Casa Canal

Formación Profesional Básica

CIENCIAS APLICADAS

Área de Matemáticas

Valero Murillo Martínez

VMM Formación Profesional Básica

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Formación Profesional Básica VMM

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Índice Página

Unidad 1 ......................................................................................................... 5

Unidad 2 ....................................................................................................... 32

Unidad 3 ....................................................................................................... 62

Unidad 4 ....................................................................................................... 76

Unidad 5 ....................................................................................................... 93

Unidad 6 ..................................................................................................... 115

Unidad 7 ..................................................................................................... 129

Soluciones de la unidad 1 .......................................................................... 148








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Unidad 1 Los números naturales

o Lectura de números o Escritura de números o El sistema de numeración decimal

Operaciones con los números naturales o Adición o Multiplicación o Potenciación o Sustracción o División o Jerarquía o prioridad en la realización de las operaciones

Operaciones con la calculadora o Multiplicación de números acabados en muchos ceros o Cálculo del resto de una división

Ejercicios de repaso

Actividades


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LOS NÚMEROS NATURALES

Los números se escriben y leen de la siguiente manera:

0 cero 6 seis 12 doce 18 dieciocho 24 veinticuatro 1 uno 7 siete 13 trece 19 diecinueve 25 veinticinco 2 dos 8 ocho 14 catorce 20 veinte 26 veintiséis 3 tres 9 nueve 15 quince 21 veintiuno 27 veintisiete 4 cuatro 10 diez 16 dieciséis 22 veintidós 28 veintiocho 5 cinco 11 once 17 diecisiete 23 veintitrés 29 veintinueve

A partir del número treinta se escriben separados:

30 treinta 40 cuarenta 50 cincuenta 70 setenta 31 treinta y uno 43 cuarenta y tres 55 cincuenta y cinco 80 ochenta 32 treinta y dos 44 cuarenta y cuatro 60 sesenta 90 noventa

100 Cien / ciento 400 cuatrocientos 700 setecientos 1.000 mil 200 Doscientos 500 quinientos 800 ochocientos 2.000 dos mil 300 trescientos 600 seiscientos 900 novecientos 3.000 tres mil

Solamente las palabras que representan al número 1 y a las centenas tienen femenino.

Un euro / una caja Doscientos euros / doscientas cajas

Quinientos euros / quinientas cajas Novecientos euros / novecientas cajas

La centena correspondiente a 100 es la excepción a esta regla:

Cien euros / cien cajas

Lectura de números

Algunos de los gastos del Gobierno de Aragón durante el año 2008 fueron los siguientes: Ente Público «Agencia de Calidad y Prospectiva Universitaria» ................... 684380 € Ente Público «Instituto Aragonés de Gestión Ambiental» ............................ 7417061 € Ente Público «Corporación Aragonesa de Radio y Televisión» ................. 56741623 €

Para leer las cantidades se separan sus cifras con un punto en grupos de 3 empezando por la derecha.

Ente Público «Agencia de Calidad y Prospectiva Universitaria» .................. 684.380 € Ente Público «Instituto Aragonés de Gestión Ambiental» .......................... 7.417.061 € Ente Público «Corporación Aragonesa de Radio y Televisión» ............... 56.741.623 €

El primer punto empezando por la derecha corresponde a los miles y el segundo a los millones. Hasta hace poco, los millones se indicaban con el subíndice 1, pero en las calculadoras y ordenadores se ha sustituido por el punto, por lo que ha dejado de usarse.

• Ente Público «Agencia de Calidad y Prospectiva Universitaria» ................... 684.380 €


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• Ente Público «Instituto Aragonés de Gestión Ambiental» ........................... 7.417.061 €

• Ente Público «Corporación Aragonesa de Radio y Televisión» ................ 56.741.623 €

Los números se leen empezando por el grupo de la izquierda, sustituyendo los puntos por la palabra mil o millón según corresponda.

Ente Público «Agencia de Calidad y Prospectiva Universitaria» (684.380 €):

Ente Público «Instituto Aragonés de Gestión Ambiental» (7.417.060 €):

Ente Público «Corporación Aragonesa de Radio y Televisión» (56.742.623 €): cincuenta y seis millones, setecientos cuarenta y dos mil seiscientos veintitrés euros

La lectura de algunas cantidades pueden resultar un poco más difícil, especialmente si tienen ceros intermedios. Recuerda que el cero representa que no hay nada, por lo que no hay motivo para decir lo que no se tiene.

3045 € 3.045 €: tres mil cuarenta y cinco euros

25008 € 25.008 €: veinticinco mil ocho euros

700300 € 700.300 €: setecientos mil trescientos euros

900009 € 900.009 €: novecientos mil nueve euros

3400005 € 3.400.005 €: tres millones, cuatrocientos mil cinco euros

60000900 € 60.000.900 €: sesenta millones, novecientos euros

500000020 € 500.000.020 €: quinientos millones, veinte euros

2500000 € 2.500.000 €: dos millones, quinientos mil euros.

7 . 4 1 7 . 0 6 0

sesenta mil

cuatrocientos diecisiete

siete

millones

Siete millones, cuatrocientos diecisiete mil sesenta euros

6 8 4 . 3 8 0

trescientos ochenta mil

seiscientos ochenta y cuatro Seiscientos ochenta y cuatro mil trescientos ochenta euros


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Ejercicio 1 Escribe con letra las siguientes cantidades correspondientes al presupuesto de diversas entidades aragonesas durante el año 2008:

a) Organismo Autónomo «Instituto Aragonés de la Mujer» ..................................................... 4225276 €

b) Organismo Autónomo «Instituto Aragonés de la Juventud», ............................................. 10687408 €

c) Ente Público «Instituto Tecnológico de Aragón» .............................................................. 24750000 €

d) Ente Público «Centro de Investigación y Tecnología Agroalimentaria de Aragón» ......... 14300400 €

e) Ente Público «Instituto Aragonés de Fomento» .................................................................. 48730704 €

Cuando el número 1 representa miles o millones, se lee “un” en vez de “uno”. Igualmente ocurre con los números veintiuno (veintiún), treinta y uno (treinta y un), cuarenta y uno (cuarenta y un), etc. Ejemplos:

1.451.701 ............................... un millón, cuatrocientos cincuenta y un mil setecientos uno

21.341.051 ..................... veintiún millones, trescientos cuarenta y un mil cincuenta y uno

Lo mismo ocurre cuando el número va seguido del sustantivo al que cuantifica:

1.451.701 € .................... un millón, cuatrocientos cincuenta y un mil setecientos un euros

61.071.001 € ............................................ sesenta y un millones, setenta y un mil un euros

Cuando el sustantivo al que cuantifica es femenino, el un de los miles y las unidades (solamente éstos) se convierten en una. Asimismo, las centenas se escriben en femenino

1.451.701 cajas ....... un millón, cuatrocientas cincuenta y una mil setecientas una cajas

61.871.001 botellas .... sesenta y un millones, ochocientas setenta y una mil una botellas

Cuando solamente se tiene una unidad de mil, se omite el número uno en la lectura. Ejemplos:

1.000 € ........................................ Se lee “mil euros”, en vez de “uno mil” o “un mil euros”

1.001.500 € ............................................................ Se lee “un millón, mil quinientos euros”

Ejercicio 2 Escribe con letra las siguientes cantidades. Si en el número figura el signo del euro, debes escribir la palabra euro al final del número. Si no aparece, no lo escribas.

a) 1501 € b) 1501721 cajas c) 1001001 € d) 101001601 botellas e) 201451201


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Escritura de números

Otros gastos del Gobierno de Aragón en el año 2008:

Ente Público «Banco de Sangre y Tejidos» Siete millones, novecientos cincuenta mil euros

Ente Público «Entidad Pública Aragonesa de Servicios Telemáticos» Once millones, ochocientos diecinueve euros

Para escribir con cifra las cantidades anteriores:

siete millones novecientos cincuenta mil 7 . 950 . 000

once millones mil ochocientos diecinueve 11 . 000 . 819

Las cantidades anteriores quedarían de la siguiente manera:

Ente Público «Banco de Sangre y Tejidos», 7.950.000

Ente Público «Entidad Pública Aragonesa de Servicios Telemáticos», 11.000.819

Organismo Autónomo «Instituto Aragonés de Empleo», 113.655.242

Ejercicio 3

Escribe con cifras las siguientes cantidades:

a) Ente Público «Instituto Aragonés del Agua», cincuenta y nueve millones, cuatrocientos treinta y ocho mil, setecientos setenta y seis euros

b) Ente Público «Instituto Aragonés de Ciencias de la Salud», veintiún millones, quinientos mil euros

c) Ente Público «Banco de Sangre y Tejidos», siete millones, novecientos cincuenta mil euros

d) Organismo Autónomo «Instituto Aragonés de Servicios Sociales», doscientos treinta y tres millones, trescientos noventa y cuatro mil, doscientos cincuenta y tres euros

e) Organismo Autónomo «Instituto Aragonés de Empleo», ciento trece millones, seiscientos cincuenta y cinco mil, doscientos cuarenta y dos euros

Sistema de numeración decimal

El sistema de numeración decimal es un conjunto de normas para escribir y leer cualquier número. Emplea 10 cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) cuyo valor depende de la posición que ocupan en el número.

Así, aunque el número novecientos noventa y nueve (999) está formado por tres cifras iguales, cada una de ellas tiene un valor distinto, dependiendo del lugar que ocupa en el número.

La primera cifra empezando por la derecha son las unidades (U) y su valor es 1 unidad.

La segunda cifra empezando por la derecha son las decenas (D) y su valor es 10 unidades.


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La tercera cifra empezando por la derecha son las centenas (C) y su valor es 100 unidades.

999 = 900 + 90 + 9 = 9 × 100 + 9 × 10 + 9 × 1

Si el número esta formado por seis cifras:

La cuarta cifra empezando por la derecha son las unidades de mil (UM) y su valor es 1.000 unidades.

La quinta cifra empezando por la derecha son las decenas de mil (DM) y su valor es 10.000 unidades.

La sexta cifra empezando por la derecha son las centenas de mil (CM) y su valor es 100.000 unidades.

Ejercicio 4 Descompón los siguientes números. Fíjate en el ejemplo.

450.027 = 400.000 + 50.000 + 20 + 7 = 4 × 100.000 + 5 × 10.000 + 2 × 10 + 7 × 1

a) 3568 b) 203090 c) 100010 d) 550500 e) 30003 f) 90071

Repitiendo estos dos grupos de cifras se pude formar cualquier número: millones, billones, trillones, etc. Solamente se van a leer y escribir cantidades inferiores al billón, ya que no se suele emplear cantidades superiores.

Billones Millones

C M

D M

U M . C D U

. C M

D M

U M . C D U

. C M

D M

U M . C D U

6 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 7 0 5 0 9 0 0 1 0 8 0

600.030.000.000 = seiscientos mil treinta millones

70.509.001.080 = setenta mil quinientos nueve millones, mil ochenta

Ejercicio 5 En los presupuestos del Estado para el año 2011, se indicaban los siguientes gastos a realizar:

7 0 . 5 0 9 . 0 0 1 . 0 8 0

Setenta mil quinientos nueve millones mil ochenta

6 0 0 . 0 3 0 . 0 0 0 . 0 0 0

Seiscientos mil treinta millones No se lee porque no hay nada


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Justicia ..................................................................................................................... 1713254530 €

Defensa .................................................................................................................... 6868197370 €

Seguridad ciudadana e instituciones penitenciarias ................................................. 8401959440 €

Pensiones.............................................................................................................. 112215755170 €

Desempleo .............................................................................................................. 30474059630 €

Investigación, desarrollo e innovación .................................................................... 8586360640 €

Gestión y administración de la Seguridad Social, siete mil setecientos setenta millones, quinientos noventa mil novecientos sesenta euros

Sanidad, cuatro mil doscientos cincuenta y cinco millones, ciento treinta y cinco mil trescientos veinte euros

Educación, dos mil ochocientos cuarenta y tres millones, cuatrocientos veintiocho mil trescientos cincuenta euros

Cultura, mil ciento tres millones, novecientos noventa y cuatro mil novecientos euros

Infraestructuras, nueve mil quinientos setenta y siete millones, trescientos setenta y ocho mil seiscientos noventa euros

Agricultura, pesca y alimentación, ocho mil quinientos setenta y ocho millones, cuatrocientos noventa y dos mil ochocientos euros

a) Escribe con letra las seis primeras cantidades.

b) Escribe con cifras las cantidades expresadas con letra.

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

Adición

La adición es la operación que define el proceso de juntar varios grupos de objetos en un solo grupo y calcular el número de objetos totales.

Ejemplo En una familia trabajan dos de sus miembros. Para calcular los ingresos de esa familia en un mes en concepto de salarios se deben sumar los dos salarios.

Salario 1 1.527 € sumando Salario 2 + 933 € sumando

2.460 € suma

Los números que intervienen en la adición se llaman “SUMANDOS” y el resultado “SUMA”.


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El orden en el que escribamos los sumandos no modifica el resultado de la operación. Esta propiedad recibe el nombre conmutativa.

Salario 2 933 € sumando

a + b = b + a Salario 1 + 1.527 € sumando

2.460 € suma

Ejercicio 6 Durante los tres primeros meses del año, una familia ha gastado en el supermercado en el que realiza la compra habitual las siguientes cantidades: 385 € en el mes de enero, 326 € en febrero y 409 € en marzo.

Calcula el gasto realizado en el supermercado durante el primer trimestre.

Cuando se debe realizar una adición con muchos sumandos podemos aplicar la propiedad asociativa.

Esta propiedad nos permite “asociar” o “agrupar” los sumandos como queramos para realizar sumas parciales. El resultado final será el mismo que si la hiciéramos toda de vez.

En el ejemplo de la derecha, se han agrupado los sumandos siguiendo el orden en el que se encuentran. En este caso se han agrupado de tres en tres, pero se pueden hacer grupos de más o menos sumandos

También podemos realizar las adiciones parciales eligiendo los sumandos de forma que se puedan realizar los cálculos mentalmente.

Ejercicio 7 Realiza esta adición aplicando la propiedad asociativa, eligiendo parejas de números de tal forma que puedas obtener MENTALMENTE tanto las sumas parciales como la suma total.

75 + 60 + 80 + 125 + 40 + 220 = + + =

2.300

3.500

6.700

1.280

1.500

1.720

9.000

5.000

3.000

17.000

Sumas parciales

1.520 3.782

755 6.057 9.908

12.630 5.712 28.250

315 27.753

709 28.777 63.084 63.084


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Multiplicación

Una adición en la que todos los sumandos son iguales puede expresarse de forma más abreviada por una multiplicación.

Ejemplo 1 Durante el último año, una familia ha obtenido unos ingresos por salarios de 2.460 € mensuales. Calcular los ingresos anuales en concepto de salarios.

2.460 € + 2.460 € + 2.460 € + 2.460 € + 2.460 € + 2.460 € + 2.460 € + 2.460 € + 2.460 € + 2.460 € + 2.460 € + 2.460 € = 29.520 € De forma más abreviada, se puede escribir:

2.460 € cada paga × 12 pagas = 29.520 €

factor 2.460 € / paga factor × 12 pagas producto 29.520 €

En general y para cualquier número se puede escribir:

a + a + a + a = 4 × a

Al igual que la suma, la multiplicación tiene la propiedad conmutativa. Es lo mismo:

2.460 € cada paga × 12 pagas = 29.520 € 12 € cada paga × 2.460 pagas = 29.520 €

a × b = b × a

Ejemplo 2 Para realizar una multiplicación en la que los dos factores son números de más de una cifra, como por ejemplo 7214 × 238, se procede de la siguiente manera:

Se descompone uno de los factores, generalmente el que menos cifras distintas de cero tiene (238 = 200 + 30 + 8).

Se multiplica sucesivamente el primer factor (7214) por cada uno de los números resultantes de la descomposición.

Se suman los productos parciales.

7 2 1 4 7 2 1 4

× 2 3 8 (200 + 30 + 8) × 8 7 2 1 4

5 7 7 1 2 5 7 7 1 2 × 3 0 7 2 1 4

2 1 6 4 2 0 2 1 6 4 2 0 × 2 0 0

1 4 4 2 8 0 0 1 4 4 2 8 0 0

1 7 1 6 9 3 2

Los números que intervienen en la multiplicación se llaman “FACTORES” y el resultado, “PRODUCTO”.


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Habitualmente se suelen omitir los ceros finales de los productos parciales (216.420 y 1.442.800), dejando un espacio en blanco en su lugar.

La práctica de omitir los ceros puede inducir a errores si no se alinean correctamente las cifras de los productos parciales..

En las multiplicaciones cuyos factores tienen ceros intermedios, es conveniente escribir los

ceros finales de los productos parciales. Observa el ejemplo:

Ejemplo 3

Para realizar la multiplicación 5423 × 7004 se descompone el factor 7004 (7000 + 4) y multiplicamos 5423 por 4 y luego por 7000.

Observa que realizando la multiplicación de esa forma, escribimos menos ceros (solo 3) que si se realiza como la de la derecha.

En la forma de la derecha, en la que se han multiplicado los ceros, se han escrito más ceros (8) y se han dejado huecos que son, con frecuencia, causa de errores en la posición de las cirfras.

Cuando multiplicamos por un número de más de una cifra estamos aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición.

La propiedad distributiva nos dice que para multiplicar un número por una adición debemos multiplicar el número por cada uno de los sumandos o, lo que es lo mismo, distribuir el número entre los sumandos y luego sumar los productos obtenidos.

7204 × 238 = 7204 × (200 + 30 + 8) = 7204 × 200 + 7204 × 30 + 7204 × 8

5423 × 7004 = 5423 × (7000 + 4) = 5423 × 7000 + 5423 × 4

Muy importante. La adición debe escribirse siempre entre paréntesis para indicar que tiene preferencia sobre la multiplicación.

5 4 2 3 5 4 2 3 × 7 0 0 4 (7000 + 4) × 4 5 4 2 3 2 1 6 9 2 2 1 6 9 2 × 7 0 0 0 3 7 9 6 1 0 0 0 3 7 9 6 1 0 0 0 3 7 9 8 2 6 9 2

7 2 0 4 × 2 3 8 5 7 7 1 2 2 1 6 4 2 1 4 4 2 8 1 7 1 4 5 5 2

5 4 2 3 × 7 0 0 4 2 1 6 9 2 0 0 0 0 0 0 0 0

3 7 9 6 1 3 7 9 8 2 6 9 2


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Ejercicio 8 Calcula el resultado de las multiplicaciones siguiendo los pasos que se indican en el ejemplo:

• Descompón primero el segundo factor en una adición

• Aplica después la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

Fíjate en el ejemplo y procede de la misma forma. 4036 × 506 20504 × 409 7402 × 3005 3247 × 7095

La propiedad distributiva puede ser útil para realizar mentalmente pequeñas multiplicaciones, en las que se puede descomponer fácilmente uno de los factores. Observa:

8 × 23 = 8 × (20 + 3) = 8 × 20 + 8 × 3 = 160 + 24 = 184

28 × 12 = (30 – 2) × 12 = 30 × 12 – 2 × 12 = 360 – 24 = 336

La multiplicación también tiene la propiedad distributiva sobre la sustracción.

Ejercicio 9 Intenta resolver MENTALMENTE estas multiplicaciones aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición y la sustracción. En cada uno de los ejercicios haz dos descomposiciones, en una adición y una sustracción. Fíjate en el ejemplo: 15 × 16 = (10 + 5) × 16 = 10 × 16 + 5 × 16 = 160 + 80 = 240 15 × 16 = 15 × (20 – 4) = 15 × 20 – 15 × 4 = 300 – 60 = 240 a) 18 × 32 b) 16 × 42 c) 13 × 38

Muy importante. La multiplicación tiene preferencia (debe realizarse antes) sobre la adición y la sustracción, aun cuando se encuentre en segundo lugar.

30 – 2 × 12 = 30 – 24 = 6 La adición y la sustracción se realizan en primer lugar si están dentro dentro de un paréntesis.

8 × (20 + 3) = 8 × 23 = 184

Ejemplo 4 Observa la siguiente multiplicación:

Cuando los números tienen ceros finales podemos simplificar la multiplicación “guardando” los

ceros finales (sólo los finales), realizar la multiplicación sin estos ceros y añadirlos al final.

2 7 2 0 4 0 × 6 0 9 0 0 2 4 4 8 3 6 0 0 0 1 6 3 2 2 4 0 0 0 0 0 1 6 5 6 7 2 3 6 0 0 0

272.040 × 900 272.040 × 60.000

60.000 + 900

4 2 8 × 3 2 5 300 + 20 + 5 2 1 4 0 428 × 5 8 5 6 0 428 × 20

1 2 8 4 0 0 428 × 300 1 3 9 1 0 0


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Ejercicio 10 Calcula el resultado de las siguientes multiplicaciones, guardando los ceros finales de los factores y añadiéndolos luego al resultado.

630.800 × 920 41036.000 × 560 205.000 × 1.080 51004.000 × 209

Potenciación Una multiplicación en la que todos los factores son iguales puede expresarse abreviadamente

en forma de potencia. 4 × 4 × 4 = 43

El factor que se multiplica (4) se llama base de la potencia y el número de veces que está repetido ese factor (3) recibe el nombre de exponente de la potencia. En general y para cualquier número, una potencia se expresa en la forma an.

Las potencias se leen según el exponente que tengan. Así, 52 se lee “cinco al cuadrado”, 53 se lee “cinco al cubo”, 54 “cinco a la cuarta”, 55 “cinco a la quinta” y así sucesivamente.

Ejercicio 11 Realiza en tu cuaderno un cuadro como el que se propone y complétalo: Potencia Lectura Base Exponente Desarrollo Valor

74 Siete a la cuarta 7 4 7 × 7 × 7 × 7 2.401 2 × 2 × 2 × 2 × 2

37 4 4 1 5

03 5 1 10 × 10 Diez al cubo

104 10 5 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

2 7 2 0 4

× 6 0 9

2 4 4 8 3 6

1 6 3 2 2 4 0 0

1 6 5 6 7 2 3 6 0 0 0

2 7 2 0 4 0

× 6 0 9 0 0

27204 × 9 27204 × 600

( 600 + 9 )

an exponente Número de veces que se repite el factor base

Factor que se repite


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Toda potencia de exponente cero es igual a uno.

10 = 20 = 30 = 40 = 50 = 60 = 70 = a0 = 1 (a representa cualquier número)

El exponente 1 no suele escribirse.

11 = 1; 21 = 2; 31 = 3; 41 = 4; a1 = a

Con las potencias de 10 (10, 102, 103, 104… 10a) se pueden realizar algunas operaciones. Observa el ejemplo:

Ejemplo 1

Multiplicar 1.000 por 100 y expresar el resultado en forma de potencia

1.000 × 100 = 100.000 = 105

Si expresamos 1.000 y 100 en forma de potencia (103 y 102 respectivamente) podemos realizar la operación de otra forma obteniendo el mismo resultado

1.000 × 100 = 103 × 102 = 105

Observa que se obtiene una potencia con la misma base (10) y cuyo exponente es la suma de los exponentes (3 + 2 = 5). En general y para cualquier número, esta operación se expresa:

am × an = am+n

Ejercicio 12 Expresa en forma de potencia el resultado de las siguientes multiplicaciones de potencias:

104 × 103 105 × 105 100 × 106 33 × 36 81 × 82 203 × 205

Se pueden realizar multiplicaciones de números grandes de forma rápida aplicando lo estudiado anteriormente. Fíjate en el ejemplo:

Ejemplo 2 Multiplicar 56.000 por 3.040.000

56.000 × 3.040.000 = 56 × 1.000 × 304 × 10.000 =

56 × 103 × 304 × 104 =

(56 × 304) × (103 × 104) =

17.024 × 107 = 170.240.000.000


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Ejercicio 13 Realiza las siguientes multiplicaciones siguiendo el mismo proceso descrito en el ejemplo 2. Fíjate en el ejercicio realizado.

Descomposición de los factores

Realización de las multiplicaciones por separado Resultado

85.000 × 900 85 × 103 × 9 × 102 (85 × 9) × 105 76.500.000

20.900 × 507.000

9.000.000 × 7.500

4.060 × 6.000.000

2.050 ×23.000

Sustracción La sustracción o resta es la operación que nos permite calcular los objetos que quedan en un

conjunto después de eliminar o quitar algunos de ellos o, también, cuántas unidades es mayor una cantidad que otra.

Ejemplo Para calcular el dinero que ahorra una familia restamos el dinero gastado del dinero ingresado.

Ingresos 34.788 € minuendo

Gastos − 29.527 € sustraendo

5.261 € diferencia

La sustracción NO tiene la propiedad conmutativa como la adición y la multiplicación.

34.788 € − 30.211 € NO ES LO MISMO QUE 30.211 € − 34.788 €

En general y para cualquier número, el no cumplimiento de la propiedad conmutativa se expresa en la forma:

a – b ≠ b – a

Ejercicio 14 El gasto anual en transporte de una familia ha sido de 2.340 €, desglosados de la siguiente manera: 2 bonos anuales con carné joven de 270 € cada uno, 1 bono anual de adulto de 360 € y el resto en gasolina y mantenimiento del coche de la familia.

a) El dinero que cuesta más el bono de adulto que el bono con carné joven.

b) Calcula el gasto anual en gasolina y mantenimiento del coche.

c) La diferencia que hay entre el dinero gastado en el automóvil y el dinero gastado en bonos de transporte.


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División

La división nos permite repartir una cantidad de objetos o dinero en partes iguales. La división puede ser exacta, cuando se reparte toda la cantidad, o inexacta cuando queda una cantidad sin repartir.

La cantidad a repartir recibe el nombre de dividendo; el número de partes que hay que realizar se llama divisor; la cantidad que corresponde a cada parte, cociente; en el caso de no poder repartir todo el dividendo, la parte que sobra recibe el nombre de resto.

Ejemplo 1 Se quiere repartir 5.261 € en 12 partes iguales

Dividendo 5 2 6 1 € 1 2 partes divisor 4 6 4 3 8 € cada parte 1 0 1

Resto 0 5 € cociente

Ejercicio 15

Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones.

39.900 : 38 450.000 : 53 73.402 : 94 325.039 : 50 222.700 : 740

Con la prueba de la división se puede saber si está bien realizada. Para ello se juntan las partes obtenidas, añadiendo el resto en el caso de que exista. Si la división está bien hecha, el resultado será la cantidad inicial que se había repartido.

En el caso de la división del ejemplo 1, la prueba sería

divisor × cociente + resto = dividendo 12 partes × 438 € cada parte + 5 € = 5.261 €

Ejercicio 16 Completa el siguiente cuadro. En algunos casos deberás realizar la división y otros usar la prueba de la división para calcular el dividiendo.

dividendo divisor cociente resto 257 28

14.112 47 14 18 0

1.484 23 132 75 82 97 506 96

El resto de una división debe ser siempre MENOR que el divisor


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Observa las siguientes divisiones:

El cociente es el MISMO en todas las divisiones. Sin embargo, el resto NO es el mismo.

En la división 128 : 15, el resto (8) es 2 veces menor que el resto de la división inicial (16).

En la división 768 : 90, el resto (48) es 3 veces mayor que el resto de la división inicial (16).

Las divisiones en las que intervienen números acabados en cero pueden realizarse más rápidamente si se divide el dividendo y el divisor por 10, 100, 1000, etc. (dependiendo del número de ceros que tengan), ya que el cociente de la nueva división es el mismo que el de la división original.

Ejemplo 2

Calcular el resultado de la divisón 650.000 : 2.300

Se puede simplificar esta división diviendo el dividendo y el divisor por 100 porque ambos números, dividendo y divisor, pueden dividirse por 100. No se hace por 1.000 porque la división del divisor (2.300) por 1.000 daría como resultado un número con cifras decimales.

2 5 6 3 0 1 6 8

7 6 8 9 0 4 8 8

1 2 8 1 5 8 8

Dividiendo por 2 el dividendo y el divisor y realizando la nueva división

Multiplicando por 3 el dividendo y el divisor y realizando la nueva división

6 5 0 0 2 3 1 9 0 0 2 8 2 0 6 0 1 4

6 5 0 0 0 0 2 3 0 0 1 9 0 0 0 2 8 2 0 6 0 0 0 1 4 0 0

Dividiendo por 100

Dividiendo por 100

Si se multiplica o divide el dividendo y el divisor por un mismo número, y luego se dividen los números obtenidos, el COCIENTE de todas las divisiones es el MISMO.

El RESTO de las nuevas divisiones es MAYOR o MENOR que el resto de la división inicial, tantas veces como hemos MULTIPLICADO o DIVIDIDO los términos (dividendo y divisor) de la división inicial.


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Observa que el resto de la división simplificada es cien veces más pequeño que el de la división original.

Para obtener el resto de la división original, la división VERDADERA, hay que multiplicar el resto obtenido (14) por el número por el que hemos dividido el dividendo y el divisor (100).

14 × 100 = 1.400 (resto verdadero)

Ejercicio 17 Efectúa estas divisiones. Simplifícalas (dividiendo por 10, 100, 1.000, etc.) antes de realizarlas. Escribe el cociente y el RESTO VERDADERO de cada una. Haz la prueba para comprobar que están bien realizadas. Recuerda que la prueba se hace con los dividendos y divisores iniciales, no con los obtenidos al simplificar 47.000 : 2.300 23.500 : 9.000 33.800 : 5.600 227.000 : 900 470.300 : 540 481.850 : 600 23140 : 900 492300 : 600

Generalmente se desprecia el resto de las divisiones. Pero hay veces que es tan importante como el propio cociente. Observa el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3 Un transportista debe llevar 125.000 cajas a un almacén situado en otra ciudad. En el camión caben 3.400 cajas. Averigua los viajes que tendrá que realizar y las cajas que llevará en el último viaje.

125.000 cajas : 3.400 cajas / viaje

Podemos hacer la división con más rapidez diviendo ambos términos por 100. La división sería entonces 1.250 : 34

Según la división realizada, se deberán realizar 36 viajes, pero todavía quedarían 2.600 cajas por transportar. Por la tanto, la solución del problema es 37 viajes, llevando 2.600 cajas en el último viaje.

Ejercicio 18 Un barco debe transportar 270.000 toneladas de trigo. En sus bodegas puede cargar 35.500 toneladas.

a) ¿Cuántos viajes deberá realizar para trasladar todo el trigo?

b) ¿Cuántas toneladas de trigo llevará en el último viaje?

26 × 100 = 2.600 cajas

1 2 5 0 cajas 3 4 cajas / viaje 2 3 0 3 6 viajes 2 6 cajas

Resto verdadero

Las divisiones pueden tener dos resultados, el cociente y el resto. Dependiendo del problema o la situación de la que se trate, el resto se despreciará o se deberá tener en cuenta para la respuesta del problema.


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Jerarquía en la realización de las operaciones

Las operaciones necesarias para la resolución de un problema pueden realizarse por separado o juntarlas todas en una única expresión matemática. En este caso, el orden de realización de las operaciones es el mismo que si se hicieran por separado.

Ejemplo 1 Hemos comprado 5 pizzas a 6 € cada una y 2 bolsas de naranjas a 3 € la bolsa. ¿Cuál es el importe de la compra?

Operaciones por separado: Operaciones en una única expresión matemática: 5 pizzas × 6 €/pizza = 30 € 2 bolsas × 3 €/bolsa = 6 € 30 € + 6 € = 36 € importe de la compra

5 × 6 + 2 × 3 = 30 + 6 = 36 €

Ejemplo 2 Entrego un billete de 50 € para pagar la compra de 5 pizzas a 6 € cada una. ¿Cuánto me devuelven?

Operaciones por separado: Operaciones en una única expresión matemática: 5 pizzas × 6 €/pizza = 30 € 50 € – 30 € = 20 € me devuelven

50 – 5 × 6 = 50 – 30 = 20 €

Ejemplo 3 Una persona va a cenar con tres amigos. Lleva 120 € en la cartera. La cena cuesta 104 € que pagan a partes iguales. ¿Cuánto dinero le queda a esa persona después de pagar la cena?

Operaciones por separado: Operaciones en una única expresión matemática:

104 € : 4 personas = 26 € 120 € – 26 € = 94 € le quedan

120 – 104 : 4 = 120 – 26 = 94 €

En un grupo de operaciones combinadas, las multiplicaciones y las divisiones tienen preferencia (deben realizarse antes) sobre las adiciones y sustracciones, aunque se encuentren después de ellas.

RESUMEN DE LAS OPERACIONES

Operación Números que intervienen Resultado Adición Sumandos Suma Multiplicación Factores Producto Sustracción Minuendo y sustraendo Diferencia División Dividendo y divisor Cociente y resto


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Ejercicio 19 Calcula el resultado de las siguientes operaciones. Fíjate en el ejemplo. 18 × 5 – 60 : 5 = 90 – 12 = 78 a) 100 + 50 × 4 = b) 500 – 5 × 40 = c) 5 × 8 + 120 = d) 40 – 60 : 5 = e) 500 : 10 – 50 = f) 5 × 8 – 90 : 5 =

Ejemplo 4 En un almacén hay 540 cajas de aceite de oliva y 400 cajas de aceite de girasol. Cada caja tiene 12 botellas. ¿Cuántas botellas de aceite hay en el almacén?

Como todas las cajas tienen el mismo número de botellas, ell problema puede resolverse de dos formas:

Calculando las botellas que hay de cada tipo de aceite y luego sumarlas.

Operaciones por separado: Operaciones en una única expresión matemática:

540 × 12 = 6.480 botellas

400 × 12 = 4.800 botellas 6.480 + 4.800 = 11.280 botellas

540 × 12 + 400 × 12 = 6.480 + 4.800 = 11.280 botellas

Calculando el total de cajas y luego el total de botellas. Operaciones por separado: Operaciones en una única expresión matemática:

540 + 400 = 940 cajas totales

940 × 12 = 11.280 botellas totales

(540 + 400) × 12 =

940 × 12 = 11.280 botellas totales

En el segundo caso, es obligado colocar la suma entre paréntesis para indicar que debe realizarse antes que la multiplicación.

Si no se colocara el paréntesis, la multiplicación debería realizarse en primer lugar ya que tiene preferencia sobre la suma. El resultado de la operación sería:

540 + 400 × 12 = 540 + 4.800 = 5.340 botellas, que es un resultado INCORRECTO.

Así pues, las adiciones y sustracciones que deban realizarse antes que las multiplicaciones deben escribirse dentro de un paréntesis.

(540 + 400) × 12 = 940 × 12 = 11.280 botellas

Ejemplo 5 Calcular el resultado de las siguientes operaciones “30 + 12 × 5 – 20 : (40 – 35)”

30 + 12 × 5 – 20 : (40 – 35) = (La operación subrayada es la que se realiza en primer lugar)

30 + 12 × 5 – 20 : 5 = (En negrita, el resultado de la operación realizada anteriormente)

30 + 60 – 4 = 86

Las adiciones y sustracciones que se encuentran DENTRO de un paréntesis deben realizarse en PRIMER LUGAR.


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Ejercicio 20 Calcula el resultado de las siguientes operaciones: a) 20 × (5 + 20) = b) (100 + 50) × 4 = c) (60 – 40) : 5 = d) 500 : (35 – 15) = e) (100 – 80) × (20 – 10) = f) (30 + 90) : (15 – 9) = g) 40 + (100 + 500) : 10 = h) 80 + (100 – 60) × 5 = i) 40 × 5 – (56 – 26) : 6 =

OPERACIONES CON LA CALCULADORA

Introducción de números en la calculadora El punto de mil, millones, etc. son solo una ayuda para la lectura y escritura de los números. No

forman parte del número, por lo que NO deben escribirse en la calculadora. Además, el punto de mil no existe en la calculadora. El punto que hay las calculadoras es el

separador de cifras decimales, NO el de miles. En esta unidad no hay números decimales, por lo que no es necesario pulsar la tecla del punto.

Formato de número La calculadora puede presentar los números de varias formas: Sin separador de miles (42567980)

Separando los miles con puntos (42.567.980). Es el formato europeo y de otros muchos países

Separando los miles con comas (42,567,980 o también 42’567’980). Es el formato de Estados Unidos, China, Reino Unido, Japón, Corea del Norte, Corea del Norte y otros.

Como la mayor parte de las calculadoras y móviles se fabrican en alguno de estos últimos países, lo más habitual es que aparezca la coma como separador de miles. Esto puede dar problemas a la hora de interpretar el resultado.

Para saber el formato de número de una calculadora basta con realizar una sencilla operación cuyo resultado sea un número mayor de 1.000.

Ejemplo Operación Resultado Formato del número

426 × 35 =

14910 Sin separador de miles (no hay problema de interpretación)

14.910 Punto como separador de miles (formato europeo)

14,910 ó 14’910 ATENCIÓN: la coma es el punto del formato europeo. NO se trata de un número decimal.

RECUERDA Cuando tenemos varias operaciones combinadas, el orden en el que deben realizarse es el siguiente: • En primer lugar, las operaciones que hay dentro de un paréntesis. • Después, las multiplicaciones y divisiones, en el mismo orden en el que están escritas. • Por último, las adiciones y sustracciones, en el mismo orden en el que están escritas.


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Multiplicación de números acabados en muchos ceros

En algunas calculadoras con pantallas pequeñas, cuando se realizan multiplicaciones de números con muchos ceros, no se muestra el resultado completo, ya que no cabe. En la pantalla puede aparecer el resultado escrito en forma de notación científica, que no es comprensible para muchas personas.

En estos casos, para realizar la multiplicación se puede hacer uso de las propiedades de la multplicación estudiadas anteriormente.

Ejemplo Calcula el resultado de la multiplicación 1.085.000.000 × 205.000

En primer lugar se descomponen cada uno de los números en un producto en el que uno de los factores será la unidad seguida de ceros, que puede escribirse abreviadamente en forma de potencia.

1.085 × 1.000.000 × 205 × 1.000 = 1.085 × 106 × 205 × 103

Se aplica la propiedad conmutativa de la multiplicación y se cambia el orden de los factores. 1.085 × 205 × 106 × 103

Se aplica la propiedad asociativa de la multiplicación y se multiplican los dos primeros factores por un lado (con la calculadora) y el tercero y cuarto por otro (puede realizarse mentalmente).

(1.085 × 205) × (106 × 103) 1.085 × 205 = 222.425 (con la calculadora) 106 × 103 = 109 = 1.000.000.000 (no es necesario realizar ninguna operación)

Ahora solo queda realizar la multplicación 222.425 × 109. Para realizarla basta con añadirle nueve ceros al número 222.425

1.085.000.000 × 205.000 = 222.425.000.000.000

Ejercicio 21

Realiza las siguientes multiplicaciones con la calculadora siguiendo el proceso explicado en el ejemplo anterior.

Para que quepan en el cuaderno las cantidades es conveniente que el cuadro lo realices con la hoja en orientación horizontal.

Observa la multiplicación realizada.

Descomposición de los factores

Realización de las multiplicaciones por separado Resultado

4.058.000 × 90.000 4.058 × 103 × 9 × 104 (4.058 × 9) × 107 365.220.000.000

109.000.000 × 500.000

300.000.000 × 750

350.900 × 6.000.000

2.450.000 × 23.000.000


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Cálculo del resto de una división

Cuando se realiza una división con la calculadora y ésta no es exacta, el resultado es un número decimal. En muchas ocasiones es resto se puede despreciar, pero en otras es necesario para la resolución de un problema.

Para calcular el resto de una división que se ha realizado con la calculadora es necesario recordar que el resto es la diferencia entre lo que hay para repartir y lo que se ha repartido.

A repartir Repartido

Resto = dividendo – cociente × divisor

Ejemplo

Calcula el resto de la división 125.000 : 3.400

Al realizar la división con la calculadora se obtiene el cociente 36,764705882352941176470… Se toma la parte entera del cociente (36) y se multiplica por el divisor (3.400) 3.400 × 36 = 122.400 Se han repartido De lo que había para repartir (dividendo) se resta lo que se ha repartido Resto = 125.000 – 122.400 = 2.600

Ejercicio 22 Con la calculadora, realiza las siguientes divisiones y escribe el resultado (cociente y resto) de las mismas. Para averiguar el cociente observa la división realizada.

