 0 ≤ x ≤ l/2,2hl (l − x) si l/2 ≤ x ≤ l.

Entonces

An =2

l

(

∫ l/2

0

2h

lx sen

nπx

ldx+

∫ l/2

0

2h

l(l − x) sen

nπx

ldx

)

,

y un calculo rutinario muestra que

An =

8h

n2π2sen

nπ

2si n es impar,

0 si n es par.

Por consiguiente, la vibracion de la cuerda viene descrita por la funcion

y(x, t) =8h

π2

∞∑

n=0

1

(2n+ 1)2sen

(2n+ 1)π

2sen

(2n+ 1)πx

lcos

(2n+ 1)πvt

l.


La forma de la cuerda en cada instante t tiene forma trapezoidal. La figurasiguiente muestra tres posiciones correspondientes a una vibracion de 240Hz,correspondientes a los instantes t = 0, t = 0.0005 y t = 0.0015.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-0.1

0.1

Las graficas siguientes muestran la posicion en funcion del tiempo del puntocentral de la cuerda (x = 0.5) y la del punto x = 0.1 durante las cinco primerascentesimas de segundo:

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-0.10

-0.05

0.05

0.10

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-0.10

-0.05

0.05

0.10

Es facil ver que esta solucion es de la forma (16.7) con ψ = 0 y tomando comoφ la extension de y0 que es impar en [−l, l] y periodica de periodo 2l. De hecho,es facil probar que (16.10) tiene siempre solucion probando que la solucion delproblema (16.8) que resulta de extender de este modo las condiciones inicialesde (16.10) es siempre una solucion de (16.10). La prueba de la unicidad es masdelicada.

16.1.2 Membranas vibrantes

El equivalente bidimensional de la cuerda de una guitarra es la membranade un tambor. Vamos a probar que su movimiento (con algunas simplificacio-nes razonables) viene descrito por una ecuacion de ondas bidimensional. Lasituacion es analoga a la de la cuerda: ahora suponemos que la membrana enequilibrio esta sobre el plano z = 0 y vamos a suponer que, en su movimiento,cada punto oscila verticalmente, de modo que la membrana en un instante t estadeterminada por la funcion z(x, y, t) que determina la altura del punto que enreposo tenıa coordenadas (x, y, z) = (x, y, 0). Ahora consideramos una densidadsuperficial ρ que tomamos constante, de modo que la masa de un fragmento demembrana de area A es ρA, y ası la cantidad de movimiento de un fragmentoS de membrana en un instante dado es

L =

∫

S

v dm =

∫

S

ρ∂z

∂tdσ.

Igualmente consideramos fuerzas de largo alcance determinadas por unafuncion de densidad f , de modo que la (componente vertical de la) fuerza de


largo alcance que actua sobre un fragmento S de membrana es

F =

∫

S

ρf dσ

T ~τ × ~n

S~n~τ

y el punto mas delicado es que ahora la tension se ejercetangencialmente a la superficie y normalmente a ∂S. Masconcretamente, la tension en un punto de ∂S es

T ~τ × ~n,

donde ~τ es el vector tangente unitario a ∂S en el punto considerado y ~n es el vec-tor normal a la superficie (x, y, z(x, y, t)), donde las orientaciones se tienen queescoger de modo que el producto vectorial apunte hacia fuera del fragmento S.Como en el caso de la cuerda, supondremos que T es constante. Si llamamos~k = (0, 0, 1), la componente vertical de la tension es

T (~τ × ~n) · ~k = T (~n× ~k) · ~τ.

Ası la fuerza total que actua (verticalmente) sobre un fragmento de membranaS es

F =

∫

∂S

T (~n× ~k) · ~τ ds+∫

S

fρ dσ.

La segunda ley de Newton afirma que

∫

∂S

T (~n× ~k) · ~τ ds+∫

S

fρ dσ =

∫

S

ρ∂2z

∂t2dσ.

Recordemos que, en general, ~F · ~τ ds = ~F d~r, por lo que podemos aplicar elteorema de Stokes a la primera integral, y ası obtenemos que

∫

S

T rot(~n× ~k) · ~ndσ +

∫

S

fρ dσ =

∫

S

ρ∂2z

∂t2dσ.

Como esto tiene que valer para todo fragmento de membrana S, podemosconcluir que

T rot(~n× ~k) · ~n+ fρ = ρ∂2z

∂t2.

Ahora bien: un vector normal a la superficie (x, y, z(x, y)) es

(1, 0,∂z

∂x)× (1, 0,

∂z

∂y) = (− ∂z

∂x,−∂z

∂y, 1),

luego

~n =1

√

(∂z/∂x)2 + (∂z/∂y)2 + 1(− ∂z

∂x,−∂z

∂y, 1).

En este punto usamos que, al igual que sucedıa en el caso de la cuerda, lasvibraciones de la membrana no van a provocar grandes picos o depresiones,


por lo que las derivadas de z van a estar siempre proximas a 0, y en estascircunstancias podemos aproximar

~n ≈ (− ∂z

∂x,−∂z

∂y, 1).

Ası

~n× ~k ≈ (−∂z∂y,∂z

∂x, 0), rot(~n× ~k) ≈ (0, 0,

∂2z

∂2x+∂2z

∂2y),

rot(~n× ~k) · ~n =∂2z

∂2x+∂2z

∂2y,

y en definitiva, la ecuacion que determina el movimiento de la membrana es

T (∂2z

∂2x+∂2z

∂2y) + fρ = ρ

∂2z

∂t2


vz =∂2z

∂t2− T

ρ(∂2z

∂2x+∂2z

∂2y) = f,

donde v =√

T/ρ. Llegamos, pues, a una ecuacion de ondas bidimensionalanaloga a la que hemos obtenido para la cuerda vibrante.

