Caso aplicado flujo vehicular
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Instituto Tecnológico de Estudios Superioresde la Región Carbonífera
“Dr. Rogelio Montemayor Seguy”
Francisco Javier Rodriguez Núñez Sandra Rubí Medrano Morales Cinthia Edurne Sánchez Nieto José Angel Nava Díaz
Caso aplicado: Flujo vehicular
Problema de contexto
Modelación
Problemamatemático
Proceso desolución
Solución
Transferencia de resultados
Interpretación
Introducción
El siguiente problema se deriva del fenómeno causado por el flujo de vehículos en determinada calle.
Existen diversos modelos que se utilizan para la interpretación de estos problemas, por ejemplo: los macroscópicos.
Los modelos macroscópicos se enfocan en captar las relaciones globales del flujo de tráfico, tales como velocidad de los vehículos, flujo vehicular y densidad de tráfico. Por su naturaleza, son modelos continuos, que hacen uso extensivo de ecuaciones diferenciales. Incluye a los modelos de gases cinéticos y los hidrodinámicos. Dirk Helbing, M. Treiber y L. A. Pipes son algunos de los investigadores de mayor renombre en esta área. Dentro de los modelos macroscópicos existen modelos puramente empíricos, denominados modelos de capacidad y nivel de servicio, que renuncian al planteamiento preciso de ecuaciones diferenciales y se limitan a establecer relaciones empíricas entre las principales variables bajo control del diseñador.
Problema de contexto
Se pretende encontrar la cantidad de flujo vehicular que existe en las calles que rodean la “Plazita de La Madre” en la Cd. de Sabinas. Las calles Ocampo, Acuña, Fco. Villa y Gustavo Espinoza corren en dos sentidos. Un grupo de estudiantes recopilaron la información veridica del sistema de ecuaciones lineales que son los siguentes:o Nodo 1e: G. Espinoza = 4, Ocampo = 8o Nodo 1s: G. Espinoza = 1, Ocampo = 15 o Nodo 2e: Fco. Villa = 2, G. Espinoza = 1o Nodo 2s: Fco. Villa = 6, G. Espinoza = 0o Nodo 3e: Acuña = 22, Fco. Villa = 9o Nodo 3s: Acuña = 25, Fco. Villa = 8o Nodo 4e: Ocampo = 20, Acuña = 31o Nodo 4s: Ocampo = 14, Acuña = 27
Ocampo
Acuña
41
32
Fco. Villa
X1
X5
X2
X6
X3
X7
X4
X8
Ae As He Hs
Be
BsGe
Gs
Fe
FsCe
Cs
DeDs EeEs
Espinoza
Ocampo y Espinoza
Espinoza y Fco. Villa Fco. Villa y Acuña
Acuña y Ocampo
Modelación
El sistema de ecuaciones lineales quedaría de esta maera:
o 1. X1 + Ae + Be + X6 = X5 + As + Bs + X2 o 2. X2 + Ce + De + X7 = X6 + Cs + Ds + X3 o 3. X3 + Ee + Fe + X8 = X7 + Es + Fs + X4 o 4. X4 + Ge + He + X5 = X8 + Gs + Hs+ X1
Despejando tenemos las sig. ecuaciones:
o 1. X1 – X2 – X5 + X6 = – Ae – Be + As + Bs o 2. X2 – X3 – X6 + X7 = – Ce – De + Cs + Ds
o 3. X3 – X4 – X7 + X8 = – Ee – Fe + Es + Fs o 4. –X1 + X4 + X5 – X8 = – Ge – He+ Gs + Hs
Problema matemático
Sustituímos en el sistema los valores de entrada y de salida conocidos, y nos queda el sistema de esta manera:
1. X1 – X2 – X5 + X6 = – ( 4) – ( 8) + ( 1) + (15) = 4
2. X2 – X3 – X6 + X7 = – ( 2) – ( 1) + ( 6) + ( 0) = 3
3. X3 – X4 – X7 + X8 = – (22) – ( 9) + (25) + ( 8) = 2
4. –X1 + X4 + X5 – X8 = – (20) – (31) + (14) + (27) = – 10
o 1. X1 – X2 – X5 + X6 = 4
o 2. X2 – X3 – X6 + X7 = 3
o 3. X3 – X4 – X7 + X8 = 2
o 4. –X1 + X4 + X5 – X8 = – 10
Proceso de solución
Utilizando el método de Gauss-Jordan procedemos a resolver el sistema:
1 -1 0 0 -1 1 0 0 4
0 1 -1 0 0 -1 1 0 3
0 0 1 -1 0 0 -1 1 2
-1 0 0 1 1 0 0 -1 -10
(1)
R1 * (1) + R4 = R4
1 -1 0 0 -1 1 0 0 4
0 1 -1 0 0 -1 1 0 3
0 0 1 -1 0 0 -1 1 2
0 -1 0 1 0 1 0 -1 -6
(1)(1)
Proceso de soluciónContinuación...
R2 * (1) + R1 = R1 R2 * (1) + R4 = R4
1 0 -1 0 -1 0 1 0 7
0 1 -1 0 0 -1 1 0 3
0 0 1 -1 0 0 -1 1 2
0 0 -1 1 0 0 1 -1 -3
(1)(1)(1)
R3 * (1) + R1 = R1 R3 * (1) + R2 = R2 R3 * (1) + R4 = R4
1 0 0 -1 -1 0 0 1 9
0 1 0 -1 0 -1 0 1 5
0 0 1 -1 0 0 -1 1 2
0 0 0 0 0 0 0 0 -1
Solución
Al despejar la última incógnita tenemos: X8(0) = -1 X8 = -1/0, por lo tanto su valor es
indeterminado.
De acuerdo a los resultados obtenidos se llega a la conclusión que el sistema no tiene solución y por lo tanto es incompatible.
Es decir las incógnitas anteriores a X8 dependen de un número indeterminado y por lo tanto también son indeterminadas.
Transferencia de resultados
Las incógnitas pertenecen a las calles siguientes:
o X1 = Melchor Ocampo (vuelta)o X2 = Gustavo Espinoza (vuelta)o X3 = Fco. Villa (vuelta)o X4 = Jesús Acuña (vuelta)o X5 = Melchor Ocampo (ida)o X6 = Gustavo Espinoza (ida)o X7 = Fco. Villa (ida)o X8 = Jesús Acuña (ida)
Interpretación
Se puede concluir que las calles que rodean la “Plazita de la Madre” no dependen una de la otra y no es posible determinar la cantidad de tráfico vehicular que circula en esa área en particular.
¡Gracias!