Dividendo (D)

Divisor (d)

Cociente (C) Sin decimales C × d Resto = D – C × d

125.000 3400 36 122.400 Resto = 125.000 – 122.400 = 2.600

12.573 129

85.000 37

437.800 6.480

25.700 300

58.940 97

6.785.400 2.460

Dividendo Divisor

Cociente Resto

Cantidad a repartir

Cantidad que corresponde a cada parte

Cantidad que sobra

Partes que hay que hacer


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NUMERACIÓN ROMANA La numeración romana se empleó en Europa y el resto de territorios que formaron parte del

Imperio Romano hasta la llegada de los árabes, que introdujeron el sistema de numeración desarrollado en la India.

Actualmente, el sistema romano de numeración se emplea para nombrar los siglos y poco más. Con frecuencia se encuentra en monumentos antiguos.

Los romanos empleaban letras en vez de números. Cada letra tenía un valor y, al igual que el sistema de numeración decimal, tenía unas reglas para formar los números.

signo I V X L C D M valor 1 5 10 50 100 500 1.000

Reglas de composición de los números

a) Varias cifras del mismo valor, escritas una a continuación de otra, se suman (sólo las cifras I, X y C pueden escribirse seguidas, nunca más de tres veces). I I I (3) X X X (30) CC (200)

b) Toda cifra escrita a la derecha de otra de mayor valor se suma a ésta. X V (15) LX (40) CXXX (130) D C X V I (616)

c) Toda cifra a la izquierda de otra de mayor valor se resta de ésta. I V (4) I X (9) X L (40) X C (90) C D (400) C M (900)

d) Una raya sobre un signo o varios, multiplica su valor por mil

C (100.000) M (1.000.000) X I I I (13.000) X X V D L X (25.560)

Ejemplo Escribe 398 con números romanos

79 = 70 + 9 = L X X + I X = = L X X I X 398 = 300 + 90 + 8 = C C C + X C + V I I I = C C C X C V I I I

Ejercicio 23 a) Escribe los siguientes números en el sistema de numeración romana:

7 13 19 34 42 65 88 99

a) Escribe los siguientes números en el sistema de numeración decimal:

V I X I V X V I I I X X I V X L V L I X X C V I I


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EJERCICIOS DE REPASO

Ejercicio 1 a) Escribe con letra las siguientes cantidades: 320040068 € 8001059040 € 30300009603 € 110000050001 €

b) Escribe con cifra las siguientes cantidades: Veinte millones, mil doscientos euros Trescientos veintitrés millones, cuatrocientos mil dos euros Mil ocho millones, nueve mil treinta euros Trescientos mil cuarenta y dos millones de euros Ochenta y cinco mil veinte millones, cien mil cinco euros Cien mil cien millones, ochocientos Veinte mil millones, mil

Ejercicio 2 2.030 × 7.050 7.804 × 309 20.700 × 7.006 5004 × 4050 47.000 : 2300 23.500 : 9.000 33.800 : 5.600 250.000 : 340

Ejercicio 3

Calcula el resultado de las siguientes potencias: 52 54 61 45 73 109 1011

Ejercicio 4

Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas a) 30 + 18 × 5 – 64 : 4 b) (45 – 20) × 4 – 256 : 8 c) 100 + 40 × 5 – 500 : (45 – 40) d) (32 – 20) : (9 – 7) + 5 e) 80 + 125 : 5 – 4 × (18 – 3) f) 30 + 12 × 5 – 20 : (40 – 35)

Ejercicio 5 Se han de realizar unos pagos y solamente se dispone de los billetes y monedas que se indican. Escribe el número de billetes y monedas que se entregará en cada caso para que la cantidad de cada uno de ellos sea la mínima posible. Fíjate en el ejemplo.

Billetes de Monedas de TOTAL (billetes y monedas) 200 € 50 € 5 € 2 € 1 €

136 € 2 7 1 10 348 € 572 € 796 €

1.031 € 1.342 €


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ACTIVIDADES En las actividades puede haber datos que no sean necesarios para su resolución. NO se puede usar la CALCULADORA. Resuelve las actividades de forma similar al ejemplo. En tu cuaderno deben aparecer TODAS las operaciones necesarias para la resolución de las actividades, una DEBAJO de otra y en el ORDEN adecuado. En la parte derecha de la hoja deben las operaciones hechas, tal como aparecen en las actividades resueltas. Los números deben ir SIEMPRE acompañados de la unidad u objeto que cuantifican, explicando el número que se obtiene como resultado.

Actividad resuelta 1

El administrador de una comunidad formada por 24 vecinos realiza el presupuesto de gastos de la comunidad para el año siguiente. Los gastos previstos son los siguientes: calefacción y agua caliente, 2.380 €; electricidad, 950 €; mantenimiento del ascensor, 890 €; portero, 20.740 €.

¿Cuál será la cuota mensual de cada vecino durante el siguiente año para poder afrontar los gastos previstos?

2.380 € + 950 € + 890 € + 20.740 € = 24.960 € gastos anuales de la comunidad 24.960 € : 24 vecinos = 1.040 € pagará cada vecino al año 1.040 € : 12 meses = 86 € (resto = 8 €) Cada vecino pagará 87 € al mes porque con 86 € no cubren todo el gasto 86 € × 12 meses × 24 vecinos = 24.768 € 87 € × 12 meses × 24 vecinos = 25.056 € Quedarán 96 € para el año siguiente.

OPERACIONES


En una casa de 9 plantas hay 4 viviendas por planta. Cada vivienda tiene 5 ventanas. Se ha encargado a una empresa la limpieza de los cristales y ésta ha dado un presupuesto de 12 euros por cada ventana de las cuatro primeras plantas y 15 euros por cada una del resto de las plantas.

¿Cuál es el importe del presupuesto?

Ventanas a 12 € 4 viviendas / planta × 4 plantas = 16 viviendas 5 ventanas / vivienda × 16 viviendas = 80 ventanas 12 € / ventana × 80 ventanas = 960 €

Ventanas a 15 € 4 viviendas / planta × 5 plantas = 20 viviendas 5 ventanas / vivienda × 20 viviendas = 100 ventanas 15 € / ventana × 100 ventanas = 1.500 €

Precio total 960 € + 1.500 € = 2.460 € Importe del presupuesto

OPERACIONES

2 .3 8 0 € 9 5 0 € 8 9 0 €

2 0 .7 4 0 € 2 4 .9 6 0 €

2 4 9 6 0 2 4 0 0 9 6 1 0 4 0 0 0 0

1 0 4 0 1 2 0 8 0 8 6 0 8


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Actividad 1

Un equipo de fútbol contrata autobuses para llevar a sus aficionados a presenciar un partido en otra ciudad. En cada autobús caben 48 personas y quieren viajar 1.436 aficionados.

a) ¿Cuántos autobuses se necesitan?

b) Suponiendo que nadie sube a un autobús hasta que no se llena el anterior, ¿cuántos aficionados viajarán en el autobús que no se completa?

Actividad 2

Un grupo de 17 amigos han comprado un décimo para el sorteo de Navidad. Les tocan 14.780 €. Antes de repartirse el dinero, guardan 160 € para jugar en el sorteo del niño.

¿Cuánto dinero le corresponde a cada amigo?

Actividad 3

Una empresa láctea tiene un depósito con 39.020 litros de leche que quieren envasar en botellas de 2 litros y empaquetar en cajas de 6 botellas cada una. Vende la caja a 7 €.

a) ¿Cuántas cajas necesitará?

b) ¿Cuántas botellas quedarán sin poder meterse en una caja por no poder completarse?

Actividad 4

Un automóvil cuesta 17.548 € pagado al contado. Se paga en 60 plazos de 335 € cada uno. Averigua:

a) El dinero que ha costado el coche.

b) La cantidad que se ha pagado de más por pagarlo a plazos en vez de al contado.

Actividad 5

Para comprar un coche se pide un préstamo de 17.875 € que se deberá devolver al banco mediante pagos mensuales de 275 €. ¿Cuánto tiempo se tardará en devolver el préstamo?

Actividad 6

Una tienda de deportes en la que trabajan 7 empleados ha comprado a una fábrica 25 bicicletas de montaña a 382 euros cada una, 12 bicicletas de carrera a 425 euros cada una y repuestos por valor de 530 euros. Por pagar al contado se le hace un descuento de 237 €.

¿Cuánto dinero deberá pagar la tienda de deportes por la compra realizada?

Actividad 7

Una peña formada por 21 amigos se reúne para cenar. Uno de ellos trae la compra del supermercado que asciende a 336 €; otro trae la bebida cuyo importe es 84 €; un tercero trae el pan y el postre que le ha costado 63 €.

a) ¿A cuánto sale la cena a cada amigo?

b) ¿Cuánto dinero se cobrará el que ha hecho la compra en el supermercado?

c) ¿Y el que ha comprado las bebidas?

d) ¿Y el que ha comprado el pan y el postre?


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Actividad 8

Una empresa dispone de 25.000 € para la renovación de equipos informáticos. El importe del equipo elegido es el siguiente: CPU, 429 €; monitor, 213 €; teclado, 46 €; ratón, 12 €.

a) ¿Cuántos ordenadores puede comprar?

b) ¿Cuánto dinero le falta para poder comprar un equipo más?

Actividad 9

Una familia ha comprado un piso en obra que paga de la siguiente manera: 12.500 € en el momento de compra. 15.800 € en la entrega de las llaves. El resto mediante un préstamo hipotecario por el que deberá pagar 835 € mensuales durante

20 años

Averigua el dinero que deberá pagar por el piso

Actividad 10

A un puerto llega un barco con 48.300 toneladas de carbón con destino a una empresa siderúrgica. Para transportar el carbón desde el puerto hasta la empresa se dispone de 20 vagones, cada uno de los cuales pesa 25 toneladas y admite una carga máxima de 45 toneladas.

a) ¿Cuántos viajes deberá realizar el tren para transportar TODO el carbón? b) ¿Cuántos vagones serán necesarios en el último viaje? c) ¿Cuántas toneladas de carbón llevará cada vagón en el último viaje? (Deberán cargarse al

máximo todos los vagones que se pueda)

Nota: En este problema es importante el resto de la división


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Unidad 2 Los números decimales

o Concepto de número decimal o Lectura y escritura de números decimales o Fracciones y números decimales

Operaciones con los números decimales

Números decimales y fracciones

Fracción de una cantidad

Redondeo de cantidades decimales

El porcentaje o Cálculo de porcentajes o La función porcentaje (%) en la calculadora o Adición y sustracción de porcentajes o El impuesto del valor añadido (IVA)

Documentos de compraventa o El albarán o El impuesto sobre el valor añadido (IVA) o La factura o El recibo

Documentos bancarios o El cheque o El extracto bancario


Actividades


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LOS NÚMEROS DECIMALES

Concepto de número decimal

En un supermercado podemos encontrar los siguientes precios: Botella de leche de litro y medio ..................... 1,35 € Una lata de refresco ........................................ 0,47 € Rollo de papel de cocina ................................. 0,70 € Una pizza ........................................................ 2,05 €

Las cantidades anteriores son números decimales. Las cifras de estos números están separadas por una coma:

Las cifras situadas a la izquierda de la coma constituyen la parte entera del número, en este caso, euros.

Las cifras situadas a la derecha de la coma constituyen la parte decimal, en este caso partes de euro o céntimos.

Las cifras decimales reciben los siguientes nombres:

La primera cifra después de la coma se llama décima. Es cada una de las partes que resultan al dividir la unidad en 10 partes iguales. En el caso del euro, una décima es igual a una moneda de 10 céntimos.

La segunda cifra se llama centésima. Es cada una de las partes que resultan al dividir la unidad en 100 partes iguales. En el caso del euro, una centésima es la moneda de 1 céntimo.

La tercera cifra se llama milésima. Es cada una de las partes que resultan al dividir la unidad en 1000 partes iguales. En el caso del euro, no existe moneda para las milésimas, aunque existen precios en los que sí se emplean. Así, podemos ver en una gasolinera que el precio del combustible es 1,359 € (1,359 €); a la hora de pagar, el importe se redondea al céntimo de euro.

Producto

Unidad décima centésima Botella de leche de litro y medio 1 3 5 Una lata de refresco 0 4 7 Rollo de papel de cocina 0 7 0 Una pizza 2 0 5

Las cantidades anteriores se leen 1,35 € = un euro con treinta y cinco céntimos 0,47 € = cuarenta y siete céntimos 0,70 € =setenta céntimos 2,05 € = dos euros con cinco céntimos

= 0,1 €

= 0,01 €


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1,01 € NO ES LO MISMO QUE 1,10 €



Ejercicio 1 Escribe con cifra y con letra las siguientes cantidades de dinero:

1,62 € = Un euro con sesenta y dos céntimos a)

b)

c)

d)

e)


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Ejercicio 2 Escribe con cifra las siguientes cantidades de dinero: Siete céntimos = ........................................................ 0,07 € Cinco euros y setenta céntimos = .............................. 5,70 € a) Doce euros con sesenta y tres céntimos b) Ochenta y cuatro céntimos c) Cuatro céntimos d) Cincuenta y cuatro céntimos e) Setenta céntimos f) Veintitrés euros con ochenta y dos céntimos g) Setenta y cinco euros con veinte céntimos h) Noventa euros con dos céntimos i) Ciento cinco euros con treinta céntimos j) Trescientos euros con cincuenta y dos céntimos k) Cuatrocientos noventa euros con un céntimo l) Quinientos euros con treinta y ocho céntimos

Lectura y escritura de números decimales

Ejemplo Observa cómo se leen los números decimales:

0,2 = dos décimas 0,02 = dos centésimas 0,002 = dos milésimas 0,027 = veintisiete milésimas 2,305 = dos unidades con trescientas cinco milésimas 1.025,3 = mil veinticinco unidades con tres décimas 12.0031000.068,003 = doce mil tres millones, sesenta y ocho unidades con tres milésimas

En general, cuando los números decimales no se refieren a un objeto concreto como euros, se leen añadiendo las palabras décima, centésima o milésima según tengan una, dos o tres cifras decimales respectivamente.

Ejercicio 3 Lee los siguientes números decimales 0,4 0,006 0,063 0,108 0,568 2.004,007 47.500,305 1.000,7 21000.050,08 302.000,32 510.070,500 3021007.900,007 11050.003,408 9001054.000,06 3.000,205


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Ejercicio 4 Escribe con cifras las siguientes cantidades. Mil cuarenta unidades con veinticinco milésimas: ............................................................... 1.040,025 Quinientas mil ochenta unidades con nueve milésimas Treinta mil ocho unidades con siete centésimas Ocho millones seiscientas mil unidades con doce milésimas Tres mil unidades con cuatro décimas Cien mil una unidades con cuarenta y una centésimas Trescientas mil cuatro unidades con cinco centésimas Siete millones, cuatrocientos mil cuarenta unidades con siete milésimas Treinta mil dos unidades con cincuenta y ocho milésimas Trescientos millones, mil cien unidades con tres décimas Cincuenta millones, setenta y dos unidades con setecientas milésimas

Existen cifras decimales más pequeñas que la milésima: la diezmilésima (cada una de las partes resultantes al dividir la unidad en 10.000 partes iguales), la cienmilésima, la millonésima, etc.

En las operaciones suelen emplearse números con más de 3 cifras decimales, aunque los

resultados suelen expresarse con dos o tres cifras decimales como máximo.

OPERACIONES CON LOS NÚMEROS DECIMALES

Adición y sustracción de números decimales

Ejemplo 1 Una familia ha comprado en un hipermercado los siguientes productos: Una televisión que cuesta 209 €, un microondas que cuesta 39 ,95 €, una botella de aceite que cuesta 3,08 € y una lata de refresco que vale 0,47 €. ¿Cuál es el valor de la compra?

,

Televisión 2 0 9 , Microondas 3 9 , 9 5 Botella de aceite 3 , 0 8 Lata de refresco 0 , 4 7

TOTAL 2 5 2 , 5 0

El valor de la compra es 252,50 €

1 . 4 0 5 , 0 2 3 1 0 7 …

Centena

Unidad de mil Decena

Unidad

Décima

Centésima

Milésima

Diezmilésima

Cienmilésima

Millonésima


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De la misma forma que al sumar y restar números naturales se alineaban las unidades con las unidades, las decenas con las decenas, etc., para realizar la adición y sustracción de números decimales hay que alinear las décimas con las décimas, las centésimas con las centésimas y así sucesivamente.

Para evitar errores, es conveniente igualar el número de cifras decimales de los números añadiendo los ceros que sean necesarios. RECUERDA que los CEROS FINALES de la parte decimal CARECEN DE VALOR y pueden añadirse o eliminarse a conveniencia.

Ejemplo 2 Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

98 + 125,305 + 80,045 135,605 – 98,73 500 – 429,73

9 8 , 0 0 0 + 1 2 5 , 3 0 5 1 3 5 , 6 0 5 5 0 0 , 0 0 8 0 , 0 4 5 – 9 8 , 7 3 0 – 4 9 9 , 7 3 2 0 3 , 3 5 0 0 3 6 , 8 7 5 0 0 0 , 2 7

98 + 125,305 + 80,045 = 203,35 135,605 – 98,73 = 36,875 500 – 429,73 = 0,27

Tanto los ceros finales de la parte decimal como los ceros iniciales de la parte entera NO TIENEN VALOR, por lo que no hay que escribirlos. Suelen escribirse en el caso de euros ya que se habla siempre de céntimos y evita posibles confusiones

Ejercicio 5 Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones: a) 1.008,25 + 2,046 b) 45.705 + 0,507 c) 2.785 + 0,062 + 7.890,709 d) 1 – 0,029 e) 0,4 – 0,04 f) 1.000 – 999,999 g) 77,3 – 77,009 h) 7 – 2,625 i) 423,87 – 97 j) 100,28 – 56,237 k) 349.056,95 – 1.698,045

Multiplicación de números decimales

Ejemplo 1 Una familia ha comprado una lavadora. La paga en 3 plazos de 205,76 € cada uno. ¿Cuánto ha costado la lavadora?

El problema se puede resolver con una suma: 205,76 € + 205,76 € + 205,76 € = 617,28 € Una suma en la que todos los sumandos son iguales puede sustituirse por una multiplicación cuyo resultado será el mismo: 205,76 € / plazo × 3 plazos = 617,28 €

Para sumar y restar números decimales, sus cifras deben estar alineadas: unidades con unidades, decimas con décimas, etc. Para evitar errores, es conveniente igualar el número de cifras decimales de todas las cantidades añadiendo los ceros que sean necesarios.

2 0 5 , 7 6 € / plazo × 3 plazos 6 1 7 , 2 8 €


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Ejemplo 2 Una lata de bebida cuesta 0,43 €. ¿Cuánto cuestan 12 latas?

0,43 € + 0,43 € + 0,43 € + 0,43 € + 0,43 € + 0,43 € + 0,43 € + 0,43 € + 0,43 € + 0,43 € + 0,43 € + 0,43 € = 5,16 € Esta suma puede sustituirse por una multiplicación cuyo resultado será el mismo: 0,43 €/ lata × 12 latas = 5,16 € En los dos ejemplos se han multiplicado los números como si no tuvieran decimales y después se han separado dos cifras decimales, tantas como había en los factores

205,76 € / plazo × 3 plazos → 2 0 5 7 6 En el producto se añaden tantas cifras

decimales como había en los dos factores × 3 6 1 7 2 8 → 617,28 €

Ejercicio 6 Calcula el importe de las siguientes compras: a) 3 camisas a 36,95 €/camisa. b) 10 paquetes de arroz a 0,95 €/paquete. c) 28 litros de aceite a 3,5 €/litro. d) 56 kilogramos de pescado a 8,75 €/kilogramo. e) 35 kilogramos de fruta a 2,25 €/kilogramo. f) 6 latas de refresco a 0,56 €/lata

En el caso de que los dos factores sean números decimales se procede de forma parecida que en los ejemplos anteriores.

Ejemplo 3 Calcular el importe de 3,75 kilogramos de carne a 12,5 € el kilogramo.

Para la realización de la multiplicación 3,75 × 12,5

3 , 7 5 Se procede como si no hubiera cifras decimales

→ → → → → →

3 7 5 Se separan en el producto 3 cifras decimales, tantas como tienen entre los dos factores

→ 46,875

× 1 2 , 5 × 1 2 5 1 8 7 5 7 5 0 0 3 7 5 0 0 4 6 8 7 5

Ejercicio 7 Efectúa las siguientes multiplicaciones: a) 13,46 × 52 b) 129,076 × 790 c) 0,506 × 6300 d) 60,25 × 5,008 e) 460,25 × 0,068 f) 682000 × 5,9 g) 17,08 × 3,05 h) 50,6 × 1,09

Los números decimales se multiplican como si fueran números naturales, separando en el producto obtenido tantas cifras decimales como tienen entre los dos factores.

0 , 4 3 € / lata × 1 2 latas 8 6 € 4 3 0 5 , 1 6


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La multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros puede realizarse mentalmente. Observa el ejemplo:

Ejemplo 4

Calcular el producto de 0,023 × 100 Se multiplican los números sin cifras decimales: 23 × 100 = 2.300 En el producto se separan tantas cifras decimales como hay entre los dos factores (3 cifras) 0,023 × 100 = 2,300 = 2,3

Ejercicio 8 a) Efectúa las siguientes multiplicaciones por la unidad seguida de ceros 2,765 × 10 15,4 × 100 0,985 × 100 1,02 × 1.000 9,5 × 1.000 34 × 1.000 0,005 × 100 0,9 × 100 93,2 × 1.000 20,06 × 10 108,008 × 10.000 0,309 × 100.000 b) La letra “x” representa un número desconocido (10, 100, 1000, etc.). Averigua su valor en cada operación: 1,2 × x = 1.200 0,438 × x = 43,8 645,1 × x = 64.510 0,07 × x = 70 0,2 × x = 20.000 43,8 × x = 438.000 25,06 × x = 2.506 3,008 × x = 300,8

División de un número decimal por un número natural

Para dividir un número decimal por un número natural se divide en primer lugar la parte entera; se obtiene así la parte entera del cociente. Cuando se va dividir la parte decimal se coloca la coma en el cociente y se continúa la división.

Ejemplo 1 Dividir 458,06 en 3 partes iguales, aproximando el cociente hasta las milésimas.

En primer lugar se divide la parte entera: 458 : 3 = 152 Después se coloca la coma en el cociente y se baja la primera cifra decimal para continuar la división. Para aproximar el cociente a las milésimas se deben convertir las 2 centésimas del resto a milésimas (20) y seguir dividiendo

C D U , d c m 4 5 8 , 0 6 3 C = centena − 3 C D U , d c m D = decena 1 5 1 5 2 , 6 8 6 U = unidad − 1 5 d = décima 0 8

Cociente = 152,686 Resto = 0,002

c = centésima − 6 m = milésima

2 0 − 1 8 2 6

Prueba:

152,686 × 3 + 0,002 = 458,06 − 2 4 0 2 0

− 1 8 0 , 0 0 2 Resto


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Ejemplo 2 Repartir 5 € entre 6 niños, aproximando el cociente hasta el céntimo de euro (centésimas). 5 monedas de 1 € no se pueden repartir, por lo tanto a cada uno le tocan 0 monedas de 1 € Cambiamos las monedas de euro por monedas de 10 céntimos; nos darán 50, que sí podemos repartir. Cambiamos las 2 monedas de 10 céntimos del resto por monedas de 1 céntimo; nos darán 20 monedas.

U , d c U = unidad moneda 1 €

d = décima moneda de 10 c€

c = centésima moneda de 1 c€

5 , 6 − 0 U , d c

5 0 0 , 8 3 − 4 8 2 0 − 1 8 0 , 0 2 Resto

Cociente = 0,83 € (83 céntimos de euro) Resto = 0,02 (2 céntimos de euro)

Prueba: 0,83 € / niño × 6 niños + 0,02 € (resto) = 5 €

Ejercicio 9 Efectúa las siguientes divisiones escribiendo el cociente y el resto. Aproximación del cociente hasta la cifra decimal indicada. a) 1.441,248 : 8 (hasta que dé resto cero) b) 635.413 : 15 (hasta las décimas) c) 14 : 57 (hasta las centésimas) d) 0,75 : 7 (hasta las milésimas) e) 38 : 25 (hasta que dé resto cero) f) 1 : 12 (hasta las milésimas)

La división de un número decimal por la unidad seguida de ceros puede realizarse mentalmente.

Ejemplo 3 Observa las siguientes divisiones cuyo divisor es la unidad seguida de ceros: 2 3 , 5 1 0 5 4 , 8 1 0 0 2 0 7 , 9 1 0 0 0 – 2 0 2 , 3 5 – 5 0 0 0 , 5 4 8 – 2 0 0 0 0 , 2 0 7 9 3 5 4 8 0 7 9 0 0 – 3 0 – 4 0 0 – 7 0 0 0 5 0 8 0 0 9 0 0 0 – 5 0 – 8 0 0 – 9 0 0 0 0 0 0

En todas ellas, el cociente es un número con las mismas cifras que el dividendo, aunque con distinto número de cifras decimales.

Dividendo Divisor Cociente Número de cifras decimales del cociente

23,5 10 2,35 2 cifras; una que corresponde al del dividendo y una más que se le añade al dividir por 10.

54,8 100 0,548 3 cifras; una que corresponde al del dividendo y dos más que se le añaden al dividir por 100.

207,9 1.000 0,2079 4 cifras; una que corresponde al del dividendo y tres más que se le añaden al dividir por 1000.


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Esto nos permite calcular rápidamente el cociente de una división en la que el divisor es la unidad seguida de ceros. Observa:

4,02 : 1.000 El cociente tendrá las mismas cifras que el dividendo (402) y 5 cifras decimales, las dos del dividendo y tres más añadidas al dividir por 1.000 (0,00402)

42.000 : 100 El cociente tendrá las mismas cifras que el dividendo (42000) y 2 cifras decimales, las añadidas al dividir por 100 (420,00 = 420)

42.000 : 10.000 El cociente tendrá las mismas cifras que el dividendo (42000) y 4 cifras decimales, las añadidas al dividir por 10.000 (4,2000 = 4,2)

Ejercicio 10 Efectúa las siguientes divisiones por la unidad seguida de ceros. 708 : 10 708 : 100 708 : 1000 708 : 10000 300 : 10 300 : 100 300 : 1000 300 : 10000 2.300 : 1000 7.040 : 100 3.729 : 10 150,25 : 10 37,95 : 10 8 : 1.000 543,8 : 100 0,2 : 100 700,5 : 100 40,09 : 10.000 0,006 : 100 2.089,3 : 10 34 : 1.000 3,2 : 100 1.803 : 1.000 4 : 100

Ejercicio 11 La letra “x” representa un número desconocido (10, 100, 1000, etc.). Averigua su valor en cada operación: 6.075 : x = 60,75 83 : x = 0,083 47,8 : x = 4,78 870 : x = 0,87 20 : x = 0,002 13,9 : x = 0,139 1,25 : x = 0,125 300 : x = 0,03

División de un número decimal por otro número decimal

Recordamos una propiedad de la división:

2 5 6 3 0 1 6 8

7 6 8 9 0 4 8 8

1 2 8 1 5 8 8

Dividiendo por 2 el dividendo y el divisor

Multiplicando por 3 el dividendo y el divisor

16 : 2 16 × 3 El cociente es el mismo en las tres divisiones (8)

Si se multiplica o divide el dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente de la nueva división es igual al de la primera. Sin embargo, el resto de la nueva división es distinto del de la primera. Es igual al resto de la primera división multiplicado o dividido por ese número.


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4 4 , 3 0 , 3 5

4 4 3 0 , 3 5 − 3 5 1 2 6 , 5 0 9 3 − 7 0 2 3 0 − 2 1 0 2 0 0 − 1 8 5 2 , 5

× 100 × 100

Para realizar una división con números decimales es necesario que el divisor no tenga cifras decimales. Si tiene cifras decimales se aplica la propiedad anterior para eliminarlas.

Ejemplo Calcular el resultado de 44,3 : 0,35

Para realizar esta división se debe convertir el divisor (0,35) en un número natural, sin decimales. La forma más sencilla de hacerlo es multiplicar por una potencia de 10 (la unidad seguida de ceros)

0,35 × 100 = 35

Para que el cociente no varíe, se ha de hacer lo mismo con el dividendo:

44,3 × 100 = 4.430

Ya se puede efectuar la división con las nuevas cantidades

Según la propiedad de la división, el resto de la nueva división será mayor que el de la división inicial.

El resto obtenido, 25 décimas (2,5), es cien veces mayor que el resto de la división original (44,3 : 0,35) debido a que hemos multiplicado el dividendo y el divisor por 100.

Por lo tanto, para saber el resto verdadero será necesario dividir 2,5 por 100. 2,5 : 100 = 0,025 Resto verdadero (veinticinco milésimas)

Cociente: 126,5; resto: 0,025 Prueba: 126,5 × 0,35 + 0,025 = 44,3

Ejercicio 12 Efectúa las siguientes divisiones escribiendo el cociente y el resto. Aproximación del cociente hasta la cifra decimal indicada en cada caso. a) 43 : 2,5 (hasta obtener resto 0) b) 358 : 7,09 (hasta las décimas) c) 0,6193 : 35,9 (hasta las milésimas) d) 13,4385 : 0,67 (hasta las centésimas) e) 636,7 : 3,06 (hasta las centésimas) f) 0,86776 : 0,28 (hasta las milésimas)

RECUERDA Si el divisor es un número decimal, es preciso convertirlo en número natural multiplicándolo por 10, 100, 1000… (dependiendo de las cifras decimales que tenga). El resto obtenido será 10, 100, 1000… veces mayor que el resto real.


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FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

Además de la forma decimal, las partes de euro pueden expresarse también en forma de fracción.

Número decimal Fracción

0,01 € Una centésima de euro o un céntimo de euro

1001 €

(un cienavo de euro)

0,04 € Cuatro centésimas de euro o cuatro céntimos de euro

1004 €

(cuatro cienavos de euro)

0,1 € Una décima de euro o diez céntimos de euro

101 €

(un décimo de euro)

0,3 € Tres décimas de euro o treinta céntimos de euro

103 €

(tres décimos de euro)

0,12 € Doce centésimas de euro o doce céntimos de euro

10012 €

(doce cienavos de euro)

1,12 € Un euro con doce centésimas de euro o un euro con doce céntimos de euro

100112 €

(ciento doce cienavos de euro)

Una fracción es un par de números enteros colocados uno encima de otro y separados por una línea horizontal

Es un par ordenado de números ya que no es lo mismo a/b que b/a. El signo ≠ significa no es igual, es distinto.

El número de abajo, llamado denominador, indica las partes iguales que se han hecho de un objeto o cantidad. El número de arriba, llamado numerador, indica las partes del objeto o cantidad que nos interesan, las que se han cogido o las que se han dejado. Cantidad Fracción Denominador Numerador

1004 €

100 (un euro se ha dividido en 100 partes iguales. Cada parte es una moneda de 1 céntimo de euro)

4 (hay cuatro partes o cuatro monedas de un céntimo de euro)

103 €

10 (un euro se ha dividido en 10 partes iguales. Cada parte es una moneda de 10 céntimos de euro)

3 (hay tres partes o tres monedas de diez céntimos de euro)


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Las fracciones anteriores reciben el nombre de fracciones decimales porque tienen como denominador una potencia de 10, es decir, la unidad seguida de ceros: 10 (101) y 100 (102). También pueden tener como denominador: 1.000 (103), 10.000 (104), 100.000 (105), etc.

Ejemplos: 103 ,

10007 ,

100325

Los números decimales pueden escribirse en forma de fracción decimal. Como numerador se escribe el número sin cifras decimales y como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenía el número decimal.

Ejemplos: 10990 =,

1008080 =,

1000350350 =,

100305053 =,

Ejercicio 13 Escribe en forma de fracción decimal los siguientes números decimales: a) 0,006 b) 0,17 c) 0,3 d) 38,05 e) 7,6 f) 23,00096

Las fracciones decimales pueden escribirse en forma de números decimales. El número decimal es igual al numerador de la fracción con tantas cifras decimales con ceros tiene el denominador.

Ejemplos: 70107 ,= 070

1007 ,= 0070

10007 ,= 615

10156 ,=

Ejercicio 14 Escribe en forma de número decimal las siguientes fracciones decimales:

a) =10028 b) =

105 c) =

100875 d) =

100010850 e) =

10570

Algunas fracciones decimales se pueden simplificar, es decir, se pueden sustituir por otra fracción equivalente (tiene el mismo valor) pero con el numerador y el denominador más pequeños.

La fracción decimal 105 (de diez partes se toman cinco) se puede sustituir por la fracción

21 (de

dos partes se toma una). En ambos casos se toma la mitad de lo que hay.

La fracción decimal 107 (de diez partes se toman siete) no se puede sustituir por otra fracción

con el numerador y denominador más pequeños.

Para simplificar una fracción se dividen sus dos términos, numerador y denominador, por el MISMO número (la división debe ser EXACTA siempre) hasta obtener una fracción en la que ya no se pueda dividir más


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Ejemplo 1

Simplificar la fracción 10020

Los números 20 y 100 pueden dividirse por 2 → 5010

10020

=

Los números 10 y 50 pueden dividirse otra vez por 2 → 255

5010

=

Los números 5 y 25 no pueden dividirse 2 pero sí por 5 → 51

255

=

Por lo tanto, 51

10020

= , que es la fracción simplificada correspondiente a 10020

Ejemplo 2

0,048 = 1000

48 Se puede simplificar dividiendo numerador y denominador por 8 → 125

61000

48=

1,4 = 1014 Se puede simplificar dividiendo numerador y denominador por 2 →

57

1014

=

Ejercicio 15 Escribe en forma de fracción SIMPLIFICADA los siguientes números decimales. Escríbelos primero en forma de fracción decimal y luego la simplificas. a) 12,5 b) 0,025 c) 8,8 d) 0,02 e) 200,05 f) 0,75

Una fracción es también una forma de expresar una división. Uno de los signos con los que se indica una división es ÷ (la raya de la fracción con dos puntos, uno arriba y otro abajo, que representan al numerador y al denominador).

La división 28 : 3 se puede expresar también con la fracción 328

Para averiguar el número decimal que equivale a una fracción cualquiera basta con DIVIDIR el numerador por el denominador.

531 = 31 : 5 = 6,2

507 = 7 : 50 = 0,14

Ejercicio 16 Averigua el número decimal que corresponde a cada una de las siguientes fracciones dividiendo el numerador por el denominador. Emplea la CALCULADORA

a) 172

34

1125

2023

11150

2716

801

3

125

b) 13

56

87

7

12

29

815


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Las fracciones pueden dar lugar a dos tipos de números decimales:

Los que se obtienen de las fracciones del apartado “a” del ejercicio anterior reciben el nombre de exactos. Tienen un número limitado de cifras decimales y la división de la que proceden es exacta (resto cero).

Los que se obtienen de las fracciones del apartado “b” reciben el nombre de inexactos. Tienen un número infinito (ilimitado) de cifras decimales y la división de la que proceden NO es exacta (nunca dará resto cero).

Observa:

10330 =,

10030300 =, Simplificando la fracción (dividiendo por 10) ⇒ 30

103

10030 ,==

10003003000 =, Simplificando la fracción (dividiendo por 100) ⇒ 30

103

1000300 ,==

1000300

10030

103

== ⇒ 0,3 = 0,30 = 0,300

Tres décimas = treinta centésimas = trescientas milésimas

FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD

Ejemplo

¿Cuánto dinero es 53 de 7.840 €?

El denominador nos indica que debemos hacer 5 partes o montones del dinero. Se dividen los 7.840 € en 5 partes.

Cada parte (51 de 7.840 €) será:

5€ 8407. = 1.568 €

Se deben tomar 3 partes, cuyo importe total será: 1.568 € / cada parte × 3 partes = 4.704 €

El ejercicio se resuelve con una división y una multiplicación y se expresa de la siguiente forma:

En operaciones separadas En una sola operación

7.840 € : 5 partes = 1.568 € / parte

1.568 € / parte × 3 partes = 4.704 €

53 de 7.840 € = 3

5€ 7.840× = 4.704 €

1.568 € 1.568 € 1.568 € 1.568 € 1.568 €

Los ceros situados a la derecha de la última cifra decimal NO TIENEN VALOR por lo que pueden suprimirse o añadirse sin que el número varíe.

7.840 €


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Ejercicio 17 Calcula el importe correspondiente a cada caso. Si es necesario, aproxima el cociente de las divisiones hasta la centésima (céntimo de euro):

a) 34

de 453 € = …€ b) 2012 de 3.348 € = … € c)

10045 de 125.000 € = … €

REDONDEO DE CANTIDADES DECIMALES

En algunas operaciones con euros se pueden obtener cantidades con más de dos cifras decimales. Como solamente se dispone de moneda hasta la centésima (céntimo de euro), es necesario eliminar las demás cifras decimales realizando lo que se denomina redondeo.

Para realizar el redondeo se procede de la siguiente manera:

Si la primera de las cifras decimales a eliminar (la milésima) es menor que 5 (< 5) la cifra anterior (centésima) se deja como está. Ejemplo: 1,653 € se redondearía a 1,65 (no se modificaría la cifra de las centésimas) porque 1,653 se aproxima más a 1,65 € (1,650) que a 1,66 € (1,660).

Si la primera de las cifras decimales (la milésima) a eliminar es mayor o igual que 5 (≥ 5)

se aumenta en 1 la cifra anterior (centésima). Ejemplo: 3,846 € se redondearía a 3,85 porque (se añade una centésima) porque 3,846 se aproxima más a 3,85 € (3,850) que a 3,84 € (3,840).

Ejemplo

a) En el cartel de precios de una gasolinera se indica que el precio del gasóleo es de 1,258 (1,258 €). Echamos 35, 6 litros. ¿Cuál es el importe del gasóleo comprado?

35,6 litros × 1,258 €/litro = 44,7848 € Como la primera cifra a eliminar es la de las milésimas (4) y ésta es menor que 5, la cifra de las centésimas se deja como está, por lo que el importe final será 44,78 €

b) Y si echamos 38,9 litros, ¿cuál es el importe del gasóleo comprado?

38,9 litros × 1,258 €/litro = 48,9362 € Como la primera cifra a eliminar es la de las milésimas (6) y ésta es mayor que 5, se aumenta en 1 la cifra anterior, por lo que el importe final será 48,94 €.

Ejercicio 18 Redondea las siguientes cantidades a) 78,0761 € b) 105,7114 € c) 1.702,005 € d) 0,085 € e) 702,6015 €

3,84 3,85

3,846 3,840 3,850

1,65 1,66

1,653 1,650 1,660


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PORCENTAJES

Cálculo de porcentajes La palabra “porcentaje” se emplea para escribir los números bajo la apariencia de una fracción

con denominador cien. No es exactamente una fracción, porque los términos de una fracción son siempre números enteros (0, 1, 2, 3…250…) y en los porcentajes puede haber números decimales.

El concepto “veintiuno por ciento” se puede escribir en forma de fracción ( 10021 ) y en forma

de porcentaje (21 %). Sin embargo, el concepto “tres con cinco por ciento” solamente se puede escribir en forma de porcentaje (3,5 %)

En ambos casos, el cálculo de la cantidad que corresponda se hace de la misma forma.

Ejemplo 1

Calcular 10016 de 34.500 €

34.500 ÷ 100 = 345 €

345 × 16 = 5.520 € En una sola operación:

10016 de 34.500 € = 16

100€ 4.5003× = 5.520 €

Calcular el 7,5 % de 34.500 €

34.500 ÷ 100 = 345 €

345 × 7,5 = 2.587,5 € En una sola operación:

7,5 % de 34.500 € = 57100

€ 4.5003 ,× = 2.587,5 €

Ejercicio 19 Calcula los siguientes porcentajes, redondeando el resultado al céntimo de euro si es necesario. a) 5,4% de 8.400 € b) 11,05% de 80.203,08 € c) 20,7% de 10.040,36 €

En la vida cotidiana, el porcentaje se emplea para expresar el aumento o disminución de un valor respecto de otro como, por ejemplo, el caso de descuentos y recargos. También para expresar la variación de un valor a lo largo del tiempo.

Ejemplo 2 En el año 2011, un litro de gasolina sin plomo de 98 octanos costaba 1,444 €. A finales del año 2013, su precio había aumentado un 8% sobre el precio del año 2011. ¿Cuánto costaba a finales de 2013? Redondear el resultado al céntimo.