No vamos a analizar en general la existencia y unicidad para la ecuacion bi-dimensional porque podremos deducirlas de los resultados analogos que veremosdespues para la ecuacion tridimensional. Nos limitaremos a estudiar la vibracionde una membrana rectangular. Como en el caso de la cuerda, despreciamos lagravedad (y el rozamiento), con lo que la ecuacion se reduce a vz = 0. Masprecisamente, si consideramos un rectangulo [0, a]× [0, b], el problema es:

∂2z

∂t2= v2

(

∂2z

∂x2+∂2z

∂y2

)

z(x, y, 0) = z0(x, y)∂z

∂t(x, y, 0) = z′0(x, y)

z(0, y, t) = 0z(a, y, t) = 0z(x, 0, t) = 0z(x, b, t) = 0

En primer lugar buscamos soluciones con variables separadas, es decir, de laforma z(x, y, t) = f(x)g(y)h(t). Al sustituir en la ecuacion de ondas obtenemos

f(x)g(y)h′′(t) = v2(f ′′(x)g(y)h(t) + f(x)g′′(y)h(t)),

luego1

v2h′′

h=f ′′

f+g′′

g= −λ,


donde λ es necesariamente constante, y ası

f ′′

f= −λ− g′′

g= −µ,

donde µ tambien tiene que ser constante, lo que a su vez implica que

f ′′ = −µf, g′′ = −(λ− µ)g, h′′ = −λv2h.

Ademas tenemos las condiciones f(0) = f(a) = 0, g(0) = g(b) = 0. Como en elcaso de la cuerda vibrante, estas condiciones obligan a que µ > 0 y λ − µ > 0,luego tambien λ > 0. A su vez, de aquı se deduce que

f(x) = K sen(nπx

a), con µn = (nπ/a)2.

Por consiguiente,

g(y) = L sen(mπy

b

)

, con λnm − µn = (mπ/b)2.

Finalmente,

h(t) = A cos(v√

λnm t) +B sen(v√

λnm t).

En definitiva, hemos encontrado las soluciones de la forma:

znm(x, y, t) = Anm sen(nπx

a) sen(

mπy

b) cos(v

√

λnm t) +

Bnm sen(nπx

a) sen(

mπy

b) sen(v

√

λnm t),

donde

λnm =(nπ

a

)2

+(mπ

b

)2

.

Las condiciones iniciales pueden satisfacerse considerando soluciones de la forma

z(x, y, t) =

∞∑

m,n=1

(

Anm sen(nπx

a) sen(

mπy

b) cos(v

√

λnm t)

+ Bnm sen(nπx

a) sen(

mπy

b) sen(v

√

λnm t))

.

En efecto, tenemos que

z0(x, y) =

∞∑

m,n=1

Anm sen(nπx

a) sen(

mπy

b).

Esto implica que, para cada 0 ≤ x ≤ a y cada m ≥ 1

∞∑

n=1

Anm sennπx

a=

2

b

∫ b

0

z0(x, y) senmπy

bdy


es el coeficiente de Fourier m-simo de la funcion z0(x,−) extendida al intervalo[−b, b] mediante z0(x,−y) = −z0(x, y). A su vez,

Anm =2

a

∫ a

0

(

2

b

∫ b

0

z0(x, y) senmπy

bdy

)

sennπx

adx


Anm =4

ab

∫

[0,a]×[0,b]

z0(x, y) sennπx

asen

mπy

bdx dy.

Similarmente se puede justificar que

z′0(x, y) =∞∑

m,n=1

v√

λnmBnm sennπx

asen

mπy

b,

de donde

v√

λnmBnm =4

ab

∫

[0,a]×[0,b]

z′0(x, y) sennπx

asen

mπy

bdx dy.

Como en el caso de la cuerda vibrante, puede probarse que estos coeficientesdeterminan la unica solucion posible del problema, pero no vamos a entraren ello. La figura siguiente muestra la funcion z1,1(x, y, 0) para el cuadradounitario:

16.1.3 Ondas en fluidos

Consideremos un fluido ideal globalmente en reposo, es decir, tal que enel no se manifieste ningun flujo macroscopico. Esto no supone necesariamenteque se encuentre completamente en reposo sino que, por el contrario, vamos asuponer que sus partıculas describen pequenas oscilaciones cuya contribucion almovimiento global del fluido es practicamente nula. En particular, suponemosque tanto las coordenadas del campo de velocidades ~v como las de la matriz ∇~vtoman valores pequenos.

Supondremos tambien que la presion y la densidad del fluido son aproxima-damente constantes en todos los puntos del fluido. Lo primero supone despreciar


la accion de cualquier fuerza externa (pues una fuerza externa no despreciableproducirıa diferencias significativas de presion en los distintos puntos del fluido),y ası la ecuacion de Euler (11.4) se reduce a

∂~v

∂t+ ~v · ∇~v = −∇p

ρ.

De aquı se sigue que no podemos suponer literalmente que la presion sea cons-tante, ya que entonces la derivada total de la velocidad serıa nula, lo cual sig-nifica que cada partıcula de fluido mantendrıa constante su velocidad, y nosencontrarıamos ante un movimiento de flujo macroscopico, en lugar de ante unmovimiento vibratorio microscopico.

Ası pues, las pequenas fluctuaciones locales de la velocidad de un fluidoestan asociadas necesariamente a pequenas fluctuaciones de la presion y, segunexplicaremos enseguida, tambien a pequenas fluctuaciones de la densidad. Porello representaremos la presion y la densidad del fluido como p = p0 + p′ yρ = ρ0 + ρ′, donde p0 y ρ0 son constantes (los valores medios de la presion y ladensidad, respectivamente), y p′, ρ′ son funciones de la posicion y del tiempoque toman valores muy pequenos en comparacion con p0 y ρ0.

El modelo termodinamico mas simple que relaciona la presion, la densidady la temperatura de un fluido es el correspondiente a un gas ideal, para el quese cumple que p = kρT , donde k es una constante que depende de la naturalezaquımica del gas. En particular, si suponemos la temperatura constante, lasvariaciones de presion estan asociadas a variaciones de densidad.

Mas en general, si consideramos un fluido arbitrario para el que la presiony la densidad fluctuan alrededor de unos valores medios p0 y ρ0, a la hora deanalizar estas fluctuaciones es razonable suponer la relacion lineal derivada dela aproximacion de primer orden:

dp =∂p

∂ρdρ,

donde la derivada parcial puede suponerse constante (igual a su valor para ladensidad media ρ0). Ası, un fluido incompresible no es sino un fluido para elque esta derivada es muy grande, de modo que cualquier variacion razonable dela presion da lugar a una variacion inapreciable de la densidad. Con la notacionque hemos introducido anteriormente, tenemos que

p′ =∂p

∂ρρ′, (16.12)

y suponemos que la derivada es constante.

