Castigliano 3 m3todos
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� � http://www.elrincondelingeniero.com/ Se tiene una carga P aplicada en la mitad de una viga biapoyada con un módulo elástico E, de sección con momento de inercia Ix. Determinar la deflexión máxima de la viga utilizando tres métodos diferentes. SOLUCIÓN: 1) Mediante la ecuación general de la deflexión. y ′′ (x) = M(x)/EI M(x) = Px 2 y ′′ (x). E. I = Px 2 y ′ (x). E. I = Px 2 4 +C Ahora utilizando condiciones de contorno: y ′ �x= L 2 � =0 C= − PL 2 16 Integrando de nuevo: y(x). E. I = Px 3 12 − PL 2 x 16 +D Utilizando de nuevo condiciones de contorno: y(x = 0) = 0 → D=0 y(x). E. I = � Px 3 12 − PL 2 x 16 � Y como se ve que la flecha máxima de la viga se encuentra en el punto medio, particularizamos en la ecuación anterior: y(x = L/2) = 1 EI � PL 3 96 − PL 3 32 � ∆ = 2) Con la energía de deformación y la ecuación de Clapeyron. U M = � M x 2 . dx 2. E. I x L 0 2. E. I. U M =2 � � Px 2 � 2 dx = 2 � P 2 x 3 12 � 0 L/2 L/2 0 U M = 2. P 2 L 3 2. E. I. 96 Formula de Clapeyron: W= 1 2 � P i δ i = Pδ 2 Y ahora igualando el trabajo a la energía de deformación: U M =W → Pδ 2 = P 2 L 3 E. I. 96 A B L L/2 P
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http://www.elrincondelingeniero.com/ Se tiene una carga P aplicada en la mitad de una viga biapoyada con un mdulo elstico E, de seccin con momento de inercia Ix. Determinar la deflexin mxima de la viga utilizando tres mtodos diferentes.
SOLUCIN:
1) Mediante la ecuacin general de la deflexin. y(x) = M(x)/EI
M(x) = Px2 y(x). E. I = Px2 y(x). E. I = Px24 + C Ahora utilizando condiciones de contorno: y x = L2 = 0 C = PL216 Integrando de nuevo:
y(x). E. I = Px312 PL2x16 + D Utilizando de nuevo condiciones de contorno: y(x = 0) = 0 D = 0 y(x). E. I = Px312 PL2x16 Y como se ve que la flecha mxima de la viga se encuentra en el punto medio, particularizamos en la ecuacin anterior:
y(x = L/2) = 1EIPL396 PL332 =
2) Con la energa de deformacin y la ecuacin de Clapeyron.
UM = Mx2. dx2. E. IxL0 2. E. I. UM = 2 Px2 2 dx = 2 P2x312
0
L/2L/20
UM = 2. P2L32. E. I. 96 Formula de Clapeyron:
W = 12Pii = P2 Y ahora igualando el trabajo a la energa de deformacin:
UM = W P2 = P2L3E. I. 96
A B
L
L/2
P
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= =
3) Utilizando el teorema de
Castigliano.
El desplazamiento se obtiene directamente integrando la siguiente expresin:
= UP = P Mx2. dx2. E. IxL0 =
= M MP dxEIxL0 0 x L/2
M(x) = Px2 M(P)P = x2 L/2 x L
M(x) = P(L x)2 M(P)P = (L x)2
= Px2 x2 dxE. IxL/20 + P(L x)2 (L x)2 dxE. Ix =LL/2 = P4EIx33
0
L/2 + l2x + x33 lx2L
L/2 =
= =
Y de esta forma comprobamos que existen varias formas para calcular la flecha mxima de la viga.