8% de 1,444 € = 81004441

×, = 0,01444 × 8 = 0,11552 € que ha aumentado el precio de la gasolina

1,444 € + 0,11552 € = 1,55952 €; redondeando: 1,56 €

Ejercicio 20 Calcula redondeando el resultado al céntimo de euro si es necesario. a) El precio de una camisa cuya etiqueta marca un precio de 68 € y que tiene un descuento del 30%. b) El beneficio de una empresa en el año 2013, sabiendo que ha sido un 15% superior al de 2012, que fue de 809.326 €.

http://definicion.de/numeros�


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La función % en la calculadora

7,5 % de 34.500 € = 57100

€ 4.5003 ,× = 345 × 7,5 = 2.587,5 €

El porcentaje de una cantidad puede calcularse también realizando primero la multiplicación y después la división:

7,5 % de 34.500 € = 100

57€ 4.5003 ,× = 100

750258. = 2.587,5 €

Haciéndolo así se puede usar la función % de la calculadora. Con la tecla % no es necesario pulsar la tecla de la división, ni las correspondientes al número 100, ni la del signo igual.

Así, el cálculo se realizaría de la siguiente manera:

Ejercicio 21 Empleando la función PORCENTAJE de la calculadora averigua el resultado: a) 35% de 520,85 € b) 0,36% de 18,25 € c) 4% de 208 € d) 10,5 % de 100.520 €

Adición y sustracción de porcentajes

Con los porcentajes se pueden realizar adiciones y sustracciones, de una forma similar a las fracciones. Observa el ejemplo:

Ejemplo 1 Una familia tiene unos ingresos mensuales de 1.450 €. El gasto se realiza de la siguiente manera: 40% de los ingresos para el pago de la hipoteca; 25% de los ingresos en alimentación y ropa; el 15% de los ingresos en transporte y telefonía; el resto de los ingresos en “ocio y otros gastos”.

a) ¿Qué porcentaje de los ingresos gasta en “ocio y otros gastos”?

40% de los ingresos + 25% de los ingresos + 15% de los ingresos = 80% de los ingresos 100% de los ingresos (ingresos totales) – 80% de los ingresos = 20% de los ingresos gastados en ocio y otros gastos

b) ¿Qué cantidad dinero dedica a “ocio y otros gastos”?

20% de 1.450 € = 290 €

Ejercicio 22 Durante unas vacaciones, una familia ha tenido los siguientes gastos: 25% del dinero que llevaba en transporte al lugar de destino; el 45% del dinero que llevaba en el hotel; el 20% del dinero en otros gastos. ¿Con qué porcentaje del dinero con el que salió de casa ha regresado?

34.500 × 7,5 ÷ 100 = 2.587,5

%

34.500 × 7,5 2.587,5 % Nota. En algunas calculadoras es necesario pulsar la tecla = después de la tecla %


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Ejemplo 2 A un conductor le han puesto una multa de 250 €. Por no pagarla en el plazo establecido ha sufrido un recargo del 30 %. ¿Cuánto dinero ha tenido que pagar?

30 % de 250 € = 03100

€ 250× = 75 € de recargo

250 € + 75 € = 325 € importe final de la multa

100 % + 30 % = 130 % del importe de la multa que debe pagar

130 % de 250 € = 130100

€ 250× = 325 €

Ejemplo 3 Una camisa cuyo precio es 45,98 € tiene un descuento del 30%. ¿Cuánto costará la camisa?

30 % de 45,98 € = 03100

€ 45,98× = 13,794 € descuento

45,98 € – 13,794 € = 32,186 € = 32,18 €

100 % – 30 % = 70 % del importe de la camisa que debe pagar

70 % de 45,98 € = 70100

€ 45,98× = 32,18 €

Nota. 100 % es la expresión del valor inicial del objeto en forma de porcentaje.

En ambas casos y en las dos formas de resolución se realizan las mismas operaciones: Cálculo de un porcentaje Una suma o una resta

Las diferencias entre ambas formas es el orden en el que se realizan y que la suma de porcentajes es más sencilla pudiéndose realizar mentalmente.

Ejercicio 23 En el año 2014, una empresa aumentó sus beneficios en un 12% respecto del año 2013. Si en el año 2013 obtuvo unos beneficios de 1.458.650 €, ¿cuánto ganó en 2014? Resuelve ejercicio con adición o sustracción de porcentajes.

El impuesto sobre el valor añadido (IVA)

El IVA es un impuesto indirecto que grava el consumo de cualquier producto o servicio. Es un impuesto indirecto; no se aplica directamente sobre la renta de las personas (el dinero que ganan), sino sobre sus compras o contratación de servicios.

El IVA se expresa en forma de porcentaje (a %), que significa que por cada 100 € hay que pagar la cantidad indicada (a).

Los tipos de IVA vigentes en la actualidad son:

IVA general (21%). Es el porcentaje que se aplica por defecto a todos los productos y servicios: electrodomésticos, ropa, calzado, electricidad, teléfono, material de oficina, espectáculos, peluquería, automóviles, combustibles, productos de cosmética, alcohol, tabaco, servicios funerarios, servicios veterinarios, reparaciones, etc.

IVA reducido (10%). Alimentos en general (excepto los que soportan un IVA superreducido); viviendas; agua para consumo y regadío; transporte de viajeros; recogida y eliminación de residuos; servicios de hostelería; productos de higiene tales como tampones, compresas y protege-slips; gafas y lentillas graduadas; productos para la agricultura y medicamentos para uso animal; material e instrumental sanitario; entradas a bibliotecas, museos y galerías de arte, etc.


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IVA superreducido (4%). Productos de primerísima necesidad: pan y harinas para su fabricación; leche, quesos y huevos; frutas, verduras, hortalizas, legumbres, tubérculos y cereales. También: los libros, periódicos y revistas no publicitarios; medicamentos de uso humano; prótesis, sillas de ruedas y vehículos para minusválidos; viviendas de protección oficial (VPO); prestación de diversos servicios como teleasistencia, ayuda a domicilio, etc.

Ejercicio 24 Consulta la información sobre el IVA y calcula el precio de venta al público (PVP) o precio con IVA de los siguientes artículos: a) Una vivienda de 245.300 € b) Un billete de tren de 13,40 € c) Una barra de pan de 0,75 €

d) Una camisa de 38,97 € e) Un libro de 18,04 € f) Un televisor de 380,07 €

g) Un queso de 28,46 € h) Un jamón de 384,25 € i) Un móvil de 142,95 €

Para la resolución del este ejercicio te ayudará una tabla como ésta:

Artículo Precio sin IVA

IVA (%) IVA (en €) PVP o precio con IVA

vivienda 245.300 € 10 % 10100

€ 45.3002× = 24.530 € 245.300 € + 24.530 € = 269.830 €

… … … … …

DOCUMENTOS DE COMPRAVENTA

Albarán o nota de entrega

Es el documento que acompaña a la entrega de una mercancía cuando ésta no se paga al contado. Permite al vendedor demostrar que ha entregado una determinada mercancía o prestado un servicio. Los albaranes sirven de testigo y guía para la confección de facturas.

Consta de dos copias, como mínimo, firmadas por el comprador. El vendedor se queda con una copia y el comprador con otra. El albarán debe contener los siguientes datos:

Nombre, dirección y CIF (código de identificación fiscal) del vendedor Nombre, dirección y CIF del comprador Número del albarán y fecha de la entrega Descripción y valor de la mercancía o servicio

Ejemplo de albarán

SUMINISTROS ELÉCTRICOS SL Polígono POLINDUSTRIA, nave 36 ZARAGOZA CIF: 4580096Z

Albarán número: 85

Fecha: 10 de enero de 2017

Entrega a: ELECTRA SL (Avda. Séptimo Arte, 208 ZARAGOZA) CIF: 4000330A

Cantidad Concepto Precio Importe 200 Metros de manguera 2,01 402,00

20 Cajas de conexiones 5,49 109,80 175 Metros de cable de antena 1,53 267,75

Firma Electra SL


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Ejercicio 25 Elabora el albarán correspondiente a la compra de material que se detalla a continuación. El 28 de enero de 2017, la empresa de electricidad ELECTRA SL, con domicilio en el número 208 de la Avenida del Séptimo Arte de Zaragoza, ha comprado en el almacén SUMINISTROS ELECTRICOS SL, con domicilio en la nave 36 del Polígono industrial POLINDUSTRIA de Zaragoza, el siguiente material: 37 PIA a 7,99 € cada uno; 82 bases de enchufe a 7,14 € cada una; 100 metros de manguera a 2,01 €/m; 42 cajas de conexiones a 5,49 € cada una; 250 m de tubo corrugado a 0,34 €/m. CIF del vendedor, 4580096Z y CIF del comprador, 4000330A Como número de albarán escribe 109.

Factura

La factura es un documento que acredita legalmente una operación de compraventa. En ella se relacionan detalladamente los artículos que una empresa ha vendido o los servicios que ha prestado. Una factura y sus copias deben contener los siguientes datos:

Nombre y apellidos (o razón social) y número de identificación fiscal del expedidor, que es la persona o empresa que hace la factura porque ha vendido algo o ha prestado un servicio.

Nombre y apellidos (o razón social) y número de identificación fiscal del destinatario (empresa o persona que ha comprado o recibido un servicio)

Número y fecha de la emisión de la factura Detalle de los objetos vendidos o los servicios prestados Importe total, gastos de embalaje y transporte (si los hubiera), descuentos y tipo de IVA

Modelo de factura

(Expedidor de la factura o vendedor) . Nombre (Destinatario de la factura o comprador) Dirección Nombre CIF o DNI Dirección CIF o DNI

Factura número..................... Fecha....................................

Cantidad Concepto Precio Importe

Subtotal

Descuento % del subtotal

Base imponible (B.I.)

I.V.A. % de B.I

TOTAL

Base imponible (cantidad sobre la que se calcula el impuesto, IVA) = Subtotal − Descuento TOTAL = Base imponible + IVA


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Ejercicio 26 Realiza la factura correspondiente a los dos albaranes anteriores, el del modelo de albarán y el del ejercicio 25. Debes unificar en una sola fila, sumando las cantidades, los productos que figuren en los dos albaranes. Fecha de la factura: primer día del mes siguiente al que se han realizado las compras. Número de la factura, 38. Se aplica un descuento del 7,5%. Averigua el tipo de IVA que corresponde a los productos comprados y aplícalo.

El recibo

Es el documento que emite una persona o empresa que cobra una cantidad y que entrega al que paga, como justificante de que se ha recibido una determinada cantidad de dinero.

En el recibo deben figurar los siguientes datos: Número del recibo Nombre de la persona o entidad que entrega el dinero. Cantidad de dinero, en letra y cifra. Lugar y fecha de expedición del recibo. Nombre y firma de la persona que recibe el dinero. Concepto (Por…). Descripción del motivo del recibo: pago del alquiler (indicar el mes)

pago de una factura (identificación de la misma con su número y fecha de expedición), etc.

Los recibos constan de recibo propiamente dicho y de matriz. El recibo se entrega firmado a la persona que paga, como justificante del pago. La matriz queda en poder de quien recibe el dinero, como control de los cobros realizados.

Actualmente, el recibo tiene pocos usos, empleándose en algunas transacciones comerciales como el pago de un alquiler, el pago de la inscripción o matrícula en una actividad, etc.

En la mayoría de las transacciones comerciales, el recibo es sustituido por: La propia factura. Para ello, el emisor de la factura, que es quien recibe el dinero, escribe

la palabra Recibí, firma debajo del “recibí” y estampa el sello de la empresa, si lo tiene.

Número______ Recibí de________________ ______________________

la cantidad de

euros por_____________________ _______________________ ___de____________de ____

Número______ Recibí de _________________________________________ _________________________________________________

la cantidad de 1

euros por______________________________________________ _________________________________________________

__________________a_____de_____________de ______ Son2 euros

Matriz Recibo

1 en letra 2 en cifra Firma


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Por el justificante bancario, en el caso de un pago realizado mediante una transferencia bancaria, un ingreso en la cuenta del beneficiario o un pago mediante tarjeta de crédito o débito. En este caso, el justificante bancario se suele grapar a la factura para tener constancia de que ha sido pagada.

Ejercicio 27 Elabora el recibo correspondiente a la factura del ejercicio número 26. Como número de recibo escribe el 42. La fecha, diez días posteriores a la fecha de la factura. En el concepto (por…) debes escribir la referencia o datos del objeto del pago. En este caso es una factura, que se identifica por su número y su fecha.

DOCUMENTOS BANCARIOS

El cheque El cheque es un documento por el que una persona, empresa o entidad ordena al banco en el

que tiene su dinero que pague a un tercero cierta cantidad de dinero. En un cheque debe figurar la cantidad a pagar, tanto en letra como cifras. La fecha del cheque

puede ser la del día en que se emite u otra posterior. En España, el beneficiario de un cheque dispone de 15 días para cobrarlo, contados a partir de la fecha que figura en el cheque.

Existen varios tipos de cheque. Los más usados son:

Cheque al portador Puede ser cobrado en efectivo por cualquier persona que lo presente en el banco al que

pertenece el cheque.

Cheque nominativo En este tipo de cheque se escribe el nombre de quien puede cobrar el cheque (persona

física, entidad o empresa); solamente puede ser cobrado en efectivo por la persona indicada en el cheque o, en caso de una empresa o entidad, por la persona autorizada por la misma.

Banco del Ebro

Euros -7.975- Páguese por este cheque a Nombre del beneficiario la cantidad de euros ------- siete mil novecientos setenta y cinco ------

Zaragoza a 20 de enero de 2017

Firma del emisor del cheque

Banco del Ebro

Euros -7.975- Páguese por este cheque a portador la cantidad de euros ------- siete mil novecientos setenta y cinco ------


Firma del emisor del cheque


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Tanto en el caso del cheque al portador como en el nominativo puede ocurrir que, al ir a cobrarlo, no haya dinero en la cuenta bancaria del emisor del cheque.

Este problema no existe con el siguiente tipo de cheque, el bancario.

Cheque bancario Es el cheque emitido por el propio banco. Es solicitado por la persona o entidad que debe

efectuar el pago, normalmente titular de una cuenta en ese banco, y extendido a nombre de la persona o entidad que deberá cobrarlo.

El banco retira de la cuenta el importe del cheque y lo guarda para el momento en el que el cheque sea presentado al cobro. Esto garantiza que habrá dinero en la cuenta para pagarlo.

Es el tipo de cheque más seguro. Su cobro está garantizado por el propio banco porque ha apartado el dinero necesario para ese cheque, no pudiendo emplearse en otros gastos.

Es el cheque que se emplea cuando se debe realizar un pago de una cantidad de dinero superior al límite de la tarjeta de crédito o débito y no se quiere llevar el dinero en efectivo.

Extracto bancario Un extracto bancario es un documento con el que el banco informa a sus clientes de los

movimientos (cobros y pagos) y saldo de sus cuentas bancarias. En los extractos existen varias columnas, en las que se detalla la información correspondiente a cada cobro o pago:

FECHA en la que tiene lugar el cobro o pago. CONCEPTO, en la que se explica brevemente el motivo del pago o cobro. IMPORTE, en la que se indica la cantidad de dinero pagada o cobrada. SALDO, en la que se indica el dinero existente en la cuenta en cada momento. Mediante un “INGRESO” o “ABONO” se mete dinero en la cuenta. Mediante un “REINTEGRO” o “CARGO” se retira dinero de la misma. En la columna del IMPORTE, las cantidades que corresponden a INGRESOS y ABONOS

suelen llevar un signo + (a veces no llevan signo). Las cantidades que corresponden a REINTEGROS y CARGOS llevan siempre el signo – (delante o detrás).

FECHA CONCEPTO IMPORTE SALDO

01 / 11 / 2016 Saldo anterior o inicial 2.523 02 / 11 / 2016 Nómina 1.783 + 4.306 05 / 11 / 2016 Compras con tarjeta de crédito 207 – 4.099 07 / 11 / 2016 Factura eléctrica 345 – 3.754

… ….

Banco del Ebro

Euros -7.975- Páguese por este cheque a Nombre del beneficiario la cantidad de euros ------- siete mil novecientos setenta y cinco ------


Firma Sello del banco (Empleado autorizado por el banco)


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Ejercicio 28 El día 1 de enero de 2017, una persona tiene en su cuenta corriente un saldo de 4.857 euros. El

día 5 se carga en su cuenta los gastos de su tarjeta de crédito que ascienden a 825 euros. El día 8 se le carga la factura telefónica y la factura eléctrica con un importe de 154 euros y 83 euros, respectivamente. El día 12 su empresa le abona en la cuenta 352 euros. El día 25 se le reintegra la cantidad de 791 euros. El día 31 se le ingresa la nómina, que asciende a 1.640 euros.

Calcula el saldo de esta libreta de ahorro después de cada operación. Debes escribir todos los movimientos habidos en la cuenta, cada uno en una línea diferente, calculando el saldo después de cada uno de ellos.

FECHA CONCEPTO IMPORTE SALDO 01-01-2017 saldo anterior 4.857 05-01-2017 tarjeta de crédito … …

… … … …

OPERACIONES CON LA CALCULADORA

Recuerda que la mayor parte de las calculadoras no presentan los números en el formato empleado en Europa: el punto como separador de miles y la coma como separador de cifras decimales. Lo hacen al revés, lo que puede inducir a error en la interpretación del resultado.

Aquí se muestran los formatos de números más frecuentes en las calculadoras con su correspondiente formato europeo.

Formato de la calculadora

(no europeo)

Formato europeo Lectura del número

2486.357 2486,357 Dos mil cuatrocientos ochenta y seis unidades con trescientas cincuenta y siete milésimas 2,486.357 2.486,357

2’486.357 2.486,357

Recuerda también que cuando se introducen números tanto en una calculadora como en una hoja de cálculo, NUNCA deben escribirse los separadores de miles. El separador de miles no forma parte del número; es solo una ayuda para su lectura y escritura.

Recuerda también que, en las calculadoras y teclados numéricos del ordenador, el separador de cifras decimales es habitualmente la tecla con un punto. Son muy raras las calculadoras que tienen una tecla con coma para el separador de cifras decimales.


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EJERCICIOS DE REPASO SIN calculadora, excepto si se indica expresamente. Las operaciones deben aparecer en el cuaderno.

Ejercicio 1 a) Expresa las siguientes fracciones en forma de número decimal.

87

51

58

2030

113

3100

100206

b) Expresa en forma de fracción simplificada o irreducible los siguientes números decimales. Recuerda que primero tienes que convertir el número en fracción decimal y luego simplificarla. 0,23 3,108 10,5 0,5 2,8 0,75 7,5

Ejercicio 2 Escribe con letra las siguientes cantidades: 102000350,023 2003009060,8 80600050007,06 901000008060,109

Ejercicio 3 Escribe con cifras las siguientes cantidades: Trescientos ocho mil millones, quinientas mil unidades con nueve centésimas Mil cuatro millones, doscientas unidades con veinticinco milésimas Treinta y dos mil siete millones, setecientas unidades con tres décimas Ochocientos mil millones quinientas unidades con setecientas dos milésimas

Ejercicio 4 Calcula el resultado de las siguientes operaciones. En el caso de las divisiones, aproxima el cociente a la cifra decimal que se indica. Escribe el resto de la misma si es inexacta. 293,062 + 89 + 0,85 500 – 298,17 136,2 – 98,326 0,1 – 0,057 365,7 : 18 (décima) 175,17 : 700 (centésima) 92,193 : 2,3 (centésima) 5.776,3 : 1,9 (unidad) 0,3 : 7 (milésima) 1,8 : 20 (milésima) 0,35 : 2,6 (milésima) 3,008 : 0,15 (milésima)

Ejercicio 5 Calcula los siguientes porcentajes. Redondea las cantidades al céntimo de euro. 0,5% de 1.450 € 2,5% de 10.000 € 21% de 3,50 €

Ejercicio 6 Averigua: a) ¿Cuánto dinero me devuelven si entrego un euro para pagar un objeto que vale treinta y ocho céntimos de euro? b) Averigua el importe de trescientos libros al precio de treinta euros con sesenta céntimos cada libro. c) ¿Cuántos quesos puedo comprar con cien euros si cada uno cuesta ocho euros con setenta y cinco céntimos? ¿Cuánto dinero me sobra? d) Un comercio ha comprado una caja con cincuenta estuches de diez lápices cada uno al precio de cuarenta y cinco céntimos cada lápiz. ¿Cuánto dinero ha pagado? e) En un supermercado hay una oferta de pizzas. Cada una se vende a un euro con treinta céntimos ¿Cuántas se pueden comprar con cincuenta euros? ¿Cuánto dinero sobra?


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Ejercicio 7 Tienes que realizar unos pagos y solamente dispones de los billetes y monedas que se indican. Escribe el número de billetes y monedas que entregarás en cada caso de forma que sea el menor número posible de cada tipo. Fíjate en el ejemplo.

Billetes Monedas

200 € 50 € 20 € 5 € 2 € 20 c€* 5 c€* 1 c€*

38,46 € 1 3 1 7 1 1

378,60 €

547,39 €

1.078,09 €

1.203,52 €

1.500,88 €

* c€ = céntimo de euro

Ejercicio 8 Ejercicio a realizar con la CALCULADORA. a) Realiza las divisiones y completa el cuadro escribiendo los datos que se solicitan. Fíjate en el ejercicio resuelto. Haz en tu cuaderno un cuadro igual; no es necesario escribir la columna “Aproximación de cociente”. Este ejercicio se corrige al realizar el apartado “b”.

Dividendo (D)

Divisor (d)

Aproximación del cociente

Cociente (C) d × C Resto = D – d × C

0,15826 3,01 Milésima 0,052 0,15652 R = 0,15826 – 0,15652 = 0,00174

a 1,38875 0,45 Centésima

b 1,722 7,4 Milésima

c 72.400,35 80,4 Décima

d 1.443,2 48 Centésima

e 5,3813 0,76 Centésima

b) Haz en tu cuaderno un cuadro como éste. Realiza la prueba de las divisiones anteriores para comprobar que los resultados del apartado “a” son correctos. El dividendo obtenido aquí debe ser igual al del apartado “a”. Cociente × Divisor + Resto = Dividendo 0,052 × 3,01 + 0,00174 = 0,15826 a b c d e


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ACTIVIDADES Muy importante Se puede usar la CALCULADORA. En las actividades puede haber datos que no sean necesarios para su resolución. En tu cuaderno deben aparecer TODAS las operaciones necesarias para la resolución de las actividades, una DEBAJO de otra y en el ORDEN adecuado. Fíjate en las actividades resueltas. Los números deben ir SIEMPRE acompañados de la unidad u objeto que cuantifican, explicando el número que se obtiene como resultado.


Una publicación sobre medios de transporte consta de 75 fascículos. Los dos primeros fascículos se venden juntos por 2 euros; el 3º y el 4º cuestan 1,75 euros cada uno; el resto se vende a 3,25 euros cada uno. ¿Cuánto cuesta la publicación?

1º y 2º fascículos = 2,00 € 3º y 4º = 1,75 € / fascículo × 2 fascículos = 3,50 €

Resto = 3,25 € / fascículo × 71 fascículos = 230,75 €

236,25 €


El jefe de logística (transporte) de una empresa recibe el encargo de organizar el traslado de 125.640 cajas a un almacén situado en otra ciudad. Contrata a un transportista que le cobra 455 € (IVA no incluido) por cada viaje. En el camión caben 3.400 cajas.

a) ¿Cuántos viajes deberá realizar para transportar todas las cajas? 125.640 cajas ÷ 3.400 cajas / viaje = 36,95… Necesitará realizar 37 viajes

b) ¿Cuántas cajas llevará en el último viaje? El número de cajas del último viaje será igual al resto de la división. Cálculo del resto: 3.400 × 36 = 122.400 cajas 125.640 – 122400 = 3.240 cajas que llevará en el último viaje

c) Averigua el coste económico del traslado, sabiendo que el tipo de IVA a aplicar es el 21% 455 € / viaje × 37 viajes = 16.835 € 21% de 16.835 € = 3.535,35 € 16.835 € + 3.535,35 € = 20.370,35 €

Actividad 1

En un comercio de ropa, los precios que figuran en las etiquetas de las prendas son los siguientes: abrigo (245,99 €), cazadora (280,75 €), camisa (45,95 €), pantalón (62,80 €), cinturón (32,46 €), corbata (48,25 €), calcetines (28,45 €), chaqueta (129,35 €) y zapatos (68,32 €).

Una persona compra una camisa, un pantalón, un cinturón, una chaqueta y unos zapatos. d) Averigua el importe de la compra si todas las prendas tienen un descuento del 30% sobre el precio que figura en la etiqueta. e) Esta persona entrega un billete de 200 € y otro de 100 €. ¿Cuánto dinero le devuelven?


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Actividad 2

Un comerciante compra en una fábrica 150 camisas por un importe de 4.312,5 €. El precio de venta de cada camisa es igual a su precio de compra más un incremento del 60% sobre ese precio.

¿Cuál es el precio de venta al público de una camisa en ese comercio?

Actividad 3

La normativa para el pago de las multas del Ayuntamiento de una ciudad de 25.786 habitantes es la siguiente:

“El infractor dispone de 90 días para pagar la multa, contados a partir del día de la imposición de la misma. Si el pago se realiza antes de los 30 días, la cantidad a pagar se reduce en un 30% del importe de la multa. Si el pago se efectúa después de los 90 días, deberá pagar un recargo del 20% del importe de la multa.”

Una multa de 235 € impuesta el día 5 de marzo se paga el día 2 de abril. ¿Cuánto dinero se deberá pagar?

Actividad 4

En el año 2008, una compañía discográfica vendió 121895.432 discos y obtuvo un beneficio de 81789.000 €. En el año 2009 aumentó sus beneficios en un 5% respecto de los beneficios del año 2008.

Calcula los beneficios obtenidos en año 2009

Actividad 5

En junio de 2016, el cambio del euro con otras divisas era el siguiente:

1 € Dólar estadounidense

(Estados Unidos) Libra esterlina (Reino Unido)

Yen (Japón)

1,1088 $ 0,84977 £ 112,58 ¥

Un español debe cambiar de moneda cuando viaja a los países indicados en el cuadro. Averigua el dinero que le darán en cada caso. Redondea siempre la respuesta al céntimo y escribe el resultado en la moneda que corresponda en cada caso.

a) A Estados Unidos con 2.500 €. b) Al Reino Unido con 1.800 € c) A Japón con 4.000 € d) Si un español vuelve del Reino Unido con 125 £ y quiere cambiarlas por euros, ¿cuántos le darán?

Actividad 6

Una persona de 35 años fuma 15 cigarrillos al día por término medio. Cada paquete de tabaco le cuesta 3,15 € y tiene 20 cigarrillos. Averigua:

a) El número de paquetes que ha fumado en el año 2013. En caso de que el resultado sea un número decimal deberás indicarlo en paquetes y cigarrillos (por ejemplo: 15 paquetes y 7 cigarrillos más) b) El gasto económico en tabaco durante ese año. Si un paquete no se consume completamente hay que contabilizarlo como completo ya que hay que comprarlo y se paga todo entero.


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Actividad 7

En un negocio, el BENEFICIO obtenido es igual a la DIFERENCIA entre los INGRESOS obtenidos con la venta de productos y los GASTOS realizados: compra de materiales, sueldos, etc.

Un comerciante compra en una fábrica 75 camisas. Para pagar la compra entrega 3 billetes de 500 €, 6 de 200 € y 2 de 50 €. Le devuelven 5 billetes de 5 €. Vende cada camisa a 52 €.

Averigua el beneficio obtenido en la venta de todas las camisas.

Actividad 8

Dos amigos deciden vender camisetas estampadas durante las fiestas del Pilar. Compran 300 camisetas al precio de 11 €. La estampación de cada camiseta cuesta 3 €.

El precio de venta de las camisetas es de 18 €, excepto las 58 últimas camisas que se venden al precio de 12 €.

Averigua el dinero que ha ganado cada uno de los amigos.

Actividad 9

Dos familias se juntan para la cena de Nochebuena. Cada familia compra parte de la cena. La familia A, de 4 miembros, realiza una compra por un importe de 150 €; la familia B, de 6 miembros, compra por un importe de 90 €. Cada familia pagará de acuerdo al número de miembros que tiene.

Al final de la cena sacan cuentas. ¿Cuál de las dos familias deberá pagar más dinero del que ha puesto en la compra y cuál será la cantidad?

Actividad 10

12 amigos van a cenar a un restaurante. El importe de la cena es 212,87 €. a) ¿A cuánto sale la cena a cada uno? Deciden poner 20 € cada uno para dejar algo de propina y tomar posteriormente algo en otro bar. b) Si deciden guardarse 25 euros para tomar algo después, ¿qué propina dejan en el restaurante?


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Unidad 3 La hoja de cálculo

o Introducción o El bloque numérico del teclado o Las pantalla de la hoja de cálculo

Introducción de datos y fórmulas

Modificación de datos

Copiado de fórmulas

Series predeterminadas. Fuente y estilo

Formato de celdas y números

Elaboración de una factura

Actividades


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LA HOJA DE CÁLCULO

Introducción

Se denomina Hoja de cálculo a una aplicación informática que es capaz de gestionar textos, números y fórmulas. Algunas de las características de una hoja de cálculo son:

Facilidad de uso Basta escribir los datos y las fórmulas que usan esos datos. Al introducir las fórmulas, se obtienen instantáneamente los resultados de las operaciones que se han escrito.

Fiabilidad de los resultados. Al contrario que la calculadora, en la que solamente se ve el resultado y no los datos introducidos, la hoja de cálculo muestra tanto los datos introducidos como los resultados obtenidos; esto permite revisar si los datos están bien introducidos. Además se pueden imprimir.

Obtención inmediata del resultado al variar los datos. Si un dato es erróneo, basta con sustituirlo e inmediatamente el programa calcula de nuevo todos los resultados afectados por el nuevo dato.

El bloque numérico del teclado

El bloque numérico se encuentra en la parte derecha del teclado. Algunos portátiles no lo tienen por lo que hay que usar el del bloque alfanumérico, debajo de las teclas de función (F1, F2…)

División Multiplicación

Sustracción

Adición

Esta tecla se pulsa para obtener el resultado de una operación o fórmula.

El punto de este teclado es la coma de los números decimales. También puede usarse la coma del bloque alfanumérico.


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El bloque numérico se activa pulsando la tecla Bloq Num. Cuando se activa suele encenderse un diodo en el teclado. Si no está activado, estas teclas funcionan como las teclas de edición que se verán más adelante.

Cuando se trabaja con una hoja de cálculo, este bloque es más cómodo para la escritura de los números.

La pantalla de la Hoja de Cálculo

Abre la aplicación de Hoja de Cálculo de tu ordenador (Microsoft Office Excel, LibreOffice Calc…)

Observa que existe un gran número de filas y columnas. Las filas se nombran con números y las columnas con letras mayúsculas. La intersección de una fila con una columna se llama celda; las celdas se nombran con la letra de la columna y el número de la fila a las que pertenecen:

Celda A1: columna A, fila 1 Celda B5: columna B, fila 5 Celda G27: columna G, fila 27

Cuando se abre un documento de Hoja de Cálculo, la celda activa es siempre la A1.

Para desplazarse por la hoja y activar una celda se puede usar el ratón o las teclas de edición (imagen de la derecha).Con el ratón, basta con situar el puntero en la celda y pinchar con el botón izquierdo.

Para el manejo de las teclas de edición, realiza el siguiente ejercicio: 1. Pulsando las teclas de edición (flechas) activa la celda B5. 2. Ahora activa la celda D12. 3. Pulsa la tecla Inicio. Observa que se activa la primera celda de

la fila, la A12. 4. Pulsa la combinación de teclas Contrl + Inicio (se mantiene

pulsada la tecla Control o Ctrl y se pulsa la tecla Inicio. Observa que se activa la primera celda de la hoja, la A1.

5. Pulsa la tecla Av Pag varias veces y observa los números de las filas; la celda activa se desplaza hacia el final de la hoja.

6. Pulsa la tecla Re Pag varias veces y observa los números de las filas; la celda activa se desplaza hacia el principio de la hoja.

Teclas de edición


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Introducción de datos y fórmulas

Para que el programa ejecute las operaciones, en las celdas con cuyo contenido se quiere realizar operaciones SÓLO se pueden escribir números. No se puede escribir ni el punto de los miles, ni el signo €, ni el signo del porcentaje (%), ni cualquiera otra palabra ni espacio.

El programa admite el signo menos (−) de los números negativos y la coma de los números decimales. La coma puede escribirse con la tecla coma del teclado alfanumérico y con la tecla punto del teclado numérico.

Realiza el siguiente ejercicio:

1. En la celda A1 escribe el número 23,08 y pulsa la tecla Intro. Observa que se activa la celda A2.

2. Completa las celdas A2, A3 y A4 con los números que se indica en la imagen de la derecha.

3. Ve a la celda B1 y escribe la palabra Adición. Pulsa la tecla Intro para fijar la palabra en la celda y pasar a la celda B2.

4. Completa el resto de celdas de la columna B tal como se indica en la imagen.

Observa que, por defecto, el programa alinea los números a la derecha y el texto a la izquierda. Si se desea, se puede modificar esta alineación.

Si alguna de las columnas es demasiado estrecha para albergar los números o las palabras se puede aumentar su anchura.

Ahora vas a escribir las fórmulas para realizar distintas operaciones con los números escritos:

1. Activa la celda C1. En esta celda estará el resultado de la suma de las celdas A1, A2 y A4.

2. Escribe el signo =. Hay que escribir SIEMPRE el signo = para indicarle al programa que estamos escribiendo una fórmula.

3. Escribe A1+A2+A4, sin espacios. En las fórmulas NO hay que escribir el contenido de las celdas, sino su referencia (A1, B2, C12, etc.). Se escribe primero la letra y luego el número (A1); es igual escribir la letra con mayúsculas o con minúsculas.

4. Una vez escrita la fórmula pulsa la tecla Intro del teclado numérico o la tecla ↵ del teclado alfanumérico. El programa ejecuta la fórmula y el resultado aparece en la celda activa.

Para hacer más ancha la columna B se sitúa el puntero del ratón aquí y con el botón izquierdo del ratón pulsado se desplaza la línea divisoria hacia la derecha.


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Hay otra forma de escribir las fórmulas: 1. Activa la celda D1 y escribe el signo =. 2. Haz clic en la celda A1. Observa que aparece A1 en la celda D1, después del signo =. 3. Escribe el signo +. 4. Haz clic en la celda A2. Observa que aparece A2 en la celda D1, después del signo +. 5. Escribe el signo +. 6. Haz clic en la celda A4. Observa que aparece A4 en la celda D1, después del signo +. 7. Pulsa la tecla Intro del bloque para que el programa ejecute la fórmula. 8. Continúa escribiendo las fórmulas que se indican a continuación:

Celda con el resultado Operación a realizar Fórmula

C2 Restar la celda A1 de la celda A2 =A2-A1

D2 Restar la celda A2 de la celda A1 =A1-A2

C3 Multiplicar las celdas A2 y A3 =A2*A3

D3 Multiplicar las celdas A3 y A4 =A3*A4

C4 Dividir la celda A1 por la celda A4 =A1/A4

D4 Dividir la celda A3 por la celda A2 =A3/A2

9. Aumenta la anchura de la columna que tenga alguna celda cuyo contenido no se vea completamente.

10. Guarda el documento (Archivo – Guardar o botón ) con el nombre de HC_1. 11. Cierra el archivo y envíalo al profesor/a para su corrección.

Hoja de cálculo LibreOffice Calc Hoja de cálculo Mircrosoft Office Excel

Celda activa Celda activa

Contenido de la celda activa Contenido de la celda activa

RECUERDA Para escribir una fórmula se debe escribir en primer lugar el signo =. Se escribe la referencia de las celdas, no su contenido. NO debe haber NINGÚN espacio entre los elementos de la fórmula.

Cuando se rellenan las celdas de una columna, se pulsa tecla Intro o la tecla ↵ para fijar el contenido en la celda y pasar a la celda que se encuentra debajo, en la misma columna.

Cuando se rellenan las celdas de una fila, se pulsa la tecla tabulador ( ) o la tecla → del bloque de edición; el valor queda fijado en la celda y se activa la celda siguiente, a la derecha.


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Modificación de datos

Cuando se modifica el valor de una celda, el programa aplica automáticamente este cambio en todas las fórmulas en las que interviene la celda modificada.

Abre el archivo HC_1 creado anteriormente. Sigue las instrucciones siguientes:

1. Haz un duplicado del mismo con la opción “Guardar como” con el nombre de HC_2.

2. Copia “escribiendo” (NO con el comando Copiar) el contenido de la celda C3 en la celda F3, el contenido de la celda D3 en la celda G3 y contenido de la celda D4 en la celda G4.

3. En la celda A3 sustituye su valor por 1500 y pulsa la tecla Intro o la tecla ↵.

4. Observa que el contenido de las celdas C3, D3 y D4 (dependientes de la celda A3) ha cambiado. Compáralo con el de las F3, G3 y G4 que contienen los valores anteriores a la modificación.

5. Guarda los cambios realizados (Archivo – Guardar o botón de la barra de herramientas) y cierra el programa.

6. Envía el archivo HC_2 al profesor/a para su corrección.

Copiado de fórmulas

Una de las ventajas de los programas informáticos es que realizan por nosotros tareas rutinarias y repetitivas, ahorrándonos así un tiempo que podemos emplear en otras tareas más útiles. Así, por ejemplo, la Hoja de cálculo nos permite crear una fórmula en una celda y copiarla después en otras.

Para realizar este ejercicio debes descargar el archivo Gastos de la Web, que se encuentra en el apartado de Matemáticas.

1. Descarga el archivo en Documentos y haz doble clic sobre el mismo para abrirlo

2. Haz un duplicado del mismo con la opción Guardar como. Como nombre del nuevo archivo escribe HC_3.

El archivo contiene el desglose en trimestres y conceptos de los gastos de una familia durante un año. El ejercicio consiste en completar el documento realizando la suma de gastos tanto por trimestres como anualmente.

Cuando hay que sumar muchos números, existe otra fórmula que nos evita el escribir todos los sumandos. Por ejemplo, si hay que sumar el contenido de las celdas desde la G3 hasta la G10, la fórmula a emplear sería =suma(G3:G10) que le indica al programa que tiene que sumar el contenido de todas las celdas desde la G3 hasta la G10, ambas incluidas.

Para la realización del ejercicio sigue las siguientes instrucciones:

1. En la celda B8 escribe la fórmula para calcular la suma de los gastos del primer trimestre, =suma(B2:B7), y pulsa la tecla Intro o la tecla ↵.

2. Copia esta fórmula en las celdas C8, D8 y E8. Para ello fíjate en la imagen siguiente:


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3. Pincha en la celda C8 y verás que el programa ha modificado la fórmula, actualizándola para la columna C. Ahora la fórmula es =suma(C2:C7) tal como se ve en la imagen siguiente:

Imagen de LibreOffice Calc Imagen de Mircrosoft Office Excel

4. Comprueba que en las celdas D8 y E8 ha ocurrido lo mismo.

5. Guarda los cambios realizados (Archivo – Guardar o botón de la barra de herramientas).

Ahora se va a proceder a calcular el gasto anual en cada uno de los conceptos: agua, gas…

1. En la celda F1 escribe Gasto anual.

2. En la celda F2 escribe la fórmula para calcular el gasto anual de agua, =suma(B2:E2).

3. Copia la fórmula de la celda F2 en las celdas F3, F4, F5, F6 y F7 como lo has hecho anteriormente. Fíjate en la imagen siguiente:

4. Guarda los cambios realizados (Archivo – Guardar o botón de la barra de herramientas).

Con el botón izquierdo pulsado arrastra el puntero a lo largo de las celdas C8, D8 y E8

Sitúa el puntero del ratón aquí, en el cuadradito que hay en el vértice inferior derecha.

Los resultados aparecerán cuando dejes de pulsar el botón del ratón.

Coloca el puntero del ratón en el cuadradito del vértice inferior derecha y, con el botón izquierdo del ratón pulsado, desplázalo hasta la celda F7.


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Si se insertan filas con nuevos datos, Excel calcula de nuevo los resultados teniendo en cuenta estos nuevos datos a condición de que las filas insertadas estén entre las filas existentes.

En la fila B8 hay una fórmula que suma el contenido de las celdas B2 a B7, ambas incluidas. En la imagen inferior se ve, a la izquierda, la referencia de la celda y, a su derecha, su contenido.

Si se quiere que el programa calcule automáticamente después de insertar una nueva fila, esta nueva fila tiene que estar obligatoriamente comprendida entre las filas 2 y 7.

Sigue las siguientes instrucciones:

1. Pincha con el botón derecho del ratón en el número de la fila 7 (imagen inferior).

2. Se desplegará un menú contextual con diversas opciones. En Microsoft Office Excel, elige Insertar. En LibreOffice Calc elige Insertar filas encima.