Bajo estas condiciones es razonable simplificar las ecuaciones que determinanel movimiento del fluido eliminando los terminos de segundo orden, es decir, losterminos en los que se multiplican dos de las cantidades que estamos suponiendopequenas. Ası, la ecuacion de continuidad

∂ρ′

∂t+ ~v · ∇ρ′ + ρ0div~v + ρ′div~v = 0.


se reduce a∂ρ′

∂t+ ρ0 div~v = 0,

y la relacion entre p′ y ρ′ la reduce a su vez a

∂p′

∂t+ ρ0

∂p

∂ρdiv~v = 0. (16.13)

Similarmente, la ecuacion de Euler es

∂~v

∂t+ ~v · ∇~v = − 1

ρ0 + ρ′∇p′.

Expandiendo

1

ρ0 + ρ′=

1

ρ0

1

1 + ρ′/ρ0=

1

ρ0

(

1− ρ′

ρ0+

(

ρ′

ρ0

)2

+ · · ·)

.

y aplicando el mismo criterio de aproximacion, la ecuacion se reduce a

∂~v

∂t= − 1

ρ0∇p′. (16.14)

Derivamos (16.13) respecto de t y calculamos la divergencia de (16.14):

∂2p′

∂t2+ ρ0

∂p

∂ρdiv

∂

∂t~v = 0, div

∂~v

∂t= − 1

ρ0∆p′.

Al unir ambas ecuaciones obtenemos

cp′ =

∂2p′

∂t2− ∂p

∂ρ∆p′ = 0,

donde c =√

∂p/∂ρ. Equivalentemente, podemos obtener una ecuacion de ondasanaloga para la densidad en lugar de la presion.

Estas pequenas variaciones de presion (o de densidad) en un fluido son loque —dentro de ciertos umbrales— el oıdo humano percibe como sonidos. Ob-viamente, no es necesario que un fluido este en reposo para que a traves de else propague el sonido, y ademas el sonido puede propagarse tambien a travesde solidos. Aquı nos hemos limitado a probar que en un fluido en reposo lapropagacion del sonido satisface aproximadamente la ecuacion de ondas (tridi-mensional). Ası pues, conocemos ya dos fenomenos fısicos distintos que puedendescribirse mediante la ecuacion de ondas tridimensional: las variaciones de loscampos electrico y magnetico en el espacio y las pequenas variaciones de presiony densidad en un fluido. Cabe destacar que en el caso de los campos electricoy magnetico la ecuacion de ondas es exacta, es decir, hemos llegado a ella apartir de las ecuaciones de Maxwell sin que medie ninguna aproximacion en ladeduccion. Como hemos adelantado, determinadas soluciones de la ecuacionde ondas para los campos electrico y magnetico describen describen las llama-das ondas electromagneticas, que —dentro de ciertos umbrales— son lo que elojo humano percibe como luz. Pasamos, pues, a estudiar las soluciones de laecuacion de ondas tridimensional.


16.2 La ecuacion de ondas tridimensional

A continuacion nos ocupamos del problema

∂2u

∂t2= v2∆u

u(x, 0) = φ(x)∂u

∂t(x, 0) = ψ(x)

donde ahora x ∈ R3. Es natural conjeturar que una solucion de esta ecuacionvendra dada por una formula que generalice de algun modo a (16.9). El primertermino de (16.9) es la media de los valores iniciales de u en los puntos x±vt, porlo que es razonable conjeturar que en el caso tridimensional aparecera la mediadel estado inicial de u sobre la esfera de centro x y radio vt. Por ello convieneintroducir la media esferica de una funcion u : R3 −→ R como la funcion

M(u)(x, r) =1

4πr2

∫

‖y−x‖=ru(y) dσ(y) =

1

4π

∫

‖ξ‖=1

u(x+ rξ) dσ(ξ),

donde σ representa la medida de Lebesgue en la esfera de radio r en la primeraintegral y en la esfera de radio 1 en la segunda.

Para justificar el cambio de variable consideramos la aplicacion f(ξ) = x+rξy observamos que el plano tangente a la esfera de centro x y radio r en un puntox+rξ coincide con el plano tangente a la esfera de centro 0 y radio 1 en el puntoξ, y para todo par de vectores u, v en dicho plano.

f ♯(dσr)(ξ)(u, v) = dσr(x+ rξ)(ru, rv) = r2dσr(x + rξ)(u, v) = r2dσ1(ξ)(u, v),

pues dσr(x + rξ)(u, v) y dσ1(ξ)(u, v) son ambos el area del paralelogramo delados u y v. Por consiguiente f ♯(dσr) = r2dσ1 y basta aplicar el teorema 10.16.

Observemos que la segunda integral en la definicion de M(u) esta definidapara todo valor de r, no necesariamente positivo. De hecho es facil ver queM(u)(x, r) =M(u)(x,−r). Ademas M(u)(x, 0) = f(x).

La primera integral conecta directamente con el problema que estamos es-tudiando, pero la segunda es mas facil de manejar. Por ejemplo, nos permitecalcular la derivada

∂

∂rM(u)(x, r) =

1

4π

∫

‖ξ‖=1

∇u(x+ rξ)ξ dσ(ξ).

Notemos que ξ coincide con el vector normal unitario a la esfera en el puntoξ, luego la ultima integral es el flujo del campo ∇u(x+ rξ). Podemos aplicar elteorema de la divergencia y resulta:

∂

∂rM(u)(x, r) =

r

4π

∫

‖ξ‖<1

∆u(x+ rξ) dm(ξ) (16.15)

=1

4πr2

∫

‖y−x‖<r∆u(y) dm(y).

16.2. La ecuacion de ondas tridimensional 257

Supongamos ahora que u(x, t) es una solucion de la ecuacion de ondas. En-tonces las medias M(u)(x, r, t) tienen a t como parametro. Sustituyendo ∆upor el valor que da la ecuacion de ondas podemos continuar el calculo anterior(para r > 0):

∂

∂rM(u)(x, r, t) =

1

4πr2

∫

‖y−x‖<r

1

v2∂2u

∂t2(y, t) dm(y)

=1

4πr2v2

∫ r

0

∂2

∂t2

∫

‖y−x‖=ρu(y, t) dσ(y)dρ =

1

r2v2

∫ r

0

ρ2∂2M(u)

∂t2(x, ρ, t) dρ.

