CASO 3: SISTEMA SUBAMORTIGUADO

- 0

El coeficiente de amortiguamiento es pequeo comparado con la constante del resorte.

Las races m1 y m2 ahora son complejas:

Asi que la ecuacin general de

es:

Como se indica en la figura el movimiento descrito por la ecuacin es escilatorio; pero de bido al coeficiente , las amplitudes de vibracin 0 cuando t .

EJEMPLO:

Una masa que pesa 16 libras se une a un resorte se 5 pies de largo. En equilibrio el resorte mide 8.2 pies. Si al inicio la masa se libera desde el reposo en un punto 2 pies arriba de la posicin de equilibrio, encuentre los desplazamientos x(t) si se sabe adems que el medio circundante ofrece una resistencia numricamente igual a la velocidad instantnea.

SOLUCION:

La elongacin del resorte despus que se une la masa es:

8,2 5 = 3,2pies,

Asi que se deduce la Ley de Hooke que:

F = ks

16 = k (3,2) k = 5 lb/pie

adems:

por lo que la ecuacin diferencial esta dada por:

Procediendo, encontramos que las races de m + 2m + 10 = 0 son m1 = -1 + 3i y m2= -1 3i, lo que significa que el sistema esta subamortiguado y

Solucin General

Por ltimo, las condiciones iniciales x(0) = -2 y x(0) = 0 producen c1 = -2 y c2 = por lo que la ecuacin de movimiento es

. Solucin particular

Forma Alternativa

La funcin

En la forma alternativa

Donde y el angulo de fase se determina de las ecuaciones

El coeficiente en ocasiones se llama amplitud amortiguada de vibraciones.

Debido a que :

No es una funcin peridica, el numero se llama cuasi periodo y es la cuasi frecuencia. El cuasi periodo es el intervalo de tiempo entre dos mximos sucesivos de x(t). Se debe comprobar, para la ecuacin de movimiento del ejemplo, que y Por lo tanto una forma equivalente de de la ecuacin es