Imagen de Mircrosoft Office Excel Imagen de LibreOffice Calc

3. Pincha en la cela B9 y observa que la fórmula se ha actualizado, incluyendo una nueva fila, la 8. Ahora la fórmula es =suma(B2:B8) en vez de la antigua =suma(B2:B7).

4. En la celda A7 escribe Ocio y completa las celdas B7, C7, D7 y E7 con los siguientes valores:

B7: 256,60 C7: 388,45 D7: 298,39 E7: 305,90

5. Observa se han actualizado automáticamente las celdas B9, C9, D9 y E9 con una nueva suma que incluye los valores de las celdas de la fila 7.

6. Guarda los cambios realizados.

Ya solamente queda calcular el gasto total anual. Se puede obtener sumando las celdas de la columna F en las que figura el gasto anual en cada concepto o también sumando las celdas de la fila 9 en las que figura el gasto en cada trimestre.


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1. En la celda F9 escribe la fórmula para calcular el gasto total anual, sumando el gasto por trimestre o sumando el gasto por concepto.

2. Guarda los cambios realizados y envía el archivo HC_3 al profesor/a para su corrección.

Series predeterminadas. Fuente y estilo

Los programas de hoja de cálculo tienen ya predeterminadas algunas series tales como los días de la semana o los meses del año.

1. Abre una nueva hoja de cálculo.

2. En la celda A1 escribe lunes.

3. Rellena hacia abajo hasta la celda A7. Observa que el programa ha escrito automáticamente los siete días de la semana.

4. En las celdas correspondientes de la columna B (B1, B2…) escribe los siguientes valores: B1 = 1025,78 B2 = 2129,43 B3 = 1993,80 B4 = 1589,28 B5 = 2504,97 B6 = 3800,90 B7 = 1892,40

5. En la celda B8 calcula la suma de las celdas anteriores.

6. Guarda los cambios. El nuevo archivo se debe llamar HC_4.

Otra serie que hay predeterminada es la de los meses del año.

1. En la celda A10 escribe enero.

2. Rellena hacia la derecha hasta la celda L10. Aparecen automáticamente los meses del año.

En una hoja de cálculo se puede modificar el formato: fuente, color, tamaño. Se puede modificar el formato de una o varias celdas, de una o varias columnas, de una o varias filas y de toda la hoja. También se pueden insertar nuevas columnas o filas entre las que ya existen y eliminar alguna o todas.

Para ello, lo primero que hay que hacer es seleccionar las celdas, filas o columnas sobre las que se van aplicar los cambios. Hay varios tipos de selección. Puedes practicar mientras lees sobre la hoja que hay abierta.

• Para seleccionar una celda basta con pinchar sobre ella con el puntero del ratón.

• Para seleccionar una columna se pincha en la parte superior de la misma, en su letra. Si se quiere seleccionar una fila, se pincha en la parte izquierda, en su número.

• Para seleccionar varias columnas seguidas se pincha en la letra de la primera de ellas y, con el botón izquierdo del ratón pulsado, se desplaza el puntero del ratón a lo largo de las letras de las columnas a seleccionar. La selección se puede realizar tanto hacia la derecha como hacia la izquierda.

Copiar la fórmula de una celda en las celdas que se encuentran en la misma columna, inmediatamente debajo, recibe el nombre de Rellenar hacia abajo. Si se copia en las celdas que se encuentran en la misma fila, a la derecha, recibe el nombre de Rellenar hacia la derecha.


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• Para seleccionar varias filas seguidas se pincha en el número de la primera de ellas y, con el botón izquierdo del ratón pulsado, se desplaza el puntero del ratón a lo largo de los números de las filas a seleccionar. La selección se puede realizar tanto hacia arriba como hacia abajo.

• Si se quiere seleccionar filas o columnas que no están seguidas, se mantiene pulsada la tecla Control (Ctrl) mientras se pincha en las letras de las columnas o los números de las filas a seleccionar.

• Para seleccionar un grupo de celdas se pincha sobre una de las que esté en un extremo de la zona a seleccionar y, con el botón izquierdo del ratón pulsado, se desplaza el puntero por las celdas a seleccionar.

Si se pincha en la celda que se encuentra en la parte superior izquierda, el desplazamiento del puntero del ratón se hace hacia abajo y hacia la derecha.

Si se pincha en la celda que se encuentra en la parte inferior derecha, el desplazamiento del puntero del ratón se hace hacia arriba y hacia la izquierda.

• Si se quiere seleccionar toda la hoja se pincha en el extremo superior izquierdo, a la izquierda de la columna A y encima de la fila 1

Realiza el siguiente ejercicio:

1. Selecciona las columnas H, I, J, K y L que contienen los meses de agosto, septiembre, octubre, noviembre y diciembre.

2. Pincha con el botón derecho del ratón en cualquiera de las columnas seleccionadas y, en el menú contextual que aparece, elige la opción Eliminar o Eliminar columnas.

3. Selecciona las columnas A y B y cambia la fuente a Comic Sans y el tamaño a 12.

4. Selecciona las filas con datos (de 1 a 8).

5. Pincha con el botón derecho sobre el número de cualquiera de ellas. Elige la opción Altura de fila (LibreOffice Calc) y cambia a 0,90 cm o Alto de fila (Excel) y cambia a 25.

6. Selecciona la celda B8 y aplícale el formato Negrita y color rojo oscuro.

7. Guarda los cambios realizados y cierra el archivo.


Pantalla de Microsoft Office Excel Pantalla de LibreOffice Calc

Celdas desde las que se puede comenzar la selección.


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Formato celdas y números

El ejercicio a realizar consiste en modificar el formato del archivo HC_3 realizado anteriormente.

1. Abre el archivo HC_3 realizado anteriormente.

2. Haz un duplicado del mismo (Guardar como) al que nombrarás como HC_5

3. Selecciona toda la hoja y cambia la fuente a Arial y el tamaño a 12.

4. Aumenta la anchura de las columnas que lo requieran para que quepan en ellas los datos.

5. Aumenta la altura de la fila a 0,90 cm en el caso de Calc y a 25 en el caso de Excel.

6. Selecciona la fila 1 y aplícale el formato negrita y color azul oscuro.

7. Selecciona las celdas B9 a E9 y aplícales el formato negrita.

8. Selecciona la fila F9 y aplícale el formato negrita y color rojo oscuro.

9. Selecciona las columnas B a F.

10. Pincha con el botón derecho del ratón en cualquier parte de las columnas seleccionadas. En el menú contextual elige la opción Formato de celdas.

11. En la ventana que aparece elige el formato Moneda. Este formato añade a los números el signo del euro (€), dos decimales y el punto separador de miles.

12. Guarda los cambios y cierra el archivo.


Elaboración de una factura

El ejercicio que vas a realizar consiste en elaborar una factura.

1. Abre una nueva hoja de cálculo y guarda el archivo como HC_6.

2. Rellénala tal como se indica en la imagen.

3. En la fila D3 escribe Importe.

4. Selecciona todas las filas con datos, de la 1 a la 13 y asígnales el alto de fila siguiente: 20 (en Excel) y 0,60 cm (en Calc).

5. La fuente a emplear en toda la hoja es Arial, tamaño 10. El título (FACTURA) en tamaño 14.

6. Las celdas desde la A9 a la A13 deben estar alineadas a la derecha.

7. También deben estar alineadas a la derecha las celdas B3, C3 y D3.


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8. Las filas 3 (Concepto, Cantidad y Precio), 9 (Subtotal), 11 (Base imponible) y 13 (TOTAL) deben estar en negrita.

9. El formato de las celdas de la columna B (Cantidad) es de número, con 2 decimales y separador de miles.

10. El formato de las celdas de las columnas C (Precio) y D (Importe) es de moneda, con el signo € y 2 decimales. No hace falta añadir el punto de separador de miles ya que el formato moneda lo incorpora automáticamente.

11. En las celdas D4, D5, D6, D7 y D8 deberás escribir la fórmula para calcular el importe de las manzanas, peras, etc. Recuerda que solamente es necesario escribir la fórmula en la primera celda (D4); luego se usa la opción Rellenar hacia abajo.

12. En las celdas D9, D10, etc. hay que escribir la fórmula para calcular el Subtotal, Descuento, etc. Para estos cálculos hay que tener en cuenta lo siguiente: • El Descuento se calcula multiplicando el Subtotal por 5 y dividiendo el resultado por

100. • La Base imponible se calcula restando el Descuento del Subtotal. • El IVA se calcula multiplicando la Base imponible por 4 y dividiendo el resultado por

100. • El TOTAL se calcula sumando el IVA a la Base imponible.

13. El color de la celda D13 que contiene el TOTAL de la factura debe ser rojo oscuro y tamaño 12.

14. Guarda los cambios realizados y envía el archivo HC_6 al profesor/a para su corrección.

ACTIVIDADES Estas actividades se realizan con el ordenador, con la aplicación Hoja de cálculo y con algunos archivos que habrá que descargar de la web, del apartado Matemáticas. Los archivos generados se envían al profesor/a mediante correo electrónico. Instrucciones • Deberás generar tres archivos de Hoja de cálculo: Hoja_1 (actividad 1), Hoja_2 (actividad 2) y

Hoja_3 (actividad 3). • La fuente será Arial y el tamaño 11. El alto de las filas debe ser de 20 (en Microsoft Excel) y 0,60

cm (en LibreOffice Calc). Las columnas que lo requieran deberán tener formato de Moneda. • La fila con el encabezado (Cantidad, concepto…) debe estar en formato negrita y la celda que

corresponde al valor del Importe total en formato negrita y color rojo oscuro. • Para las actividades 2 y 3 deberás descargar los modelos de factura, recibo y cheque y

cumplimentarlos. Al descargarlos les cambiarás el nombre según la actividad de la que se trate: o Para la actividad 2, los archivos descargados Factura, Recibo y Cheque se llamarán

Factura_2, Recibo_2 y Cheque_2. o Para la actividad 3, los archivos descargados Factura, Recibo y Cheque se llamarán

Factura_3, Recibo_3 y Cheque_3. • Las celdas de las hojas de cálculo que contienen los datos y operaciones de las facturas (Hoja_2 y

Hoja_3) se copiarán en el archivo correspondiente de la factura (Factura_2 y Factura_3). • Al finalizar cada actividad, se enviarán por correo electrónico todos los archivos creados.

SOLICITA LA AYUDA DEL PROFESOR/A EN CASO DE DUDA


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Actividad 1

Una carpintería fabrica las puertas y ventanas para un edificio en construcción que consta de 20 viviendas, cada una de las cuales tiene cocina, salón, tres dormitorios y dos aseos.

Se fabrican tres tipos de puertas: la de entrada al edificio, que cuesta 2.250 €; la de entrada a las viviendas, 1050 € cada una; y las interiores de las viviendas, 725 € cada una. Las ventanas del aseo cuestan 360 € cada una y las del resto de habitaciones, 780 € cada una.

¿Cuál es el importe de las puertas y ventanas fabricadas?

Modelo para su realización en la hoja de cálculo

Cantidad Artículo o descripción Precio Importe

Actividad 2

Eres el propietario de una empresa. El día 5 de junio de 2017 has comprado en EQUIPOS INFORMÁTICOS SA 15 ordenadores portátiles a 336 € cada uno, 3 impresoras a 74,95 € cada una y diverso material por un importe de 450,85 €. Se te hace un descuento del 7,5%.

Elabora la factura, el recibo y un cheque nominativo correspondientes a esta compra. INVÉNTATE todos los datos que necesites y que no estén escritos en el texto. Las fechas del

recibo y el cheque pueden ser la misma, pero ambas posteriores a la de la factura.

Ejercicio 3

El día 25 de enero de 2017, el comercio FRUTAS ZARAGOZA, domiciliado en el número 12 de la calle Manzano de Zaragoza y con CIF 450069H, ha comprado al mayorista* FRUTAS Y VERDURAS ARAGÓN, con domicilio en la nave 10 del polígono POLINDUSTRIA de Zaragoza y CIF 389400M, los siguientes productos:

105 kilogramos de naranjas a 0,67 €/kilogramo 62 kilogramos de manzanas a 0,73 €/kilogramo 23 piñas a 1,38 € la pieza 79 kilogramos de peras a 1,12 €/kilogramo En esta compra hay 10,5% de descuento. El mayorista elabora las facturas para sus clientes el

día 3 del mes siguiente a las compras y el minorista paga sus facturas el día 10 de cada mes mediante un cheque nominativo del banco ARAGÓN.

Elabora la factura, el cheque y el recibo correspondientes a esta compraventa. INVÉNTATE todos los datos necesarios para la elaboración de los documentos y que no figuran

en el enunciado.


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Unidad 4 La medida del tiempo

o El movimiento de rotación de la Tierra o El movimiento de traslación de la Tierra o Otras unidades de tiempo o Diversas maneras de expresar la hora del día o Expresión de una medida en forma compleja e incompleja o Medidas de tiempo expresadas con números decimales

El sistema métrico decimal o Unidades de longitud, masa y capacidad o Expresión de una medida en forma compleja e incompleja

La medida de la velocidad


Actividades

NOTA En esta unidad es necesario emplear una regla para la realización de mediciones


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LA MEDIDA DEL TIEMPO

El movimiento de rotación de la tierra

La Tierra tarda un día (día solar) en dar una vuelta sobre sí misma, alrededor de su eje.

Este movimiento recibe el nombre de rotación y se realiza de Oeste a Este, por lo que el Sol aparenta salir por Oriente (Este) y ocultarse por Occidente (Oeste). Como consecuencia de este movimiento, se produce la alternancia de los días y las noches.

Cada día se divide en 24 horas. Todos los lugares de la Tierra que se encuentran en el mismo meridiano, línea imaginaria que une los polos Norte y Sur, tienen la misma hora solar.

Cada hora se divide en 60 minutos y cada minuto, en 60 segundos. Cada 7 días se considera una semana.

Ejercicio 1 Calcula: a) Los minutos que tiene 1 día. b) Los segundos que tiene 1 hora. c) Los días que son 552 horas. d) Los segundos que hay desde la 12 del mediodía hasta las 12 de la noche. e) Las horas que son 1.380 minutos. f) Los minutos que son 2.700 segundos

El movimiento de traslación de la tierra

Es el movimiento de la Tierra alrededor del Sol y dura 365 días y 6 horas.

El movimiento de traslación, unido a la inclinación del eje terrestre, da como resultado la sucesión de las distintas estaciones del año (primavera, verano, otoño e invierno) y la distinta duración de los días y las noches en cada una de ellas.

1 semana = 7 días 1 día = 24 horas 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos

Semana 7 Día

24 Hora 60 Minuto 60 Segundo


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Como la duración de este movimiento no es número exacto de días, los años se consideran de 365 días y cada cuatro años se añade 1 día más para compensar las horas perdidas en los tres años anteriores. El año que tiene 366 días recibe el nombre de bisiesto.

Son años bisiestos aquéllos cuyo número es múltiplo de 4. Los múltiplos de 4 se obtienen multiplicando 4 por la sucesión de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, etc.). Así pues, son múltiplos de 4 los números 4, 8, 12, 16…, 40, 44…, 68…, 96, 100…

Para saber si un número es múltiplo de 4 basta con comprobar si sus dos últimas cifras forman un número múltiplo de 4, es decir un número cuya división por 4 es exacta.

1832 es múltiplo de 4 porque sus dos últimas cifras (32) forman un número múltiplo de 4.

2099 NO es múltiplo de 4, ya que sus dos última cifras (99) NO forman un número múltiplo de 4; los múltiplos más cercanos son 96 y 100.

Ejercicio 2 ¿Cuáles de los siguientes años han sido o serán bisiestos? 1492 1808 1812 1936 1939 1978 1986 2004 2014 2030

Otras unidades de tiempo

Un año se divide en 12 meses. Todos los meses no tienen la misma duración:

31 días: enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre

30 días: abril, junio, septiembre y noviembre

28 días: febrero (en los años bisiestos, 29)

Otras unidades de tiempo son:

Semana (7 días), trimestre (tres meses), cuatrimestre (cuatro meses), semestre (seis meses)

Trienio (3 años), lustro (5 años), decenio o década (10 años), siglo (100 años), milenio (1.000 años)

Ejercicio 3 Calcula a) ¿Cuántas horas tiene el tercer trimestre del año? b) ¿Cuántos minutos tiene el mes de julio? c) ¿Cuántos segundos tiene un año bisiesto? d) ¿Cuántas semanas son 604.800 segundos?

enero

marzo mayo

julio

febrero junio

abril agosto septiembre octubre noviembre

diciembre

Si no se recuerda cuántos días tiene un mes, se puede recurrir a este pequeño “truco”: Se cierra el puño y se enumeran, ordenados, los meses del año comenzando por el dedo índice. Los meses que “caen” en nudillo tienen 31 días y los que caen entre nudillos, 30 días. La excepción es febrero que tiene 28 ó 29 días.


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Diversas maneras de expresar la hora del día

Existen dos formas de expresar la hora del día: de una manera informal o cotidiana o de una manera más formal o “técnica”.

En la primera se emplea los números del 0 al 12 para indicar las horas, añadiendo las palabras mañana, tarde o noche; además, existe la costumbre de indicar los minutos que faltan hasta la hora siguiente cuando se han sobrepasado los 30 minutos de una hora determinada. Así, se suele decir “las cinco menos veinte” en vez de las “cuatro y cuarenta”.

En la segunda se emplean los números del 0 al 24 para indicar las horas y se indican los minutos que pasan de una hora determinada. No es necesario indicar si es mañana o tarde, ya que cuando las horas son superiores a 12 se entiende que es después del mediodía.

Ejemplos Manera informal o cotidiana Manera formal o técnica Tres y cuarto de la madrugada 3:15 Cuatro y media de la tarde 16:30 Siete menos veinte de la mañana 6:40 Once menos diez de la noche 22:50

Ejercicio 4 Escribe de manera formal o “técnica” las siguientes horas: a) Dos y cuarto de la tarde e) Una menos veinte de la madrugada b) Una y media de la madrugada f) Ocho menos veinticinco de la mañana c) Once menos cinco de la mañana g) Doce menos diez de la noche d) Siete y diez de la mañana h) Las cinco de la tarde

EXPRESIÓN DE UNA MEDIDA DE TIEMPO EN FORMA COMPLEJA E INCOMPLEJA

Una medida de tiempo puede expresarse en una sola unidad, forma incompleja, o en varias unidades, forma compleja. Así podemos decir que un viaje ha durado 1 hora y 15 minutos (forma compleja) o 75 minutos (forma incompleja).

Conversión de forma compleja a incompleja

Ejemplo Expresar 3 horas, 12 minutos y 40 segundos en forma incompleja (segundos)

Se pasan todas las cantidades a segundos y se suman los resultados.

3 horas = 3 × 3.600 = 10.800 segundos 12 minutos = 12 × 60 = 720 segundos 40 segundos = 40 × 1 = 40 segundos

11.560 segundos 3 horas, 12 minutos y 40 segundos = 11.560 segundos

Forma compleja: en VARIAS unidades (1 hora y 15 minutos) Forma incompleja: en UNA sola unidad (75 minutos)


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Ejercicio 5 Expresa en forma incompleja las siguientes medidas de tiempo. a) 12 horas y 48 minutos en segundos b) 3 días y 12 minutos en segundos c) 2 semanas, 5 días y 17 horas en horas

Conversión de forma incompleja a compleja

Ejemplo Expresar 21516.497 segundos en forma compleja

En primer lugar pasamos los segundos a minutos dividiendo por 60 (segundos que tiene un minuto)

2516497 seg 60 seg /min

116 41941 minutos

564

249

097

37 segundos 21516.497 segundos = 41.941 minutos y 37 segundos

Los minutos obtenidos se pasan a horas dividiendo por 60 (minutos que tiene una hora).

41941 minutos 60 min / h

594 699 horas

541

01 minutos 41.941 minutos = 699 horas y 1 minuto

Las horas obtenidas se pasan a días dividiendo por 24 (horas que tiene un día)

699 horas 24 h / día

219 29 días

3 horas 699 horas = 29 días y 3 horas

Y, por último, pasamos los días a semanas dividiendo por 7 (días que tiene una semana)

29 días 7 días / semana

1 día 4 semanas 29 días = 4 semanas y 1 día

Recordando todo los que hemos hecho:

21516.497 segundos = 41.941 minutos y 37 segundos

699 horas y 1 minuto

29 días y 3 horas

4 semanas y 1 día


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Podemos agrupar las divisiones anteriores y realizarlas sucesivamente de la siguiente forma:

2516497 seg 60 seg /min 116 41941 minutos 60 min / h 564 594 699 horas 24 h / día 249 541 219 29 días 7 días / semana 097 01 minutos 3 horas 1 día 4 semanas 37 segundos

Juntando todos los resultados en una sola expresión:

21516.497 segundos = 4 semanas, 1 día, 3 horas, 1 minuto y 37 segundos

Ejercicio 6 Expresa en forma compleja las siguientes medidas de tiempo a) 490 horas b) 25.240 segundos c) 3.150 minutos d) 243 horas

Ejercicio 7 a) Expresa las siguientes medidas de tiempo en la unidad que se indica.

Un día en minutos Una semana en segundos Un cuarto de hora en segundos 259.200 segundos en días

b) Expresa en forma compleja o incompleja según corresponda.

Incompleja Compleja Incompleja Compleja

90 minutos = 1 horas y ... minutos 4350 minutos = …

... meses = 1 año y 6 meses … segundos = 6 horas y 45 segundos

... minutos = 2 hora y 15 minutos … horas = 2 sem, 6 días y 8 horas

325 segundos = ... minutos y ... segundos 365 horas = … ... segundos = 1 hora y 15 segundos 18.018 segundos = …

1 año bisiesto = … semanas y … días … minutos = 3 semanas y 23 horas

Medidas de tiempo expresadas con números decimales

En la expresión de las medidas de tiempo con números decimales hay que tener en cuenta que las décimas, centésimas y milésimas no tienen el mismo valor que cuando se trata del sistema métrico decimal.

1 hora y media = 1,5 horas = 1 hora y 0,5 horas

0,5 horas (cinco décimas de hora) NO son 5 minutos sino 30 minutos (0,5 horas × 60 minutos/hora).

Por lo tanto, 1,5 horas son 1 hora y 30 minutos.

Ejemplo 1 Expresar 5 días, 13 horas y 42 minutos en forma incompleja (horas)


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5 días = 5 × 24 = 120 horas

5 días, 13 horas y 42 minutos = 133,7 horas

13 horas = 13 horas

42 minutos = 42 : 60 = 0 , 7 horas

133 , 7 horas

Ejercicio 8 Expresa en forma incompleja las siguientes medidas complejas. En las divisiones, hay que aproximar el cociente hasta las centésimas, excepto que la cifra de las centésimas sea 0; en este caso habrá que aproximar hasta la milésima. El resto se desprecia. a) 2 horas, 4 minutos y 57 segundos = ............................ minutos b) 3 semanas, 2 días, 7 horas y 39 minutos = ....................... horas c) 5 horas y 18 segundos = .................................................... horas d) 2 horas, 42 minutos y 36 segundos = ................................ horas e) 45 minutos y 18 segundos = ............................................. horas

Ejemplo 2

Expresar 135,783 horas en forma compleja.

En la cantidad se separa la parte entera de la parte decimal: 135,783 horas = 135 horas + 0,783 horas.

Parte entera

135 horas es más que 1 día, por lo que procederemos a convertir estas horas en días.

135 horas : 24 horas/día = 5 días y 15 horas.

Así pues, la parte entera de esa cantidad es:

135 horas = 5 días y 15 horas

Parte decimal

0,783 horas es una cantidad inferior a 1 hora por lo que la convertiremos en minutos:

0,783 horas × 60 minutos/hora = 46,98 minutos = 46 minutos y 0,98 minutos.

0,98 minutos es una cantidad inferior a 1 minuto por lo que la convertiremos en segundos:

0,98 minutos × 60 segundos/minuto = 58,8 segundos = 58 segundos y 0,8 segundos.

0,8 segundos (ocho décimas de segundo) se desprecian ya que no vamos a manejar unidades inferiores al segundo.

135 ,783 horas = 5 días, 15 horas, 46 minutos y 58 segundos

Ejercicio 9 Expresa en forma compleja las siguientes medidas incomplejas

1 3 5 horas 2 4 horas/día − 1 2 0 5 días 1 5 horas


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a) 148,23 horas b) 18,03 días c) 0,62 horas d) 362,05 minutos e) 0,605 semanas

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL El SMD es un conjunto (sistema) de medidas (métrico) que van de 10 en 10 (decimal); es

decir, cada unidad es 10 veces mayor que la anterior y 10 veces más pequeña que la siguiente.

Para nombrar las diferentes unidades que componen el SMD se emplean palabras formadas por un prefijo, que indica su valor, seguido del nombre de la unidad de referencia.

Los prefijos más empleados para formar las diferentes unidades son:

Prefijo Valor Prefijo Valor kilo (k) 1.000 veces mayor deci (d) 10 veces menor hecto (h) 100 veces mayor centi (c) 100 veces menor deca (da) 10 veces mayor mili (m) 1.000 veces menor

Otros prefijos muy empleados son:

giga (G) = 1.0001000.000 de veces mayor. Ejemplo: gigavatio (Gw) = 1.0001000.000 vatios mega (M) = 11000.000 de veces mayor. Ejemplo: megavatio (Mw) = 11000.000 vatios micro (µ) = 11000.000 veces menor. Ejemplo micrómetro (mµ); 1 metro = 11000.000 mµ

Unidades de longitud, masa y capacidad

La unidad de longitud es el metro. Otras unidades son:

Múltiplos: o decámetro, equivalente a 10 metros

o hectómetro, equivalente a 100 metros

o kilómetro, equivalente a 1.000 metros

o miriámetro, equivale a 10.000 metros

Submúltiplos: o decímetro, equivale a 1 décima de metro (1 dm = 0,1 metros, 1 m = 10 dm) o centímetro, equivale a 1 centésima de metro (1 cm = 0,01 metros; 1 m = 100 cm) o milímetro, equivale a 1 milésima de metro (1 mm = 0,001 metros; 1 m = 1.000 mm)

Un decímetro (dm) es una unidad 10 veces menor que un metro. En una regla o cinta métrica es la distancia que hay entre el 0 y el 10, entre el 10 y el 20, entre el 20 y el 30, entre el 1 y el 11, entre el 2 y el 12, etc.

Un centímetro (cm) es una unidad 100 veces menor que un metro. En una regla o cinta métrica es la distancia que hay entre el 0 y el 1, entre el 1 y el 2, entre el 2 y el 3, entre el 10 y el 11, etc.

1 dm


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Un milímetro (mm) es una unidad 1.000 veces menor que un metro. En una regla o cinta métrica es la distancia que hay entre dos rayitas pequeñas.

Ejercicio 10 Observa tu regla o cinta métrica y contesta a las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos milímetros tiene 1 centímetro? b) ¿Cuántos centímetros tiene 1 decímetro? c) ¿Cuántos milímetros tiene 1 decímetro? d) Una regla de 30 centímetros, ¿cuántos decímetros mide? e) Esa misma regla, ¿cuántos milímetros mide?

Longitud Masa Capacidad Nº unidades

Múl

tiplo

s

tonelada métrica (t) 1.000.000 unidades quintal métrico (Qm) 100.000 unidades miriámetro (mam) miriagramo (mag) mirialitro (mal) 10.000 unidades kilómetro (km) kilogramo (kg) kilolitro (kl) 1.000 unidades hectómetro (hm) hectogramo (hg) hectolitro (hl) 100 unidades decámetro (dam) decagramo (dag) decalitro (dal) 10 unidades

Unidad metro (m) gramo (g) litro (l)

Sub-

m

últip

los decímetro (dm) decigramo (dg) decilitro (dl) 0,1 (1 décima de…)

centímetro (cm) centigramo (cg) centilitro (cl) 0,01 (1 centésima de…)

milímetro (mm) miligramo (mg) mililitro (ml) 0,001 (1 milésima de…)

De las unidades anteriores, algunas apenas se emplean. Las unidades más empleadas son:

Longitud. Kilómetro, metro, centímetro y milímetro.

Capacidad. Hectolitro, litro, centilitro y mililitro.

Masa. Tonelada, kilogramo, gramo y miligramo.

Ejercicio 11

1 cm 1 dm = 10 cm

1 cm

1 mm Distancia entre dos marcas


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Cambia de unidad 0,072 km = ...................... cm 500 hg = ........................... dg 500 kl = ............................. dl 314,9 cm = ........................ m 250.080 hg = .................. Qm 20.600 cl = ......................... kl 13,5 hm = ........................ cm 78.000 kg = ........................ g 78.000 litros = ................. dal 1.640 mm = .................... dam 78.000 g = ........................ dg 1.000.000 ml = ................. dl 4,6 m = ............................ cm 0,07 T = ............................... g 704,5 dl = ......................... dal

Expresión de una medida en forma compleja e incompleja Al igual que en las unidades de tiempo, las medidas de longitud, capacidad y masa pueden

expresarse en forma compleja (empleando varias unidades) y en forma incompleja (empleando una sola unidad)

Así, se puede decir que la distancia entre dos puntos es de 35.030,7 dm (forma incompleja) o también 3 km, 5 hm, 3 m y 7 cm (forma compleja)

Ejemplo 1 Expresar la medida compleja 6 km, 5 hm, 2 m y 8 mm en forma incompleja (en metros).

Se convierte cada una de las distintas unidades que componen la medida en la unidad indicada y luego se suman.

6 km = 6 × 1.000 = 6.000 metros

6 km, 5 hm, 2 m y 8 mm = 6.502,008 m

5 hm = 5 × 100 = 500 metros 2 m = = 2 metros 8 mm = 8 : 1.000 = 0 , 008 metros

6.502 , 008 metros

Ejercicio 12 Expresa en forma incompleja las siguientes medidas complejas a) 5 km, 9 dam, 5 dm y 8 cm = ..................... m b) 5 hg, 8 g, y 7 mg = .......................... cg c) 3 l, 2 dl, 8 cl y 3 ml = ................................ dl d) 7 T, 2 Qm y 6 hg = ......................... kg e) 7 hm y 3 m = ........................................... km f) 7 hm, 8 dam y 3 dm = .................... mm g) 2 Qm, 6 hg 8 dag = .................................... g h) 2 dal y 7 dl = ................................... cl

Ejemplo 2 Expresar la medida incompleja 364,205 dam en forma compleja.

Se descompone el número en sus partes entera y decimal: 364,205 dam = 364 dam + 0,205 dam La parte entera se convierte sucesivamente en unidades mayores al dam

La parte decimal se convierte en unidades más pequeñas que el decámetro (dam)

364 dam 10 0,205 dam × 10 = 2,05 m = 2 m + 0,05 m

64 36 hm 10 0,05 m × 10 = 0,5 dm

4 dam 6 hm 3 km 0,5 dm × 10 = 5 cm

Solución: 364,205 dam = 3 km, 6 hm, 4 dam, 2 m y 5 cm

Ejercicio 13


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Expresa en forma compleja las siguientes medidas incomplejas a) 3.560 m b) 2,035 kl c) 1.702,005 kg d) 0,085 m e) 72,605 dal f) 0,7004 hg g) 408,06 dam h) 0,3057 t

Ejercicio 14 Mide los siguientes segmentos y expresa la medida en forma compleja y en forma incompleja. Observa el ejercicio resuelto.

Segmento Forma compleja Forma incompleja

En decímetros En centímetros En milímetros

AB

CD

EF

GH

IJ

Como se ha dicho antes, hay algunas unidades que son muy empleadas y otras muy poco. Es muy habitual emplear en la forma compleja solamente aquellas unidades más usadas, ya que permiten hacerse una idea más exacta de la medida de la que se trata.

Ejemplo 3

a) La distancia entre dos pueblos es de 38,7 km. Expresar la medida en kilómetros y metros.

38,7 km = 38 km + 0,7 km = 38 km y 700 m (0,7 × 1000)

b) Una máquina tiene una masa de 284 Qm. Expresar la medida en toneladas y kilógramos.

284 Qm ÷ 10 = 28 toneladas (resto = 4 Qm) 4 Qm × 100 = 400 kg 284 Qm = 28 t y 400 kg

c) La capacidad de un recipiente es de 0,845 dal. Expresar esta medida en litros y mililitros

0,845 dal × 10 = 8,45 litros = 8 litros + 0,45 litros 0,45 litros × 1000 = 450 mililitros 0,845 dal = 8 litros y 450 mililitros

Ejercicio 15 Expresa en forma compleja, en las medidas que se indican, las siguientes medidas incomplejas

A B C D E F G H I J

284 Qm 10 4 Qm 28 t


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a) 23.040 m = …km y …m b) 0,083 hm = …m y …cm c) 4.205 dal = …kl y …litros d) 26.000 hg = …T y …kg e) 0,201 dag = …g y …mg f) 409 dl = …litros y …cl

LA MEDIDA DE LA VELOCIDAD

Cuando nos movemos, recorremos una distancia empleando para ello un tiempo. La velocidad nos indica el espacio (kilómetros, metros, etc.) que hemos recorrido en la unidad de tiempo, que puede ser 1 hora, 1 minuto o 1 segundo.

Para calcular la velocidad a la que se ha circulado se divide el espacio recorrido por el tiempo empleado.

Las unidades más habituales en las que se expresa la velocidad son km/h (kilómetros en cada hora) y m/seg (metros en cada segundo)

Así, cuando decimos que hemos hecho un viaje a una velocidad de 85 km/hora, queremos decir que, en cada hora, se han recorrido 85 km. Como en un viaje, unas veces se va más deprisa y otras veces más despacio, hablamos siempre de velocidad media.

Ejercicio 16 Circulas por una autopista en un coche que se mueve a una velocidad de 116 km/h. Calcula los km que recorrerás en: a) 3 horas b) Media hora c) 2 horas y media d) Un cuarto de hora

Ejemplo 1 Una persona ha dado un paseo. Ha recorrido 3 km y 750 metros empleando un tiempo de 1 hora y 15 minutos. Calcula la velocidad media a la que ha estado paseando.

Antes de hacer cualquier cálculo es conveniente que las medidas estén expresadas en forma incompleja, es decir, en una sola unidad.

En este caso, lo más fácil es expresar el espacio recorrido en metros y el tiempo empleado en minutos. La velocidad así obtenida vendrá expresada en metros / minuto 3 km y 750 m = 3.000 m + 750 m = 3.750 m 1 hora y 15 minutos = 60 minutos + 15 minutos = 75 minutos

Para calcular la velocidad media se divide el espacio recorrido por el tiempo empleado:

3.750 m : 75 minutos = 50 metros / minuto (en cada minuto ha recorrido 50 metros)

Ejercicio 17 Calcula la velocidad media, en metros por minuto (m/minuto) de un automóvil que ha recorrido una distancia de: a) 21 km y 250 m en 17 minutos b) 247 km y 500 m en 2 horas y 45 minutos

Los resultados del ejercicio anterior son un poco difíciles de comprender, porque estamos acostumbrados a que la velocidad esté expresada en Km/h. Vamos a expresar en km/h la velocidad del ejemplo 1 para hacerla más comprensible.


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Ejemplo 2 Expresar en km/h la velocidad obtenida en el ejemplo 1

Si la persona ha paseado a una velocidad de 50 metros / minuto quiere decir que ha recorrido 50 metros en cada minuto. Por lo tanto, en 1 hora habrá recorrido más espacio, 60 veces más:

50 metros × 60 minutos / hora = 3.000 metros recorridos en una hora (3.000 m / hora)

Ahora convertimos 3.000 metros en kilómetros: 3.000 m : 1.000 = 3 km

Por tanto, 50 metros / minuto = 3 km / h

Ejercicio 18 Expresa en km/h las velocidades obtenidas en el ejercicio 17

Ejercicio 19 Calcula el espacio, el tiempo o la velocidad según corresponda en cada caso.

móvil Espacio recorrido tiempo empleado velocidad

automóvil 720 km 6 horas …km/h

barco …km 2 días y 16 horas 23 km/h

bicicleta 18,75 km …minutos 25 km/h avión …km 3 horas y tres cuartos de hora 900 km/h sonido 1.224 km …horas 340 m/s guepardo 1.800 m …minutos y ...segundos 90 km/h luz ... km minuto y medio 300.000 km/s

EJERCICIOS DE REPASO Para la realización de estos ejercicios NO se debe usar la CALCULADORA. En el cuaderno deben aparecer, resueltas, TODAS las operaciones necesarias para la resolución de los ejercicios.

Ejercicio 1 Calcula:

a) 415

de 5 horas = … minutos b) 13

de día = … minutos c) 78

de 5 horas = … segundos

Nota. Primeramente convierte las horas y el día en la unidad en la que se pide el resultado y después realiza los cálculos correspondientes.

Ejemplo: 29

de 3 días = … horas:

29

de 3 días = 29

de 72 horas = 2972

× = 8 × 2 = 16 horas

Ejercicio 2 Expresa las siguientes medidas incomplejas de tiempo en forma compleja. a) 126,26 horas b) 3,6 días c) 312,85 minutos d) 0,48 días


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Ejercicio 3 Expresa las siguientes medidas complejas de tiempo en forma incompleja. a) 5 días, 6 horas y 27 minutos = .............................................. horas b) 6 días, 12 minutos y 57 segundos = .................................. minutos c) 5 semanas y 51 minutos = ..................................................... horas d) 3 días, 24 minutos y 18 segundos = ....................................... horas

Ejercicio 4 Expresa las siguientes fracciones en forma de número natural o decimal según corresponda. Recuerda que para pasar una fracción a número decimal basta con dividir el numerador entre el denominador. Todas las divisiones son EXACTAS.

a) 43 de litro = …litros = … mililitros b)

52 de litro = … litros =… centilitros

c) 23 de hectólitro = …hl = … litros d)

49 de kilógramo = …kg = … gramos

e) 820 de tonelada = …T = … kilógramos f)

162 de metro = ...m = … milímetros

Ejercicio 5 Expresa las siguientes medidas en la unidad más apropiada.

Ejemplo: la longitud del pasillo de una casa mide 0,0405 hm. La forma más correcta de expresarlo sería en metros. 0,0405 hm = 4,05 m a) La distancia entre dos pueblos es de 35070 m b) La masa de un barco es de 4.035.708 kg c) La cisterna del WC tiene una capacidad de 1.508 cl d) Un jamón tiene una masa de 50.480 dg e) Una botella tiene una capacidad de 0,075 dal f) Un campo de baloncesto mide 0,155 hm

Ejercicio 6 Expresa las siguientes medidas incomplejas en forma compleja. a) 7,209 km b) 70,087 hl c) 0,795 kg d) 75.008,6 cl e) 350.709,5 kg

Ejercicio 7 Expresa las siguientes medidas complejas en forma incompleja. a) 5 hl, 7 dal, 2 dl y 3 ml = ............................. litros b) 3 T, 7 Qm, 4 dag y 5 g = ................................. kg c) 7 dm y 5 mm = ............................................... cm d) 5 kg, 7 hg y 3 cg = ............................................ g e) 7 kl, 6 dal y 5 dl = ............................................ hl

Ejercicio 8 Un coche circula a una velocidad de 85 km/h. Si mantiene la velocidad constante: a) ¿Cuántos metros recorrerá en un cuarto de hora? b) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 34 km? Expresa el resultado en minutos.


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Ejercicio 9 La distancia del Sol a la Tierra es 150.000.000 km aproximadamente. Averigua el tiempo que tarda en llegar la luz del sol a la Tierra sabiendo que la velocidad de la luz es de 300.000 km/s. Expresa el resultado mediante un complejo de minutos y segundos.

ACTIVIDADES Se puede usar la CALCULADORA. En las actividades puede haber datos que no sean necesarios para su resolución. En tu cuaderno deben aparecer TODAS las operaciones necesarias para la resolución de las actividades, una DEBAJO de otra y en el ORDEN adecuado. Fíjate en las actividades resueltas de las unidades anteriores. Los números deben ir SIEMPRE acompañados de la unidad u objeto que cuantifican, explicando el número que se obtiene como resultado.

Actividad 1

Una botella de litro y medio de leche cuesta un euro con treinta y cinco céntimos.

a) ¿A cómo resulta el litro de leche?

b) ¿Cuál es el importe de una caja que contiene seis botellas?