Ahora multiplicamos por r2 y derivamos respecto a r:

∂

∂r

(

r2∂M(u)

∂r

)

=r2

v2∂2M(u)

∂t2.

Claramente entonces

1

r

∂2rM(u)

∂r2=

1

r2∂

∂r

(

r2∂M(u)

∂r

)

=1

v2∂2M(u)

∂t2.

Si llamamos M(u) = rM(u) tenemos

∂2M(u)

∂r2=

1

v2∂2M(u)

∂t2,

es decir, la funcion M(u)(x, r, t), para un x fijo, cumple la ecuacion de ondasunidimensional. Vamos a considerar a t como variable espacial (la que en (16.5)era x) y a r como variable temporal (la que en (16.5) era t). Entonces laconstante de la ecuacion de ondas es 1/v y sabemos que

M(u)(x, r, t) = f1(x, t+ r/v) + f2(x, t− r/v),

pero tenemosM(u)(x, 0, t) = 0, luego f1(x, t)+f2(x, t) = 0. Ası pues, la soluciondepende de una unica funcion f(x, t) = f1(x, t) = −f2(x, t) y se cumple

M(u)(x, r, t) = f(x, t+ r/v)− f(x, t− r/v),

luego

M(u)(x, r, t) =1

r

(

f(t+ r/v)− f(t+ r/v))

.

Ahora trataremos de recuperar u(x, t) a partir de las medias M(u)(x, r, t).Para ello notamos que u(x, t) =M(u)(x, 0, t) = (2/v)f ′(x, t). Por otra parte

∂rM(u)

∂r+

1

v

∂rM(u)

∂t=

2

vf ′(x, t+ r/v),

con lo que

u(x, t) =2

vf ′(x, t) =

∂rM(u)

∂r(x, vt, 0) +

1

v

∂rM(u)

∂t(x, vt, 0).


Para derivar respecto de r podemos hacer primero t = 0, y ası

∂rM(u)

∂r(x, vt, 0) =

∂

∂r

(

1

4πr

∫

‖y−x‖=ru(y, 0) dσ(y)

)∣

∣

∣

∣

∣

(x,vt)

=∂rM(φ)

∂r(x, vt) =

∂

∂t

(

tM(φ)(x, vt))

.

Por otra parte,

∂rM(u)

∂t(x, vt, 0) =

(

1

4πr

∫

‖y−x‖=r

∂u

∂t(y, t) dσ(y)

)∣

∣

∣

∣

∣

(x,vt,0)

=

(

1

4πr

∫

‖y−x‖=rψ(y) dσ(y)

)∣

∣

∣

∣

∣

(x,vt)

=(

rM(ψ))

(x, vt) = vtM(ψ)(x, vt).

En total

u(x, t) =∂

∂t

(

tM(φ)(x, vt))

+ tM(ψ)(x, vt). (16.16)

Explıcitamente:

u(x, t) =∂

∂t

(

1

4πv2t

∫

‖y−x‖=vtφ(y) dσ(y)

)

+1

4πv2t

∫

‖y−x‖=vtψ(y) dσ(y).

Esto justifica la unicidad de la solucion. Para probar la existencia hemos dever que, para cualquier par de funciones φ de clase C3 y ψ de clase C2, la funciondada por (16.16) satisface la ecuacion de ondas con las condiciones iniciales φ yψ. Comencemos por estas:

u(x, 0) = M(φ)(x, 0) +

(

t∂

∂tM(φ)(x, vt)

)∣

∣

∣

∣

t=0

+ 0 = φ(x).

∂u

∂t(x, 0) =

(

2∂

∂tM(φ)(x, vt) + t

∂2

∂t2M(φ)(x, vt)

)∣

∣

∣

∣

(x,0)

+

(

M(ψ)(x, vt) + t∂

∂tM(ψ)(x, vt)

)∣

∣

∣

∣

(x,0)

= ψ(x).

Hemos usado (16.15) para probar que

∂

∂tM(φ)(x, vt)

∣

∣

∣

∣

(x,0)

= v∂M(φ)

∂r(x, 0) = 0.

La suma de dos soluciones de la ecuacion de ondas es tambien una solucion,luego basta probar que los dos terminos de (16.16) satisfacen la ecuacion deondas. Mas aun, la derivada respecto de t de una solucion es tambien solucion,


luego basta ver que tM(ψ)(x, vt) satisface la ecuacion de ondas. Segun (16.15)tenemos

∂M(ψ)(x, vt)

∂t= v

∂M(ψ)

∂r(x, vt) =

1

4πvt2

∫

‖y−x‖<vt∆ψ(y) dm(y)

=1

4πvt2∆

∫ vt

0

∫

‖y−x‖=τψ(y) dσ(y)dτ

=1

4πt2∆

∫ t

0

∫

‖y−x‖=vτψ(y) dσ(y)dτ =

v2

t2∆

∫ t

0

τ2M(ψ)(x, vτ) dτ.

Multiplicamos por t2 y derivamos respecto de t:

∂

∂t

(

t2∂M(ψ)(x, vt)

∂t

)

= v2∆(

t2M(ψ)(x, vt))

Entonces

1

t

∂2

∂t2(tM(ψ)(x, vt)) =

1

t2∂

∂t

(

t2∂M(ψ)(x, vt)

∂t

)

= v2∆M(ψ)(x, vt),

es decir,∂2

∂t2(tM(ψ)(x, vt)) = v2∆

(

tM(ψ)(x, vt))

,

como querıamos probar.

La formula (16.16) muestra que la constante v admite la misma interpre-tacion que en el caso unidimensional, es decir, se trata de la velocidad de laonda, o la velocidad a la que se desplazan las perturbaciones iniciales. Una dife-rencia importante es que en la solucion tridimensional solo aparecen integralessobre los puntos a una distancia vt del punto x, y no sobre los puntos a distan-cia menor o igual que vt. Esto implica que las condiciones iniciales no puedencausar efectos permanentes. Si suponemos que tienen soporte compacto, paratodo punto x existe un instante t a partir del cual u(x, t) se anula.