Actividad 2

En una lata de conserva de pescado figuran los siguientes datos: • Peso neto (pescado y aceite), 120 gramos • Peso escurrido (sólo pescado), 75 gramos • Capacidad (de la lata), 125 ml

Averigua la cantidad de pescado y de aceite que se ha necesitado para envasar 20.200 latas. Expresa la cantidad de pescado mediante un complejo de toneladas y kilogramos.

Actividad 3

Una caja de galletas de quinientos ochenta y cinco gramos (sólo las galletas) contiene tres paquetes de veintiséis galletas cada uno y cuesta 2,95 €

a) Averigua el peso de una galleta.

b) Calcula el precio de una galleta (redondea la cantidad a la centésima o céntimo de euro)

Actividad 4

Un agricultor vende 4,5 toneladas de patatas por un importe de 1.395 €. Esas mismas patatas se venden en un supermercado en sacos de 15 kg que cuestan 13,8 €. Averigua la diferencia que hay entre el precio de compra al agricultor y el precio de venta en el supermercado.

Actividad 5

Averigua el importe de las siguientes compras:

a) 350 gramos de jamón serrano a un precio de 19,95 € / kg.

b) 735 gramos de carne a un precio de 8,75 € /kg


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c) 1,258 kg de pescado a un precio de 12,50 € / kg

d) 3,258 kg de verdura a un precio de 0,89 €/ kg

Actividad 6

En un supermercado hay botellas de leche de 1,5 litros a 1,44 €, cajas de 2 litros a 1,96 € y botellas de medio litro a 0,51 euros.

a) ¿A qué precio resulta el litro de cada tamaño?

b) Si una familia compra 30 litros en el envase más barato, ¿cuántos envases se tiene que llevar?

Actividad 7

Una persona toma para desayunar una naranja de aproximadamente 200 g de peso, un tazón de 400 ml de leche, 10 g de azúcar y 10 galletas. Calcula el importe del desayuno.

Los precios de los alimentos son los siguientes:

• Naranjas: 0,85 € / kg

• Leche: 0,95 € / litro

• Azúcar, 1,75 € / kg

• Galletas: 1 caja de 60 galletas cuesta 1,80 €

Actividad 8

Un bar vende tres tipos de bocadillos: de jamón, de queso y de lomo de cerdo. Para hacer cada bocadillo emplea la tercera parte de una barra de 400 gramos y las cantidades de que se indican a continuación:

• 30 gramos de jamón

• 60 gramos de queso

• 100 gramos de lomo

El precio de los ingredientes es el siguiente:

• Pan: 1,20 € cada barra

• Jamón: 17,50 €/kg

• Queso: 9,00 €/kg

• Lomo: 6,25 €/kg

a) Calcula el precio de cada tipo de bocadillo (cantidad redondeada al céntimo de euro).

b) El bar vende todos los bocadillos a 3,75 €. Averigua el beneficio que obtiene en cada tipo de bocadillo (cantidad redondeada al céntimo de euro).

Actividad 9

La cantidad de alcohol de las bebidas alcohólicas viene indicado en los envases en forma de porcentaje. Si en el envase de una bebida está escrito “Vol 5,5%”, quiere decir que en cada 100 partes de bebida hay 5,5 partes de alcohol o que en 100 mililitros de bebida hay 5,5 mililitros de alcohol.

Completa el siguiente cuadro haciendo los cálculos necesarios:

Bebida % de alcohol

Capacidad del envase o copa

Alcohol ingerido en la consumición (mililitros)

Cerveza 5,5% 33 cl


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Sidra 4,25% 150 mililitros Vino de mesa 12% 0,15 litros Coñac 40% 5 centilitros

Actividad 10

El corazón humano tiene una media de 70 latidos por minuto. Cada vez que late bombea 70 mililitros de sangre. Si pusiésemos en fila todas las arterias, venas y capilares obtendríamos un hilo de más de 96.000 kilómetros, el equivalente a dos veces la circunferencia de la Tierra.

Con los datos anteriores averigua:

a) Los latidos del corazón en un año bisiesto. Escribe la cantidad con letra y con cifra.

b) Los litros de sangre que bombea el corazón en un minuto.

c) El tiempo que tardaría el corazón en llenar un depósito de 1 kilolitro

Actividad 11

En la gasolinera A, la gasolina cuesta 1,075 €/litro y en la gasolinera B cuesta 1,07 €/litro. Al final de año, las dos gasolineras han vendido la misma cantidad de gasolina, 730.057 litros. ¿Cuánto dinero ha ganado más la gasolinera A que la B?

Actividad 12

Una compañía de suministro de combustible tiene un depósito con 2.500.000 litros de gasolina. En enero ha vendido el 34% de la gasolina almacenada y en febrero, el 36% de la gasolina almacenada.

NOTA. Para la realización de este ejercicio es conveniente repasar el apartado “Adición y sustracción de porcentajes de la unidad 2.

a) Expresa en forma de porcentaje la cantidad de gasolina que queda en el depósito.

b) ¿Cuántos litros de gasolina quedan?


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Unidad 5 Líneas rectas y segmentos

Ángulos

Polígonos o Triángulos o Cuadriláteros o Polígonos regulares e irregulares o Círculo o Perímetro de un polígono

Área o superficie de polígonos o Unidades de superficie o Cálculo de la superficie de un cuadrilátero rectángulo o Cálculo de la superficie de un triángulo o Cálculo de la superficie de un círculo o Calculo de la superficie de un polígono cualquiera

Teorema de Pitágoras


Actividades

NOTA En esta unidad será necesario emplear los instrumentos de dibujo y medida que se indican a continuación.


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INSTRUMENTOS DE DIBUJO Y MEDIDA

La escuadra y el cartabón son dos plantillas en forma de triángulo rectángulo.

La escuadra tiene forma de rectángulo isósceles (dos lados iguales). Sus ángulos agudos miden 45º respectivamente.

El cartabón tiene forma de rectángulo escaleno (ningún lado igual). Sus ángulos agudos miden 30º y 60º respectivamente. Suelen emplearse para trazar líneas rectas paralelas y perpendiculares. Si están graduadas pueden emplearse también para medir segmentos rectilíneos.

Transportador de ángulos Para trazar un ángulo en grados, se sitúa el centro del transportador en el vértice del ángulo y se alinea la parte derecha del radio (semirrecta de 0º) con el lado inicial. Se marca con un lápiz el punto con la medida del ángulo deseada. Con una regla se traza una línea recta desde el vértice hasta el punto marcado o, si se desea, un poco más largo.

Para medir un ángulo en grados, se alinea el lado inicial del ángulo con el radio derecho del transportador (semirrecta de 0°) y se determina, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, la medida que tiene prolongando, si es necesario, los brazos del ángulo por tener mejor visibilidad

Regla

Las reglas con estas líneas pueden sustituir a la escuadra y el cartabón en el trazado de líneas perpendiculares.

Recta perpendicular a la recta horizontal

Para trazar una línea perpendicular con esta regla se hace coincidir una de las líneas transversales de esta regla con la línea a la que hay que trazar la línea perpendicular


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LÍNEAS RECTAS Y SEGMENTOS

Una línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección, contiene un número infinito de puntos y solamente tiene una dimensión (longitud). No se puede medir ya que no tiene ni principio ni fin.

Un segmento rectilíneo es un trozo o fragmento de una recta. El segmento es limitado o finito y se puede meir

En la imagen de la derecha, los puntos A y B determinan una recta que pasa por ellos. Los puntos P y Q determinan un segmento de extremos P y Q.

Si trazamos dos rectas en un plano puede ocurrir que se corten o que no lleguen a tocarse nunca. Si se cortan diremos que son secantes y no se cortan son paralelas.

ÁNGULOS Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos

semirrectas con un origen común. Una semirrecta es una recta con origen en un punto.

Las semirrectas A y B son los lados del ángulo y el punto de origen es el vértice.

Los ángulos se clasifican en:

• Recto, si los lados están sobre rectas perpendiculares.

• Agudo, si es menor que un recto.

• Obtuso, si es mayor que un recto.


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POLÍGONOS

Una línea poligonal es un conjunto de segmentos rectilíneos unidos entre sí. Puede ser abierta o cerrada. El trozo de espacio limitado por dos segmentos consecutivos recibe el nombre de ángulo. Así, los segmentos HG y GK forman un ángulo.

El trozo de plano limitado por una línea poligonal cerrada se denomina polígono. En la figura,

el polígono es la zona interior de color, rodeada por la línea poligonal.

Ejercicio 1 a) Mide los lados a, b , c, d, e y f expresando la medida en centímetros. b) Mide los ángulos A, B, C y E. Si es necesario alarga sus lados para poder medirlos.

Los elementos de un polígono son:

• Lados. Cada uno de los segmentos que limitan el polígono (AB, BC, CD…).

• Vértices. Puntos en los que se unen dos lados (A, B, C…).

• Ángulos. Están formados por dos lados contiguos del polígono. Ejemplo: el formado por los lados AB y BC.

• Diagonales. Segmentos que unen dos lados no consecutivos de un polígono.

• Radios. Segmentos que unen el centro con los vértices.

• Apotema. Línea perpendicular desde el centro del polígono a cada uno de los lados.


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Los polígonos se denominan según el número de lados o ángulos que tienen. Si el polígono tiene tres lados, recibe el nombre de triángulo; el de cuatro lados, cuadrilátero; si tiene cinco lados, se llama pentágono; etc.

Triángulos

Tres puntos A, B, y C, no alineados, determinan el triángulo ABC. En el triángulo ABC se distinguen:

• Los tres vértices A, B y C. • Los tres ángulos A, B y C. • Los tres lados a, b y c.

El lado sobre el que se apoya el triángulo es la base, y la recta perpendicular a la base desde el vértice opuesto es la altura.

Cada uno de los tres lados puede ser base del triángulo y a cada uno le corresponde una altura.

Los triángulos se pueden clasificar antendiendo a sus lados y sus ángulos.

Atendiendo a sus lados:

Equilátero

Los tres lados son iguales a = b = c

Isósceles Hay dos lados iguales, a y c

a = c ≠ b

Escaleno No hay ningún lado igual

a ≠ b ≠ c

Atendiendo a sus ángulos:

Acutángulo

Los tres ángulos son agudos Rectángulo

Un ángulo recto uy dos agudos Obtusángulo

Un ángulo obtuso y dos agudos

La suma de los ángulos de un triángulo es siempre 180º.


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Ejercicio 2 a) En un triángulo acutángulo, hay dos ángulos que miden 65º y 83. ¿Cuánto mide el otro? b) En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos mide 54º. ¿Cuánto miden los otros dos? d) En un triángulo obtusángulo, los lados agudos miden 30º cada uno. ¿Cuánto mide el ángulo obtuso?

Ejercicio 3 a) Clasifica los siguientes triángulos, según sus lados y ángulos, escribiendo su número en la casilla correspondiente de la tabla que hay al final de la página.

En cada triángulo, los lados que tienen la misma letra miden igual.

b) Construye los dos triángulos cuya casilla está vacía.

Equilátero Isósceles Escaleno

Rectángulo

Acutángulo

Obtusángulo

1

a

a

a

4

a

a

b

3

a

b

c

2

b

a

b

5

b

a

c

6

a b

a 7

a

b

c


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Cuadriláteros

Hay varios tipos de cuadriláteros:

En cualquier cuadrilátero, la suma de todos sus ángulos es siempre 360º

Ejercicio 4

Observa los cuadriláteros anteriores y contesta las siguientes preguntas

a) ¿Qué cuadriláteros tienen todos sus lados iguales?

b) ¿Qué cuadriláteros tienen los lados iguales dos a dos?

c) ¿Qué cuadriláteros tienen dos ángulos agudos (<90º) iguales y dos ángulos obtusos (> 90º) iguales?

d) ¿Qué cuadriláteros tienen todos los ángulos rectos (90º)?

e) ¿Qué cuadrilátero tiene dos ángulos rectos, un ángulo agudo y otro ángulo obtuso?

f) ¿Qué cuadrilátero tiene dos lados iguales, dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos iguales?

g) ¿Qué cuadriláteros no tienen ningún lado ni ningún ángulo iguales?

h) En un trapecio rectángulo, el ángulo obtuso mide 105º. ¿Cuánto mide el ángulo agudo?

i) En un trapecio isósceles, un ángulo mide 80º. ¿Cuánto miden los otros ángulos?

Polígonos regulares e irregulares

Los polígonos pueden ser regulares (todos los lados y ángulos son iguales) o irregulares.


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Círculo

Una línea curva y cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de uno llamado centro recibe el nombre de circunferencia. El trozo de plano limitado por una circunferencia recibe el nombre de círculo.

Los elementos de la circunferencia y el círculo son:

O: centro del círculo y la circunferencia R (radio). Es el segmento de recta que une el centro del círculo con un punto de la circunferencia. D (diámetro). Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

El diámetro es el doble del radio (D = 2 × R). Por lo tanto, el radio es la mitad del diámetro

Perímetro de un polígono

Se llama perímetro de un polígono a la suma de las longitudes de todos sus lados. En el caso del círculo, el perímetro es la longitud de la circunferencia.

Para calcular la longitud de una circunferencia se parte del hecho de que en cualquier circunferencia, sea del tamaño que sea, el cociente de dividir su longitud entre su diámetro es siempre el mismo.

Si se tienen dos ruedas de bicicleta bien construidas, una grande y otra más pequeña, en ambos casos la división de su longitud entre su diámetro da el mismo resultado.

…35893,14159265 pequeña rueda diámetropequeña rueda longitud

grande rueda Diámetrogrande rueda Longitud

==

El resultado es un número decimal inexacto al que se designa con la letra griega π que se pronuncia “pi”. Para los cálculos elementales se toma como valor 3,14.

nciacircunfere la de Diámetronciacircunfere la de Longitud = π ⇒ Longitud = diámetro × π

La fórmula para calcular la longitud de la circunferencia se suele escribir en función del radio y no del diámetro, aunque da igual coger uno u otro.

Longitud = diámetro × π = (2 × radio) × π = 2 × radio × π

Nota (*). En las fórmulas, el signo de la multiplicación suele omitirse.

Longitud circunferencia = π d* = 2 π r *


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Ejercicio 5 a) Calcula en dm el perímetro de un cuadrilátero rectángulo cuyos lados miden 7 m y 450 cm

b) Expresa en milímetros el perímetro de un hexágono regular de 0,35 m de lado

c) Calcula el perímetro de un trapecio isósceles uno de cuyos lados iguales mide 3 m y los otros dos miden 4 y 7 m respectivamente. Expresa el resultado en hm.

d) Calcula la longitud de la circunferencia de una moneda de 1 euro sabiendo que su diámetro mide 23,25 mm. En el resultado desprecia las cifras decimales

e) Calcula la longitud de la circunferencia de una rueda de bicicleta cuyo diámetro mide 622 mm. Expresa el resultado en metros, con aproximación al milímetro.

f) Calcula el perímetro de un triángulo isósceles sabiendo que cada uno de los lados iguales es tres veces mayor que el lado desigual, que mide 8,5 cm.

ÁREA O SUPERFICIE DE POLÍGONOS

Unidades de superficie

Para expresar el tamaño de una vivienda se emplean las unidades de superficie. Una vivienda es un conjunto de espacios cuya forma más habitual es la de un cuadrilátero rectángulo.

Observa estas dos figuras.

El perímetro (suma de la longitud de todos sus lados) de ambas figuras es 16 cm. Perímetro de la figura A = 3 cm + 3 cm + 5 cm + 5 cm = 16 cm Perímetro de la figura B = 4 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm = 16 cm

Sin embargo, la figura B es mayor que la A. Para comparar dos figuras planas no es suficiente con calcular su perímetro sino que debemos averiguar cuánto cabe dentro de ellas, es decir, su superficie o área.

Para averiguar la superficie de estas figuras debemos hacer uso de una unidad llamada centímetro cuadrado (cm2).

Un centímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 centímetro de lado

← 1 cm2

5 cm

3 cm Figura A

Cuadrilátero rectángulo

4 cm

4 cm Figura B Cuadrilátero cuadrado


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Dividiendo las figuras en centímetros cuadrados se obtiene:

De ambas figuras se puede decir que se necesita igual número de metros de valla para

rodearlas (perímetro), pero distinto número de baldosas para cubrirlas (superficie).

Ejercicio 6

Fíjate en la definición de centímetro cuadrado y define las siguientes unidades:

a) metro cuadrado (m2) b) decímetro cuadrado (dm2) c) kilómetro cuadrado (km2)

Ejercicio 7

Dibuja un decímetro cuadrado, un centímetro cuadrado y un milímetro cuadrado. Dibújalos uno dentro de otro, compartiendo un mismo vértice (imagen de la derecha). Pide ayuda al profesor/a si no sabes cómo hacerlo.

a) ¿Cuántos centímetros cuadrados caben en el decímetro cuadrado?

b) ¿Cuántos milímetros cuadrados caben en el centímetro cuadrado?

c) ¿A cuántos milímetros cuadrados es igual un decímetro cuadrado?

d) El centímetro cuadrado es la... parte del decímetro cuadrado.

Múl

tiplo

s kilómetro cuadrado (km2) 1 km2 = 100 hm2 = 10.000 dam2 = 11000.000 m2

hectómetro cuadrado (hm2) – hectárea (ha) 1 hm2 = 1 ha = 100 dam2 = 10.000 m2

decámetro cuadrado(dam2) – área (a) 1 dam2 = 100 m2

Unidad metro cuadrado (m2) – centiárea (ca)

Sub-

m

últip

los decímetro cuadrado (dm2) 1 dm2 = 0,01 m2 (centésima de m2)

centímetro cuadrado (cm2) 1 cm2 = 0,0001 m2 (diezmilésima de m2)

milímetro cuadrado (mm2) 1 mm2 = 0,000001 m2 (millonésima de m2)

De las unidades anteriores, las más usadas son el kilómetro cuadrado (superficie de países, continentes, océanos), la hectárea (superficie de tierras de cultivo, bosques…), el metro cuadrado (viviendas, naves industriales, fincas pequeñas…) y el centímetro cuadrado (objetos pequeños).

Superficie figura A = 15 cm2

Superficie figura B = 16 cm2


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Ejercicio 8 a) Completa en tu cuaderno la siguiente tabla sobre las unidades de superficie. Escribe las cantidades en forma de potencia de 10 (102, 103, 104, etc.):

Unidades hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1 kilómetro cuadrado son

1 hectómetro cuadrado son

1 decámetro cuadrado son

b) Cambia de unidad:

0,072 km2 = ................. m2 50,07 ha = ................. m2 28,005 m2 = .............. mm2

45 dam2 = .................. hm2 550.000 mm2 = ......... m2 0,705 km2 =................ hm2

0,7 m2 = ................... dam2 8,009 dam2 = .......... cm2 81409.205 dm2 = .......... m2

0,003 hm2 = .............. cm 2 880 m2 = ..................... ha 25.000 mm2 = .............. m2

Cálculo de la superficie del cuadrilátero rectángulo

En el cuadrilátero rectángulo de la derecha se observa que sobre la base se pueden poner 8 cm2 y sobre la altura, 3 cm2.

Así pues, en el cuadrilátero se pueden poner:

8 × 3 = 24 cm2

Muchos de los objetos habituales (suelo y paredes de las habitaciones, mesas, hojas de las puertas, etc.) tienen forma de cuadrilátero rectángulo.

En estos casos no hablamos de base y altura sino de largo y ancho (suelo de una habitación) o de largo y alto (pared de una habitación).

Un caso especial es el cuadrilátero cuadrado que tiene los cuatro lados iguales. En este caso, la superficie se obtiene calculando el cuadrado del lado.

Superficie = base × altura = a × a = a2

La superficie de un cuadrilátero rectángulo se obtiene multiplicando su base por su altura Superficie = base × altura

a

a

a

a

Superficie del cuadrado = a2

Base (8 cm)

Altu

ra (3

cm

)


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Ejemplo 1 Calcula el perímetro y la superficie de un cuadrilátero cuadrado de 5,3 cm de lado

Perímetro = 5,3 cm / lado × 4 lados = 21,2 cm Superficie = 5,3 cm × 5,3 cm = (5,3 cm)2 = 28,09 cm2

Ejercicio 9 Realiza las medidas necesarias para calcular el perímetro y la superficie de este cuadrilátero

Área o superficie de un triángulo En un triángulo, cualquiera de sus lados puede ser la base. Cada una de sus bases tiene su

correspondiente altura. Así, en el triángulo 2, a la base 1 le corresponde la altura 1; si se toma otro lado como base, base 2, le corresponde otra altura distinta, la altura 2.

Observa la siguiente figura. Es un cuadrilátero rectángulo dividido en dos partes, cada una de

las cuales es un triángulo.

La superficie o área del triángulo ACD es obviamente la mitad que la del cuadrilátero

rectángulo ABCD. Por lo tanto:

Superficie del cuadrilátero ABCD = base × altura. Por lo tanto, la superficie del triángulo será la mitad:

Superficie del triángulo = Superficie del cuadrilátero = Base × altura 2 2

Altura

Base 2

Base 1

Base

Altura 1

Altura 2

Triángulo 1 Triángulo 2

Altura (3 cm)

Base (8 cm)

Triángulo ADC

A

D

B

C

Triángulo ABC


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Ejercicio 10 Realiza las mediciones oportunas y calcula el área de los siguientes triángulos. Si es necesario, redondea los resultados hasta la centésima.

Recuerda que la altura es la recta perpendicular al lado tomado como base desde el vértice opuesto a la base.

Superficie del círculo

La superficie de un círculo se calcula multiplicando el número “pi” (π) por el cuadrado del radio.

Ejercicio 11

Calcula el área de un círculo cuyo diámetro mide 25 dm. Expresa el resultado en metros cuadrados y aproximando hasta la centésima.

Superficie de un polígono cualquiera

Sabiendo calcular la superficie del cuadrilátero rectángulo, el triángulo y el círculo, se puede averiguar la superficie de cualquier polígono ya que todo polígono se puede descomponer varios de los polígonos anteriores.

Ejemplo Calcular la superficie del siguiente polígono

Área del círculo = π r2

Triángulo 1

Triángulo 2


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Figura 1

Figura 2 Figura 2

Figura 3

La figura anterior puede descomponerse en cuatro figuras, dos de ellas iguales:

• Figura 1: semicírculo (medio círculo)

• Figura 2: triángulo (dos iguales)

• Figura 3: cuadrilátero rectángulo

Se calcula la superficie de cada uno de los polígonos y se suman los resultados.

Ejercicio 12 En el polígono anterior realiza las medidas oportunas para calcular la superficie total del mismo. En los triángulos deberás elegir uno de los lados como base y dibujar la altura correspondiente al mismo.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Pitágoras fue un matemático, filósofo, astrónomo y músico griego que vivió en el siglo V antes de Jesucristo. Hizo numerosas aportaciones a la ciencia que siguen vigentes hoy día.

El teorema que lleva su nombre establece la relación que hay entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Este teorema SOLAMENTE puede aplicarse en los triángulos rectángulos.

Triángulo rectángulo isósceles. Tiene dos lados iguales (los que tiene la misma letra) y los dos ángulos agudos también.

Triángulo rectángulo escaleno. No tiene ningún lado con la misma longitud. Los dos ángulos agudos son distintos; uno mide más de 45º y el otro menos de 45º.

En un triángulo rectángulo, el lado mayor recibe el nombre de hipotenusa y los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos.

El teorema de Pitágoras dice que “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

Hipotenusa (a)

Cateto 2 (c)

Cateto 1 (b)


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Este teorema permite calcular la longitud de un lado del triángulo rectángulo conociendo los otros dos.

Ejemplo de aplicación del teorema de Pitágoras

En el triángulo rectángulo anterior, el lado a mide 20 m y el lado b, 16 m. Calcular el lado c.

Pasos a realizar para su resolución

* Escritura de la fórmula del teorema de Pitágoras ............................................ a2 = b2 + c * Sustitución en la fórmula de las letras por los valores conocidos ................. 20

2 2 = 162 + c

* Cálculo de los cuadrados ............................................................................. 400 = 256 + c

2

* Cálculo del valor desconocido (cuadrado) ......................................... c

2 2

* Cálculo del lado c ........................................................................................ c =

= 400 – 256 = 144

144 = 12

Al aplicar el teorema de Pitágoras, la última operación que hay que realizar es calcular la raíz cuadrada de un número.

Ejemplos

La raíz cuadrada de 16 ( 16 ) es 4 porque 42 = 16 ⇒ 4 16 =




Casi todas las calculadoras incorporan la función raíz cuadrada ( ). En el caso de que una calculadora no la tenga, se puede calcular una raíz cuadrada por tanteo, es decir, probando números.

Ejemplo Calcular la raíz cuadrada de 7.741 ( 7.741). Resolución por tanteo.

En primer lugar se prueba con números acabados en cero, por ejemplo con 100 1002 Como este número excede a 7.741, se prueba con otro más pequeño = 10.000 502 Ahora se prueba con un número entre 50 y 100. Por ejemplo, el 70 = 2.500 702 Se prueba con un número comprendido entre 70 y 100 tal como el 90 = 7.900 902 El número buscado está entre 70 y 90, más cercano al 90 = 8.100 852 El número buscado está entre 85 y 90. Se prueba con 88 = 7.225 882 Este número excede por muy poco a 7.741. El número buscado es 87,… = 7.744 87,82 Se puede seguir hasta acercarse lo máximo posible a 7.741 = 7708,84

La raíz cuadrada de un número a es otro número b cuyo cuadrado es igual a a. ______

√ a = b ← raíz cuadrada

b2 = a

TEOREMA DE PITÁGORAS

a2 = b2 + c2


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Ejercicio 13 Calcula la longitud del lado que falta en cada uno de los triángulos rectángulos.

a) b) c)

Ejercicio 14 Calcula la superficie de este polígono. Deberás usar el teorema de Pitágoras para averiguar la longitud de un segmento que es necesario para la resolución del ejercicio y del que se desconoce su longitud.

EJERCICIOS DE REPASO Para la realización de estos ejercicios puedes usar la CALCULADORA. En el cuaderno deben aparecer, indicadas, TODAS las operaciones necesarias para la resolución de los ejercicios. Para la realización de cada ejercicio es conveniente repasar el apartado correspondiente del texto.

Ejercicio 1 Realiza las mediciones oportunas para calcular el perímetro y la superficie de estos polígonos. En el caso del polígono “b” deberás descomponerlo en dos triángulos a) b)

13 cm

10 cm

22 cm


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Ejercicio 2 a) Realiza las mediciones oportunas para calcular la superficie de estos polígonos. Deberás descomponerlos en polígonos conocidos (triángulo, cuadrilátero y círculo).

Es preferible descomponerlos en pocos polígonos (así hay que medir menos) y si se puede hacer en polígonos iguales, mejor.

b) Mide los ángulos de los dos cuadriláteros y calcula su suma. Es posible que haya que prolongar sus lados para poder realizar la medición.

Ejercicio 3 Realiza las medidas oportunas para calcular el perímetro y la superficie de este polígono

1

3

2


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Ejercicio 4 Calcula la superficie de un estanque con forma de triángulo isósceles con las medidas que se indican en la figura.

Tendrás que calcular primero la longitud de su altura aplicando el Teorema de Pitágoras

NOTA En un triángulo equilátero, la altura toca a la base en su punto medio. Lo mismo ocurre con un triángulo isósceles en el que se toma como base el lado desigual. Ejercicio 5 Calcula la superficie de un rombo cuyo lado mide 8 m y su diagonal mayor 15 m.

Tendrás que aplicar el Teorema de Pitágoras.

Ejercicio 6 Calcula la superficie de un jardín que tiene forma de hexágono regular y cuyo lado mide 25 m.

Para ello tendrás que calcular la longitud de su apotema aplicando el Teorema de Pitágoras.

NOTAS En un hexágono regular, el lado mide igual que su radio. El hexágono regular se puede dividir en triángulos equiláteros.

25 m

15 m

8 m

6,5 m

5 m


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ACTIVIDADES Muy importante Se puede usar la CALCULADORA. En las actividades puede haber datos que no sean necesarios para su resolución. En tu cuaderno deben aparecer TODAS las operaciones necesarias para la resolución de las actividades, una DEBAJO de otra y en el ORDEN adecuado. Fíjate en las actividades resueltas. Los números deben ir SIEMPRE acompañados de la unidad u objeto que cuantifican, explicando el número que se obtiene como resultado.


Una habitación mide 6 m y 42 cm de largo y 4 m y 65 cm de ancho. La puerta de entrada mide 1 m y 7 cm de ancha. Averigua:

a) Los metros de rodapié necesarios para toda la habitación

Medidas de la habitación: largo = 6,42 m; ancho = 4,65 m; ancho de la puerta = 1,07 m

Perímetro de la habitación = 6,42 m / lado × 2 lados + 4,65 m / lado × 2 lados = 22,14 m

Descontando la anchura de la puerta = 22,14 m – 1,07 m = 21,07 m de rodapié necesarios.

b) La superficie de la habitación

Superficie de la habitación = 6,42 m × 4,65 m = 29,853 m2

c) La cantidad de baldosas de 40 × 40 cm necesarias para cubrir el suelo.

Lado de la baldosa = 40 cm = 0,4 m Superficie una baldosa = 0,4 m × 0,4 m = 0,16 m2

Baldosas necesarias = 29,853 m2 ÷ 0,16 m2 / baldosa = 186,58125

Se necesitarán 187 baldosas, ya que con 186 quedaría un trozo de habitación sin cubrir (el resto de la división)

Calculo del resto de la división

0,16 m2 / baldosa × 186 baldosas = 29,76 m2 cubiertos con las 186 baldosas

29,853 m2 totales – 29,76 m2 cubiertos = 0,093 m2 que se cubrirían con un trozo de la baldosa 187


Se quiere pintar un muro de 12 m y 73 cm de larga y 3 m y 9 cm de alta. La pintura a emplear se vende en botes de 0,75 litros en los que se nos indica que podemos pintar hasta 8 m2 con el contenido del bote. Cada bote cuesta 8,75 €.

¿Cuánto dinero nos costará pintar la pared?

Medidas de la pared: longitud =12,73 m; altura = 3,09 m

Superficie de la pared = 12,73 m × 3,09 m = 39,3357 m2

Cantidad de botes = 39,3357 m2 a pintar ÷ 8 m2 / bote = 4,9169625 botes; se necesitarán 5 botes de pintura.

Importe de la pintura = 8,75 € / bote × 5 botes = 43,75 €


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Actividad 1

Un plano inclinado o rampa es una sencilla máquina que nos permite elevar objetos a cierta altura con un mínimo esfuerzo.

Se necesita cargar un camión cuya caja se encuentra a una altura de 1,5 metros del suelo. Se dispone de dos planchas de hierro, una de 4 metros y la otra de 5 metros, que se pueden emplear como rampa.

a) ¿Con cuál de las dos se hará menos esfuerzo para cargar el camión?

b) Con la plancha de hierro elegida en el apartado anterior, ¿a qué distancia del camión estará el inicio de la rampa?

Actividad 2

Una escalera que pesa 12,45 kg puede desplegarse hasta una longitud máxima de 5,25 metros. Por seguridad, se debe apoyar a una distancia mínima de 2,25 metros de la pared y a una máxima de 3,5 metros.

¿Qué altura podemos alcanzar con esta escalera?

Actividad 3

Se quiere pintar una piscina que tiene las siguientes medidas: largura, 10 m; anchura, 6 m; profundidad, 1 m y 45 cm.

Se aplicarán dos capas de pintura. La pintura elegida tiene las siguientes características:

• Tiene un rendimiento de 6 m2 / litro (con un litro se pueden pintar 6 m2).

• Se vende en latas de 4 litros al precio de 15,95 € la lata.

Calcula

a) La superficie a pintar.

b) Los litros de pintura necesarios.

c) Las latas de pintura que se deberán comprar y el importe de las mismas.

d) El precio de la pintura (lo que vale un litro).

suelo

altura rampa


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Actividad 4

La figura es el plano de una vivienda. Las medidas de la vivienda real son 40 veces mayores que las de este plano.

a) En el plano, mide las habitaciones que se indican (interior de las mismas) y calcula sus medidas reales. Completa la siguiente tabla, indicando la unidad en cada número: Salón – comedor Dormitorio grande Dormitorio pequeño

Medida en el plano En centímetros

Medida real (40 veces mayor) En metros

b) Calcula la superficie de las tres habitaciones anteriores.


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Actividad 5

Se quiere recubrir una pared del salón de una casa con lamas de madera. La pared a cubrir tiene una longitud de 5,48 m y una altura de 2,50 m.

Las lamas tienen un grosor de 4 mm, una anchura de 122 cm y una altura de 14,6 cm. Se vende en paquetes de 18 unidades al precio de 22,95 €/m2.

a) Averigua la superficie que se puede cubrir con un paquete de lamas.

b) Averigua los paquetes que será necesario comprar para cubrir la pared.

c) Averigua el importe de la madera comprada.

Actividad 6

Una habitación tiene las siguientes medidas: largura, 6 m y 25 cm; anchura, 4 m y 63 cm; altura, 2 m y 95 cm. La puerta de entrada tiene unas medidas de 1 m y 5 cm de anchura y de 2 m de altura. Hay una ventana cuadrada de 1 m y 50 cm lado.

Se quiere cubrir el suelo con baldosas de 30 cm × 30 cm y pintar de blanco el techo y las paredes.

La pintura a emplear se vende en latas de 5 kg, tiene un rendimiento de 0,125 kg / m2 (se necesitan 0,125 kg para pintar 1 m2) y cuesta 8,99 € / lata.

Calcula:

a) Las baldosas necesarias.

b) La superficie a pintar

c) Las latas de pintura que se deberán comprar y el importe de las mismas.

d) El precio de la pintura (lo que vale un kilogramo).

122 cm

14,6 cm Lama de madera


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Unidad 6 Poliedros

Clasificación de los poliedros o Poliedros regulares o Prismas o Pirámides o Ortoedro o Desarrollo de un poliedro

Cuerpos redondos: cilindro, cono y esfera

Área lateral y total de poliedros y cuerpos redondos

Volumen de poliedros y cuerpos redondos o Unidades de volumen o Volumen del ortoedro o Volumen de prismas y cilindros o Volumen de pirámides y conos

Densidad


Actividades

NOTA En esta unidad será necesario emplear instrumentos de dibujo y medida.


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POLIEDROS Un poliedro es un trozo de espacio limitado por polígonos. Poliedro es una palabra compuesta

de dos de origen griego: “poli” (muchas) y “edra” (cara). Los poliedros son cuerpos tridimensionales (tres dimensiones: largo, ancho y alto) al contrario

que los polígonos que son bidimensionales (dos dimensiones: largo y ancho) y las líneas que son unidimensionales (una sola dimensión: largo).

En un poliedro existen tres elementos fundamentales: • Caras: son los polígonos que lo delimitan. Pueden ser caras laterales (ADE, ADC, ACB, ABE) o bases (BCDE). • Aristas: son los lados de sus caras (Ejemplo: segmentos AB, CD...). • Vértices: puntos en los que confluyen al menos tres aristas (puntos A, B, C, D y E)

CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS

Poliedros regulares Los poliedros regulares son aquellos en los que todas sus caras son polígonos regulares, todos

iguales entre sí. Un polígono regular es aquel cuyos lados y ángulos son iguales

Tetraedro Hexaedro o cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

4 triángulos equiláteros 6 cuadrados 8 triángulos

equiláteros 12 pentágonos

regulares 20 triángulos equiláteros

Prismas regulares Los prismas regulares son poliedros con las siguientes características: • Tienen dos caras iguales a las que se llama bases. Cualquier polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, etc.) puede ser las bases. • Varias caras laterales que son cuadriláteros rectángulos.

Los prismas se denominan según el polígono que tienen de bases: prisma triangular,

cuadrangular, pentagonal, etc.

A

B

C

E D

Cara lateral

Base


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El cubo o hexaedro puede considerarse un caso especial de prisma. Sería un prisma en el que sus caras laterales son iguales a las bases.

Pirámides regulares Son poliedros con una sola base, que es un polígono regular cualquiera, y cuyas caras

laterales son triángulos. El tetraedro es un caso especial de pirámide.

Al igual que los prismas, las pirámides se nombran con el polígono que es su base: pirámide triangular, cuadrangular, etc.

El tetraedro puede considerarse un caso especial de pirámide. Sería una pirámide en la que

sus caras laterales son iguales su base.

Ortoedro El ortoedro es el poliedro más construido por el hombre. Muchos de los cuerpos geométricos

de nuestra vida cotidiana son ortoedros: las cajas de zapatos, la mayor parte de las cajas de embalaje, armarios, un envase tetrabrik, etc.

Un ortoedro es un poliedro cuyas caras son cuadriláteros rectángulos iguales dos a dos.

En la figura, las caras anterior y posterior (B) son iguales entre sí, las caras laterales (A) también son iguales entre sí y las caras superior e inferior (C) igualmente.

Desarrollo de un poliedro

Apotema de la pirámide o altura del triángulo

Altura de la pirámide

Base


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Ejercicio 1 Dibuja el desarrollo de un prisma hexagonal de 8,5 cm de altura y cuyo lado de la base mide 3 cm. Las bases del prisma es un hexágono regular. El hexágono regular tiene la particularidad que su lado es igual al radio del círculo en el que está inscrito. Para dibujar el hexágono regular procede de la siguiente manera: 1. Dibuja un círculo de 3,5 cm de diámetro. 2. Con lo misma abertura del compás con la que

has dibujado el círculo divide la circunferencia en 6 partes iguales.

3. Une con segmentos rectilíneos las marcas realizadas en la circunferencia.

4. Borra la circunferencia dejando solamente los lados del hexágono.

Para dibujar las caras laterales, une .los vértices como se indica en la figura y prolonga las los segmentos los 8,5 cm que mide la altura del prisma.

CUERPOS REDONDOS

Esfera Cono Cilindro

Base

Base

Cara lateral

Altura


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El desarrollo del cilindro y el cono se muestra a continuación:

Un cilindro está formado por dos círculos que hacen de bases y un cuadrilátero rectángulo

enrollado en torno a sus bases. La medida de la altura del cuadrilátero es la misma que la del cilindro y su base es igual que la longitud de la circunferencia de la base del cilindro.

Un sector circular es un trozo de círculo limitado por dos radios (OA y OB) y un trozo de circunferencia (AB)

Un cono está formado por un círculo que hace de base y un sector circular enrollado en torno ella. El lado curvo del sector circular mide igual que la longitud de la circunferencia de la base.

Ejercicio 2 Dibuja el desarrollo de un cilindro de 6,5 cm de altura y 4 cm de radio de la base. Para su realización: 1. Traza verticalmente un segmento rectilíneo de 22,5 cm. Esta medida es la suma de los diámetros de

los dos círculos más la altura del cilindro (8 cm + 8 cm + 6,5 cm) 2. Marca los centros de los círculos a 4 cm de cada uno de los extremos del segmento y dibuja los

círculos con una abertura del compás igual al radio (4 cm). 3. Calcula la longitud de la circunferencia de las bases. Será la base del cuadrilátero rectángulo. 4. Traza dos perpendiculares al segmento rectilíneo vertical por cada una de las intersecciones de los

círculos con el segmento vertical. 5. Marca los extremos de la base del cuadrilátero rectángulo y traza sus lados verticales.

Base

Base

2 π r

Altura Radio de la base Altura

Generatriz

Base Altura

2 π r

Sector circular


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ÁREA LATERAL Y TOTAL DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Se necesita conocer la superficie de un cuerpo geométrico hueco cuando se quiere averiguar la cantidad de material necesario para fabricarlo o la pintura que se empleará para pintarlo.

Se puede calcular el área lateral, solamente la superficie de sus caras laterales, o el área total, que sería añadir al área lateral la superficie de su base o bases.

Ejemplo 1 Averigua la pintura necesaria para pintar un objeto en forma de pirámide regular cuadrangular cuya base mide 750 mm y la altura de sus caras laterales es 1.200 mm.

En el bote de pintura a emplear se indica que su rendimiento es de 12 m2 / litro (se pueden pintar 12 m2 con un litro de pintura).

El desarrollo de este prisma es un conjunto de un cuadrado de 750 mm de lado y cuatro triángulos de 750 mm de base y 1.200 mm de altura

En primer lugar se convierten las medida a metros 750 mm = 0,75 m 1.200 mm = 1,2 m Superficie de la base 0,75 m × 0,75 m = 0,5625 m2 Superficie lateral

triángulos 4 2

m 0,75 m 1,2×

× = 1,8 m2

Superficie total = 0,5625 m2 + 1,8 m2 = 2,3625 m2

Pintura necesaria = 2,3625 m2 ÷ 12 m2 / litro = 0,196875 litros = 197 ml

Ejemplo 2

Se quiere fabricar una caja metálica en forma de ortoedro de 11 × 20 × 42 cm. ¿Qué cantidad de chapa metálica se necesitará?