Vamos a calcular la derivada que aparece en (16.16). Se trata de

∂

∂t

t

4π

∫

‖ξ‖=1

φ(x + vtξ) dσ(ξ) =1

4π

∫

‖ξ‖=1

φ(x+ vtξ) dσ(ξ)

+vt

4π

∫

‖ξ‖=1

∇φ(x+ vtξ)ξ dσ(ξ)

=1

4πv2t2

∫

‖y−x‖=vtφ(y) dσ(y) +

1

4πv2t

∫

‖y−x‖=vt∇φ(y)y − x

tdσ(y).

Por consiguiente, (16.16) equivale a

u(x, t) =1

4πv2t2

∫

‖y−x‖=vt

(

φ(y) +∇φ(y)(y − x) + tψ(y))

dσ(y).


El caso bidimensional Tal y como habıamos adelantado, el analisis prece-dente de la ecuacion de ondas tridimensional permite resolver rapidamente laecuacion bidimensional. Para resolver el problema

∂2u

∂t2= v2

(

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

u(x, y, 0) = φ(x, y)∂u

∂t(x, y, 0) = ψ(x, y)

basta notar que si u es una solucion entonces la funcion u(x, y, z, t) = u(x, y, t) essolucion del problema tridimensional determinado por las condiciones inicialesφ(x, y, z) = φ(x, y), ψ(x, y, z) = ψ(x, y) —lo que prueba la unicidad— ası comoque una solucion cualquiera u del problema tridimensional (con las condicionesiniciales φ y ψ) no depende de la variable z (pues la funcion , u(x, y, z + k, t)es solucion del mismo problema), luego determina una solucion u(x, y, t) =u(x, y, 0, t) del problema bidimensional.

Para trabajar con la formula (16.16) conviene cambiar la notacion a x =(x1, x2, x3) identificando los puntos de R2 con los de la forma (x1, x2, 0). En-tonces

u(x1, x2, t) =∂

∂t

(

1

4πv2t

∫

‖y−x‖=vtφ(y) dσ(y)

)

+1

4πv2t

∫

‖y−x‖=vtψ(y) dσ(y)

Puesto que φ(y1, y2, y3) = φ(y1, y2,−y3), la primera integral es el doble dela integral restringida a la semiesfera y3 > 0. Lo mismo se aplica a la segundaintegral. Una carta de dicha semiesfera es

X(y1, y2) =√

v2t2 − (y1 − x1)2 − (y2 − x2)2 =√

v2t2 − ‖x− y‖2,

donde en la ultima expresion consideramos x, y ∈ R2. Para esta carta

dσ =vt

√

v2t2 − ‖x− y‖2dy1dy2,

luego

u(x, t) =∂

∂t

1

2πv

∫

‖y−x‖<vt

φ(y)√

v2t2 − ‖x− y‖2dm(y)

+1

2πv

∫

‖y−x‖<vt

ψ(y)√

v2t2 − ‖x− y‖2dm(y).

Esta expresion muestra un comportamiento que difiere tanto del caso unidi-mensional como del tridimensional. Suponiendo condiciones iniciales con so-porte compacto, en el caso tridimensional la funcion u se anula pasado untiempo, en el caso bidimensional se va atenuando pero nunca llega a anularse,mientras que en el caso unidimensional la situacion depende de las condicionesiniciales.


La ecuacion de ondas no homogenea Los resultados anteriores permitenestudiar el comportamiento del campo electromagnetico en el vacıo (en ausenciade cargas), pues en tal caso las ecuaciones de ondas que hemos obtenido paraE, H y sus potenciales son homogeneas. Nos ocupamos ahora del caso general,es decir, del problema tridimensional

u(x, t) = w(x, t)

u(x, 0) = φ(x)∂u

∂t(x, 0) = ψ(x)

Ante todo observamos que si existe solucion es unica, ya que si u1 y u2 sonsoluciones del problema entonces u1 − u2 es solucion del problema homogeneocon condiciones iniciales nulas, luego u1 − u2 = 0. Para probar la existencia desolucion podemos suponer φ = ψ = 0, ya que una solucion con otras condicio-nes iniciales se obtiene anadiendo a la de este caso una solucion del problemahomogeneo correspondiente.

Para cada s > 0 consideremos el problema auxiliar

us(x, t) = 0

us(x, 0) = 0∂us∂t

(x, 0) = w(x, s)

que nos da la onda que aparecerıa si a partir de una situacion de reposo φ = 0perturbaramos el medio con unas velocidades dadas por w(x, s). Su solucion es

us(x, t) =1

4πv2t

∫

‖y−x‖=vtw(y, s) dσ(y).

Para t > s definimos u(x, t, s) = us(x, t − s), que tiene la misma interpre-tacion salvo que la perturbacion aparece en el instante t = s en lugar de ent = 0. Entonces

∂2u

∂t2=

∂2us∂t2

= v2∆us(x, t− s) = v2∆u(x, t, s)

u(x, s, s) = us(x, 0) = 0

∂u

∂t(x, s, s) =

∂us∂t

(x, 0) = w(x, s)

Finalmente definimos

u(x, t) =

∫ t

0

u(x, t, s) ds =1

4πv2

∫ t

0

(

1

t− s

∫

‖y−x‖=v(t−s)w(y, s) dσ(y)

)

ds,

que representa la acumulacion de los efectos de todas las perturbaciones que hanaparecido hasta el instante t. Vamos a probar que u es la solucion del problemano homogeneo. Para derivar u respecto de t definimos

u(x, t1, t2) =

∫ t1

0

u(x, t2, s) ds


y aplicamos la regla de la cadena. El resultado es

∂u

∂t= u(x, t, t) +

∫ t

0

∂u

∂t(x, t, s) ds =

∫ t

0

∂u

∂t(x, t, s) ds,

∂2u

∂t2=

∂u

∂t(x, t, t) +

∫ t

0

∂2u

∂t2(x, t, s) ds

= w(x, t) +

∫ t

0

v2∆u(x, t, s) ds = w(x, t) + v2∆u(x, t).

Evidentemente u cumple las condiciones iniciales. Podemos expresar la so-lucion de forma mas simple. Mediante el cambio de variable s′ = v(t− s) queda

u(x, t) =1

4πv2

∫ vt

0

∫

‖y−x‖=s

w(y, t− s/v)

sdσ(y)ds

=1

4πv2

∫

‖y−x‖<vt

w(y, t− ‖y − x‖/v)‖y − x‖ dm(y).

No olvidemos que a esta funcion hay que sumarle la de una ecuacion ho-mogenea en caso de que las condiciones iniciales no sean nulas.

16.3 Soluciones de las ecuaciones de Maxwell

Con los resultados de la seccion anterior podemos resolver las ecuaciones(16.1), (16.2), (16.3) y (16.4). Por ejemplo, la primera nos permite expresar elpotencial electrico V en terminos de la densidad de carga ρ. Se cumple

V (x, t) =1

4πǫ

∫

‖y−x‖<ct

ρ(y, t− ‖y − x‖/c)‖y − x‖ dm(y). (16.17)

En principio falta sumar una solucion de la ecuacion de ondas homogeneacorrespondiente a las condiciones iniciales de V , pero admitiendo que ρ tienesoporte compacto sabemos que dicha solucion forma un frente de onda que sealeja a la velocidad de la luz y tras su paso no deja efecto alguno. En losproblemas concernientes a regiones del espacio pequenas en comparacion con lavelocidad de la luz podemos prescindir de esta parte.

La formula anterior es similar a la del potencial electrostatico (potencialnewtoniano) salvo por el hecho de que para calcular la influencia en un puntox de la carga situada en un punto y no se tiene en cuenta la carga actual, sinola que habıa en un instante anterior, el correspondiente al tiempo que tardala luz en ir de y a x. Por ello las funciones de este tipo se llaman potencialesretardados. Vemos, pues, que los efectos en el potencial de una variacion dela distribucion de las cargas en una region no se hacen notar instantaneamenteen todo punto, sino que se transmiten al espacio circundante a la velocidadde la luz. Si las distancias a considerar son pequenas en comparacion con lavelocidad de la luz, podemos suponer que la integral se calcula sobre todo R3

(o sobre todo el soporte de ρ) e incluso prescindir del termino ‖y − x‖/c, con

16.3. Soluciones de las ecuaciones de Maxwell 263

lo que obtenemos exactamente el potencial electrostatico. Por consiguiente, elpotencial electrico puede suponerse newtoniano en todos los problemas que noinvolucran distancias astronomicas (lo que supone considerar que las variacionesde la distribucion de las cargas alteran instantaneamente el potencial).

Las mismas consideraciones valen para el potencial magnetico, que segun laecuacion (16.2) viene dado por

A(x, t) =µ

4π

∫

‖y−x‖<ct

~ı(y, t− ‖y − x‖/c)‖y − x‖ dm(y). (16.18)

Ası mismo, las ecuaciones (16.3) y (16.4) proporcionan expresiones similarespara E y H .

Ejemplo Vamos a calcular el campo electromagnetico creado por una co-rriente alterna. Primero veremos algunas generalidades sobre este tipo de co-rriente. En principio una corriente alterna es una corriente que cambia desentido periodicamente, de modo que pasa de un valor maximo I0 a un valormınimo −I0 en un tiempo T/2, de modo que al cabo de un tiempo T tomael mismo valor I0. El caso mas simple consiste en suponer que la variacion essinusoidal, es decir, que la intensidad en un tiempo t viene dada por

I(t) = I0 cos(ωt+ φ0), (16.19)

donde ω = 2π/T . El tiempo T se llama perıodo de oscilacion y es el tiempoque I tarda en volver al mismo estado. El inverso 1/T se llama frecuencia de laoscilacion y es el numero de oscilaciones que se producen por unidad de tiempo.Su unidad (1/segundo) se llama hercio. La constante φ0 recibe el nombre deangulo de fase. Eligiendo el origen de tiempos podemos suponer φ0 = 0. Todosestos conceptos se aplican a cualquier magnitud que varıe sinusoidalmente enel tiempo. En general, si A cos(ωt + φ0) y B cos(ωt + φ1) son dos magnitudessinusoidales con el mismo perıodo, se dice que presentan un desfase de φ1 − φ0radianes. Cuando el desfase es nulo se dice que ambas estan en fase. Cuandodigamos que dos magnitudes sinusoidales estan desfasadas, sin indicar el desfase,se entendera que este es de π/2 radianes. Dos magnitudes con este desfasepueden representarse por A cos(ωt+ φ0) y B sen(ωt+ φ0).

Volviendo a la intensidad (16.19), en principio se trata de la intensidad en unpunto dado del cable electrico. Esta no tiene por que ser la misma en todos lospuntos al mismo tiempo, pero ahora no vamos a entrar en ello. Concentremonosen buscar la mejor forma de tratar con magnitudes sinusoidales.

Resulta que lo mas adecuado es sustituir los cosenos por exponenciales com-plejas. En efecto, la formula anterior (con φ0 = 0) puede escribirse como

I(t) = Re(I0eiωt).

En lo sucesivo escribiremos simplemente I(t) = I0eiωt, es decir, a partir de

ahora I(t) no sera la intensidad, sino la funcion compleja cuya parte real esla intensidad y cuya parte imaginaria es la intensidad desfasada (en −π/2 ra-dianes). Lo mismo valdra para todas las magnitudes sinusoidales con las que


trabajemos. El teorema 13.19 garantiza que si derivamos la funcion complejaasociada a una magnitud sinusoidal obtenemos la funcion compleja asociada asu derivada.