Hay que calcular las áreas laterales y totales del ortoedro. La imagen inferior es el desarrollo del ortoedro.

La caja metálica está formada por 6 cuadriláteros rectángulos

2 rectángulos de 11 × 42 cm

Superficie = 2 × 11 × 42 = 924 cm2


Superficie = 2 × 11 × 20 = 440 cm2


Superficie = 2 × 20 × 42 = 1.680 cm2

Chapa metálica para la caja = 2.204 cm2

Ejercicio 3

20 cm

42 cm

11 cm

20 cm Suelo de la caja

Tapa de la caja

A

B C

E D

Lado de la base

Altura del triángulo


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a) Calcula la superficie total de un cilindro de 1,75 m de altura y cuyo diámetro mide 80 cm. b) Calcula la superficie total de un tetraedro cuyas caras tienen 30 cm de base y 26 cm de altura.

EL VOLUMEN

Unidades de volumen

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa o lo que cabe dentro de él, en el caso de que sea hueco.

Medir el volumen de un cuerpo significa compararlo con una unidad de volumen conocida.

La unidad de volumen en el Sistema Internacional de Medidas es el metro cúbico (m3) que es el volumen de un cubo o hexaedro cuyo lado mide 1 metro.

Un decímetro cúbico (dm3) es el volumen de un cubo cuyo lado mide 1 decímetro.

Para medir volúmenes muy grandes o muy pequeños se utilizan los múltiplos o submúltiplos del metro cúbico.

Múltiplos kilómetro cúbico (km3) 1 km3 = 1.0001000.000 m3

hectómetro cúbico (hm3) 1 hm3 = 11000.000 m3

decámetro cúbico (dam3) 1 dam3 = 1.000 m3

Unidad metro cúbico (m3)

Submúltiplos

decímetro cúbico (dm3) 1 m3 = 1.000 dm3

centímetro cúbico (cm3) 1 m3 = 11000.000 cm3

milímetro cúbico (mm3) 1 m3 = 1.0001000.000 mm3

Como se puede observar en el cuadro, las unidades cúbicas van de 1.000 en 1.000. Existen dos sistemas de unidades para expresar el volumen: las que denominamos

habitualmente de capacidad (litro, decilitro…) y las unidades cúbicas (m3, dm3…). Por lo tanto, existe una equivalencia entre unidades de ambos sistemas:

kilolitro = metro cúbico hectolitro decalitro litro = decímetro cúbico decilitro centilitro mililitro = centímetro cúbico

1 dm3


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Algunas unidades cúbicas apenas se emplean y las que sí se emplean, se hace en situaciones determinadas:

• El kilómetro cúbico se emplea para los volúmenes muy grandes tales como los mares y océanos.

• Para expresar el volumen de pantanos y lagos se emplea el hectómetro cúbico. • Con el metro cúbico se expresa el volumen de piscinas, grandes depósitos y cisternas. A

veces se emplea también el litro. • En vez del decímetro cúbico se emplea su equivalente, el litro. Se expresan en litros

volúmenes superiores a un litro e inferiores a un metro cúbico: el volumen del cubo de una fregona, la cisterna de un inodoro, etc.

• En centímetros cúbicos o mililitros se expresa volúmenes inferiores a un litro, tales como la capacidad de una lata de refresco o de una cucharada de jarabe.

Ejercicio 4 Cambia de unidad:

0,705 km3 = ........................................ m3 5,07 hl = .............................................. m3

28,005 m3 = ...................................... cm3 4,508 dam3 = ....................................... ml

5.500.000 mm3 = ................................. hl 0,075 kl = ........................................... cm3

25,003 hl = ....................................... dm3 78.000 ml = ......................................... m3

Cálculo del volumen del ortoedro

Ejemplo

Calcular el volumen de una caja cuyas medidas son 5 × 4 × 3 cm

Calcular el volumen de esta caja es lo mismo que calcular el número de unidades cúbicas (cm3 en este caso) que podemos meter en ella.

En el suelo de la caja se pueden meter 20 cm3 (5 cm3 en una fila × 4 filas). Se pueden poner 3 capas como la del suelo, en total, 60 cm3 (20 cm3 en la capa del suelo × 3 capas)

Ejercicio 5 Calcula el volumen de los siguientes ortoedros expresando el resultado en la unidad más apropiada. Recuerda que para realizar las operaciones, todas las medidas deben estar expresadas en la misma unidad.

a) Una caja de zapatos de 115 mm × 250 mm × 427 mm.

b) Una piscina de 2,5 dam de larga, 1.250 cm de ancha y 2.000 mm de profundidad.

4 cm × 5 cm × 3 cm

Área de la base Altura ×

3 cm

4 cm 5 cm


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Cálculo del volumen prismas y cilindros

Al igual que en el caso del ortoedro, para calcular el volumen de prismas y cilindros se debe averiguar las unidades cúbicas que se pueden poner en el suelo (base) y multiplicar por el número de capas (altura) que se pueden colocar.

El cálculo del área de la base varía según sea el polígono de la base.

Así, en el caso del cilindro, el área de la base sería πr2.

En el caso de un prisma triangular, el área de la

base se calcularía: 2

altura base × .

Ejercicio 6 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos, expresando el resultado en la medida más apropiada. Recuerda que para realizar todas las operaciones, todas las medidas deben estar expresadas en la misma unidad.

a) La columna de un edificio que tiene forma de prisma cuadrangular de 3,25 m de altura y cuyo lado de la base mide 35 cm.

b) Un depósito de forma cilíndrica de 1.500 mm de diámetro y 1,75 cm de altura.

Cálculo del volumen pirámides y conos

En una pirámide cabe exactamente la tercera parte que en un prisma que tenga la misma base y la misma altura que la pirámide. Lo mismo ocurre con el cono y el cilindro.

Así pues, para calcular el volumen de una pirámide o de un cono se calcula primero el volumen de un prisma o de un cilindro de la misma altura y con la misma base. Después se divide el resultado por 3.

Ejercicio 7 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos expresando el resultado en la unidad más apropiada. Recuerda que para realizar las operaciones, todas las medidas deben estar expresadas en la misma unidad.

a) Una pirámide cuadrangular de 5 m de altura y cuyo lado de la base mide 250 cm.

b) Un cono de 5 m de altura y 250 cm de diámetro.

Volumen = Área de la base × altura

3

Volumen = área de la base × altura

Altura

Base

=


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DENSIDAD

Se llama densidad de un cuerpo o de una sustancia a la cantidad de materia que hay en la unidad de volumen. La densidad de una sustancia o cuerpo se calcula dividiendo su masa por el volumen que ocupa.

La unidad de medida de la densidad en el Sistema Internacional de Unidades (SI) es el kilogramo por metro cúbico (kg / m3). También suele expresarse en las siguientes unidades:

• kilogramos por decímetro cúbico o litro (kg / dm3 o kg / litro)

• gramos por centímetro cúbico o mililitro (g / cm3 o g / ml)

Ejemplo 1 Calcular la densidad de un bloque de madera de 50 cm de largo, 20 cm de ancho y 30 cm de alto sabiendo que tiene una masa de 16,5 kg.

En primer lugar se calcula el volumen del bloque V = 50 cm × 20 cm × 30 cm = 30.000 cm3 = 30 dm3

dm 30

kg 16,5 Densidad 3 == 0,55 kg / dm3

La densidad de la madera se suele expresar en la unidad del SI, es decir, en Kg / m3. Si en 1 dm3 de esa madera hay una masa de 0,55 kg, en 1 m3 habrá 1.000 veces más. 0,55 kg / dm3 = 550 kg / m3.

Ejercicio 8

Calcula la densidad de una barra cilíndrica de hierro de 1,5 m de longitud y 5 cm de diámetro y cuya masa es 23,149 kg. Expresar la densidad en kg / m3.

Ejemplo 2 Calcular la masa de un bloque de madera seca de roble de 50 cm de largo, 20 cm de ancho y 30 cm de alto sabiendo que la densidad de este tipo de madera es de 600 kg / m3.

El volumen del bloque es 30 dm3 o 0,03 m3. Masa = densidad × Volumen = 600 kg / m3 × 0,03 m3 = 18 kg

Ejercicio 9 Calcula la masa en kg de 5 litros de alcohol sabiendo que su densidad es de 0,81 g / cm3.

Ejemplo 3 Se tiene un bloque de madera de roble recién cortado. Al pesarlo obtenemos un resultado de 23 kg de masa. La densidad de la madera de roble verde es 960 kg / m3. Calcular su volumen.

VolumenMasa Densidad = ⇒ ===

m / kg 960kg 23

DensidadMasa Volumen 3 0,0239583 m3

0,0239583 m3 = 23,958 dm3 o litros

Densidad = Masa Volumen


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Ejercicio 10 El corcho es la corteza de un árbol llamado alcornoque. Su densidad es de 250 kg / m3. Calcular el volumen en litros o dm3 de un bloque de corcho cuya masa es de 5,683 kg

La densidad de una sustancia o material no es la misma que la de un objeto fabricado con ella. Así, la densidad del aluminio (un bloque macizo) es 2,698 kg / dm3 o 2,698 g / cm3 (2.698 kg / m3 en el Sistema Internacional).

Sin embargo, una lata de aluminio de las que se emplean para las bebidas pesa 13 gramos y tiene un volumen de 330 cm3 o mililitros. Por lo tanto, su densidad es:

=== cm 330g 13

VolumenMasa Densidad 3 0,039 g / cm3 = 0,039 g / ml

La densidad del agua pura es 1 kg / litro y la del agua del mar 1,03 kg / litro. Flotan todos los objetos cuya densidad es menor que la del agua y se hunden aquéllos cuya densidad es mayor.

El mercurio es un metal que es líquido a temperatura ambiente. Se llama temperatura ambiente a aquella en la cual no se siente ni frío ni caliente; se considera la comprendida entre 15 °C y 30 °C. La densidad del mercurio es 13,6 kg / dm3; en el Sistema Internacional 13.600 kg / m3.

Todos los objetos cuya densidad es menor que la del mercurio flotan en él. Así un bloque macizo de plomo flota en mercurio ya que su densidad es 11,3 kg / dm3. Sin embargo, un bloque macizo de uranio, combustible de las centrales nucleares, se hunde ya que su densidad es mayor que la del mercurio (19,05 kg / dm3).

Ejercicio 11 Calcula la densidad de las siguientes sustancias e indica si flotarían en agua o no

a) Del alcohol sabiendo que 4,05 kg ocupan un volumen de 5 litros.

b) De la gasolina sabiendo que 790 ml tiene una masa 0,537 kg.

c) Del aceite de oliva sabiendo 3,5 litros tiene una masa de 3,209 kg.

d) De la miel sabiendo que 1,25 kg ocupan un volumen de 0,891 litros.

e) Del yogur sabiendo que una tarrina de 125 ml contiene 129 gramos.


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EJERCICIOS DE REPASO Para la realización de estos ejercicios puedes usar la CALCULADORA. En el cuaderno deben aparecer, indicadas, TODAS las operaciones necesarias para la resolución de los ejercicios.

Ejercicio 1

Expresa en m3 las siguientes cantidades:

a) 0,025 hm3 b) 43212 dm3 c) 324 hm3 d) 26 dam3 e) 0,012 km3 f) 45,23 dam3

Ejercicio 2

Expresa en litros las siguientes cantidades:

a) 0,25 hm3 b) 3517 cm3 c) 32 m3 d) 2,6 dam3 e) 0,012 m3 f) 45,23 m3

Ejercicio 3

Una lata de conservas cilíndrica tiene 18 cm de alta y 8,6 cm de diámetro de la base. ¿Qué cantidad de aluminio hace falta para construirla?

Ejercicio 4

Los elementos de la pirámide de la imagen de la derecha que se pueden medir son el lado de la base y la altura de una cara lateral.

Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos equiláteros o isósceles. En ambos casos, la altura toca al lado de la base en su punto medio, por lo que es muy fácil medir la altura.

La altura de la pirámide, que no se puede medir directamente, se calcula aplicando el teorema de Pitágoras.

Efectuadas las mediciones correspondientes se obtiene que el lado de la base mide 10 cm y la altura de la cara lateral 13 cm.

Calcular el área total y el volumen de la pirámide.

Ejercicio 5 Calcular el área total y el volumen del prisma representado en la imagen de la derecha sabiendo que tiene una altura 3.000 mm y 400 mm de lado de la base.

NOTAS En un hexágono regular, el lado mide igual que el radio. Hay que aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular la apotema del hexágono.

Altura de esta cara lateral

Altura de la pirámide

Lado de la base

Lado base

Radio


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ACTIVIDADES Muy importante Se puede usar la CALCULADORA. En las actividades puede haber datos que no sean necesarios para su resolución. En tu cuaderno deben aparecer TODAS las operaciones necesarias para la resolución de las actividades, una DEBAJO de otra y en el ORDEN adecuado. Fíjate en las actividades resueltas de las unidades anteriores. Los números deben ir SIEMPRE acompañados de la unidad u objeto que cuantifican, explicando el número que se obtiene como resultado.

Actividad 1

Una empresa fabrica cisternas para el transporte de líquidos en camiones. Una empresa lechera le encarga 5 cisternas cilíndricas con una longitud de 9.600 milímetros y un diámetro de 2.485 milímetros. El precio de cada cisterna es de 13.520 € y el tipo de IVA a aplicar en la factura es el 21%.

a) Calcula el volumen de la cisterna en metros cúbicos (redondeo a la milésima) y en litros.

b) Calcula, en m2, la cantidad de chapa necesaria para su construcción.

c) El importe de la factura, teniendo en cuenta que se aplica un descuento del 7,25%

Actividad 2

Una tubería tiene un diámetro interior de 1.200 mm y un diámetro exterior de 1.550 mm. Su longitud es de 2.500 mm. El hormigón empleado para su construcción tiene una densidad de 2.150 kg / m3.

Averigua el peso de la tubería, expresando el resultado mediante un complejo de toneladas y kilogramos (…T y …kg).

NOTA. Para la resolución de la actividad hay que considerar un cilindro macizo que es vaciado quitándole otro cilindro en el interior.

Actividad 3

Las especificaciones de la Federación Internacional de Natación para una piscina olímpica son:

Largo 50 m Ancho Entre 21 m (mínimo) y 25 m (recomendado) Número de Carriles 10 con una anchura de 2,5 m cada uno Profundidad Mínimo 2,0 m

Se quiere pintar una piscina olímpica cuya anchura es la máxima recomendada y cuya profundidad es la mínima recomendada.

Se darán 3 capas de una pintura que tiene un rendimiento aproximado de 12 m2 / litro y que puede ser comprada en latas de 1 litro a 7,95 € / lata, de 5 litros a 28,50 € / lata y de 10 litros a 50 € / lata.

a) Calcula en litros el volumen de la piscina.

b) Calcula la cantidad de pintura que se necesita para pintar las paredes y el suelo.

c) Cogiendo el tamaño de lata más económico, ¿cuántas latas de pintura se necesitarían?

d) Calcula el importe del pintado.


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Actividad 4

Un contenedor para el transporte de mercancías tiene las siguientes características:

PESO Vacío 3.800 kg

Peso máximo 26.060 kg

MEDIDAS EXTERNAS INTERNAS

Largo 12.192 mm 12.030 mm

Ancho 2.438 mm 2.350 mm

Alto 2.896 mm 2.710 mm

Calcula:

a) El peso de la carga que admite el contenedor, expresado en toneladas.

b) El volumen útil para carga del contenedor, en m3 (redondeando a la milésima) y en litros.

c) La superficie que ocupa cuando se encuentra en el suelo, expresada mediante un complejo de metros cuadrados y decímetros cuadrados (…m2 y …dm2). Haz el redondeo más apropiado a este caso.

Actividad 5

En la construcción de un edificio se emplean vigas de acero como la de la figura, con un grosor de 15 mm. La densidad del acero es 7,85 kg / dm3.

Averigua el peso de la viga, expresando el resultado mediante un complejo de kilogramos y

gramos (…kg y …g).

NOTAS Para la resolución de la actividad hay que descomponer la viga en tres poliedros. La altura de la viga incluye el grosor de las dos partes horizontales

250 mm

200 mm

5.000 mm


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Unidad 7 Magnitud, razón y proporción

Magnitudes proporcionales o Magnitudes directamente proporcionales o Magnitudes inversamente proporcionales o Volumen de prismas y cilindros o Volumen de pirámides y conos

Escala de un plano

Porcentaje o Cálculo del porcentaje una cantidad o El porcentaje como la razón de una parte al todo al que pertenece o El porcentaje como expresión del aumento o disminución de un valor

Repartos proporcionales directos

Actividades


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MAGNITUD, RAZÓN Y PROPORCIÓN

Magnitud Se entiende por magnitud todo aquello que se puede medir y, como consecuencia, asignar

diferentes valores de acuerdo al resultado de la medición.

Son magnitudes la Longitud, la Masa, la Temperatura, el Volumen, el Valor económico o Importe, el Número de habitantes de una localidad, etc. No son magnitudes la amistad, el dolor, la alegría, etc.

Razón Entre los valores correspondientes de dos magnitudes relacionadas se puede establecer una

razón. Las razones se expresan en forma de división indicada ( ba ). El cociente de esa división es el

valor de la razón.

Ejemplos

50 kilógramos de patatas (magnitud Masa) valen 45,20 € (magnitud Importe). Entre los valores de ambas magnitudes se pueden establecer dos razones:

• Razón de la magnitud Importe a la magnitud Masa:

Masa

Importe= =

kilógramos 50€ 45,20

0,90 € / kg (euros que cuesta cada kilógramo; esta razón define el

concepto de precio).

• Razón de la magnitud Masa a la magnitud Importe:

Importe

Masa= =

€ 45,20kilógramos 50 1,11 kg / € (kilógramos que se pueden comprar con un euro).

Una persona en bicicleta ha recorrido 12 kilómetros (magnitud Longitud) en 30 minutos (magnitud Tiempo). Entre los valores de ambas magnitudes se pueden establecer dos razones:

• Razón de la magnitud Longitud a la magnitud Tiempo:

Tiempo

Longitud= =

minutos 30km 12 0,4 km / minuto (kilómetros recorridos en un minuto; esta razón

define el concepto de velocidad; 0,4 km / min = 24 km / hora).

• Razón de la magnitud Tiempo a la magnitud Longitud:

LongitudTiempo

= = km 12

minutos 30 2,5 minutos / km (2 minutos y 30 segundos empleados en recorrer un

kilómetro).

Las dos razones establecidas en cada uno de los casos son inversas:

• La razón Masa

Importees inversa a

ImporteMasa

y viceversa

• La razón Tiempo

Longitudes inversa a

LongitudTiempo

y viceversa

Como se puede ver en los ejemplos anteriores, el enunciado de la razón es muy importante. No es lo mismo “La razón del importe a la masa” que “la razón de la masa al importe”.

SIEMPRE, el primer término de la razón es el valor de la magnitud enunciada en primer lugar y segundo término, el valor de la magnitud enunciada en segundo lugar.


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Ejercicio 1 Un grifo ha vertido 1.200 litros de agua (magnitud VOLUMEN) en 5 horas (magnitud TIEMPO).

a) Escribe la razón del valor de la magnitud Volumen al valor de la magnitud Tiempo, calcula el valor de la razón y explica el significado de su valor.

b) Escribe la razón inversa a la anterior, calcula su valor y explica el significado de su valor.

Ejercicio 2

Un muelle se ha estirado 8 cm (magnitud LONGITUD) al colgarle un cuerpo de 20 kg (magnitud MASA).

a) Escribe la razón del valor de la magnitud Longitud al valor de la magnitud Masa, calcula el valor de la razón y explica el significado de su valor.

b) Escribe la razón inversa a la anterior, calcula su valor y explica el significado de su valor.

Proporción Dos razones son equivalentes cuando tienen el mismo valor. La igualdad de dos razones

recibe el nombre de proporción, se expresa BA =

DC y se lee “A es a B como C es a D”.

Las razones 69 y

1015 son equivalentes porque ambas razones tiene el mismo valor:

1,5 69=

1,5

1015

=

Por lo tanto puede escribirse la igualdad 1015

69= . Esta igualdad recibe el nombre de

proporción. En la proporción anterior se cumple que: 9 × 10 = 6 × 15 = 90

En una proporción, el valor de las razones que la forman, que es el mismo para todas, recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

En la proporción anterior (1015

69= ), la constante de proporcionalidad es 1,5

Ejercicio 3 a) Calcula el valor de las siguientes razones.

4

2,4

3,524,5

712,6

2,54,5

1,50,9

63,6

856

b) Escribe las proporciones que puedes formar con las razones anteriores. Hay una proporción con tres razones.


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MAGNITUDES PROPORCIONALES Dos magnitudes entre cuyos valores pueden establecerse proporciones reciben el nombre de

proporcionales. Hay dos tipos de proporcionalidad: directa e inversa.

Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando un aumento en una de ellas

determina un aumento en la misma razón en la otra y cuando una disminución en una determina una disminución en la misma razón en la otra.

Ejemplo

La “cantidad” de naranjas y su “valor económico” son dos magnitudes directamente proporcionales.

A un aumento de la cantidad de naranjas corresponde un aumento en la misma razón de su valor económico. A una disminución de la cantidad de naranjas corresponde una disminución en la misma razón de su valor económico.

Magnitud “Cantidad” Magnitud “Valor económico” 3 kilogramos 2,25 euros 5 kilogramos 3,75 euros 12 kilogramos 9,00 euros

Las razones que pueden establecerse entre la magnitud “Cantidad” y la magnitud “Valor económico” son:

euros 252kilogramos 3,

= 1,3 Kg / € euros 753

kilogramos 5,

= 1,3 Kg / € euros 009

kilogramos 12,

= 1,3 Kg / €

El cociente de todas las razones es el mismo. En este caso nos indica “los kilogramos de naranjas que se podrán comprar con 1 euro”.

Las razones que pueden establecerse entre la magnitud “Valor económico” y la magnitud “Cantidad” son:

kilogramos 3euros 2,25 = 0,75 € / kg

kilogramos 5euros 753, = 0,75 € / kg

kilogramos 12euros 009, = 0,75 € / kg

El cociente de todas las razones es el mismo. En este caso nos indica “los euros que cuesta un kilogramo de naranjas”, es decir, el precio.

En las magnitudes directamente proporcionales, el valor de las distintas razones (cociente entre los valores correspondientes de ambas magnitudes) es constante y recibe el nombre de constante de proporcionalidad.


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Ejercicio 4 Un barco navega durante 5 horas. Durante la navegación, el capitán ha realizado unos cálculos y ha establecido la siguiente tabla: Tiempo de navegación Distancia recorrida

3 horas 75 kilómetros

3,5 horas 87,5 kilómetros

4 horas 100 kilómetros

4,25 horas 106,25 kilómetros

a) Escribe las razones de las distintas distancias recorridas al tiempo empleado en recorrerlas, calcula su valor y explica su significado.

b) Escribe las razones de los distintos tiempos a la distancia recorrida que corresponde a cada una, calcula su valor y explica su significado.

c) Si existe relación de proporcionalidad directa escribe las proporciones que se pueden escribir tanto en el apartado a como en el apartado b. Si no hay relación de proporcionalidad directa, explica porqué.

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando un aumento en una de ellas determina una disminución en la misma razón en la otra, y una disminución en una de ellas determina un aumento en la misma razón en la otra.

Ejemplo

La magnitud “Velocidad“ a la que se desplaza un objeto y la magnitud “Tiempo“ empleado en recorrer un determinado trayecto son magnitudes inversamente proporcionales.

A mayor velocidad, menor tiempo; a menor velocidad, mayor tiempo.

Vehículo Magnitud “Velocidad” Magnitud “Tiempo” A 60 km/hora 3 horas B 90 km/hora 2 horas C 120 km/hora 1,5 horas

La constante de proporcionalidad, lo que no varía, es el trayecto realizado y se obtiene multiplicando un valor de la magnitud “Velocidad” por su correspondiente de la magnitud “Tiempo”:

60 km/hora × 3 horas = 90 km/hora × 2 horas = 120 km/hora × 1,5 horas = 180 km

En las magnitudes inversamente proporcionales, la constante de proporcionalidad es igual al producto de los valores correspondientes de ambas magnitudes, es decir, se calcula multiplicando los valores correspondientes de ambas magnitudes.


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Ejercicio 5 El dispositivo de apertura de un grifo tiene cuatro posiciones. Según la posición del dispositivo de apertura, los tiempos de llenado del depósito que alimenta son los siguientes:

Posición Caudal del grifo Tiempo de llenado Capacidad depósito A 5 litros/minuto 150 minutos

B 7,5 litros/minuto 100 minutos

C 10 litros/minuto 75 minutos

D 12,5 litros/minuto 60 minutos El caudal del grifo es “la velocidad” de salida del agua a través del grifo. a) Calcula la constante de proporcionalidad y explica su significado. b) Se cambia el grifo por otro con una posición más de apertura (E) con un caudal de 15 litros/minuto.

¿En cuánto tiempo se llenará el depósito con el grifo abierto en la posición E? c) ¿Qué caudal debería suministrar un grifo para llenar el depósito en 40 minutos?

ESCALA DE UN PLANO

Escala es la razón entre el tamaño del dibujo de un objeto y el tamaño real del objeto, cuando entre ellos existe una relación de proporcionalidad.

Escala = realidad la en objeto del dimensión

dibujo el en objeto del dimensión

La escala se expresa siempre mediante la razón de una unidad del plano a su medida equivalente en la realidad.

Escala = plano el en unidad una a encorrespond que realidad la en unidades de número

plano el en unidad una=

N1

La manera más habitual de expresar una escala es en la forma 1 : N. Así, si la escala de un plano es 1 : 1.200, significa que 1 unidad del plano equivale a 1.200 unidades de la realidad.

En el caso de planos que representan objetos muy pequeños y cuyo dibujo es mayor que el objeto real, las escalas se expresan indicando la razón de las unidades del plano correspondientes a una unidad de la realidad.

Escala = realidad la en unidad una

plano el en unidades de número=

1N o también N : 1.

Así, si una escala es 50 : 1, quiere decir que 50 unidades del plano equivalen a 1 unidad de la realidad.

Lo normal es que manejemos planos que representan objetos mucho mayores que su dibujo en el plano como por ejemplo el plano de máquinas, el plano de una vivienda, el plano de una ciudad, el mapa de un país, etc. Las escalas más utilizadas son:


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• Para una vivienda, las escalas más utilizadas están comprendidas entre 1:50 y 1:100. Quiere decir que 1 cm del plano (normalmente se mide en centímetros) es igual a 50 ó 100 cm de la realidad.

• En el caso de ciudades y comarcas, la escala está comprendida entre 1:10.000 y 1:50.000.

• En el caso de regiones y países poco extensos, la escala está comprendida entre 1:50.000 y 1:500.000.

• En el caso de países grandes, continentes y mapas del mundo, la escala está comprendida entre 1:500.000 y 1:50.000.000.

Ejemplo Tenemos un plano de una vivienda en el que no consta la escala. Un dormitorio tiene 4 m de largo y 3,5 m de ancho. En el plano, las medidas son 8 cm y 7 cm respectivamente.

a) ¿Cuál es la escala del plano?

Antes de realizar cualquier cálculo, es necesario que las medidas estén en la misma unidad.

dibujo el en objeto delMedida real objeto delMedida =

cm 8cm 400 =

cm 7cm 350 = 50

50 veces que las medidas reales son mayores que las del plano. Por tanto la escala será 1 : 50

b) ¿Cuál será la longitud en el plano del pasillo si mide 12 metros en la realidad?

Como en el plano se suele medir en centímetros, se convierten los metros del pasillo real en centímetros:

12 m × 100 = 1.200 cm

En el plano, el pasillo será 50 veces más pequeño que en la realidad:

1200 cm : 50 = 24 cm que mide la longitud del pasillo en el plano.

c) En el plano, la anchura de la cocina es 4,5 cm. ¿Cuánto mide en la realidad?

La medida real de la cocina será 50 veces más grande que en el plano. Por lo tanto:

4,5 cm × 50 = 225 cm = 2,25 m que mide la anchura de la cocina en la realidad

Ejercicio 6 En el plano de un edificio, el tejado tiene una longitud de 8,5 cm. Se sabe que la medida real del tejado es de 21,25 m. a) Calcula la escala del plano. b) Calcula la medida real de una ventana que en el plano tiene una altura de 6 mm. c) ¿Qué medida tendrá en el plano la puerta de entrada del edificio si en la realidad mide 3,5 m?

La escala nos indica las veces que el dibujo es más pequeño o más grande que el objeto real


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PORCENTAJE

Cálculo del porcentaje de una cantidad

Ejemplo 1 Calcular el 16% de 34.500 €

16 % de 34.500 € = 16100

50034×

. = 5.520 €

Empleando la función “porcentaje” de la calculadora:

Ejemplo 2 Se han comprado artículos por valor de 720 €. Se hace un descuento del 7,5% y se debe pagar un IVA del 21%. ¿Cuál es el importe de la factura?

El problema se puede resolver de dos formas:

Primera forma

Concepto Operaciones Importe

NOTA Si en una factura NO HAY descuento, la base imponible es igual al valor de la compra (es lo mismo que el subtotal).

Subtotal (valor de la compra) 720 €

Descuento (7,5% de 720 €) 7,5100

€720× = 54 €

Base imponible (aplicado el Dto.) 720 € – 54 € = 666 €

IVA ( 21% de 666 €) 21100

€666× = 139,86 €

TOTAL (importe a pagar) 666 € + 139,86 € = 805,86 €

Segunda forma Con un descuento del 7,5% no se paga todo (el 100% del importe) sino el: 100 % – 7,5 % = 92,5 % del importe.

92,5% de 720 € = 92,5100

€720× = 666 €, importe después de aplicar el descuento.

Con un IVA del 21% se paga más del 100% del importe con el descuento; se paga el: 100 % + 21 % = 121 % del importe con el descuento.

121% de 666 € = 121100

€666× = 805,86 € importe a pagar

La primera forma es obligatoria si se está elaborando una factura, ya que en ella deben figurar detallados todos los conceptos con su importe correspondiente.

La segunda forma es muy cómoda si se usa la calculadora y solamente se quiere conocer el valor final ya que la suma y resta de porcentajes puede realizarse mentalmente.

3450

× 16 % 5.520 € ATENCIÓN. En algunas calculadoras hay que pulsar la tecla = después de la tecla %.


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Ejercicio 7 En una compra, el valor de los productos comprados es 1.480 €. Se aplica un descuento del 10 %. El tipo de IVA a aplicar es el 21%. a) Calcula el importe a pagar aplicando primero el descuento. b) Calcula el importe a pagar aplicando primero el IVA c) ¿Qué hay de igual y de diferente en ambos casos? d) ¿Cómo crees que debe hacerse el cálculo, aplicando primero el IVA o el descuento? ¿Por qué?

Ejemplo 3

El precio de venta al público (PVP) de una camisa es de 57 €. Sabemos que este artículo está gravado con un tipo de IVA del 21%. ¿Cuál es el precio de la camisa sin IVA (PSI)?

PSI + 21% del PSI = PVP

100% del PSI + 21% del PSI = 57 €

121% del PSI = 57 €

121 partes de las 100 (%) en las que se considera dividido el PSI son 57 €.

1 parte = € 0,47107 121

€ 57= El total (100 partes) = 0,47107 × 100 = 47,107 € = 47,11 €

La camisa valía 47,11 € antes de aplicar el IVA

Ejemplo 4

Un ayuntamiento ha gastado el 61% de su presupuesto anual. Si todavía le quedan por gastar 2.345.600 €, ¿a cuánto ascendía el presupuesto del año?

Si ha gastado el 61 % del presupuesto, le queda por gastar:

100 % del presupuesto – 61 % del presupuesto = 39 % del presupuesto por gastar

39 % del presupuesto = 2.345.600 €

39 partes de las 100 (%) en las que se considera dividido el presupuesto son 2.345.600 €.

1 parte = € 760.143,589 39

€ 2.345.600=

El total (100 partes) = 60.143,5897 × 100 = 6.014.358,97 €

El presupuesto del ayuntamiento era de 6.014.358,97 €

Ejercicio 8 a) He pagado 48,99 € por un pantalón cuyo precio estaba rebajado un 30%. ¿Cuál era su precio antes

de la rebaja? b) Se ha asfaltado el 75 % de una carretera quedando todavía por asfaltar 18 km. ¿Cuál es la longitud

de la carretera?


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El porcentaje como la razón de una parte al todo al que pertenece

Ejemplo

En la localidad A, de 3.675 habitantes, hay 1.102 personas menores de 18 años. En la localidad B, que cuenta con 1.745 habitantes, hay 558 personas menores de 18 años.

¿En cuál de las dos poblaciones hay, proporcionalmente, mayor número de personas menores de edad?

Se escribe la razón de la parte al todo en cada uno de los dos casos:

Pueblo A:

totales habitantes 3.675

años 18 de menores 1.102 todoparte

== 0,2998 habitantes menores de 18 años por habitante

Por cada 100 habitantes habrá 100 veces más: 0,2998 × 100 = 29,98 = 30 (30%)

El 30% de los habitantes del pueblo A tiene menos de 18 años.

Pueblo B:

== totales habitantes 1.745

años 18 de menores 558 todoparte 0,3197 habitantes menores de 18 años por habitante

Por cada 100 habitantes habrá 100 veces más: 0,3197 × 100 = 31,97 = 32 (32%)

El 32% de los habitantes del pueblo B tiene menos de 18 años.

Las operaciones anteriores se pueden expresan en una sola expresión matemática, unificando las dos operaciones en una sola:

100 totalidad

parte×

30% 100

3.6751.102

=×

32% 100 1.745558

=×

Ejercicio 9 Un pueblo de 1.025 habitantes tiene un censo electoral de 850 habitantes. En las elecciones municipales, el candidato A ha obtenido 356 votos y el candidato B, 391. Ha habido 18 votos nulos y ninguno en blanco. Calcula: a) El porcentaje de votos obtenidos por cada candidato respecto de los votos emitidos. b) El porcentaje de votos nulos respecto de los votos totales emitidos. c) La abstención (porcentaje de abstenciones respecto del censo electoral). d) La participación (porcentaje de los votos emitidos respecto del censo electoral)

El porcentaje como expresión del aumento o disminución de un valor

Es muy frecuente la expresión “El consumo de han disminuido un 3,5%...” o “Los beneficios del banco han aumentado un 18%...”

El aumento o disminución de los valores de una determinada magnitud se suelen expresar en forma de porcentaje.


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Es muy importante saber sobre qué valor o cantidad se debe aplicar el porcentaje. En el enunciado debe quedar claramente expresado: “ha aumentado o disminuido un x% sobre… o respecto de…”

Ejemplo

Los beneficios de una empresa en los últimos cinco años han sido los siguientes:

año 2010 año 2011 año 2012 año 2013 año 2014

3.450.780 € 3.704.560 € 3.520.000 € 3.762.200 € 3.600.450 €

Expresa en forma de porcentaje la variación de los beneficios en cada uno de los años respecto del año que le precede.

Resolución

Año Beneficio Variación (€) Variación (%). El total o valor de referencia es el del año anterior

2010 3.450.780 €

2011 3.704.560 € 3.704.560 € – 3.450.780 € = 253.780 € (beneficio o superávit) 100

3.450.780253.780

× = 7,35 %

2012 3.520.000 € 3.520.000 € – 3.704.560 € = – 184.560 € (pérdida o déficit) 100

5607043560184

×−

..

. = – 4,98 %

El cociente 3.450.780253.780 = 0,0735 representa los euros ganados en 2011 por cada euro ganado

en 2010.

El cociente 5607043560184...− = – 0,0498 representa los euros perdidos en 2012 por cada euro

ganado en 2011 (el signo negativo indica pérdida o déficit) Ejercicio 10 Continúa el ejemplo anterior

Año Beneficio Variación (€) Variación (%)

2013 3.762.200 €

2014 3.600.450 €

Ejercicio 11 Un concesionario de automóviles ha vendido 600 vehículos en el año 2011 y 550 vehículos en año 2012. Expresa en forma de porcentaje la variación de ventas del año 2012 respecto del 2011.


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REPARTOS PROPORCIONALES DIRECTOS

Un reparto proporcional directo es aquél que consiste en distribuir una cierta cantidad, NO en partes iguales, sino proporcionalmente entre varios números o valores, de tal manera que al número mayor le corresponda la cantidad mayor y al número menor, la cantidad menor.

Ejemplo

Dos albañiles hacen una obra por la que han cobrado 1.550 euros. Uno de ellos ha trabajado durante 16 días y el otro, durante 8 días. ¿Cuánto deberá cobrar cada uno?

Resolución

En los repartos proporcionales es prioritario conocer el criterio de reparto. En este caso es el número de días trabajados.

¿Cuántos días se ha trabajado? .................................... 16 días + 8 días = 24 días

¿Cuánto dinero se ha cobrado? .................................... 1.550 €

¿Cuánto dinero corresponde a cada día trabajado? ..... día / € .64,58333.. días 24

€ 1.550=

¿Cuánto dinero corresponde al primer albañil? ............. 16 días × 64,58 € / día = 1.033,28 €

¿Cuánto dinero corresponde al segundo albañil? ......... 8 días × 64,58 € / día = 516,64 €

En los repartos proporcionales, la suma de lo que se ha dado a cada uno debe ser igual a la cantidad repartida.

1.033,28 € + 516,64 € = 1549,92 €

En este caso, la suma no es igual porque la división 1.550 ÷ 24 no es exacta.

Si se hubiesen tomado más cifras decimales para las multiplicaciones, la suma se acercaría más a la cantidad a repartir (1.550 €)

16 días × 64,58333 €/día + 8 días × 64,58333 €/día = 1.033,33328 € + 516,66664 € = 1.549,99992 €

Redondeando al euro, 1.549,99992 € = 1.550 €

Ejercicio 12 Tres amigos rellenan una quiniela. Uno pone 3 euros, el segundo pone 4,25 euros y el tercero pone 5 euros. Obtienen un premio de 2.500 euros. ¿Cómo se repartirán el dinero?

Ejercicio 13 A principio de julio de 2016, Andrés inicia un negocio invirtiendo 24.480 €. En diciembre de ese mismo año se le asocia su amigo José invirtiendo la misma cantidad de dinero. A principios de abril de 2018 venden el negocio por 75.800 €. ¿Cómo se repartirán el dinero obtenido en la venta?


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ACTIVIDADES


Un automóvil ha consumido 48,35 litros de gasoil al realizar un trayecto de 792 km. ¿Cuántos litros de gasoil consumirá en un trayecto de 500 km si viaja a la misma velocidad que en el anterior trayecto?

¿Qué magnitudes intervienen? espacio recorrido, consumo de combustible y velocidad.

Magnitud que permanece invariable o “constante de proporcionalidad”: la velocidad.

¿Existe proporcionalidad entre las magnitudes espacio y tiempo? Sí.

¿De qué tipo? Directa; porque “a menor distancia recorrida, menor consumo de combustible”.

Se pueden plantear dos razones:

Razón del consumo al espacio recorrido: km 792litros 3548, = 0,061 litros consumidos en 1 km

Razón del espacio recorrido al consumo: litros 3548km 792

,= 16,38 km recorridos con 1 litro

La más interesante de las dos es la primera porque sabiendo la cantidad de gasoil necesaria para recorrer un kilómetro se puede averiguar la cantidad necesaria para recorrer 500 km.

0,061 litros / km × 500 km = 30,5 litros consumidos en los 500 km


Una estufa puede funcionar a dos potencias, 750 w y 1.250 w. ¿Cuánto tiempo debería funcionar a la máxima potencia para consumir lo mismo que funcionando 12 horas a la mínima potencia? Expresa el resultado en forma compleja de horas y minutos.

Nota

El consumo eléctrico se calcula multiplicando la potencia del aparato por el tiempo de funcionamiento:

Potencia × Tiempo = Consumo

Para el cálculo de consumo eléctrico es necesario que la potencia esté expresada en kilovatios (kw) y el tiempo en horas. El consumo obtenido estará expresado en kilovatios·horas (kwh).

1 kilovatio (kw) = 1.000 vatios (w)

¿Qué magnitudes intervienen? Potencia eléctrica, tiempo de funcionamiento y consumo.

Magnitud que permanece invariable o constante de proporcionalidad: el consumo.

¿Existe proporcionalidad entre las magnitudes? Sí.

¿De qué tipo? Inversa; porque si se quiere mantener constante el consumo “a mayor potencia, menor tiempo de funcionamiento”.

El consumo se puede averiguar con la potencia mínima y el tiempo de funcionamiento con esa potencia.

0,75 kw × 12 horas = 9 kilowatios·horas (kwh)

Si funciona a la máxima potencia:

1,25 kw × x horas = 9 kwh x = minutos 12y horas 7 horas 27kw 1,25

kwh 9== ,


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Un colegio contrata un autobús de 55 plazas para un viaje. Se les dice que, si el autobús se completa, cada alumno pagará 25 €. Solamente se consigue completar el 80 % de las plazas.

¿Cuánto deberá pagar cada alumno?

¿Qué magnitudes intervienen? Número de viajeros, precio del autobús y precio por viajero.

Magnitud que permanece invariable o constante de proporcionalidad: el precio del autobús.

¿Existe proporcionalidad entre las magnitudes? Sí.

¿De qué tipo? Inversa; porque “a menor número de viajeros, mayor precio por viajero”.

El precio del autobús se puede porque se sabe lo que le cuesta a un viajero si el autobús se completa.

55 viajeros × 25 € = 1.375 €

El 80% de las plazas es: viajeroso ocupados asientos 448010055

=×

Si solamente hay 44 viajeros:

44 viajeros × x € = 1.375 € x = € 31,257 viajeros44

€ 1.375=


Una empresa fabrica remolques de tres tipos: A, B y C. Del remolque A ha fabricado 1.245 unidades; del remolque B, 2.080 unidades; del remolque C, 840 unidades.

Expresa en forma de porcentaje la cantidad de remolques fabricados de cada tipo.

Remolques fabricados = 1.245 + 2.080 + 840 = 4.165

Remolque tipo A = % 29,891004.1651.245

=×

Remolque tipo B = % 93491004.1652.080 ,=×

Remolque tipo C = % 16201004.165840 ,=×

Comprobación = 29,89 % + 49,93 % + 20,16 € = 99,98 %


Un coche que compré por 17.540 € he conseguido venderlo por 13.280 €. Expresa en forma de porcentaje la pérdida de valor del coche.

Pérdida de valor = 17.450 € – 13.280 € = 4.260 € En porcentaje = % 284210017.5404.260 ,=×


¿Cuánto se pagará por un televisor cuyo precio es de 452 € y en el que se hace un descuento del 25%?

100% del precio – 25% del precio = 75% del precio que se va a pagar

75% de 452 € = € 33975100452

=×

Con la función % de la calculadora 452 × 75 % 339


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Actividad 1

En un supermercado encontramos los productos que se detallan a continuación. Averigua el precio de:

a) Un kilogramo de patatas fritas sabiendo que una bolsa de ciento cincuenta gramos cuestan un euro con cincuenta y cinco céntimos.

b) Un kilogramo de jamón serrano sabiendo que he pagado nueve euros con noventa céntimos por doscientos veinte gramos.

c) Un litro de refresco sabiendo que un bote de trescientos treinta mililitros cuesta sesenta y nueve céntimos.

d) Un kilogramo de pescado sabiendo que una bandeja de cuatrocientos cincuenta gramos cuesta tres euros con ochenta y cinco céntimos.

e) Un litro de leche sabiendo que la botella de litro y medio cuesta un euro con treinta y cinco céntimos.

Actividad 2

En un puesto del mercado hay un cartel con información sobre cantidades e importes de naranjas.

a) Escribe la razón entre cada pareja de valores, los que se correspondan de cada una de las dos magnitudes, calcula el valor de cada una y explica su significado.

b) Escribe las razones inversas a las anteriores, calcula su valor y explica su significado.

c) En la tabla de cantidades e importes, ¿existe una relación de proporcionalidad? Razona tu respuesta.

Actividad 3

Una persona toma para desayunar una naranja de aproximadamente 200 g de peso, un tazón de 400 ml de leche, 10 g de azúcar y 10 galletas. Calcula el importe del desayuno sabiendo que los precios son:

• Naranjas: 0,85 € / kg • Leche: 0,95 € / litro • Azúcar, 1,75 € / kg • Galletas: 1 paquete de 60 galletas cuesta 1,80 €

Alimento Cantidad Precio Operaciones Importe

Actividad 4

Los ingredientes de una tortilla de patata para 4 personas son los siguientes: 600 gramos de patata, 250 gramos de cebolla, 120 gramos de aceite y 6 huevos grandes (70 gramos cada uno).

a) Calcula el % que hay de cada ingrediente en la tortilla

b) Averigua la cantidad de cada ingrediente si se quiere hacer la tortilla para 6 personas, indicando el número de huevos.

Ingredientes Para 4 personas % de cada ingrediente Para 1 persona Para 6 personas

NARANJAS 1 kg 0,65 € 2 kg 1,30 € 5 kg 3,00 €

10 kg 5,75 € 15 kg 8,25 €


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Actividad 5

La cantidad de alcohol de las bebidas alcohólicas viene indicado en los envases en forma de porcentaje. Si en el envase de una bebida está escrito “Vol 5,5%”, quiere decir que en cada 100 partes de bebida hay 5,5 partes de alcohol.

Calcula la cantidad de alcohol ingerida en cada uno de los siguientes casos Bebida % alcohol Capacidad del envase Alcohol ingerido (ml)

Cerveza 5,5 % Lata (33 cl)

Cava 11,8 % Una copa (0,12 litros)

Vino de mesa 12 % Un vaso pequeño (125 ml)

Coñac 40 % Una copa (5 cl)

Actividad 6

Dos estufas de 1.250 w y 1.750 w respectivamente funcionan cada día el mismo número de horas. Averigua el consumo durante el mes de noviembre de la que tiene menos potencia sabiendo que la otra ha consumido 525 Kwh.

Actividad 7

Un trabajador realiza el trayecto de casa al trabajo con un ciclomotor en 45 minutos circulando a una velocidad media de 42 km/h. Se compra una motocicleta y, a partir de entonces, consigue realizar el trayecto en 24 minutos. Calcula la velocidad media a la que realiza en trayecto con la motocicleta.

Actividad 8

Una cooperativa que comercializa aceite de oliva dispone de un depósito en el que almacena el aceite virgen extra. Este aceite puede ser envasado de distintas formas: si se hace en botellas de medio litro se necesitan 120.000 unidades; si se hace en botellas de tres cuartos de litro, 80.000 unidades; y si es en bidones de 5 litros, 12.000 unidades.

a) Calcula la constante de esta relación de proporcionalidad y explica su significado.

b) Si se envasara en botellas de litro y medio, ¿cuántas se necesitarán para envasar todo el aceite del depósito?

Actividad 9

Un grifo llena un depósito de 46.000 litros en 15 horas y 20 minutos. ¿En cuánto tiempo llenará un depósito de 18.500 litros un grifo igual al anterior? Expresa el resultado en forma compleja (…horas y …minutos)

Actividad 10

Cuando se cuelga una masa de 750 gramos de un muelle, éste se aumenta su longitud en 15 centímetros. Calcula:

a) El aumento de su longitud cuando se cuelga una masa de 820 gramos.

b) La masa que habrá que colgarle para que su longitud aumente 12 centímetros


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Actividad 11

Una persona que ha jugado 20 euros a un determinado número de la lotería ha obtenido un premio de 5.000 euros.

a) Escribe las dos razones que pueden escribirse con los valores dados de las magnitudes “Dinero jugado” y “Dinero ganado”, calcula el valor de cada una y explica su significado.

b) ¿Cuánto dinero habría ganado si hubiese jugado 45 euros?

c) ¿Cuánto dinero debería haber jugado para ganar 9.000 euros?

Actividad 12

Un mapa de España está elaborado a escala 1 : 1.200.000. Calcula:

a) La distancia real en línea recta entre dos ciudades separadas en el mapa por 12,7 cm.

b) La distancia en el mapa, en línea recta, entre dos ciudades separadas en la realidad por 540 km.

Actividad 13

Se nos da un plano en el que no se ha indicado la escala. El plano corresponde a la fachada del edificio y sabemos que la puerta tiene una altura de 3,5 m. En el plano, mide 2,8 cm

a) Calcula la escala del plano.

b) Calcula la altura real del edificio si en el plano es de 17,6 cm.

Actividad 14

A principio de año, una fábrica de automóviles aumenta el precio de sus vehículos.

a) Calcula el nuevo precio de un modelo que el año anterior costaba 9.450 € si se ha aumentado un 3,75% respecto del año anterior. Redondea el precio al euro.

b) Otro de sus modelos costaba 18.483 €; ahora vale 18.975 €. Expresa en forma de porcentaje el aumento de precio (dos cifras decimales).

Actividad 15

En la campaña agrícola 2009 / 2010 se produjeron en Aragón 9.625 toneladas de aceite de oliva que suponen el 0,77% de la producción en España. Averigua la producción española de aceite de oliva.

Actividad 16

Durante el último año, un fabricante de automóviles ha fabricado 350.785 turismos, 125.425 furgonetas y 7.650 camiones. Expresa en forma de porcentaje la cantidad de vehículos fabricados de cada tipo.

Actividad 17

Tres socios fundan un negocio. El socio A puso 12.640 euros; el socio B, 15.800 euros y el socio C, 19.560 euros. Al cabo de un tiempo obtienen un beneficio de 36.000 euros. ¿Cómo se repartirán el dinero?


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Actividad 18

Tres socios se quieren repartir los 91.575 euros que han obtenido de beneficio en un negocio. Los tres socios han aportado la misma cantidad de dinero, pero difieren en el tiempo de permanencia en el mismo. El primero ha estado en el negocio un año y dos meses; el segundo, un año y tres meses; el tercero, dos años y siete meses. Calcular el dinero que le corresponde a cada uno.

Actividad 19

La construcción de un puente cuesta 21150.420 euros. El estado paga el 25% del coste total. El gobierno regional paga el 15% del coste total. El resto lo pagan los ayuntamientos de los pueblos beneficiados proporcionalmente al número de habitantes. El pueblo A tiene 860 habitantes; el pueblo B, 615; el pueblo C, 525. ¿Cuánto dinero pagará cada ayuntamiento?

Actividad 20

Una persona ha establecido en su testamento que se reparta el dinero que tiene en el banco entre sus 4 hijos, proporcionalmente al número de nietos que le ha dado cada uno de ellos. Para el hijo que no ha tenido descendencia dispone que se considere, a efectos de cálculo, que tiene medio hijo.

En el banco hay 845.320 € y la descendencia de sus hijos es 1, 2 y 5 hijos respectivamente. Averigua cuánto dinero se llevara cada uno de sus cuatro hijos.

Actividad 21

En un comercio, todos los artículos están rebajados un 30%. Los clientes con tarjeta de fidelización tienen, además, un descuento del 5% sobre el precio ya rebajado del artículo.

¿Cuánto se pagará por un artículo cuyo precio era 145 € antes del inicio de las rebajas?

Actividad 22

Alba y Rosa han recibido 514 € por pintar el interior de una casa. Han trabajado juntas durante 12 horas y, por separado, Alba ha trabajado durante 7 horas y Rosa durante 4 horas.

¿Cómo se repartirán el dinero?

Actividad 23

Una empresa ha alquilado un camión durante 24 días. El precio de alquiler es de 103 €/día (IVA incluido). El tipo de IVA que se aplica es el 21%.

Elabora la factura de este alquiler en el que debe aparecer desglosado el IVA.

Concepto Días Precio Importe

IVA (21% de…)

TOTAL


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SOLUCIONES


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UNIDAD 1

Ejercicios del texto

Ejercicio 1 a) 4.225.276 € = cuatro millones, doscientos veinticinco mil, doscientos setenta y seis euros b) 10.687.408 € = diez millones, seiscientos ochenta y siete mil, cuatrocientos ocho euros c) 24.750.000 € = veinticuatro millones, setecientos cincuenta mil euros d) 14.300.400 € = catorce millones, trescientos mil, cuatrocientos euros e) 481730.704 € = cuarenta y ocho millones, setecientos treinta mil, setecientos cuatro euros

Ejercicio 2 a) 1.501 € = mil quinientos un euros b) 1.501.721 cajas = un millón quinientas una mil setecientas veintiuna cajas c) 1.001.001 € = un millón, mil un euros d) 101.001.601 T = ciento un millones, mil seiscientas una tonelada e) 201.451.201 = doscientos un millones, cuatrocientos cincuenta y un mil doscientos uno

Ejercicio 3 a) Cincuenta y nueve millones, cuatrocientos treinta y ocho mil, setecientos setenta y seis euros .... 59.438.776 € b) Veintiún millones, quinientos mil euros ............................................................................................ 21.500.000 € c) Siete millones novecientos cincuenta mil euros ................................................................................. 7.950.000 € d) Doscientos treinta y tres millones trescientos noventa y cuatro mil, doscientos cincuenta y tres euros ......................................................................................................................................... 233.394.253 € e) Ciento trece millones, seiscientos cincuenta y cinco mil, doscientos cuarenta y dos euros ......... 113.655.242 €

Ejercicio 4 a) 3568 = ........... 3 × 1.000 + 5 × 100 + 6 × 10 + 8 × 1 b) 203090 = .............. 2 × 100.000 + 3 × 1.000 + 9 × 10 c) 100010 = ........................................ 1 × 100.000 + 1 × 10 d) 550500 = .......... 5 × 100.000 + 5 × 10.000 + 5 × 100 e) 30003 = ............................................ 3 × 10.000 + 3 × 1 f) 90071 = ............................ 9 × 10.000 + 7 × 10 + 1 × 1

Ejercicio 5 a) Escribe con letra las seis primeras cantidades. Justicia = mil setecientos trece millones, doscientos cincuenta y cuatro mil quinientos treinta euros Defensa = seis mil ochocientos sesenta y ocho millones, ciento noventa y siete mil trescientos

setenta euros Seguridad ciudadana e instituciones penitenciarias = ocho mil cuatrocientos un millones, novecientos

cincuenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta euros. Pensiones = ciento doce mil doscientos quince millones, setecientos cincuenta y cinco mil ciento

setenta euros Desempleo = treinta mil cuatrocientos setenta y cuatro millones, cincuenta y nueve mil seiscientos

treinta euros Investigación, desarrollo e innovación = ocho mil quinientos ochenta y seis millones, trescientos

sesenta mil seiscientos cuarenta euros

b) Escribe con cifras las cantidades expresadas con letra. Gestión y administración de la Seguridad Social .............................................................. 7.770.590.960 € Sanidad .............................................................................................................................. 4.255.135.320 € Educación .......................................................................................................................... 2.843.428.350 € Cultura ................................................................................................................................ 1.103.994.900 €


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Infraestructuras .................................................................................................................. 9.577.378.690 € Agricultura, pesca y alimentación ...................................................................................... 8.578.492.800 €

Ejercicio 6 385 € + 326 € + 409 € = 1.120 €

Ejercicio 7 (75 + 125) + (60 + 40) + (80 + 220) = 200 + 100 + 300 = 600

Ejercicio 8 4036 × 506 =2.042.216 20504 × 409 = 8.386.136 7402 × 3005 = 22.243.010 3247 × 7095 = 23.037.465

Ejercicio 9 Corrección por el profesor/a del desarrollo del ejercicio. Los resultados que deben dar son: a) 18 × 32 = 576 b) 16 × 42 = 672 c) 13 × 38 = 494

Ejercicio 10 630.800 × 920 = 580.336.000 4.036.000 × 560 = 2.260.160.000 205.000 × 1.080 = 221.400.000 5.004.000 × 209 = 1.045.836.000

Ejercicio 11 potencia Lectura base exponente desarrollo resultado

25 Dos a la quinta 2 5 2 × 2 × 2 × 2 × 2 32 37 Tres a la séptima 3 7 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 2.187 44 Cuatro a la cuarta 4 4 4 × 4 × 4 × 4 256 15 Uno a la quinta 1 5 1 × 1 × 1 × 1 × 1 1 03 Cero al cubo 0 3 0 × 0 × 0 0 51 Cinco elevado a uno 5 1 5 5

102 Diez al cuadrado 10 2 10 × 10 100 103 Diez al cubo 10 3 10 × 10 × 10 1.000 104 Diez a la cuarta 10 2 10 × 10 × 10 × 10 10.000 105 Diez a la quinta 10 5 10 × 10 × 10 × 10 × 10 100.000 108 Diez a la octava 10 8 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 100.000.000

Ejercicio 12 104 × 103 = 107 105 × 105 = 1010 100 × 106 = 106 33 × 36 = 39 81 × 82 = 83 203 × 205 = 208

Ejercicio 13

85.000 × 900 85 × 103 × 9 × 102 (85 × 9) × 105 76.500.000

20.900 × 507.000 209 × 102 × 507 × 103 (209 × 507) × 105 10.596.300.000

9.000.000 × 7.500 9 × 106 × 75 × 102 (9 × 75) × 108 67.500.000.000

4.060 × 6.000.000 406 × 10 × 6 × 106 (406 × 6) × 107 24.360.000.000

2.050 × 23.000 205 × 10 × 23 × 103 (205 × 23) × 104 47.150.000

Ejercicio 14 a) 900 € b) 1.440 € c) 540 €


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Ejercicio 15 39.900 : 38 450.000 : 53 73.402 : 94 325.039 : 50 222.700 : 740 C = 1.050 R = 0 C = 8.490 R = 30 C = 780 R = 82 C = 6.500 R = 39 C = 300 R = 700

Ejercicio 16 dividendo divisor cociente resto

257 28 9 5

14.112 47 300 12

252 14 18 0

1.484 23 64 12 9.982 132 75 82

49.178 97 506 96

Ejercicio 17 47.000 : 2.300 23.500 : 9.000 33.800 : 5.600 227.000 : 900 C = 20 R = 1.000 C = 2 R = 5.500 C = 6 R = 200 C = 252 R = 200

470.300 : 540 481.850 : 600 23.140 : 900 492.300 : 600 C = 870 R = 500 C = 803 R = 50 C = 25 R = 640 C = 820 R = 300

Ejercicio 18 a) 8 viajes b) 21.500 toneladas en el último viaje.

Ejercicio 19 a) 100 + 50 × 4 = 300 b) 500 – 5 × 40 = 300 c) 5 × 8 + 120 = 160 d) 40 – 60 : 5 = 28 e) 500 : 10 – 50 = 0 f) 5 × 8 – 90 : 5 = 22

Ejercicio 20 a) 20 × (5 + 20) = 500 b) (100 + 50) × 4 = 600 c) (60 – 40) : 5 = 4 d) 500 : (35 – 15) = 25 e) (100 – 80) × (20 – 10) = 200 f) (30 + 90) : (15 – 9) = 20 g) 40 + (100 + 500) : 10 = 100 h) 80 + (100 – 60) × 5 = 280 i) 40 × 5 – (56 – 26) : 6 = 195

Ejercicio 21 4.058.000 × 90.000 4.058 × 103 × 9 × 104 (4.058 × 9) × 107 365.220.000.000 109.000.000 × 500.000 109 × 106 × 5 × 105 (109 × 5) × 1011 54.500.000.000.000 300.000.000 × 750 3 × 108 × 75 × 10 (3 × 75) × 109 225.000.000.000 350.900 × 6.000.000 3.509 × 102 × 6 × 106 (3.509 × 6) × 108 2.105.400.000.000 2.450.000 × 23.000.000 245 × 104 × 23 × 106 (245 × 23) × 1010 56.350.000.000.000

Ejercicio 22 Dividendo Divisor Cociente C × d Resto = D – C × d

125.000 3400 36 122.400 Resto = 125.000 – 122.400 = 2.600

12.573 129 97 12.513 Resto = 12.573 – 12.513 = 60

85.000 37 2.297 84.989 Resto = 85.000 – 84.989 = 11

437.800 6.480 67 434.160 Resto = 437.800 – 6.480 = 3.640

25.700 300 85 25.500 Resto = 25.700 – 25.500 = 200

58.940 97 607 58.879 Resto = 58.940 – 58.879 = 61

6.785.400 2.460 2.758 6.784.680 Resto = 6.785.400 – 6.784.680 = 720


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Ejercicio 23 a) Escribe los siguientes números en el sistema de numeración romana:

7 13 19 34 42 65 88 99 V I I X I I I X I X X X X I V X L I I L X V L X X X V I I I X C I X

a) Escribe los siguientes números en el sistema de numeración decimal:

V I X I V X V I I I X X I V X L V L I X X C V I I 6 14 18 24 45 59 97


Ejercicio 1 320.040.068 € = trescientos veinte millones, cuarenta mil sesenta y ocho euros 8.001.059.040 € = ocho mil un millón, cincuenta y nueve mil cuarenta euros 30.300.009.603 € = treinta mil trescientos millones, nueve mil seiscientos tres euros 110.000.050.001 € = ciento diez mil millones, cincuenta mil un euro Veinte millones, mil doscientos euros ............................................................................................ 20.001.200 € Trescientos veintitrés millones, cuatrocientos mil dos euros ....................................................... 323.400.002 € Mil ocho millones, nueve mil treinta euros ................................................................................. 1.008.009.030 € Trescientos mil cuarenta y dos millones de euros ................................................................ 300.042.000.000 € Ochenta y cinco mil veinte millones, cien mil cinco euros....................................................... 85.020.100.005 € Cien mil cien millones, ochocientos ....................................................................................... 100.100.000.800 € Veinte mil millones, mil ............................................................................................................... 20.000.001.000

Ejercicio 2

2030 × 7050 = 14.311.500 7804 × 309 = 2.411.436 20700 × 7006 = 145.024.200 5004 × 4050 = 20.266.200

47.000 : 2300 23.500 : 9.000 33.800 : 5.600 250.000 : 340 Cociente = 20 Cociente = 2 Cociente = 6 Cociente = 735 Resto = 1.000 Resto = 5.500 Resto = 200 Resto = 100

Ejercicio 3 52 = 25 54 = 625 61 = 6 45 = 1.024 73 = 343 109 = 1.000.000.000 1011 = 100.000.000.000

Ejercicio 4 a) 30 + 18 × 5 – 64 : 4 = 104 b) (45 – 20) × 4 – 256 : 8 = 68 c) 100 + 40 × 5 – 500 : (45 – 40) = 200 d) (32 – 20) : (9 – 7) + 5 = 11 e) 80 + 125 : 5 – 4 × (18 – 3) = 45 f) 30 + 12 × 5 – 20 : (40 – 35) = 86

Ejercicio 5 200 € 50 € 5 € 2 € 1 € Total billetes y monedas

348 € 1 2 9 1 1 14

572 € 2 3 4 1 10

796 € 3 3 9 1 16

1.031 € 5 6 1 12

1.342 € 6 2 8 1 17


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Actividades

Actividad 1 a) 30 autobuses b) 44 viajeros

Actividad 2 860 €

Actividad 3 a) 3.251 cajas b) 4 botellas sin caja

Actividad 4 a) 20.100 € b) 2.552 €

Actividad 5 65 meses

Actividad 6 14.943 €

Actividad 7 a) 23 € b) 313 € c) 61 € d) 40 €

Actividad 8 a) 35 equipos b) 200 euros


Actividad 10 a) 54 viajes b) 14 vagones c) 13 vagones completos y 1 vagón con 15 toneladas

UNIDAD 2


Ejercicio 1 0,9 € = nueve céntimos 7,04 € = siete euros con cuatro céntimos 11,98 € = once euros con setenta y ocho céntimos

72,12 € = setenta y dos euros con doce céntimos 30,08 € = treinta euros con ocho céntimos

Ejercicio 2 a) Doce euros con sesenta y tres céntimos = ...................... 12,63 € b) Ochenta y cuatro céntimos = ............................................. 0,84 € c) Cuatro céntimos = .............................................................. 0,04 € d) Cincuenta y cuatro céntimos = ........................................... 0,54 € e) Setenta céntimos = ............................................................. 0,70 € f) Veintitrés euros con ochenta y dos céntimos = ................ 23,82 € g) Setenta y cinco euros con veinte céntimos = ................... 75,20 € h) Noventa euros con dos céntimos = .................................. 90,02 € i) Ciento cinco euros con treinta céntimos = ...................... 105,30 € j) Trescientos euros con cincuenta y dos céntimos = ........ 300,52 € k) Cuatrocientos noventa euros con un céntimo = ............. 490,01 € l) Quinientos euros con treinta y ocho céntimos = ............. 500,38 €

Ejercicio 3

0,4 cuatro décimas 0,006 seis milésimas 0,063 sesenta y tres milésimas 0,108 ciento ocho milésimas 0,568 quinientas sesenta y ocho milésimas 2.004,007 dos mil cuatro unidades con siete milésimas 47.500,305 cuarenta y siete mil quinientas unidades con trescientas cinco milésimas 1.000,7 mil unidades con siete décimas 2.000.050,08 dos millones cincuenta unidades con ocho centésimas 302.000,32 trescientas dos mil unidades con treinta y dos centésimas 510.070,500 quinientos diez mil setenta unidades con cinco décimas 302.007.900,007 trescientos dos millones, siete mil novecientas unidades con siete milésimas


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1.050.003,408 un millón, cincuenta mil tres unidades con cuatrocientas ocho milésimas. 900.054.000,06 novecientos millones, cincuenta y cuatro mil unidades con seis centésimas 3.000,205 tres mil unidades con doscientas cinco milésimas

Ejercicio 4 Quinientas mil ochenta unidades con nueve milésimas ........................................ 500.080,009 Treinta mil ocho unidades con siete centésimas ........................................................ 30.008,07 Ocho millones seiscientas mil unidades con doce milésimas ............................. 8.600.000,012 Tres mil unidades con cuatro décimas ........................................................................... 3.000,4 Cien mil una unidades con cuarenta y una centésimas ........................................... 100.001,41 Trescientas mil cuatro unidades con cinco centésimas ........................................... 300.004,05 Siete millones, cuatrocientos mil cuarenta unidades con siete milésimas .......... 7.400.040,007 Treinta mil dos unidades con siete cincuenta y ocho milésimas .............................. 30.002,058 Trescientos millones, mil cien unidades con tres décimas ................................. 300.001.100,3 Cincuenta millones, setenta y dos unidades con setecientas milésimas .............. 50.000.072,7

Ejercicio 5 a) 1.010,296 b) 45.705,507 c) 10.675,771 d) 0,971 e) 0,36 f) 0,001 g) 0,291 h) 4,375 i) 326,87 j) 44,043 k) 347.358,905

Ejercicio 6 a) 110,85 € b) 9,5 € c) 98 € d) 490 € e) 78,75 € f) 3,36 €

Ejercicio 7 a) 699,92 b) 101.970,04 c) 3.187,8 d) 301,732 e) 31,297 f) 41023.800 g) 52,094 h) 55,154

Ejercicio 8

a) 2,765 × 10 = 27,65 15,4 × 100 = 1.540 0,985 × 100 = 98,5 1,02 × 1.000 = 1.020 9,5 × 1.000 = 9.500 34 × 1.000 = 34.000 0,005 × 100 = 0,5 0,9 × 100 = 90 93,2 × 1.000 = 93.200 20,06 × 10 = 200,6 108,008 × 10.000 = 1.080.080 0,309 × 100.000 = 30.900

b) 1,2 × 1.000 = 1.200 0,438 × 100 = 43,8 645,1 × 100 = 64.510 0,07 × 1.000 = 70 0,2 × 100.000 = 20.000 43,8 × 10.000 = 438.000 25,06 × 100 = 2.506 3,008 × 100 = 300,8

Ejercicio 9 a) 1.441,248 : 8 (hasta que de resto cero) Cociente = 180,156 Resto = 0 b) 635.413 : 15 (aproximar hasta las décimas) Cociente = 42.360,8 Resto = 1 c) 14 : 57 (aproximar hasta las centésimas) Cociente = 0,24 Resto = 0,32 d) 0,75 : 7 (aproximar hasta las milésimas) Cociente = 0,107 Resto = 0,001 e) 38 : 25 (hasta que dé resto cero) Cociente = 1,52 Resto = 0 f) 1 : 12 (hasta las milésimas) Cociente = 0,083 Resto = 0,004

Ejercicio 10 708 : 10 = 70,8 708 : 100 = 7,08 708 : 1000 = 0,708 708 : 10000 = 0,0708 300 : 10 = 30 300 : 100 = 3 300 : 1000 = 0,3 300 : 10000 = 0,03 2.300 : 1000 = 2,3 7.040 : 100 = 70,4 3.729 : 10 = 372,9 150,25 : 10 = 15,025 37,95 : 10 = 3,795 8 : 1.000 = 0,008 543,8 : 100 = 5,438 0,2 : 100 = 0,002 700,5 : 100 = 7,005 40,09 : 10.000 = 0,004009 0,006 : 100 = 0,00006 2.089,3 : 10 = 208,9 34 : 1.000 = 0,034 3,2 : 100 = 0,032 1.803 : 1.000 = 1,803 4 : 100 = 0,04

Ejercicio 11 6.075 : 100 = 60,75 83 : 1.000 = 0,083 47,8 : 10 = 4,78 870 : 1.000 = 0,87


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20 : 10.000 = 0,002 13,9 : 100 = 0,139 1,25 : 10 = 0,125 300 : 10.000 = 0,03

Ejercicio 12 a) 43 : 2,5 (hasta obtener resto 0) Cociente = 17,2 Resto = 0 b) 358 : 7,09 (hasta las décimas) Cociente = 50,4 Resto = 0,664 c) 0,6193 : 35,9 (hasta las milésimas) Cociente = 0,017 Resto = 0,009 d) 13,4385 : 0,67 (hasta las centésimas) Cociente = 20,05 Resto = 0,005 e) 636,7 : 3,06 (hasta las centésimas) Cociente = 208,07 Resto = 0,0058 f) 0,86776 : 0,28 (hasta las milésimas) Cociente = 3,099 Resto = 0,00004

Ejercicio 13

a) 1000

6 b) 10017 c)

103 d)

1003805 e)

1076 f)

1000002300096

Ejercicio 14 a) 0,28 b) 0,5 c) 8,75 d) 10,85 e) 57

Ejercicio 15

a) 2

2510

125512 , == b) 401

1000250250 ==, c)

544

108888 ==,

d) 501

1002 0,02 == e)

204001

10020005 05200 ==, f)

43

10075 0,75 ==

Ejercicio 16

a) 582

17 ,= 75043 ,= 440

2511 ,= 151

2023 ,=

22250111 ,= 68751

1627 ,= 01250

801 ,= 0240

1253 ,=

b) =31 0,333… =

65 0,8333… =

78 1,142857142… =

127 0,58333…

=92 0,222… =

158 0,5333…

Ejercicio 17

a) 43 de 453 € = 339,75 € b)

2012 de 3.348 € = 2008,8 € c)

10045 de 125.000 € = 56.250 €

Ejercicio 19 a) 5,4% de 8.400 € = 453,60 € b) 11,05% de 80.203,08 € = 8.862,44 €

c) 20,7% de 10.040,36 € = 2.078,35 €

Ejercicio 18 a) 78,08 € b) 105,71 € c) 1.702,01 € d) 0,09 € d) 702,60 €

Ejercicio 20 a) 47,6 € b) 930.724,9 €

Ejercicio 21 a) 182,2975 € = 182,30 € b) 0,0657 € = 0,07 € c) 8,32 € d) 10.554,6 €

Ejercicio 22 25% del dinero + 45% del dinero + 20% del dinero = 90% del dinero gastado. 100% del dinero – 90% del dinero = 10% del dinero


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Ha vuelto con el 10% del dinero con que salió de vacaciones

Ejercicio 23 12% de 1.458.650 € = 175.038 € de aumento de beneficio 1.458.650 € + 175.038 € = 1.633.688 € de beneficio obtenidos en el año Ejercicio 24 Importe sin IVA Tipo de IVA IVA Precio con IVA

a) Vivienda 245.300 € 10,00% 24.530,00 € 269.830,00 €

b) Billete de tren 13,40 € 10,00% 1,34 € 14,74 €

c) Barra de pan 0,75 € 4,00% 0,03 € 0,78 €

d) Camisa 38,97 € 21,00% 8,18 € 47,15 €

e) Libro 18,04 € 4,00% 0,72 € 18,76 €

f) Televisor 380,07 € 21,00% 79,81 € 459,88 €

g) Un queso 28,46 € 4,00% 1,14 € 29,60 €

h) Un jamón 384,25 € 10,00% 38,43 € 422,68 €

i) Un móvil 142,95 21% 30,0195 172,97 €

Ejercicio 25

SUMINISTROS ELÉCTRICOS SL Nave 36 (polígono POLINDUSTRIA Zaragoza

Albarán Nº 109

28 de enero de 2017

Entrega a: ELECTRA SL Avda. del cine, 208 (Zaragoza)

Cantidad Concepto Precio Importe 37 PIA 7,99 295,63 € 82 Bases de enchufe 7,14 585,48 €

100 Manguera 2,01 201,00 € 42 Cajas de conexiones 5,49 230,58 €

250 Tubo corrugado 0,34 85,00 €

Firma: Electra


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Ejercicio 26

Ejercicio 27

Actividad 28 Extracto bancario Saldo final = 4.996


Ejercicio 1

a) 87 = 0,875

51 = 0,2

58 = 1,6

2030 = 1,5

113 = 0,272727…

3100 = 33,333…

100206 = 2,06

b) 0,23 = 10023 3,108 =

250777

10003108

= 10,5 = 221

10105

= 0,5 = 21

105

=

2,8 =5

141028

= 0,75 = 43

10075

= 7,5 = 2

151075

=

Ejercicio 2 102.000.350,023 = ciento dos millones, trescientas cincuenta unidades con veintitrés milésimas 2.003.009.060,8 = dos mil tres millones, nueve mil sesenta unidades con ocho décimas 80.600.050.007,06 = ochenta mil seiscientos millones, cincuenta mil siete unidades con seis centésimas

Número 42 Recibí de ELECTRA SL

la cantidad de

- 2.436,88 - euros

Por Factura 38 (01-02-2017)

Zaragoza a 11 de 02 de 2017

Número 42 Recibí de ELECTRA SL

la cantidad de ---- Dos mil cuatrocientos treinta y seis con ochenta y ocho ----- euros

Por Factura 38 de fecha 1 de febrero de 2017 Zaragoza a 11 de febrero de 2017

Son - 2.436,88 - euros Firma: Suministros Eléctricos SL

SUMINISTROS ELÉCTRICOS SL Nave 36, Pol. POLINDUSTRIA (Zaragoza) ELECTRA SL CIF 4580096Z Avda, del cine, 208 (Zaragoza) CIF 4000330A

Factura número 38 Fecha 1 de febrero de 2017

Cantidad Concepto Precio Importe 300 Manguera 2,01 603,00 €

62 Cajas de conexiones 5,49 340.38 € 175 Metros de cable de antena 1,53 267,75 €

37 PIA 7,99 295,63 € 82 Bases de enchufe 7,14 585,48 €

250 Tubo corrugado 0,34 85,00 € Subtotal 2.177,24 € Descuento 7,5 % de 2.177,24 € 163,293 € Base imponible (B.I.) 2.013,947 € I.V.A. 21 % de 2.013,947 € 422,928 € TOTAL 2.436,88 €


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901.000.008.060,109 = novecientos un mil millones, ocho mil sesenta unidades con ciento nueve milésimas

Ejercicio 3 Trescientos ocho mil millones, quinientas mil unidades con nueve centésimas ..................... 308.000.005.000,09 Mil cuatro millones, doscientas unidades con veinticinco milésimas ......................................... 1.004.000.200,025 Treinta y dos mil siete millones, setecientas unidades con tres décimas .................................... 32.007.000.700,3 Ochocientos mil millones quinientas unidades con setecientas dos milésimas .................... 800.000.000.500,702

Ejercicio 4

293,062+89+0,85 = 382,912 500 – 298,17 = 201,83 136,2 – 98,326 = 37,874 0,1 – 0,057 = 0,043

365,7 : 18 C = 20,3 R = 0,3

175,17 : 700 C = 0,25 R = 0,17

92,193 : 2,3 C = 40,08 R = 0,009

5.776,3 : 1,9 C = 3.040 R = 0,3

0,3 : 7 C = 0,042 R = 0,006

1,8 : 20 C = 0,09 R = 0

0,35 : 2,6 C = 0,134 R = 0,0016

3,008 : 0,15 C = 20,053 R = 0,00005

Ejercicio 5 0,5% de 1.450 € = 7,25 2,5% de 10.000 € = 250 21% de 3,50 € = 0,74

Ejercicio 6 a) 0,62 € b) 9.180 €. c) 11 quesos y sobran 3,75 €. d) 225 € e) 38 pizzas y sobran 0,60 € (60 céntimos de euro)

Ejercicio 7 Billetes Monedas

200 € 50 € 20 € 5 € 2 € 20 c€* 5 c€* 1 c€*

378,60 € 1 3 1 1 1 8 0 0

547,39 € 2 2 2 1 1 1 3 4

1.078,09 € 5 1 1 1 1 5 1 4

1.203,52 € 6 0 0 0 1 7 2 2

1.500,88 € 7 2 0 0 0 4 1 3

Ejercicio 8 Autocorrección. El apartado “a” se corrige con el apartado “b”. El dividendo obtenido en el apartado “b” debe ser igual al que figura en el apartado “a”.