Vamos a estudiar el modelo mas simple de corriente alterna. Supongamosque el conductor es un segmento muy pequeno de longitud h cuyo centro estaen el origen de coordenadas y se extiende en la direccion del eje z. En tal casopodemos suponer que la intensidad es la misma en cada instante a lo largo detodo el circuito y viene dada por I = I0e

iωt. La formula (16.18) muestra queel potencial magnetico en cada punto tiene la direccion del eje z. Ademas si elconductor tiene seccion k podemos hacer dm = k ds, donde ds es el elementode longitud del mismo y ası

Az =µ

4π

∫

Ω

~ı(y, t− ‖y − x‖/c)‖y − x‖ dm(y) =

µ

4π

∫

γ

I(y, t− ‖y − x‖/c)‖y − x‖ ds(y),

donde γ(s) = (0, 0, s), para s ∈ [−h/2, h/2]. Si nos centramos en puntos alejadosdel conductor, la distancia ‖y−x‖ es equiparable a ‖x‖, con lo que el integrandose vuelve constante y resulta

Az ≈µh

4π

I(t− ‖x‖/c)‖x‖ =

µhI04π‖x‖e

iωte−iκ‖x‖,

donde κ = ω/c.Es importante observar que al sustituir I por su valor estamos suponiendo

que el circuito ya oscilaba en el instante t − ‖x‖/c, o lo que es lo mismo, queun rayo de luz ha tenido tiempo de llegar desde el origen hasta el punto x enel tiempo que dura la oscilacion. Si, por ejemplo, suponemos que la formulaI = I0e

iωt es valida para t > 0 y que antes no habıa corriente, entonces laformula anterior vale para t > ‖x‖/c y antes el potencial es nulo.

Observamos que A oscila con periodo T , al igual que la corriente, solo queentre puntos distintos existe un desfase determinado por el factor e−iκ‖x‖. Nopodemos calcular el potencial electrico V a partir de la formula (16.17), puesello nos obligarıa a estudiar las variaciones locales de la densidad de carga. Ensu lugar razonamos como sigue: el potencial electrico debe oscilar tambien conperiodo T , es decir, ha de ser de la forma V = f(x)ei(ωt+φ0(x)), luego

∂V

∂t= iωf(x)ei(ωt+φ0(x)) = iωV.

Por el mismo razonamiento

∂A

∂t= iωA. (16.20)

La condicion de Lorentz (15.60), que hemos impuesto a los potenciales, nosda ahora que

V =i

ωµǫdivA =

ic2

ωdivA =

iω

κ2divA. (16.21)


A partir de aquı los calculos se simplifican mucho si pasamos a coordenadasesfericas. Notemos que el tercer vector de la base canonica es

∇z = ∇(r cos θ) = cos θ vr − sen θ vθ.

Por consiguiente

Ar = Az cos θ =µhI04πr

eiωte−iκr cos θ,

Aθ = −Az sen θ =µhI04πr

eiωte−iκr sen θ,

Aφ = 0.

Ahora es facil calcular

H =1

µrotA =

1

µr2 sen θ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

vr rvθ r sen θ vφ∂∂r

∂∂θ 0

Ar rAθ 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

lo que nos lleva a Hr = Hθ = 0 y

Hφ =I0h

4πeiωte−iκr

(

iκ

r+

1

r2

)

sen θ.

Por otra parte, (16.21) nos lleva a

V =µI0h

4πeiωte−iκr

(

ω

κr− iω

κ2r2

)

cos θ.

Esto juntamente con (16.20) nos permite calcular

E = −∇V − ∂A

∂t= −∇V − iωA.

Tras un calculo rutinario obtenemos

Er =I0h

4πeiωte−iκr

(

2η

r2+

2

iωǫr3

)

cos θ,

Eθ =I0h

4πeiωte−iκr

(

iωµ

r+

η

r2+

1

iωǫr3

)

sen θ,

Eφ = 0,

donde η =√

µ/ǫ es una constante cuyas dimensiones son las de una resistenciay en el vacıo vale η0 ≈ 120π ohmios.

Para puntos alejados del circuito emisor los terminos en 1/r2 y 1/r3 sondespreciables frente a los terminos en 1/r, con lo cual una buena aproximacional campo electromagnetico creado por el mismo es

Hφ ≈ iκI0h

4πreiωte−iκr sen θ, (16.22)

Eθ ≈ iωµI0h

4πreiωte−iκr sen θ, (16.23)


con las componentes restantes nulas o muy pequenas. Geometricamente, estosignifica que los campos E y H son perpendiculares entre sı y perpendicularesal radio que los une con el circuito emisor. Notemos ademas que Eθ = ηHφ,luego los campos estan en fase.

En resumen, el circuito esta rodeado de un campo electromagnetico queocupa un volumen esferico cuyo radio se extiende a la velocidad de la luz. Encada punto de este volumen el campo oscila con perıodo T , la intensidad maximade los campos varıa entre 0 en el eje Z y un valor maximo en el planoXY . Fijadauna recta que pase por el origen, la intensidad maxima de los campos disminuyeen proporcion inversa a la distancia. Ademas la oscilacion esta desfasada en κrradianes, de modo que los campos en dos puntos de la recta estan en fase siy solo si su distancia es un multiplo de λ = 2π/κ = cT metros. Este valor sellama longitud de onda.

Observemos que (con las aproximaciones que hemos hecho) el vector dePoynting es siempre perpendicular a las esferas de centro en el origen y apuntasiempre hacia fuera de las mismas. Por lo tanto, aunque es oscilante, su osci-lacion no es sinusoidal, sino que depende de un seno al cuadrado. La intensidad(el modulo) del vector de Poynting en un punto y en un instante dado es

P = ‖E‖ ‖H‖ =κ2I20h

2

16π2r2η sen2 θ sen2(ωt− κr) =

I20h2η

4λ2r2sen2 θ sen2(ωt− κr),

de modo que P oscila entre 0 y un valor maximo con perıodo T/2. Para unamagnitud que oscila de este modo tiene sentido calcular su valor medio, definidocomo

Pm(r, θ) =2

T

∫ T/2

0

P (r, θ, t) dt.

Concretamente

Pm(r, θ) =I20h

2η

4λ2r2sen2 θ

1

π

∫ π−κr

−κrsen2 x dx =

I20h2η

8λ2r2sen2 θ vatios/metro

2.

La potencia irradiada, o cantidad de energıa electromagnetica que atraviesapor segundo una esfera de centro en el conductor es el flujo del vector de Poyntinga traves de la esfera, es decir,

W (r, t) =

∫

Sr

P dσ =

∫

Sr

P (r, θ, t) r2 sen θ dθ ∧ dφ

=I20h

2η

4λ2sen2(ωt− κr)

∫ 2π

0

∫ π

0

sen3 θ dθdφ

=2πI20h

2η

3λ2sen2(ωt− κr) vatios.