Dividendo (D) Divisor (d) Aprox. cociente Cociente (C) d × C Resto = D – d × C

a 1,38875 0,45 Centésima 3,08 1,386 0,00275

b 1,722 7,4 Milésima 0,232 1,7168 0,0052

c 72.400,35 80,4 Décima 900,5 7.2400,2 0,15

d 1.443,2 48 Centésima 30,06 1.442,88 0,32

e 5,3813 0,76 Centésima 7,08 5,3808 0,0005


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Actividades

Actividad 1 a) 237,22 € b) 62,78 €

Actividad 2 46 €

Actividad 3 Importe a pagar = 164,5 €

Actividad 4 a) 273 paquetes y 15 cigarrillos

b) 863,10 €

Actividad 5 9.228.450 €

Actividad 6 a) 2.772 $ b) 1.529,59 £ c) 450.320 ¥ d) 147,098 = 147,10 €


Actividad 8 426 €

Actividad 9 54 € que deberá pagar la familia B a la familia A

Actividad 10 a) 17,73 € cada amigo b) 2,13 € de propina

Actividad 11 Corrección por el profesor/a. El importe total es 217.150 €

Actividad 12 Corrección por el profesor/a. El importe total de la factura es 6.397,30 € Actividad 13 Corrección por el profesor/. El importe de la factura es 219,51 €

UNIDAD 3 Los ejercicios de esta unidad debe corregirlos el profesor/a

UNIDAD 4


Ejercicio 1 a) 1 día = 1.440 minutos b) 1 hora = 3.600 segundos c) 552 horas = 23 días d) 12 horas = 43.200 segundos e) 1.380 minutos = 23 horas f) 2.700 segundos = 45 minutos

Ejercicio 2 1492 1808 1812 1936 1939 1978 1986 2004 2014 2030 SI SI SI SI NO NO NO SI NO NO

Ejercicio 3 a) Tercer trimestre del año = 2.208 horas b) mes de julio = 44.640 minutos c) Un año bisiesto = 31.622.400 segundos d) 604.800 segundos = 1 semana

Ejercicio 4 dos y cuarto de la tarde 14 : 15 una menos veinte de la madrugada 0 : 40 una y media de la madrugada 1 : 30 ocho menos veinticinco de la mañana 7 : 35 once menos cinco de la mañana 10 : 55 doce menos diez de la noche 23 : 50 siete y diez de la mañana 7 : 10 las cinco de la tarde 17 : 00

Ejercicio 5 a) 12 horas y 48 minutos en segundos = 46.080 segundos b) 3 días y 12 minutos = 259.920 segundos c) 2 semanas, 5 días y 17 horas = 473 horas

Ejercicio 6 a) 490 horas = 2 semanas, 6 días y 10 horas b) 25.240 segundos = 7 horas y 40 segundos


Página 158

c) 3.150 minutos = 2 días, 4 horas y 30 minutos d) 243 horas = 1 semana, 3 días y 3 horas

Ejercicio 7 a) Un día = 1.440 minutos Una semana = 604.800 segundos Un cuarto de hora = 900 segundos 259.200 segundos = 3 días b)

INCOMPLEJO COMPLEJO INCOMPLEJO COMPLEJO

90 min 1 h y 30 min 4350 min 3 días y 30 min

18 meses 1 año y 6 meses 21.645 seg 6 h y 45 seg

135 min 2 h y 15 min 488 h 2 sem, 6 días y 8 h

325 seg 5 min y 25 seg 365 h 2 sem, 1 día y 5 h 3.615 seg 1 h y 15 seg 18.018 seg 5 h y 18 seg 1 año bisiesto 52 semanas y 2 días 31.620 minutos 3 semanas y 23 horas

Ejercicio 8 a) 2 horas, 4 minutos y 57 segundos = ............................. 124,95 minutos b) 3 semanas, 2 días, 7 horas y 39 minutos = ...................... 559,65 horas c) 5 horas y 18 segundos = ..................................................... 5,005 horas d) 2 horas, 42 minutos y 36 segundos = ................................... 2,71 horas e) 45 minutos y 18 segundos =. .............................................. 0,755 horas

Ejercicio 9 a) 148,23 horas = ............... 6 días, 4 horas, 13 minutos y 48 segundos b) 18,03 días = .............. 2 semanas, 4 días, 43 minutos y 12 segundos c) 0,62 horas = ............................................... 37 minutos y 12 segundos d) 362,05 minutos = ............................ 6 horas, 2 minutos y 3 segundos e) 0,605 semanas = ............ 4 días, 5 horas, 38 minutos y 24 segundos

Ejercicio 10 a) 1 cm = 10 mm b) 1 dm = 10 cm c) 1 dm = 100 mm d) 30 cm = 3 dm e) 30 cm = 300 mm

Ejercicio 11 0,072 km = ............ 7.200 cm 500 hg = ............... 500.000 dg 500 kl = .......... 5.000.000 dl 314,9 cm = ............. 3,149 m 250.080 hg = ......... 250,08 Qm 20.600 cl = .............. 0,206 kl 13,5 hm = .......... 135.000 cm 78.000 kg = ........ 78.000.000 g 78.000 l =.............. 7.800 dal 1.640 mm = .......... 0,164 dam 78.000 g = ............. 780.000 dg 1.000.000 ml = ... 10.000 dl 4,6 m = ..................... 460 cm 0,07 t = ....................... 70.000 g 704,5 dl =.............. 7,045 dal

Ejercicio 12 a) 5 km, 9 dam, 5 dm y 8 cm = .......... 5.090,58 m b) 5 hg, 8 g, y 7 mg = .................. 50.800,7 cg c) 3 l, 2 dl, 8 cl y 3 ml = ........................... 32,83 dl d) 7 t, 2 Qm y 6 hg = .................... 7.200,6 kg e) 7 hm y 3 m = ..................................... 0,703 km f) 7 hm, 8 dam y 3 dm = ................. 780.300 mm g) 2 Qm, 6 hg 8 dag = ............................. 200.608 g h) 2 dal y 7 dl = ..................................... 2.070 cl

Ejercicio 13 a) 3.560 m = ......................... 3 km, 5 hm y 6 dam b) 0,085 m = ............................... 8 cm y 5 mm c) 2,035 kl = .................................. 2 kl, 3 dal y 5 l d) 72,605 dal = ................ 7 hl, 2 dal, 6 l y 5 cl e) 1.702,005 kg = ............... 1 T, 7 Qm, 2 kg y 5 g f) 0,7004 hg = ................................ 7 dag y 4 cg g) 408,06 dam = ..................... 4 km, 8 dam y 6 dm h) 0,3057 t = ....................... 3 Qm, 5 hg y 7 dag

Ejercicio 14 Corrección por parte del profesor/a


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Ejercicio 15 a) 23.040 m = 23 km y 40 m b) 0,083 hm = 8 m y 30 cm c) 4.205 dal = 42 kl y 50 litros d) 26.000 hg = 2 T y 600 kg e) 0,201 dag = 2 g y 10 mg f) 409 dl = 40 litros y 90 cl

Ejercicio 16 a) 116 km/h × 3 h = 348 km b) 116 km/h × 0,5 h = 58 km c) 116 km/h × 2,5 h = 290 km d) 116 km/h × 0,25 h = 29 km

Ejercicio 17 a) 21 km y 250 m = 21.205 m 21.205 m : 17 minutos = 1.250 m/minuto b) 247 km y 500 m = 247.500 m 247.500 m : 165 minutos = 1.500 m/minuto

Ejercicio 18 a) 1.250 m = 1,25 km En una hora recorrerá 60 veces más que en un minuto, por tanto 1,25 km × 60 = 75 km/h b) 1.500 m = 1,5 km En una hora recorrerá 60 veces más que en un minuto, por tanto 1,5 km × 60 = 90 km/h

Ejercicio 19 móvil espacio recorrido tiempo empleado velocidad

automóvil 720 km 6 horas 120 km/h barco 1. 472 km 2 días y 16 horas 23 km/h bicicleta 18,75 km 45 minutos 25 km/h

avión 3.375 km 3 horas y tres cuartos de hora 900 km/h

sonido 1.224 km 1 hora 340 m/s guepardo 1.800 m 1 minuto y 12 segundos 90 km/h luz 27.000.000 km minuto y medio 300.000 km/s


Ejercicio 1

a) 154

de 5 horas = 80 minutos b) 31

de día = 480 minutos c) 87

de 5 horas = 15.750 segundos

Ejercicio 2 a) 126,26 horas = ....... 5 días, 6 horas, 15 minutos y 36 segundos b) 3,6 días = ..................................... 3 días, 14 horas y 24 minutos c) 312,85 minutos = ............... 5 horas, 12 minutos y 51 segundos d) 0,48 días = ....................... 11 horas, 31 minutos y 12 segundos

Ejercicio 3 a) 5 días, 6 horas y 27 minutos = ........................ 126,45 horas b) 6 días, 12 minutos y 57 segundos = ........ 8.652,95 minutos c) 5 semanas y 51 minutos = ............................. 840,85 horas d) 3 días, 24 minutos y 18 segundos = .............. 72,405 horas

Ejercicio 4 a) 0,75 litros = 750 ml b) 0,4 litros = 40 cl c) 1,5 hl = 150 litros d) 2,25 kg = 2.250 g e) 2,5 T = 2.500 kg f) 0,125 m = 125 mm


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Ejercicio 5 a) La distancia entre dos pueblos es de 35070 m ................................... 35,07 km b) La masa de un barco es de 41035.708 kg ....................................... 4.035,708 T c) La cisterna del WC tiene una capacidad de 1.508 cl .......................15,08 litros d) Un jamón tiene una masa de 50.480 dg ............................................... 5,048 kg e) Una botella tiene una capacidad de 0,075 dal ....................... 0,75 litros ó 75 cl f) Un campo de baloncesto mide 0,155 hm ................................................ 15,5 m

Ejercicio 6 a) 7,209 km = .................................. 7 km, 2 hm y 9 m b) 70,087 hl = .................... 7 kl, 8 litros y 7 dl c) 0,795 kg = .................................... 7 hg, 9 dag y 5 g d) 75.008,6 cl = ............ 7 hl, 5 dal, 8 cl y 6 ml e) 350.709,5 kg = ................ 350 T, 7 Qm, 9 kg y 5 hg

Ejercicio 7 a) 5 hl, 7 dal, 2 dl y 3 ml =..................... 570,203 litros b) 3 T, 7 Qm, 4 dag y 5 g =........ 3.700,045 kg c) 7 dm y 5 mm = ............................................ 70,5 cm d) 5 kg, 7 hg y 3 cg = ..................... 5.700,03 g e) 7 kl, 6 dal y 5 dl = .................................... 70,6005 hl

Ejercicio 8 a) 85 km/h × 0,25 horas = 21,25 km = 21.250 m b) 34 km : 85 km/h = 0,4 horas = 24 minutos

Ejercicio 9 150.000.000 km : 85 km/h = 500 segundos = 8 minutos y 20 segundos

Actividades

Actividad 1 a) 0,90 € b) 8,10 €

Actividad 2 Se necesitará 1 Tm y 515 kg (1.515 kg) de pescado y 909 kg de aceite

Actividad 3 a) 7,5 g b) 0,04 €

Actividad 8 0,61 €

Actividad 4 a) 6,98 € b) 6,43 € c) 15,73 € d) 2,90 €

Actividad 5 a) El litro de leche cuesta:

En botella de 1,5 litros a 0,96 € En caja de 2 litros a 0,98 € En botellas medio litro a 1,02 €

b) 20 envases

Actividad 6 0,8675 = 0,87 € (redondeando al céntimo de euro)

Actividad 7 Bocadillo de pan y jamón: precio, 0,93 €; beneficio, 2,82 € Bocadillo de pan y queso: precio, 0,94 €; beneficio, 2,81 € Bocadillo de pan y jamón: precio, 1,03 €; beneficio, 2,72 €

Actividad 9 Bebida % alcohol Capacidad del

envase o copa Alcohol ingerido (mililitros)

en la consumición) Cerveza 5,5% 33 cl 18,15 ≈ 18 Sidra 4,25% 150 mililitros 6,375 ≈ 6 Vino de mesa 12% 0,15 litros 18 Coñac 40% 5 centilitros 20

Actividad 10 a) 36.892.800 latidos (treinta y seis millones, ochocientos noventa y dos mil ochocientos) b) 4,9 litros c) 3 horas, 24 minutos y 5 segundos (4,8 segundos)


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Actividad 11 La gasolinera A ha ganado 3.650,29 € más que la B

Actividad 12 a) 30% de la gasolina almacenada b) 750.000 litros

UNIDAD 5


Ejercicio 1 Corrección por el profesor/a

Ejercicio 2 a) 32º b) 90º y 36º d) 120º Ejercicio 3 Equilátero Isósceles Escaleno Rectángulo 4 3 Acutángulo 1 2 7 Obtusángulo 6 5

Ejercicio 4 a) Cuadrado y rombo b) Rectángulo y romboide c) Rombo, romboide y trapecio isósceles d) Cuadrado y rectángulo e) Trapecio rectángulo f) Trapecio isósceles g) Trapecio y trapezoide h) 75º i) Dos ángulos de 100º y dos de 80º

Ejercicio 5 a) 230 dm b) 2.100 mm c) 0,17 hm d) 73 mm e) 1,953 m f) 59,5 cm

Ejercicio 6 a) Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 metro de lado b) Un decímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 decímetro de lado c) Un kilómetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 kilómetro de lado

Ejercicio 7 a) En 1 dm2 caben 100 cm2 b) En 1 cm2 caben 100 mm2 c) 1 dm2 es igual a 10.000 mm2 d) El centímetro cuadrado es la centésima parte del decímetro cuadrado.

Ejercicio 8 a)

Unidades hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1 km2 = 102 104 106 108 1010 1012

1 hm2 = 102 104 106 108 1010

1 dam2 = 102 104 106 108

b) 0,072 km2 = ......... 72.000 m2 50,07 ha = ............. 500.700 m2 28,005 m2 = ... 28.005.000 mm2 45 dam2 = ............ 0,45 hm2 550.000 mm2 = ............ 0,55 m2 0,705 km2 = ................ 70,5 hm2 0,7 m2 = ........... 0,007 dam2 8,009 dam2 = .... 8.009.000 cm2

8.409.205 dm2 = . 84.092,05 m2 0,003 hm2 = ... 300.000 cm 2 880 m2 = ...................... 0,088 ha 25.000 mm2 = ............. 0,025 m2



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Ejercicio 11 4,90625 m2 = 4,91 m2


Ejercicio 13 a) 16 b) 20,5 c) 16,49

Ejercicio 14 El lado desconocido vale 5 m. La superficie del polígono es 80 cm2


Ejercicio 1 Corrección por el profesor/a. Una posible descomposición del polígono “b” sería en los triángulos 1 y 2:

Ejercicio 2 a) Corrección por el profesor/a. Una posible descomposición de los polígonos sería esta:

Dos triángulos iguales Seis triángulos iguales Dos triángulos iguales

b) Polígono 1 (romboide): 2 ángulos de 65º y 2 de 115º; la suma de los ángulos es 360º Polígono 3 (rombo): 2 ángulos de 44º y 2 de 136º; la suma de los ángulos es 360º

Ejercicio 3 Corrección por el profesor/a. La descomposición del polígono sería:

Polígono 1: el triángulo rectángulo ABC, de base BC y altura AC

Polígono 2: el cuadrilátero rectángulo ACDF al que habría que quitar el polígono 3

Polígono 3: un cuarto del círculo con centro en D y radio DE

Ejercicio 4 Altura = 6 m Superficie = 15 m2

Ejercicio 5 Al trazar la diagonal menor, el rombo queda dividido en 4 triángulos rectángulos, cuya hipotenusa mide 8 m (lado) y el cateto mayor, 7,5 m (la mitad de la diagonal mayor).

1

A

B C D

E 2

3

F

1 2


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Cateto menor = 2,783 m Superficie del rombo = 41,745 m2

Ejercicio 6 Apotema del hexágono o altura de los triángulos = 21,65 m Superficie del hexágono = 1.623,75 m2

Actividades

Actividad 1 a) Con la de 5 metros b) Teorema de Pitágoras. El inicio de la rampa se encuentra a 4,77 metros

Actividad 2 Teorema de Pitágoras. Se puede alcanzar una altura máxima de 4,743 metros

Actividad 3 a) La superficie a pintar.

Hay que pintar el suelo (10 m × 6 m), dos paredes de 6 m × 1,45 m y dos paredes de 10 m × 1,45 m. Superficie total a pintar = 106,4 m2

b) Los litros de pintura necesarios. Dos capas de pintura es como si se pintara el doble de superficie, por lo tanto 212,8 m2 Para calcular los litros de pintura, 212,8 m2 ÷ 6 m2 / litro = 35,466 litros, casi 35 litros y medio

c) Las latas de pintura que se deberán comprar y el importe de las mismas. 35,466 litros ÷ 4 litros / lata = 8,866 latas. Habrá que comprar 9 latas 9 latas × 15,95 € / lata = 143,55 €

d) El precio de la pintura (lo que vale un litro). 15,95 € ÷ 4 litros / lata = 3,9875 € = 3,99 €

Actividad 4 Corrección por el profesor/a

Actividad 5 a) Averigua la superficie que se puede cubrir con un paquete de lamas.

Superficie de una lama = 122 m × 14,6 m = 1.781,2 cm2 Superficie que se puede cubrir con un paquete = 1.781,2 cm2 / lama × 18 lamas = 3.206,16 cm2 = 3,2 m2

b) Averigua los paquetes que será necesario comprar para cubrir la pared. Superficie de la pared = 5,48 m × 2,50 m = 13,7 m2 Cantidad de paquetes necesarios = 13,7 m2 ÷ 3,2 m2 / paquete = 4,28125 paquetes = 5 paquetes (sobrarán lamas del quinto paquete)

c) Averigua el importe de la madera comprada. Metros cuadrados comprados = 3,2 m2 / paquete × 5 paquetes = 16 m2 16 m2 × 22,95 € / m2 = 367,2 € (367 euros con 20 céntimos)

Actividad 6 a) Las baldosas necesarias.

Superficie del suelo = 28,9375 m2 = 289.375 cm2 Superficie de una baldosa = 900 cm2 Baldosas = 289.375 m2 ÷ 900 cm2 = 321,527778 baldosas. Se necesitan 322 baldosas

b) La superficie a pintar Dos paredes de 6,25 m × 2,95 m; superficie = 6,25 m × 2,95 m × 2 = 36,875 m2 Dos paredes de 4,63 m × 2,95 m; superficie = 4,63 m × 2,95 m × 2 = 27,317 m2 Techo de 4,63 m × 6,25 m; superficie = 4,63 m × 6,25 m = 28,9375 m2 Total superficie a pintar = 93,1295 m2 = 93,13 m2

c) Las latas de pintura que se deberán comprar y el importe de las mismas. 93,1295 m2 × 0,125 kg / m2 = 11,6411875 m2 = 11,64 kilogramos de pintura 11,64 kg ÷ 5 kg / lata = 2,328 latas; habrá que comprar 3 latas


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3 latas × 8,99 € / lata = 26,97 € c) El precio de la pintura (lo que vale un kilogramo).

8,99 € ÷ 5 kg / lata = 1,798 € = 1,80 €

UNIDAD 6


Ejercicio 1 Corrección por el profesor/a.


Ejercicio 3 a) Superficie de la base = 5.024 cm2 Superficie lateral = 43.960 cm2 Superficie total = 48.984 cm2 = 4,8984 m2 (casi 5 m2) b) Superficie de una cara = 780 cm2 Superficie total = 3.120 cm2

Ejercicio 4 0,705 km3 = ....... 705.000.000 m3 5,07 hl = ............... 0,507 m3 28,005 m3 = .... 28.005.000 cm3 4,508 dam3 = .. 4.508.000.000 ml 5.500.000 mm3 = .... 0,055 hl 0,075 kl = ................ 75.000 cm3 25,003 hl = .............. 2.500,3 dm3 78.000 ml = .......... 0,078 m3

Ejercicio 5 a) 12276250 mm3 = 12.276,250 cm3 = 12,276250 dm3 o litros; redondeando = 12,276 litros = 12 litros y 276 ml b) Convirtiendo todas las medidas en metros, el volumen sería 625 m3 ó 625.000 litros

Ejercicio 6 a) Haciendo las operaciones con las medidas expresadas en metros se obtiene un volumen de 0,398125 m3. Como resulta una cantidad muy pequeña, es mejor expresarla en dm3 o litros. 0,398125 m3 = 398,125 dm3 o litros. Podría expresarse también como 398 litros y 125 ml b) Haciendo las operaciones con las medidas expresadas en decímetros se obtiene un volumen de 3.090,9375 dm3 o litros. Podría expresarse también como 3.090 litros y 937 ml

Ejercicio 7 a) 10,416 m3 o también 10.416 litros b) 8,177 m3 o también 8.177 litros

Ejercicio 8 Volumen = 2.943,75 cm3 = 2,94375 dm3 = 0,00294 m3 Densidad = 7.873,8 kg / m3 El resultado puede variar ligeramente dependiendo del número de cifras decimales tomadas en el volumen.

Ejercicio 9 4.050 g = 4,05 kg

Ejercicio 10 0,022732 m3 = 22,732 dm3 o litros

Ejercicio 11 a) 4,05 kg : 5 litros = 0,81 kg / dm3 o litro = 810 kg / m3 (flota en el agua) b) 537 g : 790 ml = 0,679 g / ml o cm3 = 0,679 kg / dm3 o litro = 679 kg / m3 (flota en el agua) c) 3,209 kg : 3,5 litros = 0,916 kg / litro o dm3 = 916 kg / m3 (flota en el agua) d) 1,25 kg : 0,891 litros = 1,402 kg / litro o dm3 = 1.402 kg / m3 (NO flota en el agua) e) 129 gramos : 125 ml = 1,032 g / ml o cm3 = 1,032 kg / dm3 o litro = 1.032 kg / m3 (NO flota en el agua)


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Ejercicio 1 a) 25.000 m3 b) 43,212 m3 c) 324.000.000 m3 d) 26.000 m3 e) 12.000.000 m3 f) 45.230 dam3

Ejercicio 2 a) 250.000.000 litros b) 3,517 litros c) 32.000 litros d) 2.600.000 litros e) 12 litros f) 45.230 litros

Ejercicio 3 Superficie de la base = 58,0586 cm2 Superficie lateral = 486,072 cm2 Cantidad de aluminio para su construcción = 58,0586 cm2 + 58,0586 cm2 + 486,072 cm2 = 602,1892 cm2

Ejercicio 4 Área de la base = 100 cm2 Área lateral = 260 cm2 Área total = 360 cm2 Altura de la pirámide (mediante Pitágoras) = 12 cm Volumen de la pirámide = 400 cm3

Ejercicio 5 Apotema del hexágono (mediante Pitágoras) = 346,41016 mm = 0,346 m Área de la base = 0,4152 m2 Área lateral = 7,2 m2 Área total = 7,6152 m2 Volumen del prisma = 1,2456 m3 = 1.245 litros

Actividades

Actividad 1 a) Área de la base = 4,8475 m2 Volumen = 46,536 m3 = 46.536 litros b) Área lateral = 74,9078 m2 Área total = 79,7553 m2 Se han necesitado 79,7553 m2 de chapa = 79 m2 y 75 dm2 (casi 80 m2) c) Importe de la factura = 75.865,79 €

Actividad 2 Radio interior = 0,6 m radio exterior = 0,775 m Volumen exterior de la tubería = 3,14 × (0,775 m)2 × 2,5 m = 4,71490625 m3 Volumen del hueco interior de la tubería = 3,14 × (0,6 m)2 × 2,5 m = 2,826 m3 Volumen de la pared de la tubería = 4,71490625 m3 – 2,826 m3 = 1,88890625 m3 Peso de la tubería = 1,88890625 m3 × 2.150 kg / m3 = 4061,1484375 kg = 4.061 T = 4 T y 61 kg


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Actividad 3 a) 50 m × 25 m × 2 m = 2.500 m3 = 2.500.000 litros b) Superficie del suelo = 50 m × 25 m = 1.250 m2

Superficie de las paredes laterales largas = 50 m × 2 m × 2 paredes = 200 m2 Superficie de las paredes laterales cortas = 25 m × 2 m × 2 paredes = 100 m2 Superficie total a pintar = 1.250 m2 + 200 m2 + 100 m2 = 1.550 m2 1.550 m2 ÷ 12 m2 / litro = 129,167 litros de pintura para una capa 129,167 litros / capa × 3 capas = 387,501 litros necesarios para las tres capas

c) 387,501 litros ÷ 10 litros / lata = 38,7501; harían falta 38 latas, pero todavía se necesitarían 7,501 litros más (resto de la división), aunque habría que comprar 8 litros más. Se pueden estudiar dos opciones

• Opción A. Se pueden comprar 39 latas de 10 litros • Opción B. Se pueden comprar 38 latas de 10 litros, 1 lata de 5 litros y 3 latas de 1 litro..

d) El importe de las dos opciones es: • Opción A. 39 latas × 50 € / lata = 1.950 € • Opción B. 38 latas × 50 € / lata + 1 latas × 28,50 € / lata + 3 latas × 7,95 € / lata = 1900 € + 28,50 € +

23,85 € = 1952,35 €. La opción A resulta más barata con un ahorro de 2,35 € sobre la opción B, además de sobrar 2,5 litros de pintura.

Actividad 4 a) 22,26 Tm b) 76,613 m3 = 76.613 litros c) 29 m2 y 72 dm2

Actividad 5 La viga puede descomponerse en tres ortoedros, dos iguales colocados en posición horizontal y uno en posición vertical. Las medidas de dichos ortoedros son: Ortoedros en posición horizontal: largo, 5.000 mm; ancho, 200 mm; alto (grosor), 15 mm. Ortoedro en posición vertical: largo, 5.000 mm; alto, 220 mm (250 mm – 15 mm – 15 mm); grosor, 15 mm Como la densidad viene dada en kg / dm3, se hacen los cálculos con las medidas en dm para obtener dm3. Volumen ortoedros horizontales = 50 dm × 2 dm × 0,15 dm × 2 ortoedros = 30 dm3 Volumen ortoedro vertical = 50 dm × 2,2 dm × 0,15 dm = 16,5 dm3 Volumen de la viga = 30 dm3 + 16,5 dm3 = 46,5 dm3 Masa de la viga = 46,5 dm3 × 7,85 kg / dm3 = 365,025 kg = 365 kg y 25 g

UNIDAD 7


Ejercicio 1

a) =horas 5

litros 1.200 240 litros / hora (litros que salen en una hora; esta razón define el concepto caudal).

b) =litros 1.200

horas 5 0,00416 horas / litro (tiempo necesario para que salga un litro de agua por el grifo)

0.00416 horas × 60 × 60 = 14,97 segundos (14 segundos y 97 centésimas de segundo). Redondeando, el resultado quedaría 15 segundos / litro.

Ejercicio 2

a) =kg 20

cm 8 0,4 cm / kg = 4 mm / kg (longitud que se estira el muelle al colgarle una masa de un kilogramo).

b) =cm 8

kg 20 2,5 kg / cm (kilogramos necesarios para estirar el muelle un centímetro)


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Ejercicio 3

a) 0,6 4

2,4=

7

3,524,5

=

1,8 7

12,6=

1,8

2,54,5

=

0,6 1,50,9

=

0,6 6

3,6=

7

856

=

b) 663

5190

42,4 ,

,,

== 8

56 3,524,5

= 2,54,5

7612=

,

Ejercicio 4

a) 25horas 3

km 75= 25

horas 53km 587

=,

, 25horas 4

km 100= 25

horas 254km 25106

=,

,

25 km / hora. Kilómetros recorridos en una hora (velocidad)

b) 040km 75

horas 3 ,= 040km 587

horas 53 ,,

,= 040

km 001horas 4 ,= 040

km 06,251horas ,254 ,=

0,04 horas / km. Tiempo empleado para recorrer un kilómetro (0,04 horas = 2 minutos y 24 segundos)

c) Hay relación de proporcionalidad directa ya que hay una constante de proporcionalidad en ambos casos: 25 km / hora y 0,04 horas / km

Proporciones

hora / km 25 horas 254

km 25106horas 4

km 100horas 53

km 587horas 3

km 75====

,,

,,

km / horas 0,04 km 06,251

horas ,254km 001

horas 4km 587

horas 53km 75

horas 3====

,,

Ejercicio 5 a) 5 × 150 = 7,5 × 100 = 10 × 75 = 12,5 × 60 = 750 litros k = 750 litros (capacidad del depósito)

b) 15 litros / minuto × Tiempo = 75 litros; =min. / litros 15

litros 750 50 minutos

c) Caudal × 40 minutos = 750 litros; =minutos 40

litros 750 18,75 litros / minutos

Ejercicio 6

a) cm 8,5cm 1252. = 250; escala = 1 : 250 b) 6 mm × 250 = 1.500 mm = 1,5 m c)

250cm 503 = 1,4 cm

Ejercicio 7 a)

Valor de los productos comprados = 1.180 €

Descuento = 101004801

×. = 148 €

Subtotal con el Dto =1.480 € – 148 € = 1.332 €

IVA = 211003321

×. = 279,72 €

TOTAL a pagar = 1.332 € + 279,72 € = 1.611,72 €

b)

Valor de los productos comprados = 1.180 €

IVA = 211004801

×. = 310,80 €

Subtotal con el IVA = 1.480 € + 310,80 € = 1.790,80 €

Descuento = 10100

807901×

,. = 179,08 €

TOTAL a pagar = 1.790,80 € – 179,08 = 1.611,72 €

c) El importe final es el mismo; sin embargo, el IVA es mayor si se calcula primero.

d) Debe calcularse primero el descuento y luego el IVA porque en caso contrario, el vendedor paga más IVA del que le corresponde.


Página 168

Ejercicio 8 a)

Precio – 30% del precio = 48,99 €

100% del precio – 30% del precio = 48,99 €

70% del precio = 48,99 €

€ 69,99 100 70

48,99=×

b)

longitud carretera – 75 % de la longitud = 18 km

100 % de la longitud – 75 % de la longitud = 18 km

25 % de la longitud = 18 km

km 72 100 25km 18

=×

Ejercicio 9 a) Total de votos emitidos = 356 + 391 + 18 = 765 votos;

Candidato A = 100765356

× = 46,53 %; candidato B = 100765391

× = 51,11 %

b) Nulos = 10076518

× = 2,35 %

c) Abstención = 850 votos posibles (censo electoral) – 765 votos emitidos = 85 votos no emitidos

Abstención = 10085085

× = 10% del censo electoral

d) Participación = 100850765

× = 90% del censo electoral

Ejercicio 10 Año Beneficio Variación (€) Variación (%)

2013 3.762.200 € 3.762.200 € – 3.520.000 € = 242.200 € (superávit) 100

0005203200242

×..

. = 6,88 %

2014 3.600.450 € 3.600.450 € – 3.762.200 € = – 161.750 € (déficit)* 100

2007623750161

×−

... = – 4,3 %

* Para efectuar esa resta, se invierte el orden de los números (3.762.200 € – 3.600.450 € = 161.750 €) y al resultado se le pone el signo menos para indicar que es negativo, ya que el sustraendo es mayor que el minuendo)

Ejercicio 11 550 vehículos – 600 vehículos = – 50 vehículos; se han vendido 50 vehículos menos Para efectuar esa resta, se invierte el orden de los números (600 – 550 = 50) y al resultado se le pone el signo menos para indicar que es negativo, ya que el sustraendo es mayor que el minuendo)

100600

50×

− = – 8,33 %; en 2012 se ha vendido un 8,33 % de vehículos menos que en el año 2011

Ejercicio 12 Dinero puesto = 3 € + 4,25 € + 5 € = 12,25 €; 2.500 € ganados : 12,25 € puestos = 204,0816326530612 = 204,0816 € ganados / € puesto 3 € × 204,0816 € = 612,2448 € 4,25 € × 204,0816 € = 867,3468 € 5 € × 204,0816 € = 1.020,408 € Comprobación = 612,2448 € + 867,3468 € + 1.020,408 € = 2.499,9996 € (2.499,99 €) No da exactamente 2.500 porque la división 2.500 : 12,25 NO es exacta

Ejercicio 13 El criterio de reparto será el tiempo de permanencia en el negocio, ya que han puesto la misma cantidad de dinero Andrés = 6 meses (2016) + 12 meses (2017) + 3 meses (2018) = 21 meses José = 1 mes (2016) + 12 meses (2017) + 3 meses (2018) = 16 meses


Página 169

Tiempo total de permanencia en el negocio = = 21 meses + 16 meses = 37 meses 75.800 € : 37 meses = 2048,648648648649 = 2.048,648 € / mes Andrés = 2.048,648 € / mes × 21 meses = 43.021,608 € = 43.021,608 € José = 2.048,648 € / mes × 16 meses = 3.2778,368 € = 32.778,368 € Comprobación = 43.021,608 € + 32.778,368 € = 75.799,976 € (75.799,98 €) No da exactamente 75.800 porque la división 75.800 : 37 meses NO es exacta.

Actividades

Actividad 1

a) g 150€ 1,55 = 0,0103 € / g; 0,0103 € / g × 1.000 g = 10,30 € / kg ( 30100001

g 150€ 1,55 ,. =× )

b) g 220€ 9,90 = 0,045 € / g; 0,045 € / g × 1.000 g = 45 € / kg ( 450001

g 220€ 9,90

=× . )

c) ml 330€ 0,69 = 0,00209 € / ml; 0,00209 € / ml × 1.000 ml = 2,09 € / litro ( 0920001

ml 330€ 0,69 ,. =× )

d) g 450€ 3,85 = 0,00855 € / g; 0,00855 € / g × 1.000 g = 8,55 € / kg ( 5580001

g 450€ 3,85 ,. =× )

e) litros 1,5

€ 1,35 = 0,90 € / litro

Actividad 2

a) €/kg 650kg 1

€ 0,65 ,= €/kg 650kg 2

€ 1,30 ,= €/kg 600kg 5€ 3 ,= €/kg 580

kg 10€ 5,75 ,=

€/kg 550

kg 15€ 8,25 ,=

Significado: euros cada kilógramo (precio)

b) kg/€ 1,54€ 0,65

kg 1= kg/€ 541

€ 1,30kg 2 ,= kg/€ 671

€ 3kg 5 ,= kg/€ 741

€ 5,75kg 10 ,=

kg/€ 821

€ 8,25kg 15 ,=

Significado: kilógramos que se pueden comprar con un euro. c) No existe relación de proporcionalidad en toda la tabla ya que la constante de proporcionalidad no es la misma.

Actividad 3 Alimento Ración Precio Operaciones Importe

Naranjas 200 g 0,00085 € / g 0,00085 € / g × 200 g 0,17 €

Leche 400 ml 0,00095 € / ml 0,00095 € / ml × 400 ml 0,38 €

Azúcar 10 g 0,00175 € / g 0,00175 € / g × 10 g 0,0175 €

Galletas 10 galletas galletas 60€ 1,80 = 0,03 € / galleta 0,03 € / galleta × 10 galletas 0,30 €

Importe del desayuno 0,8675 € = 0,87 €

Actividad 4 Ingredientes 4 personas % 1 persona 6 personas

Patata 600 g %,16431001.390600

=×

=4600 150 g 150 g × 6 = 900 g

Cebolla 250 g %,98171001.390250

=×

=4250 62,5 g 62,5 g × 6 = 375 g


Página 170

Aceite 120 g %,6381001.390120

=×

=4120 30 g 30 g × 6 = 180 g

Huevos 420 g %,21301001.390420

=×

=4420 105 g 105 g × 6 = 630 g (9 huevos)

TOTAL 1.390 g 99,98 %

Actividad 5

Bebida % de alcohol Consumición Alcohol consumido (mililitros)

Cerveza 5,5 % Lata (33 cl) 5,5% de 330 ml = 55

100ml 330 ,× = 18,15

Cava 11,8 % Una copa (0,12 litros) 11,8% de 120 ml = 11,8

100ml 120

× = 14,16

Vino 12 % Un vaso (1,25 dl) 12% de 125 ml = 12

100ml 125

× = 15

Coñac 40 % Una copa (5 cl) 40% de 50 ml = 40

100ml 50

× = 20

Actividad 6 Potencia Tiempo Consumo

1,25 kw × x horas = 525 kwh ⇒ horas 300 kw 1,75

kwh 525=

1,25 kw × 300 horas = 375 kwh

1,25 kw x horas 525 kwh

1,75 kw x horas y Kwh

Actividad 7 Velocidad Tiempo Trayecto

0,75 h × 42 km/h = 31,5 km

Trayecto que realiza o constante de proporcionalidad 42 km / h 45 min = 0,75 h x km

y km / h 24 min = 0,4 h x km

y km / h × 0,4 h = 31,5 km ⇒ 31,5 km : 0,4 h = 78,75 km/h

Actividad 8 a) Calcula la constante de esta relación de proporcionalidad y explica su significado.

Capacidad del envase Número envases Constante de proporcionalidad

0,5 litros 120.000 0,5 × 120.000 = 60.000 litros (capacidad del depósito)

0,75 litros 80.000 0,75 × 80.000 = 60.000 litros (capacidad del depósito)

5 litros 12.000 5 × 12.000 = 60.000 litros (capacidad del depósito)

a) 60.000 litros : 1,5 litros / botella = 40.000 botellas

Actividad 9 Caudal Tiempo Volumen

x 15 h y 20 min = 920 minutos 46.000 litros

x y minutos 18.500 litros

Razón de la “Cantidad o Volumen” al “Tiempo” = minutos 920

litros 46.000 = 50 litros / minuto (caudal del grifo)

y (Tiempo) = minuto / litros 50litros 18.500 = 370 minutos = 6 horas y 10 minutos


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Actividad 10 Proporcionalidad directa

Masa Aumento cm / g 50

cm 15g 750= (gramos necesarios para alargar 1 cm el muelle)

g / cm 0,02 g 750

cm 15= (centímetros que se alarga el muelle cuando se cuelga

una masa de 1 gramo)

750 gramos 15 cm

820 gramos x y 12 cm

a) 0,02 cm/g × 820 g = 16,4 cm (16 cm y 4 mm) b) 50 g/cm × 12 cm = 600 g

Actividad 11

a) € 20

€ 0005. = 250 € ganados por cada euro jugado € .0005

€ 02 = 0,004 € jugados por cada euro ganado

b) 250 € × 45 € = 11.250 euros c) 0,004 € × 9.000 € = 36 €

Ejercicio 12 a) 12,7 cm × 1.200.000 = 15.240.000 cm = 152,4 km

b) 1.200.000

cm 54.000.000 = 45 cm.

Actividad 13

a) 2,8

cm 350 = 125; escala = 1 : 125 b) 17,6 cm × 125 = 2.200 cm = 22 metros

Actividad 14 a).

Primera forma

3,75 % de 9.450 € = 354,375 € 9.450 € + 354,375 € = 9.804,375 € = 9.804,38 €

Segunda forma

100 % + 3,75 % = 103,75 %

103,75 % de 9.450 € = 9804,375 € = 9.804,38 €

b) 18.975 € – 18.483 € = 492 € aumento del precio del automóvil

% 2,66 48157772,66190553 100 € 18.975

€ 492==×

El modelo ha aumentado su precio un 2,66% respecto del año anterior

Actividad 15

0,77% de la producción española = 9.625 T 1007706259

×,

.= 1.250.000 T producidas en España

Actividad 16 350.785 turismos + 125.425 furgonetas + 7.650 camiones = 483.860 vehículos fabricados

Turismos = 100483860

785350×

. = 72,4972; el 72,49 % de los vehículos fabricados han sido turismos.

Furgonetas = 100483860

42512×

. = 25,9218; el 25,92 % de los vehículos fabricados han sido furgonetas.

Camiones = 100483860

6507×

. = 1,581; el 1,58 % de los vehículos fabricados han sido camiones.

Comprobación = 72,49 % + 25,92 % + 1,58 % = 99,99 %


Página 172

Actividad 17 Dinero invertido en el negocio = 12.640 € + 15.800 € + 19.560 € = 48.000 € 36.000 € ganados : 48.000 € invertidos = 0,75 euros ganados por cada euro invertido Socio A = 0,75 € × 12.640 € = 9.480 € Socio B = 0,75 € × 15.800 € = 11.850 € Socio C = 0,75 € × 19.560 € = 14.670 €

Actividad 18 Tiempo en el negocio = 14 meses + 15 meses + 31 meses = 60 meses 91.575 € : 60 meses = 1.526,25 € / mes Socio 1º (14 meses) = 1.526,25 € / mes × 14 meses = 21.367,50 € Socio 2º (15 meses) = 1.526,25 € / mes × 15 meses = 22.893,75 € Socio 3º (31 meses) = 1.526,25 € / mes × 31 meses = 47.313,75 €

Actividad 19 Los ayuntamientos pagan el 60 % del coste. 60 % de 2.150.420 € = 1.290.252 € Habitantes totales = 860 + 615 + 525 = 2.000 1.290.252 € : 2.000 habitantes = 645,13 € / habitante Pueblo A = 645,13 € / habitante × 860 habitantes = 554.808,36 € Pueblo B = 645,13 € / habitante × 615 habitantes = 396.752,49 € Pueblo C = 645,13 € / habitante × 525 habitantes = 338.691,15 €

Actividad 20 Número de hijos = 8,5; 845.320 € : 8,5 hijos = 99.449,41 € / hijo Heredero sin descendencia = 99.449,41 € / hijo × 0,5 hijos = 49.724,71 € Heredero con 1 hijo = = 99.449,41 € / hijo × 1 hijo = 99.449,41 € Heredero con 2 hijos = = 99.449,41 € / hijo × 2 hijos = 198.898,82 € Heredero con 5 hijos = = 99.449,41 € / hijo × 5 hijos = 497.247,05 €

Actividad 21 Si se descuenta un 30%, habrá que pagar un 70% (100% – 30%) de 145 €

70% de 145 € = € 101,5 70100145

=×

Si se descuenta un 5%, habrá que pagar un 95% (100% – 5%) de 101,5 €

95% de 101,5 € = € 96,43 € 96,425 95100

€ 5101==×

,

El precio del artículo con los dos descuentos es 96,43 €

Actividad 22 Horas de trabajo = 19 horas (Alba) + 16 horas (Rosa) = 35 horas 514 € : 35 horas = 14,6857 € / hora Alba = 14,6857 € / hora × 19 horas = 279,0283 € = 279,02 € Rosa = 14,6857 € / hora × 16 horas = 234,9712 € = 234,97 € Comprobación = 279,02 € + 234,97 € = 513,99 € (no da la cantidad de 514 € porque la división no es exacta) El céntimo de euro (0,01 €) que falta se le puede dar a la que menos ha cobrado o, también se puede hacer un redondeo de las cantidades, con lo que Alba recibiría el céntimo (279,0283 € = 279,03 €)


Página 173

Actividad 23 En primer lugar hay que calcular el precio del alquiler sin IVA Precio sin IVA + 21% del Precio sin IVA = 103 € 100% del Precio sin IVA + 21% del Precio sin IVA = 103 € 121% del Precio sin IVA = 103 € 121 partes de las 100 (%) en las que se considera dividido el Precio sin IVA son 103 €.

1 parte = € 2 0,851 121

€ 103= El total (100 partes) = 0,8512 × 100 = 85,12 €

El precio del alquiler sin IVA es 85,12 € / día

Factura

Concepto Días Precio Importe

Alquiler camión 24 85,12 € 2.042,88 €

IVA (21% de 2.042,88 = 21 100

€ 2.042,88× ) 429,00 €

TOTAL (2042,88 € + 429,00 €) 2.471,88

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