La potencia W depende de r unicamente en el desfase entre puntos situadosa distancias distintas del circuito. Sin embargo la potencia media no dependede r, pues se comprueba facilmente que vale

Wm =πI20h

2η

3λ2≈ 40π2I20

h2

λ2vatios.


Esta es la energıa que irradia por segundo el circuito. (En un tiempo nT ,con n natural, la energıa irradiada sera nWm. Si n no es natural el valor nWm

es aproximado.)

Hemos visto que el campo determinado por el vector de Poynting es radial,pero en regiones alejadas de la fuente de radiacion podemos considerarlo para-lelo. Escogiendo adecuadamente el sistema de referencia podemos suponer quetiene la direccion del eje X , ası como que los campos H y E tienen, respectiva-mente, la direccion de los ejes Y y Z. Entonces las ecuaciones (16.22) y (16.23)son aproximadamente

H =I0h sen θ

2λxsen(ωt− κx)e2, E = η

I0h sen θ

2λxsen(ωt− κx)e3, (16.24)

donde ahora θ es constante. Si la longitud de onda λ es pequena, una variacionmoderada de x altera en muy poco el factor 2λx, con lo que la intensidad de laonda se puede considerar constante y queda

H = A sen(ωt− κx)e2, E = ηA sen(ωt− κx)e3,

para una cierta constante A. Esta es la forma mas simple que puede adoptar elcampo electromagnetico en el vacıo. Es lo que se llama una onda plana (porqueel frente de ondas es plano), transversal (porque los campos varıan perpendicu-larmente a la direccion de avance), monocromatica (porque la variacion en cadapunto es sinusoidal) y polarizada (porque E y H varıan siempre en la mismadireccion).

Las ondas electromagneticas monocromaticas se clasifican por su longitudde onda:

Ondas de radio 30 Km > λ > 400 µmRayos infrarrojos 400 µm > λ > 0.8 µmLuz (visible) 0.8 µm > λ > 0.4 µmRayos ultravioletas 0.4 µm > λ > 120 ARayos X 120 A > λ > 0.05 ARayos γ 0.05 A > λ

Hemos usado el micrometro o micra, abreviado µm, igual a una milesimade milımetro, y el angstrom, abreviado A, igual a 10−10m. Las ondas mono-cromaticas de longitud entre 0.8 y 0.4 micras son casos particulares de lo quecomunmente llamamos “luz”. El ojo humano percibe la longitud de onda enforma de color. Las longitudes cercanas a 0.8 micras corresponden a la luz roja,mientras que las cercanas a 0.4 micras corresponden a la luz violeta, pasandopor toda la gama del arco iris. Los colores que no aparecen en el arco iris,como el marron, corresponden a superposiciones de luz de distintas longitudesde onda.

Bibliografıa

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269

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[17] Santalo, L. A. Vectores y tensores. Ed. Universitaria de Buenos Aires, 1968.

Indice de Materias

algebrade Grassmann, 8exterior, 3

Ampere (ley de), 219amperio, 206, 220antiderivacion, 83arco singular, 20atlas, 9

barrera, 108Bernoulli (ecuacion de), 57

cadena, 80canonica (sucesion), 142carga electrica, 203Cauchy-Riemann (ecuaciones de), 110ciclo, 81circulacion, 20cocadena, 80cociclo, 81cofrontera, 80, 81cohomologıa, 81conservativo (campo), 22continuidad (ecuacion de), 49contractible, 87coordenadas

cilındricas, 77esfericas, 77

cubo, 41culombio, 206

d’alembertiano, 241densidad

de carga, 205de corriente, 205de flujo electrico, 209en un medio, 216

derivadadireccional, 60total respecto de un campo, 50

dipolo electrico, 212Dirichlet (region de), 108divergencia, 32

ecuacionde ondas, 241

ecuacionde continuidad, 49de Euler, 53de Poisson, 65del calor, 59

electromotriz (fuerza), 234electrostatica, 208elemento de medida, 11energıa

cinetica, 22potencial, 24

evaluacion, 84

flujo electrico, 209forma diferencial, 7

compleja, 111constante, 2exacta, cerrada, 79integrable, 12

Fourier (serie de), 148frontera

de una variedad, 37en un complejo, 81operador, 80

fuerza electromotriz, 234

Gauss (ley de), 209, 218Green (formulas de), 66, 67

271

272 INDICE DE MATERIAS

harmonico esferico, 141holomorfa (funcion), 110homogenea (funcion), 135homologıa, 81homomorfismo de conexion, 90homotopıa, 82

iman, 222integral curvilınea, 20intensidad del campo magnetico, 218,

224

Laplaceley de, 206serie de, 144

Laplace-Beltrami (operador de), 137laplaciano vectorial, 97Legendre

ecuacion de, 165funciones asociadas de, 180funciones de, 168polinomio de, 174

modulo graduado, 80MacCullagh (formula de), 193magnetizacion, 223Maxwell (ecuaciones de), 236Mayer-Vietoris, 91momento dipolar

electrico, 213magnetico, 222

momentos de una distribucion de masas,193

numero combinatorio generalizado,124

paralelepıpedo, 2Pascal (principio de), 54permeabilidad magnetica, 207Perron (familia de), 106Poisson (ecuacion de), 65polarizacion, 215potencial newtoniano, 62principio del maximo, 105punto frontera regular, 70

retraccion, 14, 87

Rodrigues (formula de), 156generalizada, 177

rotacional, 32

semiespacio, 35serie de Laurent, 120soporte, 12subharmonica (funcion), 103sucesion exacta, 88superharmonica (funcion), 103susceptibilidad magnetica, 224

Teoremade adicion de harmonicos esfericos,

171de Gauss, 65, 68, 99de la divergencia, 46de Liouville, 102de los residuos, 126de Stokes, 43, 46, 74de transporte de Reynolds, 50de Weierstrass, 116

tesla, 206Torricelli (ley de), 58trabajo, 21

union (de arcos), 21

variedadcon frontera, 36orientable, 9

voltio, 208

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